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跟踪训练 04 随机变量分布
一．选择题（共15小题）
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷 次，设抛掷次数
为随机变量 ， ，2．若 ， ，则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜保鲜分装，以每份 10元的价格销售到某生鲜超
市，该生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销
以每份5元的价格类给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜全部低价处理完毕，
且处理完毕后，当天不再进货）．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天前8小时的销
售量（单位：份），制成如下表格（注 ， ，且
每天前8 15 16 17 18 19 20 21
小时的销
售量
频数 10 15 16 16 13
若以这100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，以该生鲜超市当天销售有
机蔬菜利润的均值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的均值大时， 的取值集
合为
A． ，21， B． ，25，28， C． ，26，27，
D． ，27，28，
3．已知离散型随机变量 的分布列如下表，则其数学期望
1 2 40.2 0.6
A．1 B．0.2 C．2.8 D．3
4．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：
甲产业收益分布列
收益 亿元 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
乙产业收益分布列
收益 亿元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
则下列说法正确的是
A．甲产业收益的期望大，风险高
B．甲产业收益的期望小，风险小
C．乙产业收益的期望大，风险小
D．乙产业收益的期望小，风险高
5．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小
木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小
球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中
格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5用 表示小球落入格子的号码，则下面计算
错误的是
A． B． C． D．
6．从装有3个白球 个红球 个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，
记取出的白球的个数为 ，若 ，取出一白一红的概率为 ，则取出一红一黄的概率为
A． B． C． D．
7．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须
分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量 表示最终的比赛局数，若 ，
则 的范围是
A． B．
C． D．
8．设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量 满足 ，则下列结论中正确的是
A． B． C． D．
9．已知离散型随机变量 的分布列如下：
0 1 2
由此可以得到期望 与方差 分别为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且
高二队每局获胜的概率都是 ，记比赛的最终局数为随机变量 ，则
A． B．C． D．
11．已知随机变量 ，随机变量 ，若 ， ，则
A． B． C． D．
12．某离散型随机变量 的分布列如下，若 ， ，则
0 1 2
A． B． C． D．
13．在 重伯努利试验中，设每次成功的概率为 ，则失败的概率为 ，
将试验进行到恰好出现 次成功时结束试验，用随机变量 表示试验次数，则称 服
从以 ， 为参数的帕斯卡分布，记为 ．已知 ，若
，则 的最大值为
A． B． C． D．
14．盒子中共有2个白球和3个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正
确的是
A．“取到2个白球”和“取到2个黑球”是对立事件
B．“第一次取到白球”和“第二次取到白球”是相互独立的事件
C．“在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球”的概率为
D．设随机变量 和 分别表示取到白球和黑球的个数，则
15．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
16．若10件产品中有4件次品和6件正品．现从中随机抽取3件产品，记取得的次品数为
随机变量 ，则下列结论正确的是
A．若是有放回的抽取，则
B．若是无放回的抽取，则
C．无论是有放回的抽取还是无放回的抽取， 的数学期望 相等
D．无论是有放回的抽取还是无放回的抽取， 的方差相等 相等
17．随机变量 且 ，随机变量 ，若 ，则
A． B． C． D．
18．设离散型随机变量 的分布列为若离散型随机变量 满足 ，则下列结果正
确的有
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
A． B． ，
C． ， D． ，
19．下列结论正确的是
A．若随机变量 服从两点分布， ，则B．若随机变量 的方差 ，则
C．若随机变量 服从二项分布 ，则
D．若随机变量 服正态分布 ， ，则
20．设随机变量 的概率分布为 ，则
A． B． C． D．
三．填空题（共5小题）
21．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬奥会的比赛之一．冰壶比
赛的场地如图所示，其中左端（投掷线 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿
的投掷线 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶
最终静止时距离营垒区圆心 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶
的中心落在 中，得3分，冰壶的中心落在圆环 中，得2分，冰壶的中心落在圆环
中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得 3分的
概率分别为 ；甲、乙得2分的概率分别为 ；甲、乙得1分的概率分别为 ．甲、
乙所得分数相同的概率为 ；若甲、乙两人所得的分数之和为 ，则 的数学期望为
．
22．若随机变量 的数学期望和方差分别为 ， ，则对于任意 ，不等式
成立．在2023年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分150
分，某校高三共有 500名学生参加考试，全体学生的成绩 的期望 ，方差，则根据上述不等式，可估计分数不低于100分的学生不超过 人．
23．若离散型随机变量 的分布列为
0 1
则 的方差 ．
24．盒中有形状大小都相同的黑色小球3个和红色小球2个，从中不放回的摸3次，每摸1
个小球，设摸到的红色小球的个数为 ，则 ．
25．某校数学兴趣小组，在研究随机变量的概率分布时，发现离散型随机变量 的取值与
其概率的函数关系为 ，1，2， ，10； 为参数），则这个随机变
量 的数学期望 ．
四．解答题（共3小题）
26．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办．中国田径队拟派出
甲、乙、丙三人参加男子100米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛
都获得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为 ；乙在预赛和半决
赛中晋级的概率分别为 和 ；丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为 和 ，其中
，甲、乙、丙三人晋级与否互不影响．
（1）试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小；
（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为 ，求三人中进入决赛的人数 的分布列和期
望．27．高三年级组织班级趣味体育比赛，经多轮比赛后，甲、乙两班进入决赛，决赛共设三
个项目，每个项目胜者得2分，负者得 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高
的班级获得冠军．已知甲班在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.8，各项目的比赛
结果相互独立．
（1）求甲班获得冠军的概率；
（2）用 表示乙班的总得分，求 的分布列与期望．
28．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个
连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功
否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红
球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
（1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行
抽球试验的轮次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
（2）为验证抽球试验成功的概率不超过 ，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记 表示成功时抽球试验的轮次数， 表示对应的人数，部分统计数据如下：
1 2 3 4 5
232 98 60 40 20
求 关于 的回归方程 ，并预测成功的总人数（精确到 ；
附：经验回归方程系数： ， ；
参考数据： ， ， （其中 ， ．
