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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题17.3勾股定理的应用专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022春•惠州期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内
走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC﹣AB，计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝ ＝10（m），
∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），
故选：D．
2．（2022春•枣阳市期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形
BCFG的面积和为（ ）
A．225 B．200 C．150 D．无法计算
【分析】根据勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝152＝225，从而得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225，
故选：A．3．（2022春•安宁市期末）如图，数轴上的点 A对应的实数是﹣1，点B对应的实数是 1，过点B作
BC⊥AB．使BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（
）
A． ﹣1 B． +1 C． D．
【分析】根据勾股定理即可算出AC的长，根据据题意可得AC＝AD，由点A对应的实数是﹣1，即可得
出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，
AC＝ ＝ ＝ ，
根据题意可得，AC＝AD，
点D所对应的实数是 ．
故选：A．
4．（2022春•海淀区校级期中）两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖 8cm，另一只朝正
东方向挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm
【分析】由已知两只小鼹鼠打洞的方向的夹角为直角，其 10分钟内走路程分别等于两直角边的长，利
用勾股定理可求斜边即其距离．
【解答】解：两只小鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，
∵正北方向和正东方向构成直角，
∴由勾股定理得： ＝100（cm），
∴其距离为100cm．
故选：D．
5．（2022秋•忻州月考）图1是某品牌畅销的冰箱，图2是它的侧面矩形示意图，对角线AC＝ 米，
高AB与宽BC的长度比为7：2，则冰箱的宽BC的长度为（ ）A．0.5米 B．0.6米 C．0.7米 D．0.8米
【分析】设AB＝7a米，则BC＝2a米，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程（7a）2+（2a）2＝（
）2，解方程，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
设AB＝7a米，则BC＝2a米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：（7a）2+（2a）2＝（ ）2，
解得：a＝ （负值已舍去），
∴BC＝2a＝ ＝0.6（米），
故选：B．
6．（2022春•南岗区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2 ，
，则四边形ABCD的面积是（ ）
A． B．4 C． D．
【分析】连接AC，然后根据勾股定理可以求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD的
形状，从而可以求得四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝ ＝ ＝ ，∵CD＝2 ， ，
∴CD2+AC2＝（2 ）2+（ ）2＝17，AD2＝（ ）2＝17，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积是： AB•BC+ AC•CD＝ ×1×2+ × ×2 ＝1+ ．
故选：D．
7．（2022•福州开学）福州以著名的坊巷文化而闻名，美丽的三牧坊宽不足4米，长不到240米，从卫前
街进入三牧坊，走不到百米，便能看到一所百年学府——福州一中，它是众多福州人的记忆所在．位于
三牧坊内的福州一中的侧门保留了中国古代典型的双开木门结构，如图 1、2（图2为图1的平面示意
图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为0.08米，点C和点D到门槛AB的距离都为0.28米，
则AB的长是（ ）
A．1.8米 B．2米 C．2.2米 D．2.4米
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r米，
则AB＝2r（米），DE＝0.28米，OE＝ CD＝0.04米，
∴AE＝（r﹣0.04）米，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣0.04）2+0.282＝r2，
解得：r＝1，
∴2r＝2米
∴AB＝2米，
故选：B．
8．（2022春•元阳县期末）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学
生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距
离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4 m B．5m C．6m D．8m
【分析】连接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，过点C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分别求出AF、
CF的长，进而可得AB的长．
【解答】解：连接AC、BC，过点C作CF⊥AB于F，
因为测温仪的有效测温距离为5m，
所以AC＝BC＝5m，
又测温仪C与直线AB的距离为3m，
在Rt△ACF中，据勾股定理得：
AF＝ ＝ ＝4（m），
同理得BF＝4m，
所以AB＝8m，
即学生沿直线AB行走时测温的区域长度为8m．
故选：D．9．（2022春•泉港区期末）我国古代数学专著《九章算术》中有一名题：“今有二人同所立，甲行率七，
乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”其大意是：已知甲、乙二人同时
从一地出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙向东行走，甲先向南行走10步时偏离原方向，朝北偏东
的方向直行走一段后与乙相遇．问：甲、乙各行走了多少步？设S甲 、S乙 分别为甲、乙走的路程（单位
步），则（ ）
A．S甲 ＝10.5，S乙 ＝24.5 B．S甲 ＝24.5，S乙 ＝10.5
C．S甲 ＝17.5，S乙 ＝7.5 D．S甲 ＝7.5，S乙 ＝17.5
【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x，然后利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB＝3x，
甲共行AC+BC＝7x，
∵AC＝10，
∴BC＝7x﹣10，
又∵∠A＝90°，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴（7x﹣10）2＝102+（3x）2，
∴x＝0（舍去）或x＝3.5，
∴AB＝3x＝10.5，
AC+BC＝7x＝24.5，
即S甲 ＝24.5，S乙 ＝10.5，
故选：B．10．（2022•南岸区校级模拟）我们知道，三个正整数a、b、c满足a2+b2＝c2，那么，a、b、c成为一组勾
股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即m＝x2+y2，那么称m为广义勾股数，
则下面的结论：
①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，其中x，y，z，m，n是正
整数，则x，y，z是一组勾股数．
其中正确的结论是（ ）
A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤
【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．
【解答】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，
∴7不是广义勾股数，故①结论错误；
②∵13＝22+32，
∴13是广义勾股数，故②结论正确；
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，
故③结论错误；
④∵5＝12+22，13＝22+32，65＝5×13，65是广义勾股数，两个广义勾股数的积是广义勾股数，
如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论正确；
⑤∵x2+y2＝（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+2m2n2+n4，
z2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，
∴x2+y2＝z2，
又知x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数．
故⑤结论正确；
∴依次正确的是②④⑤．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•莱西市期中）海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离
开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是 北偏东 40 ° ．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．
【解答】解：由题意得，OA＝12×1.5＝18（海里），OB＝16×1.5＝24（海里），
又∵AB＝30海里，
∵182+242＝302，即OB2+OA2＝AB2
∴∠AOB＝90°，
∵∠DOA＝50°，
∴∠BOD＝40°，
则另一艘舰艇的航行方向是北偏东40°，
故答案为：北偏东40°．
12．（2022秋•莱西市期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一根竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙
角的距离为15米，顶端距离地面20米；如果保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在左墙时，其顶端距
离地面为24米，则小巷的宽度为 2 2 米．
【分析】先根据题意求得∠ACB，∠ACB的度数，再求得CB，AC，DE的长，从而利用勾股定理求得
AB的长；然后再利用勾股定理求得BD的长，进而利用线段的和差关系，求得CD即可．
【解答】解：如图，∠ACB＝∠ACB＝90°，BD＝15m，DE＝20m，AC＝24m．
在Rt△BDE中，BE＝ （m）．
∵AB＝BE，∴AB＝25（m），
∴BC＝ ＝7（m），
∴CD＝CB+BD＝7+15＝22（m），即小巷的宽度为22米．
故答案为：22．
13．（2022秋•如皋市期中）如图，是荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面
的距离BD＝2.5m．绳长BA＝2m，当秋千摆动到最高点A时，测得∠ABD＝60°．当秋千从A处摆动到
A′时，A′B⊥AB，则A′到地面的距离是 （ ﹣ ） m．
【分析】作A'F⊥BD，垂足为F，根据根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝2m，
∴BC＝ AB＝1（m），
∵BD＝2.5m，
∴CD＝1.5m，
如图，作A'F⊥BD，垂足为F，过A作AE⊥DH于E．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC∵AC∥DE，CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5m；
∴A'F＝BC＝1m，
∵△ACB≌△BFA'，
∴BF＝AC＝ AB＝ m，
作A'H⊥DE，垂足为H．
∵A'F∥DE，
∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝（ ﹣ ）m，
即A'到地面的距离是（ ﹣ ）m，
故答案为：（ ﹣ ）．
14．（2022秋•永嘉县校级月考）图1是一个儿童滑梯，AE，DF，MN是滑梯的三根加固支架（如图
2），且AE和DF都垂直地面BC，N、M是DC和CE的中点，FM：MN：EF＝1：2：3，测得CE＝8
米，则滑道DC长为 4 米．
【分析】连接FN，过N作NG⊥CF于G，由直角三角形斜边上的中线性质得FN＝ DC＝CN，再由等腰三角形的性质得FG＝CG＝ CF＝2（米），然后由勾股定理得NG＝ 米，即可解决问题．
【解答】解：∵FM：MN：EF＝1：2：3，
∴设FM＝x米，MN＝2x米，EF＝3x米，
则EM＝4x米，
∵M是CE的中点，
∴CE＝8x＝8，
∴x＝1，
∴FM＝1米，MN＝2米，EF＝3米，
∴CF＝5米，
连接FN，过N作NG⊥CF于G，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∵N是滑道DC的中点，
∴FN＝ DC＝CN，
∵NG⊥CF，
∴FG＝CG＝ CF＝2.5（米），
∴MG＝FG﹣FM＝2.5﹣1＝1.5（米），
在Rt△MNG中，由勾股定理得：NG＝ ＝ （米），
在Rt△CNG中，由勾股定理得：CN＝ ＝2 （米），
∴DC＝2CN＝4 （米），
故答案为：4 ．
15．（2022秋•济阳区校级月考）如图，是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是 30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于 19 5 cm ．
【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长，再由勾股定理求得斜边AB的长即可．
【解答】解：如图，由题意得：AC＝15×5＝75（cm），BC＝30×6＝180（cm）
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝195（cm），
故答案为：195cm．
16．（2022春•西工区期中）如图是一个零件的示意图，测量 AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝
13cm，若∠ABC＝90°，则∠ACD＝ 9 0 °．
【分析】根据AB＝4cm，BC＝3cm，∠ABC＝90°，根据勾股定理可求AC的长，再根据勾股定理的逆定
理可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，∠ABC＝90°，
∴AC＝ ＝5（cm），
在△ACD中，AD＝13cm，CD＝12cm，AC＝5cm，
∴AD2＝169，CD2+AC2＝169，
∴AD2＝CD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°．
故答案为：90．
17．（2022春•瑞安市期中）如图1是重型卡车的立体图，图2是一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面从重型卡车车上卸载的平面示意图．已知重型卡车车身高度AC＝4m，卡车卸货时后面支架AB弯
折落在地面A'，经过测量A′C＝2m．现有木箱长ED＝5m，高EF＝2.5m，宽小于卡车车身的宽度，当
木箱底部顶点G与坡面底部点A′重合时，则木箱上部顶点E到地面A'C的距离为 5 m．
【分析】作EJ⊥A′C于点J，FH⊥A′C于点H，FI⊥FJ于点I，根据“两条平行线之间的距离处处相
等”可知IJ＝FH，GH＝BC，设A′B＝AB＝x，根据勾股定理得22+（4﹣x）2＝x2，则x＝2.5，于是
A′F＝ED＝5m，EF＝BF＝A′B＝2.5m，再证明△BGF≌△A′CB，得FG＝BC＝1.5m，BG＝A′C＝
2m，则IJ＝FH＝FG+GH＝3m，再证明△EIF≌△BGF，得EI＝BG＝2m，所以EJ＝EI+IJ＝5m，于是得
到问题的答案．
【解答】解：如图2，作EJ⊥A′C于点J，FH⊥A′C于点H，FI⊥FJ于点I，
∵AC⊥A′C，GB⊥AC，
∴FH∥EJ∥AB，FI∥BG∥A′C，
∴IJ＝FH，GH＝BC，∠EIF＝∠BGF＝∠CHG＝∠A′CB＝∠90°，∠FBG＝∠BA′C，
设A′B＝AB＝x，
∵A′C2+BC2＝A′B2，且AC＝4m，A′C＝2m，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝2.5，
∴A′B＝2.5m，GH＝BC＝4﹣2.5＝1.5（m），
∵四边形A′DEF是长方形，ED＝5m，EF＝2.5m，
∴A′F＝ED＝5m，
∴EF＝BF＝A′B＝2.5m，
在△BGF和△A′CB中，
，
∴△BGF≌△A′CB（ASA），∴FG＝BC＝1.5m，BG＝A′C＝2m，
∴IJ＝FH＝FG+GH＝1.5+1.5＝3（m），
∵∠BFE＝90°，∠IFH＝180°﹣∠CHG＝90°，
∴∠EFI＝∠BFG＝90°﹣∠BFI，
在△EIF和△BGF中，
，
∴△EIF≌△BGF（AAS），
∴EI＝BG＝2m，
∴EJ＝EI+IJ＝2+3＝5（m），
∴木箱上部顶点E到地面A'C的距离为5m，
故答案为：5．
18．（2022秋•温州期中）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，
AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架．如图1所示，AD＝13cm，BC＝20cm，伸缩杆PQ的两端分别
固定在BC，CE两边上，其中PB＝13cm，CQ＝20cm．当伸缩杆完全收拢（即CD∥AB）时，如图2所
示，床高（CD与AB之间的距离）为12cm，则此时伸缩杆PQ的长度为 15 cm．当∠ADC成180°
时，伸缩杆PQ打开最大，此时PQ的长度为 ，则固定钢架AB的长度为 2 9 cm．
【分析】过点P作MN⊥AB于N，交DQ于M，则MN＝12cm．由DQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理求出PM＝ cm．在Rt△CPM中利用勾股定理得出CM＝ cm，那么MQ＝CQ﹣CM＝ cm．
然后在Rt△QPM中，利用勾股定理求出PQ；当∠ADC成180°时，画出图形，利用勾股定理的逆定理
证明△PCQ是直角三角形，得到∠PCQ＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB．
【解答】解：如图2，过点P作MN⊥AB于N，交DQ于M，则MN＝12cm．
∵BC＝20cm，PB＝13cm，
∴PC＝BC﹣PB＝7（cm）．
∵DQ∥AB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得PM＝ ．
在Rt△CPM中，CM＝ ＝ ＝ （cm），
∴MQ＝CQ﹣CM＝20﹣ ＝ （cm）．
在Rt△QPM中，PQ＝ ＝ ＝15（cm），
即此时伸缩杆PQ的长度为15cm．
如图2，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，则CH＝DF＝12cm，CD＝FH＝AB﹣AF﹣
HB．
在Rt△ADF中，AF＝ ＝ ＝5（cm），
在Rt△CHB中，BH＝ ＝ ＝16（cm），
∴CD＝AB﹣5﹣16＝AB﹣21．
当∠ADC成180°时，如下图，
∵PC＝7，CQ＝20，PQ＝ （cm），∴PC2+CQ2＝PQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠PCQ＝90°，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（13+AB﹣21）2+202＝AB2，
解得AB＝29，
即固定钢架AB的长度为29cm．
故答案为：15，29．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋•南湖区校级期中）一台拖拉机沿公路AB以200m/min的速度从A行驶到B，点C为一所学
校，AC＝300m，BC＝400m，AB＝500m，距离拖拉机250m以内会受噪音影响．
（1）学校C会受到拖拉机的噪音影响吗？为什么？
（2）学校C受到拖拉机的噪音影响的时间有多长？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出 CD的长，
进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．【解答】解：（1）学校C会受噪声影响，
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝300m，BC＝400m，AB＝500m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝ ＝240（m），
∵距离拖拉机250m以内会受噪音影响，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝250m，FC＝250m时，正好影响C学校，
∵ED＝ ＝ ＝70（m），
∴EF＝140（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴140÷200＝0.7（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有0.7分钟．
20．（2022秋•莱州市期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索 AB的长度为5米，若木马从B
点运行到C点，上升的高度为1米，且绳索保持拉直的状态，求此时木马沿水平方向向前推进的距离．
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由题意得AB＝AC＝5米，BF＝1米，则AF＝AB﹣BF＝4米，再由
勾股定理求出CF的长即可．【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，
根据题意得：AB＝AC＝5米，BF＝1米，
∴AF＝AB﹣BF＝5﹣1＝4（米），
在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF＝ ＝ ＝3（米），
答：此时木马沿水平方向向前推进的距离为3米．
21．（2022秋•东海县期中）在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化
的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若
平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【分析】由勾股定理得出AC，再由勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，然后由直角三角形面积求法得出
这片空地的面积，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝ ＝ ＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴S△DAC ＝ AD•AC＝ ×8×15＝60（m2），S△ACB ＝ AB•AC＝ ×9×12＝54（m2），∴S四边形ABCD ＝60+54＝114（m2），
∴100×114＝11400（元），
答：绿化这片空地共需花费11400元．
22．（2022秋•姜堰区期中）如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝8．点E从B点沿射线BC向右
以2个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接AE、AF，设点E运动的时间为t．
（1）当t为何值时，AE＝AF；
（2）当t＝5时，判断△ABE的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据题意可得：BE＝2t，再根据线段中点的定义可得BF＝EF＝t，从而可得DF＝8﹣t，
DE＝2t﹣8，然后根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADE＝90°，再分别在Rt△ADF和Rt△ADE中，利用勾
股定理可得AF2＝16+（8﹣t）2，AE2＝16+（2t﹣8）2，最后令AE＝AF，从而可得16+（8﹣t）2＝
16+（2t﹣8）2，进行计算即可解答；
（2）当t＝5时，BE＝2t＝10，DE＝2，然后分别在Rt△ADB和Rt△ADE中，利用勾股定理求出AB2和
AE2，最后利用勾股定理的逆定理证明△ABE是直角三角形，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
BE＝2t，
∵F为BE的中点，
∴BF＝EF＝ BE＝t，
∵AD＝4，BD＝8，
∴DF＝BD﹣BF＝8﹣t，DE＝BE﹣BD＝2t﹣8，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
在Rt△ADF中，AF2＝AD2+DF2＝16+（8﹣t）2，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝16+（2t﹣8）2，
令AE＝AF，
∴16+（8﹣t）2＝16+（2t﹣8）2，解得：t＝ 或t＝0（舍去），
∴当t＝ 时，AE＝AF；
（2）△ABE是直角三角形，
理由：当t＝5时，BE＝2t＝10，
∴DE＝BE﹣BD＝10﹣8＝2，
在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝42+22＝20，
∵AB2+AE2＝100，BE2＝102＝100，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形．
23．（2021秋•宜阳县期末）《九章算术》是我国古代的一部数学专注，是“算经十书”中最重要的一种，
它收录了246个与生产、生活实践有关的实际问题，是我国古代劳动人民智慧的结晶．在的第九章“勾
股”中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长
各几何．（葭即芦苇，一丈等于十尺）．这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边长为 10尺的
正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向水池的一边，它的顶端
刚好到达池边的水面，水深和芦苇的长度分别是多少尺？
【分析】设这根芦苇的长度为x尺，水深为（x﹣1）尺，由勾股定理可得方程，解方程进而得出答案．
【解答】解：设芦苇的长度为x尺，则水深为（x﹣1）尺，
由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13，
∴x﹣1＝13﹣1＝12，
答：水深是12尺，芦苇的长度是13尺．
24．（2022秋•萍乡月考）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F在线段
AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm．
（1）当E与C点重合，CF＝40cm时，△CDF是什么三角形．
（2）若EC＝36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由．
（3）当∠DCF＝45°，CF＝ AC时，求CD的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）连接BD，根据题意可得CD＝14cm，然后利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，即可
解答；
（3）过点F作FH⊥CD，垂足为H，根据题意可得CF＝20cm，然后在Rt△CFH中，利用锐角三角函
数的定义求出CH，FH的长，再在Rt△DFH中，利用勾股定理求出DH的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵E与C点重合，
∴DC＝DE＝50cm，
∵DF＝30cm，CF＝40cm，
∴DC2＝CF2+DF2，
∴∠CFD＝90°，
∴△CDF是直角三角形；
（2）BD⊥DE，
理由：连接BD，
∵EC＝36cm，DE＝50cm，∴CD＝DE﹣EC＝14cm，
∵BC＝50cm，BD＝48cm，
∴CD2+BD2＝142+482＝2500，BC2＝502＝2500，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥DE；
（3）过点F作FH⊥CD，垂足为H，
∵BC＝AB＝50cm，
∴AC＝AB+BC＝100（cm），
∵CF＝ AC，
∴CF＝ ×100＝20（cm），
在Rt△CFH中，∠DCF＝45°，
∴FH＝CF•sin45°＝20× ＝10 （cm），
CH＝CF•cos45°＝20× ＝10 （cm），
∵DF＝30cm，
∴DH＝ ＝ ＝10 （cm），
∴CD＝CH+DH＝（10 +10 ）cm，
∴CD的长为（10 +10 ）cm．
