专题11空间向量与立体几何(原卷版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

11
专题 空间向量与立体几何
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)
2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)2025(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)
2025(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:26)
(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:20)(cid:25)(cid:43)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:44)(cid:3)(cid:45)
2024(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)
(cid:46)(cid:21)(cid:47)(cid:48)(cid:6)(cid:49)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:26)
(cid:30)(cid:26)2024(cid:31)(cid:32)(cid:30) (cid:52)(cid:54)(cid:26)(cid:52)(cid:55)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:50)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:61)(cid:62)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37) (cid:63)(cid:4)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:60)(cid:56)(cid:67)(cid:68)(cid:44)(cid:69)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:13)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:20)
Ⅱ(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27) (cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:3)(cid:4)(cid:50)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:26)(cid:78)(cid:80)
(cid:25)
(cid:28)(cid:39)(cid:30)(cid:26)2023(cid:40)(cid:41)(cid:30) (cid:52)(cid:55)(cid:57)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:50)(cid:3)(cid:45)(cid:3)(cid:84)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:18)
2022(cid:8)(cid:35)(cid:42)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2022(cid:8)(cid:35) (cid:19)(cid:20)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:44)(cid:89)(cid:90)(cid:43)(cid:16)(cid:17)(cid:91)(cid:92)
(cid:42)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅱ(cid:30)(cid:26)2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26) (cid:93)(cid:94)(cid:66)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:30)(cid:26)2022(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)
2022(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2022(cid:33)(cid:34)(cid:30)
(cid:3)(cid:45)(cid:103)(cid:84)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:104)(cid:96)(cid:97)(cid:60)(cid:96)(cid:97)(cid:26)(cid:96)
2025(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2025(cid:33)(cid:34)(cid:30) (cid:97)(cid:60)(cid:95)(cid:24)(cid:26)(cid:95)(cid:24)(cid:60)(cid:95)(cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:68)(cid:100)(cid:44)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:4)(cid:26)(cid:95)(cid:24)(cid:26) 2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)2024(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26) (cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:43)(cid:109)(cid:89)(cid:44)(cid:89)(cid:90)(cid:50)(cid:110)(cid:59)(cid:111)(cid:77)
(cid:96)(cid:97)(cid:17)(cid:44)(cid:98)(cid:99)(cid:68)(cid:100) 2024(cid:33)(cid:34)(cid:30) (cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:57)(cid:112)(cid:113)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:81)(cid:114)(cid:20)(cid:50)(cid:110)
(cid:101)(cid:102) 2023(cid:33)(cid:34)(cid:30) (cid:115)(cid:85)(cid:116)(cid:117)(cid:98)(cid:99)(cid:68)(cid:100)(cid:44)(cid:101)(cid:102)(cid:118)(cid:12)(cid:13)(cid:50)
2022(cid:33)(cid:34)(cid:30) (cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:104)(cid:50)(cid:122)(cid:74)(cid:85)(cid:105)(cid:123)(cid:62)(cid:63)(cid:44)(cid:3)
(cid:45)(cid:66)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:116)(cid:30)(cid:26)2026(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)
(cid:97)(cid:24)(cid:68)(cid:100)(cid:126)(cid:127)(cid:73)(cid:105)(cid:123)(cid:134)(cid:3)(cid:13)
=
(cid:95)(cid:124)(cid:68)(cid:100)(cid:10)(cid:51)(cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:11)
2026(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2026(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2026
(cid:43)(cid:125)(cid:96)(cid:68)(cid:100)(cid:10)(cid:97)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:125)(cid:96)(cid:11)
(cid:33)(cid:34)(cid:30)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:97)(cid:24)(cid:95)(cid:124)(cid:26) (cid:44)(cid:101)(cid:109)(cid:73)(cid:90)(cid:135)(cid:13)(cid:44)(cid:59)(cid:14)(cid:3)(cid:4)(cid:50)(cid:13)(cid:136)
2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:116)(cid:30)(cid:26)2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:125)(cid:96)(cid:44)(cid:126)(cid:127)(cid:10)(cid:76)(cid:128) (cid:110)(cid:59)(cid:77)(cid:59)(cid:137)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:10)(cid:52)(cid:54)(cid:26)(cid:52)(cid:55)(cid:26)
(cid:30)(cid:26)2025(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2025(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)
(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:13)(cid:133)1 (cid:52)(cid:53)(cid:57)(cid:11)(cid:81)(cid:114)(cid:20)(cid:50)(cid:75)(cid:138)(cid:64)(cid:65)(cid:18)(cid:19)(cid:109)
2025(cid:33)(cid:34)(cid:30)
(cid:71)(cid:11) (cid:139)(cid:26)(cid:101)(cid:109)(cid:109)(cid:89)(cid:140)(cid:124)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:89)(cid:50)(cid:144)(cid:145)
2024(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2024(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:97)(cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:68)(cid:100)(cid:44)(cid:96)(cid:146)(cid:147)(cid:62)
Ⅱ(cid:30)(cid:26)2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)2024(cid:31)(cid:32)
(cid:60)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:126)(cid:93)(cid:94)(cid:50)(cid:119)(cid:120)(cid:104)(cid:57)(cid:50)(cid:73)(cid:151)
(cid:30)(cid:26)2024(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2024(cid:33)(cid:34)(cid:30)
(cid:5)(cid:44)(cid:68)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:66)
2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅱ(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)
(cid:28)(cid:39)(cid:30)(cid:26)2023(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2023(cid:40)(cid:41)
(cid:30)(cid:26)2023(cid:33)(cid:34)(cid:30)
2022(cid:8)(cid:35)(cid:42)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2022(cid:8)(cid:35)
(cid:42)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅱ(cid:30)(cid:26)2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:30)(cid:26)2022(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)
2022(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2022(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:26)2022
(cid:155)(cid:156)(cid:30)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)2026(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2026
(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2026(cid:33)(cid:34)(cid:30)
2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:116)(cid:30)(cid:26)2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:26)2025(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2025(cid:33)(cid:34)(cid:30)
(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:73)(cid:18)(cid:161)(cid:162)(cid:8)(cid:134)(cid:3)(cid:50)(cid:163)(cid:164)(cid:27)(cid:28)
2024(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅱ(cid:30)(cid:26)2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)
(cid:30)(cid:26)(cid:165)(cid:79)(cid:30)(cid:76)(cid:166)(cid:165)(cid:167)(cid:50)(cid:22)(cid:168)(cid:73)(cid:96)(cid:97)
(cid:30)(cid:26)2024(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2024(cid:33)(cid:34)(cid:30)
(cid:60)(cid:95)(cid:24)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:50)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:169)
(cid:3)(cid:4)04 (cid:138)(cid:157)(cid:24)(cid:96) 2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
(cid:67)(cid:46)(cid:21)(cid:66)(cid:13)(cid:136)(cid:110)(cid:59)(cid:170)(cid:75)(cid:64)(cid:65)(cid:16)(cid:17)(cid:171)
(cid:97)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:26)(cid:97)(cid:24)(cid:160)(cid:26) Ⅱ(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)
(cid:172)(cid:173)(cid:10)(cid:174)(cid:100)(cid:26)(cid:138)(cid:173)(cid:171)(cid:172)(cid:11)(cid:175)(cid:18)(cid:19)(cid:173)
(cid:29)(cid:24)(cid:160) (cid:28)(cid:39)(cid:30)(cid:26)2023(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)2023(cid:33)(cid:34)
(cid:10)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:26)(cid:179)(cid:160)(cid:11)(cid:138)(cid:90)(cid:50)(cid:180)(cid:3)(cid:45)
(cid:30)
(cid:16)(cid:17)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:50)(cid:72)(cid:122)(cid:74)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)
2022(cid:8)(cid:35)(cid:42)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅰ(cid:30)(cid:26)2022(cid:8)(cid:35)
(cid:185)(cid:50)(cid:73)(cid:167)(cid:5)(cid:120)(cid:44)(cid:74)(cid:75)(cid:20)(cid:130)(cid:66)
(cid:42)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅱ(cid:30)(cid:26)2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:30)(cid:26)2022(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:26)
2022(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2022(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:26)2022
(cid:155)(cid:156)(cid:30)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:116)(cid:30) (cid:16)(cid:17)(cid:186)(cid:187)(cid:74)(cid:4)(cid:3)(cid:45)(cid:4)(cid:188)(cid:24)(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:50)
2025(cid:40)(cid:41)(cid:30) (cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:25)(cid:189)(cid:182)(cid:26)(cid:16)(cid:17)(cid:160)(cid:190)(cid:65)(cid:12)(cid:13)(cid:50)
(cid:16)(cid:17)(cid:104)(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:71)(cid:13)
2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:30)(cid:26)2024(cid:40)(cid:41)(cid:30) (cid:170)(cid:75)(cid:191)(cid:178)(cid:57)(cid:20)(cid:25)(cid:173)(cid:175)(cid:16)(cid:17)(cid:171)(cid:172)(cid:44)
2023(cid:40)(cid:41)(cid:30)(cid:26)2023(cid:33)(cid:34)(cid:30) (cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:138)(cid:90)
考点 01 空间几何体及其表面积、体积
1(cid:196)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:33)(cid:26)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:200)(cid:73)(cid:67)(cid:116)(cid:166)(cid:201)(cid:160)(cid:81)60°(cid:44)(cid:202)(cid:203)(cid:50)(cid:33)(cid:26)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:204)(cid:205)(cid:5)
(cid:206)(cid:81)2(cid:50)3(cid:50)(cid:207)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:42)(cid:81) 3(cid:50)(cid:208)(cid:22)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)19 19 19 19
A(cid:196) B(cid:196) C(cid:196) D(cid:196)
12 6 4 2
2(cid:196)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:209)(cid:54)(cid:43)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:57)(cid:50)(cid:213)(cid:24)(cid:25)(cid:212)(cid:57)(cid:50)(cid:58)(cid:214)(cid:215)(cid:44)(cid:42)(cid:200)(cid:81) 3(cid:50)(cid:208)
(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)2 3π B(cid:196)3 3π C(cid:196)6 3π D(cid:196)9 3π
3(cid:196)（2024·北京·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)4(cid:44)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)PA=PB=4(cid:50)
PC =PD=2 2(cid:50)(cid:207)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:81)(cid:10) (cid:11).
A(cid:196)1 B(cid:196)2 C(cid:196) 2 D(cid:196) 3
4(cid:196)（2024·天津·高考真题）(cid:131)(cid:51)(cid:216)(cid:7)(cid:24)(cid:20)ABC-DEF (cid:104)(cid:50)(cid:52)AD,BE,CF (cid:217)(cid:212)(cid:95)(cid:124)(cid:50)(cid:58)(cid:218)(cid:218)(cid:219)(cid:17)(cid:186)(cid:187)(cid:200)(cid:81)
1(cid:196)(cid:220)AD=1(cid:50)BE=2(cid:50)CF =3(cid:196)(cid:208)(cid:207)(cid:7)(cid:24)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
3 3 1 3 3 3 1
A(cid:196) B(cid:196) + C(cid:196) D(cid:196) -
6 4 2 2 4 2
5(cid:196)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:131)(cid:221)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:104)(cid:50)VABC(cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)2(cid:44)(cid:57)(cid:204)(cid:221)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
PA=PB=2,PC = 6(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)1 B(cid:196) 3 C(cid:196)2 D(cid:196)3
6(cid:196)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)4(cid:44)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)
PC =PD=3,ÐPCA=45°(cid:50)(cid:208)△PBC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)2 2 B(cid:196)3 2 C(cid:196)4 2 D(cid:196)6 2
7(cid:196)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:209)(cid:55)PO(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:210)(cid:211)(cid:81) 3(cid:50)O(cid:81)(cid:199)(cid:24)(cid:209)(cid:222)(cid:50)PA(cid:50)PB(cid:81)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:223)(cid:97)(cid:50)
9 3
ÐAOB=120°(cid:50)(cid:220)VPAB(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:224) (cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
4A(cid:196)p B(cid:196) 6p C(cid:196)3p D(cid:196)3 6p
1
8(cid:196)（2023·天津·高考真题）(cid:131)(cid:221)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:104)(cid:50)(cid:4)M,N(cid:5)(cid:206)(cid:131)(cid:52)PC,PB(cid:33)(cid:50)(cid:58)PM = PC(cid:50)
3
2
PN = PB(cid:50)(cid:208)(cid:221)(cid:52)(cid:55)P-AMN (cid:43)(cid:221)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:219)(cid:225)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
3
1 2 1 4
A(cid:196) B(cid:196) C(cid:196) D(cid:196)
9 9 3 9
9(cid:196)（2022·天津·高考真题） (cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:73)(cid:104)(cid:28)(cid:231)(cid:232)(cid:174)(cid:233)(cid:234)(cid:230)(cid:44)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:195)(cid:219)(cid:116)(cid:50)(cid:238)(cid:216)(cid:104)(cid:44)(cid:239)(cid:240)(cid:160)(cid:241)(cid:44)(cid:230)(cid:242)(cid:243)
(cid:81)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230).(cid:22)(cid:33)(cid:242)(cid:111)(cid:244)(cid:81)(cid:245)(cid:218)(cid:166)(cid:212)(cid:246)(cid:44)(cid:96)(cid:221)(cid:52)(cid:54)(cid:74)(cid:247)(cid:248)(cid:159)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:10)(cid:51)(cid:249)(cid:216)(cid:11).(cid:250)(cid:218)(cid:166)(cid:96)(cid:221)(cid:52)(cid:54)(cid:67)(cid:116)(cid:166)(cid:194)
(cid:251)(cid:213)(cid:24)ABCD.(cid:131)(cid:199)(cid:24)BCE(cid:104)(cid:50)(cid:220)BE=CE=3,ÐBEC =120°,(cid:208)(cid:207)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
27 27 3
A(cid:196) B(cid:196) C(cid:196)27 D(cid:196)27 3
2 2
10(cid:196)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:221)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:42)(cid:81)1(cid:50)(cid:33)(cid:26)(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:204)(cid:205)(cid:5)(cid:206)(cid:81)3 3(cid:43)4 3(cid:50)(cid:22)(cid:230)
(cid:4)(cid:252)(cid:131)(cid:246)(cid:116)(cid:56)(cid:24)(cid:33)(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:56)(cid:44)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)100π B(cid:196)128π C(cid:196)144π D(cid:196)192π
11(cid:196)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:38)(cid:26)(cid:39)(cid:218)(cid:166)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:223)(cid:97)(cid:205)(cid:212)(cid:57)(cid:50)(cid:213)(cid:24)(cid:253)(cid:254)(cid:216)(cid:44)(cid:209)(cid:222)(cid:160)(cid:219)(cid:43)(cid:81)2π(cid:50)(cid:213)(cid:24)(cid:25)
S V
(cid:5)(cid:206)(cid:81)S (cid:43)S (cid:50)(cid:20)(cid:25)(cid:5)(cid:206)(cid:81)V (cid:43)V (cid:196)(cid:220) (cid:38) =2(cid:50)(cid:208) (cid:38) =(cid:10) (cid:11)
(cid:38) (cid:39) (cid:38) (cid:39) S V
(cid:39) (cid:39)
5 10
A(cid:196) 5 B(cid:196)2 2 C(cid:196) 10 D(cid:196)
4
12(cid:196)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:56)O(cid:44)(cid:210)(cid:211)(cid:81)1(cid:50)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:230)(cid:4)(cid:81)O(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:80)(cid:166)(cid:230)(cid:4)(cid:200)(cid:131)(cid:56)O(cid:44)(cid:56)
(cid:24)(cid:33)(cid:50)(cid:208)(cid:255)(cid:207)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:256)(cid:132)(cid:257)(cid:50)(cid:22)(cid:42)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
1 1 3 2
A(cid:196) B(cid:196) C(cid:196) D(cid:196)
3 2 3 2
13(cid:196)（2022·北京·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:221)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:44)(cid:258)(cid:259)(cid:52)(cid:205)(cid:200)(cid:81)6(cid:50)S(cid:73)VABC(cid:21)(cid:22)(cid:201)(cid:242)(cid:44)(cid:4)(cid:86)(cid:159)(cid:44)(cid:260)
(cid:65)(cid:196)(cid:261)(cid:260)(cid:65)T =QÎS PQ£5 (cid:50)(cid:208)T(cid:23)(cid:262)(cid:44)(cid:167)(cid:263)(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
3p
A(cid:196) B(cid:196)p C(cid:196)2p D(cid:196)3p
4
14(cid:196)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:44)(cid:213)(cid:52)(cid:205)(cid:81)l(cid:50)(cid:22)(cid:47)(cid:230)(cid:4)(cid:252)(cid:131)(cid:246)(cid:116)(cid:56)(cid:24)(cid:33).(cid:220)(cid:207)(cid:56)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)36p(cid:50)(cid:58)3£l£3 3(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:20)(cid:25)(cid:44)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:73)(cid:10) (cid:11)
é 81ù é27 81ù é27 64ù
A(cid:196) 18, B(cid:196) , C(cid:196) , D(cid:196)[18,27]
ê ú ê ú ê ú
ë 4 û ë 4 4 û ë 4 3 û
15(cid:196)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:268)(cid:269)(cid:31)(cid:145)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:90)(cid:273)(cid:31)(cid:79)(cid:116)(cid:117)(cid:165)(cid:167)(cid:269)(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:71)(cid:13)(cid:50)(cid:22)(cid:104)(cid:116)(cid:242)(cid:5)(cid:269)
(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:269)(cid:281).(cid:197)(cid:62)(cid:207)(cid:269)(cid:281)(cid:269)(cid:98)(cid:81)(cid:34)(cid:282)148.5m(cid:257)(cid:50)(cid:212)(cid:283)(cid:269)(cid:24)(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)140km2(cid:284)(cid:269)(cid:98)(cid:81)(cid:34)(cid:282)157.5m(cid:257)(cid:50)(cid:212)(cid:283)(cid:269)
(cid:24)(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)180km2(cid:50)(cid:285)(cid:207)(cid:269)(cid:281)(cid:131)(cid:250)(cid:218)(cid:166)(cid:269)(cid:98)(cid:17)(cid:44)(cid:203)(cid:286)(cid:287)(cid:176)(cid:116)(cid:166)(cid:52)(cid:53)(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:269)(cid:281)(cid:269)(cid:98)(cid:288)(cid:34)(cid:282)148.5m(cid:33)(cid:289)(cid:188)
157.5m(cid:257)(cid:50)(cid:290)(cid:291)(cid:44)(cid:269)(cid:172)(cid:292)(cid:81)(cid:10) 7 »2.65(cid:11)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)1.0´109m3 B(cid:196)1.2´109m3 C(cid:196)1.4´109m3 D(cid:196)1.6´109m3
16(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:293)(cid:13)(cid:11)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:198)(cid:294)(cid:295)(cid:20)(cid:104)(cid:50)(cid:93)(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:20)(cid:299)(cid:279)(cid:52)(cid:205)(cid:81)1(cid:10)(cid:113)(cid:98)(cid:300)m(cid:11)(cid:44)(cid:78)(cid:79)(cid:20)
(cid:301)(cid:302)(cid:10)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:120)(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:189)(cid:11)(cid:201)(cid:44)(cid:67)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)(cid:96)(cid:211)(cid:81)0.99m(cid:44)(cid:56)(cid:20)
B(cid:196)(cid:158)(cid:67)(cid:52)(cid:205)(cid:200)(cid:81)1.4m(cid:44)(cid:80)(cid:24)(cid:20)
C(cid:196)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:211)(cid:81)0.01m(cid:50)(cid:42)(cid:81)1.8m(cid:44)(cid:209)(cid:54)(cid:20)
D(cid:196)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:211)(cid:81)1.2m(cid:50)(cid:42)(cid:81)0.01m(cid:44)(cid:209)(cid:54)(cid:20)
17(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:293)(cid:13)(cid:11)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:230)(cid:4)(cid:81)P(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:209)(cid:222)(cid:81)O(cid:50)AB(cid:81)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:211)(cid:50)ÐAPB=120°(cid:50)
PA=2(cid:50)(cid:4)C(cid:131)(cid:199)(cid:24)(cid:209)(cid:308)(cid:33)(cid:50)(cid:58)(cid:29)(cid:24)(cid:160)P-AC-O(cid:81)45°(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)(cid:196)
A(cid:196)(cid:207)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)π B(cid:196)(cid:207)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:213)(cid:24)(cid:25)(cid:81)4 3π
C(cid:196)AC =2 2 D(cid:196)VPAC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81) 3
18(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:293)(cid:13)(cid:11)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)ED^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)
FB(cid:309)ED,AB=ED=2FB(cid:50)(cid:310)(cid:221)(cid:52)(cid:55)E-ACD(cid:50)F-ABC(cid:50)F-ACE(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:5)(cid:206)(cid:81)V,V ,V (cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
1 2 3
A(cid:196)V =2V B(cid:196)V =V
3 2 3 1C(cid:196)V =V +V D(cid:196)2V =3V
3 1 2 3 1
19(cid:196)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:56)O(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)4 3π(cid:50)A(cid:50)B(cid:50)C(cid:50)D(cid:80)(cid:4)(cid:200)(cid:131)(cid:56)O(cid:44)(cid:56)(cid:24)(cid:33)(cid:50)VABC
(cid:81)(cid:57)(cid:204)(cid:221)(cid:160)(cid:203)(cid:50)DA=DB=DC = 2(cid:50)(cid:208)VABC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)__________(cid:196)
20(cid:196)（2025·北京·高考真题）(cid:280)(cid:311)(cid:312)(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:316)(cid:317)3D(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:176)(cid:44)(cid:116)(cid:166)(cid:322)(cid:323)(cid:111)(cid:77)(cid:324)(cid:92)(cid:81)(cid:51)(cid:216)(cid:158)(cid:262)(cid:44)(cid:76)(cid:24)(cid:20)(cid:50)
(cid:22)(cid:104)ABCDEF(cid:73)(cid:116)(cid:166)(cid:95)(cid:24)(cid:76)(cid:204)(cid:203)(cid:50)(cid:95)(cid:24)AFR^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:95)(cid:24)CDT ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)
0
5
AB^BC(cid:50)AB//EF//RS//CD(cid:50) BC//DE//ST //AF .(cid:220) AB=BC =8,AF =CD=4,RA=RF =TC =T D= (cid:50)
0 0 0 2
(cid:208)(cid:207)(cid:76)(cid:24)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)________(cid:196)
21(cid:196)（2025·上海·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)BD=4 2,DB =9(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:54)(cid:44)
1 1 1 1 1
(cid:20)(cid:25)(cid:81)_________(cid:196)
22(cid:196)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:116)(cid:166)(cid:199)(cid:24)(cid:210)(cid:211)(cid:81)4cm(cid:50)(cid:42)(cid:81)9cm(cid:44)(cid:325)(cid:326)(cid:209)(cid:54)(cid:203)(cid:301)(cid:302)(cid:10)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:120)(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:189)(cid:11)
(cid:201)(cid:67)(cid:218)(cid:166)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:57)(cid:44)(cid:327)(cid:56)(cid:50)(cid:208)(cid:327)(cid:56)(cid:210)(cid:211)(cid:44)(cid:256)(cid:132)(cid:265)(cid:81)____________cm(cid:196)
23(cid:196)（2024·北京·高考真题）(cid:328)(cid:232)(cid:329)(cid:330)(cid:261)(cid:189)(cid:44)“(cid:331)(cid:332)(cid:172)”(cid:73)(cid:333)(cid:26)(cid:65)(cid:26)(cid:289)(cid:26)(cid:334)(cid:26)(cid:335)(cid:7)(cid:172)(cid:65)(cid:116)(cid:44)(cid:37)(cid:183)(cid:172)(cid:302)(cid:50)(cid:22)(cid:104)(cid:289)
(cid:172)(cid:302)(cid:26)(cid:334)(cid:172)(cid:302)(cid:26)(cid:335)(cid:172)(cid:302)(cid:44)(cid:203)(cid:286)(cid:200)(cid:111)(cid:244)(cid:81)(cid:209)(cid:54).(cid:220)(cid:289)(cid:26)(cid:334)(cid:26)(cid:335)(cid:172)(cid:302)(cid:44)(cid:301)(cid:25)(cid:159)(cid:194)(cid:225)(cid:81)10(cid:44)(cid:57)(cid:225)(cid:128)(cid:294)(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:211)(cid:336)
(cid:168)(cid:81) 65mm,325mm,325mm(cid:50)(cid:58)(cid:335)(cid:172)(cid:302)(cid:44)(cid:42)(cid:81)230mm(cid:50)(cid:208)(cid:334)(cid:172)(cid:302)(cid:44)(cid:42)(cid:81)______mm(cid:50)(cid:289)(cid:172)(cid:302)(cid:44)(cid:42)(cid:81)________
mm(cid:196)
24(cid:196)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:209)(cid:53)(cid:38)(cid:26)(cid:39)(cid:44)(cid:33)(cid:199)(cid:24)(cid:210)(cid:211)(cid:200)(cid:81)r ,(cid:198)(cid:199)(cid:24)(cid:210)(cid:211)(cid:200)(cid:81)r (cid:50)(cid:209)(cid:53)(cid:44)(cid:223)(cid:97)(cid:205)(cid:5)
1 2
(cid:206)(cid:81)2r -r ,3r -r(cid:50)(cid:208)(cid:209)(cid:53)(cid:38)(cid:60)(cid:39)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:219)(cid:225)(cid:81)______(cid:196)
2 1 2 125(cid:196)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:4)S,A,B,C(cid:200)(cid:131)(cid:210)(cid:211)(cid:81)2(cid:44)(cid:56)(cid:24)(cid:33)(cid:50)VABC(cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)3(cid:44)(cid:57)(cid:204)(cid:221)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
SA^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)(cid:208)SA=________(cid:196)
26(cid:196)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)AB=4,O(cid:81)AC (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:220)(cid:207)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:52)
1 1 1 1 1
(cid:60)(cid:56)O(cid:44)(cid:56)(cid:24)(cid:67)(cid:194)(cid:251)(cid:4)(cid:50)(cid:208)(cid:56)O(cid:44)(cid:210)(cid:211)(cid:44)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:73)________(cid:196)
27(cid:196)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)E(cid:50)F(cid:5)(cid:206)(cid:81)AB(cid:50)CD (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:77)EF(cid:81)(cid:96)
1 1 1 1 1 1
(cid:211)(cid:44)(cid:56)(cid:44)(cid:56)(cid:24)(cid:60)(cid:207)(cid:78)(cid:79)(cid:20)(cid:44)(cid:52)(cid:251)(cid:67)____________(cid:166)(cid:194)(cid:251)(cid:4)(cid:196)
28(cid:196)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:131)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:53)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)AB=2,AB =1,AA = 2(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:52)(cid:53)(cid:44)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:20)(cid:25)(cid:81)________(cid:196)
29(cid:196)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:199)(cid:24)(cid:204)(cid:205)(cid:81)4(cid:44)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:297)(cid:95)(cid:124)(cid:224)(cid:22)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:158)(cid:337)(cid:50)(cid:337)(cid:338)(cid:116)(cid:166)(cid:199)(cid:24)(cid:204)
(cid:205)(cid:81)2(cid:50)(cid:42)(cid:81)3(cid:44)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)(cid:50)(cid:158)(cid:151)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)______(cid:196)
30(cid:196)（2022·上海·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:280)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:42)(cid:81)4(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:81)9π(cid:50)(cid:208)(cid:207)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:213)(cid:24)(cid:25)(cid:81)___.
考点 02 点、平面、直线间的位置关系判断
1(cid:196)（2025·天津·高考真题）(cid:220)m(cid:81)(cid:96)(cid:97)(cid:50)a,b(cid:81)(cid:218)(cid:166)(cid:95)(cid:24)(cid:50)(cid:208)(cid:198)(cid:294)(cid:64)(cid:150)(cid:104)(cid:78)(cid:184)(cid:44)(cid:73)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)(cid:220)m//a,nÌa(cid:50)(cid:208)m//n B(cid:196)(cid:220)m^a,m^b(cid:50)(cid:208)a^b
C(cid:196)(cid:220)m//a,m^b(cid:50)(cid:208)a^b D(cid:196)(cid:220)mÌa,a^b(cid:50)(cid:208)m^b
2(cid:196)（2025·上海·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)ABCD-ABCD (cid:73)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:53)(cid:50)(cid:208)(cid:198)(cid:294)(cid:47)(cid:316)(cid:96)(cid:97)(cid:104)(cid:339)(cid:224)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:44)(cid:73)
1 1 1 1
(cid:10) (cid:11)(cid:196)
A(cid:196)AB(cid:43)CD (cid:284) B(cid:196)AA (cid:43)CC (cid:284) C(cid:196)BD (cid:43)BD(cid:284) D(cid:196)AD (cid:43)AB(cid:196)
1 1 1 1 1 1 1 1
3(cid:196)（2024·上海·高考真题）(cid:16)(cid:17)(cid:104)(cid:67)(cid:218)(cid:166)(cid:307)(cid:246)(cid:44)(cid:95)(cid:24)a(cid:50)b(cid:43)(cid:218)(cid:259)(cid:307)(cid:246)(cid:44)(cid:96)(cid:97)m(cid:50)n(cid:50)(cid:208)(cid:198)(cid:294)(cid:340)(cid:173)(cid:104)(cid:78)(cid:184)
(cid:44)(cid:73)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)(cid:220)a^b(cid:50)m^a(cid:50)m^n(cid:50)(cid:208)n^b
B(cid:196)(cid:220)a^b(cid:50)m^a(cid:50)n^b(cid:50)(cid:208)m^n
C(cid:196)(cid:220)a(cid:309)b(cid:50)m//a(cid:50)n//b(cid:50)(cid:208)m(cid:309)nD(cid:196)(cid:220)a(cid:309)b(cid:50)m//a(cid:50)m(cid:309)n(cid:50)(cid:208)n//b
4(cid:196)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:261)a(cid:26)b(cid:81)(cid:218)(cid:166)(cid:95)(cid:24)(cid:50)m(cid:26)n(cid:81)(cid:218)(cid:259)(cid:96)(cid:97)(cid:50)(cid:58)aIb=m.(cid:198)(cid:341)(cid:80)(cid:166)(cid:12)(cid:13)(cid:300)
(cid:220)m//n(cid:50)(cid:208)n//a(cid:175)n//b (cid:220)m^n(cid:50)(cid:208)n^a(cid:175)n^b
①(cid:220)n//a(cid:58)n//b(cid:50)(cid:208)m//n ②(cid:220)n(cid:60)a,b(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:212)(cid:57)(cid:50)(cid:208)m^n
③(cid:22)(cid:104)(cid:158)(cid:67)(cid:342)(cid:12)(cid:13)(cid:44)(cid:343)(cid:344)(cid:73)(cid:10) (cid:11) ④
A(cid:196) B(cid:196) C(cid:196) D(cid:196)
5(cid:196)（20①24③·天津·高考真题）②(cid:197)④(cid:62)m,n(cid:73)(cid:218)(cid:259)(cid:96)(cid:97)(cid:50)①a②(cid:73)③(cid:116)(cid:166)(cid:95)(cid:24)(cid:50)(cid:198)(cid:294)(cid:12)①(cid:13)③(cid:78)④(cid:184)(cid:44)(cid:73)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)(cid:220)m//a(cid:50)m^n(cid:50)(cid:208)n^a B(cid:196)(cid:220)m^a,m^n(cid:50)(cid:208)n^a
C(cid:196)(cid:220)m//a,n^a(cid:50)(cid:208)m^n D(cid:196)(cid:220)m^a,n^a(cid:50)(cid:208)m^n
6(cid:196)（2023·上海·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:158)(cid:262)(cid:50)(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)(cid:4)P(cid:81)(cid:97)(cid:345)AC (cid:33)(cid:44)(cid:346)(cid:4)(cid:50)(cid:208)(cid:198)(cid:294)(cid:96)
1 1 1 1 1 1
(cid:97)(cid:104)(cid:50)(cid:347)(cid:348)(cid:60)(cid:96)(cid:97)BP(cid:157)(cid:24)(cid:44)(cid:73)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)DD B(cid:196)AC C(cid:196)AD D(cid:196)BC
1 1 1
7(cid:196)（2022·上海·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)P(cid:26)Q(cid:26)R(cid:26)S(cid:5)(cid:206)(cid:81)(cid:52)AB(cid:26)BC(cid:26)BB (cid:26)CD
1 1 1 1 1
(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:349)(cid:70)AS(cid:26)B D(cid:50)(cid:16)(cid:17)(cid:350)(cid:351)(cid:218)(cid:4)M(cid:26)N(cid:50)(cid:220)(cid:97)(cid:345)MN(cid:33)(cid:307)(cid:352)(cid:131)(cid:4)(cid:131)(cid:97)(cid:345)AS(cid:26)B D(cid:33)(cid:50)(cid:208)(cid:353)M(cid:26)N
1 1 1 1
(cid:218)(cid:4)(cid:111)(cid:244)(cid:50)(cid:198)(cid:294)(cid:293)(cid:354)(cid:104)(cid:60)(cid:4)D (cid:111)(cid:244)(cid:44)(cid:81)(cid:10) (cid:11)(cid:196)
1
A(cid:196)(cid:4)Q B(cid:196)(cid:4)P C(cid:196)(cid:4)B D(cid:196)(cid:4)R
8(cid:196)（2022·上海·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:33)(cid:34)(cid:34)(cid:68)(cid:132)(cid:241)(cid:44)(cid:33)(cid:24)(cid:111)(cid:77)(cid:287)(cid:176)(cid:116)(cid:166)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:54)(cid:50)(cid:80)(cid:166)(cid:213)(cid:24)(cid:67)(cid:80)(cid:166)(cid:257)(cid:355)(cid:50)(cid:208)(cid:212)(cid:356)(cid:218)(cid:166)(cid:257)(cid:355)(cid:44)(cid:257)(cid:357)(cid:288)0(cid:257)(cid:358)(cid:188)12(cid:257)(cid:10)(cid:359)0(cid:257)(cid:307)(cid:359)12(cid:257)(cid:11)(cid:44)(cid:115)(cid:271)(cid:104)(cid:50)(cid:93)(cid:296)(cid:212)(cid:217)(cid:125)(cid:96)(cid:10) (cid:11)(cid:168)
A(cid:196)0 B(cid:196)2 C(cid:196)4 D(cid:196)12
考点 03 线面平行、垂直的证明
1(cid:196)（2026·天津·高考真题）(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)(cid:360)(cid:361)(cid:44)(cid:73)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:196)AC//AC B(cid:196)CC ^(cid:95)(cid:24)ABC C(cid:196)(cid:95)(cid:24)ACD //(cid:95)(cid:24)ACB D(cid:196)(cid:95)(cid:24)ADD ^(cid:95)(cid:24)ACD
1 1 1 1 1 1 1 1
2(cid:196)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:131)(cid:205)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)(cid:197)(cid:62)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:43)(cid:95)(cid:24)AABB(cid:158)(cid:159)(cid:44)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:160)(cid:200)(cid:81)30°(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)AB=2AD B(cid:196)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)30°
1 1
C(cid:196)AC =CB D(cid:196)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°
1 1 1 1
3(cid:196)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:131)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)E(cid:50)F(cid:5)(cid:206)(cid:81)AB,BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:196)(cid:95)(cid:24)BEF ^(cid:95)(cid:24)BDD B(cid:196)(cid:95)(cid:24)BEF ^(cid:95)(cid:24)ABD
1 1 1 1
C(cid:196)(cid:95)(cid:24)BEF//(cid:95)(cid:24)AAC D(cid:196)(cid:95)(cid:24)BEF//(cid:95)(cid:24)ACD
1 1 1 1 1
4(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:293)(cid:13)(cid:11)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:131)(cid:16)(cid:17)(cid:104)(cid:50)A(cid:26)B(cid:81)(cid:218)(cid:166)(cid:109)(cid:4)(cid:50)(cid:346)(cid:4)C(cid:188)(cid:96)(cid:97)AB(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)2(cid:50)
(cid:346)(cid:4)D(cid:188)(cid:96)(cid:97)AB(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)1(cid:196)(cid:220)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-AB-D(cid:81)60°(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)ÐCAD³60° B(cid:196)CD³ 3
C(cid:196)(cid:255)AB^CD(cid:257)(cid:50)CD^(cid:95)(cid:24)ABD D(cid:196)(cid:255)AB^(cid:95)(cid:24)ACD(cid:257)(cid:50)AC ^ AD
5(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:293)(cid:13)(cid:11)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:131)(cid:78)(cid:221)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)D(cid:81)BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
1 1 1
A(cid:196)AD^ AC B(cid:196)BC ^(cid:95)(cid:24)AAD
1 1 1 1
C(cid:196)AD//AB D(cid:196)CC //(cid:95)(cid:24)AAD
1 1 1 16(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:293)(cid:13)(cid:11)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)DA (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)90° B(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)CA(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)90°
1 1 1 1
C(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)BBDD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45° D(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°
1 1 1 1
7(cid:196)（2025·上海·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)P(cid:73)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:230)(cid:4)(cid:50)O(cid:73)(cid:199)(cid:24)(cid:209)(cid:222)(cid:50)AB(cid:73)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:211)(cid:50)(cid:58)AB=2(cid:196)
π
(1)(cid:220)(cid:96)(cid:97)PA(cid:60)(cid:209)(cid:55)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:81) (cid:50)(cid:138)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:213)(cid:24)(cid:25)(cid:284)
3
π
(2)(cid:197)(cid:62)Q(cid:73)(cid:223)(cid:97)PA(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:4)C(cid:26)D(cid:131)(cid:199)(cid:24)(cid:209)(cid:308)(cid:33)(cid:50)(cid:58)(cid:362)AC(cid:44)(cid:205)(cid:81) (cid:50)CD∥AB(cid:196)(cid:261)(cid:4)M(cid:131)(cid:97)(cid:345)OC
3
(cid:33)(cid:50)(cid:126)(cid:127)(cid:300)(cid:96)(cid:97)QM∥(cid:95)(cid:24)PBD(cid:196)
8(cid:196)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:315)(cid:127)(cid:246)(cid:103)(cid:363)(cid:291)(cid:190)(cid:65)(cid:364)(cid:365)(cid:366)(cid:346)(cid:50)(cid:261)(cid:189)(cid:273)(cid:116)(cid:166)(cid:325)(cid:326)(cid:44)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:50)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:51)(cid:216)(cid:158)(cid:262)(cid:300)
(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:73)(cid:204)(cid:205)(cid:81)8(cid:10)(cid:113)(cid:98)(cid:300)cm(cid:11)(cid:44)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)VEAB,VFBC,VGCD,VHDA(cid:200)(cid:81)(cid:78)(cid:221)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:58)(cid:214)(cid:215)(cid:158)(cid:131)(cid:44)(cid:95)
(cid:24)(cid:252)(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:125)(cid:96)(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)EF//(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:284)
(2)(cid:138)(cid:207)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:44)(cid:301)(cid:25)(cid:10)(cid:307)(cid:189)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:44)(cid:304)(cid:120)(cid:11)(cid:196)
9(cid:196)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:80)(cid:24)(cid:20)ABCD(cid:104)(cid:50)AD^CD,AD=CD,ÐADB=ÐBDC(cid:50)E(cid:81)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)(cid:95)(cid:24)BED^(cid:95)(cid:24)ACD(cid:284)
(2)(cid:261)AB=BD=2,ÐACB=60°(cid:50)(cid:4)F(cid:131)BD(cid:33)(cid:50)(cid:255)VAFC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:256)(cid:315)(cid:257)(cid:50)(cid:138)(cid:221)(cid:52)(cid:55)F-ABC(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:196)
10(cid:196)（2022·上海·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:209)(cid:54)OO (cid:104)(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:210)(cid:211)(cid:81)1(cid:50)AA (cid:81)(cid:209)(cid:54)OO (cid:44)(cid:223)(cid:97).
1 1 1
(1)(cid:220)AA =4(cid:50)M (cid:81)AA (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:138)(cid:96)(cid:97)MO(cid:60)(cid:199)(cid:24)(cid:44)(cid:372)(cid:160)(cid:132)(cid:315)(cid:284)
1 1 1
(2)(cid:220)(cid:209)(cid:54)(cid:44)(cid:373)(cid:337)(cid:24)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)(cid:138)(cid:207)(cid:209)(cid:54)(cid:44)(cid:213)(cid:24)(cid:25)(cid:43)(cid:20)(cid:25).
考点 04 求异面直线所成角、线面角、二面角
52
1(cid:196)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:221)(cid:52)(cid:53)ABC-ABC (cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81) (cid:50)AB=6(cid:50)AB =2(cid:50)(cid:208)AA(cid:60)(cid:95)
1 1 1 3 1 1 1
(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:69)(cid:265)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
1
A(cid:196) B(cid:196)1 C(cid:196)2 D(cid:196)3
2
2(cid:196)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)VABC(cid:81)(cid:57)(cid:374)(cid:96)(cid:160)(cid:221)(cid:160)(cid:203)(cid:50)AB(cid:81)(cid:375)(cid:204)(cid:50)VABD(cid:81)(cid:57)(cid:204)(cid:221)(cid:160)(cid:203)(cid:50)(cid:220)(cid:29)(cid:24)
(cid:160)C-AB-D(cid:81)150°(cid:50)(cid:208)(cid:96)(cid:97)CD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:69)(cid:265)(cid:81)(cid:10) (cid:11)
1 2 3 2
A(cid:196) B(cid:196) C(cid:196) D(cid:196)
5 5 5 5
3(cid:196)（2022·浙江·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:221)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC,AC = AA(cid:50)E(cid:50)F(cid:5)(cid:206)(cid:73)(cid:52)BC,AC (cid:33)(cid:44)
1 1 1 1 1 1(cid:4)(cid:196)(cid:310)EF(cid:60)AA (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)a(cid:50)EF(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)b(cid:50)(cid:29)(cid:24)(cid:160)F -BC-A(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:81)g(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
1
A(cid:196)a£b£g B(cid:196)b£a£g C(cid:196)b£g£a D(cid:196)a£g£b
4(cid:196)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:131)(cid:205)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)(cid:197)(cid:62)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:43)(cid:95)(cid:24)AABB(cid:158)(cid:159)(cid:44)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:160)(cid:200)(cid:81)30°(cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
A(cid:196)AB=2AD B(cid:196)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)30°
1 1
C(cid:196)AC =CB D(cid:196)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°
1 1 1 1
5(cid:196)(cid:10)(cid:76)(cid:293)(cid:13)(cid:11)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:50)(cid:208)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)DA (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)90° B(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)CA(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)90°
1 1 1 1
C(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)BBDD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45° D(cid:196)(cid:96)(cid:97)BC (cid:60)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°
1 1 1 1
6(cid:196)（2025·上海·高考真题）(cid:197)(cid:62)P(cid:73)(cid:116)(cid:166)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:230)(cid:4)(cid:50)PA(cid:73)(cid:223)(cid:97)(cid:50)PA=2(cid:50)(cid:207)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:210)(cid:211)(cid:73)1(cid:196)B(cid:26)C
(cid:5)(cid:206)(cid:131)(cid:209)(cid:55)(cid:44)(cid:199)(cid:24)(cid:33)(cid:50)(cid:208)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)PA(cid:60)BC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:256)(cid:315)(cid:265)(cid:81)__________(cid:196)
7(cid:196)（2024·上海·高考真题）(cid:131)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:81)(cid:95)(cid:124)(cid:80)(cid:204)(cid:203)(cid:50) AA =3(cid:50) BD =4(cid:50)
1 1 1 1 1
uuur uuur uuuur uuur
AB ×BC-AD × DC =5(cid:50)(cid:261)(cid:157)(cid:24)(cid:96)(cid:97)AA (cid:60)BD(cid:44)(cid:372)(cid:160)(cid:81)q(cid:50)(cid:208)cosq=________(cid:196)
1 1 1
8(cid:196)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:221)(cid:52)(cid:55)A-BCD(cid:104)(cid:50)(cid:4)E(cid:131)BD(cid:33)(cid:50)AE^CE(cid:50)AE^DE(cid:50)CD^ AD(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)CD^AB(cid:284)
(2)(cid:220)DE=2(cid:50)BE=1(cid:50)AE= 2(cid:50)CD=2 3(cid:196)(cid:138)(cid:96)(cid:97)AD(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:196)9(cid:196)（2026·北京·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:96)(cid:221)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:50)ÐBAC=90°(cid:50)AB= AC =2(cid:50)BB = 2(cid:50)E(cid:26)D(cid:5)
1 1 1 1
(cid:206)(cid:81)AB (cid:26)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
1 1
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)DE//(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:284)
1 1
(2)(cid:4)P(cid:131)(cid:95)(cid:24)ABC (cid:201)(cid:50)(cid:58)EP//BC (cid:50)(cid:377)(cid:288)(cid:259)(cid:323) (cid:26)(cid:259)(cid:323) (cid:26)(cid:259)(cid:323) (cid:250)(cid:221)(cid:166)(cid:259)(cid:323)(cid:104)(cid:293)(cid:378)(cid:116)(cid:166)(cid:176)(cid:81)(cid:197)(cid:62)(cid:50)
1 1 1 1 1
(cid:379)(cid:151)P(cid:380)(cid:116)(cid:184)(cid:109)(cid:50)(cid:138)(cid:95)(cid:24)PAD(cid:60)(cid:95)(cid:24)PDE(cid:44)(cid:372)(cid:160)①(cid:44)(cid:381)(cid:376)(cid:265)②(cid:196) ③
PA=PD(cid:284)
①PA^BC(cid:284)
②BB //(cid:95)(cid:24)PDE(cid:196)
1
③(cid:122)(cid:300)(cid:51)(cid:382)(cid:293)(cid:378)(cid:259)(cid:323) (cid:26)(cid:259)(cid:323) (cid:26)(cid:259)(cid:323) (cid:5)(cid:206)(cid:90)(cid:135)(cid:50)(cid:383)(cid:133)(cid:116)(cid:166)(cid:90)(cid:135)(cid:189)(cid:5)(cid:196)
① ② ③
10(cid:196)（2026·上海·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:50)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:81)(cid:384)(cid:203)(cid:50)PH ^(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:50)(cid:125)(cid:385)H(cid:131)AD
(cid:204)(cid:33)(cid:50)(cid:58)AH =1(cid:50)HD=4(cid:50)AB=2(cid:196)
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:300)HC ^PB(cid:284)
10 5
(2)(cid:220)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81) (cid:50)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-PB-H(cid:44)(cid:132)(cid:315)(cid:196)
3
11(cid:196)（2026·上海·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:158)(cid:262)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:53)ABCD-ABCD (cid:50)(cid:22)(cid:104)AB=4(cid:50)AB =2.
1 1 1 1 1 1(1)(cid:255)AA =2(cid:257)(cid:50)(cid:138)AA (cid:43)(cid:95)(cid:24)ABCD (cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:284)
1 1 1 1 1 1
(2)(cid:126)(cid:127)(cid:300)AA//(cid:95)(cid:24)BCD(cid:284)(cid:220)(cid:52)(cid:53)(cid:42)(cid:81)3(cid:50)(cid:138)(cid:221)(cid:52)(cid:55)A -BCD(cid:44)(cid:20)(cid:25).
1 1 1 1
12(cid:196)（2025·北京·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)VADC(cid:60)VBAC(cid:200)(cid:81)(cid:57)(cid:374)(cid:96)(cid:160)(cid:221)(cid:160)(cid:203)(cid:50)
ÐADC =90°，ÐBAC =90°(cid:50)E(cid:81)BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
(1)(cid:220)F,G(cid:5)(cid:206)(cid:81)PD,PE(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:138)(cid:126)(cid:300)FG//(cid:95)(cid:24)PAB(cid:284)
(2)(cid:220)PA^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)PA= AC(cid:50)(cid:138)(cid:96)(cid:97)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
13(cid:196)（2025·天津·高考真题）(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:44)(cid:52)(cid:205)(cid:81)4(cid:50)E(cid:26)F(cid:5)(cid:206)(cid:81)AD,CB (cid:104)(cid:4)(cid:50)CG=3GC (cid:196)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:300)GF ^(cid:95)(cid:24)FBE(cid:284)
(2)(cid:138)(cid:95)(cid:24)FBE(cid:60)(cid:95)(cid:24)EBG(cid:372)(cid:160)(cid:44)(cid:381)(cid:376)(cid:265)(cid:284)
(3)(cid:138)(cid:221)(cid:52)(cid:55)D-FBE(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:196)
14(cid:196)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:104)(cid:50)AB//CD,ÐDAB=90°(cid:50)F(cid:81)CD(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:4)E(cid:131)AB(cid:33)(cid:50)EF//AD(cid:50)AB=3AD,CD=2AD.(cid:285)(cid:80)(cid:204)(cid:203)EFDA(cid:386)EF(cid:387)(cid:388)(cid:389)(cid:80)(cid:204)(cid:203)EFD¢A¢(cid:50)(cid:379)(cid:151)(cid:24)EFD¢A¢(cid:60)
(cid:24)EFCB(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:81)60°(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)A¢B//(cid:95)(cid:24)CD¢F(cid:284)
(2)(cid:138)(cid:24)BCD¢(cid:60)(cid:24)EFD¢A¢(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
15(cid:196)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:51)(cid:216),(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)PA^(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:50)AB^ AD,BC//AD(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)(cid:95)(cid:24)PAB^(cid:95)(cid:24)PAD(cid:284)
(2)(cid:261)PA= AB= 2,BC =2,AD=1+ 3(cid:50)(cid:58)(cid:4)P(cid:50)B(cid:50)C(cid:50)D(cid:200)(cid:131)(cid:56)O(cid:44)(cid:56)(cid:24)(cid:33)(cid:196)
(cid:10)i(cid:11)(cid:126)(cid:127)(cid:300)(cid:4)O(cid:131)(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:201)(cid:284)
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:138)(cid:96)(cid:97)AC(cid:60)PO(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:381)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
16(cid:196)（2025·上海·高考真题）(cid:131)(cid:221)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:104)(cid:50)(cid:95)(cid:24)PAC ^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)PA= AC =CP=2(cid:50)AB=BC = 2(cid:50)
(1)(cid:220)O(cid:73)(cid:52)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:126)(cid:127)(cid:300)BO^(cid:95)(cid:24)PAC(cid:50)(cid:390)(cid:138)(cid:221)(cid:52)(cid:55)B-OPA(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:284)
(2)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)B-PC-A(cid:44)(cid:132)(cid:315)(cid:196)17(cid:196)（2024·上海·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)PA(cid:26)PB(cid:26)PC(cid:81)(cid:209)(cid:55)(cid:221)(cid:259)(cid:223)(cid:97)(cid:50)AB= AC.
(1)(cid:126)(cid:127):PA^BC(cid:284)
(2)(cid:220)(cid:209)(cid:55)(cid:213)(cid:24)(cid:25)(cid:81) 3π,BC(cid:81)(cid:199)(cid:24)(cid:96)(cid:211)(cid:50)BC =2(cid:50)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)B-PA-C(cid:44)(cid:132)(cid:315)
18(cid:196)（2024·上海·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:81)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD,O(cid:81)(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:44)(cid:104)(cid:222)(cid:196)
(1)(cid:220)AP=5,AD=3 2(cid:50)(cid:138)VPOA(cid:391)PO(cid:392)(cid:358)(cid:116)(cid:308)(cid:203)(cid:159)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:284)
(2)(cid:220)AP= AD,E(cid:81)PB(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:138)(cid:96)(cid:97)BD(cid:60)(cid:95)(cid:24)AEC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:132)(cid:315)(cid:196)
19(cid:196)（2024·北京·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)BC//AD(cid:50)AB=BC =1(cid:50)AD=3,(cid:4)E(cid:131)AD
(cid:33)(cid:50)(cid:58)PE^ AD(cid:50)PE=DE=2(cid:196)
(1)(cid:220)F (cid:81)(cid:97)(cid:345)PE(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:138)(cid:126)(cid:300)BF//(cid:95)(cid:24)PCD(cid:196)
(2)(cid:220)AB^(cid:95)(cid:24)PAD(cid:50)(cid:138)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:60)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:372)(cid:160)(cid:44)(cid:381)(cid:376)(cid:265)(cid:196)20(cid:196)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:77)A(cid:50)B(cid:50)C(cid:50)D(cid:50)E(cid:50)F(cid:81)(cid:230)(cid:4)(cid:44)(cid:7)(cid:24)(cid:20)(cid:104)(cid:50)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:60)(cid:80)
(cid:204)(cid:203)ADEF(cid:200)(cid:81)(cid:57)(cid:374)(cid:393)(cid:203)(cid:50)EF//AD,BC//AD(cid:50)AD=4,AB=BC =EF =2(cid:50)ED= 10,FB=2 3(cid:50)M (cid:81)AD
(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)BM //(cid:95)(cid:24)CDE(cid:284)
(2)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)F-BM -E(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
21(cid:196)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:95)(cid:24)(cid:80)(cid:204)(cid:203)ABCD(cid:104)(cid:50)AB=8(cid:50)CD=3(cid:50)AD=5 3(cid:50)
uuur 2uuur uuur 1uuur
ÐADC =90°(cid:50)ÐBAD=30°(cid:50)(cid:4)E(cid:50)F(cid:394)(cid:385)AE = AD(cid:50)AF = AB(cid:50)(cid:285)VAEF(cid:386)EF(cid:387)(cid:388)(cid:389)VPEF (cid:50)(cid:379)(cid:151)PC =4 3(cid:196)
5 2
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)EF ^PD(cid:284)
(2)(cid:138)(cid:95)(cid:24)PCD(cid:60)(cid:95)(cid:24)PBF(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:29)(cid:24)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
22(cid:196)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)PA^(cid:199)(cid:24)ABCD(cid:50)PA= AC =2(cid:50)BC =1,AB= 3(cid:196)
(1)(cid:220)AD^PB(cid:50)(cid:126)(cid:127)(cid:300)AD//(cid:95)(cid:24)PBC(cid:284)42
(2)(cid:220)AD^DC(cid:50)(cid:58)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A-CP-D(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:81) (cid:50)(cid:138)AD(cid:196)
7
23(cid:196)（2023·上海·高考真题）(cid:131)(cid:96)(cid:80)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)AB//CD(cid:50)AB^ AD(cid:50)AB=2(cid:50)AD=3(cid:50)
1 1 1 1
DC =4
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:300)AB//(cid:95)(cid:24)DCCD (cid:284)
1 1 1
(2)(cid:220)(cid:80)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:20)(cid:25)(cid:81)36(cid:50)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A -BD-A(cid:132)(cid:315).
1 1 1 1 1
24(cid:196)（2023·北京·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:221)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:104)(cid:50)PA^(cid:95)(cid:24)ABC(cid:50)PA= AB=BC =1，PC = 3(cid:196)
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:300)BC ^(cid:95)(cid:24)PAB(cid:284)
(2)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A-PC-B(cid:44)(cid:132)(cid:315)(cid:196)
25(cid:196)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:221)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)AC ^(cid:199)(cid:24)ABC(cid:50)ÐACB=90°,AA =2(cid:50)
1 1 1 1 1
A(cid:188)(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)1(cid:196)
1 1 1(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)AC = AC(cid:284)
1
(2)(cid:197)(cid:62)AA (cid:60)BB (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:81)2(cid:50)(cid:138)AB (cid:60)(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
1 1 1 1 1
26(cid:196)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:221)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:104)(cid:50)AB^BC(cid:50)AB=2(cid:50)BC =2 2(cid:50)
PB=PC = 6(cid:50)BP(cid:50)AP(cid:50)BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:5)(cid:206)(cid:81)D(cid:50)E(cid:50)O(cid:50)AD= 5DO(cid:50)(cid:4)F(cid:131)AC(cid:33)(cid:50)BF ^ AO.
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)EF//(cid:95)(cid:24)ADO(cid:284)
(2)(cid:126)(cid:127)(cid:300)(cid:95)(cid:24)ADO^(cid:95)(cid:24)BEF(cid:284)
(3)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)D-AO-C(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265).
27(cid:196)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:78)(cid:80)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)AB=2,AA =4(cid:196)(cid:4)A ,B ,C ,D
1 1 1 1 1 2 2 2 2
(cid:5)(cid:206)(cid:131)(cid:52)AA,BB,CC ,DD (cid:33)(cid:50)AA =1,BB =DD =2,CC =3(cid:196)
1 1 1 1 2 2 2 2
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)BC(cid:309)AD (cid:284)
2 2 2 2
(2)(cid:4)P(cid:131)(cid:52)BB (cid:33)(cid:50)(cid:255)(cid:29)(cid:24)(cid:160)P-AC -D (cid:81)150°(cid:257)(cid:50)(cid:138)B P(cid:196)
1 2 2 2 2
28(cid:196)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:221)(cid:52)(cid:55)A-BCD(cid:104)(cid:50)DA=DB=DC(cid:50)BD^CD(cid:50)ÐADB=ÐADC =60o(cid:50)E(cid:81)BC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)BC ^DA(cid:284)
uuur uuur
(2)(cid:4)F(cid:394)(cid:385)EF =DA(cid:50)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)D-AB-F(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
29(cid:196)（2022·上海·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:158)(cid:262)(cid:221)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:50)(cid:199)(cid:24)(cid:81)(cid:57)(cid:204)(cid:221)(cid:160)(cid:203)ABC(cid:50)O(cid:81)AC(cid:204)(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:58)PO^
(cid:199)(cid:24)ABC(cid:50)AP= AC =2
(1)(cid:138)(cid:221)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:284)
(2)(cid:220)M(cid:81)BC(cid:104)(cid:4)(cid:50)(cid:138)PM(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAC(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:132)(cid:315)(cid:10)(cid:64)(cid:382)(cid:317)(cid:395)(cid:221)(cid:160)(cid:128)(cid:265)(cid:23)(cid:262)(cid:11).
30(cid:196)（2022·天津·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:96)(cid:221)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)AC ^ AB(cid:50)(cid:4)D(cid:26)E(cid:26)F(cid:5)(cid:206)(cid:81)AB,AA,CD
1 1 1 1 1 1
(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50) AB= AC = AA =2.
1
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:300)EF//(cid:95)(cid:24)ABC(cid:284)
(2)(cid:138)(cid:96)(cid:97)BE(cid:60)(cid:95)(cid:24)CCD(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:284)
1
(3)(cid:138)(cid:95)(cid:24)ACD(cid:60)(cid:95)(cid:24)CCD(cid:372)(cid:160)(cid:44)(cid:381)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
1 131(cid:196)（2022·浙江·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:197)(cid:62)ABCD(cid:43)CDEF(cid:252)(cid:73)(cid:96)(cid:160)(cid:393)(cid:203)(cid:50)AB//DC(cid:50)DC//EF(cid:50)AB=5(cid:50)
DC =3(cid:50)EF =1(cid:50)ÐBAD=ÐCDE =60°(cid:50)(cid:29)(cid:24)(cid:160)F-DC-B(cid:44)(cid:95)(cid:24)(cid:160)(cid:81)60°(cid:196)(cid:261)M(cid:50)N(cid:5)(cid:206)(cid:81)AE,BC(cid:44)(cid:104)
(cid:4)(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)FN ^ AD(cid:284)
(2)(cid:138)(cid:96)(cid:97)BM (cid:60)(cid:95)(cid:24)ADE(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
32(cid:196)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)PO(cid:73)(cid:221)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:44)(cid:42)(cid:50)PA=PB(cid:50)AB^AC(cid:50)E(cid:73)PB
(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)OE//(cid:95)(cid:24)PAC(cid:284)
(2)(cid:220)ÐABO=ÐCBO=30°(cid:50)PO=3(cid:50)PA=5(cid:50)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)C-AE-B(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
33(cid:196)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:55)P-ABCD(cid:104)(cid:50)PD^(cid:199)(cid:24)
ABCD,CD(cid:309)AB,AD=DC =CB=1,AB=2,DP= 3(cid:196)(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)BD^PA(cid:284)
(2)(cid:138)PD(cid:60)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
34(cid:196)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:80)(cid:24)(cid:20)ABCD(cid:104)(cid:50)AD^CD,AD=CD,ÐADB=ÐBDC(cid:50)E(cid:81)AC(cid:44)
(cid:104)(cid:4)(cid:196)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)(cid:95)(cid:24)BED^(cid:95)(cid:24)ACD(cid:284)
(2)(cid:261)AB=BD=2,ÐACB=60°(cid:50)(cid:4)F(cid:131)BD(cid:33)(cid:50)(cid:255)VAFC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:256)(cid:315)(cid:257)(cid:50)(cid:138)CF(cid:60)(cid:95)(cid:24)ABD(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:376)
(cid:265)(cid:196)
35(cid:196)（2022·北京·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:221)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)(cid:213)(cid:24)BCCB (cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:203)(cid:50)(cid:95)(cid:24)BCCB ^(cid:95)(cid:24)
1 1 1 1 1 1 1
ABBA (cid:50)AB=BC =2(cid:50)M(cid:50)N(cid:5)(cid:206)(cid:81)AB (cid:50)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
1 1 1 1(1)(cid:138)(cid:126)(cid:300)MN∥(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:284)
1 1
(2)(cid:377)(cid:288)(cid:259)(cid:323) (cid:26)(cid:259)(cid:323) (cid:250)(cid:218)(cid:166)(cid:259)(cid:323)(cid:104)(cid:293)(cid:378)(cid:116)(cid:166)(cid:176)(cid:81)(cid:197)(cid:62)(cid:50)(cid:138)(cid:96)(cid:97)AB(cid:60)(cid:95)(cid:24)BMN(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
(cid:259)(cid:323) (cid:300)AB①^MN(cid:284)②
(cid:259)(cid:323)①(cid:300)BM =MN(cid:196)
(cid:122)(cid:300)②(cid:51)(cid:382)(cid:293)(cid:378)(cid:259)(cid:323) (cid:43)(cid:259)(cid:323) (cid:5)(cid:206)(cid:90)(cid:135)(cid:50)(cid:383)(cid:133)(cid:116)(cid:166)(cid:90)(cid:135)(cid:189)(cid:5)(cid:196)
① ②
36(cid:196)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:96)(cid:221)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:81)4(cid:50)VABC(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:81)2 2(cid:196)
1 1 1 1
(1)(cid:138)A(cid:188)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:284)
1
(2)(cid:261)D(cid:81)AC(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)AA = AB(cid:50)(cid:95)(cid:24)ABC ^(cid:95)(cid:24)ABBA (cid:50)(cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:160)A-BD-C(cid:44)(cid:78)(cid:376)(cid:265)(cid:196)
1 1 1 1 1
考点 05 空间中的距离问题
1(cid:196)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:96)(cid:221)(cid:52)(cid:54)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)ÐACB=90°(cid:50)AC =BC(cid:50)D(cid:50)E(cid:5)(cid:206)
1 1 1
(cid:81)AB(cid:50)AC (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:196)
1
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)DE//(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:284)
1 1
(2)(cid:261)CC =2(cid:50)(cid:96)(cid:97)DE(cid:60)(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:81)45°(cid:50)(cid:138)(cid:96)(cid:97)DE(cid:188)(cid:95)(cid:24)BCCB (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:196)
1 1 1 1 12(cid:196)（2025·天津·高考真题）(cid:78)(cid:79)(cid:20)ABCD-ABCD (cid:44)(cid:52)(cid:205)(cid:81)4(cid:50)E(cid:26)F(cid:5)(cid:206)(cid:81)AD,CB (cid:104)(cid:4)(cid:50)CG=3GC (cid:196)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:300)GF ^(cid:95)(cid:24)FBE(cid:284)
(2)(cid:138)(cid:95)(cid:24)FBE(cid:60)(cid:95)(cid:24)EBG(cid:372)(cid:160)(cid:44)(cid:381)(cid:376)(cid:265)(cid:284)
(3)(cid:138)(cid:221)(cid:52)(cid:55)D-FBE(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:196)
3(cid:196)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)AB//CD,CD//EF(cid:50)AB=DE=EF =CF =2(cid:50)
CD=4,AD=BC = 10(cid:50)AE=2 3,M (cid:81)CD(cid:44)(cid:104)(cid:4).
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:300)EM //(cid:95)(cid:24)BCF(cid:284)
(2)(cid:138)(cid:4)M (cid:188)ADE(cid:44)(cid:186)(cid:187).
4(cid:196)（2024·天津·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:80)(cid:52)(cid:54)ABCD-ABCD (cid:104)(cid:50)AA^(cid:95)(cid:24)ABCD(cid:50)AB^ AD,AB//DC(cid:50)
1 1 1 1 1
AB= AA =2,AD=DC =1(cid:196)M,N(cid:5)(cid:206)(cid:81)DD,BC (cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)
1 1 1 1(1)(cid:138)(cid:126)(cid:300)DN//(cid:95)(cid:24)CBM (cid:284)
1 1
(2)(cid:138)(cid:95)(cid:24)CBM (cid:60)(cid:95)(cid:24)BBCC(cid:372)(cid:160)(cid:381)(cid:376)(cid:265)(cid:284)
1 1 1
(3)(cid:138)(cid:4)B(cid:188)(cid:95)(cid:24)CBM (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:196)
1
5(cid:196)（2023·上海·高考真题）(cid:197)(cid:62)(cid:221)(cid:52)(cid:55)P-ABC(cid:104)(cid:50)AB^AC, PA^(cid:95)(cid:24)ABC, PA=AB=3, AC=4,M (cid:81)BC(cid:104)(cid:4)(cid:50)
(cid:115)(cid:4)M (cid:5)(cid:206)(cid:176)(cid:95)(cid:124)(cid:224)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:44)(cid:96)(cid:97)(cid:396)AC(cid:26)PC(cid:224)(cid:4)E(cid:26)F.
(1)(cid:138)(cid:96)(cid:97)PM (cid:60)(cid:95)(cid:24)ABC(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:44)(cid:78)(cid:69)(cid:265)(cid:284)
(2)(cid:126)(cid:127)(cid:300)(cid:95)(cid:24)MEF//(cid:95)(cid:24)PAB(cid:50)(cid:390)(cid:138)(cid:96)(cid:97)ME(cid:188)(cid:95)(cid:24)PAB(cid:44)(cid:186)(cid:187).
6(cid:196)（2023·天津·高考真题）(cid:51)(cid:216)(cid:50)(cid:131)(cid:221)(cid:52)(cid:53)ABC-ABC (cid:104)(cid:50)AA^(cid:95)(cid:24)
1 1 1 1
ABC,AB^ AC,AB= AC = AA =2,AC =1(cid:50)M (cid:81)BC(cid:104)(cid:4).(cid:50)N(cid:81)AB(cid:44)(cid:104)(cid:4)(cid:50)
1 1 1
(1)(cid:138)(cid:126)(cid:300)AN //(cid:95)(cid:24)AMC (cid:284)
1 1
(2)(cid:138)(cid:95)(cid:24)AMC (cid:60)(cid:95)(cid:24)ACC A (cid:158)(cid:159)(cid:372)(cid:160)(cid:44)(cid:381)(cid:376)(cid:265)(cid:284)
1 1 1
(3)(cid:138)(cid:4)C(cid:188)(cid:95)(cid:24)AMC (cid:44)(cid:186)(cid:187)(cid:196)
1