专题17概率与随机变量及分布列(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

17
专题 概率与随机变量及分布列
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2025(cid:20)(cid:21)(cid:22)
2024(cid:8)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅰ(cid:22)(cid:26)2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:22)
(cid:3)(cid:34)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:35)(cid:36)(cid:18)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)
2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:30)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) (cid:43)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:45)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:13)(cid:52)(cid:53)
(cid:22)(cid:26)2023(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:26)2023(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:3)(cid:34)(cid:54)
2022(cid:8)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅰ(cid:22)(cid:26)2022(cid:8)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:26)2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:22)(cid:26)2022
(cid:20)(cid:21)(cid:22)
2024(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:26)2024(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:3)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:55)(cid:56)(cid:18)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:37)(cid:26) 2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:22)
(cid:37)(cid:60)(cid:65)(cid:66)(cid:42)(cid:67)(cid:68)(cid:27)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:39)(cid:18)
(cid:27)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41) 2022(cid:8)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅰ(cid:22)(cid:26)2022(cid:8)(cid:23)
(cid:37)(cid:54)
(cid:33)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅱ(cid:22)(cid:26)2022(cid:31)(cid:32)(cid:22)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:22)(cid:26)2026(cid:20)(cid:21)(cid:22)
2025(cid:76)(cid:77)(cid:22)(cid:26)2025(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:18)(cid:37)(cid:35)(cid:36) (cid:3)(cid:34)(cid:78)(cid:79)(cid:59)(cid:56)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:60)(cid:80)(cid:81)(cid:82)
2024(cid:8)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:22)(cid:26)2024(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:69)(cid:70)(cid:63)(cid:71)(cid:26)(cid:72)(cid:73)(cid:61) (cid:35)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:83)(cid:74)
2023(cid:8)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:22)(cid:26)2023(cid:76)(cid:77)(cid:22)(cid:26)
(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:74)(cid:75) (cid:75)(cid:54)
2023(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:26)2023(cid:20)(cid:21)(cid:22)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:22)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:22)(cid:26)2026(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:3)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:35)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:19)
2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:22)(cid:26)2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:91)
(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:60)(cid:95)(cid:96)(cid:42)(cid:91)(cid:97)(cid:5)(cid:86)(cid:26)(cid:98)(cid:99)
(cid:3)(cid:4)04 (cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85) (cid:22)(cid:26)2025(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:26)2025(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:5)(cid:86)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:35)(cid:42)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:93)(cid:94)(cid:19)
(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:64)(cid:87)(cid:88)(cid:89) 2024(cid:8)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅰ(cid:22)(cid:26)2024(cid:76)(cid:77)(cid:22)
(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:72)(cid:65)(cid:108)(cid:109)(cid:60)(cid:110)(cid:111)(cid:42)(cid:112)(cid:36)(cid:113)
(cid:90) 2023(cid:8)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:22)(cid:26)2023(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:95)(cid:96)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:118)(cid:96)(cid:119)(cid:95)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:26)2022(cid:76)(cid:77)(cid:22)(cid:26)
(cid:120)(cid:119)(cid:60)(cid:110)(cid:121)(cid:122)(cid:25)(cid:42)(cid:113)(cid:3)(cid:34)(cid:123)(cid:124)(cid:54)
2022(cid:20)(cid:21)(cid:22)考点 01 古典概型
1(cid:125)（2025·上海·高考真题）(cid:102)(cid:52)(cid:126)(cid:127)(cid:128)ABCD(cid:42)(cid:107)(cid:129)(cid:36)(cid:126)(cid:127)AB(cid:26)BC(cid:26)CD(cid:26)DA(cid:42)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:5)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:52)(cid:136)(cid:71)(cid:85)
(cid:95)(cid:137)(cid:60)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:138)(cid:139)(cid:98)(cid:142)(cid:143)(cid:20)(cid:42)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:141)(cid:138)(cid:139)(cid:116)(cid:142)(cid:143)(cid:20)(cid:42)(cid:144)(cid:149)(cid:146)(cid:147)(cid:125)(cid:150)(cid:151)(cid:42)(cid:82)A(cid:115)(cid:53)(cid:4)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:146)
(cid:147)(cid:60)(cid:127)(cid:156)(cid:157)(cid:42)(cid:158)(cid:82)(cid:159)(cid:160)C(cid:4)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:10) (cid:11)(cid:125)
1 7 1 3
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)
2 16 4 16
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)B
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:5)(cid:168)(cid:38)(cid:87)(cid:169)(cid:170)(cid:35)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:92)(cid:171)(cid:172)(cid:158).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:13)(cid:174)(cid:42)(cid:107)(cid:129)(cid:36)(cid:126)(cid:127)AB(cid:26)BC(cid:26)CD(cid:26)DA(cid:42)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:5)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:52)(cid:136)(cid:71)(cid:85)(cid:95)(cid:137)(cid:60)(cid:138)(cid:139)(cid:42)
(cid:175)(cid:102)2´2´2´2=16(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:42)
(cid:121)(cid:178)A(cid:156)(cid:157)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:146)(cid:147)(cid:60)(cid:127)(cid:179)(cid:159)(cid:160)(cid:4)C(cid:42)
(cid:180)(cid:181)(cid:182)AB,BC(cid:78)(cid:55)(cid:127)(cid:42)(cid:144)CD,DA(cid:158)(cid:181)(cid:182)(cid:100)(cid:158)(cid:146)(cid:147)(cid:42)
(cid:175)(cid:102)2´2=4(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:148)
(cid:180)(cid:181)(cid:182)AD,DC(cid:78)(cid:55)(cid:127)(cid:42)(cid:144)AB,BC(cid:158)(cid:181)(cid:182)(cid:100)(cid:158)(cid:146)(cid:147)(cid:42)
(cid:175)(cid:102)2´2-1=3(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:10)(cid:36)(cid:183)(cid:102)(cid:52)(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:83)(cid:20)(cid:142)(cid:110)(cid:184)(cid:11)(cid:42)
(cid:144)(cid:121)(cid:178)A(cid:156)(cid:157)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:146)(cid:147)(cid:60)(cid:127)(cid:179)(cid:159)(cid:160)(cid:4)C(cid:42)(cid:175)(cid:102)7(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:42)
7
(cid:185)(cid:82)(cid:158)(cid:82)(cid:159)(cid:160)C(cid:4)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115) .
16
(cid:186)(cid:187)(cid:140)B.
2(cid:125)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:188)(cid:61)(cid:189)(cid:190)(cid:191)(cid:60)(cid:192)(cid:191)(cid:193)(cid:194)(cid:175)(cid:102)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:195)(cid:26)(cid:196)(cid:126)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:42)(cid:200)(cid:197)(cid:156)(cid:201)(cid:52)(cid:202)(cid:42)(cid:156)
(cid:201)(cid:202)(cid:132)(cid:203)(cid:57)(cid:58)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:42)(cid:144)(cid:195)(cid:149)(cid:113)(cid:208)(cid:52)(cid:79)(cid:156)(cid:201)(cid:42)(cid:209)(cid:29)(cid:210)(cid:30)(cid:150)(cid:151)(cid:156)(cid:201)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:113)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)
6 4 3 2
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)C
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:171)(cid:211)(cid:52)(cid:140)(cid:212)(cid:156)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:42)(cid:44)(cid:45)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:172)(cid:158)(cid:92)(cid:171).
(cid:171)(cid:211)(cid:91)(cid:140)(cid:5)(cid:6)(cid:216)(cid:217)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:218)(cid:219)(cid:42)(cid:44)(cid:45)(cid:220)(cid:159)(cid:221)(cid:45)(cid:55)(cid:56)(cid:60)(cid:9)(cid:177)(cid:42)(cid:222)(cid:151)(cid:166)(cid:167)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:223)(cid:224)(cid:92)(cid:171).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:171)(cid:211)(cid:52)(cid:140)(cid:212)(cid:156)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:42)(cid:141)(cid:215)(cid:42)(cid:203)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:158)(cid:220)(cid:42)(cid:156)(cid:201)(cid:202)(cid:132)(cid:175)(cid:102)24(cid:176)(cid:42)
(cid:36)(cid:183)(cid:221)(cid:45)(cid:13)(cid:174)(cid:60)(cid:156)(cid:201)(cid:202)(cid:132)(cid:175)(cid:102)8(cid:176)(cid:42)
8 1
(cid:186)(cid:185)(cid:92)(cid:18)(cid:37)P= = (cid:148)
24 3
(cid:171)(cid:211)(cid:91)(cid:140)(cid:225)(cid:29)(cid:150)(cid:151)(cid:156)(cid:201)(cid:42)(cid:30)(cid:208)(cid:52)(cid:79)(cid:156)(cid:201)(cid:42)(cid:195)(cid:102)2(cid:176)(cid:46)(cid:211)(cid:42)(cid:196)(cid:226)1(cid:176)(cid:42)(cid:175)2(cid:176)(cid:148)
(cid:225)(cid:29)(cid:150)(cid:151)(cid:156)(cid:201)(cid:42)(cid:30)(cid:46)(cid:208)(cid:91)(cid:218)(cid:210)(cid:208)(cid:227)(cid:218)(cid:156)(cid:201)(cid:42)(cid:195)(cid:102)1(cid:176)(cid:46)(cid:211)(cid:42)(cid:196)(cid:226)1(cid:176)(cid:42)(cid:175)2(cid:176)(cid:148)
(cid:129)(cid:113)(cid:29)(cid:150)(cid:151)(cid:156)(cid:201)(cid:175)4(cid:176)(cid:228)(cid:211)(cid:42)(cid:229)(cid:170)(cid:30)(cid:150)(cid:151)(cid:156)(cid:201)(cid:175)4(cid:176)(cid:228)(cid:211)(cid:42)(cid:129)(cid:113)(cid:175)8(cid:176)(cid:156)(cid:201)(cid:131)(cid:132)(cid:221)(cid:45)(cid:13)(cid:174)(cid:148)
(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:56)(cid:230)(cid:87)(cid:231)(cid:222)(cid:113)A4 =24(cid:42)
4
8 1
(cid:166)(cid:167)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:60)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:185)(cid:92)(cid:18)(cid:37)(cid:115) = .
24 3
(cid:186)(cid:187)(cid:140)C
3(cid:125)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:188)(cid:88)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:114)(cid:235)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:175)6(cid:79)(cid:236)(cid:13)(cid:42)(cid:200)(cid:218)(cid:198)(cid:191)(cid:229)(cid:88)(cid:178)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:204)(cid:118)(cid:52)(cid:79)(cid:236)(cid:13)
(cid:237)(cid:238)(cid:114)(cid:235)(cid:42)(cid:144)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:218)(cid:198)(cid:191)(cid:229)(cid:88)(cid:204)(cid:159)(cid:149)(cid:229)(cid:236)(cid:13)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:10) (cid:11)
5 2 1 1
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)
6 3 2 3
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)A
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:107)6(cid:79)(cid:236)(cid:13)(cid:239)(cid:240)(cid:42)(cid:67)(cid:68)(cid:47)(cid:233)(cid:47)(cid:156)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:204)(cid:118)(cid:60)(cid:185)(cid:102)(cid:44)(cid:241)(cid:42)(cid:242)(cid:92)(cid:156)(cid:204)(cid:159)(cid:149)(cid:229)(cid:236)(cid:13)(cid:60)(cid:44)(cid:241)(cid:42)(cid:243)(cid:67)(cid:68)(cid:16)
(cid:17)(cid:18)(cid:37)(cid:92)(cid:171)(cid:114)(cid:162).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:68)1(cid:42)2(cid:42)3(cid:42)4(cid:42)5(cid:42)6(cid:244)(cid:245)6(cid:79)(cid:236)(cid:13)(cid:42)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:91)(cid:197)(cid:200)(cid:197)(cid:204)(cid:118)1(cid:79)(cid:236)(cid:13)(cid:60)(cid:185)(cid:102)(cid:44)(cid:241)(cid:141)(cid:246)(cid:244)(cid:140)
(cid:30)
1 2 3 4 5 6
(cid:29)
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
(cid:175)(cid:102)36(cid:79)(cid:149)(cid:229)(cid:44)(cid:241)(cid:42)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:158)(cid:179)(cid:42)
(cid:36)(cid:183)(cid:29)(cid:30)(cid:204)(cid:159)(cid:72)(cid:229)(cid:44)(cid:241)(cid:102)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)(cid:42)(cid:175)6(cid:79)(cid:42)
30 5
(cid:250)(cid:251)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:218)(cid:198)(cid:191)(cid:229)(cid:88)(cid:204)(cid:159)(cid:149)(cid:229)(cid:236)(cid:13)(cid:60)(cid:44)(cid:241)(cid:102)30(cid:79)(cid:42)(cid:18)(cid:37)P= = .
36 6
(cid:186)(cid:187)(cid:140)A
4(cid:125)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:188)(cid:232)(cid:235)(cid:252)(cid:253)(cid:102)4(cid:254)(cid:88)(cid:255)(cid:42)(cid:36)(cid:183)(cid:33)(cid:52)(cid:26)(cid:33)(cid:91)(cid:8)(cid:256)(cid:257)2(cid:254)(cid:125)(cid:178)(cid:258)4(cid:254)(cid:88)(cid:255)(cid:183)(cid:57)
(cid:58)(cid:187)2(cid:254)(cid:48)(cid:259)(cid:232)(cid:235)(cid:252)(cid:260)(cid:261)(cid:42)(cid:144)(cid:258)2(cid:254)(cid:88)(cid:255)(cid:262)(cid:263)(cid:149)(cid:229)(cid:8)(cid:256)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 2
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)
6 3 2 3
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)D
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:67)(cid:68)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:37)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:44)(cid:45)(cid:48)(cid:45)(cid:60)(cid:108)(cid:109)(cid:172)(cid:158)(cid:220)(cid:171).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:264)(cid:13)(cid:174)(cid:42)(cid:178)(cid:258)4(cid:254)(cid:88)(cid:255)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:187)2(cid:254)(cid:48)(cid:259)(cid:232)(cid:235)(cid:252)(cid:260)(cid:261)(cid:42)(cid:230)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:56)(cid:102)C2 =6(cid:56)(cid:42)
4
(cid:36)(cid:183)(cid:258)2(cid:254)(cid:88)(cid:255)(cid:262)(cid:263)(cid:149)(cid:229)(cid:8)(cid:256)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:56)(cid:102)C1C1 =4(cid:42)
2 2
4 2
(cid:185)(cid:82)(cid:258)2(cid:254)(cid:88)(cid:255)(cid:262)(cid:263)(cid:149)(cid:229)(cid:8)(cid:256)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115) = .
6 3
(cid:186)(cid:187)(cid:140)D.
5(cid:125)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:178)(cid:5)(cid:133)(cid:265)(cid:102)1(cid:42)2(cid:42)3(cid:42)4(cid:42)5(cid:42)6(cid:60)6(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:183)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:57)(cid:58)(cid:204)(cid:118)2(cid:266)(cid:42)(cid:144)(cid:204)(cid:159)
(cid:60)2(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:20)(cid:60)(cid:87)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:113)4(cid:60)(cid:275)(cid:87)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:10) (cid:11)
1 1 2 2
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)
5 3 5 3
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)C
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:228)(cid:211)(cid:52)(cid:140)(cid:276)(cid:47)(cid:233)(cid:156)(cid:185)(cid:102)(cid:9)(cid:177)(cid:42)(cid:243)(cid:178)(cid:183)(cid:277)(cid:156)(cid:87)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:113)4(cid:60)(cid:275)(cid:87)(cid:60)(cid:9)(cid:177)(cid:42)(cid:203)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:92)(cid:18)(cid:37)(cid:172)(cid:158).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)[(cid:228)(cid:211)(cid:52)](cid:140)(cid:161)(cid:150)(cid:278)(cid:171)(cid:164)(cid:269)(cid:132)
(cid:178)6(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:183)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:204)(cid:118)2(cid:266)(cid:42)(cid:175)(cid:102)
1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:42)(cid:36)(cid:183)(cid:87)(cid:272)6 2
(cid:273)(cid:274)(cid:115)4(cid:60)(cid:275)(cid:87)(cid:60)(cid:102)1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:42)(cid:186)(cid:18)(cid:37)(cid:115) = .
15 5
[(cid:228)(cid:211)(cid:91)](cid:140)(cid:102)(cid:132)
(cid:178)6(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:183)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:204)(cid:118)2(cid:266)(cid:42)(cid:175)(cid:102)
1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),
(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:42)
(cid:36)(cid:183)(cid:87)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:115)4(cid:60)(cid:275)(cid:87)(cid:102)(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:42)(cid:186)(cid:18)(cid:37)
12 2
(cid:115) = .
30 5
(cid:186)(cid:187)(cid:140)C.
(cid:161)(cid:279)(cid:104)(cid:4)(cid:280)(cid:164)(cid:228)(cid:211)(cid:52)(cid:140)(cid:145)(cid:204)(cid:156)(cid:60)(cid:267)(cid:268)(cid:281)(cid:282)(cid:52)(cid:79)(cid:48)(cid:45)(cid:42)(cid:243)(cid:67)(cid:68)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:171)(cid:156)(cid:42)(cid:113)(cid:283)(cid:13)(cid:60)(cid:150)(cid:278)(cid:171)(cid:148)
(cid:228)(cid:211)(cid:91)(cid:140)(cid:145)(cid:204)(cid:156)(cid:60)(cid:267)(cid:268)(cid:281)(cid:282)(cid:52)(cid:79)(cid:46)(cid:47)(cid:42)(cid:243)(cid:67)(cid:68)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:171)(cid:156)(cid:148)
6(cid:125)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:178)2(cid:284)8(cid:60)7(cid:79)(cid:279)(cid:87)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:118)2(cid:79)(cid:149)(cid:229)(cid:60)(cid:87)(cid:42)(cid:144)(cid:258)2(cid:79)(cid:87)(cid:73)(cid:71)(cid:60)(cid:18)(cid:37)
(cid:115)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 2
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)
6 3 2 3
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)D
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:203)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:44)(cid:45)(cid:48)(cid:45)(cid:26)(cid:47)(cid:233)(cid:211)(cid:172)(cid:158)(cid:220)(cid:171).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:178)2(cid:284)8(cid:60)7(cid:79)(cid:279)(cid:87)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:118)2(cid:79)(cid:149)(cid:229)(cid:60)(cid:87)(cid:42)(cid:175)(cid:102)C2 =21(cid:176)(cid:149)(cid:229)(cid:60)(cid:118)(cid:211)(cid:42)
7
(cid:180)(cid:78)(cid:87)(cid:149)(cid:73)(cid:71)(cid:42)(cid:149)(cid:229)(cid:60)(cid:118)(cid:211)(cid:102)(cid:140)2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8(cid:42)(cid:175)7(cid:176)(cid:42)
21-7 2
(cid:186)(cid:185)(cid:92)(cid:18)(cid:37)P= = .
21 3
(cid:186)(cid:187)(cid:140)D.
7(cid:125)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:102)6(cid:79)(cid:72)(cid:229)(cid:60)(cid:285)(cid:42)(cid:5)(cid:133)(cid:25)(cid:102)(cid:87)(cid:272)1(cid:26)2(cid:26)3(cid:26)4(cid:26)5(cid:26)6(cid:42)(cid:178)(cid:183)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:286)(cid:57)(cid:58)(cid:118)
3(cid:202)(cid:42)(cid:200)(cid:202)(cid:118)1(cid:79)(cid:285).(cid:287)m(cid:115)(cid:288)(cid:78)(cid:202)(cid:118)(cid:156)(cid:60)(cid:285)(cid:20)(cid:87)(cid:272)(cid:60)(cid:119)(cid:95)(cid:96)(cid:42)n(cid:115)(cid:118)(cid:156)(cid:60)(cid:227)(cid:79)(cid:285)(cid:20)(cid:87)(cid:272)(cid:60)(cid:119)(cid:95)(cid:96)(cid:42)(cid:144)m(cid:83)n
1
(cid:273)(cid:289)(cid:60)(cid:290)(cid:107)(cid:96)(cid:149)(cid:291)(cid:129) (cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)______(cid:125)
2
7
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)
15
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:46)(cid:47)(cid:158)(cid:92)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:230)(cid:87)(cid:42)(cid:292)(cid:288)(cid:78)(cid:79)(cid:285)(cid:60)(cid:240)(cid:293)(cid:115)a,b(cid:42)(cid:208)(cid:227)(cid:79)(cid:285)(cid:60)(cid:240)(cid:293)(cid:115)c(cid:42)(cid:144)
a+b-3£2c£a+b+3(cid:42)(cid:226)c(cid:60)(cid:149)(cid:229)(cid:118)(cid:96)(cid:5)(cid:6)(cid:216)(cid:217)(cid:151)(cid:158)(cid:92)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:18)(cid:37).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:178)6(cid:79)(cid:149)(cid:229)(cid:60)(cid:285)(cid:183)(cid:149)(cid:270)(cid:271)(cid:286)(cid:204)(cid:118)3(cid:202)(cid:42)(cid:175)(cid:102)A3 =120(cid:176)(cid:42)
6a+b+c a+b 1
(cid:292)(cid:288)(cid:78)(cid:79)(cid:285)(cid:60)(cid:240)(cid:293)(cid:115)a,b(cid:42)(cid:208)(cid:227)(cid:79)(cid:285)(cid:60)(cid:240)(cid:293)(cid:115)c(cid:42)(cid:144) - £ (cid:42)
3 2 2
(cid:186) 2c-(a+b) £3(cid:42)(cid:186)-3£2c-(a+b)£3(cid:42)
(cid:186)a+b-3£2c£a+b+3(cid:42)
(cid:180)c=1(cid:42)(cid:144)a+b£5(cid:42)(cid:144)a,b(cid:115)(cid:140)2,3,3,2(cid:42)(cid:186)(cid:102)2(cid:176)(cid:42)
(cid:180)c=2(cid:42)(cid:144)1£a+b£7(cid:42)(cid:144)a,b(cid:115)(cid:140)1,3,1,4,1,5,1,6,3,4(cid:42)
3,1,4,1,5,1,6,1,4,3(cid:42)(cid:186)(cid:102)10(cid:176)(cid:42)
(cid:225)c=3(cid:42)(cid:144)3£a+b£9(cid:42)(cid:144)a,b(cid:115)(cid:140)
1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5(cid:42)
2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4(cid:42)
(cid:186)(cid:102)16(cid:176)(cid:42)
(cid:225)c=4(cid:42)(cid:144)5£a+b£11(cid:42)(cid:229)(cid:170)(cid:102)16(cid:176)(cid:42)
(cid:225)c=5(cid:42)(cid:144)7£a+b£13(cid:42)(cid:229)(cid:170)(cid:102)10(cid:176)(cid:42)
(cid:225)c=6(cid:42)(cid:144)9£a+b£15(cid:42)(cid:229)(cid:170)(cid:102)2(cid:176)(cid:42)
1
(cid:175)m(cid:83)n(cid:60)(cid:289)(cid:60)(cid:290)(cid:107)(cid:96)(cid:149)(cid:294)(cid:295) (cid:101)(cid:149)(cid:229)(cid:60)(cid:204)(cid:118)(cid:228)(cid:211)(cid:230)(cid:87)(cid:115)22+10+16=56(cid:42)
2
56 7
(cid:186)(cid:185)(cid:92)(cid:18)(cid:37)(cid:115) = .
120 15
7
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140)
15
8(cid:125)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:197)(cid:257)(cid:102)(cid:126)(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:42)(cid:200)(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:20)(cid:25)(cid:102)(cid:52)(cid:79)(cid:87)(cid:272)(cid:42)(cid:29)(cid:60)(cid:267)(cid:268)(cid:20)(cid:5)(cid:133)(cid:25)
(cid:102)(cid:87)(cid:272)1(cid:42)3(cid:42)5(cid:42)7(cid:42)(cid:30)(cid:60)(cid:267)(cid:268)(cid:20)(cid:5)(cid:133)(cid:25)(cid:102)(cid:87)(cid:272)2(cid:42)4(cid:42)6(cid:42)8(cid:42)(cid:78)(cid:197)(cid:223)(cid:224)(cid:126)(cid:296)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:297)(cid:200)(cid:296)(cid:190)(cid:191)(cid:183)(cid:42)(cid:78)(cid:197)(cid:257)(cid:263)
(cid:178)(cid:263)(cid:298)(cid:299)(cid:102)(cid:60)(cid:267)(cid:268)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:187)(cid:52)(cid:266)(cid:42)(cid:242)(cid:190)(cid:300)(cid:185)(cid:187)(cid:267)(cid:268)(cid:20)(cid:87)(cid:272)(cid:60)(cid:291)(cid:301)(cid:42)(cid:87)(cid:272)(cid:291)(cid:60)(cid:197)(cid:220)1(cid:5)(cid:42)(cid:87)(cid:272)(cid:301)(cid:60)(cid:197)(cid:220)0(cid:5)(cid:42)
(cid:222)(cid:151)(cid:257)(cid:263)(cid:302)(cid:219)(cid:251)(cid:296)(cid:185)(cid:187)(cid:60)(cid:267)(cid:268)(cid:10)(cid:302)(cid:219)(cid:60)(cid:267)(cid:268)(cid:297)(cid:251)(cid:151)(cid:60)(cid:296)(cid:202)(cid:183)(cid:149)(cid:179)(cid:303)(cid:68)(cid:11).(cid:144)(cid:126)(cid:296)(cid:190)(cid:191)(cid:151)(cid:42)(cid:29)(cid:60)(cid:230)(cid:220)(cid:5)(cid:149)(cid:301)(cid:129)2
(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)_________.
1
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164) /0.5
2
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:145)(cid:200)(cid:304)(cid:60)(cid:220)(cid:5)(cid:5)(cid:133)(cid:114)(cid:115)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:42)(cid:222)(cid:151)(cid:5)(cid:165)(cid:36)(cid:64)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:172)(cid:158).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:292)(cid:29)(cid:297)(cid:126)(cid:296)(cid:305)(cid:306)(cid:183)(cid:60)(cid:220)(cid:5)(cid:5)(cid:133)(cid:115)X ,X ,X ,X (cid:42)(cid:126)(cid:296)(cid:60)(cid:230)(cid:220)(cid:5)(cid:115)X.
1 2 3 4
(cid:107)(cid:129)(cid:307)(cid:174)(cid:52)(cid:296)(cid:42)(cid:29)(cid:30)(cid:78)(cid:197)(cid:297)(cid:283)(cid:296)(cid:156)(cid:245)(cid:200)(cid:266)(cid:308)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:309)(cid:95)(cid:249)(cid:42)(cid:36)(cid:183)(cid:303)(cid:220)(cid:29)(cid:220)(cid:5)(cid:60)(cid:156)(cid:308)(cid:48)(cid:45)(cid:102)(cid:310)(cid:176)(cid:42)(cid:178)(cid:311)(cid:29)(cid:297)6 3 3
(cid:283)(cid:296)(cid:220)(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)PX =1= = (cid:42)(cid:185)(cid:82)EX = k =1,2,3,4.
k 4´4 8 k 8
4 4 3 3
(cid:178)(cid:311)EX=EX +X +X +X =åEX =å = .
1 2 3 4 k 8 2
k=1 k=1
(cid:287)p =PX =kk =0,1,2,3 .
k
1 1
(cid:141)(cid:241)(cid:29)(cid:220)0(cid:5)(cid:42)(cid:144)(cid:48)(cid:45)(cid:228)(cid:41)(cid:113)(cid:312)(cid:52)(cid:60)(cid:140)(cid:313)(cid:207)(cid:113)(cid:29)(cid:156)1(cid:42)3(cid:42)5(cid:42)7(cid:5)(cid:133)(cid:107)(cid:314)(cid:30)(cid:156)2(cid:42)4(cid:42)6(cid:42)8(cid:42)(cid:185)(cid:82)p = = (cid:148)
0 A4 24
4
(cid:141)(cid:241)(cid:29)(cid:220)3(cid:5)(cid:42)(cid:144)(cid:48)(cid:45)(cid:228)(cid:41)(cid:100)(cid:113)(cid:312)(cid:52)(cid:60)(cid:140)(cid:313)(cid:207)(cid:113)(cid:29)(cid:156)1(cid:42)3(cid:42)5(cid:42)7(cid:5)(cid:133)(cid:107)(cid:314)(cid:30)(cid:156)8(cid:42)2(cid:42)4(cid:42)6(cid:42)(cid:185)(cid:82)
1 1
p = = .
3 A4 24
4
3
(cid:311)X(cid:60)(cid:185)(cid:102)(cid:158)(cid:179)(cid:118)(cid:96)(cid:113)0(cid:42)1(cid:42)2(cid:42)3(cid:42)(cid:186)p + p + p + p =1(cid:42)p +2p +3p =EX= .
0 1 2 3 1 2 3 2
1 1 3 1 1 1
(cid:185)(cid:82)p + p + =1(cid:42)p +2p + = (cid:42)(cid:78)(cid:41)(cid:72)(cid:315)(cid:172)(cid:220)p + = (cid:42)(cid:186)p + p = .
1 2 12 1 2 8 2 2 24 2 2 3 2
1
(cid:185)(cid:82)(cid:29)(cid:60)(cid:230)(cid:220)(cid:5)(cid:149)(cid:301)(cid:129)2(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)p + p = .
2 3 2
1
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140) .
2
(cid:161)(cid:4)(cid:316)(cid:164)(cid:65)(cid:317)(cid:4)(cid:4)(cid:316)(cid:140)(cid:70)(cid:13)(cid:60)(cid:65)(cid:317)(cid:297)(cid:129)(cid:145)(cid:51)(cid:13)(cid:318)(cid:319)(cid:115)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:51)(cid:13)(cid:42)(cid:67)(cid:68)(cid:89)(cid:90)(cid:60)(cid:158)(cid:199)(cid:63)(cid:220)(cid:159)(cid:249)(cid:85)(cid:65)(cid:66)(cid:42)(cid:178)
(cid:311)(cid:320)(cid:321)(cid:322)(cid:323)(cid:60)(cid:47)(cid:233).
9(cid:125)（2023·天津·高考真题）(cid:324)(cid:180)(cid:325)(cid:79)(cid:326)(cid:285)(cid:64)(cid:327)(cid:285)(cid:10)(cid:258)(cid:328)(cid:285)(cid:329)(cid:330)(cid:331)(cid:332)(cid:269)(cid:36)(cid:247)(cid:289)(cid:333)(cid:11)(cid:270)(cid:223)(cid:227)(cid:79)(cid:334)(cid:335)(cid:336)(cid:183)(cid:42)(cid:227)(cid:79)
(cid:335)(cid:336)(cid:183)(cid:60)(cid:285)(cid:87)(cid:273)(cid:190)(cid:115)5:4:6(cid:125)(cid:209)(cid:36)(cid:183)(cid:60)(cid:326)(cid:285)(cid:190)(cid:337)(cid:264)(cid:202)(cid:115)40%,25%,50%(cid:125)(cid:180)(cid:178)(cid:200)(cid:79)(cid:335)(cid:336)(cid:183)(cid:257)(cid:57)(cid:58)(cid:338)(cid:156)(cid:52)(cid:285)(cid:42)
(cid:144)(cid:227)(cid:79)(cid:285)(cid:309)(cid:113)(cid:326)(cid:285)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)_________(cid:148)(cid:180)(cid:324)(cid:185)(cid:102)(cid:285)(cid:270)(cid:297)(cid:52)(cid:53)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:338)(cid:156)(cid:52)(cid:285)(cid:42)(cid:144)(cid:283)(cid:285)(cid:113)(cid:327)(cid:285)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)
_________(cid:125)
3
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164) 0.05 /0.6
5
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:276)(cid:166)(cid:167)(cid:13)(cid:174)(cid:92)(cid:156)(cid:257)(cid:339)(cid:183)(cid:327)(cid:285)(cid:42)(cid:326)(cid:285)(cid:60)(cid:87)(cid:85)(cid:42)(cid:243)(cid:166)(cid:167)(cid:18)(cid:37)(cid:60)(cid:340)(cid:211)(cid:40)(cid:41)(cid:158)(cid:92)(cid:156)(cid:208)(cid:52)(cid:334)(cid:148)
(cid:166)(cid:167)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:158)(cid:92)(cid:156)(cid:208)(cid:91)(cid:79)(cid:334)(cid:125)
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:292)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:195)(cid:227)(cid:79)(cid:339)(cid:336)(cid:183)(cid:60)(cid:285)(cid:60)(cid:79)(cid:87)(cid:5)(cid:133)(cid:115)5n,4n,6n(cid:42)(cid:185)(cid:82)(cid:230)(cid:87)(cid:115)15n(cid:42)
(cid:185)(cid:82)(cid:29)(cid:339)(cid:183)(cid:326)(cid:285)(cid:79)(cid:87)(cid:115)40%´5n=2n(cid:42)(cid:327)(cid:285)(cid:79)(cid:87)(cid:115)3n(cid:148)
(cid:30)(cid:339)(cid:183)(cid:326)(cid:285)(cid:79)(cid:87)(cid:115)25%´4n=n(cid:42)(cid:327)(cid:285)(cid:79)(cid:87)(cid:115)3n(cid:148)
(cid:195)(cid:339)(cid:183)(cid:326)(cid:285)(cid:79)(cid:87)(cid:115)50%´6n=3n(cid:42)(cid:327)(cid:285)(cid:79)(cid:87)(cid:115)3n(cid:148)
(cid:287)“(cid:178)(cid:227)(cid:79)(cid:339)(cid:336)(cid:183)(cid:257)(cid:118)(cid:52)(cid:79)(cid:285)(cid:42)(cid:118)(cid:159)(cid:60)(cid:285)(cid:309)(cid:113)(cid:326)(cid:285)”(cid:115)(cid:59)(cid:56)A(cid:42)(cid:185)(cid:82)(cid:42)
PA=0.4´0.25´0.5=0.05(cid:148)
(cid:287)“(cid:145)(cid:227)(cid:79)(cid:339)(cid:336)(cid:341)(cid:45)(cid:151)(cid:118)(cid:156)(cid:52)(cid:79)(cid:285)(cid:42)(cid:113)(cid:327)(cid:285)”(cid:115)(cid:59)(cid:56)B(cid:42)(cid:326)(cid:285)(cid:230)(cid:175)(cid:102)2n+n+3n=6n(cid:79)(cid:42)(cid:327)(cid:285)(cid:175)(cid:102)9n(cid:79)(cid:42)
9n 3
(cid:185)(cid:82)(cid:42)PB= = (cid:125)
15n 5
3
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140)0.05(cid:148) (cid:125)
5
10(cid:125)（2023·上海·高考真题）(cid:342)(cid:108)(cid:102)4(cid:254)(cid:343)(cid:255)6(cid:254)(cid:344)(cid:255)(cid:42)(cid:105)(cid:178)10(cid:197)(cid:183)(cid:307)(cid:187)3(cid:197)(cid:42)(cid:144)(cid:345)(cid:102)1(cid:254)(cid:343)(cid:255)2(cid:254)(cid:344)(cid:255)
(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)_____________(cid:125)
1
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164) /0.5
2
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:67)(cid:68)(cid:48)(cid:45)(cid:87)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:92)(cid:171)(cid:172)(cid:158).
C1C2 4´15 1
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:185)(cid:187)(cid:60)3(cid:197)(cid:183)(cid:345)(cid:102)1(cid:254)(cid:343)(cid:255)2(cid:254)(cid:344)(cid:255)(cid:60)(cid:18)(cid:37)P= 4 6 = = (cid:42)
C3 120 2
10
1
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140)
2
11(cid:125)（2022·上海·高考真题）(cid:115)(cid:106)(cid:346)(cid:347)(cid:88)(cid:255)(cid:60)(cid:348)(cid:104)(cid:349)(cid:71)(cid:122)(cid:25)(cid:42)(cid:178)(cid:305)(cid:350)(cid:6)1(cid:97)(cid:42)(cid:285)(cid:6)3(cid:97)(cid:42)(cid:351)(cid:352)(cid:6)4(cid:97)(cid:175)8(cid:97)
(cid:97)(cid:353)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:204)(cid:118)4(cid:97)(cid:223)(cid:224)(cid:346)(cid:144)(cid:42)(cid:144)(cid:200)(cid:52)(cid:6)(cid:309)(cid:354)(cid:204)(cid:159)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)___________(cid:148)
3
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)
7
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)
由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)
解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方
法共有C1×C1×C2+C1×C2×C1种，
1 3 4 1 3 4
而所有的抽取方法共有C4种，
8
C1×C1×C2+C1×C2×C1 30 3
故每一类都被抽到的概率为 1 3 4 1 3 4 ＝ ＝ ，
C4 70 7
8
3
故答案为： ．
7
12(cid:125)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:178)(cid:98)(cid:228)(cid:104)(cid:60)8(cid:79)(cid:355)(cid:4)(cid:183)(cid:307)(cid:187)4(cid:79)(cid:42)(cid:144)(cid:258)4(cid:79)(cid:4)(cid:297)(cid:229)(cid:52)(cid:79)(cid:119)(cid:142)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)________(cid:125)
6
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164) .
35
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:172)(cid:158)(cid:92)(cid:156)(cid:125)(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:178)(cid:98)(cid:228)(cid:104)(cid:60)8(cid:79)(cid:355)(cid:4)(cid:183)(cid:307)(cid:118)4(cid:79)(cid:42)(cid:102)n=C4 =70(cid:79)(cid:44)(cid:241)(cid:42)(cid:258)4(cid:79)(cid:4)(cid:297)(cid:229)(cid:52)(cid:79)(cid:119)(cid:142)(cid:60)(cid:102)m=6+6=12
8
m 12 6
(cid:79)(cid:42)(cid:186)(cid:185)(cid:92)(cid:18)(cid:37)P= = = (cid:125)
n 70 35
6
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140) (cid:125)
35
13(cid:125)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:178)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:249)5(cid:254)(cid:229)(cid:88)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:187)3(cid:254)(cid:198)(cid:199)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:114)(cid:42)(cid:144)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:309)(cid:361)(cid:187)(cid:60)
(cid:18)(cid:37)(cid:115)____________(cid:125)
3
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164) /0.3
10
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:172)(cid:158)
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:171)(cid:211)(cid:52)(cid:140)(cid:292)(cid:258)5(cid:254)(cid:229)(cid:88)(cid:5)(cid:133)(cid:115)(cid:29)(cid:42)(cid:30)(cid:42)1,2,3(cid:42)(cid:178)5(cid:254)(cid:229)(cid:88)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:187)3(cid:254)(cid:42)
(cid:102)(cid:140)((cid:29)(cid:42)(cid:30)(cid:42)1)(cid:42)((cid:29)(cid:42)(cid:30)(cid:42)2)(cid:42)((cid:29)(cid:42)(cid:30)(cid:42)3)(cid:42)((cid:29)(cid:42)1(cid:42)2)(cid:42)((cid:29)(cid:42)1(cid:42)3)(cid:42)((cid:29)(cid:42)2(cid:42)3)(cid:42)((cid:30)(cid:42)1(cid:42)2)(cid:42)((cid:30)(cid:42)1(cid:42)
3)(cid:42)((cid:30)(cid:42)2(cid:42)3)(cid:42)(1(cid:42)2(cid:42)3)(cid:42)(cid:175)10(cid:176)(cid:187)(cid:211)(cid:148)
3
(cid:36)(cid:183)(cid:42)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:309)(cid:361)(cid:187)(cid:60)(cid:187)(cid:211)(cid:102)3(cid:176)(cid:42)(cid:186)(cid:185)(cid:92)(cid:18)(cid:37)P= .
10
3
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140) .
10
(cid:171)(cid:211)(cid:91)(cid:140)(cid:178)5(cid:254)(cid:229)(cid:88)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:187)3(cid:254)(cid:60)(cid:228)(cid:211)(cid:87)(cid:115)C3 =10
5
3
(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:309)(cid:361)(cid:187)(cid:60)(cid:228)(cid:211)(cid:87)(cid:115)C1 =3(cid:42)(cid:185)(cid:82)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:309)(cid:361)(cid:187)(cid:60)(cid:18)(cid:37)P=
3 10
3
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140)
10
14(cid:125)（2024·上海·高考真题）(cid:188)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:362)(cid:88)(cid:363)(cid:364)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:102)A(cid:26)B(cid:26)C3(cid:176)(cid:13)(cid:365)(cid:42)A(cid:13)(cid:365)(cid:102)5000(cid:366)(cid:13)(cid:42)B(cid:13)(cid:365)
(cid:102)4000(cid:366)(cid:13)(cid:42)C(cid:13)(cid:365)(cid:102)3000(cid:366)(cid:13)(cid:125)(cid:301)(cid:367)(cid:342)(cid:368)(cid:282)(cid:185)(cid:102)(cid:13)(cid:42)(cid:342)(cid:108)(cid:301)(cid:367)(cid:368)(cid:282)A(cid:13)(cid:365)(cid:60)(cid:98)(cid:206)(cid:37)(cid:113)0.92(cid:42)B(cid:13)(cid:365)(cid:60)
(cid:98)(cid:206)(cid:37)(cid:113)0.86(cid:42)C(cid:13)(cid:365)(cid:60)(cid:98)(cid:206)(cid:37)(cid:113)0.72(cid:125)(cid:105)(cid:369)(cid:178)(cid:185)(cid:102)(cid:60)(cid:13)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:187)(cid:52)(cid:13)(cid:42)(cid:98)(cid:206)(cid:37)(cid:113)______(cid:125)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)0.85
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:92)(cid:156)(cid:257)(cid:13)(cid:365)(cid:185)(cid:370)(cid:190)(cid:42)(cid:166)(cid:167)(cid:27)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:172)(cid:158)(cid:220)(cid:159)(cid:162)(cid:163).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:108)(cid:42)A,B,C(cid:13)(cid:365)(cid:60)(cid:190)(cid:337)(cid:115)(cid:140)5:4:3(cid:42)
5 4 3
(cid:257)(cid:370)(cid:190)(cid:5)(cid:133)(cid:115) , , (cid:42)
12 12 12
5 4 3
(cid:144)(cid:166)(cid:167)(cid:27)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:108)(cid:185)(cid:92)(cid:98)(cid:206)(cid:37)p= ´0.92+ ´0.86+ ´0.72=0.85(cid:125)
12 12 12
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140)0.85(cid:125)考点 02 条件概率、全概率公式
1(cid:125)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:188)(cid:286)(cid:60)(cid:183)(cid:88)(cid:255)(cid:183)(cid:102)60%(cid:60)(cid:229)(cid:88)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:374)(cid:42)50%(cid:60)(cid:229)(cid:88)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:375)(cid:42)70%(cid:60)(cid:229)
(cid:88)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:374)(cid:210)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:375).(cid:297)(cid:283)(cid:286)(cid:60)(cid:183)(cid:88)(cid:255)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:376)(cid:34)(cid:52)(cid:218)(cid:229)(cid:88)(cid:42)(cid:180)(cid:283)(cid:229)(cid:88)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:375)(cid:42)(cid:144)(cid:283)(cid:229)(cid:88)(cid:100)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:374)(cid:60)
(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:10) (cid:11)
A(cid:125)0.8 B(cid:125)0.6 C(cid:125)0.5 D(cid:125)0.4
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)A
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:276)(cid:39)(cid:156)(cid:229)(cid:101)(cid:371)(cid:372)(cid:78)(cid:97)(cid:60)(cid:18)(cid:37),(cid:67)(cid:68)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:37)(cid:60)(cid:108)(cid:109)(cid:92)(cid:171).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:229)(cid:101)(cid:371)(cid:372)(cid:78)(cid:97)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)0.5+0.6-0.7=0.4(cid:42)
(cid:287)“(cid:283)(cid:229)(cid:88)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:375)”(cid:115)(cid:59)(cid:56)A,(cid:287)“(cid:283)(cid:229)(cid:88)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:374)”(cid:115)(cid:59)(cid:56)B(cid:42)
(cid:144)P(A)=0.5,P(AB)=0.4(cid:42)
P(AB) 0.4
(cid:185)(cid:82)P(B(cid:377)A)= = =0.8.
P(A) 0.5
(cid:186)(cid:187):A.
2(cid:125)（2026·天津·高考真题）(cid:335)(cid:336)(cid:378)(cid:102)(cid:52)(cid:79)(cid:379)(cid:285)(cid:42)(cid:78)(cid:79)(cid:380)(cid:285)(cid:42)(cid:227)(cid:79)(cid:327)(cid:285)(cid:42)(cid:102)(cid:270)(cid:271)(cid:60)(cid:118)(cid:227)(cid:202)(cid:42)(cid:227)(cid:202)(cid:309)(cid:381)(cid:118)(cid:159)(cid:380)
(cid:285)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:113)__________(cid:148)(cid:297)(cid:227)(cid:202)(cid:309)(cid:381)(cid:118)(cid:159)(cid:380)(cid:285)(cid:60)(cid:55)(cid:56)(cid:246)(cid:42)(cid:284)(cid:382)(cid:118)(cid:159)(cid:52)(cid:202)(cid:379)(cid:285)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:113)__________(cid:125)
8 37
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)
27 64
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:208)(cid:52)(cid:334)(cid:140)(cid:38)(cid:39)(cid:156)(cid:200)(cid:202)(cid:118)(cid:159)(cid:149)(cid:113)(cid:380)(cid:285)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:172)(cid:158)(cid:220)(cid:156)(cid:227)(cid:202)(cid:309)(cid:381)(cid:118)(cid:159)(cid:380)(cid:285)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)(cid:208)(cid:91)(cid:334)(cid:140)(cid:38)(cid:39)(cid:156)
(cid:284)(cid:382)(cid:118)(cid:159)(cid:52)(cid:202)(cid:379)(cid:285)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:383)(cid:384)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:37)(cid:172)(cid:158)(cid:220)(cid:156)(cid:44)(cid:217).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:42)
(cid:208)(cid:52)(cid:334)(cid:140)
(cid:335)(cid:336)(cid:378)(cid:230)(cid:175)(cid:102)6(cid:79)(cid:285)(cid:42)(cid:36)(cid:183)(cid:380)(cid:285)2(cid:79)(cid:42)(cid:385)(cid:380)(cid:285)(cid:175)4(cid:79)(cid:54)
(cid:292)(cid:59)(cid:56)A(cid:244)(cid:245)(cid:381)(cid:118)(cid:159)(cid:380)(cid:285)(cid:42)(cid:59)(cid:56)A (cid:244)(cid:245)(cid:227)(cid:202)(cid:309)(cid:381)(cid:118)(cid:159)(cid:380)(cid:285)(cid:42)
1 2
4 2
(cid:102)(cid:270)(cid:271)(cid:204)(cid:118)(cid:42)(cid:200)(cid:202)(cid:118)(cid:159)(cid:385)(cid:380)(cid:285)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)PA= = (cid:42)
1 6 3
æ2ö 3 8
(cid:227)(cid:202)(cid:309)(cid:381)(cid:118)(cid:159)(cid:380)(cid:285)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:140)PA =ç ÷ = .
2 è3ø 27
(cid:208)(cid:91)(cid:334)(cid:140)
(cid:292)(cid:59)(cid:56)B (cid:244)(cid:245)(cid:284)(cid:382)(cid:118)(cid:159)(cid:52)(cid:202)(cid:379)(cid:285)(cid:42)(cid:59)(cid:56)B (cid:244)(cid:245)(cid:227)(cid:202)(cid:309)(cid:118)(cid:159)(cid:327)(cid:285)(cid:42)
1 2
æ1ö 3 1
PB =ç ÷ = (cid:42)
2 è2ø 8PA B 
(cid:227)(cid:202)(cid:309)(cid:381)(cid:118)(cid:159)(cid:380)(cid:285)(cid:60)(cid:55)(cid:56)(cid:246)(cid:42)(cid:284)(cid:382)(cid:118)(cid:159)(cid:52)(cid:202)(cid:379)(cid:285)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:140)PB |A = 2 1 (cid:42)
1 2 PA 
2
∵
8 1 37
PA B =PA -PB = - = (cid:42)
2 1 2 2 27 8 216
37
PB |A = PA 2 B 1  = 216 = 37 (cid:42)
1 2 PA  8 64
2
27
∴
37
(cid:297)(cid:227)(cid:202)(cid:309)(cid:381)(cid:118)(cid:159)(cid:380)(cid:285)(cid:60)(cid:55)(cid:56)(cid:246)(cid:42)(cid:284)(cid:382)(cid:118)(cid:159)(cid:52)(cid:202)(cid:379)(cid:285)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:113) .
64
∴ 3(cid:125)（2024·上海·高考真题）(cid:188)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:362)(cid:88)(cid:363)(cid:364)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:102)A(cid:26)B(cid:26)C3(cid:176)(cid:13)(cid:365)(cid:42)A(cid:13)(cid:365)(cid:102)5000(cid:366)(cid:13)(cid:42)B(cid:13)(cid:365)(cid:102)
4000(cid:366)(cid:13)(cid:42)C(cid:13)(cid:365)(cid:102)3000(cid:366)(cid:13)(cid:125)(cid:301)(cid:367)(cid:342)(cid:368)(cid:282)(cid:185)(cid:102)(cid:13)(cid:42)(cid:342)(cid:108)(cid:301)(cid:367)(cid:368)(cid:282)A(cid:13)(cid:365)(cid:60)(cid:98)(cid:206)(cid:37)(cid:113)0.92(cid:42)B(cid:13)(cid:365)(cid:60)(cid:98)(cid:206)
(cid:37)(cid:113)0.86(cid:42)C(cid:13)(cid:365)(cid:60)(cid:98)(cid:206)(cid:37)(cid:113)0.72(cid:125)(cid:105)(cid:369)(cid:178)(cid:185)(cid:102)(cid:60)(cid:13)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:187)(cid:52)(cid:13)(cid:42)(cid:98)(cid:206)(cid:37)(cid:113)______(cid:125)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)0.85
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:92)(cid:156)(cid:257)(cid:13)(cid:365)(cid:185)(cid:370)(cid:190)(cid:42)(cid:166)(cid:167)(cid:27)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:172)(cid:158)(cid:220)(cid:159)(cid:162)(cid:163).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:108)(cid:42)A,B,C(cid:13)(cid:365)(cid:60)(cid:190)(cid:337)(cid:115)(cid:140)5:4:3(cid:42)
5 4 3
(cid:257)(cid:370)(cid:190)(cid:5)(cid:133)(cid:115) , , (cid:42)
12 12 12
5 4 3
(cid:144)(cid:166)(cid:167)(cid:27)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:108)(cid:185)(cid:92)(cid:98)(cid:206)(cid:37)p= ´0.92+ ´0.86+ ´0.72=0.85(cid:125)
12 12 12
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140)0.85(cid:125)
4(cid:125)（2024·天津·高考真题）(cid:188)(cid:232)(cid:48)(cid:259)(cid:88)(cid:255)(cid:198)(cid:199)(cid:386)(cid:387)(cid:49)(cid:388)(cid:389)(cid:390)(cid:42)(cid:89)(cid:391)(cid:392)(cid:46)(cid:106)(cid:393)(cid:390)(cid:364)(cid:179)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:190)(cid:191)(cid:175)5(cid:79)(cid:97)(cid:353)(cid:42)
(cid:5)(cid:133)(cid:115)(cid:279)(cid:286)(cid:394)(cid:395)(cid:26)(cid:396)(cid:351)(cid:397)(cid:176)(cid:26)(cid:114)(cid:398)(cid:399)(cid:400)(cid:26)(cid:351)(cid:391)(cid:401)(cid:402)(cid:26)(cid:403)(cid:404)(cid:405)(cid:406)(cid:42)(cid:14)(cid:207)(cid:200)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:36)(cid:183)3(cid:79)(cid:97)(cid:353).(cid:407)(cid:292)(cid:200)(cid:197)(cid:198)(cid:199)
(cid:200)(cid:79)(cid:97)(cid:353)(cid:60)(cid:158)(cid:179)(cid:63)(cid:72)(cid:229)(cid:42)(cid:144)(cid:29)(cid:229)(cid:88)(cid:198)(cid:199)“(cid:279)(cid:286)(cid:394)(cid:395)”(cid:97)(cid:353)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)______(cid:148)(cid:342)(cid:108)(cid:30)(cid:229)(cid:88)(cid:198)(cid:199)(cid:60)3(cid:79)(cid:97)(cid:353)(cid:183)(cid:102)“(cid:279)
(cid:286)(cid:394)(cid:395)”(cid:42)(cid:144)(cid:369)(cid:408)(cid:198)(cid:199)“(cid:351)(cid:391)(cid:401)(cid:402)”(cid:97)(cid:353)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)______(cid:125)
3 1
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)
5 2
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:233)(cid:211)(cid:210)(cid:48)(cid:45)(cid:40)(cid:41)(cid:64)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:158)(cid:92)(cid:171)(cid:208)(cid:52)(cid:334)(cid:148)(cid:409)(cid:68)(cid:47)(cid:233)(cid:211)(cid:210)(cid:410)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:158)(cid:92)(cid:208)(cid:91)(cid:334).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:171)(cid:211)(cid:52)(cid:140)(cid:47)(cid:233)(cid:211)
(cid:411)(cid:258)5(cid:79)(cid:97)(cid:353)(cid:5)(cid:133)(cid:239)(cid:240)(cid:115)A,B,C,D,E,(cid:178)(cid:7)(cid:79)(cid:389)(cid:390)(cid:183)(cid:187)(cid:227)(cid:79)(cid:60)(cid:9)(cid:177)(cid:102)(cid:140)
ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,(cid:175)10(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:42)
(cid:36)(cid:183)(cid:29)(cid:187)(cid:159)A(cid:102)6(cid:176)(cid:158)(cid:179)(cid:63)(cid:140)ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE(cid:42)
6 3
(cid:144)(cid:29)(cid:198)(cid:199)“(cid:279)(cid:286)(cid:394)(cid:395)”(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:140)P= = (cid:148)
10 5
(cid:30)(cid:187)A(cid:389)(cid:390)(cid:102)6(cid:176)(cid:158)(cid:179)(cid:63)(cid:140)ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE(cid:42)(cid:36)(cid:183)(cid:243)(cid:187)(cid:412)D(cid:102)3(cid:176)(cid:158)(cid:179)(cid:63)(cid:140)ABD,ACD,ADE(cid:42)
3 1
(cid:186)(cid:30)(cid:198)(cid:199)(cid:60)3(cid:79)(cid:97)(cid:353)(cid:183)(cid:102)“(cid:279)(cid:286)(cid:394)(cid:395)”(cid:42)(cid:144)(cid:369)(cid:408)(cid:198)(cid:199)“(cid:351)(cid:391)(cid:401)(cid:402)”(cid:97)(cid:353)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115) = .
6 2
(cid:171)(cid:211)(cid:91)(cid:140)
(cid:292)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:187)(cid:159)A(cid:115)(cid:59)(cid:56)M (cid:42)(cid:30)(cid:187)(cid:159)D(cid:115)(cid:59)(cid:56)N (cid:42)
C2 3
(cid:144)(cid:29)(cid:187)(cid:159)A(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)PM= 4 = (cid:148)
C3 5
5
C1
3
PMN C3 1
(cid:30)(cid:187)(cid:106)A(cid:389)(cid:390)(cid:42)(cid:369)(cid:243)(cid:187)(cid:412)D(cid:389)(cid:390)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)PN M= = 5 =
PM C2 2
4
C3
5
3 1
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140) (cid:148)
5 2
5(cid:125)（2022·天津·高考真题）52(cid:266)(cid:413)(cid:414)(cid:308)(cid:42)(cid:381)(cid:102)(cid:291)(cid:301)(cid:415)(cid:42)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:286)(cid:204)(cid:118)(cid:78)(cid:202)(cid:42)(cid:144)(cid:78)(cid:202)(cid:309)(cid:204)(cid:159)A(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)
____________(cid:148)(cid:342)(cid:108)(cid:208)(cid:52)(cid:202)(cid:204)(cid:159)(cid:60)(cid:113)A(cid:42)(cid:144)(cid:208)(cid:91)(cid:202)(cid:204)(cid:118)A(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)____________
1 1
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)
221 17
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:44)(cid:45)(cid:18)(cid:37)(cid:60)(cid:340)(cid:211)(cid:40)(cid:41)(cid:158)(cid:220)(cid:78)(cid:202)(cid:309)(cid:204)(cid:159)A(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:243)(cid:203)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:37)(cid:60)(cid:40)(cid:41)(cid:172)(cid:158)(cid:92)(cid:220)(cid:297)(cid:208)(cid:52)(cid:202)(cid:204)
(cid:159)A(cid:60)(cid:55)(cid:56)(cid:246)(cid:42)(cid:208)(cid:91)(cid:202)(cid:204)(cid:159)A(cid:60)(cid:18)(cid:37).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:42)(cid:292)(cid:208)(cid:52)(cid:202)(cid:204)(cid:159)A(cid:60)(cid:59)(cid:56)(cid:115)B,(cid:208)(cid:91)(cid:202)(cid:204)(cid:159)A(cid:60)(cid:59)(cid:56)(cid:115)C,
1
(cid:144)PBC= 4 ´ 3 = 1 ,P(B)= 4 = 1 ,PC|B= PBC = 221 = 1 .
52 51 221 52 13 PB 1 17
13
1 1
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140) (cid:148) .
221 17
6(cid:125)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:297)(cid:188)(cid:286)(cid:357)(cid:223)(cid:224)(cid:416)(cid:224)(cid:417)(cid:88)(cid:376)(cid:34)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:376)(cid:34)(cid:106)100(cid:218)(cid:188)(cid:176)(cid:418)(cid:417)(cid:419)(cid:410)(cid:60)(cid:8)(cid:420)(cid:42)
(cid:220)(cid:159)(cid:141)(cid:246)(cid:60)(cid:421)(cid:70)(cid:87)(cid:167)(cid:60)(cid:422)(cid:37)(cid:5)(cid:86)(cid:423)(cid:228)(cid:215)(cid:140)(1)(cid:424)(cid:38)(cid:283)(cid:286)(cid:357)(cid:258)(cid:176)(cid:418)(cid:417)(cid:419)(cid:410)(cid:60)(cid:119)(cid:95)(cid:8)(cid:420)(cid:10)(cid:229)(cid:52)(cid:48)(cid:183)(cid:60)(cid:87)(cid:167)(cid:68)(cid:283)(cid:48)(cid:357)(cid:391)(cid:60)(cid:183)(cid:4)(cid:96)(cid:115)(cid:425)(cid:244)(cid:11)(cid:148)
(2)(cid:424)(cid:38)(cid:283)(cid:286)(cid:357)(cid:52)(cid:218)(cid:258)(cid:176)(cid:418)(cid:417)(cid:419)(cid:410)(cid:60)(cid:8)(cid:420)(cid:218)(cid:129)(cid:357)(cid:391)[20,70)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(3)(cid:342)(cid:108)(cid:283)(cid:286)(cid:357)(cid:258)(cid:176)(cid:418)(cid:417)(cid:60)(cid:419)(cid:417)(cid:37)(cid:115)0.1%(cid:42)(cid:283)(cid:286)(cid:357)(cid:8)(cid:420)(cid:218)(cid:129)(cid:357)(cid:391)[40,50)(cid:60)(cid:197)(cid:426)(cid:370)(cid:283)(cid:286)(cid:357)(cid:230)(cid:197)(cid:426)(cid:60)16%.(cid:178)(cid:283)
(cid:286)(cid:357)(cid:183)(cid:307)(cid:187)(cid:52)(cid:197)(cid:42)(cid:180)(cid:251)(cid:197)(cid:60)(cid:8)(cid:420)(cid:218)(cid:129)(cid:357)(cid:391)[40,50)(cid:42)(cid:92)(cid:251)(cid:197)(cid:419)(cid:258)(cid:176)(cid:418)(cid:417)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:125)(cid:10)(cid:82)(cid:421)(cid:70)(cid:87)(cid:167)(cid:183)(cid:419)(cid:410)(cid:60)(cid:8)(cid:420)
(cid:218)(cid:129)(cid:257)(cid:357)(cid:391)(cid:60)(cid:422)(cid:37)(cid:114)(cid:115)(cid:419)(cid:410)(cid:60)(cid:8)(cid:420)(cid:218)(cid:129)(cid:283)(cid:357)(cid:391)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:427)(cid:206)(cid:159)0.0001(cid:11).
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)47.9(cid:428)(cid:148)
(2)0.89(cid:148)
(3)0.0014(cid:125)
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:166)(cid:167)(cid:119)(cid:95)(cid:96)(cid:249)(cid:129)(cid:257)(cid:429)(cid:128)(cid:60)(cid:142)(cid:274)(cid:340)(cid:82)(cid:107)(cid:314)(cid:357)(cid:391)(cid:60)(cid:183)(cid:4)(cid:96)(cid:60)(cid:64)(cid:172)(cid:158)(cid:92)(cid:156)(cid:148)
(cid:10)2(cid:11)(cid:292)A={(cid:52)(cid:197)(cid:419)(cid:258)(cid:176)(cid:418)(cid:417)(cid:60)(cid:8)(cid:420)(cid:297)(cid:357)(cid:391)[20,70)}(cid:42)(cid:166)(cid:167)(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)P(A)=1-P(A)(cid:172)(cid:158)(cid:171)(cid:156)(cid:148)
(cid:10)3(cid:11)(cid:166)(cid:167)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:172)(cid:158)(cid:92)(cid:156)(cid:125)
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:119)(cid:95)(cid:8)(cid:420)x =(5´0.001+15´0.002+25´0.012+35´0.017+45´0.023
+55´0.020+65´0.017+75´0.006+85´0.002)´10=47.9(cid:10)(cid:428)(cid:11)(cid:125)
(cid:10)2(cid:11)(cid:292)A=“(cid:52)(cid:197)(cid:419)(cid:258)(cid:176)(cid:418)(cid:417)(cid:60)(cid:8)(cid:420)(cid:297)(cid:357)(cid:391)[20,70)”(cid:42)(cid:185)(cid:82)
P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)´10=1-0.11=0.89(cid:125)
(cid:10)3(cid:11)(cid:292)B=“(cid:307)(cid:187)(cid:52)(cid:197)(cid:8)(cid:420)(cid:218)(cid:129)(cid:357)(cid:391)[40,50)”(cid:42)C =“(cid:178)(cid:283)(cid:286)(cid:357)(cid:183)(cid:307)(cid:187)(cid:52)(cid:197)(cid:419)(cid:258)(cid:176)(cid:418)(cid:417)”(cid:42)
(cid:144)(cid:203)(cid:342)(cid:108)(cid:220)(cid:140)
PB=16%=0.16,PC=0.1%=0.001,P(B|C)=0.023´10=0.23,
(cid:144)(cid:203)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:158)(cid:220)
(cid:178)(cid:283)(cid:286)(cid:357)(cid:183)(cid:307)(cid:187)(cid:52)(cid:197)(cid:42)(cid:180)(cid:251)(cid:197)(cid:60)(cid:8)(cid:420)(cid:218)(cid:129)(cid:357)(cid:391)[40,50)(cid:42)(cid:251)(cid:197)(cid:419)(cid:258)(cid:176)(cid:418)(cid:417)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)P(BC) P(C)P(B|C) 0.001´0.23
P(C|B)= = = =0.0014375»0.0014(cid:125)
P(B) P(B) 0.16
7(cid:125)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:52)(cid:430)(cid:431)(cid:432)(cid:433)(cid:115)(cid:434)(cid:435)(cid:188)(cid:286)(cid:60)(cid:52)(cid:176)(cid:286)(cid:228)(cid:63)(cid:418)(cid:417)(cid:83)(cid:225)(cid:286)(cid:436)(cid:437)(cid:60)(cid:438)(cid:255)(cid:439)(cid:440)(cid:10)(cid:438)
(cid:255)(cid:439)(cid:440)(cid:5)(cid:115)(cid:441)(cid:372)(cid:64)(cid:149)(cid:442)(cid:441)(cid:372)(cid:78)(cid:6)(cid:11)(cid:60)(cid:65)(cid:66)(cid:42)(cid:297)(cid:342)(cid:419)(cid:283)(cid:418)(cid:417)(cid:60)(cid:417)(cid:337)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:376)(cid:34)(cid:106)100(cid:337)(cid:10)(cid:443)(cid:115)(cid:417)(cid:337)(cid:48)(cid:11)(cid:42)(cid:229)
(cid:101)(cid:297)(cid:155)(cid:419)(cid:283)(cid:418)(cid:417)(cid:60)(cid:197)(cid:444)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:376)(cid:34)(cid:106)100(cid:197)(cid:10)(cid:443)(cid:115)(cid:107)(cid:445)(cid:48)(cid:11)(cid:42)(cid:220)(cid:159)(cid:141)(cid:246)(cid:87)(cid:167)(cid:140)
(cid:149)(cid:442)(cid:441)(cid:372) (cid:441)(cid:372)
(cid:417)(cid:337)(cid:48) 40 60
(cid:107)(cid:445)(cid:48) 10 90
(1)(cid:179)(cid:446)(cid:102)99%(cid:60)(cid:324)(cid:447)(cid:448)(cid:115)(cid:419)(cid:283)(cid:418)(cid:417)(cid:444)(cid:104)(cid:83)(cid:155)(cid:419)(cid:283)(cid:418)(cid:417)(cid:444)(cid:104)(cid:60)(cid:438)(cid:255)(cid:439)(cid:440)(cid:102)(cid:289)(cid:333)(cid:449)
(2)(cid:178)(cid:283)(cid:286)(cid:60)(cid:197)(cid:444)(cid:183)(cid:307)(cid:187)(cid:52)(cid:197)(cid:42)A(cid:244)(cid:245)(cid:59)(cid:56)“(cid:187)(cid:159)(cid:60)(cid:197)(cid:438)(cid:255)(cid:439)(cid:440)(cid:149)(cid:442)(cid:441)(cid:372)”(cid:42)B(cid:244)(cid:245)(cid:59)(cid:56)“(cid:187)(cid:159)(cid:60)(cid:197)(cid:419)(cid:102)(cid:283)(cid:418)
P(B|A) P(B|A)
(cid:417)”(cid:125) (cid:83) (cid:60)(cid:190)(cid:96)(cid:113)(cid:438)(cid:255)(cid:439)(cid:440)(cid:149)(cid:442)(cid:441)(cid:372)(cid:107)(cid:419)(cid:283)(cid:418)(cid:417)(cid:450)(cid:451)(cid:452)(cid:453)(cid:60)(cid:52)(cid:97)(cid:453)(cid:85)(cid:122)(cid:25)(cid:42)(cid:287)(cid:283)(cid:122)(cid:25)(cid:115)R(cid:125)
P(B|A) P(B|A)
P(A|B) P(A|B)
(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:454)(cid:455)(cid:140)R= × (cid:148)
P(A|B) P(A|B)
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:283)(cid:376)(cid:34)(cid:87)(cid:167)(cid:42)(cid:411)(cid:156)P(A|B),P(A|B)(cid:60)(cid:424)(cid:38)(cid:96)(cid:42)(cid:242)(cid:67)(cid:68)(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:60)(cid:44)(cid:241)(cid:411)(cid:156)R(cid:60)(cid:424)(cid:38)(cid:96)(cid:125)
n(ad-bc)2
(cid:456)K2 = (cid:42)
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P  K2 ³k  0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)(cid:102)99%(cid:60)(cid:324)(cid:447)(cid:448)(cid:115)(cid:419)(cid:283)(cid:418)(cid:417)(cid:444)(cid:104)(cid:83)(cid:155)(cid:419)(cid:283)(cid:418)(cid:417)(cid:444)(cid:104)(cid:60)(cid:438)(cid:255)(cid:439)(cid:440)(cid:102)(cid:289)(cid:333).
P(B|A) P(B|A) P(AB) P(A) P(AB) P(A)
(2)(cid:10)i(cid:11)(cid:454)(cid:455)(cid:140)(cid:250)(cid:115)R= × = × × × (cid:42)
P(B|A) P(B|A) P(A) P(AB) P(A) P(AB)
P(AB) P(B) P(AB) P(B)
(cid:185)(cid:82)R= × × ×
P(B) P(AB) P(B) P(AB)
P(A|B) P(A|B)
(cid:185)(cid:82)R= × .
P(A|B) P(A|B)
(ii)R=6(cid:148)
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(1)(cid:203)(cid:185)(cid:411)(cid:87)(cid:167)(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:41)(cid:92)(cid:156)K2(cid:60)(cid:96)(cid:42)(cid:145)(cid:36)(cid:83)(cid:457)(cid:458)(cid:96)(cid:190)(cid:300)(cid:291)(cid:301)(cid:42)(cid:203)(cid:251)(cid:206)(cid:207)(cid:113)(cid:446)(cid:102)99%(cid:60)(cid:324)(cid:447)(cid:448)(cid:115)(cid:419)
(cid:283)(cid:418)(cid:417)(cid:444)(cid:104)(cid:83)(cid:155)(cid:419)(cid:283)(cid:418)(cid:417)(cid:444)(cid:104)(cid:60)(cid:438)(cid:255)(cid:439)(cid:440)(cid:102)(cid:289)(cid:333)(cid:148)(2)(i) (cid:166)(cid:167)(cid:207)(cid:81)(cid:44)(cid:45)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:172)(cid:158)(cid:368)(cid:282)(cid:454)(cid:455)(cid:148)(ii)(cid:166)(cid:167)
(cid:10)i(cid:11)(cid:44)(cid:45)(cid:342)(cid:108)(cid:87)(cid:167)(cid:92)R.n(ad-bc)2 200(40´90-60´10)2
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:203)(cid:342)(cid:108)K2 = = =24(cid:42)
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 50´150´100´100
(cid:459)P(K2 ³6.635)=0.01(cid:42)24>6.635(cid:42)
(cid:185)(cid:82)(cid:102)99%(cid:60)(cid:324)(cid:447)(cid:448)(cid:115)(cid:419)(cid:283)(cid:418)(cid:417)(cid:444)(cid:104)(cid:83)(cid:155)(cid:419)(cid:283)(cid:418)(cid:417)(cid:444)(cid:104)(cid:60)(cid:438)(cid:255)(cid:439)(cid:440)(cid:102)(cid:289)(cid:333).
(cid:10)2(cid:11)(i)(cid:460)
40 10
(ii) (cid:203)(cid:342)(cid:108)P(A|B)= (cid:42)P(A|B)= (cid:42)
100 100
60 90
(cid:459)P(A|B)= (cid:42)P(A|B)= (cid:42)
100 100
P(A|B) P(A|B)
(cid:185)(cid:82)R= × =6
P(A|B) P(A|B)
考点 03 概率及其基本性质、相互独立事件及其推广
1
1(cid:125)（2025·上海·高考真题）(cid:342)(cid:108)(cid:59)(cid:56)A(cid:26)B(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:42)(cid:59)(cid:56)A(cid:157)(cid:255)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)P(A)= (cid:42)(cid:59)(cid:56)B(cid:157)(cid:255)(cid:60)(cid:18)(cid:37)
2
1
(cid:115)P(B)= (cid:42)(cid:144)(cid:59)(cid:56)AÇB(cid:157)(cid:255)(cid:60)(cid:18)(cid:37)P(AÇB)(cid:115)(cid:10) (cid:11)
2
1 1 1
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)0
8 4 2
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)B
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:158)(cid:92)PAÇB
.
1 1 1
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:250)(cid:115)A,B(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:42)(cid:186)PAÇB=PAPB= ´ = (cid:42)
2 2 4
(cid:186)(cid:187)(cid:140)B.
2(cid:125)（2024·上海·高考真题）(cid:102)(cid:126)(cid:176)(cid:461)(cid:339)(cid:42)(cid:288)(cid:227)(cid:176)(cid:378)(cid:142)(cid:5)(cid:133)(cid:462)(cid:463)(cid:102)(cid:183)(cid:28)(cid:44)(cid:26)(cid:287)(cid:59)(cid:70)(cid:26)(cid:464)(cid:465)(cid:42)(cid:208)(cid:126)(cid:79)(cid:461)(cid:339)(cid:378)(cid:142)
(cid:227)(cid:176)(cid:461)(cid:466)(cid:309)(cid:102)(cid:42)(cid:105)(cid:178)(cid:183)(cid:307)(cid:187)(cid:52)(cid:79)(cid:339)(cid:336)(cid:42)(cid:292)(cid:59)(cid:56)A(cid:140)(cid:185)(cid:187)(cid:339)(cid:183)(cid:102)(cid:183)(cid:28)(cid:44)(cid:42)(cid:59)(cid:56)B(cid:140)(cid:185)(cid:187)(cid:339)(cid:183)(cid:102)(cid:287)(cid:59)(cid:70)(cid:42)(cid:59)(cid:56)
C(cid:140)(cid:185)(cid:187)(cid:339)(cid:183)(cid:102)(cid:464)(cid:465)(cid:42)(cid:144)(cid:10) (cid:11)
A(cid:125)(cid:59)(cid:56)A(cid:83)(cid:59)(cid:56)B(cid:73)(cid:467) B(cid:125)(cid:59)(cid:56)A(cid:83)(cid:59)(cid:56)B(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)
C(cid:125)(cid:59)(cid:56)A(cid:83)(cid:59)(cid:56)BÈC(cid:73)(cid:467) D(cid:125)(cid:59)(cid:56)A(cid:83)(cid:59)(cid:56)BÇC(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)B
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:73)(cid:467)(cid:59)(cid:56)(cid:64)(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:207)(cid:81)(cid:42)(cid:468)(cid:52)(cid:469)(cid:470)(cid:187)(cid:97)(cid:172)(cid:158)(cid:125)
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:187)(cid:97)A(cid:42)(cid:59)(cid:56)A(cid:64)(cid:59)(cid:56)B(cid:158)(cid:82)(cid:229)(cid:101)(cid:157)(cid:255)(cid:42)(cid:172)(cid:208)(cid:126)(cid:79)(cid:461)(cid:339)(cid:183)(cid:158)(cid:82)(cid:471)(cid:102)(cid:183)(cid:28)(cid:44)(cid:42)(cid:459)(cid:102)(cid:287)(cid:59)(cid:70)(cid:42)(cid:59)(cid:56)A
(cid:83)(cid:59)(cid:56)B(cid:149)(cid:73)(cid:467)(cid:42)A(cid:472)(cid:473)(cid:148)1 1 1
(cid:187)(cid:97)B(cid:42)QPA= (cid:42)PB= (cid:42)P(AB)= (cid:42)
2 2 4
\PAPB=PAB(cid:42)B(cid:98)(cid:206)(cid:148)
(cid:187)(cid:97)C(cid:42)(cid:59)(cid:56)A(cid:83)(cid:59)(cid:56)BUC(cid:158)(cid:82)(cid:229)(cid:101)(cid:157)(cid:255)(cid:42)(cid:172)(cid:208)(cid:126)(cid:79)(cid:461)(cid:339)(cid:183)(cid:158)(cid:82)(cid:471)(cid:102)(cid:183)(cid:28)(cid:44)(cid:42)(cid:459)(cid:102)(cid:287)(cid:59)(cid:70)(cid:210)(cid:464)(cid:465)(cid:42)C(cid:472)(cid:473)(cid:148)
(cid:187)(cid:97)D(cid:42)QPA= 1 (cid:42)P(BIC)= 1 (cid:42)P(A Ç (BIC))= 1 (cid:42)
2 4 4
\PAPBÇC¹PAÇBÇC
(cid:42)
\A(cid:83)BIC(cid:149)(cid:61)(cid:62)(cid:42)(cid:186)D(cid:472)(cid:473)(cid:125)
(cid:186)(cid:187)(cid:140)B(cid:125)
3(cid:125)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:188)(cid:474)(cid:475)(cid:83)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:195)(cid:227)(cid:218)(cid:474)(cid:475)(cid:257)(cid:190)(cid:191)(cid:52)(cid:476)(cid:42)(cid:257)(cid:476)(cid:190)(cid:191)(cid:44)(cid:241)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:125)(cid:342)(cid:108)
(cid:283)(cid:474)(cid:475)(cid:83)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:195)(cid:190)(cid:191)(cid:477)(cid:478)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:5)(cid:133)(cid:115)p,p ,p (cid:42)(cid:209)p > p > p >0(cid:125)(cid:287)(cid:283)(cid:474)(cid:475)(cid:479)(cid:478)(cid:78)(cid:476)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)p(cid:42)
1 2 3 3 2 1
(cid:144)(cid:10) (cid:11)
A(cid:125)p(cid:83)(cid:283)(cid:474)(cid:475)(cid:64)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:195)(cid:60)(cid:190)(cid:191)(cid:202)(cid:132)(cid:269)(cid:65) B(cid:125)(cid:283)(cid:474)(cid:475)(cid:297)(cid:208)(cid:91)(cid:476)(cid:83)(cid:29)(cid:190)(cid:191)(cid:42)p(cid:150)(cid:291)
C(cid:125)(cid:283)(cid:474)(cid:475)(cid:297)(cid:208)(cid:91)(cid:476)(cid:83)(cid:30)(cid:190)(cid:191)(cid:42)p(cid:150)(cid:291) D(cid:125)(cid:283)(cid:474)(cid:475)(cid:297)(cid:208)(cid:91)(cid:476)(cid:83)(cid:195)(cid:190)(cid:191)(cid:42)p(cid:150)(cid:291)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)D
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:171)(cid:211)(cid:52)(cid:140)(cid:121)(cid:92)(cid:479)(cid:478)(cid:78)(cid:304)(cid:42)(cid:186)(cid:480)(cid:179)(cid:208)(cid:52)(cid:304)(cid:64)(cid:208)(cid:91)(cid:304)(cid:479)(cid:478)(cid:42)(cid:210)(cid:208)(cid:91)(cid:304)(cid:64)(cid:208)(cid:227)(cid:304)(cid:479)(cid:478)(cid:42)(cid:144)(cid:208)(cid:91)(cid:304)(cid:64)(cid:481)(cid:190)
(cid:191)(cid:482)(cid:110)(cid:121)(cid:42)(cid:208)(cid:91)(cid:304)(cid:60)(cid:107)(cid:475)(cid:49)(cid:483)(cid:484)(cid:485)(cid:42)(cid:479)(cid:478)(cid:78)(cid:304)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:484)(cid:301)(cid:42)(cid:208)(cid:91)(cid:304)(cid:60)(cid:107)(cid:475)(cid:49)(cid:483)(cid:484)(cid:486)(cid:42)(cid:479)(cid:478)(cid:78)(cid:304)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:484)(cid:291)(cid:42)
(cid:185)(cid:82)(cid:166)(cid:167)(cid:55)(cid:56)(cid:424)(cid:39)(cid:220)(cid:159)(cid:195)(cid:49)(cid:483)(cid:150)(cid:486)(cid:42)(cid:185)(cid:82)D(cid:187)(cid:97)(cid:98)(cid:206).
(cid:171)(cid:211)(cid:91)(cid:140)(cid:283)(cid:474)(cid:475)(cid:479)(cid:478)(cid:78)(cid:476)(cid:42)(cid:144)(cid:208)(cid:91)(cid:476)(cid:115)(cid:313)(cid:478)(cid:476)(cid:42)
1
(cid:287)(cid:283)(cid:474)(cid:475)(cid:297)(cid:208)(cid:91)(cid:476)(cid:83)(cid:29)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:190)(cid:191)(cid:131)(cid:132)(cid:115)(cid:30)(cid:29)(cid:195)(cid:35)(cid:195)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:95)(cid:115) (cid:42)
2
(cid:144)(cid:251)(cid:101)(cid:479)(cid:478)(cid:78)(cid:476)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)p
(cid:29)
1 1
(cid:144)p = (1- p )p p + p p (1- p )+ (1- p )p p + p p (1- p )
(cid:29) 2 2 1 3 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2
= p (p + p )-2p p p (cid:148)
1 2 3 1 2 3
(cid:287)(cid:283)(cid:474)(cid:475)(cid:297)(cid:208)(cid:91)(cid:476)(cid:83)(cid:30)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:209)(cid:479)(cid:478)(cid:78)(cid:476)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)p (cid:42)
(cid:30)
(cid:144)p =(1- p )p p + p p (1- p )= p (p + p )-2p p p
(cid:30) 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3
(cid:287)(cid:283)(cid:474)(cid:475)(cid:297)(cid:208)(cid:91)(cid:476)(cid:83)(cid:195)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:209)(cid:479)(cid:478)(cid:78)(cid:476)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)p
丙
(cid:144)p =(1- p )p p + p p (1- p )= p (p + p )-2p p p
(cid:195) 1 3 2 1 3 2 3 1 2 1 2 3(cid:144)p - p = p (p + p )-2p p p -p (p + p )-2p p p =p - p p <0
(cid:29) (cid:30) 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3
p - p = p (p + p )-2p p p -p (p + p )-2p p p =p - p p <0
(cid:30) (cid:195) 2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1
(cid:172)p < p (cid:42)p < p (cid:42)
(cid:29) (cid:30) (cid:30) (cid:195)
(cid:144)(cid:283)(cid:474)(cid:475)(cid:297)(cid:208)(cid:91)(cid:476)(cid:83)(cid:195)(cid:190)(cid:191)(cid:42)p(cid:150)(cid:291).(cid:187)(cid:97)D(cid:469)(cid:470)(cid:98)(cid:206)(cid:148)(cid:187)(cid:97)BC(cid:469)(cid:470)(cid:472)(cid:473)(cid:148)
p(cid:83)(cid:283)(cid:474)(cid:475)(cid:83)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:195)(cid:60)(cid:190)(cid:191)(cid:202)(cid:132)(cid:102)(cid:65).(cid:187)(cid:97)A(cid:469)(cid:470)(cid:472)(cid:473).
(cid:186)(cid:187)(cid:140)D
4(cid:125)（2026·上海·高考真题）(cid:59)(cid:56)A(cid:64)(cid:59)(cid:56)B(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:42)“A(cid:64)B(cid:284)(cid:382)(cid:52)(cid:79)(cid:157)(cid:255)”(cid:60)(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:113)(cid:10) (cid:11)(cid:125)
A(cid:125)AÇB B(cid:125)AUB C(cid:125)AIB D(cid:125)AÈB
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)C
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:35)(cid:107)(cid:62)(cid:207)(cid:81)(cid:92)(cid:171).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:342)(cid:108)A,B(cid:284)(cid:382)(cid:102)(cid:52)(cid:79)(cid:157)(cid:255)(cid:42)
(cid:144)(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:115)A,B(cid:309)(cid:149)(cid:157)(cid:255)(cid:42)(cid:185)(cid:82)AÈB(cid:60)(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:115)AÇB.
5(cid:125)(cid:10)(cid:487)(cid:187)(cid:13)(cid:11)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:297)(cid:488)(cid:366)(cid:489)(cid:490)(cid:491)0(cid:42)1(cid:488)(cid:240)(cid:42)(cid:488)(cid:240)(cid:60)(cid:490)(cid:491)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:125)(cid:157)(cid:492)0(cid:101)(cid:42)
(cid:493)(cid:159)1(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)a(0<a<1)(cid:42)(cid:493)(cid:159)0(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)1-a(cid:148)(cid:157)(cid:492)1(cid:101)(cid:42)(cid:493)(cid:159)0(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)b(0<b<1)(cid:42)(cid:493)(cid:159)1(cid:60)(cid:18)
(cid:37)(cid:115)1-b. (cid:3)(cid:494)(cid:78)(cid:176)(cid:490)(cid:491)(cid:228)(cid:163)(cid:140)(cid:495)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:64)(cid:227)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:125)(cid:495)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:113)(cid:122)(cid:200)(cid:79)(cid:488)(cid:240)(cid:480)(cid:157)(cid:492)1(cid:202)(cid:42)(cid:227)(cid:202)(cid:490)(cid:491) (cid:113)(cid:122)
(cid:200)(cid:79)(cid:488)(cid:240)(cid:110)(cid:184)(cid:157)(cid:492)3(cid:202)(cid:125)(cid:493)(cid:159)(cid:60)(cid:488)(cid:240)(cid:496)(cid:121)(cid:497)(cid:293)(cid:42)(cid:497)(cid:293)(cid:14)(cid:144)(cid:141)(cid:246)(cid:140)(cid:495)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:101)(cid:42)(cid:493)(cid:159)(cid:60)(cid:488)(cid:240)(cid:172)(cid:115)(cid:497)(cid:293)(cid:148)(cid:227)(cid:202)
(cid:490)(cid:491)(cid:101)(cid:42)(cid:493)(cid:159)(cid:60)(cid:488)(cid:240)(cid:183)(cid:156)(cid:105)(cid:202)(cid:87)(cid:487)(cid:60)(cid:172)(cid:115)(cid:497)(cid:293)(cid:10)(cid:337)(cid:141)(cid:42)(cid:180)(cid:264)(cid:202)(cid:493)(cid:159)1(cid:42)0(cid:42)1(cid:42)(cid:144)(cid:497)(cid:293)(cid:115)1(cid:11).
A(cid:125)(cid:409)(cid:68)(cid:495)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:228)(cid:163)(cid:42)(cid:180)(cid:264)(cid:202)(cid:157)(cid:492)1(cid:42)0(cid:42)1(cid:42)(cid:144)(cid:264)(cid:202)(cid:493)(cid:159)l(cid:42)0(cid:42)1(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(1-a)(1-b)2
B(cid:125)(cid:409)(cid:68)(cid:227)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:228)(cid:163)(cid:42)(cid:180)(cid:157)(cid:492)1(cid:42)(cid:144)(cid:264)(cid:202)(cid:493)(cid:159)1(cid:42)0(cid:42)1(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)b(1-b)2
C(cid:125)(cid:409)(cid:68)(cid:227)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:228)(cid:163)(cid:42)(cid:180)(cid:157)(cid:492)1(cid:42)(cid:144)(cid:497)(cid:293)(cid:115)1(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)b(1-b)2+(1-b)3
D(cid:125)(cid:225)0<a<0.5(cid:101)(cid:42)(cid:180)(cid:157)(cid:492)0(cid:42)(cid:144)(cid:409)(cid:68)(cid:227)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:228)(cid:163)(cid:497)(cid:293)(cid:115)0(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:291)(cid:129)(cid:409)(cid:68)(cid:495)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:228)(cid:163)(cid:497)(cid:293)(cid:115)0(cid:60)
(cid:18)(cid:37)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)ABD
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:67)(cid:68)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:39)(cid:469)(cid:470)AB(cid:148)(cid:67)(cid:68)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:35)(cid:73)(cid:467)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:469)(cid:470)C(cid:148)(cid:92)
(cid:156)(cid:78)(cid:176)(cid:490)(cid:491)(cid:228)(cid:163)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:242)(cid:114)(cid:289)(cid:190)(cid:300)(cid:469)(cid:470)D(cid:114)(cid:162).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:107)(cid:129)A(cid:42)(cid:264)(cid:202)(cid:157)(cid:492)1(cid:42)0(cid:42)1(cid:42)(cid:144)(cid:264)(cid:202)(cid:493)(cid:159)l(cid:42)0(cid:42)1(cid:60)(cid:59)(cid:56)(cid:113)(cid:157)(cid:492)1(cid:498)(cid:493)1(cid:26)(cid:157)(cid:492)0(cid:498)(cid:493)0(cid:26)(cid:157)(cid:492)1
(cid:498)(cid:493)1(cid:60)3(cid:79)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:274)(cid:42)(cid:247)(cid:248)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:42)(cid:185)(cid:82)(cid:185)(cid:92)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(1-b)(1-a)(1-b)=(1-a)(1-b)2(cid:42)A(cid:98)(cid:206)(cid:148)
(cid:107)(cid:129)B(cid:42)(cid:227)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:42)(cid:157)(cid:492)1(cid:42)(cid:72)(cid:225)(cid:129)(cid:264)(cid:202)(cid:157)(cid:492)1(cid:42)1(cid:42)1(cid:42)(cid:144)(cid:264)(cid:202)(cid:493)(cid:159)l(cid:42)0(cid:42)1(cid:60)(cid:59)(cid:56)(cid:42)
(cid:113)(cid:157)(cid:492)1(cid:498)(cid:493)1(cid:26)(cid:157)(cid:492)1(cid:498)(cid:493)0(cid:26)(cid:157)(cid:492)1(cid:498)(cid:493)1(cid:60)3(cid:79)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:274)(cid:42)
(cid:247)(cid:248)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:42)(cid:185)(cid:82)(cid:185)(cid:92)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(1-b)×b×(1-b)=b(1-b)2(cid:42)B(cid:98)(cid:206)(cid:148)
(cid:107)(cid:129)C(cid:42)(cid:227)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:42)(cid:157)(cid:492)1(cid:42)(cid:144)(cid:497)(cid:293)(cid:115)1(cid:60)(cid:59)(cid:56)(cid:113)(cid:264)(cid:202)(cid:493)(cid:159)1(cid:42)1(cid:42)0(cid:26)1(cid:42)0(cid:42)1(cid:26)0(cid:42)1(cid:42)1(cid:64)1(cid:42)1(cid:42)1(cid:60)(cid:59)(cid:56)
(cid:64)(cid:42)
(cid:247)(cid:248)(cid:73)(cid:467)(cid:42)(cid:203)(cid:187)(cid:97)B(cid:108)(cid:42)(cid:185)(cid:82)(cid:185)(cid:92)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)C2b(1-b)2+(1-b)3 =(1-b)2(1+2b)(cid:42)C(cid:472)(cid:473)(cid:148)
3
(cid:107)(cid:129)D(cid:42)(cid:203)(cid:187)(cid:97)C(cid:108)(cid:42)(cid:227)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:42)(cid:157)(cid:492)0(cid:42)(cid:144)(cid:497)(cid:293)(cid:115)0(cid:60)(cid:18)(cid:37)P=(1-a)2(1+2a)(cid:42)
(cid:495)(cid:202)(cid:490)(cid:491)(cid:157)(cid:492)0(cid:42)(cid:144)(cid:497)(cid:293)(cid:115)0(cid:60)(cid:18)(cid:37)P¢=1-a(cid:42)(cid:311)0<a<0.5(cid:42)
(cid:250)(cid:251)P-P¢=(1-a)2(1+2a)-(1-a)=a(1-a)(1-2a)>0(cid:42)(cid:172)P>P¢(cid:42)D(cid:98)(cid:206).
(cid:186)(cid:187)(cid:140)ABD
(cid:161)(cid:4)(cid:316)(cid:164)(cid:65)(cid:317)(cid:4)(cid:316)(cid:140)(cid:67)(cid:68)(cid:18)(cid:37)(cid:199)(cid:211)(cid:40)(cid:41)(cid:35)(cid:340)(cid:211)(cid:40)(cid:41)(cid:92)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:324)(cid:121)(cid:92)(cid:18)(cid:37)(cid:60)(cid:59)(cid:56)(cid:5)(cid:499)(cid:282)(cid:78)(cid:78)(cid:73)(cid:467)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:64)(cid:42)
(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:274)(cid:113)(cid:171)(cid:13)(cid:60)(cid:65)(cid:317).
6(cid:125)（2026·上海·高考真题）(cid:342)(cid:108)(cid:59)(cid:56)A(cid:42)B(cid:73)(cid:467)(cid:42)PA=0.2(cid:42)PB=0.5(cid:42)(cid:144)PAUB=__________(cid:125)
7
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)0.7/
10
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:250)(cid:115)A,B(cid:73)(cid:467)(cid:42)(cid:185)(cid:82)PAÈB=PA+PB=0.2+0.5=0.7.
7(cid:125)（2023·上海·高考真题）(cid:342)(cid:108)(cid:59)(cid:56)A(cid:157)(cid:255)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)P(A)=0.5(cid:42)(cid:144)(cid:247)(cid:60)(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:56)A(cid:157)(cid:255)(cid:60)(cid:18)(cid:37)P(A)=
______________(cid:125)
1
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164) /0.5
2
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:108)(cid:109)(cid:92)(cid:220)(cid:98)(cid:206)(cid:162)(cid:163).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:264)(cid:13)(cid:174)(cid:42)P(A)=1-PA=1-0.5=0.5.
1
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140)
2
8(cid:125)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:292)(cid:279)(cid:87)N ³2(cid:125)(cid:188)(cid:229)(cid:88)(cid:68)(cid:52)(cid:79)(cid:285)(cid:223)(cid:224)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:439)(cid:42)(cid:284)(cid:487)(cid:500)(cid:501)N (cid:202)(cid:42)(cid:225)(cid:209)(cid:462)(cid:225)
(cid:500)(cid:183)1(cid:202)(cid:101)(cid:210)N (cid:202)(cid:95)(cid:155)(cid:500)(cid:183)(cid:101)(cid:42)(cid:503)(cid:504)(cid:502)(cid:439)(cid:125)(cid:292)(cid:283)(cid:229)(cid:88)(cid:200)(cid:202)(cid:500)(cid:183)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)p0< p<1(cid:42)(cid:257)(cid:202)(cid:500)(cid:183)(cid:83)(cid:446)(cid:72)(cid:73)(cid:61)
(cid:62)(cid:125)(cid:287)X(cid:115)(cid:503)(cid:504)(cid:502)(cid:439)(cid:101)(cid:283)(cid:229)(cid:88)(cid:60)(cid:500)(cid:501)(cid:202)(cid:87)(cid:125)1
(1)(cid:225)N =4(cid:42)p= (cid:101)(cid:42)(cid:92)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:148)
3
(2)(cid:292)k(cid:42)m(cid:95)(cid:115)(cid:263)(cid:222)(cid:87)(cid:125)
(cid:10)i(cid:11)(cid:225)k £N-1(cid:101)(cid:42)(cid:92)PX >k(cid:148)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:225)k+m£N-1(cid:101)(cid:42)(cid:454)(cid:455)(cid:140)PX >k+m X >k=PX >m(cid:125)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:141)(cid:246)(cid:215)(cid:185)(cid:245)(cid:140)
X 1 2 3 4
1 2 4 8
P
3 9 27 27
(2)(cid:10)i(cid:11)PX >k=1-pk(cid:148)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:35)(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:454)(cid:455)(cid:141)(cid:246)(cid:140)
PX >k+mÇX >k PX >k+m 1-pk+m
PX >k+m X >k= = =
PX >k PX >k 1-pk
=1-pm =PX >m
(cid:172)PX >k+m X >k=PX >m.
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:92)(cid:156)X(cid:60)(cid:158)(cid:179)(cid:118)(cid:96)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:156)(cid:149)(cid:229)(cid:118)(cid:96)(cid:246)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:172)(cid:158)(cid:220)(cid:156)(cid:5)(cid:86)(cid:47).
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)PX >k(cid:249)(cid:505)(cid:129)(cid:288)k(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:27)(cid:253)(cid:155)(cid:183)(cid:42)(cid:67)(cid:68)(cid:257)(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:42)(cid:158)(cid:92)(cid:156)PX >k
.
(cid:10)ii(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:44)(cid:45)(cid:10)i(cid:11)(cid:60)(cid:44)(cid:217)(cid:83)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:506)(cid:80)(cid:65)(cid:66)(cid:172)(cid:158)(cid:454)(cid:455)(cid:44)(cid:217).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:108)(cid:42)(cid:279)(cid:87)N ³2(cid:42)(cid:188)(cid:229)(cid:88)(cid:223)(cid:224)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:439)(cid:42)(cid:284)(cid:487)(cid:500)(cid:501)N (cid:202)(cid:42)(cid:225)(cid:209)(cid:462)(cid:225)(cid:500)(cid:183)1(cid:202)(cid:101)(cid:210)N (cid:202)
(cid:95)(cid:155)(cid:500)(cid:183)(cid:101)(cid:42)(cid:503)(cid:504)(cid:502)(cid:439)(cid:42)
X(cid:60)(cid:158)(cid:179)(cid:118)(cid:96)(cid:115)1(cid:42)2(cid:42)3(cid:42)4.
1
∴(cid:225)X =1(cid:101)(cid:42)(cid:244)(cid:245)(cid:208)(cid:52)(cid:202)(cid:226)(cid:500)(cid:223)(cid:285)(cid:42)PX =1= (cid:42)
3
æ 1ö 1 2
(cid:225)X =2(cid:101)(cid:42)(cid:244)(cid:245)(cid:208)2(cid:202)(cid:500)(cid:223)(cid:285)(cid:42)(cid:208)1(cid:202)(cid:381)(cid:102)(cid:500)(cid:223)(cid:42)P(X =2)=ç1- ÷´ = (cid:42)
è 3ø 3 9
æ 1ö 2 1 4
(cid:225)X =3(cid:101)(cid:42)(cid:244)(cid:245)(cid:208)3(cid:202)(cid:500)(cid:223)(cid:285)(cid:42)(cid:288)(cid:78)(cid:202)(cid:381)(cid:102)(cid:500)(cid:223)(cid:42)P(X =3)=ç1- ÷ ´ = (cid:42)
è 3ø 3 27
æ 1ö 3 8
(cid:225)X =4(cid:101)(cid:42)(cid:251)(cid:59)(cid:56)(cid:249)(cid:505)(cid:129)(cid:288)3(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:95)(cid:155)(cid:500)(cid:183)(cid:42)PX =4=PX >3=ç1- ÷ = (cid:42)
è 3ø 27(cid:114)(cid:156)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:141)(cid:246)(cid:215)(cid:185)(cid:245)(cid:140)
X 1 2 3 4
1 2 4 8
P
3 9 27 27
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:35)(cid:10)1(cid:11)(cid:220)(cid:42)(cid:279)(cid:87)N ³2(cid:42)(cid:188)(cid:229)(cid:88)(cid:223)(cid:224)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:439)(cid:42)(cid:284)(cid:487)(cid:500)(cid:501)N (cid:202)(cid:42)
(cid:225)(cid:209)(cid:462)(cid:225)(cid:500)(cid:183)1(cid:202)(cid:101)(cid:210)N (cid:202)(cid:95)(cid:155)(cid:500)(cid:183)(cid:101)(cid:42)(cid:503)(cid:504)(cid:502)(cid:439)(cid:42)
(cid:225)k £N-1(cid:101)(cid:42)X >k(cid:244)(cid:245)(cid:288)k(cid:202)(cid:95)(cid:155)(cid:500)(cid:183)(cid:42)
PX >k=1-pk .
∴(cid:10)ii(cid:11)(cid:460).
9(cid:125)（2026·上海·高考真题）(cid:188)(cid:507)(cid:508)(cid:509)(cid:175)150(cid:197)(cid:42)(cid:8)(cid:420)(cid:5)(cid:86)(cid:35)(cid:507)(cid:508)(cid:371)(cid:372)(cid:510)(cid:38)(cid:141)(cid:246)(cid:140)
(cid:8)(cid:420) (cid:511)(cid:512) (cid:513)(cid:514) (cid:212)(cid:212) (cid:197)(cid:87)
25,35
8 45
35,45
10 55
45,55
6 50
(1)(cid:105)(cid:409)(cid:68)(cid:5)(cid:515)(cid:204)(cid:421)(cid:204)(cid:118)30(cid:197)(cid:42)(cid:36)(cid:183)(cid:204)(cid:159)(cid:8)(cid:420)(cid:297)25,35(cid:428)(cid:60)(cid:102)(cid:487)(cid:382)(cid:197)(cid:449)
(2)(cid:283)(cid:507)(cid:508)(cid:509)150(cid:197)(cid:60)(cid:119)(cid:95)(cid:8)(cid:420)(cid:113)(cid:487)(cid:382)(cid:449)
(3)(cid:105)(cid:178)150(cid:197)(cid:183)(cid:307)(cid:174)(cid:204)(cid:187)1(cid:197)(cid:42)(cid:287)(cid:204)(cid:159)(cid:60)(cid:88)(cid:516)(cid:8)(cid:420)(cid:297)35,45(cid:115)(cid:59)(cid:56)A(cid:42)(cid:287)(cid:204)(cid:159)(cid:88)(cid:516)(cid:371)(cid:372)(cid:513)(cid:514)(cid:115)(cid:59)(cid:56)B.(cid:59)(cid:56)
A(cid:83)B(cid:113)(cid:446)(cid:61)(cid:62)(cid:449)(cid:517)(cid:518)(cid:455)(cid:170)(cid:203).
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)9(cid:148)
121
(2) (cid:148)
3
(3)(cid:149)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:42)(cid:170)(cid:203)(cid:519)(cid:171)(cid:165).
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:42)(cid:38)(cid:39)25,35(cid:8)(cid:420)(cid:194)(cid:370)(cid:230)(cid:104)(cid:190)(cid:337)(cid:42)(cid:167)(cid:251)(cid:158)(cid:220)(cid:162)(cid:163).
(cid:10)2(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:8)(cid:420)(cid:357)(cid:391)(cid:183)(cid:4)(cid:114)(cid:115)(cid:283)(cid:357)(cid:391)(cid:8)(cid:420)(cid:119)(cid:95)(cid:96)(cid:42)(cid:243)(cid:203)(cid:257)(cid:8)(cid:420)(cid:194)(cid:197)(cid:87)(cid:370)(cid:230)(cid:104)(cid:190)(cid:337)(cid:158)(cid:220)(cid:162)(cid:163)(cid:148)
(cid:10)3(cid:11)(cid:520)(cid:454)PA×PB(cid:42)(cid:113)(cid:446)(cid:249)(cid:129)PAB(cid:158)(cid:220)(cid:162)(cid:163).45 3 3
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)25,35(cid:8)(cid:420)(cid:194)(cid:370)(cid:230)(cid:104)(cid:190)(cid:337)(cid:115)(cid:140) = (cid:42)(cid:144)(cid:204)(cid:118)(cid:197)(cid:87)(cid:115)(cid:140)30´ =9(cid:148)
150 10 10
45 55 50 3 11 1 121
(cid:10)2(cid:11)(cid:203)(cid:13)(cid:158)(cid:220)150(cid:197)(cid:60)(cid:119)(cid:95)(cid:8)(cid:420)(cid:115)(cid:140)30´ +40´ +50´ = 30´ +40´ +50´ = (cid:148)
150 150 150 10 30 3 3
55 11 24 4 10 1
(cid:10)3(cid:11)(cid:203)(cid:13)(cid:158)(cid:220)PA= = (cid:42)PB= = (cid:42)PAB= = (cid:42)
150 30 150 25 150 15
(cid:521)(cid:174)(cid:159)PA×PB¹PAB(cid:42)(cid:144)(cid:59)(cid:56)A(cid:83)(cid:59)(cid:56)B(cid:149)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62).
10(cid:125)（2025·北京·高考真题）(cid:188)(cid:202)(cid:3)(cid:522)(cid:183)(cid:42)(cid:480)(cid:102)(cid:52)(cid:366)(cid:495)(cid:97)(cid:187)(cid:412)(cid:13)(cid:3)(cid:34)(cid:106)(cid:188)(cid:79)(cid:108)(cid:109)(cid:4)(cid:42)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:232)(cid:60)(cid:33)(cid:52)(cid:8)(cid:256)
(cid:88)(cid:255)(cid:309)(cid:198)(cid:199)(cid:106)(cid:258)(cid:202)(cid:3)(cid:522).(cid:115)(cid:106)(cid:171)(cid:88)(cid:255)(cid:107)(cid:283)(cid:108)(cid:109)(cid:4)(cid:60)(cid:523)(cid:447)(cid:9)(cid:177)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:204)(cid:34)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:232)(cid:33)(cid:52)(cid:8)(cid:256)(cid:257)100(cid:254)(cid:88)(cid:255)
(cid:283)(cid:13)(cid:60)(cid:162)(cid:13)(cid:87)(cid:167)(cid:42)(cid:36)(cid:183)(cid:29)(cid:232)(cid:88)(cid:255)(cid:187)(cid:412)(cid:98)(cid:206)(cid:60)(cid:197)(cid:87)(cid:115)80(cid:42)(cid:30)(cid:232)(cid:88)(cid:255)(cid:187)(cid:412)(cid:98)(cid:206)(cid:60)(cid:197)(cid:87)(cid:115)75.(cid:407)(cid:292)(cid:88)(cid:255)(cid:273)(cid:391)(cid:162)(cid:13)(cid:72)
(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:42)(cid:68)(cid:422)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:18)(cid:37).
(1)(cid:424)(cid:38)(cid:29)(cid:232)(cid:33)(cid:52)(cid:8)(cid:256)(cid:88)(cid:255)(cid:283)(cid:13)(cid:187)(cid:412)(cid:98)(cid:206)(cid:60)(cid:18)(cid:37)p
(2)(cid:178)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:232)(cid:33)(cid:52)(cid:8)(cid:256)(cid:88)(cid:255)(cid:183)(cid:257)(cid:57)(cid:58)(cid:204)(cid:118)1(cid:254)(cid:42)(cid:292)X(cid:115)(cid:258)2(cid:254)(cid:88)(cid:255)(cid:183)(cid:283)(cid:13)(cid:187)(cid:412)(cid:98)(cid:206)(cid:60)(cid:197)(cid:87)(cid:42)(cid:424)(cid:38)X =1(cid:60)
(cid:18)(cid:37)(cid:35)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:148)
(3)(cid:407)(cid:292)(cid:140)(cid:141)(cid:241)(cid:381)(cid:102)(cid:523)(cid:447)(cid:283)(cid:108)(cid:109)(cid:4)(cid:42)(cid:88)(cid:255)(cid:226)(cid:178)(cid:13)(cid:353)(cid:411)(cid:156)(cid:60)(cid:126)(cid:79)(cid:187)(cid:97)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:187)(cid:412)(cid:52)(cid:79)(cid:114)(cid:115)(cid:162)(cid:163)(cid:148)(cid:141)(cid:241)(cid:523)(cid:447)(cid:283)(cid:108)
(cid:109)(cid:4)(cid:42)(cid:29)(cid:232)(cid:88)(cid:255)(cid:187)(cid:412)(cid:98)(cid:206)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)100%(cid:42)(cid:30)(cid:232)(cid:88)(cid:255)(cid:187)(cid:412)(cid:98)(cid:206)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)85%.(cid:292)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:232)(cid:33)(cid:52)(cid:8)(cid:256)(cid:88)(cid:255)(cid:523)
(cid:447)(cid:283)(cid:108)(cid:109)(cid:4)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:96)(cid:5)(cid:133)(cid:115)p (cid:42)p (cid:42)(cid:469)(cid:470)p (cid:83)p (cid:60)(cid:291)(cid:301)(cid:10)(cid:44)(cid:217)(cid:149)(cid:121)(cid:92)(cid:454)(cid:455)(cid:11).
1 2 1 2
4
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)
5
(2)0.35(cid:42)EX=1.55
(3)p < p
1 2
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:68)(cid:422)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:18)(cid:37)(cid:172)(cid:158)(cid:92)(cid:171)(cid:148)
(cid:10)2(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:340)(cid:211)(cid:40)(cid:41)(cid:82)(cid:35)(cid:73)(cid:467)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:199)(cid:211)(cid:40)(cid:41)(cid:158)(cid:92)(cid:345)(cid:102)1(cid:197)(cid:394)(cid:107)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:35)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:178)(cid:311)(cid:158)(cid:92)(cid:36)
(cid:89)(cid:90)(cid:148)
(cid:10)3(cid:11)(cid:166)(cid:167)(cid:13)(cid:292)(cid:158)(cid:220)(cid:65)(cid:129)p,p (cid:60)(cid:228)(cid:452)(cid:42)(cid:92)(cid:156)(cid:36)(cid:171)(cid:151)(cid:158)(cid:220)(cid:247)(cid:248)(cid:60)(cid:291)(cid:301)(cid:65)(cid:66).
1 2
80 4
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:424)(cid:38)(cid:29)(cid:232)(cid:33)(cid:52)(cid:8)(cid:256)(cid:88)(cid:255)(cid:283)(cid:13)(cid:187)(cid:412)(cid:98)(cid:206)(cid:60)(cid:18)(cid:37)p= = .
100 5
(cid:10)2(cid:11)(cid:292)A(cid:115)“(cid:178)(cid:29)(cid:232)(cid:204)(cid:118)1(cid:197)(cid:394)(cid:107)”(cid:42)(cid:144)PA=0.8(cid:42)P  A  =0.2(cid:42)
(cid:292)B(cid:115)“(cid:178)(cid:30)(cid:232)(cid:204)(cid:118)1(cid:197)(cid:394)(cid:107)”(cid:42)(cid:144)PB=0.75(cid:42)P  B  =0.25(cid:42)
(cid:292)C(cid:115)“(cid:345)(cid:102)1(cid:197)(cid:394)(cid:107)”(cid:42)(cid:186)PC=PAB +P  AB  =PAPB +P  A  PB=0.35(cid:264)(cid:13)(cid:158)(cid:108)(cid:42)X(cid:158)(cid:118)0,1,2(cid:42)
PX =0=P  AB  =0.05(cid:42)PX =1=0.35(cid:42)PX =2=0.8´0.75=0.6(cid:42)
(cid:186)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:141)(cid:246)(cid:244)(cid:140)
X 0 1 2
P 0.05 0.35 0.6
(cid:186)EX=1´0.35+2´0.6=1.55.
(cid:10)3(cid:11)(cid:292)D(cid:115) “(cid:29)(cid:232)(cid:523)(cid:447)(cid:258)(cid:79)(cid:108)(cid:109)(cid:4)(cid:60)(cid:88)(cid:255)(cid:394)(cid:283)(cid:13)”(cid:42)
(cid:250)(cid:115)(cid:29)(cid:232)(cid:523)(cid:447)(cid:258)(cid:79)(cid:108)(cid:109)(cid:4)(cid:144)(cid:102)100%(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:394)(cid:107)(cid:283)(cid:13)(cid:353)(cid:42)
(cid:155)(cid:523)(cid:447)(cid:283)(cid:108)(cid:109)(cid:4)(cid:60)(cid:229)(cid:88)(cid:309)(cid:113)(cid:178)(cid:126)(cid:79)(cid:187)(cid:97)(cid:378)(cid:142)(cid:57)(cid:58)(cid:187)(cid:412)(cid:52)(cid:79)(cid:42)
1 1 11
(cid:186)PD+ 1-P(D)=0.8(cid:42)(cid:172)p + ´1- p =0.8(cid:42)(cid:186)p = (cid:42)
4 1 4 1 1 15
1 5
(cid:229)(cid:170)(cid:102)(cid:42)0.85p + ´1- p =0.75(cid:42)(cid:186)p = (cid:42)
2 4 2 2 6
(cid:186)p < p .
1 2
11(cid:125)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:188)(cid:500)(cid:501)(cid:190)(cid:191)(cid:5)(cid:115)(cid:78)(cid:79)(cid:193)(cid:194)(cid:42)(cid:200)(cid:79)(cid:198)(cid:191)(cid:433)(cid:203)(cid:78)(cid:254)(cid:433)(cid:516)(cid:48)(cid:282)(cid:42)(cid:190)(cid:191)(cid:524)(cid:104)(cid:14)(cid:144)
(cid:141)(cid:246)(cid:140)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:203)(cid:198)(cid:191)(cid:433)(cid:183)(cid:52)(cid:254)(cid:433)(cid:516)(cid:500)(cid:501)3(cid:202)(cid:42)(cid:180)3(cid:202)(cid:309)(cid:155)(cid:500)(cid:183)(cid:42)(cid:144)(cid:283)(cid:433)(cid:354)(cid:525)(cid:526)(cid:42)(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)(cid:115)0(cid:5)(cid:148)(cid:180)(cid:284)
(cid:382)(cid:500)(cid:183)(cid:52)(cid:202)(cid:42)(cid:144)(cid:283)(cid:433)(cid:223)(cid:361)(cid:208)(cid:91)(cid:193)(cid:194).(cid:208)(cid:91)(cid:193)(cid:194)(cid:203)(cid:283)(cid:433)(cid:60)(cid:528)(cid:52)(cid:254)(cid:433)(cid:516)(cid:500)(cid:501)3(cid:202)(cid:42)(cid:200)(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:500)(cid:183)(cid:220)5(cid:5)(cid:42)(cid:155)(cid:500)(cid:183)
(cid:220)0(cid:5).(cid:283)(cid:433)(cid:60)(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)(cid:115)(cid:208)(cid:91)(cid:193)(cid:194)(cid:60)(cid:220)(cid:5)(cid:230)(cid:64)(cid:125)(cid:188)(cid:198)(cid:191)(cid:433)(cid:203)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:254)(cid:433)(cid:516)(cid:48)(cid:282)(cid:42)(cid:292)(cid:29)(cid:200)(cid:202)(cid:500)(cid:183)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)
p(cid:42)(cid:30)(cid:200)(cid:202)(cid:500)(cid:183)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)q(cid:42)(cid:257)(cid:202)(cid:500)(cid:183)(cid:83)(cid:446)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:125)
(1)(cid:180)p=0.4(cid:42)q=0.5(cid:42)(cid:29)(cid:198)(cid:199)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:92)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:185)(cid:297)(cid:433)(cid:60)(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)(cid:149)(cid:382)(cid:129)5(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:125)
(2)(cid:407)(cid:292)0< p<q(cid:42)
(cid:10)i(cid:11)(cid:115)(cid:303)(cid:220)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:185)(cid:297)(cid:433)(cid:60)(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)(cid:115)15(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:150)(cid:291)(cid:42)(cid:314)(cid:283)(cid:203)(cid:481)(cid:198)(cid:199)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:190)(cid:191)(cid:449)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:115)(cid:303)(cid:220)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:185)(cid:297)(cid:433)(cid:60)(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:150)(cid:291)(cid:42)(cid:314)(cid:283)(cid:203)(cid:481)(cid:198)(cid:199)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:190)(cid:191)(cid:449)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)0.686
(2)(cid:10)i(cid:11)(cid:203)(cid:29)(cid:198)(cid:199)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:190)(cid:191)(cid:148)(cid:10)i(cid:11)(cid:203)(cid:29)(cid:198)(cid:199)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:190)(cid:191)(cid:148)
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:166)(cid:167)(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:92)(cid:211)(cid:64)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:340)(cid:211)(cid:40)(cid:41)(cid:172)(cid:158)(cid:220)(cid:159)(cid:162)(cid:163)(cid:148)
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:529)(cid:276)(cid:257)(cid:263)(cid:38)(cid:39)(cid:156)P
(cid:29)
=é
ë
1-(1- p)3ù
û
q3(cid:42)P
(cid:30)
=é
ë
1-(1-q)3ù
û
×p3(cid:42)(cid:243)(cid:114)(cid:289)(cid:250)(cid:41)(cid:5)(cid:171)(cid:172)(cid:158)(cid:469)(cid:470)(cid:148)(ii)(cid:529)(cid:276)
(cid:220)(cid:159)X(cid:64)Y(cid:60)(cid:185)(cid:102)(cid:158)(cid:179)(cid:118)(cid:96)(cid:42)(cid:243)(cid:130)(cid:168)(cid:530)(cid:47)(cid:156)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:156)(cid:257)(cid:263)(cid:89)(cid:90)(cid:42)(cid:243)(cid:202)(cid:114)(cid:289)(cid:190)(cid:300)(cid:291)(cid:301)(cid:172)(cid:158).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:185)(cid:297)(cid:433)(cid:60)(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)(cid:149)(cid:382)(cid:129)5(cid:5)(cid:42)(cid:144)(cid:29)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:284)(cid:382)(cid:500)(cid:183)1(cid:202)(cid:42)(cid:30)(cid:208)(cid:91)(cid:193)(cid:194)(cid:100)(cid:284)(cid:382)(cid:500)(cid:183)1(cid:202)(cid:42)
\(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)(cid:149)(cid:382)(cid:129)5(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)P=
 1-0.63 1-0.53
=0.686.
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:180)(cid:29)(cid:276)(cid:198)(cid:199)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:144)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:185)(cid:297)(cid:433)(cid:60)(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)(cid:115)15(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)P
(cid:29)
=é
ë
1-(1- p)3ù
û
q3(cid:42)
(cid:180)(cid:30)(cid:276)(cid:198)(cid:199)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:144)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:185)(cid:297)(cid:433)(cid:60)(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)(cid:115)15(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)P =é1-(1-q)3ù×p3(cid:42)
(cid:30) ë û
Q0< p<q(cid:42)
\P -P =q3-(q- pq)3- p3+(p- pq)3
(cid:29) (cid:30)
=(q- p)  q2+ pq+ p2 +(p-q)×é(p- pq)2+(q- pq)2+(p- pq)(q- pq)ù
ë û
=(p-q)
 3p2q2-3p2q-3pq2
=3pq(p-q)(pq- p-q)=3pq(p-q)[(1- p)(1-q)-1]>0(cid:42)
\P >P (cid:42)(cid:314)(cid:283)(cid:203)(cid:29)(cid:198)(cid:199)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:190)(cid:191).
(cid:29) (cid:30)
(ii)(cid:180)(cid:29)(cid:276)(cid:198)(cid:199)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)X(cid:60)(cid:185)(cid:102)(cid:158)(cid:179)(cid:118)(cid:96)(cid:115)0(cid:42)5(cid:42)10(cid:42)15(cid:42)
P(X =0)=(1- p)3+é1-(1- p)3ù×(1-q)3(cid:42)
ë û
PX =5=é1-1- p3ùC1q×1-q2 (cid:42)
ë û 3
P(X =10)=é1-(1- p)3ù×C2q2(1-q)(cid:42)
ë û 3
P(X =15)=é1-(1- p)3ù×q3(cid:42)
ë û
\E(X)=15é1-(1- p)3ùq=15  p3-3p2+3p  ×q
ë û
(cid:287)(cid:30)(cid:276)(cid:198)(cid:199)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)Y(cid:60)(cid:185)(cid:102)(cid:158)(cid:179)(cid:118)(cid:96)(cid:115)0(cid:42)5(cid:42)10(cid:42)15(cid:42)
(cid:229)(cid:170)E(Y)=15  q3-3q2+3q  ×p
\E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)]
=15(p-q)pq(p+q-3)(cid:42)
(cid:250)(cid:115)0< p<q(cid:42)(cid:144)p-q<0(cid:42)p+q-3<1+1-3<0(cid:42)
(cid:144)(p-q)pq(p+q-3)>0(cid:42)
\(cid:314)(cid:283)(cid:203)(cid:29)(cid:198)(cid:199)(cid:208)(cid:52)(cid:193)(cid:194)(cid:190)(cid:191).
(cid:161)(cid:4)(cid:316)(cid:164)(cid:65)(cid:317)(cid:4)(cid:4)(cid:316)(cid:140)(cid:70)(cid:13)(cid:208)(cid:91)(cid:51)(cid:60)(cid:65)(cid:317)(cid:113)(cid:38)(cid:39)(cid:156)(cid:72)(cid:65)(cid:18)(cid:37)(cid:64)(cid:89)(cid:90)(cid:42)(cid:409)(cid:68)(cid:114)(cid:289)(cid:211)(cid:242)(cid:250)(cid:41)(cid:5)(cid:171)(cid:178)(cid:311)(cid:190)(cid:300)(cid:156)(cid:291)
(cid:301)(cid:65)(cid:66)(cid:42)(cid:150)(cid:151)(cid:220)(cid:159)(cid:44)(cid:217).12(cid:125)（2023·北京·高考真题）(cid:115)(cid:434)(cid:435)(cid:188)(cid:176)(cid:386)(cid:531)(cid:466)(cid:505)(cid:532)(cid:84)(cid:319)(cid:60)(cid:14)(cid:15)(cid:42)(cid:493)(cid:533)(cid:220)(cid:159)(cid:106)(cid:283)(cid:386)(cid:531)(cid:466)(cid:479)(cid:534)40(cid:31)(cid:60)(cid:505)(cid:532)(cid:84)
(cid:319)(cid:87)(cid:167)(cid:42)(cid:141)(cid:246)(cid:244)(cid:185)(cid:245)(cid:125)(cid:297)(cid:535)(cid:536)(cid:505)(cid:532)(cid:84)(cid:319)(cid:101)(cid:42)(cid:68)“+”(cid:244)(cid:245)“(cid:20)(cid:537)”(cid:42)(cid:172)(cid:225)(cid:31)(cid:505)(cid:532)(cid:190)(cid:288)(cid:52)(cid:31)(cid:505)(cid:532)(cid:33)(cid:148)(cid:68)“-”(cid:244)(cid:245)“(cid:246)
(cid:538)”(cid:42)(cid:172)(cid:225)(cid:31)(cid:505)(cid:532)(cid:190)(cid:288)(cid:52)(cid:31)(cid:505)(cid:532)(cid:539)(cid:148)(cid:68)“0”(cid:244)(cid:245)“(cid:149)(cid:84)”(cid:42)(cid:172)(cid:225)(cid:31)(cid:505)(cid:532)(cid:83)(cid:288)(cid:52)(cid:31)(cid:505)(cid:532)(cid:72)(cid:229)(cid:125)
(cid:101)(cid:194) (cid:505)(cid:532)(cid:84)(cid:319)
(cid:208)1(cid:31)(cid:159)(cid:208)20(cid:31) - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
(cid:208)21(cid:31)(cid:159)(cid:208)40(cid:31) 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
(cid:68)(cid:422)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:18)(cid:37)(cid:125)
(1)(cid:522)(cid:424)(cid:38)(cid:283)(cid:386)(cid:531)(cid:466)(cid:505)(cid:532)“(cid:20)(cid:537)”(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(2)(cid:407)(cid:292)(cid:283)(cid:386)(cid:531)(cid:466)(cid:200)(cid:31)(cid:60)(cid:505)(cid:532)(cid:84)(cid:319)(cid:113)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:60)(cid:125)(cid:297)(cid:155)(cid:262)(cid:60)(cid:540)(cid:336)(cid:378)(cid:307)(cid:118)4(cid:31)(cid:42)(cid:522)(cid:424)(cid:38)(cid:283)(cid:386)(cid:531)(cid:466)(cid:505)(cid:532)(cid:297)(cid:258)4(cid:31)
(cid:183)2(cid:31)“(cid:20)(cid:537)”(cid:26)1(cid:31)“(cid:246)(cid:538)”(cid:26)1(cid:31)“(cid:149)(cid:84)”(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(3)(cid:407)(cid:292)(cid:283)(cid:386)(cid:531)(cid:466)(cid:200)(cid:31)(cid:60)(cid:505)(cid:532)(cid:84)(cid:319)(cid:480)(cid:541)(cid:288)(cid:52)(cid:31)(cid:505)(cid:532)(cid:84)(cid:319)(cid:60)(cid:514)(cid:542)(cid:125)(cid:469)(cid:470)(cid:208)41(cid:31)(cid:283)(cid:386)(cid:531)(cid:466)(cid:505)(cid:532)“(cid:20)(cid:537)”“(cid:246)(cid:538)”(cid:64)“(cid:149)
(cid:84)”(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:96)(cid:543)(cid:79)(cid:150)(cid:291)(cid:125)(cid:10)(cid:44)(cid:217)(cid:149)(cid:121)(cid:92)(cid:454)(cid:455)(cid:11)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)0.4
(2)0.168
(3)(cid:149)(cid:84)
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:38)(cid:39)(cid:244)(cid:532)(cid:183)(cid:60)+(cid:60)(cid:202)(cid:87)(cid:42)(cid:222)(cid:151)(cid:166)(cid:167)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:223)(cid:224)(cid:38)(cid:39)(cid:148)
(cid:10)2(cid:11)(cid:5)(cid:133)(cid:38)(cid:39)(cid:156)(cid:244)(cid:532)(cid:183)(cid:20)(cid:537)(cid:42)(cid:149)(cid:84)(cid:42)(cid:246)(cid:538)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:151)(cid:223)(cid:224)(cid:38)(cid:39)(cid:148)
(cid:10)3(cid:11)(cid:544)(cid:295)(cid:510)(cid:38)(cid:244)(cid:532)(cid:183)(cid:288)(cid:52)(cid:202)(cid:20)(cid:537)(cid:42)(cid:151)(cid:52)(cid:202)(cid:157)(cid:255)(cid:60)(cid:257)(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:223)(cid:224)(cid:74)(cid:470)(cid:208)41(cid:31)(cid:60)(cid:9)(cid:177).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:166)(cid:167)(cid:244)(cid:532)(cid:87)(cid:167)(cid:158)(cid:82)(cid:281)(cid:156)(cid:42)40(cid:31)(cid:378)(cid:42)(cid:102)16(cid:79)+(cid:42)(cid:100)(cid:226)(cid:113)(cid:102)16(cid:31)(cid:113)(cid:20)(cid:537)(cid:60)(cid:42)
16
(cid:166)(cid:167)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:60)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:386)(cid:531)(cid:466)(cid:505)(cid:532)(cid:20)(cid:537)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:140) =0.4
40
(cid:10)2(cid:11)(cid:297)(cid:258)40(cid:31)(cid:378)(cid:42)(cid:102)16(cid:31)(cid:20)(cid:537)(cid:42)14(cid:31)(cid:246)(cid:538)(cid:42)10(cid:31)(cid:149)(cid:84)(cid:42)(cid:100)(cid:226)(cid:113)(cid:20)(cid:537)(cid:42)(cid:246)(cid:538)(cid:42)(cid:149)(cid:84)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:5)(cid:133)(cid:113)0.4(cid:42)
0.35(cid:42)0.25(cid:42)
(cid:129)(cid:113)(cid:155)(cid:262)(cid:307)(cid:118)4(cid:31)(cid:42)2(cid:31)(cid:20)(cid:537)(cid:42)1(cid:31)(cid:246)(cid:538)(cid:42)1(cid:31)(cid:149)(cid:84)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:113)C2´0.42´C1´0.35´0.25=0.168
4 2
(cid:10)3(cid:11)(cid:203)(cid:129)(cid:208)40(cid:31)(cid:545)(cid:129)(cid:20)(cid:537)(cid:214)(cid:99)(cid:42)(cid:178)(cid:288)39(cid:202)(cid:60)15(cid:202)(cid:20)(cid:537)(cid:223)(cid:224)(cid:5)(cid:165)(cid:42)(cid:20)(cid:537)(cid:151)(cid:246)(cid:52)(cid:202)(cid:546)(cid:20)(cid:537)(cid:60)(cid:102)4(cid:202)(cid:42)(cid:149)(cid:84)(cid:60)
(cid:102)9(cid:202)(cid:42)(cid:246)(cid:538)(cid:60)(cid:102)2(cid:202)(cid:42)
(cid:250)(cid:251)(cid:424)(cid:38)(cid:208)41(cid:202)(cid:149)(cid:84)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:150)(cid:291).考点 04 随机变量的分布列和数学期望
1(cid:125)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:292)U =x,x ,x  x Î-2,-1,1,2,i=1,2,3 (cid:115)(cid:334)(cid:391)(cid:183)64(cid:79)(cid:4)(cid:547)(cid:282)(cid:60)(cid:533)(cid:45)(cid:42)
1 2 3 i
(cid:4)P1,1,1(cid:42)(cid:287)(cid:421)(cid:70)(cid:334)(cid:391)W=ð P(cid:42)(cid:178)W(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:118)(cid:52)(cid:79)(cid:4)(cid:42)(cid:207)(cid:81)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)X(cid:141)(cid:246)(cid:140)(cid:107)W(cid:183)(cid:60)(cid:200)(cid:79)(cid:4)
U
Ax,x ,x (cid:42)(cid:548)X(A)=x +x +x (cid:42)(cid:144)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:96)(cid:115)(cid:10) (cid:11)
1 2 3 1 2 3
1 1 1
A(cid:125)- B(cid:125)- C(cid:125)0 D(cid:125)
21 63 7
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)A
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:158)(cid:108)nW=63.(cid:171)(cid:211)(cid:52)(cid:140)(cid:166)(cid:167)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:92)(cid:72)(cid:314)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:223)(cid:311)(cid:158)(cid:220)(cid:89)(cid:90)(cid:148)(cid:171)(cid:211)(cid:91)(cid:140)(cid:158)(cid:220)
4 3
PX =-3= (cid:42)PX =3= (cid:42)(cid:166)(cid:167)(cid:107)(cid:443)(cid:63)(cid:549)(cid:39)(cid:92)(cid:171)(cid:148)(cid:171)(cid:211)(cid:227)(cid:140)(cid:166)(cid:167)(cid:4)(cid:60)(cid:550)(cid:551)(cid:44)(cid:45)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:549)(cid:39)(cid:92)(cid:171).
63 63
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:158)(cid:108)(cid:140)nW=4´4´4-1=63(cid:42)(cid:209)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)X(cid:60)(cid:118)(cid:96)(cid:115)-6(cid:42)-5(cid:42)-4(cid:42)-3(cid:42)-2(cid:42)-1(cid:42)0(cid:42)
1(cid:42)2(cid:42)3(cid:42)4(cid:42)5(cid:42)6.
1
(cid:171)(cid:211)(cid:52)(cid:140)(cid:264)(cid:13)(cid:174)(cid:42)(cid:158)(cid:220)PX =-6=PX =6= (cid:42)
63
3
PX =-5=PX =5=PX =-4=PX =4= (cid:42)
63
4 3
PX =-3= (cid:42)PX =3= (cid:42)
63 63
9 6
PX =-2=PX =2=PX =-1=PX =1= (cid:42)PX =0= (cid:42)
63 63
1 3 4 3 9 6 1
(cid:185)(cid:82)EX=-6+6´ +-5+5-4+4´ -3´ +3´ +-2+2-1+1´ +0´ =- (cid:148)
63 63 63 63 63 63 21
(cid:171)(cid:211)(cid:91)(cid:140)(cid:166)(cid:167)(cid:107)(cid:443)(cid:63)(cid:158)(cid:108)(cid:140)PX =-6=PX =6(cid:42)PX =-5=PX =5(cid:42)PX =-4=PX =4(cid:42)
PX =-2=PX =2(cid:42)PX =-1=PX =1(cid:42)
4 3
(cid:459)PX =-3= (cid:42)PX =3= (cid:42)
63 63
4 3 1
(cid:185)(cid:82)EX=-3´ +3´ =- (cid:148)
63 63 21
(cid:171)(cid:211)(cid:227)(cid:140)(cid:250)(cid:115)x Î-2,-1,1,2(cid:42)iÎ1,2,3(cid:42)
i
(cid:107)(cid:129)(cid:307)(cid:174)(cid:52)(cid:4)x,x ,x (cid:42)(cid:95)(cid:552)(cid:297)-x,-x ,-x (cid:83)(cid:273)(cid:107)(cid:314)(cid:42)(cid:158)(cid:108)(cid:258)(cid:78)(cid:4)(cid:60)(cid:553)(cid:25)(cid:64)(cid:115)0(cid:42)
1 2 3 1 2 3
(cid:250)(cid:115)P1,1,1(cid:42)(cid:421)(cid:70)(cid:334)(cid:391)W=ð P(cid:42)
U
(cid:158)(cid:108)(cid:421)(cid:70)(cid:334)(cid:391)W(cid:183)(cid:552)(cid:297)(cid:312)(cid:52)(cid:4)-1,-1,-1(cid:83)(cid:4)P1,1,1(cid:107)(cid:314)(cid:42)(cid:185)(cid:82)W(cid:183)(cid:185)(cid:102)(cid:4)(cid:60)(cid:553)(cid:25)(cid:64)(cid:60)(cid:230)(cid:64)(cid:115)-1-1-1=-3(cid:42)
-3 1
(cid:186)E(X)= =- .
63 21
2(cid:125)(cid:10)(cid:487)(cid:187)(cid:13)(cid:11)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:57)(cid:153)“(cid:52)(cid:554)(cid:52)(cid:555)”(cid:28)(cid:50)(cid:45)(cid:114)(cid:60)(cid:556)(cid:361)(cid:42)(cid:188)(cid:557)(cid:558)(cid:176)(cid:559)(cid:357)(cid:487)(cid:560)(cid:242)(cid:233)(cid:74)(cid:390)
(cid:557)(cid:558)(cid:156)(cid:426).(cid:115)(cid:106)(cid:171)(cid:74)(cid:390)(cid:156)(cid:426)(cid:151)(cid:60)(cid:561)(cid:493)(cid:361)(cid:10)(cid:495)(cid:218)(cid:140)(cid:562)(cid:563)(cid:11)(cid:9)(cid:177)(cid:42)(cid:178)(cid:283)(cid:176)(cid:559)(cid:357)(cid:204)(cid:118)(cid:421)(cid:70)(cid:42)(cid:220)(cid:159)(cid:74)(cid:390)(cid:156)(cid:426)(cid:151)(cid:561)(cid:493)(cid:361)
(cid:60)(cid:421)(cid:70)(cid:95)(cid:96)x =2.1(cid:42)(cid:421)(cid:70)(cid:228)(cid:289)s2 =0.01(cid:42)(cid:342)(cid:108)(cid:283)(cid:176)(cid:559)(cid:357)(cid:82)(cid:43)(cid:60)(cid:561)(cid:493)(cid:361)X(cid:358)(cid:178)(cid:98)(cid:99)(cid:5)(cid:86)N
 1.8,0.12
(cid:42)(cid:407)(cid:292)(cid:74)
(cid:390)(cid:156)(cid:426)(cid:151)(cid:60)(cid:561)(cid:493)(cid:361)Y(cid:358)(cid:178)(cid:98)(cid:99)(cid:5)(cid:86)N
 x,s2
(cid:42)(cid:144)(cid:10) (cid:11)(cid:10)(cid:180)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)Z(cid:358)(cid:178)(cid:98)(cid:99)(cid:5)(cid:86)N
 ,2
(cid:42)
P(Z <+)»0.8413(cid:11)
A(cid:125)P(X >2)>0.2 B(cid:125)P(X >2)<0.5
C(cid:125)P(Y >2)>0.5 D(cid:125)P(Y >2)<0.8
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)BC
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:98)(cid:99)(cid:5)(cid:86)(cid:60)3(cid:169)(cid:144)(cid:82)(cid:35)(cid:98)(cid:99)(cid:5)(cid:86)(cid:60)(cid:107)(cid:443)(cid:63)(cid:172)(cid:158)(cid:171)(cid:156).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:264)(cid:13)(cid:158)(cid:108)(cid:42)x =2.1,s2 =0.01(cid:42)(cid:185)(cid:82)Y ~ N  2.1,0.12 (cid:42)
(cid:186)PY >2=PY >2.1-0.1=PY <2.1+0.1»0.8413>0.5(cid:42)C(cid:98)(cid:206)(cid:42)D(cid:472)(cid:473)(cid:148)
(cid:250)(cid:115)X ~ N  1.8,0.12 (cid:42)(cid:185)(cid:82)PX >2=PX >1.8+2´0.1(cid:42)
(cid:250)(cid:115)PX <1.8+0.1»0.8413(cid:42)(cid:185)(cid:82)PX >1.8+0.1»1-0.8413=0.1587<0.2(cid:42)
(cid:311)PX >2=PX >1.8+2´0.1<PX >1.8+0.1<0.2(cid:42)B(cid:98)(cid:206)(cid:42)A(cid:472)(cid:473)(cid:42)
(cid:186)(cid:187)(cid:140)BC(cid:125)
æ-1 0 1ö
3(cid:125)（2026·上海·高考真题）(cid:342)(cid:108)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:115)ç ÷(cid:42)(cid:209)EX=0.5(cid:42)(cid:144)b=__________(cid:125)
è a 0.3 bø
3
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)0.6/
5
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:63)(cid:71)(cid:35)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:39)(cid:92)(cid:171).
æ-1 0 1ö
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:250)(cid:115)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:115)ç ÷(cid:42)(cid:209)EX=0.5(cid:42)
è a 0.3 bø
(cid:185)(cid:82)a+b=0.7(cid:42)(cid:209)EX=-a+0+b=0.5(cid:42)
(cid:171)(cid:220)b=0.6.
4(cid:125)（2025·天津·高考真题）(cid:301)(cid:564)(cid:565)(cid:201)(cid:566)(cid:567)(cid:42)(cid:52)(cid:568)2(cid:202)(cid:42)(cid:52)(cid:202)5(cid:567)(cid:210)6(cid:567).(cid:208)(cid:52)(cid:202)(cid:566)5(cid:567)(cid:210)6(cid:567)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:95)(cid:115)0(cid:125)5(cid:42)(cid:180)(cid:208)(cid:52)(cid:202)(cid:566)5(cid:567)(cid:42)(cid:144)(cid:208)(cid:91)(cid:202)(cid:566)5(cid:567)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)0(cid:125)4(cid:42)6(cid:567)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)0(cid:125)6(cid:148)(cid:180)(cid:208)(cid:52)(cid:202)(cid:566)6(cid:567)(cid:42)(cid:144)(cid:208)(cid:91)(cid:202)
(cid:566)5(cid:567)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)0(cid:125)6(cid:42)6(cid:567)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)0(cid:125)4(cid:125)(cid:301)(cid:564)(cid:52)(cid:568)(cid:566)11(cid:567)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)________(cid:148)(cid:180)(cid:52)(cid:568)(cid:284)(cid:382)(cid:566)11(cid:567)(cid:115)(cid:549)
(cid:390)(cid:85)(cid:160)(cid:25)(cid:42)(cid:144)(cid:479)(cid:534)(cid:566)4(cid:568)(cid:42)(cid:287)(cid:45)(cid:532)(cid:568)(cid:87)(cid:115)X(cid:42)(cid:144)(cid:89)(cid:90)EX=_______
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164) 0.6 3.2
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:276)(cid:166)(cid:167)(cid:27)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:39)(cid:92)(cid:171)(cid:334)(cid:52)(cid:42)(cid:243)(cid:92)(cid:156)(cid:18)(cid:37)(cid:166)(cid:167)(cid:91)(cid:97)(cid:5)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:39)(cid:92)(cid:171).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:292)(cid:301)(cid:564)(cid:52)(cid:568)(cid:566)11(cid:567)(cid:115)(cid:59)(cid:56)A(cid:42)(cid:292)(cid:208)(cid:52)(cid:202)(cid:566)5(cid:567)(cid:115)(cid:59)(cid:56)B(cid:42)(cid:292)(cid:208)(cid:91)(cid:202)(cid:566)5(cid:567)(cid:115)(cid:59)(cid:56)C(cid:42)
(cid:144)PA=PBP  C|B  +PBPC|B =0.5´0.6+0.5´0.6=0.6(cid:148)
(cid:292)(cid:549)(cid:390)(cid:85)(cid:160)(cid:25)(cid:115)(cid:59)(cid:56)D(cid:42)PD=PA+PBP  C|B  =0.6+0.5´0.4=0.8(cid:42)
(cid:185)(cid:82)X ~B4,0.8(cid:42)EX=4´0.8=3.2(cid:148)
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140)0.6(cid:148)3.2
æ 5 6 7 ö
5(cid:125)（2025·上海·高考真题）(cid:342)(cid:108)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:115)ç ÷(cid:42)(cid:144)(cid:89)(cid:90)E[X]=_________(cid:125)
è0.2 0.3 0.5ø
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)6.3
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:44)(cid:45)(cid:89)(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:158)(cid:92)(cid:89)(cid:90).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:203)(cid:13)(cid:292)(cid:102)Ex=5´0.2+6´0.3+7´0.5=1+1.8+3.5=6.3.
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140)6.3.
6(cid:125)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:102)5(cid:79)(cid:72)(cid:229)(cid:60)(cid:285)(cid:42)(cid:5)(cid:133)(cid:25)(cid:102)(cid:87)(cid:272)1(cid:42)2(cid:42)3(cid:42)4(cid:42)5(cid:42)(cid:178)(cid:183)(cid:102)(cid:270)(cid:271)(cid:286)(cid:57)(cid:58)(cid:118)3
(cid:202)(cid:42)(cid:200)(cid:202)(cid:118)1(cid:79)(cid:285).(cid:287)X(cid:115)(cid:258)5(cid:79)(cid:285)(cid:183)(cid:284)(cid:382)(cid:354)(cid:118)(cid:156)1(cid:202)(cid:60)(cid:285)(cid:60)(cid:79)(cid:87)(cid:42)(cid:144)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)E(X)=_________.
61
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164) /2.44
25
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:211)(cid:52)(cid:140)(cid:166)(cid:167)(cid:13)(cid:174)(cid:220)(cid:159)X(cid:60)(cid:158)(cid:179)(cid:118)(cid:96)(cid:42)(cid:243)(cid:67)(cid:68)(cid:5)(cid:168)(cid:340)(cid:211)(cid:169)(cid:170)(cid:83)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:92)(cid:220)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:42)
(cid:178)(cid:311)(cid:92)(cid:220)E(X)(cid:148)(cid:211)(cid:91)(cid:42)(cid:166)(cid:167)(cid:13)(cid:174)(cid:407)(cid:292)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)X (cid:42)(cid:67)(cid:68)(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:83)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:92)(cid:220)E(X )(cid:42)(cid:223)(cid:311)
i i
(cid:67)(cid:68)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:60)(cid:63)(cid:71)(cid:92)(cid:220)E(X).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:211)(cid:52)(cid:140)(cid:264)(cid:13)(cid:174)(cid:42)X(cid:60)(cid:158)(cid:179)(cid:118)(cid:96)(cid:115)1(cid:26)2(cid:26)3(cid:42)
(cid:230)(cid:60)(cid:187)(cid:118)(cid:158)(cid:179)(cid:87)(cid:115)53 =125(cid:42)
(cid:36)(cid:183)X =1(cid:140)(cid:227)(cid:202)(cid:204)(cid:118)(cid:229)(cid:52)(cid:285)(cid:42)(cid:187)(cid:412)(cid:285)(cid:60)(cid:239)(cid:240)(cid:102)5(cid:176)(cid:228)(cid:41)(cid:42)
5 1
(cid:186)P(X =1)= = (cid:42)
125 25
X =2(cid:140)(cid:345)(cid:372)(cid:78)(cid:176)(cid:149)(cid:229)(cid:285)(cid:354)(cid:118)(cid:156)(cid:10)(cid:172)(cid:52)(cid:285)(cid:156)(cid:105)(cid:78)(cid:202)(cid:42)(cid:528)(cid:52)(cid:285)(cid:156)(cid:105)(cid:52)(cid:202)(cid:11)(cid:42)(cid:187)(cid:118)(cid:156)(cid:105)(cid:78)(cid:202)(cid:60)(cid:285)(cid:102)5(cid:176)(cid:228)(cid:41)(cid:42)(cid:187)(cid:118)(cid:156)(cid:105)(cid:52)(cid:202)(cid:60)(cid:285)(cid:102)4(cid:176)(cid:228)(cid:41)(cid:42)
(cid:36)(cid:183)(cid:187)(cid:118)(cid:156)(cid:105)(cid:52)(cid:202)(cid:285)(cid:60)(cid:218)(cid:219)(cid:102)3(cid:176)(cid:158)(cid:179)(cid:42)(cid:186)(cid:59)(cid:56)X =2(cid:60)(cid:158)(cid:179)(cid:9)(cid:177)(cid:102)5´4´3=60(cid:176)(cid:42)
60 12
(cid:186)P(X =2)= = (cid:42)
125 25
X =3(cid:140)(cid:227)(cid:176)(cid:149)(cid:229)(cid:285)(cid:354)(cid:118)(cid:156)(cid:42)
(cid:203)(cid:46)(cid:47)(cid:87)(cid:158)(cid:108)(cid:59)(cid:56)X =3(cid:60)(cid:158)(cid:179)(cid:9)(cid:102)(cid:177)5´4´3=60(cid:176)(cid:42)
60 12
(cid:186)P(X =3)= = (cid:42)
125 25
(cid:185)(cid:82)EX=1´PX =1+2´PX =2+3´PX =3
5 12 12 61
=1´ +2´ +3´ = .
125 25 25 25
61
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140) .
25
(cid:211)(cid:91)(cid:140)(cid:264)(cid:13)(cid:174)(cid:42)(cid:407)(cid:292)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)X (cid:42)(cid:36)(cid:183)i=1,2,3,4,5(cid:140)
i
ì1,(cid:258)3(cid:202)(cid:187)(cid:118)(cid:183),(cid:285)i(cid:284)(cid:382)(cid:354)(cid:118)(cid:156)(cid:52)(cid:202) 5
(cid:36)(cid:183)X =í (cid:42)(cid:144)X =åX (cid:42)
i î0,(cid:258)3(cid:202)(cid:187)(cid:118)(cid:183),(cid:285)i(cid:52)(cid:202)(cid:309)(cid:381)(cid:354)(cid:118)(cid:156)
i=1
i
(cid:203)(cid:129)(cid:285)(cid:60)(cid:107)(cid:443)(cid:63)(cid:42)(cid:569)(cid:108)(cid:185)(cid:102)EX (cid:72)(cid:249)(cid:42)
i
é 5 ù 5
(cid:144)(cid:203)(cid:89)(cid:90)(cid:60)(cid:570)(cid:63)(cid:63)(cid:71)(cid:42)(cid:220)E[X]=E
ê
åX
iú
=åEX
i
=5EX
i
(cid:42)
ë û
i=1 i=1
4
(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:158)(cid:108)(cid:42)(cid:285)i(cid:297)(cid:495)(cid:202)(cid:204)(cid:118)(cid:183)(cid:155)(cid:354)(cid:118)(cid:156)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115) (cid:42)
5
æ4ö 3 64
(cid:203)(cid:129)(cid:204)(cid:118)(cid:61)(cid:62)(cid:42)(cid:227)(cid:202)(cid:95)(cid:155)(cid:118)(cid:156)(cid:285)i(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)PX =0=ç ÷ = (cid:42)
i è5ø 125
64 61
(cid:250)(cid:251)(cid:285)i(cid:284)(cid:382)(cid:354)(cid:118)(cid:156)(cid:52)(cid:202)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:140)PX =1=1- = (cid:42)
i 125 125
61
(cid:186)EX = (cid:42)
i 125
61 61
(cid:185)(cid:82)E[X]=5EX =5´ = .
i 125 25
61
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140) .
25
7(cid:125)（2022·浙江·高考真题）(cid:105)(cid:102)7(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:42)(cid:5)(cid:133)(cid:265)(cid:20)(cid:87)(cid:272)1(cid:42)2(cid:42)2(cid:42)3(cid:42)4(cid:42)5(cid:42)6(cid:125)(cid:178)(cid:258)7(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:204)
(cid:118)3(cid:266)(cid:42)(cid:287)(cid:185)(cid:204)(cid:118)(cid:267)(cid:268)(cid:20)(cid:87)(cid:272)(cid:60)(cid:150)(cid:301)(cid:96)(cid:115)x(cid:42)(cid:144)P(x=2)=__________(cid:42)E(x)=_________(cid:125)
16 12 5
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164) (cid:42) /1
35 7 7(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:67)(cid:68)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:92)P(x=2)(cid:42)(cid:203)(cid:55)(cid:56)(cid:92)x(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:243)(cid:203)(cid:89)(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:92)(cid:36)(cid:89)(cid:90).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:178)(cid:265)(cid:102)(cid:87)(cid:272)1,2,2,3,4,5,6(cid:60)7(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:183)(cid:307)(cid:118)3(cid:266)(cid:175)(cid:102)C3(cid:176)(cid:118)(cid:211)(cid:42)(cid:36)(cid:183)(cid:185)(cid:204)(cid:118)(cid:60)(cid:267)(cid:268)(cid:20)(cid:60)(cid:87)(cid:272)(cid:60)(cid:150)(cid:301)
7
C1+C1C2 16
(cid:96)(cid:115)2(cid:60)(cid:118)(cid:211)(cid:102)C1+C1C2(cid:176)(cid:42)(cid:185)(cid:82)P(x=2)= 4 2 4 = (cid:42)
4 2 4 C3 35
7
(cid:203)(cid:342)(cid:108)(cid:158)(cid:220)x(cid:60)(cid:118)(cid:96)(cid:102)1(cid:42)2(cid:42)3(cid:42)4(cid:42)
C2 15 16
P(x=1)= 6 = (cid:42)P(x=2)= (cid:42)
C3 35 35
7
C2 3 1 1
(cid:42)Px=3= 3 = (cid:42)Px=4= =
C3 35 C3 35
7 7
15 16 3 1 12
(cid:185)(cid:82)E(x)=1´ +2´ +3´ +4´ = ,
35 35 35 35 7
16 12
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)(cid:140) (cid:42) .
35 7
8(cid:125)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:197)(cid:223)(cid:224)(cid:571)(cid:572)(cid:285)(cid:502)(cid:439)(cid:42)(cid:200)(cid:79)(cid:285)(cid:478)(cid:410)(cid:220)1(cid:5)(cid:42)(cid:573)(cid:410)(cid:220)0(cid:5)(cid:125)(cid:292)(cid:200)(cid:79)(cid:285)
æ1 ö
(cid:29)(cid:478)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)pç < p<1÷(cid:42)(cid:30)(cid:478)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)q(cid:42)p+q=1(cid:42)(cid:209)(cid:257)(cid:285)(cid:60)(cid:478)(cid:573)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62).(cid:107)(cid:98)(cid:279)(cid:87)k ³2(cid:42)(cid:287)p (cid:115)
è2 ø k
(cid:574)(cid:368)k(cid:79)(cid:285)(cid:151)(cid:29)(cid:190)(cid:30)(cid:284)(cid:382)(cid:487)(cid:220)2(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)q (cid:115)(cid:574)(cid:368)k(cid:79)(cid:285)(cid:151)(cid:30)(cid:190)(cid:29)(cid:284)(cid:382)(cid:487)(cid:220)2(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:125)
k
(1)(cid:92)p ,p (cid:10)(cid:68)p(cid:244)(cid:245)(cid:11)(cid:125)
3 4
p - p
(2)(cid:180) 4 3 =4(cid:42)(cid:92)p(cid:125)
q -q
4 3
(3)(cid:454)(cid:455)(cid:140)(cid:107)(cid:307)(cid:174)(cid:98)(cid:279)(cid:87)m(cid:42)p -q < p -q < p -q (cid:125)
2m+1 2m+1 2m 2m 2m+2 2m+2
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)p = p3(cid:42)p = p34-3p
3 4
2
(2)p=
3
(3)(cid:519)(cid:171)(cid:165)
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:423)(cid:498)(cid:203)(cid:91)(cid:97)(cid:5)(cid:86)(cid:18)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:172)(cid:158)(cid:92)(cid:171)(cid:148)
p - p
(cid:10)2(cid:11)(cid:203)(cid:13)(cid:174)q =q3,q =q34-3q(cid:42)(cid:575)(cid:62) 4 3 =4(cid:42)p+q=1(cid:172)(cid:158)(cid:92)(cid:171)(cid:148)
3 4 q -q
4 3
(cid:10)3(cid:11)(cid:529)(cid:276)p - p =Cm-1pm+1qm(cid:42)p - p =Cm pm+2qm(cid:42)(cid:229)(cid:170)(cid:102)q -q =Cm-1qm+1pm(cid:42)
2m 2m+1 2m 2m+2 2m+1 2m+1 2m 2m+1 2m
q -q =Cm qm+2pm(cid:42)(cid:114)(cid:289)(cid:102)p -q < p -q (cid:42)(cid:528)(cid:52)(cid:228)(cid:142)
2m+2 2m+1 2m+1 2m+1 2m+1 2m 2m2m+1! æ m ö 2m+1! æ m ö
p - p = pmqm×pçp- ÷(cid:42)(cid:209)(cid:229)(cid:170)(cid:102)q -q = pmqm×qçq- ÷(cid:42)(cid:114)(cid:289)(cid:179)
2m+2 2m m!m+1! è 2m+1ø 2m+2 2m m!m+1! è 2m+1ø
(cid:220)(cid:159)p -q < p -q (cid:42)(cid:203)(cid:251)(cid:172)(cid:158)(cid:220)(cid:454).
2m 2m 2m+2 2m+2
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)p (cid:115)(cid:574)(cid:368)3(cid:79)(cid:285)(cid:151)(cid:29)(cid:190)(cid:30)(cid:284)(cid:382)(cid:487)(cid:220)(cid:78)(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:186)(cid:480)(cid:179)(cid:29)(cid:478)(cid:227)(cid:201)(cid:42)
3
(cid:186)(cid:185)(cid:92)(cid:115)p =C31- p0 p3 = p3(cid:42)
3 3
p (cid:115)(cid:574)(cid:368)4(cid:79)(cid:285)(cid:151)(cid:29)(cid:190)(cid:30)(cid:284)(cid:382)(cid:487)(cid:220)(cid:78)(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:186)(cid:29)(cid:478)(cid:227)(cid:201)(cid:210)(cid:126)(cid:201)(cid:42)
4
(cid:186)(cid:185)(cid:92)(cid:115)p =C31- p1 p3+C41- p0 p4 =4p31- p+ p4 = p34-3p(cid:148)
4 4 4
(cid:10)2(cid:11)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:220)p = p3(cid:42)p = p34-3p(cid:42)(cid:229)(cid:170)q =q3,q =q34-3q(cid:42)
3 4 3 4
p - p
(cid:180) 4 3 =4(cid:42)p+q=1(cid:42)
q -q
4 3
p - p p34-3p- p3 3p31- p p3q æ pö 2
(cid:144) 4 3 = = = =ç ÷ =4(cid:42)
q -q q34-3q-q3 3q31-q q3p èqø
4 3
2
(cid:203)(cid:129)0< p,q<1(cid:42)(cid:185)(cid:82)p=2q=21- p>0(cid:42)(cid:171)(cid:220)p= (cid:148)
3
(cid:10)3(cid:11)(cid:292)(cid:574)(cid:368)k(cid:79)(cid:285)(cid:42)(cid:29)(cid:60)(cid:220)(cid:5)(cid:115)X (cid:42)(cid:30)(cid:60)(cid:220)(cid:5)(cid:115)Y (cid:42)X +Y =k(cid:42)
k k k k
(cid:185)(cid:82)p =P(X ³m+1)(cid:42)p =P(X ³m+2)(cid:42)p =P(X ³m+2)(cid:42)
2m 2m 2m+1 2m+1 2m+2 2m+2
q =P(Y ³m+1)(cid:42)q =P(Y ³m+2)(cid:42)q =P(Y ³m+2)(cid:42)
2m 2m 2m+1 2m+1 2m+2 2m+2
(cid:121)(cid:454)(cid:455)p -q < p -q < p -q (cid:42)
2m+1 2m+1 2m 2m 2m+2 2m+2
(cid:172)(cid:454)(cid:455) p - p <q -q (cid:42) p - p >q -q (cid:42)
2m+1 2m 2m+1 2m 2m+2 2m 2m+2 2m
① ②
(cid:276)(cid:454)(cid:455) p - p <q -q (cid:42)
2m+1 2m 2m+1 2m
①
p - p =P(X ³m+2)-P(X ³m+1)
2m+1 2m 2m+1 2m
=P(X ³m+2)+P(X =m+1)p-P(X ³m+1)
2m 2m 2m
=P(X =m+1)p-P(X =m+1)
2m 2m
=(p-1)Cm+1pm+1qm-1(cid:42)
2m
(cid:229)(cid:170)(cid:158)(cid:220)q -q =(q-1)Cm+1qm+1pm-1(cid:42)
2m+1 2m 2m(cid:185)(cid:82) Û(p-1)Cm+1pm+1qm-1<(q-1)Cm+1qm+1pm-1 Û p2(p-1)<q2(q-1)Û-p2q<-q2pÛ-p<-qÛ p>q(cid:42)
2m 2m
(cid:186)(cid:282)(cid:62)①(cid:148)
(cid:454)(cid:455) p - p >q -q (cid:140)
2m+2 2m 2m+2 2m
②
p - p =P(X ³m+2)-P(X ³m+1)
2m+2 2m 2m+2 2m
=P(X =m)p2+P(X =m+1)[1-(1- p)2]+P(X ³m+2)-P(X ³m+1)
2m 2m 2m 2m
=P(X =m)p2+P(X =m+1)[1-(1- p)2]+P(X ³m+1)-P(X =m+1)-P(X ³m+1)
2m 2m 2m 2m 2m
=P(X =m)p2+P(X =m+1)(1-q2)-P(X =m+1)
2m 2m 2m
=Cm pmqmp2-q2Cm+1pm+1qm-1
2m 2m
=Cm pm+2qm-Cm+1pm+1qm+1(cid:42)
2m 2m
(cid:229)(cid:170)(cid:158)(cid:220)q -q =Cm qm+2pm-Cm+1qm+1pm+1(cid:42)
2m+2 2m 2m 2m
(cid:185)(cid:82)
ÛC②m pm+2qm-Cm+1pm+1qm+1 >Cm qm+2pm-Cm+1qm+1pm+1 ÛCm pm+2qm >Cm qm+2pm Û p2 >q2 Û p>q(cid:42)(cid:186)(cid:282)
2m 2m 2m 2m 2m 2m
(cid:62)(cid:148)
(cid:576)(cid:20)(cid:42)(cid:149)(cid:249)(cid:41)p -q < p -q < p -q (cid:282)(cid:62).
2m+1 2m+1 2m 2m 2m+2 2m+2
9(cid:125)（2024·北京·高考真题）(cid:188)(cid:181)(cid:451)(cid:40)(cid:577)(cid:115)(cid:106)(cid:106)(cid:171)(cid:283)(cid:40)(cid:577)(cid:188)(cid:176)(cid:181)(cid:451)(cid:531)(cid:466)(cid:60)(cid:578)(cid:579)(cid:9)(cid:177)(cid:42)(cid:178)(cid:45)(cid:229)(cid:451)(cid:89)(cid:580)(cid:581)(cid:582)(cid:60)(cid:181)
(cid:495)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:204)(cid:118)1000(cid:583)(cid:42)(cid:287)(cid:584)(cid:242)(cid:279)(cid:170)(cid:258)(cid:328)(cid:181)(cid:495)(cid:60)(cid:578)(cid:579)(cid:9)(cid:177)(cid:42)(cid:477)(cid:220)(cid:87)(cid:167)(cid:141)(cid:246)(cid:244)(cid:140)
(cid:579)(cid:585)(cid:202)(cid:87) 0 1 2 3 4
(cid:495)(cid:87) 800 100 60 30 10
(cid:407)(cid:292)(cid:140)(cid:52)(cid:583)(cid:181)(cid:495)(cid:60)(cid:181)(cid:586)(cid:115)0.4(cid:562)(cid:563)(cid:148)(cid:288)3(cid:202)(cid:578)(cid:579)(cid:101)(cid:42)(cid:181)(cid:451)(cid:40)(cid:577)(cid:200)(cid:202)(cid:579)(cid:585)0.8(cid:562)(cid:563)(cid:148)(cid:208)(cid:126)(cid:202)(cid:578)(cid:579)(cid:101)(cid:42)(cid:181)(cid:451)(cid:40)(cid:577)
(cid:579)(cid:585)0.6(cid:562)(cid:563).(cid:407)(cid:292)(cid:149)(cid:229)(cid:181)(cid:495)(cid:60)(cid:578)(cid:579)(cid:202)(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62).(cid:68)(cid:422)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:18)(cid:37).
(1)(cid:424)(cid:38)(cid:52)(cid:583)(cid:181)(cid:495)(cid:578)(cid:579)(cid:202)(cid:87)(cid:149)(cid:382)(cid:129)2(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(2)(cid:52)(cid:583)(cid:181)(cid:495)(cid:60)(cid:587)(cid:67)(cid:588)(cid:207)(cid:81)(cid:115)(cid:258)(cid:583)(cid:181)(cid:495)(cid:60)(cid:181)(cid:586)(cid:83)(cid:579)(cid:585)(cid:230)(cid:589)(cid:590)(cid:273)(cid:289).
(cid:10)i(cid:11)(cid:287)X(cid:115)(cid:52)(cid:583)(cid:181)(cid:495)(cid:60)(cid:587)(cid:67)(cid:588)(cid:42)(cid:424)(cid:38)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)EX(cid:148)
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:141)(cid:241)(cid:269)(cid:578)(cid:579)(cid:60)(cid:181)(cid:495)(cid:60)(cid:181)(cid:586)(cid:315)(cid:382)4%(cid:42)(cid:102)(cid:578)(cid:579)(cid:60)(cid:181)(cid:495)(cid:60)(cid:181)(cid:586)(cid:591)(cid:199)20%(cid:42)(cid:522)(cid:190)(cid:300)(cid:258)(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:246)(cid:52)(cid:583)(cid:181)(cid:495)(cid:587)(cid:67)(cid:588)(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:424)(cid:38)(cid:96)(cid:83)(cid:10)i(cid:11)(cid:183)EX(cid:424)(cid:38)(cid:96)(cid:60)(cid:291)(cid:301)(cid:125)(cid:10)(cid:44)(cid:217)(cid:149)(cid:121)(cid:92)(cid:454)(cid:455)(cid:11)
1
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)
10
(2)(i)0.122(cid:562)(cid:563)(cid:148)(ii) (cid:258)(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:246)(cid:52)(cid:583)(cid:181)(cid:495)(cid:587)(cid:67)(cid:588)(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:424)(cid:38)(cid:96)(cid:291)(cid:129)(cid:10)i(cid:11)(cid:183)EX(cid:424)(cid:38)(cid:96)
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:166)(cid:167)(cid:13)(cid:292)(cid:183)(cid:60)(cid:87)(cid:167)(cid:158)(cid:92)(cid:579)(cid:585)(cid:202)(cid:87)(cid:149)(cid:382)2(cid:60)(cid:18)(cid:37);
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:292)x(cid:115)(cid:579)(cid:592)(cid:589)(cid:590)(cid:42)(cid:144)x(cid:158)(cid:118)0,0.8,1.6,2.4,3(cid:42)(cid:68)(cid:422)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:18)(cid:37)(cid:151)(cid:158)(cid:92)x(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:35)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:42)(cid:178)(cid:311)
(cid:158)(cid:92)EX
.
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:276)(cid:39)(cid:156)(cid:246)(cid:52)(cid:89)(cid:181)(cid:586)(cid:60)(cid:84)(cid:319)(cid:9)(cid:177)(cid:42)(cid:44)(cid:45)(cid:10)1(cid:11)(cid:60)(cid:44)(cid:241)(cid:158)(cid:92)EY(cid:42)(cid:178)(cid:311)(cid:172)(cid:158)(cid:190)(cid:300)(cid:291)(cid:301)(cid:220)(cid:171).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:292)A(cid:115)“(cid:57)(cid:58)(cid:204)(cid:118)(cid:52)(cid:495)(cid:42)(cid:579)(cid:585)(cid:149)(cid:382)(cid:129)2(cid:202)”(cid:42)
60+30+10 1
(cid:203)(cid:13)(cid:292)(cid:183)(cid:60)(cid:510)(cid:38)(cid:87)(cid:167)(cid:158)(cid:220)PA= = .
800+100+60+30+10 10
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:292)x(cid:115)(cid:579)(cid:592)(cid:589)(cid:590)(cid:42)(cid:144)x(cid:158)(cid:118)0,0.8,1.6,2.4,3(cid:42)
800 4 100 1
(cid:203)(cid:13)(cid:292)(cid:183)(cid:60)(cid:510)(cid:38)(cid:87)(cid:167)(cid:158)(cid:220)Px=0= = ,Px=0.8= = (cid:42)
1000 5 1000 10
60 3 30 3
P(x=1.6)= = (cid:42)P(x=2.4)= = (cid:42)
1000 50 1000 100
10 1
P(x=3)= = (cid:42)
1000 100
4 1 3 3 1
(cid:186)Ex=0´ +0.8´ +1.6´ +2.4´ +3´ =0.278
5 10 50 100 100
(cid:186)EX=0.4-0.278=0.122(cid:10)(cid:562)(cid:563)(cid:11).
4 1
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:203)(cid:13)(cid:292)(cid:181)(cid:586)(cid:60)(cid:84)(cid:319)(cid:115)0.4´ ´96%+0.4´ ´1.2=0.4032(cid:42)
5 5
(cid:186)EY=0.122+0.4032-0.4=0.1252(cid:10)(cid:562)(cid:563)(cid:11)(cid:42)
(cid:178)(cid:311)EX<EY
.
10(cid:125)（2023·上海·高考真题）21(cid:593)(cid:594)(cid:595)(cid:596)(cid:597)(cid:598)(cid:599)(cid:297)(cid:20)(cid:21)2023(cid:8)6(cid:600)7(cid:540)(cid:297)(cid:20)(cid:21)(cid:233)(cid:224)(cid:42)(cid:246)(cid:244)(cid:115)(cid:188)(cid:595)(cid:596)(cid:601)(cid:19)(cid:40)
(cid:577)(cid:175)(cid:102)25(cid:79)(cid:595)(cid:596)(cid:601)(cid:19)(cid:42)(cid:36)(cid:332)(cid:602)(cid:64)(cid:489)(cid:603)(cid:60)(cid:330)(cid:331)(cid:5)(cid:86)(cid:141)(cid:246)(cid:244)(cid:185)(cid:245)(cid:140)
(cid:379)(cid:331)(cid:332)(cid:602) (cid:604)(cid:331)(cid:332)(cid:602)
(cid:605)(cid:331)(cid:489)(cid:603) 8 12
(cid:606)(cid:331)(cid:489)(cid:603) 2 3
(1)(cid:180)(cid:301)(cid:455)(cid:178)(cid:258)(cid:328)(cid:601)(cid:19)(cid:183)(cid:57)(cid:58)(cid:607)(cid:52)(cid:79)(cid:601)(cid:19)(cid:42)(cid:287)(cid:59)(cid:56)A(cid:115)(cid:301)(cid:455)(cid:118)(cid:159)(cid:60)(cid:601)(cid:19)(cid:115)(cid:379)(cid:331)(cid:332)(cid:602)(cid:42)(cid:59)(cid:56)B(cid:118)(cid:159)(cid:601)(cid:19)(cid:102)(cid:606)(cid:331)(cid:489)(cid:603)(cid:42)(cid:92)PB,PB|A(cid:42)(cid:242)(cid:167)(cid:251)(cid:469)(cid:470)(cid:59)(cid:56)A(cid:64)(cid:59)(cid:56)B(cid:113)(cid:446)(cid:61)(cid:62)(cid:148)
(2)(cid:115)(cid:271)(cid:608)(cid:609)(cid:610)(cid:42)(cid:283)(cid:40)(cid:577)(cid:233)(cid:224)(cid:106)(cid:52)(cid:79)(cid:204)(cid:611)(cid:389)(cid:390)(cid:42)(cid:242)(cid:14)(cid:207)(cid:42)(cid:297)(cid:52)(cid:202)(cid:204)(cid:611)(cid:183)(cid:42)(cid:200)(cid:197)(cid:158)(cid:82)(cid:52)(cid:202)(cid:63)(cid:204)(cid:118)(cid:78)(cid:79)(cid:595)(cid:596)(cid:601)(cid:19)(cid:54)
(cid:115)(cid:106)(cid:220)(cid:159)(cid:611)(cid:466)(cid:6)(cid:19)(cid:42)(cid:105)(cid:114)(cid:156)(cid:141)(cid:246)(cid:407)(cid:292)(cid:140)
(cid:407)(cid:292)1(cid:140)(cid:200)(cid:197)(cid:204)(cid:118)(cid:60)(cid:78)(cid:79)(cid:601)(cid:19)(cid:599)(cid:156)(cid:105)(cid:227)(cid:176)(cid:44)(cid:241)(cid:140) (cid:78)(cid:79)(cid:601)(cid:19)(cid:60)(cid:332)(cid:602)(cid:64)(cid:489)(cid:603)(cid:95)(cid:115)(cid:229)(cid:331)(cid:148) (cid:78)(cid:79)(cid:601)(cid:19)(cid:60)(cid:332)(cid:602)(cid:64)
(cid:489)(cid:603)(cid:95)(cid:115)(cid:149)(cid:229)(cid:331)(cid:148) (cid:78)(cid:79)(cid:601)(cid:19)(cid:60)(cid:332)(cid:602)(cid:229)(cid:331)(cid:612)(cid:489)(cid:603)①(cid:149)(cid:229)(cid:331)(cid:42)(cid:210)(cid:489)(cid:603)(cid:229)(cid:331)(cid:612)(cid:332)(cid:602)(cid:149)(cid:229)(cid:331)(cid:54)②
(cid:407)(cid:292)2(cid:140)(cid:283)(cid:204)(cid:611)(cid:292)(cid:219)③(cid:227)(cid:6)(cid:611)(cid:42)(cid:611)(cid:589)(cid:589)(cid:590)(cid:5)(cid:133)(cid:115)(cid:140)(cid:52)(cid:249)(cid:611)600(cid:563)(cid:42)(cid:91)(cid:249)(cid:611)300(cid:563)(cid:42)(cid:227)(cid:249)(cid:611)150(cid:563)(cid:54)
(cid:407)(cid:292)3(cid:140)(cid:200)(cid:176)(cid:204)(cid:118)(cid:60)(cid:44)(cid:241)(cid:309)(cid:107)(cid:314)(cid:52)(cid:6)(cid:611)(cid:54)(cid:156)(cid:105)(cid:188)(cid:176)(cid:44)(cid:241)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:484)(cid:301)(cid:42)(cid:611)(cid:589)(cid:589)(cid:590)(cid:484)(cid:33)(cid:54)
(cid:517)(cid:469)(cid:470)(cid:82)(cid:20)(cid:227)(cid:176)(cid:44)(cid:241)(cid:5)(cid:133)(cid:107)(cid:314)(cid:613)(cid:249)(cid:611)(cid:54)(cid:292)(cid:183)(cid:611)(cid:60)(cid:611)(cid:589)(cid:87)(cid:113)X(cid:42)(cid:265)(cid:156)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:42)(cid:242)(cid:92)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:54)
1 1
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)P(B)= ,P(B|A)= (cid:42)(cid:59)(cid:56)A,B(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:148)
5 5
(2)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:519)(cid:171)(cid:165)(cid:42)271(cid:563).
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:166)(cid:167)(cid:411)(cid:207)(cid:87)(cid:244)(cid:42)(cid:67)(cid:68)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:37)(cid:92)(cid:156)P(B),P(B|A)(cid:42)(cid:243)(cid:67)(cid:68)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:207)(cid:81)(cid:469)(cid:470)(cid:114)(cid:162).
(cid:10)2(cid:11)(cid:92)(cid:156)(cid:227)(cid:176)(cid:44)(cid:241)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:130)(cid:411)(cid:207)(cid:60)(cid:407)(cid:292)2(cid:42)3(cid:206)(cid:207)(cid:611)(cid:589)(cid:590)(cid:83)(cid:107)(cid:314)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:47)(cid:156)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:92)(cid:156)(cid:89)(cid:90)(cid:114)(cid:162).
2+3 1 8+2 2 2 1
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:203)(cid:411)(cid:207)(cid:60)(cid:87)(cid:244)(cid:108)(cid:42)P(B)= = (cid:42)P(A)= = (cid:42)P(B|A)= = (cid:42)
25 5 25 5 10 5
2 2 1
(cid:311)P(AB)= = ´ =P(A)×P(B)(cid:42)(cid:250)(cid:251)(cid:59)(cid:56)A,B(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:42)
25 5 5
1 1
(cid:185)(cid:82)P(B)= ,P(B|A)= (cid:42)(cid:59)(cid:56)A,B(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62).
5 5
(cid:10)2(cid:11)(cid:292)(cid:59)(cid:56)C(cid:140)(cid:332)(cid:602)(cid:64)(cid:489)(cid:603)(cid:95)(cid:115)(cid:229)(cid:331)(cid:42)(cid:59)(cid:56)D(cid:140)(cid:332)(cid:602)(cid:489)(cid:603)(cid:309)(cid:333)(cid:331)(cid:42)(cid:59)(cid:56)E(cid:140)(cid:462)(cid:332)(cid:602)(cid:210)(cid:462)(cid:489)(cid:603)(cid:229)(cid:331)(cid:42)
C2+C2 +C2+C2 49 C1×C1 +C1 ×C1 24 4
(cid:264)(cid:13)(cid:174)(cid:42)P(C)= 8 12 2 3 = (cid:148)P(D)= 8 3 12 2 = = (cid:148)
C2 150 C2 150 25
25 25
C1×C1 +C1 ×C1 +C1×C1 +C1 ×C1 77
P(E)= 8 2 12 3 8 12 2 3 = (cid:42)(cid:144)P(E)>P(C)>P(D)(cid:42)
C2 150
25
(cid:250)(cid:251)(cid:204)(cid:118)(cid:60)(cid:78)(cid:79)(cid:601)(cid:19)(cid:60)(cid:332)(cid:602)(cid:64)(cid:489)(cid:603)(cid:95)(cid:115)(cid:149)(cid:229)(cid:331)(cid:113)(cid:52)(cid:249)(cid:611)(cid:148)(cid:332)(cid:602)(cid:64)(cid:489)(cid:603)(cid:95)(cid:115)(cid:229)(cid:331)(cid:113)(cid:91)(cid:249)(cid:611)(cid:148)
(cid:332)(cid:602)(cid:229)(cid:331)(cid:612)(cid:489)(cid:603)(cid:149)(cid:229)(cid:331)(cid:42)(cid:210)(cid:489)(cid:603)(cid:229)(cid:331)(cid:612)(cid:332)(cid:602)(cid:149)(cid:229)(cid:331)(cid:113)(cid:227)(cid:249)(cid:611)(cid:42)
(cid:611)(cid:589)(cid:590)X(cid:60)(cid:158)(cid:179)(cid:96)(cid:115)(cid:140)600,300,150(cid:42)
(cid:611)(cid:589)(cid:590)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:140)
X 600 300 150
4 49 77
P
25 150 1504 49 77
(cid:611)(cid:589)(cid:590)X(cid:60)(cid:89)(cid:90)E(X)=600´ +300´ +150´ =271(cid:10)(cid:563)(cid:11).
25 150 150
11(cid:125)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:197)(cid:500)(cid:501)(cid:42)(cid:200)(cid:202)(cid:203)(cid:36)(cid:183)(cid:52)(cid:197)(cid:500)(cid:501)(cid:42)(cid:14)(cid:144)(cid:141)(cid:246)(cid:140)(cid:180)(cid:12)(cid:183)(cid:144)(cid:251)(cid:197)(cid:614)(cid:534)
(cid:500)(cid:501)(cid:42)(cid:180)(cid:155)(cid:12)(cid:183)(cid:144)(cid:615)(cid:115)(cid:107)(cid:228)(cid:500)(cid:501)(cid:125)(cid:269)(cid:217)(cid:273)(cid:288)(cid:500)(cid:501)(cid:9)(cid:177)(cid:141)(cid:616)(cid:42)(cid:29)(cid:200)(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:60)(cid:12)(cid:183)(cid:37)(cid:95)(cid:115)0.6(cid:42)(cid:30)(cid:200)(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:60)(cid:12)
(cid:183)(cid:37)(cid:95)(cid:115)0.8(cid:125)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)1(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:60)(cid:197)(cid:187)(cid:42)(cid:208)1(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:60)(cid:197)(cid:113)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:257)(cid:115)0.5(cid:125)
(1)(cid:92)(cid:208)2(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:60)(cid:197)(cid:113)(cid:30)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(2)(cid:92)(cid:208)i(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:60)(cid:197)(cid:113)(cid:29)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
æ n ö n
(3)(cid:342)(cid:108)(cid:140)(cid:180)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)X (cid:358)(cid:178)(cid:78)(cid:4)(cid:5)(cid:86)(cid:42)(cid:209)PX =1=1-PX =0=q,i=1,2,×××,n(cid:42)(cid:144)Eç åX ÷=åq (cid:125)(cid:287)
i i i i i i
è ø
i=1 i=1
(cid:288)n(cid:202)(cid:10)(cid:172)(cid:178)(cid:208)1(cid:202)(cid:159)(cid:208)n(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:11)(cid:183)(cid:29)(cid:500)(cid:501)(cid:60)(cid:202)(cid:87)(cid:115)Y(cid:42)(cid:92)EY(cid:125)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)0.6
1 æ2ö i-1 1
(2) ´ç ÷ +
6 è5ø 3
5 é æ2ö nù n
(3)E(Y)= ê1-ç ÷ ú+
18êë è5ø úû 3
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:166)(cid:167)(cid:27)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:172)(cid:158)(cid:92)(cid:156)(cid:148)
(cid:10)2(cid:11)(cid:292)PA= p (cid:42)(cid:203)(cid:13)(cid:174)(cid:158)(cid:220)p =0.4p +0.2(cid:42)(cid:166)(cid:167)(cid:87)(cid:47)(cid:108)(cid:109)(cid:42)(cid:547)(cid:617)(cid:249)(cid:190)(cid:87)(cid:47)(cid:172)(cid:158)(cid:171)(cid:156)(cid:148)
i i i+1 i
(cid:10)3(cid:11)(cid:276)(cid:92)(cid:156)(cid:78)(cid:4)(cid:5)(cid:86)(cid:60)(cid:89)(cid:90)(cid:42)(cid:243)(cid:166)(cid:167)(cid:13)(cid:183)(cid:60)(cid:44)(cid:217)(cid:82)(cid:35)(cid:249)(cid:190)(cid:87)(cid:47)(cid:60)(cid:92)(cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:172)(cid:158)(cid:92)(cid:156)(cid:125)
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:287)“(cid:208)i(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:60)(cid:197)(cid:113)(cid:29)”(cid:115)(cid:59)(cid:56)A(cid:42)“(cid:208)i(cid:202)(cid:500)(cid:501)(cid:60)(cid:197)(cid:113)(cid:30)”(cid:115)(cid:59)(cid:56)B (cid:42)
i i
(cid:185)(cid:82)(cid:42)PB =PAB +PBB =PAPB |A+PB PB |B 
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
=0.5´1-0.6+0.5´0.8=0.6.
(cid:10)2(cid:11)(cid:292)PA= p (cid:42)(cid:264)(cid:13)(cid:158)(cid:108)(cid:42)PB =1- p (cid:42)(cid:144)
i i i i
PA =PAA +PBA =PAPA |A+PB PA |B (cid:42)
i+1 i i+1 i i+1 i i+1 i i i+1 i
(cid:172)p =0.6p +1-0.8´1- p =0.4p +0.2(cid:42)
i+1 i i i
(cid:547)(cid:617)(cid:249)(cid:190)(cid:87)(cid:47)p +l(cid:42)
i
2 1 1 2æ 1ö
(cid:292)p +l= p +l(cid:42)(cid:171)(cid:220)l=- (cid:42)(cid:144)p - = çp - ÷(cid:42)
i+1 5 i 3 i+1 3 5è i 3ø1 1 1 ì 1ü 1 2
(cid:459)p = ,p - = (cid:42)(cid:185)(cid:82)íp - ý(cid:113)(cid:529)(cid:97)(cid:115) (cid:42)(cid:40)(cid:190)(cid:115) (cid:60)(cid:249)(cid:190)(cid:87)(cid:47)(cid:42)
1 2 1 3 6 î i 3þ 6 5
1 1 æ2ö i-1 1 æ2ö i-1 1
(cid:172)p - = ´ç ÷ ,p = ´ç ÷ + (cid:125)
i 3 6 è5ø i 6 è5ø 3
1 æ2ö i-1 1
(cid:10)3(cid:11)(cid:250)(cid:115)p = ´ç ÷ + (cid:42)i=1,2,×××,n(cid:42)
i 6 è5ø 3
æ2ö n
(cid:185)(cid:82)(cid:225)nÎN*(cid:101)(cid:42)EY= p + p +L+ p = 1 ´ 1-ç è5 ÷ ø + n = 5 é ê1- æ ç 2ö ÷ nù ú+ n (cid:42)
1 2 n 6 1- 2 3 18êë è5ø úû 3
5
5 é æ2ö nù n
(cid:186)E(Y)= ê1-ç ÷ ú+ (cid:125)
18êë è5ø úû 3
(cid:161)(cid:4)(cid:316)(cid:164)(cid:70)(cid:13)(cid:208)(cid:52)(cid:51)(cid:423)(cid:498)(cid:3)(cid:34)(cid:27)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:60)(cid:314)(cid:68)(cid:42)(cid:151)(cid:78)(cid:51)(cid:60)(cid:171)(cid:13)(cid:65)(cid:317)(cid:113)(cid:166)(cid:167)(cid:13)(cid:174)(cid:618)(cid:159)(cid:619)(cid:74)(cid:41)(cid:42)(cid:222)(cid:151)(cid:166)(cid:167)(cid:87)
(cid:47)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:108)(cid:109)(cid:92)(cid:171)(cid:125)
12(cid:125)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:79)(cid:88)(cid:232)(cid:223)(cid:224)(cid:104)(cid:620)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:190)(cid:191)(cid:175)(cid:292)(cid:227)(cid:79)(cid:97)(cid:353)(cid:42)(cid:200)(cid:79)(cid:97)(cid:353)(cid:478)(cid:228)(cid:220)10
(cid:5)(cid:42)(cid:573)(cid:228)(cid:220)0(cid:5)(cid:42)(cid:381)(cid:102)(cid:119)(cid:304)(cid:125)(cid:227)(cid:79)(cid:97)(cid:353)(cid:190)(cid:191)(cid:44)(cid:621)(cid:151)(cid:42)(cid:230)(cid:220)(cid:5)(cid:33)(cid:60)(cid:88)(cid:232)(cid:477)(cid:220)(cid:622)(cid:623)(cid:125)(cid:342)(cid:108)(cid:29)(cid:88)(cid:232)(cid:297)(cid:227)(cid:79)(cid:97)(cid:353)(cid:183)
(cid:477)(cid:478)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:5)(cid:133)(cid:115)0.5(cid:42)0.4(cid:42)0.8(cid:42)(cid:257)(cid:97)(cid:353)(cid:60)(cid:190)(cid:191)(cid:44)(cid:241)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:125)
(1)(cid:92)(cid:29)(cid:88)(cid:232)(cid:477)(cid:220)(cid:622)(cid:623)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(2)(cid:68)X(cid:244)(cid:245)(cid:30)(cid:88)(cid:232)(cid:60)(cid:230)(cid:220)(cid:5)(cid:42)(cid:92)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:83)(cid:89)(cid:90)(cid:125)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)0.6(cid:148)
(2)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:115)
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
EX=13.
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:292)(cid:29)(cid:297)(cid:227)(cid:79)(cid:97)(cid:353)(cid:183)(cid:477)(cid:478)(cid:60)(cid:59)(cid:56)(cid:264)(cid:202)(cid:287)(cid:115)A,B,C(cid:42)(cid:243)(cid:166)(cid:167)(cid:29)(cid:477)(cid:220)(cid:622)(cid:623)(cid:144)(cid:284)(cid:382)(cid:477)(cid:478)(cid:78)(cid:79)(cid:97)(cid:353)(cid:42)(cid:67)
(cid:68)(cid:73)(cid:467)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:199)(cid:211)(cid:40)(cid:41)(cid:82)(cid:35)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:340)(cid:211)(cid:40)(cid:41)(cid:172)(cid:158)(cid:92)(cid:156)(cid:148)
(cid:10)2(cid:11)(cid:264)(cid:13)(cid:158)(cid:108)(cid:42)X(cid:60)(cid:158)(cid:179)(cid:118)(cid:96)(cid:115)0,10,20,30(cid:42)(cid:243)(cid:5)(cid:133)(cid:38)(cid:39)(cid:156)(cid:107)(cid:314)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:47)(cid:156)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:172)(cid:158)(cid:92)(cid:156)(cid:89)(cid:90)(cid:125)
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:292)(cid:29)(cid:297)(cid:227)(cid:79)(cid:97)(cid:353)(cid:183)(cid:477)(cid:478)(cid:60)(cid:59)(cid:56)(cid:264)(cid:202)(cid:287)(cid:115)A,B,C(cid:42)(cid:185)(cid:82)(cid:29)(cid:88)(cid:232)(cid:477)(cid:220)(cid:622)(cid:623)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)
P=PABC+P  ABC  +PABC+P  ABC 
=0.5´0.4´0.8+0.5´0.4´0.8+0.5´0.6´0.8+0.5´0.4´0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6(cid:125)
(cid:10)2(cid:11)(cid:264)(cid:13)(cid:158)(cid:108)(cid:42)X(cid:60)(cid:158)(cid:179)(cid:118)(cid:96)(cid:115)0,10,20,30(cid:42)(cid:185)(cid:82)(cid:42)
PX =0=0.5´0.4´0.8=0.16,
PX =10=0.5´0.4´0.8+0.5´0.6´0.8+0.5´0.4´0.2=0.44(cid:42)
PX =20=0.5´0.6´0.8+0.5´0.4´0.2+0.5´0.6´0.2=0.34(cid:42)
PX =30=0.5´0.6´0.2=0.06.
(cid:172)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:115)
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
(cid:89)(cid:90)EX=0´0.16+10´0.44+20´0.34+30´0.06=13.
13(cid:125)（2022·北京·高考真题）(cid:297)(cid:232)(cid:549)(cid:390)(cid:599)(cid:20)(cid:42)(cid:480)(cid:102)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:195)(cid:227)(cid:254)(cid:229)(cid:88)(cid:198)(cid:199)(cid:624)(cid:285)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)(cid:160)(cid:159)9．50m
(cid:82)(cid:20)(cid:10)(cid:80)9．50m(cid:11)(cid:60)(cid:229)(cid:88)(cid:145)(cid:477)(cid:220)(cid:278)(cid:625)(cid:611)(cid:125)(cid:115)(cid:626)(cid:347)(cid:477)(cid:220)(cid:278)(cid:625)(cid:611)(cid:60)(cid:197)(cid:87)(cid:35)(cid:622)(cid:623)(cid:220)(cid:236)(cid:42)(cid:493)(cid:533)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:195)(cid:82)(cid:43)(cid:60)(cid:190)
(cid:191)(cid:282)(cid:527)(cid:42)(cid:242)(cid:279)(cid:170)(cid:220)(cid:159)(cid:141)(cid:246)(cid:87)(cid:167)(cid:10)(cid:495)(cid:218)(cid:140)m(cid:11)(cid:140)
(cid:29)(cid:140)9.80(cid:42)9.70(cid:42)9.55(cid:42)9.54(cid:42)9.48(cid:42)9.42(cid:42)9.40(cid:42)9.35(cid:42)9.30(cid:42)9.25(cid:148)
(cid:30)(cid:140)9.78(cid:42)9.56(cid:42)9.51(cid:42)9.36(cid:42)9.32(cid:42)9.23(cid:148)
(cid:195)(cid:140)9.85(cid:42)9.65(cid:42)9.20(cid:42)9.16(cid:125)
(cid:407)(cid:292)(cid:68)(cid:422)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:209)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:195)(cid:60)(cid:190)(cid:191)(cid:282)(cid:527)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:125)
(1)(cid:424)(cid:38)(cid:29)(cid:297)(cid:232)(cid:549)(cid:390)(cid:599)(cid:624)(cid:285)(cid:190)(cid:191)(cid:183)(cid:477)(cid:220)(cid:278)(cid:625)(cid:611)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(2)(cid:292)X(cid:113)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:195)(cid:297)(cid:232)(cid:549)(cid:390)(cid:599)(cid:624)(cid:285)(cid:190)(cid:191)(cid:183)(cid:477)(cid:220)(cid:278)(cid:625)(cid:611)(cid:60)(cid:230)(cid:197)(cid:87)(cid:42)(cid:424)(cid:38)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)E(cid:10)X(cid:11)(cid:148)
(3)(cid:297)(cid:232)(cid:549)(cid:390)(cid:599)(cid:624)(cid:285)(cid:190)(cid:191)(cid:183)(cid:42)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:195)(cid:481)(cid:477)(cid:220)(cid:622)(cid:623)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:96)(cid:150)(cid:291)(cid:449)(cid:10)(cid:44)(cid:217)(cid:149)(cid:121)(cid:92)(cid:454)(cid:455)(cid:11)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(1)0.4
7
(2)
5
(3)(cid:195)
(cid:161)(cid:5)(cid:165)(cid:164)(1) (cid:203)(cid:422)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:18)(cid:37)(cid:172)(cid:158)
(2) (cid:92)(cid:171)(cid:220)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:172)(cid:158)(cid:38)(cid:39)(cid:156)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90).
(3) (cid:38)(cid:39)(cid:156)(cid:257)(cid:263)(cid:477)(cid:220)(cid:150)(cid:33)(cid:282)(cid:527)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:243)(cid:166)(cid:167)(cid:36)(cid:257)(cid:263)(cid:60)(cid:150)(cid:33)(cid:282)(cid:527)(cid:158)(cid:469)(cid:470)(cid:195)(cid:627)(cid:622)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:96)(cid:150)(cid:291).
(cid:161)(cid:173)(cid:171)(cid:164)(cid:10)1(cid:11)(cid:203)(cid:422)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:18)(cid:37)(cid:158)(cid:220)(cid:29)(cid:477)(cid:220)(cid:278)(cid:625)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)0.4(cid:42)(cid:30)(cid:477)(cid:220)(cid:278)(cid:625)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)0.5(cid:42)(cid:195)(cid:477)(cid:220)(cid:278)(cid:625)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)0.5(cid:42)
(cid:186)(cid:162)(cid:163)(cid:115)0.4
(cid:10)2(cid:11)(cid:292)(cid:29)(cid:477)(cid:220)(cid:278)(cid:625)(cid:115)(cid:59)(cid:56)A ,(cid:30)(cid:477)(cid:220)(cid:278)(cid:625)(cid:115)(cid:59)(cid:56)A (cid:42)(cid:195)(cid:477)(cid:220)(cid:278)(cid:625)(cid:115)(cid:59)(cid:56)A
1 2 3
3
P(X =0)=P(A A A )=0.6´0.5´0.5= (cid:42)
1 2 3 20
P(X =1)=P(A A A )+P(AA A )+P(A A A )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
8
=0.4´0.5´0.5+0.6´0.5´0.5+0.6´0.5´0.5= (cid:42)
20
P(X =2)=P(AA A )+P(A A A )+P(AA A )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
7
=0.4´0.5´0.5+0.4´0.5´0.5+0.6´0.5´0.5= (cid:42)
20
2
P(X =3)=P(AA A )=0.4´0.5´0.5= .
1 2 3 20
X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:115)
∴
X 0 1 2 3
3 8 7 2
P
20 20 20 20
3 8 7 2 7
E(X)=0´ +1´ +2´ +3´ =
20 20 20 20 5
∴(cid:10)3(cid:11)(cid:195)(cid:627)(cid:622)(cid:18)(cid:37)(cid:424)(cid:38)(cid:96)(cid:150)(cid:291).
1 1
(cid:250)(cid:115)(cid:624)(cid:285)(cid:190)(cid:191)(cid:269)(cid:217)(cid:190)(cid:191)(cid:613)(cid:202)(cid:226)(cid:118)(cid:150)(cid:33)(cid:282)(cid:527).(cid:190)(cid:191)(cid:52)(cid:202)(cid:42)(cid:195)(cid:477)(cid:220)9.85(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115) (cid:42)(cid:29)(cid:477)(cid:220)9.80(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115) (cid:42)
4 10
1
(cid:30)(cid:477)(cid:220)9.78(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115) .(cid:242)(cid:209)(cid:195)(cid:60)(cid:150)(cid:33)(cid:282)(cid:527)(cid:113)(cid:185)(cid:102)(cid:282)(cid:527)(cid:183)(cid:150)(cid:33)(cid:60)(cid:42)(cid:190)(cid:191)(cid:202)(cid:87)(cid:484)(cid:487)(cid:42)(cid:107)(cid:195)(cid:484)(cid:102)(cid:67).
6