文档内容
4.4 课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒
1.理解角的概念，掌握角的表示方法.
2.会比较角的大小，认识角的常用度量单位，并能进行简单的换算，会计算角的 和与差.
3.理解角的平分线的概念，会用符号语言表示，
4.了解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能应用这些性质解决相关问题.
知识点一 设计制作长方体形状的包装纸盒
1.设计制作长方体形状的包装纸盒要学会将立体几何转化成平面几何，展开图
中的对应关系.
2.包装最省考虑表面积最小情况.
题型1 展开图的认识
例1（2023上·全国·七年级课堂例题）下列四个平面图形中，不能折叠成无盖的长方体盒
子的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】利用长方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：选项B，C，D都能折叠成无盖的长方体盒子，
选项A中，上下两底的长与侧面的边长不符，所以不能折叠成无盖的长方体盒子．
故选：A．
【点睛】解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．
举一反三1（2015上·江苏盐城·七年级阶段练习）下列图形中，是棱锥展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形结合所学的几何体的形状得出即可．
【详解】解：A、是三棱柱的展开图，故此选项错误；
B、是一个平面图形，故此选项错误；
C、是棱锥的展开图，故此选项正确；
D、是圆柱的展开图，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的展开图的应用，主要考查学生的空间想象能力和观察图形的
能力．
举一反三2（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图，在长方体
中，棱 与棱 的位置关系是 ．
【答案】互相平行
【分析】本题考查了平行线的判定，认识立体图形，矩形的性质等知识点的应用，立体图形推理能力和观察的能力是解答此题的关键．
根据矩形性质得出 ， ，即可求出答案
【详解】 在长方体 中 ， ，
故答案为：互相平行
举一反三3（2023上·全国·七年级课堂例题）如图是某些立体图形的展开图，请填这些立
体图形的名称．
【答案】圆锥，三棱柱，长方体
【分析】根据图形展开图的形状，逐一判读即可．
【详解】解：这三个图分别是圆锥、三棱柱、长方体．
故答案为：圆锥，三棱柱，长方体．
【点睛】此题主要考查了几何体展开图，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此
类问题的关键．
举一反三4（2023上·全国·七年级课堂例题）一个正方体的展开图已有一部分（如图），
还有一个正方形未画出，现有10个位置可供选择，则画在哪些位置能围成正方体，画在哪
些位置不能围成正方体？仔细观察图形，或许你还要动手做做呢！
画在________________可围成正方体，画在________________不可以围成正方体．（填序
号）
【答案】①⑦⑧⑨；②③④⑤⑥⑩．
【分析】根据正方体的展开图的特征进行判断即可．凡是符合“ 型”6种，“
型”3种，“ 型”1种，“ 型”1种，都能围成正方体．【详解】解：由图可得，一个正方形放在①或⑦或⑧或⑨能围成正方体，放在②、③、④、
⑤、⑥、⑩不能围成正方体．
故答案为：①⑦⑧⑨，②③④⑤⑥⑩
【点睛】本题主要考查了展开图折叠成几何体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，
去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能
否折叠成给定的立体图形．
题型2 正方体的展开图
例2（2020上·七年级课时练习）下列图形中，不能折成正方体的有 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题即可得出答案．
【详解】解：③可以折成正方体；
①、②、④折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体．
故答案为：①、②、④．
【点睛】此题考查了展开图折叠成几何体．解题的关键是明确能组成正方体的“一，四，
一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．
举一反三1（2020上·七年级课时练习）如图所示的平面纸能围成正方体盒子，请把与面
垂直的面用图中字母表示出来是 ．
【答案】 、 、 、
【分析】根据正方体展开图的特征，属于正方体展开图的“141”结构，将它折成正方体后，A面与D面相对，其余的面都与A面垂直，从而可得答案．
【详解】解：因为正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
面“ ”与“ ”是相对面，它们互相平行，剩下的面都与 面垂直；
所以：围成正方体盒子，与面 垂直的面用图中字母表示出来是： 、 、 、 ；
故答案为： 、 、 、 ．
【点睛】本题是考查正方体的展开图，是培养学生的观察能力和空间想象能力．此类题可
动手折叠一下，即可解决问题，又锻炼了动手操作能力．
举一反三2（2020上·七年级课时练习）将图沿线折成一个立方体， 它的共顶点的三个面
上的数字之积的最大值是 ．
【答案】90
【分析】由题意可得，共顶点的三个数字的积最大时，为6×3×5，本题得以解决．
【详解】由题意可得，
6×3×5＝90，
故答案为：90．
【点睛】本题考查展开图折叠成几何体、有理数的乘法，解答本题的关键是明确题意，找
出所求问题需要的条件．
题型3 纸盒包装
例3（2016上·江苏无锡·七年级阶段练习）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据四棱柱是由四个大小相同的长方形和两个全等的正方形构成的解答即可.
【详解】四棱柱的侧面是由四个同样大小的长方形围成的，故选：A.
【点睛】此题考查了简单几何体的侧面展开图，正确掌握几何体的构成是解题的关键.
举一反三1（2020上·广西钦州·七年级统考期末）用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，
折得的纸盒是( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别找出长方体的对面，进而可得答案．
【详解】解：如图所示：
根据题意可知， 的对面是 ， 的对面是 ， 的对面是 ， 面阴影的短边与 面阴
影的一边重合．
故用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是C．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，属于常见题型，注意从相对面入手是解题的关键．
举一反三2（2020上·江苏南通·七年级统考期末）如图正方体纸盒，展开后可以得到（
）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据折叠后白色圆与蓝色圆所在的面的位置进行判断即可．
【详解】解：A．两个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不合题意；
B．白色圆与一个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不合题意；
C．白色圆与一个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不合题意；
D．白色圆与两个蓝色圆所在的面折叠后是相邻的面，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方体的展开图，掌握正方体的展开图各个面的相对位置是解题的
关键．
一、单选题
1．（2020下·云南红河·七年级统考期末）观察下列图形，其中不是正方体的表面展开图的
是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：A、C、D均是正方体表面展开图；
B、是凹字格，故不是正方体表面展开图．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正
方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，
不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．
2．（2020·内蒙古兴安盟·统考一模）如图，是一个正方体的展开图，则展开前与C面相对
的面是 （ ）
A．A B．B
C．D D．F
【答案】D
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：相对的面的中间要相隔一个面，易得A、D相对；F、C相对，E、B相对．
故选：D．
【点睛】本题考查学生的空间想象能力，关键为：相对的面的中间要相隔一个面．
3．（2020下·河北邢台·九年级校考开学考试）把下图形折叠成长方体后，与 都重合
的点是（ ）A． 点 B． 点 C． 点 D． 点
【答案】C
【分析】根据长方体的展开图即可得．
【详解】由长方体的展开图可知，矩形 、矩形 、矩形 是长方体的三个
相邻面，边 相交于一点
则与 都重合的点是 点
故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，掌握理解长方体的展开图是解题关键．
4．（2019上·陕西西安·七年级统考期中）如图所示的纸板上9个无阴影的正方形，从中选
择1个，使其与图中5个有阴影的正方形一起可以折成一个正方体的包装盒，不同的选法
有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．6种
【答案】C
【分析】结合正方体的表面展开图即可进行选择．
【详解】根据正方体的表面展开图，选 四个位置，共4种．故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是牢记正方体展开图的11种特征．
二、填空题
5．（2023上·四川成都·七年级统考期末）用一张边长为 的正方形纸，制成一个无盖
的长方体盒子，需在四个角上都剪去一个同样大小的正方形（如图中虚线所示），当剪去
的正方形边长为 时，折成的无盖的长方体的容积是 立方厘米；用你喜欢的方式
探究，用这张正方形纸可制成的无盖的长方体盒子的最大容积是 立方厘米．
【答案】
【分析】根据边长为 的正方形纸剪去边长为 的正方形，剩下的边长为：
，根据长方形的体积公式，即可；设大正方形的边长为： ，小正方形
的边长为： ，根据长方形的体积公式，当每一个因数和一定的情况下，因数相等时，
乘积最大，即可．
【详解】由题意得，长方体的长为： ，宽为： ，高为： ，
∴长方形的容积： ，
设大正方形的边长为： ，小正方形的边长为： ，
∴长方形的容积： ，∵当 一定时，原式 ，该式子中，和为：
一定，
∴当 时，容积最大，
∴当 时，容积最大，
∴ ，
∴长方形的容积： ，
故答案1为： ；
故答案2为： ．
【点睛】本题考查长方形和正方形的知识，解题的关键是掌握长方形容积最大时的值，掌
握长方形的容积公式．
6．（2019上·江苏常州·七年级常州市兰陵中学校考阶段练习）如图所示，将图沿虚线折起
来得到一个正方体，那么“1”的对面是 ，“2”的对面是 （填编号）．
【答案】 5 4
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“1”与“5”是相对面，
“2”与“4”是相对面，
“3”与“6”是相对面．
故答案为：5，4．
【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关
键．
7．（2020·四川成都·统考模拟预测）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一个
展开图，则在原正方体中，与“想”字所在面相对的面上的汉字是 ．【答案】亮
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，与“想”字所在面相对的面上
的汉字是亮．
故答案为：亮．
【点睛】本题考查了正方体的展开图中相对两个面上的文字，注意正方体的平面展开图中
相对的两个面一定相隔一个小正方形．对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可
以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
8．（2019·黑龙江大庆·统考二模）如图，把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切
开拼成一个近似的长方体，下列关于两个几何体的结论：①表面积不变；②表面积变大；
③体积不变；④体积变大．其中结论正确的序号为 ．
【答案】②③
【分析】设圆柱的半径为r，高为h；根据圆柱的切割方法与拼组特点可知：拼成的长方体
的长是圆柱底面周长的一半，即是πr；宽是半径的长度是r，高是原来圆柱的高h，由此利
用长方体的表面积公式，代入数据即可解答．
【详解】设圆柱的半径为r，高为h；则拼成的长方体的长πr；宽是r，高是h，
①原来圆柱的表面积为：2πr2+2πrh；
拼成的长方体的表面积为：(πr×r+πr×h+h×r)×2=2πr2+2πrh+2hr
所以拼成的长方体的表面积比原来的圆柱的表面积变大了．
②原来圆柱的体积为：πr2h
拼成的长方体的体积为：πr×r×h=πr2h
所以拼成的长方体和圆柱的体积大小没变．
所以拼成的长方体的表面积比原来的圆柱的表面积变大了，但是体积没变；故答案为：②③
【点睛】本题考查了圆柱的表面积和体积计算公式，长方体表面积和体积计算公式，是简
单的立方体切拼问题．
三、解答题
9．（2019·山西太原·校联考一模）综合与实践：某“综合与实践”小组开展了“正方体纸
盒的制作”实践活动，他们利用长为 ，宽为 长方形纸板制作出两种不同方案的正
方体盒子， 请你动手操作验证并完成任务．(纸板厚度及接缝处忽略不计)
动手操作一：
如图1，若 ，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 的小正
方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
问题解决：（1）此时，你发现 与 之间存在的数量关系为 ．
动手操作二：
如图2，若 ，现在在纸板的四角剪去两个小正方形和两个小长方形恰好可以制作成一
个有盖的正方体纸盒，其大小与（1）中无盖正方体大小一样．
拓展延伸：（2）请你在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形(用阴影表示)，
折痕用虚线表示；
（3）此时，你发现 与 之间存在的数量关系为 ；若 ，求有盖正方体纸盒的表
面积．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 或 或 ，600cm2
【分析】（1）正方体是特殊的长方体，长宽高三者相等，故回到图形有 .
（2）仔细思考，实际上是从大长方形纸中剪出一个正方形展开图，故从11种正方体展开
图中选择合适的剪出形状即可.（3）根据所剪的图形和正方体棱长都相等的性质，有 ，转化形式即可；将
代入前面的等式求得 和小正方体的棱长，根据正方体的表面积公式计算即可.
【详解】解：（1） (或 )..
（2）所画图形如图所示(图形不唯一，画出一个即可).例如
（3） 据题意得， ，
故 或 或
当 时， .
由（1）可知制作的正方体的底面边长 ，
有盖正方体纸盒的表面积为 .
【点睛】本题主要考查了正方体的性质与展开图，熟练掌握并灵活运用相关性质，找到图
中边长的数量关系是解答关键.
10．（2018上·福建龙岩·七年级统考期末）如图，这是一个长方体纸盒的平面展开图，已
知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空： a＝ ，b＝ ；
（2）先化简，再求值：（ab＋3a2）－2b2－5ab－2（a2－2ab），【答案】（1）1，-3；（2）a2-2b2，-17．
【分析】（１）根据相反数的概念易求出-1和3的相反数，从而可求出未知数a、b的值；
（２）将整式按照整式加减运算的法则在括号后合并同类项，最后代入a、b的值计算出结
果．
【详解】（1）a= 1，b= -3
（2）
∴原式
【点睛】本题考查的知识点有相反数的概念，整式的加减法法则．弄清长方体展开图的相
对面是难点，整式加减中正确去括号，防止漏乘是关键．
