文档内容
专题 7 勾股定理与面积问题（原卷版）
第一部分 典例剖析
类型一 利用面积求高
1．（2019秋•兰考县期末）一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（ ）
60
A． B．13 C．6 D．25
13
2．（2022秋•南岗区校级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为5．
（1）过点A画出线段BC的垂线段，垂足为点D；
（2）过点C画出线段AB的垂线，垂足为点E；
（3）直接写出点C到直线AB的距离为 ．
二、利用乘法公式求面积或长度
3．（2021秋•新会区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC+BC＝14cm，AB＝10cm，则Rt△ABC
的面积是 cm2．
4．（2011秋•涟源市校级期末）直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，则面积为（ ）
A．12cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2
5．若一个直角三角形的周长为30cm，面积为30cm2，则这个直角三角形的斜边长为 ．
6．（2022秋•卧龙区校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄
傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角
三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝30，大正方形的面积为16，则小正方形的
面积为 ．7．（2022秋•城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正
方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形 ABCDEFGH．若该
图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积．
类型三 利用割补法求面积
8．（2022春•麒麟区期末）如图，某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在空地上种植草皮．经测量，
∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，AD＝24m．
（1）求这块四边形空地的面积；
（2）若每平方米草皮需要200元，则种植这片草皮需要多少元？
9．（2021春•饶平县校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝60°，AD＝2√5，CD＝4．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求四边形ABCD的面积．类型四 利用“勾股弦图”或“勾股树”求面积
10．（2021•南浔区二模）如图是用三张大小各不相同的正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉
斯”图案．现有五张大小各不相同的正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三张，按如图
方式组成图案，所围成的Rt△ABC的面积可以为 ．
11．（2021秋•山亭区期中）如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的
正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为 ．
12．（2022秋•连云港期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，
如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角
形较长直角边长为a，短直角边长为b，若（a+b）2＝24，大正方形的面积为15，则小正方形的面积为
．第二部分 专题提优训练
1．（2017秋•简阳市期中）若Rt△ABC的两边长分别为6cm，8cm，则第三边长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm
2．（2021秋•郑州期末）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方
形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（ ）
A．169cm2 B．196cm2 C．338cm2 D．507cm2
3．（2020春•东西湖区期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，
以格点为顶点按下列要求画图：
（1）画一个△ABC，使AC=√5．BC＝2√5，AB＝5；
（2）若点D为AB的中点，则CD的长是 ；
（3）在（2）的条件下，直接写出点D到AC的距离为 ．
4．（2020秋•溧阳市期中）若直角三角形两直角边长分别为12和16，则斜边长为 ．
5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则CD＝ ．
6．（2021秋•莱阳市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝5√3，
CD＝3√3．则四边形ABCD的面积为 ．7．（2019春•南岗区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝1，AD=√6
，则四边形的面积为 ．
8．（2021秋•驻马店期末）如图所示的一块草坪，已知 AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，
BC＝36m，求这块草坪的面积．
9．（2022秋•城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个
正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形 ABCDEFGH．若
该图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积．
