08
专题 平面向量
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:25)2026(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:25)2026
(cid:3)(cid:40)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:26)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:25)(cid:21)(cid:22)(cid:23)
(cid:36)(cid:37)(cid:33)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) (cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:47)(cid:5)(cid:48)(cid:49)(cid:50)
2025(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:25)2025(cid:36)(cid:37)(cid:33)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:16)(cid:17) (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
2024(cid:36)(cid:37)(cid:33)
(cid:18)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:20)(cid:58)(cid:59)(cid:25)(cid:60)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:29)(cid:48)(cid:57)
2023(cid:36)(cid:37)(cid:33)
(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:20)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:64)(cid:21)(cid:20)(cid:65)(cid:66)
2022(cid:8)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:30)(cid:31)Ⅰ(cid:33)
2026(cid:30)(cid:31)(cid:78)(cid:33)(cid:25)
2025(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:78)(cid:33)(cid:25)2025(cid:79)(cid:80)(cid:33)
2024(cid:8)(cid:38)(cid:81)(cid:52)Ⅰ(cid:33)(cid:25)2024(cid:8)(cid:38)(cid:81)(cid:52)
(cid:3)(cid:40)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:84)
Ⅱ(cid:33)(cid:25)2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:33)(cid:25)2024(cid:34)(cid:35)
(cid:85)(cid:25)(cid:86)(cid:87)(cid:49)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:68)(cid:57)(cid:88)(cid:13)(cid:43)(cid:89)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) (cid:33)(cid:25) (cid:73)(cid:74)(cid:25)(cid:70)(cid:90)(cid:25)(cid:71)(cid:72)(cid:77)(cid:91)(cid:92)(cid:3)(cid:20)(cid:93)(cid:94)(cid:43)
(cid:20)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:50) 2023(cid:8)(cid:38)(cid:81)(cid:52)Ⅰ(cid:33)(cid:25)2023(cid:8)(cid:38)(cid:81)(cid:52) (cid:18)(cid:19)(cid:95)(cid:96)(cid:92)(cid:61)(cid:48)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:25)(cid:100)(cid:72)(cid:101)
(cid:68)(cid:57)(cid:10)(cid:69)(cid:70)(cid:25)(cid:71)(cid:72)(cid:25) Ⅱ(cid:33)(cid:25)2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:33)(cid:25)2023(cid:8)(cid:30) (cid:62)(cid:25)(cid:16)(cid:17)(cid:98)(cid:99)(cid:77)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:3)(cid:40)(cid:43)(cid:105)(cid:106)
(cid:73)(cid:74)(cid:25)(cid:75)(cid:76)(cid:18)(cid:19)(cid:77)(cid:11) (cid:31)(cid:83)(cid:33)(cid:25)2023(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:25)2023(cid:36)(cid:37) (cid:107)(cid:18)(cid:19)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:68)(cid:57)
(cid:33)(cid:25) (cid:91)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:20)(cid:32)(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:4)(cid:43)(cid:122)(cid:123)
2022(cid:8)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:30)(cid:31)Ⅱ(cid:33)(cid:25)2022(cid:8)(cid:30) (cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)
(cid:31)(cid:82)(cid:33)(cid:25)2022(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:83)(cid:33)(cid:25)2022
(cid:36)(cid:37)(cid:33)
2026(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:25)2026(cid:79)(cid:80)(cid:33)(cid:25)2026
(cid:36)(cid:37)(cid:33)(cid:25)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) 2025(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:25)2025(cid:36)(cid:37)(cid:33) (cid:3)(cid:40)(cid:62)(cid:19)(cid:67)(cid:20)(cid:129)(cid:130)(cid:88)(cid:13)(cid:77)(cid:43)(cid:92)(cid:131)(cid:57)
(cid:128)(cid:20)(cid:129)(cid:130)(cid:88)(cid:13) 2024(cid:79)(cid:80)(cid:33) (cid:132)(cid:77)(cid:133)(cid:25)(cid:101)(cid:62)(cid:22)(cid:134)(cid:48)(cid:135)
2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:83)(cid:33)(cid:25)2023(cid:79)(cid:80)(cid:33)
2022(cid:34)(cid:35)(cid:33)考点 01 平面向量的线性运算、平面向量基本定理
r r r r r r
1(cid:114)（2026·北京·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a(cid:43)b (cid:137)(cid:138) a-b =2(cid:43)a=(2,0)(cid:43)(cid:139)b (cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)1 B(cid:114)2 C(cid:114)3 D(cid:114)4
r r r r r r
2(cid:114)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a(cid:43)b(cid:132)(cid:64)(cid:21)(cid:43)(cid:141)2a+yb=xa-3b(cid:43)(cid:139)(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)x=2(cid:43)y=-3 B(cid:114)x=-2(cid:43)y=3 C(cid:114)x=2(cid:43)y=3 D(cid:114)x=-2(cid:43)y=-3
3(cid:114)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:128)(cid:43)(cid:23)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:28)(cid:151)(cid:155)(cid:20)(cid:140)(cid:156)(cid:61)(cid:157)(cid:18)(cid:43)(cid:154)(cid:112)(cid:20)(cid:103)(cid:158)(cid:159)
(cid:160)(cid:37)(cid:116)(cid:128)(cid:161)(cid:109)(cid:127)(cid:151)(cid:151)(cid:155).(cid:127)(cid:151)(cid:151)(cid:155)(cid:162)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:91)(cid:163)(cid:151)(cid:151)(cid:155)(cid:162)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:61)(cid:143)(cid:164)(cid:151)(cid:151)(cid:155)(cid:162)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:165)(cid:166)(cid:43)(cid:50)(cid:128)(cid:143)
(cid:164)(cid:151)(cid:151)(cid:155)(cid:162)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:61)(cid:143)(cid:155)(cid:162)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:140)(cid:156)(cid:102)(cid:77)(cid:25)(cid:157)(cid:18)(cid:102)(cid:167).(cid:168)1(cid:169)(cid:112)(cid:170)(cid:171)(cid:5)(cid:151)(cid:152)(cid:77)(cid:172)(cid:25)(cid:173)(cid:161)(cid:61)(cid:151)(cid:155)(cid:140)(cid:156)(cid:20)
(cid:162)(cid:68)(cid:174)(cid:175).(cid:136)(cid:118)(cid:176)(cid:142)(cid:143)(cid:23)(cid:146)(cid:147)(cid:159)(cid:176)(cid:107)(cid:177)(cid:154)(cid:178)(cid:20)(cid:127)(cid:151)(cid:151)(cid:155)(cid:162)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:61)(cid:143)(cid:155)(cid:162)(cid:68)(cid:20)(cid:18)(cid:19)(cid:89)(cid:168)2(cid:179)(cid:54)(cid:10)(cid:21)(cid:180)(cid:70)(cid:90)
(cid:181)(cid:53)(cid:155)(cid:90)(cid:140)(cid:156)(cid:43)(cid:182)(cid:183)(cid:184)m/s(cid:11)(cid:43)(cid:139)(cid:185)(cid:107)(cid:177)(cid:20)(cid:163)(cid:151)(cid:109)(cid:10) (cid:11)
(cid:172)(cid:62) (cid:173)(cid:161) (cid:151)(cid:155)(cid:140)(cid:156)(cid:10)(cid:182)(cid:183)(cid:184)m/s)
2 (cid:186)(cid:151) 1.6~3.3
3 (cid:187)(cid:151) 3.4~5.4
4 (cid:166)(cid:151) 5.5~7.9
5 (cid:188)(cid:151) 8.0~10.7
A(cid:114)(cid:186)(cid:151) B(cid:114)(cid:187)(cid:151) C(cid:114)(cid:166)(cid:151) D(cid:114)(cid:188)(cid:151)
uuur r uuur r uuur
4(cid:114)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:159)VABC(cid:128)(cid:43)(cid:4)D(cid:159)(cid:189)AB(cid:36)(cid:43)BD=2DA(cid:114)(cid:190)CA=m，CD=n(cid:43)(cid:139)CB=
(cid:10) (cid:11)
r r r r r r r r
A(cid:114)3m-2n B(cid:114)-2m+3n C(cid:114)3m+2n D(cid:114)2m+3n
r r r r
5(cid:114)（2026·上海·高考真题）(cid:136)(cid:118)a=x,3(cid:43)b=4,6(cid:43)(cid:191)a(cid:192)b(cid:43)(cid:139)x=____________.6(cid:114)（2025·上海·高考真题）(cid:136)(cid:118)a r =(2,1),b r =(1,x)(cid:43)(cid:191)a r ∥b r (cid:43)(cid:139)x=__________(cid:114)
7(cid:114)（2024·上海·高考真题）(cid:136)(cid:118)kÎR,a r =2,5,b r =6,k(cid:43)(cid:141)a r //b r (cid:43)(cid:139)k(cid:20)(cid:130)(cid:109)______(cid:114)
r r r r
8(cid:114)（2023·上海·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a=(3,4),b=(1,2)(cid:43)(cid:139)a-2b=_______________(cid:114)
考点 02 平面向量的数量积运算及其应用（模长、夹角、垂直、投影向量等）
r r r r r r r r
1(cid:114)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a,b (cid:137)(cid:138) a+b =1(cid:43) a-b = 3(cid:43)(cid:139)a×b=(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:114) B(cid:114) C(cid:114)- D(cid:114)-
2 3 3 2
2(cid:114)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a r =(0,1),b r =(2,x)(cid:43)(cid:191)b r ^(b r -4a r )(cid:43)(cid:139)x=(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)-2 B(cid:114)-1 C(cid:114)1 D(cid:114)2
3(cid:114)（2024·北京·高考真题）(cid:193) a r (cid:43)b r (cid:91)(cid:18)(cid:19)(cid:43)(cid:139)“ a r +b r · a r -b r =0”(cid:91)“a r =-b r (cid:194)a r =b r ”(cid:20)(cid:10) (cid:11)(cid:114)
A(cid:114)(cid:195)(cid:5)(cid:132)(cid:123)(cid:196)(cid:65)(cid:66) B(cid:114)(cid:123)(cid:196)(cid:132)(cid:195)(cid:5)(cid:65)(cid:66)
C(cid:114)(cid:195)(cid:196)(cid:65)(cid:66) D(cid:114)(cid:197)(cid:132)(cid:195)(cid:5)(cid:95)(cid:132)(cid:123)(cid:196)(cid:65)(cid:66)
r r
4(cid:114)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:193)(cid:18)(cid:19)a=x+1,x,b =x,2(cid:43)(cid:139)(cid:10) (cid:11)
r r r r
A(cid:114)“x=-3”(cid:91)“a^b”(cid:20)(cid:123)(cid:196)(cid:65)(cid:66) B(cid:114)“x=1+ 3”(cid:91)“a//b”(cid:20)(cid:123)(cid:196)(cid:65)(cid:66)
r r r r
C(cid:114)“x=0”(cid:91)“a^b”(cid:20)(cid:195)(cid:5)(cid:65)(cid:66) D(cid:114)“x=-1+ 3”(cid:91)“a//b”(cid:20)(cid:195)(cid:5)(cid:65)(cid:66)
r r r r r r r r r
5(cid:114)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a,b(cid:137)(cid:138) a =1, a+2b =2(cid:43)(cid:141) b-2a ^b(cid:43)(cid:139)b =(cid:10) (cid:11)
1 2 3
A(cid:114) B(cid:114) C(cid:114) D(cid:114)1
2 2 2
r r r r r r r r
6(cid:114)（2023·北京·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a(cid:43)b(cid:137)(cid:138)a+b =(2,3),a-b =(-2,1)(cid:43)(cid:139)|a|2 -|b|2=(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)-2 B(cid:114)-1 C(cid:114)0 D(cid:114)1
uuur uuur
7(cid:114)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:46)(cid:157)(cid:198)ABCD(cid:20)(cid:189)(cid:70)(cid:91)2(cid:43)E(cid:91)AB(cid:20)(cid:128)(cid:4)(cid:43)(cid:139)EC×ED=(cid:10) (cid:11)
A(cid:114) 5 B(cid:114)3 C(cid:114)2 5 D(cid:114)5
r r r r r r
8(cid:114)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a=3,1,b=2,2(cid:43)(cid:139)cos a+b,a-b =(cid:10) (cid:11)
1 17 5 2 5
A(cid:114) B(cid:114) C(cid:114) D(cid:114)
17 17 5 5
9(cid:114)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a r ,b r ,c r (cid:137)(cid:138) a r = b r =1,c r = 2(cid:43)(cid:141)a r +b r +c r =0 r (cid:43)(cid:139)cosáa r -c r ,b r -c r ñ=(cid:10) (cid:11)
4 2 2 4
A(cid:114)- B(cid:114)- C(cid:114) D(cid:114)
5 5 5 5
r r r r r r
10(cid:114)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a=1,1,b=1,-1(cid:43)(cid:191) a+lb ^ a+mb (cid:43)(cid:139)(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)l+m=1 B(cid:114)l+m=-1
C(cid:114)lm=1 D(cid:114)lm=-1
v v v v v v v v v
11(cid:114)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a=(3,4),b =(1,0),c =a+tb (cid:43)(cid:191) a,c = b,c (cid:43)(cid:139)t =(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)-6 B(cid:114)-5 C(cid:114)5 D(cid:114)6
v v r r r r r r
12(cid:114)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a,b (cid:137)(cid:138)|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3(cid:43)(cid:139)a×b=(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)-2 B(cid:114)-1 C(cid:114)1 D(cid:114)2
r r v v
13(cid:114)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a=(2,1)(cid:43)b=(-2,4)(cid:43)(cid:139) a-b =(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)2 B(cid:114)3 C(cid:114)4 D(cid:114)5
uuur 1uuur uuur r uuur r uuur
14(cid:114)（2025·天津·高考真题）VABC(cid:128)(cid:43)D(cid:109)AB(cid:189)(cid:128)(cid:4)(cid:43)CE= CD,AB=a,AC =b(cid:43)(cid:139) AE=______(cid:10)(cid:57)
3
r r uuur uuur uuur
a(cid:43)b (cid:53)(cid:54)(cid:11)(cid:43)(cid:191)|AE|=5(cid:43)AE^CB(cid:43)(cid:139)AE×CD=_______
r r r r r r
15(cid:114)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a=(x,1),b =(x-1,2x),(cid:191)a^ a-b (cid:43)(cid:139)|a|=___________
16(cid:114)（2023·上海·高考真题）(cid:136)(cid:118)a r =-2,3(cid:43)b r =1,2(cid:43)(cid:199) a r ×b r =________
r r r r r r r r r
17(cid:114)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a(cid:43)b (cid:137)(cid:138) a-b = 3(cid:43) a+b = 2a-b (cid:43)(cid:139)b =______(cid:114)
r r r r r r r r r
18(cid:114)（2022·上海·高考真题）(cid:191)|a|=|b|=|c|=l(cid:43)(cid:141)(cid:137)(cid:138)a×b =0,a×c =2,b×c =1(cid:43)(cid:139)l=___________.
v v 1 r v r r r
19(cid:114)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:193)(cid:18)(cid:19)a(cid:43)b (cid:20)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:200)(cid:201)(cid:130)(cid:109) (cid:43)(cid:141) a =1(cid:43)b =3(cid:43)(cid:139) 2a+b ×b=_________(cid:114)
3
20(cid:114)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a v =(m,3),b v =(1,m+1)(cid:114)(cid:191)a v ^b v (cid:43)(cid:139)m=______________(cid:114)
考点 03 平面向量中的最值问题
r r r r r r
1(cid:114)（2026·北京·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:18)(cid:19)a(cid:43)b (cid:137)(cid:138) a-b =2(cid:43)a=(2,0)(cid:43)(cid:139)b (cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)1 B(cid:114)2 C(cid:114)3 D(cid:114)4
uuur uuur
uuur uuur uuur
2(cid:114)（2025·北京·高考真题）(cid:159)(cid:16)(cid:17)(cid:74)(cid:72)(cid:51)(cid:52)(cid:175)xOy(cid:128)(cid:43)|OA|=|OB|= 2(cid:43)|AB|=2.(cid:193)C(3,4)(cid:43)(cid:139)|2CA+AB|(cid:20)(cid:202)(cid:130)(cid:203)(cid:204)(cid:91)(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)[6,14] B(cid:114)[6,12] C(cid:114)[8,14] D(cid:114)[8,12]
3(cid:114)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:136)(cid:118)eO(cid:20)(cid:205)(cid:206)(cid:109)1(cid:43)(cid:74)(cid:21)PA(cid:61)eO(cid:102)(cid:207)(cid:208)(cid:4)A(cid:43)(cid:74)(cid:21)PB(cid:61)eO(cid:47)(cid:208)B(cid:43)
uuur uuur
C(cid:209)(cid:4)(cid:43)D(cid:109)BC(cid:20)(cid:128)(cid:4)(cid:43)(cid:191) PO = 2(cid:43)(cid:139)PA×PD(cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)(cid:10) (cid:11)
1+ 2 1+2 2
A(cid:114) B(cid:114)
2 2
C(cid:114)1+ 2 D(cid:114)2+ 2
4(cid:114)（2022·北京·高考真题）(cid:159)VABC(cid:128)(cid:43)AC =3,BC =4,ÐC =90°(cid:114)P(cid:109)VABC(cid:179)(cid:159)(cid:16)(cid:17)(cid:93)(cid:20)(cid:146)(cid:4)(cid:43)(cid:141)
uuuv uuuv
PC =1(cid:43)(cid:139)PA×PB(cid:20)(cid:202)(cid:130)(cid:203)(cid:204)(cid:91)(cid:10) (cid:11)
A(cid:114)[-5,3] B(cid:114)[-3,5] C(cid:114)[-6,4] D(cid:114)[-4,6]
5(cid:114)（2026·天津·高考真题）(cid:136)(cid:118) a r =a r ×b r =1(cid:43)b r >1(cid:43)(cid:190)c r =la r +mb r (cid:114)(cid:210)a r +b r -c r =0 r (cid:107)(cid:43)l+m=
r r r
__________(cid:43)(cid:210) a+b-c =1(cid:107)(cid:43)l+m(cid:20)(cid:202)(cid:130)(cid:203)(cid:204)(cid:109)__________(cid:114)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
6(cid:114)（2026·上海·高考真题）(cid:159)VABC(cid:128)(cid:43)D(cid:25)E(cid:159)(cid:189)BC(cid:36)(cid:43)(cid:141)BD=DE=EC(cid:43) AD =1(cid:43)AD(cid:61)AE(cid:179)(cid:211)
π uuur uuur
(cid:20)(cid:71)(cid:72)(cid:109) (cid:43)(cid:139)AB×AC(cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)____________.
3
ì1, x>0
7(cid:114)（2025·上海·高考真题）(cid:136)(cid:118) f(x)= ï í0, x=0(cid:43)a r (cid:25)b r (cid:25)c r(cid:91)(cid:16)(cid:17)(cid:93)(cid:100)(cid:120)(cid:132)(cid:212)(cid:20)(cid:182)(cid:183)(cid:18)(cid:19)(cid:114)(cid:191)
ï
î-1, x<0
r r r r r r r r r
f(a×b)+ f(b×c)+ f(c×a)=0(cid:43)(cid:139)|a+b+c|(cid:20)(cid:202)(cid:130)(cid:203)(cid:204)(cid:91)_______(cid:114)
ur uur r r ur r
8(cid:114)（2025·上海·高考真题）(cid:159)(cid:16)(cid:17)(cid:128)(cid:43)e (cid:166)e (cid:91)(cid:213)(cid:102)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:182)(cid:183)(cid:18)(cid:19)(cid:43)(cid:18)(cid:19)a(cid:137)(cid:138) a-4e =2(cid:43)(cid:18)(cid:19)b (cid:137)(cid:138)
1 2 1
r uur r r
b-6e =1(cid:43)(cid:199)b (cid:159)a(cid:157)(cid:18)(cid:36)(cid:20)(cid:62)(cid:19)(cid:75)(cid:76)(cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)__________(cid:114)
2
uuur uuur uuur uuur uuur
9(cid:114)（2024·天津·高考真题）(cid:136)(cid:118)(cid:46)(cid:157)(cid:198)ABCD(cid:20)(cid:189)(cid:70)(cid:109)1(cid:43)DE=2EC,(cid:191)BE=lBA+mBC(cid:43)(cid:50)(cid:128)l,m(cid:109)(cid:214)
uuur uuur
(cid:62)(cid:43)(cid:139)l+m=______(cid:55)(cid:193)F (cid:91)(cid:21)(cid:180)BE(cid:36)(cid:20)(cid:146)(cid:4)(cid:43)G(cid:109)(cid:21)(cid:180)AF (cid:20)(cid:128)(cid:4)(cid:43)(cid:139)AF×DG(cid:20)(cid:129)(cid:156)(cid:130)(cid:109)______(cid:114)
uuur 1uuur uuur 1uuur uuur r uuur r
10(cid:114)（2023·天津·高考真题）(cid:159)VABC(cid:128)(cid:43)BC =1(cid:43)ÐA=60o(cid:43)AD= AB,CE= CD(cid:43)(cid:190)AB=a,AC =b (cid:43)
2 2r r uuur uuur 1uuur uuur uuur
(cid:57)a,b (cid:53)(cid:54)AE=_________(cid:55)(cid:191)BF = BC(cid:43)(cid:139)AE×AF(cid:20)(cid:129)(cid:140)(cid:130)(cid:109)_________(cid:114)
3
uuur uuur uuur
11(cid:114)（2022·浙江·高考真题）(cid:193)(cid:4)P(cid:159)(cid:182)(cid:183)(cid:215)(cid:20)(cid:93)(cid:216)(cid:46)(cid:217)(cid:189)(cid:198)A
1
A
2
LA
8
(cid:20)(cid:189)A
1
A
2
(cid:36)(cid:43)(cid:139)PA
1
2 +PA
2
2 +L+PA
8
2
(cid:20)(cid:202)(cid:130)(cid:203)(cid:204)(cid:91)_______(cid:114)
