专题02不等式与不等关系(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

02
专题 不等式与不等关系
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
(cid:28)(cid:3)(cid:29)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:20)(cid:21)(cid:19)(cid:3)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)
2026(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)2026(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) (cid:12)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)
2024(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)
(cid:20)(cid:21) (cid:6)(cid:13)(cid:47)(cid:38)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:53)(cid:54)
2022(cid:26)(cid:27)(cid:24)
(cid:55)(cid:56)(cid:13)(cid:19)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)
2026(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)
2025(cid:8)(cid:65)(cid:66)(cid:63)(cid:24)(cid:25)2025(cid:67)(cid:68)(cid:24)(cid:25)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:25)(cid:5)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:70)(cid:71)
2025(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)
(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:25)(cid:5)(cid:18)(cid:16)(cid:17) (cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:25)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:25)(cid:81)(cid:77)(cid:82)(cid:32)
2024(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)
(cid:18) (cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:17)(cid:86)(cid:73)(cid:3)(cid:30)
2023(cid:8)(cid:69)(cid:28)(cid:3)(cid:24)Ⅰ(cid:25)
2022(cid:26)(cid:27)(cid:24)
2026(cid:67)(cid:68)(cid:24)(cid:25)2026(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)
2025(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)2025(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17) (cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:48)(cid:82)(cid:89)(cid:90)(cid:19)(cid:70)(cid:91)(cid:59)(cid:60)(cid:38)
2024(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)2024(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)
(cid:18) (cid:92)(cid:93)(cid:16)(cid:78)
2023(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)
2022(cid:8)(cid:69)(cid:28)(cid:3)(cid:24)Ⅱ
(cid:3)(cid:4)04 (cid:94)(cid:20)(cid:14)(cid:95) 2024(cid:8)(cid:65)(cid:66)(cid:105)(cid:24)
(cid:69)(cid:28)(cid:3)(cid:96)(cid:97)(cid:109)(cid:99)(cid:38)(cid:39)(cid:48)(cid:110)(cid:111)(cid:94)(cid:71)(cid:112)
(cid:10)(cid:69)(cid:28)(cid:3)(cid:96)(cid:97)(cid:98) 2023(cid:8)(cid:65)(cid:66)(cid:105)(cid:24)(cid:25)2023(cid:8)(cid:65)(cid:66)(cid:106)
(cid:19)(cid:113)(cid:114)(cid:41)(cid:115)(cid:82)(cid:89)(cid:90)(cid:116)(cid:13)(cid:117)(cid:38)(cid:118)(cid:19)(cid:100)
(cid:99)(cid:38)(cid:100)(cid:101)(cid:60)(cid:102)(cid:103)(cid:3) (cid:24)
(cid:101)(cid:102)(cid:119)(cid:120)(cid:121)
(cid:104)(cid:79)(cid:11) 2022(cid:8)(cid:65)(cid:66)(cid:106)(cid:24)(cid:25)2022(cid:107)(cid:108)(cid:24)
考点 01 不等式的性质
1(cid:122)（2026·北京·高考真题）(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:28)(cid:61)(cid:25)(cid:28)(cid:63)(cid:123)(cid:127)(cid:103)(cid:128)(cid:105)(cid:25)(cid:106)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:38)(cid:134)(cid:113)(cid:123)(cid:127)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:61)(cid:140)(cid:141)
(cid:142)(cid:122)(cid:96)(cid:42)(cid:28)(cid:61)(cid:123)(cid:127)(cid:143)(cid:144)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:28)(cid:63)(cid:123)(cid:127)(cid:143)(cid:144)(cid:77)(cid:38)(cid:141)(cid:142)(cid:105)(cid:130)(cid:19)(cid:65)(cid:120)(cid:123)(cid:127)(cid:143)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:141)(cid:142)(cid:106)(cid:130)(cid:19)(cid:65)(cid:120)(cid:123)(cid:127)(cid:143)(cid:77)(cid:38)
(cid:147)(cid:10) (cid:11)
A(cid:122)(cid:148)(cid:105)(cid:130)(cid:19)(cid:28)(cid:61)(cid:123)(cid:127)(cid:144)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:148)(cid:106)(cid:130)(cid:19)(cid:28)(cid:61)(cid:123)(cid:127)(cid:144)(cid:77)B(cid:122)(cid:148)(cid:105)(cid:130)(cid:19)(cid:28)(cid:61)(cid:123)(cid:127)(cid:144)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:148)(cid:106)(cid:130)(cid:19)(cid:28)(cid:63)(cid:123)(cid:127)(cid:144)(cid:77)
C(cid:122)(cid:148)(cid:105)(cid:130)(cid:19)(cid:28)(cid:61)(cid:123)(cid:127)(cid:144)(cid:77)(cid:16)(cid:145)(cid:146)(cid:148)(cid:106)(cid:130)(cid:19)(cid:28)(cid:63)(cid:123)(cid:127)(cid:144)(cid:77)
D(cid:122)(cid:148)(cid:106)(cid:130)(cid:19)(cid:28)(cid:63)(cid:123)(cid:127)(cid:144)(cid:77)(cid:16)(cid:149)(cid:146)(cid:148)(cid:105)(cid:130)(cid:19)(cid:28)(cid:63)(cid:123)(cid:127)(cid:144)(cid:77)
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)B
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:155)(cid:156)(cid:28)(cid:61)(cid:25)(cid:28)(cid:63)(cid:148)(cid:105)(cid:25)(cid:106)(cid:130)(cid:19)(cid:144)(cid:77)(cid:38)(cid:157)(cid:158)(cid:13)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:16)(cid:17)(cid:41)(cid:115)(cid:38)(cid:164)(cid:135)(cid:165)(cid:156)(cid:166)(cid:167).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:169)(cid:13)(cid:104)(cid:38)(cid:155)(cid:28)(cid:61)(cid:123)(cid:127)(cid:148)(cid:105)(cid:130)(cid:19)(cid:144)(cid:77)(cid:170)A(cid:38)(cid:148)(cid:106)(cid:130)(cid:19)(cid:144)(cid:77)(cid:170)B(cid:38)
(cid:28)(cid:63)(cid:123)(cid:127)(cid:148)(cid:105)(cid:130)(cid:19)(cid:144)(cid:77)(cid:170)C(cid:38)(cid:148)(cid:106)(cid:130)(cid:19)(cid:144)(cid:77)(cid:170)D(cid:38)
(cid:28)(cid:61)(cid:143)(cid:144)(cid:77)(cid:171)A+B(cid:38)(cid:28)(cid:63)(cid:143)(cid:144)(cid:77)C+D(cid:38)(cid:141)(cid:142)(cid:105)(cid:130)(cid:19)(cid:123)(cid:127)(cid:144)(cid:77)(cid:171)A+C(cid:38)(cid:141)(cid:142)(cid:106)(cid:130)(cid:19)(cid:123)(cid:127)(cid:144)(cid:77)(cid:171)B+D(cid:38)
∴(cid:28)(cid:61)(cid:143)(cid:144)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:28)(cid:63)(cid:143)(cid:144)(cid:77)(cid:38)(cid:141)(cid:142)(cid:105)(cid:130)(cid:19)(cid:65)(cid:120)(cid:123)(cid:127)(cid:143)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:141)(cid:142)(cid:106)(cid:130)(cid:19)(cid:65)(cid:120)(cid:123)(cid:127)(cid:143)(cid:77)(cid:38)
∵ ìA+B>C+D
í (cid:38)(cid:169)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:38)(cid:129)(cid:172)(cid:5)(cid:173)(cid:40)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:165)A>D(cid:38)
îA+C >B+D
∴
(cid:28)(cid:61)(cid:123)(cid:127)(cid:148)(cid:105)(cid:130)(cid:19)(cid:144)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:28)(cid:63)(cid:123)(cid:127)(cid:148)(cid:106)(cid:130)(cid:19)(cid:144)(cid:77)(cid:38)(cid:178)B(cid:179)(cid:180)(cid:38)A(cid:38)C(cid:38)D(cid:181)(cid:182)(cid:183).
∴2(cid:122)（2026·上海·高考真题）(cid:96)(cid:42)x> y>1(cid:38)(cid:147)(cid:184)(cid:185)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:186)(cid:187)(cid:163)(cid:19)(cid:48)(cid:10) (cid:11)
A(cid:122)x> y2 B(cid:122)xy>x+y C(cid:122)x2 > y D(cid:122)x+y>xy
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)C
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:164)(cid:135)(cid:82)(cid:56)ABD(cid:38)(cid:157)(cid:158)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:191)(cid:192)(cid:20)(cid:164)(cid:135)(cid:82)(cid:56)C.
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:29)(cid:146)A,(cid:193)x=3,y=2(cid:38)(cid:147)x=3,y2 =4,(cid:178)x< y2(cid:38)(cid:119)(cid:194)A(cid:182)(cid:183)(cid:38)
(cid:29)(cid:146)B(cid:38)(cid:193)x=1.5,y=1.2,(cid:147)xy=1.8,x+y=2.7(cid:38)(cid:195)(cid:196)xy<x+y(cid:38)(cid:178)B(cid:182)(cid:183)(cid:38)
(cid:29)(cid:146)C(cid:38)(cid:169)(cid:146)x> y>1(cid:38)(cid:178)x2 >x(cid:38)(cid:197)(cid:195)x2 > y(cid:38)C(cid:179)(cid:180)(cid:38)
(cid:29)(cid:146)D,(cid:193)x=3,y=2(cid:38)(cid:147)x+y=5,xy=6(cid:38)(cid:195)(cid:196)x+y<xy(cid:38)(cid:178)D(cid:182)(cid:183)(cid:38)
(cid:178)(cid:138)(cid:171)C
3(cid:122)（2024·上海·高考真题）a(cid:38)b(cid:38)cÎR(cid:38)b>c(cid:38)(cid:184)(cid:185)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:186)(cid:187)(cid:163)(cid:19)(cid:48)(cid:10) (cid:11)
A(cid:122)a+b2 >a+c2 B(cid:122)a2+b>a2+c C(cid:122)ab2 >ac2 D(cid:122)a2b>a2c
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)B
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)ACD(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:198)B(cid:138)(cid:199)(cid:169)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:135)(cid:174)(cid:20)(cid:135)(cid:200)(cid:201).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:29)(cid:146)A(cid:38)(cid:202)b < c (cid:38)(cid:147)b2 <c2(cid:38)(cid:138)(cid:199)(cid:16)(cid:187)(cid:163)(cid:38)(cid:178)A(cid:182)(cid:183)(cid:198)
(cid:29)(cid:146)B(cid:38)(cid:169)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:135)(cid:174)(cid:20)(cid:135)(cid:42)(cid:38)a2+b>a2+c(cid:38)(cid:178)B(cid:179)(cid:180)(cid:198)
(cid:29)(cid:146)C(cid:25)D(cid:38)(cid:202)a=0(cid:38)(cid:147)(cid:138)(cid:199)(cid:16)(cid:187)(cid:163)(cid:38)(cid:178)C(cid:25)D(cid:182)(cid:183)(cid:122)(cid:178)(cid:138)(cid:171)B(cid:122)
4(cid:122)（2022·上海·高考真题）(cid:202)(cid:203)(cid:77)a(cid:25)b(cid:204)(cid:205)a>b>0(cid:38)(cid:184)(cid:185)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:117)(cid:186)(cid:187)(cid:163)(cid:19)(cid:48)(cid:10) (cid:11)
a a
A(cid:122)a+b>2 ab B(cid:122)a+b<2 ab C(cid:122) +2b>2 ab D(cid:122) +2b<2 ab
2 2
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)A
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:206)(cid:91)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:135)(cid:200)(cid:201)(cid:46)(cid:138)(cid:199)(cid:117)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:179)(cid:183).
 2
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:197)(cid:170)a>b>0(cid:38)(cid:147)a+b-2 ab = a- b >0(cid:38)(cid:178)a+b>2 ab(cid:38)A(cid:29)B(cid:182)(cid:198)
2
a a a æ a ö a
+2b-2 ab = +2b-2 ×2b =ç - 2b÷ ³0(cid:38)(cid:164) +2b³2 ab(cid:38)
2 2 2 ç 2 ÷ 2
è ø
a
(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210) =2b(cid:196)(cid:38)(cid:164)(cid:210)a=4b(cid:196)(cid:38)(cid:17)(cid:213)(cid:187)(cid:163)(cid:38)CD(cid:214)(cid:182).
2
(cid:178)(cid:138)(cid:171)A.
5(cid:122)（2022·上海·高考真题）(cid:96)(cid:42)a>b>c>d (cid:38)(cid:184)(cid:185)(cid:138)(cid:199)(cid:117)(cid:179)(cid:180)(cid:19)(cid:48)(cid:10) (cid:11)
A(cid:122)a+d >b+c B(cid:122)a+c>b+d
C(cid:122)ad >bc D(cid:122)ac>bd
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)B
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:91)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:165)(cid:56).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)Q3>2>1>0(cid:38)(cid:39)3+0=2+1(cid:38)3´0<2´1(cid:38)A(cid:25)C(cid:182)
Qa>b>c>d(cid:38)\a>c,b>d (cid:38)(cid:119)(cid:194)a+c>b+d.B(cid:179)(cid:180).
Q30>2>-1>-2(cid:38)(cid:39)30´-1<2´-2(cid:38)D(cid:182).
(cid:178)(cid:138):B.
6(cid:122)（2022·上海·高考真题）x-y£0(cid:38)x+y-1³0(cid:38)(cid:147)z=x+2y(cid:19)(cid:89)(cid:215)(cid:90)(cid:48)___________.
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)3
/1.5
2
3 1
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:5)(cid:154)(cid:135)(cid:165)x+2y= x+y- x-y(cid:38)(cid:206)(cid:91)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:135)(cid:82)(cid:165)z=x+2y(cid:19)(cid:89)(cid:215)(cid:90).
2 2
ì 3
m=
ìm+n=1 ï ï 2
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:155)x+2y=mx+y+nx-y=m+nx+m-ny(cid:38)(cid:147)í (cid:38)(cid:56)(cid:165)í (cid:38)
îm-n=2
ïn=-
1
ïî 2
3 1 3
(cid:119)(cid:194)(cid:38)z=x+2y= x+y- x-y³ (cid:38)
2 2 2
3
(cid:197)(cid:195)(cid:38)z=x+2y(cid:19)(cid:89)(cid:215)(cid:90)(cid:48) .
23
(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171) .
2
考点 02 一元二次不等式、分式不等式
x-4
1(cid:122)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:16)(cid:17)(cid:18) ³2(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:48)(cid:10) (cid:11)
x-1
A(cid:122){x(cid:216)-2£x£1} B(cid:122){x(cid:216)x£-2}
C(cid:122){x(cid:216)-2£x<1} D(cid:122){x(cid:216)x>1}
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)C
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:217)(cid:199)(cid:218)(cid:219)(cid:176)(cid:170)(cid:82)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:56)(cid:164)(cid:135).
x-4 x+2
ìx+2x-1£0
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153) ³2(cid:164)(cid:170) £0(cid:164)í (cid:38)(cid:178)−2≤x<1(cid:38)
x-1 x-1 îx-1¹0
(cid:178)(cid:56)(cid:72)(cid:170){x(cid:216)-2£x<1}.
(cid:178)(cid:138)(cid:171)C.
2(cid:122)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:96)(cid:42)(cid:72)(cid:73)M =-2,-1,0,1,2(cid:38)N =  x x2-x-6³0  (cid:38)(cid:147)M IN =(cid:10) (cid:11)
A(cid:122)-2,-1,0,1 B(cid:122)0,1,2 C(cid:122)-2 D(cid:122)2
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)C
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:220)(cid:209)(cid:61)(cid:171)(cid:169)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:56)(cid:209)(cid:82)(cid:156)(cid:72)(cid:73)N (cid:38)(cid:164)(cid:135)(cid:157)(cid:158)(cid:221)(cid:72)(cid:19)(cid:74)(cid:75)(cid:56)(cid:156)(cid:122)
(cid:220)(cid:209)(cid:63)(cid:171)(cid:222)(cid:72)(cid:73)M (cid:117)(cid:19)(cid:62)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:228)(cid:53)(cid:38)(cid:164)(cid:135)(cid:56)(cid:156)(cid:122)
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:220)(cid:209)(cid:61)(cid:171)(cid:197)(cid:170)N =  x x2-x-6³0  =-¥,-2È3,+¥(cid:38)(cid:229)M =-2,-1,0,1,2(cid:38)
(cid:119)(cid:194)M IN =-2(cid:122)
(cid:178)(cid:138)(cid:171)C(cid:122)
(cid:220)(cid:209)(cid:63)(cid:171)(cid:197)(cid:170)M =-2,-1,0,1,2(cid:38)(cid:222)-2,-1,0,1,2(cid:226)(cid:227)(cid:16)(cid:17)(cid:18)x2-x-6³0(cid:38)(cid:230)(cid:102)-2(cid:231)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:187)(cid:163)(cid:38)(cid:119)(cid:194)
M IN =-2(cid:122)
(cid:178)(cid:138)(cid:171)C(cid:122)
x+2
3(cid:122)（2026·上海·高考真题）(cid:41)(cid:146)x(cid:19)(cid:16)(cid:17)(cid:18) <0(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:170)____________.
x-3
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(-2,3)
x+2
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:169) <0(cid:135)(cid:165):(x+2)(x-3)<0(cid:38)(cid:56)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:135)(cid:165)(cid:232)(cid:56)(cid:72).
x-3x+2
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:169) <0(cid:135)(cid:165):(x+2)(x-3)<0(cid:38)
x-3
(cid:56)(cid:165):-2<x<3(cid:38)
x+2
(cid:119)(cid:194)(cid:16)(cid:17)(cid:18) <0(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:170)(-2,3).
x-3
(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)(-2,3).
4(cid:122)（2025·天津·高考真题）(cid:202)a,bÎR(cid:38)(cid:29)"xÎ[-2,2](cid:38)(cid:181)(cid:102)(2a+b)x2+bx-a-1£0(cid:186)(cid:187)(cid:163)(cid:38)(cid:147)2a+b(cid:19)(cid:89)
(cid:215)(cid:90)(cid:170)_______
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)-4
1
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:233)(cid:155)t=2a+b(cid:38)(cid:157)(cid:158)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:52)(cid:18)(cid:38)(cid:170)(cid:234)(cid:235)a(cid:135)(cid:194)(cid:193)x=- (cid:38)(cid:165)(cid:236)t³-4(cid:38)(cid:228)(cid:53)t=−4(cid:196)(cid:38)a,b(cid:48)(cid:237)
2
(cid:135)(cid:194)(cid:193)(cid:236)(cid:38)(cid:49)(cid:229)(cid:200)(cid:201)(cid:238)(cid:89)(cid:215)(cid:90)(cid:48)(cid:237)(cid:135)(cid:193)(cid:164)(cid:135)(cid:165)(cid:236)(cid:151)(cid:152).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:155)t=2a+b(cid:38)(cid:239)(cid:13)(cid:219)(cid:176)(cid:170)(cid:82)t(cid:19)(cid:89)(cid:215)(cid:90)(cid:38)
(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:135)(cid:176)(cid:170)(cid:29)(cid:240)(cid:104)(cid:19)-2£x£2(cid:38)tx2+t-2ax-a-1£0(cid:38)
1 1 1
(cid:16)(cid:241)(cid:226)(cid:227)x=- (cid:38)(cid:165) t- t-2a-a-1£0(cid:38)(cid:165)t³-4(cid:38)
2 4 2
(cid:210)t=−4(cid:196)(cid:38)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:135)(cid:176)(cid:170)-4x2+-4-2ax-a-1£0(cid:38)
2
é æ1 öù 1
(cid:164)-
ê
2x+ç a+1÷ú + a2 £0(cid:38)
ë è2 øû 4
1
(cid:128)(cid:242)(cid:135)(cid:42)(cid:38)(cid:210)a=0(cid:196)(cid:38)-2x+12 £0(cid:29)-2£x£2(cid:61)(cid:78)(cid:187)(cid:163)(cid:38)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)x=- (cid:193)(cid:17)(cid:213)(cid:38)
2
(cid:195)(cid:196)(cid:38)a=0,b=-4(cid:38)(cid:243)(cid:54)t=−4(cid:196)(cid:38)a,b(cid:181)(cid:135)(cid:193)(cid:236)(cid:38)(cid:204)(cid:205)(cid:13)(cid:104)(cid:38)
(cid:178)t=2a+b(cid:19)(cid:89)(cid:215)(cid:90)(cid:170)-4.
(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)-4
x-1
5(cid:122)（2025·上海·高考真题）(cid:16)(cid:17)(cid:18) <0(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:170)_________(cid:122)
x-3
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)1,3
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:219)(cid:176)(cid:170)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)x-1x-3<0(cid:38)(cid:56)(cid:156)(cid:164)(cid:135).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:219)(cid:176)(cid:170)x-1x-3<0(cid:38)(cid:56)(cid:165)1<x<3(cid:38)
(cid:147)(cid:232)(cid:56)(cid:72)(cid:170)1,3.
(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)1,3.x
6(cid:122)（2025·上海·高考真题）(cid:16)(cid:17)(cid:18) <0(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:170)_____(cid:122)
x-1
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(0,1)
x
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:222)(cid:16)(cid:17)(cid:18) <0(cid:176)(cid:170)xx-1<0(cid:38)(cid:164)(cid:135)(cid:165)(cid:151)(cid:152).
x-1
x
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:169)(cid:13)(cid:104)(cid:165)(cid:16)(cid:17)(cid:18) <0(cid:164)xx-1<0,\xÎ0,1(cid:38)
x-1
x
(cid:164)(cid:16)(cid:17)(cid:18) <0(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:170)(0,1)(cid:38)
x-1
(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)(0,1)
ìf(x),x³0
7(cid:122)（2024·上海·高考真题）(cid:96)(cid:42) f(x)=x2,g(x)=í (cid:38)(cid:82)g(x)£2-x(cid:19)x(cid:19)(cid:193)(cid:90)(cid:244)(cid:245)_______.
î-f(-x),x<0
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)-¥,1
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:5)x³0(cid:71)x<0(cid:129)(cid:246)(cid:82)(cid:56)(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:135)(cid:165).
ìx2(cid:38)x³0
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:157)(cid:158)(cid:13)(cid:104)(cid:42)g(x)=í .
î-x2(cid:38)x<0
(cid:210)x³0(cid:196)(cid:38)gx£2-x,(cid:164)x2+x-2£0(cid:38)(cid:56)(cid:165)-2£x£1(cid:38)(cid:147)(cid:102)0£x£1(cid:198)
(cid:210)x<0(cid:196)(cid:38)gx£2-x,(cid:164)-x2+x-2£0(cid:38)xÎR(cid:38)(cid:164)x<0(cid:196)(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)gx£2-x(cid:214)(cid:187)(cid:163).
(cid:86)(cid:26)(cid:119)(cid:247)(cid:38)g(x)£2-x(cid:19)x(cid:19)(cid:193)(cid:90)(cid:244)(cid:245)(cid:170)-¥,1
.
(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)-¥,1
.
8(cid:122)（2024·上海·高考真题）(cid:96)(cid:42)xÎR,(cid:147)(cid:16)(cid:17)(cid:18)x2-2x-3<0(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:170)______(cid:122)
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)x|-1<x<3
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:82)(cid:156)(cid:220)(cid:248)x2 −2x−3=0(cid:19)(cid:56)(cid:218)(cid:135)(cid:82)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:56)(cid:72).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:220)(cid:248)x2 −2x−3=0(cid:19)(cid:56)(cid:170)x=-1(cid:249)x=3(cid:38)
(cid:178)(cid:16)(cid:17)(cid:18)x2-2x-3<0(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:170)x|-1<x<3(cid:38)
(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)x|-1<x<3.
9(cid:122)（2022·上海·高考真题）(cid:16)(cid:17)(cid:18)x−1 <0(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:170)_____________.
x
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)
x 0<x<1
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:157)(cid:158)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:74)(cid:75)(cid:20)(cid:21)(cid:5)(cid:6)(cid:250)(cid:167)(cid:82)(cid:156)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:56)(cid:72).x-1 ìx-1<0 ìx-1>0
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153) <0Þí (cid:249)í (cid:38)(cid:56)(cid:251)(cid:61)(cid:225)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:125)(cid:38)(cid:165)0<x<1(cid:38)(cid:251)(cid:63)(cid:225)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:125)(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:170)(cid:252)
x îx>0 îx<0
(cid:72).
(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)
x 0<x<1
(cid:150)(cid:4)(cid:253)(cid:153)(cid:88)(cid:13)(cid:3)(cid:30)(cid:234)(cid:5)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:38)(cid:3)(cid:30)(cid:234)(cid:77)(cid:123)(cid:74)(cid:75)(cid:254)(cid:255)(cid:38)(cid:256)(cid:146)(cid:87)(cid:257)(cid:13).
考点 03 基本不等式
1 4
1(cid:122)（2026·天津·高考真题）(x+ )(x+ )(cid:19)(cid:89)(cid:215)(cid:90)(cid:170)(cid:10) (cid:11)
x x
A(cid:122)10 B(cid:122)9 C(cid:122)8 D(cid:122)6
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)B
æ 1öæ 4ö 4 4
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:197)(cid:170) çx+ ÷çx+ ÷=x2+ +5³2 x2× +5=9(cid:38)
è xøè xø x2 x2
4
(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)x2 = (cid:38)(cid:164)x2 =2(cid:38)x=± 2(cid:196)(cid:38)(cid:17)(cid:213)(cid:187)(cid:163),
x2
æ 1öæ 4ö
(cid:119)(cid:194)çx+ ÷çx+ ÷(cid:19)(cid:89)(cid:215)(cid:90)(cid:170)9.
è xøè xø
2(cid:122)（2025·北京·高考真题）(cid:96)(cid:42)a>0,b>0(cid:38)(cid:147)(cid:10) (cid:11)
1 1 1
A(cid:122)a2+b2 >2ab B(cid:122) + ³
a b ab
1 1 2
C(cid:122)a+b> ab D(cid:122) + £
a b ab
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)C
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:169)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:166)(cid:73)(cid:258)(cid:190)(cid:164)(cid:135)(cid:200)(cid:201).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:29)(cid:146)A,(cid:210)a=b(cid:196)(cid:38)a2+b2 =2ab(cid:38)(cid:178)A(cid:182)(cid:183)(cid:198)
1 1 1 1
1 1 + =2+4=6< =8=
(cid:29)(cid:146)BD(cid:38)(cid:193)a= ,b= (cid:38)(cid:195)(cid:196)a b 1 1 ab(cid:38)
2 4 ´
2 4
1 1 2 2
+ =2+4=6> =4 2 =
a b 1 1 ab (cid:38)(cid:178)BD(cid:182)(cid:183)(cid:198)
´
2 4
(cid:29)(cid:146)C(cid:38)(cid:169)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:135)(cid:165)a+b³2 ab > ab(cid:38)(cid:178)C(cid:179)(cid:180).
(cid:178)(cid:138)(cid:171)C.
3(cid:122)（2024·北京·高考真题）(cid:96)(cid:42)x,y (cid:38)x ,y (cid:48)(cid:76)(cid:77)y=2x(cid:19)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:129)(cid:225)(cid:16)(cid:261)(cid:19)(cid:4)(cid:38)(cid:147)(cid:10) (cid:11)
1 1 2 2y +y x +x y +y x +x
A(cid:122)log 1 2 < 1 2 B(cid:122)log 1 2 > 1 2
2 2 2 2 2 2
y +y y +y
C(cid:122)log 1 2 <x +x D(cid:122)log 1 2 >x +x
2 2 1 2 2 2 1 2
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)B
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:157)(cid:158)(cid:262)(cid:77)(cid:76)(cid:77)(cid:263)(cid:29)(cid:77)(cid:76)(cid:77)(cid:19)(cid:32)(cid:83)(cid:20)(cid:166)(cid:73)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:5)(cid:154)(cid:200)(cid:201)AB(cid:198)(cid:188)(cid:190)(cid:200)(cid:201)CD(cid:164)(cid:135).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:169)(cid:13)(cid:104)(cid:16)(cid:241)(cid:155)x
1
<x
2
(cid:38)(cid:197)(cid:170)(cid:76)(cid:77)y=2x(cid:48)(cid:264)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:119)(cid:194)0<2x1 <2x2(cid:38)(cid:164)0< y
1
< y
2
(cid:38)
2x 1 +2x 2 x 1+x 2 y +y x1+x2
(cid:29)(cid:146)(cid:138)(cid:199)AB(cid:171)(cid:135)(cid:165) > 2x 1·2x 2 =2 2 (cid:38)(cid:164) 1 2 >2 2 >0(cid:38)
2 2
y +y x 1+x 2 x +x
(cid:157)(cid:158)(cid:76)(cid:77)y=log x(cid:48)(cid:264)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:119)(cid:194)log 1 2 >log 2 2 = 1 2 (cid:38)(cid:178)B(cid:179)(cid:180)(cid:38)A(cid:182)(cid:183)(cid:198)
2 2 2 2 2
(cid:29)(cid:146)(cid:138)(cid:199)D(cid:171)(cid:190)(cid:265)x =0,x =1(cid:38)(cid:147)y =1,y =2(cid:38)
1 2 1 2
y +y 3 y +y
(cid:135)(cid:165)log 1 2 =log Î0,1(cid:38)(cid:164)log 1 2 <1=x +x (cid:38)(cid:178)D(cid:182)(cid:183)(cid:198)
2 2 2 2 2 2 1 2
1 1
(cid:29)(cid:146)(cid:138)(cid:199)C(cid:171)(cid:190)(cid:265)x =-1,x =-2(cid:38)(cid:147)y = ,y = (cid:38)
1 2 1 2 2 4
y +y 3 y +y
(cid:135)(cid:165)log 1 2 =log =log 3-3Î-2,-1(cid:38)(cid:164)log 1 2 >-3=x +x (cid:38)(cid:178)C(cid:182)(cid:183)(cid:38)
2 2 28 2 2 2 1 2
(cid:178)(cid:138)(cid:171)B.
4(cid:122)(cid:10)(cid:145)(cid:138)(cid:13)(cid:11)(cid:10)2022·(cid:69)(cid:28)(cid:3)(cid:65)(cid:66)Ⅱ(cid:24)·(cid:28)(cid:3)(cid:266)(cid:13)(cid:11)(cid:202)x(cid:38)y(cid:204)(cid:205)x2 + y2 -xy=1(cid:38)(cid:147)(cid:10) (cid:11)
A(cid:122)x+y£1 B(cid:122)x+y³-2
C(cid:122)x2+y2 £2 D(cid:122)x2+y2 ³1
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)BC
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:157)(cid:158)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:249)(cid:267)(cid:193)(cid:258)(cid:90)(cid:164)(cid:135)(cid:200)(cid:201)(cid:46)(cid:138)(cid:199)(cid:19)(cid:266)(cid:268)(cid:122)
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:197)(cid:170)ab£ æ ç a+bö ÷ 2 £ a2+b2 (cid:10)a,bÎ R(cid:11)(cid:38)(cid:169)x2 + y2 -xy=1(cid:135)(cid:51)(cid:52)(cid:170)(cid:38)
è 2 ø 2
x+y2-1=3xy£3 æ
ç
x+yö
÷
2 (cid:38)(cid:56)(cid:165)-2£ x+ y£2(cid:38)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)x= y=-1(cid:196)(cid:38)x+y=-2(cid:38)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)x= y=1(cid:196)(cid:38)
è 2 ø
x+y=2(cid:38)(cid:119)(cid:194)A(cid:182)(cid:183)(cid:38)B(cid:179)(cid:180)(cid:198)
x2+y2
(cid:169)x2 + y2 -xy=1(cid:135)(cid:51)(cid:52)(cid:170) x2+y2 -1=xy£ (cid:38)(cid:56)(cid:165)x2+y2 £2(cid:38)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)x= y=±1(cid:196)(cid:193)(cid:17)(cid:213)(cid:38)(cid:119)(cid:194)
2
C(cid:179)(cid:180)(cid:198)
æ yö 2 3 y 3
(cid:197)(cid:170)x2 + y2 -xy=1(cid:51)(cid:52)(cid:135)(cid:165) çx- ÷ + y2 =1(cid:38)(cid:155)x- =cosq, y=sinq(cid:38)(cid:119)(cid:194)
è 2ø 4 2 21 2 5 2 1 1 1
x=cosq+ sinq,y= sinq(cid:38)(cid:197)(cid:195)x2+y2 =cos2q+ sin2q+ sinqcosq=1+ sin2q- cos2q+
3 3 3 3 3 3 3
4 2 æ πö é2 ù 3 3
= + sinç2q- ÷Î ê ,2 ú (cid:38)(cid:119)(cid:194)(cid:210)x= ,y=- (cid:196)(cid:204)(cid:205)(cid:17)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:48)x2+y2 ³1(cid:16)(cid:187)(cid:163)(cid:38)(cid:119)(cid:194)D(cid:182)(cid:183)(cid:122)
3 3 è 6ø ë3 û 3 3
(cid:178)(cid:138)(cid:171)BC(cid:122)
5(cid:122)（2026·上海·高考真题）(cid:96)(cid:42)a2+4b2 =1(cid:38)(cid:147)ab(cid:19)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:170)__________(cid:122)
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)1
/0.25
4
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:157)(cid:158)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:135)(cid:165)a2 + 4b2 ³ 4ab(cid:38)(cid:166)(cid:73)(cid:160)(cid:161)(cid:164)(cid:135)(cid:82)(cid:166)(cid:167).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:197)(cid:170)a2+4b2 =a2+2b2 ³2a×2b=4ab(cid:38)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)a=2b(cid:196)(cid:17)(cid:213)(cid:187)(cid:163)(cid:38)
1
(cid:166)(cid:73)a2+4b2 =1(cid:135)(cid:165)(cid:38)ab£ (cid:38)
4
2 2 2
(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)a= 2(cid:38)b= (cid:249)a=- (cid:38)b=- (cid:196)(cid:17)(cid:213)(cid:187)(cid:163)(cid:38)
2 4 2 4
2 2 2 1
(cid:119)(cid:194)(cid:210)a= 2(cid:38)b= (cid:249)a=- (cid:38)b=- (cid:196)(cid:38)ab(cid:193)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:38)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:170) .
2 4 2 4 4
6(cid:122)（2026·上海·高考真题）(cid:202)a>0(cid:38)b>0(cid:38)(cid:211)a+2b=4(cid:38)(cid:147)ab(cid:19)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:48)______(cid:122)
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)2
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:169)(cid:146)a(cid:25)b(cid:170)(cid:179)(cid:90)(cid:38)(cid:211)a+2b(cid:170)(cid:78)(cid:90)4(cid:38)(cid:197)(cid:195)(cid:135)(cid:194)(cid:74)(cid:91)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:233)(cid:82)(cid:156)2 2ab(cid:19)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:38)(cid:49)(cid:229)(cid:82)
(cid:156)ab(cid:19)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:122)
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:56)(cid:171) a>0(cid:38)b>0(cid:38)a+2b=4
4=a+2b³2∵2ab
∴ab£2(cid:38)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)a=2b(cid:196)(cid:193)(cid:17)(cid:213)(cid:38)(cid:164)a=2(cid:38)b=1(cid:196)(cid:193)(cid:17)(cid:213)
∴(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)2(cid:122)
(cid:150)(cid:4)(cid:253)(cid:153)(cid:195)(cid:13)(cid:3)(cid:30)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:270)(cid:91)(cid:38)(cid:270)(cid:91)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:82)(cid:89)(cid:90)(cid:271)(cid:272)(cid:104)“(cid:61)(cid:179)(cid:63)(cid:78)(cid:273)(cid:40)(cid:17)”(cid:19)(cid:160)(cid:161)(cid:38)(cid:256)(cid:146)(cid:87)(cid:257)
(cid:13)
1 1
7(cid:122)（2025·上海·高考真题）(cid:155)a,b>0,a+ =1(cid:38)(cid:147)b+ (cid:19)(cid:89)(cid:215)(cid:90)(cid:170)_________(cid:122)
b a
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)4
1 æ 1öæ 1ö
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:274)(cid:275)(cid:206)(cid:91)“1”(cid:222)b+ =çb+ ÷ça+ ÷(cid:276)(cid:277)(cid:206)(cid:91)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:278)(cid:75)(cid:164)(cid:135).
a è aøè bø
1 æ 1öæ 1ö 1 1
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:279)(cid:42)b+ =çb+ ÷ça+ ÷=ab+ +2³2 ab× +2=4(cid:38)
a è aøè bø ab ab
1
(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)ab=1(cid:38)(cid:164)a= ,b=2(cid:196)(cid:193)(cid:165)(cid:89)(cid:215)(cid:90).
2(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)4
8(cid:122)（2024·上海·高考真题）(cid:96)(cid:42)ab=1(cid:38)4a2+9b2(cid:19)(cid:89)(cid:215)(cid:90)(cid:170)______(cid:122)
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)12
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:206)(cid:91)(cid:16)(cid:17)(cid:18)a2+b2 ³2ab(cid:164)(cid:135)(cid:82)(cid:56).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)4a2+9b2 =2a2+3b2 ³2´2a´3b=12ab=12,
ì2a=3b 6 6 6 6
(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)í ,(cid:164)a= ,b= (cid:249)a=- ,b=- (cid:196),(cid:17)(cid:213)(cid:187)(cid:163),
îab=1 2 3 2 3
(cid:178)4a2+9b2(cid:19)(cid:89)(cid:215)(cid:90)(cid:170)12.
(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)12.
9(cid:122)（2023·上海·高考真题）(cid:96)(cid:42)(cid:179)(cid:203)(cid:77)a(cid:25)b(cid:204)(cid:205)a+4b=1(cid:38)(cid:147)ab(cid:19)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:170)_______________(cid:122)
1
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)
16
1 1æa+4bö 2
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:169)ab= a×4b£ ç ÷ (cid:38)(cid:226)(cid:227)(cid:164)(cid:135)(cid:165)(cid:156)(cid:151)(cid:152).
4 4è 2 ø
1 1æa+4bö 2 1 1 1
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)ab= a×4b£ ç ÷ = ´ = (cid:38)
4 4è 2 ø 4 4 16
1 1
(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)“a=4b”(cid:38)(cid:164)a= ,b= (cid:196)(cid:193)(cid:17)(cid:38)
2 8
1
(cid:119)(cid:194)ab(cid:19)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:170) .
16
1
(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)
16
考点 04 线性规划（新高考已经删除，思想具有参考意义）
ì4x-3y-3³0
ï
1(cid:122)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:202)x,y(cid:204)(cid:205)(cid:280)(cid:281)(cid:160)(cid:161)íx-2y-2£0 (cid:38)(cid:147)z=x-5y(cid:19)(cid:89)(cid:215)(cid:90)(cid:170)(cid:10) (cid:11)
ï
î2x+6y-9£0
5 7
A(cid:122)1 B(cid:122)0 C(cid:122)- D(cid:122)-
2 2 2
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)D
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:282)(cid:156)(cid:135)(cid:50)(cid:80)(cid:218)(cid:38)(cid:206)(cid:91)z(cid:19)(cid:283)(cid:284)(cid:104)(cid:79)(cid:278)(cid:75)(cid:164)(cid:135)(cid:165).ì4x-3y-3³0
ï
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:203)(cid:77)x,y(cid:204)(cid:205)íx-2y-2£0 (cid:38)(cid:207)(cid:156)(cid:135)(cid:50)(cid:80)(cid:265)(cid:259)(cid:171)
ï
î2x+6y-9£0
1 1
(cid:169)z=x-5y(cid:135)(cid:165)y = x- z(cid:38)
5 5
1 1 1
(cid:164)z(cid:19)(cid:283)(cid:284)(cid:104)(cid:79)(cid:170)y = x- z(cid:19)(cid:285)(cid:286)(cid:19)- (cid:38)
5 5 5
(cid:147)(cid:238)(cid:111)(cid:94)(cid:285)(cid:286)(cid:193)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:196)(cid:38)z(cid:102)(cid:89)(cid:215)(cid:90)(cid:38)
1 1
(cid:195)(cid:196)(cid:111)(cid:94)y = x- z(cid:287)(cid:4)A(cid:38)
5 5
ì 3
ì4x-3y-3=0 ïx= æ3 ö
(cid:288)(cid:163)í (cid:38)(cid:56)(cid:165)í 2(cid:38)(cid:164)Aç ,1÷(cid:38)
î2x+6y-9=0 ï îy=1 è2 ø
3 7
(cid:147)z = -5´1=- .
min 2 2
(cid:178)(cid:138)(cid:171)D.
ìx-2³0,
ï
2(cid:122)（2022·浙江·高考真题）(cid:202)(cid:203)(cid:77)x(cid:38)y(cid:204)(cid:205)(cid:280)(cid:281)(cid:160)(cid:161)í2x+y-7£0,(cid:147)z=3x+4y(cid:19)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:48)(cid:10) (cid:11)
ï
îx-y-2£0,
A(cid:122)20 B(cid:122)18 C(cid:122)13 D(cid:122)6
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)B
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:110)(cid:289)(cid:290)(cid:111)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:115)(cid:117)(cid:282)(cid:156)(cid:135)(cid:50)(cid:80)(cid:38)(cid:289)(cid:217)(cid:294)(cid:111)(cid:94)z=3x+4y(cid:218)(cid:135)(cid:82)(cid:89)(cid:269)(cid:90).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:125)(cid:29)(cid:270)(cid:19)(cid:135)(cid:50)(cid:80)(cid:265)(cid:259)(cid:119)(cid:295)(cid:171)(cid:210)(cid:294)(cid:111)(cid:94)3x+4y-z=0(cid:287)A(cid:196)z(cid:102)(cid:89)(cid:269)(cid:90).
ìx=2
(cid:169)í (cid:135)(cid:165) x=2 (cid:38)(cid:178)A2,3(cid:38)
î2x+y-7=0 y=3
(cid:178)z =3´2+4´3=18(cid:38)
max
(cid:178)(cid:138)(cid:171)B.
ìx+y³2,
ï
3(cid:122)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:202)x(cid:38)y(cid:204)(cid:205)(cid:280)(cid:281)(cid:160)(cid:161)íx+2y£4,(cid:147)z=2x-y(cid:19)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:48)(cid:10) (cid:11)
ï
îy³0,
A(cid:122)-2 B(cid:122)4 C(cid:122)8 D(cid:122)12
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)C
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:207)(cid:156)(cid:135)(cid:50)(cid:80)(cid:38)(cid:77)(cid:52)(cid:166)(cid:73)(cid:164)(cid:135)(cid:165)(cid:56).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:169)(cid:13)(cid:104)(cid:207)(cid:156)(cid:135)(cid:50)(cid:80)(cid:38)(cid:265)(cid:259)(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:5)(cid:119)(cid:295)(cid:38)
(cid:219)(cid:176)(cid:159)(cid:293)(cid:76)(cid:77)z=2x-y(cid:170)y=2x-z(cid:38)
(cid:26)(cid:184)(cid:289)(cid:217)(cid:111)(cid:94)y=2x-z(cid:38)(cid:135)(cid:165)(cid:210)(cid:111)(cid:94)(cid:287)(cid:4)4,0(cid:196)(cid:38)(cid:111)(cid:94)(cid:285)(cid:286)(cid:89)(cid:215)(cid:38)z(cid:89)(cid:269)(cid:38)
(cid:119)(cid:194)z =2´4-0=8.
max(cid:178)(cid:138)(cid:171)C.
ì3x-2y£3
ï
4(cid:122)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:202)x(cid:38)y(cid:204)(cid:205)(cid:280)(cid:281)(cid:160)(cid:161)í-2x+3y£3(cid:38)(cid:155)z=3x+2y(cid:19)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:170)____________(cid:122)
ï
îx+y³1
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)15
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:169)(cid:280)(cid:281)(cid:160)(cid:161)(cid:207)(cid:156)(cid:135)(cid:50)(cid:80)(cid:38)(cid:157)(cid:158)(cid:94)(cid:20)(cid:14)(cid:95)(cid:82)(cid:89)(cid:90)(cid:164)(cid:135).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:207)(cid:156)(cid:135)(cid:50)(cid:80)(cid:38)(cid:265)(cid:259)(cid:38)
3 z
(cid:169)(cid:259)(cid:135)(cid:42)(cid:38)(cid:210)(cid:159)(cid:293)(cid:76)(cid:77)y=- x+ (cid:287)(cid:4)A(cid:196)(cid:38)z(cid:102)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:38)
2 2
ì-2x+3y=3 ìx=3
(cid:169)í (cid:135)(cid:165)í (cid:38)(cid:164)A(3,3),
î3x-2y=3 îy=3
(cid:119)(cid:194)z =3´3+2´3=15.
max
(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)15
ìx-3y£-1
ï
5(cid:122)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:202)x(cid:38)y(cid:204)(cid:205)(cid:280)(cid:281)(cid:160)(cid:161)í x+2y£9 (cid:38)(cid:147)z=2x-y(cid:19)(cid:89)(cid:269)(cid:90)(cid:170)______.
ï
î3x+y³7
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)8
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:207)(cid:156)(cid:135)(cid:50)(cid:80)(cid:38)(cid:219)(cid:176)(cid:170)(cid:285)(cid:286)(cid:89)(cid:90)(cid:250)(cid:167)(cid:164)(cid:135).
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:207)(cid:156)(cid:135)(cid:50)(cid:80)(cid:265)(cid:184)(cid:259)(cid:119)(cid:295)(cid:171)
z=2x-y(cid:38)(cid:217)(cid:199)(cid:165)y=2x-z(cid:38)
ìx-3y=-1 ìx=5
(cid:288)(cid:163)(cid:102)í (cid:38)(cid:56)(cid:165)í (cid:38)
îx+2y=9 îy=2
(cid:155)A5,2(cid:38)(cid:299)(cid:300)(cid:289)(cid:217)(cid:111)(cid:94)y=2x(cid:231)(cid:232)(cid:97)(cid:287)(cid:4)A(cid:38)(cid:195)(cid:196)(cid:285)(cid:286)-z(cid:89)(cid:215)(cid:38)(cid:147)z(cid:89)(cid:269)(cid:38)
(cid:226)(cid:227)(cid:165)z=8(cid:38)
(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:170)(cid:171)8.6(cid:122)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:96)(cid:42) f x=2 x + x-2 .
(1)(cid:82)(cid:16)(cid:17)(cid:18) f x£6-x(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:198)
ìf(x)£ y
(2)(cid:110)(cid:111)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:115)xOy(cid:117)(cid:38)(cid:82)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:125)í (cid:119)(cid:180)(cid:78)(cid:19)(cid:289)(cid:290)(cid:84)(cid:80)(cid:19)(cid:290)(cid:301).
îx+y-6£0
(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(1)[-2,2](cid:198)
(2)8.
(cid:150)(cid:5)(cid:154)(cid:153)(cid:10)1(cid:11)(cid:5)(cid:246)(cid:148)(cid:302)(cid:29)(cid:90)(cid:303)(cid:213)(cid:82)(cid:56)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:207)(cid:151).
(cid:10)2(cid:11)(cid:207)(cid:156)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:125)(cid:304)(cid:295)(cid:19)(cid:289)(cid:290)(cid:84)(cid:80)(cid:38)(cid:305)(cid:82)(cid:156)(cid:290)(cid:301)(cid:207)(cid:151).
ì3x-2,x>2
ï
(cid:150)(cid:168)(cid:56)(cid:153)(cid:10)1(cid:11)(cid:306)(cid:13)(cid:104)(cid:38) f(x)=íx+2,0£x£2(cid:38)
ï
î-3x+2,x<0
ìx>2 ì0£x£2 ìx<0
(cid:16)(cid:17)(cid:18) f(x)£6-x(cid:176)(cid:170)(cid:171)í (cid:249)í (cid:249)í (cid:38)
î3x-2£6-x îx+2£6-x î-3x+2£6-x
ìx>2 ì0£x£2 ìx<0
(cid:56)í (cid:38)(cid:165)(cid:307)(cid:56)(cid:198)(cid:56)í (cid:38)(cid:165)0£x£2(cid:38)(cid:56)í (cid:38)(cid:165)-2£x<0(cid:38)(cid:197)(cid:195)-2£x£2(cid:38)
î3x-2£6-x îx+2£6-x î-3x+2£6-x
(cid:119)(cid:194)(cid:239)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:56)(cid:72)(cid:170)(cid:171)[-2,2]
ìf(x)£ y
(cid:10)2(cid:11)(cid:207)(cid:156)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:125)í (cid:304)(cid:295)(cid:19)(cid:289)(cid:290)(cid:84)(cid:80)(cid:38)(cid:265)(cid:259)(cid:117)(cid:296)(cid:297)VABC(cid:38)
îx+y-6£0ìy=-3x+2 ìy=x+2
(cid:169)í (cid:38)(cid:56)(cid:165)A(-2,8)(cid:38)(cid:169)í , (cid:56)(cid:165)C(2,4)(cid:38)(cid:308)B(0,2),D(0,6)(cid:38)
îx+y=6 îx+y=6
1 1
(cid:119)(cid:194)VABC(cid:19)(cid:290)(cid:301)S = |BD|´ x -x = |6-2|´|2-(-2)|=8.
VABC 2 C A 2