专题05导数及其应用(解答题)(原卷版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

04
专题 导数及其应用（解答题）
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)2026(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)Ⅱ(cid:26)
2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)2025(cid:34)(cid:35)(cid:26)(cid:27)
2025(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:3)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:17)(cid:20)(cid:5)(cid:6)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:41)(cid:44)(cid:5)(cid:45)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) 2024(cid:8)(cid:28)(cid:36)(cid:3)(cid:26)Ⅱ(cid:27)2024(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:37)
(cid:46)(cid:23)(cid:22)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:27)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:53)
(cid:17)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:18)(cid:23)(cid:22) (cid:26)(cid:27)2024(cid:34)(cid:35)(cid:26)
(cid:54)(cid:48)(cid:55)(cid:13)
2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:26)(cid:27)2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:38)
(cid:26)(cid:27)2023(cid:34)(cid:35)(cid:26)
2022(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:37)(cid:26)
2026(cid:34)(cid:35)(cid:26)(cid:27)2026(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) 2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:26)(cid:27)2025(cid:58)(cid:59)(cid:26)(cid:27) (cid:3)(cid:39)(cid:56)(cid:4)(cid:20)(cid:62)(cid:17)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:17)(cid:5)(cid:6)(cid:42)
(cid:17)(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:55)(cid:13) 2024(cid:34)(cid:35)(cid:26) (cid:43)(cid:27)(cid:63)(cid:56)(cid:4)(cid:48)(cid:55)(cid:13)
2022(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:26)(cid:27)2022(cid:60)(cid:61)(cid:26)
2026(cid:58)(cid:59)(cid:26)
2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:26)(cid:27)=2025(cid:58)(cid:59)(cid:26)
2024(cid:8)(cid:28)(cid:36)(cid:3)(cid:26)Ⅰ(cid:27)2024(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:37)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:16)(cid:17)(cid:64)(cid:20) (cid:3)(cid:39)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:65)(cid:66)(cid:10)(cid:72)(cid:73)(cid:27)(cid:74)(cid:75)(cid:11)(cid:27)
(cid:26)(cid:27)2024(cid:58)(cid:59)(cid:26)(cid:27)2024(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:27)(cid:28)(cid:82)(cid:83)(cid:48)(cid:55)
2023(cid:8)(cid:28)(cid:36)(cid:3)(cid:26)Ⅰ(cid:27)2023(cid:8)(cid:28)(cid:36)(cid:3)
(cid:70)(cid:71)(cid:55)(cid:13) (cid:13)
(cid:26)Ⅱ(cid:27)2023(cid:58)(cid:59)(cid:26)(cid:27)2023(cid:24)(cid:25)(cid:26)
2022(cid:8)(cid:28)(cid:36)(cid:3)(cid:26)Ⅱ(cid:27)2022(cid:34)(cid:35)(cid:26)(cid:27)
2022(cid:60)(cid:61)(cid:26)
考点 01 导数与函数的极值与最值
1
1(cid:84)（2026·上海·高考真题）(cid:85)(cid:78)aÎR(cid:86)(cid:19)(cid:17) f x=x2+ax+3(cid:86)gx=4x+ (cid:84)
x2
1
(1)(cid:85)(cid:78) f 1=4(cid:86)(cid:46) f x+ >gx(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)
x2(2)(cid:85)(cid:78)a¹0(cid:86)l (cid:90) f x(cid:91)(cid:4)0,3(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:86)l (cid:90)(cid:95)(cid:4)0,3(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)l (cid:20)(cid:98)(cid:94)(cid:86)gx(cid:18)l (cid:27)l (cid:91)(cid:100)(cid:33)(cid:101)(cid:102)(cid:103)
1 2 1 1 2
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:4)(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
2(cid:84)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=xex+ax+b(cid:86)(cid:111)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4) 0, f 0 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:114)
y=-2x+1(cid:84)
(1)(cid:46)a(cid:86)b(cid:89)
(2)(cid:115)x>0(cid:116)(cid:86) f x+m-f x>m(cid:86)(cid:46)m(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:89)
(3)(cid:115)x>0(cid:116)(cid:86) f k+x+ f k-x>2f k(cid:86)(cid:46)k(cid:20)(cid:23)(cid:117)(cid:22)(cid:84)
ln1+x
3(cid:84)（2025·北京·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)(cid:20)(cid:82)(cid:83)(cid:118)(cid:90)-1,+¥, f 0=0(cid:86)(cid:16)(cid:19)(cid:17) f¢x= (cid:86)(cid:119)l (cid:90)
1
1+x
(cid:111)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4)A(a, f(a))(a¹0)(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:84)
(1)(cid:46) f¢(x)(cid:20)(cid:23)(cid:120)(cid:22)(cid:89)
(2)(cid:115)-1<a<0(cid:116)(cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:121)(cid:122)(cid:93)(cid:4)A(cid:123)(cid:86)(cid:111)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:98)(cid:94)l (cid:20)(cid:24)(cid:112)(cid:89)
1
2a-x -x
(3)(cid:119)(cid:95)(cid:4)A(cid:20)(cid:98)(cid:94)l (cid:18)(cid:98)(cid:94)l (cid:97)(cid:98)(cid:86)l (cid:86)l (cid:18)x(cid:124)(cid:80)(cid:4)(cid:20)(cid:125)(cid:126)(cid:30)(cid:5)(cid:127)(cid:90)x (cid:86)x (cid:86)(cid:128)a>0(cid:86)(cid:46) 2 1 (cid:20)(cid:108)
2 1 1 2 1 2 x -x
2 1
(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
4(cid:84)（2025·上海·高考真题）(cid:85)(cid:78) f(x)=x2-(m+2)x+mlnx,mÎR(cid:84)
(1)(cid:128) f(1)=0(cid:86)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49) f(x)£ x2-1(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)
(2)(cid:128)(cid:19)(cid:17)y= f(x)(cid:129)(cid:130)(cid:91)(0,+¥)(cid:24)(cid:131)(cid:91)(cid:21)(cid:120)(cid:22)(cid:86)(cid:46)m(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:89)
é πù
5(cid:84)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:10)1(cid:11)(cid:46)(cid:19)(cid:17) f(x)=5cosx-cos5x(cid:91)(cid:132)(cid:133) 0, (cid:20)(cid:23)(cid:120)(cid:22)(cid:89)
ê ú
ë 4û
(cid:10)2(cid:11)(cid:134)(cid:82)qÎ(0,π)(cid:135)aÎR(cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:121)(cid:131)(cid:91)yÎ[a-q,a+q](cid:136)(cid:137)cosy£cosq(cid:89)
(cid:10)3(cid:11)(cid:119)bÎR(cid:86)(cid:128)(cid:131)(cid:91)jÎR(cid:136)(cid:137)5cosx-cos(5x+j)£b(cid:138)xÎR(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:46)b(cid:20)(cid:23)(cid:117)(cid:22)(cid:84)
6(cid:84)（2024·北京·高考真题）(cid:119)(cid:19)(cid:17) f x=x+kln1+xk ¹0(cid:86)(cid:98)(cid:94)l(cid:90)(cid:111)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4)t, f tt >0(cid:92)
(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:84)(1)(cid:115)k =-1(cid:116)(cid:86)(cid:46) f x(cid:20)(cid:139)(cid:140)(cid:132)(cid:133).
(2)(cid:46)(cid:65)(cid:121)l(cid:47)(cid:141)(cid:95)(cid:4)0,0.
(3)(cid:115)k=1(cid:116)(cid:86)(cid:119)(cid:4)At, f tt >0(cid:86)C0, f t (cid:86)O(0,0)(cid:86)B(cid:114)l(cid:18)y(cid:124)(cid:20)(cid:80)(cid:4)(cid:86)S (cid:18)S (cid:5)(cid:127)(cid:142)(cid:143)VACO
VACO VABO
(cid:18)VABO(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:84)(cid:90)(cid:146)(cid:131)(cid:91)(cid:4)A(cid:136)(cid:137)2S =15S (cid:51)(cid:52)(cid:148)(cid:128)(cid:131)(cid:91)(cid:86)(cid:149)(cid:150)(cid:20)(cid:4)A(cid:151)(cid:152)(cid:62)(cid:148)
(cid:147)ACO (cid:147)ABO
(cid:10)(cid:41)(cid:3)(cid:17)(cid:153)(cid:121)1.09<ln3<1.10(cid:86)1.60<ln5<1.61(cid:86)1.94<ln7<1.95(cid:11)
7(cid:84)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=1-axln1+x-x(cid:84)
(1)(cid:115)a=-2(cid:116)(cid:86)(cid:46) f x(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:89)
(2)(cid:115)x³0(cid:116)(cid:86) f x³0(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
8(cid:84)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=ex-ax-a3(cid:84)
(1)(cid:115)a=1(cid:116)(cid:86)(cid:46)(cid:111)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:4)1, f(1)(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:89)
(2)(cid:128) f(x)(cid:151)(cid:21)(cid:117)(cid:22)(cid:86)(cid:96)(cid:21)(cid:117)(cid:22)(cid:117)(cid:99)0(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
9(cid:84)（2023·北京·高考真题）(cid:119)(cid:19)(cid:17) f(x)=x-x3eax+b(cid:86)(cid:111)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:4)(1, f(1))(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:114)y=-x+1(cid:84)
(1)(cid:46)a,b(cid:20)(cid:22)(cid:89)
(2)(cid:119)(cid:19)(cid:17)g(x)= f¢(x)(cid:86)(cid:46)g(x)(cid:20)(cid:139)(cid:140)(cid:132)(cid:133)(cid:89)
(3)(cid:46) f(x)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:84)
æ1 ö
10(cid:84)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=ç +a÷ln1+x(cid:84)
èx ø
(1)(cid:115)a=-1(cid:116)(cid:86)(cid:46)(cid:111)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:84)
(2)(cid:128)(cid:19)(cid:17) f x(cid:91)0,+¥(cid:139)(cid:140)(cid:154)(cid:155)(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
sinx æ πö
11(cid:84)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=ax- ,xÎç0, ÷(cid:84)
cos2x è 2ø
(1)(cid:115)a=1(cid:116)(cid:86)(cid:42)(cid:43) f x(cid:20)(cid:139)(cid:140)(cid:156)(cid:89)(2)(cid:128) f x+sinx<0(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
æ1 ö
12(cid:84)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=ç +a÷ln(1+x).
èx ø
(1)(cid:115)a=-1(cid:116)(cid:86)(cid:46)(cid:111)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:89)
æ1ö
(2)(cid:90)(cid:146)(cid:131)(cid:91)a(cid:86)b(cid:86)(cid:136)(cid:137)(cid:111)(cid:94)y= f ç ÷(cid:157)(cid:99)(cid:98)(cid:94)x=b(cid:138)(cid:158)(cid:86)(cid:128)(cid:131)(cid:91)(cid:86)(cid:46)a(cid:86)b(cid:20)(cid:22)(cid:86)(cid:128)(cid:47)(cid:131)(cid:91)(cid:86)(cid:159)(cid:66)(cid:160)(cid:161).
èxø
(3)(cid:128) f x(cid:91)0,+¥(cid:131)(cid:91)(cid:21)(cid:22)(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110).
13(cid:84)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=x3-x,g(x)=x2+a(cid:86)(cid:111)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:4) x, f x  (cid:92)(cid:20)(cid:93)
1 1
(cid:94)(cid:162)(cid:90)(cid:111)(cid:94)y=g(x)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:84)
(1)(cid:128)x =-1(cid:86)(cid:46)a(cid:89)
1
(2)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
考点 02 导数与函数的零点问题
1(cid:84)（2026·北京·高考真题）(cid:119)(cid:19)(cid:17) f x=x2+mx-4enx-1nÎZ(cid:86)(cid:111)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4) -1, f -1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:112)
(cid:113)(cid:114)4x+e2y+e2+8=0(cid:84)
(1)(cid:46)m(cid:86)n(cid:20)(cid:22)(cid:89)
(2)(cid:46) f x(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:89)
(3)(cid:46)y=kx-1k >0(cid:18) f x(cid:80)(cid:4)(cid:62)(cid:17)(cid:84)
2(cid:84)（2026·上海·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=sinwx+jw>0,0<j<π.
æ π ö
(1)(cid:115)w=2(cid:86) f ç ÷=0(cid:86)(cid:46)(cid:19)(cid:17) f x(cid:91)x=0(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:89)
è12ø
2
(2)(cid:128)(cid:19)(cid:17) f x(cid:20)(cid:23)(cid:117)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:114)3π(cid:86)(cid:96) f x= (cid:91)xÎ0,2026π(cid:24)(cid:166)(cid:167)(cid:151)1351(cid:62)(cid:87)(cid:86)(cid:46)j(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110).
2
1 1
3(cid:84)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=ln(1+x)-x+ x2-kx3(cid:86)(cid:76)(cid:64)0<k < (cid:84)
2 3(1)(cid:65)(cid:66)(cid:121) f(x)(cid:91)(cid:132)(cid:133)(0,+¥)(cid:131)(cid:91)(cid:168)(cid:33)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:135)(cid:168)(cid:33)(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:89)
(2)(cid:119)x,x (cid:5)(cid:127)(cid:114) f(x)(cid:91)(cid:132)(cid:133)(0,+¥)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:135)(cid:56)(cid:4).
1 2
(cid:10)i(cid:11)(cid:119)(cid:19)(cid:17)g(t)= f x +t- f x -t.(cid:65)(cid:66)(cid:121)g(t)(cid:91)(cid:132)(cid:133)0,x (cid:139)(cid:140)(cid:154)(cid:169)(cid:89)
1 1 1
(cid:10)ii(cid:11)(cid:170)(cid:171)2x (cid:18)x (cid:20)(cid:120)(cid:117)(cid:86)(cid:172)(cid:65)(cid:66)(cid:173)(cid:20)(cid:174)(cid:43)(cid:84)
1 2
4(cid:84)（2025·天津·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=ax-(lnx)2
(1)a=1(cid:116)(cid:86)(cid:46) f x(cid:91)(cid:4) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:89)
(2) f x(cid:151)3(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)x,x ,x (cid:96)x <x <x  .
1 2 3 1 2 3
(cid:10)i(cid:11)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:89)
4e
(cid:10)ii(cid:11)(cid:65)(cid:66)lnx -lnx ×lnx < (cid:84)
2 1 3 e-1
5(cid:84)（2024·北京·高考真题）(cid:119)(cid:19)(cid:17) f x=x+kln1+xk ¹0(cid:86)(cid:98)(cid:94)l(cid:90)(cid:111)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4)t, f tt >0(cid:92)
(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:84)
(1)(cid:115)k =-1(cid:116)(cid:86)(cid:46) f x(cid:20)(cid:139)(cid:140)(cid:132)(cid:133).
(2)(cid:46)(cid:65)(cid:121)l(cid:47)(cid:141)(cid:95)(cid:4)0,0.
(3)(cid:115)k=1(cid:116)(cid:86)(cid:119)(cid:4)At, f tt >0(cid:86)C0, f t (cid:86)O0,0(cid:86)B(cid:114)l(cid:18)y(cid:124)(cid:20)(cid:80)(cid:4)(cid:86)S (cid:18)S (cid:5)(cid:127)(cid:142)(cid:143)VACO
VACO VABO
(cid:18)VABO(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:84)(cid:90)(cid:146)(cid:131)(cid:91)(cid:4)A(cid:136)(cid:137)2S =15S (cid:51)(cid:52)(cid:148)(cid:128)(cid:131)(cid:91)(cid:86)(cid:149)(cid:150)(cid:20)(cid:4)A(cid:151)(cid:152)(cid:62)(cid:148)
(cid:147)ACO (cid:147)ABO
(cid:10)(cid:41)(cid:3)(cid:17)(cid:153)(cid:121)1.09<ln3<1.10(cid:86)1.60<ln5<1.61(cid:86)1.94<ln7<1.95(cid:11)
1
6(cid:84)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=ax- -(a+1)lnx(cid:84)
x
(1)(cid:115)a=0(cid:116)(cid:86)(cid:46) f(x)(cid:20)(cid:23)(cid:120)(cid:22)(cid:89)
(2)(cid:128) f(x)(cid:166)(cid:151)(cid:33)(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
e
7(cid:84)（2022·浙江·高考真题）(cid:119)(cid:19)(cid:17) f(x)= +lnx(x>0)(cid:84)
2x
(1)(cid:46) f(x)(cid:20)(cid:139)(cid:140)(cid:132)(cid:133)(cid:89)(2)(cid:85)(cid:78)a,bÎR(cid:86)(cid:111)(cid:94)y= f(x)(cid:24)(cid:47)(cid:175)(cid:20)(cid:176)(cid:4) x, f x ,x , f x ,x , f x  (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:177)(cid:141)(cid:95)(cid:4)(a,b)(cid:84)(cid:65)
1 1 2 2 3 3
(cid:66)(cid:121)
1æa ö
(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:128)a>e(cid:86)(cid:178)0<b-f(a)< ç -1÷(cid:89)
2èe ø
2 e-a 1 1 2 e-a
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:128)0<a<e,x <x <x (cid:86)(cid:178) + < + < - (cid:84)
1 2 3 e 6e2 x x a 6e2
1 3
(cid:10)(cid:179)(cid:121)e=2.71828L(cid:90)(cid:180)(cid:181)(cid:138)(cid:17)(cid:20)(cid:182)(cid:17)(cid:11)
考点 03 导数中的不等式证明及综合应用问题
2
1(cid:84)（2026·天津·高考真题）(cid:85)(cid:78) f(x)=ex- sinx(cid:84)
3
(1)(cid:46)(cid:111)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:4)(0, f(0))(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:89)
é 1 ö x
(2)(cid:115)xÎ
ê
- ,+¥÷(cid:116)(cid:86)(cid:65)(cid:66) f(x)³1+ (cid:89)
ë 3 ø 3
1 1 1 1
(3)(cid:46)(cid:183)(cid:17)a(cid:20)(cid:23)(cid:120)(cid:184)(cid:185)(cid:22)(cid:86)(cid:136)(cid:137) f( )× f( )× f( )Lf( )³(n+1)a(cid:138)(cid:186)(cid:187)(cid:20)nÎN*(cid:177)(cid:51)(cid:52)(cid:84)
1 2 3 n
2(cid:84)（2025·天津·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=ax-(lnx)2
(1)a=1(cid:116)(cid:86)(cid:46) f x(cid:91)(cid:4) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:89)
(2) f x(cid:151)3(cid:62)(cid:56)(cid:4)(cid:86)x,x ,x (cid:96)x <x <x  .
1 2 3 1 2 3
(cid:10)i(cid:11)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:89)
4e
(cid:10)ii(cid:11)(cid:65)(cid:66)lnx -lnx ×lnx < (cid:84)
2 1 3 e-1
1 1
3(cid:84)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=ln(1+x)-x+ x2-kx3(cid:86)(cid:76)(cid:64)0<k < (cid:84)
2 3
(1)(cid:65)(cid:66)(cid:121) f(x)(cid:91)(cid:132)(cid:133)(0,+¥)(cid:131)(cid:91)(cid:168)(cid:33)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:135)(cid:168)(cid:33)(cid:20)(cid:56)(cid:4)(cid:89)
(2)(cid:119)x,x (cid:5)(cid:127)(cid:114) f(x)(cid:91)(cid:132)(cid:133)(0,+¥)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:4)(cid:135)(cid:56)(cid:4).
1 2
(cid:10)i(cid:11)(cid:119)(cid:19)(cid:17)g(t)= f x +t- f x -t.(cid:65)(cid:66)(cid:121)g(t)(cid:91)(cid:132)(cid:133)0,x (cid:139)(cid:140)(cid:154)(cid:169)(cid:89)
1 1 1
(cid:10)ii(cid:11)(cid:170)(cid:171)2x (cid:18)x (cid:20)(cid:120)(cid:117)(cid:86)(cid:172)(cid:65)(cid:66)(cid:173)(cid:20)(cid:174)(cid:43)(cid:84)
1 24(cid:84)（2024·上海·高考真题）(cid:138)(cid:99)(cid:33)(cid:62)(cid:19)(cid:17) f(x)(cid:135)(cid:33)(cid:62)(cid:4)M(a,b)(cid:86)(cid:188)s(x)=(x-a)2+(f(x)-b)2(cid:86)(cid:128)s(x)(cid:91)x=x
0
(cid:116)(cid:108)(cid:137)(cid:23)(cid:117)(cid:22)(cid:20)(cid:4)(cid:86)(cid:178)(cid:158)(x , f(x ))(cid:90)M(cid:20)“ f (cid:23)(cid:189)(cid:4)”.
0 0
1
(1)(cid:138)(cid:99)(cid:19)(cid:17) f(x)= ,xÎ(0,+¥)(cid:86)(cid:46)(cid:65)(cid:121)(cid:138)(cid:99)(cid:4)M(0,0)(cid:86)(cid:131)(cid:91)(cid:4)P(cid:86)(cid:136)(cid:137)(cid:4)P(cid:90)M(cid:20)“ f (cid:23)(cid:189)(cid:4)”(cid:89)
x
(2)(cid:138)(cid:99)(cid:19)(cid:17) f(x)=ex,xÎR(cid:86)M(1,0)(cid:86)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:90)(cid:146)(cid:131)(cid:91)(cid:33)(cid:62)(cid:4)P(cid:86)(cid:136)(cid:193)(cid:90)M(cid:20)“ f (cid:23)(cid:189)(cid:4)”(cid:86)(cid:96)(cid:98)(cid:94)MP(cid:18)(cid:111)
(cid:94) f(x)(cid:91)(cid:4)P(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:97)(cid:98)(cid:148)
(3)(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)(xÎR)(cid:184)(cid:16)(cid:86)(cid:19)(cid:17)g(x)>0(cid:91)xÎR(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:138)(cid:99)(cid:4)M (t-1,f(t)-g(t))(cid:18)(cid:4)
1
M (t+1,f(t)+g(t))(cid:86)(cid:128)(cid:138)(cid:186)(cid:187)(cid:183)(cid:17)t(cid:86)(cid:104)(cid:131)(cid:91)(cid:4)P(cid:175)(cid:116)(cid:114)(cid:4)M (cid:18)(cid:4)M (cid:20)“ f (cid:23)(cid:189)(cid:4)”(cid:86)(cid:159)(cid:66) f(x)(cid:20)(cid:139)(cid:140)(cid:156).
2 1 2
5(cid:84)（2024·上海·高考真题）(cid:194)Ma= (cid:195)t t = f x- f a,x³a(cid:86)La= (cid:195)t t = f x- f a,x£a
(1)(cid:128) f x=x2+1(cid:86)(cid:46)M1(cid:135)L1 ;
(2)(cid:128) f x=x3-3x2(cid:86)(cid:46)(cid:65):(cid:138)(cid:99)(cid:186)(cid:187)aÎR(cid:86)(cid:177)(cid:151)MaÍ-4,+¥(cid:86)(cid:96)(cid:131)(cid:91)a(cid:86)(cid:136)(cid:137)-4ÎMa.
(3)(cid:85)(cid:78)(cid:82)(cid:83)(cid:91)R(cid:24) f x(cid:151)(cid:23)(cid:117)(cid:22)(cid:86)(cid:46)(cid:65)" f x(cid:90)(cid:196)(cid:19)(cid:17)"(cid:20)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:90)“(cid:138)(cid:99)(cid:186)(cid:187)(cid:163)(cid:183)(cid:17)c(cid:86)(cid:104)(cid:151)
M-c=Lc”.
6(cid:84)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=ax-1-lnx+1(cid:84)
(1)(cid:46) f x(cid:20)(cid:139)(cid:140)(cid:132)(cid:133)(cid:89)
(2)(cid:115)a£2(cid:116)(cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:121)(cid:115)x>1(cid:116)(cid:86) f x<ex-1(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:84)
7(cid:84)（2024·天津·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=xlnx(cid:84)
(1)(cid:46)(cid:111)(cid:94)y= f x(cid:91)(cid:4) 1, f 1 (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:89)
(2)(cid:128) f x³a  x- x  (cid:138)(cid:186)(cid:187)xÎ0,+¥(cid:51)(cid:52)(cid:86)(cid:46)(cid:183)(cid:17)a(cid:20)(cid:22)(cid:89)
(3)(cid:128)x 1 ,x 2 Î0,1(cid:86)(cid:46)(cid:65)(cid:121) f x 1 - f x 2  £ x 1 -x 2 1 2 (cid:84)x
8(cid:84)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=ln +ax+b(x-1)3
2-x
(1)(cid:128)b=0(cid:86)(cid:96) f¢(x)³0(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:23)(cid:117)(cid:22)(cid:89)
(2)(cid:65)(cid:66)(cid:121)(cid:111)(cid:94)y= f(x)(cid:90)(cid:64)(cid:201)(cid:138)(cid:158)(cid:202)(cid:203)(cid:89)
(3)(cid:128) f(x)>-2(cid:115)(cid:96)(cid:204)(cid:115)1<x<2(cid:86)(cid:46)b(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
9(cid:84)（2023·上海·高考真题）(cid:188) f x=lnx(cid:86)(cid:108)(cid:4) a, f a  (cid:95)(cid:76)(cid:111)(cid:94)y= f x(cid:205)(cid:93)(cid:94)(cid:80)y(cid:124)(cid:99)0,a (cid:86)(cid:108)(cid:4)
1 1 2
a , f a  (cid:95)(cid:76)(cid:205)(cid:93)(cid:94)(cid:80)y(cid:124)(cid:99)0,a (cid:86)(cid:128)a <0(cid:178)(cid:206)(cid:207)(cid:86)(cid:208)(cid:209)(cid:6)(cid:210)(cid:86)(cid:137)(cid:211)(cid:17)(cid:212)a (cid:84)
2 2 3 3 n
(1)(cid:128)(cid:163)(cid:213)(cid:17)m³2(cid:86)(cid:65)(cid:66)a =lna -1(cid:89)
m m-1
(2)(cid:128)(cid:163)(cid:213)(cid:17)m³2(cid:86)(cid:214)(cid:170)(cid:171)a (cid:18)a -2(cid:120)(cid:117)(cid:89)
m m-1
(3)(cid:128)(cid:163)(cid:213)(cid:17)k ³3(cid:86)(cid:90)(cid:146)(cid:131)(cid:91)k(cid:136)(cid:137)a,a La (cid:215)(cid:216)(cid:51)(cid:48)(cid:217)(cid:17)(cid:212)(cid:148)(cid:128)(cid:131)(cid:91)(cid:86)(cid:46)(cid:218)k(cid:20)(cid:219)(cid:151)(cid:108)(cid:22)(cid:86)(cid:128)(cid:47)(cid:131)(cid:91)(cid:86)(cid:214)
1 2 k
(cid:159)(cid:66)(cid:160)(cid:161)(cid:84)
æ1 1ö
10(cid:84)（2023·天津·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=ç + ÷lnx+1(cid:84)
èx 2ø
(1)(cid:46)(cid:111)(cid:94)y= f x(cid:91)x=2(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:220)(cid:221)(cid:89)
(2)(cid:46)(cid:65)(cid:121)(cid:115)x>0(cid:116)(cid:86) f x>1(cid:89)
5 æ 1ö
(3)(cid:65)(cid:66)(cid:121) <lnn!-çn+ ÷lnn+n£1,nÎN*(cid:84)
6 è 2ø
11(cid:84)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=a  ex+a  -x(cid:84)
(1)(cid:42)(cid:43) f x(cid:20)(cid:139)(cid:140)(cid:156)(cid:89)
3
(2)(cid:65)(cid:66)(cid:121)(cid:115)a>0(cid:116)(cid:86) f x>2lna+ (cid:84)
2
12(cid:84)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:10)1(cid:11)(cid:65)(cid:66)(cid:121)(cid:115)0<x<1(cid:116)(cid:86)x-x <sinx<x(cid:89)
(cid:10)2(cid:11)(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f x=cosax-ln  1-x2 (cid:86)(cid:128)x=0(cid:90) f x(cid:20)(cid:21)(cid:120)(cid:22)(cid:4)(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:84)
13(cid:84)（2023·上海·高考真题）(cid:119)(cid:19)(cid:17) f(x)=ax3-(a+1)x2+x,g(x)=kx+m(cid:86)(cid:76)(cid:64)a³0,k,mÎR(cid:86)(cid:128)(cid:186)(cid:187)xÎ[0,1](cid:104)(cid:151) f(x)£g(x)(cid:86)(cid:178)(cid:158)(cid:19)(cid:17)y=g(x)(cid:90)(cid:19)(cid:17)y= f(x)(cid:20)(cid:222)(cid:223)(cid:19)(cid:17)”(cid:86)(cid:96)(cid:138)(cid:99)(cid:219)(cid:151)(cid:129)(cid:130)(cid:199)(cid:200)(cid:20)(cid:19)(cid:17)y=g(x)(cid:91)x
(cid:92)(cid:108)(cid:137)(cid:20)(cid:23)(cid:117)(cid:22)(cid:194)(cid:114) f(x)(cid:84)
(1)(cid:128)a=2,g(x)=x(cid:86)(cid:214)(cid:55)y=g(x)(cid:90)(cid:146)(cid:114)y= f(x)(cid:20)(cid:222)(cid:223)(cid:19)(cid:17)”(cid:89)
1
(2)(cid:128)a=0(cid:86)(cid:136)(cid:137)(cid:98)(cid:94)y=h(x)(cid:90)(cid:111)(cid:94)y= f(x)(cid:91)x= (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:121)(cid:19)(cid:17)y=h(x)(cid:114)(cid:19)(cid:17)y= f(x)(cid:20)(cid:222)
4
æ1ö
(cid:223)(cid:19)(cid:17)(cid:86)(cid:172)(cid:46)“ f ç ÷”(cid:20)(cid:22)(cid:89)
è4ø
(3)(cid:128)(cid:111)(cid:94)y= f(x)(cid:91)x= x x Î(0,1)(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:4)(1,0)(cid:86)(cid:96)cÎx ,1(cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:121)(cid:115)(cid:96)(cid:204)(cid:115)c=x (cid:224)c=1(cid:116)(cid:86)
0 0 0 0
f(c)= f(c)(cid:84)
F
14(cid:84)（2023·上海·高考真题）(cid:85)(cid:78)S(cid:114)(cid:163)(cid:170)(cid:225)(cid:226)(cid:17)(cid:86)(cid:82)(cid:83)(cid:121)S = 0,F (cid:114)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:91)(cid:232)(cid:233)(cid:64)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:10)(cid:139)(cid:234)(cid:121)
V 0
0
(cid:235)(cid:112)(cid:236)(cid:11)(cid:86)V (cid:114)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:20)(cid:237)(cid:145)(cid:10)(cid:139)(cid:234)(cid:121)(cid:52)(cid:112)(cid:236)(cid:11)(cid:84)
0
(1)(cid:128)(cid:151)(cid:33)(cid:62)(cid:238)(cid:239)(cid:237)(cid:227)(cid:228)(cid:20)(cid:182)(cid:144)(cid:240)(cid:241)(cid:114)R(cid:86)(cid:36)(cid:242)(cid:114)H(cid:86)(cid:46)(cid:243)(cid:227)(cid:228)(cid:237)(cid:20)S(cid:10)(cid:71)R,H (cid:142)(cid:143)(cid:11)(cid:89)
(2)(cid:244)(cid:151)(cid:33)(cid:62)(cid:227)(cid:228)(cid:237)(cid:86)(cid:245)(cid:144)(cid:246)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:247)(cid:144)(cid:86)(cid:119)A(cid:114)(cid:182)(cid:144)(cid:144)(cid:145)(cid:86)L(cid:114)(cid:227)(cid:228)(cid:182)(cid:144)(cid:164)(cid:248)(cid:84)(cid:85)(cid:78) f (cid:114)(cid:163)(cid:170)(cid:225)(cid:226)(cid:17)(cid:86)L2
L2
(cid:18)A(cid:51)(cid:163)(cid:170)(cid:86)(cid:82)(cid:83)(cid:121) f = (cid:86)(cid:227)(cid:228)(cid:144)(cid:145)(cid:249)(cid:114)(cid:250)(cid:33)(cid:251)(cid:20)(cid:182)(cid:144)(cid:144)(cid:145)(cid:86)(cid:252)(cid:227)(cid:228)(cid:144)(cid:145)(cid:249)(cid:114)(cid:250)(cid:251)(cid:227)(cid:228)(cid:144)(cid:145)(cid:253)(cid:135)(cid:86)(cid:22)(cid:114)
A
f ×n 1
T(cid:84)(cid:85)(cid:78)(cid:243)(cid:227)(cid:228)(cid:237)(cid:210)(cid:16)(cid:137)(cid:218)S = + (cid:86)n(cid:114)(cid:251)(cid:17)(cid:86)(cid:251)(cid:36)(cid:114)3(cid:236)(cid:86)(cid:76)(cid:64) f =18,T =10000(cid:86)(cid:214)(cid:46)(cid:115)(cid:108)(cid:100)(cid:152)
T 3n
(cid:251)(cid:116)(cid:86)(cid:243)(cid:227)(cid:228)(cid:237)S(cid:23)(cid:117)(cid:148)
15(cid:84)（2022·北京·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)=exln(1+x)(cid:84)
(1)(cid:46)(cid:111)(cid:94)y= f(x)(cid:91)(cid:4)(0, f(0))(cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:89)
(2)(cid:119)g(x)= f¢(x)(cid:86)(cid:42)(cid:43)(cid:19)(cid:17)g(x)(cid:91)[0,+¥)(cid:24)(cid:20)(cid:139)(cid:140)(cid:156)(cid:89)
(3)(cid:65)(cid:66)(cid:121)(cid:138)(cid:186)(cid:187)(cid:20)s,tÎ(0,+¥)(cid:86)(cid:151) f(s+t)> f(s)+ f(t)(cid:84)
16(cid:84)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:85)(cid:78)(cid:19)(cid:17) f(x)= xeax -ex(cid:84)
(1)(cid:115)a=1(cid:116)(cid:86)(cid:42)(cid:43) f(x)(cid:20)(cid:139)(cid:140)(cid:156)(cid:89)
(2)(cid:115)x>0(cid:116)(cid:86) f(x)<-1(cid:86)(cid:46)a(cid:20)(cid:108)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:89)
1 1 1
(3)(cid:119)nÎN*(cid:86)(cid:65)(cid:66)(cid:121) + +L+ >ln(n+1)(cid:84)
12+1 22+2 n2+ne
17(cid:84)（2022·浙江·高考真题）(cid:119)(cid:19)(cid:17) f(x)= +lnx(x>0)(cid:84)
2x
(1)(cid:46) f(x)(cid:20)(cid:139)(cid:140)(cid:132)(cid:133)(cid:89)
(2)(cid:85)(cid:78)a,bÎR(cid:86)(cid:111)(cid:94)y= f(x)(cid:24)(cid:47)(cid:175)(cid:20)(cid:176)(cid:4) x, f x ,x , f x ,x , f x  (cid:92)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:177)(cid:141)(cid:95)(cid:4)(a,b)(cid:84)(cid:65)
1 1 2 2 3 3
(cid:66)(cid:121)
1æa ö
(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:128)a>e(cid:86)(cid:178)0<b-f(a)< ç -1÷(cid:89)
2èe ø
2 e-a 1 1 2 e-a
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:128)0<a<e,x <x <x (cid:86)(cid:178) + < + < - (cid:84)
1 2 3 e 6e2 x x a 6e2
1 3
(cid:10)(cid:179)(cid:121)e=2.71828L(cid:90)(cid:180)(cid:181)(cid:138)(cid:17)(cid:20)(cid:182)(cid:17)(cid:11)