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专题15 特殊平行四边形中的最值问题（解析版）
类型一 特殊四边形中求一条线段的最小值
1．（2021春•叶集区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是BC边上一点，将△ABE沿AE
折叠，使点B落在点B′处，连接CB′，则CB′的最小值是（ ）
A．√13-2 B．√13+2 C．√13-3 D．1
思路引领：由矩形的性质得出∠B＝90°，BC＝AD＝3，由折叠的性质得：AB'＝AB＝2，当A、B'、C三
点共线时，CB'的值最小，由勾股定理得出AC ，得出CB'＝AC﹣AB' 2．
=√AB2+BC2=√13 =√13-
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝AD＝3，
由折叠的性质得：AB'＝AB＝2，
当A、B'、C三点共线时，CB'的值最小，
此时AC ，
=√AB2+BC2=√22+32=√13
∴CB'＝AC﹣AB'=√13-2；
故选：A．
总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾
股定理是解题的关键．
类型二 特殊四边形中求一条线段的最大值
2．（2020•洪山区校级自主招生）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点E，F分别是边
AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的
最大距离为 ．思路引领：作AH⊥CD于H，由B，B'关于EF对称，推出BE＝EB'，当BE最小时，AE最大，根据垂线
段最短即可解决问题．
解：作AH⊥CD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB∥CD，∠D＝180°﹣∠BAD＝60°，
∵AD＝AB＝4，
∴AH＝AD•sin60°＝2√3，
∵B，B'关于EF对称，
∴BE＝B'E，
∴当BE最小时，AE最大，
根据垂线段最短可知，当EB'＝AH＝2√3时，BE的值最小，
∴AE的最大值为4﹣2√3，
故答案为：4﹣2√3．
总结提升：本题主要考查图形的翻折，熟练掌握菱形的性质，垂线段最短等知识是解题的关键．
类型三 特殊四边形中求线段和的最小值
3．（2019•红桥区二模）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，若AB＝
2，BC＝2√3，则PE+PB的最小值为（ ）
A．√3 B．3 C．2√3 D．6
思路引领：作E关于AC的对称点E'，连接BE'，则PE+PB的最小值即为BE'的长；由已知可求E'C=√33 √3 3√3
，∠ECE'＝60°；过点E'作E'G⊥BC，在Rt△E'CG中，E'G= ，CG= ，在Rt△BE'G中，BG=
2 2 2
，BE'＝3；
解：作E关于AC的对称点E'，连接BE'，
则PE+PB的最小值即为BE'的长；
∵AB＝2，BC＝2√3，E为BC的中点，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ECE'＝60°，
∵EC＝CE'，
∴E'C=√3，
过点E'作E'G⊥BC，
3 √3
在Rt△E'CG中，E'G= ，CG= ，
2 2
3√3
在Rt△BE'G中，BG= ，
2
∴BE'＝3；
∴PE+PB的最小值为3；
故选：B．
总结提升：本题考查矩形的性质，轴对称求最短距离；通过轴对称将PE+PB转化为线段BE'的长是解题
的关键．
4．（2018春•铜山区期中）如图，在菱形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为对角线
AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A．√3 B．2 C．1 D．5
思路引领：连接BD，DE，则DE的长即为PE+PB的最小值，再根据菱形ABCD中，∠ABC＝120°得出∠BCD的度数，进而判断出△BCD是等边三角形，故△CDE是直角三角形，根据勾股定理即可得出DE
的长．
解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是BC的中点，
1 1
∴DE⊥BC，CE= BC= ×2＝1，
2 2
∴DE ．
=√CD2-CE2=√22-12=√3
故选：A．
总结提升：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关
键．
5．（2022秋•龙华区期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=2√3，BD＝
2，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为 ．
思路引领：由两点之间线段最短，可得当点P在DE上时，PD+PE的值最小，最小值为DE的长，由菱
形的性质可得AO＝CO=√3，BO＝DO＝1，AC⊥BD，AB＝AD，由锐角三角函数可求∠ABO＝60°，可
证△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质可得DE⊥AB，即可求解．
解：如图，连接DE，交AC于点P，此时PD+PE的最小值为DE的长，∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO=√3，BO＝DO＝1，AC⊥BD，AB＝AD，
AO
∴ =√3，
BO
∴∠ABO＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
DE √3
∴ = ，
2 2
∴DE=√3，
故答案为：√3．
总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和
性质，锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求出∠ABD的度数是解题的关键．
6．（2022秋•桐柏县期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，连接EC、
GC．求EC+GC的最小值为 ．
思路引领：如图，连接AC与BD交于点O，过点C作l∥BD，点E关于l对称的对称点为M，连接
CM，GM，EM，EM与l的交点为N，与BD交点为P，则EM⊥l，EM⊥BD，CE＝CM，EN＝MN，求
出AC，NP，GP，PE，MN，PM的值，当G、C、M三点不共线时，有GC+CM＞GM；当G、C、M三
点共线时，有GC+CM＝GM；有EC+GC＝GC+CM≥GM，可知G、C、M三点共线时，EC+GC值最小，
在Rt△PGM中，由勾股定理得 ，根据EC+GC＝GM可得EC+GC的最小值．
GM=√GD2+PM2解：如图，连接 AC与BD交于点O，过点C作l∥BD，点E关于l对称的对称点为 M，连接CM，
GM，EM，EM与l的交点为N，与BD交点为P
则EM⊥l，EM⊥BD，CE＝CM，EN＝MN，
AB
∵AC= =4√2，
sin45°
1
∴两平行线的距离NP= AC=2√2，
2
∵EM⊥BD，
∴∠GEP＝45°，
∴GP=PE=EG×sin45°=2√2，
∴EN=EP+NP=4√2，
∴MN=EN=4√2，
∴PM=PN+MN=6√2，
当G、C、M三点不共线时，有GC+CM＞GM，
当G、C、M三点共线时，有GC+CM＝GM，
∴EC+GC＝GC+CM≥GM，
∴G、C、M三点共线时，EC+GC值最小，
在Rt△PGM中，由勾股定理得 ，
GM=√GD2+PM2=4√5
∴EC+GC的最小值为4√5，
故答案为：4√5．
总结提升：本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理，正弦值等知
识，对知识的灵活运用是解题的关键．
7．（2022•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，
连接EF，过点E作EG⊥EF交BC于点G．
（1）求证：EF＝GE；（2）若AB＝1，则AF+EF+CG的最小值为 ．
思路引领：（1）过点E作EH⊥BC于点H，可证△AEF≌△EGH，结论可得．
（2）根据△AEF≌△EGH 可得 AF＝HG，EF＝EG，则 CG+AF＝CH＝1，所以当 EG 值最小时，
AF+EF+CG值最小．即EG⊥BC时，AF+EF+CG值最小，即可求其值．
解：（1）如图，过点E作EH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥BC，∠A＝90°．
∴AB＝EH，∠A＝∠EHG＝∠AEH＝90°．
∴∠FEH+∠AEF＝90°．
∵EG⊥EF，
∴∠FEH+∠HEG＝90°．
∴∠AEF＝∠HEG．
∵AD＝2AB，AD＝2AE，
∴AE＝AB．
∴AE＝HE且∠AEF＝∠HEG，∠A＝∠EHG
∴△AEF≌△HEG．
∴EF＝GE．
（2）∵在矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝1
∴AD＝2，
∴AE＝DE＝1
∵∠D＝∠C＝90°，EH⊥BC
∴DCHE是矩形∴DE＝CH＝1
∵△AEF≌△EHG
∴AF＝HG，EF＝EG，EH＝AE＝1
∴AF+EF+CG＝HG+CG+EG＝CH+EG＝1+EG
由两平行线之间垂线段最短，当EG⊥BC时，AF+EF+CG的值最小
即EG＝1时，AF+EF+CG的最小值为2
总结提升：本题考查的是最短距离问题，全等三角形，矩形的性质，关键是灵活运用各个性质解决问题．
类型四 特殊四边形中求周长面积的最小值
8．（2022•雁塔区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点
P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 ．
思路引领：由于四边形APQB的周长可表示为AP+BQ+7，则要使其最小，只要AP+BQ最小即可．在
AB边上截取AM＝PQ，因为点F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于
点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，利用勾股定理可求出MC的值，进而可得出答案．
解：∵AB＝5，PQ＝2，
∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，
则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．
在AB边上截取AM＝PQ，
∵点F是BC的中点，
∴点B关于EF的对称点为点C，
连接CM，交EF于点Q，
则CM即为AP+BQ的最小值．
在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，∴CM 5，
=√32+42=
∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12．
故答案为：12．
总结提升：本题考查轴对称﹣最短路线问题、矩形的性质，能够将所求四边形的周长转化为求 AP+BQ
的最小值是解题的关键．
9．（2022春•姑苏区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F、G、H分别在矩形的各
边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）
A．3√3 B．6√3 C．6√5 D．9√3
思路引领：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，
过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′＝AB，GG′＝AD，利用勾股定
理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值．
解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝
E'F，
过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．
∵AE＝CG，BE＝BE′，
∴E′G′＝AB＝3，
∵GG′＝AD＝6，
∴E′G 3 ，
=√E'G'2+G'G2=√32+62= √5
∴C四边形EFGH ＝2（GF+EF）＝2E′G＝6√5．故选：C．
总结提升：本题考查了轴对称中的最短路线问题以及矩形的性质，找出四边形EFGH周长取最小值时点
E、F、G之间的位置关系是解题的关键．
10．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（﹣5，5）是第二象
限角平分线上的两点，点C的纵坐标为2，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，
使得四边形ACBD的周长最小，则周长的最小值为 ．
思路引领：根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝3，作点A关于y轴的
对称点 A′，连接 A′B交y轴于D′，则此时，四边形 ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝
AC+BC+A′B，然后根据勾股定理即可得到结论．
解：∵点A（﹣2，2），点C的纵坐标为2，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠C＝90°，
∵B（﹣5，5），
∴C（﹣5，2），
∴AC＝BC＝3，
如图，作点A关于y轴的对称点A′，
连接A′B交y轴于D′，此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+A′B，
∵AC＝BC＝3，AA′＝4，
∴A′C＝3+4＝7，
∴A′B ，
=√BC2+A'C2=√32+72=√58
∴最小周长的值＝AC+BC+A′B＝6+√58，
故答案为：6+√58．
总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解
题的关键．
11．（2019春•仙游县期中）菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别是BC，CD上的两个动点，且始终保
持∠AEF＝60°
（1）试判断△AEF的形状并说明理由；
（2）若菱形的边长为2，求△ECF周长的最小值．
思路引领：（1）先根据四边形ABCD是菱形判断出△ABC的形状，在AB上截取BG＝BE，则△BGE是
等边三角形．再由ASA定理得出△AGE≌△ECF，故可得出AE＝AF，由此可得出结论；
（2）根据垂线段最短可知当AE⊥BC时△ECF周长最小，由直角三角形的性质求出CE的长，故可得
出结论．
解：（1）△AEF是等边三角形，理由是：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC．
∵∠B＝60°．
∴△ABC是等边三角形，
在AB上截取BG＝BE，则△BGE是等边三角形
∴AG＝AB﹣BG＝BC﹣BE＝EC，
∵∠AEC＝∠BAE+∠B＝∠AEF+∠FEC，又因为∠B＝∠AEF＝60°
∴∠BAE＝∠CEF．
在△AGE与△ECF中，{∠AGE=∠ECF=120°
AG=EC ．
∠GAE=∠CEF
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE＝AF．
∵∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
（2）由（1）知△AEF是等边三角形，△AGE≌△ECF
∴CF＝GE＝BE，CF+EC＝BC＝2（定值）
∵垂线段最短，
∴当AE⊥BC时，AE＝EF最小，此时△ECF周长最小、
∵BC＝2，∠B＝60°，
∴AE ，
=√22-12=√3
∴△ECF周长的最小值＝2+√3．
总结提升：本题考查的是菱形的性质，熟知四条边都相等的平行四边形是菱形是解答此题的关键．
