专题05导数及其应用(解答题)(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

04
专题 导数及其应用（解答题）
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)2026(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)Ⅱ(cid:26)
2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)2025(cid:34)(cid:35)(cid:26)(cid:27)
2025(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:3)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:17)(cid:20)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:41)(cid:44)(cid:5)(cid:45)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) 2024(cid:8)(cid:28)(cid:36)(cid:3)(cid:26)Ⅱ(cid:27)2024(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:37)
(cid:46)(cid:23)(cid:22)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:27)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:53)
(cid:17)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:18)(cid:23)(cid:22) (cid:26)(cid:27)2024(cid:34)(cid:35)(cid:26)
(cid:54)(cid:48)(cid:55)(cid:13)
2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:26)(cid:27)2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:38)
(cid:26)(cid:27)2023(cid:34)(cid:35)(cid:26)
2022(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:37)(cid:26)
2026(cid:34)(cid:35)(cid:26)(cid:27)2026(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) 2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:26)(cid:27)2025(cid:58)(cid:59)(cid:26)(cid:27) (cid:3)(cid:39)(cid:56)(cid:4)(cid:20)(cid:62)(cid:17)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:17)(cid:5)(cid:6)(cid:42)
(cid:17)(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:55)(cid:13) 2024(cid:34)(cid:35)(cid:26) (cid:43)(cid:27)(cid:63)(cid:56)(cid:4)(cid:48)(cid:55)(cid:13)
2022(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:26)(cid:27)2022(cid:60)(cid:61)(cid:26)
2026(cid:58)(cid:59)(cid:26)
2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:26)(cid:27)=2025(cid:58)(cid:59)(cid:26)
2024(cid:8)(cid:28)(cid:36)(cid:3)(cid:26)Ⅰ(cid:27)2024(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:37)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:16)(cid:17)(cid:64)(cid:20) (cid:3)(cid:39)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:65)(cid:66)(cid:10)(cid:72)(cid:73)(cid:27)(cid:74)(cid:75)(cid:11)(cid:27)
(cid:26)(cid:27)2024(cid:58)(cid:59)(cid:26)(cid:27)2024(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:27)(cid:28)(cid:82)(cid:83)(cid:48)(cid:55)
2023(cid:8)(cid:28)(cid:36)(cid:3)(cid:26)Ⅰ(cid:27)2023(cid:8)(cid:28)(cid:36)(cid:3)
(cid:70)(cid:71)(cid:55)(cid:13) (cid:13)
(cid:26)Ⅱ(cid:27)2023(cid:58)(cid:59)(cid:26)(cid:27)2023(cid:24)(cid:25)(cid:26)
2022(cid:8)(cid:28)(cid:36)(cid:3)(cid:26)Ⅱ(cid:27)2022(cid:34)(cid:35)(cid:26)(cid:27)
2022(cid:60)(cid:61)(cid:26)
考点 01 导数与函数的极值与最值
1
1(cid:84)（2026·上海·高考真题）(cid:85)(cid:78)aÎR(cid:86)(cid:19)(cid:17) f x=x2+ax+3(cid:86)gx=4x+ (cid:84)
x2
1
(1)(cid:85)(cid:78) f 1=4(cid:86)(cid:46) f x+ >gx(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)
x2(2)(cid:85)(cid:78)a¹0(cid:86)l (cid:90) f x(cid:91)(cid:4)0,3(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:86)l (cid:90)(cid:95)(cid:4)0,3(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)l (cid:20)(cid:98)(cid:94)(cid:86)gx(cid:18)l (cid:27)l (cid:91)(cid:100)(cid:33)(cid:101)(cid:102)(cid:103)
1 2 1 1 2
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:4)(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)-¥,0
U
0,1
U
3,+¥
æ 1ö
(2)ç-¥,- ÷È0,2
è 2ø
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:46)(cid:116)(cid:41)(cid:17)a(cid:86)(cid:87)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:117)(cid:118)(cid:46)(cid:116)x(cid:20)(cid:109)(cid:110)(cid:89)
1
(cid:10)2(cid:11)(cid:46)(cid:116)(cid:98)(cid:94)l (cid:18)l (cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:86)(cid:121)(cid:71)gx(cid:18)l (cid:27)l (cid:91)(cid:100)(cid:33)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:4)(cid:86)(cid:122)(cid:116)gx=4x+ =ax+3(cid:18)
1 2 1 2 x2
1 1 1 1 3
gx=4x+ =- x+3(cid:105)(cid:123)(cid:124)(cid:17)(cid:87)(cid:86)(cid:5)(cid:45)(cid:41)(cid:17)(cid:86)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:98)(cid:94)y=a(cid:18)y=- (cid:18)(cid:128)(cid:94)hx= - +4(cid:91)x>0
x2 a a x3 x
(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:80)(cid:4)(cid:86)(cid:129)hx(cid:46)(cid:16)(cid:42)(cid:43)(cid:76)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:122)(cid:116)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:23)(cid:22)(cid:86)(cid:133)(cid:52)(cid:47)(cid:48)(cid:134)(cid:135)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:46)(cid:116)(cid:124)(cid:17)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110).
1
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:86)x¹0.(cid:91) f x=x2+ax+3(cid:18)gx=4x+ (cid:64)(cid:86)
x2
f 1=12+a+3=4(cid:86)(cid:87)(cid:122)a=0(cid:86) f x=x2+3(cid:86)
1 ∴
f x+ >gx(cid:86)
x2
∵ì 1 1
ïx2+3+ >4x+
í x2 x2 (cid:86)(cid:87)(cid:122)x<0(cid:139)0<x<1(cid:139)x>3(cid:86)
ï îx¹0
∴
(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:127)-¥,0È0,1È3,+¥
.
∴
(cid:10)2(cid:11)(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:78)a¹0(cid:86)(cid:137) f x=x2+ax+3(cid:86)(cid:122) f¢x=2x+a(cid:86)
f¢0=0+a=a.
∴
(cid:98)(cid:94)l (cid:127) f x(cid:91)(cid:4)0,3(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:86)
1
∵
(cid:98)(cid:94)l (cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y-3=ax-0(cid:86)(cid:117)y=ax+3(cid:86)
1
∴
l (cid:90)(cid:95)(cid:4)0,3(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)l (cid:20)(cid:98)(cid:94)(cid:86)
2 1
∵ 1 1
(cid:98)(cid:94)l (cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:127)(cid:140)y-3=- x-0(cid:86)(cid:117)y=- x+3(cid:86)
2 a a
∴ 1
(cid:129)(cid:99)(cid:19)(cid:17)gx=4x+ (cid:86)x¹0(cid:86)(cid:128)(cid:94)gx(cid:18)l (cid:27)l (cid:91)(cid:100)(cid:33)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:4)(cid:86)
x2 1 2
1 1 1
gx=4x+ =ax+3(cid:18)gx=4x+ =- x+3(cid:105)(cid:123)(cid:124)(cid:17)(cid:87)(cid:86)
x2 x2 a
∴ 1 3 1 1 3
(cid:5)(cid:45)(cid:41)(cid:17)(cid:122)(cid:86)a= - +4(cid:86)- = - +4(cid:86)
x3 x a x3 x1 1 3
(cid:98)(cid:94)y=a(cid:18)y=- (cid:18)(cid:128)(cid:94)hx= - +4(cid:91)0,+¥(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:80)(cid:4)(cid:86)
a x3 x
∴ 3 3 3x2-3 3x-1x+1
(cid:141)h¢x= - = = (cid:86)
x2 x4 x4 x4
(cid:142)h¢x=0(cid:143)(cid:86)(cid:87)(cid:122)x=-1(cid:10)(cid:144)(cid:11)(cid:139)x=1(cid:86)
(cid:142)h¢x<0(cid:117)0<x<1(cid:143)(cid:86)(cid:19)(cid:17)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
∴
(cid:142)h¢x>0(cid:117)x>1(cid:143)(cid:86)(cid:19)(cid:17)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
3
hx(cid:91)x=1(cid:92)(cid:108)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:86)hx =h1=1- +4=2.
min 1
∴
(cid:142)x®0(cid:143)(cid:86)hx®+¥(cid:86)(cid:142)x®+¥(cid:143)(cid:86)hx®4(cid:86)
1 1
a<2(cid:96)- <2(cid:86)(cid:117)a<- (cid:139)0<a<2(cid:86)
a 2
∴ æ 1ö
(cid:124)(cid:17)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:127)ç-¥,- ÷È0,2.
è 2ø
∴
2(cid:84)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=xex+ax+b(cid:86)(cid:128)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4) 0, f 0 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)
y=-2x+1(cid:84)
(1)(cid:46)a(cid:86)b(cid:89)
(2)(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86) f x+m-f x>m(cid:86)(cid:46)m(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:89)
(3)(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86) f k+x+ f k-x>2f k(cid:86)(cid:46)k(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)a=-3,b=1
(2)
2ln2,+¥
(3)-2
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:149)(cid:69)(cid:16)(cid:17)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:133)(cid:52)(cid:119)(cid:120)(cid:46)(cid:87)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:152)(cid:33)(cid:140)(cid:74)(cid:75)(cid:153)(cid:19)(cid:17)g(x)=(x+m)ex+m-xex-4m(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:154)(cid:155)(cid:20)(cid:44)(cid:126)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:156)(cid:141)
(cid:137)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:87)(cid:41)(cid:17)(cid:109)(cid:110)(cid:117)(cid:118)(cid:89)(cid:152)(cid:57)(cid:140)(cid:157)(cid:137)(cid:158)(cid:159)(cid:132)(cid:160)(cid:161)(cid:5)(cid:115)(cid:162)(cid:4)(cid:86)(cid:142)x®0+(cid:86)g(x)®mem-4m(cid:163)(cid:82)(cid:162)(cid:4)
0,2ln2(cid:89)(cid:164)(cid:149)(cid:69)(cid:162)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:10)3(cid:11)(cid:152)(cid:33)(cid:140)(cid:74)(cid:75)(cid:153)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:165)(cid:4)(cid:166)(cid:70)(cid:5)(cid:115)(cid:162)(cid:4)(cid:86)(cid:164)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:118)(cid:122)(cid:89)(cid:152)(cid:57)(cid:140)(cid:5)(cid:45)(cid:41)(cid:17)(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:167)(cid:158)(cid:168)(cid:152)(cid:169)(cid:46)
(cid:87).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11) f(x)=xex+ax+b,xÎR(cid:86)(cid:137)(cid:93)(cid:4)(0, f(0))(cid:91)(cid:98)(cid:94)y=-2x+1(cid:24)(cid:86)(cid:170)(cid:91)(cid:19)(cid:17) f(x)(cid:171)(cid:101)(cid:24)(cid:86)
(cid:118)(cid:78) f(0)=-2´0+1=1(cid:96) f(0)=0×e0+a×0+b=b(cid:86)(cid:118)(cid:122)b=1(cid:89)
(cid:137) f¢(x)=(x+1)ex+a(cid:86)(cid:169)(cid:93)(cid:94)(cid:20)(cid:172)(cid:173)(cid:127) f¢(0)=1+a=-2(cid:86)
(cid:87)(cid:122)a=-3(cid:89)
(cid:174)a=-3,b=1.
(cid:10)2(cid:11)(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:78)(cid:86) f(x)=xex-3x+1(cid:86)
(cid:169) f(x+m)-f(x)-m=(x+m)ex+m-xex-3(x+m)+3x-m
=(x+m)ex+m-xex-4m(cid:86)
(cid:174)(cid:13)(cid:138)(cid:118)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(x+m)ex+m-xex-4m>0(cid:129)(cid:175)(cid:138)xÎR+(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
(cid:152)(cid:33)(cid:140)(cid:176)g(x)=(x+m)ex+m-xex-4m(cid:86)x>0(cid:86)
(cid:169)g¢(x)=(x+m+1)ex+m-(x+1)ex =exéx+m+1em-(x+1)ù(cid:86)
ë û
(cid:142)m>0(cid:143)(cid:86)(cid:137)x+m+1>x+1>0(cid:96)em >1>0(cid:86)
(cid:169)x+m+1em-(x+1)>0(cid:86)(cid:117)g¢(x)>0(cid:86)
(cid:169)g(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:177)g(0)=mem-4m(cid:86)
(cid:159)(cid:178)g(x)>0(cid:129)(cid:175)(cid:138)xÎR+(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
(cid:169)mem-4m³0(cid:86)(cid:87)(cid:122)m³2ln2(cid:89)
(cid:142)m=0(cid:143)(cid:86) f(x+m)-f(x)=0>0(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:89)
(cid:142)m<0(cid:143)(cid:86)0<em <1(cid:86)x+m+1<x+1(cid:86)(cid:96)x+1>0(cid:86)
(cid:169)x+m+1em-(x+1)<x+1em-(x+1)=(x+1)  em-1  <0(cid:86)
(cid:117)g¢(x)<0(cid:86)(cid:169)g(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(cid:177)(cid:142)x®+¥(cid:143)(cid:86)g(x)®-¥(cid:86)(cid:47)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
(cid:68)(cid:24)(cid:181)(cid:182)(cid:86)m(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:127)2ln2,+¥
.
(cid:152)(cid:57)(cid:140)
(x+m)ex+m-xex-4m
(cid:47)(cid:48)(cid:49)(x+m)ex+m-xex-4m>0(cid:118)(cid:125)(cid:126)(cid:127) >0(cid:86)
ex
4m
(cid:117)(x+m)em-x- >0(cid:129)(cid:175)(cid:138)xÎR+(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
ex(cid:142)m=0(cid:143)(cid:86) f(x+m)-f(x)=0>0(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:89)
4m
(cid:142)m<0(cid:143)(cid:86)(cid:183)h(x)=(x+m)em-x- (cid:86)x>0(cid:86)
ex
(cid:142)x®+¥(cid:143)(cid:86)(cid:137)m<0(cid:86)(cid:118)(cid:78)em-1<0(cid:86)
4m
h(x)=  em-1  x+mem- ®-¥(cid:86)
ex
(cid:184)(cid:18)h(x)>0(cid:129)(cid:175)(cid:138)xÎR+(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:185)(cid:186)(cid:89)
(cid:142)0<m<2ln2(cid:143)(cid:86)h(0)=mem-4m=m  em-4  <0(cid:86)
h(2ln2)=h(ln4)=(m+ln4)em-ln4-m >(m+ln4)×1-ln4-m=0(cid:86)
4m
(cid:137)h¢(x)=em-1+ >0(cid:86)(cid:174)h(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
ex
(cid:174)h(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:183)(cid:127)x (cid:86)
0
(x+m)ex+m-xex-4m
(cid:96)(cid:142)0<x<x (cid:143)(cid:86)h(x)<hx =0(cid:86)(cid:117) <0(cid:86)
0 0 ex
(cid:189)(cid:143)(cid:47)(cid:48)(cid:49) f(x+m)-f(x)>m(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:89)
4m
(cid:142)m³2ln2(cid:143)(cid:86)h¢(x)=em-1+ >0(cid:86)
ex
(cid:169)h(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:137)x>0(cid:86)(cid:174)h(x)>h(0)=mem-4m³0(cid:86)
4m
(cid:174)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(x+m)em-x- >0(cid:86)(cid:117) f(x+m)-f(x)>m(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
ex
(cid:68)(cid:24)(cid:181)(cid:182)(cid:86)m(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:127)2ln2,+¥(cid:89)
(cid:10)3(cid:11)(cid:152)(cid:33)(cid:140)(cid:183)F(x)= f(x+k)+ f(k-x)-2f(k),x>0(cid:86)
(cid:169)F¢(x)= f¢(x+k)- f¢(k-x)=(x+k+1)ex+k -(k-x+1)ek-x
=(x+k+1)ex+k +(x-k-1)ek-x(cid:86)
(cid:176)t(x)=(x+k+1)ex+k +(x-k-1)ek-x(cid:86)
(cid:169)t¢(x)=(x+k+2)ex+k +(2+k-x)ek-x(cid:86)
(cid:76)(cid:64)F(0)=0(cid:86)F¢(0)=0(cid:86)t¢(0)=2(k+2)ek.
(cid:142)k =-2(cid:143)(cid:86)t¢(x)=xex-2+(-x)e-2-x =xe-2 ex-e-x >0(cid:86)
(cid:169)F¢(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:174)F¢(x)>F¢(0)=0(cid:86)(cid:174)F(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:174)F(x)>F(0)=0(cid:86)
(cid:117)(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86) f(x+k)+ f(k-x)>2f(k)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
(cid:142)k >-2(cid:143)(cid:86)(cid:183)j(k)=(x+k+2)ex+k +(2+k-x)ek-x
=éex(k+x+2)+e-x(k-x+2)ùek
ë û
=é ex+e-x
(k+2)+x
 ex-e-xùek(cid:86)
ë û
(cid:137)x>0,k >-2(cid:86)(cid:118)(cid:78)ex+e-x >0(cid:96)k+2>0(cid:86)
(cid:169)
 ex+e-x
(k+2)+x
 ex-e-x
>0(cid:86)(cid:118)(cid:78)j(k)(cid:91)(-2,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:174)j(k)>j(-2)=xex-2+(-x)e-2-x =xe-2 ex-e-x >0(cid:86)(cid:117)t¢(x)>0(cid:86)
(cid:174)F¢(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:174)F¢(x)>F¢(0)=0(cid:86)
(cid:174)F(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:174)F(x)>F(0)=0(cid:86)
(cid:117)(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86) f(x+k)+ f(k-x)>2f(k)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
(cid:142)k <-2(cid:143)(cid:86)(cid:189)(cid:143)t¢(0)=2(k+2)ek <0(cid:86)(cid:177)F¢(0)=0(cid:86)
(cid:169)(cid:187)(cid:91)(cid:123)(cid:124)(cid:17)x (cid:86)(cid:178)(cid:122)"xÎ0,x (cid:86)F¢(x)<0(cid:86)
0 0
(cid:169)F(x)(cid:91)0,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:169)F(x)<F(0)=0(cid:86)
0
(cid:117)(cid:142)0<x<x (cid:86) f(x+k)+ f(k-x)<2f(k)(cid:86)(cid:47)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
0
(cid:68)(cid:24)(cid:181)(cid:182)(cid:86)k ³-2(cid:86)(cid:117)k(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:127)-2.
(cid:152)(cid:57)(cid:140)(cid:137) f(x+k)+ f(k-x)>2f(k)(cid:118)(cid:122)
k+xex+k -3(k+x)+1+k-xek-x-3(k-x)+1>2  kek -3k+1  (cid:86)
(cid:169)k+xex+k +k-xek-x >2kek(cid:86)(cid:117)k+xex+k-xe-x >2k(cid:86)
(cid:169)k  ex+e-x-2  >x  e-x-ex (cid:86)
(cid:137)x>0(cid:86)(cid:118)(cid:78)ex+e-x >2(cid:86)(cid:169)ex+e-x-2>0(cid:86)
x
 e-x-ex
(cid:174)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:118)(cid:125)(cid:126)(cid:127)k > (cid:86)
ex+e-x-2æ x xöæ x xö æ x xö
- - -
x  e-x-ex
xçe 2 +e2÷çe 2 -e2÷ xçe 2 +e2÷
x  ex+1 
è øè ø è ø
(cid:137) = = =- (cid:86)
ex+e-x-2 æ çe - 2 x -e2 xö ÷ 2 e - 2 x -e2 x ex-1
è ø
x  ex+1 
(cid:183)G(x)=- (cid:86)x>0(cid:86)
ex-1
é
ë
x+1ex+1ù
û
 ex-1  -xex ex+1  e2x-2xex-1
(cid:169)G¢(x)=- =- (cid:86)
 ex-1 2  ex-1 2
(cid:183)M(x)=e2x-2xex-1(cid:86)x>0(cid:86)(cid:176)t =ex(cid:86)
(cid:169)H(t)=t2-2tlnt-1(cid:86)t>1(cid:86)
(cid:137)H¢(t)=2t-2(1+lnt)=2(t-1-lnt)(cid:86)
(cid:164)(cid:176)P(t)=t-1-lnt,t >1(cid:86)
1 t-1
P¢(t)=1- = >0(cid:86)(cid:174)P(t)(cid:91)(1,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
t t
(cid:174)P(t)>P(1)=0(cid:86)(cid:169)H¢(t)>0(cid:86)(cid:174)H(t)(cid:91)(1,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:181)(cid:191)H(t)>H(1)=0(cid:86)(cid:117)M(x)>0,G¢(x)<0(cid:86)
(cid:174)G(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(x+1)ex+1
(cid:177)(cid:137)(cid:167)(cid:158)(cid:168)(cid:152)(cid:169)(cid:118)(cid:78)limG(x)=-lim =-2(cid:86)
x®0 x®0 ex
(cid:174)(cid:159)(cid:178)(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86)k >G(x)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:169)k ³-2(cid:86)
(cid:117)k(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:127)-2.
ln1+x
3(cid:84)（2025·北京·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:90)-1,+¥, f 0=0(cid:86)(cid:16)(cid:19)(cid:17) f¢x= (cid:86)(cid:183)l (cid:90)
1
1+x
(cid:128)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4)A(a, f(a))(a¹0)(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:84)
(1)(cid:46) f¢(x)(cid:20)(cid:23)(cid:193)(cid:22)(cid:89)
(2)(cid:142)-1<a<0(cid:143)(cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:194)(cid:93)(cid:4)A(cid:195)(cid:86)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:98)(cid:94)l (cid:20)(cid:24)(cid:119)(cid:89)
1
2a-x -x
(3)(cid:183)(cid:95)(cid:4)A(cid:20)(cid:98)(cid:94)l (cid:18)(cid:98)(cid:94)l (cid:97)(cid:98)(cid:86)l (cid:86)l (cid:18)x(cid:196)(cid:80)(cid:4)(cid:20)(cid:197)(cid:198)(cid:30)(cid:5)(cid:199)(cid:90)x (cid:86)x (cid:86)(cid:200)a>0(cid:86)(cid:46) 2 1 (cid:20)(cid:108)
2 1 1 2 1 2 x -x
2 1
(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
1
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)
e
(2)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:87)(cid:115)ée2-1 ö
(3)ê ,1÷
ëe2+1
ø
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:202)(cid:203)(cid:76)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:46)(cid:116)(cid:23)(cid:193)(cid:22)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:46)(cid:116)(cid:98)(cid:94)l (cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:86)(cid:164)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:17)hx(cid:86)(cid:204)(cid:205)(cid:65)(cid:66)(cid:76)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:10)(cid:139)(cid:206)(cid:207)(cid:163)(cid:162)(cid:11)(cid:193)(cid:99)(cid:56)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
1
2a-x -x
(cid:10)3(cid:11)(cid:46)(cid:116)(cid:98)(cid:94)l (cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:122)(cid:208)x,x (cid:20)(cid:209)(cid:210)(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:71)(cid:212)(cid:213)a(cid:209)(cid:210)(cid:116) 2 1 (cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:46)(cid:116)(cid:109)(cid:110).
2 1 2 x -x
2 1
1
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:183)gx= f¢x(cid:86) g¢x= 1+x
1+x-ln1+x
=
1-ln1+x
(cid:86)
1+x2 1+x2
(cid:137)g¢x=0(cid:118)(cid:122)x=e-1(cid:86)(cid:142)xÎ-1,e-1(cid:143)(cid:86)g¢x>0(cid:86)gx(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:142)xÎe-1,+¥(cid:143)(cid:86)g¢x<0(cid:86)gx(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
1
(cid:181)(cid:191) f¢x(cid:20)(cid:23)(cid:193)(cid:22)(cid:127) f¢e-1= .
e
ln1+a ln1+a ln1+a
(cid:10)2(cid:11)(cid:214)(cid:127) f¢a= (cid:86)(cid:181)(cid:191)(cid:98)(cid:94)l (cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y- f a= x-a(cid:86)(cid:117)y= x-a+ f a(cid:86)
1
1+a 1+a 1+a
éln1+a ù ln1+x ln1+a
(cid:183)hx= f x-ê x-a+ f a ú(cid:86)h¢x= - = f¢x- f¢a(cid:86)
ë 1+a û 1+x 1+a
(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:118)(cid:78)(cid:86) f¢x(cid:91)xÎ-1,e-1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:141)-1<a<0(cid:86)
(cid:181)(cid:191)(cid:86)(cid:142)-1< x<a(cid:143)(cid:86)h¢x<0(cid:86)hx(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(cid:142)0>x>a(cid:143)(cid:86)h¢x>0(cid:86)hx(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:96) f¢a< f¢0=0(cid:86)
ln1+x
(cid:141)(cid:142)x³0(cid:143)(cid:86) f¢x= ³0(cid:86)(cid:181)(cid:191)(cid:215)(cid:216) f¢x³ f¢a(cid:86)hx(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)
1+x
(cid:174)hx³ha(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:12)(cid:13)(cid:122)(cid:65)(cid:89)
1
(cid:10)3(cid:11)(cid:87)(cid:152)(cid:33)(cid:140)(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:86)(cid:98)(cid:94)l :y= f¢ax-a+f a(cid:86)(cid:98)(cid:94)l :y=- x-a+f a (cid:86)
1 2 f¢a
f a
(cid:181)(cid:191)x =- +a(cid:86)x = f a f¢a+a(cid:86)
1 f¢a 2
ln1+x
(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86) f¢x= >0(cid:86) f x(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
1+x
(cid:181)(cid:191) f a> f 0=0, f¢a>0(cid:86)é f a ù
2a-x -x
2a-é
ë
f a f¢a+aù
û
-ê
ë
-
f¢a
+aú
û
(cid:181)(cid:191) 2 1 =
x -x é f a ù
2 1 f a f¢a+a-ê- +aú
f¢a
ë û
-é ë f¢aù û 2 +1 2
= =-1+ (cid:86)
éf¢aù 2 +1 éf¢aù 2 +1
ë û ë û
æ 1ù
(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:118)(cid:122)(cid:142)a>0(cid:143)(cid:86) f¢(a)Îç0,
ú
(cid:86)
è eû
(cid:181)(cid:191)é ë f¢aù û 2 Î æ è ç0, e 1 2 ù û ú , éf¢a 2 ù 2 +1 Îê é ëe 2 2 e + 2 1 ,2 ö ø ÷(cid:86)
ë û
2a-x -x ée2-1 ö
(cid:181)(cid:191) 2 1Îê ,1÷.
x -x ëe2+1 ø
2 1
ln1+x ln21+x ln21+x
(cid:87)(cid:152)(cid:57)(cid:140)(cid:137) f¢x= (cid:118)(cid:183) f x= +C(cid:86)(cid:177) f 0=0(cid:86)(cid:181)(cid:191)C =0(cid:86)(cid:117) f x= (cid:86)
1+x 2 2
ln1+a ln21+a
(cid:214)(cid:127)(cid:98)(cid:94)l (cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y= x-a+ (cid:86)(cid:217)(cid:78)a¹0(cid:86)
1
1+a 2
1+a ln21+a
(cid:181)(cid:191)(cid:98)(cid:94)l (cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y=- x-a+ ,
2 ln1+a 2
1+aln1+a ln31+a
x =a- (cid:86)x = +a.
1 2 2 21+a
1+aln1+a ln31+a
-
2a-x -x 2 21+a 1+a2 -ln21+a
(cid:181)(cid:191) 1 2 = =
x -x ln31+a 1+aln1+a ln21+a+1+a2
2 1 +
21+a 2
ln21+a
1-
1+a2 1-g2a 2 1 1
= = =-1+ ,(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:78),(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86)gxÎ(0, ](cid:86)(cid:181)(cid:191)g2aÎ(0, ],
ln21+a 1+g2a 1+g2a e e2
+1
1+a2
2a-x -x ée2-1 ö
(cid:181)(cid:191) 2 1Îê ,1÷.
x -x ëe2+1 ø
2 1
4(cid:84)（2025·上海·高考真题）(cid:85)(cid:78) f(x)=x2-(m+2)x+mlnx,mÎR(cid:84)
(1)(cid:200) f(1)=0(cid:86)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49) f(x)£ x2-1(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)
(2)(cid:200)(cid:19)(cid:17)y= f(x)(cid:179)(cid:180)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:86)(cid:46)m(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:89)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1) 1,+¥
(2)m>0(cid:96)m¹2.
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:157)(cid:46)(cid:116)m(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:117)(cid:127)x+lnx>1(cid:86)(cid:74)(cid:133)(cid:28)(cid:19)(cid:17)sx=x+lnx,x>0(cid:86)(cid:137)(cid:218)(cid:19)(cid:17)(cid:127)(cid:147)(cid:19)
(cid:17)(cid:118)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:20)(cid:87)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:46)(cid:116)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:16)(cid:17)(cid:86)(cid:219)m£0,0<m<2,m=2,m>2(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:220)(cid:118)(cid:122)(cid:41)(cid:17)(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:214)(cid:127) f 1=0(cid:86)(cid:174)1-m-2+0=0(cid:86)(cid:174)m=-1(cid:86)(cid:174) f x=x2-x-lnx(cid:86)
(cid:174) fx£x2-1(cid:117)(cid:127)x+lnx³1(cid:86)
1
(cid:183)sx=x+lnx,x>0(cid:86)(cid:169)s¢x=1+ >0(cid:86)(cid:174)sx(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
x
(cid:141)x+lnx³1(cid:117)(cid:127)sx³s1(cid:86)(cid:174)x³1(cid:86)
(cid:174)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:20)(cid:87)(cid:127)1,+¥
.
(cid:10)2(cid:11) f x(cid:91)0,+¥(cid:216)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:117)(cid:127)(cid:216)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:4).
m 2x2-m+2x+m 2x-mx-1
f¢x=2x-m+2+ = = (cid:86)
x x x
(cid:200)m£0(cid:86)(cid:169)xÎ0,1(cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86)xÎ1,+¥(cid:143)(cid:86) f¢x>0(cid:86)
(cid:174)x=1(cid:127) f x(cid:20)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:105)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:174)(cid:144)(cid:89)
m æm ö
(cid:200)0< <1(cid:117)0<m<2(cid:86)(cid:169)xÎç ,1÷(cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86)
2 è 2 ø
æ mö
xÎç0, ÷U 1,+¥(cid:143)(cid:86) f¢x>0(cid:86)
è 2 ø
m
(cid:174)x= (cid:127) f x(cid:20)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:154)(cid:69)(cid:13)(cid:183)(cid:159)(cid:46)(cid:89)
2
(cid:200)m=2(cid:86)(cid:169)xÎ0,+¥(cid:143)(cid:86) f¢x³0(cid:86) f x(cid:105)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:144)(cid:89)
m æ mö
(cid:200) >1(cid:117)m>2(cid:86)(cid:169)xÎç1, ÷(cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86)
2 è 2 ø
æm ö
xÎ0,1 Uç ,+¥÷(cid:143)(cid:86) f¢x>0(cid:86)
è 2 ø
(cid:174)x=1(cid:127) f x(cid:20)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:154)(cid:69)(cid:13)(cid:183)(cid:159)(cid:46)(cid:89)
(cid:68)(cid:24)(cid:86)m>0(cid:96)m¹2.
é πù
5(cid:84)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:10)1(cid:11)(cid:46)(cid:19)(cid:17) f(x)=5cosx-cos5x(cid:91)(cid:221)(cid:222) 0, (cid:20)(cid:23)(cid:193)(cid:22)(cid:89)
ê ú
ë 4û(cid:10)2(cid:11)(cid:223)(cid:82)qÎ(0,π)(cid:224)aÎR(cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:187)(cid:91)yÎ[a-q,a+q](cid:178)(cid:122)cosy£cosq(cid:89)
(cid:10)3(cid:11)(cid:183)bÎR(cid:86)(cid:200)(cid:187)(cid:91)jÎR(cid:178)(cid:122)5cosx-cos(5x+j)£b(cid:129)xÎR(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:46)b(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)3 3
(2)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
(3)3 3
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:149)(cid:69)(cid:225)(cid:226)(cid:44)(cid:227)(cid:122)(cid:16)(cid:17)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:42)(cid:43)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:154)(cid:155)(cid:220)(cid:122)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:118)(cid:46)(cid:23)(cid:193)(cid:22)(cid:89)(cid:139)(cid:206)(cid:121)
(cid:71)(cid:104)(cid:22)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:118)(cid:46)(cid:23)(cid:193)(cid:22).
(cid:10)2(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:228)(cid:65)(cid:152)(cid:118)(cid:65)(cid:225)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:216)(cid:87)(cid:89)
(cid:10)3(cid:11)(cid:157)(cid:3)(cid:229)j=0,π(cid:143)b(cid:20)(cid:109)(cid:110)(cid:86)(cid:129)(cid:99)jÎ0,π(cid:143)(cid:86)(cid:118)(cid:121)(cid:71)(cid:10)2(cid:11)(cid:64)(cid:20)(cid:149)(cid:43)(cid:149)(cid:69)(cid:230)(cid:22)(cid:152)(cid:46)(cid:122)b³3 3(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:118)
(cid:122)b(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:89)(cid:139)(cid:206)(cid:157)(cid:231)(cid:232)(cid:19)(cid:17)(cid:87)(cid:115)(cid:230)(cid:233)(cid:122)b³0(cid:86)(cid:164)(cid:149)(cid:69)(cid:230)(cid:22)(cid:152)(cid:118)(cid:122)b³3 3(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:10)1(cid:11)(cid:20)(cid:149)(cid:234)(cid:118)(cid:122)b(cid:20)(cid:23)
(cid:148)(cid:22).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:152)1(cid:140) f¢x=-5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x(cid:86)
é πù é πù
(cid:214)(cid:127)xÎ 0, (cid:86)(cid:174)2xÎ 0, (cid:86)(cid:174)sin2x³0(cid:86)
ê ú ê ú
ë 4û ë 2û
π
(cid:142)0<x< (cid:143)(cid:86)cos3x>0(cid:117) f¢x>0(cid:86)
6
(cid:142) π <x< π (cid:143)(cid:86)cos3x<0(cid:117) f¢x<0(cid:86)
6 4
æ πö æπ πö
(cid:174) f x(cid:91)ç0, ÷(cid:24)(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:91)ç , ÷(cid:127)(cid:146)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
è 6ø è6 4ø
é πù æπö π 5π
(cid:174) f x(cid:91) ê 0, ú (cid:24)(cid:20)(cid:23)(cid:193)(cid:22)(cid:127) f ç ÷=5cos -cos =3 3.
ë 4û è6ø 6 6
(cid:152)2(cid:140)(cid:235)(cid:236)(cid:216)cos5x=cosx+4x=cosxcos4x-sinxsin4x
=cosx  2cos22x-1  -sinx×2sin2xcos2x
=cosx  2  2cos2x-1 2 -1  -sinx×2×2sinxcosxcos2x
=cosx  8cos4x-8cos2x+1  -4cosxcos2xsin2x
=8cos5x-8cos3x+cosx-4cosx  2cos2x-1  1-cos2x 
=16cos5x-20cos3x+5cosx.
(cid:181)(cid:191)(cid:140)f x=5cosx-cos5x=5cosx-  16cos5x-20cos3x+5cosx  =20cos3x-16cos5x
=4cos3x  5-4cos2x  £4cosx3 5-4cosx2 =4cosx3 5-2cosx  5+2cosx 
32æ 15+3  15-3  ö
= çcosx ×cosx ×cosx × 5-2cosx × 5+2cosx ÷
3 ç 4 4 ÷
è ø
5
32æ1æ 15+3  15-3  öö
£ ç çcosx + cosx + cosx + 5-2cosx + 5+2cosx ÷÷
3 ç5 ç 4 4 ÷÷
è è øø
5
32æ 3ö
= ç ÷ =3 3.
ç ÷
3 2
è ø
æπö π 5π
(cid:184)(cid:122)(cid:208) f x£3 3(cid:86)(cid:237)(cid:143)(cid:177)(cid:216) f ç ÷=5cos -cos =3 3(cid:86)
è6ø 6 6
é πù
(cid:174) f x(cid:91)
ê
0,
ú
(cid:24)(cid:20)(cid:23)(cid:193)(cid:22)(cid:127)3 3(cid:86)(cid:91)R(cid:24)(cid:20)(cid:23)(cid:193)(cid:22)(cid:170)(cid:90)3 3.
ë 4û
(cid:10)2(cid:11)(cid:152)1(cid:140)(cid:137)(cid:238)(cid:239)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:132)(cid:240)(cid:122)cosx£cosq(cid:20)(cid:87)(cid:127)2kπ+q,2kπ+2π-q(cid:86)kÎZ(cid:86)
(cid:200)(cid:175)(cid:138)2kπ+q,2kπ+2π-q,kÎZ(cid:18)a-q,a+q(cid:80)(cid:88)(cid:127)(cid:241)(cid:86)
(cid:169)a-q>2kπ+2π-q(cid:96)a+q<2kπ+2π+q(cid:86)(cid:189)(cid:143)a(cid:105)(cid:87)(cid:86)
(cid:185)(cid:186)(cid:86)(cid:174)(cid:105)(cid:87)(cid:89)(cid:174)(cid:187)(cid:91)kÎZ(cid:86)(cid:178)(cid:122)2kπ-q,2kπ+qÇa-q,a+q¹Æ(cid:86)
(cid:152)2(cid:140)(cid:137)(cid:238)(cid:239)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:132)(cid:240)(cid:78)cosy£cosq(cid:20)(cid:87)(cid:127)é
ë
2kπ+q,2k+1π-qù
û
kÎZ(cid:86)
(cid:200)(cid:242)(cid:62)é
ë
2kπ+q,2k+1π-qù
û
(cid:18)a-q,a+q(cid:80)(cid:88)(cid:243)(cid:127)(cid:241)(cid:86)
(cid:169)(cid:129)(cid:242)(cid:62)kÎZ(cid:86)(cid:158)(cid:216)2k+1π-q<a-q(cid:139)2kπ+q>a+q(cid:244)(cid:33)(cid:51)(cid:52).
a a é a a ù
(cid:189)(cid:117)k < -1(cid:139)k > (cid:86)(cid:245)(cid:246)(cid:247)(cid:127)1(cid:20)(cid:248)(cid:221)(cid:222)
ê
-1,
ú
(cid:24)(cid:158)(cid:216)(cid:33)(cid:249)(cid:17)k(cid:86)
2π 2π ë2π 2πû
(cid:218)(cid:249)(cid:17)k(cid:47)(cid:179)(cid:180)(cid:250)(cid:251)(cid:86)(cid:185)(cid:186).
(cid:174)(cid:187)(cid:91)yÎa-q,a+q(cid:86)(cid:178)(cid:122)cosy£cosq(cid:51)(cid:52).
(cid:10)3(cid:11)(cid:152)1(cid:140)(cid:252)hx=5cosx-cos5x+j(cid:86)
(cid:214)(cid:127)hx+2π=5cosx+2π-cos5x+10π+j=hx(cid:86)
(cid:174)hx(cid:127)(cid:253)(cid:254)(cid:19)(cid:17)(cid:96)(cid:253)(cid:254)(cid:127)2π,(cid:174)(cid:204)(cid:205)(cid:42)(cid:43)xÎ0,2π ,jÎ0,π (cid:20)(cid:9)(cid:255).
(cid:142)j=π(cid:143)(cid:86)hx=5cosx-cos5x+π=5cosx+cos5x£6(cid:86)(cid:142)j=0(cid:143)(cid:86)h(x)=5cosx-cos5x(cid:86)
(cid:189)(cid:143)h¢x=-5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x,xÎ0,2π(cid:86)
π π 5π 7π 3π 11π
(cid:176)h¢(x)=0(cid:86)(cid:169)x= , , ,π, , , (cid:86)
6 2 6 6 2 6
π 11π π 3π 5π 7π
(cid:141)h( )=h( )=3 3,h( )=h( )=0,h( )=h( )=-3 3,h(π)=-4(cid:86)
6 6 2 2 6 6
π 11π
h(0)=h(2π)=4(cid:86)(cid:174)h(x) =h( )=h( )=3 3(cid:86)
max 6 6
(cid:142)jÎ0,π(cid:86)(cid:91)(cid:10)2(cid:11)(cid:64)(cid:108)j=a(cid:86)(cid:169)(cid:187)(cid:91)yÎj-q,j+q(cid:86)(cid:178)(cid:122)cosy£cosq(cid:86)
5π 3 y-j é q qù y-j é p pù
(cid:108)q= (cid:86)(cid:169)cosy£- (cid:86)(cid:108)x= Î
ê
- ,
ú
(cid:117)x= Î
ê
- ,
ú
(cid:86)
6 2 5 ë 5 5û 5 ë 6 6û
5 3
(cid:174)5cosx³ (cid:86)(cid:174)5cosx-cos5x+j³3 3(cid:86)
2
π
(cid:68)(cid:24)b³3 3(cid:86)(cid:118)(cid:108)x= (cid:86)j=0(cid:178)(cid:122)(cid:48)(cid:155)(cid:51)(cid:52).
6
(cid:68)(cid:24)(cid:86)b =3 3.
min
(cid:152)2(cid:140)(cid:183)g x=5cosx-cos5x+j .
j
(cid:33)(cid:119)(cid:256)(cid:86)(cid:200)(cid:187)(cid:91)j(cid:86)(cid:178)(cid:122)g x=5cosx-cos5x+j£b(cid:129)(cid:175)(cid:138)x(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
j
①
(cid:169)(cid:129)(cid:184)(cid:257)(cid:20)j(cid:86)(cid:237)(cid:257)(cid:216)g x=-g x+π³-b.
j j
(cid:181)(cid:191) g x £b(cid:129)(cid:175)(cid:138)x(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:184)(cid:98)(cid:258)(cid:122)(cid:208)b³0.
j
j π
(cid:183) - =m(cid:86)(cid:169)(cid:231)(cid:232) g x £b(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:216)
6 6 j
æ j πö æ j πö æj 5πö æj πö æj πö æj πö
b³ g ç- + ÷ = 5cosç- + ÷-cosç + ÷ = 5cosç - ÷+cosç - ÷ = 6cosç - ÷ =6cosm
j è 6 6ø è 6 6ø è6 6 ø è6 6ø è6 6ø è6 6ø
æ j πö æ j πö æj 5πö æj πö æj πö æj πö æ πö
b³ g ç- - ÷ = 5cosç- - ÷-cosç - ÷ = 5cosç + ÷+cosç + ÷ = 6cosç + ÷ =6cosçm+ ÷
j è 6 6ø è 6 6ø è6 6 ø è6 6ø è6 6ø è6 6ø è 3ø
æ j πö æ j πö æj 5πö æj πö æj πö æj πö æ πö
b³ g ç- + ÷ = 5cosç- + ÷-cosç + ÷ = 5cosç - ÷+cosç - ÷ = 6cosç - ÷ =6cosçm- ÷
j è 6 2ø è 6 2ø è6 2 ø è6 2ø è6 2ø è6 2ø è 3ø
æ πö æ πö b
(cid:181)(cid:191) cosm,cosçm+ ÷,cosçm- ÷ (cid:104)(cid:47)(cid:259)(cid:95) (cid:86)
è 3ø è 3ø 6(cid:164)(cid:149)(cid:69)cos2x=2cosx2-1(cid:86)
æ 2πö æ 2πö æbö 2 b2
(cid:219)(cid:122)(cid:208)cos2m,cosç2m+ ÷,cosç2m- ÷(cid:104)(cid:47)(cid:259)(cid:95)2ç ÷ -1= -1.
è 3 ø è 3 ø è6ø 18
 2
(cid:260)(cid:183)b<3 3(cid:86)(cid:169)b2 3 3 1(cid:86)
-1< -1=
18 18 2
æ 2πö æ 2πö é 1ö
(cid:174)cos2m,cosç2m+ ÷,cosç2m- ÷Î
ê
-1, ÷.
è 3 ø è 3 ø ë 2ø
2π 2π
(cid:245)(cid:184)(cid:90)(cid:47)(cid:118)(cid:261)(cid:20)(cid:86)(cid:214)(cid:127)(cid:225)(cid:62)(cid:226)2m,2m+ ,2m- (cid:224)(cid:130)(cid:262)(cid:263)(cid:20)(cid:80)(cid:4)(cid:264)(cid:130)(cid:262)(cid:263)(cid:225)(cid:48)(cid:5)(cid:86)
3 3
1
(cid:184)(cid:225)(cid:62)(cid:4)(cid:47)(cid:118)(cid:261)(cid:243)(cid:91)(cid:98)(cid:94)x= (cid:265)(cid:266).
2
(cid:181)(cid:191)(cid:260)(cid:183)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:184)(cid:138)(cid:267)(cid:268)b³3 3.
(cid:269)(cid:33)(cid:119)(cid:256)(cid:86)(cid:200)b=3 3(cid:86)(cid:169)(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:64)(cid:85)(cid:270)(cid:65)(cid:66) f x£3 3(cid:86)
②
(cid:78)(cid:187)(cid:91)j=0(cid:86)(cid:178)(cid:122)5cosx-cos5x+j=5cosx-cos5x= f x£3 3=b.
(cid:211)(cid:141)b=3 3(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:271)(cid:159)(cid:46).
(cid:68)(cid:69)(cid:24)(cid:182)(cid:272)(cid:62)(cid:119)(cid:256)(cid:86)(cid:118)(cid:78)b(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:90)3 3.
6(cid:84)（2024·北京·高考真题）(cid:183)(cid:19)(cid:17) f x=x+kln1+xk ¹0(cid:86)(cid:98)(cid:94)l(cid:90)(cid:128)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4)t, f tt >0(cid:92)
(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:84)
(1)(cid:142)k =-1(cid:143)(cid:86)(cid:46) f x(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:221)(cid:222).
(2)(cid:46)(cid:65)(cid:140)l(cid:47)(cid:270)(cid:95)(cid:4)0,0.
(3)(cid:142)k=1(cid:143)(cid:86)(cid:183)(cid:4)At, f tt >0(cid:86)C0, f t (cid:86)O(0,0)(cid:86)B(cid:127)l(cid:18)y(cid:196)(cid:20)(cid:80)(cid:4)(cid:86)S (cid:18)S (cid:5)(cid:199)(cid:209)(cid:210)VACO
VACO VABO
(cid:18)VABO(cid:20)(cid:256)(cid:273)(cid:84)(cid:90)(cid:274)(cid:187)(cid:91)(cid:4)A(cid:178)(cid:122)2S =15S (cid:51)(cid:52)(cid:276)(cid:200)(cid:187)(cid:91)(cid:86)(cid:184)(cid:257)(cid:20)(cid:4)A(cid:216)(cid:150)(cid:62)(cid:276)
(cid:275)ACO (cid:275)ABO
(cid:10)(cid:41)(cid:3)(cid:17)(cid:232)(cid:140)1.09<ln3<1.10(cid:86)1.60<ln5<1.61(cid:86)1.94<ln7<1.95(cid:11)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)(-1,0)(cid:86)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)(0,+¥).
(2)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
(3)2
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:98)(cid:258)(cid:277)(cid:278)k =-1(cid:86)(cid:164)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:279)(cid:280)(cid:76)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:117)(cid:118)(cid:89)æ k ö t
(cid:10)2(cid:11)(cid:281)(cid:116)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)y- f(t)=ç1+ ÷(x-t)(t >0)(cid:86)(cid:264)(0,0)(cid:277)(cid:278)(cid:164)(cid:183)(cid:28)(cid:19)(cid:17)F(t)=ln(1+t)- (cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)
è 1+tø 1+t
(cid:17)(cid:279)(cid:280)(cid:76)(cid:56)(cid:4)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
t
(cid:10)3(cid:11)(cid:5)(cid:199)(cid:281)(cid:116)(cid:256)(cid:273)(cid:209)(cid:168)(cid:49)(cid:86)(cid:277)(cid:278)2S =15S (cid:122)(cid:208)13ln(1+t)-2t-15 =0(cid:86)(cid:164)(cid:183)(cid:28)(cid:19)(cid:17)
VACO ABO 1+t
15t
h(t)=13ln(1+t)-2t- (t>0)(cid:279)(cid:280)(cid:76)(cid:56)(cid:4)(cid:117)(cid:118).
1+t
1 x
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11) f(x)=x-ln(1+x), f¢(x)=1- = (x>-1)(cid:86)
1+x 1+x
(cid:142)xÎ-1,0(cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:89)(cid:142)xÎ0,+¥(cid:86) f¢x>0(cid:89)
\f(x)(cid:91)(-1,0)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147).
(cid:169) f(x)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)(-1,0)(cid:86)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)(0,+¥).
k k
(cid:10)2(cid:11) f¢(x)=1+ (cid:86)(cid:93)(cid:94)l(cid:20)(cid:172)(cid:173)(cid:127)1+ (cid:86)
1+x 1+t
æ k ö
(cid:169)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y- f(t)=ç1+ ÷(x-t)(t >0)(cid:86)
è 1+tø
æ k ö æ k ö
(cid:264)(0,0)(cid:277)(cid:278)(cid:169)-f(t)=-tç1+ ÷, f(t)=tç1+ ÷(cid:86)
è 1+tø è 1+tø
k t t
(cid:117)t+kln(1+t)=t+t (cid:86)(cid:169)ln(1+t)= (cid:86)ln(1+t)- =0(cid:86)
1+t 1+t 1+t
t
(cid:176)F(t)=ln(1+t)- (cid:86)
1+t
(cid:260)(cid:183)l(cid:95)(0,0)(cid:86)(cid:169)F(t)(cid:91)tÎ(0,+¥)(cid:187)(cid:91)(cid:56)(cid:4).
1 1+t-t t
F¢(t)= - = >0(cid:86)\F(t)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)F(t)>F(0)=0(cid:86)
1+t (1+t)2 (1+t)2
\F(t)(cid:91)(0,+¥)(cid:105)(cid:56)(cid:4)(cid:86) (cid:18)(cid:260)(cid:183)(cid:185)(cid:186)(cid:86)(cid:174)(cid:98)(cid:94)l(cid:47)(cid:95)(0,0).
1 x+2
(cid:10)3(cid:11)k=1(cid:143)(cid:86) f(x)=x+ ∴ ln(1+x), f¢(x)=1+ = >0.
1+x 1+x
1
S = tf(t)(cid:86)(cid:183)l(cid:18)y(cid:196)(cid:80)(cid:4)B(cid:127)(0,q)(cid:86)
VACO 2
t>0(cid:143)(cid:86)(cid:200)q<0(cid:86)(cid:169)(cid:189)(cid:143)l(cid:18) f(x)(cid:158)(cid:216)(cid:80)(cid:4)(cid:86)(cid:18)(cid:93)(cid:94)(cid:82)(cid:83)(cid:185)(cid:186).
(cid:137)(cid:10)2(cid:11)(cid:78)q¹0.(cid:181)(cid:191)q>0(cid:86)
æ 1 ö
(cid:169)(cid:93)(cid:94)l(cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y-t-lnt+1=ç1+
÷
x-t(cid:86)
è 1+tø
t
(cid:176)x=0(cid:86)(cid:169)y=q= y=ln(1+t)- .
t+1
é t ù
Q2S
VACO
=15S
ABO
(cid:86)(cid:169)2tf(t)=15t
ê ë
ln(1+t)-
t+1 ú û
(cid:86)
t 15t
\13ln(1+t)-2t-15 =0(cid:86)(cid:252)h(t)=13ln(1+t)-2t- (t>0)(cid:86)
1+t 1+t(cid:179)(cid:180)(cid:250)(cid:251)(cid:20)A(cid:216)(cid:150)(cid:62)(cid:117)h(t)(cid:216)(cid:150)(cid:62)(cid:56)(cid:4).
∴ 13 15 13t+13-2  t2+2t+1  -15 -2t2+9t-4 -2t+1t-4
h¢t= -2- = = = (cid:86)
1+t t+12 t+12 t+12 t+12
æ 1ö
(cid:142)tÎç0, ÷(cid:143)(cid:86)h¢t<0(cid:86)(cid:189)(cid:143)ht(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
è 2ø
æ1 ö
(cid:142)tÎç ,4÷(cid:143)(cid:86)h¢t>0(cid:86)(cid:189)(cid:143)ht(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)
è2 ø
(cid:142)tÎ4,+¥(cid:143)(cid:86)h¢t<0(cid:86)(cid:189)(cid:143)ht(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
æ1ö
(cid:214)(cid:127)h(0)=0,hç ÷0,h(4)=13ln5-2013´1.6-20=0.8>0(cid:86)
è2ø
15´24 72 72
h(24)=13ln25-48- =26ln5-48- <26´1.61-48- =-20.54<0(cid:86)
25 5 5
æ1 ö
(cid:181)(cid:191)(cid:137)(cid:56)(cid:4)(cid:187)(cid:91)(cid:132)(cid:82)(cid:282)(cid:67)h(t)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)h(t)(cid:91)ç ,4÷(cid:24)(cid:158)(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:91)(4,24)(cid:24)(cid:158)(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)
è2 ø
(cid:68)(cid:24)(cid:181)(cid:182)(cid:86)h(t)(cid:216)(cid:272)(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:117)(cid:179)(cid:180)2S =15S (cid:20)A(cid:216)(cid:272)(cid:62).
ACO ABO
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)
(cid:134)(cid:284)(cid:4)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:285)(cid:13)(cid:100)(cid:57)(cid:55)(cid:20)(cid:134)(cid:284)(cid:90)(cid:286)(cid:71)(cid:20)(cid:90)(cid:228)(cid:65)(cid:152)(cid:86)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:279)(cid:280)(cid:19)(cid:17)(cid:56)(cid:4)(cid:55)(cid:13).
7(cid:84)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=1-axln1+x-x(cid:84)
(1)(cid:142)a=-2(cid:143)(cid:86)(cid:46) f x(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:89)
(2)(cid:142)x³0(cid:143)(cid:86) f x³0(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:127)0(cid:86)(cid:105)(cid:21)(cid:193)(cid:22).
1
(2)a£-
2
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:46)(cid:116)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:16)(cid:17)(cid:86)(cid:231)(cid:232)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:224)(cid:56)(cid:4)(cid:118)(cid:46)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:21)(cid:22).
1 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:46)(cid:116)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:57)(cid:287)(cid:16)(cid:17)(cid:86)(cid:219)a£- (cid:27)- <a<0(cid:27)a³0(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:220)(cid:118)(cid:122)(cid:41)(cid:17)(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110).
2 2
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)a=-2(cid:143)(cid:86) f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x(cid:86)
1+2x 1
(cid:174) f¢(x)=2ln(1+x)+ -1=2ln(1+x)- +1(cid:86)
1+x 1+x1
(cid:214)(cid:127)y=2ln(1+x),y=- +1(cid:91)-1,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
1+x
(cid:174) f¢(x)(cid:91)-1,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:141) f¢(0)=0(cid:86)
(cid:174)(cid:142)-1<x<0(cid:143)(cid:86) f¢(x)<0(cid:86)(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86) f¢(x)>0(cid:86)
(cid:174) f x(cid:91)x=0(cid:92)(cid:108)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:96)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:127) f 0=0(cid:86)(cid:105)(cid:21)(cid:193)(cid:22).
1-ax a+1x
(cid:10)2(cid:11) f¢x=-aln1+x+ -1=-aln1+x- ,x>0(cid:86)
1+x 1+x
a+1x
(cid:183)sx=-aln1+x- ,x>0(cid:86)
1+x
-a a+1 ax+1+a+1 ax+2a+1
(cid:169)s¢x= - =- =- (cid:86)
x+1 1+x2 1+x2 1+x2
1
(cid:142)a£- (cid:143)(cid:86)s¢x>0(cid:86)(cid:174)sx(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
2
(cid:174)sx>s0=0(cid:86)(cid:117) f¢x>0(cid:86)
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:174) f x³ f 0=0.
1 2a+1
(cid:142)- <a<0(cid:143)(cid:86)(cid:142)0<x<- (cid:143)(cid:86)s¢x<0(cid:86)
2 a
æ 2a+1ö æ 2a+1ö
(cid:174)sx(cid:91)ç0,- ÷(cid:24)(cid:127)(cid:146)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:174)(cid:91)ç0,- ÷(cid:24)sx<s0(cid:86)
è a ø è a ø
æ 2a+1ö
(cid:117)(cid:91)ç0,- ÷(cid:24) f¢x<0(cid:117) f x(cid:127)(cid:146)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
è a ø
æ 2a+1ö
(cid:174)(cid:91)ç0,- ÷(cid:24) f x< f 0=0(cid:86)(cid:47)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:86)(cid:144).
è a ø
(cid:142)a³0(cid:86)(cid:189)(cid:143)s¢x<0(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
(cid:237)(cid:282)(cid:118)(cid:122)(cid:91)0,+¥(cid:24) f x< f 0=0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:47)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:86)(cid:144)(cid:89)
1
(cid:68)(cid:24)(cid:86)a£- .
2
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:288)(cid:161)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:16)(cid:17)(cid:289)(cid:290)(cid:207)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:55)(cid:13)(cid:86)(cid:291)(cid:291)(cid:205)(cid:159)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:202)(cid:203)(cid:19)(cid:17)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:216)(cid:143)(cid:292)(cid:205)(cid:159)(cid:129)(cid:16)
(cid:17)(cid:156)(cid:33)(cid:293)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:279)(cid:280)(cid:76)(cid:154)(cid:155)(cid:230)(cid:233)(cid:86)(cid:92)(cid:282)(cid:189)(cid:6)(cid:55)(cid:13)(cid:143)(cid:294)(cid:138)(cid:121)(cid:71)(cid:109)(cid:110)(cid:165)(cid:4)(cid:20)(cid:132)(cid:240)(cid:295)(cid:163)(cid:82)(cid:296)(cid:151)(cid:5)(cid:6).
8(cid:84)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=ex-ax-a3(cid:84)
(1)(cid:142)a=1(cid:143)(cid:86)(cid:46)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:4)1, f(1)(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:89)
(2)(cid:200) f(x)(cid:216)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:86)(cid:96)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:148)(cid:99)0(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)e-1x-y-1=0(2)
1,+¥
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:46)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:87)(cid:152)(cid:33)(cid:140)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:5)(cid:115)a£0(cid:224)a>0(cid:272)(cid:297)(cid:9)(cid:255)(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:202)(cid:203)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:224)(cid:21)(cid:22)(cid:86)(cid:5)(cid:115)(cid:118)(cid:122)a2+lna-1>0(cid:86)
(cid:74)(cid:133)(cid:19)(cid:17)(cid:87)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:117)(cid:118)(cid:89)(cid:87)(cid:152)(cid:57)(cid:140)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:118)(cid:78) f¢(x)=ex-a(cid:216)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:118)(cid:122)a>0(cid:86)(cid:156)(cid:141)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:46) f x(cid:20)(cid:130)
(cid:131)(cid:132)(cid:224)(cid:21)(cid:22)(cid:86)(cid:5)(cid:115)(cid:118)(cid:122)a2+lna-1>0(cid:86)(cid:74)(cid:133)(cid:19)(cid:17)(cid:87)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:117)(cid:118).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)a=1(cid:143)(cid:86)(cid:169) f(x)=ex-x-1(cid:86) f¢(x)=ex-1(cid:86)
(cid:118)(cid:122) f(1)=e-2(cid:86) f¢(1)=e-1(cid:86)
(cid:117)(cid:93)(cid:4)(cid:198)(cid:30)(cid:127)1,e-2(cid:86)(cid:93)(cid:94)(cid:172)(cid:173)k =e-1(cid:86)
(cid:181)(cid:191)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y-e-2=e-1x-1(cid:86)(cid:117)e-1x-y-1=0.
(cid:10)2(cid:11)(cid:87)(cid:152)(cid:33)(cid:140)(cid:214)(cid:127) f(x)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:127)R(cid:86)(cid:96) f¢(x)=ex-a(cid:86)
(cid:200)a£0(cid:86)(cid:169) f¢(x)³0(cid:129)(cid:175)(cid:138)xÎR(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
(cid:118)(cid:78) f(x)(cid:91)R(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:105)(cid:21)(cid:22)(cid:86)(cid:47)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
(cid:200)a>0(cid:86)(cid:176) f¢(x)>0(cid:86)(cid:87)(cid:122)x>lna(cid:89)(cid:176) f¢(x)<0(cid:86)(cid:87)(cid:122)x<lna(cid:89)
(cid:118)(cid:78) f(x)(cid:91)-¥,lna(cid:103)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)lna,+¥(cid:103)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:169) f(x)(cid:216)(cid:21)(cid:148)(cid:22) f lna=a-alna-a3(cid:86)(cid:105)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:86)
(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:118)(cid:122)(cid:140) f lna=a-alna-a3 <0(cid:86)(cid:117)a2+lna-1>0(cid:86)
1
(cid:74)(cid:133)ga=a2+lna-1,a>0(cid:86)(cid:169)g¢a=2a+ >0(cid:86)
a
(cid:118)(cid:78)ga(cid:91)0,+¥(cid:103)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:96)g1=0(cid:86)
(cid:47)(cid:48)(cid:49)a2+lna-1>0(cid:48)(cid:298)(cid:99)ga>g1(cid:86)(cid:87)(cid:122)a>1(cid:86)
(cid:181)(cid:191)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:127)1,+¥(cid:89)
(cid:87)(cid:152)(cid:57)(cid:140)(cid:214)(cid:127) f(x)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:127)R(cid:86)(cid:96) f¢(x)=ex-a(cid:86)
(cid:200) f(x)(cid:216)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:86)(cid:169) f¢(x)=ex-a(cid:216)(cid:56)(cid:4)(cid:86)
(cid:176) f¢(x)=ex -a=0(cid:86)(cid:118)(cid:122)ex =a(cid:86)
(cid:118)(cid:78)y=ex(cid:18)y=a(cid:216)(cid:80)(cid:4)(cid:86)(cid:169)a>0(cid:86)(cid:200)a>0(cid:86)(cid:176) f¢(x)>0(cid:86)(cid:87)(cid:122)x>lna(cid:89)(cid:176) f¢(x)<0(cid:86)(cid:87)(cid:122)x<lna(cid:89)
(cid:118)(cid:78) f(x)(cid:91)-¥,lna(cid:103)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)lna,+¥(cid:103)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:169) f(x)(cid:216)(cid:21)(cid:148)(cid:22) f lna=a-alna-a3(cid:86)(cid:105)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:86)(cid:154)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:86)
(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:118)(cid:122)(cid:140) f lna=a-alna-a3 <0(cid:86)(cid:117)a2+lna-1>0(cid:86)
(cid:74)(cid:133)ga=a2+lna-1,a>0(cid:86)
(cid:214)(cid:127)(cid:169)y=a2,y=lna-1(cid:91)0,+¥(cid:103)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:118)(cid:78)ga(cid:91)0,+¥(cid:103)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:96)g1=0(cid:86)
(cid:47)(cid:48)(cid:49)a2+lna-1>0(cid:48)(cid:298)(cid:99)ga>g1(cid:86)(cid:87)(cid:122)a>1(cid:86)
(cid:181)(cid:191)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:127)1,+¥
.
9(cid:84)（2023·北京·高考真题）(cid:183)(cid:19)(cid:17) f(x)=x-x3eax+b(cid:86)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:4)(1, f(1))(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y=-x+1(cid:84)
(1)(cid:46)a,b(cid:20)(cid:22)(cid:89)
(2)(cid:183)(cid:19)(cid:17)g(x)= f¢(x)(cid:86)(cid:46)g(x)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:221)(cid:222)(cid:89)
(3)(cid:46) f(x)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)a=-1,b=1
(2)gx(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)  0,3- 3  (cid:224)  3+ 3,+¥  (cid:86)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)-¥,0(cid:224)  3- 3,3+ 3  .
(3)3(cid:62)
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:157)(cid:129) f x(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:122)(cid:208) f(1)=0(cid:86) f¢(1)=-1(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:122)(cid:208)(cid:134)(cid:99)a,b(cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:299)(cid:86)
(cid:87)(cid:244)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:122)gx(cid:20)(cid:87)(cid:115)(cid:49)(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:46)(cid:122)g¢x(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:17)(cid:196)(cid:300)(cid:231)(cid:152)(cid:46)(cid:122)g¢x<0(cid:18)g¢x>0(cid:20)(cid:87)(cid:86)(cid:137)(cid:189)(cid:46)
(cid:122)gx(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:221)(cid:222)(cid:89)
(cid:10)3(cid:11)(cid:149)(cid:69)(cid:10)2(cid:11)(cid:64)(cid:149)(cid:43)(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:56)(cid:4)(cid:187)(cid:91)(cid:82)(cid:282)(cid:86)(cid:301)(cid:302)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:221)(cid:222)-¥,0(cid:86)0,x (cid:86)x,x (cid:18)x ,+¥(cid:24) f¢x
1 1 2 2
(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:20)(cid:9)(cid:255)(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:46)(cid:122) f x(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:62)(cid:17).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:214)(cid:127) f(x)=x-x3eax+b,xÎR(cid:86)(cid:181)(cid:191) f¢x=1-  3x2+ax3 eax+b(cid:86)(cid:214)(cid:127) f x(cid:91)(1, f(1))(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y=-x+1(cid:86)
(cid:181)(cid:191) f(1)=-1+1=0(cid:86) f¢(1)=-1(cid:86)
ìï1-13´ea+b =0 ìa=-1
(cid:169)í (cid:86)(cid:87)(cid:122)í (cid:86)
ïî 1-3+aea+b =-1 îb=1
(cid:181)(cid:191)a=-1,b=1.
(cid:10)2(cid:11)(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:122)gx= f¢x=1-  3x2-x3 e-x+1xÎR(cid:86)
(cid:169)g¢x=-x  x2-6x+6  e-x+1(cid:86)
(cid:176)x2-6x+6=0(cid:86)(cid:87)(cid:122)x=3± 3(cid:86)(cid:47)(cid:303)(cid:183)x =3- 3(cid:86)x =3+ 3(cid:86)(cid:169)0<x <x (cid:86)
1 2 1 2
(cid:217)(cid:78)e-x+1 >0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
(cid:181)(cid:191)(cid:176)g¢x<0(cid:86)(cid:87)(cid:122)0<x<x (cid:139)x>x (cid:89)(cid:176)g¢x>0(cid:86)(cid:87)(cid:122)x<0(cid:139)x <x<x (cid:89)
1 2 1 2
(cid:181)(cid:191)gx(cid:91)0,x (cid:86)x ,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)-¥,0(cid:86)x,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
1 2 1 2
(cid:117)gx(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)  0,3- 3  (cid:224)  3+ 3,+¥  (cid:86)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)-¥,0(cid:224)  3- 3,3+ 3  .
(cid:10)3(cid:11)(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:122) f(x)=x-x3e-x+1xÎR(cid:86) f¢x=1-  3x2-x3 e-x+1(cid:86)
(cid:137)(cid:10)2(cid:11)(cid:78) f¢x(cid:91)0,x (cid:86)x ,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)-¥,0(cid:86)x,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
1 2 1 2
(cid:142)x<0(cid:143)(cid:86) f¢-1=1-4e2 <0(cid:86) f¢0=1>0(cid:86)(cid:117) f¢-1 f¢0<0
(cid:181)(cid:191) f¢x(cid:91)-¥,0(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:47)(cid:303)(cid:183)(cid:127)x (cid:86)(cid:169)-1< x <0(cid:86)
3 3
(cid:189)(cid:143)(cid:86)(cid:142)x<x (cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86)(cid:169) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)(cid:142)x <x<0(cid:143)(cid:86) f¢x>0(cid:86)(cid:169) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)
3 3
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)-¥,0(cid:24)(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:4)(cid:89)
(cid:142)xÎ0,x (cid:143)(cid:86) f¢x(cid:91)0,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
1 1
(cid:169) f¢x = f¢  3- 3  < f¢1=1-2<0(cid:86)(cid:174) f¢0 f¢x <0(cid:86)
1 1
(cid:181)(cid:191) f¢x(cid:91)0,x (cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:47)(cid:303)(cid:183)(cid:127)x (cid:86)(cid:169)0<x <x (cid:86)
1 4 4 1
(cid:189)(cid:143)(cid:86)(cid:142)0<x<x (cid:143)(cid:86) f¢x>0(cid:86)(cid:169) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)(cid:142)x <x<x (cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86)(cid:169) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
4 4 1
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)0,x (cid:24)(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:4)(cid:89)
1(cid:142)xÎx,x (cid:143)(cid:86) f¢x(cid:91)x,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
1 2 1 2
(cid:169) f¢x = f¢  3+ 3  > f¢3=1>0(cid:86)(cid:174) f¢x  f¢x <0(cid:86)
2 1 2
(cid:181)(cid:191) f¢x(cid:91)x,x (cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:47)(cid:303)(cid:183)(cid:127)x (cid:86)(cid:169)x <x <x (cid:86)
1 2 5 1 5 2
(cid:189)(cid:143)(cid:86)(cid:142)x <x<x (cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86)(cid:169) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)(cid:142)x <x<x (cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86)(cid:169) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)
1 5 5 2
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)x,x (cid:24)(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:4)(cid:89)
1 2
(cid:142)x>x =3+ 3>3(cid:143)(cid:86)3x2-x3 =x23-x<0(cid:86)
2
(cid:181)(cid:191) f¢x=1-  3x2-x3 e-x+1 >0(cid:86)(cid:169) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)x ,+¥(cid:24)(cid:105)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:89)
2
(cid:68)(cid:24)(cid:140) f x(cid:91)-¥,0(cid:224)x,x (cid:24)(cid:304)(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:91)0,x (cid:24)(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:107)(cid:216)3(cid:62)(cid:21)(cid:22)(cid:4).
1 2 1
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:134)(cid:284)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:285)(cid:13)(cid:100)3(cid:148)(cid:13)(cid:20)(cid:87)(cid:13)(cid:134)(cid:284)(cid:90)(cid:202)(cid:203) f¢x (cid:18) f¢x (cid:20)(cid:123)(cid:305)(cid:9)(cid:255)(cid:86)(cid:306)(cid:5)(cid:121)(cid:71) f¢x(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)
1 2
(cid:307)(cid:308)(cid:230)(cid:309)(cid:4)(cid:202)(cid:203)(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:87).
æ1 ö
10(cid:84)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=ç +a÷ln1+x(cid:84)
èx ø
(1)(cid:142)a=-1(cid:143)(cid:86)(cid:46)(cid:128)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:84)
(2)(cid:200)(cid:19)(cid:17) f x(cid:91)0,+¥(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)ln2x+y-ln2=0(cid:89)
ì 1ü
(2)ía|a³ ý.
î 2þ
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:310)(cid:157)(cid:46)(cid:122)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:87)(cid:115)(cid:49)(cid:86)(cid:311)(cid:220)(cid:137)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:163)(cid:82)(cid:93)(cid:94)(cid:20)(cid:172)(cid:173)(cid:224)(cid:93)(cid:4)(cid:198)(cid:30)(cid:86)(cid:23)(cid:220)
(cid:46)(cid:87)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:190)(cid:55)(cid:13)(cid:117) f¢x³0(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:249)(cid:282)(cid:44)(cid:312)(cid:118)(cid:122)gx=ax2+x-x+1lnx+1³0(cid:91)(cid:221)(cid:222)
1 1
0,+¥(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:311)(cid:220)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)a£0,a³ ,0<a< (cid:225)(cid:297)(cid:9)(cid:255)(cid:117)(cid:118)(cid:46)(cid:122)(cid:124)(cid:17)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110).
2 2
æ1 ö
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)a=-1(cid:143)(cid:86) f x=ç -1÷lnx+1x>-1(cid:86)
èx ø
1 æ1 ö 1
(cid:169) f¢x=- ´lnx+1+ç -1÷´ (cid:86)
x2 èx ø x+1(cid:232)(cid:189)(cid:118)(cid:122) f 1=0, f¢1=-ln2(cid:86)
(cid:181)(cid:191)(cid:19)(cid:17)(cid:91) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y-0=-ln2x-1(cid:86)(cid:117)ln2x+y-ln2=0.
æ 1 ö æ1 ö 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:137)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:87)(cid:115)(cid:49)(cid:118)(cid:122) f¢x=ç- ÷lnx+1+ç +a÷´ x>-1(cid:86)
è x2 ø èx ø x+1
(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:143) f¢x³0(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52).
(cid:176) æ ç- 1 ö ÷lnx+1+ æ ç 1 +a ö ÷ 1 ³0(cid:86)(cid:169)-x+1lnx+1+  x+ax2 ³0(cid:86)
è x2 ø èx øx+1
(cid:176)gx=ax2+x-x+1lnx+1(cid:86)(cid:190)(cid:55)(cid:13)(cid:48)(cid:298)(cid:99)gx³0(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
(cid:169)g¢x=2ax-lnx+1(cid:86)
(cid:142)a£0(cid:143)(cid:86)(cid:137)(cid:99)2ax£0,lnx+1>0(cid:86)(cid:174)g¢x<0(cid:86)gx(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(cid:189)(cid:143)gx<g0=0(cid:86)(cid:47)(cid:69)(cid:13)(cid:138);
1
(cid:176)hx=g¢x=2ax-lnx+1(cid:86)(cid:169)h¢x=2a- (cid:86)
x+1
1 1
(cid:142)a³ (cid:86)2a³1(cid:143)(cid:86)(cid:137)(cid:99) <1(cid:86)(cid:181)(cid:191)h¢x>0,hx(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
2 x+1
(cid:117)g¢x(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:181)(cid:191)g¢x> g¢0=0(cid:86)gx(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)gx>g0=0(cid:86)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138).
1 1 1
(cid:142)0<a< (cid:143)(cid:86)(cid:137)h¢x=2a- =0(cid:118)(cid:122)x= -1(cid:86)
2 x+1 2a
æ 1 ö æ 1 ö
(cid:142)xÎç0, -1÷(cid:143)(cid:86)h¢x<0,hx(cid:91)(cid:221)(cid:222)ç0, -1÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:117)g¢x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
è 2a ø è 2a ø
æ 1 ö
(cid:294)(cid:138)(cid:208)g¢0=0(cid:86)(cid:174)(cid:142)xÎç0, -1÷(cid:143)(cid:86)g¢x<g¢0=0(cid:86)gx(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
è 2a ø
æ 1 ö
(cid:137)(cid:99)g0=0(cid:86)(cid:174)(cid:142)xÎç0, -1÷(cid:143)(cid:86)gx<g0=0(cid:86)(cid:47)(cid:69)(cid:13)(cid:138).
è 2a ø
ì 1ü
(cid:68)(cid:24)(cid:118)(cid:78)(cid:140)(cid:124)(cid:17)a(cid:122)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:90)ía|a³ ý.
î 2þ
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:119)(cid:152)(cid:4)(cid:283)(cid:140)
(cid:10)1(cid:11)(cid:46)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(cid:313)(cid:314)(cid:90)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:46)(cid:93)(cid:94)(cid:20)(cid:172)(cid:173)(cid:86)(cid:46)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:16)(cid:17)(cid:159)(cid:315)(cid:163)(cid:316)(cid:317)(cid:19)(cid:17)(cid:318)(cid:5)(cid:51)(cid:319)(cid:285)(cid:320)(cid:48)(cid:19)(cid:17)(cid:20)
(cid:224)(cid:27)(cid:153)(cid:27)(cid:273)(cid:27)(cid:321)(cid:86)(cid:164)(cid:121)(cid:71)(cid:322)(cid:323)(cid:152)(cid:169)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:69)(cid:19)(cid:17)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:70)(cid:137)(cid:195)(cid:208)(cid:103)(cid:324)(cid:325)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:158)(cid:159)(cid:143)(cid:159)(cid:156)(cid:326)(cid:227)(cid:327).
(cid:10)2(cid:11)(cid:137)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:46)(cid:41)(cid:17)(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:20)(cid:119)(cid:152)
(cid:19)(cid:17)(cid:91)(cid:221)(cid:222)a,b(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:86)(cid:124)(cid:328)(cid:24)(cid:219)(cid:90)(cid:91)(cid:218)(cid:221)(cid:222)(cid:24) f¢x³0((cid:139) f¢x£0)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:84)
①(cid:19)(cid:17)(cid:91)(cid:221)(cid:222)a,b(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:130)(cid:131)(cid:221)(cid:222)(cid:86)(cid:124)(cid:328)(cid:24)(cid:219)(cid:90) f¢x³0((cid:139) f¢x£0)(cid:91)(cid:218)(cid:221)(cid:222)(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:87)(cid:88)(cid:84)
② sinx æ πö
11(cid:84)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=ax- ,xÎç0, ÷(cid:84)
cos2x è 2ø
(1)(cid:142)a=1(cid:143)(cid:86)(cid:42)(cid:43) f x(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:89)
(2)(cid:200) f x+sinx<0(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
æ πö
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1) f x(cid:91)ç0, ÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)
è 2ø
(2)a£0
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:277)(cid:278)a=1(cid:220)(cid:86)(cid:164)(cid:129) f x(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:237)(cid:143)(cid:121)(cid:71)(cid:225)(cid:226)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:329)(cid:119)(cid:134)(cid:135)(cid:126)(cid:330) f¢x(cid:86)(cid:164)(cid:121)(cid:71)(cid:227)(cid:327)(cid:152)(cid:202)(cid:203)
(cid:122)(cid:76)(cid:5)(cid:331)(cid:18)(cid:5)(cid:213)(cid:20)(cid:123)(cid:305)(cid:9)(cid:255)(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:122)(cid:87)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:152)(cid:33)(cid:140)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:17)gx= f x+sinx(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:122)(cid:208)gx<0(cid:86)(cid:294)(cid:138)(cid:208)g0=0(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:122)(cid:208)g¢0£0(cid:86)(cid:156)(cid:141)
(cid:122)(cid:208)a£0(cid:86)(cid:164)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)a=0(cid:18)a<0(cid:272)(cid:297)(cid:9)(cid:255)(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:87)(cid:89)
sinx
(cid:152)(cid:57)(cid:140)(cid:157)(cid:126)(cid:330)(cid:332)(cid:202)(cid:203)(cid:122)sinx- <0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:164)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)a=0(cid:86)a<0(cid:18)a>0(cid:225)(cid:297)(cid:9)(cid:255)(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:56)(cid:4)(cid:187)(cid:91)
cos2x
(cid:82)(cid:282)(cid:18)(cid:63)(cid:56)(cid:4)(cid:20)(cid:78)(cid:79)(cid:202)(cid:203)(cid:122)a>0(cid:143)(cid:47)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:122)(cid:87).
sinx æ πö
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:214)(cid:127)a=1(cid:86)(cid:181)(cid:191) f x=x- ,xÎç0, ÷(cid:86)
cos2x è 2ø
cosxcos2x-2cosx-sinxsinx cos2x+2sin2x
(cid:169) f¢x=1- =1-
cos4x cos3x
cos3x-cos2x-2  1-cos2x  cos3x+cos2x-2
= = (cid:86)
cos3x cos3x
æ πö
(cid:176)t =cosx(cid:86)(cid:137)(cid:99)xÎç0, ÷(cid:86)(cid:181)(cid:191)t =cosxÎ0,1(cid:86)
è 2ø
(cid:181)(cid:191)cos3x+cos2x-2=t3+t2-2=t3-t2+2t2-2=t2t-1+2t+1t-1 =  t2+2t+2 t-1(cid:86)
(cid:214)(cid:127)t2+2t+2=t+12+1>0(cid:86)t-1<0(cid:86)cos3x=t3 >0(cid:86)
cos3x+cos2x-2 æ πö
(cid:181)(cid:191) f¢x= <0(cid:91)ç0, ÷(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
cos3x è 2ø
æ πö
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)ç0, ÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146).
è 2ø
(cid:10)2(cid:11)(cid:152)(cid:33)(cid:140)
sinx æ πö
(cid:74)(cid:133)gx= f x+sinx=ax- +sinxç0<x< ÷(cid:86)
cos2x è 2ø
1+sin2x æ πö
(cid:169)g¢x=a- +cosxç0<x< ÷(cid:86)
cos3x è 2ø(cid:200)gx= f x+sinx<0(cid:86)(cid:96)g0= f 0+sin0=0(cid:86)
(cid:169)g¢0=a-1+1=a£0(cid:86)(cid:87)(cid:122)a£0(cid:86)
sinx æ 1 ö
(cid:142)a=0(cid:143)(cid:86)(cid:214)(cid:127)sinx- =sinxç1- ÷(cid:86)
cos2x è cos2xø
æ πö 1
(cid:177)xÎç0, ÷(cid:86)(cid:181)(cid:191)0<sinx<1(cid:86)0<cosx<1(cid:86)(cid:169) >1(cid:86)
è 2ø cos2x
sinx
(cid:181)(cid:191) f x+sinx=sinx- <0(cid:86)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
cos2x
π
(cid:142)a<0(cid:143)(cid:86)(cid:137)(cid:99)0<x< (cid:86)(cid:333)(cid:311)ax<0(cid:86)
2
sinx sinx
(cid:181)(cid:191) f x+sinx=ax- +sinx<sinx- <0(cid:86)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
cos2x cos2x
(cid:68)(cid:24)(cid:181)(cid:182)(cid:140)(cid:200) f x+sinx<0(cid:86)(cid:48)(cid:298)(cid:99)a£0(cid:86)
(cid:181)(cid:191)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:127)-¥,0
.
(cid:152)(cid:57)(cid:140)
sinx sinxcos2x-sinx sinx  cos2x-1  sin3x
(cid:214)(cid:127)sinx- = = =- (cid:86)
cos2x cos2x cos2x cos2x
æ πö
(cid:214)(cid:127)xÎç0, ÷(cid:86)(cid:181)(cid:191)0<sinx<1(cid:86)0<cosx<1(cid:86)
è 2ø
sinx æ πö
(cid:174)sinx- <0(cid:91)ç0, ÷(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
cos2x è 2ø
sinx
(cid:181)(cid:191)(cid:142)a=0(cid:143)(cid:86) f x+sinx=sinx- <0(cid:86)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
cos2x
π
(cid:142)a<0(cid:143)(cid:86)(cid:137)(cid:99)0<x< (cid:86)(cid:333)(cid:311)ax<0(cid:86)
2
sinx sinx
(cid:181)(cid:191) f x+sinx=ax- +sinx<sinx- <0(cid:86)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
cos2x cos2x
sinx sin3x
(cid:142)a>0(cid:143)(cid:86)(cid:214)(cid:127) f x+sinx=ax- +sinx=ax- (cid:86)
cos2x cos2x
sin3x æ πö 3sin2xcos2x+2sin4x
(cid:176)gx=ax- ç0<x< ÷(cid:86)(cid:169)g¢x=a- (cid:86)
cos2xè 2ø cos3x
3sin20cos20+2sin40
(cid:294)(cid:138)(cid:208)g¢0=a- =a>0(cid:86)
cos30
π æ πö
(cid:200)"0<x< (cid:86)g¢x>0(cid:86)(cid:169)gx(cid:91)ç0, ÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
2 è 2ø
(cid:294)(cid:138)(cid:208)g0=0(cid:86)(cid:181)(cid:191)gx>g0=0(cid:86)(cid:117) f x+sinx>0(cid:86)(cid:47)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
π
(cid:200)$0<x < (cid:86)g¢x <0(cid:86)(cid:169)g¢0g¢x <0(cid:86)
0 2 0 0æ πö æ πö
(cid:181)(cid:191)(cid:91)ç0, ÷(cid:24)(cid:23)(cid:334)(cid:335)x=0(cid:92)(cid:158)(cid:187)(cid:91)(cid:56)(cid:4)x Îç0, ÷(cid:86)(cid:178)(cid:122)g¢x =0(cid:86)
è 2ø 1 è 2ø 1
(cid:189)(cid:143)g¢x(cid:91)0,x (cid:24)(cid:216)g¢x>0(cid:86)(cid:181)(cid:191)gx(cid:91)0,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
1 1
(cid:169)(cid:91)0,x (cid:24)(cid:216)gx>g0=0(cid:86)(cid:117) f x+sinx>0(cid:86)(cid:47)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
1
(cid:68)(cid:24)(cid:140)a£0.
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:134)(cid:284)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:285)(cid:13)(cid:119)(cid:152)(cid:57)(cid:100)2(cid:148)(cid:55)(cid:42)(cid:43)a>0(cid:184)(cid:297)(cid:9)(cid:255)(cid:20)(cid:134)(cid:284)(cid:90)(cid:86)(cid:294)(cid:138)(cid:208)g¢0>0(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)g¢x
æ πö
(cid:91)ç0, ÷(cid:24)(cid:20)(cid:123)(cid:305)(cid:9)(cid:255)(cid:86)(cid:122)(cid:208)(cid:215)(cid:187)(cid:91)(cid:334)(cid:335)x=0(cid:92)(cid:20)(cid:33)(cid:62)(cid:221)(cid:222)(cid:86)(cid:178)(cid:122)g¢x>0(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:336)(cid:122)(cid:187)(cid:91)
è 2ø
gx>g0=0(cid:86)(cid:137)(cid:189)(cid:122)(cid:87).
æ1 ö
12(cid:84)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=ç +a÷ln(1+x).
èx ø
(1)(cid:142)a=-1(cid:143)(cid:86)(cid:46)(cid:128)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:89)
æ1ö
(2)(cid:90)(cid:274)(cid:187)(cid:91)a(cid:86)b(cid:86)(cid:178)(cid:122)(cid:128)(cid:94)y= f ç ÷(cid:134)(cid:99)(cid:98)(cid:94)x=b(cid:129)(cid:337)(cid:86)(cid:200)(cid:187)(cid:91)(cid:86)(cid:46)a(cid:86)b(cid:20)(cid:22)(cid:86)(cid:200)(cid:47)(cid:187)(cid:91)(cid:86)(cid:338)(cid:66)(cid:282)(cid:137).
èxø
(3)(cid:200) f x(cid:91)0,+¥(cid:187)(cid:91)(cid:21)(cid:22)(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110).
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1) ln2x+y-ln2=0(cid:89)
(2)
æ1ö æ1 ö
(cid:176)gx= f ç ÷=x+alnç +1÷(cid:86)
èxø èx ø
1 x+1
(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:179)(cid:180) +1= >0(cid:86)(cid:117)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:127)-¥,-1È0,+¥(cid:86)
x x
1 1
(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:134)(cid:99)(cid:98)(cid:94)x=- (cid:129)(cid:337)(cid:86)(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:118)(cid:122)b=- (cid:86)
2 2
æ 1 ö æ 1 öæ 1ö
(cid:137)(cid:129)(cid:337)(cid:132)(cid:118)(cid:78)gç- +m÷=gç- -m÷çm> ÷(cid:86)
è 2 ø è 2 øè 2ø
3
(cid:108)m= (cid:118)(cid:122)g1=g-2(cid:86)
2
1 1
(cid:117)a+1ln2=a-2ln (cid:86)(cid:169)a+1=2-a(cid:86)(cid:87)(cid:122)a= (cid:86)
2 2
1 1 1 1
(cid:270)(cid:339)(cid:340)a= ,b=- (cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138)(cid:86)(cid:174)a= ,b=- .
2 2 2 2
1 1
(cid:117)(cid:187)(cid:91)a= ,b=- (cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:138).
2 2
æ 1ö
(3)ç0, ÷.
è 2ø
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(1)(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:310)(cid:157)(cid:46)(cid:122)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:87)(cid:115)(cid:49)(cid:86)(cid:311)(cid:220)(cid:137)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:163)(cid:82)(cid:93)(cid:94)(cid:20)(cid:172)(cid:173)(cid:224)(cid:93)(cid:4)(cid:198)(cid:30)(cid:86)(cid:23)(cid:220)(cid:46)(cid:87)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(2)(cid:310)(cid:157)(cid:46)(cid:122)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:86)(cid:137)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:118)(cid:163)(cid:82)(cid:124)(cid:17)b(cid:20)(cid:22)(cid:86)(cid:156)(cid:33)(cid:293)(cid:149)(cid:69)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:129)(cid:337)(cid:132)(cid:121)(cid:71)(cid:230)(cid:309)(cid:22)(cid:152)(cid:118)
(cid:122)(cid:134)(cid:99)(cid:124)(cid:17)a(cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:86)(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:118)(cid:122)(cid:124)(cid:17)a(cid:20)(cid:22)(cid:86)(cid:23)(cid:220)(cid:339)(cid:340)(cid:181)(cid:122)(cid:20)a,b(cid:90)(cid:274)(cid:123)(cid:163)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(3)(cid:190)(cid:55)(cid:13)(cid:48)(cid:298)(cid:99)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:216)(cid:44)(cid:155)(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:232)(cid:189)(cid:74)(cid:75)(cid:28)(cid:19)(cid:17)gx n=ax2+x-x+1lnx+1(cid:86)(cid:311)(cid:220)(cid:129)(cid:19)(cid:17)(cid:46)(cid:16)(cid:86)
1 1
(cid:121)(cid:71)(cid:93)(cid:94)(cid:72)(cid:73)(cid:279)(cid:280)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:132)(cid:240)(cid:86)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)a£0(cid:86)a³ (cid:224)0<a< (cid:225)(cid:64)(cid:9)(cid:255)(cid:117)(cid:118)(cid:46)(cid:122)(cid:124)(cid:17)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110).
2 2
æ1 ö
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)a=-1(cid:143)(cid:86) f x=ç -1÷lnx+1(cid:86)
èx ø
1 æ1 ö 1
(cid:169) f¢x=- ´lnx+1+ç -1÷´ (cid:86)
x2 èx ø x+1
(cid:232)(cid:189)(cid:118)(cid:122) f 1=0, f¢1=-ln2(cid:86)
(cid:19)(cid:17)(cid:91) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y-0=-ln2x-1(cid:86)
(cid:117)ln2x+y-ln2=0.
(cid:10)2(cid:11)(cid:341)
æ 1 ö æ1 ö 1
(cid:10)3(cid:11)(cid:137)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:87)(cid:115)(cid:49)(cid:118)(cid:122) f¢x=ç- ÷lnx+1+ç +a÷ (cid:86)
è x2 ø èx øx+1
(cid:137) f x(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:187)(cid:91)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:169) f¢x(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:44)(cid:155)(cid:56)(cid:4);
æ 1 ö æ1 ö 1
(cid:176)ç- ÷lnx+1+ç +a÷ =0(cid:86)
è x2 ø èx øx+1
(cid:169)-x+1lnx+1+  x+ax2 =0(cid:86)
(cid:176)gx n=ax2+x-x+1lnx+1(cid:86)
f x(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:187)(cid:91)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:48)(cid:298)(cid:99)gx(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:44)(cid:155)(cid:56)(cid:4)(cid:86)
1
g¢x=2ax-lnx+1,g¢¢x=2a-
x+1
(cid:142)a£0(cid:143)(cid:86)g¢x<0(cid:86)gx(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(cid:189)(cid:143)gx<g0=0(cid:86)gx(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:105)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:47)(cid:69)(cid:13)(cid:138);
1 1
(cid:142)a³ (cid:86)2a³1(cid:143)(cid:86)(cid:137)(cid:99) <1(cid:86)(cid:181)(cid:191)g¢¢x>0,g¢x(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
2 x+1
(cid:181)(cid:191)g¢x>g¢0=0(cid:86)gx(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)gx>g0=0(cid:86)
(cid:181)(cid:191)gx(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:105)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:47)(cid:154)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:89)1 1 1
(cid:142)0<a< (cid:143)(cid:86)(cid:137)g¢¢x=2a- =0(cid:118)(cid:122)x= -1(cid:86)
2 x+1 2a
æ 1 ö
(cid:142)xÎç0, -1÷(cid:143)(cid:86)g¢¢x<0(cid:86)g¢x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
è 2a ø
æ 1 ö
(cid:142)xÎç -1,+¥÷(cid:143)(cid:86)g¢¢x>0(cid:86)g¢x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
è2a ø
æ 1 ö
(cid:174)g¢x(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:127)g¢ ç -1÷=1-2a+ln2a(cid:86)
è2a ø
-x+1
(cid:176)mx=1-x+lnx0<x<1(cid:86)(cid:169)m¢x= >0(cid:86)
x
(cid:19)(cid:17)mx(cid:91)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:103)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)mx<m1=0(cid:86)
(cid:232)(cid:189)(cid:118)(cid:122)1-x+lnx<0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
æ 1 ö
(cid:169)g¢ ç -1÷=1-2a+ln2a<0(cid:86)
è2a ø
(cid:137)(cid:33)(cid:302)(cid:19)(cid:17)(cid:18)(cid:129)(cid:17)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:132)(cid:240)(cid:118)(cid:122)(cid:86)(cid:142)x®+¥(cid:143)(cid:86)
g¢x=2ax-lnx+1®+¥(cid:86)
(cid:96)(cid:294)(cid:138)(cid:208)g¢0=0(cid:86)
(cid:231)(cid:232)(cid:56)(cid:4)(cid:187)(cid:91)(cid:132)(cid:82)(cid:282)(cid:118)(cid:78):g¢x(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4)x
.
0
(cid:142)xÎ0,x (cid:143)(cid:86)g¢x<0(cid:86)gx(cid:130)(cid:131)(cid:146)(cid:86)
0
(cid:142)xÎx ,+¥(cid:143)(cid:86)g¢x>0(cid:86)gx(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
0
(cid:181)(cid:191)gx <g0=0.
0
1 1 2- x
(cid:176)nx=lnx- x (cid:86)(cid:169)n¢x= - = (cid:86)
x 2 x 2x
(cid:169)(cid:19)(cid:17)nx=lnx- x (cid:91)0,4(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:91)4,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(cid:181)(cid:191)nx£n4=ln4-2<0(cid:86)(cid:181)(cid:191)lnx< x(cid:86)
é ù
æ 4 ö æ 4 öê æ 4 ö æ 4 ö 1-a ú
(cid:181)(cid:191)gç ÷n=ç +1÷êaç +1÷-lnç +1÷- -2a+1ú
èa2 ø èa2 øê èa2 ø èa2 ø 4 +1 ú
ë a2 û
æ 4 öé4 æ 4 ö ù
n>ç +1÷ê +a-lnç +1÷+a-1-2a+1
ú
èa2 øëa èa2 ø ûæ 4 öé4 æ 4 öù æ 4 öæ4 4 ö
= è ç a2 +1 ø ÷ ë ê a -ln è ç a2 +1 ø ÷ û ú > è ç a2 +1 ø ÷ è ç ç a - a2 +1 ø ÷ ÷
16 4 12
- -1 -1
æ 4 ö a2 a2 æ 4 ö a2
=ç +1÷ =ç +1÷ >0(cid:86)
èa2 ø 4 4 èa2 ø 4 4
+ +1 + +1
a a2 a a2
(cid:181)(cid:191)(cid:19)(cid:17)gx(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,+¥(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:44)(cid:155)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:154)(cid:69)(cid:13)(cid:138).
æ 1ö
(cid:68)(cid:69)(cid:24)(cid:256)(cid:118)(cid:78):(cid:124)(cid:17)a(cid:122)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:90)ç0, ÷.
è 2ø
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(1)(cid:46)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(cid:313)(cid:314)(cid:90)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:46)(cid:93)(cid:94)(cid:20)(cid:172)(cid:173)(cid:86)(cid:46)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:16)(cid:17)(cid:159)(cid:315)(cid:163)(cid:316)(cid:317)(cid:19)(cid:17)(cid:318)(cid:5)(cid:51)(cid:319)(cid:285)(cid:320)(cid:48)
(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:224)(cid:27)(cid:153)(cid:27)(cid:273)(cid:27)(cid:321)(cid:86)(cid:164)(cid:121)(cid:71)(cid:322)(cid:323)(cid:152)(cid:169)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:69)(cid:19)(cid:17)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:70)(cid:137)(cid:195)(cid:208)(cid:103)(cid:324)(cid:325)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:158)(cid:159)(cid:143)(cid:159)(cid:156)(cid:326)(cid:227)(cid:327).
(2)(cid:231)(cid:232)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:21)(cid:22)((cid:4))(cid:46)(cid:41)(cid:17)(cid:20)(cid:272)(cid:62)(cid:159)(cid:342)(cid:140) (cid:343)(cid:49):(cid:231)(cid:232)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:92)(cid:16)(cid:17)(cid:127)0(cid:224)(cid:21)(cid:22)(cid:184)(cid:272)(cid:62)(cid:250)(cid:251)(cid:343)(cid:119)(cid:120)(cid:299)(cid:86)(cid:121)
(cid:71)(cid:344)(cid:82)(cid:135)(cid:17)(cid:152)(cid:46)(cid:87); (cid:340)(cid:65):(cid:46)(cid:87)(cid:220)(cid:340)(cid:65)(cid:231)(cid:20)(cid:69)①(cid:282)(cid:132).(cid:285)(cid:13)(cid:64)(cid:100)(cid:57)(cid:55)(cid:121)(cid:71)(cid:129)(cid:337)(cid:132)(cid:46)(cid:41)(cid:17)(cid:22)(cid:244)(cid:220)(cid:170)(cid:205)(cid:159)(cid:156)(cid:326)(cid:340)(cid:65).
13(cid:84)（2022·全国甲 ② 卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=x3-x,g(x)=x2+a(cid:86)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:4) x, f x  (cid:92)(cid:20)(cid:93)
1 1
(cid:94)(cid:170)(cid:90)(cid:128)(cid:94)y=g(x)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:84)
(1)(cid:200)x =-1(cid:86)(cid:46)a(cid:89)
1
(2)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)3
(2)
-1,+¥
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:157)(cid:137) f(x)(cid:24)(cid:20)(cid:93)(cid:4)(cid:46)(cid:116)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:86)(cid:183)(cid:116)g(x)(cid:24)(cid:20)(cid:93)(cid:4)(cid:198)(cid:30)(cid:86)(cid:137)(cid:172)(cid:173)(cid:46)(cid:116)(cid:93)(cid:4)(cid:198)(cid:30)(cid:86)(cid:164)(cid:137)(cid:19)
(cid:17)(cid:22)(cid:46)(cid:116)a(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:183)(cid:116)g(x)(cid:24)(cid:20)(cid:93)(cid:4)(cid:198)(cid:30)(cid:86)(cid:5)(cid:199)(cid:137) f(x)(cid:224)g(x)(cid:67)(cid:93)(cid:4)(cid:209)(cid:210)(cid:116)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:86)(cid:137)(cid:93)(cid:94)(cid:345)(cid:69)(cid:209)(cid:210)(cid:116)a(cid:86)(cid:74)(cid:75)(cid:19)
(cid:17)(cid:86)(cid:46)(cid:16)(cid:46)(cid:116)(cid:19)(cid:17)(cid:22)(cid:192)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:46)(cid:122)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:78)(cid:86) f(-1)=-1-(-1)=0(cid:86) f¢(x)=3x2-1(cid:86) f¢(-1)=3-1=2(cid:86)(cid:169)y= f(x)(cid:91)(cid:4)-1,0(cid:92)
(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y=2(x+1)(cid:86)
(cid:117)y=2x+2(cid:86)(cid:183)(cid:218)(cid:93)(cid:94)(cid:18)g(x)(cid:93)(cid:99)(cid:4)x ,g(x )(cid:86)g¢(x)=2x(cid:86)(cid:169)g¢(x )=2x =2(cid:86)(cid:87)(cid:122)x =1(cid:86)(cid:169)
2 2 2 2 2
g(1)=1+a=2+2(cid:86)(cid:87)(cid:122)a=3(cid:89)
(cid:10)2(cid:11) f¢(x)=3x2-1(cid:86)(cid:169)y= f(x)(cid:91)(cid:4)x
1,
f(x
1
)(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y-  x
1
3-x
1
 =  3x
1
2-1  (x-x
1
)(cid:86)(cid:249)(cid:282)(cid:122)
y=  3x2-1  x-2x3(cid:86)
1 1(cid:183)(cid:218)(cid:93)(cid:94)(cid:18)g(x)(cid:93)(cid:99)(cid:4)x ,g(x )(cid:86)g¢(x)=2x(cid:86)(cid:169)g¢(x )=2x (cid:86)(cid:169)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y-  x2+a  =2x (x-x )(cid:86)(cid:249)(cid:282)
2 2 2 2 2 2 2
(cid:122)y=2x x-x2+a(cid:86)
2 2
ì3x2-1=2x æ3x2 1ö 2 9 3 1
(cid:169)í 1 2 (cid:86)(cid:249)(cid:282)(cid:122)a=x2-2x3 =ç 1 - ÷ -2x3 = x4-2x3- x2+ (cid:86)
î-2x3 =-x2+a 2 1 è 2 2ø 1 4 1 1 2 1 4
1 2
9 3 1 1
(cid:176)h(x)= x4-2x3- x2+ (cid:86)(cid:169)h¢(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)(x-1)(cid:86)(cid:176)h¢(x)>0(cid:86)(cid:87)(cid:122)- <x<0(cid:139)x>1(cid:86)
4 2 4 3
1
(cid:176)h¢(x)<0(cid:86)(cid:87)(cid:122)x<- (cid:139)0<x<1(cid:86)(cid:169)x(cid:44)(cid:126)(cid:143)(cid:86)h¢(x),h(x)(cid:20)(cid:44)(cid:126)(cid:9)(cid:255)(cid:296)(cid:207)(cid:209)(cid:140)
3
æ 1ö 1 æ 1 ö
x ç-¥,- ÷ - ç- ,0÷ 0 0,1 1 1,+¥
è 3ø 3 è 3 ø
h¢(x) - 0 + 0 - 0 +
5 1
h(x)
] Z ] −1 Z
27 4
(cid:169)h(x)(cid:20)(cid:22)(cid:192)(cid:127)-1,+¥(cid:86)(cid:174)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:127)-1,+¥.
考点 02 导数与函数的零点问题
1(cid:84)（2026·北京·高考真题）(cid:183)(cid:19)(cid:17) f x=x2+mx-4enx-1nÎZ(cid:86)(cid:128)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4) -1, f -1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)
(cid:120)(cid:127)4x+e2y+e2+8=0(cid:84)
(1)(cid:46)m(cid:86)n(cid:20)(cid:22)(cid:89)
(2)(cid:46) f x(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:89)
(3)(cid:46)y=kx-1k >0(cid:18) f x(cid:80)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)m=2(cid:27)n=1
(2) f x(cid:216)(cid:272)(cid:62)(cid:21)(cid:22)(cid:4)
(3)(cid:80)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:127)1
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:346)(cid:347)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:118)(cid:122) f¢-1=-4e-2(cid:27) f -1=-1-4e-2(cid:86)(cid:348)(cid:323)(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:87)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:46)(cid:16)(cid:122)(cid:208) f¢x(cid:220)(cid:86)(cid:164)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:279)(cid:280)(cid:19)(cid:17) f¢x(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:122) f¢x(cid:44)(cid:155)(cid:56)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:122) f x(cid:21)
(cid:22)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:89)(cid:10)3(cid:11)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:17)hx=x2+2x-4ex-1-kx+1(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:348)(cid:323)(cid:118)(cid:122)h¢x=2gx-k(cid:86)(cid:164)(cid:5)k >2-2ln2(cid:67)
0<k £2-2ln2(cid:156)(cid:326)(cid:42)(cid:43)(cid:86)(cid:142)k >2-2ln2(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:10)2(cid:11)(cid:64)(cid:181)(cid:122)(cid:118)(cid:122)hx(cid:91)R(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:56)(cid:4)(cid:187)(cid:91)(cid:132)
(cid:82)(cid:282)(cid:117)(cid:118)(cid:122)hx(cid:91)R(cid:24)(cid:56)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:122)y=kx-1k >0(cid:18) f x(cid:80)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:89)(cid:142)0<k £2-2ln2(cid:143)(cid:86)(cid:118)(cid:122)
h¢x=0(cid:216)(cid:272)(cid:62)(cid:124)(cid:231)(cid:86)(cid:5)(cid:199)(cid:183)(cid:127)x (cid:27)x (cid:86)(cid:96)x <x (cid:86)(cid:169)(cid:122)hx(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:348)(cid:323)(cid:118)(cid:122)hx <0(cid:27)hx <0(cid:86)(cid:164)
3 4 3 4 3 4
(cid:121)(cid:71)(cid:56)(cid:4)(cid:187)(cid:91)(cid:132)(cid:82)(cid:282)(cid:117)(cid:118)(cid:122)hx(cid:91)R(cid:24)(cid:56)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:122)y=kx-1k >0(cid:18) f x(cid:80)(cid:4)(cid:62)(cid:17).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11) f¢x=2x+m-4nenx-1(cid:86)(cid:169) f¢-1=-2+m-4ne-n-1 =-4e-2(cid:86)
-e2-8+4 ìm=2
f -1=1-m-4e-n-1 = =-1-4e-2(cid:86)(cid:177)nÎZ(cid:86)(cid:87)(cid:122)í (cid:89)
e2 în=1
(cid:10)2(cid:11)(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:122) f x=x2+2x-4ex-1(cid:86)(cid:169) f¢x=2x+2-4ex-1 =2  x+1-2ex-1 (cid:86)
(cid:176)gx=x+1-2ex-1(cid:86)(cid:169)g¢x=1-2ex-1(cid:86)
(cid:176)g¢x=1-2ex-1 =0(cid:86)(cid:87)(cid:122)x=1-ln2(cid:86)
(cid:169)(cid:142)xÎ-¥,1-ln2(cid:143)(cid:86)g¢x>0(cid:86)(cid:142)xÎ1-ln2,+¥(cid:143)(cid:86)g¢x<0(cid:86)
(cid:174)gx(cid:91)-¥,1-ln2(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:91)1-ln2,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(cid:177)g1-ln2=1-ln2+1-2e-ln2 =1-ln2>0(cid:86)
g-1=-1+1-2e-2 =-2e-2 <0(cid:86)g1=1+1-2e0 =0(cid:86)
(cid:174)(cid:187)(cid:91)x Î-1,1-ln2(cid:86)(cid:178)(cid:122) f¢x =0(cid:86)(cid:96)(cid:216) f¢1=0(cid:86)
1 1
(cid:169)(cid:142)xÎ-¥,x È1,+¥(cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86)(cid:142)xÎx,1(cid:143)(cid:86) f¢x>0(cid:86)
1 1
(cid:174) f x(cid:91)-¥,x (cid:27)1,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)x,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
1 1
(cid:174) f x(cid:216)(cid:272)(cid:62)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:89)
(cid:10)3(cid:11)(cid:176)x2+2x-4ex-1 =kx-1(cid:86)(cid:169)x2+2x-4ex-1-kx+1=0(cid:86)
(cid:176)hx=x2+2x-4ex-1-kx+1(cid:86)(cid:169)h¢x=2x+2-4ex-1-k =2gx-k(cid:89)
(cid:200)k ³2g1-ln2=2-2ln2(cid:86)(cid:169)h¢x£0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:10)(cid:47)(cid:50)(cid:127)(cid:56)(cid:11)(cid:86)
4
(cid:174)hx(cid:91)R(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:177)h0=-4e-1+1=1- <0(cid:86)
e(cid:142)x®-¥(cid:143)(cid:86)hx®+¥(cid:86)(cid:174)hx(cid:91)R(cid:24)(cid:216)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4)(cid:86)
(cid:117)y=kx-1k >0(cid:18) f x(cid:216)(cid:188)(cid:33)(cid:80)(cid:4)(cid:89)
(cid:200)0<k <2-2ln2(cid:143)(cid:86)2gx-k =0(cid:216)(cid:272)(cid:62)(cid:124)(cid:231)(cid:86)
(cid:183)(cid:184)(cid:272)(cid:62)(cid:124)(cid:231)(cid:5)(cid:199)(cid:127)x (cid:27)x (cid:86)(cid:96)x <x (cid:86)(cid:169)x Îx,1-ln2(cid:27)x Î1-ln2,1(cid:86)
3 4 3 4 3 1 4
(cid:169)(cid:142)xÎ-¥,x Èx ,+¥(cid:143)(cid:86)h¢x<0(cid:86)(cid:142)xÎx ,x (cid:143)(cid:86)h¢x>0(cid:86)
3 4 3 4
(cid:174)hx(cid:91)-¥,x (cid:27)x ,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)x ,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
3 4 3 4
(cid:174)hx (cid:127)hx(cid:20)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:86)hx (cid:127)hx(cid:20)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:86)(cid:96)hx <hx (cid:86)
3 4 3 4
(cid:137)h¢x =2x +2-4ex 4-1-k =0(cid:86)(cid:169)4ex4-1 =2x +2-k(cid:86)
4 4 4
(cid:169)hx =x2+2x -4ex 4-1-kx +1=x2+2x -2x +2-k-kx +1
4 4 4 4 4 4 4 4
=x2-kx +k-1=x -1éx -k-1ù(cid:86)
4 4 4 ë 4 û
(cid:137)0<k £2-2ln2(cid:86)(cid:169)k-1£1-2ln2<x (cid:86)
4
(cid:169)(cid:216)x -1<0(cid:27)x -k-1>0(cid:86)
4 4
(cid:174)hx <0(cid:86)(cid:169)hx <hx <0(cid:86)
4 3 4
(cid:177)x®-¥(cid:143)(cid:86)hx®+¥(cid:86)(cid:174)hx(cid:91)-¥,x (cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4)(cid:86)
3
(cid:117)y=kx-1k >0(cid:18) f x(cid:216)(cid:188)(cid:33)(cid:80)(cid:4)(cid:89)
(cid:68)(cid:24)(cid:181)(cid:182)(cid:140)y=kx-1k >0(cid:18) f x(cid:80)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:127)1.
2(cid:84)（2026·上海·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=sinwx+jw>0,0<j<π .
æ π ö
(1)(cid:142)w=2(cid:86) f ç ÷=0(cid:86)(cid:46)(cid:19)(cid:17) f x(cid:91)x=0(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:89)
è12ø
2
(2)(cid:200)(cid:19)(cid:17) f x(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:123)(cid:253)(cid:254)(cid:127)3π(cid:86)(cid:96) f x= (cid:91)xÎ0,2026π(cid:24)(cid:349)(cid:350)(cid:216)1351(cid:62)(cid:87)(cid:86)(cid:46)j(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110).
2
1
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)y=- 3x+
2
π π 3π
(2)0<j£ (cid:139) <j£ (cid:86)
12 4 4
æ π ö æ 5πö
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:231)(cid:232)w=2(cid:191)(cid:67) f ç ÷=0(cid:118)(cid:122) f x=sinç2x+ ÷(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:46)(cid:16)(cid:191)(cid:67)(cid:4)(cid:172)(cid:49)(cid:46)(cid:87)(cid:98)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:86)
è12ø è 6 ø(cid:10)2(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:249)(cid:351)(cid:152)(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:123)(cid:239)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:132)(cid:240)(cid:117)(cid:118)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:46)(cid:87).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)w=2(cid:143)(cid:86)(cid:169) f x=sin2x+j(cid:86)
æ π ö æ π ö æπ ö π π
(cid:231)(cid:232) f ç ÷=0(cid:118)(cid:122) f ç ÷=sinç +j÷=0(cid:86)(cid:174) +j=kπ,kÎZ(cid:86)(cid:174)j=- +kπ,kÎZ(cid:86)
è12ø è12ø è6 ø 6 6
5π æ 5πö
(cid:137)(cid:99)0<j<π(cid:86)(cid:174)j= (cid:86)(cid:174) f x=sinç2x+ ÷(cid:86)
6 è 6 ø
æ 5πö 5π
f¢x=2cosç2x+ ÷(cid:86)(cid:169) f¢0=2cos =- 3(cid:86)
è 6 ø 6
1 1
(cid:174)(cid:19)(cid:17) f x(cid:91)x=0(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y=- 3x-0+ (cid:86)(cid:174)y=- 3x+ (cid:86)
2 2
2π 2 æ2 ö
(cid:10)2(cid:11)(cid:19)(cid:17) f x(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:123)(cid:253)(cid:254)(cid:127)3π(cid:86)(cid:174)w= = (cid:86)(cid:181)(cid:191) f x=sinç x+j÷(cid:86)
3π 3 è3 ø
2 é 4052π ö
(cid:176)t = x+j(cid:86)(cid:142)xÎ0,2026π(cid:86)(cid:169)tÎ
ê
j, +j÷(cid:86)
3 ë 3 ø
2 π 3π
(cid:176)sint = (cid:86)(cid:169)t = +2kπ(cid:139)t = +2kπ,kÎZ(cid:86)
2 4 4
ìπ 4052π
+2π´675< +j
ï
4 3
ï
π 2 ï3π 4052π π
(cid:142)0<j£ (cid:143)(cid:86)(cid:159)(cid:178)(cid:122)sint = (cid:216)1351(cid:62)(cid:124)(cid:17)(cid:231)(cid:86)(cid:169)í +2π´675³ +j(cid:86)(cid:87)(cid:122)0<j£ (cid:86)
4 2 ï 4 3 12
ï π
0<j£
ï
î 4
ì3π 4052π
+2π´675< +j
ï
4 3
ï
π 3π 2 ï9π 4052π π 3π
(cid:142) <j£ (cid:143)(cid:86)(cid:159)(cid:178)(cid:122)sint = (cid:216)1351(cid:62)(cid:124)(cid:17)(cid:231)(cid:86)(cid:169)í +2π´675³ +j(cid:86)(cid:87)(cid:122) <j£ (cid:86)
4 4 2 ï 4 3 4 4
ïπ 3π
<j£
ï
î4 4
ì9π 4052π
+2π´675< +j
ï
4 3
ï
3π 2 ï11π 4052π
(cid:142) <j<π(cid:143)(cid:86)(cid:159)(cid:178)(cid:122)sint = (cid:216)1351(cid:62)(cid:124)(cid:17)(cid:231)(cid:86)(cid:169)í +2π´675³ +j(cid:86)(cid:105)(cid:87)(cid:86)
4 2 ï 4 3
ï3π
ï
<j<π
î 4
π π 3π
(cid:68)(cid:24)(cid:118)(cid:122)0<j£ (cid:139) <j£ .
12 4 4
1 1
3(cid:84)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=ln(1+x)-x+ x2-kx3(cid:86)(cid:76)(cid:64)0<k < (cid:84)
2 3
(1)(cid:65)(cid:66)(cid:140) f(x)(cid:91)(cid:221)(cid:222)(0,+¥)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:224)(cid:188)(cid:33)(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:89)
(2)(cid:183)x,x (cid:5)(cid:199)(cid:127) f(x)(cid:91)(cid:221)(cid:222)(0,+¥)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:224)(cid:56)(cid:4).
1 2
(cid:10)i(cid:11)(cid:183)(cid:19)(cid:17)g(t)= f x +t- f x -t.(cid:65)(cid:66)(cid:140)g(t)(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,x (cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
1 1 1(cid:10)ii(cid:11)(cid:352)(cid:353)2x (cid:18)x (cid:20)(cid:193)(cid:148)(cid:86)(cid:332)(cid:65)(cid:66)(cid:354)(cid:20)(cid:149)(cid:43)(cid:84)
1 2
1 x2 æ 1 ö
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:137)(cid:13)(cid:122) f¢x= -1+x-3kx2 = -3kx2 =x2 ç -3k÷(cid:86)
1+x 1+x è1+x ø
1
(cid:214)(cid:127)xÎ0,+¥(cid:86)(cid:181)(cid:191)x2 >0(cid:86)(cid:183)gx= -3k,x>0(cid:86)
1+x
1
(cid:169)g¢x=- <0(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:181)(cid:191)gx(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
1+x2
1
g(0)=1- 3k >0(cid:86)(cid:176)gx =0Þx = -1(cid:86)
0 0 3k
(cid:181)(cid:191)(cid:142)xÎ0,x (cid:143)(cid:86)gx>0(cid:86)(cid:169) f¢x>0(cid:89)(cid:142)xÎx ,+¥(cid:143)(cid:86)gx<0(cid:86)(cid:169) f¢x<0(cid:86)
0 0
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)0,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:91)x ,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
0 0
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:86)
1 x
(cid:129)(cid:19)(cid:17)y=ln1+x-x(cid:216)y¢= -1=- <0(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
1+x 1+x
(cid:181)(cid:191)y=ln1+x-x(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(cid:181)(cid:191)y=ln1+x-x< y| =0(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
x=0
1 1
(cid:177)(cid:214)(cid:127) f 0=0(cid:86)x®+¥(cid:143) x2-kx3 = x21-2kx<0(cid:86)
2 2
(cid:181)(cid:191)x®+¥(cid:143) f x<0(cid:86)
(cid:181)(cid:191)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)x Î0,+¥(cid:178)(cid:122) f x =0(cid:86)(cid:117) f x(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4).
2 2
1 1 æ 1 1 ö
(2)(cid:10)i(cid:11)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:78)x = -1(cid:86)(cid:169)x +1= (cid:86) f¢x=x2 ç - ÷(cid:86)
1 3k 1 3k è1+x 1+x ø
1
Qg(t)= f x +t- f x -t(cid:86)
1 1
æ 1 1 ö æ 1 1 ö
(cid:169)g¢t=x +t2 ç - ÷+x -t2 ç - ÷
1 èx +t+1 1+x ø 1 èx -t+1 1+x ø
1 1 1 1
-tx +t2 tx -t2 é x +t2 x -t2ù
= 1 + 1 =3ktê- 1 + 1 ú
x +t+1x +1 x -t+1x +1 ê x +t+1 x -t+1ú
1 1 1 1 ë 1 1 û
6kt2 t2-x2-2x 
= 1 1 (cid:86)
1+x 2 -t2
1Qk >0,tÎ0,x ,\t2-x2-2x 0,1+x 2 -t2 0(cid:86)
1 1 1 1
6kt2 t2-x2-2x 
\g¢(t)= 1 1 <0(cid:86)
1+x 2 -t2
1
(cid:117)g(t)(cid:91)tÎ0,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146).
1
(cid:10)ii(cid:11)2x > x (cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:296)(cid:207)(cid:140)
1 2
(cid:137)(cid:10)i(cid:11)(cid:78)(cid:140)(cid:19)(cid:17)gt(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
1
(cid:181)(cid:191)g0>gx (cid:117)0> f 2x (cid:86)(cid:177) f x =0(cid:86)
1 1 2
(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:118)(cid:78) f x(cid:91)x ,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)x Îx ,+¥(cid:86)(cid:96)(cid:129)(cid:175)(cid:138)xÎ0,x  f x>0(cid:86)
0 2 0 2
(cid:181)(cid:191)2x > x .
1 2
æ 1 ö 1
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:157)(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:46)(cid:122) f¢x=x2 ç -3k÷(cid:86)(cid:258)(cid:268)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:17)gx= -3k,x>0(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:355)(cid:356)(cid:279)
è1+x ø 1+x
(cid:280)(cid:19)(cid:17)gx(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:224)(cid:19)(cid:17)(cid:22)(cid:9)(cid:255)(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:122)(cid:208)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:156)(cid:141)(cid:122)(cid:65)(cid:19)(cid:17) f x(cid:91)(cid:221)(cid:222)(0,+¥)(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)
(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:89)(cid:164)(cid:149)(cid:69) f 0=0(cid:224)x®+¥(cid:143) f x(cid:20)(cid:123)(cid:305)(cid:9)(cid:255)(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:65) f x(cid:91)(cid:221)(cid:222)(0,+¥)(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4)(cid:89)
1
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:137)(cid:10)1(cid:11)x +1= (cid:224)g¢t= f¢x +t- f¢x -t(cid:149)(cid:69)(cid:10)1(cid:11)(cid:64)(cid:181)(cid:122)(cid:16)(cid:19)(cid:17) f¢x (cid:348)(cid:323)(cid:122)(cid:208)
1 3k 1 1 1
6kt2 t2-x2-2x 
g¢t= 1 1 (cid:86)(cid:164)(cid:149)(cid:69)tÎ0,x (cid:122)g¢t<0(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:65)(cid:89)
1+x 2 -t2 1
1
(cid:10)ii(cid:11)(cid:137)(cid:19)(cid:17)gt(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:122)(cid:208)0> f 2x (cid:86)(cid:164)(cid:149)(cid:69) f x =0(cid:86)
1 1 2
(cid:224)(cid:19)(cid:17) f x(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:191)(cid:191)(cid:67)(cid:19)(cid:17)(cid:22)(cid:20)(cid:9)(cid:255)(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:65).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:341)
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:341)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:341)
4(cid:84)（2025·天津·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=ax-(lnx)2
(1)a=1(cid:143)(cid:86)(cid:46) f x(cid:91)(cid:4) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:89)
(2) f x(cid:216)3(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)x,x ,x (cid:96)x <x <x  .
1 2 3 1 2 3
(cid:10)i(cid:11)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:89)4e
(cid:10)ii(cid:11)(cid:65)(cid:66)lnx -lnx ×lnx < (cid:84)
2 1 3 e-1
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)y=x
æ 4 ö
(2)(cid:10)i(cid:11)ç0, ÷(cid:89)(cid:10)ii(cid:11)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:87)(cid:115).
è e2 ø
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:86)(cid:46)(cid:16)(cid:17)(cid:22)(cid:122)(cid:172)(cid:173)(cid:86)(cid:137)(cid:4)(cid:172)(cid:49)(cid:119)(cid:120)(cid:118)(cid:122)(cid:89)
lnx2 lnx2
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:176) f x=0(cid:86)(cid:5)(cid:45)(cid:41)(cid:17)(cid:122)a= (cid:86)(cid:357)(cid:116)(cid:19)(cid:17)gx= (cid:171)(cid:101)(cid:86)(cid:17)(cid:312)(cid:149)(cid:69)(cid:118)(cid:122)a(cid:109)(cid:110)(cid:89)(cid:10)ii(cid:11)
x x
ìaet1 =t2(cid:358)
1
ï
(cid:137)(cid:10)2(cid:11)(cid:149)(cid:69)(cid:171)(cid:101)(cid:86)(cid:118)(cid:122)x,x ,x (cid:109)(cid:110)(cid:86)(cid:249)(cid:351)(cid:227)(cid:327)lnx =t ,lnx =t ,lnx =t (cid:86)(cid:125)(cid:126)(cid:127)íaet2 =t2(cid:359)(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:137)(cid:359)(cid:360)
1 2 3 1 1 2 2 3 3 2
ï
î
aet3 =t
3
2(cid:360)
ìlna+t =2lnt t2
(cid:118)(cid:122)í 2 2 (cid:86)(cid:272)(cid:49)(cid:357)(cid:153)(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:129)(cid:17)(cid:329)(cid:104)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:118)(cid:122)tt <4(cid:86)(cid:164)(cid:137)t2 =aet1 <a(cid:122)-t < a (cid:86)(cid:149)(cid:69)a= 3
îlna+t
3
=2lnt
3
13 1 1 et3
(cid:146)(cid:327)(cid:92)(cid:282)(cid:86)(cid:164)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:17)(cid:46)(cid:23)(cid:22)(cid:86)(cid:72)(cid:73)(cid:152)(cid:118)(cid:65)(cid:66)(cid:47)(cid:48)(cid:49).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)a=1(cid:143)(cid:86) f x=x-(lnx)2(cid:86)x>0(cid:86)
2lnx
(cid:169) f 'x=1- (cid:86)(cid:169) f '1=1(cid:86)(cid:96) f 1=1(cid:86)
x
(cid:169)(cid:93)(cid:4)1,1(cid:86)(cid:96)(cid:93)(cid:94)(cid:20)(cid:172)(cid:173)(cid:127)1(cid:86)
(cid:174)(cid:19)(cid:17) f x(cid:91)(cid:4) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y=x(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:176) f x=ax-(lnx)2 =0(cid:86)x>0(cid:86)
(lnx)2
(cid:122)a= (cid:86)
x
lnx2
(cid:183)gx= ,x>0(cid:86)
x
2lnx
(cid:169) g'x= x
×x-lnx2
=
lnx2-lnx
(cid:86)
x2 x2
4
(cid:137)g'x=0(cid:87)(cid:122)x=1(cid:139)e2(cid:86)(cid:76)(cid:64)g1=0(cid:86)g  e2 = (cid:89)
e2
(cid:142)0<x<1(cid:143)(cid:86)g'x<0(cid:86)gx(cid:91)0,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
(cid:142)1<x<e2(cid:143)(cid:86)g'x>0(cid:86)gx(cid:91)  1,e2 (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)
(cid:142)x>e2(cid:143)(cid:86)g'x<0(cid:86)gx(cid:91)  e2,+¥  (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)(cid:96)(cid:142)x®0(cid:143)(cid:86)gx®+¥(cid:89) (cid:142)x®+¥(cid:143)(cid:86)gx®0(cid:89)
(cid:296)(cid:171)(cid:357)(cid:116)(cid:19)(cid:17)gx(cid:20)(cid:171)(cid:101)(cid:86)
(cid:159)(cid:178)(cid:19)(cid:17) f x(cid:216)3(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)
(cid:169)(cid:119)(cid:120)a=gx(cid:91)0,+¥(cid:103)(cid:216)3(cid:62)(cid:231)(cid:86)(cid:117)(cid:98)(cid:94)y=a(cid:18)(cid:19)(cid:17)gx(cid:20)(cid:171)(cid:101)(cid:216)3(cid:62)(cid:80)(cid:4).
4
(cid:149)(cid:69)(cid:171)(cid:101)(cid:118)(cid:78)(cid:86)0<a< .
e2
æ 4 ö
(cid:174)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:127)ç0, ÷(cid:89)
è e2 ø
(cid:10)ii(cid:11)(cid:137)(cid:171)(cid:101)(cid:118)(cid:78)(cid:86)0<x <1<x <e2 <x (cid:86)
1 2 3
(cid:183)lnx =t ,lnx =t ,lnx =t (cid:86)(cid:169)t <0<t <2<t (cid:86)
1 1 2 2 3 3 1 2 3
ìaet1 =t2(cid:358)
ï 1 ìlna+t =2lnt
(cid:179)(cid:180)íaet2 =t2(cid:359)(cid:86)(cid:137)(cid:359)(cid:360)(cid:118)(cid:122)í 2 2 (cid:86)
ï
î
aet3 =t
3
2
2(cid:360)
îlna+t
3
=2lnt
3
(cid:272)(cid:49)(cid:357)(cid:153)(cid:118)(cid:122)t -t =2lnt -lnt (cid:86)
3 2 3 2
t -t
(cid:169)(cid:137)(cid:129)(cid:17)(cid:104)(cid:22)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:118)(cid:122)2= 3 2 > t t (cid:86)
lnt -lnt 2 3
3 2
4e
(cid:169)t t <4(cid:86)(cid:174)(cid:159)(cid:65)lnx -lnx ×lnx < (cid:86)
2 3 2 1 3 e-1
4e 4e
(cid:117)(cid:65)t t -tt < (cid:86)(cid:204)(cid:205)(cid:65)4-tt £ (cid:86)
2 3 13 e-1 13 e-1
4
(cid:117)(cid:65)-tt £ (cid:86)(cid:177)(cid:214)(cid:127)t <0,t2 =aet1 <a(cid:86)(cid:169)t =-t < a(cid:86)
13 e-1 1 1 1 1
t2 t2 4
(cid:181)(cid:191)-tt < at = 3 (cid:86)(cid:174)(cid:204)(cid:205)(cid:65) 3 £ (cid:86)
13 3 t3 t 3 e-1
e2 e2
t 1 t æ 1 ö
(cid:183)(cid:19)(cid:17)jt= t2 t ,t >2(cid:86)(cid:169) j't= 2te2 - 2 t2e2 = ç è 2- 2 t÷ ø t (cid:86)
e2 et t
e2
(cid:142)2<t<4(cid:143)(cid:86)j't>0(cid:86)(cid:169)jt(cid:91)2,4(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)(cid:142)t>4(cid:143)(cid:86)j't<0(cid:86)(cid:169)jt(cid:91)4,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
16 16
(cid:174)j(t) =j4= (cid:86)(cid:117)jt£ .
max e2 e2
(cid:141)(cid:137)4e2-16e+16=4(e-2)2 >0(cid:86)
16 4
(cid:118)(cid:78) < (cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:174)(cid:12)(cid:13)(cid:122)(cid:65).
e2 e-1
5(cid:84)（2024·北京·高考真题）(cid:183)(cid:19)(cid:17) f x=x+kln1+xk ¹0(cid:86)(cid:98)(cid:94)l(cid:90)(cid:128)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4)t, f tt >0(cid:92)
(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:84)
(1)(cid:142)k =-1(cid:143)(cid:86)(cid:46) f x(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:221)(cid:222).
(2)(cid:46)(cid:65)(cid:140)l(cid:47)(cid:270)(cid:95)(cid:4)0,0.
(3)(cid:142)k=1(cid:143)(cid:86)(cid:183)(cid:4)At, f tt >0(cid:86)C0, f t (cid:86)O0,0(cid:86)B(cid:127)l(cid:18)y(cid:196)(cid:20)(cid:80)(cid:4)(cid:86)S (cid:18)S (cid:5)(cid:199)(cid:209)(cid:210)VACO
VACO VABO
(cid:18)VABO(cid:20)(cid:256)(cid:273)(cid:84)(cid:90)(cid:274)(cid:187)(cid:91)(cid:4)A(cid:178)(cid:122)2S =15S (cid:51)(cid:52)(cid:276)(cid:200)(cid:187)(cid:91)(cid:86)(cid:184)(cid:257)(cid:20)(cid:4)A(cid:216)(cid:150)(cid:62)(cid:276)
(cid:275)ACO (cid:275)ABO
(cid:10)(cid:41)(cid:3)(cid:17)(cid:232)(cid:140)1.09<ln3<1.10(cid:86)1.60<ln5<1.61(cid:86)1.94<ln7<1.95(cid:11)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)(-1,0)(cid:86)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)(0,+¥).
(2)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
(3)2
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:98)(cid:258)(cid:277)(cid:278)k =-1(cid:86)(cid:164)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:279)(cid:280)(cid:76)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
æ k ö t
(cid:10)2(cid:11)(cid:281)(cid:116)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)y- f(t)=ç1+ ÷(x-t)(t >0)(cid:86)(cid:264)(0,0)(cid:277)(cid:278)(cid:164)(cid:183)(cid:28)(cid:19)(cid:17)F(t)=ln(1+t)- (cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)
è 1+tø 1+t
(cid:17)(cid:279)(cid:280)(cid:76)(cid:56)(cid:4)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
t
(cid:10)3(cid:11)(cid:5)(cid:199)(cid:281)(cid:116)(cid:256)(cid:273)(cid:209)(cid:168)(cid:49)(cid:86)(cid:277)(cid:278)2S =15S (cid:122)(cid:208)13ln(1+t)-2t-15 =0(cid:86)(cid:164)(cid:183)(cid:28)(cid:19)(cid:17)
VACO ABO 1+t
15t
h(t)=13ln(1+t)-2t- (t>0)(cid:279)(cid:280)(cid:76)(cid:56)(cid:4)(cid:117)(cid:118).
1+t
1 x
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11) f(x)=x-ln(1+x), f¢(x)=1- = (x>-1)(cid:86)
1+x 1+x
(cid:142)xÎ-1,0(cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:89)(cid:142)xÎ0,+¥(cid:86) f¢x>0(cid:89)
\f(x)(cid:91)(-1,0)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147).
(cid:169) f(x)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)(-1,0)(cid:86)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)(0,+¥).
k k
(cid:10)2(cid:11) f¢(x)=1+ (cid:86)(cid:93)(cid:94)l(cid:20)(cid:172)(cid:173)(cid:127)1+ (cid:86)
1+x 1+tæ k ö
(cid:169)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y- f(t)=ç1+ ÷(x-t)(t >0)(cid:86)
è 1+tø
æ k ö æ k ö
(cid:264)(0,0)(cid:277)(cid:278)(cid:169)-f(t)=-tç1+ ÷, f(t)=tç1+ ÷(cid:86)
è 1+tø è 1+tø
k t t
(cid:117)t+kln(1+t)=t+t (cid:86)(cid:169)ln(1+t)= (cid:86)ln(1+t)- =0(cid:86)
1+t 1+t 1+t
t
(cid:176)F(t)=ln(1+t)- (cid:86)
1+t
(cid:260)(cid:183)l(cid:95)(0,0)(cid:86)(cid:169)F(t)(cid:91)tÎ(0,+¥)(cid:187)(cid:91)(cid:56)(cid:4).
1 1+t-t t
F¢(t)= - = >0(cid:86)\F(t)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)F(t)>F(0)=0(cid:86)
1+t (1+t)2 (1+t)2
\F(t)(cid:91)(0,+¥)(cid:105)(cid:56)(cid:4)(cid:86) (cid:18)(cid:260)(cid:183)(cid:185)(cid:186)(cid:86)(cid:174)(cid:98)(cid:94)l(cid:47)(cid:95)(0,0).
1 x+2
(cid:10)3(cid:11)k=1(cid:143)(cid:86) f(x)=x+ ∴ ln(1+x), f¢(x)=1+ = >0.
1+x 1+x
1
S = tf(t)(cid:86)(cid:183)l(cid:18)y(cid:196)(cid:80)(cid:4)B(cid:127)(0,q)(cid:86)
VACO 2
t>0(cid:143)(cid:86)(cid:200)q<0(cid:86)(cid:169)(cid:189)(cid:143)l(cid:18) f(x)(cid:158)(cid:216)(cid:80)(cid:4)(cid:86)(cid:18)(cid:93)(cid:94)(cid:82)(cid:83)(cid:185)(cid:186).
(cid:137)(cid:10)2(cid:11)(cid:78)q¹0.(cid:181)(cid:191)q>0(cid:86)
æ 1 ö
(cid:169)(cid:93)(cid:94)l(cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y-t-lnt+1=ç1+
÷
x-t(cid:86)
è 1+tø
t
(cid:176)x=0(cid:86)(cid:169)y=q= y=ln(1+t)- .
t+1
é t ù
Q2S
VACO
=15S
ABO
(cid:86)(cid:169)2tf(t)=15t
ê ë
ln(1+t)-
t+1 ú û
(cid:86)
t 15t
\13ln(1+t)-2t-15 =0(cid:86)(cid:252)h(t)=13ln(1+t)-2t- (t>0)(cid:86)
1+t 1+t
(cid:179)(cid:180)(cid:250)(cid:251)(cid:20)A(cid:216)(cid:150)(cid:62)(cid:117)h(t)(cid:216)(cid:150)(cid:62)(cid:56)(cid:4).
∴ 13 15 13t+13-2  t2+2t+1  -15 -2t2+9t-4 -2t+1t-4
h¢t= -2- = = = (cid:86)
1+t t+12 t+12 t+12 t+12
æ 1ö
(cid:142)tÎç0, ÷(cid:143)(cid:86)h¢t<0(cid:86)(cid:189)(cid:143)ht(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
è 2ø
æ1 ö
(cid:142)tÎç ,4÷(cid:143)(cid:86)h¢t>0(cid:86)(cid:189)(cid:143)ht(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)
è2 ø
(cid:142)tÎ4,+¥(cid:143)(cid:86)h¢t<0(cid:86)(cid:189)(cid:143)ht(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
æ1ö
(cid:214)(cid:127)h(0)=0,hç ÷0,h(4)=13ln5-2013´1.6-20=0.8>0(cid:86)
è2ø
15´24 72 72
h(24)=13ln25-48- =26ln5-48- <26´1.61-48- =-20.54<0(cid:86)
25 5 5
æ1 ö
(cid:181)(cid:191)(cid:137)(cid:56)(cid:4)(cid:187)(cid:91)(cid:132)(cid:82)(cid:282)(cid:67)h(t)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)h(t)(cid:91)ç ,4÷(cid:24)(cid:158)(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:91)(4,24)(cid:24)(cid:158)(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)
è2 ø(cid:68)(cid:24)(cid:181)(cid:182)(cid:86)h(t)(cid:216)(cid:272)(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:117)(cid:179)(cid:180)2S =15S (cid:20)A(cid:216)(cid:272)(cid:62).
ACO ABO
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)
(cid:134)(cid:284)(cid:4)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:285)(cid:13)(cid:100)(cid:57)(cid:55)(cid:20)(cid:134)(cid:284)(cid:90)(cid:286)(cid:71)(cid:20)(cid:90)(cid:228)(cid:65)(cid:152)(cid:86)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:279)(cid:280)(cid:19)(cid:17)(cid:56)(cid:4)(cid:55)(cid:13).
1
6(cid:84)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=ax- -(a+1)lnx(cid:84)
x
(1)(cid:142)a=0(cid:143)(cid:86)(cid:46) f(x)(cid:20)(cid:23)(cid:193)(cid:22)(cid:89)
(2)(cid:200) f(x)(cid:349)(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)-1
(2)
0,+¥
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:137)(cid:16)(cid:17)(cid:163)(cid:82)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:87)(cid:89)
ax-1x-1
(cid:10)2(cid:11)(cid:46)(cid:16)(cid:122) f¢x= (cid:86)(cid:361)(cid:362)a£0(cid:27)0<a<1(cid:67)a>1(cid:149)(cid:69)(cid:16)(cid:17)(cid:42)(cid:43)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:46)(cid:122)(cid:19)(cid:17)(cid:20)
x2
(cid:21)(cid:22)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:87).
1 1 1 1-x
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)a=0(cid:143)(cid:86) f x=- -lnx,x>0(cid:86)(cid:169) f¢x= - = (cid:86)
x x2 x x2
(cid:142)xÎ0,1(cid:143)(cid:86) f¢x>0(cid:86) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)
(cid:142)xÎ1,+¥(cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
(cid:181)(cid:191) f x = f 1=-1(cid:89)
max
1 1 a+1 ax-1x-1
(cid:10)2(cid:11) f x=ax- -a+1lnx,x>0(cid:86)(cid:169) f¢x=a+ - = (cid:86)
x x2 x x2
(cid:142)a£0(cid:143)(cid:86)ax-1<0(cid:86)(cid:181)(cid:191)(cid:142)xÎ0,1(cid:143)(cid:86) f¢x>0(cid:86) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)
(cid:142)xÎ1,+¥(cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
(cid:181)(cid:191) f x = f 1=a-1<0(cid:86)(cid:189)(cid:143)(cid:19)(cid:17)(cid:105)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:47)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
max
1 æ1 ö
(cid:142)0<a<1(cid:143)(cid:86) >1(cid:86)(cid:91)0,1,ç ,+¥÷(cid:24)(cid:86) f¢x>0(cid:86) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)
a èa øæ 1ö
(cid:91)ç1, ÷(cid:24)(cid:86) f¢x<0(cid:86) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
è aø
(cid:177) f1=a-1<0(cid:86)
1 1
(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:122) +lnx³1(cid:86)(cid:117)ln ³1-x(cid:86)(cid:181)(cid:191)lnx<x,ln x < x,lnx<2 x(cid:86)
x x
1 1
(cid:142)x>1(cid:143)(cid:86) f(x)=ax- -(a+1)lnx>ax- -2(a+1) x >ax-(2a+3) x(cid:86)
x x
(cid:169)(cid:187)(cid:91)m= æ ç 3 +2 ö ÷ 2 > 1 (cid:86)(cid:178)(cid:122) f m>0(cid:86)
èa ø a
æ1 ö
(cid:181)(cid:191) f x(cid:363)(cid:91)ç ,+¥÷(cid:216)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:154)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
èa ø
(cid:142)a=1(cid:143)(cid:86) f¢x=
x-12
³0(cid:86)(cid:181)(cid:191) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:177) f 1=a-1=0(cid:86)
x2
(cid:181)(cid:191) f x(cid:216)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:154)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
1 æ 1ö
(cid:142)a>1(cid:143)(cid:86) <1(cid:86)(cid:91)ç0, ÷,1,+¥(cid:24)(cid:86) f¢x>0(cid:86) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)
a è aø
æ1 ö
(cid:91)ç ,1÷(cid:24)(cid:86) f¢x<0(cid:86) f x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)(cid:189)(cid:143) f 1=a-1>0(cid:86)
èa ø
1 1 æ 1 ö
(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:122)(cid:142)0<x<1(cid:143)(cid:86)lnx>1- (cid:86)ln x >1- (cid:86)(cid:181)(cid:191)lnx>2 ç 1- ÷(cid:86)
x x è xø
1 1 æ 1 ö 1 2(a+1)
(cid:189)(cid:143) f(x)=ax- -(a+1)lnx<ax- -2(a+1) ç 1- ÷ <- + ,
x x è xø x x
1 1
(cid:187)(cid:91)n= < (cid:86)(cid:178)(cid:122) f(n)<0(cid:86)
4(a+1)2 a
æ 1ö æ1 ö
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)ç0, ÷(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:91)ç ,+¥÷(cid:105)(cid:56)(cid:4)(cid:86)
è aø èa ø
(cid:181)(cid:191) f x(cid:216)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:154)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
(cid:68)(cid:24)(cid:86)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:127)0,+¥
.
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:134)(cid:284)(cid:4)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:87)(cid:364)(cid:285)(cid:13)(cid:20)(cid:134)(cid:284)(cid:90)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:279)(cid:280)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:18)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:317)(cid:19)(cid:17)(cid:56)(cid:4)(cid:55)(cid:13)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:19)(cid:17)
(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:20)(cid:55)(cid:13).
e
7(cid:84)（2022·浙江·高考真题）(cid:183)(cid:19)(cid:17) f(x)= +lnx(x>0)(cid:84)
2x
(1)(cid:46) f(x)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:221)(cid:222)(cid:89)(2)(cid:85)(cid:78)a,bÎR(cid:86)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:24)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:225)(cid:4) x, f x ,x , f x ,x , f x  (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:243)(cid:270)(cid:95)(cid:4)(a,b)(cid:84)(cid:65)
1 1 2 2 3 3
(cid:66)(cid:140)
1æa ö
(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:200)a>e(cid:86)(cid:169)0<b-f(a)< ç -1÷(cid:89)
2èe ø
2 e-a 1 1 2 e-a
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:200)0<a<e,x <x <x (cid:86)(cid:169) + < + < - (cid:84)
1 2 3 e 6e2 x x a 6e2
1 3
(cid:10)(cid:294)(cid:140)e=2.71828L(cid:90)(cid:365)(cid:311)(cid:129)(cid:17)(cid:20)(cid:366)(cid:17)(cid:11)
æ eö æe ö
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1) f x(cid:20)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)ç0, ÷(cid:86)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)ç ,+¥÷.
è 2ø è2 ø
(2)(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:214)(cid:127)(cid:95)a,b(cid:216)(cid:225)(cid:250)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:86)(cid:183)(cid:93)(cid:4)(cid:127) x, f x ,i=1,2,3(cid:86)
i i
(cid:174) f x -b= f¢x x-a(cid:86)
i i i
(cid:174)(cid:119)(cid:120) f x-b= f¢xx-a(cid:216)3(cid:62)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:231)(cid:86)
æ1 e ö e
(cid:218)(cid:119)(cid:120)(cid:118)(cid:249)(cid:282)(cid:127)ç - ÷ x-a- -lnx+b=0(cid:86)
èx 2x2 ø 2x
æ1 e ö e
(cid:183)gx=ç - ÷ x-a- -lnx+b(cid:86)
èx 2x2 ø 2x
1 e æ 1 e ö 1 e
(cid:169)g¢x= - +ç- + ÷ x-a- +
x 2x2 è x2 x3ø x 2x2
1
=- x-ex-a(cid:86)
x3
(cid:142)0<x<e(cid:139)x>a(cid:143)(cid:86)g¢x<0(cid:89)(cid:142)e<x<a(cid:143)(cid:86)g¢x>0(cid:86)
(cid:174)gx(cid:91)0,e,a,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:146)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:91)e,a(cid:24)(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
(cid:214)(cid:127)gx(cid:216)3(cid:62)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:174)ge<0(cid:96)ga>0(cid:86)
æ1 e ö e æ1 e ö e
(cid:174)ç - ÷ e-a- -lne+b<0(cid:96)ç - ÷ a-a- -lna+b>0(cid:86)
èe 2e2 ø 2e èa 2a2 ø 2a
a e
(cid:249)(cid:282)(cid:122)(cid:208)(cid:140)b< +1(cid:96)b> +lna= f a(cid:86)
2e 2a
1æa ö a æ e ö a 1 3 e
(cid:189)(cid:143)b-f a- ç -1÷< +1-ç +lna÷- + = - -lna(cid:86)
2èe ø 2e è2a ø 2e 2 2 2a
3 e e-2a
(cid:183)ua= - -lna(cid:86)(cid:169)u¢a= <0(cid:86)
2 2a 2a2
3 e
(cid:174)ua(cid:127)e,+¥(cid:24)(cid:20)(cid:146)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:174)ua< - -lne=0(cid:86)
2 2e
1æa ö
(cid:174)0<b-f a< ç -1÷.
2èe ø
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:142)0<a<e(cid:143)(cid:86)(cid:237)(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:64)(cid:42)(cid:43)(cid:118)(cid:122)(cid:140)(cid:174)gx(cid:91)0,a,e,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:146)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:91)a,e(cid:24)(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
(cid:47)(cid:303)(cid:183)x <x <x (cid:86)(cid:169)0<x <a<x <e<x (cid:86)
1 2 3 1 2 3
(cid:214)(cid:127)gx(cid:216)3(cid:62)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:174)ga<0(cid:96)ge>0(cid:86)
æ1 e ö e æ1 e ö e
(cid:174)ç - ÷ e-a- -lne+b>0(cid:96)ç - ÷ a-a- -lna+b<0(cid:86)
èe 2e2 ø 2e èa 2a2 ø 2a
a a
(cid:249)(cid:282)(cid:122)(cid:208)(cid:140) +1<b< +lna(cid:86)
2e 2e
(cid:214)(cid:127)x <x <x (cid:86)(cid:174)0<x <a<x <e<x (cid:86)
1 2 3 1 2 3
a+e ea
(cid:177)gx=1- + -lnx+b(cid:86)
x 2x2
e a a+e ea
(cid:183)t= (cid:86) =mÎ0,1(cid:86)(cid:169)(cid:119)(cid:120)1- + -lnx+b=0(cid:117)(cid:127)(cid:140)
x e x 2x2
a+e a m
- t+ t2+lnt+b=0(cid:117)(cid:127)-m+1t+ t2+lnt+b=0(cid:86)
e 2e 2
e e e
(cid:252)t = ,t = ,t = ,
1 x 2 x 3 x
1 2 3
m
(cid:169)t ,t ,t (cid:127)-m+1t+ t2+lnt+b=0(cid:216)(cid:225)(cid:62)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:231)(cid:86)
1 2 3 2
t x e a
(cid:183)k = 1 = 3 > >1(cid:86)m= <1(cid:86)
t x a e
3 1
2 e-a 1 1 2 e-a e-a 2e e-a
(cid:159)(cid:65)(cid:140) + < + < - (cid:86)(cid:117)(cid:65)2+ <t +t < - (cid:86)
e 6e2 x x a 6e2 6e 1 3 a 6e
1 3
13-m 2 1-m
(cid:117)(cid:65)(cid:140) <t +t < - (cid:86)
6 1 3 m 6
æ 13-möæ 2 1-mö
(cid:117)(cid:65)(cid:140)çt +t - ÷çt +t - + ÷<0(cid:86)
è 1 3 6 øè 1 3 m 6 ø
2
m-13 m2-m+12 
(cid:117)(cid:65)(cid:140)t +t -2- < (cid:86)
1 3 m 36mt +t 
1 3
m m
(cid:141)-m+1t + t2+lnt +b=0(cid:96)-m+1t + t2+lnt +b=0(cid:86)
1 2 1 1 3 2 3 3
m
(cid:174)lnt -lnt +  t2-t2 -m+1t -t =0(cid:86)
1 3 2 1 3 1 3
2 2 lnt -lnt
(cid:174)t +t -2- =- ´ 1 3 (cid:86)
1 3 m m t -t
1 3
2 lnt -lnt
m-13 m2-m+12 
(cid:174)(cid:117)(cid:65)(cid:140)- ´ 1 3 < (cid:86)
m t -t 36mt +t 
1 3 1 3t
(cid:117)(cid:65)(cid:140) t 1 +t 3 ln t 1 m-13 m2-m+12 
3 + >0
t -t 72
1 3
k+1lnk m-13 m2-m+12 
(cid:117)(cid:65)(cid:140) + >0(cid:86)
k-1 72
(cid:252)jk=
k+1lnk
,k >1(cid:86)(cid:169)j¢k=
1 æ
çk-
1
-2lnk
ö
÷(cid:86)
k-1 k-12 è k ø
1 1 2 2 2
(cid:183)uk=k- -2lnk(cid:86)(cid:169)u¢k=1+ - > - =0(cid:86)(cid:181)(cid:191)uk>u1=0(cid:86)
k k2 k k k
j¢k>0(cid:86)
æ 1 ö
(cid:174)jk(cid:91)1,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:174)jk>jç ÷(cid:86)
èmø
k+1lnk m-13 m2-m+12  m+1lnm m-13 m2-m+12 
(cid:181)(cid:191) + > + (cid:86)
k-1 72 m-1 72
m-1m-13 m2-m+12 
(cid:252)wm=lnm+ ,0<m<1(cid:86)
72m+1
m-12 3m3-20m2-49m+72  m-12 3m3+3 
(cid:169)w¢m= > >0(cid:86)
72mm+12 72mm+12
(cid:181)(cid:191)wm(cid:91)0,1(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:174)wm<w1=0(cid:86)
m-1m-13 m2-m+12  m+1lnm m-13 m2-m+12 
(cid:174)lnm+ <0(cid:117) + >0(cid:86)
72m+1
m-1 72
(cid:174)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:122)(cid:65)(cid:140)
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:46)(cid:116)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:16)(cid:17)(cid:86)(cid:42)(cid:43)(cid:76)(cid:154)(cid:155)(cid:220)(cid:118)(cid:122)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132).
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:137)(cid:13)(cid:183)(cid:74)(cid:75)(cid:134)(cid:99)(cid:93)(cid:4)(cid:197)(cid:198)(cid:30)(cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:86)(cid:231)(cid:232)(cid:119)(cid:120)(cid:216)3(cid:62)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:87)(cid:118)(cid:65)(cid:66)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:10)ⅱ(cid:11)
x a 2 m-13 m2-m+12 
k = 3 (cid:86)m= <1(cid:86)(cid:169)(cid:13)(cid:183)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:118)(cid:125)(cid:126)(cid:127)t +t -2- < (cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:56)(cid:4)(cid:179)(cid:180)(cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:156)(cid:33)
x e 1 3 m 36mt +t 
1 1 3
m-1m-13 m2-m+12 
(cid:293)(cid:125)(cid:126)(cid:127)lnm+ <0(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:118)(cid:65)(cid:218)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:51)(cid:52).
72m+1
e 1 2x-e
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11) f¢x=- + = (cid:86)
2x2 x 2x2
e e
(cid:142)0<x< (cid:86) f¢x<0(cid:89)(cid:142)x> (cid:86) f¢x>0(cid:86)
2 2æ eö æe ö
(cid:174) f x(cid:20)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)ç0, ÷(cid:86) f x(cid:20)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)ç ,+¥÷.
è 2ø è2 ø
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:341)
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:341)
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:288)(cid:161)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:16)(cid:17)(cid:289)(cid:290)(cid:207)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:250)(cid:17)(cid:55)(cid:13)(cid:86)(cid:33)(cid:367)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:134)(cid:99)(cid:93)(cid:4)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(cid:87)(cid:20)(cid:62)(cid:17)(cid:55)(cid:13)(cid:86)(cid:141)(cid:368)(cid:369)(cid:119)(cid:120)
(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:132)(cid:240)(cid:20)(cid:42)(cid:43)(cid:86)(cid:70)(cid:218)(cid:231)(cid:232)(cid:56)(cid:4)(cid:20)(cid:132)(cid:240)(cid:69)(cid:282)(cid:125)(cid:126)(cid:205)(cid:46)(cid:65)(cid:20)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:86)(cid:370)(cid:71)(cid:20)(cid:119)(cid:152)(cid:216)(cid:352)(cid:22)(cid:277)(cid:227)(cid:48).
考点 03 导数中的不等式证明及综合应用问题
2
1(cid:84)（2026·天津·高考真题）(cid:85)(cid:78) f(x)=ex- sinx(cid:84)
3
(1)(cid:46)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:4)(0, f(0))(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:89)
é 1 ö x
(2)(cid:142)xÎ
ê
- ,+¥÷(cid:143)(cid:86)(cid:65)(cid:66) f(x)³1+ (cid:89)
ë 3 ø 3
1 1 1 1
(3)(cid:46)(cid:124)(cid:17)a(cid:20)(cid:23)(cid:193)(cid:118)(cid:261)(cid:22)(cid:86)(cid:178)(cid:122) f( )× f( )× f( )Lf( )³(n+1)a(cid:129)(cid:175)(cid:138)(cid:20)nÎN*(cid:243)(cid:51)(cid:52)(cid:84)
1 2 3 n
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)x-3y+3=0
2 1 2 1
(2)(cid:119)(cid:152)(cid:33)(cid:140)(cid:176)g(x)=ex- sinx- x-1(cid:86)(cid:169)g¢(x)=ex- cosx- (cid:86)
3 3 3 3
2 2 2 2 1 2 1
(cid:142)x³0(cid:143)(cid:86)ex ³1(cid:86)- £- cosx£ (cid:86)(cid:169)g¢(x)=ex- cosx- ³1- - =0(cid:86)
3 3 3 3 3 3 3
(cid:181)(cid:191)g(x)(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:169)g(x)³g(0)=1-0-0-1=0(cid:86)
2 1
(cid:181)(cid:191)g(x)³0(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:117)ex- sinx³ x+1(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:89)
3 3
1 2 1
(cid:142)- £x<0(cid:143)(cid:86)(cid:176)m(x)=g¢(x)=ex- cosx- (cid:86)
3 3 3
2 2 é 1 ö
(cid:181)(cid:191)m¢(x)=ex+ sinx(cid:86)(cid:214)(cid:127)y=ex(cid:224)y= sinx(cid:91)
ê
- ,0÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
3 3 ë 3 ø
2 é 1 ö
(cid:181)(cid:191)m¢(x)=ex+ sinx(cid:91)
ê
- ,0÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
3 ë 3 ø
(cid:181)(cid:191)m¢x=ex + 2 sinx³e - 1 3 + 2 sin æ ç- 1ö ÷=e - 1 3 - 2 sin 1 (cid:86)
3 3 è 3ø 3 3
1 æ2ö 3 - 1 2 1
(cid:214)(cid:127)33 >23×e(cid:86)(cid:181)(cid:191) >ç ÷ (cid:86)(cid:181)(cid:191)e 3 > (cid:86)(cid:137)(cid:99)0<sin <1(cid:86)
e è3ø 3 3
(cid:181)(cid:191)m¢x=ex + 2 sinx³e - 1 3 - 2 sin 1 >0(cid:86)
3 3 3
2 1 é 1 ö
(cid:169)g¢(x)=ex- cosx- (cid:91)
ê
- ,0÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
3 3 ë 3 ø2 1 æ 1 ö
(cid:169)g¢(x)=ex- cosx- <g¢(0)=0(cid:86)(cid:117)g¢(x)<0(cid:91)ç- ,0÷(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
3 3 è 3 ø
é 1 ö
(cid:181)(cid:191)g(x)(cid:91)
ê
- ,0÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
ë 3 ø
é 1 ö
(cid:181)(cid:191)g(x)>g(0)=1-0-0-1=0(cid:86)(cid:117)g(x)>0(cid:91)
ê
- ,0÷(cid:51)(cid:52)(cid:86)
ë 3 ø
2 1 é 1 ö
(cid:174)ex- sinx³ x+1(cid:91)
ê
- ,0÷(cid:51)(cid:52)(cid:86)
3 3 ë 3 ø
2 1 é 1 ö
(cid:68)(cid:24)(cid:86)ex- sinx³ x+1(cid:91)
ê
- ,+¥÷(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
3 3 ë 3 ø
é 1 ö x é 1 ö 2 1
(cid:119)(cid:152)(cid:57)(cid:140)(cid:200)(cid:65)(cid:66)(cid:142)xÎ
ê
- ,+¥÷(cid:143)(cid:86) f(x)³1+ (cid:86)(cid:117)(cid:65)(cid:142)xÎ
ê
- ,+¥÷(cid:143)(cid:86)ex- sinx- x-1³0(cid:86)
ë 3 ø 3 ë 3 ø 3 3
2 1 é 1 ö 2 1
(cid:183)g(x)=ex- sinx- x-1(cid:86)xÎ
ê
- ,+¥÷(cid:86)(cid:169)g¢(x)=ex- cosx- (cid:86)
3 3 ë 3 ø 3 3
(cid:142)x³0(cid:143)(cid:86)(cid:93)(cid:94)(cid:47)(cid:48)(cid:49)ex ³x+1(cid:86)x³sinx(cid:86)(cid:142)(cid:96)(cid:363)(cid:142)x=0(cid:143)(cid:86)(cid:48)(cid:155)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
2 1 2 1 2
(cid:169)g(x)=ex- sinx- x-1³x+1- sinx- x-1= x-sinx³0(cid:86)
3 3 3 3 3
(cid:181)(cid:191)g(x)³0(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
1 2
(cid:142)- £x<0(cid:143)(cid:86)(cid:183)m(x)=g¢(x)(cid:86)(cid:169)m¢(x)=ex+ sinx(cid:86)
3 3
é 1 ö
(cid:118)(cid:78)m¢(x)(cid:91)
ê
- ,0÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
ë 3 ø
(cid:169)m¢x=ex + 2 sinx³e - 1 3 + 2 sin æ ç- 1ö ÷=e - 1 3 - 2 sin 1 (cid:86)
3 3 è 3ø 3 3
1 æ2ö 3 - 1 2
(cid:214)(cid:127)33 >23×e(cid:86)(cid:169) >ç ÷ (cid:86)(cid:118)(cid:122)e 3 > (cid:86)
e è3ø 3
(cid:96)sin 1 <1(cid:86)(cid:169)m¢x=ex + 2 sinx³e - 1 3 - 2 sin 1 >0(cid:86)
3 3 3 3
é 1 ö æ 1 ö
(cid:118)(cid:78)m(x)(cid:91)
ê
- ,0÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:169)m(x)<m(0)=0(cid:86)(cid:117)g¢(x)<0(cid:91)ç- ,0÷(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
ë 3 ø è 3 ø
é 1 ö é 1 ö
(cid:118)(cid:78)g(x)(cid:91)
ê
- ,0÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:169)g(x)>g(0)=1-0-0-1=0(cid:86)(cid:117)g(x)>0(cid:91)
ê
- ,0÷(cid:51)(cid:52)(cid:89)
ë 3 ø ë 3 ø
é 1 ö 2 1 é 1 ö
(cid:68)(cid:24)(cid:181)(cid:182)(cid:140)g(x)>0(cid:91)
ê
- ,+¥÷(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:181)(cid:191)ex- sinx³ x+1(cid:91)
ê
- ,+¥÷(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52).
ë 3 ø 3 3 ë 3 ø
x 2 x x+2sinx+3
(cid:119)(cid:152)(cid:225)(cid:140)(cid:214)(cid:127) f(x)³1+ (cid:86)(cid:117)ex- sinx³1+ (cid:86)(cid:118)(cid:122) £3(cid:86)
3 3 3 ex
x+2sinx+3 æ π ö 2cosx-2sinx-x-2
(cid:176)gx= (cid:86)xÎç- ,+¥÷(cid:86)(cid:169)g¢x= (cid:86)
ex è 4 ø ex
æ πö æ π ö
(cid:183)hx=2cosx-2sinx-x-2=2 2cosçx+ ÷-x-2(cid:86)xÎç- ,+¥÷(cid:86)
è 4ø è 4 ø
é3π ö æ 3πö æ 3πö 3π
(cid:142)xÎ
ê
,+¥÷(cid:143)(cid:86)(cid:169)hx£2cosx-2-ç2sinx+ ÷£0-ç-2+ ÷=2- <0(cid:86)
ë 4 ø è 4 ø è 4 ø 4(cid:142)- π <x< 3π (cid:143)(cid:86)(cid:169)h¢x=-2sinx-2cosx-1=-2 2sin æ çx+ πö ÷-1(cid:86)
4 4 è 4ø
(cid:214)(cid:127)- π <x< 3π (cid:86)(cid:169)0<x+ π <π(cid:86)(cid:118)(cid:122)sin æ çx+ πö ÷>0(cid:86)(cid:117)h¢x<0(cid:86)
4 4 4 è 4ø
(cid:118)(cid:78)hx(cid:91) æ ç- π , 3πö ÷(cid:103)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:96)h0=0(cid:86)
è 4 4 ø
æ π ö æ 3πö
(cid:142)xÎç- ,0÷(cid:143)(cid:86)hx>0(cid:86)(cid:117)g¢x>0(cid:89)(cid:142)xÎç0, ÷(cid:143)(cid:86)hx<0(cid:86)(cid:117)g¢x<0(cid:89)
è 4 ø è 4 ø
æ π ö
(cid:68)(cid:24)(cid:181)(cid:182)(cid:140)(cid:142)xÎç- ,0÷(cid:143)(cid:86)g¢x>0(cid:89)(cid:142)xÎ0,+¥(cid:143)(cid:86)g¢x<0(cid:89)
è 4 ø
æ π ö
(cid:118)(cid:78)gx(cid:91)ç- ,0÷(cid:103)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:91)0,+¥(cid:103)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:169)gx£g0=3(cid:86)
è 4 ø
æ π ö
(cid:181)(cid:191)gx£3(cid:91)ç- ,+¥÷(cid:103)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
è 4 ø
æ 1 ö æ π ö æ 1 ö
(cid:96)ç- ,+¥÷Íç- ,+¥÷(cid:86)(cid:117)gx£3(cid:91)ç- ,+¥÷(cid:103)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
è 3 ø è 4 ø è 3 ø
2 1 é 1 ö
(cid:181)(cid:191)ex- sinx³ x+1(cid:91)
ê
- ,+¥÷(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52).
3 3 ë 3 ø
1
(3)
3
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:86)(cid:191)(cid:67)(cid:98)(cid:94)(cid:20)(cid:4)(cid:172)(cid:49)(cid:119)(cid:120)(cid:46)(cid:87)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
2 1 é 1 ö
(cid:10)2(cid:11)(cid:119)(cid:152)(cid:33)(cid:140)(cid:176)g(x)=ex- sinx- x-1(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:279)(cid:280)g(x)(cid:91)
ê
- ,+¥÷(cid:24)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:191)(cid:67)(cid:23)(cid:22)(cid:117)(cid:118)(cid:65)(cid:66)(cid:149)
3 3 ë 3 ø
(cid:43)(cid:89)
(cid:87)(cid:152)(cid:57)(cid:140)(cid:93)(cid:94)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:72)(cid:73).
2 1 é 1 ö
(cid:74)(cid:133)g(x)=ex- sinx- x-1(cid:86)xÎ
ê
- ,+¥÷(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:93)(cid:94)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:118)(cid:65)g(x)³0(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:164)(cid:121)(cid:71)(cid:16)
3 3 ë 3 ø
é 1 ö
(cid:17)(cid:65)(cid:66)g(x)>0(cid:91)
ê
- ,0÷(cid:51)(cid:52)(cid:117)(cid:118).
ë 3 ø
(cid:87)(cid:152)(cid:225)(cid:140)(cid:352)(cid:22)(cid:74)(cid:75)(cid:152)
(cid:74)(cid:133)gx= x+2sinx+3 (cid:86)xÎ æ ç- π ,+¥ ö ÷(cid:86)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:5)xÎ é
ê
3π ,+¥÷ ö (cid:224)- π <x< 3π (cid:272)(cid:297)(cid:9)(cid:255)(cid:42)(cid:43)(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:5)(cid:115)
ex è 4 ø ë 4 ø 4 4
gx(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:224)(cid:23)(cid:22)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:65)(cid:66)(cid:47)(cid:48)(cid:49).
æ 1 ö 1 1 1
(cid:10)3(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:65)(cid:66)lnf(x)<lnç1+ x+2x2 ÷£ x+2x2(cid:86)(cid:5)a> (cid:224)a£ (cid:272)(cid:297)(cid:9)(cid:255)(cid:42)(cid:43)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:90)(cid:274)(cid:51)(cid:52).
è 3 ø 3 3 3
2
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:137)(cid:99) f¢(x)=ex- cosx(cid:86)
3
2 1
(cid:181)(cid:191) f(0)=1(cid:86) f¢(0)=1- = (cid:86)
3 3
1
(cid:169)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:4)(0, f(0))(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)(cid:140)y-1= x-0(cid:86)
3(cid:117)x-3y+3=0(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:341)
1 1
(cid:10)3(cid:11) (cid:142)a> (cid:143)(cid:86)(cid:183)a= +ee>0
3 3
① 2 1
(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:17)hx=ex- sinx- x-1-2x2,xÎ0,1(cid:86)
3 3
2 1
(cid:169)h¢x=ex- cosx-4x- ,xÎ0,1(cid:86)
3 3
2 1
(cid:176)sx=h¢x=ex- cosx-4x- ,xÎ0,1(cid:86)
3 3
2
(cid:181)(cid:191)s¢x=ex+ sinx-4,xÎ0,1(cid:86)
3
2
(cid:137)(cid:99)s¢(x)=ex+ sinx-4(cid:91)0,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
3
2 2
(cid:181)(cid:191)s¢x£e+ sin1-4<e+ -4<0(cid:86)(cid:169)h¢(x)(cid:91)0,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
3 3
2 1
(cid:174)h¢(x)<h¢(0)=1- -0- =0(cid:86)(cid:169)h(x)(cid:91)0,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
3 3
2 1
(cid:169)hx<h0=0(cid:91)0,1(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:117)ex- sinx< x+1+2x2(cid:91)0,1(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:89)
3 3
1 x
(cid:176)j(x)=x-ln(x+1),(x³0)(cid:86)(cid:181)(cid:191)j¢(x)=1- = ³0,(x³0)(cid:86)
x+1 1+x
(cid:181)(cid:191)j(x)(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:169)j(x)³j(0)=0(cid:86)(cid:142)(cid:96)(cid:363)(cid:142)x=0(cid:143)(cid:108)(cid:48)(cid:86)
(cid:117)x³ln(x+1)(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52).
æ 2 ö æ 1 ö 1
(cid:174)lnf x=lnçex- sinx÷<lnç1+ x+2x2 ÷£ x+2x2(cid:86)
è 3 ø è 3 ø 3
1 æ1ö 1 2
(cid:176)x= (cid:86)(cid:169)lnf ç ÷< + (cid:86)
k èkø 3k k2
1 æ 1ö 1
(cid:129)(cid:99)x³ln(x+1)(cid:86)(cid:176)x=- ¹0(cid:86)(cid:169)lnç1- ÷<- (cid:86)
k è kø k
1
(cid:44)(cid:312)(cid:122) <lnk-ln(k-1)(cid:86)
k
n 1 n
(cid:371)(cid:372)(cid:46)(cid:224)(cid:122)(cid:86)å <1+ålnk-ln(k-1)=1+lnn
k
k=1 k=2
n 1 n 1 n æ 1 1ö 1
å <1+å =1+å ç - ÷=2- <2
k2 kk-1 èk-1 kø n
k=1 k=2 k=2
(cid:129)(cid:13)(cid:183)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:265)(cid:373)(cid:108)(cid:129)(cid:17)(cid:72)(cid:73)(cid:140)
é æ1ö æ1öù n æ1ö n æ 1 2 ö
ln ê f 1× f ç ÷¼f ç ÷ú =ålnf ç ÷=å ç + ÷
ë è2ø ènøû èkø è3k k2 ø
k=1 k=11 n 1 n 1 1 1 13 1
< å +2å < 1+lnn+2´2= lnn+ < lnn+5(cid:86)
3 k k2 3 3 3 3
k=1 k=1
æ1 ö 1
(cid:129)(cid:13)(cid:183)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:374)(cid:373)(cid:108)(cid:129)(cid:17)(cid:72)(cid:73)(cid:140)(cid:140)aln(n+1)=ç +e÷ln(n+1)> lnn+elnn
è3 ø 3
5 1
(cid:142) (cid:143)(cid:86)elnn>5(cid:86)(cid:189)(cid:143)(cid:374)(cid:266)(cid:193)(cid:99)(cid:265)(cid:266)(cid:86)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:181)(cid:191)a> (cid:47)(cid:179)(cid:180)(cid:250)(cid:251)(cid:89)
n>ee
3
1 æ1ö æ1ö
(cid:142)a£ (cid:143)(cid:86)(cid:200)"nÎN*, f(1)× f ç ÷¼f ç ÷³(n+1)a(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
3 è2ø ènø
② (cid:189)(cid:143)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:374)(cid:266) (n+1)a £(cid:10)n+1) 1 3 (cid:86)(cid:204)(cid:205)(cid:65)(cid:66)(cid:140)å n lnf æ ç 1ö ÷³ 1 ln(n+1)(cid:86)
èkø 3
k=1
1 æ 1 ö æ1ö
(cid:137)(cid:10)2(cid:11)(cid:55)(cid:149)(cid:43)1+ x£ f(x)(cid:118)(cid:122)(cid:140)lnç1+ ÷£lnf ç ÷
3 è 3kø èkø
æ 1 ö 3 æ 1 ö 3 1 1 1 1
(cid:129)(cid:99) ç1+ ÷ (cid:57)(cid:372)(cid:49)(cid:375)(cid:376) ç1+ ÷ =1+ + + >1+ (cid:86)
è 3kø è 3kø k 3k2 27k3 k
1
(cid:272)(cid:373)(cid:108)(cid:129)(cid:17)(cid:86)ln æ ç1+ 1 ö ÷>ln æ ç1+ 1ö ÷ 3(cid:86)
è 3kø è kø
n n æ 1ö
(cid:177)ln(n+1)=åln(k+1)-lnk=ålnç1+
÷
è kø
k=1 k=1
1
(cid:214)(cid:189)(cid:86)å n lnf æ ç 1ö ÷³å n ln æ ç1+ 1 ö ÷>å n ln æ ç1+ 1ö ÷ 3 = 1 ln(n+1)³aln(n+1)
èkø è 3kø è kø 3
k=1 k=1 k=1
(cid:181)(cid:191)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:169)a(cid:20)(cid:23)(cid:193)(cid:22)(cid:127)1
3
2(cid:84)（2025·天津·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=ax-(lnx)2
(1)a=1(cid:143)(cid:86)(cid:46) f x(cid:91)(cid:4) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:89)
(2) f x(cid:216)3(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)x,x ,x (cid:96)x <x <x  .
1 2 3 1 2 3
(cid:10)i(cid:11)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:89)
4e
(cid:10)ii(cid:11)(cid:65)(cid:66)lnx -lnx ×lnx < (cid:84)
2 1 3 e-1
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)y=x
æ 4 ö
(2)(cid:10)i(cid:11)ç0, ÷(cid:89)(cid:10)ii(cid:11)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:87)(cid:115).
è e2 ø
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:86)(cid:46)(cid:16)(cid:17)(cid:22)(cid:122)(cid:172)(cid:173)(cid:86)(cid:137)(cid:4)(cid:172)(cid:49)(cid:119)(cid:120)(cid:118)(cid:122)(cid:89)
lnx2 lnx2
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:176) f x=0(cid:86)(cid:5)(cid:45)(cid:41)(cid:17)(cid:122)a= (cid:86)(cid:357)(cid:116)(cid:19)(cid:17)gx= (cid:171)(cid:101)(cid:86)(cid:17)(cid:312)(cid:149)(cid:69)(cid:118)(cid:122)a(cid:109)(cid:110)(cid:89)(cid:10)ii(cid:11)
x xìaet1 =t2(cid:358)
1
ï
(cid:137)(cid:10)2(cid:11)(cid:149)(cid:69)(cid:171)(cid:101)(cid:86)(cid:118)(cid:122)x,x ,x (cid:109)(cid:110)(cid:86)(cid:249)(cid:351)(cid:227)(cid:327)lnx =t ,lnx =t ,lnx =t (cid:86)(cid:125)(cid:126)(cid:127)íaet2 =t2(cid:359)(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:137)(cid:359)(cid:360)
1 2 3 1 1 2 2 3 3 2
ï
î
aet3 =t
3
2(cid:360)
ìlna+t =2lnt t2
(cid:118)(cid:122)í 2 2 (cid:86)(cid:272)(cid:49)(cid:357)(cid:153)(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:129)(cid:17)(cid:329)(cid:104)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:118)(cid:122)tt <4(cid:86)(cid:164)(cid:137)t2 =aet1 <a(cid:122)-t < a (cid:86)(cid:149)(cid:69)a= 3
îlna+t
3
=2lnt
3
13 1 1 et3
(cid:146)(cid:327)(cid:92)(cid:282)(cid:86)(cid:164)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:17)(cid:46)(cid:23)(cid:22)(cid:86)(cid:72)(cid:73)(cid:152)(cid:118)(cid:65)(cid:66)(cid:47)(cid:48)(cid:49).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)a=1(cid:143)(cid:86) f x=x-(lnx)2(cid:86)x>0(cid:86)
2lnx
(cid:169) f 'x=1- (cid:86)(cid:169) f '1=1(cid:86)(cid:96) f 1=1(cid:86)
x
(cid:169)(cid:93)(cid:4)1,1(cid:86)(cid:96)(cid:93)(cid:94)(cid:20)(cid:172)(cid:173)(cid:127)1(cid:86)
(cid:174)(cid:19)(cid:17) f x(cid:91)(cid:4) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y=x(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:176) f x=ax-(lnx)2 =0(cid:86)x>0(cid:86)
(lnx)2
(cid:122)a= (cid:86)
x
lnx2
(cid:183)gx= ,x>0(cid:86)
x
2lnx
(cid:169) g'x= x
×x-lnx2
=
lnx2-lnx
(cid:86)
x2 x2
4
(cid:137)g'x=0(cid:87)(cid:122)x=1(cid:139)e2(cid:86)(cid:76)(cid:64)g1=0(cid:86)g  e2 = (cid:89)
e2
(cid:142)0<x<1(cid:143)(cid:86)g'x<0(cid:86)gx(cid:91)0,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
(cid:142)1<x<e2(cid:143)(cid:86)g'x>0(cid:86)gx(cid:91)  1,e2 (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)
(cid:142)x>e2(cid:143)(cid:86)g'x<0(cid:86)gx(cid:91)  e2,+¥  (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
(cid:96)(cid:142)x®0(cid:143)(cid:86)gx®+¥(cid:89) (cid:142)x®+¥(cid:143)(cid:86)gx®0(cid:89)
(cid:296)(cid:171)(cid:357)(cid:116)(cid:19)(cid:17)gx(cid:20)(cid:171)(cid:101)(cid:86)(cid:159)(cid:178)(cid:19)(cid:17) f x(cid:216)3(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)
(cid:169)(cid:119)(cid:120)a=gx(cid:91)0,+¥(cid:103)(cid:216)3(cid:62)(cid:231)(cid:86)(cid:117)(cid:98)(cid:94)y=a(cid:18)(cid:19)(cid:17)gx(cid:20)(cid:171)(cid:101)(cid:216)3(cid:62)(cid:80)(cid:4).
4
(cid:149)(cid:69)(cid:171)(cid:101)(cid:118)(cid:78)(cid:86)0<a< .
e2
æ 4 ö
(cid:174)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:127)ç0, ÷(cid:89)
è e2 ø
(cid:10)ii(cid:11)(cid:137)(cid:171)(cid:101)(cid:118)(cid:78)(cid:86)0<x <1<x <e2 <x (cid:86)
1 2 3
(cid:183)lnx =t ,lnx =t ,lnx =t (cid:86)(cid:169)t <0<t <2<t (cid:86)
1 1 2 2 3 3 1 2 3
ìaet1 =t2(cid:358)
ï 1 ìlna+t =2lnt
(cid:179)(cid:180)íaet2 =t2(cid:359)(cid:86)(cid:137)(cid:359)(cid:360)(cid:118)(cid:122)í 2 2 (cid:86)
ï
î
aet3 =t
3
2
2(cid:360)
îlna+t
3
=2lnt
3
(cid:272)(cid:49)(cid:357)(cid:153)(cid:118)(cid:122)t -t =2lnt -lnt (cid:86)
3 2 3 2
t -t
(cid:169)(cid:137)(cid:129)(cid:17)(cid:104)(cid:22)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:118)(cid:122)2= 3 2 > t t (cid:86)
lnt -lnt 2 3
3 2
4e
(cid:169)t t <4(cid:86)(cid:174)(cid:159)(cid:65)lnx -lnx ×lnx < (cid:86)
2 3 2 1 3 e-1
4e 4e
(cid:117)(cid:65)t t -tt < (cid:86)(cid:204)(cid:205)(cid:65)4-tt £ (cid:86)
2 3 13 e-1 13 e-1
4
(cid:117)(cid:65)-tt £ (cid:86)(cid:177)(cid:214)(cid:127)t <0,t2 =aet1 <a(cid:86)(cid:169)t =-t < a(cid:86)
13 e-1 1 1 1 1
t2 t2 4
(cid:181)(cid:191)-tt < at = 3 (cid:86)(cid:174)(cid:204)(cid:205)(cid:65) 3 £ (cid:86)
13 3 t3 t 3 e-1
e2 e2
t 1 t æ 1 ö
(cid:183)(cid:19)(cid:17)jt= t2 t ,t >2(cid:86)(cid:169) j't= 2te2 - 2 t2e2 = ç è 2- 2 t÷ ø t (cid:86)
e2 et t
e2
(cid:142)2<t<4(cid:143)(cid:86)j't>0(cid:86)(cid:169)jt(cid:91)2,4(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)
(cid:142)t>4(cid:143)(cid:86)j't<0(cid:86)(cid:169)jt(cid:91)4,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
16 16
(cid:174)j(t) =j4= (cid:86)(cid:117)jt£ .
max e2 e2
(cid:141)(cid:137)4e2-16e+16=4(e-2)2 >0(cid:86)
16 4
(cid:118)(cid:78) < (cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:174)(cid:12)(cid:13)(cid:122)(cid:65).
e2 e-11 1
3(cid:84)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=ln(1+x)-x+ x2-kx3(cid:86)(cid:76)(cid:64)0<k < (cid:84)
2 3
(1)(cid:65)(cid:66)(cid:140) f(x)(cid:91)(cid:221)(cid:222)(0,+¥)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:224)(cid:188)(cid:33)(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:89)
(2)(cid:183)x,x (cid:5)(cid:199)(cid:127) f(x)(cid:91)(cid:221)(cid:222)(0,+¥)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:224)(cid:56)(cid:4).
1 2
(cid:10)i(cid:11)(cid:183)(cid:19)(cid:17)g(t)= f x +t- f x -t.(cid:65)(cid:66)(cid:140)g(t)(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,x (cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
1 1 1
(cid:10)ii(cid:11)(cid:352)(cid:353)2x (cid:18)x (cid:20)(cid:193)(cid:148)(cid:86)(cid:332)(cid:65)(cid:66)(cid:354)(cid:20)(cid:149)(cid:43)(cid:84)
1 2
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
æ 1 ö 1
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:157)(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:46)(cid:122) f¢x=x2 ç -3k÷(cid:86)(cid:258)(cid:268)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:17)gx= -3k,x>0(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:355)(cid:356)(cid:279)
è1+x ø 1+x
(cid:280)(cid:19)(cid:17)gx(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:224)(cid:19)(cid:17)(cid:22)(cid:9)(cid:255)(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:122)(cid:208)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:156)(cid:141)(cid:122)(cid:65)(cid:19)(cid:17) f x(cid:91)(cid:221)(cid:222)(0,+¥)(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)
(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:89)(cid:164)(cid:149)(cid:69) f 0=0(cid:224)x®+¥(cid:143) f x(cid:20)(cid:123)(cid:305)(cid:9)(cid:255)(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:65) f x(cid:91)(cid:221)(cid:222)(0,+¥)(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4)(cid:89)
1
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:137)(cid:10)1(cid:11)x +1= (cid:224)g¢t= f¢x +t- f¢x -t(cid:149)(cid:69)(cid:10)1(cid:11)(cid:64)(cid:181)(cid:122)(cid:16)(cid:19)(cid:17) f¢x (cid:348)(cid:323)(cid:122)(cid:208)
1 3k 1 1 1
6kt2 t2-x2-2x 
g¢t= 1 1 (cid:86)(cid:164)(cid:149)(cid:69)tÎ0,x (cid:122)g¢t<0(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:65)(cid:89)
1+x 2 -t2 1
1
(cid:10)ii(cid:11)(cid:137)(cid:19)(cid:17)gt(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:122)(cid:208)0> f 2x (cid:86)(cid:164)(cid:149)(cid:69) f x =0(cid:86)
1 1 2
(cid:224)(cid:19)(cid:17) f x(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:191)(cid:191)(cid:67)(cid:19)(cid:17)(cid:22)(cid:20)(cid:9)(cid:255)(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:65).
1 x2 æ 1 ö
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:137)(cid:13)(cid:122) f¢x= -1+x-3kx2 = -3kx2 =x2 ç -3k÷(cid:86)
1+x 1+x è1+x ø
1
(cid:214)(cid:127)xÎ0,+¥(cid:86)(cid:181)(cid:191)x2 >0(cid:86)(cid:183)gx= -3k,x>0(cid:86)
1+x
1
(cid:169)g¢x=- <0(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:181)(cid:191)gx(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
1+x2
1
g(0)=1- 3k >0(cid:86)(cid:176)gx =0Þx = -1(cid:86)
0 0 3k
(cid:181)(cid:191)(cid:142)xÎ0,x (cid:143)(cid:86)gx>0(cid:86)(cid:169) f¢x>0(cid:89)(cid:142)xÎx ,+¥(cid:143)(cid:86)gx<0(cid:86)(cid:169) f¢x<0(cid:86)
0 0
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)0,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:91)x ,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
0 0
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:86)
1 x
(cid:129)(cid:19)(cid:17)y=ln1+x-x(cid:216)y¢= -1=- <0(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
1+x 1+x
(cid:181)(cid:191)y=ln1+x-x(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:181)(cid:191)y=ln1+x-x< y| =0(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
x=0
1 1
(cid:177)(cid:214)(cid:127) f 0=0(cid:86)x®+¥(cid:143) x2-kx3 = x21-2kx<0(cid:86)
2 2
(cid:181)(cid:191)x®+¥(cid:143) f x<0(cid:86)
(cid:181)(cid:191)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)x Î0,+¥(cid:178)(cid:122) f x =0(cid:86)(cid:117) f x(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:56)(cid:4).
2 2
1 1 æ 1 1 ö
(2)(cid:10)i(cid:11)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:78)x = -1(cid:86)(cid:169)x +1= (cid:86) f¢x=x2 ç - ÷(cid:86)
1 3k 1 3k è1+x 1+x ø
1
Qg(t)= f x +t- f x -t(cid:86)
1 1
æ 1 1 ö æ 1 1 ö
(cid:169)g¢t=x +t2 ç - ÷+x -t2 ç - ÷
1 èx +t+1 1+x ø 1 èx -t+1 1+x ø
1 1 1 1
-tx +t2 tx -t2 é x +t2 x -t2ù
= 1 + 1 =3ktê- 1 + 1 ú
x +t+1x +1 x -t+1x +1 ê x +t+1 x -t+1ú
1 1 1 1 ë 1 1 û
6kt2 t2-x2-2x 
= 1 1 (cid:86)
1+x 2 -t2
1
Qk >0,tÎ0,x ,\t2-x2-2x 0,1+x 2 -t2 0(cid:86)
1 1 1 1
6kt2 t2-x2-2x 
\g¢(t)= 1 1 <0(cid:86)
1+x 2 -t2
1
(cid:117)g(t)(cid:91)tÎ0,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146).
1
(cid:10)ii(cid:11)2x > x (cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:296)(cid:207)(cid:140)
1 2
(cid:137)(cid:10)i(cid:11)(cid:78)(cid:140)(cid:19)(cid:17)gt(cid:91)(cid:221)(cid:222)0,x (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
1
(cid:181)(cid:191)g0>gx (cid:117)0> f 2x (cid:86)(cid:177) f x =0(cid:86)
1 1 2
(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:118)(cid:78) f x(cid:91)x ,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)x Îx ,+¥(cid:86)(cid:96)(cid:129)(cid:175)(cid:138)xÎ0,x  f x>0(cid:86)
0 2 0 2
(cid:181)(cid:191)2x > x .
1 2
4(cid:84)（2024·上海·高考真题）(cid:129)(cid:99)(cid:33)(cid:62)(cid:19)(cid:17) f(x)(cid:224)(cid:33)(cid:62)(cid:4)M(a,b)(cid:86)(cid:176)s(x)=(x-a)2+(f(x)-b)2(cid:86)(cid:200)s(x)(cid:91)x=x
0
(cid:143)(cid:108)(cid:122)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:20)(cid:4)(cid:86)(cid:169)(cid:337)(x , f(x ))(cid:90)M(cid:20)“ f (cid:23)(cid:335)(cid:4)”.
0 01
(1)(cid:129)(cid:99)(cid:19)(cid:17) f(x)= ,xÎ(0,+¥)(cid:86)(cid:46)(cid:65)(cid:140)(cid:129)(cid:99)(cid:4)M(0,0)(cid:86)(cid:187)(cid:91)(cid:4)P(cid:86)(cid:178)(cid:122)(cid:4)P(cid:90)M(cid:20)“ f (cid:23)(cid:335)(cid:4)”(cid:89)
x
(2)(cid:129)(cid:99)(cid:19)(cid:17) f(x)=ex,xÎR(cid:86)M(1,0)(cid:86)(cid:377)(cid:202)(cid:203)(cid:90)(cid:274)(cid:187)(cid:91)(cid:33)(cid:62)(cid:4)P(cid:86)(cid:178)(cid:378)(cid:90)M(cid:20)“ f (cid:23)(cid:335)(cid:4)”(cid:86)(cid:96)(cid:98)(cid:94)MP(cid:18)(cid:128)
(cid:94) f(x)(cid:91)(cid:4)P(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:97)(cid:98)(cid:276)
(3)(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)(xÎR)(cid:118)(cid:16)(cid:86)(cid:19)(cid:17)g(x)>0(cid:91)xÎR(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:129)(cid:99)(cid:4)M (t-1,f(t)-g(t))(cid:18)(cid:4)
1
M (t+1,f(t)+g(t))(cid:86)(cid:200)(cid:129)(cid:175)(cid:138)(cid:124)(cid:17)t(cid:86)(cid:104)(cid:187)(cid:91)(cid:4)P(cid:237)(cid:143)(cid:127)(cid:4)M (cid:18)(cid:4)M (cid:20)“ f (cid:23)(cid:335)(cid:4)”(cid:86)(cid:338)(cid:66) f(x)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132).
2 1 2
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
(2)(cid:187)(cid:91)(cid:86)P0,1
(3)(cid:379)(cid:380)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:277)(cid:278)M(0,0)(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:319)(cid:285)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:137)(cid:13)(cid:122)sx=(x-1)2+e2x(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:122)(cid:208)(cid:76)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:86)(cid:169)(cid:122)(cid:208)P(cid:86)(cid:164)(cid:65)(cid:66)(cid:98)(cid:94)MP(cid:18)(cid:93)(cid:94)(cid:97)(cid:98)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
1
(cid:10)3(cid:11)(cid:231)(cid:232)(cid:13)(cid:138)(cid:122)(cid:208)s¢x =s¢x =0(cid:86)(cid:129)(cid:272)(cid:48)(cid:49)(cid:126)(cid:330)(cid:122) f¢x =- (cid:86)(cid:164)(cid:121)(cid:71)“(cid:23)(cid:335)(cid:4)”(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:122)(cid:208)(cid:47)(cid:48)
1 0 2 0 0 g(t)
(cid:49)(cid:299)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:65)(cid:66)x =t(cid:86)(cid:23)(cid:220)(cid:122)(cid:208)(cid:19)(cid:17)(cid:130)(cid:131)(cid:132).
0
æ1 ö 2 1 1
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)M(0,0)(cid:143)(cid:86)sx=(x-0)2+ç -0÷ = x2+ ³2 x2× =2(cid:86)
èx ø x2 x2
1
(cid:142)(cid:96)(cid:363)(cid:142)x2 = (cid:117)x=1(cid:143)(cid:108)(cid:48)(cid:155)(cid:86)
x2
(cid:174)(cid:129)(cid:99)(cid:4)M0,0(cid:86)(cid:187)(cid:91)(cid:4)P1,1(cid:86)(cid:178)(cid:122)(cid:218)(cid:4)(cid:90)M0,0(cid:91) f x(cid:20)“(cid:23)(cid:335)(cid:4)”(cid:84)
(cid:10)2(cid:11)(cid:137)(cid:13)(cid:183)(cid:118)(cid:122)sx=(x-1)2+  ex-0 2 =(x-1)2+e2x(cid:86)
(cid:169)s¢x=2x-1+2e2x(cid:86)
(cid:214)(cid:127)y=2x-1,y=2e2x(cid:104)(cid:127)R(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
(cid:169)s¢x=2x-1+2e2x(cid:91)R(cid:24)(cid:127)(cid:379)(cid:380)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
(cid:141)s¢0=0(cid:86)(cid:174)(cid:142)x<0(cid:143)(cid:86)s¢x<0(cid:86)(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86)s¢x>0(cid:86)
(cid:174)sx =s0=2(cid:86)(cid:189)(cid:143)P0,1(cid:86)
min
(cid:141) f¢x=ex,k = f¢0=1(cid:86)
(cid:174) f x(cid:91)(cid:4)P(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y=x+1.0-1
(cid:141)k = =-1(cid:86)(cid:174)k ×k =-1(cid:86)
MP 1-0 MP
(cid:174)(cid:98)(cid:94)MP(cid:18)y= f x(cid:91)(cid:4)P(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:97)(cid:98)(cid:84)
(cid:10)3(cid:11)(cid:183)s x=(x-t+1)2+(f x- f t+gt)2(cid:86)
1
s x=(x-t-1)2+(f x- f t-gt)2(cid:86)
2
(cid:141)s¢x=2(x-t+1)+2(f x- f t+gt)f¢x(cid:86)
1
s¢x=2(x-t-1)+2(f x- f t-gt)f¢x(cid:86)
2
(cid:200)(cid:129)(cid:175)(cid:138)(cid:20)tÎR(cid:86)(cid:187)(cid:91)(cid:4)P(cid:237)(cid:143)(cid:90)M ,M (cid:91) f x(cid:20)“(cid:23)(cid:335)(cid:4)”(cid:86)
1 2
(cid:183)Px ,y (cid:86)(cid:169)x (cid:381)(cid:90)s x(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:170)(cid:90)s x(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:4)(cid:86)
0 0 0 1 2
(cid:214)(cid:127)(cid:272)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:104)(cid:127)R(cid:86)(cid:169)x (cid:170)(cid:90)(cid:272)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:4)(cid:86)
0
(cid:169)(cid:187)(cid:91)x ,(cid:178)(cid:122)s¢x =s¢x =0(cid:86)
0 1 0 2 0
(cid:117)s¢x =2x -t+1+2f¢x éf x - f(t)+g(t)ù=0
1 0 0 0 ë 0 û
①
s¢x =2x -t-1+2f¢x éf x - f(t)-g(t)ù=0
2 0 0 0 ë 0 û
②
(cid:137) (cid:382)(cid:48)(cid:122)4+4g(t)× f¢x =0(cid:86)(cid:117)1+ f¢x g(t)=0(cid:86)
0 0
①② 1
(cid:117) f¢x =- (cid:86)(cid:177)(cid:214)(cid:127)(cid:19)(cid:17)g(x)(cid:91)(cid:82)(cid:83)(cid:192)R(cid:24)(cid:50)(cid:123)(cid:86)
0 g(t)
1
(cid:169) f¢x =- <0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
0 g(t)
(cid:258)(cid:207)(cid:295)(cid:65)(cid:66)x =t(cid:86)
0
(cid:214)(cid:127)x (cid:381)(cid:90)s x(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:170)(cid:90)s x(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:4)(cid:86)
0 1 2
(cid:169)s x £s(t),s x £s(t)(cid:86)
1 0 2 0
(cid:117)x -t+12+f x - f t+gt2 £1+gt2 (cid:86)
0 0
③
x -t-12+f x - f t-gt2 £1+gt2 (cid:86)
0 0
④
+ (cid:122)2x -t2 +2+2éf x - f(t)ù 2 +2g2(t)£2+2g2(t)
0 ë 0 û
③ ④
(cid:117)x -t2 + f x - f t2 £0(cid:86)(cid:214)(cid:127)x -t2 ³0,f x - f t2 ³0
0 0 0 0ìx -t =0
(cid:169)í 0 (cid:86)(cid:87)(cid:122)x =t(cid:86)
f x - f t=0 0
î 0
1
(cid:169) f¢t=- <0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:214)(cid:127)t(cid:20)(cid:175)(cid:138)(cid:132)(cid:86)(cid:169) f x(cid:379)(cid:380)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146).
g(t)
1
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:134)(cid:284)(cid:4)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:285)(cid:13)(cid:100)(cid:225)(cid:55)(cid:20)(cid:134)(cid:284)(cid:90)(cid:149)(cid:69)(cid:23)(cid:22)(cid:4)(cid:224)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:122)(cid:208) f¢x =- (cid:86)(cid:164)(cid:121)(cid:71)(cid:23)(cid:22)(cid:4)
0 g(t)
(cid:82)(cid:83)(cid:122)(cid:208)x =t(cid:117)(cid:118).
0
5(cid:84)（2024·上海·高考真题）(cid:252)Ma= (cid:383)t t = f x- f a,x³a(cid:86)La= (cid:383)t t = f x- f a,x£a
(1)(cid:200) f x=x2+1(cid:86)(cid:46)M1(cid:224)L1 ;
(2)(cid:200) f x=x3-3x2(cid:86)(cid:46)(cid:65):(cid:129)(cid:99)(cid:175)(cid:138)aÎR(cid:86)(cid:243)(cid:216)MaÍ-4,+¥(cid:86)(cid:96)(cid:187)(cid:91)a(cid:86)(cid:178)(cid:122)-4ÎMa.
(3)(cid:85)(cid:78)(cid:82)(cid:83)(cid:91)R(cid:24) f x(cid:216)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:86)(cid:46)(cid:65)" f x(cid:90)(cid:384)(cid:19)(cid:17)"(cid:20)(cid:306)(cid:159)(cid:250)(cid:251)(cid:90)“(cid:129)(cid:99)(cid:175)(cid:138)(cid:123)(cid:124)(cid:17)c(cid:86)(cid:104)(cid:216)
M-c=Lc”.
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)M1=0,+¥(cid:89)L1=-1,+¥;
(2)
(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:78)Ma= (cid:383)t t =x3-3x2-a3+3a2,x³a  (cid:86)(cid:252)gx=x3-3x2-a3+3a2(cid:86)(cid:216)g¢x=3x2-6x=0Þx=0
(cid:139)2(cid:86)
x
-¥,0
0
0,2
2
2,+¥
g¢x (cid:123) 0 (cid:305) 0 (cid:123)
gx (cid:21)(cid:193)(cid:22) (cid:21)(cid:148)(cid:22)
Z ] Z
(cid:385)(cid:129)a(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43):
(cid:142)a³2(cid:86)(cid:216)t =x3-3x2-a3+3a2(cid:86)x³a(cid:127)(cid:379)(cid:380)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:214)(cid:127)ga=0(cid:86)(cid:189)(cid:143)Ma=0,+¥Í-4,+¥(cid:86)(cid:154)
(cid:69)(cid:250)(cid:251);
(cid:142)0£a<2(cid:143)(cid:86)t =x3-3x2-a3+3a2(cid:86)x³a(cid:86)(cid:157)(cid:146)(cid:220)(cid:147)(cid:86)t =g2=-a3+3a2-4(cid:86)
min
(cid:214)(cid:127)-a3+3a2 =a23-a³0,(a=0(cid:108)(cid:48)(cid:155))(cid:86)(cid:181)(cid:191)t =g2=-a3+3a2-4³-4(cid:86)
min
(cid:189)(cid:143)Ma=é-a3+3a2-4,+¥  Í-4,+¥(cid:86)(cid:154)(cid:69)(cid:250)(cid:251)(cid:86)(cid:96)a=0(cid:143)(cid:86)-4ÎMa(cid:89)
ë(cid:142)a<0(cid:143)(cid:86)t =x3-3x2-a3+3a2(cid:86)x³a(cid:86)(cid:91)a,0(cid:379)(cid:380)(cid:147)(cid:86)(cid:91)0,2(cid:379)(cid:380)(cid:146)(cid:86)(cid:91)2,+¥(cid:379)(cid:380)(cid:147)(cid:86)
t =minga,g2=min  0,-a3+3a2-4  (cid:86)(cid:214)(cid:127)ha=-a3+3a2-4(cid:86)
min
(cid:189)(cid:143)(cid:86)h¢a=-3a2+6a>0(cid:86)(cid:169)ha>h0=-4(cid:86)(cid:169)Ma=t ,+¥Í-4,+¥(cid:51)(cid:52);
min
(cid:68)(cid:24)(cid:118)(cid:78)(cid:86)(cid:129)(cid:99)(cid:175)(cid:138)aÎR(cid:86)(cid:243)(cid:216)MaÍ-4,+¥(cid:86)(cid:96)(cid:187)(cid:91)a=0(cid:86)(cid:178)(cid:122)-4ÎMa
.
(3)
(cid:158)(cid:159)(cid:132):(cid:200) f x(cid:127)(cid:384)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:169)M-c=(cid:383)t t = f x- f -c,x³-c(cid:86)Lc=(cid:383)t t = f x- f c,x£c (cid:86)
(cid:142)x³-c(cid:86)t = f x- f -c= f -x- f c(cid:86)(cid:214)(cid:127)-x£c(cid:86)(cid:174)M-c=Lc ;
(cid:306)(cid:5)(cid:132)(cid:140)(cid:200)(cid:129)(cid:99)(cid:175)(cid:138)(cid:123)(cid:124)(cid:17)c(cid:86)(cid:104)(cid:216)M-c=Lc(cid:86)(cid:76)(cid:64)
M-c=(cid:383)t t = f x- f -c,x³-c(cid:86)Lc=(cid:383)t t = f x- f c,x£c (cid:86)
(cid:214)(cid:127) f x(cid:216)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:86)(cid:47)(cid:303)(cid:183) f a= f x =m(cid:86)
min
(cid:137)(cid:99)c(cid:175)(cid:138)(cid:86)(cid:176)c³ a (cid:86)(cid:169)aÎ-c,c(cid:86)
(cid:174)M-c(cid:23)(cid:148)(cid:327)(cid:386)(cid:127) f a- f -c=m- f -c(cid:86)Lc(cid:64)(cid:23)(cid:148)(cid:327)(cid:386)(cid:127)m- f c(cid:86)
(cid:177)M-c=Lc, (cid:169)m- f c=m- f -c(cid:129)(cid:175)(cid:138)c³ a (cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:169) f a= f -a=m(cid:86)
(cid:200)a=0(cid:86)(cid:169) f c= f -c(cid:129)(cid:175)(cid:138)c³0(cid:51)(cid:52)Þ f x(cid:90)(cid:384)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
(cid:200)a¹0(cid:86)(cid:189)(cid:220)(cid:108)cÎ- a , a (cid:86)
M-c(cid:23)(cid:148)(cid:327)(cid:386)(cid:90)f a- f -cü ï
ýÞ f -c= f c(cid:86)
L-c(cid:23)(cid:148)(cid:327)(cid:386)(cid:90)f - a- f c
ïþ
(cid:68)(cid:24)(cid:86)(cid:175)(cid:138)c³0(cid:86)f c= f -c(cid:86)(cid:117) f x(cid:90)(cid:384)(cid:19)(cid:17).
(cid:174)" f x(cid:90)(cid:384)(cid:19)(cid:17)"(cid:20)(cid:306)(cid:159)(cid:250)(cid:251)(cid:90)“(cid:129)(cid:99)(cid:175)(cid:138)(cid:123)(cid:124)(cid:17)c(cid:86)(cid:104)(cid:216)M-c=Lc ”.
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:264) f x=x2+1(cid:277)(cid:278)(cid:46)(cid:87)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:231)(cid:232)(cid:19)(cid:17)gx=x3-3x2-a3+3a2(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:129)a(cid:156)(cid:326)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:86)(cid:311)(cid:220)(cid:46)(cid:116)Ma(cid:117)(cid:118)(cid:65)(cid:66);
(cid:10)3(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:384)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:65)(cid:66)(cid:158)(cid:159)(cid:132)(cid:86)(cid:121)(cid:71)M-c=Lc(cid:86)(cid:122)(cid:116)(cid:272)(cid:62)(cid:88)(cid:69)(cid:64)(cid:23)(cid:148)(cid:20)(cid:327)(cid:386)(cid:382)(cid:237)(cid:86)(cid:211)(cid:141)
f c= f -c(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:65)(cid:66)(cid:306)(cid:5)(cid:132).(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:122):M1= (cid:383)t t =x2+1-2,x³1  =0,+¥(cid:89)L1= (cid:383)t t =x2+1-2,x£1  =-1,+¥;
(cid:10)2(cid:11)(cid:341)
(cid:10)3(cid:11)(cid:341)
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:134)(cid:284)(cid:4)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:100)(cid:57)(cid:55)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:46)(cid:116)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:311)(cid:220)(cid:129)a(cid:156)(cid:326)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:46)(cid:116)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:22)(cid:192)(cid:86)(cid:100)(cid:225)(cid:55)
(cid:149)(cid:69)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:387)(cid:384)(cid:132)(cid:3)(cid:388)(cid:389)(cid:390)(cid:336)(cid:282)(cid:261)(cid:391).
6(cid:84)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=ax-1-lnx+1(cid:84)
(1)(cid:46) f x(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:221)(cid:222)(cid:89)
(2)(cid:142)a£2(cid:143)(cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:142)x>1(cid:143)(cid:86) f x<ex-1(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
(2)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:40)(cid:41)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:122)(cid:116)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:154)(cid:155)(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:122)(cid:116)(cid:190)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:157)(cid:231)(cid:232)(cid:13)(cid:183)(cid:250)(cid:251)(cid:264)(cid:55)(cid:13)(cid:118)(cid:125)(cid:126)(cid:51)(cid:65)(cid:66)(cid:142)x>1(cid:143)(cid:86)ex-1-2x+1+lnx>0(cid:117)(cid:118).
1 ax-1
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11) f(x)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:127)(0,+¥)(cid:86) f¢(x)=a- =
x x
ax-1
(cid:142)a£0(cid:143)(cid:86) f¢(x)= <0(cid:86)(cid:174) f(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
x
æ1 ö
(cid:142)a>0(cid:143)(cid:86)xÎç ,+¥÷(cid:143)(cid:86) f¢(x)>0(cid:86) f(x)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
èa ø
æ 1ö
(cid:142)xÎç0, ÷(cid:143)(cid:86) f¢(x)<0(cid:86) f(x)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146).
è aø
(cid:68)(cid:24)(cid:181)(cid:182)(cid:86)(cid:142)a£0(cid:143)(cid:86) f(x)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)(0,+¥)(cid:89)
æ1 ö æ 1ö
a>0(cid:143)(cid:86) f(x)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)ç ,+¥÷(cid:86)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)ç0, ÷.
èa ø è aø
(cid:10)2(cid:11)a£2(cid:86)(cid:96)x>1(cid:143)(cid:86)ex-1- f(x)=ex-1-a(x-1)+lnx-1³ex-1-2x+1+lnx(cid:86)
(cid:176)g(x)=ex-1-2x+1+lnx(x>1)(cid:86)(cid:207)(cid:65)g(x)>0(cid:117)(cid:118).
1 1
g¢(x)=ex-1-2+ (cid:86)(cid:164)(cid:176)h(x)=g¢(x)(cid:86)(cid:169)h¢(x)=ex-1- (cid:86)
x x2
(cid:333)(cid:311)h¢(x)(cid:91)(1,+¥)(cid:24)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:169)h¢(x)>h¢(1)=e0-1=0(cid:86)
(cid:117)g¢(x)=h(x)(cid:91)(1,+¥)(cid:24)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:174)g¢(x)>g¢(1)=e0-2+1=0(cid:86)(cid:117)g(x)(cid:91)(1,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:174)g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0(cid:86)(cid:55)(cid:13)(cid:122)(cid:65)7(cid:84)（2024·天津·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=xlnx(cid:84)
(1)(cid:46)(cid:128)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:89)
(2)(cid:200) f x³a  x- x  (cid:129)(cid:175)(cid:138)xÎ0,+¥(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:46)(cid:124)(cid:17)a(cid:20)(cid:22)(cid:89)
(3)(cid:200)x 1 ,x 2 Î0,1(cid:86)(cid:46)(cid:65)(cid:140) f x 1 - f x 2  £ x 1 -x 2 1 2 (cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)y=x-1
(2)2
(3)(cid:65)(cid:66)(cid:95)(cid:120)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:98)(cid:258)(cid:178)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:157)(cid:137)(cid:13)(cid:183)(cid:250)(cid:251)(cid:122)(cid:208)a=2(cid:86)(cid:164)(cid:65)(cid:66)a=2(cid:143)(cid:250)(cid:251)(cid:179)(cid:180)(cid:89)
(cid:10)3(cid:11)(cid:157)(cid:163)(cid:82) f x(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:164)(cid:129)x,x (cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43).
1 2
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:137)(cid:99) f x=xlnx(cid:86)(cid:174) f¢x=lnx+1.
(cid:181)(cid:191) f 1=0(cid:86) f¢1=1(cid:86)(cid:181)(cid:191)(cid:181)(cid:46)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:270)(cid:95)1,0(cid:86)(cid:96)(cid:172)(cid:173)(cid:127)1(cid:86)(cid:174)(cid:76)(cid:119)(cid:120)(cid:127)y=x-1.
1 t-1
(cid:10)2(cid:11)(cid:183)ht=t-1-lnt(cid:86)(cid:169)h¢t=1- = (cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:142)0<t<1(cid:143)h¢t<0(cid:86)(cid:142)t>1(cid:143)h¢t>0.
t t
(cid:181)(cid:191)ht(cid:91)0,1(cid:24)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)1,+¥(cid:24)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:184)(cid:219)(cid:338)(cid:66)ht³h1(cid:86)(cid:117)t-1³lnt(cid:86)(cid:96)(cid:48)(cid:155)(cid:51)(cid:52)(cid:142)(cid:96)(cid:363)(cid:142)t=1.
(cid:183)gt=at-1-2lnt(cid:86)(cid:169)
f x-a  x- x  =xlnx-a  x- x  =x æ ça æ ç 1 -1 ö ÷ -2ln 1 ö ÷=x×g æ ç 1 ö ÷.
è è x ø xø è xø
1
(cid:142)xÎ0,+¥(cid:143)(cid:86) (cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:90)0,+¥(cid:86)(cid:181)(cid:191)(cid:12)(cid:13)(cid:48)(cid:298)(cid:99)(cid:129)(cid:175)(cid:138)tÎ0,+¥(cid:86)(cid:243)(cid:216)gt³0.
x
(cid:33)(cid:119)(cid:256)(cid:86)(cid:200)(cid:129)(cid:175)(cid:138)tÎ0,+¥(cid:86)(cid:243)(cid:216)gt³0(cid:86)(cid:169)(cid:129)tÎ0,+¥(cid:216)
1 æ1 ö 2
0£gt=at-1-2lnt =at-1+2ln £at-1+2ç -1÷=at+ -a-2(cid:86)
t èt ø t
(cid:108)t=2(cid:86)(cid:122)0£a-1(cid:86)(cid:174)a³1>0.
2 2 a  2
(cid:164)(cid:108)t = (cid:86)(cid:122)0£a× +2 -a-2=2 2a-a-2=- a- 2 (cid:86)(cid:181)(cid:191)a=2.
a a 2
(cid:269)(cid:33)(cid:119)(cid:256)(cid:86)(cid:200)a=2(cid:86)(cid:169)(cid:129)(cid:175)(cid:138)tÎ0,+¥(cid:243)(cid:216)gt=2t-1-2lnt =2ht³0(cid:86)(cid:179)(cid:180)(cid:250)(cid:251).
(cid:68)(cid:69)(cid:191)(cid:24)(cid:272)(cid:62)(cid:119)(cid:256)(cid:86)(cid:78)a(cid:20)(cid:22)(cid:90)2.f b- f a
(cid:10)3(cid:11)(cid:157)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:62)(cid:149)(cid:43)(cid:140)(cid:129)0<a<b(cid:86)(cid:216)lna+1< <lnb+1.
b-a
b
ln
blnb-alna alnb-alna a
(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:392)(cid:256)(cid:85)(cid:270)(cid:65)(cid:66)(cid:47)(cid:48)(cid:49)t-1³lnt(cid:86)(cid:174) = +lnb= +lnb<1+lnb(cid:86)
b-a b-a b
-1
a
a æa ö
-ln -ç -1÷
blnb-alna blnb-blna b èb ø
(cid:96) = +lna= +lna> +lna=1+lna(cid:86)
b-a b-a a a
1- 1-
b b
blnb-alna f b- f a
(cid:181)(cid:191)lna+1< <lnb+1(cid:86)(cid:117)lna+1< <lnb+1.
b-a b-a
1 1
(cid:137) f¢x=lnx+1(cid:86)(cid:118)(cid:78)(cid:142)0<x< (cid:143) f¢x<0(cid:86)(cid:142)x> (cid:143) f¢x>0.
e e
æ 1ù é1 ö
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)ç0,
ú
(cid:24)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)
ê
,+¥÷(cid:24)(cid:145)(cid:147).
è eû ëe ø
(cid:47)(cid:303)(cid:183)x £x (cid:86)(cid:207)(cid:256)(cid:5)(cid:225)(cid:297)(cid:9)(cid:255)(cid:10)(cid:76)(cid:64)(cid:216)(cid:345)(cid:69)(cid:393)(cid:5)(cid:11)(cid:65)(cid:66)(cid:285)(cid:13)(cid:149)(cid:43).
1 2
1
(cid:9)(cid:255)(cid:33)(cid:140)(cid:142) £x £x <1(cid:143)(cid:86)(cid:216) f x - f x  = f x - f x <lnx +1x -x <x -x < x -x (cid:86)(cid:149)(cid:43)
e 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1
(cid:51)(cid:52)(cid:89)
1
(cid:9)(cid:255)(cid:57)(cid:140)(cid:142)0<x £x £ (cid:143)(cid:86)(cid:216) f x - f x  = f x - f x =x lnx -x lnx .
1 2 e 1 2 1 2 1 1 2 2
æ 1ù 1
(cid:129)(cid:175)(cid:138)(cid:20)cÎç0,
ú
(cid:86)(cid:183)jx=xlnx-clnc- c-x(cid:86)(cid:169)j¢x=lnx+1+ .
è eû 2 c-x
(cid:137)(cid:99)j¢x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:96)(cid:216)
æ ö
c c 1 1 1 1 1
j¢ç ÷ =ln +1+ <ln +1+ =-1- +1+ =0
ç 1+ 1 ÷ 1+ 1 c 1+ 1 c 2c 2c (cid:86)
è2e 2c ø 2e 2c 2 c- e 2c 2 c-
1+ 1 2
2e 2c
1
x³c- c 1 2
(cid:96)(cid:142) æ 2 ö 2 (cid:86)x> (cid:143)(cid:86)(cid:137) ³ln -1(cid:118)(cid:78)
4çln -1÷ 2 2 c-x c
è c ø
1 c 1 1 æ 2 ö
j¢x=lnx+1+ >ln +1+ = -çln -1÷³0.
2 c-x 2 2 c-x 2 c-x è c ø
(cid:181)(cid:191)j¢x(cid:91)0,c(cid:24)(cid:187)(cid:91)(cid:56)(cid:4)x (cid:86)(cid:164)(cid:149)(cid:69)j¢x(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:117)(cid:78)0<x<x (cid:143)j¢x<0(cid:86)x <x<c(cid:143)
0 0 0
j¢x>0.
(cid:174)jx(cid:91)0,x (cid:24)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)x ,c(cid:24)(cid:145)(cid:147).
0 0
(cid:142)x £x£c(cid:143)(cid:86)(cid:216)jx£jc=0(cid:89)
0
①1   æ1ö 2 æ 1 ö
(cid:142)0<x<x (cid:143)(cid:86)(cid:137)(cid:99) cln =-2f c £-2f ç ÷= <1(cid:86)(cid:174)(cid:235)(cid:236)(cid:118)(cid:191)(cid:108)qÎç cln ,1÷.
0 c èeø e è c ø
② c
(cid:211)(cid:141)(cid:142)0<x< (cid:143)(cid:86)(cid:137) c-x >q c(cid:86)(cid:118)(cid:122)
1-q2
æ 1 ö
jx=xlnx-clnc- c-x <-clnc- c-x <-clnc-q c = cç cln -q÷<0.
è c ø
(cid:164)(cid:231)(cid:232)jx(cid:91)0,x (cid:24)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:117)(cid:78)(cid:129)0<x<x (cid:243)(cid:216)jx<0(cid:89)
0 0
(cid:68)(cid:69) (cid:118)(cid:78)(cid:129)(cid:175)(cid:138)0<x£c(cid:86)(cid:243)(cid:216)jx£0(cid:86)(cid:117)jx=xlnx-clnc- c-x £0.
①②æ 1ù
(cid:231)(cid:232)cÎç
è
0,
e ú û
(cid:224)0<x£c(cid:20)(cid:175)(cid:138)(cid:132)(cid:86)(cid:108)c=x
2
(cid:86)x=x
1
(cid:86)(cid:219)(cid:122)(cid:208)x
1
lnx
1
-x
2
lnx
2
- x
2
-x
1
£0.
(cid:181)(cid:191) f x - f x  = f x - f x =x lnx -x lnx £ x -x .
1 2 1 2 1 1 2 2 2 1
1 æ1ö 1
(cid:9)(cid:255)(cid:225)(cid:140)(cid:142)0<x £ £x <1(cid:143)(cid:86)(cid:231)(cid:232)(cid:9)(cid:255)(cid:33)(cid:224)(cid:9)(cid:255)(cid:57)(cid:20)(cid:42)(cid:43)(cid:86)(cid:118)(cid:122) f x - f ç ÷ £ -x £ x -x (cid:86)
1 e 2 1 èeø e 1 2 1
æ1ö 1
f ç ÷- f x  £ x - £ x -x .
èeø 2 2 e 2 1
æ1ö æ1ö
(cid:141)(cid:231)(cid:232) f x(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:78) f x - f x  £ f x - f ç ÷ (cid:139) f x - f x  £ f ç ÷- f x  .
1 2 1 èeø 1 2 èeø 2
(cid:174)(cid:33)(cid:82)(cid:216) f x - f x  £ x -x (cid:51)(cid:52).
1 2 2 1
(cid:68)(cid:24)(cid:86)(cid:149)(cid:43)(cid:51)(cid:52).
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:134)(cid:284)(cid:4)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:285)(cid:13)(cid:20)(cid:134)(cid:284)(cid:91)(cid:99)(cid:100)3(cid:148)(cid:55)(cid:64)(cid:86)(cid:205)(cid:159)(cid:149)(cid:69) f x(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:156)(cid:326)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43).
x
8(cid:84)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=ln +ax+b(x-1)3
2-x
(1)(cid:200)b=0(cid:86)(cid:96) f¢(x)³0(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:89)
(2)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:90)(cid:64)(cid:314)(cid:129)(cid:337)(cid:171)(cid:312)(cid:89)
(3)(cid:200) f(x)>-2(cid:142)(cid:96)(cid:363)(cid:142)1<x<2(cid:86)(cid:46)b(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)-2
(2)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
2
(3)b³-
3
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:46)(cid:116) f¢x =2+a(cid:220)(cid:231)(cid:232) f¢(x)³0(cid:118)(cid:46)a(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:89)
min
(cid:10)2(cid:11)(cid:183)Pm,n(cid:127)y= f x(cid:171)(cid:101)(cid:24)(cid:175)(cid:138)(cid:33)(cid:4)(cid:86)(cid:118)(cid:65)Pm,n(cid:134)(cid:99)1,a(cid:20)(cid:129)(cid:337)(cid:4)(cid:127)Q2-m,2a-n(cid:170)(cid:91)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:171)(cid:394)(cid:24)(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:118)(cid:65)(cid:129)(cid:337)(cid:132)(cid:89)
2
(cid:10)3(cid:11)(cid:231)(cid:232)(cid:13)(cid:183)(cid:118)(cid:202)(cid:203) f 1=-2(cid:117)a=-2(cid:86)(cid:164)(cid:231)(cid:232) f(x)>-2(cid:91)1,2(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:118)(cid:46)(cid:122)b³- .
3
x
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)b=0(cid:143)(cid:86) f x=ln +ax(cid:86)(cid:76)(cid:64)xÎ0,2(cid:86)
2-x
1 1 2
(cid:169) f¢x= + +a= +a,xÎ0,2 (cid:86)
x 2-x x2-x
æ2-x+xö 2
(cid:214)(cid:127)x2-x£ç
÷
=1(cid:86)(cid:142)(cid:96)(cid:363)(cid:142)x=1(cid:143)(cid:48)(cid:155)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
è 2 ø
(cid:174) f¢x =2+a(cid:86)(cid:141) f¢x³0(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:174)a+2³0(cid:117)a³-2(cid:86)
min
(cid:181)(cid:191)a(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:127)-2.(cid:86)
x
(cid:10)2(cid:11) f x=ln +ax+bx-13(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:127)0,2(cid:86)
2-x
(cid:183)Pm,n(cid:127)y= f x(cid:171)(cid:101)(cid:24)(cid:175)(cid:138)(cid:33)(cid:4)(cid:86)
Pm,n(cid:134)(cid:99)1,a(cid:20)(cid:129)(cid:337)(cid:4)(cid:127)Q2-m,2a-n(cid:86)
m
(cid:214)(cid:127)Pm,n(cid:91)y= f x(cid:171)(cid:101)(cid:24)(cid:86)(cid:174)n=ln +am+bm-13(cid:86)
2-m
(cid:141) f 2-m=ln 2-m +a2-m+b2-m-13 =- é ln m +am+bm-13ù +2a(cid:86)
ê ú
m ë 2-m û
=-n+2a(cid:86)
(cid:181)(cid:191)Q2-m,2a-n(cid:170)(cid:91)y= f x(cid:171)(cid:101)(cid:24)(cid:86)
(cid:137)P(cid:20)(cid:175)(cid:138)(cid:132)(cid:118)(cid:122)y= f x(cid:171)(cid:101)(cid:127)(cid:64)(cid:314)(cid:129)(cid:337)(cid:171)(cid:312)(cid:86)(cid:96)(cid:129)(cid:337)(cid:64)(cid:314)(cid:127)1,a .
(cid:10)3(cid:11)(cid:214)(cid:127) f x>-2(cid:142)(cid:96)(cid:363)(cid:142)1<x<2(cid:86)(cid:174)x=1(cid:127) f x=-2(cid:20)(cid:33)(cid:62)(cid:87)(cid:86)
(cid:181)(cid:191) f 1=-2(cid:117)a=-2(cid:86)
(cid:157)(cid:3)(cid:229)1<x<2(cid:143)(cid:86) f x>-2(cid:50)(cid:51)(cid:52).
x
(cid:189)(cid:143) f x>-2(cid:117)(cid:127)ln +21-x+bx-13 >0(cid:91)1,2(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
2-x
t+1
(cid:183)t =x-1Î0,1(cid:86)(cid:169)ln -2t+bt3 >0(cid:91)0,1(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
1-t
t+1
(cid:183)gt=ln -2t+bt3,tÎ0,1(cid:86)
1-t
2
t2 -3bt2+2+3b 
(cid:169)g¢t= -2+3bt2 = (cid:86)
1-t2 1-t2(cid:142)b³0(cid:86)-3bt2+2+3b³-3b+2+3b=2>0(cid:86)
(cid:174)g¢t>0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:174)gt(cid:91)0,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:174)gt>g0=0(cid:117) f x>-2(cid:91)1,2(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52).
2
(cid:142)- £b<0(cid:143)(cid:86)-3bt2+2+3b³2+3b³0(cid:86)
3
(cid:174)g¢t³0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:174)gt(cid:91)0,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:174)gt>g0=0(cid:117) f x>-2(cid:91)1,2(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52).
(cid:142)b<- 2 (cid:86)(cid:169)(cid:142)0<t< 1+ 2 <1(cid:143)(cid:86)g¢t<0
3 3b
æ 2 ö
(cid:174)(cid:91)ç0, 1+ ÷(cid:24)gt(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:174)gt<g0=0(cid:86)(cid:47)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:86)(cid:144)(cid:89)
ç 3b÷
è ø
2
(cid:68)(cid:24)(cid:86) f x>-2(cid:91)1,2(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:143)b³- .
3
2
(cid:141)(cid:142)b³- (cid:143)(cid:86)
3
2
(cid:141)b³- (cid:143)(cid:86)(cid:137)(cid:24)(cid:182)(cid:95)(cid:120)(cid:118)(cid:122)gt(cid:91)0,1(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:174)gt>0(cid:20)(cid:87)(cid:127)0,1(cid:86)
3
(cid:117) f x>-2(cid:20)(cid:87)(cid:127)1,2 .
2
(cid:68)(cid:24)(cid:86)b³- .
3
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:288)(cid:161)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:33)(cid:62)(cid:19)(cid:17)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:306)(cid:5)(cid:158)(cid:159)(cid:250)(cid:251)(cid:219)(cid:90)(cid:19)(cid:17)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:129)(cid:70)(cid:20)(cid:87)(cid:86)(cid:141)(cid:87)(cid:20)(cid:165)(cid:4)(cid:127)(cid:19)(cid:17)(cid:129)
(cid:33)(cid:62)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(cid:231)(cid:139)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:20)(cid:165)(cid:4)(cid:86)(cid:269)(cid:195)(cid:86)(cid:231)(cid:232)(cid:19)(cid:17)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:20)(cid:87)(cid:163)(cid:82)(cid:41)(cid:17)(cid:109)(cid:110)(cid:143)(cid:86)(cid:118)(cid:157)(cid:137)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:122)(cid:208)(cid:41)(cid:17)(cid:20)(cid:109)
(cid:110)(cid:86)(cid:164)(cid:231)(cid:232)(cid:122)(cid:208)(cid:20)(cid:41)(cid:17)(cid:20)(cid:109)(cid:110)(cid:345)(cid:28)(cid:3)(cid:229)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:20)(cid:87)(cid:20)(cid:9)(cid:255).
9(cid:84)（2023·上海·高考真题）(cid:176) f x=lnx(cid:86)(cid:108)(cid:4) a, f a  (cid:95)(cid:76)(cid:128)(cid:94)y= f x(cid:357)(cid:93)(cid:94)(cid:80)y(cid:196)(cid:99)0,a (cid:86)(cid:108)(cid:4)
1 1 2
a , f a  (cid:95)(cid:76)(cid:357)(cid:93)(cid:94)(cid:80)y(cid:196)(cid:99)0,a (cid:86)(cid:200)a <0(cid:169)(cid:395)(cid:396)(cid:86)(cid:191)(cid:189)(cid:6)(cid:336)(cid:86)(cid:122)(cid:208)(cid:17)(cid:343)a (cid:84)
2 2 3 3 n
(1)(cid:200)(cid:123)(cid:249)(cid:17)m³2(cid:86)(cid:65)(cid:66)a =lna -1(cid:89)
m m-1
(2)(cid:200)(cid:123)(cid:249)(cid:17)m³2(cid:86)(cid:397)(cid:352)(cid:353)a (cid:18)a -2(cid:193)(cid:148)(cid:89)
m m-1
(3)(cid:200)(cid:123)(cid:249)(cid:17)k ³3(cid:86)(cid:90)(cid:274)(cid:187)(cid:91)k(cid:178)(cid:122)a,a La (cid:301)(cid:302)(cid:51)(cid:48)(cid:153)(cid:17)(cid:343)(cid:276)(cid:200)(cid:187)(cid:91)(cid:86)(cid:46)(cid:116)k(cid:20)(cid:181)(cid:216)(cid:108)(cid:22)(cid:86)(cid:200)(cid:47)(cid:187)(cid:91)(cid:86)(cid:397)
1 2 k
(cid:338)(cid:66)(cid:282)(cid:137)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:87)(cid:115)(cid:89)(2)a £a -2
m m-1
(3)(cid:187)(cid:91)(cid:86)k =3
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:137)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:122)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:220)(cid:65)(cid:66)(cid:86)
(cid:10)2(cid:11)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:17)(cid:220)(cid:137)(cid:16)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:86)
(cid:10)3(cid:11)(cid:137)(cid:48)(cid:153)(cid:17)(cid:343)(cid:20)(cid:132)(cid:240)(cid:86)(cid:231)(cid:232)(cid:16)(cid:17)(cid:202)(cid:203)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:18)(cid:119)(cid:120)(cid:231)(cid:20)(cid:62)(cid:17)(cid:220)(cid:46)(cid:87)(cid:86)
1 1
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11) f¢(x)= (cid:86)(cid:169) f(x)(cid:91)(a , f(a ))(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:127)y-lna = (x-a )(cid:86)
x n n n a n
n
(cid:142)x=0(cid:143)(cid:86)y=lna -1(cid:86)(cid:117)a =lna -1(cid:86)
n n+1 n
(cid:181)(cid:191)(cid:142)(cid:123)(cid:249)(cid:17)m³2(cid:143)(cid:86)a =lna -1(cid:89)
m m-1
(cid:10)2(cid:11)(cid:357)(cid:153)(cid:122)a -(a -2)=lna -a +1(cid:86)
n+1 n n n
1
(cid:176)g(x)=lnx-x+1(cid:86)g¢(x)= -1(cid:86)
x
(cid:142)0<x<1(cid:143)(cid:86)g¢(x)>0(cid:86)(cid:142)x>1(cid:143)(cid:86)g¢(x)<0(cid:86)
(cid:174)g(x)(cid:91)(0,1)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:91)(1,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
g(x)£g(1)=0(cid:86)(cid:174)a £a -2(cid:86)
n+1 n
(cid:181)(cid:191)(cid:142)(cid:123)(cid:249)(cid:17)m³2(cid:143)(cid:86)a £a -2(cid:89)
m m-1
(cid:10)3(cid:11)a -a =lna -a -1(cid:86)(cid:176)h(x)=lnx-x-1(cid:86)
n+1 n n n
h(x)(cid:18)g(x)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:382)(cid:237)(cid:86)(cid:137)(cid:10)2(cid:11)(cid:122)h(x)£h(1)=-2(cid:86)
(cid:142)x®0(cid:143)(cid:86)h(x)®-¥(cid:86)(cid:142)x®+¥(cid:143)(cid:86)h(x)®-¥(cid:86)
(cid:174)h(x)=d(cid:398)(cid:399)(cid:216)(cid:272)(cid:87)(cid:86)
(cid:200)a,a ,a L,a (cid:51)(cid:48)(cid:153)(cid:17)(cid:343)(cid:86)(cid:169)h(a )=h(a )=L=h(a )(cid:86)
1 2 3 k 2 3 k
(cid:174)(cid:23)(cid:399)3(cid:372)(cid:51)(cid:48)(cid:153)(cid:17)(cid:343)(cid:86)(cid:189)(cid:143)d <-2(cid:86)k =3(cid:84)
(cid:141)a =lna -1(cid:86)a =ea2+1(cid:86)
3 2 1
1
(cid:176)t(x)=ex+1+lnx-1-2x(cid:86)t¢(x)=ex+1+ -2(cid:86)(cid:333)(cid:311)x>0(cid:143)(cid:86)t¢(x)>0(cid:86)
x
(cid:174)t(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:141)(cid:86)t(0.01)<0(cid:86)t(1)=e2-3>0(cid:86)(cid:174)t(x)=0(cid:216)(cid:188)(cid:33)(cid:87)(cid:86)
(cid:187)(cid:91)a Î(0.01,1)(cid:178)(cid:122)a +a =2a (cid:86)(cid:189)(cid:143)a <0(cid:86)(cid:174)(cid:187)(cid:91)(cid:23)(cid:399)3(cid:372)(cid:51)(cid:48)(cid:153)(cid:17)(cid:343)(cid:86)
2 1 3 2 3æ1 1ö
10(cid:84)（2023·天津·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=ç + ÷lnx+1(cid:84)
èx 2ø
(1)(cid:46)(cid:128)(cid:94)y= f x(cid:91)x=2(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:172)(cid:173)(cid:89)
(2)(cid:46)(cid:65)(cid:140)(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86) f x>1(cid:89)
5 æ 1ö
(3)(cid:65)(cid:66)(cid:140) <lnn!-çn+ ÷lnn+n£1,nÎN*(cid:84)
6 è 2ø
1 ln3
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1) -
3 4
(2)
æ1 1ö 2x
(cid:159)(cid:65)x>0(cid:143) f x=ç + ÷lnx+1>1(cid:86)(cid:117)(cid:65)lnx+1> (cid:86)
èx 2ø x+2
2x 1 4 x2
(cid:176)g(x)=lnx+1- (cid:96)x>0(cid:86)(cid:169)g¢(x)= - = >0(cid:86)
x+2 x+1 (x+2)2 (x+1)(x+2)2
2x
(cid:181)(cid:191)g(x)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:169)g(x)>g(0)=0(cid:86)(cid:117)lnx+1> .
x+2
(cid:181)(cid:191)x>0(cid:143) f x>1.
(3)
æ 1ö
(cid:183)hn=lnn!-çn+ ÷lnn+n(cid:86)nÎN*(cid:86)
è 2ø
æ 1ö æ 1ö æ 1ö æ 1ö
(cid:169)hn+1-hn=1+çn+ ÷lnn-çn+ ÷lnn+1=1-çn+ ÷lnç1+ ÷(cid:86)
è 2ø è 2ø è 2ø è nø
1 1 1 1
(cid:137)(cid:10)2(cid:11)(cid:78)(cid:140)x= Î(0,1](cid:86)(cid:169) f( )=(n+ )ln(1+ )>1(cid:86)
n n 2 n
(cid:181)(cid:191)h(n+1)-h(n)<0(cid:86)(cid:174)h(n)(cid:91)nÎN*(cid:24)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:174)h(n)£h(1)=1(cid:89)
æ 1ö 5
(cid:207)(cid:65)lnn!-çn+ ÷lnn+n> (cid:86)
è 2ø 6
(x+5)(x-1) (x-1)2(1-x)
(cid:176)j(x)=lnx- (cid:96)x>0(cid:86)(cid:169)j¢(x)= (cid:86)
4x+2 x(2x+1)2
(cid:142)0<x<1(cid:143)j¢(x)>0(cid:86)j(x)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:142)x>1(cid:143)j¢(x)<0(cid:86)j(x)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(x+5)(x-1)
(cid:181)(cid:191)j(x)£j(1)=0(cid:86)(cid:174)(cid:91)xÎ0,+¥(cid:24)lnx£ (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
4x+2
1 1
(6+ )( )
1 1 1 n n 1 1 1 1
(cid:169)h(n)-h(n+1)=(n+ )ln(1+ )-1£(n+ )× -1= < ( - )(cid:86)
2 n 2 2 4n(3n+2) 12 n-1 n
2(3+ )
n
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:181)(cid:191)h(2)-h(3)< (1- )(cid:86)h(3)-h(4)< ( - )(cid:86)…(cid:86)h(n-1)-h(n)< ( - )(cid:86)
12 2 12 2 3 12 n-2 n-1
1 1 3
(cid:400)(cid:401)(cid:122)(cid:140)h(2)-h(n)< (1- )(cid:86)(cid:141)h(2)=2- ln2(cid:86)h(1)=1
12 n-1 27 3 3 5
(cid:214)(cid:127) > >ln2(cid:86)(cid:181)(cid:191)h(2)=2- ln2> (cid:86)
9 4 2 6
1 1 3
(cid:169)-h(n)< (1- )-2+ ln2n³3(cid:86)
12 n-1 2
3 1 1 3 1 1 5
(cid:181)(cid:191)h(1)-h(n)< ln2-1+ (1- )< ln2-1+ < (cid:86)(cid:174)h(n)> n³3(cid:89)
2 12 n-1 2 12 6 6
5 5 æ 1ö
(cid:68)(cid:24)(cid:86) <h(n)£1(cid:86)(cid:117) <lnn!-çn+ ÷lnn+n£1.
6 6 è 2ø
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:46)(cid:172)(cid:173)(cid:89)
2x 2x
(cid:10)2(cid:11)(cid:55)(cid:13)(cid:126)(cid:127)x>0(cid:143)lnx+1> (cid:86)(cid:74)(cid:75)g(x)=lnx+1- (cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:279)(cid:280)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:65)(cid:149)(cid:43)(cid:89)
x+2 x+2
æ 1ö
(cid:10)3(cid:11)(cid:74)(cid:75)h(n)=lnn!-çn+ ÷lnn+n(cid:86)nÎN*(cid:86)(cid:357)(cid:153)(cid:152)(cid:279)(cid:280)(cid:19)(cid:17)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:118)(cid:122)h(n)£h(1)=1(cid:86)(cid:164)(cid:74)(cid:75)
è 2ø
(x+5)(x-1) (x+5)(x-1)
j(x)=lnx- (cid:96)x>0(cid:86)(cid:70)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:279)(cid:280)(cid:76)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:122)(cid:208)lnx£ (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:129)h(n)-h(n+1)(cid:357)
4x+2 4x+2
3 1 1
(cid:72)(cid:73)(cid:92)(cid:282)(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:400)(cid:401)(cid:122)(cid:208)h(1)-h(n)< ln2-1+ < n³3(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:65)(cid:149)(cid:43).
2 12 6
ln(x+1) ln(x+1) 1 1 ln(x+1)
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11) f(x)= + (cid:86)(cid:169) f¢(x)= + - (cid:86)
x 2 x(x+1) 2(x+1) x2
1 ln3 1 ln3
(cid:181)(cid:191) f¢(2)= - (cid:86)(cid:174)x=2(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:172)(cid:173)(cid:127) - (cid:89)
3 4 3 4
(cid:10)2(cid:11)(cid:341)
(cid:10)3(cid:11)(cid:341)
æ 1ö
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:134)(cid:284)(cid:4)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:100)(cid:225)(cid:55)(cid:86)(cid:357)(cid:153)(cid:152)(cid:279)(cid:280)hn=lnn!-çn+ ÷lnn+n(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:65)(cid:374)(cid:266)(cid:47)(cid:48)(cid:134)(cid:135)(cid:86)(cid:164)(cid:74)(cid:75)
è 2ø
(x+5)(x-1) (x+5)(x-1)
j(x)=lnx- (cid:96)x>0(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:279)(cid:280)(cid:76)(cid:19)(cid:17)(cid:154)(cid:155)(cid:122)lnx£ (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:72)(cid:73)(cid:27)(cid:400)(cid:401)(cid:122)(cid:208)
4x+2 4x+2
3 1 1
h(1)-h(n)< ln2-1+ (1- )(cid:127)(cid:134)(cid:284).
2 12 n
11(cid:84)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=a  ex+a  -x(cid:84)
(1)(cid:42)(cid:43) f x(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:89)
3
(2)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:142)a>0(cid:143)(cid:86) f x>2lna+ (cid:84)
2
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)
(cid:142)a£0(cid:143)(cid:86) f x(cid:91)R(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
(cid:142)a>0(cid:143)(cid:86) f x(cid:91)-¥,-lna(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86) f x(cid:91)-lna,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147).
(2)(cid:119)(cid:152)(cid:33)(cid:140)
(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:122)(cid:86) f x = f -lna=a  e-lna +a  +lna=1+a2+lna(cid:86)
min
3 3 1
(cid:159)(cid:65) f(x)>2lna+ (cid:86)(cid:117)(cid:65)1+a2+lna>2lna+ (cid:86)(cid:117)(cid:65)a2- -lna>0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
2 2 2
1 1 2a2-1
(cid:176)ga=a2- -lnaa>0(cid:86)(cid:169)g¢a=2a- = (cid:86)
2 a a
(cid:176)g¢a<0(cid:86)(cid:169)0<a< 2 (cid:89)(cid:176)g¢a>0(cid:86)(cid:169)a> 2 (cid:89)
2 2
æ 2ö æ 2 ö
(cid:181)(cid:191)ga(cid:91)ç0, ÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)ç ,+¥÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
ç 2 ÷ ç 2 ÷
è ø è ø
2
æ 2ö æ 2ö 1 2
(cid:181)(cid:191)ga =gç ÷=ç ÷ - -ln =ln 2 >0(cid:86)(cid:169)ga>0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
min ç 2 ÷ ç 2 ÷ 2 2
è ø è ø
3
(cid:181)(cid:191)(cid:142)a>0(cid:143)(cid:86) f(x)>2lna+ (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:65)(cid:402).
2
(cid:119)(cid:152)(cid:57)(cid:140)
(cid:176)hx=ex-x-1(cid:86)(cid:169)h¢x=ex-1(cid:86)
(cid:137)(cid:99)y=ex(cid:91)R(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:181)(cid:191)h¢x=ex-1(cid:91)R(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:177)h¢0=e0-1=0(cid:86)
(cid:181)(cid:191)(cid:142)x<0(cid:143)(cid:86)h¢x<0(cid:89)(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86)h¢x>0(cid:89)
(cid:181)(cid:191)hx(cid:91)-¥,0(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:174)hx³h0=0(cid:86)(cid:169)ex ³x+1(cid:86)(cid:142)(cid:96)(cid:363)(cid:142)x=0(cid:143)(cid:86)(cid:48)(cid:155)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
(cid:214)(cid:127) f(x)=a  ex+a  -x=aex+a2-x=ex+lna +a2-x³x+lna+1+a2-x(cid:86)
(cid:142)(cid:96)(cid:363)(cid:142)x+lna=0(cid:86)(cid:117)x=-lna(cid:143)(cid:86)(cid:48)(cid:155)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
3 3 1
(cid:181)(cid:191)(cid:159)(cid:65) f(x)>2lna+ (cid:86)(cid:117)(cid:65)x+lna+1+a2-x>2lna+ (cid:86)(cid:117)(cid:65)a2- -lna>0(cid:86)
2 2 2
1 1 2a2-1
(cid:176)ga=a2- -lnaa>0(cid:86)(cid:169)g¢a=2a- = (cid:86)
2 a a
(cid:176)g¢a<0(cid:86)(cid:169)0<a< 2 (cid:89)(cid:176)g¢a>0(cid:86)(cid:169)a> 2 (cid:89)
2 2
æ 2ö æ 2 ö
(cid:181)(cid:191)ga(cid:91)ç0, ÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)ç ,+¥÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
ç 2 ÷ ç 2 ÷
è ø è ø2
æ 2ö æ 2ö 1 2
(cid:181)(cid:191)ga =gç ÷=ç ÷ - -ln =ln 2 >0(cid:86)(cid:169)ga>0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
min ç 2 ÷ ç 2 ÷ 2 2
è ø è ø
3
(cid:181)(cid:191)(cid:142)a>0(cid:143)(cid:86) f(x)>2lna+ (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:65)(cid:402).
2
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:157)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:164)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)a£0(cid:18)a>0(cid:272)(cid:297)(cid:9)(cid:255)(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:87)(cid:89)
1
(cid:10)2(cid:11)(cid:119)(cid:152)(cid:33)(cid:140)(cid:149)(cid:69)(cid:10)1(cid:11)(cid:64)(cid:149)(cid:43)(cid:86)(cid:264)(cid:55)(cid:13)(cid:125)(cid:126)(cid:127)a2- -lna>0(cid:20)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:55)(cid:13)(cid:86)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:17)
2
1
ga=a2- -lnaa>0(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:65)(cid:122)ga>0(cid:117)(cid:118).
2
(cid:119)(cid:152)(cid:57)(cid:140)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:17)hx=ex-x-1(cid:86)(cid:65)(cid:122)ex ³x+1(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:122)(cid:208) f(x)³x+lna+1+a2-x(cid:86)(cid:156)(cid:141)(cid:264)(cid:55)(cid:13)(cid:125)(cid:126)(cid:127)
1
a2- -lna>0(cid:20)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:55)(cid:13)(cid:86)(cid:137)(cid:189)(cid:122)(cid:65).
2
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:214)(cid:127) f(x)=a  ex+a  -x(cid:86)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:127)R(cid:86)(cid:181)(cid:191) f¢x=aex-1(cid:86)
(cid:142)a£0(cid:143)(cid:86)(cid:137)(cid:99)ex >0(cid:86)(cid:169)aex £0(cid:86)(cid:174) f¢x=aex-1<0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
(cid:181)(cid:191) f x(cid:91)R(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
(cid:142)a>0(cid:143)(cid:86)(cid:176) f¢x=aex-1=0(cid:86)(cid:87)(cid:122)x=-lna(cid:86)
(cid:142)x<-lna(cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86)(cid:169) f x(cid:91)-¥,-lna(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
(cid:142)x>-lna(cid:143)(cid:86) f¢x>0(cid:86)(cid:169) f x(cid:91)-lna,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:89)
(cid:68)(cid:24)(cid:140)(cid:142)a£0(cid:143)(cid:86) f x(cid:91)R(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:89)
(cid:142)a>0(cid:143)(cid:86) f x(cid:91)-¥,-lna(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86) f x(cid:91)-lna,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147).
(cid:10)2(cid:11)(cid:341)
12(cid:84)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:10)1(cid:11)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:142)0<x<1(cid:143)(cid:86)x-x <sinx<x(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=cosax-ln  1-x2 (cid:86)(cid:200)x=0(cid:90) f x(cid:20)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:74)(cid:133)Fx=x-sinx,xÎ0,1(cid:86)(cid:169)F¢x=1-cosx>0(cid:129)"xÎ0,1(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
(cid:169)Fx(cid:91)0,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:118)(cid:122)Fx>F0=0(cid:86)
(cid:181)(cid:191)x>sinx,xÎ0,1(cid:89)
(cid:74)(cid:133)Gx=sinx-  x-x2 =x2-x+sinx,xÎ0,1(cid:86)(cid:169)G¢x=2x-1+cosx,xÎ0,1(cid:86)
(cid:74)(cid:133)gx=G¢x,xÎ0,1(cid:86)(cid:169)g¢x=2-sinx>0(cid:129)"xÎ0,1(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
(cid:169)gx(cid:91)0,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:118)(cid:122)gx>g0=0(cid:86)
(cid:117)G¢x>0(cid:129)"xÎ0,1(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
(cid:169)Gx(cid:91)0,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:118)(cid:122)Gx>G0=0(cid:86)
(cid:181)(cid:191)sinx>x-x2,xÎ0,1(cid:89)
(cid:68)(cid:24)(cid:181)(cid:182)(cid:140)x-x <sinx<x.
   
(cid:10)2(cid:11) -¥,- 2 È 2,+¥
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:5)(cid:199)(cid:74)(cid:133)Fx=x-sinx,xÎ0,1(cid:86)Gx=x2-x+sinx,xÎ0,1(cid:86)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:202)(cid:203)(cid:190)(cid:19)(cid:17)
(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:156)(cid:141)(cid:118)(cid:122)(cid:149)(cid:234)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:231)(cid:232)(cid:13)(cid:138)(cid:149)(cid:69)(cid:384)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:132)(cid:240)(cid:118)(cid:78)(cid:204)(cid:205)(cid:159)(cid:279)(cid:280) f x(cid:91)0,1(cid:24)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:46)(cid:16)(cid:86)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)0<a2 <2(cid:224)
a2 ³2(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:10)1(cid:11)(cid:64)(cid:20)(cid:149)(cid:43)(cid:72)(cid:73)(cid:86)(cid:231)(cid:232)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:5)(cid:115)(cid:46)(cid:87).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:341)
(cid:10)2(cid:11)(cid:176)1-x2 >0(cid:86)(cid:87)(cid:122)-1<x<1(cid:86)(cid:117)(cid:19)(cid:17) f x(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:127)-1,1(cid:86)
(cid:200)a=0(cid:86)(cid:169) f x=1-ln  1-x2 ,xÎ-1,1(cid:86)
(cid:214)(cid:127)y=-lnu(cid:91)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:103)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)y=1-x2(cid:91)-1,0(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:91)0,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(cid:169) f x=1-ln  1-x2 (cid:91)-1,0(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)0,1(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:174)x=0(cid:90) f x(cid:20)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:47)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:86)(cid:181)(cid:191)a¹0.
(cid:142)a¹0(cid:143)(cid:86)(cid:176)b= a >0
(cid:214)(cid:127) f x=cosax-ln  1-x2 =cosa x-ln  1-x2 =cosbx-ln  1-x2 (cid:86)
(cid:96) f -x=cos-bx-lné1--x2ù=cosbx-ln  1-x2 = f x(cid:86)
ë û
(cid:181)(cid:191)(cid:19)(cid:17) f x(cid:91)(cid:82)(cid:83)(cid:192)(cid:103)(cid:127)(cid:384)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
2x
(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:118)(cid:122)(cid:140) f¢x=-bsinbx- ,xÎ-1,1(cid:86)
x2-1ì1 ü
(cid:10)i(cid:11)(cid:142)0<b2 £2(cid:143)(cid:86)(cid:108)m=miní ,1ý(cid:86)xÎ0,m(cid:86)(cid:169)bxÎ0,1(cid:86)
îb þ
2x 2x x
 b2x2+2-b2
(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:118)(cid:122) f¢x=-bsinbx- >-b2x- = (cid:86)
x2-1 x2-1 1-x2
(cid:96)b2x2 >0,2-b2 ³0,1-x2 >0(cid:86)
x
 b2x2+2-b2
(cid:181)(cid:191) f¢x> >0(cid:86)
1-x2
(cid:117)(cid:142)xÎ0,mÍ0,1(cid:143)(cid:86) f¢x>0(cid:86)(cid:169) f x(cid:91)0,m(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:149)(cid:69)(cid:384)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:129)(cid:337)(cid:132)(cid:118)(cid:78)(cid:140) f x(cid:91)-m,0(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(cid:181)(cid:191)x=0(cid:90) f x(cid:20)(cid:21)(cid:148)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:47)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
æ 1ö
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:142)b2 >2(cid:143)(cid:86)(cid:108)xÎç0, ÷Í0,1(cid:86)(cid:169)bxÎ0,1(cid:86)
è bø
2x 2x x
(cid:137)(cid:10)1(cid:11)(cid:118)(cid:122) f¢x=-bsinbx- <-b  bx-b2x2 - =  -b3x3+b2x2+b3x+2-b2 (cid:86)
x2-1 x2-1 1-x2
æ 1ö
(cid:74)(cid:133)hx=-b3x3+b2x2+b3x+2-b2,xÎç0, ÷(cid:86)
è bø
æ 1ö
(cid:169)h¢x=-3b3x2+2b2x+b3,xÎç0, ÷(cid:86)
è bø
æ1ö æ 1ö
(cid:96)h¢0=b3 >0,h¢ ç ÷=b3-b>0(cid:86)(cid:169)h¢x>0(cid:129)"xÎç0, ÷(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
èbø è bø
æ 1ö æ1ö
(cid:118)(cid:78)hx(cid:91)ç0, ÷(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:96)h0=2-b2 0,hç ÷=2 0(cid:86)
è bø èbø
æ 1ö æ 1ö
(cid:181)(cid:191)hx(cid:91)ç0, ÷(cid:103)(cid:187)(cid:91)(cid:188)(cid:33)(cid:20)(cid:56)(cid:4)nÎç0, ÷(cid:86)
è bø è bø
(cid:142)xÎ0,n(cid:143)(cid:86)(cid:169)hx<0(cid:86)(cid:96)x>0,1-x2 >0(cid:86)
x
(cid:169) f¢x<  -b3x3+b2x2+b3x+2-b2 <0(cid:86)
1-x2
(cid:117)(cid:142)xÎ0,nÍ0,1(cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86)(cid:169) f x(cid:91)0,n(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(cid:149)(cid:69)(cid:384)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:129)(cid:337)(cid:132)(cid:118)(cid:78)(cid:140) f x(cid:91)-n,0(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:181)(cid:191)x=0(cid:90) f x(cid:20)(cid:21)(cid:193)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:154)(cid:69)(cid:13)(cid:138)(cid:89)
(cid:68)(cid:24)(cid:181)(cid:182)(cid:140)b2 >2(cid:86)(cid:117)a2 >2(cid:86)(cid:87)(cid:122)a> 2(cid:139)a<- 2(cid:86)
   
(cid:174)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:127) -¥,- 2 È 2,+¥ .(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:134)(cid:284)(cid:4)(cid:283)(cid:140)
1.(cid:142)0<a2 £2(cid:143)(cid:86)(cid:121)(cid:71)sinx<x,xÎ0,1(cid:86)(cid:227)(cid:327)(cid:72)(cid:73)(cid:89)
2.(cid:142)a2 ³2(cid:143)(cid:86)(cid:121)(cid:71)x-x2 <sinx,xÎ0,1(cid:86)(cid:227)(cid:327)(cid:72)(cid:73).
13(cid:84)（2023·上海·高考真题）(cid:183)(cid:19)(cid:17) f(x)=ax3-(a+1)x2+x,g(x)=kx+m(cid:86)(cid:76)(cid:64)a³0,k,mÎR(cid:86)(cid:200)(cid:175)(cid:138)xÎ[0,1]
(cid:104)(cid:216) f(x)£g(x)(cid:86)(cid:169)(cid:337)(cid:19)(cid:17)y=g(x)(cid:90)(cid:19)(cid:17)y= f(x)(cid:20)(cid:403)(cid:404)(cid:19)(cid:17)”(cid:86)(cid:96)(cid:129)(cid:99)(cid:181)(cid:216)(cid:179)(cid:180)(cid:250)(cid:251)(cid:20)(cid:19)(cid:17)y=g(x)(cid:91)x
(cid:92)(cid:108)(cid:122)(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:252)(cid:127) f(x)(cid:84)
(1)(cid:200)a=2,g(x)=x(cid:86)(cid:397)(cid:55)y=g(x)(cid:90)(cid:274)(cid:127)y= f(x)(cid:20)(cid:403)(cid:404)(cid:19)(cid:17)”(cid:89)
1
(2)(cid:200)a=0(cid:86)(cid:178)(cid:122)(cid:98)(cid:94)y=h(x)(cid:90)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:91)x= (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:19)(cid:17)y=h(x)(cid:127)(cid:19)(cid:17)y= f(x)(cid:20)(cid:403)
4
æ1ö
(cid:404)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:332)(cid:46)“ f ç ÷”(cid:20)(cid:22)(cid:89)
è4ø
(3)(cid:200)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:91)x= x x Î(0,1)(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:4)(1,0)(cid:86)(cid:96)cÎx ,1(cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:142)(cid:96)(cid:363)(cid:142)c=x (cid:139)c=1(cid:143)(cid:86)
0 0 0 0
f(c)= f(c)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)y=g(x)(cid:90)y= f(x)(cid:20)(cid:403)(cid:404)(cid:19)(cid:17)
æ1ö 3
(2)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:87)(cid:115)(cid:86) f ç ÷=
è4ø 16
(3)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:176)m(x)= f(x)-g(x)(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:46)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:156)(cid:141)(cid:202)(cid:203)m(x)(cid:91)[0,1](cid:24)(cid:20)(cid:123)(cid:305)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:150)(cid:151)(cid:138)(cid:83)(cid:46)(cid:122)(cid:93)(cid:94)h(x)(cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:86)(cid:164)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:46)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:156)(cid:141)(cid:202)(cid:203) f(x)-g(x)(cid:91)[0,1](cid:24)(cid:20)(cid:123)
(cid:305)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:10)3(cid:11)(cid:183)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:91)x= x x Î(0,1)(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:127)t(x)(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(1,0)(cid:46)(cid:116)x (cid:18)a(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:86)(cid:164)(cid:121)(cid:71)(cid:403)(cid:404)
0 0 0
(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:46)(cid:87)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)a=2,g(x)=x(cid:143)(cid:86)(cid:176)m(x)= f(x)-g(x)=2x3-3x2(cid:86)
(cid:181)(cid:191)m¢(x)=6x2-6x=6x(x-1)(cid:86)(cid:176)m¢(x)=0(cid:87)(cid:122)x=0(cid:139)1(cid:86)
(cid:181)(cid:191)m(x)(cid:91)(0,1)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
(cid:177)(cid:214)(cid:127)m(0)=0(cid:86)(cid:181)(cid:191)m(x)(cid:91)[0,1](cid:24)(cid:148)(cid:99)(cid:48)(cid:99)0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
(cid:117) f(x)£g(x)(cid:91)[0,1](cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:181)(cid:191)(cid:137)(cid:13)(cid:138)y=g(x)(cid:90)y= f(x)(cid:20)(cid:403)(cid:404)(cid:19)(cid:17).(cid:10)2(cid:11)(cid:142)a=0(cid:143)(cid:86) f(x)=-x2+x(cid:86) f¢(x)=-2x+1(cid:86)
æ1ö 3 æ1ö 1
(cid:181)(cid:191) f ç ÷= (cid:86) f¢ ç ÷= (cid:86)
è4ø 16 è4ø 2
1 3 1æ 1ö 1 1
(cid:181)(cid:191)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:91)x= (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:127)y- = çx- ÷(cid:86)(cid:249)(cid:282)(cid:122)h(x)= x+ (cid:86)
4 16 2è 4ø 2 16
1 1 1
(cid:176)n(x)= f(x)-h(x)=-x2+ x- (cid:86)(cid:169)n¢(x)=-2x+ (cid:86)
2 16 2
1 æ 1ö æ1 ö
(cid:176)n¢(x)=0(cid:87)(cid:122)x= (cid:86)(cid:181)(cid:191)n(x)(cid:91)ç0, ÷(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:91)ç ,1÷(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)
4 è 4ø è4 ø
æ1ö
(cid:177)nç ÷=0(cid:86)(cid:181)(cid:191)n(x)(cid:91)[0,1](cid:24)(cid:148)(cid:99)(cid:48)(cid:99)0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
è4ø
(cid:117) f(x)£h(x)(cid:91)[0,1](cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:181)(cid:191)y=h(x)(cid:90)y= f(x)(cid:20)(cid:403)(cid:404)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
æ1ö æ1ö 3
(cid:137)(cid:13)(cid:138) f ç ÷= f ç ÷= .
è4ø è4ø 16
(cid:10)3(cid:11)(cid:137)(cid:13)(cid:138) f(x)=ax3-(a+1)x2+x,f¢(x)=3ax2-2(a+1)x+1,
(cid:183)y= f(x)(cid:91)x=x (x Î(0,1))(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:127)t(x)(cid:86)
0 0
(cid:169)t(x)= f¢(x )(x-x )+ f(x )(cid:86)(cid:214)(cid:127)t(x )= f(x ), t(1)=0(cid:96) f(1)=0(cid:86)
0 0 0 0 0
(cid:181)(cid:191) f¢x =3ax2-2a+1x +1Þ f¢x 1-x = f 1- f x =x ax -11-x (cid:86)
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 æ1 ö 1
Þ3ax2-2a+1x +1=ax2-x Þ2ax -1x -1=0,x ¹1Þa= Îç ,+¥÷Þx =
0 0 0 0 0 0 0 2x è2 ø 0 2a
0
æ 1 ö 2 æ 1 ö 1
(cid:181)(cid:191) f¢x =3ax2-2a+1x +1=3aç ÷ -2a+1 ç ÷+1=- (cid:86)
0 0 0 è2aø è2aø 4a
1 1 1 2a-1
f(x )=a( )3-(a+1)( )2+ = (cid:86)
0 2a 2a 2a 8a2
1 1 2a-1 1
(cid:181)(cid:191)t(x)= f¢(x )(x-x )+ f(x )=- (x- )+ Þt(x)=- (x-1)(cid:86)
0 0 0 4a 2a 8a2 4a
1
(cid:169) f (x) = x(x -1)(ax -1) £ t(x) Þ ax2 - x + 1 ³ 0,(cid:117)(x- )2 ³0(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
4a 2a
(cid:181)(cid:191)(cid:19)(cid:17)t(x)(cid:158)(cid:90)(cid:19)(cid:17)y= f(x)(cid:20)“(cid:403)(cid:404)(cid:19)(cid:17)”.
"g(x)=kx+m³ f(x)Þ"f(x)³ f(x),f(x)= f(x),xÎ(0,1)(cid:90)(cid:19)(cid:17)y= f(x)(cid:20)“(cid:403)(cid:404)(cid:19)(cid:17)”
1
(cid:189)(cid:143)“(cid:403)(cid:404)(cid:19)(cid:17)”g(x)(cid:158)(cid:18)y= f(x)(cid:382)(cid:93)(cid:18)x(cid:4)(cid:86)t(x)(cid:18)y= f(x)(cid:91)x= (cid:92)(cid:382)(cid:93)(cid:86)(cid:96)(cid:95)(cid:4)(1,0)(cid:86)
2a
1
(cid:137)(cid:24)(cid:67) f x£tx(cid:78)(cid:140)(cid:142)(cid:96)(cid:363)(cid:142)x= (cid:139)x=1(cid:143)(cid:48)(cid:155)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:76)(cid:77)(cid:262)(cid:405)(cid:50)(cid:216) f x<tx(cid:86)
2a
1
(cid:181)(cid:191) f(c)= f(c)Þc= =x (cid:139)c=1.
2a 0
(cid:181)(cid:191)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:91)x=x (x Î(0,1))(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:4)(1,0)(cid:86)(cid:96)cÎ[x ,1](cid:86)
0 0 0(cid:142)(cid:96)(cid:363)(cid:142)c=x (cid:139)c=1(cid:143)(cid:86) f(c)= f(c).
0
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:134)(cid:284)(cid:4)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:129)(cid:99)(cid:100)3(cid:55)(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:46)(cid:122)(cid:91)(cid:33)(cid:4)(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:86)(cid:164)(cid:231)(cid:232)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(1,0)(cid:4)(cid:118)(cid:87)(cid:116)a(cid:18)x (cid:20)
0
(cid:134)(cid:135).
F
14(cid:84)（2023·上海·高考真题）(cid:85)(cid:78)S(cid:127)(cid:123)(cid:352)(cid:406)(cid:135)(cid:17)(cid:86)(cid:82)(cid:83)(cid:140)S = 0,F (cid:127)(cid:133)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:410)(cid:91)(cid:241)(cid:411)(cid:64)(cid:20)(cid:256)(cid:273)(cid:10)(cid:130)(cid:262)(cid:140)
V 0
0
(cid:329)(cid:119)(cid:412)(cid:11)(cid:86)V (cid:127)(cid:133)(cid:407)(cid:408)(cid:20)(cid:351)(cid:273)(cid:10)(cid:130)(cid:262)(cid:140)(cid:52)(cid:119)(cid:412)(cid:11)(cid:84)
0
(1)(cid:200)(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:263)(cid:413)(cid:351)(cid:133)(cid:407)(cid:20)(cid:366)(cid:256)(cid:414)(cid:415)(cid:127)R(cid:86)(cid:36)(cid:247)(cid:127)H(cid:86)(cid:46)(cid:218)(cid:133)(cid:407)(cid:351)(cid:20)S(cid:10)(cid:71)R,H (cid:209)(cid:210)(cid:11)(cid:89)
(2)(cid:385)(cid:216)(cid:33)(cid:62)(cid:133)(cid:407)(cid:351)(cid:86)(cid:266)(cid:256)(cid:416)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:316)(cid:256)(cid:86)(cid:183)A(cid:127)(cid:366)(cid:256)(cid:256)(cid:273)(cid:86)L(cid:127)(cid:133)(cid:407)(cid:366)(cid:256)(cid:253)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:78) f (cid:127)(cid:123)(cid:352)(cid:406)(cid:135)(cid:17)(cid:86)L2
L2
(cid:18)A(cid:51)(cid:123)(cid:352)(cid:86)(cid:82)(cid:83)(cid:140) f = (cid:86)(cid:133)(cid:407)(cid:256)(cid:273)(cid:117)(cid:127)(cid:242)(cid:33)(cid:325)(cid:20)(cid:366)(cid:256)(cid:256)(cid:273)(cid:86)(cid:215)(cid:133)(cid:407)(cid:256)(cid:273)(cid:117)(cid:127)(cid:242)(cid:325)(cid:133)(cid:407)(cid:256)(cid:273)(cid:244)(cid:224)(cid:86)(cid:22)(cid:127)
A
f ×n 1
T(cid:84)(cid:85)(cid:78)(cid:218)(cid:133)(cid:407)(cid:351)(cid:336)(cid:16)(cid:122)(cid:116)S = + (cid:86)n(cid:127)(cid:325)(cid:17)(cid:86)(cid:325)(cid:36)(cid:127)3(cid:412)(cid:86)(cid:76)(cid:64) f =18,T =10000(cid:86)(cid:397)(cid:46)(cid:142)(cid:108)(cid:100)(cid:150)
T 3n
(cid:325)(cid:143)(cid:86)(cid:218)(cid:133)(cid:407)(cid:351)S(cid:23)(cid:148)(cid:276)
2H +R
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)
HR
(2)6
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:263)(cid:413)(cid:351)(cid:20)(cid:209)(cid:256)(cid:273)(cid:224)(cid:351)(cid:273)(cid:106)(cid:49)(cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:13)(cid:271)(cid:64)S(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:46)(cid:87)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:19)(cid:17)(cid:46)S(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:46)(cid:116)S(cid:23)(cid:148)(cid:143)n(cid:20)(cid:22).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:137)(cid:263)(cid:413)(cid:351)(cid:20)(cid:209)(cid:256)(cid:273)(cid:224)(cid:351)(cid:273)(cid:106)(cid:49)(cid:118)(cid:122)(cid:140)
F =2πRH +πR2(cid:86)V =πR2H(cid:86)
0 0
F πR(2H +R) 2H +R
(cid:181)(cid:191)S = 0 = = .
V πR2H HR
0
18n 1 3 2n 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:137)(cid:13)(cid:138)(cid:118)(cid:122)S = + = + (cid:86)nÎN*(cid:86)
10000 3n 100 3n
3
(cid:181)(cid:191) S¢=
3 2
-
1
=
9 2n2 -200
(cid:86)(cid:176)S¢ =0(cid:117) 9 2n
3
2 -200=0 (cid:86)
200 n 3n2 600n2
20000
(cid:87)(cid:122)n= 3 »6.274(cid:86)
81
é 20000ù é 20000 ö
(cid:181)(cid:191)S(cid:91)ê1,3 ú(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:91)ê3 ,+¥÷
÷
(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
81 81
ë û ë ø
(cid:181)(cid:191)S(cid:20)(cid:23)(cid:148)(cid:22)(cid:91)n=6(cid:139)n=7(cid:108)(cid:122)(cid:86)
3 2´6 1
(cid:142)n=6(cid:143)(cid:86)S = + »0.159(cid:86)
100 3´63 2´7 1
(cid:142)n=7(cid:143)(cid:86)S = + »0.160(cid:86)
100 3´7
(cid:181)(cid:191)(cid:91)(cid:100)6(cid:325)(cid:143)(cid:86)(cid:218)(cid:133)(cid:407)(cid:351)S(cid:23)(cid:148).
15(cid:84)（2022·北京·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=exln(1+x)(cid:84)
(1)(cid:46)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:4)(0, f(0))(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:89)
(2)(cid:183)g(x)= f¢(x)(cid:86)(cid:42)(cid:43)(cid:19)(cid:17)g(x)(cid:91)[0,+¥)(cid:24)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:89)
(3)(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:129)(cid:175)(cid:138)(cid:20)s,tÎ(0,+¥)(cid:86)(cid:216) f(s+t)> f(s)+ f(t)(cid:84)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1)y=x
(2)g(x)(cid:91)[0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147).
(3)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:157)(cid:46)(cid:116)(cid:93)(cid:4)(cid:198)(cid:30)(cid:86)(cid:91)(cid:137)(cid:16)(cid:17)(cid:46)(cid:122)(cid:93)(cid:94)(cid:172)(cid:173)(cid:86)(cid:117)(cid:122)(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:91)(cid:46)(cid:33)(cid:302)(cid:16)(cid:17)(cid:105)(cid:152)(cid:202)(cid:203)(cid:20)(cid:9)(cid:255)(cid:207)(cid:86)(cid:74)(cid:75)(cid:28)(cid:20)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:164)(cid:46)(cid:33)(cid:302)(cid:16)(cid:17)(cid:86)(cid:55)(cid:13)(cid:117)(cid:122)(cid:87)(cid:89)
(cid:10)3(cid:11)(cid:176)m(x)= f(x+t)- f(x)(cid:86)(x,t >0)(cid:86)(cid:117)(cid:65)m(x)>m(0)(cid:86)(cid:137)(cid:100)(cid:57)(cid:55)(cid:149)(cid:43)(cid:118)(cid:78)m(x)(cid:91)[0,+∞(cid:11)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
(cid:117)(cid:122)(cid:65).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:214)(cid:127) f(x)=exln(1+x)(cid:86)(cid:181)(cid:191) f 0=0(cid:86)
(cid:117)(cid:93)(cid:4)(cid:198)(cid:30)(cid:127)0,0(cid:86)
1
(cid:177) f¢(x)=ex(ln(1+x)+ )(cid:86)
1+x
(cid:93)(cid:94)(cid:172)(cid:173)k = f¢(0)=1
∴(cid:93)(cid:94)(cid:119)(cid:120)(cid:127)(cid:140)y=x
1
∴(cid:10)2(cid:11)(cid:214)(cid:127)g(x)= f¢(x)=ex(ln(1+x)+ )(cid:86)
1+x
2 1
(cid:181)(cid:191)g¢(x)=ex(ln(1+x)+ - )(cid:86)
1+x (1+x)2
2 1
(cid:176)h(x)=ln(1+x)+ - (cid:86)
1+x (1+x)2
1 2 2 x2+1
(cid:169)h¢(x)= - + = >0(cid:86)
1+x (1+x)2 (1+x)3 (1+x)3
h(x)(cid:91)[0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
∴h(x)³h(0)=1>0
∴g¢(x)>0(cid:91)[0,+¥)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
∴g(x)(cid:91)[0,+¥)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147).
∴(cid:10)3(cid:11)(cid:65)(cid:66)(cid:296)(cid:207)(cid:140)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:48)(cid:298)(cid:99) f(s+t)- f(s)> f(t)- f(0)(cid:86)
(cid:176)m(x)= f(x+t)- f(x)(cid:86)(x,t >0)(cid:86)
(cid:117)(cid:65)m(x)>m(0)(cid:86)
m(x)= f(x+t)- f(x)=ex+tln(1+x+t)-exln(1+x)(cid:86)
∵ ex+t ex
m¢(x)=ex+tln(1+x+t)+ -exln(1+x)- =g(x+t)-g(x)(cid:86)
1+x+t 1+x
1
(cid:137)(cid:10)2(cid:11)(cid:78)g(x)= f¢(x)=ex(ln(1+x)+ )(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)
1+x
g(x+t)>g(x)(cid:86)
∴m¢(x)>0
∴m(x)(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:145)(cid:147)(cid:86)(cid:177)(cid:214)(cid:127)x,t >0(cid:86)
∴m(x)>m(0)(cid:86)(cid:181)(cid:191)(cid:12)(cid:13)(cid:122)(cid:65).
∴ 16(cid:84)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)= xeax -ex(cid:84)
(1)(cid:142)a=1(cid:143)(cid:86)(cid:42)(cid:43) f(x)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:89)
(2)(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86) f(x)<-1(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:89)
1 1 1
(3)(cid:183)nÎN*(cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:140) + +L+ >ln(n+1)(cid:84)
12+1 22+2 n2+n
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1) f x(cid:20)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)-¥,0(cid:86)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)0,+¥ .
1
(2)a£
2
(3)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:46)(cid:116) f¢x(cid:86)(cid:42)(cid:43)(cid:76)(cid:154)(cid:155)(cid:220)(cid:118)(cid:122) f x(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132).
1 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:183)hx=xeax-ex+1(cid:86)(cid:46)(cid:116)h¢¢x(cid:86)(cid:157)(cid:42)(cid:43)a> (cid:143)(cid:13)(cid:183)(cid:64)(cid:20)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:164)(cid:219)0<a£ (cid:149)(cid:69)(cid:72)(cid:73)(cid:152)
2 2
(cid:42)(cid:43)h¢x(cid:154)(cid:155)(cid:86)(cid:23)(cid:220)(cid:219)a£0(cid:149)(cid:69)(cid:72)(cid:73)(cid:152)(cid:42)(cid:43)hx(cid:20)(cid:109)(cid:110)(cid:220)(cid:118)(cid:122)(cid:41)(cid:17)(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110).
1
(cid:10)3(cid:11)(cid:137)(cid:10)2(cid:11)(cid:118)(cid:122)2lnt<t-
1 (cid:129)(cid:175)(cid:138)(cid:20)t>1(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:211)(cid:141)(cid:118)(cid:122)lnn+1-lnn<
(cid:129)(cid:175)(cid:138)(cid:20)nÎN*(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)
t n2+n
(cid:149)(cid:69)(cid:371)(cid:372)(cid:382)(cid:417)(cid:152)(cid:118)(cid:65)(cid:13)(cid:183)(cid:64)(cid:20)(cid:47)(cid:48)(cid:49).
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)a=1(cid:143)(cid:86) f x=x-1ex(cid:86)(cid:169) f¢x=xex(cid:86)
(cid:142)x<0(cid:143)(cid:86) f¢x<0(cid:86)(cid:142)x>0(cid:143)(cid:86) f¢x>0(cid:86)
(cid:174) f x(cid:20)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)-¥,0(cid:86)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)0,+¥ .(cid:10)2(cid:11)(cid:183)hx=xeax-ex+1(cid:86)(cid:169)h0=0(cid:86)
(cid:177)h¢x=1+axeax-ex(cid:86)(cid:183)gx=1+axeax-ex(cid:86)
(cid:169)g¢x=  2a+a2x  eax-ex(cid:86)
1
(cid:200)a> (cid:86)(cid:169)g¢0=2a-1>0(cid:86)
2
(cid:214)(cid:127)g¢x(cid:127)(cid:418)(cid:419)(cid:47)(cid:222)(cid:203)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
(cid:174)(cid:187)(cid:91)x Î0,+¥(cid:86)(cid:178)(cid:122)"xÎ0,x (cid:86)(cid:215)(cid:216)g¢x>0(cid:86)
0 0
(cid:174)gx(cid:91)0,x (cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:174)gx>g0=0(cid:86)
0
(cid:174)hx(cid:91)0,x (cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:174)hx>h0=0(cid:86)(cid:18)(cid:13)(cid:183)(cid:185)(cid:186).
0
1
(cid:200)0<a£ (cid:86)(cid:169)h¢x=1+axeax-ex =eax+ln1+ax-ex(cid:86)
2
(cid:207)(cid:65)(cid:140)(cid:129)(cid:175)(cid:138)x>0(cid:86)(cid:215)(cid:216)ln1+x<x(cid:51)(cid:52)(cid:86)
1 -x
(cid:65)(cid:66)(cid:140)(cid:183)Sx=ln1+x-x(cid:86)(cid:174)S¢x= -1= <0(cid:86)
1+x 1+x
(cid:174)Sx(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:146)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:174)Sx<S0=0(cid:117)ln1+x<x(cid:51)(cid:52).
(cid:137)(cid:24)(cid:182)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:216)eax+ln1+ax-ex <eax+ax-ex =e2ax-ex £0(cid:86)
(cid:174)h¢x£0(cid:215)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:117)hx(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:146)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
(cid:181)(cid:191)hx<h0=0.
(cid:142)a£0(cid:143)(cid:86)(cid:216)h¢x=eax-ex+axeax <1-1+0=0(cid:86)
(cid:181)(cid:191)hx(cid:91)0,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:146)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:181)(cid:191)hx<h0=0.
1
(cid:68)(cid:24)(cid:86)a£ .
2
(cid:10)3(cid:11)(cid:65)(cid:66)(cid:296)(cid:207)(cid:140)
1
1
(cid:108)a= (cid:86)(cid:169)"x>0(cid:86)(cid:215)(cid:216) x (cid:51)(cid:52)(cid:86)
xe2 -ex+1<0
2
(cid:176) 1 x(cid:86)(cid:169)t >1,t2 =ex,x=2lnt(cid:86)
t =e2
1
(cid:174)2tlnt<t2-1(cid:117)2lnt<t- (cid:129)(cid:175)(cid:138)(cid:20)t>1(cid:50)(cid:51)(cid:52).
tn+1 n+1 n
(cid:181)(cid:191)(cid:129)(cid:175)(cid:138)(cid:20)nÎN*(cid:86)(cid:216)2ln < - (cid:86)
n n n+1
1
(cid:249)(cid:282)(cid:122)(cid:208)(cid:140)lnn+1-lnn<
(cid:86)
n2+n
1 1 1
(cid:174) + +L+ >ln2-ln1+ln3-ln2+L+lnn+1-lnn
12+1 22+2 n2+n
=lnn+1(cid:86)
(cid:174)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:51)(cid:52).
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:288)(cid:161)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:19)(cid:17)(cid:41)(cid:17)(cid:20)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:20)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:55)(cid:13)(cid:86)(cid:70)(cid:218)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:42)(cid:43)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:86)(cid:294)(cid:138)(cid:149)(cid:69)(cid:165)(cid:4)(cid:92)
(cid:16)(cid:17)(cid:20)(cid:154)(cid:155)(cid:69)(cid:282)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:289)(cid:290)(cid:207)(cid:17)(cid:343)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:20)(cid:65)(cid:66)(cid:86)(cid:70)(cid:231)(cid:232)(cid:85)(cid:216)(cid:20)(cid:19)(cid:17)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:69)(cid:282)(cid:74)(cid:133)(cid:17)(cid:343)(cid:47)(cid:48)(cid:49).
e
17(cid:84)（2022·浙江·高考真题）(cid:183)(cid:19)(cid:17) f(x)= +lnx(x>0)(cid:84)
2x
(1)(cid:46) f(x)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:221)(cid:222)(cid:89)
(2)(cid:85)(cid:78)a,bÎR(cid:86)(cid:128)(cid:94)y= f(x)(cid:24)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:225)(cid:4) x, f x ,x , f x ,x , f x  (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:243)(cid:270)(cid:95)(cid:4)(a,b)(cid:84)(cid:65)
1 1 2 2 3 3
(cid:66)(cid:140)
1æa ö
(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:200)a>e(cid:86)(cid:169)0<b-f(a)< ç -1÷(cid:89)
2èe ø
2 e-a 1 1 2 e-a
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:200)0<a<e,x <x <x (cid:86)(cid:169) + < + < - (cid:84)
1 2 3 e 6e2 x x a 6e2
1 3
(cid:10)(cid:294)(cid:140)e=2.71828L(cid:90)(cid:365)(cid:311)(cid:129)(cid:17)(cid:20)(cid:366)(cid:17)(cid:11)
æ eö æe ö
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(1) f x(cid:20)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)ç0, ÷(cid:86)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)ç ,+¥÷.
è 2ø è2 ø
(2)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:87)(cid:115)
(cid:111)(cid:5)(cid:115)(cid:114)(cid:10)1(cid:11)(cid:46)(cid:116)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:16)(cid:17)(cid:86)(cid:42)(cid:43)(cid:76)(cid:154)(cid:155)(cid:220)(cid:118)(cid:122)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132).
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:137)(cid:13)(cid:183)(cid:74)(cid:75)(cid:134)(cid:99)(cid:93)(cid:4)(cid:197)(cid:198)(cid:30)(cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:86)(cid:231)(cid:232)(cid:119)(cid:120)(cid:216)3(cid:62)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:87)(cid:118)(cid:65)(cid:66)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:10)ⅱ(cid:11)
x a 2 m-13 m2-m+12 
k = 3 (cid:86)m= <1(cid:86)(cid:169)(cid:13)(cid:183)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:118)(cid:125)(cid:126)(cid:127)t +t -2- < (cid:86)(cid:149)(cid:69)(cid:56)(cid:4)(cid:179)(cid:180)(cid:20)(cid:119)(cid:120)(cid:156)(cid:33)
x e 1 3 m 36mt +t 
1 1 3
m-1m-13 m2-m+12 
(cid:293)(cid:125)(cid:126)(cid:127)lnm+ <0(cid:86)(cid:121)(cid:71)(cid:16)(cid:17)(cid:118)(cid:65)(cid:218)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:51)(cid:52).
72m+1
e 1 2x-e
(cid:111)(cid:136)(cid:87)(cid:114)(cid:10)1(cid:11) f¢x=- + = (cid:86)
2x2 x 2x2
e e
(cid:142)0<x< (cid:86) f¢x<0(cid:89)(cid:142)x> (cid:86) f¢x>0(cid:86)
2 2
æ eö æe ö
(cid:174) f x(cid:20)(cid:146)(cid:221)(cid:222)(cid:127)ç0, ÷(cid:86) f x(cid:20)(cid:147)(cid:221)(cid:222)(cid:127)ç ,+¥÷.
è 2ø è2 ø(cid:10)2(cid:11)(2)(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:214)(cid:127)(cid:95)a,b(cid:216)(cid:225)(cid:250)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:86)(cid:183)(cid:93)(cid:4)(cid:127) x, f x ,i=1,2,3(cid:86)
i i
(cid:174) f x -b= f¢x x-a(cid:86)
i i i
(cid:174)(cid:119)(cid:120) f x-b= f¢xx-a(cid:216)3(cid:62)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:231)(cid:86)
æ1 e ö e
(cid:218)(cid:119)(cid:120)(cid:118)(cid:249)(cid:282)(cid:127)ç - ÷ x-a- -lnx+b=0(cid:86)
èx 2x2 ø 2x
æ1 e ö e
(cid:183)gx=ç - ÷ x-a- -lnx+b(cid:86)
èx 2x2 ø 2x
1 e æ 1 e ö 1 e
(cid:169)g¢x= - +ç- + ÷ x-a- +
x 2x2 è x2 x3ø x 2x2
1
=- x-ex-a(cid:86)
x3
(cid:142)0<x<e(cid:139)x>a(cid:143)(cid:86)g¢x<0(cid:89)(cid:142)e<x<a(cid:143)(cid:86)g¢x>0(cid:86)
(cid:174)gx(cid:91)0,e,a,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:146)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:91)e,a(cid:24)(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
(cid:214)(cid:127)gx(cid:216)3(cid:62)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:174)ge<0(cid:96)ga>0(cid:86)
æ1 e ö e æ1 e ö e
(cid:174)ç - ÷ e-a- -lne+b<0(cid:96)ç - ÷ a-a- -lna+b>0(cid:86)
èe 2e2 ø 2e èa 2a2 ø 2a
a e
(cid:249)(cid:282)(cid:122)(cid:208)(cid:140)b< +1(cid:96)b> +lna= f a(cid:86)
2e 2a
1æa ö a æ e ö a 1 3 e
(cid:189)(cid:143)b-f a- ç -1÷< +1-ç +lna÷- + = - -lna(cid:86)
2èe ø 2e è2a ø 2e 2 2 2a
3 e e-2a
(cid:183)ua= - -lna(cid:86)(cid:169)u¢a= <0(cid:86)
2 2a 2a2
3 e
(cid:174)ua(cid:127)e,+¥(cid:24)(cid:20)(cid:146)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:174)ua< - -lne=0(cid:86)
2 2e
1æa ö
(cid:174)0<b-f a< ç -1÷.
2èe ø
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:142)0<a<e(cid:143)(cid:86)(cid:237)(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:64)(cid:42)(cid:43)(cid:118)(cid:122)(cid:140)
(cid:174)gx(cid:91)0,a,e,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:146)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:91)a,e(cid:24)(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)
(cid:47)(cid:303)(cid:183)x <x <x (cid:86)(cid:169)0<x <a<x <e<x (cid:86)
1 2 3 1 2 3
(cid:214)(cid:127)gx(cid:216)3(cid:62)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:174)ga<0(cid:96)ge>0(cid:86)
æ1 e ö e æ1 e ö e
(cid:174)ç - ÷ e-a- -lne+b>0(cid:96)ç - ÷ a-a- -lna+b<0(cid:86)
èe 2e2 ø 2e èa 2a2 ø 2a
a a
(cid:249)(cid:282)(cid:122)(cid:208)(cid:140) +1<b< +lna(cid:86)
2e 2e(cid:214)(cid:127)x <x <x (cid:86)(cid:174)0<x <a<x <e<x (cid:86)
1 2 3 1 2 3
a+e ea
(cid:177)gx=1- + -lnx+b(cid:86)
x 2x2
e a a+e ea
(cid:183)t= (cid:86) =mÎ0,1(cid:86)(cid:169)(cid:119)(cid:120)1- + -lnx+b=0(cid:117)(cid:127)(cid:140)
x e x 2x2
a+e a m
- t+ t2+lnt+b=0(cid:117)(cid:127)-m+1t+ t2+lnt+b=0(cid:86)
e 2e 2
e e e
(cid:252)t = ,t = ,t = ,
1 x 2 x 3 x
1 2 3
m
(cid:169)t ,t ,t (cid:127)-m+1t+ t2+lnt+b=0(cid:216)(cid:225)(cid:62)(cid:47)(cid:237)(cid:20)(cid:231)(cid:86)
1 2 3 2
t x e a
(cid:183)k = 1 = 3 > >1(cid:86)m= <1(cid:86)
t x a e
3 1
2 e-a 1 1 2 e-a e-a 2e e-a
(cid:159)(cid:65)(cid:140) + < + < - (cid:86)(cid:117)(cid:65)2+ <t +t < - (cid:86)
e 6e2 x x a 6e2 6e 1 3 a 6e
1 3
13-m 2 1-m
(cid:117)(cid:65)(cid:140) <t +t < - (cid:86)
6 1 3 m 6
æ 13-möæ 2 1-mö
(cid:117)(cid:65)(cid:140)çt +t - ÷çt +t - + ÷<0(cid:86)
è 1 3 6 øè 1 3 m 6 ø
2
m-13 m2-m+12 
(cid:117)(cid:65)(cid:140)t +t -2- < (cid:86)
1 3 m 36mt +t 
1 3
m m
(cid:141)-m+1t + t2+lnt +b=0(cid:96)-m+1t + t2+lnt +b=0(cid:86)
1 2 1 1 3 2 3 3
m
(cid:174)lnt -lnt +  t2-t2 -m+1t -t =0(cid:86)
1 3 2 1 3 1 3
2 2 lnt -lnt
(cid:174)t +t -2- =- ´ 1 3 (cid:86)
1 3 m m t -t
1 3
2 lnt -lnt
m-13 m2-m+12 
(cid:174)(cid:117)(cid:65)(cid:140)- ´ 1 3 < (cid:86)
m t -t 36mt +t 
1 3 1 3
t
(cid:117)(cid:65)(cid:140) t 1 +t 3 ln t 1 m-13 m2-m+12 
3 + >0
t -t 72
1 3
k+1lnk m-13 m2-m+12 
(cid:117)(cid:65)(cid:140) + >0(cid:86)
k-1 72
(cid:252)jk=
k+1lnk
,k >1(cid:86)(cid:169)j¢k=
1 æ
çk-
1
-2lnk
ö
÷(cid:86)
k-1 k-12 è k ø
1 1 2 2 2
(cid:183)uk=k- -2lnk(cid:86)(cid:169)u¢k=1+ - > - =0(cid:86)(cid:181)(cid:191)uk>u1=0(cid:86)
k k2 k k k
j¢k>0(cid:86)æ 1 ö
(cid:174)jk(cid:91)1,+¥(cid:24)(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:174)jk>jç ÷(cid:86)
èmø
k+1lnk m-13 m2-m+12  m+1lnm m-13 m2-m+12 
(cid:181)(cid:191) + > + (cid:86)
k-1 72 m-1 72
m-1m-13 m2-m+12 
(cid:252)wm=lnm+ ,0<m<1(cid:86)
72m+1
m-12 3m3-20m2-49m+72  m-12 3m3+3 
(cid:169)w¢m= > >0(cid:86)
72mm+12 72mm+12
(cid:181)(cid:191)wm(cid:91)0,1(cid:127)(cid:147)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:174)wm<w1=0(cid:86)
m-1m-13 m2-m+12  m+1lnm m-13 m2-m+12 
(cid:174)lnm+ <0(cid:117) + >0(cid:86)
72m+1
m-1 72
(cid:174)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:122)(cid:65)(cid:140)
(cid:111)(cid:4)(cid:283)(cid:114)(cid:288)(cid:161)(cid:4)(cid:283)(cid:140)(cid:16)(cid:17)(cid:289)(cid:290)(cid:207)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:250)(cid:17)(cid:55)(cid:13)(cid:86)(cid:33)(cid:367)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:134)(cid:99)(cid:93)(cid:4)(cid:119)(cid:120)(cid:20)(cid:87)(cid:20)(cid:62)(cid:17)(cid:55)(cid:13)(cid:86)(cid:141)(cid:368)(cid:369)(cid:119)(cid:120)
(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:132)(cid:240)(cid:20)(cid:42)(cid:43)(cid:86)(cid:70)(cid:218)(cid:231)(cid:232)(cid:56)(cid:4)(cid:20)(cid:132)(cid:240)(cid:69)(cid:282)(cid:125)(cid:126)(cid:205)(cid:46)(cid:65)(cid:20)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:86)(cid:370)(cid:71)(cid:20)(cid:119)(cid:152)(cid:216)(cid:352)(cid:22)(cid:277)(cid:227)(cid:48).