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专题10 勾股定理与高与中线有关的计算
【例题讲解】
在 中， 分别是 的中线，高，若 ，则线段 的长为
__________．
【详解】根据勾股定理，得DE= ，
∵ CD=5， ，AD=BD，∴AD=CD=BD=5，
当点E在点D的下部时，
AC= ；
当点E在点D的上部时，
AC= ；
故答案为：6或8．
【综合解答】
1．在 中，AD是BC边上的高， ，则 的面积为（ ）
A．18 B．24 C．18或24 D．18或30
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理分别求出BD和CD，分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形
面积公式计算即可．
【详解】
解：在Rt△ABD中，
由勾股定理得：BD= =12，
在Rt△ACD中，
由勾股定理得：CD= = ，
分两种情况：
①如图1，当AD在△ABC的内部时，BC=12+3=15，
则△ABC的面积= BC×AD= ×15×4=30；
②如图2，当AD在△ABC的外部时，BC=12-3=9，
则△ABC的面积= BC×AD= ×9×4=18；
综上所述，△ABC的面积为30或18，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是
解题的关键．2．如图， 中， ，三条高AD，BE，CF交于点G，已知 ， ，则
CG长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
证明 为等腰直角三角形，求出AE，证明 为等腰直角三角形，求出AC，进一步求出
CE，证明 为等腰直角三角形，即可求出 ．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
故选：B．【点睛】
本题考查三角形的高，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出CE，再利用
为等腰直角三角形求解CG．
3．若 中， ， ，高 ，则 的长为（ ）
A．28或8 B．8 C．28 D．以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
本题应分两种情况，①如果角C是钝角，此时高AD在三角形的外部，在RT ABD中利用勾股定
理求出BD，在RT ACD中利用勾股定理求出CD，然后可得出BC=BD-CD，△继而可得出 ABC的
周长；②如果角C△是锐角，利用勾股定理求出BD、BC，根据BC=BD+CD求出BC，进而△可求出周
长．
【详解】
解：①如果角C是钝角，
在RT ABD中，BD= =18，在RT ACD中，CD= =10，
△ △
∴BC=18-10=8；
②如果角C是锐角，此时高AD在三角形的内部，
在RT ABD中，BD= =18，在RT ACD中，CD= =10，
△ △
∴BC=18+10=28；
综上可得BC的长为28或8．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理及三角形的知识，分类讨论是解答本题的关键，如果不细心很容易将∠C为
钝角的情况忽略，有一定的难度．4．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC中
AB边上的高为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出AB，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三
角形ABC面积，利用面积法求出AB边上的高即可．
【详解】
解：如图，CD为AB边上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
5．如图，在4×7的正方形网格中，有一个格点三角形ABC，那么BC边上的高与AB的比值为(
)A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的面积相等法求出BC上的高，勾股定理求出AB，然后求比值即可
【详解】
设正方形的边长为“1”，BC边上的高为h,
则AB= = ，BC= =
S = 5 2= h
ABC
△
× × ×
∴h=
∴ = =
故本题答案应为：D
【点睛】
用面积法求三角形的高及勾股定理是本题的考点，利用勾股定理求出BC及AB是解题的关键.
6．在 中， 边上的中线 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC为直角三角形，再根据勾股定理求得
，最后根据 求解即可.【详解】
解：如图，在 中， 边上的中线，
∵CD=3，AB= 6，
∴CD=3，AB= 6，
∴CD= AD= DB ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故选B.
【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的
能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考
虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.
第II卷（非选择题）
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二、填空题
8．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则AC边上的高是___________．【答案】
【解析】
【分析】
根据题意作出高线，首先根据等腰三角形的性质及勾股定理可求得AD的长，再根据面积即可求得．
【详解】
解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD= BC=3，
∴ ，
设AC边上的高为h，
则 ，
得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方
之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
9．已知在 中， ， ， ，则 的面积为_______．
【答案】84【解析】
【分析】
根据题意，可以由勾股定理判定的逆定理判定△ABC的形状，作高线，利用勾股定理根据高线列
方程，再求高，根据三角形的面积公式计算得到△ABC的面积即可．
【详解】
解：过点B作BD⊥AC于D，
∵AB2+BC2=132+142=365，AC2=152=225，
∴AB2+BC2＞AC2，
∴△ABC不是直角三角形，
设AD长为x，CD=AC-AD=15-x,
∴BD2=AB2-AD2=BC2-CD2，
∴ ，
解得x= ,
∴BD= ，
∴S ABC= ．
△
故答案为：84．
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，利用三角形的高列方程，运用勾股定
理逆定理得出三角形不是直角三角形，作高线，用勾股定理列出方程是解题的关键．
10．已知钝角三角形的三边分别为2，3，4，则该三角形的面积为__________．
【答案】
【解析】【分析】
首先利用勾股定理列方程求出 的长，再代入求 ，进而利用三角形的面积公式即可．
【详解】
解：如图， ， ， ，过点 作 于 ，
设 ， ，
，
，
，
解得 ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是根据题意求出三角形的高．
11．在 中， ， 边上的高 ， ， 的长为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，先利用勾股定理求得 ， ，根据题意分类讨论，当 点在 的延长线
上时， ，当 点在 的延长线上时，
【详解】
， 边上的高 ，当 点在 的延长线上时， ,
当 点在 的延长线上时， ．
故答案为：4或14
【点睛】
本题考查了三角形的高，勾股定理的应用，分类讨论是解题的关键．
12．在 中， ， ， 上的高 ，则 的面积是______．
【答案】84或24
【解析】
【分析】
根据题意，可分为两种情况进行分析：当 是锐角三角形时，高AD在三角形的内部；当
是钝角三角形时，高AD在三角形的外部；分别求出面积即可．
【详解】
解：根据题意，
当 是锐角三角形时，如图：在直角△ABD中，由勾股定理，得
；
在直角△ACD中，由勾股定理，得
，
∴ ，
∴ 的面积是： ；
当 是钝角三角形时，如图：
在直角△ABD中，由勾股定理，得
；
在直角△ACD中，由勾股定理，得
，
∴ ，
∴ 的面积是： ；
故答案为：84或24．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，求出所需线段的长度，注意运用分类讨论的
思想进行分析．
13．在 中， ， ， 边上的高 ，则 的周长为______．
【答案】60或42
【解析】
【分析】
分两种情况：①∠B为锐角；②∠ABC为钝角；利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的长．【详解】
提示：①如果 是锐角，此时高 在三角形的内部，
在 中， ，在 中， ，
∴ ，此时 的周长 ．
②如果 是钝角，
在 中， ，在 中， ，
∴ ，此时 的周长 ．
综上可得， 的周长为60或42．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．
14．在等腰 中， ， ，则底边上的高等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意画出以下图形，然后根据等腰三角形性质得出BD=DC=1，进而利用勾股定理求出AD即可.
【详解】
如图所示，AB=AC=3，BC=2，AD为底边上的高，根据等腰三角形性质易得：BD=CD=1，
∴在Rt△ADC中， = .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形性质以及勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
15．在 ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的长是________．
【答案】△3
【解析】
【分析】
过点C作CE∥AB交AD延长线于E，先证△ABD≌△ECD（AAS），求出AE=2AD=4，在Rt△AEC中，
即可．
【详解】
解：过点C作CE∥AB交AD延长线于E，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵AD⊥AB，CE∥AB，
∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，
∴∠E=90°，
在△ABD和△ECD中
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB=EC，AD=ED=2，∴AE=2AD=4，
在Rt△AEC中， ，
∴AB=CE=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握中线性质，平行线性
质，三角形全等判定与性质，勾股定理，关键是利用辅助线构造三角形全等．
16．在 中，AB=AC=13，BC=10，则边BC上的中线等于_________________．
【答案】12
【解析】
【分析】
先根据题意画出图形，再由中线定义求得 ，然后根据等腰三角形三线合一的性质
证得 ，最后利用勾股定理即可求得 ．
【详解】
解：根据题意可画出图形，如图：
∵ ， 是 边上的中线∴
∵
∴
∴在 中， ．
故答案是：
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、中线的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握并灵活应用相关知识
点是解题的关键．
三、解答题
17．如图，在 中， ，求 的面积．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC=90°，解直角三角形求出AD，BC，即可得结果．
【详解】
解：过点A作 于D，如图，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【点睛】
本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，勾股定理，30°角所对直角三角形性质，二次根式
的混合运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
18．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1， ABC的顶点在格点上．
△
(1)判断 ABC的形状，并说明理由；
(2)求 A△BC的面积及AC边上的高．
【答案△】(1)△ABC为直角三角形，理由见解析
(2) ABC的面积为13，AC边上的高
△
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理分别求出AB、BC、AC的长度，再由勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形
即可；
（2）作AC边上的高BD，利用等面积法即可求解．
(1)
△ABC为直角三角形，理由如下：
每个小正方形方格的边长为1，
，
，即 ，
∴∠ABC＝90°，即△ABC为直角三角形；
(2)
如图，作AC边上的高BD，则△ABC的面积= ，
∵∠ABC＝90°，
∴△ABC的面积= = ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，等面积法，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．在 ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，求 ABC的周长.
【答案】△32或42 △
【解析】
【分析】
根据题意可知，在不知三角形具体形状的前提下，对三角形进行分类讨论，当高在三角形内部，
当高在三角形外部，分别利用勾股定理计算得到答案即可.
【详解】
解：∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12
如图1，
CD在△ABC内部时， ∴AD= =9，
BD= =5，
∴AB=AD+BD=9+5=14，
此时，△ABC的周长=14+13+15=42，
如图2
，
CD在△ABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4，
此时，△ABC周长=4+13+15=32
综上所述，△ABC的周长为32或42.
【点睛】
本题考查的知识点有三角形的角平分线、中线和高以及勾股定理的应用，需要注意的是此题需要
分两种情况分别计算.
20．如图，在 中， ， ， 是 边上的高， ，求 的长.
【答案】
【解析】
【分析】
利用勾股定理先求出BD，进而求得DC，再用勾股定理求得AC即可．
【详解】解：∵ 是 上的高，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴在 中， ．
【点睛】
本题考查勾股定理，会利用勾股定理解直角三角形是解答的关键．
