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专题 7 勾股定理与面积问题（解析版）
第一部分 典例剖析
类型一 利用面积求高
1．（2019秋•兰考县期末）一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（ ）
60
A． B．13 C．6 D．25
13
思路引领：利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．
解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
∴斜边为 13，
√52+122=
1 1
∵S△ABC = ×5×12= ×13h（h为斜边上的高），
2 2
60
∴h= ．
13
故选：A．
总结提升：此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
2．（2022秋•南岗区校级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为5．
（1）过点A画出线段BC的垂线段，垂足为点D；
（2）过点C画出线段AB的垂线，垂足为点E；
（3）直接写出点C到直线AB的距离为 ．
思路引领：（1）（2）根据三角形的高的定义作出图形即可；
（3）利用勾股定理，面积法求解即可．
解：（1）如图，线段AD即为所求；（2）如图，线段CE即为所求；
（3）∵AB 5，BC＝16，AD⊥BC，CE⊥AB，
=√32+42=
1 1
∴ •BC•AD= •AB•CE，
2 2
64
∴CE= ．
5
64
故答案为： ．
5
总结提升：本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用
数形结合的思想解决问题，学会利用面积法解决问题．
二、利用乘法公式求面积或长度
3．（2021秋•新会区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC+BC＝14cm，AB＝10cm，则Rt△ABC
的面积是 cm2．
1
思路引领：根据勾股定理得到 AC2+BC2＝AB2＝100，根据完全平方公式求出 2AC•BC＝96，得到
2
AC•BC＝24，得到答案．
解：∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2＝100，
∵AC+BC＝14，
∴（AC+BC）2＝196，
即AC2+BC2+2AC•BC＝196，
∴2AC•BC＝96，
1
∴ AC•BC＝24，即Rt△ABC的面积是24cm2，
2故答案为：24．
总结提升：本题考查的是勾股定的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那
么a2+b2＝c2．
4．（2011秋•涟源市校级期末）直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，则面积为（ ）
A．12cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2
思路引领：本题可从直角三角形的周长公式和面积公式，勾股定理三个方面列出方程，求出两直角边的
乘积即可．
解：设：一直角边长为x，另一直角边为y，
则由题意可得：x+y＝7，
由勾股定理可得x2+y2＝25，
对x+y＝7两边进行平方可得：（x+y）2＝49，
两式联立可得xy＝12，
1
则面积为 xy＝6．
2
故选：B．
总结提升：本题考查直角三角形周长，面积公式及勾股定理的综合运用，看清条件即可．
5．若一个直角三角形的周长为30cm，面积为30cm2，则这个直角三角形的斜边长为 ．
思路引领：设直角三角形三边分别为a，b，c，根据题意表示出周长与面积，利用勾股定理列出关系式，
求出c的值即可．
1
解：根据题意得：a+b+c＝30①， ab＝30②，且a2+b2＝c2③，
2
由①得：a+b＝30﹣c，
由③变形得：（a+b）2﹣2ab＝（30﹣c）2﹣120＝c2，
解得：c＝13，
故答案为：13．
总结提升：此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
6．（2022秋•卧龙区校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄
傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角
三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝30，大正方形的面积为16，则小正方形的
面积为 ．思路引领：根据题意和勾股定理，可以求得ab的值，再根据图形可知：小正方形的面积＝大正方形的
面积﹣4个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．
解：设大正方形的边长为c，
则c2＝16＝a2+b2，
∵（a+b）2＝30，
∴a2+2ab+b2＝30，
解得ab＝7，
1 1
∴小正方形的面积是：16- ab×4＝16- ×7×4＝16﹣14＝2，
2 2
故答案为：2．
总结提升：本题考查勾股定理的证明、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出ab的值．
7．（2022秋•城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正
方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形 ABCDEFGH．若该
图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积．
思路引领：（1）用两种方法分别表示中间小正方形面积即可；
（2）设AH＝BC＝x，则AB＝12﹣x，在Rt△AOB中，由勾股定理列出方程即可求出BC的长，从而解
决问题．
（1）证明：S小正方形 ＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，
1
S小正方形 ＝c2﹣4× ab＝c2﹣2ab，
2即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵AB+BC＝48÷4＝12，
设AH＝BC＝x，则AB＝12﹣x，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OH2+OG2＝GH2，
即62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
1
∴S= ×6×8×4＝96．
2
总结提升：本题是四边形的综合题，主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用等知识，运用整体思
想、方程思想是解题的关键．
类型三 利用割补法求面积
8．（2022春•麒麟区期末）如图，某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在空地上种植草皮．经测量，
∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，AD＝24m．
（1）求这块四边形空地的面积；
（2）若每平方米草皮需要200元，则种植这片草皮需要多少元？
思路引领：仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接AC，由AD、CD、AC的长度关
系可得△ACD为一直角三角形，AC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ACD和Rt△ABC构成，则
容易求解．
解：（1）如图，连接AC，如图所示．
∵∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，∴AC 25m．
=√AB2+BC2=√202+152=
∵AC＝25m，CD＝7m，AD＝24m，
∴AD2+DC2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°，
1 1 1 1
∴S△ABC = ×AB×BC= ×20×15＝150m2，S△ACD = ×CD×AD= ×7×24＝84m2，
2 2 2 2
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ACD ＝234m2．
（2）种植这片草皮需要234×200＝46800元．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出△ACD是直角三角形是解题
关键．
9．（2021春•饶平县校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝60°，AD＝2√5，CD＝4．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求四边形ABCD的面积．
思路引领：（1）连接AC，根据AB＝BC＝2，∠B＝60°，得出△ABC是等边三角形，求得AC＝2，然
后根据勾股定理的逆定理判断三角形BDC是直角三角形，从而求得∠BCD＝150°；
（2）根据四边形的面积等于三角形ABC和三角形ACD的和即可求得．
解：（1）连接AC，
∵AB＝BC＝2，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝2，∠ACB＝60°，
∵AD＝2√5，CD＝4，
则AC2+CD2＝22+42＝20，AD2＝（2√5）2＝20，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝150°；1 √3 1 1 √3 1
（2）S＝S△ABC +S△ACD = BC• BC+ AC•CD= ×2× ×2+ ×2×4＝4+√3．
2 2 2 2 2 2
总结提升：本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，把不规则的图形转化成规
则的三角形求得面积等．
类型四 利用“勾股弦图”或“勾股树”求面积
10．（2021•南浔区二模）如图是用三张大小各不相同的正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉
斯”图案．现有五张大小各不相同的正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三张，按如图
方式组成图案，所围成的Rt△ABC的面积可以为 ．
思路引领：由勾股定理知，选取的纸片面积为1，2，3或2，3，5或1，4，5或1，3，4，四种情形，
分别计算即可．
解：∵五种正方形纸片，面积是1，2，3，4，5，
∴五种正方形纸片的边长分别为1，√2，√3，2，√5，
由题意得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
1 √2
当选取的三块纸片的面积为1，2，3时，所围成的Rt△ABC的面积为 ×1×√2= ；
2 2
1 √6
当选取的三块纸片的面积为2，3，5，时，所围成的Rt△ABC的面积为 ×√2×√3= ；
2 2
1
当选取的三块纸片的面积为1，4，5时，所围成的Rt△ABC的面积为 ×1×2=1；
2
1 √3
当选取的三块纸片的面积为1，3，4时，所围成的Rt△ABC的面积为 ×1×√3= ，
2 2√2 √6 √3
故答案为： 或 或1或 ．
2 2 2
总结提升：本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
11．（2021秋•山亭区期中）如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的
正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为 ．
思路引领：根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的
面积64，由此即可解决问题．
解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．
根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的
和是M的面积．
即A、B、C、D的面积之和为M的面积．
∵M的面积是82＝64，
∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，
∴11+10+13+x＝64，
∴x＝30．
故答案为：30．
总结提升：此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形M
的面积是解题的关键．12．（2022秋•连云港期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，
如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角
形较长直角边长为a，短直角边长为b，若（a+b）2＝24，大正方形的面积为15，则小正方形的面积为
．
思路引领：根据题意和勾股定理，可以求得ab的值，再根据图形可知：小正方形的面积＝大正方形的
面积﹣4个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．
解：设大正方形的边长为c，
则c2＝15＝a2+b2，
∵（a+b）2＝24，
∴a2+2ab+b2＝24，
解得ab＝4.5，
1 1
∴小正方形的面积是：15- ab×4＝15- ×4.5×4＝15﹣9＝6，
2 2
故答案为：6．
总结提升：本题考查勾股定理的证明、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出ab的值．
第二部分 专题提优训练
1．（2017秋•简阳市期中）若Rt△ABC的两边长分别为6cm，8cm，则第三边长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm
思路引领：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必
须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解：设第三边为xcm，则
（1）若8cm是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82＝x2，解得：x＝10；
（2）若8cm是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2＝82，解得x＝2√7．
所以第三边长为10cm或2√7cm．
故选：D．
总结提升：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意
讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．2．（2021秋•郑州期末）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方
形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（ ）
A．169cm2 B．196cm2 C．338cm2 D．507cm2
思路引领：根据勾股定理有S正方形2 +S正方形3 ＝S正方形1 ，S正方形C +S正方形D ＝S正方形2 ，S正方形A +S正方形B ＝S
，等量代换即可求所有正方形的面积之和．
正方形3
解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
S正方形2 +S正方形3 ＝S正方形1 ，
S正方形C +S正方形D ＝S正方形 ，
S正方形A +S正方形E ＝S正方形2 ，
∴S正方形C +S正方形D +S正方形A +S正方形E ＝S正方形1 ，
则S正方形1 +正方形2 +S正方形3 +S正方形C +S正方形D +S正方形A +S正方形E ＝3S正方形1 ＝3×132＝3×169＝507（cm2）．
故选：D．
总结提升：本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的
平方．
3．（2020春•东西湖区期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，
以格点为顶点按下列要求画图：
（1）画一个△ABC，使AC=√5．BC＝2√5，AB＝5；
（2）若点D为AB的中点，则CD的长是 ；
（3）在（2）的条件下，直接写出点D到AC的距离为 ．思路引领：（1）根据网格画一个△ABC，使AC=√5．BC＝2√5，AB＝5即可；
（2）根据点D为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD的长；
（3）在（2）的条件下，证明DE是△ABC的中位线，进而可得出点D到AC的距离．
解：（1）如图，
△ABC即为所求；
（2）∵AC=√5．BC＝2√5，AB＝5，
∴AC2+BC2＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D为AB的中点，
1
∴CD= AB＝2.5，
2
所以CD的长是2.5．
故答案为：2.5；
（3）在（2）的条件下，
作DE⊥AC于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= BC=√5．
2
所以点D到AC的距离是√5．
故答案为：√5．总结提升：本题考查了作图﹣应用与设计作图、勾股定理，解决本题的关键是根据网格准确画图．
4．（2020秋•溧阳市期中）若直角三角形两直角边长分别为12和16，则斜边长为 ．
思路引领：根据勾股定理即可求出答案．
解：直角三角形的两直角边长分别为12、16，
∴直角三角形的斜边长为 20，
√122+162=
故答案为：20．
总结提升：本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则CD＝ ．
思路引领：根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算即可．
解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB 5，
=√AC2+BC2=
1 1
∵ ×AC×BC= ×AB×CD，
2 2
AC×BC 12
∴CD= = ，
AB 5
12
故答案为： ．
5
总结提升：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
a2+b2＝c2．
6．（2021秋•莱阳市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝5√3，
CD＝3√3．则四边形ABCD的面积为 ．
思路引领：延长AD、BC，交于点F，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得CF、AF，再求得△ABF和△DCF的面积，即可求解．
解：延长AD、BC，交于点F，
∵∠ADC＝120°，
∴∠CDF＝60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCF＝90°，
∴∠F＝30°，
∴DF＝2CD＝6√3，
∴CF 9，
=√DF2-CD2=√(6√3) 2-(3√3) 2=
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴BF＝2AB＝10√3，
∴AF 15，
=√BF2-AB2=√(10√3) 2-(5√3) 2=
1 1 1 1
∴S四边形ABCD ＝S△ABF ﹣S△CDF = AB•AF- CD•CF= ×5√3×15- ×3√3×9＝24√3，
2 2 2 2
故答案为：24√3．
总结提升：本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾
股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
7．（2019春•南岗区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝1，AD=√6，
则四边形的面积为 ．
思路引领：连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理得到△ACD为直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
解：连接AC，
在Rt△ABC中，AC ，
=√AB2+BC2=√5
AC2+CD2＝5+1＝6，AD2＝6，
则AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
1 1 √5
∴四边形ABCD的面积= ×1×2+ ×1×√5=1+ ，
2 2 2
√5
故答案为：1+ ．
2
总结提升：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为c，那么a2+b2
＝c2．
8．（2021秋•驻马店期末）如图所示的一块草坪，已知AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，
BC＝36m，求这块草坪的面积．
思路引领：连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的
面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．
解：连接AC，则在Rt△ADC中，
AC2＝CD2+AD2＝122+92＝225，
∴AC＝15，在△ABC中，AB2＝1521，
∵AC2+BC2＝152+362＝1521，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
1 1 1 1
∴S△ABC ﹣S△ACD = AC•BC- AD•CD= ×15×36- ×12×9＝270﹣54＝216．
2 2 2 2
答：这块地的面积是216平方米．
总结提升：此题考查勾股定理的应用，解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可
使复杂的求解过程变得简单．
9．（2022秋•城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正
方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形 ABCDEFGH．若该
图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积．
思路引领：（1）用两种方法分别表示中间小正方形面积即可；
（2）设AH＝BC＝x，则AB＝12﹣x，在Rt△AOB中，由勾股定理列出方程即可求出BC的长，从而解
决问题．
（1）证明：S小正方形 ＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，
1
S小正方形 ＝c2﹣4× ab＝c2﹣2ab，
2
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵AB+BC＝48÷4＝12，
设AH＝BC＝x，则AB＝12﹣x，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OH2+OG2＝GH2，
即62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
1
∴S= ×6×8×4＝96．
2
总结提升：本题是四边形的综合题，主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用等知识，运用整体思
想、方程思想是解题的关键．
