专题08平面向量(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

08
专题 平面向量
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:25)2026(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:25)2026
(cid:3)(cid:40)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:26)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:25)(cid:21)(cid:22)(cid:23)
(cid:36)(cid:37)(cid:33)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) (cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:47)(cid:5)(cid:48)(cid:49)(cid:50)
2025(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:25)2025(cid:36)(cid:37)(cid:33)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:16)(cid:17) (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
2024(cid:36)(cid:37)(cid:33)
(cid:18)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:20)(cid:58)(cid:59)(cid:25)(cid:60)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:29)(cid:48)(cid:57)
2023(cid:36)(cid:37)(cid:33)
(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:20)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:64)(cid:21)(cid:20)(cid:65)(cid:66)
2022(cid:8)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:30)(cid:31)Ⅰ(cid:33)
2026(cid:30)(cid:31)(cid:78)(cid:33)(cid:25)
2025(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:78)(cid:33)(cid:25)2025(cid:79)(cid:80)(cid:33)
2024(cid:8)(cid:38)(cid:81)(cid:52)Ⅰ(cid:33)(cid:25)2024(cid:8)(cid:38)(cid:81)(cid:52)
(cid:3)(cid:40)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:84)
Ⅱ(cid:33)(cid:25)2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:33)(cid:25)2024(cid:34)(cid:35)
(cid:85)(cid:25)(cid:86)(cid:87)(cid:49)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:68)(cid:57)(cid:88)(cid:13)(cid:43)(cid:89)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) (cid:33)(cid:25) (cid:73)(cid:74)(cid:25)(cid:70)(cid:90)(cid:25)(cid:71)(cid:72)(cid:77)(cid:91)(cid:92)(cid:3)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:43)
(cid:20)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:50) 2023(cid:8)(cid:38)(cid:81)(cid:52)Ⅰ(cid:33)(cid:25)2023(cid:8)(cid:38)(cid:81)(cid:52) (cid:18)(cid:19)(cid:95)(cid:96)(cid:92)(cid:61)(cid:48)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:25)(cid:100)(cid:72)(cid:101)
(cid:68)(cid:57)(cid:10)(cid:69)(cid:70)(cid:25)(cid:71)(cid:72)(cid:25) Ⅱ(cid:33)(cid:25)2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:33)(cid:25)2023(cid:8)(cid:30) (cid:62)(cid:25)(cid:16)(cid:17)(cid:98)(cid:99)(cid:77)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:3)(cid:40)(cid:43)(cid:105)(cid:106)
(cid:73)(cid:74)(cid:25)(cid:75)(cid:76)(cid:18)(cid:19)(cid:77)(cid:11) (cid:31)(cid:83)(cid:33)(cid:25)2023(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:25)2023(cid:36)(cid:37) (cid:107)(cid:18)(cid:19)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:68)(cid:57)
(cid:33)(cid:25) (cid:91)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:20)(cid:32)(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:4)(cid:43)(cid:122)(cid:123)
2022(cid:8)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:30)(cid:31)Ⅱ(cid:33)(cid:25)2022(cid:8)(cid:30) (cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)
(cid:31)(cid:82)(cid:33)(cid:25)2022(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:83)(cid:33)(cid:25)2022
(cid:36)(cid:37)(cid:33)
2026(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:25)2026(cid:79)(cid:80)(cid:33)(cid:25)2026
(cid:36)(cid:37)(cid:33)(cid:25)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) 2025(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:25)2025(cid:36)(cid:37)(cid:33) (cid:3)(cid:40)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:129)(cid:130)(cid:88)(cid:13)(cid:77)(cid:43)(cid:92)(cid:131)(cid:57)
(cid:128)(cid:20)(cid:129)(cid:130)(cid:88)(cid:13) 2024(cid:79)(cid:80)(cid:33) (cid:132)(cid:77)(cid:133)(cid:25)(cid:101)(cid:62)(cid:22)(cid:134)(cid:48)(cid:135)
2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:83)(cid:33)(cid:25)2023(cid:79)(cid:80)(cid:33)
2022(cid:34)(cid:35)(cid:33)考点 01 平面向量的线性运算、平面向量基本定理
r r r r r r
1(cid:114)（2026·北京·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a(cid:43)b (cid:137)(cid:138) a-b =2(cid:43)a=(2,0)(cid:43)(cid:139)b (cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)1 B(cid:114)2 C(cid:114)3 D(cid:114)4
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)D
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:18)(cid:19)(cid:51)(cid:52)(cid:69)(cid:70)(cid:147)(cid:133)(cid:148)(cid:24)(cid:103)(cid:104)(cid:149)(cid:150)(cid:130)(cid:132)(cid:77)(cid:133)(cid:148)(cid:24)(cid:151)(cid:48).
r r r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109) a-b =2(cid:43)(cid:154) a=2,0(cid:43)(cid:139) a =2(cid:43)
r r r r r r r
 
(cid:155)(cid:156)b = a- a-b £ a + a-b =2+2=4(cid:43)
r r r r
(cid:155)(cid:156)(cid:157)a,a-b(cid:158)(cid:18)(cid:107)(cid:43)b (cid:159)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)4.
r r r r r r
2(cid:114)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a(cid:43)b(cid:132)(cid:64)(cid:21)(cid:43)(cid:154)2a+yb=xa-3b(cid:43)(cid:139)(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)x=2(cid:43)y=-3 B(cid:114)x=-2(cid:43)y=3 C(cid:114)x=2(cid:43)y=3 D(cid:114)x=-2(cid:43)y=-3
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)A
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:160)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:161)(cid:162).
r r r r r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:160)(cid:13)(cid:163)(cid:161)(cid:118)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a,b(cid:132)(cid:64)(cid:21)(cid:43)(cid:154)2a+yb=xa-3b(cid:43)
ìx=2
(cid:139)í .
îy=-3
3(cid:114)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:128)(cid:43)(cid:23)(cid:168)(cid:169)(cid:161)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:148)(cid:174)(cid:28)(cid:172)(cid:175)(cid:20)(cid:140)(cid:176)(cid:61)(cid:177)(cid:18)(cid:43)(cid:174)(cid:112)(cid:20)(cid:103)(cid:178)(cid:179)
(cid:180)(cid:37)(cid:116)(cid:128)(cid:181)(cid:109)(cid:127)(cid:172)(cid:172)(cid:175).(cid:127)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:91)(cid:182)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:61)(cid:165)(cid:183)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:184)(cid:185)(cid:43)(cid:50)(cid:128)(cid:165)
(cid:183)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:61)(cid:165)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:140)(cid:176)(cid:102)(cid:77)(cid:25)(cid:177)(cid:18)(cid:102)(cid:158).(cid:186)1(cid:187)(cid:112)(cid:188)(cid:189)(cid:5)(cid:172)(cid:173)(cid:77)(cid:190)(cid:25)(cid:191)(cid:181)(cid:61)(cid:172)(cid:175)(cid:140)(cid:176)(cid:20)
(cid:150)(cid:68)(cid:192)(cid:193).(cid:136)(cid:118)(cid:194)(cid:164)(cid:165)(cid:23)(cid:168)(cid:169)(cid:179)(cid:194)(cid:107)(cid:195)(cid:174)(cid:162)(cid:20)(cid:127)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:61)(cid:165)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:89)(cid:186)2(cid:155)(cid:54)(cid:10)(cid:21)(cid:196)(cid:70)(cid:90)
(cid:197)(cid:53)(cid:175)(cid:90)(cid:140)(cid:176)(cid:43)(cid:198)(cid:199)(cid:200)m/s(cid:11)(cid:43)(cid:139)(cid:201)(cid:107)(cid:195)(cid:20)(cid:182)(cid:172)(cid:109)(cid:10) (cid:11)
(cid:190)(cid:62) (cid:191)(cid:181) (cid:172)(cid:175)(cid:140)(cid:176)(cid:10)(cid:198)(cid:199)(cid:200)m/s)
2 (cid:202)(cid:172) 1.6~3.3
3 (cid:203)(cid:172) 3.4~5.4
4 (cid:185)(cid:172) 5.5~7.9
5 (cid:204)(cid:172) 8.0~10.7A(cid:114)(cid:202)(cid:172) B(cid:114)(cid:203)(cid:172) C(cid:114)(cid:185)(cid:172) D(cid:114)(cid:204)(cid:172)
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)A
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:103)(cid:104)(cid:13)(cid:205)(cid:65)(cid:66)(cid:185)(cid:186)2(cid:206)(cid:112)(cid:127)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:185)(cid:165)(cid:183)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:43)(cid:151)(cid:112)(cid:182)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:43)
(cid:162)(cid:112)(cid:182)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:20)(cid:140)(cid:176)(cid:43)(cid:207)(cid:161)(cid:160)(cid:186)1(cid:162)(cid:112)(cid:103)(cid:208).
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:160)(cid:13)(cid:163)(cid:49)(cid:186)(cid:162)(cid:43)
r
(cid:127)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:109)(cid:200)n=0,2-3,3=-3,-1(cid:43)
(cid:127)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:43)(cid:91)(cid:182)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:61)(cid:165)(cid:183)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:184)(cid:185)(cid:43)
(cid:165)(cid:175)(cid:177)(cid:18)(cid:185)(cid:165)(cid:183)(cid:172)(cid:175)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:177)(cid:18)(cid:102)(cid:158)(cid:43)
ur uur
(cid:209)(cid:182)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:109)n (cid:43)(cid:165)(cid:183)(cid:172)(cid:175)(cid:150)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:109)n (cid:43)
1 2
r ur uur uur
n=n 1 +n 2 (cid:43)(cid:165)(cid:183)(cid:172)(cid:175)(cid:200)n 2 =-  3,3-2,0  =-1,-3(cid:43)
∴ur r uur
n =n-n =-3,-1--1,-3=-2,2(cid:43)
1 2
∴ur
n = -22+22 =2 2 »2.828(cid:43)
1
(cid:160)(cid:53)(cid:162)(cid:43)(cid:182)(cid:172)(cid:172)(cid:175)(cid:109)(cid:202)(cid:172)(cid:43)
∴(cid:210)(cid:211)(cid:200)A.
uuur r uuur r uuur
4(cid:114)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:179)VABC(cid:128)(cid:43)(cid:4)D(cid:179)(cid:212)AB(cid:36)(cid:43)BD=2DA(cid:114)(cid:213)CA=m，CD=n(cid:43)(cid:139)CB=
(cid:10) (cid:11)
r r r r r r r r
A(cid:114)3m-2n B(cid:114)-2m+3n C(cid:114)3m+2n D(cid:114)2m+3n
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)B
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:98)(cid:99)(cid:65)(cid:66)(cid:156)(cid:49)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:207)(cid:161)(cid:48)(cid:112)(cid:114)
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur  
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109)(cid:4)D(cid:179)(cid:212)AB(cid:36)(cid:43)BD=2DA(cid:43)(cid:155)(cid:156)BD=2DA(cid:43)(cid:207)CD-CB=2 CA-CD (cid:43)
uuur uuur uuur r ur r r
(cid:155)(cid:156)CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n(cid:114)
(cid:210)(cid:211)(cid:200)B(cid:114)r r r r
5(cid:114)（2026·上海·高考真题）(cid:136)(cid:118)a=x,3(cid:43)b=4,6(cid:43)(cid:214)a(cid:215)b(cid:43)(cid:139)x=____________.
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)2
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:160)(cid:18)(cid:19)(cid:16)(cid:183)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:148)(cid:24)(cid:207)(cid:161).
r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109)a(cid:215)b(cid:43)(cid:155)(cid:156)x´6-4´3=0(cid:43)(cid:207)6x-12=0(cid:43)(cid:48)(cid:162)x=2.
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200)2.
6(cid:114)（2025·上海·高考真题）(cid:136)(cid:118)a r =(2,1),b r =(1,x)(cid:43)(cid:214)a r ∥b r (cid:43)(cid:139)x=__________(cid:114)
1
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144) /0.5
2
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:160)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:64)(cid:21)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:207)(cid:161)(cid:151)(cid:48).
r r 1
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:160)a∥b(cid:162)2x-1=0(cid:43)(cid:48)(cid:162)x= .
2
1
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200) .
2
7(cid:114)（2024·上海·高考真题）(cid:136)(cid:118)kÎR,a r =2,5,b r =6,k(cid:43)(cid:154)a r //b r (cid:43)(cid:139)k(cid:20)(cid:130)(cid:109)______(cid:114)
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)15
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:18)(cid:19)(cid:16)(cid:183)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:162)(cid:216)(cid:177)(cid:217)(cid:43)(cid:48)(cid:112)(cid:207)(cid:161).
r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144) Qa//b(cid:43)\2k =5´6(cid:43)(cid:48)(cid:162)k =15(cid:114)
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200)15(cid:114)
r r r r
8(cid:114)（2023·上海·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a=(3,4),b=(1,2)(cid:43)(cid:139)a-2b=_______________(cid:114)
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(1,0)
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:160)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:60)(cid:59)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:207)(cid:161)(cid:151)(cid:48).
r r
r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109)a=(3,4),b=(1,2)(cid:43)(cid:155)(cid:156)a-2b=(3,4)-2(1,2)=(1,0)(cid:43)
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200)(1,0)
考点 02 平面向量的数量积运算及其应用（模长、夹角、垂直、投影向量等）
r r r r r r r r
1(cid:114)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a,b (cid:137)(cid:138) a+b =1(cid:43) a-b = 3(cid:43)(cid:139)a×b=(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:114) B(cid:114) C(cid:114)- D(cid:114)-
2 3 3 2
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)D
r r r r2
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:160) a+b =1(cid:43)(cid:162) a+b =1(cid:43)r r 2 r r r r
(cid:155)(cid:156) a+b =1(cid:43)(cid:207)a2+2a×b+b2 =1(cid:55)
r r r r2
(cid:160) a-b = 3(cid:43)(cid:162) a-b =3(cid:43)
r r 2 r r r r
(cid:155)(cid:156) a-b =3(cid:43)(cid:207)a2-2a×b+b2 =3.
r r
(cid:218)(cid:133)(cid:102)(cid:60)(cid:43)(cid:162)4a×b =-2(cid:43)
r r 1
(cid:155)(cid:156) a×b =- .
2
2(cid:114)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a r =(0,1),b r =(2,x)(cid:43)(cid:214)b r ^(b r -4a r )(cid:43)(cid:139)x=(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)-2 B(cid:114)-1 C(cid:114)1 D(cid:114)2
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)D
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)根据向量垂直的坐标运算可求x的值.
r r r r r r
   
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109)b^ b-4a (cid:43)(cid:155)(cid:156)b× b-4a =0(cid:43)
r r r
(cid:155)(cid:156)
b
2
-4a×b=0
(cid:207)4+x2-4x=0(cid:43)(cid:210)x=2(cid:43)
(cid:210)(cid:211)(cid:200)D.
3(cid:114)（2024·北京·高考真题）(cid:209) a r (cid:43)b r (cid:91)(cid:18)(cid:19)(cid:43)(cid:139)“  a r +b r  ·  a r -b r  =0”(cid:91)“a r =-b r (cid:219)a r =b r ”(cid:20)(cid:10) (cid:11)(cid:114)
A(cid:114)(cid:220)(cid:5)(cid:132)(cid:123)(cid:221)(cid:65)(cid:66) B(cid:114)(cid:123)(cid:221)(cid:132)(cid:220)(cid:5)(cid:65)(cid:66)
C(cid:114)(cid:220)(cid:221)(cid:65)(cid:66) D(cid:114)(cid:222)(cid:132)(cid:220)(cid:5)(cid:95)(cid:132)(cid:123)(cid:221)(cid:65)(cid:66)
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)B
r r  r r  r r
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:5)(cid:97)(cid:161)(cid:118) a+b × a-b =0(cid:77)(cid:223)(cid:224) a = b (cid:43)(cid:103)(cid:104)(cid:220)(cid:5)(cid:25)(cid:123)(cid:221)(cid:65)(cid:66)(cid:5)(cid:97)(cid:225)(cid:226).
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109)  a r +b r  ×  a r -b r  =a r 2-b r 2 =0(cid:43)(cid:161)(cid:162)a r 2 =b r 2(cid:43)(cid:207) a r = b r (cid:43)
r r  r r  r r
(cid:161)(cid:118) a+b × a-b =0(cid:77)(cid:223)(cid:224) a = b (cid:43)
(cid:214)a r =b r (cid:219)a r =-b r (cid:43)(cid:161)(cid:162) a r = b r (cid:43)(cid:207)  a r +b r  ×  a r -b r  =0(cid:43)(cid:161)(cid:118)(cid:123)(cid:221)(cid:22)(cid:227)(cid:228)(cid:55)
(cid:214)  a r +b r  ×  a r -b r  =0(cid:43)(cid:207) a r = b r (cid:43)(cid:229)(cid:59)(cid:162)(cid:112)a r =b r (cid:219)a r =-b r (cid:43)
r r r r r r r r
(cid:230)(cid:89)a=1,0,b =0,1(cid:43)(cid:137)(cid:138) a = b (cid:43)(cid:231)a¹b(cid:154)a¹-b(cid:43)(cid:161)(cid:118)(cid:220)(cid:5)(cid:22)(cid:132)(cid:227)(cid:228)(cid:55)
(cid:232)(cid:36)(cid:155)(cid:233)(cid:43)“  a r +b r  ×  a r -b r  =0”(cid:91)“a r =-b r (cid:219)a r =b r ”(cid:20)(cid:123)(cid:221)(cid:132)(cid:220)(cid:5)(cid:65)(cid:66).
(cid:210)(cid:211)(cid:200)B.r r
4(cid:114)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:209)(cid:18)(cid:19)a=x+1,x,b =x,2(cid:43)(cid:139)(cid:10) (cid:11)
r r r r
A(cid:114)“x=-3”(cid:91)“a^b”(cid:20)(cid:123)(cid:221)(cid:65)(cid:66) B(cid:114)“x=1+ 3”(cid:91)“a//b”(cid:20)(cid:123)(cid:221)(cid:65)(cid:66)
r r r r
C(cid:114)“x=0”(cid:91)“a^b”(cid:20)(cid:220)(cid:5)(cid:65)(cid:66) D(cid:114)“x=-1+ 3”(cid:91)“a//b”(cid:20)(cid:220)(cid:5)(cid:65)(cid:66)
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)C
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:18)(cid:19)(cid:73)(cid:74)(cid:185)(cid:16)(cid:183)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:207)(cid:161)(cid:162)(cid:216)(cid:177)(cid:217)(cid:43)(cid:48)(cid:112)(cid:207)(cid:161).
r r r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:150)A(cid:43)(cid:157)a^b(cid:107)(cid:43)(cid:139)a×b=0(cid:43)
(cid:155)(cid:156)x×(x+1)+2x=0(cid:43)(cid:48)(cid:162)x=0(cid:219)-3(cid:43)(cid:207)(cid:123)(cid:221)(cid:22)(cid:132)(cid:227)(cid:228)(cid:43)(cid:210)A(cid:234)(cid:235)(cid:55)
r r r r
(cid:150)C(cid:43)(cid:157)x=0(cid:107)(cid:43)a=1,0,b=0,2(cid:43)(cid:210)a×b=0(cid:43)
r r
(cid:155)(cid:156)a^b(cid:43)(cid:207)(cid:220)(cid:5)(cid:22)(cid:227)(cid:228)(cid:43)(cid:210)C(cid:46)(cid:236)(cid:55)
r r
(cid:150)B(cid:43)(cid:157)a//b(cid:107)(cid:43)(cid:139)2(x+1)=x2(cid:43)(cid:48)(cid:162)x=1± 3(cid:43)(cid:207)(cid:123)(cid:221)(cid:22)(cid:132)(cid:227)(cid:228)(cid:43)(cid:210)B(cid:234)(cid:235)(cid:55)
r r
(cid:150)D(cid:43)(cid:157)x=-1+ 3(cid:107)(cid:43)(cid:132)(cid:137)(cid:138)2(x+1)=x2(cid:43)(cid:155)(cid:156)a//b(cid:132)(cid:227)(cid:228)(cid:43)(cid:207)(cid:220)(cid:5)(cid:22)(cid:132)(cid:228)(cid:43)(cid:210)D(cid:234)(cid:235).
(cid:210)(cid:211)(cid:200)C.
r r r r r  r r  r r
5(cid:114)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a,b(cid:137)(cid:138) a =1, a+2b =2(cid:43)(cid:154) b-2a ^b(cid:43)(cid:139)b =(cid:10) (cid:11)
1 2 3
A(cid:114) B(cid:114) C(cid:114) D(cid:114)1
2 2 2
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)B
 r r  r r r r r r r r r r r
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:160) b-2a ^b(cid:162)b 2 =2a×b(cid:43)(cid:103)(cid:104) a =1, a+2b =2(cid:43)(cid:162)1+4a×b+4b 2 =1+6b 2 =4(cid:43)(cid:160)(cid:106)(cid:207)(cid:161)(cid:162)(cid:48).
r r r r r r
    r r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109) b-2a ^b(cid:43)(cid:155)(cid:156) b-2a ×b=0(cid:43)(cid:207)b 2 =2a×b(cid:43)
r r r
(cid:237)(cid:153)(cid:109) a =1, a+2b =2(cid:43)
r r r r
(cid:155)(cid:156)1+4a×b+4b 2 =1+6b 2 =4(cid:43)
r 2
(cid:238)(cid:105)b = .
2
(cid:210)(cid:211)(cid:200)B.
r r r r r r r r
6(cid:114)（2023·北京·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a(cid:43)b(cid:137)(cid:138)a+b =(2,3),a-b =(-2,1)(cid:43)(cid:139)|a|2 -|b|2=(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)-2 B(cid:114)-1 C(cid:114)0 D(cid:114)1
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)B
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:131)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:15)(cid:43)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:151)(cid:48)(cid:108)(cid:142).r r r r r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:18)(cid:19)a,b (cid:137)(cid:138)a+b =(2,3),a-b =(-2,1)(cid:43)
r r r r r r
(cid:155)(cid:156)|a|2 -|b|2=(a+b)×(a-b)=2´(-2)+3´1=-1.
(cid:210)(cid:211)(cid:200)B
uuur uuur
7(cid:114)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:46)(cid:177)(cid:239)ABCD(cid:20)(cid:212)(cid:70)(cid:91)2(cid:43)E(cid:91)AB(cid:20)(cid:128)(cid:4)(cid:43)(cid:139)EC×ED=(cid:10) (cid:11)
A(cid:114) 5 B(cid:114)3 C(cid:114)2 5 D(cid:114)5
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)B
uuur uuur uuur uuur
 
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:177)(cid:59)(cid:32)(cid:200)(cid:156) AB,AD (cid:109)(cid:26)(cid:240)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:54)EC,ED(cid:43)(cid:241)(cid:103)(cid:104)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:15)(cid:23)(cid:24)(cid:151)(cid:48)(cid:55)(cid:177)(cid:59)(cid:78)(cid:200)(cid:242)(cid:193)(cid:43)
(cid:131)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:151)(cid:48)(cid:55)(cid:177)(cid:59)(cid:100)(cid:200)(cid:131)(cid:57)(cid:243)(cid:244)(cid:28)(cid:29)(cid:151)cosÐDEC(cid:43)(cid:245)(cid:105)(cid:145)(cid:146)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:28)(cid:246)(cid:23)(cid:24)(cid:151)(cid:48).
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:177)(cid:59)(cid:32)(cid:200)(cid:156) AB,AD (cid:109)(cid:26)(cid:240)(cid:18)(cid:19)(cid:43)(cid:161)(cid:118) AB = AD =2,AB×AD=0(cid:43)
uuur uur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur
1 1
(cid:139)EC =EB+BC = AB+AD,ED=EA+AD=- AB+AD(cid:43)
2 2
uuur uuur æ1uuur uuurö æ 1uuur uuurö 1uuur 2 uuur 2
(cid:155)(cid:156)EC×ED=ç AB+AD÷×ç- AB+AD÷=- AB +AD =-1+4=3(cid:55)
è2 ø è 2 ø 4
(cid:177)(cid:59)(cid:78)(cid:200)(cid:89)(cid:186)(cid:43)(cid:156)A(cid:109)(cid:51)(cid:52)(cid:247)(cid:4)(cid:242)(cid:228)(cid:16)(cid:17)(cid:74)(cid:72)(cid:51)(cid:52)(cid:193)(cid:43)
uuur uuur
(cid:139)E1,0,C2,2,D0,2(cid:43)(cid:161)(cid:162)EC =1,2,ED=-1,2(cid:43)
uuur uuur
(cid:155)(cid:156)EC×ED=-1+4=3(cid:55)
(cid:177)(cid:59)(cid:100)(cid:200)(cid:160)(cid:13)(cid:163)(cid:161)(cid:162)(cid:200)ED=EC = 5,CD=2(cid:43)
DE2+CE2-DC2 5+5-4 3
(cid:179)(cid:248)CDE(cid:128)(cid:43)(cid:160)(cid:243)(cid:244)(cid:28)(cid:29)(cid:161)(cid:162)cosÐDEC = = = (cid:43)
2DE×CE 2´ 5´ 5 5
uuur uuur uuur uuur 3
(cid:155)(cid:156)EC×ED= EC ED cosÐDEC = 5´ 5´ =3.
5
(cid:210)(cid:211)(cid:200)B.
r r r r r r
8(cid:114)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a=3,1,b=2,2(cid:43)(cid:139)cos a+b,a-b =(cid:10) (cid:11)
1 17 5 2 5
A(cid:114) B(cid:114) C(cid:114) D(cid:114)
17 17 5 5(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)B
r r r r r r r r
   
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:131)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:69)(cid:61)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:5)(cid:249)(cid:151)(cid:162) a+b, a-b, a+b × a-b (cid:43)(cid:238)(cid:105)(cid:131)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:243)(cid:244)
(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:147)(cid:133)(cid:207)(cid:161)(cid:162)(cid:48).
r r r r r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109)a=(3,1),b=(2,2)(cid:43)(cid:155)(cid:156)a+b=5,3,a-b=1,-1(cid:43)
(cid:139) a r +b r = 52+32 = 34, a r -b r = 1+1= 2(cid:43)  a r +b r  ×  a r -b r  =5´1+3´-1=2(cid:43)
r r r r
   
r r r r a+b × a-b 2 17
(cid:155)(cid:156)cos a+b,a-b = r r r r = = .
a+b a-b 34´ 2 17
(cid:210)(cid:211)(cid:200)B.
9(cid:114)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a r ,b r ,c r (cid:137)(cid:138) a r = b r =1,c r = 2(cid:43)(cid:154)a r +b r +c r =0 r (cid:43)(cid:139)cosáa r -c r ,b r -c r ñ=
(cid:10) (cid:11)
4 2 2 4
A(cid:114)- B(cid:114)- C(cid:114) D(cid:114)
5 5 5 5
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)D
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:108)(cid:112)(cid:186)(cid:239),(cid:145)(cid:146)(cid:98)(cid:99)(cid:163)(cid:246)(cid:151)(cid:48).
r r r r r r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109)a+b+c =0,(cid:155)(cid:156)a+b =-c,
r r r r r r r r r
(cid:207)a2+b2+2a×b =c2,(cid:207)1+1+2a×b =2,(cid:155)(cid:156)a×b =0.
uuur r uuur r uuur r
(cid:89)(cid:186),(cid:209)OA=a,OB=b,OC =c,
(cid:160)(cid:13)(cid:118),OA=OB=1,OC = 2,VOAB(cid:91)(cid:77)(cid:250)(cid:74)(cid:72)(cid:100)(cid:72)(cid:239),
2 2
AB(cid:212)(cid:36)(cid:20)(cid:39)OD= ,AD= ,
2 2
2 3 2
(cid:155)(cid:156)CD=CO+OD= 2+ = ,
2 2
AD 1 3
tanÐACD= = ,cosÐACD= ,
CD 3 10r r r r
cosáa-c,b-cñ=cosÐACB=cos2ÐACD=2cos2ÐACD-1
2
æ 3 ö 4
=2´ ç ÷ -1= .
è 10ø 5
(cid:210)(cid:211):D.
r r  r r   r r 
10(cid:114)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a=1,1,b=1,-1(cid:43)(cid:214) a+lb ^ a+mb (cid:43)(cid:139)(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)l+m=1 B(cid:114)l+m=-1
C(cid:114)lm=1 D(cid:114)lm=-1
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)D
r r r r
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:151)(cid:112)a+lb(cid:43)a+mb(cid:43)(cid:241)(cid:145)(cid:146)(cid:18)(cid:19)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:207)(cid:161)(cid:151)(cid:112)(cid:114)
r r r r r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109)a=1,1,b=1,-1(cid:43)(cid:155)(cid:156)a+lb=1+l,1-l(cid:43)a+mb=1+m,1-m(cid:43)
r r r r r r r r
       
(cid:160) a+lb ^ a+mb (cid:161)(cid:162)(cid:43) a+lb × a+mb =0(cid:43)
(cid:207)1+l1+m+1-l1-m=0(cid:43)(cid:251)(cid:29)(cid:162)(cid:200)lm=-1(cid:114)
(cid:210)(cid:211)(cid:200)D(cid:114)
v v v v v v v v v
11(cid:114)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a=(3,4),b =(1,0),c =a+tb (cid:43)(cid:214) a,c = b,c (cid:43)(cid:139)t =(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)-6 B(cid:114)-5 C(cid:114)5 D(cid:114)6
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)C
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:131)(cid:57)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:185)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:243)(cid:244)(cid:147)(cid:133)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:239)(cid:133)(cid:84)(cid:85)(cid:207)(cid:161)(cid:151)(cid:162)
r r r r 9+3t+16 3+t
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:48)(cid:200)c =3+t,4 ,cos a,c =cos b,c ,(cid:207) r = r ,(cid:48)(cid:162)t=5,
5c c
(cid:210)(cid:211)(cid:200)C
v v r r r r r r
12(cid:114)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a,b (cid:137)(cid:138)|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3(cid:43)(cid:139)a×b=(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)-2 B(cid:114)-1 C(cid:114)1 D(cid:114)2
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)C
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:187)(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:43)(cid:131)(cid:57)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:151)(cid:48)(cid:207)(cid:161).
r r r r r r2
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:48)(cid:200) |a-2b|2=|a|2 -4a×b+4b (cid:43)
r r ∵ r r
(cid:237) |a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3,
9 ∵ =1-4a r ×b r +4´3=13-4a r ×b r (cid:43)
∴r r
a×b=1
∴(cid:210)(cid:211)(cid:200)C.
r r v v
13(cid:114)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a=(2,1)(cid:43)b=(-2,4)(cid:43)(cid:139) a-b =(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)2 B(cid:114)3 C(cid:114)4 D(cid:114)5
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)D
r r
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:252)(cid:151)(cid:162)a v -b v (cid:43)(cid:253)(cid:254)(cid:151)(cid:162) a-b .
r r r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109)a-b=2,1--2,4=4,-3(cid:43)(cid:155)(cid:156) a-b = 42+-32 =5.
(cid:210)(cid:211)(cid:200)D
uuur 1uuur uuur r uuur r uuur
14(cid:114)（2025·天津·高考真题）VABC(cid:128)(cid:43)D(cid:109)AB(cid:212)(cid:128)(cid:4)(cid:43)CE= CD,AB=a,AC =b(cid:43)(cid:139) AE=______(cid:10)(cid:57)
3
r r uuur uuur uuur
a(cid:43)b (cid:53)(cid:54)(cid:11)(cid:43)(cid:214)|AE|=5(cid:43)AE^CB(cid:43)(cid:139)AE×CD=_______
1r 2r
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144) a+ b(cid:55) -15
6 3
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:151)(cid:48)(cid:207)(cid:161)(cid:255)(cid:32)(cid:43)(cid:68)(cid:57)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:15)(cid:148)(cid:24)(cid:151)(cid:48)(cid:255)(cid:78).
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:89)(cid:186)(cid:43)
uuur 1uuur uuur uuur 1 uuur uuur  uuur 1uuur 2uuur
(cid:153)(cid:109)CE= CD(cid:43)(cid:155)(cid:156)AE-AC = AD-AC (cid:43)(cid:155)(cid:156)AE= AD+ AC(cid:114)
3 3 3 3
uuur 1uuur 2uuur 1r 2r
(cid:153)(cid:109)D(cid:109)(cid:21)(cid:196)AB(cid:20)(cid:128)(cid:4)(cid:43)(cid:155)(cid:156)AE = AB+ AC = a+ b(cid:55)
6 3 6 3
(cid:237)(cid:153)(cid:109) u A u E ur =5,AE^CB(cid:43)(cid:155)(cid:156) u A u E ur 2 = æ ç 1 a r + 2 b rö ÷ 2 = 1 a r 2+ 2 a r ×b r + 4 b r 2 =25(cid:43)
è6 3 ø 36 9 9
u A u E ur ×C uu B ur = æ ç 1 a r + 2 b rö ÷×  a r -b r  = 1 a r 2+ 1 a r ×b r - 2 b r 2 =0(cid:43)(cid:155)(cid:156) a r 2 +3a r ×b r =4b r 2
è6 3 ø 6 2 3
r r r
(cid:155)(cid:156) 2 (cid:43)
a +4a×b=180
(cid:155)(cid:156) u A u E ur ×C uu D ur = æ ç 1 a r + 2 b rö ÷× æ ç-b r + 1 a rö ÷= 1 a r 2+ 1 a r ×b r - 2 b r 2 = 1  a r 2+2a r ×b r -8b r 2
è6 3 ø è 2 ø 12 6 3 12= 1  a r 2+2a r ×b r -2a r 2-6a r ×b r  = 1  -a r 2-4a r ×b r  =-15(cid:114)
12 12
1r 2r
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200) a+ b(cid:55)-15.
6 3
r r r r r  r
15(cid:114)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a=(x,1),b =(x-1,2x),(cid:214)a^ a-b (cid:43)(cid:139)|a|=___________
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144) 2
r r
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:18)(cid:19)(cid:51)(cid:52)(cid:84)(cid:23)(cid:24)(cid:162)a-b =(1,1-2x)(cid:43)(cid:241)(cid:131)(cid:57)(cid:18)(cid:19)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:162)(cid:216)(cid:177)(cid:217)(cid:43)(cid:48)(cid:112)(cid:207)(cid:161).
r r r  r r  r  r r 
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)a-b =(1,1-2x)(cid:43)(cid:153)(cid:109)a^ a-b (cid:43)(cid:139)a× a-b =0(cid:43)
(cid:139)x+1-2x=0(cid:43)(cid:48)(cid:162)x=1.
r r
(cid:139)a =(1,1)(cid:43)(cid:139)|a|= 2.
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200) 2.
16(cid:114)（2023·上海·高考真题）(cid:136)(cid:118)a r =-2,3(cid:43)b r =1,2(cid:43)(cid:151) a r ×b r =________
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)4
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:160)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:147)(cid:133)(cid:151)(cid:48).
r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109)a =-2,3(cid:43)b =1,2(cid:43)
r r
(cid:139) a×b =-2´1+3´2=4.
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200)4
r r r r r r r r r
17(cid:114)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a(cid:43)b (cid:137)(cid:138) a-b = 3(cid:43) a+b = 2a-b (cid:43)(cid:139)b =______(cid:114)
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144) 3
r r r
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:59)(cid:32)(cid:200)(cid:145)(cid:146)(cid:13)(cid:163)(cid:103)(cid:104)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:15)(cid:23)(cid:24)(cid:151)(cid:48)(cid:55)(cid:59)(cid:78)(cid:200)(cid:256)(cid:257)(cid:258)c=a-b (cid:43)(cid:103)(cid:104)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:15)
(cid:23)(cid:24)(cid:151)(cid:48).
r r r r r r 2  r r 2
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:59)(cid:32)(cid:200)(cid:153)(cid:109) a+b = 2a-b (cid:43)(cid:207) a+b = 2a-b (cid:43)
r r r r r r r r
r r r
(cid:139)
a
2
+2a×b+b
2
=4a
2
-4a×b+b
2(cid:43)(cid:251)(cid:29)(cid:162)a 2 -2a×b=0(cid:43)
r r r r 2
(cid:237)(cid:153)(cid:109) a-b = 3(cid:43)(cid:207) a-b =3(cid:43)
r r r r r r
(cid:139)
a
2
-2a×b+b
2
=b
2
=3
(cid:43)(cid:155)(cid:156)b = 3.
r r r r r r r r r r r r
(cid:59)(cid:78)(cid:200)(cid:209)c=a-b (cid:43)(cid:139) c = 3,a+b=c+2b,2a-b=2c+b(cid:43)r r r r r r r r r r r r
 2  2
(cid:160)(cid:13)(cid:163)(cid:161)(cid:162)(cid:200) c+2b = 2c+b (cid:43)(cid:139) c 2 +4c×b+4b 2 =4c 2 +4c×b+b 2(cid:43)
r r
r r
(cid:251)(cid:29)(cid:162)(cid:200)
c
2
=b
2(cid:43)(cid:207)b = c = 3.
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200) 3.
r r r r r r r r r
18(cid:114)（2022·上海·高考真题）(cid:214)|a|=|b|=|c|=l(cid:43)(cid:154)(cid:137)(cid:138)a×b =0,a×c =2,b×c =1(cid:43)(cid:139)l=___________.
1
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)45/
54
r r 2 5
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:209) a,c =q(cid:43)(cid:131)(cid:57)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:28)(cid:246)(cid:151)(cid:112)cosq= (cid:43)(cid:207)(cid:161)(cid:151)(cid:112)l.
5
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109)a r ×b r =0(cid:43)(cid:155)(cid:156)a r ^b r (cid:43)(cid:209) a r ,c r =q.
r r
r r ìa ×c cosq=2
ìïa×c =2 ï
(cid:160)ír r (cid:161)(cid:162)(cid:200)í r r æp ö (cid:43)
ïîb×c =1 ï b ×c cosç -q÷=1
î è 2 ø
1
(cid:218)(cid:133)(cid:102)(cid:259)(cid:162)(cid:200)tanq= .
2
(cid:237)cos2q+sin2q=1(cid:43)(cid:154)qÎ0,p
2 5 5
(cid:48)(cid:162)(cid:200)cosq= ,sinq= .
5 5
r r r r 2 5
(cid:153)(cid:109)a×c =2(cid:43)(cid:155)(cid:156) a ×c cosq=l×l× =2(cid:43)(cid:48)(cid:162)(cid:200)l= 45.
5
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200)45.
v v 1 r v  r r  r
19(cid:114)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:209)(cid:18)(cid:19)a(cid:43)b (cid:20)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:243)(cid:244)(cid:130)(cid:109) (cid:43)(cid:154) a =1(cid:43)b =3(cid:43)(cid:139) 2a+b ×b=_________(cid:114)
3
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)11
v v 1 r r
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:209)a(cid:61)b (cid:20)(cid:71)(cid:72)(cid:109)q(cid:43)(cid:260)(cid:13)(cid:163)(cid:161)(cid:162)cosq= (cid:43)(cid:241)(cid:145)(cid:146)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:28)(cid:246)(cid:151)(cid:112)a×b(cid:43)(cid:129)(cid:254)(cid:145)(cid:146)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:23)
3
(cid:24)(cid:15)(cid:148)(cid:24)(cid:161)(cid:162)(cid:114)
v v v v 1 1
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:48)(cid:200)(cid:209)a(cid:61)b (cid:20)(cid:71)(cid:72)(cid:109)q(cid:43)(cid:153)(cid:109)a(cid:61)b (cid:20)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:243)(cid:244)(cid:130)(cid:109) (cid:43)(cid:207)cosq= (cid:43)
3 3
r v r r r r 1
(cid:237) a =1(cid:43)b =3(cid:43)(cid:155)(cid:156)a×b= a ×b cosq=1´3´ =1(cid:43)
3
(cid:155)(cid:156)  2a
r
+b
r
 ×b
r
=2a
r
×b
r
+b
r
2 =2a
r
×b
r
+ b
r2
=2´1+32 =11(cid:114)
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200)11(cid:114)
20(cid:114)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a v =(m,3),b v =(1,m+1)(cid:114)(cid:214)a v ^b v (cid:43)(cid:139)m=______________(cid:114)3
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)- /-0.75
4
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:74)(cid:261)(cid:160)(cid:18)(cid:19)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:151)(cid:48)(cid:207)(cid:161).
v v 3
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:160)(cid:13)(cid:163)(cid:118)(cid:200)a×b =m+3(m+1)=0(cid:43)(cid:48)(cid:162)m=- .
4
3
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200)- .
4
考点 03 平面向量中的最值问题
r r r r r r
1(cid:114)（2026·北京·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a(cid:43)b (cid:137)(cid:138) a-b =2(cid:43)a=(2,0)(cid:43)(cid:139)b (cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)1 B(cid:114)2 C(cid:114)3 D(cid:114)4
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)D
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:18)(cid:19)(cid:51)(cid:52)(cid:69)(cid:70)(cid:147)(cid:133)(cid:148)(cid:24)(cid:103)(cid:104)(cid:149)(cid:150)(cid:130)(cid:132)(cid:77)(cid:133)(cid:148)(cid:24)(cid:151)(cid:48).
r r r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109) a-b =2(cid:43)(cid:154) a=2,0(cid:43)(cid:139) a =2(cid:43)
r r r r r r r
 
(cid:155)(cid:156)b = a- a-b £ a + a-b =2+2=4(cid:43)
r r r r
(cid:155)(cid:156)(cid:157)a,a-b(cid:158)(cid:18)(cid:107)(cid:43)b (cid:159)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)4.
uuur uuur
uuur uuur uuur
2(cid:114)（2025·北京·高考真题）(cid:179)(cid:16)(cid:17)(cid:74)(cid:72)(cid:51)(cid:52)(cid:193)xOy(cid:128)(cid:43)|OA|=|OB|= 2(cid:43)|AB|=2.(cid:209)C(3,4)(cid:43)(cid:139)|2CA+AB|
(cid:20)(cid:159)(cid:130)(cid:262)(cid:263)(cid:91)(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)[6,14] B(cid:114)[6,12] C(cid:114)[8,14] D(cid:114)[8,12]
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)D
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:252)(cid:145)(cid:146)AB=OB-OA(cid:43)(cid:151)(cid:112)áOA,OBñ(cid:43)(cid:245)(cid:105)(cid:161)(cid:156)(cid:57)(cid:18)(cid:19)OA,OB(cid:53)(cid:54)(cid:112)2CA+AB(cid:43)(cid:207)(cid:161)(cid:48)(cid:112)(cid:114)
uuur
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:153)(cid:109)|OA|=|OB|= 2(cid:43)|AB|=2(cid:43)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur π
(cid:160)AB=OB-OA(cid:16)(cid:177)(cid:161)(cid:162)(cid:43)OA×OB=0(cid:43)(cid:155)(cid:156)áOA,OBñ= (cid:114)
2
uuur uuur  uuur uuur  uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2CA+AB=2 OA-OC +OB-OA=OA+OB-2OC(cid:43)OC = 32+42 =5(cid:43)
uuur uuur2 uuur
2
uuur
2
uuur
2 
uuur uuur

uuur
(cid:155)(cid:156)(cid:43) 2CA+AB =OA +OB +4OC -4 OA+OB ×OC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
   
=2+2+4´25-4 OA+OB ×OC =104-4 OA+OB ×OC(cid:43)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
   
(cid:237) OA+OB ×OC £ OA+OB OC =5´ 2+2 =10(cid:43)(cid:207)-10£ OA+OB ×OC£10(cid:43)(cid:155)(cid:156) 2C
uu
A
ur
+
u
A
u
B
ur2
Î64,144(cid:43)(cid:207) 2C
uu
A
ur
+
u
A
u
B
ur
Î8,12(cid:43)
(cid:210)(cid:211)(cid:200)D.
3(cid:114)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)eO(cid:20)(cid:264)(cid:265)(cid:109)1(cid:43)(cid:74)(cid:21)PA(cid:61)eO(cid:102)(cid:266)(cid:224)(cid:4)A(cid:43)(cid:74)(cid:21)PB(cid:61)eO(cid:47)(cid:224)B(cid:43)
uuur uuur
C(cid:218)(cid:4)(cid:43)D(cid:109)BC(cid:20)(cid:128)(cid:4)(cid:43)(cid:214) PO = 2(cid:43)(cid:139)PA×PD(cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)(cid:10) (cid:11)
1+ 2 1+2 2
A(cid:114) B(cid:114)
2 2
C(cid:114)1+ 2 D(cid:114)2+ 2
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)A
uuur uuur
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:160)(cid:13)(cid:163)(cid:108)(cid:112)(cid:54)(cid:163)(cid:186)(cid:43)(cid:253)(cid:254)(cid:5)(cid:6)(cid:267)(cid:208)(cid:43)(cid:131)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:28)(cid:246)(cid:161)(cid:162)PA×PD
1 2 æ pö uuur uuur 1 2 æ pö uuur uuur
= - sinç2a- ÷ (cid:43)(cid:219)PA×PD= + sinç2a+ ÷ (cid:253)(cid:254)(cid:103)(cid:104)(cid:100)(cid:72)(cid:101)(cid:62)(cid:20)(cid:22)(cid:134)(cid:207)(cid:161)(cid:236)(cid:28)PA×PD(cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130).
2 2 è 4ø 2 2 è 4ø
π
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:89)(cid:186)(cid:155)(cid:54)(cid:43)OA =1,OP = 2(cid:43)(cid:139)(cid:160)(cid:13)(cid:163)(cid:161)(cid:118):ÐAPO= (cid:43)
4
(cid:160)(cid:268)(cid:269)(cid:28)(cid:29)(cid:161)(cid:162) PA = OP2-OA2 =1
p
(cid:157)(cid:4)A,D(cid:199)(cid:224)(cid:74)(cid:21)PO(cid:270)(cid:271)(cid:107)(cid:219)PB(cid:109)(cid:74)(cid:265)(cid:107)(cid:43)(cid:209)ÐOPC =a,0£a< (cid:43)
4
uuur uuur uuur uuur æ pö
(cid:139)(cid:200)PA×PD= PA× PD cosça+ ÷
è 4ø
æ pö
=1´ 2cosacosça+ ÷
è 4ø
æ 2 2 ö
= 2cosaç cosa- sina÷
ç 2 2 ÷
è ø
=cos2a-sinacosa
1+cos2a 1
= - sin2a
2 2
1 2 æ pö
= - sinç2a- ÷
2 2 è 4øp p p p
0£a< (cid:43)(cid:139)- £2a- <
4 4 4 4
π π uuur uuur
\(cid:157)2a- =- (cid:107)(cid:43)PA×PD(cid:272)(cid:129)(cid:140)(cid:130)1.
4 4
p
(cid:157)(cid:4)A,D(cid:199)(cid:224)(cid:74)(cid:21)PO(cid:273)(cid:271)(cid:107)(cid:43)(cid:209)ÐOPC =a,0<a< (cid:43)
4
uuur uuur uuur uuur æp ö
(cid:139)(cid:200)PA×PD=PA×PDcosç -a÷
è 4 ø
æp ö
=1´ 2cosacosç -a÷
è 4 ø
æ 2 2 ö
= 2cosaç cosa+ sina÷
ç 2 2 ÷
è ø
=cos2a+sinacosa
1+cos2a 1
= + sin2a
2 2
1 2 æ pö
= + sinç2a+ ÷ (cid:43)
2 2 è 4ø
p p p 3p
0£a< (cid:43)(cid:139) £2a+ <
4 4 4 4
p p uuur uuur 1+ 2
\(cid:157)2a+ = (cid:107)(cid:43)PA×PD(cid:272)(cid:129)(cid:140)(cid:130) .
4 2 2
uuur uuur 1+ 2
(cid:232)(cid:36)(cid:161)(cid:162)(cid:43)PA×PD(cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109) .
2
(cid:210)(cid:211)(cid:200)A.
(cid:141)(cid:4)(cid:274)(cid:144)(cid:27)(cid:13)(cid:20)(cid:275)(cid:276)(cid:179)(cid:224)(cid:277)(cid:278)(cid:46)(cid:236)(cid:108)(cid:112)(cid:54)(cid:163)(cid:186)(cid:43)(cid:253)(cid:254)(cid:279)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:88)(cid:13)(cid:280)(cid:84)(cid:109)(cid:100)(cid:72)(cid:101)(cid:62)(cid:151)(cid:129)(cid:130)(cid:20)(cid:88)(cid:13)(cid:43)(cid:3)(cid:40)
(cid:188)(cid:116)(cid:281)(cid:150)(cid:224)(cid:118)(cid:119)(cid:20)(cid:232)(cid:104)(cid:44)(cid:45)(cid:217)(cid:90)(cid:185)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:29)(cid:88)(cid:13)(cid:20)(cid:277)(cid:173).
4(cid:114)（2022·北京·高考真题）(cid:179)VABC(cid:128)(cid:43)AC =3,BC =4,ÐC =90°(cid:114)P(cid:109)VABC(cid:155)(cid:179)(cid:16)(cid:17)(cid:93)(cid:20)(cid:168)(cid:4)(cid:43)(cid:154)
uuuv uuuv
PC =1(cid:43)(cid:139)PA×PB(cid:20)(cid:159)(cid:130)(cid:262)(cid:263)(cid:91)(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)[-5,3] B(cid:114)[-3,5] C(cid:114)[-6,4] D(cid:114)[-4,6]
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)D(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:260)(cid:13)(cid:163)(cid:242)(cid:228)(cid:16)(cid:17)(cid:74)(cid:72)(cid:51)(cid:52)(cid:193)(cid:43)(cid:209)Pcosq,sinq(cid:43)(cid:53)(cid:54)(cid:112) u P u A uv (cid:43) u P u B uv (cid:43)(cid:145)(cid:146)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:285)(cid:171)
(cid:72)(cid:147)(cid:133)(cid:49)(cid:46)(cid:244)(cid:101)(cid:62)(cid:20)(cid:22)(cid:134)(cid:148)(cid:24)(cid:161)(cid:162)(cid:55)
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:48)(cid:200)(cid:260)(cid:13)(cid:163)(cid:89)(cid:186)(cid:242)(cid:228)(cid:16)(cid:17)(cid:74)(cid:72)(cid:51)(cid:52)(cid:193)(cid:43)(cid:139)C0,0(cid:43)A3,0(cid:43)B0,4(cid:43)
(cid:153)(cid:109)PC =1(cid:43)(cid:155)(cid:156)P(cid:179)(cid:156)C(cid:109)(cid:286)(cid:276)(cid:43)1(cid:109)(cid:264)(cid:265)(cid:20)(cid:286)(cid:36)(cid:23)(cid:168)(cid:43)
(cid:209)Pcosq,sinq(cid:43)qÎ0,2p(cid:43)
uuuv uuuv
(cid:155)(cid:156)PA=3-cosq,-sinq(cid:43)PB=-cosq,4-sinq(cid:43)
uuuv uuuv
(cid:155)(cid:156)PA×PB=-cosq´3-cosq+4-sinq´-sinq
=cos2q-3cosq-4sinq+sin2q
=1-3cosq-4sinq
3 4
=1-5sinq+j(cid:43)(cid:50)(cid:128)sinj= (cid:43)cosj= (cid:43)
5 5
uuuv uuuv
(cid:153)(cid:109)-1£sinq+j£1(cid:43)(cid:155)(cid:156)-4£1-5sinq+j£6(cid:43)(cid:207)PA×PBÎ-4,6(cid:55)
(cid:210)(cid:211)(cid:200)D
5(cid:114)（2026·天津·高考真题）(cid:136)(cid:118) a r =a r ×b r =1(cid:43)b r >1(cid:43)(cid:213)c r =la r +mb r (cid:114)(cid:157)a r +b r -c r =0 r (cid:107)(cid:43)l+m=
r r r
__________(cid:43)(cid:157) a+b-c =1(cid:107)(cid:43)l+m(cid:20)(cid:159)(cid:130)(cid:262)(cid:263)(cid:109)__________(cid:114)
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144) 2 1,3(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:287)(cid:32)(cid:255)(cid:200)(cid:131)(cid:57)c r =la r +mb r (cid:185)a r +b r -c r =0 r (cid:162)(cid:112)l(cid:185)m(cid:20)(cid:130)(cid:43)(cid:207)(cid:161)(cid:162)(cid:112)(cid:103)(cid:208)(cid:55)
(cid:287)(cid:78)(cid:255)(cid:200)(cid:48)(cid:59)(cid:32)(cid:200)(cid:279)c r =la r +mb r (cid:197)(cid:288) a r +b r -c r =1(cid:162)1-la r +1-mb r =1(cid:43)(cid:289)(cid:290)(cid:43)(cid:258)x=1-l(cid:43)y=1-m(cid:43)
s=x+y(cid:43)(cid:197)(cid:288)(cid:291)(cid:251)(cid:29)(cid:43)(cid:162)(cid:112)s2 =1-(t2-1)y2 £1(cid:43)(cid:207)(cid:161)(cid:151)(cid:112)l+m(cid:20)(cid:159)(cid:130)(cid:262)(cid:263).
r
r r r r r
(cid:48)(cid:59)(cid:78)(cid:200)(cid:209)a=1,0(cid:43)b=1,t(cid:43)t¹0(cid:43)(cid:145)(cid:146) a+b-c =1(cid:161)(cid:209)c=2+cosq,t+sinq(cid:43)(cid:245)(cid:105)(cid:161)(cid:162)
l+m= 2+cosq(cid:43)(cid:207)(cid:161)(cid:162)(cid:159)(cid:130)(cid:262)(cid:263).
r uuur uuur r r
r uuur r uuur
(cid:48)(cid:59)(cid:100)(cid:200)(cid:132)(cid:292)(cid:209)a=OA=1,0(cid:43)b=OB=1,t(cid:43)t¹0(cid:43) c=OC(cid:43)OD=a+b=2,t(cid:43)(cid:161)(cid:118)(cid:4)C(cid:179)(cid:74)(cid:21)x=m
(cid:36)(cid:43)(cid:154)(cid:4)C(cid:179)(cid:156)D2,t(cid:109)(cid:286)(cid:276)(cid:43)(cid:264)(cid:265)(cid:109)1(cid:20)(cid:286)(cid:36)(cid:43)(cid:103)(cid:104)(cid:186)(cid:239)(cid:5)(cid:97)(cid:151)(cid:48)(cid:207)(cid:161).
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:160)(cid:13)(cid:163)(cid:43)
r r r r r r r
a =a×b =1(cid:43)b >1(cid:43)c =la+mb(cid:43)
(cid:287)(cid:32)(cid:255)(cid:200)
r r r r r r r r r
(cid:157)a+b-c=0(cid:107)(cid:43)c=a+b=la+mb(cid:43)
l=m=1(cid:43)
∴l+m=2.
∴(cid:287)(cid:78)(cid:255)(cid:200)
(cid:48)(cid:59)(cid:32)(cid:200)(cid:279)c r =la r +mb r (cid:197)(cid:288) a r +b r -c r =1(cid:162)1-la r +1-mb r =1(cid:43)
r r 2
(cid:218)(cid:212)(cid:16)(cid:177)(cid:43)(cid:162)(cid:200)(1-l)a+(1-m)b =1(cid:43)
 
r r r r
(cid:289)(cid:290)(cid:200)(1-l)2|a|2 +2(1-l)(1-m)a×b+(1-m)2|b|2=1(cid:43)
(cid:197)(cid:288)|a r |=1(cid:43)a r ×b r =1(cid:43)(cid:213)|b r |=t >1(cid:43)
(1-l)2+2(1-l)(1-m)+t2(1-m)2 =1(cid:43)
(cid:258)x=1-l(cid:43)y=1-m(cid:43)s=x+y(cid:43)
(cid:139)(cid:247)(cid:133)(cid:293)(cid:109)(cid:200)x2+2xy+t2y2 =1(cid:43)
(cid:294)(cid:177)(cid:162)(cid:200)x2+2xy+t2y2 =(x+y)2+(t2-1)y2 =s2+(t2-1)y2 =1(cid:43)
(cid:160)(cid:224) t2 >1(cid:43)(t2-1)y2 ³0(cid:43)(cid:153)(cid:106) s2 =1-(t2-1)y2 £1(cid:43)
(cid:207) |s|£1(cid:43)(cid:48)(cid:162)sÎ[-1,1](cid:43)l+m=2-sÎ2-1,2-(-1)=1,3(cid:43)
(cid:153)(cid:106)(cid:43)l+m(cid:20)(cid:159)(cid:130)(cid:262)(cid:263)(cid:109)(cid:200)[1,3].
r r r r
(cid:48)(cid:59)(cid:78)(cid:200)(cid:153)(cid:109) a =a×b =1(cid:43)b >1(cid:43)
r r r r r r r
(cid:132)(cid:292)(cid:209)a=1,0(cid:43)b=1,t(cid:43)t¹0(cid:43)(cid:139)a+b =2,t(cid:43)c =la+mb =l+m,mt(cid:43)
r
r r r
(cid:214) a+b-c =1(cid:43)(cid:209)c=2+cosq,t+sinq(cid:43)
(cid:139)l+m=2+cosqÎ1,3
.
r r r r
(cid:48)(cid:59)(cid:100)(cid:200)(cid:153)(cid:109) a =a×b =1(cid:43)b >1(cid:43)
r uuur
r uuur
(cid:132)(cid:292)(cid:209)a=OA=1,0(cid:43)b=OB=1,t(cid:43)t¹0(cid:43)(cid:207)(cid:4)B(cid:179)(cid:74)(cid:21)x=1(cid:36)(cid:43)
uuur r r
r uuur
(cid:154)c=OC(cid:43)OD=a+b=2,t(cid:43)
r r r
(cid:153)(cid:109)c =la+mb =l+m,mt(cid:43)
(cid:214)l+m=m(cid:43)(cid:161)(cid:118)(cid:4)C(cid:179)(cid:74)(cid:21)x=m(cid:36)(cid:43)(cid:10)(cid:219)(cid:74)(cid:261)(cid:160)(cid:100)(cid:4)(cid:64)(cid:21)(cid:20)(cid:103)(cid:208)(cid:161)(cid:162)(cid:112)(cid:11)(cid:43)
r r r uuur
(cid:214) a+b-c =1(cid:43)(cid:207)CD =1(cid:43)(cid:161)(cid:118)(cid:4)C(cid:179)(cid:156)D2,t(cid:109)(cid:286)(cid:276)(cid:43)(cid:264)(cid:265)(cid:109)1(cid:20)(cid:286)(cid:36)(cid:43)
(cid:139)(cid:286)D(cid:179)(cid:74)(cid:21)x=1(cid:185)x=3(cid:184)(cid:295)(cid:43)(cid:161)(cid:162)1£m£3(cid:43)(cid:207)l+mÎ1,3(cid:43)
(cid:155)(cid:156)l+m(cid:20)(cid:159)(cid:130)(cid:262)(cid:263)(cid:109)1,3
.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
6(cid:114)（2026·上海·高考真题）(cid:179)VABC(cid:128)(cid:43)D(cid:25)E(cid:179)(cid:212)BC(cid:36)(cid:43)(cid:154)BD=DE=EC(cid:43) AD =1(cid:43)AD(cid:61)AE(cid:155)(cid:227)
π uuur uuur
(cid:20)(cid:71)(cid:72)(cid:109) (cid:43)(cid:139)AB×AC(cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)____________.
339
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)-
32
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:252)(cid:131)(cid:57)AD(cid:61)AE(cid:53)(cid:54)AB(cid:25)AC (cid:43)(cid:241)(cid:279)AB×AC(cid:280)(cid:84)(cid:109)AD(cid:61)AE(cid:20)(cid:148)(cid:24)(cid:43)(cid:245)(cid:105)(cid:151)(cid:48).
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144) QAB= AD+DB= AD+ED= AD+EA+AD=2AD-AE
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 
AC = AD+DC = AD+2DE= AD+2 DA+AE =-AD+2AE
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
   
\AB×AC = 2AD-AE × -AD+2AE =-2 AD|2 +5AD×AE-2 AE|2
uuur uuur uuur π
Q AD =1 , AD(cid:61)AE(cid:155)(cid:227)(cid:20)(cid:71)(cid:72)(cid:109)
3
uuur uuur 5 uuur uuur
\AB×AC =-2+ × AE -2|AE|2
2
uuur uuur uuur 5 æ 5ö 2 39
(cid:258) AE =t >0(cid:43)(cid:139)AB×AC =-2t2+ t-2=-2çt- ÷ - ,t >0
2 è 8ø 32
uuur 5 uuur uuur 39
(cid:157) AE = (cid:107)(cid:43)AB×AC(cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)- .
8 32
39
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200)- .
32
ì1, x>0
7(cid:114)（2025·上海·高考真题）(cid:136)(cid:118) f(x)= ï í0, x=0(cid:43)a r (cid:25)b r (cid:25)c r(cid:91)(cid:16)(cid:17)(cid:93)(cid:100)(cid:120)(cid:132)(cid:273)(cid:20)(cid:198)(cid:199)(cid:18)(cid:19)(cid:114)(cid:214)
ï
î-1, x<0
r r r r r r r r r
f(a×b)+ f(b×c)+ f(c×a)=0(cid:43)(cid:139)|a+b+c|(cid:20)(cid:159)(cid:130)(cid:262)(cid:263)(cid:91)_______(cid:114)
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(1, 5)
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:131)(cid:57)(cid:5)(cid:196)(cid:101)(cid:62)(cid:130)(cid:5)(cid:6)(cid:267)(cid:208)(cid:43)(cid:161)(cid:162)  f  a r ×b r  , f  b r ×c r  , f  c r ×a r  =-1,0,1(cid:43)(cid:241)(cid:145)(cid:146)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:192)(cid:193)(cid:209)(cid:112)a r ,b r ,c r
(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:131)(cid:57)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:103)(cid:104)(cid:100)(cid:72)(cid:296)(cid:77)(cid:293)(cid:256)(cid:151)(cid:48)(cid:69)(cid:20)(cid:262)(cid:263)(cid:161)(cid:162).
 r r   r r   r r  r r r r r r
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:214) f a×b = f b×c = f c×a =0(cid:43)(cid:139)a×b=b×c=c×a=0(cid:43)
r r r
(cid:237)(cid:100)(cid:120)(cid:18)(cid:19)(cid:297)(cid:109)(cid:16)(cid:17)(cid:93)(cid:20)(cid:198)(cid:199)(cid:18)(cid:19)(cid:43)(cid:210)(cid:18)(cid:19)a,b,c(cid:218)(cid:218)(cid:73)(cid:74)(cid:43)(cid:298)(cid:253)(cid:132)(cid:227)(cid:228)(cid:55)
(cid:210)  f  a r ×b r  , f  b r ×c r  , f  c r ×a r  =-1,0,1.ì f  a r ×b r  =1
ï
ï  r r r r r r r r
(cid:132)(cid:292)(cid:209)í f b×c =0 (cid:43)(cid:139)a×b>0,b×c=0,c×a<0(cid:43)
ï r r
ïf c×a=-1
î
r r r
(cid:132)(cid:292)(cid:209)b=(1,0),c=(0,1)(cid:43)a=cosq,sinq,qÎ0,2π(cid:43)
r r
ìïa×b =cosq>0 æ3 ö
(cid:139)ír
r
(cid:43)(cid:139)qÎç π,2π÷(cid:43)
ïîc×a=sinq<0 è2 ø
r r r
(cid:139) a+b+c = (1+cosq,1+sinq) = (1+cosq)2+(1+sinq)2 = 3+2cosq+2sinq
π
= 3+2 2sin(q+ )(cid:43)
4
æ3 ö π æ7 9 ö
(cid:160)qÎç π,2π÷(cid:43)q+ Îç π, π÷(cid:43)
è2 ø 4 è4 4 ø
π æ 2 2ö π
(cid:139)sin(q+ )Îç- , ÷(cid:43)2 2sin(q+ )Î-2,2
ç ÷
4 2 2 4
è ø
r r r
(cid:210) a+b+c Î(1, 5).
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200)(1, 5).
ur uur r r ur r
8(cid:114)（2025·上海·高考真题）(cid:179)(cid:16)(cid:17)(cid:128)(cid:43)e (cid:185)e (cid:91)(cid:299)(cid:102)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:198)(cid:199)(cid:18)(cid:19)(cid:43)(cid:18)(cid:19)a(cid:137)(cid:138) a-4e =2(cid:43)(cid:18)(cid:19)b (cid:137)(cid:138)
1 2 1
r uur r r
b-6e =1(cid:43)(cid:151)b (cid:179)a(cid:177)(cid:18)(cid:36)(cid:20)(cid:62)(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)__________(cid:114)
2
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)4
uuur r uuur r
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:209)OA=a,OB=b(cid:43)(cid:145)(cid:146)(cid:13)(cid:163)(cid:43)(cid:151)(cid:162)A,B(cid:155)(cid:179)(cid:286)(cid:20)(cid:286)(cid:276)(cid:185)(cid:264)(cid:265)(cid:55)(cid:241)(cid:145)(cid:146)(cid:62)(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:20)(cid:163)(cid:246)(cid:43)(cid:62)(cid:239)(cid:103)(cid:104)
(cid:207)(cid:161)(cid:151)(cid:162)(cid:103)(cid:178).
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:13)(cid:163)(cid:132)(cid:292)(cid:209)e ur =1,0(cid:43)e uur =0,1(cid:43)a r =x,y(cid:43)b r =m,n(cid:43)
1 2
r ur r uur
(cid:139)a-4e =x-4,y,b-6e =m,n-6(cid:43)
1 2
(cid:160) a r -4e ur =2(cid:161)(cid:162)x-42+y2 =4(cid:43)(cid:160)b r -6e uur =1(cid:161)(cid:162)m2+n-62 =1(cid:55)
1 2
(cid:209)O uu A ur =a r ,O uu B ur =b r (cid:43)(cid:210)A(cid:179)(cid:156)C 4,0(cid:109)(cid:286)(cid:276)(cid:43)2(cid:109)(cid:264)(cid:265)(cid:20)(cid:286)(cid:36)(cid:55)
1
B(cid:179)(cid:156)C 0,6(cid:109)(cid:286)(cid:276)(cid:43)1(cid:109)(cid:264)(cid:265)(cid:20)(cid:286)(cid:36)(cid:55)
2
r r
(cid:300)B(cid:108)BD^OA(cid:224)D(cid:43)(cid:139)OD(cid:207)(cid:109)b (cid:179)a(cid:36)(cid:20)(cid:62)(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:43)(cid:89)(cid:301)(cid:155)(cid:54)(cid:200)(cid:153)(cid:109)A,B(cid:5)(cid:249)(cid:109)(cid:218)(cid:286)(cid:36)(cid:302)(cid:163)(cid:168)(cid:4)(cid:43)(cid:132)(cid:292)(cid:303)(cid:28)B(cid:43)(cid:139)OB(cid:109)(cid:28)(cid:70)(cid:43)
r r
(cid:209)a,b =q(cid:43)(cid:207)ÐAOB=q(cid:43)(cid:210)OD = OB ×cosq(cid:43)
(cid:153)(cid:109)(cid:106)(cid:107)OB (cid:109)(cid:28)(cid:70)(cid:43)(cid:154)q=ÐAOB<180°(cid:43)
(cid:210)(cid:304)(cid:305)q(cid:20)(cid:60)(cid:176)(cid:43)cosq(cid:306)(cid:140)(cid:43)(cid:74)(cid:307)OA(cid:308)(cid:309)(cid:61)(cid:286)C (cid:102)(cid:266)(cid:107)(cid:43)OD (cid:159)(cid:162)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:43)(cid:89)(cid:301)(cid:155)(cid:54)(cid:200)
1
(cid:179)OA(cid:61)(cid:286)C (cid:102)(cid:266)(cid:20)(cid:26)(cid:310)(cid:36)(cid:43)(cid:311)(cid:168)(cid:4)B(cid:43)(cid:300)C (cid:108)C E^OA(cid:224)E(cid:43)(cid:210)OD = OE + ED (cid:55)
1 2 2
(cid:179) C AO(cid:128)(cid:43)ÐC AO=90°(cid:43)C A=2,OC =4(cid:43)
1 1 1 1
△
(cid:210)ÐAOC =30°,ÐC OE=60°(cid:43)(cid:153)(cid:109)OC =6,
1 2 2(cid:210)(cid:179)(cid:74)(cid:72)(cid:100)(cid:72)(cid:239)C OE(cid:128)(cid:43)OC =2OE (cid:43)(cid:139)OE=3(cid:43)(cid:207)OD = OE + ED =3+ ED (cid:55)
2 2
(cid:179)(cid:312)(cid:212)(cid:239)BDEC (cid:128)(cid:43)(cid:153)(cid:109)ÐDEC =ÐC ED=90°(cid:43)(cid:210) DE £ BC =1(cid:43)
2 2 2 2
(cid:157)(cid:154)(cid:313)(cid:157)BC // DE(cid:107)(cid:77)(cid:314)(cid:227)(cid:228)(cid:43)(cid:238)(cid:105)OD =3+ ED £3+1=4.
2
r r
(cid:232)(cid:36)(cid:155)(cid:233)(cid:200)b (cid:179)a(cid:177)(cid:18)(cid:36)(cid:20)(cid:62)(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)4.
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200)4.
(cid:141)(cid:4)(cid:274)(cid:144)(cid:192)(cid:315)(cid:4)(cid:4)(cid:274)(cid:200)(cid:284)(cid:29)(cid:27)(cid:13)(cid:20)(cid:192)(cid:315)(cid:43)(cid:32)(cid:91)(cid:316)(cid:317)(cid:62)(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:163)(cid:246)(cid:55)(cid:78)(cid:91)(cid:150)(cid:218)(cid:120)(cid:23)(cid:168)(cid:20)(cid:4)A,B(cid:43)(cid:318)(cid:57)
(cid:32)(cid:28)(cid:32)(cid:168)(cid:20)(cid:284)(cid:29)(cid:319)(cid:320)(cid:43)(cid:238)(cid:105)(cid:151)(cid:48)(cid:129)(cid:140)(cid:130).
uuur uuur uuur uuur uuur
9(cid:114)（2024·天津·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:46)(cid:177)(cid:239)ABCD(cid:20)(cid:212)(cid:70)(cid:109)1(cid:43)DE=2EC,(cid:214)BE=lBA+mBC(cid:43)(cid:50)(cid:128)l,m(cid:109)(cid:321)
uuur uuur
(cid:62)(cid:43)(cid:139)l+m=______(cid:55)(cid:209)F (cid:91)(cid:21)(cid:196)BE(cid:36)(cid:20)(cid:168)(cid:4)(cid:43)G(cid:109)(cid:21)(cid:196)AF (cid:20)(cid:128)(cid:4)(cid:43)(cid:139)AF×DG(cid:20)(cid:129)(cid:176)(cid:130)(cid:109)______(cid:114)
4 5
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144) -
3 18
 uuur uuur  uuur uuur uur uuur uuur
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:48)(cid:59)(cid:32)(cid:200)(cid:156) BA,BC (cid:109)(cid:26)(cid:240)(cid:18)(cid:19)(cid:43)(cid:145)(cid:146)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:151)BE(cid:43)(cid:207)(cid:161)(cid:162)l+m(cid:43)(cid:209)BF =kBE(cid:43)(cid:151)AF,DG(cid:43)
uuur uuur uuur
(cid:103)(cid:104)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:15)(cid:151)AF×DG(cid:20)(cid:129)(cid:176)(cid:130)(cid:55)(cid:48)(cid:59)(cid:78)(cid:200)(cid:242)(cid:193)(cid:52)(cid:4)(cid:43)(cid:145)(cid:146)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:151)BE(cid:43)(cid:207)(cid:161)(cid:162)l+m(cid:43)
uuur uuur
 1  uuur uuur
(cid:209)Fa,-3a,aÎ
ê
- ,0
ú
(cid:43)(cid:151)AF,DG(cid:43)(cid:103)(cid:104)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:151)AF×DG(cid:20)(cid:129)(cid:176)(cid:130).
 3 
uur uuur uur uur uuur
1 uuur 1uuur 1
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:48)(cid:59)(cid:32)(cid:200)(cid:153)(cid:109)CE= DE(cid:43)(cid:207)CE= BA(cid:43)(cid:139)BE=BC+CE= BA+BC(cid:43)
2 3 3
1 4
(cid:161)(cid:162)l= ,m=1(cid:43)(cid:155)(cid:156)l+m= (cid:55)
3 3
uuur uuur uuur uuur
(cid:160)(cid:13)(cid:163)(cid:161)(cid:118)(cid:200) BC = BA =1,BA×BC =0(cid:43)
uuur uuur 1 uuur uuur
(cid:153)(cid:109)F (cid:109)(cid:21)(cid:196)BE(cid:36)(cid:20)(cid:168)(cid:4)(cid:43)(cid:209)BF =kBE= kBA+kBC,kÎ0,1(cid:43)
3
uuur uuur uuur uuur uuur æ1 öuuur uuur
(cid:139)AF = AB+BF = AB+kBE=ç k-1÷BA+kBC(cid:43)
è3 øuuur uuur uuur uuur 1uuur 1æ1 öuuur æ1 öuuur
(cid:237)(cid:153)(cid:109)G(cid:109)AF (cid:128)(cid:4)(cid:43)(cid:139)DG=DA+AG=-BC+ AF = ç k-1÷BA+ç k-1÷BC(cid:43)
2 2è3 ø è2 ø
uuur uuur æ1 öuuur uuur 1æ1 öuuur æ1 öuuur
(cid:161)(cid:162)AF×DG= êç k-1÷BA+kBC ú × ê ç k-1÷BA+ç k-1÷BC ú
è3 ø  2è3 ø è2 ø 
1æ1 ö 2 æ1 ö 5æ 6ö 2 3
= ç k-1÷ +kç k-1÷= çk- ÷ - (cid:43)
2è3 ø è2 ø 9è 5ø 10
uuur uuur 5
(cid:237)(cid:153)(cid:109)kÎ0,1(cid:43)(cid:161)(cid:118)(cid:200)(cid:157)k=1(cid:107)(cid:43)AF×DG(cid:159)(cid:216)(cid:129)(cid:176)(cid:130)- (cid:55)
18
(cid:48)(cid:59)(cid:78)(cid:200)(cid:156)B(cid:109)(cid:51)(cid:52)(cid:247)(cid:4)(cid:242)(cid:228)(cid:16)(cid:17)(cid:74)(cid:72)(cid:51)(cid:52)(cid:193)(cid:43)(cid:89)(cid:186)(cid:155)(cid:54)(cid:43)
æ 1 ö
(cid:139)A-1,0,B0,0,C0,1,D-1,1,Eç- ,1÷(cid:43)
è 3 ø
uuur uuur uuur æ 1 ö
(cid:161)(cid:162)BA=-1,0,BC =0,1,BE=ç- ,1÷(cid:43)
è 3 ø
ì 1
uuur uuur uuur ï-l=- 4
(cid:153)(cid:109)BE=lBA+mBC =-l,m(cid:43)(cid:139)í 3(cid:43)(cid:155)(cid:156)l+m= (cid:55)
3
ï îm=1
 1   1 
(cid:153)(cid:109)(cid:4)F (cid:179)(cid:21)(cid:196)BE:y=-3x,xÎ
ê
- ,0
ú
(cid:36)(cid:43)(cid:209)Fa,-3a,aÎ
ê
- ,0
ú
(cid:43)
 3   3 
æa-1 3 ö
(cid:154)G(cid:109)AF (cid:128)(cid:4)(cid:43)(cid:139)Gç ,- a÷(cid:43)
è 2 2 ø
uuur uuur æa+1 3 ö
(cid:161)(cid:162)AF =a+1,-3a,DG=ç ,- a-1÷(cid:43)
è 2 2 ø
uuur uuur a+12 æ 3 ö æ 2ö 2 3
(cid:139)AF×DG= +-3a ç- a-1÷=5ça+ ÷ - (cid:43)
2 è 2 ø è 5ø 10
 1  1 uuur uuur 5
(cid:154)aÎ
ê
- ,0
ú
(cid:43)(cid:155)(cid:156)(cid:157)a=- (cid:107)(cid:43)AF×DG(cid:159)(cid:216)(cid:129)(cid:176)(cid:130)(cid:109)- (cid:55)
 3  3 18
4 5
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200) (cid:55)- .
3 18
uuur 1uuur uuur 1uuur uuur r uuur r
10(cid:114)（2023·天津·高考真题）(cid:179)VABC(cid:128)(cid:43)BC =1(cid:43)ÐA=60o(cid:43)AD= AB,CE= CD(cid:43)(cid:213)AB=a,AC =b (cid:43)
2 2
r r uuur uuur 1uuur uuur uuur
(cid:57)a,b (cid:53)(cid:54)AE=_________(cid:55)(cid:214)BF = BC(cid:43)(cid:139)AE×AF(cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)_________(cid:114)
31r 1r 13
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144) a+ b
4 2 24
r r uuur
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:255)1(cid:200)(cid:145)(cid:146)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:103)(cid:104)E(cid:109)CD(cid:20)(cid:128)(cid:4)(cid:245)(cid:183)(cid:151)(cid:48)(cid:55)(cid:255)2(cid:200)(cid:57)a,b (cid:53)(cid:54)(cid:112)AF (cid:43)(cid:103)(cid:104)(cid:36)(cid:32)(cid:255)
uuur uuur r r
(cid:142)(cid:143)(cid:43)(cid:224)(cid:91)AE×AF(cid:161)(cid:160)a,b (cid:53)(cid:54)(cid:43)(cid:253)(cid:254)(cid:145)(cid:146)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:185)(cid:26)(cid:27)(cid:132)(cid:77)(cid:133)(cid:151)(cid:48).
uuur uuur uuur
uuur uuur r ì ïAE+ED= AD
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:255)1(cid:200)(cid:153)(cid:109)E(cid:109)CD(cid:20)(cid:128)(cid:4)(cid:43)(cid:139)ED+EC =0(cid:43)(cid:161)(cid:162)íuuur uuur uuur(cid:43)
ïîAE+EC = AC
uuur uuur uuur
(cid:218)(cid:133)(cid:102)(cid:58)(cid:43)(cid:161)(cid:162)(cid:216)2AE= AD+AC(cid:43)
uuur 1r r uuur 1r 1r
(cid:207)2AE= a+b(cid:43)(cid:139)AE= a+ b(cid:55)
2 4 2
uuur uuur uuur
uuur 1uuur uuur uuur r ì ïAF+FC = AC
(cid:255)2(cid:200)(cid:153)(cid:109)BF = BC(cid:43)(cid:139)2FB+FC =0(cid:43)(cid:161)(cid:162)íuuur uuur uuur (cid:43)
3 ïîAF+FB= AB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 
(cid:162)(cid:216)AF+FC+2 AF+FB = AC+2AB(cid:43)
uuur r r uuur 2r 1r
(cid:207)3AF =2a+b(cid:43)(cid:207)AF = a+ b.
3 3
uuur uuur æ1r 1rö æ2r 1rö 1  r 2 r r r 2
(cid:224)(cid:91)AE×AF =ç a+ b÷×ç a+ b÷= 2a +5a×b+2b .
è4 2 ø è3 3 ø 12
(cid:213)AB=x,AC = y(cid:43)
(cid:139) u A u E ur × u A u F ur = 1  2a r 2 +5a r ×b r +2b r 2 = 1  2x2+5xycos60o+2y2 = 1 æ ç2x2+ 5xy +2y2 ö ÷(cid:43)
12 12 12è 2 ø
(cid:179)VABC(cid:128)(cid:43)(cid:145)(cid:146)(cid:243)(cid:244)(cid:28)(cid:29)(cid:200)BC2 =x2+y2-2xycos60o =x2+y2-xy=1(cid:43)
uuur uuur 1 æ 5xy ö 1 æ9xy ö
(cid:224)(cid:91)AE×AF = ç2xy+ +2÷= ç +2÷(cid:43)
12è 2 ø 12è 2 ø
(cid:160)x2 + y2 -xy=1(cid:185)(cid:26)(cid:27)(cid:132)(cid:77)(cid:133)(cid:43)x2+y2-xy=1³2xy-xy=xy(cid:43)
(cid:210)xy£1(cid:43)(cid:157)(cid:154)(cid:313)(cid:157)x= y=1(cid:159)(cid:162)(cid:77)(cid:314)(cid:43)
uuur uuur 13
(cid:139)x= y=1(cid:107)(cid:43)AE×AF(cid:272)(cid:129)(cid:140)(cid:130) .
24
1r 1r 13
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200) a+ b(cid:55) .
4 2 24
uuur uuur uuur
11(cid:114)（2022·浙江·高考真题）(cid:209)(cid:4)P(cid:179)(cid:198)(cid:199)(cid:286)(cid:20)(cid:93)(cid:261)(cid:46)(cid:322)(cid:212)(cid:239)A
1
A
2
LA
8
(cid:20)(cid:212)A
1
A
2
(cid:36)(cid:43)(cid:139)PA
1
2 +PA
2
2 +L+PA
8
2(cid:20)(cid:159)(cid:130)(cid:262)(cid:263)(cid:91)_______(cid:114)
(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)[12+2 2,16]
(cid:141)(cid:5)(cid:97)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:46)(cid:322)(cid:212)(cid:239)(cid:20)(cid:103)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:43)(cid:5)(cid:249)(cid:156)(cid:286)(cid:276)(cid:109)(cid:247)(cid:4)(cid:43)A A (cid:155)(cid:179)(cid:74)(cid:21)(cid:109)x(cid:326)(cid:43)A A (cid:155)(cid:179)(cid:74)(cid:21)(cid:109)y(cid:326)(cid:242)(cid:228)
7 3 5 1
(cid:16)(cid:17)(cid:74)(cid:72)(cid:51)(cid:52)(cid:193)(cid:43)(cid:207)(cid:161)(cid:151)(cid:112)(cid:327)(cid:328)(cid:4)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:209)P(x,y)(cid:43)(cid:241)(cid:145)(cid:146)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:69)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:148)(cid:24)(cid:147)(cid:133)(cid:207)(cid:161)(cid:162)(cid:216)
uuur uuur uuur
PA
1
2 +PA
2
2 +L+PA
8
2 =8  x2+y2 +8(cid:43)(cid:253)(cid:254)(cid:131)(cid:57)cos22.5o £|OP|£1(cid:207)(cid:161)(cid:48)(cid:112)(cid:114)
(cid:141)(cid:152)(cid:48)(cid:144)(cid:156)(cid:286)(cid:276)(cid:109)(cid:247)(cid:4)(cid:43)A A (cid:155)(cid:179)(cid:74)(cid:21)(cid:109)x(cid:326)(cid:43)A A (cid:155)(cid:179)(cid:74)(cid:21)(cid:109)y(cid:326)(cid:242)(cid:228)(cid:16)(cid:17)(cid:74)(cid:72)(cid:51)(cid:52)(cid:193)(cid:43)(cid:89)(cid:186)(cid:155)(cid:54)(cid:200)
7 3 5 1
æ 2 2ö æ 2 2ö æ 2 2ö æ 2 2ö
(cid:139)A(0,1),A ç , ÷,A (1,0),A ç ,- ÷,A (0,-1),A ç- ,- ÷,A (-1,0),A ç- , ÷(cid:43)(cid:209)
1 2ç 2 2 ÷ 3 4ç 2 2 ÷ 5 6ç 2 2 ÷ 7 8ç 2 2 ÷
è ø è ø è ø è ø
uuur uuur uuur
P(x,y),(cid:224)(cid:91)PA
1
2 +PA
2
2 +L+PA
8
2 =8  x2+y2 +8(cid:43)
1+cos45o uuur uuur uuur
(cid:153)(cid:109)cos22.5o £|OP|£1(cid:43)(cid:155)(cid:156)
2
£x2+y2 £1(cid:43)(cid:210)PA
1
2 +PA
2
2 +L+PA
8
2(cid:20)(cid:159)(cid:130)(cid:262)(cid:263)(cid:91)[12+2 2,16].
(cid:210)(cid:142)(cid:143)(cid:109)(cid:200)[12+2 2,16](cid:114)