专题01集合与常用逻辑用语(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

01
专题 集合与常用逻辑用语
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) 2026(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:27) (cid:3)(cid:33)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:4)(cid:16)(cid:21)(cid:37)(cid:16)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23) 2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:27)2023(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:18)(cid:38)(cid:39)
(cid:3)(cid:33)(cid:16)(cid:17)(cid:40)(cid:44)(cid:19)(cid:21)(cid:45)(cid:46)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:27)(cid:16)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:16)(cid:17)(cid:40)(cid:18) (cid:17)(cid:18)(cid:47)(cid:16)(cid:48)(cid:49)(cid:45)(cid:50)(cid:18)(cid:51)(cid:37)(cid:52)(cid:13)(cid:53)(cid:54)
2026(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)2023(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:41)(cid:38)(cid:42)(cid:43) (cid:36)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:16)(cid:18)(cid:58)(cid:59)(cid:21)(cid:60)(cid:4)(cid:61)(cid:18)(cid:62)
(cid:63)
2026(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:30)(cid:31)Ⅰ(cid:26)(cid:27)2026(cid:66)(cid:67)(cid:68)
(cid:30)(cid:31)Ⅱ(cid:26)(cid:27)2026(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:27)2026(cid:69)(cid:70)
(cid:26)(cid:27)2026(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
2025(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:71)(cid:26)(cid:27)2025(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:72)
(cid:26)(cid:27)2025(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:27)2025(cid:69)(cid:70)(cid:26)(cid:27)
2025(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:3)(cid:33)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:41)(cid:38)(cid:64)(cid:65)(cid:10)(cid:77)(cid:27)(cid:78)(cid:27)
2024(cid:8)(cid:66)(cid:73)(cid:3)(cid:26)Ⅰ(cid:27)2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32) (cid:79)(cid:11)(cid:34)(cid:80)(cid:21)(cid:71)(cid:81)(cid:71)(cid:82)(cid:83)(cid:46)(cid:84)(cid:27)(cid:71)(cid:81)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:41) (cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:27)2024(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:72)(cid:82)(cid:83)(cid:46)(cid:84)(cid:46)(cid:85)(cid:86)(cid:83)(cid:46)(cid:84)(cid:87)(cid:17)(cid:34)(cid:88)
(cid:38)(cid:64)(cid:65) 2023(cid:8)(cid:66)(cid:73)(cid:3)(cid:26)Ⅰ(cid:27)2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:74) (cid:89)(cid:37)(cid:90)(cid:87)(cid:17)(cid:91)(cid:92)(cid:34)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:37)(cid:96)(cid:97)(cid:98)
(cid:26)(cid:27)2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:27)2023(cid:28)(cid:29) (cid:99)(cid:35)(cid:40)(cid:77)(cid:78)(cid:64)(cid:65)(cid:34)(cid:100)(cid:49)(cid:57)(cid:16)(cid:54)(cid:101)(cid:102)
(cid:26)(cid:27)2023(cid:69)(cid:70)(cid:26)(cid:27) (cid:51)(cid:37)(cid:103)(cid:104)(cid:98)(cid:99)(cid:34)(cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:60)(cid:4)(cid:61)(cid:106)(cid:107)
2022(cid:8)(cid:66)(cid:73)(cid:3)(cid:26)Ⅰ(cid:27)2022(cid:8)(cid:66)(cid:73)(cid:3)
(cid:26)Ⅱ(cid:27)2022(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:27)2022(cid:8)(cid:30)
(cid:31)(cid:74)(cid:26)(cid:27)2022(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:27)2022(cid:69)(cid:70)
(cid:26)(cid:27)
2022(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)2022(cid:75)(cid:76)(cid:26)(cid:27)
(cid:3)(cid:4)04 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:66) 2025(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:27)2025(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:109)(cid:66)(cid:13)(cid:110)(cid:34)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:26)(cid:10)(cid:28)(cid:29)(cid:27)
(cid:108)(cid:20)(cid:52)(cid:13) 2025(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:24)(cid:25)(cid:11)(cid:3)(cid:33)(cid:116)(cid:117)(cid:34)(cid:55)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)
2026(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:27)2026(cid:69)(cid:70)(cid:26)(cid:27)2026
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:21)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:71)(cid:128)(cid:48)(cid:58)(cid:59)
(cid:3)(cid:4)05 (cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125) 2025(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:27)2025(cid:69)(cid:70)(cid:26)(cid:27) (cid:4)(cid:129)(cid:130)(cid:18)(cid:90)(cid:84)(cid:3)(cid:131)(cid:34)(cid:80)(cid:21)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:133)
(cid:21)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) 2025(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:37)(cid:46)(cid:58)(cid:59)(cid:4)(cid:87)(cid:17)(cid:34)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:129)(cid:130)(cid:18)(cid:58)
2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:27) (cid:59)(cid:4)(cid:137)(cid:108)
2024(cid:69)(cid:70)(cid:26)(cid:27)2024(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)2023(cid:8)(cid:66)(cid:73)(cid:3)(cid:26)Ⅰ(cid:27)2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)
(cid:26)(cid:27)2023(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:27)2023(cid:69)(cid:70)(cid:26)(cid:27)
2022(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:27)2022(cid:75)(cid:76)(cid:26)(cid:27)
(cid:3)(cid:33)(cid:19)(cid:143)(cid:71)(cid:144)(cid:139)(cid:140)(cid:12)(cid:13)(cid:18)(cid:145)(cid:108)(cid:48)
(cid:3)(cid:4)06 (cid:30)(cid:138)(cid:139)(cid:140)
2024(cid:8)(cid:66)(cid:73)(cid:3)(cid:26)Ⅱ (cid:49)(cid:45)(cid:50)(cid:18)(cid:51)(cid:37)(cid:52)(cid:13)(cid:34)(cid:80)(cid:48)(cid:133)(cid:37)(cid:21)(cid:83)
(cid:21)(cid:141)(cid:142)(cid:139)(cid:140)
(cid:46)(cid:84)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)
考点 01 集合的含义与表示
1(cid:150)（2024·北京·高考真题）(cid:151)(cid:58)M = x,y|y=x+t  x2-x  ,1£x£2,0£t£1  (cid:113)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:68)(cid:43)(cid:157)(cid:18)(cid:4)(cid:16).
(cid:158)d(cid:113)M (cid:157)(cid:159)(cid:4)(cid:40)(cid:160)(cid:161)(cid:18)(cid:162)(cid:163)(cid:61)(cid:34)S(cid:113)M (cid:22)(cid:23)(cid:18)(cid:164)(cid:90)(cid:18)(cid:153)(cid:165)(cid:34)(cid:166)(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)d =3(cid:34)S <1 B(cid:150)d =3(cid:34)S >1
C(cid:150)d = 10(cid:34)S <1 D(cid:150)d = 10(cid:34)S >1
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)C
ìy£x2
ï
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:172)(cid:48)t(cid:147)(cid:173)(cid:139)(cid:34)(cid:5)(cid:171)(cid:174)(cid:58)(cid:175)(cid:98)(cid:16)(cid:17)(cid:22)(cid:23)(cid:18)(cid:164)(cid:90)(cid:176)(cid:147)(cid:152)(cid:153)(cid:35)(cid:177)íy³x (cid:34)(cid:87)(cid:17)(cid:164)(cid:90)(cid:5)(cid:171)(cid:98)(cid:99)(cid:176)(cid:174).
ï
1£x£2
î
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:179)(cid:180)(cid:56)(cid:181)(cid:108)xÎ1,2(cid:34)(cid:166)x2-x=xx-1³0(cid:34)(cid:182)tÎ0,1(cid:34)
(cid:174)(cid:58)x£x+t  x2-x  £x+x2-x=x2(cid:34)(cid:176)x£ y£x2(cid:34)
ìy£x2
ï
(cid:183)(cid:87)(cid:17)x(cid:18)(cid:180)(cid:56)(cid:184)(cid:34)(cid:175)(cid:48)(cid:175)(cid:98)(cid:16)(cid:17)(cid:22)(cid:23)(cid:18)(cid:164)(cid:90)(cid:176)(cid:147)(cid:152)(cid:153)(cid:35)(cid:177)íy³x (cid:34)
ï
1£x£2
î
(cid:93)(cid:164)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:5)(cid:175)(cid:23)(cid:34)(cid:188)(cid:157)A1,1,B2,2,C2,4(cid:34)(cid:174)(cid:58)(cid:180)(cid:56)(cid:159)(cid:4)(cid:40)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:61)d = AC = 1-22+1-42 = 10(cid:34)
1
(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:5)(cid:153)(cid:165)S <S = ´1´2=1.
(cid:189)ABC 2
(cid:190)(cid:191)(cid:192)C.
(cid:167)(cid:4)(cid:193)(cid:170)(cid:115)(cid:97)(cid:4)(cid:193)(cid:192)(cid:37)(cid:90)(cid:87)(cid:17)(cid:18)(cid:118)(cid:4)(cid:113)“(cid:48)(cid:90)(cid:194)(cid:37)”(cid:34)(cid:142)(cid:99)(cid:13)(cid:195)(cid:127)(cid:55)(cid:56)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:86)(cid:91)(cid:92)(cid:56)(cid:59)(cid:34)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:157)(cid:143)(cid:164)(cid:34)
(cid:202)(cid:37)(cid:92)(cid:164)(cid:34)(cid:48)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:18)(cid:91)(cid:207)(cid:150)(cid:208)(cid:209)(cid:37)(cid:90)(cid:87)(cid:17)(cid:97)(cid:18)(cid:112)(cid:210)(cid:113)(cid:13)(cid:111)(cid:157)(cid:18)(cid:124)(cid:125)(cid:143)(cid:211)(cid:212)(cid:18)(cid:213)(cid:214)(cid:56)(cid:20)(cid:34)(cid:99)(cid:13)(cid:195)(cid:127)(cid:215)(cid:212)
(cid:216)(cid:217)(cid:124)(cid:125)(cid:27)(cid:87)(cid:218)(cid:21)(cid:213)(cid:214)(cid:164)(cid:90)(cid:18)(cid:179)(cid:50)(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:215)(cid:212)(cid:219)(cid:209)(cid:213)(cid:214)(cid:164)(cid:90)(cid:157)(cid:18)(cid:45)(cid:42)(cid:87)(cid:218)(cid:98)(cid:99)(cid:150)
2(cid:150)（2023·上海·高考真题）(cid:151)(cid:58)P=1,2(cid:34)Q=2,3(cid:34)(cid:220)M ={x|xÎP(cid:182)xÏQ}(cid:34)(cid:166)M =(cid:10) (cid:11)
A(cid:150){1} B(cid:150){2} C(cid:150){1,2} D(cid:150){1,2,3}
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)A
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:221)(cid:222)(cid:181)(cid:108)(cid:124)(cid:125)(cid:34)(cid:154)(cid:223)(cid:98)(cid:224)(cid:16)(cid:17)M (cid:157)(cid:18)(cid:81)(cid:225)(cid:146)(cid:168).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:226)(cid:147)P={1,2}(cid:34)(cid:227)xÎP(cid:34)(cid:228)x=1(cid:102)x=2(cid:34)
(cid:229)Q={2,3}(cid:34)(cid:182)xÏQ(cid:34)(cid:176)(cid:143)x¹2(cid:182)x¹3(cid:34)(cid:226)(cid:230)x=1(cid:34)
(cid:175)(cid:48)M ={1}.
(cid:190)(cid:191)(cid:192)A
3(cid:150)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)a (cid:18)(cid:232)(cid:231)(cid:147) 2p (cid:34)(cid:16)(cid:17)S =  cosa nÎN* (cid:34)(cid:220)S =a,b(cid:34)(cid:166)
n 3 n
ab=(cid:10) (cid:11)
1 1
A(cid:150)(cid:233)1 B(cid:150)- C(cid:150)0 D(cid:150)
2 2
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)B
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:221)(cid:222)(cid:181)(cid:108)(cid:18)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:234)(cid:224)(cid:94)(cid:235)(cid:232)(cid:84)(cid:34)(cid:183)(cid:87)(cid:17)(cid:236)(cid:237)(cid:110)(cid:133)(cid:37)(cid:18)(cid:238)(cid:239)(cid:49)(cid:16)(cid:17)(cid:240)(cid:143)(cid:159)(cid:144)(cid:81)(cid:225)(cid:5)(cid:171)(cid:27)(cid:241)(cid:242)
(cid:146)(cid:168).
2π 2π 2π
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:243)(cid:13)(cid:56)(cid:34)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132){a }(cid:157)(cid:34)a =a +(n-1)× = n+(a - )(cid:34)
n n 1 3 3 1 32π 2π
(cid:244)(cid:245)(cid:133)(cid:37)y=cos[ n+(a - )](cid:18)(cid:238)(cid:239)(cid:147)3(cid:34)(cid:137)nÎN*(cid:34)(cid:176)cosa (cid:162)(cid:117)3(cid:144)(cid:83)(cid:246)(cid:62)(cid:61)(cid:34)(cid:229)
3 1 3 n
{cosa |nÎN*}={a,b}(cid:34)
n
(cid:166)(cid:142)cosa,cosa ,cosa (cid:157)(cid:34)cosa =cosa ¹cosa (cid:102)cosa ¹cosa =cosa (cid:102)cosa =cosa ¹cosa
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2
2π 4π
(cid:247)(cid:113)(cid:143)cosq=cos(q+ )(cid:102)cosq=cos(q+ )(cid:34)
3 3
2π π
(cid:176)(cid:143)q+(q+ )=2kπ,kÎZ(cid:34)(cid:99)(cid:228)q=kπ- ,kÎZ(cid:248)
3 3
4π 2π
(cid:102)(cid:249)q+(q+ )=2kπ,kÎZ(cid:34)(cid:99)(cid:228)q=kπ- ,kÎZ(cid:248)
3 3
π π 4π π π 1
(cid:175)(cid:48)kÎZ(cid:34)ab=cos(kπ- )cos[(kπ- )+ ]=-cos(kπ- )coskπ=-cos2kπcos =- (cid:102)
3 3 3 3 3 2
2π 1
ab=cos(kπ- )coskπ=- .
3 2
(cid:190)(cid:191)(cid:192)B
4(cid:150)（2026·上海·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)A=2,1+a(cid:34)-1ÎA(cid:34)(cid:166)a=__________(cid:150)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)
-2
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:227)(cid:13)(cid:56)(cid:228)1+a=-1(cid:34)(cid:99)(cid:228)a=-2(cid:34)(cid:250)(cid:106)(cid:107)(cid:230)(cid:195)(cid:16)(cid:17)A=2,-1(cid:251)(cid:252)(cid:13)(cid:56).
考点 02 集合间的基本关系
1(cid:150)（2026·上海·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)A=2,4(cid:34)B=2,3,m(cid:34)(cid:220)AÍB(cid:34)(cid:166)m=____________.
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)4
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:219)(cid:209)(cid:47)(cid:16)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:98)(cid:99).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)QA=2,4(cid:34)B=2,3,m(cid:34)AÍB(cid:34)
\(cid:16)(cid:17)A(cid:157)(cid:175)(cid:143)(cid:18)(cid:81)(cid:225)(cid:253)(cid:142)(cid:16)(cid:17)B(cid:157)(cid:34)
\(cid:16)(cid:17)A(cid:157)(cid:18)(cid:81)(cid:225)4(cid:142)(cid:16)(cid:17)B(cid:157)(cid:34)
\m=4.
(cid:190)(cid:168)(cid:169)(cid:147)(cid:192)4.
2(cid:150)（2023·上海·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)A={1,2},B={1,a}(cid:34)(cid:182)A=B(cid:34)(cid:166)a=_____________(cid:150)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)2(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:219)(cid:209)(cid:16)(cid:17)(cid:45)(cid:46)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:176)(cid:174).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:226)(cid:147)A={1,2},B={1,a}(cid:182)A=B(cid:34)
(cid:175)(cid:48)(cid:16)(cid:17)A,B(cid:157)(cid:81)(cid:225)(cid:45)(cid:246)(cid:34)
(cid:175)(cid:48)a=2(cid:34)
(cid:190)(cid:168)(cid:169)(cid:147)(cid:192)2
考点 03 集合的基本运算
ì 7π 5π 5πü ìï 3 1 üï
1(cid:150)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)A=ísin ,cos ,tan ý(cid:34)B=í- ,- ,1ý(cid:34)(cid:166)AIB=(cid:10) (cid:11)
î 6 3 4 þ ïî 2 2 ïþ
ìï 3 1üï ìï 3 üï ì 1 ü ìï 3 1 üï
A(cid:150)í- ,- ý B(cid:150)í- ,1ý C(cid:150)í- ,1ý D(cid:150)í- ,- ,1ý
ïî 2 2ïþ ïî 2 ïþ î 2 þ ïî 2 2 ïþ
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)C
7π æ πö π 1 5π æ πö π 1
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:226)(cid:147)sin =sinçπ+ ÷=-sin =- (cid:34)cos =cosç2π- ÷=cos = (cid:34)
6 è 6ø 6 2 3 è 3ø 3 2
5π æ πö π
tan =tançπ+ ÷=tan =1(cid:34)
4 è 4ø 4
ì 1 1 ü ìï 3 1 üï ì 1 ü
(cid:176)(cid:16)(cid:17)A=í- , ,1ý(cid:34)(cid:182)(cid:16)(cid:17)B=í- ,- ,1ý(cid:34)(cid:175)(cid:48)AÇB=í- ,1ý.
î 2 2 þ ïî 2 2 ïþ î 2 þ
 
2(cid:150)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)A=0,1,3,6,9(cid:34)B= x x =x (cid:34)(cid:166)AIB=(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)0,1 B(cid:150)3,6 C(cid:150)0,1,9 D(cid:150)0,3,9
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)A
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:227)(cid:13)(cid:174)(cid:228)B=0,1(cid:34)(cid:175)(cid:48)AÇB=0,1
3(cid:150)（2026·天津·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:30)(cid:16)U ={-2,-1,0,1,2,3}(cid:34)(cid:16)(cid:17)A={-1,0,1,3}(cid:34)(cid:16)(cid:17)B={-2,0,1}(cid:34)(cid:166) ð AÈB=
U
(cid:10) (cid:11)
A(cid:150){-2} B(cid:150){-2,2} C(cid:150){0,1,2} D(cid:150){-2,0,1,2}
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)D
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:227)(cid:13)(cid:174)(cid:228) ð A=-2,2 ,(cid:229)(cid:226)B={-2,0,1}(cid:34)
U
(cid:166)
ð AÈB=-2,0,1,2
.
U4(cid:150)（2026·北京·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)M =x -1<x<3 (cid:34)N =x x³2 (cid:34)(cid:166)M ÈN =(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)2,3 B(cid:150)-1,+¥ C(cid:150)[2,3) D(cid:150)-1,2
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)B
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:226)(cid:147)M =x|-1<x<3,N =x|x³2(cid:34)(cid:166)M ÈN =x x -1=-1,+¥.
5(cid:150)（2026·上海·高考真题）(cid:179)(cid:247)(cid:133)(cid:37)y= f x(cid:34)xÎD(cid:34)(cid:158)A =x,y| y³ f x,xÎD .(cid:179)(cid:247)(cid:4)(cid:16)M (cid:34)(cid:220)(cid:141)
f
(cid:142)x ,y ÎM (cid:34)(cid:208)(cid:228)(cid:180)(cid:62)x,yÎM (cid:34)(cid:254)(cid:143)y³ y (cid:34)(cid:166)(cid:138)x ,y (cid:147)“(cid:162)(cid:255)(cid:4)”.(cid:179)(cid:247)(cid:133)(cid:37)y= f x(cid:256)y=gx(cid:34)
0 0 0 0 0
(cid:48)(cid:257)(cid:258)(cid:97)(cid:157)(cid:259)(cid:212)(cid:18)(cid:113)(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)(cid:220)y= f x(cid:256)y=gx(cid:253)(cid:143)(cid:162)(cid:260)(cid:61)(cid:34)(cid:166)A IA (cid:143)(cid:162)(cid:255)(cid:4)(cid:248)
f g
B(cid:150)(cid:220)A IA (cid:143)(cid:162)(cid:255)(cid:4)(cid:34)(cid:166)y= f x(cid:256)y=gx(cid:253)(cid:143)(cid:162)(cid:260)(cid:61)(cid:248)
f g
C(cid:150)(cid:220)y= f x(cid:102)y=gx(cid:143)(cid:162)(cid:260)(cid:61)(cid:34)(cid:166)A UA (cid:143)(cid:162)(cid:255)(cid:4)(cid:248)
f g
D(cid:150)(cid:220)A UA (cid:143)(cid:162)(cid:255)(cid:4)(cid:34)(cid:166)y= f x(cid:102)y=gx(cid:143)(cid:162)(cid:260)(cid:61).
f g
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)D
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:174)(cid:48)(cid:261)(cid:262)(cid:101)(cid:107)(cid:211)(cid:191)(cid:235)A(cid:27)B(cid:27)C(cid:18)(cid:12)(cid:13)(cid:263)(cid:147)(cid:264)(cid:12)(cid:13)(cid:34)(cid:179)D(cid:34)(cid:221)(cid:222)“(cid:162)(cid:255)(cid:4)”(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:5)(cid:171)(cid:228)x ,y ÎA
0 0 f
(cid:102)x ,y ÎA (cid:34)(cid:183)(cid:5)(cid:6)(cid:265)(cid:218)(cid:176)(cid:174).
0 0 g
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:179)(cid:247)A(cid:235)(cid:34)(cid:62) f x=x(cid:34)xÎ[0,1](cid:34)(cid:62)gx=x(cid:34)xÎ[2,3](cid:34)
(cid:166) f x =0(cid:34)gx =2(cid:248)(cid:137)A IA =Æ(cid:266)(cid:162)(cid:255)(cid:4)(cid:34)(cid:190)A(cid:267)(cid:268)(cid:248)
min min f g
(cid:179)(cid:247)B(cid:235)(cid:34)(cid:62) f x=x(cid:34)xÎ(0,3](cid:34)(cid:62)gx=x(cid:34)xÎ[2,3](cid:34)
(cid:166) f x(cid:266)(cid:162)(cid:260)(cid:61)(cid:34)gx =2(cid:248)(cid:137)A IA = A (cid:143)(cid:162)(cid:255)(cid:4)2,2(cid:34)(cid:190)B(cid:267)(cid:268)(cid:248)
min f g g
(cid:179)(cid:247)C(cid:235)(cid:34)(cid:62) f x=-x2(cid:34)xÎR(cid:34)(cid:62)gx=x2(cid:34)xÎR(cid:34)
(cid:166) f x(cid:266)(cid:162)(cid:260)(cid:61)(cid:34)gx =0(cid:248)
min
(cid:226)(cid:147) f x=-x2(cid:18)(cid:133)(cid:37)(cid:61)(cid:174)(cid:269)(cid:270)(cid:247)(cid:271)(cid:266)(cid:272)(cid:163)(cid:34)(cid:175)(cid:48)A = x,y|y³-x2,xÎR  (cid:266)(cid:162)(cid:255)(cid:4)(cid:34)(cid:166)A UA (cid:273)(cid:266)(cid:162)
f f g
(cid:255)(cid:4)(cid:34)(cid:190)C(cid:267)(cid:268)(cid:248)
(cid:179)(cid:247)D(cid:235)(cid:34)(cid:226)(cid:147)A UA (cid:143)(cid:162)(cid:255)(cid:4)(cid:34)(cid:83)(cid:274)(cid:158)x ,y (cid:147)A UA (cid:18)(cid:162)(cid:255)(cid:4)(cid:34)y= f x(cid:182)xÎD (cid:34)y=gx(cid:182)xÎD (cid:34)
f g 0 0 f g 1 2(cid:175)(cid:48)x ,y ÎA (cid:102)x ,y ÎA (cid:34)
0 0 f 0 0 g
(cid:220)x ,y ÎA (cid:34)(cid:166)y = f x (cid:182)(cid:179)(cid:180)(cid:56)(cid:18)xÎD (cid:34)(cid:254)(cid:143)y= f(x)³ y (cid:34)(cid:176) f(x) = y (cid:248)
0 0 f 0 0 1 0 min 0
(cid:220)x ,y ÎA (cid:34)(cid:246)(cid:242)(cid:174)(cid:58)g(x) = y (cid:248)
0 0 g min 0
(cid:175)(cid:48)(cid:220)A UA (cid:143)(cid:162)(cid:255)(cid:4)(cid:34)(cid:166)y= f x(cid:102)y=gx(cid:143)(cid:162)(cid:260)(cid:61)(cid:34)(cid:190)D(cid:259)(cid:212).
f g
(cid:190)(cid:191)(cid:192)D.
6(cid:150)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)A={-4,0,1,2,8},B=  x(cid:275)x3 =x  ,(cid:166)AIB=(cid:10) (cid:11)
A(cid:150){0,1,2} B(cid:150){1,2,8}
C(cid:150){2,8} D(cid:150){0,1}
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)D
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:98)(cid:224)(cid:16)(cid:17)B(cid:276)(cid:87)(cid:17)(cid:77)(cid:16)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:174)(cid:98)AÇB.
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)B=  x|x3 =x  =0,-1,1(cid:34)(cid:190)AIB=0,1(cid:34)
(cid:190)(cid:191)(cid:192)D.
7(cid:150)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)U =  x x(cid:113)(cid:260)(cid:247)9(cid:18)(cid:259)(cid:277)(cid:37) (cid:34)A={1,3,5}(cid:34)(cid:166)ð A(cid:157)(cid:81)(cid:225)(cid:144)(cid:37)(cid:147)
U
(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)0 B(cid:150)3 C(cid:150)5 D(cid:150)8
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)C
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:221)(cid:222)(cid:79)(cid:16)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:176)(cid:174)(cid:98)(cid:224)(cid:150)
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:226)(cid:147)U =1,2,3,4,5,6,7,8(cid:34)(cid:175)(cid:48)ð A=2,4,6,7,8(cid:34) ð A(cid:157)(cid:18)(cid:81)(cid:225)(cid:144)(cid:37)(cid:147)5(cid:34)
U U
(cid:190)(cid:191)(cid:192)C(cid:150)
8(cid:150)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:220)(cid:16)(cid:17)A=1,2,3,4,5,9(cid:34)B=x x+1ÎA
(cid:34)(cid:166)AIB=(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)1,2,3 B(cid:150)3,4,9 C(cid:150)1,2,3,4 D(cid:150)2,3,4,5
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)C
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:221)(cid:222)(cid:16)(cid:17)B(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:172)(cid:65)(cid:224)(cid:278)(cid:130)(cid:19)(cid:143)(cid:18)(cid:81)(cid:225)(cid:34)(cid:245)(cid:276)(cid:221)(cid:222)(cid:77)(cid:16)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:279)(cid:65).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:243)(cid:13)(cid:56)(cid:228)(cid:34)(cid:179)(cid:247)(cid:16)(cid:17)B(cid:157)(cid:18)(cid:81)(cid:225)x(cid:34)(cid:251)(cid:252)x+1=1,2,3,4,5,9(cid:34)
(cid:166)x(cid:174)(cid:280)(cid:18)(cid:62)(cid:61)(cid:147)0,1,2,3,4,8(cid:34)(cid:176)B={0,1,2,3,4,8}(cid:34)
(cid:247)(cid:113)AÇB={1,2,3,4}.(cid:190)(cid:191)(cid:192)C
 
9(cid:150)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)A=1,2,3,4,5,9,B= x xÎA (cid:34)(cid:166)ð AÇB=(cid:10) (cid:11)
A
A(cid:150)1,4,9 B(cid:150)3,4,9 C(cid:150)1,2,3 D(cid:150)2,3,5
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)D
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:227)(cid:16)(cid:17)B(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:98)(cid:224)B(cid:34)(cid:87)(cid:17)(cid:77)(cid:16)(cid:21)(cid:79)(cid:16)(cid:64)(cid:65)(cid:176)(cid:174)(cid:98)(cid:99).
 
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:226)(cid:147)A=1,2,3,4,5,9,B= x xÎA (cid:34)(cid:175)(cid:48)B=1,4,9,16,25,81(cid:34)
(cid:166)AIB=1,4,9(cid:34)ð AIB=2,3,5
A
(cid:190)(cid:191)(cid:192)D
10(cid:150)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)A=  x(cid:275)-5<x3 <5  ,B={-3,-1,0,2,3}(cid:34)(cid:166)AIB=(cid:10) (cid:11)
A(cid:150){-1,0} B(cid:150){2,3} C(cid:150){-3,-1,0} D(cid:150){-1,0,2}
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)A
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:281)(cid:282)(cid:16)(cid:17)A(cid:34)(cid:227)(cid:77)(cid:16)(cid:18)(cid:283)(cid:284)(cid:176)(cid:174)(cid:228)(cid:99).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:226)(cid:147)A=  x|-35<x< 35  ,B=-3,-1,0,2,3(cid:34)(cid:182)(cid:55)(cid:56)(cid:200)1< 35<2(cid:34)
(cid:285)(cid:137)AIB=-1,0.
(cid:190)(cid:191)(cid:192)A.
11(cid:150)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:158)(cid:30)(cid:16)U =Z,(cid:16)(cid:17)M ={x(cid:275)x=3k+1,kÎZ},N ={x(cid:275)x=3k+2,kÎZ}(cid:34)
ð (M ÈN)=(cid:10) (cid:11)
U
A(cid:150){x|x=3k,kÎZ} B(cid:150){x(cid:275)x=3k-1,kÎZ}
C(cid:150){x(cid:275)x=3k-2,kÎZ} D(cid:150)Æ
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)A
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:221)(cid:222)(cid:277)(cid:37)(cid:16)(cid:18)(cid:5)(cid:6)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:79)(cid:16)(cid:18)(cid:64)(cid:65)(cid:176)(cid:174)(cid:99)(cid:224)(cid:150)
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:226)(cid:147)(cid:277)(cid:37)(cid:16)Z=x|x=3k,kÎZ U x|x=3k+1,kÎZ U x|x=3k+2,kÎZ(cid:34)U =Z(cid:34)(cid:175)(cid:48)(cid:34)
ð M UN=x|x=3k,kÎZ(cid:150)
U
(cid:190)(cid:191)(cid:192)A(cid:150)
12(cid:150)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:158)(cid:16)(cid:17)U =R(cid:34)(cid:16)(cid:17)M =x x<1 (cid:34)N =x -1<x<2 (cid:34)(cid:166) x x³2=
(cid:10) (cid:11)A(cid:150)ð M UN B(cid:150)NU ð M
U U
C(cid:150)ð M IN D(cid:150)M Èð N
U U
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)A
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:227)(cid:13)(cid:56)(cid:286)(cid:71)(cid:3)(cid:33)(cid:175)(cid:181)(cid:18)(cid:191)(cid:235)(cid:64)(cid:65)(cid:87)(cid:287)(cid:113)(cid:145)(cid:147)x|x³2(cid:176)(cid:174).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:227)(cid:13)(cid:56)(cid:174)(cid:228)M UN =x|x<2(cid:34)(cid:166)ð M UN=x|x³2(cid:34)(cid:191)(cid:235)A(cid:259)(cid:212)(cid:248)
U
ð M =x|x³1(cid:34)(cid:166)NU ð M =x|x>-1(cid:34)(cid:191)(cid:235)B(cid:267)(cid:268)(cid:248)
U U
M IN =x|-1<x<1(cid:34)(cid:166)ð M ÇN=x|x£-1(cid:102)x³1(cid:34)(cid:191)(cid:235)C(cid:267)(cid:268)(cid:248)
U
ð N =x|x£-1(cid:102)x³2(cid:34)(cid:166)M U ð N =x|x<1(cid:102)x³2(cid:34)(cid:191)(cid:235)D(cid:267)(cid:268)(cid:248)
U U
(cid:190)(cid:191)(cid:192)A.
13(cid:150)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)M =-2,-1,0,1,2(cid:34)N =  x x2-x-6³0  (cid:34)(cid:166)M IN =(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)-2,-1,0,1 B(cid:150)0,1,2 C(cid:150)-2 D(cid:150)2
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)C
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:115)(cid:97)(cid:71)(cid:192)(cid:227)(cid:71)(cid:81)(cid:72)(cid:82)(cid:83)(cid:46)(cid:84)(cid:18)(cid:99)(cid:97)(cid:98)(cid:224)(cid:16)(cid:17)N (cid:34)(cid:176)(cid:174)(cid:221)(cid:222)(cid:77)(cid:16)(cid:18)(cid:64)(cid:65)(cid:99)(cid:224)(cid:150)
(cid:115)(cid:97)(cid:72)(cid:192)(cid:288)(cid:16)(cid:17)M (cid:157)(cid:18)(cid:81)(cid:225)(cid:286)(cid:144)(cid:289)(cid:290)(cid:83)(cid:46)(cid:84)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:176)(cid:174)(cid:99)(cid:224)(cid:150)
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:115)(cid:97)(cid:71)(cid:192)(cid:226)(cid:147)N =  x x2-x-6³0  =-¥,-2È3,+¥(cid:34)(cid:137)M =-2,-1,0,1,2(cid:34)
(cid:175)(cid:48)M IN =-2(cid:150)
(cid:190)(cid:191)(cid:192)C(cid:150)
(cid:115)(cid:97)(cid:72)(cid:192)(cid:226)(cid:147)M =-2,-1,0,1,2(cid:34)(cid:288)-2,-1,0,1,2(cid:289)(cid:290)(cid:83)(cid:46)(cid:84)x2-x-6³0(cid:34)(cid:240)(cid:143)-2(cid:208)(cid:83)(cid:46)(cid:84)(cid:291)(cid:292)(cid:34)(cid:175)(cid:48)
M IN =-2(cid:150)
(cid:190)(cid:191)(cid:192)C(cid:150)
14(cid:150)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)A=-1,1,2,4,B=  x x-1 £1  (cid:34)(cid:166)AIB=(cid:10) (cid:11)
A(cid:150){-1,2} B(cid:150){1,2} C(cid:150){1,4} D(cid:150){-1,4}
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)B
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:115)(cid:97)(cid:71)(cid:192)(cid:98)(cid:224)(cid:16)(cid:17)B(cid:276)(cid:174)(cid:98)AÇB.
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)[(cid:115)(cid:97)(cid:71)](cid:192)(cid:154)(cid:223)(cid:97)(cid:226)(cid:147)B=x|0£x£2(cid:34)(cid:190)AIB=1,2(cid:34)(cid:190)(cid:191)(cid:192)B.
[(cid:115)(cid:97)(cid:72)](cid:192)(cid:167)(cid:162)(cid:293)(cid:99)(cid:170)(cid:289)(cid:290)(cid:294)(cid:295)(cid:97)
 
x=-1(cid:289)(cid:290)(cid:16)(cid:17)B= x x-1 £1 (cid:34)(cid:174)(cid:228)2£1(cid:34)(cid:83)(cid:251)(cid:252)(cid:34)(cid:294)(cid:295)A(cid:27)D(cid:248)
 
x=4(cid:289)(cid:290)(cid:16)(cid:17)B= x x-1 £1 (cid:34)(cid:174)(cid:228)3£1(cid:34)(cid:83)(cid:251)(cid:252)(cid:34)(cid:294)(cid:295)C.
(cid:190)(cid:191)(cid:192)B.
(cid:167)(cid:277)(cid:130)(cid:4)(cid:296)(cid:170)(cid:115)(cid:97)(cid:71)(cid:192)(cid:154)(cid:223)(cid:99)(cid:83)(cid:46)(cid:84)(cid:34)(cid:219)(cid:209)(cid:77)(cid:16)(cid:64)(cid:65)(cid:98)(cid:224)(cid:34)(cid:113)(cid:94)(cid:184)(cid:94)(cid:97)(cid:248)
(cid:115)(cid:97)(cid:72)(cid:192)(cid:221)(cid:222)(cid:191)(cid:297)(cid:13)(cid:54)(cid:298)(cid:34)(cid:219)(cid:209)(cid:54)(cid:299)(cid:61)(cid:289)(cid:290)(cid:106)(cid:107)(cid:34)(cid:113)(cid:300)(cid:13)(cid:18)(cid:162)(cid:293)(cid:99)(cid:150)
15(cid:150)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:220)(cid:16)(cid:17)M ={x∣ x <4}, N ={x∣3x³1}(cid:34)(cid:166)M IN =(cid:10) (cid:11)
ì 1 ü ì 1 ü
A(cid:150) x 0£x<2 B(cid:150)íx £x<2ý C(cid:150) x3£x<16 D(cid:150)íx £x<16ý
î 3 þ î 3 þ
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)D
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:98)(cid:224)(cid:16)(cid:17)M,N(cid:276)(cid:174)(cid:98)M ÇN .
1 ì 1 ü
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)M ={x∣0£x<16},N ={x∣x³ }(cid:34)(cid:190)M ÇN =íx £x<16ý(cid:34)
3 î 3 þ
(cid:190)(cid:191)(cid:192)D
考点 04 集合中的新定义问题
1(cid:150)（2025·北京·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:16)(cid:17)A=1,2,3,4,5,6,7,8,M =x,y(cid:275)xÎA,yÎA (cid:34)(cid:285)M(cid:157)(cid:191)(cid:62)n(cid:144)(cid:83)(cid:246)
(cid:18)(cid:81)(cid:225)(cid:301)(cid:291)(cid:71)(cid:144)(cid:302)(cid:132)(cid:192)x,y ,x ,y ,¼,x ,y (cid:34)(cid:188)(cid:157)x,y (cid:138)(cid:147)(cid:300)(cid:302)(cid:132)(cid:18)(cid:303)i(cid:235)i=1,2,¼,n(cid:34)(cid:220)(cid:300)(cid:302)(cid:132)
1 1 2 2 n n i i
ìïx -x =3, ìïx -x =4,
(cid:18)(cid:45)(cid:304)(cid:235)x,y ,x ,y (cid:251)(cid:252)(cid:192)í i+1 i (cid:102)í i+1 i i=1,2,¼,n-1(cid:34)(cid:166)(cid:138)(cid:300)(cid:302)(cid:132)(cid:147)K(cid:132)(cid:150)
i i i+1 i+1 ïî y
i+1
-y
i
=4 ïî y
i+1
-y
i
=3
(1)(cid:179)(cid:247)(cid:303)1(cid:235)(cid:147)(3,3)(cid:18)K(cid:132)(cid:34)(cid:234)(cid:224)(cid:305)(cid:18)(cid:303)2(cid:235)(cid:150)
(2)(cid:158)G(cid:147)K(cid:132)(cid:34)(cid:182)G(cid:157)(cid:18)(cid:235)x,y i=1,2,¼,n(cid:251)(cid:252)(cid:192)(cid:306)i(cid:147)(cid:307)(cid:37)(cid:195)(cid:34)x Î{1,2,7,8}(cid:192)(cid:306)i(cid:147)(cid:308)(cid:37)(cid:195)(cid:34)
i i i
x Î{3,4,5,6}.(cid:309)(cid:310)(3,2)(cid:34)(4,4)(cid:280)(cid:145)(cid:246)(cid:195)(cid:147)G(cid:157)(cid:18)(cid:235)(cid:34)(cid:78)(cid:258)(cid:211)(cid:242)(cid:227)(cid:248)
i
(3)(cid:107)(cid:211)(cid:192)(cid:227)M(cid:18)(cid:30)(cid:187)(cid:81)(cid:225)(cid:301)(cid:291)(cid:18)(cid:302)(cid:132)(cid:253)(cid:83)(cid:113)K(cid:132)(cid:150)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(1)6,7(cid:102)7,6
(2)(cid:83)(cid:280)(cid:34)(cid:242)(cid:227)(cid:202)(cid:99)(cid:171)(3)(cid:107)(cid:211)(cid:95)(cid:311)(cid:202)(cid:99)(cid:171)
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:10)1(cid:11)(cid:221)(cid:222)(cid:66)(cid:108)(cid:20)(cid:176)(cid:174)(cid:228)(cid:99)(cid:248)
(cid:10)2(cid:11)(cid:264)(cid:158)(3,2)(cid:21)(4,4)(cid:280)(cid:246)(cid:195)(cid:142)G(cid:157)(cid:34)(cid:312)(cid:224)(cid:313)(cid:314)(cid:34)(cid:285)(cid:137)(cid:228)(cid:224)(3,2)(cid:21)(4,4)(cid:83)(cid:280)(cid:246)(cid:195)(cid:142)G(cid:157)(cid:18)(cid:87)(cid:218)(cid:248)
(cid:10)3(cid:11)(cid:264)(cid:158)(cid:30)(cid:130)(cid:81)(cid:225)(cid:121)(cid:291)(cid:71)(cid:144)K(cid:132)(cid:34)(cid:94)(cid:95)(cid:121)(cid:122)(cid:312)(cid:224)(cid:313)(cid:314)(cid:34)(cid:285)(cid:137)(cid:228)(cid:200)(cid:127)(cid:107)(cid:211)(cid:18)(cid:87)(cid:218).
ìx =x ±3 ìx =x ±4
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:10)1(cid:11)(cid:221)(cid:222)(cid:13)(cid:111)(cid:108)(cid:20)(cid:174)(cid:58)(cid:34)í i+1 i (cid:102)í i+1 i (cid:34)
îy = y ±4 îy = y ±3
i+1 i i+1 i
(cid:220)(cid:303)(cid:71)(cid:235)(cid:147)3,3(cid:34)(cid:244)(cid:245)x =0(cid:102)-1(cid:83)(cid:315)(cid:17)(cid:13)(cid:56)(cid:10)(cid:83)(cid:142)(cid:16)(cid:17)A(cid:157)(cid:11)(cid:34)(cid:175)(cid:48)(cid:257)(cid:71)(cid:235)(cid:113)6,7(cid:102)7,6(cid:248)
2
(cid:10)2(cid:11)(cid:264)(cid:158)(cid:72)(cid:249)(cid:246)(cid:195)(cid:224)(cid:316)(cid:142)G(cid:157)(cid:34)(cid:227)(cid:247)K(cid:132)(cid:62)(cid:262)(cid:302)(cid:276)(cid:317)(cid:113)K(cid:132)(cid:34)(cid:190)(cid:83)(cid:274)(cid:158)3,2(cid:142)4,4(cid:318)(cid:112).
(cid:244)(cid:245)(cid:34)(cid:142)K(cid:132)(cid:157)(cid:34)(cid:45)(cid:304)(cid:159)(cid:235)(cid:18)(cid:319)(cid:320)(cid:156)(cid:68)(cid:318)(cid:256)(cid:18)(cid:307)(cid:308)(cid:184)(cid:254)(cid:113)(cid:45)(cid:262)(cid:18)(cid:34)(cid:175)(cid:48)(cid:285)3,2(cid:200)4,4(cid:126)(cid:108)(cid:127)(cid:270)(cid:257)(cid:71)(cid:235)(cid:321)
(cid:307)(cid:37)(cid:82).
(cid:322)(cid:229)(cid:221)(cid:222)(cid:13)(cid:111)(cid:124)(cid:125)(cid:34)(cid:198)(cid:159)(cid:144)(cid:4)(cid:18)(cid:319)(cid:156)(cid:68)(cid:263)(cid:142)G(cid:157)(cid:34)(cid:175)(cid:48)(cid:285)3,2(cid:200)4,4(cid:126)(cid:108)(cid:127)(cid:270)(cid:257)(cid:71)(cid:235)(cid:321)(cid:308)(cid:37)(cid:82).
(cid:198)(cid:312)(cid:323)(cid:313)(cid:314)(cid:34)(cid:175)(cid:48)(cid:72)(cid:249)(cid:83)(cid:280)(cid:246)(cid:195)(cid:224)(cid:316)(cid:142)G(cid:157).
(cid:10)3(cid:11)(cid:97)1(cid:192)(cid:220)M (cid:157)(cid:18)(cid:175)(cid:143)(cid:81)(cid:225)(cid:121)(cid:291)K(cid:132)(cid:34)(cid:3)(cid:324)K(cid:132)(cid:157)(cid:90)(cid:93)x,y x,y Î1,2,7,8 (cid:18)(cid:235)(cid:34)
i i i i
(cid:198)(cid:325)(cid:18)(cid:235)(cid:326)(cid:143)16(cid:144)(cid:34)(cid:227)(cid:13)(cid:58)(cid:188)(cid:257)(cid:71)(cid:235)(cid:147)x ,y ,x ,y Î3,4,5,6(cid:34)(cid:326)(cid:279)16(cid:144)(cid:34)
i+1 i+1 i+1 i+1
(cid:137)x ,y ¹3,3,6,3,3,6,6,6(cid:34)(cid:226)(cid:147)(cid:240)(cid:280)6(cid:227)2(cid:327)(cid:34)3(cid:240)(cid:280)(cid:227)7(cid:327)(cid:34)
i+1 i+1
(cid:319)(cid:27)(cid:320)(cid:156)(cid:68)(cid:83)(cid:280)(cid:246)(cid:195)(cid:45)(cid:231)4(cid:34)(cid:198)(cid:325)(cid:257)(cid:71)(cid:235)(cid:240)(cid:280)(cid:143)12(cid:144)(cid:4)(cid:34)
(cid:176)(cid:179)(cid:247)16(cid:144)x,y (cid:34)(cid:143)12(cid:144)x ,y (cid:21)(cid:318)(cid:45)(cid:179)(cid:50)(cid:34)(cid:313)(cid:314)(cid:150)
i i i+1 i+1
(cid:328)(cid:24)(cid:34)(cid:227)M(cid:18)(cid:30)(cid:187)(cid:81)(cid:225)(cid:301)(cid:291)(cid:18)(cid:302)(cid:132)(cid:253)(cid:83)(cid:113)K(cid:132)(cid:150)
(cid:97)2(cid:192)(cid:264)(cid:158)(cid:30)(cid:130)(cid:81)(cid:225)(cid:121)(cid:291)(cid:71)(cid:144)K(cid:132)(cid:34)(cid:166)n=64.
(cid:158)T =
x,y xÎ1,2,7,8,yÎ1,2,3,4,5,6,7,8
(cid:34)T =
x,y xÎ3,4,5,6,yÎ1,2,3,4,5,6,7,8
.
1 2
(cid:166)T (cid:256)T (cid:253)(cid:44)(cid:19)32(cid:144)(cid:81)(cid:225)(cid:34)(cid:182)T (cid:157)(cid:81)(cid:225)(cid:18)(cid:45)(cid:304)(cid:235)(cid:126)(cid:108)(cid:142)T (cid:157).
1 2 1 2
(cid:93)(cid:287)(cid:141)(cid:142)(cid:329)(cid:330)(cid:159)(cid:179)(cid:45)(cid:304)(cid:18)(cid:235)(cid:331)(cid:247)T (cid:34)(cid:332)(cid:333)(cid:331)(cid:247)T (cid:18)(cid:235)(cid:18)(cid:37)(cid:111)(cid:71)(cid:108)(cid:117)(cid:247)(cid:331)(cid:247)T (cid:18)(cid:235)(cid:18)(cid:37)(cid:111)(cid:34)
2 2 1
(cid:175)(cid:48)(cid:329)(cid:117)(cid:141)(cid:142)(cid:71)(cid:179)(cid:45)(cid:304)(cid:18)(cid:235)(cid:331)(cid:247)T .
2
(cid:93)(cid:287)(cid:141)(cid:142)(cid:34)(cid:166)(cid:198)(cid:179)(cid:45)(cid:304)(cid:18)(cid:235)(cid:18)(cid:302)(cid:334)(cid:126)(cid:108)(cid:90)(cid:93)2m(cid:256)2m+1(cid:34)
(cid:145)(cid:166)(cid:288)(cid:312)(cid:323)(cid:331)(cid:247)T (cid:18)(cid:235)(cid:18)(cid:144)(cid:37)(cid:335)(cid:331)(cid:247)T (cid:18)(cid:235)(cid:18)(cid:144)(cid:37)(cid:117)2(cid:34)(cid:230)(cid:195)m=1,2,3,L,31.
2 1(cid:285)(cid:137)(cid:198)(cid:144)(cid:302)(cid:132)(cid:18)(cid:112)2m(cid:235)(cid:157)(cid:34)(cid:303)(cid:307)(cid:37)(cid:235)(cid:331)(cid:247)T (cid:34)(cid:303)(cid:308)(cid:37)(cid:235)(cid:331)(cid:247)T (cid:248)
1 2
(cid:198)(cid:144)(cid:302)(cid:132)(cid:18)(cid:276)64-2m(cid:235)(cid:157)(cid:34)(cid:303)(cid:307)(cid:37)(cid:235)(cid:331)(cid:247)T (cid:34)(cid:303)(cid:308)(cid:37)(cid:235)(cid:331)(cid:247)T .
2 1
(cid:93)(cid:287)(cid:83)(cid:141)(cid:142)(cid:45)(cid:304)(cid:18)(cid:331)(cid:247)T (cid:18)(cid:235)(cid:34)(cid:332)(cid:333)(cid:336)(cid:174)(cid:48)(cid:337)(cid:146)(cid:24)(cid:338)(cid:22)(cid:23)(cid:142)m=0(cid:102)m=32(cid:18)(cid:54)(cid:299)(cid:9)(cid:339).
2
ïìx ,y ÎT,x ,y ÎT ,1£k £m
(cid:198)(cid:56)(cid:340)(cid:341)(cid:126)(cid:108)(cid:141)(cid:142)mÎ0,1,2,...,32(cid:34)(cid:208)(cid:228)í 2k-1 2k-1 1 2k 2k 2 .
ïî x
2k-1
,y
2k-1
ÎT
2
,x
2k
,y
2k
ÎT
1
,m+1£k £32
(cid:227)(cid:247)(cid:45)(cid:304)(cid:159)(cid:235)(cid:18)(cid:319)(cid:320)(cid:156)(cid:68)(cid:318)(cid:256)(cid:18)(cid:307)(cid:308)(cid:184)(cid:126)(cid:108)(cid:45)(cid:262)(cid:34)(cid:190)T (cid:157)(cid:319)(cid:320)(cid:156)(cid:68)(cid:318)(cid:256)(cid:147)(cid:307)(cid:37)(cid:18)(cid:4)(cid:256)(cid:319)(cid:320)(cid:156)(cid:68)(cid:318)(cid:256)(cid:147)(cid:308)(cid:37)
1
(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:37)(cid:139)(cid:71)(cid:108)(cid:5)(cid:36)(cid:113)m(cid:256)32-m(cid:10)(cid:83)(cid:71)(cid:108)(cid:179)(cid:50)(cid:11).
(cid:322)(cid:342)(cid:343)(cid:106)(cid:107)(cid:34)T (cid:256)T (cid:253)(cid:44)(cid:19)16(cid:144)(cid:319)(cid:320)(cid:156)(cid:68)(cid:318)(cid:256)(cid:147)(cid:307)(cid:37)(cid:18)(cid:4)(cid:256)16(cid:144)(cid:319)(cid:320)(cid:156)(cid:68)(cid:318)(cid:256)(cid:147)(cid:308)(cid:37)(cid:18)(cid:4)(cid:34)(cid:175)(cid:48)
1 2
m=32-m=16(cid:34)(cid:228)m=16.
ìï x ,y ÎT,x ,y ÎT ,1£k £16
(cid:285)(cid:137)(cid:143)í 2k-1 2k-1 1 2k 2k 2 .
ïî x
2k-1
,y
2k-1
ÎT
2
,x
2k
,y
2k
ÎT
1
,17£k £32
(cid:198)(cid:344)(cid:228)(cid:200)T = x ,y  k =1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64  .
1 k k
(cid:183)(cid:158)T =
x,y xÎ1,2,3,4,5,6,7,8,yÎ1,2,7,8
(cid:34)T =
x,y xÎ1,2,3,4,5,6,7,8,yÎ3,4,5,6
.
3 4
ìï x ,y ÎT ,x ,y ÎT ,1£k £16
(cid:166)(cid:246)(cid:242)(cid:143)í 2k-1 2k-1 3 2k 2k 4 .
ïî x
2k-1
,y
2k-1
ÎT
4
,x
2k
,y
2k
ÎT
3
,17£k £32
(cid:198)(cid:56)(cid:340)(cid:341)T = x ,y  k =1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64  .
3 k k
(cid:285)(cid:137)(cid:228)(cid:200)T =T (cid:34)(cid:322)(cid:244)(cid:245)(cid:305)(cid:345)(cid:113)(cid:83)(cid:246)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:34)(cid:313)(cid:314).
3 1
(cid:175)(cid:48)(cid:227)M(cid:18)(cid:30)(cid:187)(cid:81)(cid:225)(cid:301)(cid:291)(cid:18)(cid:302)(cid:132)(cid:253)(cid:83)(cid:113)K(cid:132)(cid:150)
2(cid:150)（2025·上海·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:133)(cid:37)y= f(x)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:177)(cid:147)R(cid:150)(cid:179)(cid:247)(cid:259)(cid:346)(cid:37)a(cid:34)(cid:108)(cid:20)(cid:16)(cid:17)M ={x∣f(x+a)= f(x)}(cid:150)
a
π
(1)(cid:220) f(x)=sinx(cid:34)(cid:309)(cid:310) (cid:113)(cid:145)(cid:113)M (cid:157)(cid:18)(cid:81)(cid:225)(cid:34)(cid:347)(cid:258)(cid:211)(cid:242)(cid:227)(cid:248)
3 π
ìïx+2, x<0
(2)(cid:220) f x=í ,M ¹Æ(cid:34)(cid:98)a(cid:18)(cid:62)(cid:61)(cid:103)(cid:104)(cid:248)
a
ïî x, x³0
(3)(cid:220)y= f(x)(cid:113)(cid:308)(cid:133)(cid:37)(cid:34)(cid:306)xÎ(0,1](cid:195)(cid:34) f(x)=1-x(cid:34)(cid:182)(cid:179)(cid:180)(cid:56)aÎ(0,2)(cid:34)(cid:263)(cid:143)M ÍM (cid:150)(cid:234)(cid:224)y= f(x)(cid:34)
a 2
xÎ(1,2)(cid:99)(cid:171)(cid:84)(cid:34)(cid:78)(cid:107)(cid:211)(cid:192)(cid:179)(cid:180)(cid:56)(cid:346)(cid:37)c(cid:34)(cid:133)(cid:37)y= f(x)-c(cid:142)[-3,3](cid:24)(cid:329)(cid:117)(cid:143)9(cid:144)(cid:348)(cid:4)(cid:150)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(1)(cid:83)(cid:113)(cid:248)é7 ö
(2)
ê
,4÷(cid:248)
ë4 ø
(3)(cid:107)(cid:211)(cid:202)(cid:99)(cid:171).
æpö æp ö
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:10)1(cid:11)(cid:154)(cid:223)(cid:289)(cid:290)(cid:279)(cid:65) f ç ÷(cid:256) f ç +p÷(cid:176)(cid:174)(cid:248)
è 3ø è 3 ø
æ 3ö 2 7
(cid:10)2(cid:11)(cid:97)(cid:71)(cid:192)(cid:349)(cid:281)(cid:147)(cid:142)(cid:346)(cid:37)x 0 (cid:208)(cid:228) f(x 0 +a)= f(x 0 )(cid:34)(cid:5)(cid:171)(cid:228)x 0 +2= x 0 +a (cid:34)(cid:183)(cid:279)(cid:65)(cid:228)a=ç è x 0 + 2 ÷ ø + 4 (cid:34)
(cid:162)(cid:276)(cid:221)(cid:222)x (cid:18)(cid:103)(cid:104)(cid:176)(cid:174)(cid:228)(cid:200)(cid:168)(cid:169)(cid:248)(cid:97)(cid:72)(cid:192)(cid:350)(cid:224)(cid:133)(cid:37)(cid:164)(cid:351)(cid:34)(cid:349)(cid:281)(cid:147)(cid:154)(cid:352)y=t(cid:21)(cid:300)(cid:133)(cid:37)(cid:143)(cid:159)(cid:144)(cid:77)(cid:4)(cid:34)(cid:288)a(cid:209)t(cid:22)
0
(cid:23)(cid:34)(cid:162)(cid:276)(cid:219)(cid:209)(cid:72)(cid:82)(cid:133)(cid:37)(cid:133)(cid:37)(cid:184)(cid:39)(cid:176)(cid:174)(cid:228)(cid:200)(cid:168)(cid:169)(cid:248)
(cid:10)3(cid:11)(cid:219)(cid:209)(cid:133)(cid:37)(cid:307)(cid:308)(cid:184)(cid:256)(cid:16)(cid:17)(cid:66)(cid:108)(cid:20)(cid:176)(cid:174)(cid:98)(cid:224)xÎ(1,2)(cid:195)(cid:99)(cid:171)(cid:84)(cid:34)(cid:183)(cid:5)(cid:171)(cid:224) f(-3)Ï(0,1)(cid:34)(cid:162)(cid:276)(cid:179)c(cid:18)(cid:103)(cid:104)(cid:353)
(cid:354)(cid:5)(cid:6)(cid:265)(cid:218)(cid:176)(cid:174).
æpö p 3 æp ö p 3 p
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:10)1(cid:11)(cid:10)1(cid:11) f ç è 3 ÷ ø =sin 3 = 2 (cid:34) f ç è 3 +p÷ ø =-sin 3 =- 2 (cid:34)(cid:166) 3 (cid:83)(cid:113)M p (cid:157)(cid:18)(cid:81)(cid:225).
(cid:10)2(cid:11)(cid:97)(cid:71)(cid:192)(cid:226)(cid:147)M ¹Æ(cid:34)(cid:166)(cid:141)(cid:142)(cid:346)(cid:37)x (cid:208)(cid:228) f(x +a)= f(x )(cid:34)(cid:182)a>0(cid:34)
a 0 0 0
(cid:306)x<0(cid:195)(cid:34) f x=x+2(cid:34)(cid:188)(cid:142)-¥(cid:34)0(cid:24)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:89)(cid:358)(cid:359)(cid:34)
(cid:306)x³0(cid:195)(cid:34) fx= x(cid:34)(cid:188)(cid:142)[0,+¥)(cid:24)(cid:336)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:89)(cid:358)(cid:359)(cid:34)
(cid:166)x <0£x +a(cid:34)(cid:166)x +2= x +a (cid:34)
0 0 0 0
(cid:360)x+2=0(cid:34)(cid:99)(cid:228)x=-2(cid:34)(cid:166)-2£x <0(cid:34)
0
(cid:166)a=  x 0 +a 2 -x 0 =x 0 +22-x 0 = æ ç è x 0 + 2 3 ø ö ÷ 2 + 7 4 Î é ê ë 7 4 ,4 ö ÷ ø .
(cid:97)(cid:72)(cid:192)(cid:146)(cid:224)(cid:300)(cid:133)(cid:37)(cid:164)(cid:351)(cid:34)(cid:166)(cid:227)(cid:13)(cid:56)(cid:58)(cid:154)(cid:352)y=t(cid:21)(cid:300)(cid:133)(cid:37)(cid:143)(cid:159)(cid:144)(cid:77)(cid:4)(cid:34)
(cid:227)(cid:164)(cid:58)0£t<2(cid:34)(cid:264)(cid:158)(cid:77)(cid:4)(cid:5)(cid:36)(cid:147)Am,t(cid:34)Bn,t(cid:34)
ì ï m =t æ 1ö 2 7 é7 ö
(cid:361)(cid:292)(cid:115)(cid:311)(cid:301)í (cid:228)a=|AB|=m-n=t2-(t-2)=çt- ÷ + Î ê ,4÷
ïîn+2=t è 2ø 4 ë4 ø(cid:10)3(cid:11)(cid:179)(cid:180)(cid:56)x Î(1,2),x -2Î(-1,0)(cid:34)(cid:226)(cid:147)(cid:188)(cid:113)(cid:308)(cid:133)(cid:37)(cid:34)
0 0
(cid:166) f x -2= f 2-x (cid:34)(cid:137)2-x -x -2=4-2x Î(0,2)(cid:34)
0 0 0 0 0
(cid:175)(cid:48)x -2ÎM ÍM (cid:34)
0 4-2x0 2
(cid:175)(cid:48) f x = f x -2= f 2-x (cid:34)(cid:226)(cid:147)x Î1,2(cid:34)(cid:166)2-x Î0,1(cid:34)
0 0 0 0 0
(cid:175)(cid:48) f x = f 2-x =1-2-x =x -1(cid:34)(cid:175)(cid:48) f(x)=x-1,xÎ(1,2)(cid:34)
0 0 0 0
(cid:175)(cid:48)(cid:306)sÎ(0,1)(cid:195)(cid:34)1-sÎ(0,1)(cid:34)1+sÎ(1,2)(cid:34)(cid:166) f(1-s)=1-(1-s)=s(cid:34)
f(1+s)=1+s-1=s(cid:34)(cid:166) f(1-s)= f(1+s)(cid:34)
(cid:137)1+s-1-s=2s(cid:34)3-s-1-s=2(cid:34)
(cid:166)1-sÎM ÍM (cid:34)(cid:166) f(1-s)= f(3-s)(cid:34)
2s 2
(cid:175)(cid:48)(cid:306)xÎ(2,3)(cid:195)(cid:34) f(x)= f(x-2)=1-(x-2)=3-x(cid:34)(cid:137) f(x)(cid:147)(cid:308)(cid:133)(cid:37)(cid:34)(cid:350)(cid:224)(cid:133)(cid:37)(cid:164)(cid:351)(cid:93)(cid:257)(cid:192)
(cid:188)(cid:157) f -3= f 3, f -2= f 2, f 0(cid:34)(cid:322)(cid:188)(cid:179)(cid:50)(cid:18)y(cid:61)(cid:263)(cid:362)(cid:58).
(cid:363)(cid:172)(cid:258)(cid:211) f(-3)=nÏ(0,1)(cid:34)
(cid:220) f(-3)=nÎ(0,1)(cid:34)(cid:166)-3+nÎ-3,-2(cid:34)(cid:343)(cid:58)(cid:230)(cid:195) f x=x+3,xÎ-3,-2(cid:34)
(cid:166) f(-3+n)=n(cid:34)(cid:175)(cid:48) f(-3)ÎM ÍM (cid:34)(cid:137)xÎ-1,0(cid:195)(cid:34) f x=x+1(cid:34)
n 2
(cid:175)(cid:48) f(-3)= f(-1)=0(cid:34)(cid:21) f(-3)=n(cid:313)(cid:314)(cid:34)(cid:175)(cid:48) f(-3)Ï(0,1)(cid:34)(cid:176) f(-3)= f(3)Ï(0,1)(cid:34)
(cid:360)y= f(x)-c=0(cid:34)(cid:166)y= f(x)=c(cid:34)
(cid:306)c=0(cid:195)(cid:34)(cid:176)(cid:208)(cid:364) f -3= f 3= f -2= f 2= f 0=0(cid:34)(cid:230)(cid:195)(cid:162)(cid:117)7(cid:144)(cid:348)(cid:4)(cid:34)
(cid:306)c³1(cid:195)(cid:34)(cid:220) f -2= f 2= f 0= f -3= f 3=c(cid:34)(cid:230)(cid:195)(cid:143)5(cid:144)(cid:348)(cid:4)(cid:34)
(cid:190)(cid:230)(cid:195)(cid:162)(cid:117)5(cid:144)(cid:348)(cid:4)(cid:248)(cid:306)c<0(cid:195)(cid:34)(cid:220) f -2= f 2= f 0= f -3= f 3=c(cid:34)(cid:230)(cid:195)(cid:143)5(cid:144)(cid:348)(cid:4)(cid:34)
(cid:190)(cid:230)(cid:195)(cid:162)(cid:117)5(cid:144)(cid:348)(cid:4)(cid:248)
(cid:306)0<c<1(cid:195)(cid:34)(cid:220) f -2= f 2= f 0=c(cid:34)(cid:230)(cid:195)(cid:143)3(cid:144)(cid:348)(cid:4)(cid:34)
(cid:220) f(-3)=cÎ(0,1)(cid:34)(cid:166)-3+cÎ-3(cid:34)-2(cid:34)(cid:343)(cid:58)(cid:230)(cid:195) f x=x+3(cid:34)
(cid:166) f(-3+c)=c(cid:34)(cid:175)(cid:48) f(-3)ÎM ÍM (cid:34)(cid:137)xÎ-1,0(cid:195)(cid:34) f x=x+1(cid:34)
c 2
(cid:175)(cid:48) f(-3)= f(-1)=0(cid:34)(cid:21) f -3=c(cid:313)(cid:314)(cid:34)(cid:175)(cid:48) f(-3)Ï(0,1)(cid:34)
(cid:166)(cid:162)(cid:117)(cid:142)(-3,-2),(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)(cid:318)(cid:40)(cid:62)(cid:228)6(cid:144)(cid:348)(cid:4)(cid:34)
(cid:48)(cid:49)(cid:142)x=-2,0,2(cid:365)(cid:291)(cid:147)(cid:348)(cid:4)(cid:34)(cid:190)(cid:83)(cid:366)(cid:95)9(cid:144)(cid:348)(cid:4).
(cid:328)(cid:24)(cid:34)(cid:348)(cid:4)(cid:83)(cid:366)(cid:95)9(cid:144).
3(cid:150)（2025·上海·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:133)(cid:37)y= f x(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:177)(cid:113)D(cid:150)(cid:179)(cid:247)tÎD(cid:34)(cid:108)(cid:20)(cid:16)(cid:17)S =  x f x³ f t (cid:150)
ft
(1) f x=log x(cid:34)(cid:98)S (cid:248)
2 f16
(2)(cid:179)(cid:247)(cid:16)(cid:17)A(cid:34)(cid:220)(cid:179)(cid:180)(cid:56)xÎA(cid:253)(cid:143)-xÎA(cid:34)(cid:166)(cid:138)A(cid:113)(cid:179)(cid:138)(cid:16)(cid:150)(cid:220)D(cid:113)(cid:179)(cid:138)(cid:16)(cid:34)(cid:107)(cid:211)(cid:192)“(cid:133)(cid:37)y= f x(cid:113)(cid:308)(cid:133)
(cid:37)”(cid:18)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:113)“(cid:179)(cid:180)(cid:56)tÎD(cid:34)S (cid:113)(cid:179)(cid:138)(cid:16)”(cid:248)
ft
(3)(cid:220)xÎR(cid:34) fx=ex - 1 mx2(cid:150)(cid:98)m(cid:18)(cid:62)(cid:61)(cid:103)(cid:104)(cid:34)(cid:208)(cid:228)(cid:179)(cid:247)(cid:180)(cid:56)t <t ÎD(cid:34)(cid:253)(cid:143)S ÍS (cid:150)
2 1 2 ft2  ft1 
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(1)
x x³16(2)(cid:107)(cid:211)(cid:202)(cid:178)(cid:99)
(3)
0,e
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:10)1(cid:11)(cid:221)(cid:222)(cid:179)(cid:37)(cid:133)(cid:37)(cid:18)(cid:357)(cid:89)(cid:184)(cid:176)(cid:174)(cid:98)(cid:99)(cid:248)
(cid:10)2(cid:11)(cid:221)(cid:222)(cid:308)(cid:133)(cid:37)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:256)(cid:179)(cid:138)(cid:16)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:176)(cid:174)(cid:107)(cid:211)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:256)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:248)
(cid:10)3(cid:11)(cid:221)(cid:222)(cid:108)(cid:20)(cid:309)(cid:310)(cid:224)(cid:133)(cid:37)(cid:357)(cid:89)(cid:83)(cid:367)(cid:34)(cid:228)(cid:200)(cid:312)(cid:133)(cid:37)(cid:163)(cid:247)(cid:46)(cid:247)0(cid:368)(cid:291)(cid:292)(cid:176)(cid:174)(cid:98)(cid:99).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:10)1(cid:11)(cid:227)(cid:108)(cid:20)(cid:228)(cid:34)S =  x f x³ f 16 =x log x³log 16=x x³16 .
f16 2 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:107)(cid:211)(cid:192)
(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:192)(cid:226)(cid:147)(cid:133)(cid:37)y= f x(cid:113)(cid:308)(cid:133)(cid:37)(cid:34)(cid:175)(cid:48)(cid:179)(cid:180)(cid:56)xÎD(cid:34) f x= f -x(cid:34)
(cid:179)(cid:180)(cid:56)tÎD(cid:34)(cid:220)xÎS (cid:34)(cid:176) fx³ ft(cid:34)(cid:166) f-x= fx³ ft(cid:34)
ft
(cid:175)(cid:48)-xÎS (cid:34)(cid:175)(cid:48)(cid:179)(cid:180)(cid:56)tÎD(cid:34)S (cid:113)(cid:179)(cid:138)(cid:16).
ft ft
(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:192)(cid:220)(cid:179)(cid:180)(cid:56)tÎD(cid:34)S (cid:113)(cid:179)(cid:138)(cid:16)(cid:34)
ft
(cid:226)(cid:147)(cid:179)(cid:180)(cid:56)tÎD(cid:34)tÎS (cid:34)(cid:175)(cid:48)-tÎS (cid:34)(cid:176) f-t³ ft (cid:34)
ft ft
①
(cid:229)-tÎS (cid:34)(cid:175)(cid:48)tÎS (cid:34)(cid:176) ft³ f-t .
f-t f-t
②
(cid:227) (cid:228)(cid:34)(cid:179)(cid:180)(cid:56)tÎD(cid:34) f t= f -t(cid:34)
①②
(cid:175)(cid:48)(cid:133)(cid:37)y= f x(cid:113)(cid:308)(cid:133)(cid:37).
(cid:328)(cid:24)(cid:34)“(cid:133)(cid:37)y= f x(cid:113)(cid:308)(cid:133)(cid:37)”(cid:18)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:113)“(cid:179)(cid:180)(cid:56)tÎD(cid:34)S (cid:113)(cid:179)(cid:138)(cid:16)”(cid:34)(cid:228)(cid:107).
ft
(cid:10)3(cid:11)(cid:226)(cid:147)(cid:179)(cid:247)(cid:180)(cid:56)t <t ÎD(cid:34)(cid:253)(cid:143)S ÍS (cid:34)
1 2 ft2  ft1 
(cid:175)(cid:48)(cid:220)xÎS (cid:34)(cid:166)xÎS (cid:34)(cid:176)(cid:220) fx³ ft (cid:34)(cid:166) fx³ ft (cid:34)
ft2  ft1  2 1
(cid:175)(cid:48) ft ³ ft (cid:34)(cid:175)(cid:48) f x(cid:142)R(cid:24)(cid:357)(cid:89)(cid:83)(cid:367)(cid:34)
2 1
(cid:175)(cid:48)(cid:179)(cid:180)(cid:56)xÎR(cid:34) f¢x=ex -mx³0(cid:368)(cid:291)(cid:292).
(cid:306)x=0(cid:195)(cid:34)(cid:244)(cid:245)(cid:291)(cid:292)(cid:34)mÎR(cid:248)
ex ex x-1ex
(cid:306)x>0(cid:195)(cid:34)m£ (cid:368)(cid:291)(cid:292)(cid:34)(cid:360)gx= (cid:34)g¢x= (cid:34)
x x x2
(cid:175)(cid:48)gx(cid:142)0,1(cid:357)(cid:89)(cid:358)(cid:367)(cid:34)1,+¥(cid:357)(cid:89)(cid:358)(cid:359)(cid:34)(cid:175)(cid:48)m£gx =g1=e(cid:248)
min(cid:306)x<0(cid:195)(cid:34)m³
ex
(cid:368)(cid:291)(cid:292)(cid:34)(cid:230)(cid:195)g¢x=
x-1ex
<0
x x2
(cid:226)(cid:147)gx(cid:142)-¥,0(cid:24)(cid:357)(cid:89)(cid:358)(cid:367)(cid:34)(cid:306)x®-¥(cid:195)(cid:34)gx®0,gx<0(cid:34)
x<0,x®0(cid:195)(cid:34)gx®-¥(cid:34)
(cid:175)(cid:48)m³0(cid:248)
(cid:328)(cid:24)(cid:34)mÎ0,e.
(cid:167)(cid:4)(cid:193)(cid:170)(cid:42)(cid:369)(cid:4)(cid:4)(cid:193)(cid:192)(cid:133)(cid:37)(cid:142)(cid:35)(cid:40)(cid:24)(cid:357)(cid:89)(cid:83)(cid:367)(cid:46)(cid:370)(cid:247)(cid:312)(cid:133)(cid:37)(cid:142)(cid:35)(cid:40)(cid:24)(cid:163)(cid:247)(cid:46)(cid:247)0(cid:368)(cid:291)(cid:292).
考点 05 充分条件与必要条件
1(cid:150)（2026·北京·高考真题）a (cid:34)b (cid:113)(cid:266)(cid:272)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:166)“(cid:141)(cid:142)(cid:80)(cid:37)M (cid:34)(cid:208)a £M £b (n=1,2,3,L)”(cid:113)
n n n n
“a £b (n=1,2,3,L)”(cid:18)(cid:10) (cid:11)
n n
A(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) B(cid:150)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)
C(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) D(cid:150)(cid:371)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:336)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)A
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:94)(cid:95)(cid:106)(cid:107)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:21)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:34)(cid:176)(cid:174)(cid:228)(cid:224)(cid:87)(cid:218).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:227)(cid:13)(cid:56)(cid:34)
a (cid:34)b (cid:113)(cid:266)(cid:272)(cid:37)(cid:132)(cid:34)
n n
(cid:106)(cid:107)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:192)
(cid:306)(cid:141)(cid:142)(cid:80)(cid:37)M (cid:34)(cid:208)a £M £b n=1,2,3,L (cid:195)(cid:34)
n n
a £Mn=1,2,3,L (cid:34)M £b n=1,2,3,L (cid:34)
n n
a £b n=1,2,3,L (cid:244)(cid:245)(cid:291)(cid:292)(cid:34)
n n
(cid:106)(cid:107)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:192)
(cid:306)a =n(cid:34)b =n2(cid:195)(cid:34)(cid:230)(cid:195)(cid:251)(cid:252)a £b ,
n n n n
(cid:264)(cid:158)(cid:141)(cid:142)(cid:80)(cid:37)M (cid:34)(cid:208)a £M £b n=1,2,3,L (cid:291)(cid:292)(cid:34)
n n
(cid:306)n®+¥(cid:195)(cid:34)a =n®+¥(cid:34)b =n2 ®+¥(cid:34)
n n
(cid:230)(cid:195)(cid:34)M (cid:105)(cid:246)(cid:195)“(cid:83)(cid:260)(cid:247)(cid:266)(cid:372)(cid:359)(cid:163)(cid:18)n”(cid:256)“(cid:83)(cid:163)(cid:247)(cid:266)(cid:372)(cid:359)(cid:163)(cid:18)n2”(cid:34)
(cid:322)(cid:83)(cid:141)(cid:142)(cid:198)(cid:325)(cid:18)(cid:373)(cid:108)(cid:80)(cid:37)M (cid:34)(cid:306)a £b (cid:195)(cid:34)(cid:266)(cid:97)(cid:126)(cid:245)(cid:241)(cid:224)“(cid:141)(cid:142)(cid:80)(cid:37)M ”(cid:34)(cid:176)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:83)(cid:291)(cid:292)(cid:34)
n n
∴
“(cid:141)(cid:142)(cid:80)(cid:37)M (cid:34)(cid:208)a £M £b n=1,2,3,L  ”(cid:113)“a £b n=1,2,3,L  ”(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125).
n n n n
∴ 2(cid:150)（2026·上海·高考真题）(cid:179)(cid:247)(cid:180)(cid:56)(cid:159)(cid:144)(cid:374)(cid:37)z(cid:34)w(cid:34)(cid:93)(cid:287)(cid:251)(cid:252)“z-wÎR”(cid:102)“z-wÎR”(cid:34)(cid:332)(cid:333)(cid:344)(cid:138)z(cid:256)w
(cid:375)(cid:136)(cid:150)(cid:166)(cid:306)z(cid:256)w(cid:375)(cid:136)(cid:34)(cid:166)w-i(cid:256)z+i(cid:375)(cid:136)(cid:18)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:10) (cid:11)(cid:150)
A(cid:150)Rew+Rez=0 B(cid:150)Rew-Rez=0
C(cid:150)Imw+Imz=0 D(cid:150)Imw-Imz=0
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)C
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:158)z=x+yi(cid:34)w=a+bi(cid:34)x,yÎR(cid:34)a,bÎR(cid:34)(cid:227)(cid:124)(cid:125)(cid:87)(cid:17)(cid:375)(cid:136)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:174)(cid:309)(cid:310)(cid:87)(cid:218).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:158)z=x+yi(cid:34)w=a+bi(cid:34)x,yÎR(cid:34)a,bÎR(cid:34)
(cid:166)z-w=x-a+y-bi(cid:34)z-w=x-a+y+bi(cid:34)
(cid:306)z(cid:256)w(cid:375)(cid:136)(cid:34)(cid:143)y-b=0(cid:102)y+b=0(cid:34)
(cid:229)w-i-z+i=a-x+b-y-2i(cid:34)w-i-z+i=a-x+b+yi(cid:34)
(cid:220)w-i(cid:256)z+i(cid:375)(cid:136)(cid:34)(cid:166)b-y-2=0(cid:102)b+y=0(cid:34)
(cid:175)(cid:48)w-i(cid:256)z+i(cid:375)(cid:136)(cid:18)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:113)b+y=0(cid:34)(cid:176)Imw+Imz=0.
3(cid:150)（2026·天津·高考真题）(cid:158)xÎR(cid:34)(cid:166)“x>0”(cid:113)“x2+3x>0”(cid:18)(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:137)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) B(cid:150)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)
C(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) D(cid:150)(cid:371)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:336)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)A
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:227)x2+3x>0(cid:34)(cid:99)(cid:228)(cid:192)x<-3(cid:102)x>0(cid:34)
(cid:176)x>0(cid:195)(cid:34)x2+3x>0(cid:291)(cid:292)(cid:34)(cid:262)(cid:318)(cid:83)(cid:291)(cid:292)(cid:34)
(cid:175)(cid:48)“x>0”(cid:113)“x2+3x>0”(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:137)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125).
4(cid:150)（2025·北京·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:133)(cid:37) f(x)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:177)(cid:147)D(cid:34)(cid:166)“ f(x)(cid:18)(cid:61)(cid:177)(cid:147)R”(cid:113)“(cid:179)(cid:180)(cid:56)MÎR(cid:34)(cid:141)(cid:142)
x ÎD(cid:34)(cid:208)(cid:228) f x  >M ”(cid:18)(cid:10) (cid:11)
0 0
A(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) B(cid:150)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125) C(cid:150)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125) D(cid:150)(cid:371)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:336)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)
(cid:125)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)A
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:227)(cid:133)(cid:37)(cid:61)(cid:177)(cid:18)(cid:283)(cid:284)(cid:87)(cid:17)(cid:54)(cid:101)(cid:34)(cid:183)(cid:221)(cid:222)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:27)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:18)(cid:283)(cid:284)(cid:176)(cid:174)(cid:98)(cid:99).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:220)(cid:133)(cid:37) f(x)(cid:18)(cid:61)(cid:177)(cid:147)R(cid:34)(cid:166)(cid:179)(cid:180)(cid:56)MÎR(cid:34)(cid:71)(cid:108)(cid:141)(cid:142)x ÎD(cid:34)(cid:208)(cid:228) f x = M +1(cid:34)
1 1(cid:62)x =x (cid:34)(cid:166) f x  = M +1>M (cid:34)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:291)(cid:292)(cid:248)
0 1 0
(cid:62) f(x)=2x(cid:34)D=R(cid:34)(cid:166)(cid:179)(cid:180)(cid:56)MÎR(cid:34)(cid:71)(cid:108)(cid:141)(cid:142)x ÎD(cid:34)(cid:208)(cid:228) f x = M +1(cid:34)
1 1
(cid:62)x =x (cid:34)(cid:166) f x  = M +1>M (cid:34)(cid:322)(cid:230)(cid:195)(cid:133)(cid:37) f(x)(cid:18)(cid:61)(cid:177)(cid:147)0,+¥(cid:34)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:83)(cid:291)(cid:292)(cid:248)
0 1 0
(cid:175)(cid:48)“ f(x)(cid:18)(cid:61)(cid:177)(cid:147)R”(cid:113)“(cid:179)(cid:180)(cid:56)MÎR(cid:34)(cid:141)(cid:142)x ÎD(cid:34)(cid:208)(cid:228) f x  >M ”(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125).
0 0
(cid:190)(cid:191)(cid:192)A.
5(cid:150)（2025·天津·高考真题）(cid:158)xÎR(cid:34)(cid:166)“x=0”(cid:113)“sin2x=0”(cid:18)(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) B(cid:150)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)
C(cid:150)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125) D(cid:150)(cid:371)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:336)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)A
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:94)(cid:95)(cid:309)(cid:310)(cid:113)(cid:145)(cid:280)(cid:45)(cid:376)(cid:241)(cid:224)(cid:34)(cid:227)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:21)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:174)(cid:228).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:227)x=0Þsin2x=sin0=0(cid:34)(cid:166)“x=0”(cid:113)“sin2x=0”(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:248)
(cid:229)(cid:306)x=π(cid:195)(cid:34)sin2x=sin2π=0(cid:34)(cid:174)(cid:58)sin2x=0Þ/ x=0(cid:34)
(cid:190)“x=0”(cid:83)(cid:113)“sin2x=0”(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:34)
(cid:328)(cid:24)(cid:174)(cid:58)(cid:34)“x=0”(cid:113)“sin2x=0”(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125).
(cid:190)(cid:191)(cid:192)A.
r r
6(cid:150)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:158)(cid:270)(cid:139)a=x+1,x,b =x,2(cid:34)(cid:166)(cid:10) (cid:11)
r r r r
A(cid:150)“x=-3”(cid:113)“a^b”(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) B(cid:150)“x=1+ 3”(cid:113)“a//b”(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)
r r r r
C(cid:150)“x=0”(cid:113)“a^b”(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125) D(cid:150)“x=-1+ 3”(cid:113)“a//b”(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)C
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:221)(cid:222)(cid:270)(cid:139)(cid:377)(cid:154)(cid:256)(cid:152)(cid:354)(cid:18)(cid:156)(cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:176)(cid:174)(cid:228)(cid:200)(cid:115)(cid:311)(cid:34)(cid:99)(cid:224)(cid:176)(cid:174).
r r r r
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:179)A(cid:34)(cid:306)a^b(cid:195)(cid:34)(cid:166)a×b=0(cid:34)
(cid:175)(cid:48)x×(x+1)+2x=0(cid:34)(cid:99)(cid:228)x=0(cid:102)-3(cid:34)(cid:176)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:83)(cid:291)(cid:292)(cid:34)(cid:190)A(cid:267)(cid:268)(cid:248)
r r r r
(cid:179)C(cid:34)(cid:306)x=0(cid:195)(cid:34)a=1,0,b=0,2(cid:34)(cid:190)a×b=0(cid:34)
r r
(cid:175)(cid:48)a^b(cid:34)(cid:176)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:291)(cid:292)(cid:34)(cid:190)C(cid:259)(cid:212)(cid:248)
r r
(cid:179)B(cid:34)(cid:306)a//b(cid:195)(cid:34)(cid:166)2(x+1)=x2(cid:34)(cid:99)(cid:228)x=1± 3(cid:34)(cid:176)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:83)(cid:291)(cid:292)(cid:34)(cid:190)B(cid:267)(cid:268)(cid:248)
r r
(cid:179)D(cid:34)(cid:306)x=-1+ 3(cid:195)(cid:34)(cid:83)(cid:251)(cid:252)2(x+1)=x2(cid:34)(cid:175)(cid:48)a//b(cid:83)(cid:291)(cid:292)(cid:34)(cid:176)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:83)(cid:292)(cid:34)(cid:190)D(cid:267)(cid:268).(cid:190)(cid:191)(cid:192)C.
7(cid:150)（2024·上海·高考真题）(cid:108)(cid:20)(cid:71)(cid:144)(cid:16)(cid:17)Ω(cid:34)(cid:16)(cid:17)(cid:157)(cid:18)(cid:81)(cid:225)(cid:113)(cid:57)(cid:40)(cid:378)(cid:18)(cid:4)(cid:16)(cid:34)(cid:180)(cid:62)P,P,P ÎΩ(cid:34)(cid:141)(cid:142)(cid:83)(cid:30)
1 2 3
uuur uuur uuur r
(cid:147)0(cid:18)(cid:346)(cid:37)l,l,l(cid:34)(cid:208)(cid:228)lOP +lOP +lOP =0(cid:150)(cid:151)(cid:58)(1,0,0)ÎΩ(cid:34)(cid:166)(0,0,1)ÏΩ(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:113)(cid:10) (cid:11)
1 2 3 1 1 2 2 3 3
A(cid:150)0,0,0ÎW B(cid:150)-1,0,0ÎW
C(cid:150)0,1,0ÎW D(cid:150)0,0,-1ÎW
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)C
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:363)(cid:172)(cid:5)(cid:171)(cid:224)(cid:379)(cid:144)(cid:270)(cid:139)(cid:326)(cid:153)(cid:34)(cid:244)(cid:245)(cid:306)1,0,0,0,0,1,0,1,0ÎΩ(cid:195)(cid:34)(cid:379)(cid:144)(cid:270)(cid:139)(cid:121)(cid:291)(cid:57)(cid:40)(cid:18)(cid:71)(cid:144)(cid:41)(cid:380)(cid:34)
(cid:166)(cid:176)(cid:174)(cid:5)(cid:171)(cid:224)(cid:259)(cid:212)(cid:168)(cid:169).
uuur uuur uuur
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:227)(cid:13)(cid:56)(cid:58)(cid:198)(cid:379)(cid:144)(cid:270)(cid:139)OP ,OP,OP (cid:326)(cid:153)(cid:34)(cid:176)(cid:198)(cid:379)(cid:144)(cid:270)(cid:139)(cid:83)(cid:280)(cid:121)(cid:291)(cid:57)(cid:40)(cid:18)(cid:71)(cid:144)(cid:41)(cid:380)(cid:34)
1 2 3
(cid:179)A(cid:34)(cid:227)(cid:57)(cid:40)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:68)(cid:43)(cid:343)(cid:58)0,0,0,(1,0,0),(0,0,1)(cid:379)(cid:144)(cid:270)(cid:139)(cid:326)(cid:153)(cid:34)(cid:166)(cid:306)0,0,0,1,0,0ÎΩ(cid:266)(cid:97)(cid:241)(cid:224)
(0,0,1)ÏΩ(cid:34)(cid:190)A(cid:267)(cid:268)(cid:248)
(cid:179)B(cid:34)(cid:227)(cid:57)(cid:40)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:68)(cid:43)(cid:343)(cid:58)-1,0,0,(1,0,0),(0,0,1)(cid:379)(cid:144)(cid:270)(cid:139)(cid:326)(cid:153)(cid:34)(cid:166)(cid:306)-1,0,0,1,0,0ÎΩ(cid:266)(cid:97)(cid:241)(cid:224)
(0,0,1)ÏΩ(cid:34)(cid:190)B(cid:267)(cid:268)(cid:248)
(cid:179)C(cid:34) (cid:227)(cid:57)(cid:40)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:68)(cid:43)(cid:343)(cid:58)1,0,0,0,0,1,0,1,0(cid:379)(cid:144)(cid:270)(cid:139)(cid:83)(cid:326)(cid:153)(cid:34)(cid:174)(cid:121)(cid:291)(cid:57)(cid:40)(cid:18)(cid:71)(cid:144)(cid:41)(cid:380)(cid:34)
(cid:166)(cid:227)1,0,0,0,1,0ÎΩ(cid:280)(cid:241)(cid:224)0,0,1ÏΩ(cid:34)
(cid:179)D(cid:34)(cid:227)(cid:57)(cid:40)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:68)(cid:43)(cid:343)(cid:58)1,0,0,0,0,1,0,0,-1(cid:379)(cid:144)(cid:270)(cid:139)(cid:326)(cid:153)(cid:34)
(cid:166)(cid:306)0,0,-1(1,0,0)ÎΩ(cid:266)(cid:97)(cid:241)(cid:224)(0,0,1)ÏΩ(cid:34)(cid:190)D(cid:267)(cid:268).
(cid:190)(cid:191)(cid:192)C(cid:150)
r r r r r r  r r r r
8(cid:150)（2024·北京·高考真题）(cid:158) a(cid:34)b(cid:113)(cid:270)(cid:139)(cid:34)(cid:166)“ a+b · a-b =0”(cid:113)“a=-b(cid:102)a =b”(cid:18)(cid:10) (cid:11)(cid:150)
A(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) B(cid:150)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)
C(cid:150)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125) D(cid:150)(cid:371)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:336)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)B
r r  r r  r r
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:221)(cid:222)(cid:270)(cid:139)(cid:37)(cid:139)(cid:165)(cid:5)(cid:171)(cid:174)(cid:58) a+b × a-b =0(cid:46)(cid:370)(cid:247) a = b (cid:34)(cid:87)(cid:17)(cid:123)(cid:5)(cid:27)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:5)(cid:171)(cid:309)(cid:310).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:226)(cid:147)  a r +b r  ×  a r -b r  =a r 2-b r 2 =0(cid:34)(cid:174)(cid:228)a r 2 =b r 2(cid:34)(cid:176) a r = b r (cid:34)r r  r r  r r
(cid:174)(cid:58) a+b × a-b =0(cid:46)(cid:370)(cid:247) a = b (cid:34)
r r r r r r r r  r r 
(cid:220)a =b(cid:102)a=-b(cid:34)(cid:174)(cid:228) a = b (cid:34)(cid:176) a+b × a-b =0(cid:34)(cid:174)(cid:58)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:291)(cid:292)(cid:248)
r r  r r  r r r r r r
(cid:220) a+b × a-b =0(cid:34)(cid:176) a = b (cid:34)(cid:266)(cid:97)(cid:228)(cid:224)a =b(cid:102)a=-b(cid:34)
r r r r r r r r
(cid:101)(cid:93)a=1,0,b =0,1(cid:34)(cid:251)(cid:252) a = b (cid:34)(cid:322)a¹b(cid:182)a¹-b(cid:34)(cid:174)(cid:58)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:83)(cid:291)(cid:292)(cid:248)
r r  r r  r r r r
(cid:328)(cid:24)(cid:175)(cid:338)(cid:34)“ a+b × a-b =0”(cid:113)“a=-b(cid:102)a =b”(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125).
(cid:190)(cid:191)(cid:192)B.
9(cid:150)（2024·天津·高考真题）(cid:151)(cid:58)a,bÎR(cid:34)(cid:166)“a3 =b3”(cid:113)“3a =3b”(cid:18)(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) B(cid:150)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)
C(cid:150)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125) D(cid:150)(cid:371)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:336)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)C
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:258)(cid:211)(cid:72)(cid:249)(cid:21)(cid:246)(cid:71)(cid:144)(cid:12)(cid:13)(cid:46)(cid:370)(cid:34)(cid:183)(cid:228)(cid:200)(cid:72)(cid:249)(cid:46)(cid:370)(cid:34)(cid:176)(cid:113)(cid:123)(cid:5)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:221)(cid:222)(cid:292)(cid:115)(cid:18)(cid:184)(cid:39)(cid:256)(cid:381)(cid:37)(cid:133)(cid:37)(cid:18)(cid:184)(cid:39)(cid:34)a3 =b3(cid:256)3a =3b(cid:253)(cid:306)(cid:182)(cid:382)(cid:306)a=b(cid:34)(cid:175)(cid:48)(cid:72)(cid:249)(cid:376)(cid:147)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125).
(cid:190)(cid:191)(cid:192)C.
10(cid:150)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:158)(cid:32)(cid:192)sin2a+sin2b=1(cid:34)(cid:74)(cid:192)sina+cosb=0(cid:34)(cid:166)(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:322)(cid:83)(cid:113)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) B(cid:150)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:322)(cid:83)(cid:113)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)
C(cid:150)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125) D(cid:150)(cid:32)(cid:371)(cid:83)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:336)(cid:83)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)B
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:221)(cid:222)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:27)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:18)(cid:283)(cid:284)(cid:49)(cid:246)(cid:155)(cid:379)(cid:155)(cid:133)(cid:37)(cid:18)(cid:41)(cid:38)(cid:42)(cid:43)(cid:228)(cid:99).
π
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:306)sin2a+sin2b=1(cid:195)(cid:34)(cid:101)(cid:93)a= ,b=0(cid:322)sina+cosb¹0(cid:34)
2
(cid:176)sin2a+sin2b=1(cid:241)(cid:83)(cid:224)sina+cosb=0(cid:248)
(cid:306)sina+cosb=0(cid:195)(cid:34)sin2a+sin2b=(-cosb)2+sin2b=1(cid:34)
(cid:176)sina+cosb=0(cid:280)(cid:241)(cid:224)sin2a+sin2b=1.
(cid:328)(cid:24)(cid:174)(cid:58)(cid:34)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125).
(cid:190)(cid:191)(cid:192)B
S
11(cid:150)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:383)S (cid:147)(cid:37)(cid:132)a (cid:18)(cid:112)n(cid:235)(cid:256)(cid:34)(cid:158)(cid:32)(cid:192)a (cid:147)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:248)(cid:74)(cid:192){ n}(cid:147)(cid:46)(cid:231)
n n n n(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:166)(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:322)(cid:83)(cid:113)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)
B(cid:150)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:322)(cid:83)(cid:113)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)
C(cid:150)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125)
D(cid:150)(cid:32)(cid:371)(cid:83)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:336)(cid:83)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)C
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:219)(cid:209)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:27)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:49)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:34)(cid:183)(cid:87)(cid:17)(cid:37)(cid:132)(cid:112)n(cid:235)(cid:256)(cid:21)(cid:303)n(cid:235)(cid:18)(cid:42)(cid:43)(cid:241)(cid:242)(cid:309)
(cid:310)(cid:146)(cid:168).(cid:34)
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:115)(cid:97)1(cid:34)(cid:32)(cid:192)a (cid:147)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:158)(cid:188)(cid:363)(cid:235)(cid:147)a (cid:34)(cid:232)(cid:231)(cid:147)d(cid:34)
n 1
n(n-1) S n-1 d d S S d
(cid:166)S =na + d, n =a + d = n+a - , n+1 - n = (cid:34)
n 1 2 n 1 2 2 1 2 n+1 n 2
S
(cid:226)(cid:230){ n}(cid:147)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:166)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:248)
n
S S S nS -(n+1)S na -S
(cid:262)(cid:318)(cid:34)(cid:74)(cid:192){ n}(cid:147)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:176) n+1 - n = n+1 n = n+1 n (cid:147)(cid:80)(cid:37)(cid:34)(cid:158)(cid:147)t(cid:34)
n n+1 n n(n+1) n(n+1)
na -S
(cid:176) n+1 n =t(cid:34)(cid:166)S =na -t×n(n+1)(cid:34)(cid:143)S =(n-1)a -t×n(n-1),n³2(cid:34)
n(n+1) n n+1 n-1 n
(cid:159)(cid:84)(cid:45)(cid:367)(cid:228)(cid:192)a =na -(n-1)a -2tn(cid:34)(cid:176)a -a =2t(cid:34)(cid:179)n=1(cid:336)(cid:291)(cid:292)(cid:34)
n n+1 n n+1 n
(cid:226)(cid:230)a (cid:147)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:166)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:34)
n
(cid:175)(cid:48)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:34)C(cid:259)(cid:212).
n(n-1)
(cid:115)(cid:97)2(cid:34)(cid:32)(cid:192)a (cid:147)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:158)(cid:37)(cid:132)a (cid:18)(cid:363)(cid:235)a (cid:34)(cid:232)(cid:231)(cid:147)d(cid:34)(cid:176)S =na + d(cid:34)
n n 1 n 1 2
S (n-1) d d S
(cid:166) n =a + d = n+a - (cid:34)(cid:226)(cid:230){ n}(cid:147)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:176)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:248)
n 1 2 2 1 2 n
S S S S
(cid:262)(cid:318)(cid:34)(cid:74)(cid:192){ n}(cid:147)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:176) n+1 - n =D, n =S +(n-1)D(cid:34)
n n+1 n n 1
(cid:176)S =nS +n(n-1)D(cid:34)S =(n-1)S +(n-1)(n-2)D(cid:34)
n 1 n-1 1
(cid:306)n³2(cid:195)(cid:34)(cid:24)(cid:159)(cid:84)(cid:45)(cid:367)(cid:228)(cid:192)S -S =S +2(n-1)D(cid:34)(cid:306)n=1(cid:195)(cid:34)(cid:24)(cid:84)(cid:291)(cid:292)(cid:34)
n n-1 1
(cid:247)(cid:113)a =a +2(n-1)D(cid:34)(cid:229)a -a =a +2nD-[a +2(n-1)D]=2D(cid:147)(cid:80)(cid:37)(cid:34)
n 1 n+1 n 1 1
(cid:226)(cid:230)a (cid:147)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:166)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:34)
n
(cid:175)(cid:48)(cid:32)(cid:113)(cid:74)(cid:18)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125).
(cid:190)(cid:191)(cid:192)Cy x
12(cid:150)（2023·北京·高考真题）(cid:220)xy¹0(cid:34)(cid:166)“x+y=0”(cid:113)“ + =-2”(cid:18)(cid:10) (cid:11)
x y
A(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) B(cid:150)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)
C(cid:150)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125) D(cid:150)(cid:371)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:336)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)C
x y
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:99)(cid:97)(cid:71)(cid:192)(cid:227) + =-2(cid:281)(cid:282)(cid:228)(cid:200)x+y=0(cid:176)(cid:174)(cid:309)(cid:310)(cid:248)(cid:99)(cid:97)(cid:72)(cid:192)(cid:107)(cid:211)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:174)(cid:227)x+y=0(cid:228)(cid:200)x=-y(cid:34)
y x
x y x y
(cid:289)(cid:290) + (cid:281)(cid:282)(cid:176)(cid:174)(cid:34)(cid:107)(cid:211)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:174)(cid:227) + =-2(cid:384)(cid:5)(cid:385)(cid:34)(cid:183)(cid:209)(cid:386)(cid:30)(cid:152)(cid:115)(cid:232)(cid:84)(cid:176)(cid:174)(cid:248)(cid:99)(cid:97)(cid:379)(cid:192)(cid:107)(cid:211)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:174)
y x y x
x y x y
(cid:227) + (cid:94)(cid:5)(cid:276)(cid:209)(cid:387)(cid:388)(cid:97)(cid:228)(cid:200)(cid:386)(cid:30)(cid:152)(cid:115)(cid:232)(cid:84)(cid:34)(cid:183)(cid:216)x+y=0(cid:289)(cid:290)(cid:176)(cid:174)(cid:34)(cid:107)(cid:211)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:174)(cid:227) + (cid:94)(cid:5)(cid:276)(cid:209)(cid:387)(cid:388)
y x y x
(cid:97)(cid:228)(cid:200)(cid:386)(cid:30)(cid:152)(cid:115)(cid:232)(cid:84)(cid:34)(cid:183)(cid:216)x+y=0(cid:289)(cid:290)(cid:34)(cid:99)(cid:115)(cid:311)(cid:176)(cid:174).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:99)(cid:97)(cid:71)(cid:192)
x y
(cid:226)(cid:147)xy¹0(cid:34)(cid:182) + =-2(cid:34)
y x
(cid:175)(cid:48)x2+y2 =-2xy(cid:34)(cid:176)x2+y2+2xy=0(cid:34)(cid:176)x+ y2 =0(cid:34)(cid:175)(cid:48)x+y=0.
x y
(cid:175)(cid:48)“x+y=0”(cid:113)“ + =-2”(cid:18)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125).
y x
(cid:99)(cid:97)(cid:72)(cid:192)
(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:192)(cid:226)(cid:147)xy¹0(cid:34)(cid:182)x+y=0(cid:34)(cid:175)(cid:48)x=-y(cid:34)
x y -y y
(cid:175)(cid:48) + = + =-1-1=-2(cid:34)
y x y -y
(cid:175)(cid:48)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:291)(cid:292)(cid:248)
x y
(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:192)(cid:226)(cid:147)xy¹0(cid:34)(cid:182) + =-2(cid:34)
y x
(cid:175)(cid:48)x2+y2 =-2xy(cid:34)(cid:176)x2+y2+2xy=0(cid:34)(cid:176)x+ y2 =0(cid:34)(cid:175)(cid:48)x+y=0.
(cid:175)(cid:48)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:291)(cid:292).
x y
(cid:175)(cid:48)“x+y=0”(cid:113)“ + =-2”(cid:18)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125).
y x
(cid:99)(cid:97)(cid:379)(cid:192)
(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:192)(cid:226)(cid:147)xy¹0(cid:34)(cid:182)x+y=0(cid:34)
x y x2+y2 x2+y2+2xy-2xy x+y2-2xy -2xy
(cid:175)(cid:48) + = = = = =-2(cid:34)
y x xy xy xy xy
(cid:175)(cid:48)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:291)(cid:292)(cid:248)
x y
(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:192)(cid:226)(cid:147)xy¹0(cid:34)(cid:182) + =-2(cid:34)
y xx y x2+y2 x2+y2+2xy-2xy x+y2-2xy x+y2
(cid:175)(cid:48) + = = = = -2=-2(cid:34)
y x xy xy xy xy
(cid:175)(cid:48)
x+y2
=0(cid:34)(cid:175)(cid:48)x+ y2 =0(cid:34)(cid:175)(cid:48)x+y=0(cid:34)
xy
(cid:175)(cid:48)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:291)(cid:292).
x y
(cid:175)(cid:48)“x+y=0”(cid:113)“ + =-2”(cid:18)(cid:123)(cid:127)(cid:124)(cid:125).
y x
(cid:190)(cid:191)(cid:192)C
13(cid:150)（2023·天津·高考真题）(cid:151)(cid:58)a,bÎR(cid:34)“a2 =b2”(cid:113)“a2+b2 =2ab”(cid:18)(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) B(cid:150)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)
C(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) D(cid:150)(cid:371)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:229)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)B
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:221)(cid:222)(cid:123)(cid:5)(cid:27)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:108)(cid:20)(cid:309)(cid:310)(cid:124)(cid:125)(cid:18)(cid:241)(cid:224)(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:176)(cid:174)(cid:228)(cid:168)(cid:169).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:227)a2 =b2(cid:34)(cid:166)a=±b(cid:34)(cid:306)a=-b¹0(cid:195)a2+b2 =2ab(cid:83)(cid:291)(cid:292)(cid:34)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:83)(cid:291)(cid:292)(cid:248)
(cid:227)a2+b2 =2ab(cid:34)(cid:166)(a-b)2 =0(cid:34)(cid:176)a=b(cid:34)(cid:244)(cid:245)a2 =b2(cid:291)(cid:292)(cid:34)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:291)(cid:292)(cid:248)
(cid:175)(cid:48)a2 =b2(cid:113)a2+b2 =2ab(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125).
(cid:190)(cid:191)(cid:192)B
14(cid:150)（2022·浙江·高考真题）(cid:158)xÎR(cid:34)(cid:166)“sinx=1”(cid:113)“cosx=0”(cid:18)(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) B(cid:150)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125) C(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) D(cid:150)(cid:371)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:336)(cid:83)(cid:126)
(cid:127)(cid:124)(cid:125)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)A
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:227)(cid:379)(cid:155)(cid:133)(cid:37)(cid:18)(cid:184)(cid:39)(cid:87)(cid:17)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:27)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:18)(cid:108)(cid:20)(cid:176)(cid:174)(cid:228)(cid:99).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:226)(cid:147)sin2x+cos2x=1(cid:174)(cid:228)(cid:192)
(cid:306)sinx=1(cid:195)(cid:34)cosx=0(cid:34)(cid:123)(cid:5)(cid:184)(cid:291)(cid:292)(cid:248)
(cid:306)cosx=0(cid:195)(cid:34)sinx=±1(cid:34)(cid:126)(cid:127)(cid:184)(cid:83)(cid:291)(cid:292)(cid:248)
(cid:175)(cid:48)(cid:306)xÎR(cid:34)sinx=1(cid:113)cosx=0(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125).
(cid:190)(cid:191)(cid:192)A.
15(cid:150)（2022·北京·高考真题）(cid:158)a (cid:113)(cid:232)(cid:231)(cid:83)(cid:147)0(cid:18)(cid:266)(cid:272)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:166)“a (cid:147)(cid:358)(cid:359)(cid:37)(cid:132)”(cid:113)“(cid:141)(cid:142)(cid:259)(cid:277)(cid:37)
n n
N (cid:34)(cid:306)n>N (cid:195)(cid:34)a >0”(cid:18)(cid:10) (cid:11)
0 0 n
A(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:137)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) B(cid:150)(cid:126)(cid:127)(cid:137)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)
C(cid:150)(cid:123)(cid:5)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125) D(cid:150)(cid:371)(cid:83)(cid:123)(cid:5)(cid:336)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)C
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:158)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)a (cid:18)(cid:232)(cid:231)(cid:147)d(cid:34)(cid:166)d ¹0(cid:34)(cid:219)(cid:209)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)(cid:18)(cid:94)(cid:235)(cid:232)(cid:84)(cid:87)(cid:17)(cid:123)(cid:5)(cid:124)(cid:125)(cid:27)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125)(cid:18)(cid:108)(cid:20)
n
(cid:309)(cid:310)(cid:174)(cid:228)(cid:224)(cid:87)(cid:218).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:158)(cid:46)(cid:231)(cid:37)(cid:132)a (cid:18)(cid:232)(cid:231)(cid:147)d(cid:34)(cid:166)d ¹0(cid:34)(cid:383)x(cid:147)(cid:83)(cid:366)(cid:95)x(cid:18)(cid:162)(cid:163)(cid:277)(cid:37).
n
(cid:220)a (cid:147)(cid:357)(cid:89)(cid:358)(cid:359)(cid:37)(cid:132)(cid:34)(cid:166)d >0(cid:34)
n
(cid:220)a ³0(cid:34)(cid:166)(cid:306)n³2(cid:195)(cid:34)a >a ³0(cid:248)(cid:220)a <0(cid:34)(cid:166)a =a +n-1d(cid:34)
1 n 1 1 n 1
a é a ù
(cid:227)a =a +n-1d >0(cid:174)(cid:228)n>1- 1 (cid:34)(cid:62)N = 1- 1 +1(cid:34)(cid:166)(cid:306)n>N (cid:195)(cid:34)a >0(cid:34)
n 1 d 0 ê ë d ú û 0 n
(cid:175)(cid:48)(cid:34)“a (cid:113)(cid:358)(cid:359)(cid:37)(cid:132)”Þ“(cid:141)(cid:142)(cid:259)(cid:277)(cid:37)N (cid:34)(cid:306)n>N (cid:195)(cid:34)a >0”(cid:248)
n 0 0 n
(cid:220)(cid:141)(cid:142)(cid:259)(cid:277)(cid:37)N (cid:34)(cid:306)n>N (cid:195)(cid:34)a >0(cid:34)(cid:62)kÎN*(cid:182)k > N (cid:34)a >0(cid:34)
0 0 n 0 k
a a
(cid:264)(cid:158)d <0(cid:34)(cid:360)a =a +n-kd <0(cid:174)(cid:228)n>k- k (cid:34)(cid:182)k- k >k(cid:34)
n k d d
é a ù
(cid:306)n> k- k +1(cid:195)(cid:34)a <0(cid:34)(cid:21)(cid:13)(cid:158)(cid:313)(cid:314)(cid:34)(cid:264)(cid:158)(cid:83)(cid:291)(cid:292)(cid:34)(cid:166)d >0(cid:34)(cid:176)(cid:37)(cid:132)a (cid:113)(cid:358)(cid:359)(cid:37)(cid:132).
ê ë d ú û n n
(cid:175)(cid:48)(cid:34)“a (cid:113)(cid:358)(cid:359)(cid:37)(cid:132)”Ü“(cid:141)(cid:142)(cid:259)(cid:277)(cid:37)N (cid:34)(cid:306)n>N (cid:195)(cid:34)a >0”.
n 0 0 n
(cid:175)(cid:48)(cid:34)“a (cid:113)(cid:358)(cid:359)(cid:37)(cid:132)”(cid:113)“(cid:141)(cid:142)(cid:259)(cid:277)(cid:37)N (cid:34)(cid:306)n>N (cid:195)(cid:34)a >0”(cid:18)(cid:123)(cid:5)(cid:126)(cid:127)(cid:124)(cid:125).
n 0 0 n
(cid:190)(cid:191)(cid:192)C.
考点 06 全称量词与存在量词
1(cid:150)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:151)(cid:58)(cid:12)(cid:13)p(cid:192)"xÎR(cid:34)|x+1|>1(cid:248)(cid:12)(cid:13)q(cid:192)$x>0(cid:34)x3 =x(cid:34)(cid:166)(cid:10) (cid:11)
A(cid:150)p(cid:256)q(cid:253)(cid:113)(cid:389)(cid:12)(cid:13) B(cid:150)Øp(cid:256)q(cid:253)(cid:113)(cid:389)(cid:12)(cid:13)
C(cid:150)p(cid:256)Øq(cid:253)(cid:113)(cid:389)(cid:12)(cid:13) D(cid:150)Øp(cid:256)Øq(cid:253)(cid:113)(cid:389)(cid:12)(cid:13)
(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)B
(cid:167)(cid:5)(cid:171)(cid:170)(cid:179)(cid:247)(cid:159)(cid:144)(cid:12)(cid:13)(cid:137)(cid:390)(cid:34)(cid:174)(cid:5)(cid:36)(cid:62)x=-1(cid:27)x=1(cid:34)(cid:183)(cid:87)(cid:17)(cid:12)(cid:13)(cid:49)(cid:188)(cid:145)(cid:108)(cid:18)(cid:389)(cid:264)(cid:184)(cid:45)(cid:262)(cid:176)(cid:174)(cid:228)(cid:99).
(cid:167)(cid:178)(cid:99)(cid:170)(cid:179)(cid:247)p(cid:137)(cid:390)(cid:34)(cid:62)x=-1(cid:34)(cid:166)(cid:143) x+1 =0<1(cid:34)(cid:190)p(cid:113)(cid:264)(cid:12)(cid:13)(cid:34)Øp(cid:113)(cid:389)(cid:12)(cid:13)(cid:34)
(cid:179)(cid:247)q(cid:137)(cid:390)(cid:34)(cid:62)x=1(cid:34)(cid:166)(cid:143)x3 =13 =1=x(cid:34)(cid:190)q(cid:113)(cid:389)(cid:12)(cid:13)(cid:34)Øq(cid:113)(cid:264)(cid:12)(cid:13)(cid:34)
(cid:328)(cid:24)(cid:34)Øp(cid:256)q(cid:253)(cid:113)(cid:389)(cid:12)(cid:13).
(cid:190)(cid:191)(cid:192)B.