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考点巩固卷 14 空间几何体的表面积和体积
（六大考点）
考点01：斜二测画法及应用
1、画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，
并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可；
2、直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”；
3、当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得
见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验；
结论：直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为
S′，
则有S′＝S或S＝2S′；利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求
原图形面积；
1．一水平放置的平面四边形 的直观图 如图所示，其中 ，
轴， 轴， 轴，则四边形 的面积为（ ）A．18 B． C． D．12
【答案】C
【分析】根据梯形面积公式求出直观图的面积，然后由直观图面积与平面图面积之间的关
系可得.
【详解】记 与 轴的交点为D，
因为 轴， 轴，所以 ，
又 轴，所以四边形 为平行四边形， ，
由题意可知： ，
因为 ， ，所以 ， ，
则四边形 的面积为 ，
所以四边形 的面积为 .
故选：C.
2．如图,直角梯形 满足 ,它是水平放置的平面图
试卷第2页，共3页形的直观图,则该平面图形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形 还原成平面图形,结合勾股定
理算出各边长度即可求解.
【详解】由题意 , ,由 可得 ,
由 ,
可得 ,所以 ,
而 ，
所以 ，
结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形 还原成平面图形，
如图所示：
由勾股定理可得 ，
所以满足题意的平面图形的周长是 .故选:C.
3．如图所示，正方形 的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则
原平面图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于 轴的线段长度不变，平行于 轴的
线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．.
【详解】
直观图正方形 的边长为 ， ，
原图形为平行四边形 ，如图：
其中 ，高 ，
，
原图形的周长 .
故选：A.
4．用斜二测画法画出的水平放置的 的直观图如图所示，其中 是 的中点，且
试卷第4页，共3页轴， 轴， ，那么 （ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.
【详解】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示，
其中 ， ， ，
原平面图形的面积为 .
故选：D．
5．如图， 是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若 ，且
，则原图形中 边上的高为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由三角形面积公式求出 的长，结合斜二测画法可得原图中 的
长.
【详解】画出平面直角坐标系 ，在 轴上取 ，即 ，
在图①中，过 作 轴，交 轴于 ，在 轴上取 ，
过点 作 轴，并使 ，
连接 ，则 即为 原来的图形，如图②所示：
原图形中， 于点 ，
则BD为原图形中 边上的高，且 ，
在直观图③中作 于点 ，则 的面积 ，
在直角三角形 中， ，
所以 ，
故原图形中AC边上的高为 ．
故选：D．
6．已知梯形 按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形 ，且 ，
， ，现将梯形 绕 㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面
试卷第6页，共3页积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将梯形 复原为原图即直角梯形 ，确定相关的边长，结合题意以及
圆台的侧面积公式，即可求得答案.
【详解】由题意将梯形 复原为原图，即直角梯形 ，
其中 ，则 ，
故将梯形 绕 㯀转一周得到一个几何体为圆台，
圆台上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，母线长为5，
故该几何体的侧面积为 ，
故选：C
7．如图， 是水平放置的 用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与 轴
和 轴平行）， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C．24 D．48【答案】D
【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.
【详解】由直观图可得如下平面图形：
其中 ， ， ， 轴，且 ，
所以 .
故选：D
8．水平放置的 的直观图如图，其中 ， ，那么原 是一
个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
【答案】A
【分析】根据斜二测画法的规则求解即可.
【详解】由图形知，在原 中， ，如图，
试卷第8页，共3页因为 ，所以 ，
， ，
又 ， .
为等边三角形.
故选：A
9．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 ，腰和上底长均为1的等腰梯形，
则该平面图形的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，由梯形面积公式求解.
【详解】解：如图，恢复后的原图形为一直角梯形，
所以 .
故选：B.
10．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形
，则原四边形 的面积是（ ）
A． B． C．16 D．8【答案】B
【分析】根据斜二测画法规则求出 ，判断 的形状，确定 ，由此求出
原四边形 的面积.
【详解】在正方形 中可得 ，
由斜二测画法可知 ， ，
且 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ．
故选：B.
考点02：空间几何体的表面积
侧面积和表面积
几何体 棱柱 棱锥 棱台
侧面展开图
ch
ch′ (c+c′)h′
侧面积公式
(c为底面周长，h为侧
(c为底面周长，h′为侧面等腰三 (c′，c分别为上、下底面周
棱长)
角形底边上的高) 长，h′为侧面等腰梯形的高)
表面积公式
几何体 圆柱 圆锥 圆台 球
侧面展开图
侧面积公式
表面积公式
11．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包
试卷第10页，共3页由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为 ，底面半径为 是圆柱下底面的圆心．若
圆锥的侧面与以 为球心，半径为 的球相切，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意结合圆柱、圆锥以及球的结构特征解得圆锥母线长 ，进而可求圆锥
的侧面积.
【详解】设 为圆锥高， 为圆锥母线长
以 为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，
则 ，
在 中， ，可得 ，
且 ，则 ，解得 ，
所以圆锥的侧面积为 .
故选：C.
12．某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为 ，则
该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则由题意可得 ，再由圆台的侧面积列方程可求出 ，从而可求出上下底面面积和圆台的高，进而可求出台的体积.
【详解】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则 ，故 ，
因为该圆台的侧面积为 ，母线长 ，
所以 ，解得 ，则 ，
所以圆台上底面的面积为 ，下底面的面积为 ，
圆台的高
所以该圆台的体积 ．
故选：C．
13．已知正三棱台 的上底面积为 ，下底面积为 ，高为2，则该三棱台
的表面积为（ ）
A． B． C． D．18
【答案】A
【分析】由上下底面的面积可求出上下底面边长，构造直角三角形结合棱台的高求出侧面
梯形的高，求出侧面积后得表面积.
【详解】由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为 和 ，
设 在底面 内的射影为 ，作 于 ，
平面 ， 平面 ，则有 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
由 ， ， ，则 ，
试卷第12页，共3页又 ，所以 ，则 ，
故三棱台的侧面积为 ，表面积为 .
故选：A.
14．在正四棱台 中， ，若正四棱台的高为 ，则
其表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，则 ，连接 ， 交于点 ，连接 交于点 ，连
接 ，即可得到 为正四棱台的高 ，由勾股定理求出 ，再求出斜高，最后由表面积
公式计算可得.
【详解】设 ，则 ，
如图，连接 ， 交于点 ，连接 交于点 ，连接 ，
由正四棱台的几何性质可知 分别是上､下底面的中心，
所以 平面 平面 ，所以 为正四棱台的高 ，
所以由题可知 ，过点 作 交 于点 ，
则 ，即 ，解得 ，
过点 作 交 于点 ，则 为斜高，此时 ，
所以正四棱台的表面积为 .故选：D.
15．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O， 为底面直径， ， ，点C
在底面圆周上，且二面角 为 ，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为 B．该圆锥的体积为
C． 的面积为 D．
【答案】D
【分析】依题意可得底面半径及高，由圆锥的体积公式判断B，由侧面积公式判断B，设
是 的中点，连接 ，则 是二面角 的平面角，求出 判断
D，再求出 的面积判断C.
【详解】依题意， ， ，所以 ，
对于A，圆锥的侧面积为 ，故A错误；
对于B，圆锥的体积为 ，故B错误；
对于D，设 是 的中点，连接 ，
则 ，所以 是二面角 的平面角，
则 ，所以 ，
故 ，则 ，故D正确
对于C， ，所以 ，故C错误；
故选：D
试卷第14页，共3页16．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据半径求底面周长，由弧长公式可得母线长，然后可得侧面积.
【详解】因为底面半径 ，所以底面周长 ，
又圆锥母线长 ，所以圆锥侧面积 ．
故选：A．
17．在一个圆锥中， 为圆锥的顶点， 为圆锥底面圆的圆心， 为线段 的中点，
为底面圆的直径， 是底面圆的内接正三角形，
① 平面 ；
② 平面 ；
③圆锥的侧面积为 ；
④三棱锥 的内切球表面积为 ．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据正弦定理求得圆锥的底面半径，从而求得圆锥的高，再计算出圆锥的侧面积
即可判断③；采用反证的方法可判断①；根据线面垂直的判定定理可判定 平面
判断②；求出三棱锥 的各个面的面积及体积，再利用等体积法求出内切球的半径，
即可判断④．【详解】由 是底面圆的内接正三角形， ，
设圆锥的底面半径为r，则可得 ，即 ，解得 .
因为 ，故高 ，
所以圆锥的侧面积 ，故③正确；
假设 平面 ，由于 平面 ，平面 平面 ，故 ，
则 ，而因为 为底面圆的直径，
又 ，且 （矛盾），
故 、 不可能平行，所以 与平面 不平行；故①错误；
因为 为线段 的中点，故 ，
则 ， ， ，
故 ， ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，故②正确；
又 ，
，
试卷第16页，共3页，
设三棱锥 的内切球的半径为 ，
则 ，
即 ，解得 ， ，
所以三棱锥 的内切球的表面积 ，故④正确．
综上有②③④正确.
故选：C．
18．已知圆锥的顶点为 ，母线 所成角的余弦值为 ，且该圆锥的母线是底面半径
的 倍，若 的面积为 ，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，求圆锥的底面半径和母线长，再根据公式求圆锥的表面积.
【详解】如图：
设圆锥底面为 ，母线长为 ，母线 ， 夹角为 ，则 ，所以 .
因为 的面积为 ，所以 .
又 .所以圆锥的表面积为： .
故选：B
19．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算
书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑
堵”．已知“堑堵” 的所有顶点都在球 的球面上，且 ．若球
的表面积为 ，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件确定球心的位置，根据球的半径求得棱柱的高，可计算表面积.
【详解】设 ， 的中点分别为 ， ，连接 ，取 的中点 ．
直三棱柱 中， ， ，
四边形 是平行四边形，有 ，
因为三棱柱 的底面是直角三角形， ，所以 ， ，
， 分别是 ， 的外接圆圆心．
因为 平面 ，所以 平面 ，
所以 为 的外接球的球心．
试卷第18页，共3页连接 ，因为球 的表面积为 ，所以球 的半径为1，即 ，
，则 ， ，可得 ， ，
所以三棱柱 的表面积 ，
故选：C．
20．如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料
分别记为 ，则它们的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，根据多面体的结构特征求出
正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球半径与其表面积的关系，再进行比
较.
【详解】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，下面求正四面体、正六面体、
正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系.
设球形物品的半径为 ，则正方体的棱长为 ，表面积 ；
设正四面体的棱长为 ，则正四面体的表面积为 ，
如图正四面体 ，由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体
的高上，如图 ，底面等边三角形 的高 ，外接圆半径 ，正四面体的高
，
体积 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以正四面体的表面积 ；
设正八面体的棱长为 ，如图，
在正八面体中连接 ， ， ，可得 ， ， 互相垂直平分，四边形 为
正方形， ，
试卷第20页，共3页在 中， ，
则该正八面体的体积 ，
该八面体的表面积 ，
因为 ，即 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
考点03：空间几何体的体积
几何体 体积
柱
(S为底面面积，h为高)
锥
(S为底面面积，h为高)，
台
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
球
( 为球的半径)
21．某小区花园内现有一个圆台型的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为
1，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为3，则这个圆台的体积为
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据题意可得圆台上下底面的半径以及圆台的高，代入圆台体积公式即可得解.
【详解】如图，设圆台上､下底面圆心分别为 为点 在底面的投影点，上､下底面圆
的半径分别为 ， ，
由题意得 ，设上底面圆的面积与下底面圆的面积分别为 ，
所以该圆台容器的容积 ，
故选：C.
22．如图， 是圆锥底面中心 到母线的垂线， 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体
积相等的两部分，则母线与轴的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，设所求角并表示出 ，利用 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分
成体积相等的两部分，求得关系式，即可得答案.
【详解】
试卷第22页，共3页设 ，则 ，
令大圆锥 的体积为 ，圆锥 和圆锥 的体积分别为 ，
， ，
由题意可得： ，解得
，
故选：B
23．中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活
动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞
天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类
似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱
和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高
度为7，则该容器中液体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】结合轴截面分析可知 ， ，再利用圆柱以及
圆台的体积公式运算求解.
【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台，
取轴截面，如图所示， 分别为 的中点，
可知： ∥ ∥ ，且 ，
可得 ，即 ，
所以该容器中液体的体积为 .
故选：A.
24．设四棱台 的上、下底面积分别为 ， ，侧面积为 ，若一个小球与
该四棱台的每个面都相切，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用体积相等可得答案.
【详解】设内切球的球心为 ，连接 ，
试卷第24页，共3页则 把四棱台 分割成六个四棱锥，
且六个四棱锥的高都为内切球的半径 ，
四棱台 的高为 ，所以
，
化简可得 .
故选：D.
25．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章
为“天时类”，收录了有关降水量计算的例子，其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台
形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量（盆中水的体积与盆口面积之比）已知天池盆盆口
直径为一尺四寸，盆底直径为六寸，盆深一尺二寸.当盆中积水深六寸（注：1尺 寸）
时，平地降雨量是（ ）
A．1寸 B．2寸 C．3寸 D．4寸
【答案】B
【分析】根据描述先求解圆台形盆内水面的半径，然后计算水的体积，最后可得降雨量.
【详解】由已知天池盆上底面半径是7寸，下底面半径是3寸，高为12寸，
由积水深6寸知水面半径为 寸，
则盆中水体积为 (立方寸)；
所以平地降雨量为 (寸)，
故选：B.
26．菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可
多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为 ，下
底直径约为 ，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆台体积公式求解.
【详解】根据题意， .
故选：B
27．如图，圆柱形容器内部盛有高度为 的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆
柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设铁球的半径为 ，根据体积关系列出方程，求得 ，结合球的表面积公式，
即可求解.
【详解】设铁球的半径为 ，有 ，解得 ，
则一个铁球的表面积为 ．
故选：B．
28．已知 是圆锥 的轴截面，点C在SA上，且 .若过点C且平行于SB的
试卷第26页，共3页平面恰过点 ，且该平面与圆锥底面所成的二面角等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知， ，且且该平面与圆锥地面所成的二面角等于 ，即
，进一步可得 是边长为 的等边三角形，再由圆锥的体积公式，求解
即可．
【详解】
由过点C且平行于SB的平面恰过点O，知 ，根据二面角定义知 ，
因为O是AB的中点，
所以C是SA的中点，且 ，
因为 ，
所以 是边长为 的等边三角形，
所以圆锥的底面半径为 ，圆锥的高为
所以该圆锥的体积为 .
故选：C.
29．若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在
四棱锥 中，侧面 是边长为1的等边三角形，底面 为矩形，且平面平面 ．若四棱锥 存在一个内切球，设球的体积为 ，该四棱锥的
体积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作出四棱锥 的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱
锥体积求出球半径计算作答.
【详解】如图，取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，
因 是正三角形，则 ，又 是矩形，有 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面
，
因此 平面 ， 平面 ，
又 ，则 平面 ， 平面 ，则 ， ，
， 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，
所以 ，而 ，则 ，显然 ，
由球的对称性和正四棱锥 的特征知，平面 截四棱锥 的内切球 得
截面大圆，
此圆是 的内切圆，切 ， 分别于 ， ，有四边形 为正方形，
设 ，又 ， ，则球的半径 ，
又四棱锥 的表面积为 ，
由 ，解得 ，
试卷第28页，共3页， ，
所以 .
故选：C.
30．泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房灯、走马灯、拉
提灯、锡雕元宵灯等多种款式．在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯，
他将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个
有十四个面的半正多面体，如图所示．已知该半正多面体的体积为 ，M为 的中心，
过M截该半正多面体的外接球的截面面积为S，则S的最大值与最小值之比（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】C
【分析】利用半正多面体和中心对称性，确定外接球球心和半径，再去找到最大截面圆和
最小截面圆的半径，即可求出它们的比值.
【详解】把这个半正多面体补全为正方体，再设该正方体的边长为 ，
则每个截去的小三棱锥的体积为 ，
所以该半正多面体的体积： ，解得 ，由图可知，半正多面体的外接球半径是 ，
由正方体的性质易证明平面 平面 ：
又因为在正方体中 平面 ，所以 平面 ，
所以过点 截外接球的最小截面圆的半径是 ，最大截面圆的半径是 ，
即 的最小值比最大值等于 ，则最大值
比最小值等于3.
故选：C.
考点04：空间几何体的外接球
球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
P P P
c c c
A b C
C C
a b
B A a B b A a B
图1 图2 图3
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，
AD=BC，AC=BD）
试卷第30页，共3页3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥 中，选中底面
，确定其外接圆圆心 （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点
上，普通三角形用正弦定理定外心 ）；
②过外心 做（找）底面 的垂线，如图中 面 ,则球心一定在直线（注
意不一定在线段 上） 上；
③计算求半径 :在直线 上任取一点 如图：则 ，利用公式
可计算出球半径 .
P
4、双面定球心法（两次单面定球心） O
2 O
A
如图：在三棱锥 中：
O
H 1
①选定底面 ，定 外接圆圆心 B C
②选定面 ，定 外接圆圆心
③分别过 做面 的垂线，和 做面 的垂线，两垂线交点即为外接球球心 .
31．如图，已知在四棱锥 中，底面四边形 为等腰梯形， ，
，底面积为 ， 且 ，则四棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取 的中点为 ，即可说明点 为梯形 外接圆的圆心，再证明 平面
，过 的中点 作 交 于点 ，则 平面 ，即可得到 为四
棱锥 外接球球心，外接球半径为 ，从而求出表面积.
【详解】取 的中点为 ，因为 ，等腰梯形 的面积为 ，
所以梯形的高为 ，所以 ，则 ，所以 ，连
接 、 ，
所以 、 为等边三角形，点 为梯形 外接圆的圆心，
连接 ，在 中，根据余弦定理得 ，即 ，
解得 .
因为 ， ，所以 ，所以 .
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
过 的中点 作 交 于点 ，则 平面 ，且 为 的中点，
所以点 为 外接圆圆心，所以 为四棱锥 外接球球心，
试卷第32页，共3页所以外接球半径为 ，故表面积 .
故选：D
32．若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为 ，则该圆锥的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，由题意可求得轴截面内切圆的半径为1，进而求出圆
锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．
【详解】
如图，由题意知 内切圆和外接圆同圆心，即 的内心与外心重合，则 为正
三角形，
因为内切球表面积为 ，设内切圆的半径为 ，则 ，所以内切圆的半径为1，
所以 的边长为 ，
所以圆锥的底面半径为 ，又高为 ，
故圆锥体积 ，故选：B.
33．已知圆锥的轴截面 是一个正三角形，其中 是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是
底面圆O上一点，P是母线SC上一点， ， ，则三棱锥 外接球
的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取点D在母线SA上且 ，可证明三棱锥 与三棱锥 外
接球相同，再由正弦定理求出三角形 的外接圆半径即为外接球半径得解.
【详解】如图，
设点D在母线SA上且 ，
因为 是直角三角形，所以三棱锥 外接球的球心E在SO上，
由 ≌ ，可得 ，
即三棱锥 外接球的球心E也是三棱锥 外接球的球心，且两个外接球的表
面积相等．
由 ，得 的外心即为三棱锥 外接球的球心E．
试卷第34页，共3页在 中， ，
所以 的外接圆的直径 ，
所以三棱锥 外接球的表面积是 ，
故选：C．
34．在棱长为2的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，三棱锥 与三棱柱 外接球相同.确定球心位置，利
用正弦定理，余弦定理，勾股定理，求出球的半径，再利用球的表面积公式即可求解.
【详解】如图，
设 ， 分别为棱 ， 的中点，
则三棱锥 与三棱柱 外接球相同.
在 中， ，
由余弦定理 ，所以 ；
设 外接圆半径为 ，在 中，由正弦定理 ，故 外接圆半径 ，
设三棱柱 外接球半径为 ，由勾股定理 ，
则三棱锥 外接球的表面积 .
故选：D
35．已知在直三棱柱 中， ， ， 为线段 的
中点，点 在线段 上，若 平面 ，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法一：根据题意，将三棱锥 及平面 ，得到 的外接圆圆心
为 的中点 ，得到球心在过点 且与平面 垂直的直线上，设三棱锥 的外
接球的球心为 ，连接 ， ， ，再设三棱锥 的外接球的半径为 ，在直
角梯形 中，求得 ，结合体积公式，即可求解；
解法二： 以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设三棱锥 的外接球球心为
，列出方程组，求得 ，结合体积公式，即可求解.
【详解】解法一：因为 平面 ， 平面 ，平面 平面
，
所以 ，又因为 为 的中点，所以 为 的中点，
试卷第36页，共3页将三棱锥 及平面 单独拿出来，如图所示，
可得 ， ， ，则 ，
所以 ，故 的外接圆圆心为 的中点 ，
故三棱锥 的外接球的球心在过点 且与平面 垂直的直线上，
设三棱锥 的外接球的球心为 ，当 ， 在平面 的同侧时，
连接 ，则 平面 ．取 的中点 ，连接 ，则 ， ，
由于平面 平面 ，平面 平面 ，
因此 平面 ，连接 ， ，
因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ，
设三棱锥 的外接球的半径为 ，连接 ， ，
在 中， ，
所以在直角梯形 中，
，得 ，
当 ， 在平面 的两侧时， ，无解，
综上可得 ，则三棱锥 的外接球的体积 ．解法二： 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．（点拨：线面平行性质定理的应用）
又 为 的中点，所以 为 的中点，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
则 ， ， ， ，
设三棱锥 的外接球球心为 ，
则 ，
解得 ， ， ，所以 ，
所以三棱锥 的外接球的半径 ，
体积 ．
故选：A．
36．在梯形 中, ，且 ，沿对角线 将
三角形 折起，所得四面体 外接球的表面积为 ，则异面直线 与 所成
角为（ ）
试卷第38页，共3页A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据折叠前后的几何性质，将三棱锥 补成三棱柱，利用三棱柱的外接球
即可求得答案.
【详解】如下图，将梯形 补成长方形 ，折后得到直三棱柱 ，
因为 ，所以 ，
异面直线 与 所成角即为 与 所成角，即 或其补角，
又该三棱柱的外接球即为三棱锥 的外接球，设外接球半径为R，则 ，
所以 ，设 外接圆半径为r，圆心为 ， 外接圆圆心为 ，
则三棱柱的外接球的球心为 的中点O，连接 ，则 ，
所以 ，又 ，即 ，
又 中， ，
即 ，
化简得 ，即 ，所以 ，
故选：C.
37．在直三棱柱 中， 为等边三角形， ，则三棱柱
的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 分别是正三棱柱上、下底面中心，则 的中点 是该三棱柱外接球的球心，
求出球半径后可得体积．
【详解】如图， 分别是正三棱柱上、下底面中心， 是棱柱的高，则 的中点
是该三棱柱外接球的球心，
外接球半径 ．其中 点为 外接圆圆心，
为外接圆半径，
为正三角形， （ 是 边中点）．
所以外接球半径 ．从而外接球体积为 ．
故选：D．
38．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，
它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八
个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为 ，则
该多面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
试卷第40页，共3页C． D．
【答案】A
【分析】将该多面体补全为正方体，得出该多面体的外接球即为正方体 的
棱切球，求出该正方体的棱长得出棱切球半径，计算得到表面积.
【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：
不妨取两棱中点为 ，由题知 ，
易知 ，可得 ，
所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即为正方体 的棱切球，
所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为 ，
因此该多面体的外接球的半径为 ，所以其表面积为 .
故选：A
39．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能
够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度
得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､
木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是边长为2的正方形，且
均为正三角形， ，则该木楔子的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据几何体的结构特征可知球心 在直线 上，由勾股定理可得
，进而可得 ，进而 ，即可求解 ，由体积公式
即可求解.
【详解】如图，分别过点 作 的垂线，垂足分别为 ，连接 ，则
，故 .
取 的中点 ，连接 ，
又 ，则 .
由对称性易知，过正方形 的中心 且垂直于平面 的直线必过线段 的中点
，且所求外接球的球心 在这条直线上，如图.
设球 的半径为 ，则 ，且 ，
从而 ，即 ，
当点 在线段 内（包括端点）时，有 ，可得 ，
试卷第42页，共3页从而 ，即球心 在线段 的中点，其半径 .
当点 在线段 外时， ，解得 （舍）.
故所求外接球的体积 .
故选：C
40．如图，在矩形 中， ， ， ， 分别在线段 ， 上，
，将 沿 折起，使 到达 的位置，且平面 平面 ，
则四面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 的中点为 ，先证明 ，四面体 的外接球球心 在 的
中点 处垂直平面 方向上，由 求得 ，从而求得球的表面积.
【详解】设 的中点为 ，连接 ，由题可知 为等腰直角三角形，
，又平面 平面 ， 平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
根据题意， ，所以 的外心为 的中点 ，
设四面体 的外接球的球心为 ，则 平面 ，作 分别交 于 ，
，
又 ， ，
则 ，所以 ，
所以 ， ，
由 ，得 ，
即 ，解得 ，
，所以四面体 外接球的表面积为 .
故选：A.
考点05： 空间几何体的内切球
试卷第44页，共3页球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥 中，内切球为球 ，求球半径 .方法如下：
即： ，可求出 .
41．六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有
良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八
面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的
几何体）．如图所示，正八面体 的棱长为 ，此八面体的外接球与内切球的
体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定八面体的外接球球心及半径，利用体积法求出内切球半径，
再利用球的体积公式求解即得.
【详解】正八面体 的棱长为 ，连接 ，
由四边形 为正方形，得 ，
则四边形 亦为正方形，即点 到各顶点距离相等，于是此八面体的外接球球心为 ，半径为 ，
此八面体的表面积为 ，设此八面体的内切球半径为 ，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
所以此八面体的外接球与内切球的体积之比为 .
故选：A
42．已知球 内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、
下底面半径分别为 ， ，且 ，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，即可得答案.
【详解】如图：为该几何体的轴截面，其中圆 是等腰梯形 的内切圆，
设圆 与梯形的腰相切于点 ，与上、下底的分别切于点 ， ，
设球的半径为 ，圆台上下底面的半径为 ， .注意到 与 均为角平分线，
因此 ，从而 ，故 .
试卷第46页，共3页设圆台的体积为 ，球的体积为 ，则
.
故选：B.
43．已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥
PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圆锥底面圆的半径和高，再由三角形面积相等
求出圆锥内切球半径 ，然后由球的表面积公式和圆锥的侧面积公式求出结果即可.
【详解】因为三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，
所以 为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长 ，
由正弦定理可得底面圆的半径 ，
所以圆锥的高 ，
如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径 ，轴截面三角形面积为 ，
所以内切球半径 ，
内切球的表面积为 ，
圆锥的侧面积为 ，
所以其和为 ，
故选：C.
44．六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有
良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面
体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几
何体）.如图所示，正八面体 的棱长为 ，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线 与 所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ；
试卷第48页，共3页③若点 为棱 上的动点，则 的最小值为 ；
④若点 为四边形 的中心，点 为此八面体表面上动点，且 ，则动点 的
轨迹长度为 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】对①：借助等角定理，找到与 平行，与 相交的线段，计算即可得；对②：
借助外接球与内切球的性质计算即可得；对③：空间中的距离和的最值问题可将其转化到
同意平面中进行计算.对④，计算 的值，并比较它们的大小，即可得出当点
在平面 内时，点 在三角形 的内切圆上运动，结合对称性即可验算.
【详解】对①：连接 ，取 中点 ，连接 、 ，
由题意可得 、 为同一直线， 、 、 、 四点共面，
又 ，故四边形 为菱形，
故 ，故异面直线 与 所成的角等于直线 与 所成的角，
即异面直线 与 所成的角等于 ，故①错误；
对②：由四边形 为正方形，有 ，
故四边形 亦为正方形，即点 到各顶点距离相等，
即此八面体的外接球球心为 ，半径为 ，
设此八面体的内切球半径为 ，则有 ，化简得 ，
则此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ，故②正确；
对③：将 延 折叠至平面 中，如图所示：
则在新的平面中， 、 、 三点共线时， 有最小值，
则 ，故③错误.
对于④，设三角形 的内切圆半径为 ，则由等面积法，有 ，
解得 ，
由②可知，点 到平面 的距离为 ，
所以 ，
这表明当点 在平面 内时，点 在三角形 的内切圆上运动，
它的周长是 ，
根据对称性可知动点 的轨迹长度为 ，故④正确.
正确的编号有②④.
试卷第50页，共3页故选：B.
45．已知四棱锥 的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内
切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出棱锥的高，进而得到棱锥体积，设出内切球半径，根据体积得到方程，求出
半径，进而得到表面积.
【详解】设内切球的半径为 的中点为 ，则 ⊥平面 ，
因为四棱锥 的底面是边长为2的正方形，所以 ，
因为 ，由勾股定理得 ，
故棱锥的体积为 ，棱锥的表面积为 ，
设内切球的半径为 ，
则由等体积法可得 ，解得 ，
所以 ．
故选：A
46．已知圆台 存在内切球 （与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台
的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为 ，设圆台 与球 的体积分别为 ，
则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两
底半径与母线的关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得.
【详解】设圆台 的上、下底面半径分别为 ，母线长为 ，高为 ，内切
球 的半径为 ，
显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则 ， ，
由 ，整理得 ，而 ，解得 ， ，
因此圆台的高 ， ，
则圆台 的体积 ，
内切球 的体积 ，所以 .
故选：D
47．六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有
良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，
硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原
子之间的距离为 ，则下列错误的是（ ）
试卷第52页，共3页A．该正八面体结构的外接球表面积为
B．该正八面体结构的内切球表面积为
C．该正八面体结构的表面积为
D．该正八面体结构的体积为
【答案】D
【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证
各选项.
【详解】对A：底面中心 到各顶点的距离相等，故 为外接球球心，
外接球半径 ，故该正八面体结构的外接球表面积
，故A正确；
对D：连接 ， ，则 ， 底面 ，
故该正八面体结构的体积 ，故D错误；
对C：由题知，各侧面均为边长为 的正三角形，故该正八面体结构的表面积
，故C正确；
对B：底面中心 到各面顶点的距离相等，故 为内切球球心，
设该正八面体结构的内切球半径 ，则 ，所以 ，
故内切球的表面积 ，故B正确.
故选：D.
48．如图，已知四棱锥 的底面是边长为2的菱形， 为 的交点，
平面 ， ，则四棱锥 的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出四棱锥的高和侧棱长，再利用四棱锥的体积与其内切球半径之间的关系求四
棱锥的内切球半径即可得解.
【详解】因为四边形 为菱形， ，所以 是正三角形，
则 .
因为 平面 平面 ，所以 .
试卷第54页，共3页设 ，则 ， .
在 中，由 ，
可得 ，解得 ，
所以 .
因为 为 的中点， ，所以 .又 ， ，
所以 ，同理可证 ， ，
所以 .
设四棱锥 的内切球的半径为 ，则
，
所以 ，
所以四棱锥 的内切球的体积 ，
故选：C.
49．已知一圆台内切球 与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为 ，若 ，
则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据相切，可得 ，即可得 ，进而根据体积公式即
可求解.
【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆 是等腰梯形 的内切圆，
设圆 与梯形的腰相切于点 ，与上、下底的分别切于点 ，
设球的半径为 ，圆台上下底面的半径为 ．注意到 与 均为角平分线，
因此 ，从而 ，故 ．
设圆台的体积为 ，球的体积为 ，则
故选：A．
50．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体
积为 ，它的内切球的体积为 ，则 （ ）
试卷第56页，共3页A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】画出该几何体的轴截面，利用几何知识求出内切球半径，结合球的体积公式以及
圆柱体积公式即可求解.
【详解】如图，四边形 为该几何体的轴截面，
则四边形 的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，设内切球的半径为 ，
由 ，得 ，则 ， ，
所以 .
故选：D.
考点06：空间几何体的截面问题
在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.过已知
不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题一个方法，也是深化理解空间点、线
面关系的一个很好的途径.
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．
（3）两个平面平行的性质．（4）球的截面的性质．
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截
面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找
51．已知直四棱柱 的侧棱长为3，底面 是边长为2的菱形，为棱 上的一点，且 为底面 内一动点（含边界），则下
列命题正确的是（ ）
A．若 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹与直四棱柱的交线长为
B．若点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 体积的最大值为
C．若以 为球心的球经过点 ，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为
D．经过 三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4
【答案】AD
【分析】判断P点轨迹与直四棱柱的交线，根据弧长公式求解判断A，判断P点位置求出
体积最大值判断B，计算球与直四棱柱公共部分体积判断C，利用 ，求得 ，
得出四边形面积判断D.
【详解】如图，
对于A，可知 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆，所以点 的轨迹与直四棱柱的交线
为圆弧，圆弧长为 ，故A正确．
对于B，可知点 在线段 上，所以当点 与点 重合时，三棱锥 体积最大，且
最大值为 ，所以B错误．
试卷第58页，共3页对于C，可知该球的半径为1，球与直四棱柱的公共部分的体积为 ，
所以C错误．
对于D，经过 三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形 ，其中
，可得 ．设 的中点为 的中点为 ，连接 ，可得
平面 ，所以 ，求得 ，所以 ，D正确．
故选：AD
52．正方体 的棱长为6， ， 分别是棱 ， 的中点，过 ， ，
作正方体的截面，则（ ）
A．该截面是五边形
B．四面体 外接球的球心在该截面上
C．该截面与底面 夹角的正切值为
D．该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75
【答案】ACD
【分析】对于A，过 三点作正方体的截面即可；对于B，计算四面体 外接球
半径，以及 外接圆半径，比较球心与圆心是否重合即可；对于C，建立空间直角坐
标系，计算平面 和平面 的法向量即可；对于D，将被截正方体较小部分体积分
为5个三棱锥计算即可.
【详解】对于A，如图①所示，延长 交 的延长线于 ，延长 交 的延长线于
，
连接 交 于 ，连接 交 于 ，连接 ， ，则五边形 为平面 截正方体所得的截面，故A正确；
对于B， 如图②所示，设三棱锥 底面 外心为 ，
三棱锥 外接球球心为 ，
且 ,
在 中， , ，
所以 外接圆半径为 ,
所以在 中，三棱锥 外接球半径
,
所以三棱锥 外接球球心 到 三点的距离都为 .
在 中， ，
所以 外接圆半径 ,
所以四面体 外接球的球心不在该截面上，故B错误；
对于C，如图③所示，以 分别为 轴建立如图空间直角坐标系，
且正方体边长为6，即 ，
所以 ，
试卷第60页，共3页设 为平面 的法向量，则
，取 ，
所以 ，
又因为 平面 ，
故 为平面 的法向量，
则 ，
，故C正确；
对于D，如图④所示，取 中点 ，连接 ,
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
同理，由 得 ，
由 得 ，
所以 ，
，
，
，
,所以该截面将正方体分成两部分，较小部分体积为 ，故D正确.
故选：ACD.
53．已知一圆锥的底面半径为 ，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两
个端点，则下列说法正确的是（ ）
A．其侧面展开图是圆心角为 的扇形
B．该圆锥的体积为π
C．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2
【答案】ABD
【分析】求出底面圆周期判断A；求出圆锥的高并求出体积判断B；展开半圆锥的侧求出
弦长判断C；求出轴截面顶角，再求出截面最大值判断D.
【详解】对于A，圆锥底面圆周长为 ，而圆锥侧面展开图扇形半径为2，所以侧面展
试卷第62页，共3页开图的圆心角为 ，A正确；
对于B，圆锥的高 ，因此圆锥的体积 ，B正确；
对于C，依题意，将半圆锥的侧面展开，如图，
则从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为 ，C
错误；
对于D，圆锥轴截面顶角为 ，则 ， ，则圆锥轴截面顶角为 ，
因此过该圆锥的顶点的圆锥截面等腰三角形顶角 ，
此截面三角形积 ，当且仅当 时取等号，D正确.
故选：ABD
54．已知正方体 的棱长为2，棱 的中点为 ，过点 作正方体的截面
，且 ，若点 在截面 内运动（包含边界），则（ ）
A．当 最大时， 与 所成的角为
B．三棱锥 的体积为定值
C．若 ，则点 的轨迹长度为
D．若 平面 ，则 的最小值为
【答案】BCD
【分析】记 的中点分别为 ， 构建空间直角坐标系，证明 共面，且 平面 ，由此确定平面 ，找到 最大时 的
位置，确定MN与BC所成角的平面角即可判断A，证明 与平面 平行，应用向量法
求 到面 的距离，结合体积公式，求三棱锥 的体积，判断B；根据球的截
面性质确定 N的轨迹，进而求周长判断C，由 平面 确定 的位置，通过翻折为
平面图形，利用平面几何结论求解判断D.
【详解】记 的中点分别为 ，
连接 ，连接 ，
因为 ，又
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，
连接 ，记其交点为 ，
根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则 ， ， ，
， , ， ， ， ， ， ，
，
因为 ， ， ， ，
试卷第64页，共3页， ， ，
所以 ， ， ，
， ，
所以 六点共面，
因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，故平面 即为平面 ，
对于A， 与 重合时， 最大，且 ，
所以MN与BC所成的角的平面角为 ，
又 ，
所以 ，故MN与BC所成的角为 ，所以A错误；
对于B，因为所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ，所以点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，
所以 ，
向量 为平面 的一个法向量，又 ，
所以 到面 的距离 ，
又 为等边三角形，则 ，
所以三棱锥 的体积为定值 ，B正确；
对于C：若 ，点 在截面 内，
所以点N的轨迹是以 为球心， 半径为 的球体被面 所截的圆（或其一部分），
因为 ， ，所以 ，
所以 平面 ，所以截面圆的圆心为 ，
因为 是面 的法向量，而 ，
所以 到面 的距离为 ，
故轨迹圆的半径 ，又 ，
故点N的轨迹长度为 ，C正确.
对于D， 平面 ， 平面 ，
又平面 与平面 的交线为 ，
所以点 的轨迹为线段 ，
翻折 ，使得其与矩形 共面，如图，
试卷第66页，共3页所以当 三点共线时， 取最小值，最小值为 ，
由已知 ， ， ，
过 作 ，垂足为 ，则 ，
所以
所以 ，
所以 的最小值为 ，D正确；
故选：BCD
55．已知正方体 的棱长为3，点 是线段 上靠近 点的三等分点，
是 中点，则（ ）
A．该正方体外接球的表面积为
B．直线 与 所成角的余弦值为
C．平面 截正方体所得截面为等腰梯形
D．点 到平面 的距离为
【答案】ABD
【分析】根据正方体的外接球的直径是正方体的体对角线可求外接球的表面积，可判断A
的真假；利用平行把异面直线所成的角转化为平面角，再利用三角形的边角关系可求异面直线所成角的三角函数，判断B的真假；做出截面，判断截面形状，可判断C的真假；构
造三棱锥，利用体积法求点到面的距离，可判断D的真假.
【详解】对A：棱长为3的正方体的体对角线长为： ，
所以所求正方体的外接球表面积为： ，故A正确；
对B：如图
连接 ，∵ ，所以 即为异面直线 与 所成的角，设为 .
在 中， ， ， ，
所以 ，所以 ，故B正确；
对C：如图：
取 中点 ，连接 ，过 点作 ，交 于点 ，则 ，
所以平面 截正方体所得截面为梯形 .
试卷第68页，共3页由 ，所以 .
所以 ， ，所以 ，
所以梯形 不是等腰梯形，故C错误；
对D：如图：
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
而 ，
，
所以： ，故D正确.
故选：ABD
56．如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点，
为底面 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A．当 为 的中点时，
B．若 在线段 上运动，三棱锥 的体积为定值
C．存在点 ，使得平面 截正方体所得的截面面积为
D．当 为 的中点时，三棱锥 的外接球表面积为
【答案】ACD
【分析】
对于 ，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系， ， ，利用
向量的坐标运算即可证明；对于 ，当点 与点 重合时，当点 与点 重合时，等体积
法转化即可得三棱锥 的体积；对于 ，当 为 中点时，平面 截正方体所
得的截面为正六边形 ，可得截面面积；对于 ，设 的外接圆半径为 ，三
棱锥 的外接球半径为 ，由 可求外接球半径，根据球的表面积公
式即可判断.
【详解】
对于 选项，以 为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
试卷第70页，共3页因为 ，所以 ，故 选项正确；
对于 选项，当点 与点 重合时，如图2所示， ，
当点 与点 重合时，如图3所示， ，
所以三棱锥 的体积不是定值，故 选项错误；
对于 选项，当 为 中点时，平面 截正方体所得的截面为正六边形 ，如
图4所示，其中 ， ， 为相应边的中点，则正六边形 的边长为 ，
所以该截面的面积为 ，故存在点 ，符合题意，故 选项正确；
对于 选项，当 为 的中点时，如图5所示，易知 平面 ，
因为 ， ，
所以由余弦定理的推论得 ，
所以 ，设 的外接圆半径为 ，则 ，所以 ，
设三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 ，故 选项正确，
故选：ACD．
57．在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，则（ ）
A．
B． 平面
C．平面 截正方体 所得截面面积为
D．四棱锥 与四棱锥 的体积相等
【答案】ACD
【分析】先证明 平面 ，即可判断选项A; 通过平面 平面 ，可得选项
B错误；找到平面 截正方体 所得截面菱形 ，即可求出面积，
判定选项C；分别求出四棱锥 与四棱锥 的体积，可判定选项D.
【详解】在正方体 中， 平面 ，
平面 ，所以 ，又 ，
, 平面 ， 平面 ，
试卷第72页，共3页所以 平面 ， 平面 ，所以 ，A正确；
， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 平面 ， 平面 ，
所以 与平面 不平行，B错误；
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
设平面 平面 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，所以 ， ，
同理 ，且 ，
所以菱形 为所求截面， ， ，
则面积为 ，C正确；
由题可知 ，
取 的四等分点 ，则 ，
所以 ， ，又 ，
， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
则 ，D正确.
故选：ACD.
58．在三棱锥 中，已知 ，棱AC，BC，AD的中点分别是E，F，G，
，则（ ）
A．过点 的平面截三棱锥所得截面是菱形
B．平面 平面
C．异面直线 互相垂直
D．三棱锥 外接球的半径为
【答案】ABD
【分析】A项，利用中位线证明平行关系与长度关系得四边形为菱形；B项，取CD的中
点P，由勾股定理证明 ，由等腰三角形三线合一得 ，由线线垂直证线面
垂直再证面面垂直即可；C项，假设垂直推证 ，由斜边与直角边关系可推出矛盾；
D项，取 的中心 ，由面面垂直性质定理得线面垂直关系，由勾股定理得 ，
利用球心到各顶点距离相等可得正三角形 的中心 即为球心.
【详解】选项A，如图，连接EF，EG，取BD的中点H，连接GH，FH，
由F是BC的中点，得 ， ，
同理得 ， ，所以 ， ，
试卷第74页，共3页四边形EFHG是平行四边形，
于是过点E，F，G的平面截三棱锥所得截面即为四边形EFHG，
且由E，F分别是AC，BC的中点，得 ， ，因此 ，
所以四边形EFHG为菱形，故A正确；
选项B，取CD的中点P，连接 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，又 平面BCD，所以 平面BCD，
又 平面ADC，所以平面 平面BCD， 故B正确；
选项C，假设 ，已知 ，且 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，所以 ，
这与已知“ ”矛盾， 故C错误；
选项D，取正三角形 的中心 ，连接 ，
则 ，
由于 是直角三角形，CD为斜边，则 ，
由平面 平面BCD，平面 平面 ，
由 ，且 平面 ，所以 平面 ，
所以 ，则 ，所以 的外心 就是三棱锥 的外接球球心，
所以外接球半径R就是 的外接圆半径，
于是 ，故D正确．
故选：ABD.
59．与那些英雄们的墓志铭相比，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅．他们的墓碑上
往往只是刻着一个图形或写着一个数，这些形和数，展现着他们一生的执着追求和闪光的
业绩．古希腊数学家阿基米德就是这样，他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球．
这个球的直径恰与圆柱的高相等．这个称为“等边圆柱”的图形如图所示，记内切球的球
心为 ，圆柱上、下底面的圆心分别为 ， ，四边形 是圆柱的一个轴截面，
为底面圆 的一条直径，若圆柱的高为4，则（ ）
A．内切球的表面积与圆柱的表面积之比为2：3
B．圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为4：3
试卷第76页，共3页C．四面体 的体积的最大值为
D．平面 截得球 的截面面积的取值范围为
【答案】AD
【分析】根据题意，结合内切球和圆柱的表面积公式，求得内切球和圆柱的表面积之比，
可判定A正确；解球的体积和圆柱的体积公式，求得外接球和圆柱的体积比，可判定B错
误；求得 ，得到 的体积，可判定C错误；作 结合
，得到平面 截得球 的截面面积最小值，进而可判定D正确.
【详解】由题知，圆柱的高为4，底面圆的半径为2，内切球的半径 ，
则内切球的表面积为 ，圆柱的表面积为 ，
所以内切球的表面积与圆柱的表面积之比为 ，所以A正确；
由题意知，圆柱的外接球的半径为 ，
所以圆柱的外接球的体积为 ，圆柱的体积为 ，
所以圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为 ，所以B错误；
由题图易知， ，又点 到平面 的距离 ，
，所以 ，
当 时，四面体 的体积取得最大值，最大值为 ，所以C错误；
过点 作 于点 ，如图所以，由题可得 ，
设点 到平面 的距离为 ，平面 截球 所得的截面圆的半径为 ，
则 ， ，所以平面 截得球 的截面面积最小值为 ，
当直径 与 重合时，平面 截得球 的截面面积最大，且最大值为 ，所
以平面 截得球 的截面面积的取值范围为 ，所以D正确.
故选：AD．
60．如图，透明塑料制成的直三棱柱容器 内灌进一些水， ，
，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（ ）
A．当底面 水平放置后，固定容器底面一边 于水平地面上，将容器绕着
转动，则没有水的部分一定是棱柱
B．转动容器，当平面 水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是
所在棱的中点
C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥
试卷第78页，共3页D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为
【答案】AD
【分析】根据直观想象，结合棱柱、三棱锥的概念即可判断AC；根据棱柱和棱台的体积
公式计算，即可判断B；根据题意确定棱柱的外接球，结合外接球的体积公式，利用基本
不等式计算即可判断D.
【详解】
A：当平面 水平放置时（ 始终保持水平），则平面 平面 ，
所以有水的部分是棱柱，由图可知，没有水的部分也是棱柱，故A正确；
B：当平面 水平放置时，假设 都为所在棱的中点，
设水面到底面的的距离为 ， ，
所以水的体积为 ，
又转动前水的体积为 ，
所以 不为所在棱的中点，故B错误；
C：在翻滚､转动容器的过程中，
当平面 水平放置时，三棱锥 的体积取到最大值，如图，
此时 ，
而水的体积为 ，所以有水的部分不可能是三棱锥，故C错误；D：取 的中点 ，连接 ，取 的中点O，连接OA，
则D为 的外接圆圆心，O为三棱柱 外接球的球心，
所以 为外接球的半径，且 ，
所以直三棱柱外接球体积 .
由选项B可知，容器中水的体积为 ，
又 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，
则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为 ，
即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为 ，故D正确.
试卷第80页，共3页故选：AD.
