文档内容
清单 04 几何图形初步（14 个考点梳理+题型解读+核心素养提
升+中考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一、柱、锥、球
立体图形：有些几何图形（圆柱、圆锥、球、长方体、正方体等）各部分不在一个平面内，这样的图形叫
立体图形。棱柱、棱锥是常见的立体图形。生活中常见的物体都是立体图形.
【例1】（2022秋•甘井子区校级期末）下列四个几何体中，是棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据棱柱的形体特征进行判断即可．
【解答】解：选项A中的几何体是圆柱，因此选项A不符合题意；
选项B中的几何体是三棱柱，因此选项B符合题意；
选项C中的几何体是三棱锥，因此选项C不符合题意；
选项D中的几何体是四棱台，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查认识立体图形，掌握棱柱、棱锥、圆柱、球体的形体特征是正确判断的前提．
【变式】（2022 秋•洛江区期末）三个边长分别为 a、b、c 的正方形如图摆放，则阴影部分的周长
（ ）A．只与a，b有关 B．只与a、c有关
C．只与b、c有关 D．与a，b、c有关
【分析】将阴影部分横向的边和纵向的边分别往一个方向平移，从而利用周长公式可得答案．
【解答】解：阴影部分的周长为：2c+2（c﹣a）＝4c﹣2a．
故选：B．
【点评】本题考查不规则阴影部分的周长，熟练掌握平移法是解题的关键．
考点二. 正方体的表面展开图
正方形展开图的知识要点：
1. 正方体的表面展开图一共有11种可能。
第一类：有6种。特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型”
第二类：有3种。特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132
型”
第三类：仅有一种。特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222
型”第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型”
注：正方体展开图中不能出现“7”字，“凹”字，“田”字形，如下图：
2. 正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有
一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。
【例2】（2022秋•灵宝市期末）如图所示的正方体的展开图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由于三个图案交于一点，三个图案必须相邻，不能有两个在对面，依此即可求解．
【解答】解：根据带有各种符号的面的特点及位置，正方体的展开图是选项D．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．
【变式】（2022秋•洪山区期末）下列图形中，能够折叠成一个正方体的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：正方体的展开图的每个面都有对面，故B符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
考点三. 其他立体图形的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
【例3】（2022秋•广阳区校级期末）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称
分别为（ ）
A．圆柱，圆锥，四棱柱，正方体
B．四棱锥，圆锥，正方体，圆柱
C．圆柱，圆锥，正方体，三棱锥
D．圆柱，圆锥，三棱柱，正方体
【分析】根据基本几何体的展开图逐一判断．
【解答】解：根据图形得：圆柱，圆锥三棱柱，正方体，
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键．
【变式】．（2022秋•灵宝市期末）下列四张正方形硬纸片，分别将阴影部分剪去后，再沿虚线折叠，其
中可以围成一个封闭长方体包装盒的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据长方体的组成，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，分别分析得出即可．
【解答】解：A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
C、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
D、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的空间想象能力．
考点四. 点、线、面、体之间的转化
1. 几何体是由点、线 、面构成的.
2. 线分为直线和曲线，面分为平面和曲面.
3. 点、线、面之间的关系：
点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.
【例4】（2022秋•磁县期末）下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据“面动成体”进行判断即可．
【解答】解：如图，将四边形ABCD绕AB所在的直线旋转一周，可得选项B的几何体，
选项A、C、D中的几何体不能由一个平面图形绕着一条边旋转一周得到，
故选：B．【点评】本题考查点、线、面、体，掌握“点动成线，线动成面，面动成体”是解决问题的关键．
考点五、直线、射线、线段的联系与区别
注意：表示直线和线段的两个大写字母可以交换位置.
【例5】（2023春•东平县期末）平面上有三点A、B、C，如果AB＝10，AC＝7，BC＝3，那么（ ）
A．点C在线段AB上
B．点C在线段AB的延长线上
C．点C在直线AB外
D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外
【分析】根据AB＝10，AC＝7，BC＝3，有AB＝AC+BC进行判断即可．
【解答】解：如图，在平面内，AB＝10，
∵AC＝7，BC＝3，
∴点C为以A为圆心，7为半径，与以B为圆心，3为半径的两个圆的交点，
由于AB＝10＝7+3＝AC+BC，
所以，点C在线段AB上，
故选：A．【点评】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键．
【变式】（2022秋•渌口区期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段BA到点C
B．如图2所示，射线CB不经过点A
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点
【分析】由图形点和线段，射线的位置关系，直线与直线的位置关系，即可判断．
【解答】解：A、点C在线段BA的延长线上，故A不符合题意；
B、射线BC不经过点A，故B不符合题意；
C、直线a和直线b相交于点A，正确，故C符合题意；
D、射线CD和线段AB有交点，故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查与直线，线段，射线有关的概念，关键是掌握以上概念的特点．
考点六、计数问题
1. 平 面 上 有 个 点 ， 其 中 任 意 三 点 不 在 一 条 直 线 上 ， 则 最 多 确 定 的 直 线 条 数 为 ：
．
2. 若在线段AB上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条
线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB上增加到n个点(即增加n－2个点)时，线段的总条数为
.
用到类似知识点问题：单循环比赛场数问题、双循环比赛场数问题、握手次数问题、多边形对角线条数问题、车站设计票价问题等.
【例6】．如图，线段 上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有3个点时，线段共有3条；如
果线段上有4个点时，线段共有6条；如果线段上有5个点时，线段共有10条；……
（1）当线段上有6个点时，线段共有______条；
（2）当线段上有 个点时，线段共有多少条？（用含 的代数式表示）
【分析】（1）由已知条件可得出线段上有6个点时的线段数的规律是 ，即可得出答案；（2）通过观
察得知，当线段AB上有n个点时，线段总数为： ，即可得出结论．
【解析】解：（1）通过观察得知：
当有3个点时，线段的总数为： ；
当有4个点时，线段的总数为： ；
当有5个点时，线段的总数为： ；
∴当有6个点时，线段的总数为： 条．
（2）由（1）可看出，当线段AB上有n个点时，线段总数为： 条，
【点睛】本题考查图形的变化规律，根据图形之间的联系找出规律是解题的关键．
【变式】已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，
当线段上有2个点时，共有6条线段；当线段上有3个点时，共有10条线段；直接写出当线段上有20
个点时，共有线段 条．
1
【解答】解：由题意可得：当在MN上有20个点时，共有线段：1+2+3+…+20+21= （1+21）×21＝
2
231，
故答案为：231．
考点七、 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
细节剖析
①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如
果把木条看作一条直线，那么 两点可确定一条直线 .②连接两点间的线段的长度，叫做 两点间的距离 .
【例7】．（2022秋•衡东县期末）平面上有不同的三个点，经过其中任意两点画直线，一共可以画
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条
【分析】根据题意画出图形，即可看出答案．
【解答】解：如图，经过其中任意两点画直线可以画3条直线或1条直线，
故选：D．
【点评】此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线．
【变式1】．（2022秋•梅里斯区期末）在平面内，过（ ）点可以确定一条直线．
A．一 B．两 C．三 D．四
【分析】根据两点确定一条直线进行解答即可．
【解答】解：在平面内，过两点可以确定一条直线，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线的性质，解题的关键是熟练掌握两点确定一条直线．
【变式2】．（2022秋•许昌期末）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使
砌的每一层砖在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（ ）
A．过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．线段是直线的一部分
【分析】由直线公理可直接得出答案．
【解答】解：建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线
上，
这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．
故选：B．
【点评】此题主要考查了考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．
【例8】．（2022秋•衡南县期末）如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是
（ ）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条线段
【分析】把弯曲的河道改直，肯定为了尽量缩短两地之间的里程，用到了两点之间线段最短定理．
【解答】解：因为两点之间线段最短，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．
【变式】（2022秋•东洲区校级期末）如图，一只蚂蚁外出觅食，它与食物间有三条路径，从上到下依次
记为①，②，③，则蚂蚁选择第②条路径的理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．经过一点有无数条直线
D．两点之间线段的长度叫做两点间的距离
【分析】根据两点之间线段最短解答．
【解答】解：一只蚂蚁外出觅食，它与食物间有三条路径，从上到下依次记为①，②，③，
则蚂蚁选择第②条路径的理由是两点之间，线段最短．
故选：B．
【点评】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键．
【例9】．（2022秋•绥宁县期末）如图，AB＝12，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：
3，则DB的长度为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据线段中点的定义求出AC、BC的长，根据AD：CB＝1：3，求出AD，结合图形计算即可
得．【解答】解：已知AB＝12，C为AB的中点，
∴ ，
∵AD：CB＝1：3，
∴ ，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣2＝10．
故选：D．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关
键．
【变式】．（2022秋•武陵区期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝8cm，BD＝
2cm，求AC的长．
【分析】根据两点之间的距离分析即可．
【解答】解：∵点B为CD的中点，BD＝2cm，
∴CD＝4cm，
∴AC＝AD﹣CD＝8﹣4＝4（cm）．
【点评】本题考查两点间的距离，充分利用题目条件是关键．
考点八.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的 线段 .
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取 AB = ａ ，如下图：
【例10】．（2022秋•梁山县期末）如图，已知线段a、b、c，用直尺和圆规画图（保留画图痕迹）．
（1）画一条线段，使它等于a+b；
（2）画一条线段，使它等于a﹣c；
并用字母表示出所画线段．【分析】（1）先画一条直线l用圆规依次截取线段AB＝a、BC＝b（C在AB外），则线段AC即为所求；
（2）先画一条直线l用圆规截取线段AB＝a、BC＝c（C在AB内），则线段AC即为所求．
【解答】解：（1）先画一条直线l，在l上找一点A，以A为圆心，线段a的长为半径画圆交直线于B
点，再以B为圆心，以线段b的长为半径画圆，交l于点C（C在AB外），则线段AC即为所求；
如图所示：
（2）先画一条直线l，在l上找一点A，以A为圆心，线段a的长为半径画圆交直线于B点，再以B为
圆心，以线段c的长为半径画圆，交l于点C（C在AB内），则线段AC即为所求；
如图所示：
【点评】本题考查的是比较线段的长短，解答此题的关键是能灵活运用线段的和、差转化线段之间的数
量关系．
考点九．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是 叠合法 .
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD= AB-B D 。
a A a B b C
b
A D B
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
A M B
细节剖析①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有 ，则点M为线段AB的 中点 .
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线
段AB的四等分点.
A M N P B
1
AM=MN=NP=PB= AB
4
【例11】（2022秋•阳曲县期末）如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（ ）
A．A'B'＞A'C' B．A'B'＝A'C' C．A'B'＜A'C' D．不能确定
【分析】由比较两条线段长短的方法：重合比较法，即可判断．
【解答】解：如图用圆规比较两条线段的长短，A′B′＜A′C′，
故选：C．
【点评】本题考查比较线段的长短，关键是掌握：比较两条线段长短的方法．
【例12】如图：点C为线段AB上的一点，M、N分别为AC、BC的中点，AB＝40，则MN＝_____．
【答案】20
【分析】由题意易得 ，进而可得 ，进而问题可
求解．
【解析】解：∵M、N分别为AC、BC的中点，
∴ ，
∵AB＝40，
∴ ；
故答案为20．
【点睛】本题主要考查线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题的关键．【变式】已知：如图，点 在线段 上，点 是 中点， ．求线段 长
【分析】根据中点的定义以及题意，分别求出线段AD与线段AC的长度，即可得出结论．
【解析】∵D为线段AB 的中点，
∴AD= AB= ×12=6，
∵AC= AB，
∴AC= ×12=4，
∴CD=AD-AC=6-4=2．
【点睛】本题考查线段中点相关的计算，理解中点的定义，掌握线段中的计算法则是解题关键．
【例13】如图，C为线段AB上的一点，AC：CB＝3：2，D、E两点分别为AC、AB的中点，若线段DE为
2cm，则AB的长为多少？
【解答】解：设AB＝x，由已知得：
3 2
AC= x，BC= ，
5 5
∵D、E两点分别为AC、AB的中点，
3 1
∴DC= x，BE= x，
10 2
DE＝DC﹣EC＝DC﹣（BE﹣BC），
3 1 2
即： x﹣（ x− x）＝2，
10 2 5
解得：x＝10，
则AB的长为10cm．
考点十．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角
的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
（2）. 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成
的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．(3)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写
英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
细节剖析
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（4）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做 角度制 .
细节剖析
①度、分、秒的换算是 6 0 进制， 与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由
度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（5）角的分类
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
（6）画一个角等于已
0＜∠β＜ ∠β=90 90°＜∠β＜ ∠β=180 ∠β=360
范围
90° ° 180° ° ° 知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11 个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
【例14】．（2022秋•新华区校级期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的
是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据角的概念得出结论即可．
【解答】解：由题意知，选项B中的∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一种角，
故选：B．
【点评】本题主要考查角的表示方法，熟练掌握角的三种表示方法是解题的关键．
【变式】．（2022秋•甘肃期末）如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝28°，则
∠2的度数为（ ）
A．118° B．108° C．62° D．152°
【分析】利用∠AOC＝90°，∠1＝28°，进而求出∠BOC的度数，利用平角的定义可知∠BOD＝180°，
即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠1＝28°，
∴∠BOC＝90°﹣28°＝62°，
∵点B，O，D在同一直线上，
∴∠BOD＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣62°＝118°．
故选：A．
【点评】本题考查了角的概念，做题关键是要掌握平角的定义．
【例15】．（2022秋•娄星区期末）把8.32°用度、分、秒表示正确的是（ ）
A．8°3′2″ B．8°30′20″ C．8°18′12″ D．8°19′12″
【分析】先把0.32°化成分，再把0.2′化成秒，即可得出答案．
【解答】解：0.32°＝（0.32×60）′＝19.2′，
0.2′＝（0.2×60）″＝12″，∴8.32°＝8°19′12″，故选：D．
【点评】本题考查了度分秒之间的换算的应用，注意：1°＝60′，1′＝60″．
【变式】．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，
∠1＝26°18'，则∠2的度数是（ ）
A．26°18' B．52°20' C．56°23' D．56°18'
【分析】根据∠1+∠EAC＝60°，可计算出∠EAC＝60°﹣∠1的度数，根据余角的定义∠EAC+∠2＝
90°，计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠1+∠EAC＝60°，∠1＝26°18'，
∴∠EAC＝60°﹣∠1＝60°﹣26°18'＝33°42'，
∵∠EAC+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣33°42'＝56°18'．
故选：D．
【点评】本题主要考查了度分秒的换算和余角的定义，熟练掌握度分秒的换算和余角的计算方法是解决
本题的关键．
【例16】如图，△ABC中，用尺规作图法作∠ABD＝∠C，与边AC交于点D（保留作图痕迹，不用写作法）
【解答】解：如图，射线BD即为所求．
【变式】如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．
（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．【解答】解：（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；
（2）猜想：∠MPN+∠AOB＝180°或∠MPN＝∠AOB．
理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴∠MPN+∠AOB＝180°．
右图中，∵∠PJM＝∠OJN，∠AMJ＝∠JNO＝90°，
∴∠MPN＝∠AOB．
考点十一．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法 .
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因
为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2= ∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
【例17】．（2022秋•渠县校级期末）如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的
是（ ）A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC
【分析】依据叠合法，将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置，即
可得出结论．
【解答】解：A．由题可得，∠AOB＜∠AOD，故本选项正确；
B．由题可得，∠BOC＜∠AOB，故本选项正确；
C．由题可得，∠COD＜∠AOD，故本选项错误；
D．由题可得，∠AOB＞∠AOC，故本选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了角的大小比较，关键是掌握叠合法判断角的大小关系．
【变式】．（2022秋•栾城区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一
起．
（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 ；
（2）若∠ACB＝144°42′，则∠DCE的度数为 ；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用∠ACD减去∠DCE求出∠ACE，然后再利用∠ACE加上∠ECB即可解答；
（2）利用∠ACB减去∠ACD求出∠DCB，然后再利用∠ECB减去∠DCB即可解答；
（3）根据已知可得∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180°，结合图形可知∠ACE+∠ECD+∠DCB＝
∠ACB，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣35°＝55°，
∵∠ECB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝145°，
故答案为：145；
（2）∵∠ACD＝90°，∠ACB＝144°42′，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝144°42′﹣90°＝54°42′，∵∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣54°42′＝35°18′，
故答案为：35°18′；
（3）∠ACB与∠DCE互补，
理由是：∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180°，
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补．
【点评】本题考查了角的大小比较，角的计算，度分秒的换算，根据题目的已知条件并结合图形分析是
解题的关键．
【例18】．（2022秋•达川区校级期末）如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，∠COB＝
42°，则∠DOC的度数是（ ）
A．59° B．60° C．69° D．70°
【分析】根据平角的定义可得∠AOC＝180°﹣∠COB＝138°，再根据角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵∠COB＝42°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝138°，
∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠DOC＝ ＝ ＝69°．
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的定义、角的计算，掌握角平分线的定义、结合图形正确进行角的计算
是解题的关键．
【变式】．（2022秋•建平县期末）如图，OC平分∠AOB，若∠AOC＝27°32′，则∠AOB＝ ．
【分析】直接利用角平分线的性质得出∠AOC＝∠BOC，进而得出答案．【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠AOC＝27°32′，
∴∠AOB＝27°32′×2＝54°64′＝55°4′．
故答案为：55°4′．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及度分秒的转换，正确掌握角平分线的性质是解题关键．
【例19】．（2022秋•平泉市校级期末）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（ ）
A．70° B．90° C．105° D．120°
【分析】∠ABC等于30度角与直角的和，据此即可计算得到．
【解答】解：∠ABC＝30°+90°＝120°．
故选：D．
【点评】本题考查了角度的计算，理解三角板的角的度数是关键．
【变式】．（2022秋•道县期末）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝4∠DOE，
∠COE＝ ，则∠BOE的度数为（ ）
α
A．360°﹣4 B．180°﹣4 C． D．270°﹣3
【分析】设α∠DOE＝x，则∠BODα＝4x、∠BOE＝α 3x，根据角之间的等量关系α求出∠AOD、∠COD、
∠COE的大小，然后解得x即可．
【解答】解：设∠DOE＝x，则∠BOD＝4x，
∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD，
∴∠BOE＝3x，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣4x．
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD＝ ∠AOD＝ （180°﹣4x）＝90°﹣2x．
∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°﹣2x+x＝90°﹣x，由题意有90°﹣x＝ ，解得x＝90°﹣ ，
则∠BOE＝270°﹣3α ， α
故选：D． α
【点评】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键．
考点十二．角的互余互补关系
余角补角
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）结论: 同角 ( 或等角 ) 的余角相等；同角 ( 或等角 ) 的补角相等 .
细节剖析
①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .
【例20】．（2022秋•灵宝市期末）已知∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠2＝∠3
【分析】根据同角的补角相等作答即可．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，
∴∠1＝∠3，
故选：A．
【点评】本题考查了同角的补角相等，灵活运用所学知识是解决本题的关键．
【变式1】．（2022秋•绵阳期末）若一个角的余角是它的补角的 ，则这个角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】设这个角为 ，则它的余角为90°﹣ ，它的补角为180°﹣ ，根据题意列出关系式，求出 的
值即可 α α α α
【解答】解：设这个角为 ，则它的余角为90°﹣ ，它的补角为180°﹣ ．
α α α
由题意得，90°﹣ ＝ （180°﹣ ），
解得： ＝30°． α α
故这个α角的度数为30°．
故选：A．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是掌握互余和补角的定义．【变式2】．（2022秋•阳西县期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少10°，这个角为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】先设出这个角，再分别表示出这个角的补角和余角，根据题干中的等量关系进行计算即可求解．
【解答】解：设这个角为x，
∴这个角的补角为180°﹣x，这个角的余角为90°﹣x，
∵这个角的补角比这个角的余角的3倍少10°，
∴3（90°﹣x）﹣10°＝180°﹣x，
解得：x＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查余角和补角，解题的关键是利用补角和余角的关系列出方程．
考点十三. 钟面角
钟表中共有 12个大格，把周角 12等分、每个大格对应 30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转
30°，时针1分钟转0.5°.
技巧：钟面角问题一般可以看做是行程问题里的追击问题.
【例21】．（2022秋•宜城市期末）某一时刻，时钟上显示的时间是9点30分，则此时时针与分针的夹角
是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：时针与分针相距3+ ＝ （份），
时钟面上的时针与分针的夹角是30°× ＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
【变式】．（2022秋•九龙坡区期末）当分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角，此时是（ ）
A．9点钟 B．10点钟
C．4点钟或8点钟 D．2点钟或10点钟
【分析】根据钟表上每一个大格之间的夹角是30°，当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，
应该得出，时针距分针应该是4个格，应考虑两种情况．
【解答】解：∵钟表上每一个大格之间的夹角是30°，
∴当分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角时，距分针成60°的角时针应该有两种情况，即距时
针2个格，
∴只有2点钟或10点钟时符合要求．故选：D．
【点评】此题主要考查了钟面角的有关知识，得出距分针成120°的角时针应该有两种情况，是解决问题
的关键．
考点十四．方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做 方位角 .
细节剖析
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正
北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，
南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【例22】．（2022秋•汉台区期末）如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东30°方向，
∠AOB＝100°，则B地在灯塔O的（ ）
A．南偏东40°方向 B．南偏东50°方向
C．南偏西50°方向 D．东偏南30°方向
【分析】利用平角180°减去30°与100°的和进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
180°﹣30°﹣100°＝50°，
∴B地在灯塔O的南偏东50°方向，
故选：B．
【点评】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
【变式】．（2022秋•和平区校级期末）如图，下列说法中错误的是（ ）A．OA方向是北偏东30° B．OB方向是北偏西15°
C．OC方向是南偏西25° D．OD方向是东南方向
【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线
所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．根据定义就可以解决．
【解答】解：A、OA方向是北偏东60°，此选项错误；
B、OB方向是北偏西15°，此选项正确；
C、OC方向是南偏西25°，此选项正确；
D、OD方向是东南方向，此选项正确．
错误的只有A．
故选：A．
【点评】本题考查的是方向角，熟知方向角的表示方法是解答此题的关键．
【核心素养提升】
1.分类讨论思想
1.以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，则∠AOC=______．
【答案】15°或135°．
【分析】分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论求解即可．
【详解】分两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC=5x，
∠BOC=4x，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=27°，
∴5x+4x=27，解得：x=3，
∴∠AOC=15°；
②如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC=5x，∠BOC=4x，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，又∠AOB=27°，
∴5x=27+4x，
解得：x=27
∴∠AOC=135°，
故答案为15°或135°．
【点睛】考查了角的计算．属于基础题，关键是分两种情况进行讨论．
2.如图，点 在直线 上， ．在 中， ， ．先将 一边 与
重合，然后绕点 顺时针方向旋转，当 与 重合时停止旋转．
（1）当 在 与 之间，且 时，则 ______°．
（2）试探索：在 旋转过程中， 与 大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；
若变化，请说明理由；
（3）在△ODE的旋转过程中，若 ，试求 的大小．
【答案】（1）125；（2） 与 的差不发生变化，为30°；（3） 或175°
【 分 析 】 （ 1 ） 求 出 ∠ COE 的 度 数 ， 即 可 求 出 答 案 ；
（ 2 ） 分 为 两 种 情 况 ， 根 据 ∠ AOC=90° 和 ∠ DOE=60° 求 出 即 可 ；
（3）根据∠AOE=7∠COD、∠DOE=60°、∠AOC=90°求出即可．
【详解】解：（1）∵ ，∴ ，
∵ 在 和 之间， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：125.
（2）在 旋转过程中， 与 的差不发生变化，
有两种情况：①如图1，∵ ， ，
∴ ，
②如图2，
∵ ，
，
∴ ，
即 在旋转过程中， 与 的差不发生变化，为30°；
（3）如图1，∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
如图2，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
即 或175°．
【点睛】本题考查了角的有关计算的应用，能根据题意求出各个角的度数是解此题的关键，题目比较好，
难度不大．
2.直观想象-运用数形结合的思想方法解决问题3．（1）特例感知：如图1，OC、OD是 内部的两条射线，若 ， ，
则 °．
（2）知识迁移：如图 2，OC是 内部的一条射线，若 OM、ON分别平分 和 ，且
，则 的值为 ．
（3）类比探究：如图3，OC、OD是 内部的两条射线．若OM、ON分别平分 和 ，且
，求的值 ．
【答案】（1）30；（2）1；（3）
【分析】（1）根据 ，可推出 ，即可求出结果．
（2）根据OM、ON分别是 和 角平分线，可得出 ， ，通过化
简计算从而得到 ，进而求出比值结果．
（3）根据 OM、ON 分别是 和 角平分线，可得到 ， ，
，进而求出比值结果．
【详解】（1）∵
∴ ，
∴
∵
∴
（2）∵OM、ON分别平分 ， ，
， ，，
，
（3）∵OM、ON分别平分 和 ，
， ，
又 ，
，
，
；
【点睛】本题主要考察角平分线的性质，角的计算，准确找出题目中的等角，利用等角找出它们之间的联
系是解题关键．
3.数学建模
4.平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，
则a+b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线…的交点个数，找出规律即可解答．
【详解】如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交有1+2+3+4+5+…+（n-1）= 个交点．
所以a= ，而b=1，
∴a+b= ．
故选D．
【点睛】考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是n条直线相交时最少有一个
交点．
5．在同一平面内，两条直线相交时最多有1个交点，三条直线相交时最多有3个交点，四条直线相交时最
多有6个交点，…，那么十条直线相交时最多有____个交点．
【答案】45.
【分析】在同一平面内，直线相交时得到最多交点的方法是：每增加一条直线这条直线都要与之前的所有
直线相交，即第n条直线时交点最多有1+2+3+4+…+（n-1）个，整理即可得到一般规律： ，再把特
殊值n=10代入即可求解．
【详解】在同一平面内，两条直线相交时最多有1个交点，三条直线最多有3＝1+2个交点，四条直线最多
有 6＝1+2+3 个交点，…，n 条直线最多有 1+2+3+4+…+（n﹣1）个交点，即 1+2+3+4+…+（n﹣1）＝
．当n＝10时， = ＝45.
故答案为45.
【点睛】本题主要考查直线的交点问题．注意直线相交时得到最多交点的方法是：每增加一条直线，这条
直线都要与之前的所有直线相交．
4.数学运算-运用整体思想求角度或线段的长
6.如图，点B在线段AC的延长线上，AC
