空间向量与立体几何
知识点+题型归纳全集
1.1 空间向量及其线性运算.......................................................................................................................................5
模块一：基础知识..............................................................................................................................................5
考点一：空间向量的有关概念..................................................................................................................5
考点二：空间向量的加法、减法运算......................................................................................................5
考点三：空间向量的数乘运算..................................................................................................................6
考点四：共线向量......................................................................................................................................6
考点五：共面向量......................................................................................................................................7
模块二：题型分类..............................................................................................................................................8
题型一：空间向量的有关概念..................................................................................................................8
题型二：空间向量加减运算及几何表示..................................................................................................9
题型三：空间向量数乘运算及几何表示............................................................................................... 11
题型四：空间向量共线的判定................................................................................................................12
题型五：空间向量共线求参数................................................................................................................13
题型六：向量共面的判定........................................................................................................................14
题型七：空间向量共面求参数................................................................................................................16
题型八：空间共面向量推论及其应用....................................................................................................17
模块三：综合巩固............................................................................................................................................18
1.2 空间向量的数量积运算.....................................................................................................................................25
模块一：基础知识............................................................................................................................................25
考点一：空间两个向量的夹角................................................................................................................25
考点二：空间向量的数量积....................................................................................................................25
考点三：空间向量的投影向量................................................................................................................26
考点四：数量积的几何意义及运算律....................................................................................................26
模块二：题型分类............................................................................................................................................26
题型一：空间向量数量积概念辨析........................................................................................................26
题型二：空间向量的数量积....................................................................................................................27
题型三：利用数量积求夹角....................................................................................................................29
题型四：求空间向量投影向量................................................................................................................30
题型五：空间向量求距离长度................................................................................................................32
题型六：空间向量的数量积的最值或范围........................................................................................... 33
题型七：数量积证明垂直........................................................................................................................34
题型八：极化恒等式求数量积最值........................................................................................................37
模块三：综合巩固............................................................................................................................................37
1.3 空间向量基本定理.............................................................................................................................................44
模块一：基础知识............................................................................................................................................44
考点一：空间向量基本定理....................................................................................................................44
考点二：空间向量的正交分解................................................................................................................44
考点三：空间向量基本定理的应用........................................................................................................45
模块二：题型分类............................................................................................................................................45
题型一：基底的判断................................................................................................................................45
题型二：空间基底表示向量....................................................................................................................46
题型三：证明平行或垂直关系................................................................................................................48
题型四：空间向量基本定理求距离夹角............................................................................................... 51
模块三：综合巩固............................................................................................................................................54
1.4 空间向量及其运算的坐标表示........................................................................................................................ 61
模块一：基础知识............................................................................................................................................61
考点一：空间向量的正交分解及其坐标表示....................................................................................... 61
考点二：空间向量运算的坐标表示........................................................................................................61
考点三：空间向量平行与垂直的坐标表示........................................................................................... 61
考点四：空间点的对称问题....................................................................................................................62
模块二：题型分类............................................................................................................................................62
题型一：求空间点的坐标........................................................................................................................62
题型二：求空间直角坐标系中对称点的坐标....................................................................................... 64
题型三：空间向量的坐标表示................................................................................................................64
题型四：空间向量的坐标运算................................................................................................................66
题型五：坐标形式求空间向量的数量积............................................................................................... 66
题型六：坐标形式求平行关系................................................................................................................67
题型七：坐标形式求垂直关系................................................................................................................67
题型八：空间向量的模............................................................................................................................68
题型九：坐标形式求空间向量的夹角....................................................................................................69
题型十：坐标形式求投影向量................................................................................................................70
题型十一：坐标形式求空间向量最值范围问题................................................................................... 70
题型十二：模的最值（范围）问题........................................................................................................71
题型十三：空间向量成锐角（钝角）求参数....................................................................................... 72
模块三：综合巩固............................................................................................................................................72
1.5 用空间向量研究直线、平面的位置关系........................................................................................................ 78
模块一：基础知识............................................................................................................................................78
考点一：用向量表示点、直线、平面的位置....................................................................................... 78
考点二：平面的法向量及其应用............................................................................................................78
考点三：空间中直线、平面的平行........................................................................................................79
考点四：空间中直线、平面的垂直........................................................................................................79
模块二：题型分类............................................................................................................................................79
题型一：直线的方向向量........................................................................................................................79
题型二：平面的法向量及其求法............................................................................................................80
题型三：证明线线平行............................................................................................................................81
题型四：证明线面平行............................................................................................................................82
题型五：证明面面平行............................................................................................................................85
题型六：证明线线垂直............................................................................................................................87
题型七：证明线面垂直............................................................................................................................89
题型八：证明面面垂直............................................................................................................................91
模块三：综合巩固............................................................................................................................................93
1.6 用空间向量研究距离、夹角问题.................................................................................................................... 98
模块一：基础知识............................................................................................................................................98
考点一：用向量法求空间距离................................................................................................................98
考点二：用向量法求空间角....................................................................................................................98
模块二：题型分类..........................................................................................................................................100
题型一：求点到直线的距离..................................................................................................................100
题型二：求点到平面的距离..................................................................................................................101
题型三：求空间距离中的转化与化归思想......................................................................................... 102
题型四：求异面直线夹角......................................................................................................................104
题型五：异面直线夹角范围最值问题................................................................................................. 105
题型六：异面直线夹角求参数..............................................................................................................106
题型七：求线面角..................................................................................................................................106
题型八：求线面角范围..........................................................................................................................107
题型九：线面角求参数..........................................................................................................................108
题型十：求二面角、面面角..................................................................................................................110
题型十一：二面角、面面角范围..........................................................................................................111
题型十二：二面角、面面角求参数..................................................................................................... 113
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................115
1.7 异面直线（传统法与向量法）...................................................................................................................... 122
模块一：基础知识..........................................................................................................................................122
考点一：异面直线相关基础..................................................................................................................122
考点二：传统法求异面直线夹角..........................................................................................................122
考点三：向量法求异面直线夹角..........................................................................................................122
模块二：题型分类..........................................................................................................................................123
题型一：传统法求异面直线夹角..........................................................................................................123
题型二：向量法求异面直线夹角..........................................................................................................124
题型三：异面直线夹角范围易错题..................................................................................................... 125
题型四：异面直线夹角范围与最值..................................................................................................... 127
题型五：异面直线夹角求参数类..........................................................................................................128
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................130
1.8 线面角求法（传统法与向量法）.................................................................................................................. 132
模块一：基础知识..........................................................................................................................................132
考点一：直线与平面所成角（传统法）............................................................................................. 132
考点二：用向量运算求直线与平面所成角......................................................................................... 132
模块二：题型分类..........................................................................................................................................133
题型一：垂线法求线面角（传统法）................................................................................................. 133
题型二：等体积法求线面角（传统法）............................................................................................. 134
题型三：求线面角（向量法）..............................................................................................................135
题型四：线面角正弦转余弦问题..........................................................................................................136
题型五：线面角范围问题......................................................................................................................137
题型六：利用线面角求参数..................................................................................................................138
题型七：线面角的探索性问题..............................................................................................................139
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................141
1.9 二面角面面角（传统法与向量法）.............................................................................................................. 144
模块一：基础知识..........................................................................................................................................144
考点一：二面角（传统法）..................................................................................................................144
考点二：二面角（向量法）..................................................................................................................145
模块二：题型分类..........................................................................................................................................145
题型一：定义法求二面角......................................................................................................................145
题型二：三垂线法求二面角..................................................................................................................147
题型三：垂面法求二面角......................................................................................................................148
题型四：补形法求二面角......................................................................................................................149
题型五：射影面积法求二面角..............................................................................................................150
题型六：向量法求二面角......................................................................................................................151
题型七：向量法求二面角最值或范围................................................................................................. 153
题型八：已知二面角求参数..................................................................................................................154
题型九：二面角中的探索性问题..........................................................................................................156
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................158
1.10 新定义与高考真题........................................................................................................................................162
模块一：题型分类..........................................................................................................................................162
题型一：空间向量的数量积运算新定义............................................................................................. 162
题型二：空间向量基本定理新定义..................................................................................................... 163
题型三：空间向量及其运算的坐标表示新定义................................................................................. 163
模块二：2024 年立体几何空间向量高考真题选........................................................................................ 164
真题1：2024 年新课标1.......................................................................................................................164
真题2：2024 新课标2...........................................................................................................................165
真题3：2024 新课标2...........................................................................................................................165
真题4：2024 年全国甲卷理数..............................................................................................................165
模块三：往届立体几何空间向量高考真题选............................................................................................. 166
空间向量与立体几何章末复习卷（一）..............................................................................................................170
空间向量与立体几何章末复习卷（二）..............................................................................................................175
空间向量与立体几何
知识点+题型归纳全集
1.1 空间向量及其线性运算
模块一：基础知识
考点一：空间向量的有关概念
1.空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或
模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
长度为0 的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1 的向量称为单位向量
相反向量
与向量a
长度相等而方向相反的向量，称为a
的相反向量，记为a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
2.空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段AB
来表示，A 叫向量的起点，B 叫向量的终点；
（2）字母表示法：用, ,
a b c
表示．向量a
的起点是A ，终点是B ，则向量a
也可以记作AB
，其模记为a
或AB
.
考点二：空间向量的加法、减法运算
1.空间向量的位置
已知空间向量,a b
，可以把它们平移到同一平面内，以任意点O 为起点，作向量OA
a
，OB
b
2.空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量AC
b
，则向量OC
叫做向量,a b
的和．记作a
b
，
即OC
AC
a
b
3.空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量BA
叫做a
与b
的差，记作a
b
，即
BA
OA OB
a
b
4.空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：a
b
b
a
（2）加法结合律：
a
b
c
a
b
c
考点三：空间向量的数乘运算
1.定义：与平面向量一样，实数与空间向量a
的乘积a
仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2.数乘向量a
与向量a
的关系
的范围
a
的方向
a
的模
0
a
与向量a
的方向相同
|
| |
||
|
a
a
0
0
a
，其方向是任意的
0
a
与向量a
的方向相反
3.对数乘向量a
与向量a
的关系的进一步理解：
（1）可以把向量a
的模扩大（当|
| 1
时），也可缩小（当|
| 1
时）；可以不改变向量a
的方向（当
0
时），也可以改变向量a
的方向（当
0
时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当
0
时，
0
a
；当
0
时，若
0
a
，则
0
a
．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，
a
，
a
没有意义，无法运算．
考点四：共线向量
1.共线（平行）向量的定义
若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若a
与b
是共线向量，则记为
/ /
a
b
．
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如
/ / , / /
a
b b
c
，那么
/ /
a
c
不一定成立，因为当
0
b
时，虽然
/ / , / /
a
b b
c
，
但a
不一定与c
共线（特别注意0
，0
与任何向量共线）．
2.共线向量定理
对空间任意两个向量, (
0)
a b b
，a b
的充要条件是存在实数，使a
b
．
3.共线向量定理推论
如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a
的直线,那么对于空间任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存
在实数t ,使OP
OA
ta
①，若在l 上取AB
a
，则①可以化作：OP
OA
t AB
4.证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P、A、B 可通过证明下列结论来证明三点共线
（1）存在实数�，使��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ成立.
（2）对空间任一点O，有��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ(�∈�).
（3）对空间任一点O，有��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ(�+ �= 1).
考点五：共面向量
1.共面向量定义
如图，如果表示向量�Ԧሬ的有向线段��Ԧ
ሬሬሬሬ所在的直线OA 与直线l 平行或重合，
那么称向量�Ԧሬ平行与直线l.
如果直线OA 平行于平面�或在平面�内，那么称向量�Ԧሬ平行于平面�.
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
2.共面向量定理
如果两个向量,a b
不共线，那么向量p
与向量,a b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对( , )
x y ，使
p
xa
yb
3.空间共面向量的表示
如图空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对( , )
x y ，使AP
xAB
yAC
．
或者等价于：对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内（
, , ,
P A B C 四点共面）的充要条件是存
在有序实数对( , )
x y ，使OP
OA
xAB
yAC
，该式称为空间平面ABC 的向量表示式，由此可知，空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
4.向量共面证明
（1）证明点P 在平面ABC 内，可以用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，也可以用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，
若用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，则必须满足�+ �+ �= 1.
（2）判断三个向量共面一般用�Ԧሬ= ��Ԧሬ+ ��Ԧሬ，
证明三线共面常用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，
证明四点共面常用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ（其中�+ �+ �= 1）
模块二：题型分类
题型一：空间向量的有关概念
1.（多选）下列说法正确的是（
）
A．零向量没有方向
B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
2.已知a为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（
）
A．与a共面的单位向量有无数个
B．与a垂直的单位向量有无数个
C．与a平行的单位向量只有一个
D．与a同向的单位向量只有一个
3.在正方体����−�1�1�1�1中，与向量��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ相反的向量是（
）
A．�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ
B．��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ
C．�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ
D．��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ
4.下列命题中是假命题的是（
）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果
0
a
，则
0
a
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
5.下列命题中为真命题的是（
）
A．空间向量AB
与BA
的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
6.对于空间任意两个非零向量�Ԧሬ，�Ԧሬ，“�Ԧሬ//�Ԧሬ”是“ �Ԧሬ,�Ԧሬ
= 0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7.（多选）下列说法，错误的为（
）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ满足��Ԧ
ሬሬሬሬ
> ��Ԧ
ሬሬሬሬ，且��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ同向，则��Ԧ
ሬሬሬሬ> ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．若两个非零向量��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ满足��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ为相反向量
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ的充要条件是�与�重合，�与�重合
8.给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量,a b
满足a
b
r
r
，
则a
b
；③在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，必有
1
1
AC
AC
；④若空间向量
, ,
m n p
满足m
n
，n
p
，则
m
p
．其中正确的个数为（
）．
A．4
B．3
C．2
D．1
9.如图所示，已知
1
1
1
1
ABCD
ABC D
为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：
（1）与
1
BB
相等的向量；
（2）与
1
BC 相反的向量；
（3）与
1
BA
平行的向量．
题型二：空间向量加减运算及几何表示
1.如图E，F 分别是长方体����−�′�′�′�′的棱AB，CD 的中点，化简下列表达式：
(1)��′Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ；
(2)��′Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �′�′Ԧ
ሬሬሬሬሬ；
(3)��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �′�′Ԧ
ሬሬሬሬሬ；
(4)��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ.
2.如图，在斜棱柱����−�1�1�1�1中，��与��的交点为点M，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ，则��1Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ=（
）
A．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
B．−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ−�Ԧሬ
D．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
3.已知在空间四边形ABCD中，
1
2
CG
CD
，则
2
BD
BC
AB
（
）
A．2AG
B．2GC
C．2BC
D．1
2
BC
4.正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，化简
1
AB
BD
AC
（
）
A．
1
C B
B．
1
BC
C．
1
C D
D．
1
DC
5.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，O为线段AC 的中点，则
1
OA
AD
AB
（
）
A．
1
AD
uuur
B．
1
OB
C．
1
OC
D．
1
OD
uuur
6.如图，空间四边形����中，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，点�在��Ԧ
ሬሬሬሬ上，且��= 2��，2��= 3��，则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
（
）
A．−
1
3 �Ԧሬ−
2
5 �Ԧሬ+
3
5 �Ԧሬ
B．−
2
3 �Ԧሬ+
3
5 �Ԧሬ+
2
5 �Ԧሬ
C．−
2
3 �Ԧሬ+
2
5 �Ԧሬ+
3
5 �Ԧሬ
D．
2
3 �Ԧሬ+
3
5 �Ԧሬ−
2
5 �Ԧሬ
7.如图，四棱锥�−����的底面是平行四边形，若��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，�是��的中点，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
B．−�Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
C．−�Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
D．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ
题型三：空间向量数乘运算及几何表示
1.已知正方体ABCD
A B C D
，点E 是A C
的中点，点F 是AE 的三等分点，且
1
2
AF
EF
，则AF
等于
（
）．
A．
1
1
2
2
AA
AB
AD
B．1
1
1
2
2
2
AA
AB
AD
C．1
1
1
2
6
6
AA
AB
AD
D．1
1
1
3
6
6
AA
AB
AD
2.如图，在四面体����中，�, �分别为��, ��的中点，�为△���的重心，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．−
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
12 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．−
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
12 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
1
12 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
12 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
3.已知三棱锥�−���，点M，N 分别为AB，OC 的中点，且��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，用�Ԧሬ，�Ԧሬ，�Ԧሬ表示��Ԧ
ሬሬሬሬሬ，
则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ等于（
）
A．
1
2 (�Ԧሬ+ �Ԧሬ−�Ԧሬ)
B．
1
2 (�Ԧሬ+ �Ԧሬ−�Ԧሬ)
C．
1
2 (�Ԧሬ−�Ԧሬ−�Ԧሬ)
D．
1
2 (�Ԧሬ−�Ԧሬ+ �Ԧሬ)
4.如图，在四棱锥�−����中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，点F 满足��Ԧ
ሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ，若��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，
��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬ= �Ԧሬ，则��Ԧ
ሬሬሬ=（
）
A．
1
2 �Ԧሬ−
4
3 �Ԧሬ+
1
6 �Ԧሬ
B．
1
2 �Ԧሬ−
4
3 �Ԧሬ−
1
6 �Ԧሬ
C．
1
2 �Ԧሬ−
7
6 �Ԧሬ+
1
6 �Ԧሬ
D．
1
2 �Ԧሬ−
7
6 �Ԧሬ−
1
6 �Ԧሬ
5.在三棱柱
1
1
1
A B C
ABC
中，D 是四边形
1
1
BB C C 的中心，且
1
AA
a
，AB
b
，AC
c
，则
1A D
（
）
A．1
1
1
2
2
2
a
b
c
B．1
1
1
2
2
2
a
b
c
C．1
1
1
2
2
2
a
b
c
D．
1
1
1
2
2
2
a
b
c
6.如图：在平行六面体����−�1�1�1�1中，�为�1�1, �1�1的交点．若�1�1Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ, �1�1Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ，则
向量��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ−�Ԧሬ
B．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
D．
1
2 �
→−
1
2 �
Ԧ
+ �
→
7.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点M 满足2AM
AC
．若
1
1
1
1
1
,
,
A B
a A D
b A A
c
，则下列向量中与
1B M
相等的是（
）
A．1
1
2
2
a
b
c
B．1
1
2
2
a
b
c
C．
1
1
2
2
a
b
c
D．
1
1
2
2
a
b
c
题型四：空间向量共线的判定
1.设,a b
是空间中两个不共线的向量，已知
9
AB
a
mb
，
2
BC
a
b
，
2
DC
a
b
，且
, ,
A B D 三点共
线，则实数m ______．．
2.如图，已知
, , ,
,
,
,
,
,
O A B C D E F G H 为空间的9 个点，且OE
kOA
，OF
kOB
，OH
kOD
，
AC
AD
mAB
，EG
EH
mEF
，
0,
0
k
m
.
求证：（1）
/ /
AC
EG
；
（2）OG
kOC
.
3.如图所示，在正方体����−�1�1�1�1中，点�在�1�1上，且�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ，点�在体对角线�1�上，且�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ．求证：�，�，�三点共线．
4.如图，四边形ABCD ､ABEF 都是平行四边形且不共面，M , N 分别是AC ､BF 的中点，判断CE
与MN
是否共线？
5.A 是
BCD
△
所在平面外一点，G 是
BCD
△
的重心，M、E 分别是BD、AG 的中点，点F 在线段AM 上，
2
5
AF
AM
，判断三点C、E、F 是否共线．
题型五：空间向量共线求参数
1.设�1Ԧ
ሬሬ, �2Ԧ
ሬሬ是空间两个不共线的非零向量，已知��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �1Ԧ
ሬሬ+ 3�2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ−�2Ԧ
ሬሬ，且A，B，
D 三点共线，求实数k 的值．
2.设
1e
，
2e
是两个不共线的空间向量，若
1
2
2
A
e
e
B
，
1
2
3
3
BC
e
e
，
1
2
CD
e
ke
uuur
ur
ur
，且A ，C ，D 三点
共线，则实数k 的值为______.
3.已知�1Ԧ
ሬሬ、�2Ԧ
ሬሬ、�3Ԧ
ሬሬ为空间三个不共面的向量，向量�Ԧሬ= �1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ+ 4�3Ԧ
ሬሬ，�Ԧሬ= 3�1Ԧ
ሬሬ+ 9�2Ԧ
ሬሬ+ ��3Ԧ
ሬሬ，若�Ԧሬ与�Ԧሬ共线，
则�+ �=（
）
A．−3
B．3
C．−15
D．15
4.已知{
}
, ,
a b c
是空间的一个基底，若
2
3
m
a
b
c
，
(
)
(
) 3(
)
n
x a b
y b c
a c
，若m
n
∥，则x
y
（
）
A．3
B．
1
3
C．3
D．1
3
5.设,a b
是空间中两个不共线的向量，已知
9
AB
a
mb
，
2
BC
a
b
，
2
DC
a
b
，且
, ,
A B D 三点共线，
则实数m ______．．
6.下列命题中，正确命题的个数为（
）
①若//
a b
r r ，则a
与b
方向相同或相反；
②若AB
CD
，则A，B，C，D 四点共线；
③若a
，b
不共线，则空间任一向量p
a
b
( ,
R
).
A．0
B．1
C．2
D．3
7.已知向量
1e
，
2e
不共线，
1
2
AB
e
e
，
1
2
2
8
AC
e
e
，
1
2
3
5
AD
e
e
，则（
）
A．AB
与AC
共线
B．AB
与CD
共线
C．A ，B ，C ，D 四点不共面
D．A ，B ，C ，D 四点共面
题型六：向量共面的判定
1.如图，在长方体ABCD
A B C D
中，向量
AB ，AD
，BD
是
向量(填“共面”或“不共面”)．
2.对于空间一点O 和不共线三点A，B，C，且有6��Ԧ
ሬሬሬሬ=��Ԧ
ሬሬሬሬ+2��Ԧ
ሬሬሬሬ+3��Ԧ
ሬሬሬሬ，则（
）
A．O，A，B，C 四点共面
B．P，A，B，C 四点共面
C．O，P，B，C 四点共面
D．O，P，A，B，C 五点共面
3.设空间任意一点O和不共线的三点A ，B ，C ，若点P 满足向量关系OP
xOA
yOB
zOC
（其中
1
x
y
z
），试问：P ，A ，B ，C 四点是否共面？
4.已知, ,
i j k
是不共面向量，
2
,
3
2 ,
3
7
a
i
j
k b
i
j
k c
i
j，证明这三个向量共面.
5.（多选）空间四点
,
,
,
A B C D 及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出
, ,
,
A B C D 四点共面的有
A．
2
3
AB
AC
AD
B．
3
OA
OB
OC
DO
C．AB
AC
∥
D．OC
3
5
BO
AO
DO
6.下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C 共面的是（
）
A．OA
OB
OC
OP
uur
uuur
uuur
uuur
B．OA
OB
OC
OP
uur
uuur
uuur
uuur
C．
2
OA
OB
OC
OP
uur
uuur
uuur
uuur
D．
3
OA
OB
OC
OP
7.（多选）以下能判定空间四点P、M、A、B 共面的条件是（
）
A．
2
3
MP
MA
MB
B．
1
1
1
2
3
6
OP
OA
OB
OM
C．
0
PM AB
uuur uuur
D．PM
AB
8.在四棱柱����−�1�1�1�1中，�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ, �1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ，�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ, �1�Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ= ��1�Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ．
(1)当�=
3
4时，试用��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ表示��Ԧ
ሬሬሬሬ；
(2)证明：�, �, �, �四点共面；
题型七：空间向量共面求参数
1.�为空间任意一点，若��Ԧ
ሬሬሬሬ=−
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
8 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，若�，�，�，�四点共面，则�=（
）
A．1
B．
9
8
C．
1
8
D．
1
4
2.已知
, ,
A B C 三点不共线，O是平面ABC 外任意一点，若
2
1
2
5
6
OM
OA
OB
OC
，则
, ,
,
A B C M 四点
共面的充要条件是（
）
A．
13
60
B．
17
60
C．
17
60
D．
13
60
3.已知O为空间中一点，
, ,
,
A B C D 四点共面且任意三点不共线，若2BD
xOA
OB
OC
，则x 的值为
______．
4.已知O，A，B，C 为空间中不共面的四点，且��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ(�∈�)，若P，A，B，C 四点共
面，则�=（
）
A．
1
3
B．
1
4
C．
5
12
D．−
7
12
5.在四面体����中，点�, �满足��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ，若��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，则�+ �+ �=（
）
A．−
1
3
B．
1
3
C．
1
2
D．1
6.如图,平面ABC 内的小方格均为正方形,点P 为平面ABC 内的一点,O为平面ABC 外一点,设
2
OP
mOA
nOB
OC
,则m
n
的值为（
）
A．1
B．1
C．2
D．2
7.
, ,
a b c
是空间向量的一组基底，
2
OA
a
mb
c
，
2
OB
a
b
，OC
a
b
c
，已知点O在平面ABC 内，
则m ______.
题型八：空间共面向量推论及其应用
1.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C 共面的是（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
1
5 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ
2.已知
, ,
A B C 三点不共线，O是平面ABC 外任意一点，若由
1
1
5
3
OP
OA
OB
OC
确定的一点P 与
,
,
A B C 三点共面，则等于（
）
A．
2
3
B．2
3
C．7
15
D．
7
15
3.已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且
4
1
3
6
PA
x P
DB
PB
C
，则实数x 的值为_________.
4.在三棱锥
P
ABC 中，M 是平面ABC 上一点，且5
2
PM
PA
tPB
PC
，则t （
）
A．1
B．2
C．1
7
D．
1
2
5.已知点D 在ABC
确定的平面内，O是空间任意一点，实数,x y 满足
2
OD
xOA
yOB
OC
，则
2
2
x
y
的
最小值为（
）
A．4
5
B．2 5
5
C．1
D．2
6.已知点D 在ABC
确定的平面内，O是平面ABC 外任意一点，实数,x y 满足OD
xOA
yOB
OC
，则
2
2
x
y
的最小值为（
）
A．4
5
B．2 5
5
C．1
D．2
7.四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若AE
xAB
yAD
z AP
，则
x
y
z
等于（
）
A．3
2
B．1
C．5
2
D．2
8.如图，在四面体ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，点M 是EG 和FH 的交点，
对空间任意一点О都有OA
OB
OC
OD
kOM
，则k （
）
A．1
4
B．1
2
C．2
D．4
9.如图，在正方体����−�1�1�1�1中，点M 是��1上靠近点C 的三等分点，点N 满足��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ，若N
为AM 与平面���1的交点，则t＝（
）
A．
1
3
B．
2
5
C．
3
7
D．
3
8
模块三：综合巩固
1.下列说法正确的是（
）
A．若�Ԧሬ
< �Ԧሬ，则�Ԧሬ< �Ԧሬ
B．若�Ԧሬ，�Ԧሬ互为相反向量，则�Ԧሬ+ �Ԧሬ= 0
C．空间中两平行向量相等
D．在四边形ABCD 中，��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
2.下列各式计算正确的是（
）
A．
(
)
2
a
b
a
b
a
B．2(
)
2
a
b
c
a
b
c
C．3(
)
3(
)
0
a
b
a
b
D．
(
3 )
3
a
b
b
c
a
c
3.给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量,a b
满足a
b
，则a
b
；
④若空间向量
, ,
m n p
满足
,
m
n n
p
，则m
p
；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
4.在下列条件中，一定能使空间中的四点�, �, �, �共面的是（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
1
6 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
5．空间四边形����中，点�在��上，且��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ，�为��中点，则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ等于（
）
A．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
6.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点E 满足
1
1
1
1
1
3
3
AE
AA
AB
AD
，则（
）
A．
1
1
1
3B E
B C
B．
1
1
1
3
2
B E
B C
C．
1
1
1
3
B E
B C
D．
1
1
1
2
3
B E
B C
7.如图，在四面体����中，�是��的中点．设��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，用�Ԧሬ，�Ԧሬ，�Ԧሬ表示��Ԧ
ሬሬሬሬ，则（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ=−�Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ=−�Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
8.已知三棱锥O-ABC 中，点M、N 分别为AB、OC 的中点，且��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=（
）
A．
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ−�Ԧሬ
B．
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．
1
2 �Ԧሬ−�Ԧሬ+ �Ԧሬ
D．
1
2 �Ԧሬ−�Ԧሬ−�Ԧሬ
9.已知�Ԧሬ, �Ԧሬ, �Ԧሬ是不共面的空间向量，若�Ԧሬ= 3�Ԧሬ−2�Ԧሬ−4�Ԧሬ与�Ԧሬ= (�+ 1)�Ԧሬ+ 8�Ԧሬ+ ��Ԧሬ（�, �是实数）是平行向
量，则�+ �的值为（
）
A．16
B．-13
C．3
D．-3
10.（多选）已知四面体ABCD，E，F 分别是BC，CD 的中点，则��Ԧ
ሬሬሬ=（
）
A．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
11.如图，三棱柱���−�1�1�1中，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬ= �Ԧሬ，��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ，点�为四边形���1�1的中心点，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=
（
）
A．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
B．�Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
C．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ
D．�Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ
12.对于空间任一点�和不共线的三点�，�，�，有��
→
= ���
→
+ ���
→
+ ���
→
，则�+ �+ �= 1 是�，�，�，
�四点共面的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
13.如图，在四面体ABCD中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过EF 的平面分别交棱DA 、BC 于G 、H
（不同于A 、B 、C 、D ），P 、Q 分别是棱BC 、CD 上的动点，则下列命题错误的是（
）
A．存在平面和点P ，使得
//
AP 平面
B．存在平面和点Q ，使得AQ// 平面
C．对任意的平面，线段EF 平分线段GH
D．对任意的平面，线段GH 平分线段EF
14.四面体O
ABC
中，
3
OP
PA ，Q 是BC 的中点，M 是PQ的中点，设OA
a
，OB
b
，OC
c
，则OM
（
）
A．1
1
1
4
6
6
a
b
c
B．3
1
1
4
4
4
a
b
c
C．3
1
1
8
4
4
a
b
c
D．1
1
1
3
4
4
a
b
c
15.已知�, �, �, �四点共面且任意三点不共线，平面����外一点�，满足��Ԧ
ሬሬሬሬ=−2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 5��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，则
�=
．
16.已知长方体����−�1�1�1�1中，点Q 为线段��1的中点，��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���1Ԧ
ሬሬሬሬሬ，则
�+ �+ �=
.
17.设�1Ԧ
ሬሬ, �2Ԧ
ሬሬ是空间两个不共线的非零向量，已知��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �1Ԧ
ሬሬ+ 3�2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ−�2Ԧ
ሬሬ，且�, �, �
三点共线，则实数k 的值为
．
18.如图，三棱锥O－ABC 中，M 是BC 的中点，��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ，设��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，用�Ԧሬ, �Ԧሬ, �Ԧሬ表示
向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=
19.已知长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，
2
AB
AD
，
1
4
AA
，M 是
1
BB 的中点，点P 满足
1
BP
BC
BB
，
其中
0,1
，
0,1
，且MP∥平面
1
1
AB D ，则动点P 的轨迹所形成的轨迹长度是（
）
A．5
B．4 2
C．2 2
D．2
20.在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
AB
AA
，点P 满足
1
BP
mBC
nBB
，其中
1,
[0,1]
m
n
，则三角形
1
AB P 周长最小值是___________.
21.（多选）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，P 为空间一点，且满足
1
BP
BC
BB
，
,
0,1
，则（
）
A．当
1
时，点P 在棱
1
BB 上
B．当
1
时，点P 在棱
1
1
B C 上
C．当
1
时，点P 在线段
1B C 上
D．当
时，点P 在线段
1
BC 上
22.如图所示的平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，已知
1
AB
AA
AD
，
1
60
BAD
DAA
，
1
30
BAA
，N
为
1
1
A D 上一点，且
1
1
1
A N
A D
．若BD
AN
，则的值为__；若M 为棱
1
DD 的中点，
/ /
BM
平面
1
AB N ，
则的值为__．
23．如图，在四面体PABC 中，点M 、N 分别为PA 、PB 的中点，问：MN
与BC
、AC
是否共面？
24．如图所示，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，O为AC 的中点.
（1）化简：
1
1
1
2
2
AO
AB
AD
；
（2）设E 是棱
1
DD 上的点，且
1
2
3
DE
DD
，若
1
EO
xAB
y AD
zAA
，试求实数x ，y ，z 的值.
25.如图，在棱长为4 的正四面体����中，�是��的中点，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 3��Ԧ
ሬሬሬ，记��Ԧ
ሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ.
(1)求�+ �+ �的值；
(2)求��Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ.
26．如图，在三棱锥P
ABC
中，点G 为ABC
的重心，点M 在PG 上，且
3
PM
MG
，过点M 任意作
一个平面分别交线段PA ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若PD
m PA
，PE
n PB
，PF
t PC
，求证：1
1
1
m
n
t
为定值，并求出该定值.
27．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，O为其中心．
（1）化简
1
1
1
AB
CC
B D
；
（2）若
1
1
1
1
0
AA
x
BC
C D
D A
，则x
r 可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个）
1.2 空间向量的数量积运算
模块一：基础知识
考点一：空间两个向量的夹角
1.定义：如图已知两个非零向量,a b
，在空间任取一点O ，作
OA
a
，OB
b
，则么
AOB
叫做向量,a b
的夹角，记
,a b
.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
2.范围：
,
0,
a b
r r
．
特别地，（1）如果
,
2
a b
，那么向量,a b
互相垂直，记作a
b
．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故
a,b
0
(或
a,b
)
/ /
a
b
( ,a b
为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0
与任何向量a
都是共线的，即0
a
．两非零向量的夹角
是唯一确定的．
3.异面直线所成角与向量夹角联系与区别
若两个向量,a b
所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，
(1)向量夹角的范围是0<< ,a b
><，异面直线的夹角的范围是0<< 2
，
(2)当两向量的夹角为锐角时，
,a b
；当两向量的夹角为2
时，两异面直线垂直；当两向量的夹角
为钝角时，
,a b
.
考点二：空间向量的数量积
1.定义：已知两个非零向量a
，b
，则|
||
| cos
,
a b
a b
叫做a
，b
的数量积，记作a b
；即
|
||
| cos
,
a b
a b
a b
．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
【注意】两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
2.空间向量数量积的应用
(1)利用公式|
|
a
a a
可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式cos
,
|
||
|
a b
a b
a b
可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
考点三：空间向量的投影向量
1.如图(1)，在空间，向量a
向向量b
投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面
内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b
共线的向量c
，
|
| cos
,
|
|
b
c
a
a b
b
向量c
称为向量a
在向量b
上的投影向量．类似地，可以将向量a
向直线l 投影(如图(2))．
2.如图(3)，向量a
向平面投影，就是分别由向量a
的起点A 和终点B 作平面的垂线，垂足分别为A，
B，得到A B
，向量A B
称为向量a
在平面上的投影向量．这时，向量a
，A B
的夹角就是向量a
所
在直线与平面所成的角．
3.空间向量投影向量公式：�Ԧሬ在�Ԧሬ上的投影向量为�Ԧሬ
∙����∙
�Ԧሬ
�Ԧሬ,或者写成
�Ԧሬ∙�Ԧሬ
�Ԧሬ∙
�Ԧሬ
�Ԧሬ
考点四：数量积的几何意义及运算律
1.数量积的几何意义：向量a
，b
的数量积等于a
的长度|
|
a
与b
在a
方向上的投影|
| cos
,
b
a b
的乘
积或等于b
的长度|
|
b
与a
在b
方向上的投影|
| cos
,
a
a b
的乘积.
2.数量积的运算：
（1）(
)
(
)
a
b
a b
，
R
.
（2）a b
b a
(交换律)．（3）
(
)
a
b
c
a b
a c
(分配律).
模块二：题型分类
题型一：空间向量数量积概念辨析
1.已知,a b
是空间向量，根据下列各条件分别求
,a b
：
(1)
|
||
|
a b
a b
；
(2)|
| |
| |
|
a
b
a
b
；
(3)|
| |
| |
|
a
b
a
b
；
(4)|
| |
|
a
b
a
b
.
2.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量AC
分别与向量A B
，B A
，AD
，CD
，B D
的夹角．
3.在正四面体ABCD 中，BC
与CD
的夹角等于（
）
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
4.设a，b
，c都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（
）
A．
a
b
c
a
b
c
B．
a
b
c
a c
b c
C．
a b
c
b c
a
D．
2
|
|
a
b
a
c
a
b
c
a
b c
题型二：空间向量的数量积
1.已知向量a
b
，向量c
与,a b
的夹角都是60，且
1,
2,
3
a
b
c
，试求
（1）
2
2
a
b
c
；
（2）
3
2
3
a
b
b
c
．
2.如图，在空间四边形ABCD 中，��= 3，��= 4，��= 5，∠���= ∠���= 120°，��⊥��.
(1)求��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ；
(2)求CD 的长.
3.如图所示，平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60，求
1 AC
BD
的值是（
）
A．1
B．1
C．
2
D．
3
4.如图，在空间四边形����中，2��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ，点�为��的中点，设��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ.
(1)试用向量�Ԧሬ，�Ԧሬ，�Ԧሬ表示向量��Ԧ
ሬሬሬሬ；
(2)若��= ��= 3，��= 2，∠���= ∠���= ∠���= 60°，求��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ的值.
5.正四面体ABCD的棱长为1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则EF DC
______．
6.已知正四面体A
BCD
的棱长为1,M 为棱CD 的中点，则AB AM
（
）
A．
1
4
B．1
4
C．
1
2
D．1
2
7.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E，F 分别是BC，AD 的中点，则AE CF
的值
为____________．
8.如图, 在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
(即
1A A 平面ABC ),
1
2
AC
AB
AA
,
2
2
BC
AE
＝
＝
, 求
1
AE AC
9.如图，已知四棱锥P
ABCD
的各棱长均为2 ，则AP BC
（
）
A．2 3
B．
3
C．1
D．2
10.若a
、b
、c
为空间中两两夹角为3
的单位向量，
2
2
AB
a
b
，CD
b
c
，则AB CD
______.
11.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，
(
1 2
8)
iP i
，，，是上底面上其余的八
个点，则
(
1 2
8)
i
AB AP i
，，，的不同值的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型三：利用数量积求夹角
1.已知空间向量a
，b
，c
满足
0
a
b
c
，
1
a
，
2
b
，
7
c
，则a
与b
的夹角为（
）
A．30°
B．45
C．60
D．90
2.空间四边形OABC 中，OB
OC
，
3
AOB
AOC
，则cos
,
OA BC
的值是（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．
1
2
D．0
3.已知空间向量a
，b
，
1
a
，
2
b
，且a b
与a
垂直，则a
与b
的夹角为（
）
A．60
B．30
C．135
D．45
4.如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，以顶点A 为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.
求
1
BD
与AC
所成角的余弦值.
5.如图，正四面体ABCD (所有棱长均相等)的棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是正四面体ABCD 中各
棱的中点，设AB
a
，AC
b
，AD
c
uuur
r ，试采用向量法解决下列问题：
(1)求EF
的模长；
(2)求EF
，GH
的夹角.
6.如图，平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
2
AB
AD
AA
，
，
60
BAD
，
1A A与AB 、AD 的夹角
都为60求：
（1）
1
AC 的长；
（2）
1
BD 与AC 所成的角的余弦值．
7.如图：正三棱锥ABCD 中，E F
､
分别在棱AB AD
､
上，
:
:
1: 2
AE EB
AF FD
，且
0
CE BF
，则
BAC
的余弦值为___________.
题型四：求空间向量投影向量
1.已知
3
a
，
5
b
，设a
，b
的夹角为135，则b
在a
上的投影向量是（
）
A．
5 2
6
a
B．5 2
6
a
C．
3 2
10 a
D．3 2
10 a
2.在ABC
中，
3
A
，
4
C
，|
| 4
BC
，则AB
在CA
方向上的投影为__．
3.已知|
| 2,
4
b
a b
，则向量a在向量b
方向上的数量投影为___________.
4.已知空间向量
13
a
，
5
b
，且a与b
夹角的余弦值为
9 13
65
，则a在b
上的投影向量为（
）
A．
9 13
13 b
B．9 13
13 b
C．9
25 b
D．
9
25b
5.已知
6
a
，向量e
为单位向量，
π
,
3
a e
，则向量a
在向量e
方向上的投影向量为__________.
6.在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，向量
AB
在向量
1
1
AC
方向上的投影向量的模是______．
7.已知a
，b
为单位向量．若
2
1
a
b
，则a
在b
上的投影向量的模为______．
8.如图，已知PA 平面ABC ，
120
ABC
，
6
PA
AB
BC
，则向量PC
在BC
上的投影向量
等于____.
9.在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，则向量
1
BD
在向量DA
上的投影向量是（
）
A．1
2 DA
B．DA
C．1
2
BC
D．BC
题型五：空间向量求距离长度
1.已知a，b
均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么
3
a
b
等于（
）
A．7
B．10
C．13
D．4
2.平行六面体ABCD
A B C D
中，
4,
3,
5,
90
AB
AD
AA
BAD
，
60
BAA
DAA
，则AC的
长为（
）
A．10
B．85
C．61
D．
70
3.已知正四面体A
BCD
的棱长为2 ，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为（
）
A．2
B．
2
C．
3
D．
6
2
4.已知斜三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
所有棱长均为2，
1
1
3
A AB
A AC
，点E ､F 满足
1
1
2
AE
AA
，
1
2
BF
BC
uuur
uuur
，
则EF
（
）
A．
6
B．5
C．2
D．
2
5.已知在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60，
则
1
AC 的长为（
）
A．6
B．
6
C．9
2
D．3 2
2
6.四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的底面ABCD 是边长为1 的菱形，侧棱长为2，且
1
1
60
C CB
C CD
BCD
，
则线段
1AC 的长度是（
）
A．
6
B．
34
2
C．3
D．11
7.已知正四面体A
BCD
的棱长为2 ，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为（
）
A．2
B．
2
C．
3
D．
6
2
8.已知单位向量a
，b
，c
中，a
b
，
,
,
60
a c
b c
，则
2
a
b
c
（
）
A．
5
B．5
C．6
D．
6
9.已知长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的底面是边长为2 2 的正方形，若
1
3
cos
,
3
AB AC
，则该长方体的外接
球的表面积为________；记
1
2
,
e e
分别是
,
AB AD
方向上的单位向量，且|
| 2 6
a
，
1
2
2 2
a e
a e
，则
1
2
a
me
ne
（m ，n 为常数）的最小值为________．
题型六：空间向量的数量积的最值或范围
1.已知点P 在棱长为2 的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA PB
的最大值为（
）
A．2
B．3
C．1
D．0
2.如图，已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为1，E 为棱
1
1
B C 上的动点，则向量AE
在向量AC
方向上的
投影数量的取值范围为______．
3.正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为2, MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为
球的弦), P 为正方体表面上的动点,当弦MN 的长度最大时, PM PN
的取值范围是
.
4.如图，在三棱锥
P
ABC 中，AB
BC
，PA 平面ABC ，AE
PB
于点E ，M 是AC 的中点，
1
PB ，
则EP EM
的最小值为______．
5.已知正三棱锥
P
ABC 的底面ABC 的边长为2，M 是空间中任意一点，则
(
)
MA
MB
MC
的最小值为
（
）
A．
3
2
B．1
C．
3
2
D．
1
2
6.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA
AB
，则下列数量积最大
的是（
）
A．BD PC
B．PB PC
C．BC PC
D．PA PC
7.已知点P 在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的表面上运动，则PA PB
的最大值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
8.已知空间三个向量�Ԧሬ,�Ԧሬ,�Ԧሬ的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若��Ԧሬ+ �Ԧሬ+ �Ԧሬ
>
6，则k 的取值范
围为
．
题型七：数量积证明垂直
1.如图，正方体����−�1�1�1�1的棱长是�，��1和��1相交于点�．
(1)求��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ；
(2)求��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ的夹角的余弦值
(3)判断��Ԧ
ሬሬሬሬ与��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ是否垂直．
2.已知正四面体OABC 的棱长为2，点G 是
OBC
△
的重心，点M 是线段AG 的中点.
(1)用
,
,
OA OB OC
表示OM
，并求出|
|
OM
；
(2)求证：OM
BC
.
3.已知a ，b 是异面直线，且a
b
，1e
，2e
分别为直线a ，b 上的单位向量，且
1
2
2
3
m
e
e
，
1
2
4
n
ke
e
，
m
n
，则实数k 的值为（
）
A．-6
B．6
C．3
D．-3
4.在空间，已知
1e
，2e
为单位向量，且
1
2
e
e
，若
1
2
2
3
a
e
e
，
1
2
4
b
ke
e
，a
b
，则实数k 的值为（
）
A．－6
B．6
C．3
D．－3
5.在如图所示的平行六面体ABCD
A B C D
中，已知AB
AA
AD
，
60
BAD
BAA
DAA
，
1
5
BM
BC
，N 为C D
上一点，且
D
D N
C
uuuur
uuuur ，若DM
AN
，则（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
6.如图，已知平行六面体����−�1�1�1�1中，底面����是边长为1 的菱形，��1 = 2，∠�1��= ∠���=
∠�1��= 60∘
(1)求线段��1的长；
(2)求证：��1 ⊥�1�1．
7.如图，棱长为a 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E ，F 分别为棱AB 和BC 的中点，M 为棱
1B B 的中点.
求证：
(1) EF 平面
1
1
BB D D ；
(2)平面
1
EFB 平面
1
1
C D M .
8.如图，正方体ABCD
A B C D
的棱长为a ．
(1)求A B
和B C
的夹角；
(2)求证：
A
A B
C
．
9.已知平面四边形����由△���和△���组成，��⊥��，��= ��，�为��上的点且��= ��= ��= 2
（如图1 所示），将等腰△���沿��折起，点�折至点�位置，使得平面���⊥平面���（如图2 所示）.
(1)求证：��⊥��；
(2)设��= 8，点�在棱��上，且满足��= 2��，求三棱锥�−���的体积.
题型八：极化恒等式求数量积最值
1.已知EF 是棱长为8 的正方体外接球的一条直径，点M 在正方体的棱上运动，则ME MF
的最小值为
（
）
A．48
B．32
C．16
D．0
2.已知正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，底面边长
1
AB ，
1
2
AA
，P 是长方体表面上一点，则
1
PA PC
的
取值范围是（
）
A．
1 ,0
2
B．
3,0
4
C．
1 ,1
2
D．
3 ,1
4
3.已知球O 是棱长为1 的正四面体的内切球，AB 为球O 的一条直径，点P 为正四面体表面上的一个动点，
则PA PB
的取值范围为_______________.
模块三：综合巩固
1.已知�Ԧሬ= 3�Ԧሬ−2�Ԧሬ, �Ԧሬ= �Ԧሬ+ �Ԧሬ，�Ԧሬ, �Ԧሬ是相互垂直的单位向量，则�Ԧሬ⋅�Ԧሬ＝（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.如图，在平行六面体����−�1�1�1�1中，��= ��= ��1 = 2, ∠���=
π
2 , ∠���1 = ∠���1 =
π
3，则直
线��1与直线AC 所成角的余弦值为（
）
A．−
6
6
B．
6
3
C．−
6
3
D．
6
6
3.平行六面体ABCD
A B C D
中，
4,
3,
5,
90
AB
AD
AA
BAD
，
60
BAA
DAA
，则AC的
长为（
）
A．10
B．85
C．
61
D．70
4.在空间四边形ABCD中，AB CD
AC DB
AD BC
等于（
）
A．1
B．0
C．1
D．不确定
5.如图，在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
2
,
AA
AB H
为
1
AA 的中点，1
2
3
4
,
,
,
P P P P 分别是
1
1
1
1
1
1
1
1
,
,
,
A D D C C B B A
的中点，则集合
{
1,2,3,4
i
M
m m
AH AP
i
∣
中元素的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都为a ，点E，F，G 分别是AB，AD，DC 的中
点，则下列向量的数量积等于
2
a 的是（
）
A．2BA AC
B．2AD BD
C．2FG CA
D．2EF CB
7.如图，在直三棱柱���−�1�1�1中，��= ��= ��1 =
2，��= 2��= 2，则向量��Ԧ
ሬሬሬሬ与�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ的夹角是
（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
8.如图，正方体����−�1�1�1�1的棱长为1，设��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ，则�Ԧሬ+ �Ԧሬ
⋅�Ԧሬ−�Ԧሬ
=（
）
A．1
B．−1
C．0
D．2
9.如图，在平行六面体����−�1�1�1�1中，以顶点�为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°，则
��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ=（
）
A．
1
2
B．1
C．
3
2
D．2
10.已知空间向量�Ԧሬ+ �Ԧሬ+ �Ԧሬ= 0Ԧሬ, �Ԧሬ
= 1, �Ԧሬ
= 4,cos �Ԧሬ, �Ԧሬ
=
1
2，则�Ԧሬ
=（
）
A．3
B．13
C．21
D．21
11.（多选）如图，在四棱柱����−�1�1�1�1中，底面����是正方形，��=
2，��1 = 2，且cos∠���1 =
cos∠���1 =
2
4 ，则（
）
A．��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 1
B．��1 ⊥��
C．��1 =
2
D．直线��1与平面����所成的角为
π
3
12.（多选）若长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面是边长为2 的正方形，高为4 ，E 是
1
DD 的中点，则（
）
A．
1
1
B E
A B
B．
1
1
1
2
B E
AB
AD
AA
C．三棱锥
1
1
C
B CE
的体积为8
3
D．直线
1
CC 与平面
1B CE 所成角的正弦值为
30
6
13.（多选）已知平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
2
2
AA
AD
AB
，AC 与BD 的交点为M ，
90
BAD
，
1
1
60
A AB
A AD
，则（
）
A．
1
1
1
1
2
2
B M
AB
AD
AA
B．
1
1
1
1
2
2
B M
AB
AD
AA
C．
1
17
2
B M
D．
1
5
2
B M
14.（多选）在自然界中，金刚石是天然存在的最硬的物质．如图1，这是组成金刚石的碳原子在空间中排
列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4 个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何
的角度来看，可以认为4 个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4 个
碳原子距离都相等的位置，如图2 所示．这就是说，图2 中有AE＝BE＝CE＝DE，若正四面体ABCD 的
棱长为4，则（
）
A．DE
＝8 6
9
B．EA
＋EB
＋EC
＋
0
ED
C．AE BC
＝0
D．AC AE
uuur uuur ＝8
15.（多选）在三维空间中，定义向量的外积：a b
叫做向量a
与b
的外积，它是一个向量，满足下列两个
条件：
①
a
a b
，
b
a b
，且a
，b
和a b
构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中
指的指向一致，如图所示）；
②a b
的模
sin
,
a b
a b
a b
(
,
a b
表示向量a
，b
的夹角)．
在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，有以下四个结论，正确的有（
）
A．
1
1
AB
AC
AD
DB
B．
1
1
1
AC
A D
与
1
BD
共线
C．AB
AD
AD
AB
D．6 BC
AC
与正方体表面积的数值相等
16.已知�Ԧሬ
= 4，空间向量�Ԧሬ为单位向量，�Ԧሬ, �Ԧሬ
=
2π
3 ，则空间向量�Ԧሬ在向量�Ԧሬ方向上投影的模为
．
17.已知空间向量�Ԧሬ, �Ԧሬ, |�Ԧሬ| = 1, |�Ԧሬ| = 2, �Ԧ
ሬሬ= �Ԧሬ+ �Ԧሬ, �Ԧሬ= ��Ԧሬ+ �Ԧሬ, < �Ԧሬ, �Ԧሬ>= 60°，若�Ԧ
ሬሬ⊥�Ԧሬ，则�的值
为
．
18.已知�Ԧሬ, �Ԧሬ是两个空间向量，若|�Ԧሬ| = 2, |�Ԧሬ| = 2，|�Ԧሬ−�Ԧሬ| =
7，则cos〈�Ԧሬ, �Ԧሬ〉＝
.
19.在四棱柱����−�1�1�1�1中，∠�1��= ∠�1��= ∠���= 60°，��= ��= 1，��1 =
10，则
�1�=
.
20.已知空间三点�0, −2,3 、�−2, −1,6 、�1,1,5 .
(1)若向量�Ԧ
ሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ平行，且�Ԧ
ሬሬ
=
14，求�Ԧ
ሬሬ的坐标；
(2)求以��、��为邻边的平行四边形的面积．
21.如图所示，平行六面体����−�1�1�1�1中，��= ��= 1, ��1 = 2，∠���=
π
2 , ∠���1 = ∠���1 =
π
3.
(1)用向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ表示向量��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ，并求��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ；
(2)求��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ.
22.如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且��= ��= 2，
∠���= 45°．
(1)求证：��⊥��；
(2)求直线BD 与AC 所成角的大小．
23.如图，在直三棱柱
1
1
1
—
ABC
A B C 中，E
F
G
，，
，分别为
1
1
A B ，
1
CC ，
1
BB 的中点，分别记AB
，AC
，
1
AA
为a
，b
，c
.
(1)用a
，b
，c
表示EF
，EG
；
(2)若
1
2
AB
AC
AA
，AB
AC
，求
2
EF
EG
.
24.如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
,
M N 分别在棱
1
1
,
AA CC 上，且
1
1
1
1
1
,
3
3
A M
AA CN
CC
，且
1
1
60
A AD
A AB
DAB
.
(1)求证：
1
,
,
,
D M B N 共面；
(2)当
1
AA
AB 为何值时，
1
1
AC
A B
.
25.如图，在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，CB
AB
，AB
BC
a
，PA
b
．
(1)确定PC
在平面ABC 上的投影向量，并求
PC AB ；
(2)确定PC
在AB
上的投影向量，并求
PC AB ．
1.3 空间向量基本定理
模块一：基础知识
考点一：空间向量基本定理
1、空间向量基本定理
如果向量三个向量, , ,
a b c
不共面，那么对空间任意向量
,p
存在有序实数组
, ,
,
x y z
使得
.
p
xa
yb
zc
2、基底与基向量
如果向量三个向量, , ,
a b c
不共面，那么所有空间向量组成的集合就是
, , ,
.
p p
xa
yb
zc x y z
R
这个
集合可看作是由向量, , ,
a b c
生成的，我们把
, ,
a b c
叫做空间的一个基底, , ,
a b c
都叫做基向量．
对基底的正确理解，有以下三个方面：
（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；
（2）因为0
可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含
着它们都不是0
；
（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，
二者是不同的概念．
考点二：空间向量的正交分解
1、单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用
{ , , }
i j k
表示．
2、正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a
，均可以分解为三个向量xi
，yi
，zk
使得a
xi
y j
zk
.
像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
我们把, ,
x y z 称作向量p 在单位正交基底{ , , }
i j k
下的坐标．记作
, ,
a
x y z
此时向量a
的坐标恰是点a
在
空间直角坐标系Oxyz 中的坐标
, ,
,
x y z
其中, ,
x y z 分别叫做点a
的横坐标、纵坐标、竖坐标．
3、特殊向量的坐标表示
（1）当向量a
平行于x 轴时，纵坐标、竖坐标都为0 ，即
( ,0,0);
a
x
（2）当向量a
平行于y 轴时，纵坐标、横坐标都为0 ，即
(0, ,0);
a
y
（3）当向量a
平行于z 轴时，横坐标坐标、纵坐标都为0 ，即
(0,0, );
a
z
（4）当向量a
平行于xOy 平面时，竖坐标为0 ，即
( , ,0);
a
x y
（5）当向量a
平行于yOx 平面时，横坐标为0 ，即
(0, , );
a
y x
（6）当向量a
平行于xOz 平面时，纵坐标为0 ，即
( ,0, );
a
x
z
考点三：空间向量基本定理的应用
1．求异面直线的夹角：cos < �, �>=
�∙�
|�||�|.
2．证明共线(平行)、共面、垂直问题：
(1)对于空间任意两个向量�、�(�≠�)，�∥�的充要条件是存在实数λ，使�＝λ�.
(2)如果两个向量�，�不共线，那么向量p 与向量�，�共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，
y)，使p＝��+ �b.
(3)若�、�是非零向量，则�⊥��∙�= 0.
3．求距离(长度)问题：|�| =
�∙�(|��Ԧ
ሬሬሬሬ| =
��Ԧ
ሬሬሬሬ∙��Ԧ
ሬሬሬሬ).
模块二：题型分类
题型一：基底的判断
1.若
, ,
a b c
是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（
）
A．,
,
a a
b a
b
B．
,
,
2
a
b a
b a
b
C．
,
,
a
b a
c b
c
D．,
,
c a
b a
b
2.已知
, ,
a b c
为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（
）
A．,
2 ,
a a
b a
b
B．
,
,
a
b a
b c
C．2
2 ,
,2
a
b a
b
c
D．
,
,
2
a
c b
c a
b
c
3.（多选）若
a
b
c
，，
构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（
）
A．b
c
，b
，b
c
B．a，a
b
，a
b
C．a
b
，a
b
，c
D．a
b
，a
b
c
，c
4.（多选）设
,
,
,
x
a
b y
b
c z
c
a
且
, ,
a b c
是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一
个基底的向量组有（
）
A．
, ,
a b x
B．
, ,
x y z
C．
, ,
b c z
D．
, ,
x y a
b
c
5.
, ,
a b c
为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（
）
A．a，a
b
，a
b
B．b
，a
b
，a
b
C．c，a
b
，a
b
D．
2
a
b
，a
b
，a
b
6.（多选）
, ,
a b c
是空间的一个基底，与a
b
、a
c
构成基底的一个向量可以是（
）
A．b
c
B．b
c
C．b
D．c
7.正方体����−�1�1�1�1中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ
D．��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ
8.已知空间向量�Ԧሬ= 1, −2,2 ，�Ԧሬ= (2,2, −3), �Ԧሬ= ( −3,1, �)，若�Ԧሬ，�Ԧሬ，�Ԧሬ可以构成空间向量的一个基底，
则实数x 的取值范围为
.
题型二：空间基底表示向量
1.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，侧面
1
1
CC D D 的中心是P ，若
1
AP
AD
mAB
nAA
，则m _________，
n _________．
2.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，E 为棱
1
1
AC 的中点.设BA
a
，
1
BB
b
，BC
c
，则BE
（
）
A．1
1
2
2
a
b
c
B．1
1
2
2
a
b
c
C．
1
1
2
2
a
b
c
D．1
2 a
b
c
3.如图，在四面体OABC 中，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，点�在线段OA 上，且2��= ��, �为BC 中点，
则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ等于（
）
A．
1
3 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
B．
1
3 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
C．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ
D．−
1
3 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
4.直三棱柱���−�1�1�1中，若��Ԧ
ሬሬሬ= �Ԧሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ,，则��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ=（
）
A．−�Ԧሬ+ �Ԧሬ−�Ԧሬ
B．�Ԧሬ−�Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．�Ԧሬ−�Ԧሬ−�Ԧሬ
D．�Ԧሬ+ �Ԧሬ−�Ԧሬ
5.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，AC ，BD 相交于O，M 为
1
OC 的中点，设AB
a
，AD
b
，
1
AA
c
，
则CM
（
）
A．1
1
1
4
4
2
a
b
c
B．1
1
1
4
4
2
a
b
c
C．
1
1
1
4
4
2
a
b
c
D．
3
1
1
4
4
2
a
b
c
6.四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若AE
xAB
yAD
z AP
，则
x
y
z
等于（
）
A．3
2
B．1
C．5
2
D．2
7.空间四边形ABCD 中，AC 与BD 是四边形的两条对角线，M ，N 分别为线段AB ，CD 上的两点，
且满足
2
3
AM
AB
，
3
4
DN
DC
，若点G 在线段MN 上，且满足
3
MG
GN
，若向量AG
满足
AG
xAB
yAC
z AD
，则x
y
z
______．
8.在四面体O
ABC
中，
2
PA
OP
，Q 是BC 的中点，且M 为PQ 的中点，若OA
a
，OB
b
，OC
c
，
则OM
（
）
A．1
1
1
6
4
4
a
b
c
B．1
1
1
6
2
2
a
b
c
C．1
1
1
3
2
2
a
b
c
D．1
1
1
3
4
4
a
b
c
9.如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，P 是
1
CA 的中点，点Q 在
1
CA 上，且
1
:
4 :1
CQ OA
，设AB a
= ，
AD
b
，
1
AA
c
．则（
）
A．
3
3
3
10
10
10
QP
a
b
c
B．
7
7
7
10
10
10
QP
a
b
c
C．
3
3
3
10
10
10
QP
a
b
c
D．
1
1
1
10
10
10
QP
a
b
c
10.已知四面体O
ABC
，
1
G 是ABC
的重心，G 是
1
OG 上一点，且
1
3
OG
GG
，若
OG
xOA
yOB
zOC
，则( , , )
x y z 为（
）
A．1 1 1
,
,
4 4 4
B．3 3 3
,
,
4 4 4
C．1 1 1
,
,
3 3 3
D．2 2 2
,
,
3 3 3
11.在正四面体ABCD中，O为
BCD
△
的重心，记AB a
= ，AC
b
，AD
c
．若
2
3
AP
AO
，
2
CM
MD
，
则PM
．（用a
，b
，c
表示）
题型三：证明平行或垂直关系
1.已知空间四边形OABC 中，
AOB
BOC
AOC
，且OA=OB=OC，M，N 分别是OA，BC 的中点，G 是MN
的中点，求证：OG⊥BC．
2.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD，AE 上，
且
1
3
BM
BD
，
1
3
AN
AE
．求证：MN
AD
.
3.已知空间四边形OABC 中，AOB
BOC
AOC
，且OA
OB
OC
，M ，N 分别是OA ，BC 的
中点，G 是MN 的中点，求证：OG
BC
．
4.如图，正方体ABCD
A B C D
的棱长为1，E，F，G 分别为C D
，A D
，D D
的中点．求证：
//
EF
AC ．
5.已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直.
已知：如图，四面体ABCD，E
F
G
H
K
M
，，，，，
分别为棱AB
BC
CD
DA
BD
AC
，
，
，
，
，
的中点，且
EG
FH
KM
求证AB
CD
AC
BD
AD
BC
，
，
.
6.如图所示，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，CA
a
，CB
b
，
1
CC
c
，
1
1
CA
CB
CC
，
2
,
,
3
a b
a c
，
,
2
b c
，N 是AB 中点．
(1)用a，b
，c表示向量
1A N
；
(2)在线段
1
1
C B 上是否存在点M ，使
1
AM
A N
？若存在，求出M 的位置，若不存在，说明理由．
7.如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
AB
AD
AA
，
1
1
60
A AB
A AD
BAD
，
求证：直线
1AC 平面
1
1
BDD B
8.如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M
N
，
分别在棱
1
1
AA
CC
，
上，且
1
1
1
1
1
3
3
A M
AA
CN
CC
，
，且
1
1
60
A AD
A AB
DAB
．
(1)用向量
1
AA AD AB
，，
表示向量MN
；
(2)求证：
1
D
M
B
N
，
，，
共面；
(3)当
1
AA
AB 为何值时，
1
1
AC
A B
．
题型四：空间向量基本定理求距离夹角
1.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G 分别是AB，AD，CD 的中点．设
AB
a
，AC
b
，AD
c
uuur
r .求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值．
2.如图，两个正方形ABCD，CDEF 的边长都是3，且二面角A
CD
E
为60，M 为对角线AC 靠近点A
的三等分点，N 为对角线DF 的中点，则线段MN ______.
3.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
4
AB
，
4
AD
，
1
5
AA ，
60
DAB
，
1
60
BAA
，
1
60
DAA
，
M ，N 分别为
1
1
D C ，
1
1
C B 的中点．
（1）
, ,
a b c
构成空间的一个基底，用它们表示MN
，
1
AC
uuur
，设AB
a
，AD
b
，
1
AA
c
．
（2）求
1
AC 与MN 的夹角．
4.如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H 分别是正四面体ABCD中各棱的中
点，设AB a
= ，AC
b
，AD
c
.
（1）用AB a
= ，AC
b
，AD
c
表示EF
，并求EF
的长；
（2）求EF
与GH
的夹角.
5.如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60，求
1
BD
与AC 的夹角的余弦值．
6.如图，在四面体ABCD 中，
60
BAC
，
45
BAD
CAD
，
2
AD
，
3
AB
AC
.
(1)求BC BD
的值；
(2)已知F 是线段CD 中点，点E 满足
2
EB
AE
，求线段EF 的长.
7.如图，平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
45
60
CB
BD
C CD
CC B
，
，
，
1
1
CC
CB
BD
，
(1)求对角线
1
CA 的长度；
(2)求异面直线
1
CA 与DA 所成角的余弦值．
8.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，M ，N 分别是
1
1
1
,
A B B C 上的点，且
1
1
1
2
,
2
BM
A M C N
B N
．设AB a
= ，AC
b
，
1
AA
c
．
(1)试用a
，b
，c
表示向量MN
；
(2)若
1
1
1
90 ,
60 ,
1
BAC
BAA
CAA
AB
AC
AA
，求MN 的长．
9.已知在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AB
，
1
3
AA
，
1
AD 且
1
1
3
DAB
BAA
DAA
.
(1)求
1
DB 的长；
(2)求向量
1
DB
与AB
夹角的余弦值.
10.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，
CD 的中点．设AB
a
，AC
b
，AD
c
uuur
r .
(1)求证EG
AB
；
(2)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值．
11.如图所示，在四棱锥M
ABCD
中，底面ABCD 是边长为2 的正方形，侧棱AM 的长为3，且
60
MAB
MAD
，N 是CM 的中点，设a
AB
，b
AD
uuur
r
，c
AM
uuur
r
，用a、b
、c表示向量BN
，并
求BN 的长．
12.（多选）如图，已知AO 平面OBC ，
2
3
BOC
，
2
OA
OB
，
=3
OC
，E 为AB 的中点，
3
AC
AF
，
则以下正确的是（
）
A．
5
3
OF
B．
2 7
3
EF
C．AB 与OC 所成角的余弦值为
2
4
D．OE 与OF 所成角的余弦值为
2
10
13.（多选）在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
,
M N 分别是
1
1
1
,
A B B C 上的点，且
1
1
1
2
,
2
BM
A M C N
B N
.设
1
,
,
AB
a AC
b AA
c
，若
1
1
1
90 ,
60 ,
1
BAC
BAA
CAA
AB
AC
AA
，则下列说法中正确的是
（
）
A．
1
1
2
3
3
3
MN
a
b
c
B．
5
3
MN
C．
1
1
1
1
2
A B AC
D．直线
1
AB 与
1
BC 所成的角为30
模块三：综合巩固
1.在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，可以作为空间向量一组基底的是（
）
A．AB
，BC
，
1
1
AC
B．AB
，
1
AB
，
1
AA
C．AB
，AC
，
1
AA
D．
1
AA
，AC
，
1
1
AC
2.三棱锥A
BCD
中，M 是平面BCD 内的点，则以下结论可能成立的是（
）
A．
1
1
2
4
12
3
AM
AB
AC
AD
B．
1
1
1
3
5
6
AM
AB
AC
AD
C．
1
1
1
2
3
4
AM
AB
AC
AD
D．
1
1
1
2
2
2
AM
AB
AC
AD
3.已知
, ,
a b c
是空间的一个基底，若p
a
b
，q
a
b
，则（）
A．
, ,
a p q
是空间的一个基底
B．
, ,
b p q
是空间的一个基底
C．
, ,
c p q
是空间的一个基底
D．
,p q
与, ,
a b c
中的任何一个都不能构成空间的一个基底
4.如图，在空间四边形OABC 中，OA
a
，OB
b
，OC
c
，且
2
OM
MA
，BN
NC
，则MN
等于（
）
A．2
2
1
3
3
2
a
b
c
B．1
1
1
2
2
2
a
b
c
C．
2
1
1
3
2
2
a
b
c
D．1
2
1
2
3
2
a
b
c
5.已知a
，b
，c
是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（
）
A．3a
，a b
，
2
a
b
B．2b
，
2
b
a
，
2
b
a
C．a
，2b
，b c
D．c
，a
c
，a
c
6.在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AA 平面ABC，
1
1
AA
AB
AC
BC
，M 是
1
1
B C 的中点，则AM （
）
A．
3
2
B．
5
2
C．
7
2
D．7
4
7.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，P 是线段
1
AC 上一点，且
1
2
AP
C P
，若
1
1
AP
xAB
yAD
zAC
，则
x
y
z
（
）
A．3
4
B．1
C．5
4
D．7
4
8.在四面体OABC 中，E 为OA 中点，
1
3
CF
CB
，若OA
a
，OB
b
，OC
c
，EF
xa
yb
zc
，则
3
log xyz
（
）
A．3
B．2
C．2
D．3
9.（多选）给出下列命题，其中正确命题有（
）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底
B．已知向量//
a b
r r ，则,a b
与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．A，B，M，N 是空间四点，若
,
,
BA BM BN
不能构成空间的一组基底，那么点A，B，M，N 共面
D．已知向量
, ,
a b c
是空间的一组基底，若m
a
c
，则
, ,
a b m
也是空间的一组基底
10.（多选）在正方体
1
1
1
1
ACBD
A B C D
中，设
1
,
,
AB
a AD
b AA
c
，则（
）
A．(
)
0
a
b
c
B．
π
,
3
a
b b
c
C．
2
2
2
1
1
2
AC
AC
a
b
c
a b
D．
1
BD
b
c
a
11.（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（
）．
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若
0
a b
，则
,
a b
是钝角
C．设
, ,
a b c
是空间中的一组基底，则
,
,
a
b b
c c
a
也是空间的一组基底
D．若对空间中任意一点O，有
1
1
1
5
3
2
OP
OA
OB
OC
，则
, , ,
P A B C 四点共面
12.（多选）如图，在四面体OABC 中，点M 在棱OA 上，且满足
2
OM
MA
，点N ，G 分别是线段BC ，
MN 的中点，则用向量OA
，OB
，OC
表示向量中正确的为（
）
A．
1
1
1
3
4
4
GN
OA
OB
OC
B．
1
1
1
3
4
4
OG
OA
OB
OC
C．
1
1
3
2
3
2
GM
OA
OB
OC
D．
1
1
1
3
4
4
GM
OA
OB
OC
13.（多选）如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，AC 与BD 交于O点，且
1
1
60
BAD
BAA
DAA
，
4
AB
AD
，
1
5
AA
.则下列结论正确的有（
）
A．
1
AC
BD
B．
1
1
9
BC
AC
C．
1
85
BD
D．
1
1
1
1
2
2
OB
AB
AD
AA
14．已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，若点F 是侧面
1
1
CC D D 的中心，且
1
AF
AD
mAB
nAA
，则
m
n
.
15．点M 、N 分别是正四面体ABCD 棱BC 、AD 的中点，则cos
,
AM CN
．
16．以下四个命题中，说法正确的有
．（填入所有正确序号）
①若任意向量a
b
，共线，则必存在唯一实数使得a
b
成立；
②若向量组{ , , }
a b c
是空间的一个基底，则{
,
,
}
a
b b
c a
c
也是空间的一个基底；
③所有的平行向量都相等；
④ABC
是直角三角形的充要条件是
0
AB AC
．
17．设a，b
，c
是三个不共面的向量，现在从①a
b
；②a
b
；③a
c
；④b
c
；⑤a
b
c
r
r
r中选
出可以与a，b
构成空间的一个基底的向量，则所有可以选择的向量为
（填序号）.
18．如图，已知平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
AB
AD
，
1
4
AA
，
1
1
60
BAA
DAA
BAD
. M
为
1
CC 的中点，则AM 长度为
.
19．对于任意空间四边形ABCD，E，F 分别是AB，CD 的中点．
(1)试证：EF
与BC
，AD
共面；
(2) AD
a
，AB
b
，AC
c
，试用基底{a，b
，c}表示向量BF
．
20．如图所示，平行六面体OABC
OA B C
中，OA
a
，OC
b
，OO
c
，用, ,
a b c
示如下向量：
(1)OB
，O B
，AC
；
(2)GH
（
,
G H 分别是B C
和O B
的中点）．
21．如图所示，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M 是底面ABCD的中心，N 是侧面
1
1
BCC B 对角线
1
BC
上的3
4 分点．
(1)化简
1
1
2
2
3
AA
BC
AB
，并在图中标出其结果．
(2)设
1
MN
xAB
yAD
zAA
，试求x ，y ，z 的值．
22．如图所示，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，底面ABCD是边长为1 的正方形，
1
2
AA
，
1
1
120
A AB
A AD
，求
1
DB
的长．
23．在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，G 为
1
BC D
的重心，证明：
1,
,
A G C 三点共线.
24．如图，平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
45
60
CB
BD
C CD
CC B
，
，
，
1
1
CC
CB
BD
，
(1)求对角线
1
CA 的长度；
(2)求异面直线
1
CA 与DA 所成角的余弦值．
25.如图，已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为1，P，Q，R 分别在AB，
1
CC ，
1
1
D A 上，并满足
1
1
1
0
1
1
D R
AP
CQ
a
a
PB
QC
RA
a
．设AB
i
，AD
j
，
1
AA
k
．
(1)用i
，j
，k
表示PQ
，PR
；
(2)设PQR
的重心为G，用i
，j
，k
表示DG
；
(3)当RG
DG
时，求a 的取值范围．
1.4 空间向量及其运算的坐标表示
模块一：基础知识
考点一：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{ , , }
i j k
，以O 为原点，分别以, ,
i j k
的方
向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就
建立了一个空间直角坐标系Oxyz .
(2)相关概念：O 叫做原点，, ,
i j k
都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy
平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
（1）在空间直角坐标系Oxyz 中，, ,
i j k
为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA
，且点A 的
位置由向量OA
唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组( , , )
x y z ，使OA
xi
y j
zk
.
在单位正交基底{ , , }
i j k
下与向量OA
对应的有序实数组( , , )
x y z 叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，
记作
( , , )
A x y z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．
（2）在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a
，作OA
a
.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组
( , , )
x y z ，使a
xi
y j
zk
.有序实数组( , , )
x y z 叫做a
在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记
作
( , , )
a
x y z
考点二：空间向量运算的坐标表示
设
(
)
(
)
a
a
a
a
b
b
b
b
1
2
3
1
2
3
=
，，
, =
，，
，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
坐标表示
加法
(
)
a
b
a
b
a
b
a
b
1
1
2
2
3
3
=
＋，＋，＋
减法
(
)
a
b
a
b
a
b
a
b
1
1
2
2
3
3
=
－，－，－
数乘
(
)
a
a
a
a
R
1
2
3
＝
，
，
,
数量积
a b
a b
a b
a b
1 1
2
2
3
3
＋
＋
考点三：空间向量平行与垂直的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
(
)
(
)
a
a
a
a
b
b
b
b
1
2
3
1
2
3
=
，，
, =
，，
平行（a b
）
(
0)
a b b
1
1
2
2
3
3
a
b
a
b
a
b
R
a
b
垂直（a
b
）
a
b
1 1
2
2
3 3
0
0
a b
a b
a b
a b
（,a b
均为非零向量）
特别提醒：在
(
0)
a b b
1
1
2
2
3
3
a
b
a
b
R
a
b
中，应特别注意，只有在b
与三个坐标平面都不平行时，
才能写成
3
1
2
1
2
3
a
a
a
b
b
b
.例如，若b
与坐标平面xOy 平行，则
3
0
b
，这样
3
3
a
b 就没有意义了.
2、向量长度的坐标计算公式
若
(
)
a
a
a
a
1
2
3
=
，，
，则
2
2
2
2
2
|
|
|
|
a
a
a
a
a
a
1
2
3
，即
2
2
2
|
| a
a
a
a
1
2
3
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的
体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设
(
)
(
)
a
a
a
a
b
b
b
b
1
2
3
1
2
3
=
，，
, =
，，
，则cos
,a b
1 1
2
2
3 3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
a b
| a || b |
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b
4、两点间的距离公式
已知
1
1
1
2
2
2
,
,
,
,
,
A x y z
B x
y z
，则
2
2
2
2
1
2
1
2
1
|
|
AB
d
AB
x
x
y
y
z
z
考点四：空间点的对称问题
1.空间直角坐标系中对称点的坐标：
①点(a,b,c)关于原点O 的对称点为(-a,-b,-c);
②点(a,b,c)关于x 轴的对称点为(a,-b,-c);
③点(a,b,c)关于y 轴的对称点为(-a,b,-c);
④点(a,b,c)关于z 轴的对称点为(-a,-b,c);
⑤点(a,b,c)关于Oxy 平面的对称点为(a,b,-c);
⑥点(a,b,c)关于Oyz 平面的对称点为(-a,b,c);
⑦点(a,b,c)关于Ozx 平面的对称点为(a,-b,c).
2.空间点对称问题的两个技巧：
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
模块二：题型分类
题型一：求空间点的坐标
1.在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
2
AB
BC
，
1
2 2
AA
，建立适当的空间直角坐标系并确定点
1
1
,
, ,
A C B D
的坐标．
2.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，ABC
为等腰三角形，
1
AB
AC
AA
，E、F 分别是
1
CC 、BC 的中点，且
5
AB
，
6
BC
，请建立空间直角坐标系，并求各点的坐标.
3.如图，四棱锥PABCD 中，PA⊥平面ABCD，PB 与底面所成的角为45，底面ABCD 为直角梯形，
1
90 ,
1.
2
ABC
BAD
PA
BC
AD
请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
4.如图所示，正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长都为2 ，D 为
1
CC 的中点．请建立适当空间直角坐标系，并
求各个点的坐标．
题型二：求空间直角坐标系中对称点的坐标
1.在空间直角坐标系O
xyz
中，点
(1,2,3)
A
关于x 轴对称的点的坐标为（
）
A．
1, 2
)
3
(
,
B．
1,2, 3
C．1, 2
3
(
,
)
D．( 1, 2,3)
2.在空间直角坐标系Oxyz 中，点
1,3,3 关于Oxy 平面的对称点坐标为（
）
A．
1,3,3
B．
1, 3,3
C．
1,3, 3
D．
1, 3, 3
3.在空间直角坐标系Oxyz 中，点
(2 3 4)
P
, ,
在平面xOy 内射影的坐标为（
）
A．(2 3 0)
, ,
B．( 2 3 0)
, ,
C．(2,0,4)
D．(0 3 4)
, ,
4.在空间直角坐标系O
xyz
中，点
1,1,1
A
与点
1, 1,1
B
关于（
）
A．原点对称
B．平面xOy 对称
C．平面yOz 对称
D．平面xOz 对称
5.已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3，2，1)，M
点的坐标为(4，3，1)，则B 点的坐标为
．
6.在空间直角坐标系中，O为原点，已知点
1,2, 1
P
，
0,1,2
A
，则（
）
A．点P 关于点A 的对称点为
2,3, 4
B．点P 关于x 轴的对称点为
1, 2, 1
C．点P 关于y 轴的对称点为
1,2,1
D．点P 关于平面xOy 的对称点为
1, 2,1
题型三：空间向量的坐标表示
1.已知
1, 1,3 ,
0,2, 1
A
B
，则向量AB
的坐标是（
）
A．
1,3, 4
B．
1,3, 4
C．
1, 3, 4
D．
1, 3,4
2.如图，正方体
1
1
1
1
OABC
O A B C
的棱长为2，
1
E
B B
，且
1
2
EB
EB
，则OE
（
）
A．(2, 2,1)
B．(2,2,2)
C．
2
2,2, 3
D．
4
2,2, 3
3.在空间直角坐标系中，已知三点
(0,0,0), (1,2,1), (1, 1,0)
O
A
B
，若点C 在平面OAB 内，则点C 的坐标可能
是（
）
A．( 1, 1,3)
B．(3,0,1)
C．(1,1,2)
D．(1, 1,2)
4.（多选）如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，已知ABC
的边长为2，三棱柱的高为
1
1
1,
,
BC B C 的中点分
别为
1
,
D D ，以D 为原点，分别以
1
,
,
DC DA DD
的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下
列空间点及向量坐标表示正确的是（
）
A．
1 0, 3,1
A
B．
1 1,0,1
C
C．
1
0,
3,1
AD
D．
1
3, 3, 1
B A
5.已知向量
, ,
a b c
是空间的一个基底，向量
,
,
a
b a
b c
是空间的另一个基底，一向量p
在基底
, ,
a b c
下
的坐标为
1, 2,3
，则向量p
在基底
,
,
a
b a
b c
下的坐标为（
）
A．
1 3
,
,3
2 2
B．3
1
,
,3
2
2
C．
1 3
3,
,
2 2
D．
1
3
,
,3
2
2
6.已知点
(4, 1,2)
A
，
(2, 3,0)
B
，点C 满足
2
BC
CA
，则点C 的坐标是________.
7.已知平行四边形ABCD，且
4,1,3
A
，
2, 5,1
B
，
3,7, 5
C
，则顶点D 的坐标为（
）
A．
1,12, 6
B．
3,7, 5
C．
1, 12,6
D．
5,13, 3
8.如图，在空间直角坐标系中，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为1，
1
1
1
1
1
4
B E
A B
，则
1
BE
等于
A．
1
0,
, 1
4
B．
1 ,0,1
4
C．
1
0,
,1
4
D．1 ,0, 1
4
9.已知
, ,
i j k
是空间的一个单位正交基底，向量
5
2
b
i
k
用坐标形式可表示为________．
10.若
3,2,4
A
､
1,2, 8
B
，点C 在线段AB 上，且
2
3
AC
AB
，则点C 的坐标是___________.
题型四：空间向量的坐标运算
1.已知向量
4,2, 4
a
，
2, 1,1
b
，
1,5,1
c
，求：
(1) 2
3
a
b
；
(2) a b
；
(3) a
b
c
（
）.
2.如图，在长方体OABC
D A B C
中，
3
OA ，
4
OC
，
2
OD
，以1
1
1
,
,
3
4
2
OA
OC
OD
为单位正交基
底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ．
(1)写出D，C ，A，B四点的坐标；
(2)写出向量A B
，B B
，A C
，AC
的坐标．
3.已知
2,3, 1
a
，
2,1,4
b
，
2, ,2
c
，若a
，b
，c
三向量共面，则实数等于（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
4.已知点
2,4,0
A
、
1,3,3
B
，且满足2AQ
QB
，则Q 点的坐标为（
）
A．11 5
,
,1
3 3
B．5 11
,
,1
3 3
C．5 ,1,0
3
D．
1,0,1
题型五：坐标形式求空间向量的数量积
1.已知向量
3,5, 4
a
，
2,1,8
b
．求a b
．
2.已知向量
(1,1, )
a
x
，
( 2,2,3)
b
，若(2
)
1
a
b
b
，则x （
）
A．3
B．3
C．1
D．6
3.若向量
(1, 1, ),
(1, 2,1),
(1,1,1)
a
b
c
，满足条件(
)
1
c
a
b
，则（
）
A．1
B．2
C．1
D．2
4.已知空间向量
(1,2, 3)
a
，
(2, 1,1)
b
，
(2,0,3)
c
，则
(
)
a
b
c
（
）
A．10
B．3 3
C．(4, 2, 12)
D．(5,0, 15)
题型六：坐标形式求平行关系
1.已知空间三点
( 2,0,2)
A
，
( 1,1,2)
B
，
( 3,0,4)
C
，设
,
a
AB b
AC
.若(
) / /(
)
3
ka
b
a
b
，求实数k 的
值．
2.已知
1,2,
a
y
，
,1,2
b
x
，且
2 //
b
a
b
，则（
）
A．
1
3
x
，
1
y
B．
1
2
x
，
4
y
C．
2
x
，
1
4
y
D．
1
x ，
1
y
3.已知两个向量
(2, 1,3)
a
，
(4,
, )
b
m n
，且
/ /
a
b
，则m
n
的值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
4.向量
,1,1
a
x
，
1, ,1
b
y
，
2, 4,2
c
，且a
c
，b
c
，则2a
b
______.
5.设,x yR ，向量
,1,1
a
x
，
1, ,1
b
y
，
1, 2,1
c
，且a
c
，//
b c
，则a
b
（
）
A．2 2
B．2 3
C．4
D．3
6.已知向量
1, ,2
a
t
，
2, 2,
b
s
，若a
b
∥
，则实数t
s
（
）
A．2
B．2
C．4
D．5
题型七：坐标形式求垂直关系
1.已知向量
1,2,0
a
，
2, , 1
b
y
，若a
b
，则y （
）
A．2
B．1
C．1
D．2
2.已知
1,1,0
a
r
，
1,0,2
b
r
，且ka
b
与2a
b
互相垂直，则实数k 的值为（
）
A．2
5
B．1
5
C．3
5
D．7
5
3.已知向量
2, 1,2 ,
1,1,2 ,
,2,2
a
b
c
x
．
(1)求
2
a
b
；
(2)当
2 2
c
时，若向量ka
b
与c垂直，求实数x 和k 的值；
(3)若向量c与向量,a b
共面向量，求x 的值．
4.已知点
2 0 2
A ，，、
11 2
B ，，、
3 0 4
C ，，，a
AB
，b
AC
．
(1)若
3
c
，且//
c BC
，求c；
(2)求cos a
b
，
；
(3)若ka
b
与
2
ka
b
垂直，求k ．
5.已知向量
1,0,1
a
，
1,2,0
b
.
(1)求a
与a b
的夹角余弦值；
(2)若
2a
b
a
tb
，求t 的值.
6.已知向量
( , ,3)
a
x y
，
(1,2, 1)
b
，
(1,0,1)
c
，且//
a c
．
(1)求实数,x y 的值；
(2)若(
)
(
)
a
b
a
b ，求实数的值．
题型八：空间向量的模
1.若
1,2,3 ,
1, 1, 5
AB
BC
，则AC
______．
2.
1, 3,1
a
，
1,1, 3
b
，则a
b
_______．
3.已知向量
1,2,1
a
，
3, ,1
b
x
，且a
b
，那么b
等于（
）
A．10
B．2 3
C．11
D．5
4.如图，在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E ，F 分别为
1
D D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，
且
1
4
CG
CD
，H 为
1
C G 的中点．求| FH
|.
5.已知向量
0, 1,1 ,
4,1,0 ,
29
a
b
a
b
，且
0
，则____________．
6.已知
2,1,3
a
，
4,2,
b
x
，且a
b
，则a
b
_____．
7.已知
,2 ,
1
AB
a
b a
，
2 ,
2, 4
AC
a b
，且AB
AC
，则BC
uuur
为______.
题型九：坐标形式求空间向量的夹角
1.在空间直角坐标系中，已知
(2,2, 1)
a
，
( 1,3,1)
b
，则a、b
夹角的余弦值是______．
2.已知空间三点
(1,1,1)
A
，
( 1,0,4)
B
，
(2, 2,3)
C
，则AB
与CA
的夹角的大小是________．
3.已知空间向量
1,0,1
a
，
1,1,
b
n
，且
3
a b
，则向量a与b
的夹角为（
）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
4.若向量
1, ,1 ,
2, 1, 2
a
b
，且a与b
夹角的余弦值为
2
6
，则等于（
）
A．
2
B．
2
C．
2
或
2
D．2
5.已知向量
( 4,2,4),
( 6,3, 2).
a
b
(1)求|
|
a ；
(2)求向量a
与b
夹角的余弦值.
6.若向量
1, ,0
a
，
2, 1,2
b
，且a
,b
的夹角的余弦值为2
3 ，则实数等于（
）.
A．0
B．
4
3
C．0 或
4
3
D．0 或4
3
7.已知向量
2, 1,2
a
，
1,4,1
b
r
.
(1)求2a
b
的值；
(2)求向量
2
a
b
与a b
夹角的余弦值.
题型十：坐标形式求投影向量
1.已知
0,1,1
a
，
0,1,0
b
，则a
在b
上的投影向量为（
）
A．1
B．
2
2
C．
0,1,0
D．
1 1
0,
,
2 2
2.已知向量
0,1,1
a
，
1,1,0
b
，则向量b
在向量a上的投影向量为（
）．
A．
0, 1, 1
B．
1,0, 1
C．
1 1
0,
,
2 2
D．1
1
,0,
2
2
3.已知
1,1,0
A
，
0,3,0
B
，
2,2,2
C
，则向量AB
在AC
上的投影向量的坐标是（
）
A．1 1
1
, ,
6 6
3
B．
1
1 1
,
,
6
6 3
C．
1
1
1
,
,
6
6
3
D．1 1 1
, ,
6 6 3
题型十一：坐标形式求空间向量最值范围问题
1.在空间直角坐标系Oxyz 中，
1,2,3
A
，
2,1,2
B
，
1,1,2
P
，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB
取得
最小值时，OQ
______．
2.已知空间直角坐标系O
xyz
中，
1,2,3
OA
，
2,1,2
OB
，
1,1,2
OP
uuur
，点Q 在直线OP 上运动，则
当QA QB
取得最小值时，点Q 的坐标为（
）
A．1 3 1
,
,
2 4 3
B．1 3 3
,
,
2 2 4
C．4 4 8
,
,
3 3 3
D．4 4 7
,
,
3 3 3
3.已知MN 是长方体外接球的一条直径，点P 在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、7 ，则
PM PN
的取值范围为________.
4.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
5
AA ，
4
AD
AB
，M ，N ，P 分别是棱
1
1
C D ，BC ，
1
CC 上的点，
且
1
1
C M
MD
，
1
1
3
5
C P
C C
，
1
4
CN
CB
，Q 是平面ABCD内一动点，若直线
1
D Q 与平面MNP 平行，则
1
1
QB QD
的最小值为（
）
A．441
25
B．17
C．89
5
D．16
25
5.正四面体ABCD的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP AD
的最大值为（
）
A．2
B．2 3
C．4
D．4 3
题型十二：模的最值（范围）问题
1.如图，在直三棱柱ABC
A B C
中，
2
AB
BC
BB
，AB
BC
，D 为AB 的中点，点E 在线段C D
上，点F 在线段BB上，求线段EF 长的最小值．
2.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为4，点E 是棱
1
CC 的中点，动点P 在正方形
1
1
AA B B 内（包括边界）
运动，且
1
PD ∥平面BDE ，则PC 长度的取值范围为（
）
A．
5,6
B．4 2,6
C．12 5 ,6
5
D．2 5,6
3.已知单位空间向量
1
2
3
,
,
e e e
满足
1
2
2
3
1
3
1
0,
2
e e
e
e
e e
．若空间向量a满足
1
2
3 2
2
a e
a e
，且对于
任意实数
1
2
, ,
x y a
xe
ye
的最小值是2，则
3 (
R)
a
e
的最小值是_________．
4.在空间直角坐标系�−���中，已知�Ԧሬ= 1,2, −2 ，�Ԧሬ+ �Ԧሬ= �, �, �，其中�2 + �2 + �2 = 1，则�Ԧሬ的最大
值为（
）
A．3
B．1 +
5
C．10
D．4
5.已知a、b
是空间互相垂直的单位向量，且
8
c
，
2 6
c a
c b
，则c
ma
nb
的最小值是______.
6.已知OA
，OB
，OC
是空间两两垂直的单位向量，OP
xOA
yOB
zOC
uuur
uur
uuur
uuur
，且
2
4
1
x
y
z
，则
|
|
OP
OA
OB
的最小值为________．
7.已知
(0,1
,2
1)
a
t
t
，
(
2,2, )
b
t
t
，则a
b
的最小值为__________．
题型十三：空间向量成锐角（钝角）求参数
1.已知向量
2, 1,1
a
，
1,2,
b
t
，若a
与b
的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为______.
2.（多选）若向量
1,1, 2
a
与
1, ,2
b
x
的夹角为锐角，则实数x 的值可能为（
）.
A．4
B．5
C．6
D．7
3.已知向量
5,3,1
a
，
2
2, ,
5
b
t
，若a与b
的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．
4.若
2, 1,4
a
，
1, , 2
b
t
，若a与b
的夹角是钝角，则t 的值的取值范围为__________.
5.若
(2, 1,4),
( 1, , 2)
a
b
t
，若a
与b
的夹角是锐角，则t 的值的取值范围为__________.
模块三：综合巩固
1．在空间直角坐标系中，点( 2,1,4)
关于x 轴对称的点坐标是（
）
A．( 2,1, 4)
B．(2,1, 4)
C．( 2, 1, 4)
D．(2, 1,4)
2．在空间直角坐标系O
xyz
中，点
(1,2,3)
P
与
( 1, 2, 3)
Q
两点的位置关系是（
）
A．关于y 轴对称
B．关于yOz 平面对称
C．关于坐标原点对称
D．关于xOz 平面对称
3．已知向量
1
2,3, 4 ,
4, 3, 2 ,
2
2
a
b
b
c
a
,则c
（
）
A．
0,3, 6
B．
0,6, 20
C．
0,6, 6
D．
6,6, 6
4．已知
(2, 3,1)
a
，
(2,0,3)
b
，
(0,1, 2)
c
，则
4
3
a
b
c
等于（
）
A．(4, 4,6)
B．
6, 6, 5
C．(10,0,7)
D．
10, 6,19
5．已知向量
(1, , 2)
a
x
，
(0,1,2)
b
，
(1,0,0)
c
，若a
b
c
，，共面，则x 等于（
）
A．1
B．1
C．1 或1
D．1 或0
6．已知向量
(1,1, )
a
x
，
( 2,2,3)
b
，若(2
)
1
a
b
b
，则x （
）
A．3
B．3
C．1
D．6
7．若向量a、b
的坐标满足
2
1 2
a
b
，，，
4
3
2
a
b
，，
，则a b
等于（
）
A．﹣1
B．﹣5
C．5
D．7
8．已知向量
1
2,1,4 ,
,
,3
2
a
b
x
x
x
，若a
b
，则b
（
）
A．5
B．
21
C．4
D．
21
2
9．已知空间向量
1,2,3
m
，空间向量n
满足
//
m n
ur r 且
7
m n
，则n
＝（
）
A．1
3
,1,
2
2
B．
1
3
, 1,
2
2
C．
3
1
, 1,
2
2
D．3
1
,1,
2
2
10.已知点P 是ABC
所在的平面外一点，若
( 2,1,4)
AB
，
(1, 2,1)
AP
，
(4, 2,0)
AC
，则（
）
A．
/ /
BP
AC
B．
/ /
AP
BC
C．AP
AB
D．AP
BP
11．已知向量
1,2,3 ,
2, 4, 6
a
b
，
14
c
，若
7
a
b
c
，则a
与c
的夹角为（
）
A．30
B．60
C．120
D．150
12．若
1,
1,
a
x
x
，
2
,0,3
b
x
，且a
与b
的夹角为钝角，则x 的取值范围是（
）
A．
1
, 2
B．1 ,
2
C．
1
(
, 1)
1, 2
D．1 ,3
(3,
)
2
13．已知向量
1,1,0 ,
1,0,2
a
b
，则3a
b
（
）
A．15
B．4
C．5
D．17
14．（多选）已知向量
(1, 1,
)
a
m
，
( 2,
1,2)
b
m
，则下列结论中正确的是（
）
A．若|
| 2
a
，则
2
m
B．若a
b
，则
1
m
C．不存在实数
，使得a
b
D．若
1
a b
，则
( 1, 2,2)
a
b
15．（多选）已知向量
,2 ,2
a
m
m
，
2
5,
, 1
b
m
m
，则下列结论正确的是（
）
A．若//
a b
r r ，则
2
m
B．若a
b
，则
2
5
m
C．a
r
的最小值为2
D．a
r
的最大值为4
16．（多选）已知空间向量
( 2, 1,1)
a
，
(3,4,5)
b
，则下列结论正确的是（
）
A．(2
) / /
a
b
a
B．5 |
|
3 |
|
a
b
C．
(5
6 )
a
a
b ）
D．a与b
夹角的余弦值为
3
6
17．空间直角坐标系中，若点
2,1,4
A
关于点
2,0,0
B
的对称点为C，则点C 的坐标为
.
18．若点
( 1 1 8)
P ，，关于点
(1
1 )
A
a
，，对称的点是
, , 2
Q b c
,则a
b
c
．
19．已知点
(0,1,0)
A
，
(2 3 2)
B
, ,
，向量
1
2
AC
AB
，则点C 的坐标为
．
20．已用
1,2,1
a
，
2, 2,4
b
，则b
在a
方向上的投影向量为
．
21．已知空间三点
(1,3, 2)
A
，
(2,5,1)
B
，
( ,7,
2)
C p
q
共线，则p
，q
．
22．已知
3 2
11
a
，
，，
1 0 2
b
，，
．若a
b
，则μ＝
；若//
a b
r r ，则λ+μ＝
．
23．若
(2, 1,4),
( 1, , 2)
a
b
t
，若a
与b
的夹角是锐角，则t 的值的取值范围为
.
24．如图，正方形ABCD与正方形ABEF 所在平面互相垂直，
2
AB
，M ，N 分别是对角线BD ，AE 上
的动点，则线段MN 的最小长度为
．
25．如图，在长方体中，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
4
AB
，
3
AD
，
1
5
AA ，以点A 为原点，分别以AB ，AD ，
1
AA 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系.求点A ，B ，C ，D ，
1A ，
1
B ，
1
C ，
1
D 的坐标.
26．如图，在边长为4 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E ，F ，G 分别是
1
1
A D ，
1
DD ，CD 的中点．以A 为
坐标原点，AB
的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出
1
B ，
1
C ，E ，F ，G 五点的坐标；
(2)求
1
1
1
C G
B E
B F
．
27．如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
//
AB CD ，AB
AD
，
1
2
2
4
AA
AB
AD
CD
，E，F，G
分别为棱
1
DD ，
1
1
A D ，
1
BB 的中点.
(1)求线段FG 的长度；
(2)求CG EF
.
28．已知ABC
的三个顶点分别为
1, 1,0
A
，
1,3,0
B
，
3,0,0
C
．求证：ABC
是直角三角形．
29．已知点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)求以AB，AC 为边的平行四边形的面积；
(2)若向量a
分别与AB
，AC
垂直，且|
|
3
a
，求a
的坐标．
30．已知向量
1,0,1
a
，
1,2,0
b
.
(1)求a
与a b
的夹角余弦值；
(2)若
2a
b
a
tb
，求t 的值.
31．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，
那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种
坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：, ,
i j k
分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n
xi
yj
zk
，则n与有
序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作
[ , , ]
n
x y z
.
(1)若
1,2,3
a
，
[ 1,1,2]
b
，求a
b
的斜60°坐标；
(2)在平行六面体
1
1
ABCD
ABC D
中，AB=AD=2，AA1=3，
1
1
60
BAD
BAA
DAA
，如图，以
1
,
,
AB AD AA
为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若
1
BE
EB
，求向量
1
ED 的斜60坐标；
②若
2, ,0
AM
t
，且
1
AM
AC
，求AM
.
1.5 用空间向量研究直线、平面的位置关系
模块一：基础知识
考点一：用向量表示点、直线、平面的位置
1.用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP
表示.我们把向量OP
称为
点P 的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①, a
是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB
a
,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上的充
要条件是存在实数t ,使得AP
ta
，即AP
t AB
3、空间直线的向量表示式
如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP
OA
ta
①
或OP
OA
t AB
②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一
确定.
4、用向量表示空间平面的位置
根据平面向量基本定理，存在唯一实数对( , )
x y ，使得AP
xa
yb
，如图；取定空间任意一点O ，空间
一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP
OA
xAB
yAC
.
考点二：平面的法向量及其应用
1、平面法向量的概念
如图，若直线l
，取直线l 的方向向量a
，我们称a
为平面的法向量；过点A 且以a
为法向量
的平面完全确定，可以表示为集合{
|
0}
P a AP
．
2、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面的法向量为
( , , )
n
x y z
选向量：选取两不共线向量
,
AB AC
列方程组：由
0
0
n AB
n AC
列出方程组
解方程组：解方程组
0
0
n AB
n AC
赋非零值：取其中一个为非零值（常取)
得结论：得到平面的一个法向量.
考点三：空间中直线、平面的平行
设直线1l , 2l 的方向向量分别为a
，b
，平面，的法向量分别为n
，m
，则
线线平行
1
2
l
l
⇔a b
⇔a
b
(
R
)
线面平行
1l
⇔a
n
⇔
0
a n
面面平行
⇔n m
⇔n
m
考点四：空间中直线、平面的垂直
设直线1l 的方向向量为
1
1
1
(
,
,
)
a
a b c
，直线2l 的方向向量为
2
2
2
(
,
,
)
b
a b c
，平面的法向量
1
1
1
( ,
,
)
n
x y z
，平面的法向量为
2
2
2
(
,
,
)
m
x
y
z
，则
线线垂直
1
2
l
l
⇔
0
a b
⇔
1
2
1 2
1 2
0
a a
b b
c c
线面垂直
1l
⇔a
n
⇔a
n
⇔
1
1
1
1
1
1
a
x
b
y
c
z
面面垂直
⇔n
m
⇔
0
n m
⇔
1
2
1
2
1 2
0
x x
y y
z z
模块二：题型分类
题型一：直线的方向向量
1.已知
1,2, 2
A
，
3,2,1
B
在直线l 上，写出直线l 的一个方向向量：n
．
2.若向量
,2,1 ,
1, ,3
a
x
b
y
都是直线l 的方向向量，则x
y
.
3.已知直线l 的一个方向向量
2, 1,3
m
，且直线l 过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z 等于（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD 的中点，AB＝AP＝1，AD
＝
3 ，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC 的一个方向向量．
题型二：平面的法向量及其求法
1.若
1,2,3
OA
，
1,3,4
OB
，则以下向量中，能成为平面OAB 的法向量的是（
）
A．
1,7,5
B．
1, 7,5
C．
1, 7,5
D．
1, 7, 5
2.已知向量
1,1, 1 ,
1,1,0
AB
AC
，则平面ABC 的一个法向量n
（
）
A．
1,1,2
B．
1, 1,0
C．
1,1,2
D．
1,1,0
3.空间直角坐标系O
xyz
中，已知点
2,0,2
A
，
2,1,0
B
，
0,2,0
C
，则平面ABC 的一个法向量可以是
（
）．
A．
2,1,2
B．
1,2,1
C．
2,4,2
D．
2, 1,2
4.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为1，以D 为原点，
1
,
,
DA DC DD
为单位正交基底，建立空间
直角坐标系，则平面
1
AB C 的一个法向量是（
）
A．(1,1,1)
B．( 1,1,1)
C．(1, 1,1)
D．(1,1, 1)
5.如图的空间直角坐标系中，PD 垂直于正方形ABCD所在平面，
2,
AB
PB
与平面xDy 的所成角为4
，E
为PB 中点，则平面ABE 的单位法向量
0n
______．（用坐标表示）
6.已知平面内的两个向量
(2,3,1)
a
，
(5,6,4)
b
，则该平面的一个法向量为（
）
A．(1，－1，1)
B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1)
D．(－1，1，－1)
7.已知四边形ABCD 是直角梯形，
90
ABC
，SA 平面ABCD ，
1
SA
AB
BC
，
1
2
A D
，
求平面SCD 的一个法向量．
题型三：证明线线平行
1.已知向量
2,4,5
a
，
3, ,
b
x y
分别是直线1l ，2l 的方向向量，若1
2
l
l
∥
，则（
）
A．
6
x
，
1
y
B．
6
x
，
15
2
y
C．
3
x
，
15
y
D．
3
x
，
15
2
y
2.已知直线,a b 的方向向量分别为
4, ,
1
m
k k
和
3
,
3, 2
n
k k
，若a
b
，则k
.
3.已知在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
AB ,
1
2
AA
，点E 为
1
CC 的中点，点F 为
1
BD 的中点．
(1)求证：
1
EF
BD
且
1
EF
CC
；
(2)求证：EF
AC
∥
．
4.已知长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
4
AB
，
3
AD
，
1
3
AA
，点S 、P 在棱
1
CC 、
1
AA 上，且
1
1
2
CS
SC
，
1
2
AP
PA
，点R 、Q 分别为AB 、
1
1
DC 的中点．求证：直线PQ∥直线RS ．
5.如图，已知空间几何体P
ABCD
的底面ABCD 是一个直角梯形，其中
90
BAD
,
//
AD BC , BA
BC
a
,
2
AD
a
，且PA 底面ABCD ，PD 与底面成30角．
(1)若
8
BC PD
，求该几何体的体积；
(2)若AE 垂直PD 于E ，证明：BE
PD
；
(3)在（2）的条件下，PB 上是否存在点F ，使得
//
EF BD，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说
明理由．
6.在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点P 在线段
1A D 上，点Q 在线段AC 上，线段PQ 与直线
1A D 和AC
都垂直，求证：
1
PQ
BD
.
题型四：证明线面平行
1.已知平面内的三点
0,0,1
A
，
0, 1,0
B
，
1,0,1
C
，直线l 的方向向量是
1, 1, 1
a
，则直线l 与
平面的位置关系是（
）
A．相交
B．平行
C．在平面内
D．平行或在平面内
2.已知直线l 平面，且l 的一个方向向量为
,
,1
2
m
a
m
，平面的一个法向量为
,2, 6
b
m
，则实数
m 的值为（
）
A．2 或3
B．2
C．3
D．2
或3
3.已知直线l 的方向向量为
1,
2,4)
m
，平面的法向量为
,1,
2)
n
x
，若直线l 与平面平行，则实数x 的
值为（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．10
D．10
4.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 是
1
BB 的中点，
1
1
1
B F
B D
，且
//
EF
平面
1
ACD ，则实数的值为
（
）
A．1
5
B．1
4
C．1
3
D．1
2
5.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为直角梯形，其中
//
AD BC .
,
3,
2,
AD
AB AD
AB
BC
PA
平面ABCD，且
3
PA ，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.若
2
DM
MP
，证明：直线
//
MN
平面PAB .
6.如图，在四面体A
BCD
中，AD 平面BCD ，BC
CD
，
2
AD
，
2 2
BD
．M 是AD 的中
点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且
3
AQ
QC
．证明：PQ 平面BCD ；
7.如图，在斜三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，已知ABC
为正三角形，四边形
1
1
ACC A 是菱形，D ，E 分别是AC ，
1
CC 的中点，平面
1
1
ACC A ⊥平面ABC .
(1)求证：
1AC 平面BDE ；
(2)若
1
60
C CA
，在线段
1
DB 上是否存在点M ，使得
//
AM
平面BDE ？若存在，求
1
DM
DB 的值，若不存
在，请说明理由．
8.（多选）在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 为
1
AA 中点，若直线
/ /
EF
平面
1
1
A BC ，则点F 的位置可能是
（
）
A．线段
1
CC 中点
B．线段BC 中点
C．线段CD 中点
D．线段
1
1
C D 中点
9.设直线l 的方向向量为
(1, 2, )
m
z
，平面的一个法向量为
(2, 1,1)
n
，．若直线l 平面，则实数z
的值为__________．
10.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点
,
M N 分别在
,
BD AE 上，且
1
3
BM
BD
，
1
3
AN
AE
，求证：MN 平面CDE .
11.如图所示，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
3
AC
，
4
BC
，
5
AB
，
1
4
AA
.
(1)求证：
1
AC
BC
；
(2)在AB 上是否存在点D ，使得
1 / /
AC
平面
1
CDB ，若存在，确定D 点位置并说明理由，若不存在，说明
理由．
题型五：证明面面平行
1.若平面与的法向量分别是
1,0, 2
a
，
1,0,2
b
r
，则平面与的位置关系是（
）
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．无法判断
2.已知
1
3, ,2
n
x
，
2
3, 3, 2 3
n
分别是平面,
的法向量，若
//
，则x （
）
A．7
B．1
C．1
D．7
3.如图所示，平面PAD 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PAD
是直角三角形，且
2
PA
AD
，
E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点，求证：平面EFG 平面PBC ．
4.已知平面
/ /
平面，
1, 1,1
n
是平面的一个法向量，则下列向量是平面的法向量的是（
）
A．
1,1,1
B．
1,1, 1
C．
1, 1, 1
D．
1,1, 1
5.（多选）如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E ，F ，G ，M 均是所在棱的中点，则下列说法正确的
是（
）
A．
1B G
DM
∥
B．
1B G∥平面
1A EF
C．平面BDM ∥平面
1A EF
D．
1
1
B G
A F
∥
6.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，E ，F 分别是
1
BB ,
1
DD 的中点，
求证：（1）
1
FC 平面ADE ；
（2）平面ADE 平面
1
1
B C F .
7.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，O为底面ABCD的中心，P 是
1
DD 的中点．在棱
1
CC 上是否存在一
点Q ，使得平面
1
//
D BQ
平面PAO ？若存在，指出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．
8.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M 、N 分别为AB 、
1B C 的中点．
(1)用向量法证明平面
1
//
A BD
平面
1
1
B CD ；
9.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点E ，F 分别是正方形
1
1
1
1
D
C
B
A
和正方形
1
1
B C CB的中心．求证：
(1)
1
AC 平面
1A BD ；
(2)
//
EF
平面
1A BD ；
(3)平面
1B EF ∥平面
1A BD ．
题型六：证明线线垂直
1.设1l 的一个方向向量为
1,3, 2
a
，2l 的一个方向向量为
4,3,
b
m
r
，若1
2
l
l
，则m 等于（
）
A．1
B．5
2
C．1
2
D．3
2.空间中有四点A，B，C，D，其中
(2 ,
,2)
AB
m m
，
( ,
1, 5)
CD
m m
，且
13
5,
, 3
3
AB
CD
，则直线AB
和CD（
）
A．平行
B．异面
C．必定相交
D．必定垂直
3.已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A 为一个顶点，D ，E ，F 分别是所在棱的中
点．则满足直线AD
EF
的图形个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.(多选)点P 在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的侧面
1
1
CDD C 及其边界上运动，并保持
1
BP
AC
，若正方体边长
为，则
1AP 的可能取值是（
）
A．
3
2
B．
7
2
C．
2
D．
3
5.如图，在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
E F 分别是
1
DD
BD
、
的中点，建立适当的空间直角坐
标系，证明：
1
EF
B C
．
6.如图，在直棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AA
AB
AC
，
π
2
BAC
，
,
,
D E F 分别是
1
1
A B ，
1
CC ，BC 的中
点．求证：AE
DF
；
7.如图所示，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧棱长为
π
3,
4,
2
CA
CB
ACB
，点D ，E 分别在
1
1
1
,
AA B C 上，
F 为AB 的中点，若CD
FE
，则线段AD 的长度为（
）
A．3 2
2
B．8
3
C．9
4
D．12
5
8.如图，在棱长为a 的正方体
1
1
1
1
OABC
O A B C
中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE
BF
.
(1)求证：
1
1
A F
C E
；
题型七：证明线面垂直
1.已知
,
,
)
(2
n
a
b a
b
是直线l 的方向向量，
(1,2,3)
m
是平面的法向量.若l
，则实数a，b 的值是
（
）
A．a=1，b=7
B．a=5，b=1
C．a=-5，b=1
D．a=5，b=-1
2.已知
( 2,
,
)( ,
)
m
a
b a
b a b
R 是直线l 的方向向量，
(2, 1,2)
n
是平面的法向量．若l
，则下
列选项正确的是（
）
A．
3
4
0
a
b
B．
3
5
0
a
b
C．
1
3
,
2
2
a
b
D．
1
3
,
2
2
a
b
3.已知直线l 的方向向量为
1,1,2
e
，平面α的法向量为
1
( , , 1)
2
n
R
r
，若l⊥α，则实数λ的值
为
．
4.正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为1，点M 在线段
1
CC 上，且
1
2
MC
CM
．点P 在平面
1
1
1
1
A B C D 上，
且AP 平面
1
MBD ，则线段AP 的长为________．
5.如图所示，正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的所有棱长都为2，D 为
1
CC 的中点．求证：
1
AB 平面
1A BD .
6.在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，四边形ABCD为平行四边形, M 为
1
AA 的中点，
1
1,
2
BC
BD
AB
AA
.
(1)求证: MD 面
1
BC D；
(2)求三棱锥
1
M
BC D
的体积.
7.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E 是PA 的中点．
(1)求证：
/ /
PC
平面BDE ．
(2)若
2
PA
，线段PC 上是否存在一点F ，使AF 平面BDE ？若存在，求出PF 的长度；若不存在，请
说明理由．
8.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
E F 分别为棱
1
1
B C ，
1
BB 的中点，G 为面对角线
1A D 上
的一点，且
1(0
1)
DG
DA
,若
1AC 平面EFG ，则（
）
A．1
4
B．1
3
C．
2
4
D．1
2
9.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD
CD
，
//
AB CD ，
2
AB
AD
，
4
CD
，
M 为CE 的中点.请用空间向量知识解决下列问题：
(1)求证：BM
DC
；
(2)求证：BC 平面BDE .
10.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，
BD 中点，
2
PA
PD
AD
．
(1)求证：
//
EF
平面PBC ；
(2)在棱PC 上是否存在一点G ，使GF 平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．
题型八：证明面面垂直
1.（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（
）
A．若两条不重合的直线1l ，2l 的方向向量分别是
2, 2, 1
a
，
2, 2,1
b
，则1
2
//
l
l
B．若直线l 的方向向量是
1,1,2
a
，平面的法向量是
2, 2, 4
n
，则l
C．若直线l 的方向向量是
0,2,0
a
，平面的法向量是
2,0,2
n
，则/ /
l
D．若两个不同的平面，的法向量分别是
3, 4,2
m
，
2,0,3
n
，则
2.如图，在四棱锥E
ABCD
中，平面ADE 平面ABCD，O ，M 分别为AD ，DE 的中点，四边形BCDO
是边长为1 的正方形，AE
DE
，AE
DE
．点N 在直线AD 上，若平面BMN 平面ABE ，则线段AN
的长为_________．
3.如图所示，ABC
是一个正三角形，EC 平面ABC ，BD CE
，且
2
CE
CA
BD
，M 是EA 的
中点．求证：平面DEA 平面ECA .
4.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 底面ABCD ，AD
AB
，AB
DC
，
2
AD
DC
AP
，
1
AB ，点E 为棱PC 的中点．证明：
(1) BE 平面PAD ；
(2)平面PCD 平面PAD ．
5.如图1，在边长为2 的菱形ABCD中，
60 ,
BAD
DE
AB
于点E ，将
ADE
△
沿DE 折起到
1A DE
△
的
位置，使
1A D
BE
，如图2．
(1)求证：
1A E 平面BCDE ；
(2)在线段BD 上是否存在点P ，使平面
1A EP 平面
1A BD ？若存在，求BP
BD 的值；若不存在，说明理由．
6.在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
AA 平面ABC ，AB
BC
，
2
AB
BC
，
1
1
AA
，E 为
1
BB 的中
点，求证：平面
1
AEC 平面
1
1
AAC C .
7.如图，已知平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，PA
AB
，CD
AB
，且
2
4
PA
CD
AB
．将
此平面四边形ABCP 沿CD 折成直二面角P
DC
B
，连接PA 、PB ，设PB 中点为E ．
(1)证明：平面PBD 平面PBC ；
(2)在线段BD 上是否存在一点F ，使得EF 平面PBC ？若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请
说明理由．
模块三：综合巩固
1．已知向量
2,4,
AB
x
，平面α的一个法向量
1, ,3
n
y
，若AB
，则（
）
A．
6,
2
x
y
B．
2,
6
x
y
C．3
4
2
0
x
y
D．4
3
2
0
x
y
2．已知向量
2
2, 1,3 ,
4,2
,6
a
b
x
x
都是直线l 的方向向量，则x 的值是（
）
A．－1
B．1 或－1
C．－3
D．1
3．如图所示，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 是棱DD1 的中点，点F 在棱C1D1 上，且
1
1
1
D F
D C
，若
1B F ∥平面
1A BE ，则（
）
A．1
4
B．1
3
C．
1
2
D．2
3
4．已如点
1,1,0
A
，
1,0,2
B
，
0,2,0
C
者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（
）
A．
3
1,1,
2
B．
1
1, 1, 2
C．
2,2,3
D．
2, 2, 1
5．若直线l 的方向向量为a，平面α的法向量为n
，能使//
l 的是（
）
A．
(1,0,1)
a
，
( 2,0,2)
n
B．
(1,3,5)
a
，
(1,0,1)
n
C．
(0,2,1)
a
，
( 1,0, 1)
n
D．
( 1,1,3)
a
，
(0,3,1)
n
6．设A 是空间一定点，n
为空间内任一非零向量，满足条件
0
AM n
的点M 构成的图形是（
）
A．圆
B．直线
C．平面
D．线段
7．已知点P 是ABC
所在的平面外一点，若
( 2,1,4)
AB
，
(1, 2,1)
AP
，
(4, 2,0)
AC
，则（
）
A．
/ /
BP
AC
B．
/ /
AP
BC
C．AP
AB
D．AP
BP
8．如图，在正方体中，O为底面的中心，P 为所在棱的中点，
,
M N 为正方体的顶点．则满足MN
OP
的
是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知平面α和平面β的法向量分别为
(3,1, 5)
m
，
( 6, 2,10)
n
，则（
）
A．α⊥β
B．α∥β
C．α与β相交但不垂直
D．以上都不对
10．（多选）已知平面与平面平行，若
1, 2,4
n
是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为
（
）
A．
1,2, 4
B．
1,2,4
C．
2,4, 8
D．
2, 4,8
11．（多选）已知平面内两向量
1,1,1 ,
0,2, 1
a
b
，且
4, 4,1
c
ma
nb
，若c
为平面的一个法
向量，则（
）
A．
1
m
B．
1
m
C．
2
n
D．
2
n
12．（多选）如图所示，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
,
E F 分别在
1 ,
A D AC 上，且
1
1
2
1
,
3
3
A E
A D AF
AC
，
则下列结论正确的是（
）
A．
1
EF
AD
B．
1
EF
A D
C．EF 与
1
BD 异面
D．
1
EF
BD
∥
13．（多选）已知空间中三点
(0,1,0)
A
，
(2,2,0)
B
，
( 1,1,1)
C
，则下列说法正确的是（
）
A．AB
与AC
是共线向量
B．与AB
同向的单位向量是2 5
5
,
,0
5
5
C．AB
和BC
夹角的余弦值是
55
11
D．平面ABC 的一个法向量是(1, 2,1)
14．（多选）已知空间中三个向量
2,1,0
AB
，
1,2,1
AC
，
3,1,1
BC
，则下列说法正确的是（
）
A．AB
与AC
是共线向量
B．与AB
同向的单位向量是2 5
5
,
,0
5
5
C．BC
在AB
方向上的投影向量是
2, 1,0
D．平面ABC 的一个法向量是
1, 2,5
15．已知
(0,1,1)
a
，
(1,1,0)
b
，
(1,0,1)
c
分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相
垂直的有
对．
16．棱长为1 的正方体
1
1
1
1
-
ABCD
A B C D
在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线
1
DB 的一个方向向量
为
．
17．在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点，当
=
CF
CD
时，1
D E
平面
1
AB F ．
18．已知直线l 的一个方向向量为
(2,1,1)
a
，且过点
(1,0, 1)
M
．若平面过直线l 与点
(1,2,3)
N
，则平面
的一个法向量是
．
19．在△ABC 中，
1, 2, 1 ,
0, 3,1 ,
2, 2,1
A
B
C
．若向量n
与平面ABC 垂直，且
21
n
r
，则n
的坐
标为
．
20．设直线l 的方向向量为
(1, 2, )
m
z
，平面的一个法向量为
(2, 1,1)
n
，．若直线l//平面，则实数
z 的值为
．
21．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，
且
1
3
BM
BD
，
1
3
AN
AE
．求证：MN
AD
.
22．如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
BB 平面ABC ，D，E 分别为棱AB，1
1
B C 的中点，
2
BC
，
2 3
AB
，
1
1
4
AC
.证明：
//
DE
平面
1
1
ACC A .
23．在四棱锥P
ABCD
中，PA 底面ABCD，且
2
PA
，四边形ABCD是直角梯形，且AB
AD
，
//
BC AD ，
2
AD
AB
，
4
BC
，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且
1
BE .求证：
//
DM
平面PAB ；
24．如图所示，ABC
是一个正三角形，EC 平面ABC ，BD ∥CE ，且
2
CE
CA
BD
，M 是EA 的中
点．求证：平面DEA 平面ECA .
25．如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面是边长为2 的等边三角形，
1
2,
,
CC
D E
分别是线段
1
,
AC CC 的
中点，
1
C 在平面ABC 内的射影为D .
求证：
1AC 平面BDE .
1.6 用空间向量研究距离、夹角问题
模块一：基础知识
考点一：用向量法求空间距离
1.点到直线的距离
已知直线l 的单位方向向量为u
，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点.设AP
a
，则向量AP
在直线
l 上的投影向量
(
)
AQ
a u u
，在Rt APQ
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
|
|
|
|
(
)
PQ
AP
AQ
a
a u
2.点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为n
，A 是平面内的定点，P 是平面外一点.过点P 作平面的垂线l ，
交平面于点Q ，则n
是直线l 的方向向量，且点P 到平面的距离就是AP
在直线l 上的投影向量QP
的
长度.
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
n
AP n
AP n
PQ
AP
n
n
n
考点二：用向量法求空间角
1、用向量运算求两条直线所成角
已知a，b 为两异面直线，A，C 与B，D 分别是a，b 上的任意两点，a，b 所成的角为，则
①cos
,
|
||
|
AC BD
AC BD
AC
BD
②cos
| cos
,
|
AC BD
AC BD
AC
BD
.
2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线l 的方向向量为a
，平面的法向量为u
，直线与平面所成的角为，a
与u
的角为，则有
①cos
|
||
|
a
a
②sin
cos
a u
a
u
.（注意此公式中最后的形式是：sin）
3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若PA
于A，PB
于B，平面PAB 交l 于E，则∠AEB 为二面角
l
的平面角，∠AEB+
∠APB=180°.
若
1
2
n n
分别为面，的法向量
①
1
2
1
2
1
2
cos
,
|
||
|
n n
n n
n
n
②cos根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
1
2
cos
| cos
,
|
n n
；
若二面角为顿二面角（取负），则
1
2
cos
| cos
,
|
n n
；
4.三种角度总结及范围
角的分类
向量求法
范围
线线角
设两异面直线l1，l2所成的角为θ，
其方向向量分别为u，v，
则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝|u·v|
|u||v|
0，π
2
线面角
设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方
向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝
|cos〈u，n〉|＝|u·n|
|u||n|
0，π
2
面面角
设平面α与平面β的夹角为θ，
平面α，β的法向量分别为n1，n2，
则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2|
|n1||n2|
0，π
2
模块二：题型分类
题型一：
题型一：求点到直线的距离
1.已知空间三点
2,1,0 ,
2,1, 1 ,
1,0,1
A
B
C
，则点C 到直线AB 的距离为
．
2.已知点
(2,1,2)
A
，若点
(1,0,0)
B
和点
(1,2,2)
C
在直线l 上，则点A 到直线l 的距离为
.
3.如图，在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点B 到直线
1
AC 的距离为（
）
A．
6
3
B．
6
6
C．
6
5
D．2 6
3
4.（多选）点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为
1, 1,1
s
的直线l 的距离为
6 ，则点M 的
坐标是（
）
A．
0,0, 3
B．
0,0,3
C．
0,0, 3
D．
0,0,
3
5.如图，已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为1，O为正方形
1
1
ADD A 的中心，若P 为平面
1
OD B 内的一个
动点，则P 到直线
1
1
A B 的距离的最小值为（
）
A．
2
2
B．
1
2
C．
6
4
D．
3
3
6.在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，O为平面
1
1
A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O到直线
1A E
的距离为__________.
题型二：求点到平面的距离
1.已知平面的一个法向量
2, 2,1
n
r
，点
1,3,2
A
在内，则平面外一点
2,1,2
P
到平面的距离
为（
）
A．4
B．2
C．8
3
D．3
2.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PD 底面ABCD，底面ABCD是矩形，
4 5
2
4,
,
5
AB
AD
PD
E
是PA
的中点，
2
FB
PF
，则点C 到平面DEF 的距离为（
）
A．3 10
5
B．2 10
5
C．
10
5
D．10
10
3.如图，在三棱柱
1
1
ABC
A B C
中，
1
CC 平面ABC ，AC
BC
，
1
4
BC
AC
CC
，D 为
1
AB 的中点，
1
CB 交
1
BC 于点E ．
(1)证明：
1
1
CB
C D
；
(2)求点E 到平面
1
1
B C D 的距离．
4.在直角梯形ABCD中，
,
2
2
2 2,
90
AD
BC BC
AD
AB
ABC
∥
，O 为BD 中点，如图（1）．把
ABD
△
沿BD 翻折，使得平面ABD 平面BCD，如图（2）．
(1)求证：OA
CD
；
(2)若M 为线段BC 的中点，求点M 到平面ACD 的距离．
题型三：求空间距离中的转化与化归思想
1.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，点D 为
1A B 的中点，
1
3
2 3
AA
AB
．
(1)证明：BC ∥平面
1
AC D ；
(2)求直线BC 到平面
1
AC D 的距离．
2.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
2
AA
AB
，
1
BC ，E ､F ､H 分别是AB ､CD ､
1
1
A B 的中点，则
直线EC 到平面AFH 的距离为___________.
3.如图，在三棱锥
P
ABC 中，PA 底面ABC ，
90
BAC
，点D 、E 分别为棱PA ，PC 的中点，M
是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，
4
PA
AC
，
2
AB
.
(1)求证：
//
MN
平面BDE ；
(2)求直线MN 到平面BDE 的距离.
4.在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 为线段
1
1
A B 的中点，F 为线段AB 的中点，则直线FC 到
平面
1
AEC 的距离为______．
5.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为2，点E 为
1
BB 的中点．
(1)求点D 到平面
1
AD E 的距离为d ；
(2)求
1
BC 到平面
1
AD E 的距离．
题型四：求异面直线夹角
1.如图，在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E ，F ，G 分别为
1
DD ，BD，
1
BB 的中点，则
1
C E 与
FG 所成的角的余弦值为______.
2.已知正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AB
，
1
4
AA
，点E ，F 分别是
1
1
B C 和
1
BB 的中点，M 是线段
1
D F
的中点，则直线AM 和CE 所成角的余弦值为（
）
A．
3
6
B．
11
17
C．
17
6
D．
187
17
3.如图，在三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，BA
BC
，平面
1
1
A B BA 平面ABC ，二面角
1
B
BC
A
的大小为45°，
2
AB
，
1
1
1
1
BC
A B
AA
.
(1)求证：
1
AA 平面ABC ；
(2)求异面直线
1
BA 与
1B C 所成角的余弦值.
题型五：异面直线夹角范围最值问题
1.已知PA 平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA
AD
为定长，当AB 的长度变化时，异面直线PC 与AD
所成角的取值范围是______．
2.三棱锥O
ABC
中，
,
,
OA OB OC 两两垂直且相等，点
,
P Q 分别是线段BC 和OA上移动，且满足
1
2
BP
BC
，
1
2
AQ
AO
，则PQ和OB 所成角余弦值的取值范围是（
）
A．
3 2 5
[
,
]
3
5
B．
3
2
[
,
]
3
2
C．
6 2 5
[
,
]
6
5
D．
6
2
,
6
2
3.如图，已知四棱台的底面ABCD是直角梯形，
90
BAD
，
//
AD BC ，
1
1
1
2
2
2
AD
AB
BC
DD
A D
，
1
DD 平面ABCD，E 是侧棱
1
BB 所在直线上的动点，AE 与
1
CA 所成角的余弦值的最大值为（
）
A．2 6
5
B．7 2
10
C．3 10
10
D．2 5
5
4.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，M 为棱CD 的中点，N 为直线
1
CC 上的异于点C 的动点，则异面直线
1A B
与MN 所成的角的最小值为，则sin（
）
A．
10
10
B．
10
5
C．3 10
10
D．2 10
5
5.在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，M 为线段EF 上的一动点，
则直线
1A D 与
1B M 所成角的余弦值的取值范围是（
）
A．1 3 10
,
2
10
B．
3 3 10
,
2
10
C．
2 3 10
,
2
10
D．3 3 10
,
5
10
题型六：异面直线夹角求参数
1.如图，在四棱锥P
ABCD
中，已知PA 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，
π
2
ABC
BAD
，
3
PA
AD
，
1
AB
BC
.点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，则线段BQ 的
长为____________
2.（多选）在三棱锥A
BCD
中，平面ABD 平面BCD ，BD
CD
，
2
BD
CD
，
ABD
△
为等边三角
形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE 与BF 所成角的余弦值为
14
28
，则AF 的
值可能为（
）
A．2
3
B．1
C．4
3
D．5
3
3.（多选）如图，在三棱锥A
BCD
中，平面ABC 平面BCD，ABC
与
BCD
△
均为等腰直角三角形，
且
90
BAC
BCD
，
2
BC
，P 是线段AB 上的动点（不包括端点），若线段CD 上存在点Q ，使得
异面直线PQ与AC 成30的角，则线段PA 的长度可能为（
）
A．
3
3
B．
2
2
C．
6
3
D．
3
2
题型七：求线面角
1.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD，
2
PA
AB
，
4
AD
，E 为PC
的中点，则面PCD与直线BE 所成角的余弦值为（
）
A．3
5
B．2 30
15
C．2 5
15
D．
105
15
2.在四棱锥P
ABCD
中，PA 底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，
2
AP
，则直线PB 与平面
PCD所成角的正弦值为（
）
A．2 5
5
B．2
5
C．
2
3
D．
3
3
3.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AB
，
4
AD
，
1
3
AA
，
1B C 交
1
BC 于点E .
(1)证明：直线
1 //
D E
平面
1A BD ；
(2)求AD 与平面
1A BD 所成角的正弦值.
题型八：求线面角范围
1.如图，圆台的下底面圆
1
O 的直径为AB ，圆台的上底面圆
2
O 的直径为PQ，C 是弧AB 上一点，且
2
2 2
PA
AC
PC
BC
PB
，
.
(1)求证：PQ
AC
；
(2)若点M 是线段
1
O Q 上一动点，求直线AP 与平面BCM 所成角的取值范围.
2.如图，在四棱锥Q
ABCD
中，底面ABCD是矩形，若
2
AD
QD
QA
，
1
5
CD
QC
，
．
(1)证明：平面QAD 平面ABCD；
(2)若E F
，分别是QC QD
，
的中点，动点P 在线段EF 上移动，设为直线BP 与平面ABCD 所成角，求
sin的取值范围．
3.如图，在四棱锥P
ABCD
中，平面PAD 平面ABCD，PA
PD
，底面ABCD是边长为2 的正方形，
点E 在棱PC 上，
2
CE
PE
.
(1)证明：平面BDE 平面ABCD；
(2)当直线DE 与平面PBD 所成角最大时，求四棱锥P
ABCD
的体积.
4.如图，在Rt
AOB
△
中，
π
2
AOB
，
4
AO
，
2
BO
，Rt AOC
可以通过Rt
AOB
△
以直线AO 为轴旋转
得到，且二面角B
AO
C
是直二面角．动点D 在线段AB 上．
(1)当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值；
(2)求CD 与平面AOB 所成角的正弦值的最大值．
题型九：线面角求参数
1.在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
A B BA 平面ABC ，侧面
1
1
A B BA为菱形，
1
π
3
ABB
，
1A B
AC
，
2
AB
AC
，E 是AC 的中点.
(1)求证：
1A B 平面
1
AB C ；
(2)点P 在线段
1A E 上（异于点
1A ，E ），AP 与平面
1A BE 所成角为π
4 ，求
1
EP
EA 的值.
2.已知四棱锥P
ABCD
的底面为平行四边形，
2
AD
，
4
DC
，
60
BAD
，PD 平面ABCD ，直
线PD 与平面PAC 所成角为30，则PD （
）
A．2 2
B．4 7
5
C．6 7
7
D．7
3.如图所示，四棱锥P
ABCD
中，PA 菱形ABCD所在的平面，
60
ABC
，点E ､F 分别是BC ､PC 的
中点，M 是线段PD 上的点.
（1）求证：平面AEM 平面PAD ；
（2）当AB
AP
时，是否存在点M ，使直线EM 与平面ABF 所成角的正弦值为
21
7
？若存在，请求出PM
PD
的值，若不存在，请说明理由.
4.如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC 平面ABC ，
PAC
△
为正三角形，E ，
F 分别是棱
,
PC PB 上的点，且满足
(0
1)
PE
PF
PC
PB
．
(1)求证：BC
AE
；
(2)是否存在，使得直线AP 与平面AEF 所成角的正弦值为
21
14
？若存在，求出的值；若不存在，请说
明理由．
5.在底面ABCD 为梯形的多面体中. AB
CD
∥
，BC
CD
，
2
2 2
AB
CD
，
45
CBD
, BC
AE
DE
，且四边形BDEN 为矩形．
(1)求证：BD
AE
；
(2)线段EN 上是否存在点Q ，使得直线BE 与平面QAD 所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存
在，确定点Q 的位置并加以证明．
题型十：求二面角、面面角
1.四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，
1
PA
CD
，
2
AB
BC
，
3
PC ，
//
AB CD ．
(1)求证：BC 平面PAB ；
(2)求二面角A
PD
C
的余弦值．
2.如图，在四棱锥P
ABCD
中，BD
PC
，四边形ABCD是菱形，
60
ABC
，
1
AB
PA
，
2
PB
，
E 是棱PD 上的中点.
(1)求三棱锥C
BDE
的体积；
(2)求平面PAB 与平面ACE 夹角的余弦值.
3.如图，圆O是ABC
的外接圆，CE 平面ABC ，AB 是圆O的直径，
30
CAB
，
2
CE
BD
，且
2
CE
AB
.
(1)求证：平面ACE 平面BCED ；
(2)若
2
ME
DM
，求平面ACM 与平面ACE 夹角的余弦值.
4.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PC 底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD
DC
，
/ /
AB
DC ，
2
2
2
PC
AB
AD
CD
，点E 在棱PB 上．
(1)证明：平面EAC 平面PBC；
(2)当
2
BE
EP
时，求二面角P
AC
E
的余弦值．
题型十一：二面角、面面角范围
1.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是平行四边形，
2π
3
ADC
，
2
4
PD
DC
BC
，点E 是
线段AD 的中点，点F 在线段AP 上且满足AF
AP
，PD 面ABCD.
(1)当
1
3
时，证明：PC //平面BFE ；
(2)当为何值时，平面BFE 与平面PBD 所成的二面角的正弦值最小？
2.已知直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧面
1
1
AA B B为正方形，AB
BC
，E ，F 分别为AC 和
1
CC 的中点，D
为棱
1
1
A B 上的动点.
1
1
BF
A B
.
(1)证明：BF
DE
；
(2)求平面
1
1
BB C C 与平面DEF 所成的二面角正弦值的最小值及此时点D 的位置.
3.如图①所示，长方形ABCD中，
1
AD ，
2
AB
，点M 是边CD 的中点，将
ADM
△
沿AM 翻折到
PAM
△
，
连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P
ABCM
．
(1)求四棱锥P
ABCM
的体积的最大值；
(2)设P
AM
D
的大小为，若
π
0, 2
，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．
4.在四棱锥S
ABCD
中，四边形ABCD为正方形，
2
AB
，
1
DS ，平面ASD 平面ABCD，SD
AD
，
点E 为DC 上的动点，平面BSE 与平面ASD 所成的二面角为(
为锐角) ，则当取最小值时，
DE =__________．
题型十二：二面角、面面角求参数
1.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是直角梯形，AD
AB
，AB
DC
，PA 底面ABCD ，点
E 为棱PC 的中点，
2
2
AD
DC
AP
AB
．
(1)证明：
/ /
BE
平面PAD ；
(2)在棱PC 上是否存在点F ，使得二面角F
AD
C
的余弦值为
10
10
，若存在，求出PF
PC 的值，若不存
在，请说明理由．
2.在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，四边形ABCD为平行四边形，平面
1
D BC 平面
1
D BD .
(1)求证：BC
BD
；
(2)若
1
2
2
4
AA
BD
BC
，探索在棱
1
AA 上是否存在一点E ，使得二面角
1
E
BD
D
的大小为30？若存
在，求出
1
AE
AA 的值；若不存在，请说明理由.
3.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧面
1
1
ACC A 为正方形，
90
CAB
，
2
AC
AB
，M ，N 分别
为AB 和
1
BB 的中点，D 为棱AC 上的点.
(1)证明：
1A M
DN
；
(2)是否存在点D ，使得平面
1
C DN 与平面
1
1
ABB A 夹角的余弦值为
5
3
？如果不存在，请说明理由；如果
存在，求线段AD 的长.
4.如图2，在
ABCD
Y
中，
2
AB
，
3
BC
，
30
ABC
．将
DAC
△
沿AC 翻折，使点D 到达点P 位
置（如图3），且平面PAC 平面PBC ．
(1)求证：平面PAC 平面ABC ；
(2)设Q 是线段PB 上一点，满足PQ
mPB
，试问：是否存在一个实数m ，使得平面QAC 与平面PAB 的
夹角的余弦值为
2
4
，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
模块三：综合巩固
1．棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点P 在棱CD 上运动，点Q 在侧面
1
1
ADD A 上运动，满足
1BQ
平面
1
AD P ，则线段PQ 的最小值为（
）
A．
6
3
B．1
C．
2
D．
3
2．若平面的一个法向量为
(1,0,1)
m
，平面的一个法向量是
( 3,1,3)
n
，则平面与所成的角等于
（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
3．如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面是边长为2 的正三角形，侧棱长为1，则平面ABC 与平面
1
1
AB C
所成的角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
4．如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
2
AB
，
1
1
BC
CC
，E 为CD 中点，则
1
B 到平面
1
AD E 的距离
为（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．2
5．如图，在棱锥O
ABC
中，OA ，OB ，OC 两两垂直，
1
OA ，
2
OB
，
3
OC
，则直线OB 与平面ABC
所成角的正弦值为（
）
A．2 10
7
B．2
7
C．3
7
D．3 5
7
6．如图，在直三棱柱ABC
A B C
中，
2
AA
，
5
AB
BC
，
2
AC
，取AC 的中点O，建立如图所
示的空间直角坐标系，则异面直线AC与A B
所成角的余弦值为（
）
A．1
3
B．
3
3
C．
2
6
D．
6
3
7．在四棱锥P－ABCD 中，PA⊥平面ABCD，ABCD 是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝4 3
5
，则锐二面角
A
BD
P
的大小为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
8．若平面的一个法向量为
1,2,1
n
，
1, 1,2
AB
uuur
，A
Ï
，B
，则点A 到平面的距离为（
）
A．1
B．
6
6
C．
3
3
D．1
3
9．已知
0,0,1 ,
0,2,0 ,
3,0,0 ,
0,0,0
A
B
C
O
，则点O 到平面ABC 的距离是（
）
A．6
7
B．6
2
7
C．2 2
3
D．2
3
10．（多选）如图，正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则（
）
A．直线AN 与平面ABC 所成角的正弦值为
3
3
B．直线AC 与MN 夹角的余弦值
6
3
C．直线AD 与CM 夹角的余弦值
3
6
D．直线AN 与CM 夹角的余弦值为2
3
11．（多选）如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，E 为线段
1
DD 中点，F 为线段
1
BB 中点，则（
）
A．点
1A 到直线
1B E 的距离为2 5
3
B．直线AE 到直线
1
FC 的距离为2
C．点B 到平面
1
AB E 的距离为
2
D．直线
1
FC 到平面
1
AB E 的距离为2
3
12．（多选）如图，在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
3
6,
,
AA
AB
E F
分别是
1
AB ，
1B C 的中点，则（
）
A．EF //平面ABCD
B．
14
AF
C．直线AF 与平面
1
1
ADD A 所成角的正弦值为
14
7
D．直线AF 与平面
1
1
ADD A 所成角的正弦值为
5
3
13．已知直线l 过定点
2,3,1
A
，且
0,0,1
为其一个方向向量，则点(
)
4,3,2
P
到直线l 的距离
为
．
14．已知菱形ABCD中，
60
ABC
，沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC 平面ACD，则平面BCD
与平面ACD夹角的余弦值为
.
15．如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AA
，则
1A B 与
1B C 所成角的余弦值为
.
16．在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是边长为1 的正方形，PA 底面ABCD，且
2
PA
，E 为PC 的
中点，则P 到平面BDE 的距离为
．
17．在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 是AB 的中点，F 是
1
CC 的中点，则D 到过
1
D ，E，F 三
点的平面的距离为
．
18．如图，在三棱锥V
ABC
中，VA 平面ABC ，
2
2
VA
AB
BC
，AB
BC
，M 是VB 的中点，N
为BC 上的动点．
(1)证明：平面AMN 平面VBC；
(2)当
/ /
VC
平面AMN 时，求平面AMN 与平面ABC 夹角的余弦值．
19．如图，在三棱锥
P
ABC 中，底面ABC
为等边三角形，
90
APC
，
2
4
AC
PA
，且平面PAC
平面ABC ．
(1)求三棱锥
P
ABC 的体积；
(2)求二面角B
AP
C
的余弦值．
20．如图，四边形
1
1
ACC A 与四边形
1
1
BCC B 是全等的矩形，
1
2
2
2
AB
AC
AA
.
(1)若P 是棱
1
AA 的中点，求证：平面
1
1
PB C 平面
1
PB C ；
(2)若P 是棱
1
AA 上的点，直线BP 与平面
1
1
ACC A 所成角的正切值为3 13
13
，求二面角
1
1
B
PC C
的正弦值.
21．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E . F 分别是棱
1
DD ，
1
1
A D 的中点.
(1)证明：
1B E 平面ACF .
(2)求二面角B
AF
C
的余弦值.
22．如图，在四棱锥P
ABCD
中，四边形ABCD为菱形，
60 ,
ADC
PA
平面ABCD，且
2
PA
AB
，
点E 是PD 的中点.
(1)求证：平面PBD 平面PAC ；
(2)在线段PB 上（不含端点）是否存在一点M ，使得二面角M
AC
E
的余弦值为
21
7
？若存在，确定点
M 的位置，若不存在，请说明理由.
23．如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面
,
ABCD E 、F 分别是PC 、AD 中
点，
(1)求证：
/ /
DE
平面PFB ；
(2)若PB 与面PCD所成角为30，
2
PB
，求面PFB 与面EDB 夹角的余弦值.
1.7 异面直线（传统法与向量法）
模块一：基础知识
考点一：异面直线相关基础
1、平面内两条直线所成的角
平面内两条直线相交形成4 个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
2、异面直线所成角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
（2）角的范围：异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a⊥b.
垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
3、判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号
语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB 与l 是异面直线(如图)．
考点二：传统法求异面直线夹角
1、作角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
2、证角：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行
3、计算：求角的值，常利用解三角形得出。
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.
4、结论：若求出的角时锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；
若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角。
考点三：向量法求异面直线夹角
已知a ，b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是a ，b 上的任意两点，a ，b 所成的角为，则
①cos
,
|
||
|
AC BD
AC BD
AC
BD
②cos
| cos
,
|
AC BD
AC BD
AC
BD
.
模块二：题型分类
题型一：传统法求异面直线夹角
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）AC 和DD1所成的角是________；
（2）AC 和D1C1所成的角是________；
（3）AC 和B1D1所成的角是________；
（4）AC 和A1B 所成的角是________.
2.如图，在空间四边形ABCD 中，AD＝BC＝2，E，F 分别是AB，CD 的中点，若EF＝
3 ，求异面直线AD，
BC 所成角的大小.
3．在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2π
3
BAC
，
1
2
2
AA
AC
AB
，O为四边形
1
1
AAC C 的中心，则异面
直线
1
OB 与
1A B 夹角的余弦值为（
）
A．
5
10
B．
5
15
C．
5
20
D．
5
25
4.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面ABCD是菱形，
60
BAD
，
1
AA 与底面ABCD垂直，M ，N
分别在BD 和
1
1
B D 上，且
3
BD
BM
，
1
1
1
3
B D
D N
，
3
AB ，
1
4
AA
，则异面直MN 与
1
AD 所成角的余弦
值为（
）
A．7 19
34
B．7 17
34
C．3 19
17
D．3 17
17
5.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 为棱
1
BB 的中点，则异面直线
1A E 与
1
BC 夹角的余弦值为（
）
A．0
B．
2
2
C．
3
3
D．10
10
6.（补形法）正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，M 是AB 的中点，则
1
DB 与CM 所成角的余弦值为______．
7.在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AA 平面ABC ，AB
BC
，
1
2
AA
BC
AB
，则异面直线
1A B 与
1B C 所成
角的余弦值为（
）
A．2 5
5
B．
5
5
C．
15
5
D．
10
5
题型二：向量法求异面直线夹角
1.已知正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AB
，
1
4
AA
，点E ，F 分别是
1
1
B C 和
1
BB 的中点，M 是线段
1
D F
的中点，则直线AM 和CE 所成角的余弦值为（
）
A．
3
6
B．
11
17
C．
17
6
D．
187
17
2.如图，在三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，BA
BC
，平面
1
1
A B BA 平面ABC ，二面角
1
B
BC
A
的大小为45°，
2
AB
，
1
1
1
1
BC
A B
AA
.
(1)求证：
1
AA 平面ABC ；(2)求异面直线
1
BA 与
1B C 所成角的余弦值.
3.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA
BC
，E 为CD 的中点，F
为PC 的中点，则异面直线BF 与PE 所成角的余弦值为（
）
A．
3
9
B．
3
9
C．
5 3
9
D．5 3
9
4.如图，在三棱锥M
EFG
中，
2 3
ME
MG
EG
，
2
EF
FG
，平面MEG 平面EFG ，则异
面直线ME 与FG 所成角的余弦值为（
）
A．
141
12
B．
3
12
C．13
4
D．
3
4
5.如图，在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 为菱形，
2
AB
，
60
DAB
，AE
CG
DF
∥
∥
，且DF
平面ABCD ，四边形BEFG 是正方形，则DF
DA ______；异面直线AG 与DE 所成角的余弦值为______．
题型三：异面直线夹角范围易错题
1.三棱锥O
ABC
中，
,
,
OA OB OC 两两垂直且相等，点
,
P Q 分别是线段BC 和OA上移动，且满足
1
2
BP
BC
，
1
2
AQ
AO
，则PQ和OB 所成角余弦值的取值范围是（
）
A．
3 2 5
[
,
]
3
5
B．
3
2
[
,
]
3
2
C．
6 2 5
[
,
]
6
5
D．
6
2
,
6
2
2.如图所示，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 是棱
1
CC 的中点，AF
=λ AD
，若异面直线
1
D E
和
1A F 所成角的余弦值为3 2
10
，则异面直线
1A F 与BE 所成角的余弦值为（
）
A．
2
10
B．
2
10
C．7 2
10
D．
7 2
10
3.正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E ，F 分别为
1
1
DC ，
1
BB 的中点，则异面直线AE 与FC 所成角的余弦值
为（
）
A．
5
15
B．4 5
15
C．
2 5
15
D．2 5
15
4.如图，将
60
A
的菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD 平面CBD ，则异面直线AB 与CD
所成角的余弦值为（
）
A．
1
2
B．1
4
C．
1
2
D．
1
4
5.在四面体ABCD中，ABC
为正三角形，DB 平面ABC ，且AB
BD
，若3AE
AB
，2C F
C D
，则
异面直线DE 和BF 所成角的余弦值等于（
）
A．
26
13
B．
26
13
C．2 39
39
D．
2 39
39
题型四：异面直线夹角范围与最值
1.已知PA 平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA
AD
为定长，当AB 的长度变化时，异面直线PC 与AD
所成角的取值范围是______．
2.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，
半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为
2
的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面
体所得.若点E 为线段BC 上的动点，则直线DE 与直线AF 所成角的余弦值的取值范围为（
）
A．1
2
,
3
2
B．1
3
,
3
2
C．1
2
,
2
2
D．1
3
,
2
2
3.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 是
1
AA 的中点，点F 是AD 上一点，
1
AB
AA
2，
3,
1
BC
AF
，
动点P 在上底面
1
1
1
1
D
C
B
A
上，且满足三棱锥P
BEF
的体积等于1，则直线CP 与
1
DD 所成角的正切值的最
小值为_________.
4.已知正四面体A
BCD
内接于半径为3 6
2
的球O中，在平面BCD内有一动点P ，且满足
4 2
AP
，则
BP 的最小值是______；直线AP 与直线BC 所成角的取值范围为______.
5.如图，四边形ABCD中，
2,
2
AB
BD
DA
BC
CD
．现将
ABD
△
沿BD 折起，当二面角A
BD
C
处于
5
,
6
6
过程中，直线AD 与BC 所成角的余弦值取值范围是（
）
A．
5 2
2
,
8
8
B．
2 5 2
,
8
8
C．
2
0, 8
D．
5 2
0,
8
6.如图所示，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点O为底面ABCD的中心，点P 在侧面
1
1
BCC B 的边界及其内部
移动，若
1
D O
OP
，则异面直线
1
D P 与AB 所成角的余弦值的最大值为（
）
A．2
3
B．
2
2
C．
5
3
D．
6
3
题型五：异面直线夹角求参数类
1.已知四棱锥P
ABCD
的底面为平行四边形，
2
AD
，
4
DC
，
60
BAD
，PD 平面ABCD ，直
线PD 与平面PAC 所成角为30，则PD （
）
A．2 2
B．4 7
5
C．6 7
7
D．7
2.如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
AA 底面ABCD ，且底面ABCD 为菱形，
1
3
AA
，
2
AB
，
120
ABC
，P 为BC 的中点，M 在
1
AA 上，Q 在平面ABCD内运动（不与P 重合），且PQ 平面
1
1
AAC C
异面直线PQ与
1B M 所成角的余弦值为
5
5 ，则tan
AQM
的最大值为___________.
3.如图，在四棱锥P
ABCD
中，已知PA 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，
2
ABC
BAD
，
2
PA
AD
，
1
AB
BC
.
（1）求平面PAB 与平面PCD所成锐二面角的余弦值；
（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.
4.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，AC
AD
，AB
BC
，
60
BCA
，AP
AD
2
AC
，
E 为CD 的中点，M 在AB 上，且
2
AM
MB
.
(1)求证：
//
EM
平面PAD ；
(2)求平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值；
(3)点F 是线段PD 上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF 与AC 所成角为45，求AF 的长.
5.已知四棱锥P
ABCD
的底面是边长为2 的正方形，PAD
是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AB
平面PAD ，E 是线段PD 上的动点（不含端点），若线段AB 上存在点F（不含端点），使得异面直线PA
和EF 所成的角的大小为30°，则线段AF 长的取值范围是______.
模块三：综合巩固
1.如图，AB 是半圆柱底面的直径，PA 是半圆柱的高，C 是
AB 上一点，且PA
AC
BC
，D 为PB 的
中点，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为________．
2.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，ABC
为等腰直角三角形，且
1
2
1
2
AB
AC
AA
，则异面直线
1
AB
与
1AC 所成角的正弦值为（
）
A．2
3
B．
5
3
C．
3
3
D．
3
3
3.如图所示，已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，E ，F 分别是正方形
1
1
1
1
D
C
B
A
和
1
1
ADD A 的中心，则EF 和CD
所成的角是（
）
A．60
B．45
C．30
D．135
4.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M ，N 分别在上、下底面圆上，
2
NB
AN
，
2
CM
MD
，
2
AB
，
3
BC ，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（
）
A．3 30
10
B．
3
4
C．
3
5
D．3 30
20
5.已知直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是
1
1
A B 和
1
1
AC 的中点，那么异面直线
BD 和AF 所成角的余弦值等于________．
6.三棱锥
P
ABC 中，
,
,
PA PB PC两两垂直，
6
PA
PB
PC
，点M 为平面ABC 内的动点，且满足
3
PM
，记直线PM 与直线AB 的所成角的余弦值的取值范围为_____________．
7.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PD 底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2 的正方形，PD
DC
，F ，
G 分别是PB ，AD 的中点．
(1)求证：GF 平面PCB ；
(2)在AP 上是否存在一点M ，使得DM 与PC 所成角为60°？若存在，求出M 点的位置，若不存在，
请说明理由．
1.8 线面角求法（传统法与向量法）
模块一：基础知识
考点一：直线与平面所成角（传统法）
1.定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
2.范围：[0
]
2
，
3.求法：【图需要自己参照上图画】
常规法：过平面外一点B 做
BB
平面，交平面于点
'
B ；连接
AB ，则
BAB 即为直线AB 与平
面的夹角．接下来在
△
Rt
ABB 中解三角形．即sin
斜线长
BB
h
BAB
AB
（其中h 即点B 到面的距离，
可以采用等体积法求h ，斜线长即为线段AB 的长度）；
4.求解线面角其他方法：
（1）等体积法
对于垂线段较难找出的问题，利用等体积法可以求出垂线段长度，设斜线与平面所成的角为θ，垂线长度
h，斜线长l，则sinθ=h/l.
（2）转化法
垂线段的长度是点到面的距离，可以利用线面平行，线上的点到面的距离都相等的这一性质，将该点或面
进行转化或者按比例进行转化.
（3）投影法
斜线段与它在平面上的投影构成的角称为线面角，与另一条边（不一定是垂线段），构成三角形，利用解
三角形求出线面角，投影通过找出一个斜线所在面与已知面垂直，两平面交线即为投影的方法确定.
（4）角度互余
利用斜线与平面所成的角和斜线与平面的垂线的夹角的互余关系求解线面角.
（5）补体法
把不规则图形转化为规则的熟悉的图形，进而求解线面角.
考点二：用向量运算求直线与平面所成角
设直线l 的方向向量为a
，平面的法向量为u
，直线与平面所成的角为，a
与u
的角为，则有
①cos
|
||
|
a
a
②sin
cos
a u
a
u
.（注意此公式中最后的形式是：sin）
模块二：题型分类
题型一：垂线法求线面角（传统法）
1.如图，MA 平面ABC ，在直角三角形BMC 中，
=90
BCM
，
60
MBC
，
5
BM
，
3
MA
，求MC
与平面ABC 所成角的正弦值.
2.已知ABC
为等腰直角三角形，P 为空间一点，且
5 2
AC
BC
PC
AC
，
，
5,
PC
BC
PC
AB
，
的
中点为M ，连接PM
CM
，
，则PM 与平面ABC 所成的角的大小为_________.
3.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
2
2
2
AB
BC
AA
，则BD 与平面
1
1
A B CD 所成的正弦值为（
）
A．2 2
3
B．1
3
C．10
10
D．3 10
10
4.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
2,
AA
E
为棱
1
CC 的中点，则AE 与平面
1
1
B BCC 所成角的正切值为
__________.
5.如图，平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长均相等，
1
1
60
A AB
A AD
DAB
，点
,
E F 分别是棱
1 ,
D D BC 的中点．
(1)求证：
/ /
EF
平面
1A BD ；
(2)求直线EF 与底面ABCD所成角的正弦值．
6.如图，在三棱锥
P
ABC 中，PA 底面ABC ，
90
ACB
，且
2
AC
BC
PA
，M 是PB 的中点，
则AM 与平面PBC 所成角的正弦值是________．
题型二：等体积法求线面角（传统法）
1.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是边长为a 的正方形，PA 平面ABCD．若PA
a
，则直线
PB 与平面PCD所成的角的大小为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
2.某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4，上底面的直径为8，已知AB 为上底面的直径，点P
是上底面圆周上一点，且AP
BP
，PC 是该圆台的一条母线，且
2 5
PC
，则PC 与平面ABC 所成的角
的正弦值为（
）
A．2
5
B．3
5
C．3
4
D．4
5
3.如图，在四棱锥P
ABCD
中，O是边长为4 的正方形ABCD的中心，PO 平面ABCD，M ，E 分别
为AB ，BC 的中点．
(1)求证：平面PAC 平面PBD ；
(2)若
3
PE
，求点B 到平面PEM 的距离；
(3)若
3
PE
，求直线PB 与平面PEM 所成角的余弦值．
题型三：求线面角（向量法）
1.在四棱锥P
ABCD
中，PA 底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，
2
AP
，则直线PB 与平面
PCD所成角的正弦值为（
）
A．2 5
5
B．2
5
C．
2
3
D．
3
3
2.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AB
，
4
AD
，
1
3
AA
，
1B C 交
1
BC 于点E .
(1)证明：直线
1 //
D E
平面
1A BD ；
(2)求AD 与平面
1A BD 所成角的正弦值.
3.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点M ，N 分别是
1AC ，BD 上的动点，当线段MN 的长最小时，直线MN
与平面
1
AD N 所成角的正弦值为（
）
A．
7
3
B．
2
3
C．
6
6
D．
30
6
4.如图，已知直角梯形ABCD，
/ /
AB
CD ，
2
AD
DC
，
2
AB
DC
，
90
ADC
，四边形ACFE 为
正方形，且平面ACFE ⊥平面ABCD．
(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；
(2)点M 为线段EF 的中点，求直线BF 与平面MAB 所成角的正弦值．
题型四：线面角正弦转余弦问题
1 如图，已知
AE
平面ABCD，
/ /
CF
AE ，
/ /
AD
BC ，AD
AB
，
1
AB
AD
，
2
BC
.若
2
AE
，
1
CF ，
则BF 与平面BDE 所成角的余弦值为__________.
2.已知四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面是边长为2 的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面
1
1
AB D 的
距离为4 10
5
，则直线
1B D 与平面
1
1
AB D 所成角的余弦值为（
）
A．3 10
10
B．3 7
10
C．10
10
D．
7
10
3.如图，在底面为矩形的四棱锥P
ABCD
中，平面PAD 平面ABCD.
（1）证明：AB
PD
；
（2）若PA
PD
AB
，
90
APD
，设Q 为PB 中点，求直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值.
4.正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长都相等，则
1
AC 和平面
1
1
BB C C 所成角的余弦值为（
）
A．
10
4
B．
6
6
C．
6
2
D．10
2
题型五：线面角范围问题
1.如图，在Rt
AOB
△
中，
π
2
AOB
，
4
AO
，
2
BO
，Rt AOC
可以通过Rt
AOB
△
以直线AO 为轴旋转
得到，且二面角B
AO
C
是直二面角．动点D 在线段AB 上．
(1)当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值；
(2)求CD 与平面AOB 所成角的正弦最大值．
2.四棱锥P
ABCD
，PA 平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PA
AB
，平面PAB 平面PBC .
(1)证明：AB ⊥BC ；
(2)设M 为PC 上的点，求PC 与平面ABM 所成角的正弦值的最大值.
3.如图，圆锥的底面上有
,
,
,
A B C D 四点，且圆弧
,
AB
BD
DA AC
BD
，点E 在线段AG 上，若
9
16
A BDE
G ABCD
V
V
．
(1)证明：GC / / 平面EDB ；
(2)若ACG
为等边三角形，点F 在劣弧
AB 上运动，记GF 与平面EDB 所成的角为，求sin的最小值．
4.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点P 是长方形
1
1
1
1
D
C
B
A
内一点，
APC
是二面角
1
A
PD
C
的平
面角.
(1)证明：点P 在
1
1
AC 上；
(2)若AB
BC
，求直线PA 与平面PCD所成角的正弦的最大值.
题型六：利用线面角求参数
1.如图，菱形ABCD 中，
60
ABC
，AC 与BD 相交于点O ，AE 平面ABCD ，CF
AE
，
2
AB
，
3
CF
．若直线OF 与平面BED 所成的角为45°，则AE ＝________．
2.如图所示空间直角坐标系A
xyz
中，
( , , )
P x y z 是正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面
1
1
1
A B C 内一动点，
1
3
A A
AB
，直线PA 和底面ABC 所成角为π
3 ，则P 点坐标满足（
）
A．
2
2
3
x
y
B．
2
2
2
3
x
y
z
C．
2
2
27
x
y
D．
2
2
2
27
x
y
z
3.在三棱锥
P
ABC 中，PA ，PB ，PC 互相垂直，
4
PA
PB
，M 是线段BC 上一动点，且直线AM
与平面PBC 所成角的正切值的最大值是5 ，则三棱锥
P
ABC 外接球的体积是（
）
A．30
B．32
C．34
D．36
4.如图，在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面边长为2，直线
1
CC 与平面
1
ACD 所成角的正弦值为1
3 ，则正
四棱柱的高为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5.已知四面体ABCD中，AB ，BC ，BD 两两垂直，
2
BC
BD
，AB 与平面ACD 所成角的正切值为1
2 ，
则点B 到平面ACD 的距离为（
）
A．
3
2
B．2 3
3
C．
5
5
D．2 5
5
题型七：线面角的探索性问题
1.如图，直角三角形ABC 和等边三角形ABD 所在平面互相垂直，
2
AB
AC
，E 是线段AD 上一点.
(1)设E 为AD 的中点，求证：BE
CD
；
(2)若直线CD 和平面BCE 所成角的正弦值为
10
10
，求AE
AD 的值.
2.如图，平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的所有棱长都相等，
60
BAD
，
1
1
3
cos
cos
4
BAA
DAA
，E 为
棱BC BC 的中点，F 在棱
1
1
A B 上运动，
1
1
1
A F
A B
.
(1)证明：当
1
2
时，
//
EF
平面
1A BD ；
(2)是否存在点F ，使得直线BF 与平面
1
ECD 所成角的正弦值为
21
14
？若存在，求出的值；若不存在，
请说明理由.
3.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
CC 平面ABC ，
1
2,
90
AA
AC
BC
ACB
，D 是
1
CC 的中点．
(1)求平面
1A BD 与平面ABC 夹角的余弦值；
(2)在直线CD 上是否存在一点P ，使得BP 与平面
1A BD 所成角的正弦值为
3
6
，若存在，求出CP 的长；
若不存在，请说明理由．
模块三：综合巩固
1.如图，在四棱锥D
ABC
中，
90 ,
3
,
ADC
AD
AB
BC
CD E
为线段AC 的中点，BD
BC
.
(1)证明：BE
CD
；
(2)求直线BE 与平面BCD所成角的正弦值.
2.在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为正方形，AP 平面CDP ，AP
DP
．
(1)求证：平面ABCD 平面ADP ；
(2)若Q 是DP 中点，求直线BP 与平面BCQ 所成角的正弦值．
3.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，
90
BAD
，
1
1
2
PA
AB
BC
AD
，
/ /
BC
AD ，
已知Q 是棱PD 上靠近点P 的四等分点，则CQ 与平面PAB 所成角的正弦值为（
）．
A．
5
5
B．2 5
5
C．2 29
29
D．1
6
4.如图，四棱锥P
ABCD
中，CD 平面PAD ，
/ /
AB
CD ，
1
AB ，
2
CD
，M 为棱PC 上一点.
(1)若M 为PC 的中点，证明：
/ /
BM
平面PAD ；
(2)若
2
PA
PD
AD
，且
/ /
PA
平面BMD ，求直线PC 与平面BMD 所成角的正弦值.
5.在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AB
，
1
4
AA
，E 在线段
1
CC 上，且
1
1
4
CE
CC
.
(1)求证：
1AC 平面DBE ；
(2)求直线
1B E 与平面DBE 所成角的正弦值.
6.若正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长都相等，D 是
1
1
AC 的中点，则直线AD 与平面
1B DC 所成角的余弦值
为______.
7.如图，在三棱锥
P
ABC 中，PB
AB
，
4
AC
PB
，
2
BC
，
2 5
AB
PC
.
(1)证明：PB 平面ABC ；
(2)求直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值．
8.如图，四棱锥P
ABCD
的底面为正方形，PA 底面ABCD，
3
PA
AB
，点E 在棱PD 上，且2PE
ED
，
点F 是棱PC 上的动点（不含端点）.
(1)若F 是棱PC 的中点，求
EAF
的余弦值；
(2)求PA 与平面AEF 所成角的正弦值的最大值.
9.已知几何体EFG
ABCD
如图所示，其中四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形，且边长为1，
点M 在DG 上，若直线MB 与平面BEF 所成的角为45°，则DM ___________.
10.如图，AB 是圆O的直径，点C 是圆O上异于A ，B 的点，PC 平面ABC ，
3
AC
，
2
2
PC
BC
，
E ，F 分别为PA ，PC 的中点，平面BEF 与平面ABC 的交线为BD ，D 在圆O上.
(1)在图中作出交线BD （说明画法，不必证明），并求三棱锥D
ACE
的体积；
(2)若点M 满足
1
2
BM
BD
BP
R
，且CM 与平面PBD 所成角的正弦值为
10
5
，求的值.
1.9 二面角面面角（传统法与向量法）
模块一：基础知识
考点一：二面角（传统法）
1.二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两
个平面称为二面角的面．（二面角
l
或者是二面角A
CD
B
）
2.二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两
条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0
]
，
．
3.二面角的求法
法一：定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二
面角的平面角，如图在二面角
l
的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面和内作垂直于
棱的射线OA和OB ，则射线OA和OB 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，
那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点A ，作AO
于O ，过A 作AB
c
于B ，则BO 为斜线AB 在面内
的射影，
ABO
为二面角
c
的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点A ，作AO
于O ；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A 作AB
c
于B ，连接BO ；
③计算：
ABO
为二面角
c
的平面角，在Rt
ABO
△
中解三角形．
图1
图2
图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影
面积公式（
'
'
'
cos
=
A B C
ABC
S
S
S
S
射
斜
，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为
补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面
积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是
二面角的平面角．
例如：过二面角内一点A 作AB
于B ，作AC
于C ，面ABC 交棱a 于点O ，则
BOC
就是二
面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
考点二：二面角（向量法）
如图，若PA
于A，PB
于B，平面PAB 交l 于E，则∠AEB 为二面角
l
的平面角，∠AEB+
∠APB=180°.
若
1
2
n n
分别为面，的法向量
①
1
2
1
2
1
2
cos
,
|
||
|
n n
n n
n
n
②cos根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
1
2
cos
| cos
,
|
n n
；
若二面角为顿二面角（取负），则
1
2
cos
| cos
,
|
n n
；
模块二：题型分类
题型一：定义法求二面角
1.假设P 是ABC
所在平面外一点，而PBC
和ABC
都是边长为2 的正三角形，
6
PA
，那么二面角
P
BC
A
的大小为（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
2.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，求二面角
1
1
1
B
AC
B
的正切值．
3.如图，已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
．
(1)求二面角
1
B
AC
D
的正切值的大小；
(2)求二面角
1
A
B C
B
的正切值的大小．
4.在正方体ABCD
A B C D
中，二面角D
AB
D
的大小是（
）
A．90
B．60
C．45
D．30
5.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
(1)求异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角的大小；
(2)求二面角
1
C
AB
C
的大小.
题型二：三垂线法求二面角
1.已知三棱锥
P
ABC 中，底面ABC 是边长为2 3 的正三角形，点P 在底面上的射影为底面的中心，且三
棱锥
P
ABC 外接球的表面积为18π ，球心在三棱锥
P
ABC 内，则二面角P
AB
C
-
-
的平面角的余弦值
为（
）
A．
1
2
B．1
3
C．
2
2
D．
3
3
2.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40cm
的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm 的球O 的球面上，且一个底而的
中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（
）
A．2 2
3
B．2
3
C．2 5
5
D．2
5
3.如图，三棱锥
P
ABC 中，已知PA 平面
,
ABC
3,
6
PA
PB
PC
BC
.则二面角P
BC
A
的正
弦值为_____.
4.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为1．
(1)求异面直线
1
1
B D 与AC 所成角的大小；
(2)求二面角
1
B
AC
D
的余弦值．
5.已知如图边长为a 的正方形ABCD外有一点P 且PA 平面ABCD，PA
a
，二面角P
BD
A
的大小的
正切值______．
题型三：垂面法求二面角
1.如图，已知PA
，PB
，垂足为A 、B ，若
60
APB
，则二面角
l
的大小是______．
2.如图，已知二面角
AB
，且
AB
，PC
，PD
，C，D 是垂足，平面PCD 与AB 交于
点H．
（1）求证：AB⊥平面PCD；
（2）若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角
AB
的大小．
3.已知二面角
l
，若直线a
，直线b
，且直线,a b 所成角的大小为60，则二面角
l
的
大小为_________.
4.已知P 是二面角
l
内的一点，PA 垂直于于
,
A PB 垂直于于
,
8 3,
8
B AB
PA
PB
，则二面角
l
的大小为__．
题型四：补形法求二面角
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
E F 分别为AB 、
1
AA 的中点，则平面
1
CEB 与平面
1
1
D FB 所成二面
角的平面角的正弦值为______．
2.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为正方形，二面角P
BC
A
为直二面角．
2
BP
CP
，
BP
CP
，M，N 分别为AP，AC 的中点．求平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值.
3.如图，在四棱锥P
OABC
中，已知
1
OA
OP
，
2
CP
，
4
AB
，
π
3
CPO
，
π
6
ABC
，
π
2
AOC
，
E 为PB中点，F 为AB 中点.
（1）证明：平面
/ /
CEF
平面PAO ；
（2）若
3
PA
，求平面POC 与平面PAB 所成夹角的余弦值.
4.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
AA ，P 是棱AB 上任一点，若平面
1B DP 和平面
1
1
AA D D 所成的
角为，则tan的最小值为________．
题型五：射影面积法求二面角
1.如图ABC
与
BCD
△
所在平面垂直，且AB
BC
BD
，
120
ABC
DBC
o，则二面角A
BD
C
的
余弦值为_______.
2.在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）证明：AB⊥平面PAD；
（2）求面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值．
3. ABC
的边BC 在平面内，A 在内的射影是
1A ，设ABC
的面积为S，它和平面所成的一个二面
角的大小为（为锐角），则
1A BC
的面积是__________．
4.直角三角形ABC 的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成30和45角，则这个直角三角形所在
的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为________．
5.如图所示，已知圆柱
1
OO 的底面直径
6
AB
，母线长
8
PA
，且C 为圆柱底面圆周上的一点，
30
ABC
．求：
（1）圆柱
1
OO 的体积和侧面积；
（2）二面角P
BC
A
的正弦值．
6.（多选）如图所示，
1
1
1
1
ABCD
ABC D
为正方体，以下四个结论中正确的有（
）
A．
1
AC 平面
1
1
CB D
B．直线
1BC 与BD 所成的角为60°
C．二面角
1
1
1
C
B D
C
的正切值是
3
D．
1
AC 与底面ABCD 所成角的正切值是
2
题型六：向量法求二面角
1.如图，圆O是ABC
的外接圆，CE 平面ABC ，AB 是圆O的直径，
30
CAB
，
2
CE
BD
，且
2
CE
AB
.
(1)求证：平面ACE 平面BCED ；
(2)若
2
ME
DM
，求平面ACM 与平面ACE 夹角的余弦值.
2.如图，已知四棱锥P
ABCD
的底面是直角梯形，
90 ,
2
2
2
2
4
ADC
BCD
AD
BC
CD
PA
PD
，二面角P
AD
B
的大小为120，E 是PA 中
点.
(1)求证：BE 平面PCD；
(2)求二面角E
BD
A
的余弦值.
3.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，
90
ABC
BAD
，
2
AD
，
1
PA
BC
．
(1)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；
(2)求平面PAB 与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．
4.如图，在正四棱锥P
ABCD
中，
2
AB
，过点A 向平面PCD作垂线，垂足为H .
(1)求证：AB
DH
；
(2)若
2
AH
，求二面角H
BC
D
的余弦值.
5.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是矩形，PA 平面ABCD ，
1
1
2
PA
AD
AB
，E ，M
分别为线段AB ，PC 的中点，连接CE ，延长CE 并与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF .
(1)求证：
/ /
ME
平面PFD
(2)求平面APE 与平面PEF 所成角的正弦值.
题型七：向量法求二面角最值或范围
1.在四棱锥S
ABCD
中，四边形ABCD为正方形，
2
AB
，
1
DS ，平面ASD 平面ABCD，SD
AD
，
点E 为DC 上的动点，平面BSE 与平面ASD 所成的二面角为(
为锐角) ，则当取最小值时，
DE =__________．
2.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，
2
PA
AB
，E ，F 分别在
棱PB ，BC 上．
(1)当E 为棱PB 中点时，求证：AE
EF
；
(2)当F 为棱BC 中点时，求平面AEF 与平面PDC 所成的二面角余弦值的最大值．
3.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面是边长为2 的等边三角形，
1
2,
,
CC
D E
分别是线段
1
,
AC CC 的中
点，
1
C 在平面ABC 内的射影为D .
(1)求证：
1AC 平面BDE ；
(2)若点F 为棱
1
1
B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；
(3)若点F 为线段
1
1
B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角F
BD
E
的余弦值的取值范围.
4.如图①所示，长方形ABCD中，
1
AD ，
2
AB
，点M 是边CD 的中点，将
ADM
△
沿AM 翻折到
PAM
△
，
连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P
ABCM
．
(1)求四棱锥P
ABCM
的体积的最大值；
(2)设P
AM
D
的大小为，若
π
0, 2
，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．
题型八：已知二面角求参数
1.在直角坐标系xOy 中，
( 2 2,0), (4 2,0)
A
B
，沿直线y
x
把直角坐标系折成120的二面角，则AB 的
长度为___________.
2.如图2，在
ABCD
Y
中，
2
AB
，
3
BC
，
30
ABC
．将
DAC
△
沿AC 翻折，使点D 到达点P 位
置（如图3），且平面PAC 平面PBC ．
(1)求证：平面PAC 平面ABC ；
(2)设Q 是线段PB 上一点，满足PQ
mPB
，试问：是否存在一个实数m ，使得平面QAC 与平面PAB 的
夹角的余弦值为
2
4
，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
3.如图，四棱锥P
ABCD
的底面是边长为2 的菱形，
60 ,
,
ABC
PB
PC O
为BC 的中点，OP
AC
.
(1)证明：平面PBC 平面ABCD.
(2)若
2
CE
EP
uur
uur ，且二面角E
AB
D
的大小为60，求四棱锥P
ABCD
的体积.
4.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
AD
AA
，
2
AB
，点E 在棱AB 上．若二面角
1
D
EC
D
的
大小为4
，则E 的坐标为______，点A 到平面
1
D EC 的距离d ___
5.如图，四棱锥P
ABCD
的底面是矩形，PA 底面ABCD，
1
PA
AB
，E 为AD 的中点.
(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；
(2)若二面角P
BE
A
为60，求点C 到平面PBE 的距离.
题型九：二面角中的探索性问题
1.在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，四边形ABCD为平行四边形，平面
1
D BC 平面
1
D BD .
(1)求证：BC
BD
；
(2)若
1
2
2
4
AA
BD
BC
，探索在棱
1
AA 上是否存在一点E ，使得二面角
1
E
BD
D
的大小为30？若存
在，求出
1
AE
AA 的值；若不存在，请说明理由.
2.如图2，在
ABCD
Y
中，
2
AB
，
3
BC
，
30
ABC
．将
DAC
△
沿AC 翻折，使点D 到达点P 位置
（如图3），且平面PAC 平面PBC ．
(1)求证：平面PAC 平面ABC ；
(2)设Q 是线段PB 上一点，满足PQ
mPB
，试问：是否存在一个实数m ，使得平面QAC 与平面PAB 的夹
角的余弦值为
2
4
，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
3.如图1，在平面四边形PDBC 中，PD ∥BC ，
1
,
1,
2
BA
AD PA
AB
BC
AD
，将PAB
沿BA 翻折
到
SAB
△
的位置，使得平面SAB ⊥平面ABCD，如图2 所示.
(1)设平面SDC 与平面SAB 的交线为l ，求证：BC
l
；
(2)在线段SC 上是否存在一点Q （点Q 不与端点重合），使得二面角Q
BD
C
的余弦值为
6
6
，请说明
理由.
4.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧面
1
1
ACC A 为正方形，
90
CAB
，
2
AC
AB
，M ，N 分别
为AB 和
1
BB 的中点，D 为棱AC 上的点.
(1)证明：
1A M
DN
；
(2)是否存在点D ，使得平面
1
C DN 与平面
1
1
ABB A 夹角的余弦值为
5
3
？如果不存在，请说明理由；如果
存在，求线段AD 的长.
模块三：综合巩固
1.如图在三棱锥S
ABC
中，SA⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于D、E，
又SA
AB
，BS
BC
，则以BD为棱，平面BDE 与平面BDC 的二面角的大小为______．
2.如图，在直角梯形ABCD 中，BC
AD
∥
，AD
CD
，
2
BC
，
3
AD
，
3
CD
，边AD 上一点E 满足
1
DE ，现将ABE
沿BE 折起到
1A BE
的位置，使平面
1A BE 平面BCDE，如图所示.
(1)在棱
1AC 上是否存在点F，使直线
/ /
DF
平面
1A BE ，若存在，求出
1
1
A F
AC ，若不存在，请说明理由；
(2)求二面角
1A
BC
D
的平面角的正切值.
3.直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，AB
DC
，AB
AD
，
2
AB
，
3
AD
，
4
DC
(1)求证：
1
1
//
A B
DCC D
面
；
(2)若四棱柱体积为36，求二面角
1A
BD
A
大小的正切值
4.已知P 是二面角
l
内的一点，PA 垂直于于
,
A PB 垂直于于
,
8 3,
8
B AB
PA
PB
，则二面角
l
的大小为__．
5.如图，在三棱锥S－ABC 中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分SC 且分别交AC，SC 于点D，E，
又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C 的大小．
6.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为正方形，二面角P
BC
A
为直二面角．
2
BP
CP
，
BP
CP
，M，N 分别为AP，AC 的中点．求平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值.
7.在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）证明：AB⊥平面PAD；
（2）求面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值．
8.如图，在三棱锥P-ABC 中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D 为线段AC 的中点，E 为线
段PC 上一点.求二面角P-BC-A 的平面角的大小.
9.已知长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面ABCD 是边长为1 的正方形，侧棱
1
2
AA
，过
1
BD 作平面分
别交棱
1
AA ，
1
CC 于E ，F ，则四边形
1
BFD E 面积的最小值为________.
10.如图，在四棱锥P
ABCD
中，BD
PC
，四边形ABCD是菱形，
60
ABC
，
1
AB
PA
，
2
PB
，
E 是棱PD 上的中点.
(1)求三棱锥C
BDE
的体积；
(2)求平面PAB 与平面ACE 夹角的余弦值.
11.已知直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧面
1
1
AA B B 为正方形，AB
BC
，E ，F 分别为AC 和
1
CC 的中点，D
为棱
1
1
A B 上的动点.
1
1
BF
A B
.
(1)证明：BF
DE
；
(2)求平面
1
1
BB C C 与平面DEF 所成的二面角正弦值的最小值及此时点D 的位置.
12.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是平行四边形，
2π
3
ADC
，
2
4
PD
DC
BC
，点E 是
线段AD 的中点，点F 在线段AP 上且满足AF
AP
，PD 面ABCD
(1)当
1
3
时，证明：PC 平面BFE ；
(2)当为何值时，平面BFE 与平面PBD 所成的二面角的正弦值最小？
1.10 新定义与高考真题
模块一：题型分类
题型一：空间向量的数量积运算新定义
1．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直
角三角形的直棱柱.在堑堵
1
1
1
ABC
A B C
中，AB
AC
，M 是
1
1
AC 的中点，
7
AB
，N，G 分别在棱
1
BB ，
AC 上，且
1
1
3
BN
BB
，
1
3
AG
AC ，平面MNG 与AB 交于点H，则AH
BH ___________，
HM AB
___________.
2．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱
柱．在堑堵
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
2
AB
AC
AA
，P 为
1
1
B C 的中点，则
1
AC BP
（
）．
A．6
B．6
C．2
D．2
3．（多选）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1 所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示
意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4 个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来
看，可以认为4 个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4 个碳原子距
离都相等的位置，如图2 所示．这就是说，图2 中有AE
BE
CE
DE
，若正四面体ABCD的棱长为a ，
则（
）
A．
2 6
9
a
AE
B．
0
EA
EB
EC
ED
C．
0
AE CD
D．
2
2
a
AE AC
4．给定两个不共线的空间向量a
与b
，定义叉乘运算：a b
.规定：
（i）a b
为同时与a
，b
垂直的向量；
（ii）a
，b
，a b
三个向量构成右手系（如图1）；
（iii）
sin
,
a b
a b
a b
.
如图2，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
2
AB
AD
，
1
4
AA
.给出下列四个结论：
①
1
AB
AD
AA
；
②AB
AD
AD
AB
；
③
1
1
1
AB
AD
AA
AB
AA
AD
AA
；
④
1
1 1
1
1
ABCD A B C D
V
AB
AD
CC
.其中，正确结论的序号是______________.
题型二：空间向量基本定理新定义
1．定义：设
1
2
3
,
,
a a a
是空间向量的一个基底，若向量
1
2
3
p
xa
ya
za
，则称实数组
, ,
x y z 为向量p
在
基底
1
2
3
,
,
a a a
下的坐标，已知
, ,
a b c
是空间向量的单位正交基底，
,
,2
a
b a
b
c
是空间向量的另一个基
底，若向量p
在基底
,
,2
a
b a
b
c
下的坐标为
1,2,3 ，求向量p
在基底
, ,
a b c
下的坐标，并求向量p
的
模．
2．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的
三组棱长a、b、c 及棱间交角、、（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中
2
a
，
1
b
c
，
60
，
90
，
120
，则该晶胞的对角线
1
AC 的长为__________.
题型三：空间向量及其运算的坐标表示新定义
1．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七
尺.该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF 均为等腰梯形，
//
//
AB
CD
EF ，平面ABCD
平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF 的高分别为3，7，且
6
AB
，
10
CD
，
8
EF
，则AD BF
________.
2．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，
那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种
坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：, ,
i j k
分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n
xi
yj
zk
，则n与有
序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作
[ , , ]
n
x y z
.
(1)若
1,2,3
a
，
[ 1,1,2]
b
，求a
b
的斜60°坐标；
(2)在平行六面体
1
1
ABCD
ABC D
中，AB=AD=2，AA1=3，
1
1
60
BAD
BAA
DAA
，如图，以
1
,
,
AB AD AA
为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若
1
BE
EB
，求向量
1
ED 的斜60坐标；
②若
2, ,0
AM
t
，且
1
AM
AC
，求AM
.
模块二：2024 年立体几何空间向量高考真题选
真题1：2024 年新课标1
如图，四棱锥P
ABCD
中，PA 底面ABCD，
2
PA
AC
，
1,
3
BC
AB
．
（1）若AD
PB
，证明：
//
AD
平面PBC ；
（2）若AD
DC
，且二面角A CP
D
的正弦值为
42
7
，求AD ．
真题2：2024 新课标2
已知正三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积为52
3
，
6
AB
，
1
1
2
A B
，则
1A A 与平面ABC 所成角的正切值为
（
）
A.
1
2
B. 1
C. 2
D. 3
真题3：2024 新课标2
如图，平面四边形ABCD 中，
8
AB
，
3
CD
，
5 3
AD
，
90
ADC
，
30
BAD
，点E，F
满足
2
5
AE
AD
，
1
2
AF
AB
，将
AEF
△
沿EF 对折至
PEF
!
，使得
4 3
PC
．
（1）证明：EF
PD
；
（2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．
真题4：2024 年全国甲卷理数
如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，
/ /
,
/ /
BC
AD EF
AD ，
4,
2
AD
AB
BC
EF
，
10,
2 3
ED
FB
，M 为AD 的中点．
（1）证明：
/ /
BM
平面CDE ；
（2）求二面角F
BM
E
的正弦值．
模块三：往届立体几何空间向量高考真题选
1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）如图，在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
2,
4
AB
AA
．点
2
2
2
2
,
,
,
A B C
D 分别
在棱
1
1
1
,
,
AA BB CC ,
1
DD 上，
2
2
2
2
1,
2,
3
AA
BB
DD
CC
．
(1)证明：
2
2
2
2
B C
A D
∥
；
(2)点P 在棱
1
BB 上，当二面角
2
2
2
P
A C
D
为150时，求
2
B P ．
2．
（20203 全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，三棱锥A
BCD
中，DA
DB
DC
，BD
CD
，
60
ADB
ADC
，
E 为BC 的中点．
(1)证明：BC
DA
；
(2)点F 满足EF
DA
，求二面角D
AB
F
的正弦值．
3．（2023·全国·统考高考乙卷）如图，在三棱锥
P
ABC 中，AB
BC
，
2
AB
，
2 2
BC
，
6
PB
PC
，
BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，
5
AD
DO
，点F 在AC 上，BF
AO
.
(1)证明：
/ /
EF
平面ADO ；
(2)证明：平面ADO 平面BEF；
(3)求二面角D
AO
C
的正弦值.
4．（2023·全国·统考高考甲卷）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1AC 底面ABC，
1
90 ,
2
ACB
AA
，
1A 到平面
1
1
BCC B 的距离为1．
(1)证明：
1AC
AC
；
(2)已知
1
AA 与
1
BB 的距离为2，求
1
AB 与平面
1
1
BCC B 所成角的正弦值．
5．（2022·全国·统考高考乙卷）如图，四面体ABCD中，
,
,
AD
CD AD
CD
ADB
BDC
，E 为AC 的
中点．
(1)证明：平面BED 平面ACD ；
(2)设
2,
60
AB
BD
ACB
，点F 在BD 上，当
AFC
△
的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正
弦值．
6．（2022·全国·统考高考甲卷）在四棱锥P
ABCD
中，PD 底面
,
,
1,
2,
3
ABCD CD
AB AD
DC
CB
AB
DP
∥
．
(1)证明：BD
PA
；
(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．
7．（2022·全国·新课标Ⅰ卷）如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积为4，
1A BC
的面积为2 2 ．
(1)求A 到平面
1A BC 的距离；
(2)设D 为
1AC 的中点，
1
AA
AB
，平面
1A BC 平面
1
1
ABB A ，求二面角A
BD
C
的正弦值．
8．（2022 全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，PO是三棱锥
P
ABC 的高，PA
PB
，AB
AC
，E 是PB 的中
点．
(1)证明：
/ /
OE
平面PAC ；
(2)若
30
ABO
CBO
，
3
PO
，
5
PA
，求二面角C
AE
B
的正弦值．
空间向量与立体几何章末复习卷（一）
一、单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5 分，8 题共40 分)
1．若
, ,
,
A B C D 为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（）
A．
2
2
AB
BC
CD
DC
B．2
2
3
3
AB
BC
CD
DA
AC
C．AB
DA
BD
D．AB
CB
CD
AD
2．四面体ABCD中，
2
2
AC
AD
AB
，
60
BAD
，
2
AB CD
，则
BAC
（
）
A．60
B．90
C．120
D．150
3．已知
, ,
a b c
是空间的一组基底，其中
2
3
AB
a
b
，AC
a
c
，
2
AD
b
c
.若A，B，C，D 四点共
面，则λ=（
）
A．
3
4
B．3
4
C．4
3
D．
4
3
4．已知向量
1,2,0
a
，
2, , 1
b
y
，若a
b
，则y （
）
A．2
B．1
C．1
D．2
5．已知向量
2,4,
AB
x
，平面α的一个法向量
1, ,3
n
y
，若AB
，则（
）
A．
6,
2
x
y
B．
2,
6
x
y
C．3
4
2
0
x
y
D．4
3
2
0
x
y
6．若直线l 的方向向量为
1,0,2
a
，平面的法向量为
2,0, 4
n
，则（
）
A．/ /
l
B．l
C．l
D．l 与相交但不垂直
7．已知平面的法向量为
4,3, 7
，若直线l 平面，则直线l 的方向向量可以为（
）
A．
8,6,14
B．
8, 6,14
C．
25
4,3, 7
D．
25
3,4, 7
8．如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面是边长为2 的正三角形，侧棱长为1，则平面ABC 与平面
1
1
AB C
所成的角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.）
9．关于空间向量，以下说法不正确的是（
）
A．向量a
，b
，若
0
a b
，则a
b
B．若对空间中任意一点O，有
1
1
1
6
3
2
OP
OA
OB
OC
，则P ，A ，B ，C 四点共面
C．设
, ,
a b c
是空间中的一组基底，则
,
,
a
b b
c a
c
也是空间的一组基底
D．若空间四个点P ，A ，B ，C ，
1
3
4
4
PC
PA
PB
，则A ，B ，C 三点共线
10．《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，1
1
2
B D
DC
，
则（
）．
A．
1
2
1
3
3
AD
AA
AB
AC
B．
1
1
2
3
3
AD
AA
AB
AC
C．向量AD
在向量AB
上的投影向量为2
3
AB
D．向量AD
在向量AC
上的投影向量为2
3 AC
11．已知空间向量
1,2,1 ,
3, 2,1 ,
4,4, 1
a
b
c
，则（
）
A．
6
a
B．, ,
a b c
是共面向
C．a
b
D．
10
a
b
c
12．如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，动点
,
P Q 分别在线段
1 ,
C D AC 上，则（
）
A．异面直线
1
DC 和
1
BC 所成的角为π
4
B．点A 到平面
1
BC D的距离为2 3
3
C．若
,
P Q 分别为线段
1 ,
C D AC 的中点，则PQ 平面
1
1
ABC D
D．线段PQ 长度的最小值为2 3
3
三、填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，其中第16 题第一空2 分，第二空3 分.）
13．已知
(3, 2, 3)
a
，
( 1,
1,1)
b
x
，且a
与b
的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________.
14．如图，已知四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的底面ABCD是边长为1的正方形，且
1
1
π
3
C CD
C CB
，
1
2
DD
，
则
1
AC
______．
15．在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面ABCD是边长为2 的正方形，
1
3
AA
．点M 是侧面
1
1
BCC B 内
的动点（不含边界），AM
MC
，则
1A M 与平面
1
1
BCC B 所成角的正切值的取值范围为__________．
16．在如图所示的三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，
90
ACB
，
8
CA
，
6
PA
，D 为AB 中点，E
为
PAC
△
内的动点（含边界），且PC
DE
.当E 在AC 上时，AE ________；点E 的轨迹的长度为________.
四、解答题（本题共6 小题，共70 分，其中第17 题10 分，其它每题12 分，解答应写出文字说明､证明
过程或演算步骤.）
17．如图在边长是2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E，F 分别为AB，
1AC 的中点．
（1）求异面直线EF 与
1
CD 所成角的大小．
（2）证明：EF 平面
1ACD ．
18．如图，在棱长为3 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点E 是棱
1
1
A B 上的一点，且
1
1
2
A E
EB
，点F 是棱
1
1
A D
上的一点，且
1
1
2
A F
FD
．
(1)求异面直线
1
AD 与CF 所成角的余弦值；
(2)求直线BD 到平面CEF 的距离．
19．如图所示，四棱锥P
ABCD
的底面ABCD是矩形，PB 底面ABCD，
3
AB
BC
，
3
BP
，
1
3
CF
CP
，
1
3
DE
DA
．
(1)证明：EF P平面ABP ；
(2)求直线PC 与平面ADF 所成角的正弦值．
20．在斜三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，ABC
是等腰直角三角形，
,
2 3
AB
BC AC
，平面
1
1
ACC A 底面ABC ，
1
1
2
A B
AA
.
(1)证明：
1A B
AC
；
(2)求二面角
1
1
A
BC
C
的正弦值.
21．如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB
CD
，
60
DAB
，FC 平面ABCD，AE
BD
，
CB
CD
CF
.
(1)求二面角D
BF
C
的余弦值；
(2)在线段AB（含端点）上，是否存在一点P，使得FP∥平面AED .若存在，求出AP
AB 的值；若不存在，
请说明理由.
22.如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，AD ∥BC ，AB
AD
，PA
PD
，AB
PA
，
2
AD
，
1
AB
BC
．E
是棱PD 上一点，CE ∥平面PAB ．
(1)求证：E 为PD 的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥P
ABCD
-
的体积．
条件①：点D 到平面PAB 的距离为
2 ；
条件②：直线DC 与平面PAB 所成的角为π
6 ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
空间向量与立体几何章末复习卷（二）
一、单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5 分，8 题共40 分)
1．已知直线l 的方向向量
1, 1, 2
e
，平面的法向量
1 , ,1
2
n
，若l
，则（
）
A．
5
2
B．
1
2
C．
1
2
D．5
2
2．如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AB
AD
，
1
4
AA
，
90
DAB
，
1
1
60
BAA
DAA
，
E 为
1
CC 中点，则AE 的长为（
）
A．2 5
B．2 6
C．3 6
D．3 5
3．在正四面体A
PBC
中，过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为Q 点，点M 满足
3
4
AM
AQ
，则PM
（
）
A．1
3
1
4
4
4
PA
PB
PC
B．1
1
1
4
4
4
PA
PB
PC
C．1
3
1
4
4
4
PA
PB
PC
D．1
1
3
4
4
4
PA
PB
PC
4．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑A
BCD
中，AB 平面BCD，BD
CD
，且AB
BD
CD
，M 为AD 的中点，则二面角M
BC
D
的正弦值为
（
）
A．
2
2
B．
3
3
C．
6
3
D．1
5.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD，
2
PA
AB
，
4
AD
，E 为PC
的中点，则面PCD与直线BE 所成角的余弦值为（
）
A．3
5
B．2 30
15
C．2 5
15
D．105
15
6．已知在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
AB
BC
，
1
3
AA
，在线段
1A D 上取点M，在
1
CD 上取点N，
使得直线
//
MN
平面
1
1
ACC A ，则线段MN 长度的最小值为（
）
A．
3
3
B．
21
3
C．
3
7
D．
21
7
7．在如图所示的坐标系中，
1
1
1
1
ABCD
ABC D
为正方体，给出下列结论：
①直线
1
DD 的一个方向向量为(0,0,1)；
②直线
1
BC 的一个方向向量为(0,1,1) ；
③平面
1
1
ABB A 的一个法向量为(0,1,0) ；
④平面
1
B CD 的一个法向量为(1,1,1) .其中正确的个数为（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
8．在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为菱形，
π
3
ABC
，PA 平面ABCD，
2
PA
AB
，E 为线段PB
的中点，F 为线段BC 上的动点，则下列结论错误的是（
）
A．平面AEF 平面PBC
B．三棱锥C
PED
的体积为
3
3
C．EF 与平面ABCD所成角的最小值为π
6 D．AE 与PC 所成角的余弦值为1
4
二、多选题
9.已知点P 是平行四边形ABCD所在平面外一点，
( 1,2,2)
AB
，
(0,1,3)
AD
，
(2,1,0)
AP
下列结论中
正确的是（
）
A．AP
AB
B．存在实数，使AP
BD
C．AP
不是平面ABCD的法向量
D．四边形ABCD的面积为
26
10.已知空间中三点
0,1,0
A
，
2,2,0
B
，
1,3,1
C
，则下列结论正确的有（
）
A．AB
AC
B．与AB
共线的单位向量是
1,1,0
C．AB
与BC
夹角的余弦值是
55
11
D．平面ABC 的一个法向量是
1, 2,5
11.如图，在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，Q 是棱
1
DD 上的动点，则下列说法正确的是（
）
A．不存在点Q ，使得
1
1
//
C Q AC
B．存在点Q ，使得
1
1
C Q
AC
C．对于任意点Q ，Q 到
1AC 的距离的取值范围为
2
6
,
2
3
D．对于任意点Q ，
1ACQ
△
都是钝角三角形
12.如图，边长为4 的正方形ABCD是圆柱的轴截面，点P 为圆弧
AD 上一动点（点P 与点
,
A D不重合）
(0
1)
AP
AD
，则（
）
A．存在值，使得AD
BP
B．三棱锥P
ABD
体积的最大值为16
3
C．当
1
2
时，异面直线PB 与AD 所成角的余弦值为
6
6
D．当直线PB 与平面ABCD所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P
ABCD
外接球的截面面积为4 2π
三、填空题
13．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体
（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八
面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF 的棱长都是2（如图），
,
M N 分别为棱
,
AD AC
的中点，则FM BN
__________.
14．已知空间向量
1,0,1
a
，
1,1,1
b
，则向量a在向量b
上的投影向量的坐标是__________．
15.向量
( 1,1,2)
a
，且向量a与非零向量2a
b
方向相反，则a b
的取值范围是
．
16．如图，在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，P，Q 分别是线段
1
CC ，BD 上的点（不含端点），R
是直线AD 上的点，满足
//
PQ
平面
1
1
ABC D ，PQ
RQ
，则PR 的最小值为
.
四、解答题
17．如图，在四棱锥P
ABCD
中，PD 平面
,
ABCD E 为AD 的中点，底面ABCD是边长为2 的正方形，
且二面角P
BE
C
的余弦值为
6
6
．
(1)求PD 的长；
(2)求点C 到平面PEB 的距离．
18．如图，已知PA 平面ABCD，底面ABCD 为正方形，
2
PA
AD
AB
，M，N 分别为AB，PC 的中
点．
(1)求线段MN 的长；
(2)求PD 与平面PMC 所成角的正弦值．
19．如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 底面ABCD，底面ABCD是正方形，
,
PA
AB AC
与BD 相交于
点E，点F 在线段PE 上，且
2
PF
FE
.
(1)求证：AF 平面PBD ；
(2)求平面AFD 与平面CFD 夹角的正弦值.
20．如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 为AD 中点．
(1)求平面
1
DBD 与平面
1
EBD 夹角的余弦值；
(2)探究线段
1B C 上是否存在点F，使得
/ /
DF
平面
1
BD E ？若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由．
21．如图，在八面体PABCDQ 中，四边形ABCD是边长为2 的正方形，平面
//
PAD
平面QBC ，二面角
P
AB
C
-
-
与二面角Q
CD
A
的大小都是30，
3
AP
CQ
，PD
AB
．
(1)证明：平面
//
PCD
平面QAB ；
(2)设G 为
QBC
△
的重心，是否在棱PA 上存在点S，使得SG 与平面ABCD所成角的正弦值为
30
20
，若存在，
求S到平面ABCD的距离，若不存在，说明理由．
22．已知三棱柱ABC
DEF
中，侧面ADFC 是正方形，底面ABC 是等腰直角三角形，且M 为线段AD 中点，
2,
60
AC
AB
ABE
.
(1)求证：平面CEM 平面ADFC ；
(2)在线段CE 上是否存在点P ，使得平面ABP 与平面CEM 夹角为，且满足
3 285
cos
95
？若不存在，
请说明理由；若存在，求出CP 的长度.
