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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）-B提高练
一、选择题
1．若平面 与 的法向量分别是 ， ，则平面 与 的位置关系是
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以两平面垂直.故答案为B
2.（2020全国高二课时练）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形, =(2,-1,-4), =(4,2,0),
=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是( )
A．相交 B．垂直
C．不垂直 D．成60°角
【答案】B
【解析】因为 = =0，所以 ；
因为 = =0，所以 ，又 ，所以 ．
答案选B．
3．（2020河南周口高二期末（理））已知梯形CEPD如下图所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的
中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图所示的几何
体.已知当点F满足⃗AF=λ⃗AB(0＜λ＜1)时，平面¿⊥平面PCE，则λ的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
2 3 5 5
【答案】C
【解析】因为四边形ABCD为正方形，且平面PABE⊥平面ABCD，所以PA,AB,AC两两垂直，且PA//BE，所以建立空间直角坐标系（如图所示），又因为PD=8，CE=6，所以
P(0,0,4),C(4,4,0),E(4,0,2),D(0,4,0),B(4,0,0)，
则F(4λ,0,0),⃗DE=(4,-4,2),⃗DF=(4λ,-4,0),⃗CE=(0,-4,2),⃗EP=(-4,0,2)，设平面DEF的法向量为
m·⃗DE=0 4x-4 y+2z=0
m=(x,y,z)，则由{ 得{ ，取m=(1,λ,2λ-2)，平面PCE的法向量为
m·⃗DF=0, 4λx-4 y=0
n·⃗CE=0 -4 y+2z=0
n=(x,y,z)，则由{ 得{ ，取n=(1,1,2)，
n·⃗EP=0, -4x+2z=0
3
因为平面¿⊥平面PCE，所以m·n=1+λ+2(2λ-2)=5λ-3=0，解得λ= .故选C.
5
4.如图,在三棱柱 ABC-ABC 中,侧棱AA⊥底面ABC ,∠BAC=90°,AB=AC=AA =1,D是棱CC 的中点,P是
1 1 1 1 1 1 1 1 1
AD的延长线与AC 的延长线的交点.若点Q在线段BP上,则下列结论正确的是( )
1 1 1
A.当点Q为线段BP的中点时,DQ⊥平面ABD
1 1
B.当点Q为线段BP的三等分点时,DQ⊥平面ABD
1 1
C.在线段BP的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面ABD
1 1
D.不存在点Q,使得DQ⊥平面ABD
1
【答案】D
【解析】以点A 为坐标原点,AB,AC ,AA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则由已知得
1 1 1 1 1 1
( 1)
A(0,0,0),B(1,0,0),C (0,1,0),B(1,0,1),D 0,1, ,P(0,2,0),
1 1 1 2则⃗A B=(1,0,1),⃗A D= ( 0,1, 1) ,⃗B P=(-1,2,0),⃗DB = ( 1,-1,- 1) .
1 1 2 1 1 2
{ n·⃗A B=x+z=0,
设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),则 1 取z=-2,则x=2,y=1,所以平面ABD的一个
1 1 1
n·⃗A D= y+ z=0.
1 2
法向量为n=(2,1,-2).假设DQ⊥平面ABD,且 =λ =λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),则
1 ⃗B Q ⃗B P
1 1
⃗DQ=⃗DB +⃗B Q= ( 1-λ,-1+2λ,- 1) .因为⃗DQ也是平面ABD的一个法向量,所以n=(2,1,-2)与
1 1 2 1
⃗DQ= ( 1-λ,-1+2λ,- 1) 共线,
2
1-λ
1 { =-1+2λ,
则 - 成立,所以 2
1-λ -1+2λ 2 1
= = = 1
2 1 -2 4 -1+2λ= ,
4
但此关于λ的方程组无解.故不存在点Q,使得DQ⊥平面ABD.故选D.
1
5．（多选题）（2020·海南省海南中学高二月考）如图所示，正方体 中， ，点
在侧面 及其边界上运动，并且总是保持 ，则以下四个结论正确的是（ ）A． B．点 必在线段 上
C． D． 平面
【答案】BD
【解析】对于 ， 在平面 上，平面 平面 ， 到平面 即为 到平面
的距离，即为正方体棱长， ， 错误；
对于 ，以 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，即
， ， ，即 三点共线， 必在线段 上， 正确；
对于 ， ， ， ， 与 不垂直， 错
误；对于 ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ， ，令 ，则 ， ，
， ，即 ， 平面 ， 正确.故选： .6.（多选题） （2020山东高二期末）在长方体 中， ， ，
分别是 上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．对于任意给定的点 ，存在点 使得
B．对于任意给定的点 ，存在点 使得
C．当 时，
D．当 时， 平面
【答案】ABD
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设 ， ， ， ，
设 ，得到 ， . ， ，
，当 时， ， 正确； ，
，取 时， ， 正确； ，则
， ，此时
， 错误； ，则 ，
，设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ，故 ，故 平面 ， 正确.故选： .
二、填空题
7．（2020全国高二课时练）已知平面 内有一个点 ， 的一个法向量为 ，则下列
各点中，在平面 内的是________．（把正确的序号都填上）
① ；② ；③ ；④ .
【答案】②
【解析】设①②③④中的点分别为 、 、 、 .对于①中的点 ， ，
，则 ；对于②中的点 ， ，
，则 ；对于③中的点 ， ，
，则 ；对于④中的点 ， ，
，则 .因此，②中的点在平面 内.
8.（2020广东湛江高二月考）如图，已知正方体 的棱长为4， 是 的中点，点
在侧面 内，若 ，则 面积的最小值为________．【答案】
【解析】以AB，AD，AA 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则P（0，0，2），C（4，4，0），D（0，
1 1
4，4），设M（a，0，b），则 （a，﹣4，b﹣4）， （﹣4，﹣4，2），
∵DM⊥CP，∴ 4a+16+2b﹣8＝0，即b＝2a﹣4．取AB的中点N，连结BN，则M点轨迹为
1 1
线段BN，过B作BQ⊥BN，则BQ ．
1 1
又BC⊥平面ABBA，故BC⊥BQ，∴S 的最小值为S ．
1 1 BCM QBC
△ △
9．（2020重庆市育才中学高二期中）在棱长为1的正方体 中, 为 的中点, , 是
A B C D
正方体表面上相异两点,满足 , ．(1)若 , 均在平面 1 1 1 1内,则 与 的位置
关系是______；(2) 的最小值为______．【答案】平行；
【解析】 (1)以 为空间直角坐标系的原点,以 所在的直线为 轴,如下图所示：
,因为若 , 均在平面A B C D 内,
1 1 1 1
所以设 ,
因为 , ,
所以 ,解得 , ,
,所以 与 的位置关系是平行；
(2)由(1)可知：
当 时, 有最小值,最小值为 .
10．（2020上饶中学高二期中）如图，在长方体 中， ，点
为线段 上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的__________．①当 时， 平面 ；②当 时， 平面 ；
③ 的最大值为 ；④ 的最小值为 .
【答案】①②
【解析】以 为坐标原点建立空间直角坐标系，则
, ,设 ,
.对于①，当 ，即 ，解得 ，
，设平面 的法向量为 ，则由 ，解得
，由于 ，所以 平面 成立.对于②，当 时，即
，解得 ，由 可知 平面 成立.对于
③，设 ，即 ，解得 ，由，其分子化简得 ，当 时，
，故 的最大值可以为钝角，③错误.对于④，根据③计算的数据，
,
，在对称轴 ，即 时取得最
小值为 ，故④错误.
三、解答题
11．如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面
1
ABCD.若PA=AB=BC= AD.
2
(1)求证:CD⊥平面PAC;
(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明,若不存在,请说明理由.
【解析】因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,
所以PA⊥底面ABCD.∠BAD=90°,
所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
(1)证明:⃗AP=(0,0,1),⃗AC=(1,1,0),⃗CD=(-1,1,0),
可得⃗AP·⃗CD=0,⃗AC·⃗CD=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD.
又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.
1 1
(2)设侧棱PA的中点是E,则E 0,0, ,⃗BE= -1,0, .
2 2
设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则{n·⃗CD=0,
n·⃗PD=0,
{-x+ y=0,
因为⃗CD=(-1,1,0),⃗PD=(0,2,-1),所以
2y-z=0,
1
取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).所以n·⃗BE=(1,1,2)· -1,0, =0,所以n⊥⃗BE.
2
因为BE 平面PCD,所以BE∥平面PCD.
综上所述⊄,当点E为PA的中点时,BE∥平面PCD.
12．（2020全国高二（理））如图1，在直角三角形 中， ， ， . ，
分别是 ， 的中点.现将三角形 沿 边折起，记折起后的点 位于点 的位置，且平面
平面 （如图2所示），点 为 边上的一点，且 .
（1）若 平面 ，求 的值；
（2）是否存在 ，使平面 平面 ？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由.【解析】（1）折叠前，直角 中， ， ， 是 中点，
所以 ， ， .折叠后，由 平面 ，
所以 ， 为等边三角形， ，
又点 为 的中点，所以 .
直角 中， ，所以 ，所以 .
（2）由平面 平面 ， ，所以 平面 .
由（1）知，当 时， ，记此时点 的位置为 .
以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 为坐标原点建立直角坐标系，如围所示，则
， ， ， ， .
故 ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，所以 ，令 ，则 .
设平面 的一个法向量 ，
则 ，所以 ，
令 ，则 .要使平面 平面 ，有
即 ，化简得， ，由于 ，该一元二次方程无实数解，
所以不存在 ，使平面 平面 .
