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中位线专项训练（20题）
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若∠B＝40°，则∠BDE的度数为
（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
【分析】根据三角形中位线定理和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠B+∠BDE＝180°，
∵∠B＝40°，
∴∠BDE＝140°，
故选：C．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，AB＝8，D、E分别是AB与AC的中点，
则DE的长为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．2
【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定
理计算，得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝2∠B，
∴∠B＝30°，
∴AC＝ AB＝ ×8＝4，
由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝4 ；
∵D、E分别是AB与AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝2 ，故选：C．
3．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝
4，则AF＝（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】取 BF 的中点 H，连接 DH，根据三角形中位线定理得到 DH＝ FC，
DH∥AC，证明△AEF≌△DEH，根据全等三角形的性质得到AF＝DH，计算即可．
【解答】解：取BF的中点H，连接DH，
∵BD＝DC，BH＝HF，
∴DH＝ FC，DH∥AC，
∴∠HDE＝∠FAE，
在△AEF和△DEH中，
，
∴△AEF≌△DEH（ASA），
∴AF＝DH，
∴AF＝ FC，
∵AC＝4，
∴AF＝ ，
故选：B．
4．如图，AB∥CD，AC、BD相交于P，E、F分别为AC、BD的中点，若AB＝10，CD＝
6，则EF的长是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接CF并延长，交AB于G，证明△DFC≌△BFG，根据全等三角形的性质得
到BG＝CD＝6，CF＝FG，进而求出AG，根据三角形中位线定理定理计算即可．
【解答】解：连接CF并延长，交AB于G，
∵AB∥DC，
∴∠D＝∠B，
∵F为BD的中点，
∴DF＝BF，
在△DFC和△BFG中，
，
∴△DFC≌△BFG（ASA），
∴BG＝CD＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝4，
∵CF＝FG，CE＝EA，
∴EF＝ AG＝ ×4＝2，
故选：B．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上的一点，AD＝AB，E、F分别是AC、
BD的中点，EF＝2，则AC的长是（ ）A．2 B．2 C．3 D．4
【分析】连接AF，根据等腰三角形的性质得到AF⊥BC，根据直角三角形的性质解答即
可．
【解答】解：连接AF，
∵AB＝AD，BF＝FD，
∴AF⊥BC，
∵E是AC的中点，EF＝2，
∴AC＝2EF＝4，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E
为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝6﹣2＝4，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，∴DE＝ FC＝ ×4＝2，
故选：B．
7．如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB
的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝ ，则△ABC的周长为（
）
A．17 B．18 C．19 D．20
【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN
＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的
周长公式计算，得到答案．
【解答】解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝ ，
∴DE＝2MN＝3，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，
故选：A．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，
连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE
的周长为（ ）A．16 B．24 C．32 D．40
【分析】根据直角三角形的性质求出BE，证明DM∥BE，根据三角形中位线定理得到
DE∥BC，DE＝7，根据平时四边形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，E是AC的中点，
∴BE＝ AC＝ ×18＝9，BE＝AE，
∴∠EBA＝∠A，
∴∠MDB＝∠A，
∴∠MDB＝∠EBA，
∴DM∥BE，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝ BC＝ ×14＝7，
∴四边形DMBE为平行四边形，
∴四边形DMBE的周长＝2×（DE+BE）＝2×16＝32，
故选：C．
9．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP
的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列
结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．△ABP和△CRP的面积和不变
【分析】连接AR，根据三角形的中位线定理可得EF＝ AR，根据AR的变化情况即可
判断．【解答】解：连接AR，
∵E，F分别是AP，RP的中点，
∴EF＝ AR，
∵当点P在BC上从点C向点B移动，点R从点D向点C移动时，AR的长度逐渐增大，
∴线段EF的长逐渐增大．
S△ABP +S△CRP ＝ BC•（AB+CR）．
∵CR随着点R的运动而减小，
∴△ABP和△CRP的面积和逐渐减小．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
10．如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，
ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE
＝90°．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接EC，根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，即可判断①；求出∠FAE＝
∠B，再根据平行线的性质得出AE∥BC，即可判断②；求出四边形ABDE是平行四边
形，根据平行四边形的性质得出AE＝BD，求出AE＝CD，根据矩形的判定推出四边形
ADCE是矩形，根据矩形的性质得出AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，求出DG＝AG＝
CG＝EG，根据勾股定理判断④即可；根据AE＝BD＝ BC和AG＝ AC判断③即可．
【解答】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，故①正确；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠FAE，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥BC，故②正确；
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴∠DAE＝90°，故④正确；
∵AE＝BD＝ BC，AG＝ AC，
∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；
即正确的个数是3个，
故选：C．
二．解答题（共10小题）
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F别为AB，BC，CA的中点，CD＝2cm，
求EF的长．【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，CD＝2cm，
∴AB＝2CD＝4cm，
∵E，F分别为BC，CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝ AB＝2cm，
答：EF的长为2cm．
12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E，F分别
是AC，BD的中点，连接EF．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若EF＝3，BD＝8，求AC的长．（简述过程）
【分析】（1）连接BE，DE，根据直角三角形的性质得到BE＝DE，根据等腰三角形的
三线合一证明结论；
（2）根据勾股定理求出BE，根据题意计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接BE，DE，
在△ABC和△ADC中，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC中点，
∴BE＝ AC，DE＝ AC，
∴BE＝DE，
∵F为BD中点，
∴EF⊥BD；
（2）在Rt△BFE中，EF＝3，BF＝ BD＝4，由勾股定理得：BE＝ ＝ ＝5，
∴AC＝2BE＝10．
13．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别为AB、AC的中点，连接DE、EF、FD．
（1）若AB＝14，AC＝10，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD存在怎样的位置关系？证明你的结论．
【分析】（1）根据直角三角形的性质分别求出AE、DE、AF、DF，根据四边形的周长
公式计算，得到答案；
（2）根据三角形中位线定理得到EF∥BC，根据平行线的性质证明结论．
【解答】解：（1）在Rt△ADB中，E为AB的中点，
∴DE＝ AB＝ ×14＝7，AE＝ AB＝ ×14＝7，
同理：DF＝AF＝ AC＝5，
∴四边形AEDF的周长＝7+7+5+5＝24；
（2）EF⊥AD，
证明如下：∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∵AD⊥BC，
∴EF⊥AD．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，点E是CD的中点，过点
C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．请判断四边形BFCD的形状，并加以证
明．【分析】根据直角三角形的性质得到CD＝ AB＝AD＝BD，证明△AED≌△FEC，根据
全等三角形的性质得到CF＝DB，根据菱形的判定定理证明即可．
【解答】解：四边形BFCD是菱形，
理由如下：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
则CD＝ AB＝AD＝BD，
∵CF∥AB，
∴∠CFA＝∠DAE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴CF＝AD＝DB，
∵CF∥AB，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵CD＝BD，
∴平行四边形BFCD是菱形．
15．在△ABC中，点D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AC＝5，BC＝7，求DE的长．
【分析】（1）根据CE平分∠ACB，AE⊥CE，运用ASA易证明△ACE≌△FCE．根据
全等三角形的性质，得AE＝EF，CF＝AC，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
（2）根据三角形的中位线定理就可求解．
【解答】解：（1）延长AE交BC于F，∵CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E，
∴∠ACE＝∠FCE，∠AEC＝∠FEC＝90°，
在△ACE和△FCE中，
，
∴△ACE≌△FCE．
∴AE＝EF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴DE是△ABF的中位线．
∴DE∥BC；
（2）∵△ACE≌△FCE，
∴CF＝AC＝5，
∵DE是△ABF的中位线．
∴DE＝ BF＝ （BC﹣AC）＝ （7﹣5）＝1，
故DE的长为1．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形；
（2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质、等腰
三角形的性质定理和判定定理证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴EA＝ED，即：△ADE是等腰三角形；
（2）解：∵AD⊥BC，E为AC中点，
∴AC＝2DE＝10，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝ BC＝6，
由勾股定理得：AD＝ ＝ ＝8．
17．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、
AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG．
【分析】连接AD，根据三角形中位线定理证明即可．
【解答】证明：连接AD，
∵E、H分别为AB、BD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝ AD，
同理可得：FG＝ AD，
∴EH＝FG．
18．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中点P，利用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后
利用勾股定理来求EF的长度；
（2）如图，取BD的中点P，连接EP、FP．用三角形中位线定理可以求得EP、FP的
长度，然后利用勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE∥AB，且PE＝ AB＝3，PF∥CD且PF＝ CD＝4．
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝ ＝ ＝5，
即EF＝5；
（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴PE∥AB，且PE＝ AB，PF∥CD且PF＝ CD．
∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，
∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝
90°，
∴PE2+PF2＝（ AB）2+（ CD）2＝EF2，
∴AB2+CD2＝4EF2．
19．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，DE＝2 ，求FC的长度．
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到
∠B＝∠ADE＝30°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：∵AF⊥BC，点D是边AB的中点，DF＝3，
∴AB＝2DF＝6．
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝30°，
∴AF＝ AB＝3，
由勾股定理得，BF＝ ＝ ＝3 ，
∴FC＝BC﹣BF＝ ．
20．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的
延长线于点E，BC＝8，AD＝3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
【分析】（1）证明AD为△BCE的中位线得到CE＝2AD＝6；
（2）通过证明AC＝AE得到AB＝AC，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝CD，
∵CE∥AD，
∴点A为BE的中点，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE＝2AD＝6；
（2）证明：∵CE∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，而∠BAD＝∠CAD，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
而AB＝AE，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
