专题07解三角形(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

07
专题 解三角形
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)2026(cid:29)(cid:30)(cid:27)
2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:28)2025(cid:29)(cid:30)(cid:27)
2024(cid:8)(cid:34)(cid:35)(cid:36)Ⅱ(cid:27)(cid:28)2024(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:37) (cid:3)(cid:41)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:28)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:43)(cid:44)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:27)(cid:28)2024(cid:29)(cid:30)(cid:27)(cid:28)2024(cid:38)(cid:39)(cid:27) (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:23)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:52)(cid:53)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:24)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
2023(cid:8)(cid:34)(cid:35)(cid:36)Ⅰ(cid:27)(cid:28)2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:40) (cid:54)(cid:28)(cid:55)(cid:21)(cid:56)(cid:13)(cid:57)(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:60)
(cid:27)(cid:28)2023(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)2023(cid:29)(cid:30)(cid:27)
2023(cid:38)(cid:39)(cid:27)(cid:28)2022(cid:29)(cid:30)(cid:27)
2026(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)
2025(cid:25)(cid:26)(cid:27)
2024(cid:8)(cid:34)(cid:35)(cid:36)Ⅰ(cid:27)(cid:28)2024(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:3)(cid:41)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:56)(cid:13)(cid:46)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61) 2023(cid:8)(cid:34)(cid:35)(cid:36)Ⅰ(cid:27)(cid:28)2023(cid:8)(cid:34)(cid:35)(cid:36)
(cid:71)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:74)(cid:28)(cid:75)(cid:45)(cid:28)(cid:76)(cid:57)(cid:64)(cid:57)(cid:77)
(cid:62)(cid:63)(cid:64) Ⅱ(cid:27)(cid:28)2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:37)(cid:27)(cid:28)2023(cid:8)(cid:31)
(cid:78)(cid:79)(cid:80)
(cid:32)(cid:40)(cid:27)(cid:28)2023(cid:38)(cid:39)(cid:27)
2022(cid:8)(cid:34)(cid:65)(cid:3)(cid:31)(cid:32)Ⅱ(cid:27)(cid:28)2022(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)2022(cid:66)(cid:67)(cid:27)
2026(cid:31)(cid:32)(cid:89)(cid:27)(cid:28)2025(cid:38)(cid:39)(cid:27)(cid:28)2024
(cid:38)(cid:39)(cid:27) (cid:90)(cid:91)(cid:28)(cid:49)(cid:91)(cid:28)(cid:61)(cid:62)(cid:57)(cid:69)(cid:70)(cid:56)(cid:13)(cid:92)(cid:65)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
2023(cid:8)(cid:34)(cid:35)(cid:36)Ⅱ(cid:27)(cid:28)2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:37) (cid:3)(cid:93)(cid:71)(cid:3)(cid:13)(cid:94)(cid:46)(cid:95)(cid:96)(cid:89)(cid:97)(cid:46)(cid:60)(cid:98)(cid:99)
(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:10)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:68)
(cid:27) (cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:76)(cid:103)(cid:104)(cid:13)(cid:105)(cid:48)(cid:72)(cid:22)(cid:106)(cid:107)(cid:101)
(cid:87)(cid:88)(cid:82)(cid:83)(cid:11)
2022(cid:8)(cid:34)(cid:65)(cid:3)(cid:31)(cid:32)Ⅰ(cid:27)(cid:28)2022(cid:38)(cid:39) (cid:108)(cid:46)(cid:109)(cid:110)(cid:71)(cid:14)(cid:111)(cid:112)(cid:105)(cid:48)(cid:113)(cid:114)
(cid:27)
考点 01 正余弦定理解三角形
1(cid:115)（2026·北京·高考真题）(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:46)(cid:122)(cid:123)(cid:46)A(cid:46)B(cid:124)(cid:19)(cid:4)(cid:46)C(cid:46)D(cid:92)(cid:125)(cid:4)(cid:46)AD=1(cid:46)CD=3(cid:46)
5
BC = (cid:46)AB=4(cid:46)(cid:126)cosÐABC(cid:81)(cid:127)(cid:70)(cid:128)(cid:129)(cid:10) (cid:11)
2é 5 53ù é 5 73ù é 5 53ù é 5 73ù
A(cid:115) , B(cid:115) , C(cid:115) , D(cid:115) ,
ê ú ê ú ê ú ê ú
ë16 80û ë16 80û ë12 80û ë12 80û
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)B
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:135)(cid:136)(cid:49)(cid:91)(cid:128)(cid:129)(cid:101)(cid:108)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:137)(cid:138)(cid:42)(cid:21)(cid:128)(cid:129).
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:140)(cid:124)AD=1,CD=3(cid:46)(cid:126)3-1£ AC £1+3(cid:46)(cid:141)(cid:142)2£ AC£4(cid:46)
25 89
16+ -AC2 -AC2
4 4
(cid:143)(cid:105)VABC(cid:93)(cid:46)cosÐABC = =
5 20
2´4´
2
89 89 89
-42 -AC2 -22
(cid:143)(cid:105)25 4 4 4 73(cid:46)
= £cosÐABC = £ =
80 20 20 20 80
é 5 73ù
(cid:143)(cid:105)cosÐABC(cid:81)(cid:128)(cid:129)(cid:124) , .
ê ú
ë16 80û
2(cid:115)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)BC =2(cid:46)AC =1+ 3(cid:46)AB= 6(cid:46)(cid:126)A=(cid:10) (cid:11)
A(cid:115)45° B(cid:115)60° C(cid:115)120° D(cid:115)135°
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)A
AB2+AC2-BC2
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)cosA= (cid:146)(cid:147)(cid:137)(cid:138)(cid:42)(cid:21)(cid:141)(cid:148).
2ABgAC
AB2+AC2-BC2  6 2 + 1+ 3 2 -22 2
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:145)(cid:13)(cid:149)(cid:142)cosA= = = (cid:46)
2ABgAC 2´ 6´ 1+ 3  2
(cid:150)0o < A<180o(cid:46)(cid:143)(cid:105)A=45o.
(cid:151)(cid:152)(cid:153)A
9
3(cid:115)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:154)VABC(cid:81)(cid:59)(cid:23)A,B,C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a,b,c(cid:46)(cid:157)B=60°(cid:46)b2 = ac(cid:46)(cid:126)
4
sinA+sinC =(cid:10) (cid:11)
3 7 3
A(cid:115) B(cid:115) 2 C(cid:115) D(cid:115)
2 2 2
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)C
1 13
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:158)(cid:83)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)sinAsinC = (cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:160)a2+c2 = ac(cid:46)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)(cid:161)sin2 A+sin2C
3 4
(cid:81)(cid:70)(cid:46)(cid:69)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:137)(cid:138)(cid:141)(cid:148).9 4 1
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:140)(cid:124)B=60°,b2 = ac(cid:46)(cid:126)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)sinAsinC = sin2B= .
4 9 3
9
(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142):b2 =a2+c2-ac= ac(cid:46)
4
13 13 13
(cid:141):a2+c2 = ac(cid:46)(cid:135)(cid:136)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)sin2 A+sin2C = sinAsinC = (cid:46)
4 4 12
7
(cid:143)(cid:105)(sinA+sinC)2 =sin2 A+sin2C+2sinAsinC = (cid:46)
4
7
(cid:140)(cid:124)A,C(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:59)(cid:23)(cid:46)(cid:126)sinA+sinC >0(cid:46)(cid:126)sinA+sinC = .
2
(cid:151)(cid:152)(cid:153)C.
4(cid:115)（2023·北京·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)(cid:46)(cid:126)ÐC =(cid:10) (cid:11)
π π 2π 5π
A(cid:115) B(cid:115) C(cid:115) D(cid:115)
6 3 3 6
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)B
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:158)(cid:83)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:81)(cid:49)(cid:23)(cid:165)(cid:166)(cid:72)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:141)(cid:148)(cid:142)(cid:21).
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:140)(cid:124)(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)(cid:46)
(cid:143)(cid:105)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)(a+c)(a-c)=b(a-b)(cid:46)(cid:141)a2-c2 =ab-b2(cid:46)
a2+b2-c2 ab 1
(cid:126)a2+b2-c2 =ab(cid:46)(cid:151)cosC = = = (cid:46)
2ab 2ab 2
π
(cid:150)0<C<π(cid:46)(cid:143)(cid:105)C = .
3
(cid:151)(cid:152)(cid:153)B.
5(cid:115)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:59)(cid:23)A,B,C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:92)a,b,c(cid:46)(cid:157)acosB-bcosA=c(cid:46)(cid:167)
p
C = (cid:46)(cid:126)ÐB=(cid:10) (cid:11)
5
p p 3p 2p
A(cid:115) B(cid:115) C(cid:115) D(cid:115)
10 5 10 5
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)C
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:168)(cid:169)(cid:158)(cid:83)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:49)(cid:51)(cid:23)(cid:46)(cid:170)(cid:162)(cid:101)(cid:108)(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:64)(cid:68)(cid:173)(cid:23)(cid:68)(cid:81)(cid:16)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:142)ÐA(cid:81)(cid:70)(cid:46)(cid:69)(cid:162)(cid:158)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:59)(cid:23)(cid:68)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)ÐA(cid:81)(cid:70).
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:145)(cid:13)(cid:149)(cid:101)(cid:108)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)sinAcosB-sinBcosA=sinC(cid:46)
(cid:141)sinAcosB-sinBcosA=sinA+B=sinAcosB+sinBcosA(cid:46)
(cid:174)(cid:20)(cid:148)(cid:142)sinBcosA=0(cid:46)(cid:145)(cid:175)BÎ0,π(cid:46)(cid:151)sinB>0(cid:46)
π
(cid:136)(cid:176)(cid:148)(cid:142)cosA=0,A= (cid:46)
2π π 3π
(cid:126)B=π-A-C =π- - = .
2 5 10
(cid:151)(cid:152)(cid:153)C.
1
6(cid:115)（2026·天津·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)BC =4(cid:46)AC =3(cid:46)cosA=- (cid:46)(cid:126)sinB=__________(cid:115)
4
3 15 3
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133) / 15
16 16
1 1 15
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)cosA=- (cid:46)(cid:143)(cid:105)sinA= 1-cos2 A = 1- = (cid:46)
4 16 4
15
3´
(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142) AC×sinA 4 3 15 .
sinB= = =
BC 4 16
π π
7(cid:115)（2024·上海·高考真题）(cid:22)(cid:23)(cid:24)ABC(cid:93)(cid:46)BC=2,A= ,B= (cid:46)(cid:126)AB=______
3 4
3 2+ 6
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)
3
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:135)(cid:136)(cid:177)(cid:77)(cid:178)(cid:179)(cid:46)(cid:101)(cid:108)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:21)(cid:115)
π π 5π
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:24)ABC(cid:93)(cid:46)QA+B+C =π,A= ,B= ,\C = (cid:46)
3 4 12
æπ πö π π π π 2+ 6
sinC =sinç + ÷=sin cos +cos sin = (cid:46)
è4 6ø 4 6 4 6 4
BC AB π
(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20) = (cid:46)BC =2(cid:46)A= (cid:46)
sinA sinC 3
2+ 6
2´
BCsinC 4 3 2+ 6
(cid:142)AB= = = (cid:115)
sinA 3 3
2
3 2+ 6
(cid:151)(cid:131)(cid:132)(cid:124)(cid:153) (cid:115)
3
8(cid:115)（2023·上海·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:177)(cid:77)a=4(cid:46)b=5(cid:46)c=6(cid:46)(cid:126)sinA=__________(cid:115)
7
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)
4
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:169)(cid:158)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:142)cosA(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:180)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:74)(cid:181)(cid:182)(cid:64)(cid:42)(cid:142)sinA.
b2+c2-a2 25+36-16 45 3
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)cosA= = = = (cid:46)
2bc 60 60 4
QA(cid:124)VABC(cid:81)(cid:59)(cid:23)(cid:46)
9 7
\sinA= 1-cos2 A= 1- = .
16 4
7
(cid:151)(cid:131)(cid:132)(cid:124): .
4
(cid:130)(cid:4)(cid:183)(cid:133)(cid:44)(cid:13)(cid:3)(cid:41)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:105)(cid:48)(cid:180)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:74)(cid:181)(cid:182)(cid:64)(cid:81)(cid:108)(cid:20)(cid:184)(cid:83)(cid:46)(cid:92)(cid:43)(cid:58)(cid:13).9(cid:115)（2025·天津·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:23)A,B,C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a,b,c(cid:115)(cid:177)(cid:77)asinB= 3bcosA(cid:46)
c-2b=1(cid:46)a= 7(cid:115)
(1)(cid:42)A(cid:81)(cid:70)(cid:185)
(2)(cid:42)c(cid:81)(cid:70)(cid:185)
(3)(cid:42)sin(A+2B)(cid:81)(cid:70)(cid:115)
π
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)
3
(2)3
4 3
(3)
7
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:51)(cid:49)(cid:124)(cid:23)(cid:159)(cid:51)(cid:186)(cid:148)(cid:42)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:101)(cid:108)(cid:10)1(cid:11)(cid:101)(cid:187)(cid:72)(cid:177)(cid:77)(cid:163)(cid:164)(cid:148)(cid:142)(cid:181)(cid:175)b(cid:81)(cid:111)(cid:188)(cid:46)(cid:42)(cid:21)(cid:148)(cid:142)b(cid:46)(cid:189)(cid:190)(cid:42)(cid:142)c(cid:185)
(cid:10)3(cid:11)(cid:158)(cid:83)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:169)(cid:42)B(cid:46)(cid:159)(cid:145)(cid:33)(cid:191)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:5)(cid:156)(cid:42)sin2B,cos2B(cid:46)(cid:145)(cid:173)(cid:23)(cid:68)(cid:81)(cid:16)(cid:18)(cid:148)(cid:142).
a b
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:177)(cid:77)asinB= 3bcosA(cid:46)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20) = (cid:46)
sinA sinB
(cid:142)asinB=bsinA= 3bcosA(cid:46)(cid:192)(cid:170)cosA¹0(cid:46)
(cid:142)tanA= 3(cid:46)(cid:145)0< A<π(cid:46)
π
(cid:151)A= (cid:185)
3
1
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:10)1(cid:11)(cid:77)cosA= (cid:46)(cid:167)c=2b+1(cid:46)a= 7(cid:46)
2
(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)a2 =b2+c2-2bccosA(cid:46)
1
(cid:126)7=b2+(2b+1)2-2´ b(2b+1)=3b2+3b+1(cid:46)
2
(cid:21)(cid:142)b=1(cid:10)b=-2(cid:193)(cid:194)(cid:11)(cid:46)
(cid:151)c=3(cid:185)
a b 3
(cid:10)3(cid:11)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20) = (cid:46)(cid:167)b=1,a= 7,sinA= (cid:46)
sinA sinB 2
bsinA 21
(cid:142)sinB= = (cid:46)(cid:167)a>b(cid:46)(cid:126)B(cid:124)(cid:195)(cid:23)(cid:46)
a 14
5 5 3
(cid:151)cosB= 7(cid:46)(cid:151)sin2B=2sinBcosB= (cid:46)
14 14
2
æ 21ö 11
(cid:167)cos2B=1-2sin2B=1-2´ç ÷ = (cid:185)
ç ÷
14 14
è ø3 11 1 5 3 4 3
(cid:151)sin(A+2B)=sinAcos2B+cosAsin2B= ´ + ´ = .
2 14 2 14 7
9 a 2
10(cid:115)（2024·天津·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:23)A,B,C(cid:143)(cid:155)(cid:81)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a,b,c(cid:46)(cid:177)(cid:77)cosB= (cid:46)b=5(cid:46) = (cid:115)
16 c 3
(1)(cid:42)a(cid:81)(cid:70)(cid:185)
(2)(cid:42)sinA(cid:81)(cid:70)(cid:185)
(3)(cid:42)cosB-2A(cid:81)(cid:70)(cid:115)
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)4
7
(2)
4
57
(3)
64
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)a=2t,c=3t(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:141)(cid:148)(cid:142)(cid:161)(cid:111)(cid:188)(cid:46)(cid:21)(cid:99)(cid:141)(cid:148)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:112)(cid:89)(cid:153)(cid:42)(cid:99)sinB(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:141)(cid:148)(cid:185)(cid:112)(cid:33)(cid:153)(cid:158)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:99)cosA(cid:46)(cid:126)(cid:142)(cid:161)sin A(cid:185)
(cid:10)3(cid:11)(cid:112)(cid:89)(cid:153)(cid:135)(cid:136)(cid:196)(cid:49)(cid:155)(cid:196)(cid:23)(cid:197)(cid:19)A(cid:124)(cid:195)(cid:23)(cid:46)(cid:126)(cid:142)(cid:161)cosA(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:33)(cid:191)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:68)(cid:173)(cid:23)(cid:198)(cid:81)(cid:17)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:141)(cid:148)(cid:185)(cid:112)
(cid:33)(cid:153)(cid:146)(cid:147)(cid:158)(cid:83)(cid:33)(cid:191)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:68)(cid:173)(cid:23)(cid:198)(cid:81)(cid:17)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:141)(cid:148).
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:199)a=2t,c=3t(cid:46)t>0(cid:46)(cid:126)(cid:135)(cid:136)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)b2 =a2+c2-2accosB(cid:46)
9
(cid:141)25=4t2+9t2-2´2t´3t´ (cid:46)(cid:21)(cid:142)t=2(cid:10)(cid:200)(cid:193)(cid:11)(cid:185)
16
(cid:126)a=4,c=6.
æ 9 ö 2 5 7
(cid:10)2(cid:11)(cid:112)(cid:89)(cid:153)(cid:140)(cid:124)B(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:59)(cid:23)(cid:46)(cid:143)(cid:105)sinB= 1-cos2B = 1-ç ÷ = (cid:46)
è16ø 16
4 5
a b = 7
(cid:159)(cid:135)(cid:136)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142) = (cid:46)(cid:141)sinA 5 7 (cid:46)(cid:21)(cid:142)sinA= (cid:46)
sinA sinB 4
16
b2+c2-a2 52+62-42 3
(cid:112)(cid:33)(cid:153)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)cosA= = = (cid:46)
2bc 2´5´6 4
(cid:140)(cid:124)AÎ0,π(cid:46)(cid:126)sinA=
1-
æ
ç
3ö
÷
2
=
7
è4ø 4
9 æ πö
(cid:10)3(cid:11)(cid:112)(cid:89)(cid:153)(cid:140)(cid:124)cosB= >0(cid:46)(cid:167)BÎ0,π(cid:46)(cid:143)(cid:105)BÎç0, ÷(cid:46)
16 è 2ø
5 7
(cid:145)(cid:10)2(cid:11)(cid:112)(cid:89)(cid:77)sinB= (cid:46)
16
2
æ 7ö 3
(cid:140)(cid:124)a<b(cid:46)(cid:126)A<B(cid:46)(cid:143)(cid:105)cosA= 1-ç ÷ = (cid:46)
ç 4 ÷ 4
è ø7 3 3 7 æ3ö 2 1
(cid:126)sin2A=2sinAcosA=2´ ´ = (cid:46)cos2A=2cos2 A-1=2´ç ÷ -1=
4 4 8 è4ø 8
9 1 5 7 3 7 57
cosB-2A=cosBcos2A+sinBsin2A= ´ + ´ = .
16 8 16 8 64
7 3 3 7
(cid:112)(cid:33)(cid:153)sin2A=2sinAcosA=2´ ´ = (cid:46)
4 4 8
æ3ö 2 1
(cid:126)cos2A=2cos2 A-1=2´ç ÷ -1= (cid:46)
è4ø 8
æ 9 ö 2 5 7
(cid:140)(cid:124)B(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:59)(cid:23)(cid:46)(cid:143)(cid:105)sinB= 1-cos2B = 1-ç ÷ = (cid:46)
è16ø 16
9 1 5 7 3 7 57
(cid:143)(cid:105)cosB-2A=cosBcos2A+sinBsin2A= ´ + ´ =
16 8 16 8 64
11(cid:115)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:154)VABC(cid:81)(cid:59)(cid:23)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:46)(cid:177)(cid:77)sinA+ 3cosA=2(cid:115)
(1)(cid:42)A(cid:115)
(2)(cid:157)a=2(cid:46) 2bsinC=csin2B(cid:46)(cid:42)VABC(cid:81)(cid:90)(cid:91)(cid:115)
π
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)A=
6
(2)2+ 6+3 2
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:201)(cid:202)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:155)(cid:178)(cid:179)sinA+ 3cosA=2(cid:189)(cid:203)(cid:51)(cid:186)(cid:204)(cid:20)(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:21)(cid:46)(cid:71)(cid:14)(cid:111)(cid:112)(cid:205)(cid:148)(cid:158)(cid:83)(cid:180)(cid:23)(cid:22)
(cid:23)(cid:73)(cid:74)(cid:81)(cid:181)(cid:182)(cid:21)(cid:111)(cid:188)(cid:206)(cid:46)(cid:207)(cid:148)(cid:158)(cid:83)(cid:172)(cid:74)(cid:46)(cid:75)(cid:45)(cid:74)(cid:45)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:46)(cid:208)(cid:209)(cid:63)(cid:64)(cid:21)(cid:210)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:169)(cid:135)(cid:136)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:49)(cid:23)(cid:50)(cid:51)(cid:138)(cid:99)B(cid:46)(cid:170)(cid:162)(cid:135)(cid:136)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:138)(cid:99)b,c(cid:141)(cid:148)(cid:142)(cid:99)(cid:90)(cid:91).
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:111)(cid:112)(cid:89)(cid:153)(cid:71)(cid:14)(cid:111)(cid:112)(cid:10)(cid:201)(cid:202)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:11)
1 3 π
(cid:145)sinA+ 3cosA=2(cid:148)(cid:142) sinA+ cosA=1(cid:46)(cid:141)sin(A+ )=1(cid:46)
2 2 3
π π 4π π π π
(cid:145)(cid:175)AÎ(0,π)Þ A+ Î( , )(cid:46)(cid:151)A+ = (cid:46)(cid:21)(cid:142)A=
3 3 3 3 2 6
(cid:111)(cid:112)(cid:33)(cid:153)(cid:71)(cid:14)(cid:111)(cid:112)(cid:10)(cid:180)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:74)(cid:81)(cid:43)(cid:44)(cid:181)(cid:182)(cid:11)
(cid:145)sinA+ 3cosA=2(cid:46)(cid:150)sin2 A+cos2 A=1(cid:46)(cid:211)(cid:194)sin A(cid:142)(cid:161)(cid:153)
3
4cos2 A-4 3cosA+3=0Û(2cosA- 3)2 =0(cid:46)(cid:21)(cid:142)cosA= (cid:46)
2
π
(cid:150)AÎ(0,π)(cid:46)(cid:151)A=
6
(cid:111)(cid:112)(cid:22)(cid:153)(cid:158)(cid:83)(cid:212)(cid:70)(cid:4)(cid:42)(cid:21)æ πö
(cid:199) f(x)=sinx+ 3cosx(0<x<π)(cid:46)(cid:126) f(x)=2sinçx+ ÷(0<x<π)(cid:46)
è 3ø
π π
(cid:192)(cid:170)x= (cid:213)(cid:46) f(x) =2(cid:46)(cid:109)(cid:149)(cid:161) f(A)=sinA+ 3cosA=2=2sin(A+ )(cid:46)
6 max 3
f(x) = f(A)(cid:46)(cid:144)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(0,π)(cid:38)(cid:127)(cid:161)(cid:69)(cid:196)(cid:70)(cid:46)(cid:175)(cid:92)x= A(cid:217)(cid:19)(cid:92)(cid:212)(cid:70)(cid:4)(cid:46)
max
3
(cid:141) f¢(A)=0=cosA- 3sinA(cid:46)(cid:141)tanA= (cid:46)
3
π
(cid:150)AÎ(0,π)(cid:46)(cid:151)A=
6
(cid:111)(cid:112)(cid:218)(cid:153)(cid:158)(cid:83)(cid:75)(cid:45)(cid:74)(cid:45)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:10)(cid:219)(cid:220)(cid:76)(cid:57)(cid:64)(cid:11)
r r r r
(cid:199)a=(1, 3),b=(sinA,cosA)(cid:46)(cid:145)(cid:13)(cid:149)(cid:46)a×b=sinA+ 3cosA=2(cid:46)
r r r r r r r r
(cid:135)(cid:136)(cid:75)(cid:45)(cid:81)(cid:74)(cid:45)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:46) a×b =|a||b|cos a,b =2cos a,b (cid:46)
r r r r r r r r
(cid:126)2cosa,b =2Ûcosa,b =1(cid:46)(cid:176)(cid:213)a,b =0(cid:46)(cid:141)a,b(cid:180)(cid:75)(cid:221)(cid:106)(cid:46)
3
(cid:135)(cid:136)(cid:75)(cid:45)(cid:221)(cid:106)(cid:178)(cid:179)(cid:46)1×cosA= 3×sinAÛtanA= (cid:46)
3
π
(cid:150)AÎ(0,π)(cid:46)(cid:151)A=
6
(cid:111)(cid:112)(cid:7)(cid:153)(cid:158)(cid:83)(cid:208)(cid:209)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:21)
A 2t 3(1-t2)
(cid:199)t=tan (cid:46)(cid:135)(cid:136)(cid:208)(cid:209)(cid:63)(cid:64)(cid:46)sinA+ 3cosA=2= + (cid:46)
2 1+t2 1+t2
(cid:174)(cid:20)(cid:148)(cid:142)(cid:46)t2-2(2- 3)t+(2- 3)2 =0=(t-(2- 3))2(cid:46)
A 2t 3
(cid:21)(cid:142)tan =t =2- 3(cid:46)(cid:135)(cid:136)(cid:33)(cid:191)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:46)tanA= = (cid:46)
2 1-t2 3
π
(cid:150)AÎ(0,π)(cid:46)(cid:151)A=
6
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:13)(cid:199)(cid:178)(cid:179)(cid:68)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
2bsinC =csin2BÛ 2sinBsinC =2sinCsinBcosB(cid:46)
2 π
(cid:150)B,CÎ(0,π)(cid:46)(cid:126)sinBsinC ¹0(cid:46)(cid:189)(cid:190)cosB= (cid:46)(cid:142)(cid:161)B= (cid:46)
2 4
7π
(cid:175)(cid:92)C =π-A-B= (cid:46)
12
2+ 6
sinC =sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA= (cid:46)
4
2 b c
a b c = =
(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)(cid:46) = = (cid:46)(cid:141) π π 7π (cid:46)
sinA sinB sinC sin sin sin
6 4 12
(cid:21)(cid:142)b=2 2,c= 6+ 2(cid:46)(cid:151)VABC(cid:81)(cid:90)(cid:91)(cid:124)2+ 6+3 2
12(cid:115)（2023·天津·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:23)A,B,C(cid:143)(cid:155)(cid:81)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:92)a,b,c(cid:115)(cid:177)(cid:77)a= 39,b=2,ÐA=120o(cid:115)
(1)(cid:42)sinB(cid:81)(cid:70)(cid:185)
(2)(cid:42)c(cid:81)(cid:70)(cid:185)
(3)(cid:42)sinB-C(cid:81)(cid:70)(cid:115)
13
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)
13
(2)5
7 3
(3)-
26
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:141)(cid:148)(cid:21)(cid:99)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:141)(cid:148)(cid:21)(cid:99)(cid:185)
(cid:10)3(cid:11)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:99)sinC(cid:46)(cid:159)(cid:145)(cid:222)(cid:111)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:99)cosB,cosC(cid:46)(cid:141)(cid:148)(cid:145)(cid:173)(cid:23)(cid:198)(cid:81)(cid:16)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:99)(cid:115)
a b 39 2 13
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)(cid:46) = (cid:46)(cid:141) = (cid:46)(cid:21)(cid:142)(cid:153)sinB= (cid:185)
sinA sinB sin120o sinB 13
æ 1ö
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)(cid:46)a2 =b2+c2-2bccosA(cid:46)(cid:141)39=4+c2-2´2´c´ç- ÷(cid:46)
è 2ø
(cid:21)(cid:142)(cid:153)c=5(cid:223)c=-7(cid:10)(cid:193)(cid:194)(cid:11)(cid:115)
a c 39 5 5 13
(cid:10)3(cid:11)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)(cid:46) = (cid:46)(cid:141) = (cid:46)(cid:21)(cid:142)(cid:153)sinC = (cid:46)(cid:190)A=120o(cid:46)
sinA sinC sin120o sinC 26
25 3 39 1 2 39
(cid:143)(cid:105)B,C(cid:224)(cid:124)(cid:195)(cid:23)(cid:46)(cid:140)(cid:176)cosC = 1- = (cid:46)cosB= 1- = (cid:46)
52 26 13 13
13 3 39 2 39 5 13 7 3
sinB-C=sinBcosC-cosBsinC = ´ - ´ =- (cid:115)
13 26 13 26 26
13(cid:115)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:177)(cid:77)(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)A+B=3C,2sinA-C=sinB(cid:115)
(1)(cid:42)sinA(cid:185)
(2)(cid:199)AB=5(cid:46)(cid:42)AB(cid:49)(cid:38)(cid:81)(cid:65)(cid:115)
3 10
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)
10
(2)6
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:23)(cid:81)(cid:181)(cid:182)(cid:48)(cid:173)(cid:23)(cid:68)(cid:198)(cid:16)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:46)(cid:51)(cid:186)(cid:141)(cid:148)(cid:142)(cid:21)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:158)(cid:83)(cid:180)(cid:23)(cid:225)(cid:216)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:74)(cid:43)(cid:44)(cid:181)(cid:182)(cid:48)(cid:173)(cid:23)(cid:68)(cid:81)(cid:16)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:42)sinB,(cid:159)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:99)b(cid:46)(cid:135)(cid:136)(cid:57)(cid:61)(cid:62)(cid:112)
(cid:42)(cid:21)(cid:141)(cid:148).
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)QA+B=3C(cid:46)π
\π-C =3C(cid:46)(cid:141)C = (cid:46)
4
(cid:150)2sin(A-C)=sinB=sin(A+C)(cid:46)
\2sinAcosC-2cosAsinC =sinAcosC+cosAsinC(cid:46)
\sinAcosC =3cosAsinC(cid:46)
\sinA=3cosA(cid:46)
π
(cid:141)tanA=3(cid:46)(cid:143)(cid:105)0< A< (cid:46)
2
3 3 10
\sinA= = .
10 10
1 10
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:10)1(cid:11)(cid:77)(cid:46)cosA= = (cid:46)
10 10
2 3 10 10 2 5
(cid:145)sinB=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC = ( + )= (cid:46)
2 10 10 5
2 5
5´
c b 5
(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:46) = (cid:46)(cid:148)(cid:142)b= =2 10(cid:46)
sinC sinB 2
2
1 1
\ AB×h= AB×AC×sinA(cid:46)
2 2
3 10
\h=b×sinA=2 10´ =6.
10
14(cid:115)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:154)VABC(cid:81)(cid:59)(cid:23)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a(cid:46)b(cid:46)c﹐(cid:177)(cid:77)
sinCsinA-B=sinBsinC-A(cid:115)
(1)(cid:157)A=2B(cid:46)(cid:42)C(cid:185)
(2)(cid:226)(cid:227)(cid:153)2a2 =b2+c2
5π
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1) (cid:185)
8
(2)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:21)(cid:134)(cid:115)
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:13)(cid:149)(cid:148)(cid:142)(cid:46)sinC =sinC-A(cid:46)(cid:159)(cid:101)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:59)(cid:23)(cid:68)(cid:19)(cid:20)(cid:141)(cid:148)(cid:21)(cid:99)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:13)(cid:149)(cid:158)(cid:83)(cid:173)(cid:23)(cid:198)(cid:81)(cid:16)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:229)(cid:214)(cid:142)sinCsinAcosB-cosAsinB=sinBsinCcosA-cosCsinA(cid:46)(cid:159)
(cid:135)(cid:136)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:51)(cid:186)(cid:141)(cid:148)(cid:226)(cid:99)(cid:115)
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)A=2B(cid:46)sinCsinA-B=sinBsinC-A(cid:148)(cid:142)(cid:46)sinCsinB=sinBsinC-A(cid:46)(cid:190)π
0<B< (cid:46)(cid:143)(cid:105)sinBÎ0,1(cid:46)(cid:141)(cid:160)sinC =sinC-A>0(cid:46)(cid:190)0<C<π,0<C-A<π(cid:46)(cid:192)(cid:170)C ¹C-A(cid:46)(cid:143)(cid:105)(cid:46)
2
5π
C+C-A=π(cid:46)(cid:190)A=2B(cid:46)A+B+C=π(cid:46)(cid:143)(cid:105)C = (cid:115)
8
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)sinCsinA-B=sinBsinC-A(cid:148)(cid:142)(cid:46)
sinCsinAcosB-cosAsinB=sinBsinCcosA-cosCsinA(cid:46)(cid:159)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)(cid:46)
accosB-bccosA=bccosA-abcosC(cid:46)(cid:170)(cid:162)(cid:135)(cid:136)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:77)(cid:46)
1 1 1 1
 a2+c2-b2
-
 b2+c2-a2
=
 b2+c2-a2
-
 a2+b2-c2
(cid:46)(cid:51)(cid:186)(cid:142)(cid:153)
2 2 2 2
2a2 =b2+c2(cid:46)(cid:151)(cid:230)(cid:57)(cid:64)(cid:231)(cid:232)(cid:115)
15(cid:115)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:154)VABC(cid:81)(cid:59)(cid:23)A,B,C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a,b,c(cid:46)(cid:177)(cid:77)
sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)(cid:115)
(1)(cid:226)(cid:227)(cid:153)2a2 =b2+c2(cid:185)
25
(2)(cid:157)a=5,cosA= (cid:46)(cid:42)VABC(cid:81)(cid:90)(cid:91)(cid:115)
31
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)(cid:228)(cid:21)(cid:134)
(2)14
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:158)(cid:83)(cid:173)(cid:23)(cid:198)(cid:81)(cid:16)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:51)(cid:186)(cid:46)(cid:159)(cid:135)(cid:136)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:68)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:51)(cid:23)(cid:124)(cid:49)(cid:46)(cid:233)(cid:190)(cid:141)(cid:148)(cid:142)(cid:226)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:10)1(cid:11)(cid:81)(cid:101)(cid:187)(cid:101)(cid:108)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:99)bc(cid:46)(cid:233)(cid:190)(cid:148)(cid:42)(cid:142)b+c(cid:46)(cid:141)(cid:148)(cid:142)(cid:21).
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:226)(cid:227)(cid:153)(cid:140)(cid:124)sinCsinA-B=sinBsinC-A(cid:46)
(cid:143)(cid:105)sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsinAcosC(cid:46)
a2+c2-b2 b2+c2-a2 a2+b2-c2
(cid:143)(cid:105)ac× -2bc× =-ab× (cid:46)
2ac 2bc 2ab
a2+c2-b2 a2+b2-c2
(cid:141) -  b2+c2-a2 =- (cid:46)
2 2
(cid:143)(cid:105)2a2 =b2+c2(cid:185)
25
(cid:10)2(cid:11)(cid:21)(cid:153)(cid:140)(cid:124)a=5,cosA= (cid:46)
31
(cid:145)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)b2+c2 =50(cid:46)
(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)a2 =b2+c2-2bccosA(cid:46)
50
(cid:126)50- bc=25(cid:46)
31
31
(cid:143)(cid:105)bc= (cid:46)
2(cid:151)b+c2 =b2+c2+2bc=50+31=81(cid:46)
(cid:143)(cid:105)b+c=9(cid:46)
(cid:143)(cid:105)VABC(cid:81)(cid:90)(cid:91)(cid:124)a+b+c=14.
16(cid:115)（2022·天津·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:23)A(cid:28)B(cid:28)C(cid:143)(cid:155)(cid:81)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a(cid:46)b(cid:46)c.(cid:177)(cid:77)
1
a= 6,b=2c,cosA=- .
4
(1)(cid:42)c(cid:81)(cid:70)(cid:185)
(2)(cid:42)sinB(cid:81)(cid:70)(cid:185)
(3)(cid:42)sin(2A-B)(cid:81)(cid:70).
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)c=1
10
(2)sinB=
4
10
(3)sin(2A-B)=
8
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)a2 =b2+c2-2bccosA(cid:105)(cid:48)b=2c(cid:21)(cid:111)(cid:188)(cid:206)(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:99)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:10)1(cid:11)(cid:148)(cid:42)(cid:99)b=2(cid:46)(cid:159)(cid:135)(cid:136)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:141)(cid:148)(cid:21)(cid:99)(cid:185)
(cid:10)3(cid:11)(cid:169)(cid:135)(cid:136)(cid:33)(cid:191)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:99)sin2A,cos2A(cid:46)(cid:159)(cid:135)(cid:136)(cid:173)(cid:23)(cid:198)(cid:81)(cid:16)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:99)(cid:115)
1
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:140)(cid:124)a2 =b2+c2-2bccosA(cid:46)(cid:141)6=b2+c2+ bc(cid:46)(cid:190)b=2c(cid:46)(cid:163)(cid:164)(cid:142)6=4c2+c2+c2(cid:46)(cid:21)(cid:142)(cid:153)
2
c=1(cid:115)
15 a b
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:10)1(cid:11)(cid:148)(cid:42)(cid:99)b=2(cid:46)(cid:190)0< A<π(cid:46)(cid:143)(cid:105)sinA= 1-cos2 A= (cid:46)(cid:150) = (cid:46)(cid:143)(cid:105)
4 sinA sinB
15
2´
bsinA 4 10 (cid:115)
sinB= = =
a 6 4
1 π π 15
(cid:10)3(cid:11)(cid:140)(cid:124)cosA=- (cid:46)(cid:143)(cid:105) < A<π(cid:46)(cid:151)0<B< (cid:46)(cid:150)sinA= 1-cos2 A= (cid:46) (cid:143)(cid:105)
4 2 2 4
æ 1ö 15 15 1 7 10
sin2A=2sinAcosA=2´ç- ÷´ =- (cid:46)cos2A=2cos2 A-1=2´ -1=- (cid:46)(cid:190)sinB= (cid:46)(cid:143)(cid:105)
è 4ø 4 8 16 8 4
6
cosB= 1-sin2B = (cid:46)
4
æ 15ö 6 7 10 10
(cid:151)sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=ç- ÷´ + ´ = (cid:115)
ç ÷
8 4 8 4 8
è ø考点 02 三角形面积公式
1(cid:115)（2022·浙江·高考真题）(cid:234)(cid:32)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:74)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:46)(cid:244)(cid:100)(cid:245)(cid:233)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:49)(cid:42)(cid:61)(cid:62)(cid:81)(cid:63)(cid:64)(cid:46)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:111)
(cid:112)(cid:250)(cid:124)“(cid:22)(cid:251)(cid:42)(cid:62)”(cid:46)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:245)(cid:234)(cid:32)(cid:255)(cid:256)(cid:74)(cid:239)(cid:81)(cid:89)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:115)(cid:122)(cid:260)(cid:247)(cid:248)(cid:257)(cid:111)(cid:112)(cid:261)(cid:231)(cid:63)(cid:64)(cid:46)(cid:262)(cid:92)
1 é æc2+a2-b2 ö 2ù
S = êc2a2-ç ÷ ú(cid:46)(cid:263)(cid:93)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:92)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:22)(cid:49)(cid:46)S(cid:92)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:115)(cid:199)(cid:264)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:22)(cid:49)
4ê è 2 ø ú
ë û
a= 2,b= 3,c=2(cid:46)(cid:126)(cid:265)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:61)(cid:62)S=___________(cid:115)
23
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133) .
4
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:135)(cid:136)(cid:13)(cid:93)(cid:143)(cid:266)(cid:81)(cid:63)(cid:64)(cid:163)(cid:70)(cid:21)(cid:99)(cid:115)
1 é æc2+a2-b2 ö 2ù 1é æ4+2-3ö 2ù 23
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:140)(cid:124)S = êc2a2-ç ÷ ú(cid:46)(cid:143)(cid:105)S = ê4´2-ç ÷ ú = (cid:115)
4ê
ë
è 2 ø ú
û
4êë è 2 ø úû 4
23
(cid:151)(cid:131)(cid:132)(cid:124)(cid:153) .
4
3
2(cid:115)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:177)(cid:77)cosB= (cid:46)cos2A+C+sinAsinC =1(cid:115)
4
(1)(cid:226)(cid:227)(cid:153)VABC(cid:124)(cid:267)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:185)
7
(2)(cid:157)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:124) (cid:46)(cid:42)VABC(cid:81)(cid:90)(cid:91)(cid:115)
4
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)(cid:228)(cid:21)(cid:134)
(2)3+ 2
7
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)cos(A+C)=-cosB(cid:46)(cid:101)(cid:108)(cid:13)(cid:199)(cid:142)(cid:99)sinAsinC = (cid:46)(cid:170)(cid:162)(cid:145)(cid:173)(cid:23)(cid:68)(cid:81)(cid:17)(cid:18)(cid:229)(cid:214)(cid:142)(cid:161)cosAcosC<0(cid:46)
16
(cid:189)(cid:190)(cid:142)(cid:21)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:169)(cid:268)(cid:99)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:81)(cid:165)(cid:24)(cid:64)S =2R2sinAsinBsinC(cid:46)(cid:21)(cid:142)R(cid:46)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:189)(cid:190)(cid:142)(cid:99)b(cid:46)(cid:170)(cid:162)(cid:269)
VABC
(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:68)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:81)(cid:181)(cid:175)a,c(cid:81)(cid:111)(cid:188)(cid:206)(cid:42)(cid:21).
3
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:226)(cid:227)(cid:153)(cid:145)A+B+C=π(cid:46)(cid:126)cos(A+C)=-cosB=- (cid:46)
4
9 7
(cid:150)cos2(A+C)+sinAsinC =1(cid:46)(cid:142) +sinAsinC =1(cid:46)(cid:126)sinAsinC = (cid:46)
16 16
3
(cid:145)(cid:173)(cid:23)(cid:68)(cid:81)(cid:17)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:46)cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC =- (cid:46)
4
7 5
(cid:101)(cid:108)sinAsinC = (cid:148)(cid:77)cosAcosC =- <0(cid:46)
16 16
(cid:126)cosA,cosC(cid:270)(cid:271)(cid:46)(cid:217)(cid:170)(cid:89)(cid:257)(cid:124)(cid:200)(cid:46)(cid:89)(cid:257)(cid:124)(cid:16).
(cid:150)A,CÎ(0,π)(cid:46)(cid:141)A,C(cid:93)(cid:217)(cid:160)(cid:89)(cid:257)(cid:92)(cid:267)(cid:23)(cid:185)(cid:10)2(cid:11)(cid:111)(cid:112)(cid:89)(cid:153)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:46)
1 1
S = absinC = (2RsinA)(2RsinB)sinC =2R2sinAsinBsinC(cid:46)
VABC 2 2
(cid:10)R(cid:92)VABC(cid:272)(cid:147)(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:11)
7 æ3ö 2 7 7 7 7 2 14
(cid:150)sinAsinC = (cid:46)sinB= 1-ç ÷ = (cid:46)(cid:126) =2R2× (cid:46)(cid:21)(cid:142)R= (cid:46)
16 è4ø 4 4 64 7
7
(cid:150)sinB= (cid:46)(cid:126)b=2RsinB= 2(cid:46)
4
3
(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)b2 =a2+c2-2accosB(cid:46)(cid:141)a2+c2- ac=2(cid:46)
2
1 7 7
(cid:150) acsinB= ac= (cid:46)(cid:126)ac=2(cid:46)
2 8 4
3
(cid:175)(cid:92)a2+c2- ac=2(cid:46)(cid:141)a2+c2 =5(cid:46)
2
(a+c)2 =a2+2ac+c2 =9(cid:46)(cid:21)(cid:142)a+c=3(cid:46)
(cid:151)VABC(cid:90)(cid:91)(cid:124)a+c+b=3+ 2.
(cid:111)(cid:112)(cid:33)(cid:153)(cid:145)cos2A+C+sinAsinC =1(cid:46)(cid:126)cos2B+sinAsinC =1(cid:46)
(cid:141)sinAsinC =1-cos2B=sin2B(cid:46)
(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)(cid:46)ac=b2(cid:46)
1 1 7 7
(cid:145)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:46)S = acsinB= ac´ = (cid:46)
VABC 2 2 4 4
(cid:142)(cid:161)ac=2(cid:46)(cid:126)b= 2(cid:46)(cid:263)(cid:17)(cid:180)(cid:38).
1
3(cid:115)（2025·北京·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)cosA=- ,asinC =4 2(cid:115)
3
(1)(cid:42)c(cid:81)(cid:70)(cid:185)
(2)(cid:159)(cid:233)(cid:178)(cid:179) (cid:28)(cid:178)(cid:179) (cid:28)(cid:178)(cid:179) (cid:248)(cid:22)(cid:257)(cid:178)(cid:179)(cid:93)(cid:152)(cid:276)(cid:89)(cid:257)(cid:277)(cid:124)(cid:177)(cid:77)(cid:46)(cid:278)(cid:142)VABC(cid:279)(cid:144)(cid:46)(cid:42)BC(cid:49)(cid:38)(cid:81)(cid:65)(cid:115)
(cid:178)(cid:179) (cid:153)a= ① 6(cid:185)(cid:178)(cid:179)②(cid:153)asin ③ B= 10 2 (cid:185)(cid:178)(cid:179) (cid:153)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:124)10 2(cid:115)
3
(cid:130)(cid:131)①(cid:132)(cid:133)(1)6 ② ③
20 2 20 2
(2)(cid:152) (cid:46)VABC(cid:76)(cid:279)(cid:144)(cid:185)(cid:152) (cid:46)(cid:65)(cid:124) (cid:185)(cid:152) (cid:46)(cid:65)(cid:124) .
9 9
(cid:130)(cid:5)(cid:134)①(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)(cid:222)(cid:111)(cid:181)(cid:182)(cid:28)②(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:21)(cid:185)③(cid:144)(cid:46)(cid:167)(cid:148)(cid:145)(cid:57)(cid:61)(cid:62)(cid:112)(cid:42)(cid:21)AD.
1 2 2
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:140)(cid:124)cosA=- ,AÎ0,π(cid:46)(cid:143)(cid:105)sinA= 1-cos2 A = (cid:46)
3 3
2 2
(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:160)asinC =csinA= c=4 2(cid:46)(cid:21)(cid:142)c=6(cid:185)
3
(cid:10)2(cid:11)(cid:122)(cid:123)(cid:143)(cid:283)(cid:46)(cid:157)VABC(cid:279)(cid:144)(cid:46)(cid:126)(cid:199)(cid:263)BC(cid:49)(cid:38)(cid:81)(cid:65)(cid:124)AD(cid:46)
1
(cid:157)(cid:152) (cid:46)a=6(cid:46)(cid:140)(cid:124)c=6(cid:46)(cid:143)(cid:105)C = A(cid:46)(cid:140)(cid:124)cosA=- <0(cid:46)(cid:248)(cid:284)(cid:227)(cid:176)(cid:213)(cid:22)(cid:23)(cid:24)ABC(cid:160)(cid:173)(cid:257)(cid:267)(cid:23)(cid:46)
3
(cid:190)(cid:248)①(cid:92)(cid:76)(cid:148)(cid:209)(cid:81)(cid:46)(cid:143)(cid:105)(cid:176)(cid:213)VABC(cid:76)(cid:279)(cid:144)(cid:46)(cid:151)BC(cid:49)(cid:38)(cid:81)(cid:65)(cid:285)(cid:76)(cid:279)(cid:144)(cid:185)
10 2
10 2 b 5
(cid:157)(cid:152) (cid:46)asinB= (cid:46)(cid:145)asinC =4 2(cid:160)sinB 3 5(cid:46)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142) = ,(cid:143)(cid:105)b=5(cid:46)
3 = = c 6
sinC 4 2 6
②
æ 1ö
(cid:143)(cid:105)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)a= b2+c2-2bccosA = 25+36-2´5´6´ç- ÷ =9,
è 3ø
(cid:176)(cid:213)(cid:22)(cid:23)(cid:24)ABC(cid:92)(cid:279)(cid:144)(cid:81)(cid:46)(cid:167)(cid:286)(cid:89)(cid:197)(cid:19)(cid:46)
1 1 1 2 2 1
(cid:143)(cid:105)S = bcsinA= BC·AD,(cid:141) ´5´6´ = ´9AD(cid:46)
VABC 2 2 2 3 2
20 2
(cid:143)(cid:105)BC(cid:49)(cid:38)(cid:81)(cid:65)AD= (cid:185)
9
1 1 2 2
(cid:157)(cid:152) (cid:46)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:92)10 2(cid:46)(cid:126)S = bcsinA= b´6´ =10 2(cid:46)
VABC 2 2 3
③
æ 1ö
(cid:21)(cid:142)b=5(cid:46)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)a= b2+c2-2bccosA= 25+36-2×5×6×ç- ÷ =9(cid:148)(cid:105)(cid:286)(cid:89)(cid:197)(cid:19)(cid:46)
è 3ø
(cid:189)(cid:89)(cid:287)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)cosB,cosC(cid:285)(cid:148)(cid:105)(cid:286)(cid:89)(cid:197)(cid:19)(cid:46)(cid:141)B,C(cid:148)(cid:105)(cid:286)(cid:89)(cid:197)(cid:19)(cid:46)
1 9 20 2
(cid:248)(cid:284)(cid:227)(cid:176)(cid:213)(cid:22)(cid:23)(cid:24)ABC(cid:92)(cid:279)(cid:144)(cid:81)(cid:46)(cid:167)BC(cid:49)(cid:38)(cid:81)(cid:65)(cid:288)(cid:289)(cid:153)S = a×AD= AD=10 2(cid:46)(cid:141)AD= .
VABC 2 2 9
4(cid:115)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:154)VABC(cid:81)(cid:59)(cid:23)A(cid:28)B(cid:28)C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:46)(cid:177)(cid:77)sinC = 2cosB(cid:46)
a2+b2-c2 = 2ab
(1)(cid:42)B(cid:185)
(2)(cid:157)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:124)3+ 3(cid:46)(cid:42)c(cid:115)
π
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)B=
3(2)2 2
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:28)(cid:222)(cid:111)(cid:181)(cid:182)(cid:290)(cid:291)(cid:42)(cid:99)cosC,sinC(cid:46)(cid:69)(cid:162)(cid:101)(cid:108)(cid:177)(cid:77)sinC = 2cosB(cid:142)cosB(cid:81)(cid:70)(cid:141)(cid:148)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:168)(cid:169)(cid:42)(cid:99)A,B,C(cid:46)(cid:170)(cid:162)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:292)a,b(cid:293)(cid:83)(cid:84)(cid:160)c(cid:81)(cid:64)(cid:294)(cid:284)(cid:283)(cid:46)(cid:101)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:141)(cid:148)(cid:269)(cid:111)(cid:188)
(cid:42)(cid:21).
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:160)a2+b2-c2 =2abcosC(cid:46)(cid:155)(cid:295)(cid:177)(cid:77)a2+b2-c2 = 2ab(cid:46)
a2+b2-c2 2ab 2
(cid:148)(cid:142)cosC = = = (cid:46)
2ab 2ab 2
(cid:140)(cid:124)CÎ0,π(cid:46)(cid:143)(cid:105)sinC >0(cid:46)
2
æ 2ö 2
(cid:233)(cid:190)sinC = 1-cos2C = 1-ç ÷ = (cid:46)
ç ÷
2 2
è ø
1
(cid:150)(cid:140)(cid:124)sinC = 2cosB(cid:46)(cid:141)cosB= (cid:46)
2
(cid:109)(cid:149)(cid:161)BÎ0,π(cid:46)
π
(cid:143)(cid:105)B= .
3
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:10)1(cid:11)(cid:148)(cid:142)B= π (cid:46)cosC = 2 (cid:46)CÎ0,π(cid:46)(cid:233)(cid:190)C = π (cid:46)A=π- π - π = 5π (cid:46)
3 2 4 3 4 12
æ5πö æπ πö 2 3 2 1 6+ 2
(cid:190)sinA=sinç ÷=sinç + ÷= ´ + ´ = (cid:46)
è12ø è4 6ø 2 2 2 2 4
a b c
= =
(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:160) 5π π π (cid:46)
sin sin sin
12 3 4
6+ 2 3+1 3 6
(cid:233)(cid:190)a= × 2c= c,b= × 2c= c(cid:46)
4 2 2 2
(cid:145)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:148)(cid:77)(cid:46)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:148)(cid:284)(cid:283)(cid:124)
1 1 3+1 6 2 3+ 3
S = absinC = × c× c× = c2(cid:46)
VABC 2 2 2 2 2 8
3+ 3
(cid:145)(cid:177)(cid:77)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:124)3+ 3(cid:46)(cid:148)(cid:142) c2 =3+ 3(cid:46)
8
(cid:143)(cid:105)c=2 2.
3
5(cid:115)（2024·北京·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:59)(cid:23)A,B,C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a,b,c(cid:46)ÐA(cid:124)(cid:267)(cid:23)(cid:46)a=7(cid:46)sin2B= bcosB(cid:115)
7
(1)(cid:42)ÐA(cid:185)
(2)(cid:233)(cid:178)(cid:179) (cid:28)(cid:178)(cid:179) (cid:28)(cid:178)(cid:179) (cid:248)(cid:22)(cid:257)(cid:178)(cid:179)(cid:93)(cid:152)(cid:276)(cid:89)(cid:257)(cid:277)(cid:124)(cid:177)(cid:77)(cid:46)(cid:278)(cid:142)VABC(cid:279)(cid:144)(cid:46)(cid:42)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:115)
13 5
(cid:178)(cid:179) (cid:153)① b=7(cid:185)(cid:178)②(cid:179) (cid:153)co③sB= (cid:185)(cid:178)(cid:179) (cid:153)csinA= 3(cid:115)
14 2
① ② ③(cid:109)(cid:153)(cid:122)(cid:260)(cid:152)(cid:276)(cid:81)(cid:178)(cid:179)(cid:76)(cid:296)(cid:108)(cid:297)(cid:42)(cid:46)(cid:298)(cid:10)2(cid:11)(cid:56)(cid:142)0(cid:5)(cid:185)(cid:122)(cid:260)(cid:152)(cid:276)(cid:55)(cid:257)(cid:296)(cid:108)(cid:297)(cid:42)(cid:81)(cid:178)(cid:179)(cid:5)(cid:156)(cid:21)(cid:131)(cid:46)(cid:299)(cid:298)(cid:89)(cid:257)(cid:21)
(cid:131)(cid:137)(cid:5)(cid:115)
2π
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)A= (cid:185)
3
15 3
(2)(cid:152)(cid:276) (cid:300)(cid:21)(cid:185)(cid:152)(cid:276) (cid:68) ABC(cid:61)(cid:62)(cid:293)(cid:124) .
4
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)①(cid:10)1(cid:11)(cid:158)(cid:83)(cid:16)②(cid:18)(cid:19)(cid:20)③(cid:141)△(cid:148)(cid:42)(cid:99)(cid:131)(cid:132)(cid:185)
p 3 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:152)(cid:276) (cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)B= (cid:46)(cid:101)(cid:108)(cid:10)1(cid:11)(cid:56)(cid:131)(cid:132)(cid:141)(cid:148)(cid:301)(cid:302)(cid:185)(cid:152)(cid:276) (cid:46)(cid:168)(cid:169)(cid:42)(cid:99)sinB= (cid:46)(cid:159)(cid:163)
3 14
(cid:164)(cid:64)(cid:294)(cid:142)b ① =3(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:173)(cid:23)(cid:68)(cid:81)(cid:16)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:99)sinC(cid:46)(cid:69)(cid:162)(cid:158)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)②(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:141)(cid:148)(cid:185)(cid:152)(cid:276) (cid:46)(cid:168)(cid:169)(cid:142)
(cid:161)c=5(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)(cid:161)sinC = 5 3 (cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:173)(cid:23)(cid:68)(cid:81)(cid:16)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:99)sinB(cid:46)(cid:69)(cid:162)(cid:158)(cid:83)③(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)
14
(cid:63)(cid:64)(cid:141)(cid:148)(cid:185)
3
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)(cid:13)(cid:149)(cid:142)2sinBcosB= bcosB(cid:46)(cid:140)(cid:124)A(cid:124)(cid:267)(cid:23)(cid:46)
7
b 2 a 7
3 = = = 3
(cid:126)cosB¹0(cid:46)(cid:126)2sinB= b(cid:46)(cid:126)sinB 3 sinA sinA(cid:46)(cid:21)(cid:142)sinA= (cid:46)
7 2
7
2π
(cid:140)(cid:124)A(cid:124)(cid:267)(cid:23)(cid:46)(cid:126)A= .
3
3 3 3 2π p
(cid:10)2(cid:11)(cid:152)(cid:276) b=7(cid:46)(cid:126)sinB= b= ´7= (cid:46)(cid:140)(cid:124)A= (cid:46)(cid:126)B(cid:124)(cid:195)(cid:23)(cid:46)(cid:126)B= (cid:46)
14 14 2 3 3
(cid:176)(cid:213)A+B ① = π(cid:46)(cid:76)(cid:108)(cid:13)(cid:149)(cid:46)(cid:193)(cid:303)(cid:185)
13 æ13ö 2 3 3
(cid:152)(cid:276) cosB= (cid:46)(cid:140)(cid:124)B(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:59)(cid:23)(cid:46)(cid:126)sinB= 1-ç ÷ = (cid:46)
14 è14ø 14
②
3 3 3 3
(cid:126)(cid:163)(cid:164)2sinB= b(cid:142)2´ = b(cid:46)(cid:21)(cid:142)b=3(cid:46)
7 14 7
æ2π ö 2π 2π
sinC =sinA+B=sinç +B÷=sin cosB+cos sinB
è 3 ø 3 3
3 13 æ 1ö 3 3 5 3
= ´ +ç- ÷´ = ,
2 14 è 2ø 14 14
1 1 5 3 15 3
(cid:126)S = absinC = ´7´3´ = .
VABC 2 2 14 4
5 3 5
(cid:152)(cid:276) csinA= 3(cid:46)(cid:126)(cid:160)c´ = 3(cid:46)(cid:21)(cid:142)c=5(cid:46)
2 2 2
③ 7 5
a c = 5 3
(cid:126)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142) = (cid:46)(cid:141) 3 sinC (cid:46)(cid:21)(cid:142)sinC = (cid:46)
sinA sinC 14
22
æ5 3ö 11
(cid:140)(cid:124)C(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:59)(cid:23)(cid:46)(cid:126)cosC = 1-ç ÷ = (cid:46)
ç ÷
14 14
è ø
æ2π ö 2π 2π
(cid:126)sinB=sinA+C=sinç +C÷=sin cosC+cos sinC
è 3 ø 3 3
3 11 æ 1ö 5 3 3 3
= ´ +ç- ÷´ = (cid:46)
2 14 è 2ø 14 14
1 1 3 3 15 3
(cid:126)S = acsinB= ´7´5´ =
△ABC 2 2 14 4
6(cid:115)（2023·上海·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:59)(cid:23)A(cid:28)B(cid:28)C(cid:143)(cid:155)(cid:81)(cid:49)(cid:124)a(cid:28)b(cid:28)c(cid:46)(cid:263)(cid:93)b=2
(1)(cid:157)A+C=60°(cid:46)(cid:167)a=2c(cid:46)(cid:42)(cid:49)(cid:91)c(cid:81)(cid:70)(cid:185)
(2)(cid:157)A-C =30°(cid:46)a= 2csinA(cid:46)(cid:42)S .
VABC
2 7
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)
7
3+3
(2)
3
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:42)(cid:99)B(cid:135)(cid:136)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:21)(cid:185)
1
(cid:10)2(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:99)C(cid:48)c(cid:46)(cid:159)(cid:145)S = bcsinA(cid:42)(cid:61)(cid:62)(cid:141)(cid:148).
VABC 2
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:140)(cid:124)A+C=60°(cid:46)(cid:143)(cid:105)B=180°-(A+C)=120°(cid:46)
a2+c2-b2 4c2+c2-4 1
(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)cosB= = =- (cid:46)
2´a´c 2´2c´c 2
2 7
(cid:21)(cid:142)c= .
7
a c
(cid:10)2(cid:11)(cid:140)(cid:124)a= 2csinA(cid:46)(cid:143)(cid:105) = = 2c(cid:46)(cid:143)(cid:105)C =45°
sinA sinC
(cid:140)(cid:124)A-C =30°(cid:46)(cid:143)(cid:105)A=75°(cid:46)B=60°(cid:46)
bsinC 2 6
(cid:143)(cid:105)c= = (cid:46)
sinB 3
6+ 2
sinA=sin75°=sin45°cos30°+cos45°sin30°= (cid:46)
4
1 1 2 6 6+ 2 3+3
(cid:143)(cid:105)S = bcsinA= ´2´ ´ = .
VABC 2 2 3 4 3
b2+c2-a2
7(cid:115)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:154)VABC(cid:81)(cid:59)(cid:23)A,B,C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a,b,c(cid:46)(cid:177)(cid:77) =2(cid:115)
cosA
(1)(cid:42)bc(cid:185)
acosB-bcosA b
(2)(cid:157) - =1(cid:46)(cid:42)VABC(cid:61)(cid:62)(cid:115)
acosB+bcosA c
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)13
(2)
4
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:141)(cid:148)(cid:21)(cid:99)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:10)1(cid:11)(cid:148)(cid:77)(cid:46)(cid:304)(cid:305)(cid:42)(cid:99)sin A(cid:141)(cid:148)(cid:142)(cid:161)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:46)(cid:155)(cid:57)(cid:64)(cid:306)(cid:57)(cid:165)(cid:166)(cid:46)(cid:141)(cid:148)(cid:21)(cid:99)(cid:115)
b2+c2-a2 2bccosA
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:140)(cid:124)a2 =b2+c2-2bccosA(cid:46)(cid:143)(cid:105) = =2bc=2(cid:46)(cid:21)(cid:142)(cid:153)bc=1(cid:115)
cosA cosA
acosB-bcosA b sinAcosB-sinBcosA sinB
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142) - = -
acosB+bcosA c sinAcosB+sinBcosA sinC
sinA-B sinB sinA-B-sinB
= - = =1(cid:46)
sinA+B sinA+B sinA+B
(cid:165)(cid:24)(cid:148)(cid:142)(cid:153)sinA-B-sinA+B=sinB(cid:46)(cid:141)-2cosAsinB=sinB(cid:46)
1 3
(cid:190)0<sinB(cid:307)1(cid:46)(cid:143)(cid:105)cosA=- (cid:46)(cid:150)0< A<π(cid:46)(cid:143)(cid:105)sinA= (cid:46)
2 2
1 1 3 3
(cid:151)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:124)S = bcsinA= ´1´ = (cid:115)
△ABC 2 2 2 4
8(cid:115)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:177)(cid:77)ÐBAC =120°(cid:46)AB=2(cid:46)AC =1.
(1)(cid:42)sinÐABC(cid:185)
(2)(cid:157)D(cid:124)BC(cid:38)(cid:89)(cid:4)(cid:46)(cid:167)ÐBAD=90°(cid:46)(cid:42)VADC(cid:81)(cid:61)(cid:62).
21
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1) (cid:185)
14
3
(2) .
10
5 7
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(1)(cid:168)(cid:169)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:142)(cid:49)(cid:91)BC(cid:81)(cid:70)(cid:124)BC = 7(cid:46)(cid:170)(cid:162)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)cosB= (cid:46)(cid:69)(cid:162)(cid:145)(cid:180)(cid:23)
14
21
(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:74)(cid:43)(cid:44)(cid:181)(cid:182)(cid:148)(cid:142)sinB= (cid:185)
14
S 1
(2)(cid:145)(cid:13)(cid:149)(cid:148)(cid:142) (cid:308)ABD =4(cid:46)(cid:126)S = S (cid:46)(cid:136)(cid:176)(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:142)VADC(cid:81)(cid:61)(cid:62).
S (cid:308)ACD 5 (cid:308)ABC
(cid:308)ACD
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)(cid:153)
BC2 =a2 =b2+c2-2bccosA
=4+1-2´2´1´cos120o =7(cid:46)
a2+c2-b2 7+4-1 5 7
(cid:126)BC = 7(cid:46)cosB= = = (cid:46)
2ac 2´2´ 7 14
25 21
sinÐABC = 1-cos2B = 1- = .
28 141
´AB´AD´sin90o
S 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:148)(cid:142) (cid:308)ABD = =4(cid:46)
S 1
(cid:308)ACD ´AC´AD´sin30o
2
1 1 æ1 ö 3
(cid:126)S (cid:308)ACD = 5 S (cid:308)ABC = 5 ´ç è2 ´2´1´sin120o ÷ ø = 10 .
9(cid:115)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:177)(cid:77)(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)A+B=3C,2sinA-C=sinB(cid:115)
(1)(cid:42)sinA(cid:185)
(2)(cid:199)AB=5(cid:46)(cid:42)AB(cid:49)(cid:38)(cid:81)(cid:65)(cid:115)
3 10
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)
10
(2)6
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:23)(cid:81)(cid:181)(cid:182)(cid:48)(cid:173)(cid:23)(cid:68)(cid:198)(cid:16)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:46)(cid:51)(cid:186)(cid:141)(cid:148)(cid:142)(cid:21)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:158)(cid:83)(cid:180)(cid:23)(cid:225)(cid:216)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:74)(cid:43)(cid:44)(cid:181)(cid:182)(cid:48)(cid:173)(cid:23)(cid:68)(cid:81)(cid:16)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:42)sinB,(cid:159)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:99)b(cid:46)(cid:135)(cid:136)(cid:57)(cid:61)(cid:62)(cid:112)
(cid:42)(cid:21)(cid:141)(cid:148).
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)QA+B=3C(cid:46)
π
\π-C =3C(cid:46)(cid:141)C = (cid:46)
4
(cid:150)2sin(A-C)=sinB=sin(A+C)(cid:46)
\2sinAcosC-2cosAsinC =sinAcosC+cosAsinC(cid:46)
\sinAcosC =3cosAsinC(cid:46)
\sinA=3cosA(cid:46)
π
(cid:141)tanA=3(cid:46)(cid:143)(cid:105)0< A< (cid:46)
2
3 3 10
\sinA= = .
10 10
1 10
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:10)1(cid:11)(cid:77)(cid:46)cosA= = (cid:46)
10 10
2 3 10 10 2 5
(cid:145)sinB=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC = ( + )= (cid:46)
2 10 10 5
2 5
5´
c b 5
(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:46) = (cid:46)(cid:148)(cid:142)b= =2 10(cid:46)
sinC sinB 2
21 1
\ AB×h= AB×AC×sinA(cid:46)
2 2
3 10
\h=b×sinA=2 10´ =6.
10
10(cid:115)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:154)VABC(cid:81)(cid:59)(cid:23)A,B,C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a,b,c(cid:46)(cid:177)(cid:77)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:124) 3(cid:46)D
(cid:124)BC(cid:93)(cid:4)(cid:46)(cid:167)AD=1(cid:115)
π
(1)(cid:157)ÐADC = (cid:46)(cid:42)tanB(cid:185)
3
(2)(cid:157)b2+c2 =8(cid:46)(cid:42)b,c(cid:115)
3
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1) (cid:185)
5
(2)b=c=2.
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:111)(cid:112)1(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:99)a(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:21)(cid:277)(cid:131)(cid:185)(cid:111)(cid:112)2(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)
(cid:64)(cid:42)(cid:99)a(cid:46)(cid:277)(cid:99)BC(cid:49)(cid:38)(cid:81)(cid:65)(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:146)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:21)(cid:277)(cid:131).
(cid:10)2(cid:11)(cid:111)(cid:112)1(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:99)a(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:99)ÐADC(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:21)(cid:277)(cid:131)(cid:185)(cid:111)(cid:112)2(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:75)(cid:45)(cid:184)
(cid:138)(cid:15)(cid:309)(cid:232)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:99)a(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:99)ÐADC(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:21)(cid:277)(cid:131).
π
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:111)(cid:112)1(cid:153)(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:140)(cid:124)D(cid:124)BC(cid:93)(cid:4)(cid:46)ÐADC = (cid:46)AD=1(cid:46)
3
1 1 1 3 3 1 3
(cid:126)S = AD×DCsinÐADC = ´1´ a´ = a= S = (cid:46)(cid:21)(cid:142)a=4(cid:46)
VADC 2 2 2 2 8 2 VABC 2
2π
(cid:144)VABD(cid:93)(cid:46)ÐADB= (cid:46)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)c2 =BD2+AD2-2BD×ADcosÐADB(cid:46)
3
1 7+4-1 5 7
(cid:141)c2 =4+1-2´2´1´(- )=7(cid:46)(cid:21)(cid:142)c= 7(cid:46)(cid:126)cosB= = (cid:46)
2 2 7´2 14
5 7 21
sinB= 1-cos2B = 1-( )2 = (cid:46)
14 14
sinB 3
(cid:143)(cid:105)tanB= = .
cosB 5
π
(cid:111)(cid:112)2(cid:153)(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:140)(cid:124)D(cid:124)BC(cid:93)(cid:4)(cid:46)ÐADC = (cid:46)AD=1(cid:46)
3
1 1 1 3 3 1 3
(cid:126)S = AD×DCsinÐADC = ´1´ a´ = a= S = (cid:46)(cid:21)(cid:142)a=4(cid:46)
VADC 2 2 2 2 8 2 VABC 2(cid:144)VACD(cid:93)(cid:46)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)b2 =CD2+AD2-2CD×ADcosÐADC(cid:46)
1
(cid:141)b2 =4+1-2´2´1´ =3(cid:46)(cid:21)(cid:142)b= 3(cid:46)(cid:160)AC2+AD2 =4=CD2(cid:46)(cid:126)ÐCAD= π(cid:46)
2 2
π 3 3 5
C = (cid:46)(cid:310)A(cid:277)AE^BC(cid:175)E(cid:46)(cid:175)(cid:92)CE= ACcosC = ,AE= ACsinC = (cid:46)BE= (cid:46)
6 2 2 2
AE 3
(cid:143)(cid:105)tanB= = .
BE 5
ì 1 1
c2 = a2+1-2´ a´1´cos(π-ÐADC)
ï
ï 4 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:111)(cid:112)1(cid:153)(cid:144)VABD(cid:72)VACD(cid:93)(cid:46)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)í (cid:46)
1 1
ïb2 = a2+1-2´ a´1´cosÐADC
ïî 4 2
1
(cid:174)(cid:20)(cid:142) a2+2=b2+c2(cid:46)(cid:190)b2+c2 =8(cid:46)(cid:126)a=2 3(cid:46)
2
1 3 π
(cid:150)S = ´ 3´1´sinÐADC = (cid:46)(cid:21)(cid:142)sinÐADC =1(cid:46)(cid:190)0<ÐADC<π(cid:46)(cid:175)(cid:92)ÐADC = (cid:46)
VADC 2 2 2
(cid:143)(cid:105)b=c= AD2+CD2 =2.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(cid:111)(cid:112)2(cid:153)(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:140)(cid:124)D(cid:124)BC(cid:93)(cid:4)(cid:46)(cid:126)2AD= AB+AC(cid:46)(cid:150)CB= AB-AC(cid:46)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(cid:175)(cid:92)4AD 2 +CB 2 =(AB+AC)2+(AB-AC)2 =2(b2+c2)=16(cid:46)(cid:141)4+a2 =16(cid:46)(cid:21)(cid:142)a=2 3(cid:46)
1 3 π
(cid:150)S = ´ 3´1´sinÐADC = (cid:46)(cid:21)(cid:142)sinÐADC =1(cid:46)(cid:190)0<ÐADC<π(cid:46)(cid:175)(cid:92)ÐADC = (cid:46)
VADC 2 2 2
(cid:143)(cid:105)b=c= AD2+CD2 =2.
11(cid:115)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:154)VABC(cid:81)(cid:59)(cid:23)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:46)(cid:5)(cid:156)(cid:105)a(cid:46)b(cid:46)c
3 1
(cid:124)(cid:49)(cid:91)(cid:81)(cid:22)(cid:257)(cid:16)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:290)(cid:291)(cid:124)S ,S ,S (cid:46)(cid:177)(cid:77)S -S +S = ,sinB= (cid:115)
1 2 3 1 2 3 2 3
(1)(cid:42)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:185)
2
(2)(cid:157)sinAsinC = (cid:46)(cid:42)b(cid:115)
3
2
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)
8
1
(2)
2
3
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:169)(cid:284)(cid:283)(cid:99)S ,S ,S (cid:46)(cid:159)(cid:145)S -S +S = (cid:42)(cid:142)a2+c2-b2 =2(cid:46)(cid:101)(cid:108)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:48)(cid:222)(cid:111)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:142)
1 2 3 1 2 3 2
ac(cid:46)(cid:159)(cid:145)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:21)(cid:141)(cid:148)(cid:185)
b2 ac
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142) = (cid:46)(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:21).
sin2B sinAsinC
1 3 3 3 3
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)(cid:13)(cid:149)(cid:142)S = ×a2× = a2,S = b2,S = c2(cid:46)(cid:126)
1 2 2 4 2 4 3 43 3 3 3
S -S +S = a2- b2+ c2 = (cid:46)
1 2 3 4 4 4 2
a2+c2-b2 1
(cid:141)a2+c2-b2 =2(cid:46)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)cosB= (cid:46)(cid:174)(cid:20)(cid:142)accosB=1(cid:46)(cid:126)cosB>0(cid:46)(cid:150)sinB= (cid:46)
2ac 3
æ1ö 2 2 2 1 3 2 1 2
(cid:126)cosB= 1-ç ÷ = (cid:46)ac= = (cid:46)(cid:126)S = acsinB= (cid:185)
è3ø 3 cosB 4 VABC 2 8
3 2
b a c b2 a c ac 4 9 b 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)(cid:153) = = (cid:46)(cid:126) = × = = = (cid:46)(cid:126) = (cid:46)
sinB sinA sinC sin2B sinA sinC sinAsinC 2 4 sinB 2
3
3 1
b= sinB= .
2 2
12(cid:115)（2022·北京·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)sin2C = 3sinC(cid:115)
(1)(cid:42)ÐC(cid:185)
(2)(cid:157)b=6(cid:46)(cid:167)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:124)6 3(cid:46)(cid:42)VABC(cid:81)(cid:90)(cid:91)(cid:115)
p
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)
6
(2)6+6 3
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:158)(cid:83)(cid:33)(cid:191)(cid:23)(cid:81)(cid:16)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:51)(cid:186)(cid:148)(cid:142)cosC(cid:81)(cid:70)(cid:46)(cid:101)(cid:108)(cid:23)C(cid:81)(cid:127)(cid:70)(cid:128)(cid:129)(cid:148)(cid:42)(cid:142)(cid:23)C(cid:81)(cid:70)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:158)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:148)(cid:42)(cid:142)a(cid:81)(cid:70)(cid:46)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:42)(cid:142)c(cid:81)(cid:70)(cid:46)(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:142)VABC(cid:81)(cid:90)(cid:91).
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:21)(cid:153)(cid:140)(cid:124)CÎ0,p(cid:46)(cid:126)sinC >0(cid:46)(cid:145)(cid:177)(cid:77)(cid:148)(cid:142) 3sinC =2sinCcosC(cid:46)
3 p
(cid:148)(cid:142)cosC = (cid:46)(cid:140)(cid:176)(cid:46)C = .
2 6
1 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:21)(cid:153)(cid:145)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:148)(cid:142)S = absinC = a=6 3(cid:46)(cid:21)(cid:142)a=4 3.
VABC 2 2
3
(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)c2 =a2+b2-2abcosC =48+36-2´4 3´6´ =12(cid:46)\c=2 3(cid:46)
2
(cid:143)(cid:105)(cid:46)VABC(cid:81)(cid:90)(cid:91)(cid:124)a+b+c=6 3+6.
3
13(cid:115)（2022·浙江·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:23)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:143)(cid:155)(cid:81)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:115)(cid:177)(cid:77)4a= 5c,cosC = (cid:115)
5
(1)(cid:42)sin A(cid:81)(cid:70)(cid:185)
(2)(cid:157)b=11(cid:46)(cid:42)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:115)
5
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1) (cid:185)
5
(2)22(cid:115)(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:169)(cid:145)(cid:222)(cid:111)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:99)sinC(cid:46)(cid:159)(cid:135)(cid:136)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:141)(cid:148)(cid:21)(cid:99)(cid:185)
a2+b2-c2 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:81)(cid:268)(cid:187)cosC = (cid:105)(cid:48)4a= 5c(cid:148)(cid:21)(cid:99)a(cid:46)(cid:141)(cid:148)(cid:145)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)S = absinC
2ab 2
(cid:42)(cid:99)(cid:61)(cid:62)(cid:115)
3 4
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)(cid:175)cosC = (cid:46) 0<C<π(cid:46)(cid:126)sinC = (cid:115)(cid:140)(cid:124)4a= 5c(cid:46)
5 5
5 5
(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:77)4sinA= 5sinC(cid:46)(cid:126)sinA= sinC = (cid:115)
4 5
16 a2
a2+121- a2 11-
(cid:10)2(cid:11)(cid:140)(cid:124)4a= 5c(cid:46)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:142) a2+b2-c2 5 5 3(cid:46)
cosC = = = =
2ab 22a 2a 5
4
(cid:141)a2+6a-55=0(cid:46)(cid:21)(cid:142)a=5(cid:46)(cid:190)sinC = (cid:46)b=11(cid:46)
5
1 1 4
(cid:143)(cid:105)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)S = absinC = ´5´11´ =22(cid:115)
2 2 5
考点 03 解三角形的应用（含几何和实际应用）
1(cid:115)（2024·上海·高考真题）(cid:177)(cid:77)(cid:4)B(cid:144)(cid:4)C(cid:16)(cid:25)(cid:111)(cid:75)(cid:46)(cid:4)D(cid:144)(cid:4)C(cid:81)(cid:16)(cid:311)(cid:111)(cid:75)(cid:46)BC =CD,(cid:279)(cid:144)(cid:4)A(cid:288)(cid:289)
ÐBAC =16.5°,ÐDAC =37°(cid:46)(cid:126)ÐBCA=______((cid:312)(cid:197)(cid:161)0.1(cid:96))
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)7.8°
CA CD
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:199)ÐBCA=q(cid:46)(cid:144)VDCA(cid:68)VBCA(cid:93)(cid:5)(cid:156)(cid:158)(cid:83)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)(cid:161) = (cid:46)
sinD sinÐCAD
CA CB
=
sin  q+16.5o  sin16.5o (cid:46)(cid:173)(cid:64)(cid:107)(cid:302)(cid:141)(cid:148)(cid:142)(cid:161)(cid:131)(cid:132).
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:199)ÐBCA=q,ÐACD=90o-q(cid:46)
CA CD
(cid:144)VDCA(cid:93)(cid:46)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142) = (cid:46)
sinD sinÐCAD
CA CD
=
(cid:141) siné180o-  90o-q+37.0o ù sin37.0o ’
ë ûCA CD
=
(cid:141) sin  90o-q+37.0o  sin37.0o
①
CA CB
(cid:144)VBCA(cid:93)(cid:46)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142) = (cid:46)
sinB sinÐCAB
CA CB CA CB
= =
(cid:141) siné180o-  q+16.5o ù sin16.5o (cid:46)(cid:141) sin  q+16.5o  sin16.5o (cid:46)
ë û
②
 
(cid:313) sin 90o-q+37.0o sin37.0o
(cid:140)(cid:124)CD=CB(cid:46) (cid:142) = (cid:46)
(cid:314) sin  q+16.5o  sin16.5o
(cid:158)(cid:83)(cid:137)(cid:138)(cid:315)(cid:141)(cid:148)(cid:142)q»7.8o(cid:46)
(cid:151)(cid:131)(cid:132)(cid:124)(cid:153)7.8o.
2(cid:115)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)ÐBAC =60°,AB=2,BC = 6(cid:46)ÐBAC(cid:81)(cid:23)(cid:222)(cid:5)(cid:106)(cid:79)BC(cid:175)
D(cid:46)(cid:126)AD=_________(cid:115)
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)2
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:111)(cid:112)(cid:89)(cid:153)(cid:158)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:99)AC(cid:46)(cid:159)(cid:135)(cid:136)(cid:57)(cid:61)(cid:62)(cid:112)(cid:42)(cid:99)AD(cid:185)
(cid:111)(cid:112)(cid:33)(cid:153)(cid:158)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:99)AC(cid:46)(cid:159)(cid:135)(cid:136)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:99)B,C(cid:46)(cid:141)(cid:148)(cid:135)(cid:136)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:316)(cid:317)(cid:42)(cid:99)(cid:115)
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)
(cid:122)(cid:123)(cid:143)(cid:283)(cid:153)(cid:154)AB=c,AC =b,BC =a(cid:46)
(cid:111)(cid:112)(cid:89)(cid:153)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)(cid:46)22+b2-2´2´b´cos60o =6(cid:46)
(cid:140)(cid:124)b>0(cid:46)(cid:21)(cid:142)(cid:153)b=1+ 3(cid:46)
(cid:145)S =S +S (cid:148)(cid:142)(cid:46)
VABC VABD VACD
1 1 1
´2´b´sin60o = ´2´AD´sin30o+ ´AD´b´sin30o(cid:46)
2 2 2
 
2 3 1+ 3
3b
AD= = =2
(cid:21)(cid:142)(cid:153) (cid:115)
b 3+ 3
1+
2
(cid:151)(cid:131)(cid:132)(cid:124)(cid:153)2(cid:115)(cid:111)(cid:112)(cid:33)(cid:153)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)(cid:46)22+b2-2´2´b´cos60o =6(cid:46)(cid:140)(cid:124)b>0(cid:46)(cid:21)(cid:142)(cid:153)b=1+ 3(cid:46)
6 b 2 6+ 2 2
(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142)(cid:46) = = (cid:46)(cid:21)(cid:142)(cid:153)sinB= (cid:46)sinC = (cid:46)
sin60o sinB sinC 4 2
(cid:140)(cid:124)1+ 3> 6 > 2(cid:46)(cid:143)(cid:105)C =45o(cid:46)B=180o-60o-45o =75o(cid:46)
(cid:150)ÐBAD=30o(cid:46)(cid:143)(cid:105)ÐADB=75o(cid:46)(cid:141)AD= AB=2(cid:115)
(cid:151)(cid:131)(cid:132)(cid:124)(cid:153)2(cid:115)
(cid:130)(cid:4)(cid:183)(cid:133)(cid:44)(cid:13)(cid:318)(cid:319)(cid:107)(cid:155)(cid:295)(cid:320)(cid:186)(cid:321)(cid:46)(cid:322)(cid:148)(cid:105)(cid:158)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:21)(cid:210)(cid:23)(cid:222)(cid:5)(cid:106)(cid:56)(cid:13)(cid:46)(cid:285)(cid:148)(cid:105)(cid:83)(cid:23)(cid:222)(cid:5)(cid:19)(cid:323)
(cid:101)(cid:108)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:28)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:21)(cid:46)(cid:77)(cid:78)(cid:113)(cid:209)(cid:3)(cid:41)(cid:71)(cid:14)(cid:115)
AC
3(cid:115)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:177)(cid:77)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:4)D(cid:144)(cid:49)BC(cid:38)(cid:46)ÐADB=120°,AD=2,CD=2BD(cid:115)(cid:324)
AB
(cid:127)(cid:142)(cid:69)(cid:325)(cid:70)(cid:213)(cid:46)BD=________(cid:115)
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133) 3-1/-1+ 3
AC2
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:199)CD=2BD=2m>0(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:284)(cid:283)(cid:99) (cid:162)(cid:46)(cid:101)(cid:108)(cid:43)(cid:44)(cid:76)(cid:57)(cid:64)(cid:141)(cid:148)(cid:142)(cid:21).
AB2
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)[(cid:111)(cid:112)(cid:89)](cid:153)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:199)CD=2BD=2m>0(cid:46)
(cid:126)(cid:144)VABD(cid:93)(cid:46)AB2 =BD2+AD2-2BD×ADcosÐADB=m2+4+2m(cid:46)
(cid:144)VACD(cid:93)(cid:46)AC2 =CD2+AD2-2CD×ADcosÐADC =4m2+4-4m(cid:46)
AC2 4m2+4-4m 4  m2+4+2m  -121+m 12
= = =4-
(cid:143)(cid:105) AB2 m2+4+2m m2+4+2m 3
m+1+
m+1
12
³4- =4-2 3
3 (cid:46)
2 m+1×
m+1
3
(cid:324)(cid:167)(cid:326)(cid:324)m+1= (cid:141)m= 3-1(cid:213)(cid:46)(cid:57)(cid:271)(cid:231)(cid:232)(cid:46)
m+1
AC
(cid:143)(cid:105)(cid:324) (cid:127)(cid:69)(cid:325)(cid:70)(cid:213)(cid:46)m= 3-1.
AB
(cid:151)(cid:131)(cid:132)(cid:124)(cid:153) 3-1.[(cid:111)(cid:112)(cid:33)](cid:153)(cid:309)(cid:182)(cid:112)
(cid:327) BD=t(cid:46)(cid:105)D(cid:124)(cid:230)(cid:4)(cid:46)OC(cid:124)x(cid:319)(cid:46)(cid:309)(cid:232)(cid:222)(cid:61)(cid:146)(cid:23)(cid:328)(cid:36)(cid:182).
(cid:126)C(cid:10)2t,0(cid:11)(cid:46)A(cid:10)1(cid:46) 3(cid:11)(cid:46)B(cid:10)-t,0(cid:11)
AC2 2t-12 +3 4t2-4t+4 12
\ = = =4- ³4-2 3
AB2 t+12 +3 t2+2t+4 t+1+ 3
t+1
(cid:324)(cid:167)(cid:326)(cid:324)t+1= 3,(cid:141)BD= 3-1(cid:213)(cid:57)(cid:271)(cid:231)(cid:232)(cid:329)
[(cid:111)(cid:112)(cid:22)](cid:153)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:199)BD=x,CD=2x.(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)
ìc2 =x2+4+2x
í (cid:46)\2c2+b2 =12+6x2(cid:46)
îb2 =4+4x2-4x
ìc2 =x2+4+2x
í (cid:46)\2c2+b2 =12+6x2(cid:46)
îb2 =4+4x2-4x
AC
(cid:327) =t(cid:46)(cid:126)2c2+t2c2 =12+6x2(cid:46)
AB
æ ö
12+6x2 12+6x2 ç 2 ÷
\t2+2= = =6ç1- ÷³6-2 3(cid:46)
c2 x2+2x+4 3
ç x+1+ ÷
è x+1ø
\t2 ³4-2 3(cid:46)
3
(cid:324)(cid:167)(cid:326)(cid:324)x+1= (cid:46)(cid:141)x= 3-1(cid:213)(cid:57)(cid:271)(cid:231)(cid:232).
x+1
[(cid:111)(cid:112)(cid:218)](cid:153)(cid:52)(cid:156)(cid:64)(cid:112)
(cid:199)BD=x(cid:46)(cid:126)CD=2x
(cid:144)VABD(cid:93)(cid:46)AB2 =BD2+AD2-2BD×ADcosÐADB=x2+4+2x(cid:46)
(cid:144)VACD(cid:93)(cid:46)AC2 =CD2+AD2-2CD×ADcosÐADC =4x2+4-4x(cid:46)
AC2 4x2+4-4x 4x2+4-4x
(cid:143)(cid:105) = (cid:46)(cid:154)t = (cid:46)
AB2 x2+4+2x x2+4+2x(cid:126)4-tx2-4+2tx+4-4t=0
(cid:145)(cid:111)(cid:188)(cid:160)(cid:21)(cid:142)(cid:153)=4+2t2-44-t4-4t³0
(cid:141)t2-8t+4£0(cid:46)(cid:21)(cid:142)(cid:153)4-2 3£t£4+2 3
2+t
(cid:143)(cid:105)t =4-2 3(cid:46)(cid:176)(cid:213)x= = 3-1
min 4-t
AC
(cid:143)(cid:105)(cid:324) (cid:127)(cid:69)(cid:325)(cid:70)(cid:213)(cid:46)x= 3-1(cid:46)(cid:141)BD= 3-1.
AB
3
4(cid:115)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:177)(cid:77)(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)AB=3(cid:46)BC =2 3(cid:46)cosB= (cid:115)
3
(1)(cid:42)cosA(cid:185)
(2)(cid:199)D(cid:46)E(cid:173)(cid:4)(cid:288)(cid:289)(cid:153)D(cid:144)BA(cid:81)(cid:330)(cid:91)(cid:106)(cid:38)(cid:46)DE//BC(cid:46)AE^ AC(cid:115)(cid:157)DE= 6(cid:46)(cid:42)CE(cid:115)
1
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)
3
(2)3 5
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)(cid:177)(cid:77)(cid:173)(cid:49)(cid:48)(cid:331)(cid:23)(cid:46)(cid:169)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:298)(cid:22)(cid:49)AC(cid:46)(cid:159)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)cosA(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:309)(cid:232)(cid:328)(cid:36)(cid:182)(cid:46)(cid:199)(cid:99)(cid:4)D(cid:328)(cid:36)(cid:46)(cid:145)(cid:222)(cid:203)(cid:181)(cid:182)(cid:142)(cid:4)E(cid:81)(cid:328)(cid:36)(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:332)(cid:146)(cid:178)(cid:179)(cid:42)(cid:333)(cid:74)(cid:46)(cid:145)DE(cid:91)(cid:96)(cid:21)(cid:99)t(cid:46)
(cid:159)(cid:137)(cid:138)CE.
3
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)AB=3(cid:46)BC =2 3(cid:46)cosB= .
3
3
(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:77)AC2 = AB2+BC2-2×AB×BC×cosB=9+12-2´3´2 3´ =9(cid:46)
3
AB2+AC2-BC2 9+9-12 6 1
(cid:151)AC =3. (cid:159)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)cosA= = = = .
2×AB×AC 2´3´3 18 3
uuur
(cid:10)2(cid:11)(cid:105)A(cid:124)(cid:230)(cid:4)(cid:46)AB(cid:124)x(cid:319)(cid:16)(cid:111)(cid:75)(cid:309)(cid:232)(cid:222)(cid:61)(cid:146)(cid:23)(cid:328)(cid:36)(cid:182)(cid:122)(cid:123)(cid:153)
1  
(cid:126)A(0,0)(cid:46)B(3,0)(cid:46)(cid:145)AC =3(cid:46)cosA= (cid:142)C 1,2 2 .
3
uuur
 
D(cid:144)BA(cid:330)(cid:91)(cid:106)(cid:38)(cid:46)(cid:199)AD=t >0(cid:46)(cid:126)D(-t,0)(cid:46)BC = -2,2 2 (cid:46)DE//BC(cid:46)
uuur    
(cid:199)DE=l -2,2 2 (cid:46)(cid:126)E -t-2l,2 2l .
(cid:145)AE^ AC(cid:46)(cid:142) u A u E ur × u A u C ur =0(cid:46)(cid:151)-t-2l´1+  2 2l  ´2 2 =0Þ-t+6l=0Þl= t .
6uuur t 3
(cid:175)(cid:92)DE= l× BC = ´2 3= t.
6 3
3 2
(cid:177)(cid:77)DE= 6(cid:46)(cid:126) t = 6Þt =3 2(cid:46)(cid:126)l= .
3 2
   
(cid:163)(cid:164)(cid:142)E -4 2,2 (cid:46)(cid:190)C 1,2 2 (cid:46)
 2  2    
(cid:151)CE= 1+4 2 + 2 2-2 = 33+8 2 + 12-8 2 = 45 =3 5.
5(cid:115)（2025·上海·高考真题）(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:23)A(cid:28)B(cid:28)C(cid:143)(cid:155)(cid:81)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a(cid:28)b(cid:28)c(cid:46)(cid:167)c=5(cid:115)
a sinB π
(1)(cid:157) = ,C = (cid:46)(cid:42)a(cid:185)
4b sinA 2
(2)(cid:157)ab=20(cid:46)(cid:42)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:81)(cid:69)(cid:196)(cid:70)(cid:115)
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)a=2 5
5 55
(2)
4
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:23)(cid:51)(cid:49)(cid:101)(cid:108)(cid:334)(cid:335)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:21)(cid:141)(cid:148)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:101)(cid:108)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:21)(cid:141)(cid:148)(cid:185)
a sinB b
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:148)(cid:142) = = ,(cid:141)a=2b(cid:46)
4b sinA a
π
(cid:150)C = (cid:46)(cid:143)(cid:105)a2+b2 =c2 =25(cid:46)(cid:141)5b2 =25(cid:46)(cid:21)(cid:142)b= 5(cid:46)
2
(cid:143)(cid:105)a=2 5.
1
(cid:10)2(cid:11)(cid:140)(cid:124)S = absinC =10sinC(cid:46)(cid:167)ab=20(cid:46)c=5(cid:46)
VABC 2
a2+b2-c2 2ab-25 3
(cid:143)(cid:105)cosC = ³ = (cid:46)(cid:324)(cid:167)(cid:326)(cid:324)a=b=2 5(cid:213)(cid:57)(cid:271)(cid:231)(cid:232)(cid:46)
2ab 2ab 8
æ3ö 2 55
(cid:324)cosC(cid:127)(cid:69)(cid:325)(cid:70)(cid:213)(cid:46)sinC(cid:127)(cid:69)(cid:196)(cid:70)(cid:46)(cid:69)(cid:196)(cid:70)sinC = 1-ç ÷ = (cid:46)
max è8ø 8
5 55
(cid:143)(cid:105)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:81)(cid:69)(cid:196)(cid:70)(cid:124) .
4
6(cid:115)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:154)VABC(cid:81)(cid:59)(cid:23)A,B,C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a,b,c(cid:46)(cid:177)(cid:77)VABC(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:124) 3(cid:46)D
(cid:124)BC(cid:93)(cid:4)(cid:46)(cid:167)AD=1(cid:115)
π
(1)(cid:157)ÐADC = (cid:46)(cid:42)tanB(cid:185)
3
(2)(cid:157)b2+c2 =8(cid:46)(cid:42)b,c(cid:115)
3
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1) (cid:185)
5(2)b=c=2.
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:111)(cid:112)1(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:99)a(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:21)(cid:277)(cid:131)(cid:185)(cid:111)(cid:112)2(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)
(cid:64)(cid:42)(cid:99)a(cid:46)(cid:277)(cid:99)BC(cid:49)(cid:38)(cid:81)(cid:65)(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:146)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:21)(cid:277)(cid:131).
(cid:10)2(cid:11)(cid:111)(cid:112)1(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:99)a(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:99)ÐADC(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:21)(cid:277)(cid:131)(cid:185)(cid:111)(cid:112)2(cid:46)(cid:158)(cid:83)(cid:75)(cid:45)(cid:184)
(cid:138)(cid:15)(cid:309)(cid:232)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:99)a(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:99)ÐADC(cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:21)(cid:277)(cid:131).
π
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:111)(cid:112)1(cid:153)(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:140)(cid:124)D(cid:124)BC(cid:93)(cid:4)(cid:46)ÐADC = (cid:46)AD=1(cid:46)
3
1 1 1 3 3 1 3
(cid:126)S = AD×DCsinÐADC = ´1´ a´ = a= S = (cid:46)(cid:21)(cid:142)a=4(cid:46)
VADC 2 2 2 2 8 2 VABC 2
2π
(cid:144)VABD(cid:93)(cid:46)ÐADB= (cid:46)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)c2 =BD2+AD2-2BD×ADcosÐADB(cid:46)
3
1 7+4-1 5 7
(cid:141)c2 =4+1-2´2´1´(- )=7(cid:46)(cid:21)(cid:142)c= 7(cid:46)(cid:126)cosB= = (cid:46)
2 2 7´2 14
5 7 21
sinB= 1-cos2B = 1-( )2 = (cid:46)
14 14
sinB 3
(cid:143)(cid:105)tanB= = .
cosB 5
π
(cid:111)(cid:112)2(cid:153)(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:140)(cid:124)D(cid:124)BC(cid:93)(cid:4)(cid:46)ÐADC = (cid:46)AD=1(cid:46)
3
1 1 1 3 3 1 3
(cid:126)S = AD×DCsinÐADC = ´1´ a´ = a= S = (cid:46)(cid:21)(cid:142)a=4(cid:46)
VADC 2 2 2 2 8 2 VABC 2
(cid:144)VACD(cid:93)(cid:46)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)b2 =CD2+AD2-2CD×ADcosÐADC(cid:46)
1
(cid:141)b2 =4+1-2´2´1´ =3(cid:46)(cid:21)(cid:142)b= 3(cid:46)(cid:160)AC2+AD2 =4=CD2(cid:46)(cid:126)ÐCAD= π(cid:46)
2 2
π 3 3 5
C = (cid:46)(cid:310)A(cid:277)AE^BC(cid:175)E(cid:46)(cid:175)(cid:92)CE= ACcosC = ,AE= ACsinC = (cid:46)BE= (cid:46)
6 2 2 2
AE 3
(cid:143)(cid:105)tanB= = .
BE 5
ì 1 1
c2 = a2+1-2´ a´1´cos(π-ÐADC)
ï
ï 4 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:111)(cid:112)1(cid:153)(cid:144)VABD(cid:72)VACD(cid:93)(cid:46)(cid:145)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142)í (cid:46)
1 1
ïb2 = a2+1-2´ a´1´cosÐADC
ïî 4 2
1
(cid:174)(cid:20)(cid:142) a2+2=b2+c2(cid:46)(cid:190)b2+c2 =8(cid:46)(cid:126)a=2 3(cid:46)
21 3 π
(cid:150)S = ´ 3´1´sinÐADC = (cid:46)(cid:21)(cid:142)sinÐADC =1(cid:46)(cid:190)0<ÐADC<π(cid:46)(cid:175)(cid:92)ÐADC = (cid:46)
VADC 2 2 2
(cid:143)(cid:105)b=c= AD2+CD2 =2.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(cid:111)(cid:112)2(cid:153)(cid:144)VABC(cid:93)(cid:46)(cid:140)(cid:124)D(cid:124)BC(cid:93)(cid:4)(cid:46)(cid:126)2AD= AB+AC(cid:46)(cid:150)CB= AB-AC(cid:46)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(cid:175)(cid:92)4AD 2 +CB 2 =(AB+AC)2+(AB-AC)2 =2(b2+c2)=16(cid:46)(cid:141)4+a2 =16(cid:46)(cid:21)(cid:142)a=2 3(cid:46)
1 3 π
(cid:150)S = ´ 3´1´sinÐADC = (cid:46)(cid:21)(cid:142)sinÐADC =1(cid:46)(cid:190)0<ÐADC<π(cid:46)(cid:175)(cid:92)ÐADC = (cid:46)
VADC 2 2 2
(cid:143)(cid:105)b=c= AD2+CD2 =2.
cosA sin2B
7(cid:115)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:154)VABC(cid:81)(cid:59)(cid:23)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:81)(cid:155)(cid:49)(cid:5)(cid:156)(cid:124)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:46)(cid:177)(cid:77) = (cid:115)
1+sinA 1+cos2B
2p
(1)(cid:157)C = (cid:46)(cid:42)B(cid:185)
3
a2 + b2
(2)(cid:42) (cid:81)(cid:69)(cid:325)(cid:70)(cid:115)
c2
π
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1) (cid:185)
6
(2)4 2-5(cid:115)
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:111)(cid:112)(cid:89)(cid:153)(cid:146)(cid:147)(cid:135)(cid:136)(cid:336)(cid:42)(cid:284)(cid:337)(cid:64)(cid:165)(cid:24)(cid:204)(cid:20)(cid:46)(cid:111)(cid:112)(cid:33)(cid:153)(cid:169)(cid:33)(cid:191)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:204)(cid:20)(cid:57)(cid:64)(cid:338)(cid:49)(cid:46)(cid:144)(cid:165)(cid:24)(cid:46)(cid:111)
π
(cid:112)(cid:22)(cid:153)(cid:135)(cid:136)(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:64)(cid:148)(cid:292)(cid:13)(cid:339)(cid:180)(cid:102)(cid:204)(cid:20)(cid:46)(cid:101)(cid:108)(cid:172)(cid:74)(cid:52)(cid:53)(cid:321)(cid:340)(cid:341)(cid:46)(cid:268)(cid:77)A+2B= (cid:141)(cid:148)(cid:42)(cid:21)(cid:46)(cid:111)(cid:112)(cid:218)(cid:153)(cid:135)(cid:136)(cid:274)
2
(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:68)(cid:173)(cid:23)(cid:198)(cid:81)(cid:16)(cid:342)(cid:63)(cid:64)(cid:51)(cid:186)(cid:162)(cid:42)(cid:21).
π π a2 + b2
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:10)1(cid:11)(cid:77)(cid:46)C = +B(cid:46)A= -2B(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:105)(cid:48)(cid:33)(cid:191)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:292) (cid:51)(cid:231)
2 2 c2
2
4cos2B+ -5(cid:46)(cid:170)(cid:162)(cid:158)(cid:83)(cid:43)(cid:44)(cid:76)(cid:57)(cid:64)(cid:141)(cid:148)(cid:21)(cid:99)(cid:115)
cos2B
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:111)(cid:112)(cid:89)(cid:153)(cid:146)(cid:147)(cid:112)
cosA sin2B
= (cid:148)(cid:142)cosAcos2B+cosA=sin2B+sinAsin2B(cid:46)
1+sinA 1+cos2B
(cid:126)cosAcos2B-sinAsin2B+cosA=sin2B(cid:46)(cid:141)cos(A+2B)+cosA=sin2B(cid:46)
π π π
(cid:109)(cid:149)(cid:161)A+B= (cid:46)(cid:175)(cid:92)cos( +B)+cos( -B)=sin2B(cid:46)
3 3 3
π 1
(cid:229)(cid:214)(cid:148)(cid:142)2cos cosB=2sinBcosB(cid:46)(cid:126)sinB= (cid:46)
3 2
π π
(cid:150)0<B< (cid:46)B= .
3 6
(cid:111)(cid:112)(cid:33)(cid:153)(cid:33)(cid:191)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:204)(cid:20)+(cid:146)(cid:147)(cid:112)
cosA sin2B 2sinBcosB sinB
(cid:140)(cid:124) = = = (cid:46)
1+sinA 1+cos2B 2cos2B cosB1
(cid:141)sinB=cosAcosB-sinAsinB=cosA+B=-cosC = (cid:46)
2
π π
(cid:190)0<B< (cid:46)(cid:143)(cid:105)B= (cid:185)
3 6
(cid:111)(cid:112)(cid:22)(cid:153)(cid:172)(cid:74)(cid:180)(cid:102)(cid:112)
æπ ö
cosç -2B÷
cosA sin2B cosA è2 ø
(cid:135)(cid:136) = (cid:148)(cid:77)(cid:46) = (cid:46)
1+sinA 1+cos2B 1+sinA æπ ö
1+sinç -2B÷
è2 ø
cosx π -sinx(1+sinx)-cos2x 1
(cid:199) f(x)= (0<x< )(cid:46) f¢(x)= =- <0(cid:46)
1+sinx 2 (1+sinx)2 1+sinx
æπ ö
cosç -2B÷
æ πö cosA è2 ø æπ ö
(cid:126) f(x)(cid:144)ç0, ÷(cid:38)(cid:321)(cid:340)(cid:343)(cid:344)(cid:46) = Û f(A)= f ç -2B÷(cid:46)
è 2ø 1+sinA æπ ö è2 ø
1+sinç -2B÷
è2 ø
π π π
(cid:151)A+2B= (cid:46)(cid:101)(cid:108)A+B= (cid:46)(cid:21)(cid:142)B= .
2 3 6
(cid:111)(cid:112)(cid:218)(cid:153)(cid:306)(cid:57)(cid:165)(cid:166)(cid:51)(cid:186)
A A A A
cos2 -sin2 cos -sin
cosA sin2B 2 2 2sinBcosB 2 2
= Û = Û =tanB
1+sinA 1+cos2B æ ç è cos A 2 +sin A 2 ö ÷ ø 2 2cos2B cos A 2 +sin A 2
A
1-tan
2 æπ Aö
Û =tanBÛtanç - ÷=tanB(cid:46)
A è4 2ø
1+tan
2
π A π
(cid:101)(cid:108)(cid:16)(cid:342)(cid:73)(cid:74)(cid:81)(cid:321)(cid:340)(cid:341)(cid:46) - =B(cid:46)(cid:126)A+2B= (cid:46)
4 2 2
π π
(cid:101)(cid:108)A+B= (cid:46)(cid:21)(cid:142)B= .
3 6
π π
(cid:10)2(cid:11)(cid:145)(cid:10)1(cid:11)(cid:77)(cid:46)sinB=-cosC >0(cid:46)(cid:143)(cid:105) <C<π,0<B< (cid:46)
2 2
æ πö
(cid:190)sinB=-cosC =sinçC- ÷(cid:46)
è 2ø
π π æ pö æp 3pö
(cid:143)(cid:105)C = +B(cid:46)(cid:141)(cid:160)A= -2B(cid:46)(cid:143)(cid:105)BÎç0, ÷,CÎç , ÷
2 2 è 4ø è 2 4 ø
a2+b2 sin2 A+sin2B cos22B+1-cos2B
(cid:143)(cid:105)(cid:145)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:142) = =
c2 sin2C cos2B
 2cos2B-1 2 +1-cos2B
2
= =4cos2B+ -5³2 8-5=4 2-5 (cid:115)
cos2B cos2B
2 a2 + b2
(cid:324)(cid:167)(cid:326)(cid:324)cos2B= (cid:213)(cid:127)(cid:57)(cid:271)(cid:46)(cid:143)(cid:105) (cid:81)(cid:69)(cid:325)(cid:70)(cid:124)4 2-5(cid:115)
2 c28(cid:115)（2022·上海·高考真题）(cid:144)(cid:122)(cid:123)(cid:143)(cid:283)(cid:81)(cid:7)(cid:49)(cid:24)(cid:93)(cid:46)AD=BC =6(cid:46)AB=20(cid:46)O(cid:124)AB(cid:93)(cid:4)(cid:46)(cid:345)(cid:106)CMD(cid:38)
(cid:346)(cid:89)(cid:4)(cid:161)O(cid:347)(cid:348)(cid:107)(cid:57)(cid:46)(cid:23)ÐDAB=ÐABC =120°(cid:46)P(cid:46)Q(cid:181)(cid:175)OM(cid:155)(cid:250)(cid:185)
(1)(cid:157)(cid:4)P(cid:72)(cid:4)C(cid:110)(cid:108)(cid:46)(cid:42)ÐPOB(cid:81)(cid:196)(cid:325)(cid:185)
(2)(cid:42)(cid:7)(cid:49)(cid:24)MQABP(cid:61)(cid:62)S(cid:81)(cid:69)(cid:196)(cid:70)(cid:46)
3 3
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(1)arcsin
14
(2)28 74
(cid:130)(cid:5)(cid:134)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:158)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:42)(cid:99)OC(cid:46)(cid:159)(cid:158)(cid:83)(cid:16)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:141)(cid:148)(cid:142)(cid:99)(cid:131)(cid:132)(cid:185)
(cid:10)2(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:13)(cid:149)(cid:148)(cid:142)S =S ,S =S (cid:46)(cid:126)S =2  S +S  (cid:46)(cid:199)ÐQOM =ÐPOM =a(cid:46)
VQOM VPOM VAOQ VBOP (cid:7)(cid:49)(cid:24)MQABP VAOQ VQOM
p
(cid:126)ÐAOQ=ÐBOP= -a(cid:46)(cid:135)(cid:136)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:101)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:74)(cid:81)(cid:341)(cid:349)(cid:141)(cid:148)(cid:142)(cid:99)(cid:131)(cid:132).
2
(cid:130)(cid:139)(cid:21)(cid:133)(cid:10)1(cid:11)(cid:21)(cid:153)(cid:157)(cid:4)P(cid:72)(cid:4)C(cid:110)(cid:108)(cid:46)(cid:350)(cid:147)OC(cid:46)
OB=10,BC =BP=6,ÐABC =120°(cid:46)
(cid:144)VOBP(cid:93)(cid:46)OC2 =OB2+BP2-2OB×BPcosÐOBP=100+36+60=196(cid:46)
(cid:143)(cid:105)OC =14(cid:46)
BC OC
(cid:140)(cid:124) = (cid:46)
sinÐPOB sinÐOBP
3
6´
(cid:143)(cid:105) BC×sinÐOBP 2 3 3 (cid:46)
sinÐPOB= = =
OC 14 14
3 3
(cid:143)(cid:105)ÐPOB=arcsin (cid:185)
14
(cid:10)2(cid:11)(cid:21)(cid:153)(cid:350)(cid:147)QA,PB,OQ,OP(cid:46)(cid:140)(cid:124)(cid:345)(cid:106)CMD(cid:38)(cid:346)(cid:89)(cid:4)(cid:161)O(cid:347)(cid:348)(cid:107)(cid:57)(cid:46)
(cid:143)(cid:105)OP=OQ=OM =OC =14(cid:46)
(cid:140)(cid:124)P(cid:46)Q(cid:181)(cid:175)OM(cid:155)(cid:250)(cid:46)
(cid:143)(cid:105)S =S ,S =S (cid:46)
VQOM VPOM VAOQ VBOP
p
(cid:199)ÐQOM =ÐPOM =a(cid:46)(cid:126)ÐAOQ=ÐBOP= -a(cid:46)
2
 
(cid:126)S =2 S +S
(cid:7)(cid:49)(cid:24)MQABP VAOQ VQOM
é1 æp ö 1 ù
=2
ê
OQ×OA×sinç -a÷+ OQ×OMsina
ú
ë2 è 2 ø 2 û
=196sina+140cosa
5
=28 74sina+j(cid:46)(cid:263)(cid:93)tanj= (cid:46)
7
(cid:324)sina+j=1(cid:213)(cid:46)S (cid:127)(cid:142)(cid:69)(cid:196)(cid:70)28 74(cid:46)
(cid:7)(cid:49)(cid:24)MQABP
(cid:143)(cid:105)(cid:7)(cid:49)(cid:24)MQABP(cid:61)(cid:62)S(cid:81)(cid:69)(cid:196)(cid:70)(cid:124)28 74.