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§5.3 向量的数量积
课标要求 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向
量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两
个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的
平面几何问题．
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量 a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB ＝
θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a与b的数量积，
记作a·b.
3．向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)所示，OA表示向量a，OB表示向量b，过点A作OB所
在直线的垂线，垂足为点A ，我们将上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b
1
投影，向量OA1称为向量a在向量b上的投影向量．记为(|a|cos θ).
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)＝λa·b.
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝xx ＋ yy
1 2 1 2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝a⊥b的充要条件 a·b＝0 xx ＋ yy ＝ 0
1 2 1 2
a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) xy － xy ＝ 0
1 2 2 1
|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当a∥b时等号
|a·b|与|a||b|的关系 |xx＋yy|≤
1 2 1 2
成立)
常用结论
1．向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；
若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；
若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
3．向量a在向量b上的投影向量为·.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( × )
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.( × )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( × )
2．已知向量m＝(2x,1)与向量n＝垂直，则x等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 ∵m＝(2x,1)与n＝垂直，
∴m·n＝(2x,1)·＝x－＝0，即x＝.
3．(2023·郑州模拟)已知向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，且a与b的夹角为，则(2a＋b)·a等于(
)
A．12 B．4 C．3 D．1
答案 D
解析 因为|b|＝2|a|＝2，
所以(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝2|a|2＋|a||b|·cos ＝2＋2×1×＝1.
4．已知a＝(1，)，|b|＝2，a·b＝－3，则a与b的夹角为________．
答案 120°解析 设a与b的夹角为θ，
因为a＝(1，)，|b|＝2，a·b＝－3，
所以cos θ＝＝＝－，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，
即a与b的夹角为120°.
题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)(2023·安康模拟)已知四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝，|AD|＝2，DN＝2NC，
BM＝3MC，则AM·NM等于( )
A．7 B．1 C. D.
答案 D
解析 如图，
AM·NM＝(AB＋BM)·(NC＋CM)
＝·
＝AB2－BC2＝×3－×4＝.
(2)在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝AB＝2DC＝2，E为BC的中点，F为AE的
中点，则CF·DF等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，E，F，
所以CF＝，DF＝，
所以CF·DF＝－×＋×＝.
思维升华 计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x，y)，b＝(x，y)，
1 1 2 2
则a·b＝xx＋yy.
1 2 1 2(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
跟踪训练1 (1)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AD＝1，点
E在边AB上，且CD·CE＝3，则BE等于( )
A．1 B．2
C. D.
答案 C
解析 以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则C(2,0)，D(1,2)，
设E(0，x)，则CE＝(－2，x)，CD＝(－1,2)，
则CD·CE＝2＋2x＝3，解得x＝，
即BE＝.
(2)(2023·唐山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝，E是边BC的中点，F
是CD上靠近D的三等分点，若AE·BF＝8，则|AD|等于( )
A．4 B．4 C．4 D．8
答案 A
解析 记|AD|＝m，
因为AB＝2，且四边形ABCD为平行四边形，
所以AE·BF＝(AB＋BE)·(BC＋CF)
＝·
＝AB·AD－|AB|2＋|AD|2－AB·AD
＝|AB||AD|cos∠BAD－|AB|2＋|AD|2
＝－＋＝8，解得m＝－(舍)或m＝4.
即|AD|＝4.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例2 (2023·新高考全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________.
答案
解析 方法一 因为|a＋b|＝|2a－b|，
即(a＋b)2＝(2a－b)2，
则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，
整理得a2－2a·b＝0，
又因为|a－b|＝，
即(a－b)2＝3，
则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，
所以|b|＝.
方法二 设c＝a－b，
则|c|＝，a＋b＝c＋2b,2a－b＝2c＋b，
由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，
则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，
整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝.
命题点2 向量的夹角
例3 (2023·深圳模拟)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为a，b为单位向量，
由|3a－5b|＝7，
所以(3a－5b)2＝49 9a2－30a·b＋25b2＝49，
即9－30a·b＋25＝⇔49 a·b＝－，
设a与a－b的夹角为⇒θ，
则cos θ＝＝＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
命题点3 向量的垂直
例4 (2023·新高考全国Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1答案 D
解析 因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，
所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，
由(a＋λb)⊥(a＋μb)，
可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，
即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，
整理得λμ＝－1.
命题点4 向量的投影
例5 (1)已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则向量a在b上的投影向量为( )
A．b B.b C．a D.a
答案 A
解析 由题意知，|a|＝2，且向量a与b的夹角为，
所以向量a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉＝b.
(2)已知非零向量a，b满足b＝(，1)，〈a，b〉＝，若(a－b)⊥a，则向量a在b方向上的投
影向量的坐标为______．
答案
解析 由已知可得，|b|＝＝2.
因为(a－b)⊥a，
所以(a－b)·a＝a2－a·b＝|a|2－|a||b|cos ＝|a|2－|a|＝0，
解得|a|＝1或|a|＝0(舍去)，
所以向量a在b方向上的投影向量为|a|cos ·＝b，坐标为.
思维升华 (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2 (1)已知非零向量a，b满足|b|＝|a|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(
⇔ ⇔
)
A．45° B．135° C．60° D．120°
答案 B
解析 根据题意，设a与b的夹角为θ，因为(a－b)⊥(3a＋2b)，|b|＝|a|，
所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝－a·b－a2＝0，变形可得a·b＝－a2.
则cos θ＝＝＝－.
又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.
(2)(多选)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2,1)，则下列说法正确的是( )
A．若m＝1，则|a－b|＝
B．若a⊥b，则m＝2
C．“m<－”是“a与b的夹角为锐角”的充要条件
D．若m＝－1，则b在a上的投影向量的坐标为
答案 ACD
解析 对于选项A，因为m＝1，所以a＝(1，－1)，又b＝(－2,1)，所以a－b＝(3，－2)，
故|a－b|＝＝，所以选项A正确；
对于选项B，因为a⊥b，所以－2m－1＝0，解得m＝－，所以选项B错误；
对于选项C，当a与b的夹角为锐角时，由cos〈a，b〉＝>0，得a·b>0，
即－2m－1>0，得m<－；
当m<－时，可得cos〈a，b〉＝>0，而〈a，b〉∈[0，π]，
又当a∥b时，m－2＝0得m＝2，此时a＝(2，－1)，b＝(－2,1)，a，b反向共线，
所以〈a，b〉∈，即“m<－”可以得出“a与b的夹角为锐角”，所以选项C正确；
对于选项D，当m＝－1时，a＝(－1，－1)，b＝(－2,1)，b在a上的投影向量为·＝×(－1，
－1)＝，所以选项D正确．
题型三 平面向量的实际应用
例6 (多选)(2023·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况．假设
行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F ，F ，若|F |＝|F |，且F 与F 的夹角为
1 2 1 2 1 2
θ，则以下结论正确的是( )
A．|F |的最小值为|G|
1
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝时，|F |＝|G|
1
D．当θ＝时，|F |＝|G|
1
答案 ACD
解析 由题意知，F ＋F ＋G＝0，
1 2
可得F ＋F ＝－G，两边同时平方得
1 2
|G|2＝|F |2＋|F |2＋2|F ||F |cos θ
1 2 1 2
＝2|F |2＋2|F |2cos θ，
1 1
所以|F |2＝.
1当θ＝0时，|F | ＝|G|；
1min
当θ＝时，|F |＝|G|；
1
当θ＝时，|F |＝|G|，故A，C，D正确；
1
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，
所以θ∈[0，π)，故B错误．
思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3 长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v 的大小|v|＝10
1 1
km/h，水流的速度v 的大小|v|＝6 km/h，如图，设v 和v 所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从
2 2 1 2
A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于( )
A．－ B．－ C．－ D.
答案 B
解析 由题意知(v＋v)·v＝0，
1 2 2
则v·v＋v＝|v||v|·cos θ＋v＝60cos θ＋36＝0，
1 2 1 2
所以cos θ＝－.
课时精练
一、单项选择题
1．(2023·黔西模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·(a＋b)等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 D
解析 由题意，得|a－2b|2＝9，
即a2＋4b2－4a·b＝9，即13－4a·b＝9，∴a·b＝1，
故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1＝2.
2．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，
则t等于( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
答案 C
解析 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，
即＝，
即＝3＋t，解得t＝5.
3．(2023·大同模拟)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的
夹角是钝角，则b等于( )
A．(－3，－4) B．(4,3)
C．(－4,3) D．(－4，－3)
答案 D
解析 设b＝(x，y)，
∵a⊥b，∴a·b＝6x－8y＝0，①
∵b与向量(1,0)夹角为钝角，∴x<0，②
又|b|＝＝5，③
由①②③解得∴b＝(－4，－3)．
4．已知向量a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，若a⊥b，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影向量
的坐标为( )
A．(3,1) B．(1,3)
C. D.
答案 D
解析 依题意得a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，a·b＝0，所以λ＋1－2λ＝0，解得λ＝1，所以a
＝(2,2)，b＝(1，－1)，所以a＋b＝(3,1)，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影向量的坐标
为·＝·＝.
5．(2023·泰州模拟)已知平面单位向量a，b，c满足〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝，则|
3a＋2b＋c|等于( )
A．0 B．1 C. D.
答案 C解析 ∵|3a＋2b＋c|2＝(3a＋2b＋c)2＝9a2＋4b2＋c2＋12a·b＋6a·c＋4b·c＝3，∴|3a＋2b＋c|＝.
6．(2023·佛山模拟)在△ABC中，设|AC|2－|AB|2＝2AM·(AC－AB)，那么动点M的轨迹必通
过△ABC的( )
A．垂心 B．内心
C．重心 D．外心
答案 D
解析 设线段BC的中点为D，则AB＋AC＝2AD，
因为|AC|2－|AB|2＝2AM·(AC－AB)，
所以(AC＋AB)·(AC－AB)＝2AM·BC，
即2AD·BC＝2AM·BC，
即BC·(AM－AD)＝BC·DM＝0，
即DM⊥BC，
所以DM垂直且平分线段BC，
因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线，必通过△ABC的外心．
二、多项选择题
7．(2024·亳州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的可能取值
是( )
A．－2 B．2 C．4 D．8
答案 BC
解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
易知正六边形的每个内角为120°，
所以∠CBx＝60°，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(－1，)．
设P(x，y)，则AP＝(x，y)，AB＝(2,0)，且－10，
又a，b不共线，
所以a，b的夹角为锐角，故A错误；
对于B，向量a在b上的投影向量为
·＝b，故B错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，故C正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
得mn＝(2m·n)≤2＝2，
当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，
即mn的最大值为2，故D正确．
三、填空题
9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－3，－2)，写出一个与a－b垂直的非零向量c＝________.
答案 (1，－1)(答案不唯一)
解析 由题意可知a－b＝(5,5)．
设c＝(x，y)，
则(a－b)·c＝5x＋5y＝0.
取x＝1，则y＝－1，
所以与a－b垂直的非零向量可以为c＝(1，－1)．(答案不唯一)
10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被 3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个
秤盘中放入重量为60 N的物品，在另一个秤盘中放入重量60 N的砝码，天平平衡.3根细绳
通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F ，F ，F )，若3根细绳两两之间的夹角均为，不
1 2 3
考虑秤盘和细绳本身的重量，则F 的大小为________ N.
1
答案 10
解析 依题意，|F |＝|F |＝|F |且|F ＋F ＋F |＝60，
1 2 3 1 2 3
所以|F ＋F ＋F |2＝|F |2＋|F |2＋|F |2＋2F ·F ＋2F ·F ＋2F ·F ＝3 600，
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1
即3|F |2＋3×2|F |2×＝3 600，解得|F |＝10.
1 1 111．(2024·抚州模拟)定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝
5，a·b＝－8，则|a×b|等于________．
答案 6
解析 设向量a与b的夹角为θ∈[0，π]，
则cos θ＝＝＝－，
因为θ∈[0，π]，
可得sin θ＝＝，
故|a×b|＝|a||b|sin θ＝2×5×＝6.
12．(2023·西安模拟)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，其外接圆的圆心为O，则AO·BC＝
________.
答案 10
解析 如图，设BC的中点为D，连接OD，AD，
则AO·BC＝(AD＋DO)·(AC－AB)＝(AC＋AB)·(AC－AB)＋DO·(AC－AB)＝(|AC|2－|AB|2)＝10.
四、解答题
13．(2023·白银模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|＝2|DC|＝2，∠BAD＝，E
是BC边的中点．
(1)试用AB，AD表示AE，BC；
(2)求DB·AE的值．
解 (1)AC＝AD＋DC＝AD＋AB，
AE＝(AB＋AC)＝＝AB＋AD，
BC＝AC－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB.
(2)由题意可知，|AD|＝＝＝1，DB＝AB－AD，
所以DB·AE＝(AB－AD)·
＝|AB|2－|AD|2－AB·AD
＝|AB|2－|AD|2－|AB||AD|·cos
＝×4－×1－×2×1×＝.
14．(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.
(1)求∠EMF的余弦值；
(2)设AM＝λAF，求λ的值及点M的坐标．
解 (1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，
则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)，
∴DE＝(3，－6)，AF＝(6,2)，
由于∠EMF就是DE，AF的夹角，
∴cos∠EMF＝cos〈DE，AF〉
＝＝，
∴∠EMF的余弦值为.
(2)∵AM＝λAF，
则AM＝(6λ，2λ)，则M(6λ，2λ)，
又D，M，E三点共线，
则设DM＝tDE，0
