专题06三角函数(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

06
专题 三角函数
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)2025(cid:36)(cid:37)(cid:34)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:17) (cid:3)(cid:42)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:46)
2024(cid:36)(cid:37)(cid:34)
(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:45)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:29)(cid:30)(cid:21)(cid:53)(cid:54)(cid:55)
2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:34)(cid:35)2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:39)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:56)(cid:26)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)
(cid:34)(cid:35)2022(cid:40)(cid:41)(cid:34)
2026(cid:31)(cid:32)(cid:65)(cid:34)(cid:35)2026(cid:66)(cid:67)(cid:34)
2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:65)
(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:17)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:35)(cid:78)(cid:77)(cid:35)(cid:76)
(cid:34)(cid:35)2025(cid:66)(cid:67)(cid:34) (cid:79)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:80)(cid:81)(cid:17)(cid:26)(cid:82)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:83)
2024(cid:8)(cid:68)(cid:69)(cid:70)Ⅰ(cid:34)(cid:35)2024(cid:8)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:84)(cid:73)(cid:85)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:83)(cid:84)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:18)(cid:17)(cid:62)(cid:63)
Ⅱ(cid:34)(cid:35)2024(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:34) (cid:91)(cid:92)(cid:21)(cid:3)(cid:4)(cid:50)(cid:93)(cid:90)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:18)(cid:17)(cid:19)
(cid:53)(cid:64)
2023(cid:8)(cid:68)(cid:69)(cid:70)Ⅰ(cid:34)(cid:35)2023(cid:8)(cid:68)(cid:69)(cid:70) (cid:20)(cid:98)(cid:13)(cid:10)(cid:99)(cid:45)(cid:46)(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:100)(cid:101)(cid:35)(cid:102)
Ⅱ(cid:34)(cid:35)2023(cid:66)(cid:67)(cid:34) (cid:103)(cid:74)(cid:104)(cid:105)(cid:5)(cid:106)(cid:63)(cid:11)(cid:88)(cid:107)(cid:47)(cid:108)(cid:21)(cid:22)(cid:23)
2022(cid:8)(cid:68)(cid:71)(cid:3)(cid:31)(cid:32)Ⅱ(cid:34)(cid:35)2022(cid:36)(cid:37) (cid:109)(cid:110)
(cid:34)(cid:35)2022(cid:66)(cid:67)(cid:34)(cid:35)2022(cid:40)(cid:41)(cid:34)
2026(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)2026(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:35)2026
(cid:111)(cid:112)(cid:34)(cid:35)2026(cid:66)(cid:67)(cid:34)(cid:35)
2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)2025(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:65)
(cid:34)(cid:35)2025(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:35)2025(cid:111)(cid:112)(cid:34)(cid:35)
=
2025(cid:66)(cid:67)(cid:34)(cid:35)
2024(cid:8)(cid:68)(cid:69)(cid:70)Ⅰ(cid:34)(cid:35)2024(cid:8)(cid:68)(cid:69)(cid:70)
(cid:3)(cid:42)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:102)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:53)(cid:64)(cid:35)(cid:116)(cid:117)
Ⅱ(cid:34)(cid:35)2024(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:34)(cid:35)2024(cid:36)(cid:37)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20) (cid:104)(cid:35)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:35)(cid:120)(cid:46)(cid:35)(cid:121)(cid:122)(cid:104)(cid:35)(cid:123)(cid:124)
(cid:34)(cid:35)2024(cid:111)(cid:112)(cid:34)(cid:35)2024(cid:66)(cid:67)(cid:34)
(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:74)(cid:104)(cid:105) (cid:104)(cid:98)(cid:13)(cid:50)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:20) ω (cid:21)(cid:128)(cid:129)(cid:98)(cid:13)(cid:90)
2023(cid:8)(cid:68)(cid:69)(cid:70)Ⅰ(cid:34)(cid:35)2023(cid:8)(cid:68)(cid:69)(cid:70)
(cid:52)(cid:130)(cid:4)
Ⅱ(cid:34)(cid:35)2023(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:34)(cid:35)2023(cid:8)(cid:31)
(cid:32)(cid:39)(cid:34)(cid:35)2023(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:35)2023(cid:111)(cid:112)
(cid:34)(cid:35)2023(cid:66)(cid:67)(cid:34)(cid:35)
2022(cid:8)(cid:68)(cid:71)(cid:3)(cid:31)(cid:32)Ⅰ(cid:34)(cid:35)2022(cid:8)(cid:68)
(cid:71)(cid:3)(cid:31)(cid:32)Ⅱ(cid:34)(cid:35)2022(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:34)(cid:35)
2022(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:39)(cid:34)(cid:35)2022(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:35)
2022(cid:111)(cid:112)(cid:34)(cid:35)2022(cid:66)(cid:67)(cid:34)(cid:35)2022(cid:40)(cid:41)(cid:34)
考点 01 同角三角函数的基本关系及诱导公式
ì 7π 5π 5πü ìï 3 1 üï
1(cid:131)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:61)A=ísin ,cos ,tan ý(cid:50)B=í- ,- ,1ý(cid:50)(cid:135)AIB=(cid:10) (cid:11)
î 6 3 4 þ ïî 2 2 ïþ
ìï 3 1üï ìï 3 üï ì 1 ü ìï 3 1 üï
A(cid:131)í- ,- ý B(cid:131)í- ,1ý C(cid:131)í- ,1ý D(cid:131)í- ,- ,1ý
ïî 2 2ïþ ïî 2 ïþ î 2 þ ïî 2 2 ïþ
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)C
7π æ πö π 1 5π æ πö π 1
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)sin =sinçπ+ ÷=-sin =- (cid:50)cos =cosç2π- ÷=cos = (cid:50)
6 è 6ø 6 2 3 è 3ø 3 2
5π æ πö π
tan =tançπ+ ÷=tan =1(cid:50)
4 è 4ø 4
ì 1 1 ü ìï 3 1 üï ì 1 ü
(cid:143)(cid:134)(cid:61)A=í- , ,1ý(cid:50)(cid:144)(cid:134)(cid:61)B=í- ,- ,1ý(cid:50)(cid:145)(cid:146)AÇB=í- ,1ý.
î 2 2 þ ïî 2 2 ïþ î 2 þ
2(cid:131)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:147)(cid:38)(cid:148)sin2a+sin2b=1(cid:50)(cid:39)(cid:148)sina+cosb=0(cid:50)(cid:135)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131)(cid:38)(cid:90)(cid:39)(cid:21)(cid:149)(cid:5)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:88)(cid:90)(cid:153)(cid:154)(cid:150)(cid:151) B(cid:131)(cid:38)(cid:90)(cid:39)(cid:21)(cid:153)(cid:154)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:88)(cid:90)(cid:149)(cid:5)(cid:150)(cid:151)
C(cid:131)(cid:38)(cid:90)(cid:39)(cid:21)(cid:149)(cid:154)(cid:150)(cid:151) D(cid:131)(cid:38)(cid:155)(cid:88)(cid:90)(cid:39)(cid:21)(cid:149)(cid:5)(cid:150)(cid:151)(cid:156)(cid:88)(cid:90)(cid:39)(cid:21)(cid:153)(cid:154)(cid:150)(cid:151)
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)B
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:149)(cid:5)(cid:150)(cid:151)(cid:35)(cid:153)(cid:154)(cid:150)(cid:151)(cid:21)(cid:159)(cid:160)(cid:26)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:161)(cid:94).
π
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:162)sin2a+sin2b=1(cid:163)(cid:50)(cid:164)(cid:99)a= ,b=0(cid:152)sina+cosb¹0(cid:50)
2
(cid:143)sin2a+sin2b=1(cid:165)(cid:88)(cid:166)sina+cosb=0(cid:167)
(cid:162)sina+cosb=0(cid:163)(cid:50)sin2a+sin2b=(-cosb)2+sin2b=1(cid:50)
(cid:143)sina+cosb=0(cid:55)(cid:165)(cid:166)sin2a+sin2b=1.
(cid:168)(cid:66)(cid:107)(cid:133)(cid:50)(cid:38)(cid:90)(cid:39)(cid:21)(cid:153)(cid:154)(cid:88)(cid:149)(cid:5)(cid:150)(cid:151).
(cid:169)(cid:170)(cid:148)B
3(cid:131)（2022·浙江·高考真题）(cid:147)xÎR(cid:50)(cid:135)“sinx=1”(cid:90)“cosx=0”(cid:21)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131)(cid:149)(cid:5)(cid:88)(cid:153)(cid:154)(cid:150)(cid:151) B(cid:131)(cid:153)(cid:154)(cid:88)(cid:149)(cid:5)(cid:150)(cid:151) C(cid:131)(cid:149)(cid:5)(cid:153)(cid:154)(cid:150)(cid:151) D(cid:131)(cid:155)(cid:88)(cid:149)(cid:5)(cid:156)(cid:88)(cid:153)(cid:154)(cid:150)(cid:151)
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)A
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:171)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:104)(cid:105)(cid:172)(cid:61)(cid:149)(cid:5)(cid:150)(cid:151)(cid:35)(cid:153)(cid:154)(cid:150)(cid:151)(cid:21)(cid:173)(cid:174)(cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:94).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)sin2x+cos2x=1(cid:107)(cid:161)(cid:148)
(cid:162)sinx=1(cid:163)(cid:50)cosx=0(cid:50)(cid:149)(cid:5)(cid:104)(cid:175)(cid:92)(cid:167)
(cid:162)cosx=0(cid:163)(cid:50)sinx=±1(cid:50)(cid:153)(cid:154)(cid:104)(cid:88)(cid:175)(cid:92)(cid:167)
(cid:145)(cid:146)(cid:162)xÎR(cid:50)sinx=1(cid:90)cosx=0(cid:21)(cid:149)(cid:5)(cid:88)(cid:153)(cid:154)(cid:150)(cid:151).
(cid:169)(cid:170)(cid:148)A.
4(cid:131)（2025·北京·高考真题）(cid:132)(cid:133)a,bÎ[0,2π](cid:50)(cid:144)sin(a+b)=sin(a-b)(cid:50)cos(a+b)¹cos(a-b).(cid:176)(cid:166)(cid:177)(cid:178)
(cid:150)(cid:151)(cid:21)(cid:33)(cid:179)a,b(cid:21)(cid:46)a=________(cid:50)b=_________(cid:131)
π π
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139) (cid:10)(cid:137)(cid:138)(cid:88)(cid:180)(cid:33)(cid:11) (cid:10)(cid:137)(cid:138)(cid:88)(cid:180)(cid:33)(cid:11)
2 6
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:17)(cid:21)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:107)(cid:161)(cid:17)(cid:21)(cid:63)(cid:181)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:182)(cid:183)(cid:107)(cid:161)(cid:177)(cid:178)(cid:150)(cid:151)(cid:21)(cid:33)(cid:179)(cid:94).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)sina+b=sina-b(cid:50)cosa+b¹cosa-b(cid:50)
(cid:145)(cid:146)a+b,a-b(cid:21)(cid:184)(cid:185)(cid:24)(cid:186)y(cid:187)(cid:123)(cid:124)(cid:50)(cid:144)(cid:88)(cid:74)y(cid:187)(cid:52)(cid:61)(cid:50)
π
(cid:169)a+b+a-b=π+2kπ,kÎZ(cid:144)a+b¹ +lπ,lÎZ(cid:50)
2
π
(cid:143)a= +kπ,kÎZ(cid:50)
2
π π
(cid:169)(cid:188)a= ,b= (cid:107)(cid:177)(cid:178)(cid:13)(cid:147)(cid:154)(cid:45)(cid:167)
2 6
π π
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148) (cid:167) (cid:10)(cid:137)(cid:138)(cid:88)(cid:180)(cid:33)(cid:11)
2 6
5(cid:131)（2024·北京·高考真题）(cid:189)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:17)(cid:193)(cid:70)(cid:25)xOy(cid:126)(cid:50)(cid:17)a(cid:74)(cid:17)b(cid:194)(cid:146)Ox(cid:142)(cid:195)(cid:185)(cid:50)(cid:87)(cid:196)(cid:21)(cid:184)(cid:185)(cid:24)(cid:186)(cid:197)(cid:4)(cid:123)
éπ πù
(cid:124).(cid:198)aÎ , (cid:50)(cid:135)cosb(cid:21)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:142)________(cid:131)
ê ú
ë6 3û
1
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)- /-0.5
2
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:200)(cid:201)(cid:161)(cid:166)b=a+π+2kπ,kÎZ(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:94)(cid:120)(cid:46).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)(cid:13)(cid:202)b=a+π+2kπ,kÎZ(cid:50)(cid:182)(cid:183)cosb=cosa+π+2kπ=-cosa(cid:50)
éπ πù é1 3ù é 3 1ù
(cid:141)(cid:142)aÎ
ê
,
ú
(cid:50)(cid:145)(cid:146)cosa(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:128)(cid:129)(cid:90)ê , ú(cid:50)cosb(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:128)(cid:129)(cid:90)ê- ,- ú(cid:50)
ë6 3û
ë
2 2
û ë
2 2
û
π 4π 1
(cid:162)(cid:144)(cid:89)(cid:162)a= (cid:50)(cid:143)b= +2kπ,kÎZ(cid:163)(cid:50)cosb(cid:188)(cid:161)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:50)(cid:144)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:142)- .
3 3 21
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)- .
2
æ πö 1
6(cid:131)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:198)qÎç0, ÷,tanq= (cid:50)(cid:135)sinq-cosq=________(cid:131)
è 2ø 2
5
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)-
5
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:17)(cid:24)(cid:25)(cid:45)sinq(cid:50)(cid:203)(cid:183)(cid:107)(cid:161)(cid:172)(cid:204).
æ (cid:205)ö
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)qÎ ç0, ÷(cid:50)(cid:135)sinq>0,cosq>0(cid:50)
è 2ø
sinq 1
(cid:206)(cid:141)(cid:142)tanq= = (cid:50)(cid:135)cosq=2sinq(cid:50)
cosq 2
5 5
(cid:144)cos2q+sin2q=4sin2q+sin2q=5sin2q=1(cid:50)(cid:94)(cid:161)sinq= (cid:47)sinq=- (cid:10)(cid:207)(cid:208)(cid:11)(cid:50)
5 5
5
(cid:145)(cid:146)sinq-cosq=sinq-2sinq=-sinq=- .
5
5
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)- .
5
7(cid:131)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:198) f x=x-12 +ax+sin æ çx+ πö ÷(cid:142)(cid:122)(cid:19)(cid:20)(cid:50)(cid:135)a=________(cid:131)
è 2ø
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)2
æ πö æπö
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:209)(cid:84)(cid:122)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:104)(cid:105)(cid:161)(cid:210) f ç- ÷= f ç ÷(cid:50)(cid:182)(cid:183)(cid:45)(cid:161)a=2(cid:50)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:94).
è 2ø è2ø
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)y= f x=x-12 +ax+sin æ çx+ πö ÷=x-12 +ax+cosx(cid:142)(cid:122)(cid:19)(cid:20)(cid:50)(cid:173)(cid:174)(cid:214)(cid:142)R(cid:50)
è 2ø
æ πö æπö æ π ö 2 π æ πö æπ ö 2 π π
(cid:145)(cid:146) f ç- ÷= f ç ÷(cid:50)(cid:143) ç- -1÷ - a+cosç- ÷=ç -1÷ + a+cos (cid:50)
è 2ø è2ø è 2 ø 2 è 2ø è2 ø 2 2
2 2
æπ ö æπ ö
(cid:135)πa=ç +1÷ -ç -1÷ =2π(cid:50)(cid:169)a=2(cid:50)
è2 ø è2 ø
(cid:215)(cid:163) f x=x-12 +2x+cosx=x2+1+cosx(cid:50)
(cid:145)(cid:146) f -x=-x2 +1+cos-x=x2+1+cosx= f x(cid:50)
(cid:206)(cid:173)(cid:174)(cid:214)(cid:142)R(cid:50)(cid:169) f x(cid:142)(cid:122)(cid:19)(cid:20)(cid:50)
(cid:145)(cid:146)a=2.
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)2.
考点 02 三角恒等变换1+sina
1(cid:131)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)a(cid:142)(cid:216)(cid:65)(cid:113)(cid:217)(cid:17)(cid:50)3sin2acosa=8sinacos2a(cid:50)(cid:135) =(cid:10) (cid:11)
2-cosa
3 3 1 5
A(cid:131) B(cid:131) C(cid:131) D(cid:131)
4 5 2 12
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)C
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:209)(cid:84)(cid:65)(cid:82)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:44)(cid:107)(cid:161)3cos2a=4  2cos2a-1  (cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:17)(cid:21)(cid:128)(cid:129)(cid:5)(cid:218)(cid:45)(cid:166)cosa(cid:50)sina(cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:94).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)3sin2acosa=8sinacos2a(cid:50)(cid:161)(cid:148)6sinacos2a=8sina  cos2a-sin2a 
(cid:141)(cid:142)a(cid:90)(cid:216)(cid:65)(cid:113)(cid:217)(cid:17)(cid:50)(cid:145)(cid:146)sina>0(cid:50)cosa<0(cid:50)
(cid:43)(cid:44)(cid:161)(cid:148)3cos2a=4  2cos2a-1  (cid:50)(cid:143)cos2a= 4
5
2 5
(cid:171)(cid:186)cosa<0(cid:50)(cid:94)(cid:161)(cid:148)cosa=- (cid:50)
5
5
(cid:141)(cid:142)sina>0(cid:50)(cid:145)(cid:146)sina= 1-cos2a= (cid:50)
5
5
1+
1+sina 5 1
(cid:145)(cid:146) = =
2-cosa 2 5 2
2+
5
a 5 æ pö
2(cid:131)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)0<a<p(cid:50)cos = (cid:50)(cid:135)sinça- ÷=(cid:10) (cid:11)
2 5 è 4ø
2 2 3 2 7 2
A(cid:131) B(cid:131) C(cid:131) D(cid:131)
10 5 10 10
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)D
3 4
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:209)(cid:84)(cid:65)(cid:82)(cid:17)(cid:78)(cid:77)(cid:29)(cid:30)(cid:161)cosa=- (cid:50)(cid:135)sina= (cid:50)(cid:120)(cid:219)(cid:211)(cid:157)(cid:158)(cid:72)(cid:17)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:29)(cid:30)(cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:210)(cid:137)(cid:138).
5 5
2
a æ 5ö 3
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)cosa=2cos2 -1=2´ç ÷ -1=- (cid:50)
ç ÷
2 5 5
è ø
p æ 3ö 2 4
(cid:141)(cid:142)0<a<p(cid:50)(cid:135) <a<p(cid:50)(cid:135)sina= 1-cos2a= 1-ç- ÷ = (cid:50)
2 è 5ø 5
æ pö p p 4 2 æ 3ö 2 7 2
(cid:135)sinça- ÷=sinacos -cosasin = ´ -ç- ÷´ = .
è 4ø 4 4 5 2 è 5ø 2 10
(cid:169)(cid:170)(cid:148)D.
3(cid:131)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)cos(a+b)=m,tanatanb=2(cid:50)(cid:135)cos(a-b)=(cid:10) (cid:11)
m m
A(cid:131)-3m B(cid:131)- C(cid:131) D(cid:131)3m
3 3
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)A(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:72)(cid:17)(cid:73)(cid:21)(cid:78)(cid:77)(cid:107)(cid:45)cosacosb,sinasinb(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:172)(cid:61)tanatanb(cid:21)(cid:46)(cid:107)(cid:45)(cid:220)(cid:221)(cid:50)(cid:169)(cid:107)(cid:45)
cosa-b(cid:21)(cid:46).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)cosa+b=m(cid:50)(cid:145)(cid:146)cosacosb-sinasinb=m(cid:50)
(cid:183)tanatanb=2(cid:50)(cid:145)(cid:146)sinasinb=2cosacosb(cid:50)
(cid:169)cosacosb-2cosacosb=m(cid:143)cosacosb=-m(cid:50)
(cid:182)(cid:183)sinasinb=-2m(cid:50)(cid:169)cosa-b=-3m(cid:50)
(cid:169)(cid:170)(cid:148)A.
cosa æ πö
4(cid:131)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:132)(cid:133) = 3(cid:50)(cid:135)tança+ ÷=(cid:10) (cid:11)
cosa-sina è 4ø
3
A(cid:131)2 3+1 B(cid:131)2 3-1 C(cid:131) D(cid:131)1- 3
2
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)B
cosa
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:201)(cid:222) (cid:77)(cid:43)(cid:79)(cid:45)(cid:161)tana(cid:50)(cid:211)(cid:157)(cid:158)(cid:72)(cid:17)(cid:73)(cid:21)(cid:76)(cid:79)(cid:29)(cid:30)(cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:94).
cosa-sina
cosa
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142) = 3(cid:50)
cosa-sina
1 3
(cid:145)(cid:146) = 3(cid:50)Þtana=1- (cid:50)
1-tana 3
æ pö tana+1
(cid:145)(cid:146)tança+ ÷= =2 3-1(cid:50)
è 4ø 1-tana
(cid:169)(cid:170)(cid:148)B.
1 1
5(cid:131)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)sina-b= ,cosasinb= (cid:50)(cid:135)cos2a+2b=(cid:10) (cid:11)(cid:131)
3 6
7 1 1 7
A(cid:131) B(cid:131) C(cid:131)- D(cid:131)-
9 9 9 9
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)B
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:223)(cid:173)(cid:150)(cid:151)(cid:50)(cid:209)(cid:84)(cid:73)(cid:17)(cid:35)(cid:75)(cid:17)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:166)sin(a+b)(cid:50)(cid:211)(cid:209)(cid:84)(cid:65)(cid:82)(cid:17)(cid:21)(cid:78)(cid:77)(cid:29)(cid:30)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:137).
1 1 1
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)sin(a-b)=sinacosb-cosasinb= (cid:50)(cid:183)cosasinb= (cid:50)(cid:141)(cid:215)sinacosb= (cid:50)
3 6 2
2
(cid:135)sin(a+b)=sinacosb+cosasinb= (cid:50)
3
2 1
(cid:145)(cid:146)cos(2a+2b)=cos2(a+b)=1-2sin2(a+b)=1-2´( )2 = .
3 9
(cid:169)(cid:170)(cid:148)B
(cid:136)(cid:4)(cid:227)(cid:139)(cid:228)(cid:229)(cid:4)(cid:227)(cid:148)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:45)(cid:46)(cid:21)(cid:6)(cid:230)(cid:26)(cid:228)(cid:229)
(cid:10)1(cid:11)“(cid:223)(cid:17)(cid:45)(cid:46)”(cid:148)(cid:33)(cid:231)(cid:145)(cid:223)(cid:166)(cid:21)(cid:17)(cid:232)(cid:90)(cid:233)(cid:48)(cid:49)(cid:17)(cid:50)(cid:182)(cid:234)(cid:191)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:130)(cid:50)(cid:152)(cid:233)(cid:48)(cid:49)(cid:17)(cid:74)(cid:48)(cid:49)(cid:17)(cid:238)(cid:239)(cid:33)(cid:173)(cid:24)(cid:25)(cid:131)(cid:94)(cid:13)(cid:163)(cid:50)(cid:154)(cid:209)(cid:84)(cid:240)(cid:241)(cid:161)(cid:210)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:29)(cid:30)(cid:242)(cid:43)(cid:142)(cid:48)(cid:49)(cid:17)(cid:21)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:131)
(cid:10)2(cid:11)“(cid:223)(cid:46)(cid:45)(cid:46)”(cid:148)(cid:223)(cid:166)(cid:243)(cid:244)(cid:17)(cid:21)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:50)(cid:45)(cid:245)(cid:246)(cid:33)(cid:244)(cid:17)(cid:21)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:50)(cid:94)(cid:13)(cid:24)(cid:247)(cid:189)(cid:186)“(cid:53)(cid:17)”(cid:50)(cid:248)(cid:125)(cid:17)
(cid:249)(cid:16)(cid:47)(cid:110)(cid:239)(cid:243)(cid:250)(cid:24)(cid:25)(cid:131)
(cid:10)3(cid:11)“(cid:223)(cid:46)(cid:45)(cid:17)”(cid:148)(cid:251)(cid:105)(cid:66)(cid:156)(cid:242)(cid:43)(cid:142)“(cid:223)(cid:46)(cid:45)(cid:46)”(cid:50)(cid:24)(cid:247)(cid:156)(cid:90)(cid:53)(cid:17)(cid:50)(cid:252)(cid:145)(cid:45)(cid:17)(cid:84)(cid:253)(cid:132)(cid:133)(cid:17)(cid:21)(cid:30)(cid:254)(cid:234)(cid:255)(cid:50)(cid:171)(cid:145)(cid:161)
(cid:21)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:172)(cid:61)(cid:256)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:118)(cid:119)(cid:257)(cid:258)(cid:45)(cid:161)(cid:17)(cid:50)(cid:239)(cid:163)(cid:154)(cid:259)(cid:115)(cid:17)(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:128)(cid:129)(cid:131)
1+ 5 a
6(cid:131)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)a(cid:142)(cid:260)(cid:17)(cid:50)cosa= (cid:50)(cid:135)sin =(cid:10) (cid:11)(cid:131)
4 2
3- 5 -1+ 5 3- 5 -1+ 5
A(cid:131) B(cid:131) C(cid:131) D(cid:131)
8 8 4 4
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)D
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:65)(cid:82)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:10)(cid:47)(cid:221)(cid:85)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:11)(cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:166)(cid:131)
a 1+ 5
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)cosa=1-2sin2 = (cid:50)(cid:183)a(cid:142)(cid:260)(cid:17)(cid:50)
2 4
a  5-1 2
(cid:94)(cid:161)(cid:148)sin = 3- 5 5-1(cid:131)
2 = =
8 16 4
(cid:169)(cid:170)(cid:148)D(cid:131)
æ pö
7(cid:131)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:198)sin(a+b)+cos(a+b)=2 2cosça+ ÷sinb(cid:50)(cid:135)(cid:10) (cid:11)
è 4ø
A(cid:131)tana-b=1 B(cid:131)tana+b=1
C(cid:131)tana-b=-1 D(cid:131)tana+b=-1
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)C
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:171)(cid:72)(cid:17)(cid:73)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:78)(cid:77)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:44)(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:261)(cid:20)(cid:24)(cid:25)(cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:94).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)[(cid:228)(cid:229)(cid:33)](cid:148)(cid:192)(cid:262)(cid:229)
(cid:171)(cid:132)(cid:133)(cid:161)(cid:148)sinacosb+cosasinb+cosacosb-sinasinb=2cosa-sinasinb,
(cid:143)(cid:148)sinacosb-cosasinb+cosacosb+sinasinb=0(cid:50)
(cid:143)(cid:148)sina-b+cosa-b=0
(cid:145)(cid:146)tana-b=-1
(cid:169)(cid:170)(cid:148)C
[(cid:228)(cid:229)(cid:65)](cid:148)(cid:48)(cid:49)(cid:46)(cid:263)(cid:264)(cid:229)
p
(cid:94)(cid:229)(cid:33):(cid:147)β=0(cid:135)sinα +cosα =0(cid:50)(cid:188)a=- (cid:50)(cid:263)(cid:264)A, B(cid:167)
4p
(cid:211)(cid:188)α=0(cid:135)sinβ +cosβ= 2sinβ(cid:50)(cid:188)β= (cid:50)(cid:263)(cid:264)D(cid:167)(cid:170)C.
4
[(cid:228)(cid:229)(cid:18)](cid:148)(cid:18)(cid:17)(cid:62)(cid:63)(cid:53)(cid:64)
p p
sin(a+b)+cos(a+b)= 2sin(cid:10)a+b+ (cid:11)= 2sin(cid:10)[ a+ (cid:11)+b]
4 4
p p p
= 2sin(cid:10)a+ (cid:11)cosb+ 2co(cid:10)s a+ (cid:11)sinb=2 2co(cid:10)s a+ (cid:11)sinb
4 4 4
p p
(cid:145)(cid:146) 2sin(cid:10)a+ (cid:11)cosb= 2co(cid:10)s a+ (cid:11)sinb
4 4
p p p
sin(cid:10)a+ (cid:11)cosb-co(cid:10)s a+ (cid:11)sinb=0(cid:143)sin(cid:10)a+ -b(cid:11)=0
4 4 4
p p p 2 2
\sin(cid:10)a-b+ (cid:11)=sin(cid:10)a-b(cid:11)cos +co(cid:10)s a-b(cid:11)sin = sin(cid:10)a-b(cid:11)+ co(cid:10)s a-b(cid:11)=0
4 4 4 2 2
\sin(cid:10)a-b(cid:11)=-co(cid:10)s a-b(cid:11)(cid:143)tan(a-b(cid:11)=-1,
(cid:169)(cid:170)(cid:148)C.
1
8(cid:131)(cid:10)(cid:265)(cid:170)(cid:13)(cid:11)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)VABC(cid:21)(cid:191)(cid:266)(cid:142) (cid:50)(cid:198)
4
1
cos2A+cos2B+2sinC =2,cosAcosBsinC = (cid:50)(cid:135)(cid:10) (cid:11)
4
A(cid:131)sinC =sin2 A+sin2B B(cid:131)AB= 2
6
C(cid:131)sinA+sinB= D(cid:131)AC2+BC2 =3
2
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)ABC
π
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:123)cos2A+cos2B+2sinC =2(cid:171)(cid:65)(cid:82)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:201)(cid:107)(cid:165)(cid:133)A(cid:170)(cid:267)(cid:76)(cid:268)(cid:50)(cid:228)(cid:229)(cid:33)(cid:5)(cid:9)(cid:269)(cid:270)(cid:237)A+B(cid:73) (cid:21)
2
(cid:199)(cid:271)(cid:50)(cid:228)(cid:229)(cid:65)(cid:272)(cid:107)(cid:248)(cid:84)(cid:76)(cid:78)(cid:77)(cid:173)(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:94)(cid:95)(cid:50)(cid:228)(cid:229)(cid:18)(cid:107)(cid:172)(cid:61)(cid:276)(cid:277)(cid:173)(cid:273)(cid:94)(cid:95)(cid:50)(cid:228)(cid:229)(cid:278)(cid:107)(cid:189)(cid:229)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:279)(cid:66)(cid:50)(cid:209)
1
(cid:84)(cid:73)(cid:75)(cid:43)(cid:266)(cid:29)(cid:30)(cid:50)(cid:280)(cid:281)(cid:274)(cid:275)(cid:282)(cid:283)(cid:167)(cid:50)(cid:284)(cid:219)(cid:209)(cid:84)cosAcosBsinC = (cid:225)(cid:166)A,B(cid:188)(cid:46)(cid:50)(cid:120)(cid:219)(cid:209)(cid:84)(cid:18)(cid:17)(cid:54)(cid:191)(cid:266)(cid:45)(cid:166)
4
(cid:18)(cid:185)(cid:285)(cid:50)(cid:143)(cid:107)(cid:286)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:170)(cid:267).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)cos2A+cos2B+2sinC =2(cid:50)(cid:171)(cid:65)(cid:82)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:50)1-2sin2 A+1-2sin2B+2sinC =2(cid:50)
(cid:290)(cid:273)(cid:107)(cid:161)(cid:50)sinC =sin2 A+sin2B(cid:50)A(cid:170)(cid:267)(cid:76)(cid:268)(cid:167)
(cid:171)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:50)sin(A+B)=sinπ-C=sinC(cid:50)
(cid:291)(cid:292)(cid:107)(cid:161)sinAcosB+sinBcosA=sin2 A+sin2B(cid:50)
(cid:143)sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0(cid:50)
π
(cid:293)(cid:100)C = .
2
(cid:228)(cid:229)(cid:33)(cid:148)(cid:5)(cid:6)(cid:274)(cid:275)π
(cid:198)A+B= (cid:50)(cid:135)sinA=cosB,sinB=cosA(cid:107)(cid:133)(cid:63)(cid:30)(cid:175)(cid:92)(cid:167)
2
π π
(cid:198)A+B< (cid:50)(cid:143)A< -B(cid:50)(cid:171)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:73)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:107)(cid:133)(cid:50)sinA<cosB(cid:50)(cid:16)(cid:273)sinB<cosA(cid:50)
2 2
(cid:206)sinA>0,sinB>0(cid:50)(cid:186)(cid:90)sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)<0(cid:50)
π
(cid:74)(cid:150)(cid:151)(cid:88)(cid:294)(cid:50)(cid:135)A+B< (cid:88)(cid:175)(cid:92)(cid:167)
2
π π
(cid:198)A+B> (cid:50)(cid:6)(cid:295)(cid:107)(cid:165)(cid:28)(cid:166)sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)>0(cid:50)(cid:135)A+B> (cid:88)(cid:175)(cid:92).
2 2
π π
(cid:168)(cid:66)(cid:274)(cid:275)(cid:107)(cid:133)(cid:50)A+B= (cid:50)(cid:143)C = .
2 2
(cid:228)(cid:229)(cid:65)(cid:148)(cid:185)(cid:17)(cid:242)(cid:43)
sinC =sin2 A+sin2B(cid:163)(cid:50)(cid:171)CÎ(0,π)(cid:50)(cid:135)sinCÎ(0,1](cid:50)
(cid:186)(cid:90)1´sinC =sin2 A+sin2B³sin2C(cid:50)
(cid:171)(cid:76)(cid:77)(cid:173)(cid:273)(cid:50)a2+b2 ³c2(cid:50)
π
(cid:171)(cid:78)(cid:77)(cid:173)(cid:273)(cid:107)(cid:133)(cid:50)cosC³0(cid:50)(cid:135)CÎ(0, ](cid:50)
2
π π 1
(cid:198)CÎ(0, )(cid:50)(cid:135)A+B> (cid:50)(cid:51)(cid:202)(cid:210)cosAcosBsinC = (cid:50)(cid:135)cosAcosB>0(cid:50)
2 2 4
æ πö
(cid:186)(cid:90)cosA>0,cosB>0(cid:10)(cid:72)(cid:221)(cid:16)(cid:296)(cid:297)(cid:239)(cid:72)(cid:289)(cid:298)(cid:17)(cid:50)(cid:88)(cid:175)(cid:92)(cid:11)(cid:50)(cid:186)(cid:90)A,BÎç0, ÷(cid:50)
è 2ø
π π π æπ ö
(cid:172)(cid:61)A+B> Û A> -B(cid:50)(cid:183)A, -B(cid:232)(cid:90)(cid:260)(cid:17)(cid:50)(cid:135)sinA>sinç -B÷=cosB>0(cid:50)
2 2 2 è2 ø
(cid:186)(cid:90)sinC =sin2 A+sin2B>cos2B+sin2B=1(cid:50)(cid:299)(cid:73)sinC£1(cid:249)(cid:300)(cid:301)(cid:50)
π π
(cid:169)CÎ(0, )(cid:88)(cid:175)(cid:92)(cid:50)(cid:135)C =
2 2
(cid:228)(cid:229)(cid:18)(cid:148)(cid:172)(cid:61)(cid:276)(cid:277)(cid:173)(cid:273)(cid:10)(cid:228)(cid:229)(cid:33)(cid:302)(cid:203)(cid:11)
(cid:171)sinC =sin2 A+sin2B(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:76)(cid:77)(cid:173)(cid:273)(cid:107)(cid:161)(cid:50)c=asinA+bsinB(cid:50)(cid:171)(cid:276)(cid:277)(cid:173)(cid:273)(cid:107)(cid:161)c=acosB+bcosA(cid:50)(cid:186)
(cid:90)asinA+bsinB=acosB+bcosA(cid:50)
π
(cid:135)a(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0(cid:50)(cid:107)(cid:16)(cid:228)(cid:229)(cid:33)(cid:250)(cid:274)(cid:275)(cid:21)(cid:17)(cid:303)(cid:50)(cid:165)(cid:166)A+B= (cid:50)
2
(cid:228)(cid:229)(cid:278)(cid:148)(cid:73)(cid:75)(cid:43)(cid:266)(cid:10)(cid:228)(cid:229)(cid:33)(cid:302)(cid:203)(cid:11)
(cid:304)(cid:229)(cid:18)(cid:148)
a(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0(cid:50)(cid:107)(cid:133)sinA-cosB,sinB-cosA(cid:16)(cid:163)(cid:142)0(cid:47)(cid:221)(cid:305)(cid:306)(cid:50)(cid:143)
(sinA-cosB)(sinB-cosA)£0(cid:50)(cid:291)(cid:292)(cid:107)(cid:161)(cid:50)
sinAsinB-sinAcosA-cosBsinB+cosAcosB£0(cid:50)1 æ πö
(cid:143)cos(A-B)- sin2A+sin2B£0(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:73)(cid:75)(cid:43)(cid:266)(cid:50)cos(A-B)1-sin(A+B)£0(cid:50)(cid:171)(cid:66)(cid:307)(cid:5)(cid:106)(cid:50)A,BÎç0, ÷(cid:50)
2 è 2ø
æ π πö π
(cid:135)A-BÎç- , ÷(cid:50)(cid:135)cos(A-B)³0(cid:50)(cid:135)1-sin(A+B)£0(cid:50)(cid:143)sinC³1(cid:50)(cid:186)(cid:90)sinC =1(cid:50)(cid:107)(cid:133)C = .
è 2 2ø 2
1 π 1
(cid:171)cosAcosBsinC = =cosAcosB(cid:50)(cid:171)A+B= (cid:50)(cid:135)cosB=sinA(cid:50)(cid:143)sinAcosA= (cid:50)
4 2 4
1 1 æ πö
(cid:135)sin2A= (cid:50)(cid:16)(cid:273)sin2B= (cid:50)(cid:171)(cid:66)(cid:307)(cid:165)(cid:28)(cid:50)A,BÎç0, ÷(cid:50)(cid:135)2A,2BÎ(0,π)(cid:50)
2 2 è 2ø
π 5π π 5π
(cid:88)(cid:308)(cid:147)A<B(cid:50)(cid:135)2A= ,2B= (cid:50)(cid:143)A= ,B= (cid:50)
6 6 12 12
π 5π 6- 2 6+ 2 6
(cid:171)(cid:72)(cid:17)(cid:73)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:29)(cid:30)(cid:107)(cid:133)sin +sin = + = (cid:50)C(cid:170)(cid:267)(cid:76)(cid:268)
12 12 4 4 2
5π
(cid:171)(cid:72)(cid:17)(cid:73)(cid:21)(cid:76)(cid:79)(cid:29)(cid:30)(cid:107)(cid:161)(cid:50)tan =2+ 3(cid:50)
12
   
(cid:147)BC =t,AC = 2+ 3 t(cid:50)(cid:135)AB= 2+ 6 t(cid:50)
2
1 1 4-2 3 æ 3-1ö 3-1
(cid:171)S = (2+ 3)t2 = (cid:50)(cid:135)t2 = =ç ÷ (cid:50)(cid:135)t = (cid:50)
VABC 2 4 4 ç è 2 ÷ ø 2
(cid:186)(cid:90)AB=( 6+ 2)t = 2(cid:50)B(cid:170)(cid:267)(cid:76)(cid:268)(cid:50)(cid:171)(cid:309)(cid:310)(cid:173)(cid:273)(cid:107)(cid:133)(cid:50)AC2+BC2 =2(cid:50)D(cid:170)(cid:267)(cid:311)(cid:312).
(cid:169)(cid:170)(cid:148)ABC
1
9(cid:131)（2026·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)sina= (cid:50)(cid:135)cos2a=__________(cid:131)
5
23
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)
25
æ1ö 2 23
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)cos2a=1-2sin2a=1-2´ç ÷ = (cid:131)
è5ø 25
ì1, x>0
10(cid:131)（2025·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133) f(x)= ï í0, x=0(cid:50)a r (cid:35)b r (cid:35)c r(cid:90)(cid:190)(cid:191)(cid:313)(cid:18)(cid:289)(cid:88)(cid:16)(cid:21)(cid:118)(cid:314)(cid:315)(cid:181)(cid:131)(cid:198)
ï
î-1, x<0
r r r r r r r r r
f(a×b)+ f(b×c)+ f(c×a)=0(cid:50)(cid:135)|a+b+c|(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:128)(cid:129)(cid:90)_______(cid:131)
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(1, 5)(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:209)(cid:84)(cid:5)(cid:316)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:5)(cid:6)(cid:274)(cid:275)(cid:50)(cid:107)(cid:161)  f  a r ×b r  , f  b r ×c r  , f  c r ×a r  =-1,0,1(cid:50)(cid:211)(cid:157)(cid:158)(cid:20)(cid:181)(cid:266)(cid:24)(cid:25)(cid:147)(cid:166)a r ,b r ,c r
(cid:193)(cid:70)(cid:50)(cid:209)(cid:84)(cid:193)(cid:70)(cid:317)(cid:225)(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:18)(cid:17)(cid:62)(cid:63)(cid:53)(cid:64)(cid:45)(cid:94)(cid:58)(cid:21)(cid:128)(cid:129)(cid:107)(cid:161).
 r r   r r   r r  r r r r r r
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:198) f a×b = f b×c = f c×a =0(cid:50)(cid:135)a×b=b×c=c×a=0(cid:50)
r r r
(cid:206)(cid:18)(cid:289)(cid:315)(cid:181)(cid:194)(cid:142)(cid:190)(cid:191)(cid:313)(cid:21)(cid:118)(cid:314)(cid:315)(cid:181)(cid:50)(cid:169)(cid:315)(cid:181)a,b,c(cid:72)(cid:72)(cid:318)(cid:192)(cid:50)(cid:319)(cid:284)(cid:88)(cid:175)(cid:92)(cid:167)
(cid:169)  f  a r ×b r  , f  b r ×c r  , f  c r ×a r  =-1,0,1.
ì f  a r ×b r  =1
ï
ï  r r r r r r r r
(cid:88)(cid:308)(cid:147)í f b×c =0 (cid:50)(cid:135)a×b>0,b×c=0,c×a<0(cid:50)
ï r r
ïf c×a=-1
î
r r r
(cid:88)(cid:308)(cid:147)b=(1,0),c=(0,1)(cid:50)a=cosq,sinq,qÎ0,2π(cid:50)
r r
ìïa×b =cosq>0 æ3 ö
(cid:135)ír
r
(cid:50)(cid:135)qÎç π,2π÷(cid:50)
ïîc×a=sinq<0 è2 ø
r r r
(cid:135) a+b+c = (1+cosq,1+sinq) = (1+cosq)2+(1+sinq)2 = 3+2cosq+2sinq
π
= 3+2 2sin(q+ )(cid:50)
4
æ3 ö π æ7 9 ö
(cid:171)qÎç π,2π÷(cid:50)q+ Îç π, π÷(cid:50)
è2 ø 4 è4 4 ø
π æ 2 2ö π
(cid:135)sin(q+ )Îç- , ÷(cid:50)2 2sin(q+ )Î-2,2
ç ÷
4 2 2 4
è ø
r r r
(cid:169) a+b+c Î(1, 5).
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)(1, 5).
æ πö
11(cid:131)（2025·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)tana=1(cid:50)(cid:135)cosça+ ÷=__________(cid:131)
è 4ø
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)0
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:209)(cid:84)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:24)(cid:25)(cid:73)(cid:78)(cid:77)(cid:21)(cid:72)(cid:17)(cid:73)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:94)(cid:143)(cid:107).
sina
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)tana= =1(cid:107)(cid:161)sina=cosa(cid:50)
cosa
æ πö π π 2
(cid:145)(cid:146)cosça+ ÷=cosacos -sinasin = cosa-sina=0(cid:50)
è 4ø 4 4 2
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)012(cid:131)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:19)(cid:20) fx=sinx- 3cosx(cid:189)0,π(cid:66)(cid:21)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:90)______(cid:131)
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)2
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:172)(cid:61)(cid:80)(cid:81)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:44)(cid:175)(cid:76)(cid:77)(cid:230)(cid:19)(cid:20)(cid:50)(cid:211)(cid:45)(cid:223)(cid:173)(cid:257)(cid:258)(cid:120)(cid:46)(cid:143)(cid:107).
æ πö π é π 2πù
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139) f x=sinx- 3cosx=2sinçx- ÷(cid:50)(cid:162)xÎ0,π (cid:163)(cid:50)x- Î
ê
- ,
ú
(cid:50)
è 3ø 3 ë 3 3 û
π π 5π
(cid:162)x- = (cid:163)(cid:50)(cid:143)x= (cid:163)(cid:50) f x =2.
3 2 6 max
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)2
13(cid:131)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)a(cid:142)(cid:216)(cid:33)(cid:113)(cid:217)(cid:17)(cid:50)b(cid:142)(cid:216)(cid:18)(cid:113)(cid:217)(cid:17)(cid:50)tana+tanb=4(cid:50)
tanatanb= 2+1(cid:50)(cid:135)sin(a+b)=_______.
2 2
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)-
3
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:229)(cid:33)(cid:148)(cid:157)(cid:158)(cid:72)(cid:17)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:79)(cid:29)(cid:30)(cid:161)tana+b=-2 2(cid:50)(cid:211)(cid:115)(cid:271)a+b(cid:21)(cid:128)(cid:129)(cid:50)(cid:120)(cid:219)(cid:172)(cid:61)(cid:16)(cid:17)(cid:21)(cid:190)
(cid:228)(cid:73)(cid:24)(cid:25)(cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:210)(cid:137)(cid:138)(cid:167)(cid:229)(cid:65)(cid:148)(cid:209)(cid:84)(cid:77)(cid:43)(cid:79)(cid:21)(cid:228)(cid:229)(cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:210)(cid:137)(cid:138).
tana+tanb 4
tana+b= = =-2 2
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:229)(cid:33)(cid:148)(cid:171)(cid:13)(cid:202)(cid:161) 1-tanatanb 1-  2+1  (cid:50)
æ πö æ 3πö
(cid:141)(cid:142)aÎç2kπ,2kπ+ ÷,bÎç2mπ+π,2mπ+ ÷(cid:50)k,mÎZ(cid:50)
è 2ø è 2 ø
(cid:135)a+bÎ2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π  (cid:50)k,mÎZ(cid:50)
(cid:206)(cid:141)(cid:142)tana+b=-2 2 <0(cid:50)
æ 3π ö
(cid:135)a+bÎç 2m+2kπ+ ,2m+2kπ+2π÷(cid:50)k,mÎZ(cid:50)(cid:135)sina+b<0(cid:50)
è 2 ø
sina+b
(cid:135) =-2 2(cid:50)(cid:320)(cid:92) sin2a+b+cos2a+b=1(cid:50)(cid:94)(cid:161)sina+b=- 2 2 .
cosa+b
3
(cid:229)(cid:65)(cid:148) (cid:141)(cid:142)a(cid:142)(cid:216)(cid:33)(cid:113)(cid:217)(cid:17)(cid:50)b(cid:142)(cid:216)(cid:18)(cid:113)(cid:217)(cid:17)(cid:50)(cid:135)cosa>0,cosb<0,
cosa 1 cosb -1
cosa= = (cid:50)cosb= = (cid:50)
sin2a+cos2a 1+tan2a sin2b+cos2b 1+tan2b
(cid:135)sin(a+b)=sinacosb+cosasinb=cosacosb(tana+tanb)
-4 -4 -4 2 2
=4cosacosb= = = =-
1+tan2a 1+tan2b (tana+tanb)2+(tanatanb-1)2 42+2 3
2 2
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)- .
314(cid:131)（2023·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)tana=3(cid:50)(cid:135)tan2a=__________.
3
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)- /-0.75
4
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:171)(cid:76)(cid:79)(cid:21)(cid:82)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:94)
2tana 2´3 3
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:132)(cid:133)tana=3(cid:50)(cid:135)tan2a= = =- .
1-tan2a 1-32 4
3
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)-
4
æ πö
15(cid:131)（2022·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)tana=3(cid:50)(cid:135)tança+ ÷=_________.
è 4ø
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)-2
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:171)(cid:72)(cid:17)(cid:73)(cid:21)(cid:76)(cid:79)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:94)(cid:143)(cid:107)(cid:131)
π
tana+tan
æ πö 4 3+1
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)tança+ ÷= = =-2(cid:50)
è 4ø π 1-3
1-tana×tan
4
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)-2
p æpö
16(cid:131)（2022·北京·高考真题）(cid:198)(cid:19)(cid:20) f(x)= Asinx- 3cosx(cid:21)(cid:33)(cid:289)(cid:321)(cid:4)(cid:142) (cid:50)(cid:135)A=________(cid:167) f ç ÷=
3 è12ø
________(cid:131)
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139) 1 - 2
π π
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:201)(cid:322)(cid:323)(cid:321)(cid:4)(cid:50)(cid:45)(cid:161)A(cid:21)(cid:46)(cid:50)(cid:211)(cid:222)(cid:19)(cid:20)(cid:43)(cid:44)(cid:142) f(x)=2sin(x- )(cid:50)(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:53)(cid:181)x= (cid:50)(cid:224)(cid:225)(cid:143)(cid:107).
3 12
π 3 3
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139) f( )= A- =0(cid:50) A=1
3 2 2
∵ π∴
f(x)=sinx- 3cosx=2sin(x- )
3
∴ π π π π
f( )=2sin( - )=-2sin =- 2
12 12 3 4
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)1(cid:50)- 2
p
17(cid:131)（2022·浙江·高考真题）(cid:198)3sina-sinb= 10,a+b= (cid:50)(cid:135)sina=__________(cid:50)cos2b=_________(cid:131)
2
3 10 4
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)
10 5
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:201)(cid:325)(cid:282)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:50)(cid:161)(cid:210)a(cid:21)(cid:16)(cid:17)(cid:63)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:211)(cid:209)(cid:84)(cid:80)(cid:81)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:44)(cid:175)(cid:76)(cid:77)(cid:230)(cid:19)(cid:20)(cid:228)(cid:283)(cid:50)(cid:107)(cid:45)
(cid:166)a(cid:50)(cid:262)(cid:293)(cid:235)(cid:211)(cid:45)b(cid:131)
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)[(cid:228)(cid:229)(cid:33)](cid:148)(cid:209)(cid:84)(cid:80)(cid:81)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:326)(cid:273)p
a+b= (cid:50) sinb=cosa(cid:50)(cid:143)3sina-cosa= 10(cid:50)
2
∵ ∴
æ3 10 10 ö 10 3 10
(cid:143) 10ç sina- cosa÷= 10(cid:50)(cid:327)sinq= (cid:50)cosq= (cid:50)
ç ÷
è 10 10 ø 10 10
p p
(cid:135) 10sina-q= 10(cid:50) a-q= +2kp(cid:50)kÎZ(cid:50)(cid:143)a=q+ +2kp(cid:50)
2 2
∴
æ p ö 3 10
sina=sinçq+ +2kp÷=cosq= (cid:50)
è 2 ø 10
∴
4
(cid:135)cos2b=2cos2b-1=2sin2a-1= .
5
3 10 4
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148) (cid:167) .
10 5
[(cid:228)(cid:229)(cid:65)](cid:148)(cid:192)(cid:262)(cid:84)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:94)(cid:228)(cid:283)
p
a+b= (cid:50) sinb=cosa(cid:50)(cid:143)3sina-cosa= 10(cid:50)
2
∵ ∴ 3 10
(cid:206)sin2a+cos2a=1(cid:50)(cid:222)cosa=3sina- 10(cid:322)(cid:323)(cid:161)10sin2a-6 10sina+9=0(cid:50)(cid:94)(cid:161)sina= (cid:50)
10
4
(cid:135)cos2b=2cos2b-1=2sin2a-1= .
5
3 10 4
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148) (cid:167) .
10 5
考点 03 三角函数的图像与性质
1(cid:131)（2026·北京·高考真题） f(x)=sin(x+j)(cid:10)0<j<2π(cid:11)(cid:50)(cid:222) f(x)(cid:315)x(cid:187)(cid:76)(cid:228)(cid:315)(cid:190)(cid:328)3j(cid:289)(cid:118)(cid:314)(cid:50)(cid:161)(cid:210)(cid:21)
(cid:19)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:74) f(x)(cid:102)(cid:103)(cid:24)(cid:186)x(cid:187)(cid:123)(cid:124)(cid:50)(cid:135)j(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:289)(cid:20)(cid:142)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131)1 B(cid:131)2 C(cid:131)3 D(cid:131)4
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)C
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:190)(cid:328)(cid:219)(cid:19)(cid:20)(cid:142)sin(x-2j)(cid:50)(cid:74)sin(x+j)(cid:24)(cid:186)x(cid:187)(cid:123)(cid:124)(cid:107)(cid:133)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:329)(cid:142)(cid:249)(cid:330)(cid:20)(cid:50)(cid:209)(cid:84)(cid:76)(cid:77)(cid:249)(cid:63)(cid:161)(cid:228)(cid:283)(cid:50)
(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:62)(cid:175)(cid:92)(cid:9)(cid:54)(cid:50)(cid:161)(cid:210)j(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:289)(cid:20).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:222) f(x)=sin(x+j)(cid:315)(cid:331)(cid:190)(cid:328)3j(cid:289)(cid:118)(cid:314)(cid:161)
g(x)= f(x-3j)=sin(x-3j+j)=sin(x-2j).
(cid:171)(cid:13)(cid:202)(cid:50)g(x)(cid:74) f(x)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:24)(cid:186)x(cid:187)(cid:123)(cid:124)(cid:50)(cid:143)g(x)=-f(x)(cid:62)(cid:175)(cid:92)(cid:50)
(cid:143)sin(x-2j)=-sin(x+j)=sin(-x-j). (cid:5)(cid:72)(cid:250)(cid:9)(cid:54)(cid:274)(cid:275)(cid:148)
x-2j=-x-j+2kπÞ2x-j=2kπkÎZ(cid:50)(cid:123)(cid:332)(cid:202)x(cid:88)(cid:62)(cid:175)(cid:92)(cid:50)(cid:207)(cid:208)(cid:167)
①x-2j=π-(-x-j)+2kπ=π+x+j+2kπkÎZ(cid:50)(cid:43)(cid:44)(cid:161)
② π
-2j=π+j+2kπÞ3j=-π-2kπ(cid:50)(cid:143)j=- (1+2k).
3
π
(cid:171)0<j<2π(cid:161)0<- (1+2k)<2πÞk =-1,-2,-3(cid:50)
3
π 5π
(cid:123)(cid:83)j= ,π, (cid:50)(cid:141)(cid:215)j(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:289)(cid:20)(cid:142)3.
3 3
2(cid:131)（2026·天津·高考真题）(cid:19)(cid:20) f(x)(cid:21)(cid:333)(cid:5)(cid:102)(cid:113)(cid:99)(cid:102)(cid:145)(cid:255)(cid:50)(cid:135) f(x)(cid:21)(cid:94)(cid:106)(cid:30)(cid:107)(cid:55)(cid:142)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131)x+sinπx B(cid:131)x-sinπx C(cid:131)-x+sinπx D(cid:131)x×sinπx
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)C
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)A(cid:35)B(cid:35)D(cid:267)(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:48)(cid:49)(cid:4)(cid:143)(cid:107)(cid:263)(cid:264)(cid:167)C(cid:267)(cid:50)(cid:45)(cid:166)(cid:121)(cid:122)(cid:104)(cid:73)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:50)(cid:143)(cid:107)(cid:286)(cid:287).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)(cid:13)(cid:202)(cid:50)
(cid:171)(cid:13)(cid:202)(cid:26)(cid:102)(cid:161)(cid:50)(cid:19)(cid:20)y= f x(cid:142)(cid:121)(cid:19)(cid:20)(cid:50)(cid:144)(cid:162)x=1(cid:163)(cid:50) f x<0(cid:50)
(cid:123)A(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:162)x=1(cid:163)(cid:50)1+sinπ=1+0=1>0(cid:50)(cid:74)(cid:102)(cid:113)(cid:88)(cid:294)(cid:50)(cid:169)A(cid:311)(cid:312)(cid:167)
(cid:123)B(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:162)x=1(cid:163)(cid:50)1-sinπ=1-0=1>0(cid:50)(cid:74)(cid:102)(cid:113)(cid:88)(cid:294)(cid:50)(cid:169)B(cid:311)(cid:312)(cid:167)
(cid:123)D(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:162)x=1(cid:163)(cid:50)1´sinπ=1´0=0(cid:50)(cid:74)(cid:102)(cid:113)(cid:88)(cid:294)(cid:50)(cid:169)D(cid:311)(cid:312)(cid:167)
(cid:123)C(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:189)gx=-x+sinπx(cid:126)(cid:50)
g-x=--x+sin-πx=x-sinπx=-gx(cid:50)(cid:143)(cid:256)(cid:19)(cid:20)(cid:142)(cid:121)(cid:19)(cid:20)(cid:50)
g1=-1+sinπ=-1+0=-1<0(cid:50)(cid:74)(cid:102)(cid:113)(cid:249)(cid:294)(cid:50)(cid:169)C(cid:76)(cid:268).
é πù
3(cid:131)（2025·北京·高考真题）(cid:147)(cid:19)(cid:20) f x=sinwx+coswx(w>0)(cid:50)(cid:198) f(x+π)= f(x)(cid:62)(cid:175)(cid:92)(cid:50)(cid:144) f(x)(cid:189) 0,
ê ú
ë 4û
(cid:66)(cid:334)(cid:189)(cid:321)(cid:4)(cid:50)(cid:135)w(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131)8 B(cid:131)6 C(cid:131)4 D(cid:131)3
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)C
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:171)(cid:80)(cid:81)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:44)(cid:19)(cid:20)(cid:94)(cid:106)(cid:30)(cid:50)(cid:211)(cid:171)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:74)(cid:321)(cid:4)(cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:94).æ πö
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:19)(cid:20) f x=sinwx+coswx= 2sinçwx+ ÷(w>0)(cid:50)
è 4ø
(cid:147)(cid:19)(cid:20) f(x)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)T(cid:50)(cid:171) f(x+π)= f(x)(cid:107)(cid:161)kT =π,
 kÎN*
(cid:50)
(cid:145)(cid:146)T = 2π = π ,  kÎN* (cid:50)(cid:143)w=2k,  kÎN* (cid:167)
w k
é πù é πù π éπ πw πù
(cid:206)(cid:19)(cid:20) f(x)(cid:189) 0, (cid:66)(cid:334)(cid:189)(cid:321)(cid:4)(cid:50)(cid:144)(cid:162)xÎ 0, (cid:163)(cid:50)wx+ Î , + (cid:50)
ê ú ê ú ê ú
ë 4û ë 4û 4 ë4 4 4û
πw π
(cid:145)(cid:146) + ³π(cid:50)(cid:143)w³3(cid:167)
4 4
(cid:168)(cid:66)(cid:50)w(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142)4.
(cid:169)(cid:170)(cid:148)C.
é 5π π ù π
4(cid:131)（2025·天津·高考真题） f(x)=sin(wx+j)(w>0,-π<j<π)(cid:50)(cid:189) - , (cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)(cid:144) x= (cid:142)(cid:87)
ê ú
ë 12 12û 12
æπ ö é πù
(cid:21)(cid:33)(cid:150)(cid:123)(cid:124)(cid:187)(cid:50)ç ,0÷(cid:90)(cid:87)(cid:21)(cid:33)(cid:289)(cid:123)(cid:124)(cid:126)(cid:337)(cid:50)(cid:162)xÎ
ê
0,
ú
(cid:163)(cid:50) f(x)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142)(cid:10) (cid:11)
è3 ø ë 2û
3 1
A(cid:131)- B(cid:131)- C(cid:131)1 D(cid:131)0
2 2
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)A
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:209)(cid:84)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:104)(cid:161)(cid:166)w=4n+2(cid:50)(cid:157)(cid:158)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:161)(cid:166)0<w£2(cid:50)(cid:182)(cid:183)(cid:268)(cid:173)w(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:123)(cid:124)(cid:187)(cid:74)(cid:123)
(cid:124)(cid:126)(cid:337)(cid:211)(cid:45)(cid:166)j(cid:50)(cid:161)(cid:166)(cid:19)(cid:20)(cid:94)(cid:106)(cid:30)(cid:50)(cid:209)(cid:84)(cid:290)(cid:338)(cid:339)(cid:340)(cid:26)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:104)(cid:105)(cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:94).
é 5π π ù π
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)(cid:19)(cid:20)(cid:189) - , (cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)(cid:144)x= (cid:142)(cid:87)(cid:21)(cid:33)(cid:150)(cid:123)(cid:124)(cid:187)(cid:50)
ê ú
ë 12 12û 12
π
(cid:145)(cid:146)x= (cid:163)(cid:19)(cid:20)(cid:188)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:50)
12
æπ ö
(cid:206)(cid:141)(cid:142)ç ,0÷(cid:90)(cid:87)(cid:21)(cid:33)(cid:289)(cid:123)(cid:124)(cid:126)(cid:337)(cid:50)
è3 ø
ì π π
w+j= +2kπ
ï
ï12 2
(cid:145)(cid:146)í (cid:50)m,kÎZ(cid:50)
π
ï w+j=mπ
ïî3
(cid:147) f x(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)T(cid:50)(cid:171)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:104)(cid:107)(cid:133) π - π =
2n+1T
nÎZ(cid:50)
3 12 4
π 2nπ+π
(cid:143) = ,\w=4n+2(cid:50)
4 2w
é 5π π ù T π æ 5πö π π
(cid:206) f x(cid:189)
ê
- ,
ú
(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)(cid:135) ³ -ç- ÷,\ ³ Þ0<w£2(cid:50)
ë 12 12û 2 12 è 12ø w 2
ì π
j= +2kπ
ï
ï 3
w=2(cid:50)(cid:135)í (cid:50)m,kÎZ(cid:50)
ïj=mπ-
2π
∴ ïî 3π æ πö
jÎ-π,π(cid:50) k =0,m=1(cid:163)(cid:50)j= (cid:50) f x=sinç2x+ ÷(cid:50)
3 è 3ø
∵ é πù ∴ π éπ 4πù ∴
(cid:162)xÎ 0, (cid:163)(cid:50)2x+ Î , (cid:50)
ê ú ê ú
ë 2û 3 ë3 3 û
4π 3
(cid:171)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:107)(cid:133) f x =sin =- .
min 3 2
(cid:169)(cid:170)(cid:148)A
æ πö
5(cid:131)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:4)(a,0)(a>0)(cid:90)(cid:19)(cid:20)y=2tançx- ÷(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:21)(cid:33)(cid:289)(cid:123)(cid:124)(cid:126)(cid:337)(cid:50)(cid:135)a(cid:21)
è 3ø
(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142)(cid:10) (cid:11)
π π π 4π
A(cid:131) B(cid:131) C(cid:131) D(cid:131)
6 3 2 3
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)B
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:76)(cid:79)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:126)(cid:337)(cid:21)(cid:172)(cid:275)(cid:45)(cid:94).
π π kπ
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:76)(cid:79)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:104)(cid:105)(cid:50)y=2tan(x- )(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:126)(cid:337)(cid:341)(cid:193)(cid:70)(cid:177)(cid:178)x- = ,kÎZ(cid:50)
3 3 2
π æπ kπ ö
(cid:143)y=2tan(x- )(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:126)(cid:337)(cid:90)ç + ,0÷,kÎZ(cid:50)
3 è3 2 ø
π kπ
(cid:143)a= + ,kÎZ(cid:50)
3 2
π
(cid:206)a>0(cid:50)(cid:135)k =0(cid:163)a(cid:120)(cid:271)(cid:50)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:90) (cid:50)
3
π
(cid:143)a= .
3
(cid:169)(cid:170)(cid:148)B
é æπ ö ùé æπ ö ù
6(cid:131)（2025·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)aÎR(cid:50)(cid:88)(cid:63)(cid:30)
ê
tanç x÷-a
úê
tanç x÷-a-1
ú
<0(cid:189)0,2025(cid:126)(cid:21)(cid:290)(cid:20)(cid:94)(cid:239)
ë è6 ø ûë è6 ø û
m(cid:289)(cid:131)(cid:24)(cid:186)m(cid:21)(cid:289)(cid:20)(cid:50)(cid:146)(cid:293)(cid:88)(cid:107)(cid:55)(cid:21)(cid:90)(cid:10) (cid:11)(cid:131)
A(cid:131)0 B(cid:131)338 C(cid:131)674 D(cid:131)1012
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)D
æπ ö
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:171)(cid:13)(cid:147)(cid:107)(cid:161)a<tanç x÷<a+1(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:76)(cid:79)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:116)(cid:117)(cid:5)a£- 3(cid:47)a³ 3(cid:163)(cid:50)(cid:73)- 3<a< 3(cid:72)(cid:250)
è6 ø
(cid:9)(cid:269)(cid:274)(cid:275)(cid:45)(cid:94)(cid:143)(cid:107).
é æπ ö ùé æπ ö ù æπ ö
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)
ê
tanç x÷-a
úê
tanç x÷-a-1
ú
<0(cid:50)(cid:143)a<tanç x÷<a+1(cid:50)
ë è6 ø ûë è6 ø û è6 ø
æπ ö
(cid:123)(cid:186) f x=tanç x÷(cid:50)(cid:116)(cid:117)(cid:142)T =6(cid:50)
è6 ø3 3
(cid:144) f 0=0, f 1= , f 2= 3(cid:50) f 4=- 3, f 5=- , f 6=0(cid:50)
3 3
æπ ö
(cid:162)a£- 3(cid:47)a³ 3(cid:163)(cid:50)(cid:88)(cid:63)(cid:30)a<tanç x÷<a+1(cid:189)(0,2025)(cid:126)(cid:342)(cid:290)(cid:20)(cid:94)(cid:167)
è6 ø
æπ ö
(cid:162)- 3<a< 3(cid:163)(cid:50)(cid:198)(cid:88)(cid:63)(cid:30)a<tanç x÷<a+1(cid:239)(cid:189)0,6(cid:313)(cid:343)(cid:239)1(cid:289)(cid:290)(cid:20)(cid:94)(cid:50)
è6 ø
(cid:270)(cid:99)a=1(cid:163)(cid:50)(cid:215)(cid:163)(cid:189)0,6(cid:313)(cid:21)(cid:290)(cid:20)(cid:94)(cid:142)x=2(cid:50)
(cid:183)2025=6´337+3(cid:50)
(cid:135)(cid:189)(0,2025)(cid:126)(cid:107)(cid:55)(cid:239)337+1=338(cid:289)(cid:290)(cid:20)(cid:94)(cid:167)
æπ ö
(cid:198)(cid:88)(cid:63)(cid:30)a<tanç x÷<a+1(cid:239)(cid:189)0,6(cid:313)(cid:343)(cid:239)2(cid:289)(cid:290)(cid:20)(cid:94)(cid:50)
è6 ø
(cid:270)(cid:99)a=-0.9(cid:163)(cid:50)(cid:215)(cid:163)(cid:189)0,6(cid:313)(cid:21)(cid:290)(cid:20)(cid:94)(cid:142)x=5(cid:47)x=6(cid:50)
(cid:135)(cid:189)(0,2025)(cid:126)(cid:107)(cid:55)(cid:239)337´2=674(cid:289)(cid:290)(cid:20)(cid:94)(cid:167)
3 3 æ 3ö 3
(cid:171)(cid:186) -1 <1, 3- >1, - 3-ç- ÷ >1, - --1 <1(cid:50)
ç ÷
3 3 3 3
è ø
(cid:135)(cid:189)0,6(cid:313)(cid:120)(cid:265)(cid:343)(cid:239)2(cid:289)(cid:290)(cid:20)(cid:94)(cid:50)(cid:141)(cid:215)(cid:189)(0,2025)(cid:126)(cid:88)(cid:107)(cid:55)(cid:239)1012(cid:289)(cid:290)(cid:20)(cid:94).
(cid:169)(cid:170)(cid:148)D.
æ pö
7(cid:131)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:162)xÎ [0,2p](cid:163)(cid:50)(cid:344)(cid:345)y=sinx(cid:74)y=2sinç3x- ÷(cid:21)(cid:346)(cid:4)(cid:289)(cid:20)(cid:142)(cid:10) (cid:11)
è 6ø
A(cid:131)3 B(cid:131)4 C(cid:131)6 D(cid:131)8
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)C
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:347)(cid:166)(cid:72)(cid:19)(cid:20)(cid:189)0,2π (cid:66)(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:50)(cid:157)(cid:158)(cid:102)(cid:113)(cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:94)
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)(cid:19)(cid:20)y=sinx(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)T =2π(cid:50)
æ πö 2π
(cid:19)(cid:20)y=2sinç3x- ÷(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)T = (cid:50)
è 6ø 3
æ πö
(cid:145)(cid:146)(cid:189)xÎ0,2π (cid:66)(cid:19)(cid:20)y=2sinç3x- ÷(cid:239)(cid:18)(cid:289)(cid:116)(cid:117)(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:50)
è 6ø
(cid:189)(cid:193)(cid:70)(cid:25)(cid:126)(cid:172)(cid:61)(cid:7)(cid:4)(cid:229)(cid:347)(cid:166)(cid:72)(cid:19)(cid:20)(cid:102)(cid:113)(cid:50)(cid:99)(cid:102)(cid:145)(cid:255)(cid:148)(cid:171)(cid:102)(cid:107)(cid:133)(cid:50)(cid:72)(cid:19)(cid:20)(cid:102)(cid:113)(cid:239)6(cid:289)(cid:346)(cid:4).
(cid:169)(cid:170)(cid:148)C
8(cid:131)（2024·上海·高考真题）(cid:293)(cid:348)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:90)2π(cid:21)(cid:90)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131)sinx+cosx B(cid:131)sinxcosx
C(cid:131)sin2x+cos2x D(cid:131)sin2x-cos2x
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)A
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:80)(cid:81)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:65)(cid:82)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:146)(cid:26)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:24)(cid:25)(cid:349)(cid:172)(cid:61)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:33)(cid:286)(cid:287)(cid:143)(cid:107) .
æ πö
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:123)A(cid:50)sinx+cosx= 2sinçx+ ÷(cid:50)(cid:116)(cid:117)T =2π(cid:50)(cid:169)A(cid:76)(cid:268)(cid:167)
è 4ø
1 2π
(cid:123)B(cid:50)sinxcosx= sin2x(cid:50)(cid:116)(cid:117)T = =π(cid:50)(cid:169)B(cid:311)(cid:312)(cid:167)
2 2
(cid:123)(cid:186)(cid:170)(cid:267)C(cid:50)sin2x+cos2x=1(cid:50)(cid:90)(cid:350)(cid:46)(cid:19)(cid:20)(cid:50)(cid:88)(cid:334)(cid:189)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:50)(cid:169)C(cid:311)(cid:312)(cid:167)
2π
(cid:123)(cid:186)(cid:170)(cid:267)D(cid:50)sin2x-cos2x=-cos2x(cid:50)(cid:116)(cid:117)T = =π(cid:50)(cid:169)D(cid:311)(cid:312)(cid:50)
2
(cid:169)(cid:170)(cid:148)A(cid:131)
9(cid:131)（2024·北京·高考真题）(cid:147)(cid:19)(cid:20) f x=sinwxw>0.(cid:132)(cid:133) f x =-1(cid:50) f x =1(cid:50)(cid:144) x -x (cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142)
1 2 1 2
π
(cid:50)(cid:135)w=(cid:10) (cid:11)
2
A(cid:131)1 B(cid:131)2 C(cid:131)3 D(cid:131)4
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)B
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:120)(cid:46)(cid:5)(cid:106)(cid:116)(cid:117)(cid:104)(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:29)(cid:30)(cid:317)(cid:225)(cid:45)(cid:94).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)(cid:13)(cid:202)(cid:107)(cid:133)(cid:148)x (cid:142) f x(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:4)(cid:50)x (cid:142) f x(cid:21)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:4)(cid:50)
1 2
T π
(cid:135) x -x = = (cid:50)(cid:143)T =π(cid:50)
1 2 min 2 2
2π
(cid:144)w>0(cid:50)(cid:145)(cid:146)w= =2.
T
(cid:169)(cid:170)(cid:148)B.
æ πö é π πù
10(cid:131)（2024·天津·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:19)(cid:20) f x=3sinçwx+ ÷ w>0(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)π(cid:131)(cid:135) f x(cid:189)(cid:257)(cid:258) ê - , ú
è 3ø ë 12 6û
(cid:66)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:90)(cid:10) (cid:11)
3 3 3
A(cid:131)- B(cid:131)- C(cid:131)0 D(cid:131)
2 2 2
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)D
æ πö é π πù π
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:172)(cid:61)(cid:116)(cid:117)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:166)w(cid:50)(cid:161) f x=3sinç2x+ ÷(cid:50)(cid:211)(cid:290)(cid:338)(cid:45)(cid:166)(cid:162)xÎ
ê
- ,
ú
(cid:163)(cid:50)2x+ (cid:21)(cid:128)(cid:129)(cid:50)(cid:172)
è 3ø ë 12 6û 3(cid:61)(cid:76)(cid:77)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:102)(cid:113)(cid:48)(cid:351)(cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:94).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)(cid:19)(cid:20) f x(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)π(cid:50)(cid:135)T = 2π =π(cid:50)(cid:145)(cid:146)w=2(cid:50)
w
æ πö é π πù π éπ 2πù
(cid:143) f x=3sinç2x+ ÷(cid:50)(cid:162)xÎ
ê
- ,
ú
(cid:163)(cid:50)2x+ Î
ê
,
ú
(cid:50)
è 3ø ë 12 6û 3 ë6 3 û
π π π π 3
(cid:145)(cid:146)(cid:162)2x+ = (cid:50)(cid:143)x=- (cid:163)(cid:50) f x =3sin =
3 6 12 min 6 2
(cid:169)(cid:170)(cid:148)D
11(cid:131)（2023·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)m>0(cid:50)(cid:19)(cid:20)y=sinx(cid:189)(cid:257)(cid:258)m,2m(cid:66)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142)S(cid:50)(cid:189)(cid:257)(cid:258)2m,3m(cid:66)(cid:21)(cid:120)
(cid:271)(cid:46)(cid:142)t,m(cid:53)(cid:43)(cid:163)(cid:50)(cid:293)(cid:348)(cid:88)(cid:107)(cid:55)(cid:21)(cid:90)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131)S >0(cid:144)t>0 B(cid:131)S <0(cid:144)t<0 C(cid:131)S <0(cid:144)t>0 D(cid:131)S >0(cid:144)t<0
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)C
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:223)(cid:173)(cid:150)(cid:151)(cid:50)(cid:352)(cid:164)(cid:353)(cid:101)(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:104)(cid:105)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:107)(cid:55)(cid:21)(cid:170)(cid:267)(cid:226)(cid:137).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)(cid:19)(cid:20) f(x)=sinx(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:90)2π(cid:50)(cid:141)(cid:215)(cid:343)(cid:354)(cid:3)(cid:42)(cid:355)(cid:197)(cid:4)(cid:120)(cid:356)(cid:21)(cid:331)(cid:357)(cid:33)(cid:289)(cid:116)(cid:117)(cid:313)(cid:21)(cid:257)(cid:258)(cid:143)(cid:107)(cid:50)
π 2π
(cid:162)0<m< (cid:163)(cid:50)0<2m< (cid:50)0<3m<π(cid:50)(cid:183)"xÎ(0,π)(cid:50)sinx>0(cid:50)
3 3
(cid:141)(cid:215) f(x)(cid:189)[m,2m](cid:66)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)S >0(cid:50)(cid:189)[2m,3m](cid:66)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)t>0(cid:50)A(cid:107)(cid:55)(cid:167)
π 2π 4π 3π
(cid:162) <m< (cid:163)(cid:50)π<2m< (cid:50) <3m<2π(cid:50)
2 3 3 2
(cid:141)(cid:215) f(x)(cid:189)[m,2m](cid:66)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)S <0(cid:50)(cid:189)[2m,3m](cid:66)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)t<0(cid:50)B(cid:107)(cid:55)(cid:167)
π π 2π 3π
(cid:162) <m< (cid:163)(cid:50) <2m<π(cid:50)π<3m< (cid:50)
3 2 3 2
(cid:141)(cid:215) f(x)(cid:189)[m,2m](cid:66)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)S >0(cid:50)(cid:189)[2m,3m](cid:66)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)t<0(cid:50)D(cid:107)(cid:55)(cid:167)
(cid:123)(cid:186)C(cid:50)(cid:198)S <0(cid:50)(cid:135)2m>π(cid:50)
(cid:198)t>0(cid:50)(cid:135)(cid:257)(cid:258)[2m,3m](cid:21)(cid:285)(cid:303)m<π(cid:50)(cid:349)(cid:144)sin2m>0(cid:144)sin3m>0(cid:50)
(cid:143)2mÎ(0,π)(cid:144)3mÎ(0,π)(cid:74)2m>π(cid:300)(cid:301)(cid:50)(cid:145)(cid:146)C(cid:88)(cid:107)(cid:55).
(cid:169)(cid:170)(cid:148)C
(cid:136)(cid:4)(cid:227)(cid:139)(cid:172)(cid:275)(cid:4)(cid:227)(cid:148)(cid:358)(cid:257)(cid:258)(cid:66)(cid:21)(cid:359)(cid:304)(cid:19)(cid:20)(cid:155)(cid:239)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:50)(cid:206)(cid:239)(cid:120)(cid:271)(cid:46).
æ πö π
12(cid:131)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:19)(cid:20)y= f x(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:171)(cid:19)(cid:20)y=cosç2x+ ÷(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:315)(cid:360)(cid:190)(cid:328) (cid:289)(cid:118)(cid:314)(cid:285)(cid:303)
è 6ø 6
1 1
(cid:161)(cid:210)(cid:50)(cid:135)y= f x(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:74)(cid:192)(cid:345)y= x- (cid:21)(cid:346)(cid:4)(cid:289)(cid:20)(cid:142)(cid:10) (cid:11)
2 2
A(cid:131)1 B(cid:131)2 C(cid:131)3 D(cid:131)4
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)C1 1
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:201)(cid:209)(cid:84)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:190)(cid:328)(cid:21)(cid:104)(cid:105)(cid:45)(cid:161) f x=-sin2x(cid:50)(cid:211)(cid:226)(cid:166) f x(cid:74)y= x- (cid:21)(cid:333)(cid:5)(cid:199)(cid:361)(cid:102)(cid:103)(cid:50)(cid:3)(cid:362)
2 2
1 1
(cid:48)(cid:49)(cid:4)(cid:326) f x(cid:74)y= x- (cid:21)(cid:199)(cid:271)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:182)(cid:183)(cid:363)(cid:268)(cid:102)(cid:103)(cid:50)(cid:171)(cid:215)(cid:161)(cid:94).
2 2
æ πö π é æ πö πù æ πö
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142) y=cosç2x+ ÷(cid:315)(cid:360)(cid:190)(cid:328) (cid:289)(cid:118)(cid:314)(cid:145)(cid:161)(cid:19)(cid:20)(cid:142)y=cos
ê
2çx+ ÷+
ú
=cosç2x+ ÷=-sin2x(cid:50)
è 6ø 6 ë è 6ø 6û è 2ø
(cid:145)(cid:146) f x=-sin2x(cid:50)
1 1 æ 1ö
(cid:183)y= x- (cid:319)(cid:284)(cid:282)ç0,- ÷(cid:74)1,0(cid:72)(cid:4)(cid:50)
2 2 è 2ø
1 1
(cid:226)(cid:166) f x(cid:74)y= x- (cid:21)(cid:333)(cid:5)(cid:199)(cid:361)(cid:102)(cid:103)(cid:99)(cid:293)(cid:50)
2 2
3π 3π 7π 3π 3π 7π 1 1
(cid:3)(cid:362)2x=- ,2x= ,2x= (cid:50)(cid:143)x=- ,x= ,x= (cid:326) f x(cid:74)y= x- (cid:21)(cid:199)(cid:271)(cid:24)(cid:25)(cid:50)
2 2 2 4 4 4 2 2
3π æ 3πö æ 3πö 1 æ 3πö 1 3π+4
(cid:162)x=- (cid:163)(cid:50) f ç- ÷=-sinç- ÷=-1(cid:50)y= ´ç- ÷- =- <-1(cid:167)
4 è 4 ø è 2 ø 2 è 4 ø 2 8
3π æ3πö 3π 1 3π 1 3π-4
(cid:162)x= (cid:163)(cid:50) f ç ÷=-sin =1(cid:50)y= ´ - = <1(cid:167)
4 è 4 ø 2 2 4 2 8
7π æ7πö 7π 1 7π 1 7π-4
(cid:162)x= (cid:163)(cid:50) f ç ÷=-sin =1(cid:50)y= ´ - = >1(cid:167)
4 è 4 ø 2 2 4 2 8
1 1
(cid:145)(cid:146)(cid:171)(cid:102)(cid:107)(cid:133)(cid:50) f x(cid:74)y= x- (cid:21)(cid:346)(cid:4)(cid:289)(cid:20)(cid:142)3.
2 2
(cid:169)(cid:170)(cid:148)C.
æπ 2πö π
13(cid:131)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:19)(cid:20) f x=sinwx+j,w>0(cid:189)(cid:257)(cid:258)ç , ÷(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)(cid:192)(cid:345)x=
è6 3 ø 6
2π æ 5πö
(cid:73)x= (cid:142)(cid:19)(cid:20)y= f x(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:21)(cid:72)(cid:150)(cid:249)(cid:364)(cid:123)(cid:124)(cid:187)(cid:50)(cid:135) f ç- ÷=(cid:10) (cid:11)
3 è 12ø
3 1 1 3
A(cid:131)- B(cid:131)- C(cid:131) D(cid:131)
2 2 2 2
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)D
5π
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:13)(cid:202)(cid:5)(cid:218)(cid:45)(cid:166)(cid:125)(cid:116)(cid:117)(cid:50)(cid:211)(cid:157)(cid:158)(cid:125)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:45)(cid:166)(cid:365)(cid:249)(cid:50)(cid:322)(cid:323)x=- (cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:210)(cid:137)(cid:138).
12
æπ 2πö
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142) f(x)=sin(wx+j)(cid:189)(cid:257)(cid:258)ç , ÷(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)
è6 3 øT 2π π π 2π
(cid:145)(cid:146) = - = (cid:50)(cid:144)w>0(cid:50)(cid:135)T =π(cid:50)w= =2(cid:50)
2 3 6 2 T
p π π
(cid:162)x= (cid:163)(cid:50) f x(cid:188)(cid:161)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:50)(cid:135)2× +j=2kπ- (cid:50)kÎZ(cid:50)
6 6 2
5π æ 5πö
(cid:135)j=2kπ- (cid:50)kÎZ(cid:50)(cid:88)(cid:308)(cid:188)k =0(cid:50)(cid:135) f x=sinç2x- ÷(cid:50)
6 è 6 ø
æ 5πö æ 5πö 3
(cid:135) f ç- ÷=sinç- ÷= (cid:50)
è 12ø è 3 ø 2
(cid:169)(cid:170)(cid:148)D.
14(cid:131)（2023·天津·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:19)(cid:20)y= f x(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:24)(cid:186)(cid:192)(cid:345)x=2(cid:123)(cid:124)(cid:50)(cid:144) f x(cid:21)(cid:33)(cid:289)(cid:116)(cid:117)(cid:142)4(cid:50)(cid:135) f x
(cid:21)(cid:94)(cid:106)(cid:30)(cid:107)(cid:146)(cid:90)(cid:10) (cid:11)
æp ö æp ö
A(cid:131)sinç x÷ B(cid:131)cosç x÷
è 2 ø è 2 ø
æp ö æp ö
C(cid:131)sinç x÷ D(cid:131)cosç x÷
è 4 ø è 4 ø
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)B
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:171)(cid:13)(cid:202)(cid:5)(cid:218)(cid:3)(cid:42)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:73)(cid:19)(cid:20)(cid:189)x=2(cid:326)(cid:21)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:50)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:61)(cid:13)(cid:202)(cid:21)(cid:170)(cid:267)(cid:143)(cid:107)(cid:268)(cid:173)(cid:177)(cid:178)
(cid:13)(cid:202)(cid:21)(cid:19)(cid:20)(cid:94)(cid:106)(cid:30).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:94)(cid:106)(cid:30)(cid:3)(cid:42)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:116)(cid:117)(cid:104)(cid:148)
2p 2p
T = =4 T = =4
A(cid:170)(cid:267)(cid:126) p (cid:50)B(cid:170)(cid:267)(cid:126) p (cid:50)
2 2
2p 2p
T = =8 T = =8
C(cid:170)(cid:267)(cid:126) p (cid:50)D(cid:170)(cid:267)(cid:126) p (cid:50)
4 4
(cid:263)(cid:264)(cid:170)(cid:267)CD(cid:50)
æp ö
(cid:123)(cid:186)A(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:162)x=2(cid:163)(cid:50)(cid:19)(cid:20)(cid:46)sin
ç
´2
÷
=0(cid:50)(cid:169)2,0(cid:90)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:33)(cid:289)(cid:123)(cid:124)(cid:126)(cid:337)(cid:50)(cid:263)(cid:264)(cid:170)(cid:267)A(cid:50)
è2 ø
æp ö
(cid:123)(cid:186)B(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:162)x=2(cid:163)(cid:50)(cid:19)(cid:20)(cid:46)cos
ç
´2
÷
=-1(cid:50)(cid:169)x=2(cid:90)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:33)(cid:150)(cid:123)(cid:124)(cid:187)(cid:50)
è2 ø
(cid:169)(cid:170)(cid:148)B.
æ πö π
15(cid:131)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:222)(cid:19)(cid:20) f(x)=sinçwx+ ÷(w>0)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:315)(cid:360)(cid:190)(cid:328) (cid:289)(cid:118)(cid:314)(cid:285)(cid:303)(cid:219)(cid:161)(cid:210)(cid:344)
è 3ø 2
(cid:345)C(cid:50)(cid:198)C(cid:24)(cid:186)y(cid:187)(cid:123)(cid:124)(cid:50)(cid:135)w(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:90)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:131) B(cid:131) C(cid:131) D(cid:131)
6 4 3 2(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)C
wp p p
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:201)(cid:171)(cid:190)(cid:328)(cid:45)(cid:166)(cid:344)(cid:345)C(cid:21)(cid:94)(cid:106)(cid:30)(cid:50)(cid:211)(cid:172)(cid:61)(cid:123)(cid:124)(cid:104)(cid:161) + = +kp,kÎZ(cid:50)(cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:166)w(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46).
2 3 2
é æ pö pù wp p
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)(cid:13)(cid:202)(cid:133)(cid:148)(cid:344)(cid:345)C(cid:142)y=sin
ê
wçx+ ÷+
ú
=sin(wx+ + )(cid:50)(cid:206)C(cid:24)(cid:186)y(cid:187)(cid:123)(cid:124)(cid:50)(cid:135)
ë è 2ø 3û 2 3
wp p p
+ = +kp,kÎZ(cid:50)
2 3 2
1 1
(cid:94)(cid:161)w= +2k,kÎZ(cid:50)(cid:206)w>0(cid:50)(cid:169)(cid:162)k =0(cid:163)(cid:50)w(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142) .
3 3
(cid:169)(cid:170)(cid:148)C.
æ πö
16(cid:131)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:147)(cid:19)(cid:20) f(x)=sinçwx+ ÷(cid:189)(cid:257)(cid:258)(0,π)(cid:366)(cid:239)(cid:18)(cid:289)(cid:367)(cid:46)(cid:4)(cid:35)(cid:72)(cid:289)(cid:321)(cid:4)(cid:50)(cid:135)w
è 3ø
(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:128)(cid:129)(cid:90)(cid:10) (cid:11)
é5 13ö é5 19ö æ13 8ù æ13 19ù
A(cid:131) ê , ÷ B(cid:131) ê , ÷ C(cid:131)ç , ú D(cid:131)ç , ú
ë3 6 ø ë3 6 ø è 6 3û è 6 6 û
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)C
p
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:171)x(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:128)(cid:129)(cid:161)(cid:210)wx+ (cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:128)(cid:129)(cid:50)(cid:211)(cid:172)(cid:61)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:104)(cid:105)(cid:161)(cid:210)(cid:88)(cid:63)(cid:30)(cid:179)(cid:50)(cid:94)(cid:161)(cid:143)(cid:107)(cid:131)
3
p æp pö
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:94)(cid:148)(cid:368)(cid:13)(cid:202)(cid:107)(cid:161)w>0(cid:50)(cid:141)(cid:142)xÎ0,p(cid:50)(cid:145)(cid:146)wx+ Îç ,wp+ ÷(cid:50)
3 è 3 3ø
æp ö
(cid:154)(cid:248)(cid:19)(cid:20)(cid:189)(cid:257)(cid:258)0,π(cid:366)(cid:239)(cid:18)(cid:289)(cid:367)(cid:46)(cid:4)(cid:35)(cid:72)(cid:289)(cid:321)(cid:4)(cid:50)(cid:206)y=sinx(cid:50)xÎç ,3p÷(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:99)(cid:293)(cid:145)(cid:255)(cid:148)
è 3 ø
5p p 13 8 æ13 8ù
(cid:135) <wp+ £3p(cid:50)(cid:94)(cid:161) <w£ (cid:50)(cid:143)wÎç ,
ú
(cid:131)
2 3 6 3 è 6 3û
(cid:169)(cid:170)(cid:148)C(cid:131)
æ pö
17(cid:131)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:369)(cid:19)(cid:20) f(x)=sinçwx+ ÷+b(w>0)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)T(cid:131)(cid:198)
è 4ø
2p æ3p ö æpö
<T <p(cid:50)(cid:144)y= f(x)(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:24)(cid:186)(cid:4)ç ,2÷(cid:126)(cid:337)(cid:123)(cid:124)(cid:50)(cid:135) f ç ÷=(cid:10) (cid:11)
3 è 2 ø è 2ø
3 5
A(cid:131)1 B(cid:131) C(cid:131) D(cid:131)3
2 2
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)A
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:171)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:74)(cid:104)(cid:105)(cid:107)(cid:45)(cid:161)(cid:127)(cid:20)(cid:50)(cid:203)(cid:183)(cid:107)(cid:161)(cid:19)(cid:20)(cid:94)(cid:106)(cid:30)(cid:50)(cid:322)(cid:323)(cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:94).
2p 2p 2p
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)T(cid:177)(cid:178) <T <p(cid:50)(cid:161) < <p(cid:50)(cid:94)(cid:161)2<w<3(cid:50)
3 3 wæ3p ö 3p p
(cid:206)(cid:141)(cid:142)(cid:19)(cid:20)(cid:102)(cid:113)(cid:24)(cid:186)(cid:4)ç ,2÷(cid:123)(cid:124)(cid:50)(cid:145)(cid:146) w+ =kp,kÎZ(cid:50)(cid:144)b=2(cid:50)
è 2 ø 2 4
1 2 5 æ5 pö
(cid:145)(cid:146)w=- + k,kÎZ (cid:50)(cid:145)(cid:146)w= (cid:50) f(x)=sinç x+ ÷+2(cid:50)
6 3 2 è2 4ø
æpö æ5 pö
(cid:145)(cid:146) f ç ÷=sinç p+ ÷+2=1.
è 2ø è4 4ø
(cid:169)(cid:170)(cid:148)A
18(cid:131)（2022·北京·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:19)(cid:20) f(x)=cos2x-sin2x(cid:50)(cid:135)(cid:10) (cid:11)
æ p pö æ p pö
A(cid:131) f(x)(cid:189)ç- ,- ÷(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370) B(cid:131) f(x)(cid:189)ç- , ÷(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)
è 2 6ø è 4 12ø
æ pö æp 7pö
C(cid:131) f(x)(cid:189)ç0, ÷(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370) D(cid:131) f(x)(cid:189)ç , ÷(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)
è 3ø è 4 12 ø
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)C
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:43)(cid:44)(cid:161)(cid:166) f x=cos2x(cid:50)(cid:209)(cid:84)(cid:78)(cid:77)(cid:230)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:371)(cid:267)(cid:286)(cid:287)(cid:107)(cid:161)(cid:166)(cid:61)(cid:372)(cid:21)(cid:170)(cid:267).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142) f x=cos2x-sin2x=cos2x.
p p p æ p pö
(cid:123)(cid:186)A(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:162)- <x<- (cid:163)(cid:50)-p<2x<- (cid:50)(cid:135) f x(cid:189)ç- ,- ÷(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)A(cid:311)(cid:167)
2 6 3 è 2 6ø
p p p p æ p pö
(cid:123)(cid:186)B(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:162)- <x< (cid:163)(cid:50)- <2x< (cid:50)(cid:135) f x(cid:189)ç- , ÷(cid:66)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:50)B(cid:311)(cid:167)
4 12 2 6 è 4 12ø
p 2p æ pö
(cid:123)(cid:186)C(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:162)0<x< (cid:163)(cid:50)0<2x< (cid:50)(cid:135) f x(cid:189)ç0, ÷(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)(cid:50)C(cid:123)(cid:167)
3 3 è 3ø
p 7p p 7p æp 7pö
(cid:123)(cid:186)D(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:162) <x< (cid:163)(cid:50) <2x< (cid:50)(cid:135) f x(cid:189)ç , ÷(cid:66)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:50)D(cid:311).
4 12 2 6 è 4 12 ø
(cid:169)(cid:170)(cid:148)C.
1
19(cid:131)（2022·天津·高考真题）(cid:24)(cid:186)(cid:19)(cid:20) f(x)= sin2x(cid:50)(cid:223)(cid:166)(cid:293)(cid:348)(cid:172)(cid:275)(cid:148)
2
f(x)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)2π(cid:167)
① f(x)(cid:189)[- π , π ](cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:167)
4 4
②
é π πù é 3 3ù
(cid:162)xÎ
ê
- ,
ú
(cid:163)(cid:50) f(x)(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:128)(cid:129)(cid:142)ê- , ú(cid:167)
ë 6 3û ë 4 4 û
③
1 π π
f(x)(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:107)(cid:171)g(x)= sin(2x+ )(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:315)(cid:360)(cid:190)(cid:328) (cid:289)(cid:118)(cid:314)(cid:285)(cid:303)(cid:161)(cid:210)(cid:131)
2 4 8
④(cid:125)(cid:126)(cid:76)(cid:268)(cid:172)(cid:275)(cid:21)(cid:289)(cid:20)(cid:142)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131)1 B(cid:131)2 C(cid:131)3 D(cid:131)4
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)A
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:74)(cid:104)(cid:105)(cid:50)(cid:146)(cid:26)(cid:53)(cid:64)(cid:229)(cid:135)(cid:143)(cid:107)(cid:286)(cid:287)(cid:373)(cid:353)(cid:229)(cid:21)(cid:374)(cid:375)(cid:131)1 2π
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142) f(x)= sin2x(cid:50)(cid:145)(cid:146) f(x)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)T = =π(cid:50) (cid:88)(cid:76)(cid:268)(cid:167)
2 2
é π πù 1 é π πù π ①π
(cid:327)t =2xÎ - , (cid:50)(cid:183)y= sint(cid:189) - , (cid:66)(cid:335)(cid:336)(cid:50)(cid:145)(cid:146) f(x)(cid:189)[- , ](cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50) (cid:76)(cid:268)(cid:167)(cid:141)(cid:142)
ê ú ê ú
ë 2 2û 2 ë 2 2û 4 4
②
é π 2πù é 3 ù é 3 1ù
t =2xÎ
ê
- ,
ú
(cid:50)sintÎê- ,1ú(cid:50)(cid:145)(cid:146) f xÎê- , ú(cid:50) (cid:88)(cid:76)(cid:268)(cid:167)
ë 3 3 û ë 2 û ë 4 2 û
③
1 π 1 é æ πöù 1 π π
(cid:171)(cid:186)g(x)= sin(2x+ )= sin ê 2çx+ ÷ú (cid:50)(cid:145)(cid:146) f(x)(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:107)(cid:171)g(x)= sin(2x+ )(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:315)(cid:331)(cid:190)(cid:328) (cid:289)(cid:118)
2 4 2 ë è 8øû 2 4 8
(cid:314)(cid:285)(cid:303)(cid:161)(cid:210)(cid:50) (cid:88)(cid:76)(cid:268)(cid:131)
(cid:169)(cid:170)(cid:148)A(cid:131) ④
æ πö
20(cid:131)（2022·浙江·高考真题）(cid:142)(cid:376)(cid:161)(cid:210)(cid:19)(cid:20)y=2sin3x(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:50)(cid:343)(cid:154)(cid:252)(cid:19)(cid:20)y=2sinç3x+ ÷(cid:102)(cid:113)(cid:66)(cid:145)(cid:239)(cid:21)
è 5ø
(cid:4)(cid:10) (cid:11)
π π
A(cid:131)(cid:315)(cid:360)(cid:190)(cid:328) (cid:289)(cid:118)(cid:314)(cid:285)(cid:303) B(cid:131)(cid:315)(cid:331)(cid:190)(cid:328) (cid:289)(cid:118)(cid:314)(cid:285)(cid:303)
5 5
π π
C(cid:131)(cid:315)(cid:360)(cid:190)(cid:328) (cid:289)(cid:118)(cid:314)(cid:285)(cid:303) D(cid:131)(cid:315)(cid:331)(cid:190)(cid:328) (cid:289)(cid:118)(cid:314)(cid:285)(cid:303)
15 15
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)D
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:102)(cid:113)(cid:21)(cid:53)(cid:64)(cid:229)(cid:135)(cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:166)(cid:131)
é æ π ö πù æ πö π
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)y=2sin3x=2sin
ê
3çx- ÷+
ú
(cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:252)(cid:19)(cid:20)y=2sinç3x+ ÷(cid:102)(cid:113)(cid:66)(cid:21)(cid:145)(cid:239)(cid:4)(cid:315)(cid:331)(cid:190)(cid:328)
ë è 15ø 5û è 5ø 15
(cid:289)(cid:118)(cid:314)(cid:285)(cid:303)(cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:210)(cid:19)(cid:20)y=2sin3x(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:131)
(cid:169)(cid:170)(cid:148)D.
π
21(cid:131)(cid:10)(cid:265)(cid:170)(cid:13)(cid:11)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:123)(cid:186)(cid:19)(cid:20) f(x)=sin2x(cid:73)g(x)=sin(2x- )(cid:50)(cid:293)(cid:348)(cid:353)(cid:229)(cid:126)(cid:76)(cid:268)
4
(cid:21)(cid:239)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131) f(x)(cid:74)g(x)(cid:239)(cid:249)(cid:16)(cid:21)(cid:321)(cid:4) B(cid:131) f(x)(cid:74)g(x)(cid:239)(cid:249)(cid:16)(cid:21)(cid:120)(cid:199)(cid:46)
C(cid:131) f(x)(cid:74)g(x)(cid:239)(cid:249)(cid:16)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117) D(cid:131) f(x)(cid:74)g(x)(cid:21)(cid:102)(cid:113)(cid:239)(cid:249)(cid:16)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:187)
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)BC
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:321)(cid:4)(cid:50)(cid:120)(cid:46)(cid:50)(cid:116)(cid:117)(cid:29)(cid:30)(cid:50)(cid:123)(cid:124)(cid:187)(cid:228)(cid:283)(cid:371)(cid:33)(cid:5)(cid:106)(cid:288)(cid:289)(cid:170)(cid:267)(cid:143)(cid:107).
kπ
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)A(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:327) f(x)=sin2x=0(cid:50)(cid:94)(cid:161)x= ,kÎZ(cid:50)(cid:143)(cid:142) f(x)(cid:321)(cid:4)(cid:50)
2
π kπ π
(cid:327)g(x)=sin(2x- )=0(cid:50)(cid:94)(cid:161)x= + ,kÎZ(cid:50)(cid:143)(cid:142)g(x)(cid:321)(cid:4)(cid:50)
4 2 8
(cid:319)(cid:284) f(x),g(x)(cid:321)(cid:4)(cid:88)(cid:16)(cid:50)A(cid:170)(cid:267)(cid:311)(cid:312)(cid:167)B(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:319)(cid:284) f(x) =g(x) =1(cid:50)B(cid:170)(cid:267)(cid:76)(cid:268)(cid:167)
max max
2π
C(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:157)(cid:158)(cid:116)(cid:117)(cid:29)(cid:30)(cid:50) f(x),g(x)(cid:21)(cid:116)(cid:117)(cid:194)(cid:142) =π(cid:50)C(cid:170)(cid:267)(cid:76)(cid:268)(cid:167)
2
π kπ π
D(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:157)(cid:158)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:104)(cid:105) f(x)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:187)(cid:177)(cid:178)2x=kπ+ Û x= + ,kÎZ(cid:50)
2 2 4
π π kπ 3π
g(x)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:187)(cid:177)(cid:178)2x- =kπ+ Û x= + ,kÎZ(cid:50)
4 2 2 8
(cid:319)(cid:284) f(x),g(x)(cid:102)(cid:103)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:187)(cid:88)(cid:16)(cid:50)D(cid:170)(cid:267)(cid:311)(cid:312).
(cid:169)(cid:170)(cid:148)BC
æ2π ö
22(cid:131)(cid:10)(cid:265)(cid:170)(cid:13)(cid:11)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:19)(cid:20) f(x)=sin(2x+j)(0<j<π)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:24)(cid:186)(cid:4)ç ,0÷
è 3 ø
(cid:126)(cid:337)(cid:123)(cid:124)(cid:50)(cid:135)(cid:10) (cid:11)
æ 5πö
A(cid:131) f(x)(cid:189)(cid:257)(cid:258)ç0, ÷(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)
è 12ø
æ π 11πö
B(cid:131) f(x)(cid:189)(cid:257)(cid:258)ç- , ÷(cid:239)(cid:72)(cid:289)(cid:367)(cid:46)(cid:4)
è 12 12 ø
7π
C(cid:131)(cid:192)(cid:345)x= (cid:90)(cid:344)(cid:345)y= f(x)(cid:21)(cid:123)(cid:124)(cid:187)
6
3
D(cid:131)(cid:192)(cid:345)y= -x(cid:90)(cid:344)(cid:345)y= f(x)(cid:21)(cid:79)(cid:345)
2
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)AD
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:104)(cid:105)(cid:371)(cid:289)(cid:286)(cid:287)(cid:373)(cid:170)(cid:267)(cid:50)(cid:143)(cid:107)(cid:94)(cid:166)(cid:131)
æ2πö æ4π ö 4π
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)(cid:13)(cid:202)(cid:161)(cid:148) f ç ÷=sinç +j÷=0(cid:50)(cid:145)(cid:146) +j=kπ(cid:50)kÎZ(cid:50)
è 3 ø è 3 ø 3
4π
(cid:143)j=- +kπ,kÎZ(cid:50)
3
2π æ 2πö
(cid:206)0<j<π(cid:50)(cid:145)(cid:146)k =2(cid:163)(cid:50)j= (cid:50)(cid:169) f(x)=sinç2x+ ÷(cid:131)
3 è 3 ø
æ 5πö 2π æ2π 3πö æ 5πö
(cid:123)A(cid:50)(cid:162)xÎç0, ÷(cid:163)(cid:50)2x+ Îç , ÷(cid:50)(cid:171)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)y=sinu(cid:102)(cid:113)(cid:133)y= f(x)(cid:189)ç0, ÷(cid:66)(cid:90)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)(cid:167)
è 12ø 3 è 3 2 ø è 12ø
æ π 11πö 2π æπ 5πö
(cid:123)B(cid:50)(cid:162)xÎç- , ÷(cid:163)(cid:50)2x+ Îç , ÷(cid:50)(cid:171)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)y=sinu(cid:102)(cid:113)(cid:133)y= f(x)(cid:343)(cid:239)1(cid:289)(cid:367)(cid:46)(cid:4)(cid:50)(cid:171)
è 12 12 ø 3 è2 2 ø
2π 3π 5π 5π
2x+ = (cid:50)(cid:94)(cid:161)x= (cid:50)(cid:143)x= (cid:142)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:180)(cid:33)(cid:367)(cid:46)(cid:4)(cid:167)
3 2 12 12
7π 2π 7π 7π
(cid:123)C(cid:50)(cid:162)x= (cid:163)(cid:50)2x+ =3π(cid:50) f( )=0(cid:50)(cid:192)(cid:345)x= (cid:88)(cid:90)(cid:123)(cid:124)(cid:187)(cid:167)
6 3 6 6
æ 2πö æ 2πö 1
(cid:123)D(cid:50)(cid:171)y¢=2cosç2x+ ÷=-1(cid:161)(cid:148)cosç2x+ ÷=- (cid:50)
è 3 ø è 3 ø 2
2π 2π 2π 4π
(cid:94)(cid:161)2x+ = +2kπ(cid:47)2x+ = +2kπ,kÎZ,
3 3 3 3π
(cid:182)(cid:183)(cid:161)(cid:148)x=kπ(cid:47)x= +kπ,kÎZ,
3
æ 3ö 2π
(cid:145)(cid:146)(cid:19)(cid:20)y= f(x)(cid:189)(cid:4)ç0, ÷(cid:326)(cid:21)(cid:79)(cid:345)(cid:377)(cid:378)(cid:142)k = y¢ =2cos =-1(cid:50)
ç 2 ÷ x=0 3
è ø
3 3
(cid:79)(cid:345)(cid:228)(cid:283)(cid:142)(cid:148)y- =-(x-0)(cid:143)y= -x(cid:131)
2 2
(cid:169)(cid:170)(cid:148)AD(cid:131)
23(cid:131)（2026·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20) f t= Asinwt+j+B(cid:10)A>0(cid:50)BÎR(cid:50)w>0(cid:50)0£j<2π(cid:11)(cid:50)
(cid:198)v= f t(cid:50)(cid:162)v=0(cid:47)v=4(cid:163)(cid:125)(cid:28)(cid:20)(cid:142)0(cid:50)(cid:365)(cid:195)(cid:379)(cid:303)(cid:142)0(cid:50)(cid:144)(cid:379)(cid:303)(cid:216)(cid:33)(cid:380)(cid:381)(cid:210)4(cid:163)(cid:84)(cid:163)(cid:142)0.1(cid:382)(cid:50)(cid:135)
f t=__________(cid:131)
æ 3πö
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)2sinç10πt+ ÷+2
è 2 ø
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:209)(cid:84)(cid:132)(cid:133)(cid:150)(cid:151)(cid:172)(cid:61)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:104)(cid:105)(cid:383)(cid:384)(cid:228)(cid:283)(cid:179)(cid:45)(cid:166)A,B(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:365)(cid:379)(cid:303)(cid:142)0(cid:50)(cid:45)(cid:166)j(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:216)(cid:33)(cid:380)(cid:381)
(cid:210)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:21)(cid:163)(cid:258)(cid:383)(cid:384)(cid:228)(cid:283)(cid:45)(cid:166)w(cid:50)(cid:203)(cid:183)(cid:45)(cid:166) f t(cid:94)(cid:106)(cid:30)(cid:131)
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)(cid:13)(cid:202)(cid:133)(cid:50) f t=0(cid:73) f t=4(cid:163)(cid:50)(cid:28)(cid:20)(cid:142)0(cid:50)(cid:143) f t(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142)0(cid:50)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:142)4(cid:50)
(cid:206) f tÎ-A+B,A+B(cid:50)
ìA+B=4 ìA=2
(cid:145)(cid:146)í (cid:50)(cid:94)(cid:161)í (cid:50)(cid:169) f t=2sinwt+j+2(cid:167)
î-A+B=0 îB=2
(cid:132)(cid:133)(cid:365)(cid:379)(cid:303)(cid:142)0(cid:50)(cid:135) f 0=2sinj+2=0(cid:50)(cid:94)(cid:161)sinj=-1(cid:50)
3π
(cid:132)(cid:133)0£j<2π(cid:50)(cid:135)j= (cid:50)
2
T 2p
(cid:379)(cid:303)(cid:216)(cid:33)(cid:380)(cid:381)(cid:210)4(cid:163)(cid:84)(cid:163)0.1(cid:382)(cid:50)(cid:135) =0.1ÞT = =0.2(cid:50)(cid:143)w=10p(cid:50)
2 w
æ 3πö
(cid:215)(cid:163) f t=2sinç10πt+ ÷+2(cid:131)
è 2 ø
æ πö
24(cid:131)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:132)(cid:133) f(x)=2sinax+q(cid:10)aÎZ(cid:50)0£q<2π(cid:11)(cid:90)(cid:122)(cid:19)(cid:20)(cid:50)f(x)(cid:189)(cid:257)(cid:258)ç0, ÷
è 2ø
æ2πö
(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:131)(cid:135)q=__________(cid:50) f ç ÷=__________(cid:131)
è 3 ø
3π
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139) 1
2
π 3π
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:73)(cid:116)(cid:117)(cid:104)(cid:107)(cid:161) a =1,2.(cid:94)(cid:229)(cid:33)(cid:148)(cid:157)(cid:158)(cid:122)(cid:19)(cid:20)(cid:107)(cid:161)q= , (cid:50)(cid:349)(cid:322)(cid:323)(cid:172)(cid:61)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:212)(cid:213)(cid:143)(cid:107)(cid:167)
2 2π 3π
(cid:94)(cid:229)(cid:65)(cid:148)(cid:157)(cid:158)(cid:13)(cid:202)(cid:107)(cid:161) f¢0=0(cid:50)(cid:143)(cid:107)(cid:161)q= , (cid:50)(cid:157)(cid:158)(cid:28)(cid:20)(cid:74)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:5)(cid:106)(cid:45)(cid:94)(cid:167)(cid:94)(cid:229)(cid:18)(cid:148)(cid:5)(cid:106)(cid:107)
2 2
3π
(cid:133) f x(cid:189)x=0(cid:326)(cid:188)(cid:210)(cid:367)(cid:271)(cid:46)(cid:50)(cid:107)(cid:161)q= (cid:50)(cid:203)(cid:183)(cid:107)(cid:161)(cid:172)(cid:204).
2
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:147)(cid:19)(cid:20) f x(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)T(cid:50)(cid:171)(cid:13)(cid:202)(cid:107)(cid:133)a¹0(cid:50)
(cid:141)(cid:142)(cid:19)(cid:20) f x(cid:189) æ ç0, πö ÷(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)(cid:135) T ³ π (cid:50)(cid:143)T ³π(cid:50)
è 2ø 2 2
2π
(cid:107)(cid:161) ³π(cid:50)(cid:94)(cid:161) a £2(cid:50)
a
(cid:144)aÎZ(cid:50)a¹0(cid:50)(cid:135) a =1,2.
(cid:94)(cid:229)(cid:33)(cid:148)(cid:141)(cid:142)(cid:19)(cid:20) f x=2sinax+q(cid:142)(cid:122)(cid:19)(cid:20)(cid:50)
π
(cid:135)q=kπ+ (cid:50)k ÎZ(cid:50)(cid:144)0£q<2π(cid:50)
1 2 1
π 3π
(cid:135)k =0,1(cid:50)q= , (cid:50)
1 2 2
(cid:198)q= π (cid:50)(cid:135) f x=2sin æ çax+ πö ÷=2cosax=2cosa x (cid:50)
2 è 2ø
(cid:143) f x=2cosx(cid:47) f x=2cos2x(cid:50)(cid:88)(cid:294)(cid:61)(cid:13)(cid:202)(cid:50)
(cid:198)q= 3π (cid:50)(cid:135) f x=2sin æ çax+ 3πö ÷=-2cosax=-2cosa x (cid:50)
2 è 2 ø
(cid:143) f x=-2cosx(cid:47) f x=-2cos2x(cid:50)(cid:294)(cid:61)(cid:13)(cid:202)(cid:167)
æ2πö 2π æ2πö 4π æ πö π
(cid:144) f ç ÷=-2cos =1(cid:47) f ç ÷=-2cos =-2cosçπ+ ÷=2cos =1(cid:167)
è 3 ø 3 è 3 ø 3 è 3ø 3
3π æ2πö
(cid:168)(cid:66)(cid:145)(cid:307)(cid:148)q= (cid:50) f ç ÷=1.
2 è 3 ø
(cid:94)(cid:229)(cid:65)(cid:148)(cid:141)(cid:142) f¢x=2acosax+q(cid:50)
(cid:198)(cid:19)(cid:20) f x(cid:142)(cid:122)(cid:19)(cid:20)(cid:50)(cid:135) f¢0=2acosq=0(cid:50)(cid:143)cosq=0(cid:50)
π 3π
(cid:144)0£q<2π(cid:50)(cid:135)q= , (cid:50)
2 2
(cid:198)q= π (cid:50)(cid:135) f x=2sin æ çax+ πö ÷=2cosax=2cosa x (cid:50) f¢x=-2 a sina x (cid:50)
2 è 2ø
æ πö
(cid:143) f¢x=-2sinx<0(cid:47) f¢x=-4sin2x<0(cid:189)ç0, ÷(cid:313)(cid:62)(cid:175)(cid:92)(cid:50)
è 2ø
æ πö
(cid:107)(cid:133)(cid:19)(cid:20) f x(cid:189)ç0, ÷(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)(cid:50)(cid:88)(cid:294)(cid:61)(cid:13)(cid:202)(cid:50)
è 2ø
(cid:198)q= 3π (cid:50)(cid:135) f x=2sin æ çax+ 3πö ÷=-2cosax=-2cosa x (cid:50) f¢x=2 a sina x (cid:50)
2 è 2 øæ πö
(cid:143) f¢x=2sinx>0(cid:47) f¢x=4sin2x>0(cid:189)ç0, ÷(cid:313)(cid:62)(cid:175)(cid:92)(cid:50)
è 2ø
æ πö
(cid:107)(cid:133)(cid:19)(cid:20) f x(cid:189)ç0, ÷(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)(cid:294)(cid:61)(cid:13)(cid:202)(cid:50)
è 2ø
æ2πö 2π æ2πö 4π æ πö π
(cid:144) f ç ÷=-2cos =1(cid:47) f ç ÷=-2cos =-2cosçπ+ ÷=2cos =1(cid:167)
è 3 ø 3 è 3 ø 3 è 3ø 3
3π æ2πö
(cid:168)(cid:66)(cid:145)(cid:307)(cid:148)q= (cid:50) f ç ÷=1.
2 è 3 ø
æ πö
(cid:94)(cid:229)(cid:18)(cid:148)(cid:141)(cid:142)(cid:19)(cid:20) f x=2sinax+q(cid:142)(cid:122)(cid:19)(cid:20)(cid:50)(cid:144)(cid:19)(cid:20) f x(cid:189)ç0, ÷(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)
è 2ø
π
(cid:107)(cid:133) f x(cid:189)x=0(cid:326)(cid:188)(cid:210)(cid:367)(cid:271)(cid:46)(cid:50)(cid:135)q=2k π- (cid:50)k ÎZ(cid:50)(cid:144)0£q<2π(cid:50)
2 2 2
(cid:135)k =1(cid:50)q= 3π (cid:50)(cid:135) f x=2sin æ çax+ 3πö ÷=-2cosax=-2cosa x (cid:50)
2 2 è 2 ø
(cid:143) f x=-2cosx(cid:47) f x=-2cos2x(cid:50)(cid:294)(cid:61)(cid:13)(cid:202)(cid:167)
æ2πö 2π æ2πö 4π æ πö π
(cid:144) f ç ÷=-2cos =1(cid:47) f ç ÷=-2cos =-2cosçπ+ ÷=2cos =1.
è 3 ø 3 è 3 ø 3 è 3ø 3
25(cid:131)（2026·上海·高考真题）(cid:239)(cid:33)(cid:289)(cid:385)(cid:386)(cid:50)(cid:386)(cid:387)(cid:388)(cid:142)(cid:389)(cid:390)(cid:50)(cid:386)(cid:391)(cid:388)(cid:142)(cid:192)(cid:345)(cid:144)(cid:88)(cid:224)(cid:392)(cid:266)(cid:50)(cid:386)(cid:393)(cid:192)(cid:394)6.4(cid:395)(cid:396)(cid:50)
(cid:386)(cid:387)(cid:71)16(cid:395)(cid:396)(cid:50)(cid:386)(cid:313)(cid:385)(cid:397)(cid:191)(cid:71)12.1(cid:395)(cid:396)(cid:50)(cid:386)(cid:391)(cid:285)13.4(cid:395)(cid:396)(cid:50)(cid:74)(cid:386)(cid:387)(cid:398)(cid:17)(cid:142)30°(cid:50)(cid:386)(cid:391)(cid:120)(cid:399)(cid:4)(cid:400)(cid:386)(cid:393)3(cid:395)(cid:396)(cid:50)
(cid:222)(cid:386)(cid:387)(cid:315)(cid:386)(cid:391)(cid:228)(cid:315)(cid:401)(cid:402)(cid:242)_____________(cid:303)(cid:107)(cid:248)(cid:385)(cid:403)(cid:166)(cid:10)(cid:363)(cid:268)(cid:210)0.01°(cid:11)
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)14.2°
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:13)(cid:202)(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:150)(cid:151)(cid:5)(cid:218)(cid:234)(cid:255)(cid:166)EG,EF(cid:50)(cid:284)(cid:219)(cid:189)(cid:404)EGF (cid:126)(cid:50)(cid:171)(cid:76)(cid:77)(cid:173)(cid:273)(cid:322)(cid:323)(cid:224)(cid:225)(cid:50)(cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:210)(cid:172)(cid:204).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)
(cid:147)(cid:386)(cid:391)(cid:120)(cid:399)(cid:4)(cid:50)(cid:120)(cid:71)(cid:4)(cid:5)(cid:218)(cid:90)E,F(cid:50)
(cid:102)(cid:126)(cid:389)(cid:390)(cid:187)(cid:405)(cid:191)(cid:406)(cid:54)(cid:50)(cid:400)(cid:355)(cid:4)E(cid:120)(cid:356)(cid:21)(cid:407)(cid:4)(cid:90)(cid:4)A(cid:50)(cid:245)(cid:246)(cid:18)(cid:289)(cid:407)(cid:4)(cid:5)(cid:218)(cid:142)B,C,D(cid:50)(cid:162)(cid:408)(cid:190)(cid:397)(cid:191)(cid:409)(cid:282)(cid:4)F (cid:163)(cid:50)(cid:107)(cid:222)(cid:385)(cid:403)(cid:166)(cid:50)
3.9
(cid:147)(cid:410)(cid:377)(cid:17)(cid:142)q(cid:50)(cid:162)(cid:397)(cid:191)(cid:409)(cid:282)(cid:4)D(cid:163)(cid:50)q=arctan »31.36°(cid:50)
6.4
é 3.9ù
(cid:201)(cid:3)(cid:362)(cid:397)(cid:191)(cid:88)(cid:411)(cid:282)(cid:4)D(cid:50)(cid:143)qÎ
ê
0,arctan
ú
(cid:21)(cid:9)(cid:269)(cid:50)
ë 6.4û
(cid:147)(cid:397)(cid:191)(cid:74)AD,CB(cid:5)(cid:218)(cid:346)(cid:186)(cid:4)G,H (cid:50)
(cid:147)GH(cid:21)(cid:126)(cid:4)(cid:142)M (cid:50)(cid:282)M (cid:226)AD(cid:21)(cid:318)(cid:345)(cid:50)(cid:318)(cid:178)(cid:142)N (cid:50)
1
(cid:135)MN = AB=3.2(cid:50)ÐGMN =q(cid:50)(cid:145)(cid:146)GN =MNtanq=3.2tanq(cid:50)
2
(cid:141)(cid:142)AN =12.1(cid:50)(cid:145)(cid:146)GE=GN+AN-AE=3.2tanq+9.1(cid:50)
(cid:141)(cid:142)ÐEGF =ÐNMG+ÐMNG=90°+q(cid:50)
(cid:145)(cid:146)ÐF =180°-ÐFEG-ÐEGF =60°-q(cid:50)
EG EF
(cid:189)(cid:404)EGF (cid:126)(cid:50) = (cid:50)
sinÐF sinÐEGF
3.2tanq+9.1 13.4 13.4
(cid:143) = = (cid:50)
sin60°+q sin90°+q cosq
(cid:143)3.2sinq+9.1cosq=13.4sin60°+q=6.7 3cosq-6.7sinq(cid:50)
  67 3-91
(cid:143)99sinq= 67 3-91 cosq(cid:50)(cid:145)(cid:146)tanq= (cid:50)
99
67 3-91
(cid:143)q=arctan »14.2°(cid:50)
99
(cid:141)(cid:142)14.2°<31.36°(cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:401)(cid:402)(cid:222)(cid:385)(cid:386)(cid:410)(cid:377)14.2°(cid:143)(cid:107)(cid:222)(cid:385)(cid:403)(cid:166).
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)14.2°
26(cid:131)（2025·上海·高考真题）(cid:271)(cid:412)(cid:16)(cid:413)(cid:240)(cid:241)(cid:414)(cid:415)(cid:50)(cid:416)(cid:417)(cid:126)(cid:239)(cid:244)(cid:163)(cid:418)(cid:277)(cid:254)(cid:107)(cid:146)(cid:419)(cid:31)(cid:420)(cid:276)(cid:189)(cid:377)(cid:191)(cid:66)(cid:131)(cid:243)(cid:377)(cid:191)(cid:66)(cid:239)
(cid:72)(cid:157)(cid:285)(cid:142)1(cid:396)(cid:21)(cid:318)(cid:192)(cid:186)(cid:408)(cid:190)(cid:191)(cid:421)(cid:422)(cid:21)(cid:423)(cid:254)(cid:50)(cid:74)(cid:377)(cid:191)(cid:21)(cid:262)(cid:424)(cid:4)(cid:5)(cid:218)(cid:142)A(cid:35)B(cid:50)(cid:87)(cid:196)(cid:189)(cid:425)(cid:426)(cid:21)(cid:427)(cid:276)(cid:293)(cid:428)(cid:415)(cid:166)(cid:277)(cid:254)(cid:50)
(cid:425)(cid:426)(cid:107)(cid:388)(cid:142)(cid:190)(cid:429)(cid:426)(cid:148)(cid:125)(cid:126)(cid:33)(cid:157)(cid:423)(cid:254)(cid:21)(cid:277)(cid:254)(cid:189)(cid:408)(cid:190)(cid:191)(cid:66)(cid:50)(cid:285)(cid:303)(cid:142)0.4(cid:396)(cid:167)(cid:245)(cid:33)(cid:157)(cid:423)(cid:254)(cid:21)(cid:277)(cid:254)(cid:419)(cid:31)(cid:189)(cid:377)(cid:191)(cid:66)(cid:50)(cid:285)
(cid:303)(cid:142)0.45(cid:396)(cid:131)(cid:135)(cid:377)(cid:191)(cid:21)(cid:393)(cid:17)q=_________(cid:131)(cid:10)(cid:172)(cid:204)(cid:84)(cid:17)(cid:303)(cid:430)(cid:234)(cid:255)(cid:50)(cid:363)(cid:268)(cid:210)0．01°(cid:11)
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)12.58o
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:201)(cid:157)(cid:158)(cid:189)A(cid:326)(cid:21)(cid:431)(cid:423)(cid:225)(cid:166)(cid:425)(cid:426)(cid:73)(cid:408)(cid:190)(cid:191)(cid:21)(cid:398)(cid:17)(cid:50)(cid:284)(cid:219)(cid:172)(cid:61)B(cid:326)(cid:21)(cid:431)(cid:423)(cid:225)(cid:166)(cid:377)(cid:191)(cid:17).1
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:99)(cid:102)(cid:50)(cid:189)A(cid:326)(cid:50)tanx= =2.5(cid:50)(cid:189)B(cid:326)(cid:177)(cid:178)tanÐCED=2.5(cid:50)
0.4
(cid:10)(cid:125)(cid:126)ED//(cid:408)(cid:190)(cid:191)(cid:50)CE(cid:90)(cid:276)(cid:282)B(cid:326)(cid:423)(cid:254)(cid:120)(cid:71)(cid:4)(cid:21)(cid:426)(cid:345)(cid:50)(cid:426)(cid:345)(cid:346)(cid:377)(cid:191)(cid:186)E(cid:11)(cid:50)
1+y
(cid:169)(cid:147)BD= y(cid:50)(cid:135)ED= (cid:50)
2.5
æ1+yö 2
(cid:171)(cid:309)(cid:310)(cid:173)(cid:273)(cid:50)y2+ç
÷
=0.452(cid:50)(cid:94)(cid:161)y»0.098(cid:50)
è 2.5 ø
0.098
(cid:186)(cid:90)q=arcsin »12.58o
0.45
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)12.58o
é π πù
27(cid:131)（2025·上海·高考真题）(cid:19)(cid:20)y=cosx(cid:189) - , (cid:66)(cid:21)(cid:46)(cid:214)(cid:142)_________(cid:131)
ê ú
ë 2 4û
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)0,1
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:209)(cid:84)(cid:78)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:107)(cid:161).
é π ù é πù
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)(cid:19)(cid:20)y=cosx(cid:189) - ,0 (cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)(cid:189) 0, (cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)(cid:50)
ê ú ê ú
ë 2 û ë 4û
π π 2
(cid:144) f(- )=0, f(0)=1, f( )= (cid:50)
2 4 2
é π πù
(cid:169)(cid:19)(cid:20)y=cosx(cid:189) - , (cid:66)(cid:21)(cid:46)(cid:214)(cid:142)0,1.
ê ú
ë 2 4û
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)0,1.
28(cid:131)（2024·北京·高考真题）(cid:189)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:17)(cid:193)(cid:70)(cid:25)xOy(cid:126)(cid:50)(cid:17)a(cid:74)(cid:17)b(cid:194)(cid:146)Ox(cid:142)(cid:195)(cid:185)(cid:50)(cid:87)(cid:196)(cid:21)(cid:184)(cid:185)(cid:24)(cid:186)(cid:197)(cid:4)
éπ πù
(cid:123)(cid:124).(cid:198)aÎ , (cid:50)(cid:135)cosb(cid:21)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:142)________(cid:131)
ê ú
ë6 3û
1
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)- /-0.5
2(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:200)(cid:201)(cid:161)(cid:166)b=a+π+2kπ,kÎZ(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:94)(cid:120)(cid:46).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:171)(cid:13)(cid:202)b=a+π+2kπ,kÎZ(cid:50)(cid:182)(cid:183)cosb=cosa+π+2kπ=-cosa(cid:50)
éπ πù é1 3ù é 3 1ù
(cid:141)(cid:142)aÎ
ê
,
ú
(cid:50)(cid:145)(cid:146)cosa(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:128)(cid:129)(cid:90)ê , ú(cid:50)cosb(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:128)(cid:129)(cid:90)ê- ,- ú(cid:50)
ë6 3û
ë
2 2
û ë
2 2
û
π 4π 1
(cid:162)(cid:144)(cid:89)(cid:162)a= (cid:50)(cid:143)b= +2kπ,kÎZ(cid:163)(cid:50)cosb(cid:188)(cid:161)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:50)(cid:144)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:142)- .
3 3 2
1
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)- .
2
29(cid:131)（2023·北京·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:12)(cid:13)p:(cid:198)a,b(cid:142)(cid:216)(cid:33)(cid:113)(cid:217)(cid:17)(cid:50)(cid:144)a>b(cid:50)(cid:135)tana>tanb(cid:131)(cid:55)(cid:353)(cid:101)p(cid:142)(cid:375)
(cid:12)(cid:13)(cid:21)(cid:33)(cid:179)a,b(cid:21)(cid:46)(cid:142)a=__________(cid:50)b= _________(cid:131)
9π π
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)
4 3
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:157)(cid:158)(cid:76)(cid:79)(cid:19)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:146)(cid:26)(cid:332)(cid:202)(cid:17)(cid:21)(cid:173)(cid:174)(cid:5)(cid:106)(cid:45)(cid:94).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142) f x=tanx(cid:189) æ ç0, πö ÷(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)(cid:198)0<a <b < π (cid:50)(cid:135)tana<tanb(cid:50)
è 2ø 0 0 2 0 0
(cid:188)a=2kπ+a,b=2k π+b,k,k ÎZ(cid:50)
1 0 2 0 1 2
(cid:135)tana=tan2kπ+a=tana,tanb=tan2k π+b=tanb(cid:50)(cid:143)tana<tanb(cid:50)
1 0 0 2 0 0
(cid:327)k >k (cid:50)(cid:135)a-b=2kπ+a-2k π+b=2k -k π+a-b(cid:50)
1 2 1 0 2 0 1 2 0 0
π 3π
(cid:141)(cid:142)2k -k π³2π,- <a -b <0(cid:50)(cid:135)a-b=2k -k π+a -b> >0(cid:50)
1 2 2 0 0 1 2 0 0 2
(cid:143)k >k (cid:50)(cid:135)a>b.
1 2
π π 9π π
(cid:88)(cid:308)(cid:188)k =1,k =0,a = ,b = (cid:50)(cid:143)a= ,b= (cid:177)(cid:178)(cid:13)(cid:202).
1 2 0 4 0 3 4 3
9π π
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148) ; .
4 3
30(cid:131)（2023·上海·高考真题）(cid:29)(cid:432)(cid:433)(cid:434)(cid:377)(cid:435)(cid:50)(cid:375)(cid:147)(cid:377)(cid:435)(cid:436)(cid:4)(cid:189)(cid:408)(cid:190)(cid:191)(cid:66)(cid:50)(cid:377)(cid:435)(cid:74)(cid:408)(cid:190)(cid:191)(cid:21)(cid:398)(cid:17)(cid:142)θ(cid:50)(cid:377)(cid:435)(cid:184)
(cid:4)(cid:400)(cid:355)(cid:408)(cid:190)(cid:191)(cid:21)(cid:318)(cid:192)(cid:71)(cid:303)(cid:142)4(cid:396)(cid:50)(cid:437)(cid:438)(cid:288)(cid:439)(cid:33)(cid:396)(cid:440)(cid:441)(cid:21)(cid:338)(cid:55)(cid:142)1.025-cosq(cid:50)(cid:154)(cid:248)(cid:437)(cid:438)(cid:182)(cid:377)(cid:435)(cid:393)(cid:439)(cid:210)(cid:377)(cid:435)
(cid:407)(cid:442)(cid:145)(cid:440)(cid:441)(cid:21)(cid:238)(cid:338)(cid:55)(cid:120)(cid:402)(cid:50)(cid:135)q=______(cid:131)
40
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)arccos
41
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:228)(cid:229)1(cid:50)(cid:157)(cid:158)(cid:223)(cid:173)(cid:150)(cid:151)(cid:50)(cid:45)(cid:166)(cid:377)(cid:435)(cid:285)(cid:50)(cid:348)(cid:166)(cid:238)(cid:338)(cid:56)y(cid:24)(cid:186)q(cid:21)(cid:19)(cid:20)(cid:50)(cid:209)(cid:84)(cid:28)(cid:20)(cid:45)(cid:94)(cid:226)(cid:137).
(cid:228)(cid:229)2(cid:50)(cid:157)(cid:158)(cid:223)(cid:173)(cid:150)(cid:151)(cid:50)(cid:45)(cid:166)(cid:377)(cid:435)(cid:285)(cid:50)(cid:348)(cid:166)(cid:238)(cid:338)(cid:56)y(cid:24)(cid:186)q(cid:21)(cid:19)(cid:20)(cid:50)(cid:443)(cid:81)(cid:80)(cid:81)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:94)(cid:226)(cid:137).4 π
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:228)(cid:229)1(cid:148)(cid:368)(cid:13)(cid:202)(cid:50)(cid:377)(cid:435)(cid:285)(cid:303)L= ,qÎ(0, )(cid:50)
sinq 2
4.1-4cosq
(cid:141)(cid:215)(cid:444)(cid:445)(cid:377)(cid:435)(cid:210)(cid:435)(cid:407)(cid:440)(cid:441)(cid:21)(cid:238)(cid:338)(cid:56)y= f(q)=L(1.025-cosq)= (cid:50)
sinq
4sin2q-(4.1-4cosq)cosq 4-4.1cosq 40
(cid:45)(cid:28)(cid:161) f¢(q)= = (cid:50)(cid:171) f¢(q)=0(cid:50)(cid:161)q=arccos (cid:50)
sin2q sin2q 41
40 40 π
(cid:162)0<q<arccos (cid:163)(cid:50) f¢(q)<0(cid:50)(cid:162)arccos <q< (cid:163)(cid:50) f¢(q)>0(cid:50)
41 41 2
40 40 π
(cid:186)(cid:90)(cid:19)(cid:20) f(q)(cid:189)(0,arccos )(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)(cid:50)(cid:189)(arccos , )(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)
41 41 2
40
(cid:145)(cid:146)(cid:162)q=arccos (cid:163)(cid:50)(cid:444)(cid:66)(cid:435)(cid:440)(cid:441)(cid:21)(cid:238)(cid:338)(cid:56) f(q)(cid:120)(cid:271).
41
4 π
(cid:228)(cid:229)2(cid:148)(cid:368)(cid:13)(cid:202)(cid:50)(cid:377)(cid:435)(cid:285)(cid:303)L= ,qÎ(0, )(cid:50)
sinq 2
4.1-4cosq
(cid:141)(cid:215)(cid:444)(cid:445)(cid:377)(cid:435)(cid:210)(cid:435)(cid:407)(cid:440)(cid:441)(cid:21)(cid:238)(cid:338)(cid:56)y=L(1.025-cosq)= (cid:50)
sinq
ì 4
sinj=
ï
4.1-4cosq ï
y2+162
(cid:171)y= (cid:50)(cid:161)ysinq+4cosq=4.1(cid:50)(cid:143) y2+16sin(q+j)=4.1(cid:50)(cid:125)(cid:126)(cid:260)(cid:17)j(cid:171)í (cid:268)
sinq y
ïcosj=
ï y2+162
î
(cid:173)(cid:50)
π
(cid:319)(cid:284) y2+16³4.1(cid:50)(cid:183)y>0(cid:50)(cid:135)y³0.9(cid:50)(cid:162)(cid:144)(cid:89)(cid:162)sin(q+j)=1(cid:50)(cid:143)q= -j(cid:163)(cid:188)(cid:63)(cid:306)(cid:50)
2
4 40 40
(cid:215)(cid:163)cosq=sinj= = (cid:50)(cid:143)q=arccos (cid:50)
0.92+16 41 41
40
(cid:145)(cid:146)(cid:162)q=arccos (cid:163)(cid:50)(cid:444)(cid:66)(cid:435)(cid:440)(cid:441)(cid:21)(cid:238)(cid:338)(cid:56)y(cid:120)(cid:271).
41
40
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)arccos
41
31(cid:131)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:19)(cid:20) f x=coswx-1(w>0)(cid:189)(cid:257)(cid:258)0,2π (cid:239)(cid:144)(cid:89)(cid:239)3(cid:289)(cid:321)(cid:4)(cid:50)(cid:135)w
(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:128)(cid:129)(cid:90)________(cid:131)
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)[2,3)
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:327) f(x)=0(cid:50)(cid:161)coswx=1(cid:239)3(cid:289)(cid:157)(cid:50)(cid:182)(cid:183)(cid:172)(cid:61)(cid:78)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:94).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:141)(cid:142)0£x£2π(cid:50)(cid:145)(cid:146)0≤wx≤2wπ(cid:50)
(cid:327) f(x)=coswx-1=0(cid:50)(cid:135)coswx=1(cid:239)3(cid:289)(cid:157)(cid:50)
(cid:327)t =wx(cid:50)(cid:135)cost =1(cid:239)3(cid:289)(cid:157)(cid:50)(cid:125)(cid:126)tÎ[0,2wπ](cid:50)
(cid:172)(cid:61)(cid:78)(cid:77)(cid:19)(cid:20)y=cost(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:107)(cid:161)4π£2wπ<6π(cid:50)(cid:169)2£w<3(cid:50)(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)[2,3).
1
32(cid:131)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:19)(cid:20) f x=sinwx+j(cid:50)(cid:99)(cid:102)A(cid:50)B(cid:90)(cid:192)(cid:345)y= (cid:74)(cid:344)(cid:345)y= fx(cid:21)
2
π
(cid:72)(cid:289)(cid:346)(cid:4)(cid:50)(cid:198) AB = (cid:50)(cid:135) f π=______(cid:131)
6
3
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)-
2
æ 1ö æ 1ö π 1 2π
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:147)Açx, ÷,Bçx , ÷(cid:50)(cid:368)(cid:13)(cid:107)(cid:161)(cid:50)x -x = (cid:50)(cid:172)(cid:61)sinx= (cid:21)(cid:94)(cid:107)(cid:161)(cid:50)wx -x = (cid:50)(cid:182)(cid:183)(cid:161)
è 1 2ø è 2 2ø 2 1 6 2 2 1 3
æ2 ö æ 2 ö
(cid:210)w(cid:21)(cid:46)(cid:50)(cid:211)(cid:157)(cid:158) f ç π÷=0(cid:146)(cid:26) f 0<0(cid:50)(cid:143)(cid:107)(cid:161) f(x)=sinç4x- π÷(cid:50)(cid:203)(cid:183)(cid:45)(cid:161) f π(cid:131)
è3 ø è 3 ø
æ 1ö æ 1ö π π
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:147)Açx, ÷,Bçx , ÷(cid:50)(cid:171) AB = (cid:107)(cid:161)x -x = (cid:50)
è 1 2ø è 2 2ø 6 2 1 6
1 π 5π
(cid:171)sinx= (cid:107)(cid:133)(cid:50)x= +2kπ(cid:47)x= +2kπ(cid:50)kÎZ(cid:50)(cid:171)(cid:102)(cid:107)(cid:133)(cid:50)
2 6 6
5 π 2π 2π
wx +j-wx +j= π- = (cid:50)(cid:143)wx -x = (cid:50)\w=4(cid:131)
2 1 6 6 3 2 1 3
æ2 ö æ8π ö 8π 8
(cid:141)(cid:142) f ç π÷=sinç +j÷=0(cid:50)(cid:145)(cid:146) +j=kπ(cid:50)(cid:143)j=- π+kπ(cid:50)kÎZ(cid:131)
è3 ø è 3 ø 3 3
æ 8 ö æ 2 ö
(cid:145)(cid:146) f(x)=sinç4x- π+kπ÷=sinç4x- π+kπ÷(cid:50)
è 3 ø è 3 ø
æ 2 ö æ 2 ö
(cid:145)(cid:146) f x=sinç4x- π÷(cid:47) f x=-sinç4x- π÷(cid:50)
è 3 ø è 3 ø
æ 2 ö æ 2 ö 3
(cid:206)(cid:141)(cid:142) f 0<0(cid:50)(cid:145)(cid:146) f(x)=sinç4x- π÷(cid:50)\f π=sinç4π- π÷=- (cid:131)
è 3 ø è 3 ø 2
3
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)- (cid:131)
2
(cid:136)(cid:4)(cid:227)(cid:139)(cid:23)(cid:13)(cid:446)(cid:154)(cid:3)(cid:42)(cid:157)(cid:158)(cid:102)(cid:113)(cid:45)(cid:166)w(cid:146)(cid:26)(cid:19)(cid:20) f x(cid:21)(cid:234)(cid:381)(cid:30)(cid:50)(cid:182)(cid:183)(cid:94)(cid:166)(cid:50)(cid:447)(cid:448)(cid:449)(cid:450)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:239)(cid:24)(cid:104)(cid:105)(cid:50)
(cid:146)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:17)(cid:21)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:46)(cid:90)(cid:94)(cid:13)(cid:24)(cid:247)(cid:131)
33(cid:131)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:369)(cid:19)(cid:20) f x=coswx+j(w>0,0<j<π)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)T(cid:50)(cid:198)3 p
f(T)= (cid:50)x= (cid:142) f(x)(cid:21)(cid:321)(cid:4)(cid:50)(cid:135)w(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142)____________(cid:131)
2 9
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)3
3 π
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:200)(cid:201)(cid:234)(cid:255)(cid:166)T(cid:50)(cid:157)(cid:158) f T= (cid:45)(cid:166)j(cid:50)(cid:211)(cid:157)(cid:158)x= (cid:142)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:321)(cid:4)(cid:50)(cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:166)w(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:50)(cid:182)(cid:183)(cid:161)
2 9
(cid:94)(cid:167)
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:94)(cid:148) (cid:141)(cid:142) f x=coswx+j(cid:50)(cid:10)w>0(cid:50)0<j<π(cid:11)
2π æ 2π ö 3
(cid:145)(cid:146)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)T = (cid:50)(cid:141)(cid:142) f T=cosçw× +j÷=cos2π+j=cosj= (cid:50)
w è w ø 2
π æ πö
(cid:206)0<j<π(cid:50)(cid:145)(cid:146)j= (cid:50)(cid:143) f x=cosçwx+ ÷(cid:50)
6 è 6ø
π π π π
(cid:206)x= (cid:142) f x(cid:21)(cid:321)(cid:4)(cid:50)(cid:145)(cid:146) w+ = +kπ,kÎZ(cid:50)(cid:94)(cid:161)w=3+9k,kÎZ(cid:50)
9 9 6 2
(cid:141)(cid:142)w>0(cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:162)k =0(cid:163)w =3(cid:167)
min
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)3
34(cid:131)（2022·上海·高考真题）(cid:19)(cid:20) f(x)=cos2x-sin2x+1(cid:21)(cid:116)(cid:117)(cid:142)___________(cid:167)
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)p
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:209)(cid:84)(cid:451)(cid:452)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:44)(cid:50)(cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:166)(cid:137)(cid:138).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139) f(x)=cos2x-sin2x+1=cos2x+1,
2p
(cid:145)(cid:146) f(x)(cid:21)(cid:116)(cid:117)(cid:142)(cid:148)T = =p
2
(cid:169)(cid:137)(cid:138)(cid:142)(cid:148)p.
π
35(cid:131)（2026·北京·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:19)(cid:20) f(x)=2sinwxcosj+2coswxsinj(cid:50)w>0(cid:50)j< (cid:131) f(x)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)
2
π
(cid:117)(cid:142)π(cid:50)(cid:144) f(0)>0(cid:50) f( )=1(cid:131)
4
(1)(cid:45)w(cid:35)j(cid:21)(cid:46)(cid:167)
(2)(cid:45) f(x)(cid:21)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)(cid:257)(cid:258)(cid:131)
π
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(1)w=2(cid:50)j=
3
é π 7πù
(2) kπ+ ,kπ+ kÎZ
ê ú
ë 12 12û
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:10)1(cid:11)(cid:209)(cid:84)(cid:72)(cid:17)(cid:73)(cid:76)(cid:77)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:44)(cid:107)(cid:161) f x=2sinwx+j(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:76)(cid:77)(cid:230)(cid:19)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:29)(cid:30)(cid:348)(cid:228)(cid:283)(cid:45)w(cid:50)
æπö
(cid:211)(cid:171) f 0>0, f ç ÷=1(cid:348)(cid:30)(cid:45)j(cid:167)
è4ø(cid:10)2(cid:11)(cid:157)(cid:158)(cid:76)(cid:77)(cid:230)(cid:19)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:257)(cid:258)(cid:45)(cid:229)(cid:45)(cid:172)(cid:275).
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:10)1(cid:11)(cid:141)(cid:142) f x=2sinwxcosj+2coswxsinj(cid:50)
(cid:145)(cid:146) f x=2sinwx+j(cid:50)
(cid:206) f x(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)π(cid:50)w>0(cid:50)
2π
(cid:145)(cid:146) =π(cid:50)(cid:145)(cid:146)w=2(cid:50)
w
æπö
(cid:141)(cid:142) f 0>0, f ç ÷=1(cid:50)
è4ø
æ π ö
(cid:145)(cid:146)sinj>0(cid:50)2sinç2´ +j÷=1(cid:50)
è 4 ø
π 1
(cid:145)(cid:146)0<j< (cid:50)cosj= (cid:50)
2 2
π
(cid:145)(cid:146)j= (cid:50)
3
æ πö
(cid:145)(cid:146) f x=2sinç2x+ ÷(cid:50)
è 3ø
π π 3π π 7π
(cid:10)2(cid:11)(cid:327)2kπ+ £2x+ £2kπ+ (cid:50)kÎZ(cid:50)(cid:107)(cid:161)kπ+ £x£kπ+ (cid:50)kÎZ(cid:50)
2 3 2 12 12
æ πö é π 7πù
(cid:19)(cid:20) f x=2sinç2x+ ÷(cid:21)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)(cid:257)(cid:258)(cid:142)
ê
kπ+ ,kπ+
ú
kÎZ .
è 3ø ë 12 12û
π
36(cid:131)（2026·天津·高考真题）(cid:132)(cid:133) f(x)=sin(2x+ )(cid:131)
6
(1)(cid:45)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:167)
é π π ù
(2)(cid:198)xÎ - , (cid:50)(cid:45) f(x)(cid:21)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:73)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:167)
ê ú
ë 6 12û
π 3
(3)(cid:198)aÎ(0, )(cid:50)sina= (cid:50)(cid:45) f(a)(cid:131)
2 3
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(1)π
3 1
(2)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:142) (cid:50)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142)-
2 2
2 6+1
(3)
6
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:10)1(cid:11)(cid:171)(cid:76)(cid:77)(cid:230)(cid:19)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:224)(cid:225)(cid:29)(cid:30)(cid:224)(cid:225)(cid:45)(cid:94)(cid:167)
(cid:10)2(cid:11)(cid:209)(cid:84)(cid:64)(cid:453)(cid:229)(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:104)(cid:105)(cid:45)(cid:94)(cid:167)
(cid:10)3(cid:11)(cid:157)(cid:158)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:35)(cid:65)(cid:82)(cid:17)(cid:29)(cid:30)(cid:26)(cid:72)(cid:17)(cid:73)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:29)(cid:30)(cid:224)(cid:225)(cid:45)(cid:94).
2π 2π
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:10)1(cid:11)T = = =π(cid:167)
w 2é π π ù π é π πù
(cid:10)2(cid:11)(cid:198)xÎ - , (cid:50)(cid:135)2x+ Î - , (cid:50)
ê ú ê ú
ë 6 12û 6 ë 6 3û
π π π æ πö 1
(cid:171)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:104)(cid:105)(cid:107)(cid:133)(cid:50)(cid:162)2x+ =- (cid:50)(cid:143)x=- (cid:163)(cid:50)(cid:19)(cid:20) f x(cid:239)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:50)(cid:143) f x = f ç- ÷=- (cid:50)
6 6 6 min è 6ø 2
(cid:162)2x+ π = π (cid:50)(cid:143)x= π (cid:163)(cid:50)(cid:19)(cid:20) f x(cid:239)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:50)(cid:143) f x = f æ ç π ö ÷= 3 .
6 3 12 max è12ø 2
(cid:145)(cid:146)(cid:19)(cid:20) f x(cid:21)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:142) 3 (cid:50)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142)- 1 (cid:167)
2 2
æ πö 3 6
(cid:10)3(cid:11)(cid:198)aÎç0, ÷(cid:50)sina= (cid:50)(cid:145)(cid:146)cosa= 1-sin2a= (cid:50)
è 2ø 3 3
2 2 1
(cid:135)sin2a=2sinacosa= (cid:50)cos2a=1-2sin2a= (cid:50)
3 3
æ πö π π 2 2 3 1 1 2 6+1
(cid:135) f a=sinç2a+ ÷=sin2acos +cos2asin = ´ + ´ = .
è 6ø 6 6 3 2 3 2 6
1
37(cid:131)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:132)(cid:133)(cid:19)(cid:20) f x=cos2x+j(0£j<π), f 0= (cid:131)
2
(1)(cid:45)j;
æ πö
(2)(cid:147)(cid:19)(cid:20)g(x)= f(x)+ f çx- ÷(cid:50)(cid:45)g(x)(cid:21)(cid:46)(cid:214)(cid:73)(cid:118)(cid:119)(cid:257)(cid:258)(cid:131)
è 6ø
π
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(1)j=
3
é π 5π ù é5π 11π ù
(2)(cid:46)(cid:214)(cid:142)é- 3, 3ù(cid:50)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)(cid:257)(cid:258)(cid:142) - +kπ, +kπ ,kÎZ(cid:50)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:257)(cid:258)(cid:142) +kπ, +kπ ,kÎZ.
ë û ê ú ê ú
ë 12 12 û ë12 12 û
1
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:10)1(cid:11)(cid:192)(cid:262)(cid:171)(cid:13)(cid:202)(cid:161)cosj= ,0£j<π(cid:50)(cid:172)(cid:61)(cid:78)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:143)(cid:107)(cid:161)(cid:94)(cid:167)
2
æ πö
(cid:10)2(cid:11)(cid:171)(cid:18)(cid:17)(cid:62)(cid:63)(cid:53)(cid:64)(cid:161)gx= 3cosç2x+ ÷(cid:50)(cid:171)(cid:215)(cid:107)(cid:161)(cid:46)(cid:214)(cid:50)(cid:203)(cid:33)(cid:454)(cid:171)(cid:290)(cid:338)(cid:322)(cid:323)(cid:229)(cid:107)(cid:161)(cid:19)(cid:20)gx(cid:21)(cid:118)(cid:119)
è 6ø
(cid:257)(cid:258).
1 π
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:10)1(cid:11)(cid:171)(cid:13)(cid:202) f 0=cosj= ,0£j<π(cid:50)(cid:145)(cid:146)j= (cid:167)
2 3
æ πö
(cid:10)2(cid:11)(cid:171)(cid:10)1(cid:11)(cid:107)(cid:133) f x=cosç2x+ ÷(cid:50)
è 3ø
æ πö æ πö
(cid:145)(cid:146)gx= f x+ f çx- ÷=cosç2x+ ÷+cos2x
è 6ø è 3ø
1 3 3 3 æ πö
= cos2x- sin2x+cos2x= cos2x- sin2x= 3cosç2x+ ÷ (cid:50)
2 2 2 2 è 6ø
(cid:145)(cid:146)(cid:19)(cid:20)gx(cid:21)(cid:46)(cid:214)(cid:142)é- 3, 3ù(cid:50)
ë û
π π 5π
(cid:327)2kπ£2x+ £π+2kπ,kÎZ(cid:50)(cid:94)(cid:161)- +kπ£x£ +kπ,kÎZ(cid:50)
6 12 12π 5π 11π
(cid:327)π+2kπ£2x+ £2π+2kπ,kÎZ(cid:50)(cid:94)(cid:161) +kπ£x£ +kπ,kÎZ(cid:50)
6 12 12
é π 5π ù
(cid:145)(cid:146)(cid:19)(cid:20)gx(cid:21)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)(cid:257)(cid:258)(cid:142) - +kπ, +kπ ,kÎZ(cid:50)
ê ú
ë 12 12 û
é5π 11π ù
(cid:19)(cid:20)gx(cid:21)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:257)(cid:258)(cid:142) +kπ, +kπ ,kÎZ.
ê ú
ë12 12 û
π
38(cid:131)（2024·上海·高考真题）(cid:132)(cid:133) f(x)=sin(wx+ )(cid:50)w>0
3
(1)(cid:147)w=1(cid:50)(cid:45)(cid:94):y= f x,xÎ0,π(cid:21)(cid:46)(cid:214);
(2)a>π(aÎR),f(x)(cid:21)(cid:120)(cid:271)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:142)π(cid:50)(cid:198)(cid:189)xÎπ,a(cid:66)(cid:366)(cid:239)3(cid:289)(cid:321)(cid:4)(cid:50)(cid:45)a(cid:21)(cid:188)(cid:46)(cid:128)(cid:129).
é 3 ù
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(1)ê- ,1ú;
2
ë û
é7π 17πö
(2)aÎ ê , ÷
ë 3 6 ø
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:10)1(cid:11)(cid:209)(cid:84)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:104)(cid:105)(cid:172)(cid:61)(cid:64)(cid:453)(cid:229)(cid:45)(cid:166)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:50)(cid:211)(cid:45)(cid:94)(cid:46)(cid:214)(cid:143)(cid:107).
(cid:10)2(cid:11)(cid:209)(cid:84)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:104)(cid:105)(cid:45)(cid:94)(cid:127)(cid:20)(cid:143)(cid:107).
æ πö
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:10)1(cid:11)(cid:141)(cid:142)w=1(cid:50)(cid:145)(cid:146) f x=sinçx+ ÷(cid:50)
è 3ø
π éπ 4πù
(cid:141)(cid:142)xÎ0,π (cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:327)t =x+ ,tÎ , (cid:50)
ê ú
3 ë3 3 û
éπ πù éπ 4πù
(cid:171)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:20)(cid:104)(cid:105)(cid:161)y=gt=sint(cid:189) , (cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)(cid:189) , (cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)(cid:50)
ê ú ê ú
ë3 2û ë2 3 û
æπö æ4πö 3 æπö 3 é 3 ù
(cid:145)(cid:146)gç ÷=1,gç ÷=- ,gç ÷= (cid:50)(cid:169)yÎê- ,1ú(cid:50)
è2ø è 3 ø 2 è3ø 2 ë 2 û
(cid:10)2(cid:11)(cid:171)(cid:13)(cid:202)(cid:161)T =
2π
=π(cid:50)(cid:145)(cid:146)w=2(cid:50)(cid:107)(cid:161) f x=sin
æ
ç2x+
πö
÷(cid:50)
w è 3ø
π π kπ
(cid:162) f x=0(cid:163)(cid:50)2x+ =kπ(cid:50)kÎZ(cid:50)(cid:143)x=- + (cid:50)kÎZ(cid:50)
3 6 2
5π
(cid:162)k =2(cid:163)(cid:50)x= <π(cid:50)(cid:88)(cid:294)(cid:61)(cid:13)(cid:202)(cid:50)
6
4π
(cid:162)k =3(cid:163)(cid:50)x= >π(cid:50)(cid:294)(cid:61)(cid:13)(cid:202)(cid:50)
3
11π
(cid:162)k =4(cid:163)(cid:50)x= >π(cid:50)(cid:294)(cid:61)(cid:13)(cid:202)(cid:50)
6
7π
(cid:162)k =5(cid:163)(cid:50)x= >π(cid:50)(cid:294)(cid:61)(cid:13)(cid:202)(cid:50)
3
4π 4π 3
(cid:145)(cid:146) +T £a< + T(cid:50)
3 3 27π 17π é7π 17πö
(cid:143) £a< (cid:50)(cid:169)aÎ
ê
, ÷.
3 6 ë 3 6 ø
æ πö
39(cid:131)（2023·北京·高考真题）(cid:147)(cid:19)(cid:20) f(x)=sinwxcosj+coswxsinjçw>0,|j|< ÷(cid:131)
è 2ø
3
(1)(cid:198) f(0)=- (cid:50)(cid:45)j(cid:21)(cid:46)(cid:131)
2
é π 2πù æ2πö
(2)(cid:132)(cid:133) f(x)(cid:189)(cid:257)(cid:258) ê - , ú (cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50) f ç ÷=1(cid:50)(cid:211)(cid:182)(cid:150)(cid:151) (cid:35)(cid:150)(cid:151) (cid:35)(cid:150)(cid:151) (cid:299)(cid:18)(cid:289)(cid:150)(cid:151)(cid:126)(cid:170)(cid:455)
ë 3 3 û è 3 ø
(cid:33)(cid:289)(cid:226)(cid:142)(cid:132)(cid:133)(cid:50)(cid:248)(cid:19)(cid:20) f(x)(cid:334)(cid:189)(cid:50)(cid:45)w,j(cid:21)(cid:46)(cid:131) ① ② ③
æπö
(cid:150)(cid:151) (cid:148) f ç ÷= 2(cid:167)
è3ø
①
æ πö
(cid:150)(cid:151) (cid:148) f ç - ÷ =-1(cid:167)
è 3ø
②
é π πù
(cid:150)(cid:151) (cid:148) f(x)(cid:189)(cid:257)(cid:258) - ,- (cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)(cid:131)
ê ú
ë 2 3û
(cid:51)(cid:148)(cid:99)③(cid:204)(cid:170)(cid:455)(cid:21)(cid:150)(cid:151)(cid:88)(cid:294)(cid:61)(cid:154)(cid:45)(cid:50)(cid:216)(cid:10)2(cid:11)(cid:98)(cid:161)0(cid:5)(cid:167)(cid:99)(cid:204)(cid:170)(cid:455)(cid:265)(cid:289)(cid:294)(cid:61)(cid:154)(cid:45)(cid:21)(cid:150)(cid:151)(cid:5)(cid:218)(cid:94)(cid:137)(cid:50)(cid:456)(cid:216)(cid:33)(cid:289)(cid:94)
(cid:137)(cid:224)(cid:5)(cid:131)
π
(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(1)j=- .
3
π
(2)(cid:150)(cid:151) (cid:88)(cid:55)(cid:248)(cid:19)(cid:20) f(x)(cid:334)(cid:189)(cid:167)(cid:150)(cid:151) (cid:47)(cid:150)(cid:151) (cid:107)(cid:94)(cid:161)w=1(cid:50)j=- .
6
① ② ③ π
(cid:136)(cid:5)(cid:106)(cid:139)(cid:10)1(cid:11)(cid:252)x=0(cid:322)(cid:323) f(x)(cid:21)(cid:94)(cid:106)(cid:30)(cid:45)(cid:166)sinj(cid:50)(cid:211)(cid:171)|j|< (cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:166)j(cid:21)(cid:46)(cid:167)
2
é π 2πù
(cid:10)2(cid:11)(cid:198)(cid:170)(cid:150)(cid:151) (cid:88)(cid:61)(cid:13)(cid:202)(cid:167)(cid:198)(cid:170)(cid:150)(cid:151) (cid:50)(cid:201)(cid:252) f(x)(cid:21)(cid:94)(cid:106)(cid:30)(cid:43)(cid:44)(cid:50)(cid:157)(cid:158) f(x) (cid:189) - , (cid:66)(cid:21)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:26)
ê ú
ë 3 3 û
① ②
æ πö π
(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:120)(cid:46)(cid:107)(cid:45)(cid:166)T(cid:50)(cid:182)(cid:183)(cid:45)(cid:166)w(cid:21)(cid:46)(cid:167)(cid:252)w(cid:21)(cid:46)(cid:322)(cid:323) f(x)(cid:21)(cid:94)(cid:106)(cid:30)(cid:50)(cid:171) f ç - ÷ =-1(cid:73)|j|< (cid:143)(cid:107)(cid:45)(cid:166)j
è 3ø 2
π
(cid:21)(cid:46)(cid:167)(cid:198)(cid:170)(cid:150)(cid:151) (cid:148)(cid:171) f(x) (cid:21)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:107)(cid:133) f(x) (cid:189)x=- (cid:326)(cid:188)(cid:161)(cid:120)(cid:271)(cid:46)-1(cid:50)(cid:135)(cid:74)(cid:150)(cid:151) (cid:145)(cid:223)(cid:21)(cid:150)(cid:151)(cid:33)(cid:457)(cid:50)
3
(cid:94)(cid:229)(cid:74)(cid:150)(cid:151) (cid:249)③(cid:16)(cid:131) ②
(cid:136)(cid:140)(cid:94)(cid:139)(cid:10)② 1(cid:11)(cid:141)(cid:142) f(x)=sinwxcosj+coswxsinj,w>0,|j|< π
2
3
(cid:145)(cid:146) f(0)=sinw×0cosj+cosw×0sinj=sinj=- (cid:50)
2
π π
(cid:141)(cid:142)|j|< (cid:50)(cid:145)(cid:146)j=- .
2 3
π
(cid:10)2(cid:11)(cid:141)(cid:142) f(x)=sinwxcosj+coswxsinj,w>0,|j|< (cid:50)
2
π
(cid:145)(cid:146) f(x)=sinwx+j,w>0,|j|< (cid:50)(cid:145)(cid:146) f(x) (cid:21)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:142)1(cid:50)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142)-1.
2æπö
(cid:198)(cid:170)(cid:150)(cid:151) (cid:148)(cid:141)(cid:142) f(x)=sinwx+j(cid:21)(cid:120)(cid:199)(cid:46)(cid:142)1(cid:50)(cid:120)(cid:271)(cid:46)(cid:142)-1(cid:50)(cid:145)(cid:146) f ç ÷= 2(cid:342)(cid:94)(cid:50)(cid:169)(cid:150)(cid:151) (cid:88)(cid:55)(cid:248)
è3ø
(cid:19)(cid:20) f(x)①(cid:334)(cid:189)(cid:167) ①
é π 2πù æ2πö æ πö
(cid:198)(cid:170)(cid:150)(cid:151) (cid:148)(cid:141)(cid:142) f(x) (cid:189) ê - , ú (cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)(cid:144) f ç ÷=1(cid:50) f ç - ÷ =-1
ë 3 3 û è 3 ø è 3ø
②
T 2π æ πö 2π
(cid:145)(cid:146) = -ç- ÷=π,(cid:145)(cid:146)T =2π,w= =1,
2 3 è 3ø T
(cid:145)(cid:146) f(x)=sinx+j(cid:50)
æ πö æ π ö
(cid:206)(cid:141)(cid:142) f ç - ÷ =-1(cid:50)(cid:145)(cid:146)sinç- +j÷=-1(cid:50)
è 3ø è 3 ø
π π
(cid:145)(cid:146)- +j=- +2kπ,kÎZ(cid:50)
3 2
π p π
(cid:145)(cid:146)j=- +2kπ,kÎZ(cid:50)(cid:141)(cid:142)|j|< (cid:50)(cid:145)(cid:146)j=- .
6 2 6
π
(cid:145)(cid:146)w=1(cid:50)j=- (cid:167)
6
é π 2πù é π πù
(cid:198)(cid:170)(cid:150)(cid:151) (cid:148)(cid:141)(cid:142) f(x) (cid:189) - , (cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:336)(cid:50)(cid:189) - ,- (cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:335)(cid:370)(cid:50)
ê ú ê ú
ë 3 3 û ë 2 3û
③
π
æ πö
(cid:145)(cid:146) f(x) (cid:189)x=- (cid:326)(cid:188)(cid:161)(cid:120)(cid:271)(cid:46)-1(cid:50)(cid:143) f ç - ÷ =-1.
3 è 3ø
(cid:146)(cid:293)(cid:74)(cid:150)(cid:151) (cid:249)(cid:16)(cid:131)
②