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跟踪训练 04 随机变量分布
一．选择题（共15小题）
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷 次，设抛掷次数
为随机变量 ， ，2．若 ， ，则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷 次，
设抛掷次数为随机变量 ， ，2． ，
， 的分布列为：
1 2 3
，
．
， 的分布列为：
1 2 3 4 5
，
，， ．
故选： ．
2．某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜保鲜分装，以每份 10元的价格销售到某生鲜超
市，该生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销
以每份5元的价格类给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜全部低价处理完毕，
且处理完毕后，当天不再进货）．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天前8小时的销
售量（单位：份），制成如下表格（注 ， ，且
每天前8 15 16 17 18 19 20 21
小时的销
售量
频数 10 15 16 16 13
若以这100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，以该生鲜超市当天销售有
机蔬菜利润的均值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的均值大时， 的取值集
合为
A． ，21， B． ，25，28， C． ，26，27，
D． ，27，28，
【解答】解：设该生鲜超市购进17份有机蔬菜时利润为 ，购进18份有机蔬菜时利润为
，
则 的分布列如下表所示：
65 75 85
所以 ；
的分布列如下表所示：
60 70 80 90所以 ，
由题意知， ，即 ，解得 ，
又 且 ， ，则 且 ，即 的取值集合是 ，27，28，
．
故选： ．
3．已知离散型随机变量 的分布列如下表，则其数学期望
1 2 4
0.2 0.6
A．1 B．0.2 C．2.8 D．3
【解答】解：由题意得， ，解得 ，
．
故选： ．
4．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：
甲产业收益分布列
收益 亿元 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
乙产业收益分布列
收益 亿元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
则下列说法正确的是
A．甲产业收益的期望大，风险高
B．甲产业收益的期望小，风险小
C．乙产业收益的期望大，风险小
D．乙产业收益的期望小，风险高
【解答】解：由题意可得 ，；
，
，
故 ， ，
即甲产业收益的期望大，风险高，
故选： ．
5．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小
木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小
球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中
格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5用 表示小球落入格子的号码，则下面计算
错误的是
A． B． C． D．
【解答】解：设 “向右下落”， “向左下落”，则 ，
因为小球最后落入格子的号码 等于事件 发生的次数，
而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以 ，
对于 ，故 正确；
对于 ，故 错误；
对于 ，故 正确；对于 ，故 正确．
故选： ．
6．从装有3个白球 个红球 个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，
记取出的白球的个数为 ，若 ，取出一白一红的概率为 ，则取出一红一黄的概
率为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得， 所有可能取值为0，1，2，
， ， ，
故 ，解得 ，
袋中共有10个球，
则取出一白一红的概率为 ，解得 ，则 ，
故取出一红一黄的概率为 ．
故选： ．
7．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须
分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量 表示最终的比赛局数，若 ，
则 的范围是
A． B．
C． D．
【解答】解： 的可能取值为2，3，，
，
，
，
所以 ，
，
，
所以 在 上单调递减，
又当 时， ，
所以当 时， ，
所以 时， 单调递增，
所以 ，
， ．
所以 ．
故选： ．
8．设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量 满足 ，则下列结论中正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，得 ，故 错误；，故 错误；
，
因为 ，所以 ，故 错误；
因为 ，所以 ，故 正确．
故选： ．
9．已知离散型随机变量 的分布列如下：
0 1 2
由此可以得到期望 与方差 分别为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：由概率的性质得 ，解得 ，
，
，
故选： ．
10．某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且
高二队每局获胜的概率都是 ，记比赛的最终局数为随机变量 ，则
A． B．
C． D．
【解答】解：赛制为3局2胜制，比赛没有平局，因此随机变量 的可能取值为2或3，
所以 ，故选项 错误；，故选项 错误；
，
因为 ，所以 ，故选项 正确；
记 ，则 ，
所以 ，
，
因为 ，
所以 ,故选项 错误．
故选： ．
11．已知随机变量 ，随机变量 ，若 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
又 ，即 ，解得 ．
故选： ．
12．某离散型随机变量 的分布列如下，若 ， ，则
0 1 2
A． B． C． D．【解答】解：由题意，得 ，所以 ①，
因为 ，所以 ②．
由 ，得 ，依次代入②、①，解得 ， ，
0 1 2
又 ，
所以 ．
故选： ．
13．在 重伯努利试验中，设每次成功的概率为 ，则失败的概率为 ，
将试验进行到恰好出现 次成功时结束试验，用随机变量 表示试验次数，则称 服
从以 ， 为参数的帕斯卡分布，记为 ．已知 ，若
，则 的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
解得 ，即 的最大值为 ．
故选： ．
14．盒子中共有2个白球和3个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正
确的是
A．“取到2个白球”和“取到2个黑球”是对立事件
B．“第一次取到白球”和“第二次取到白球”是相互独立的事件C．“在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球”的概率为
D．设随机变量 和 分别表示取到白球和黑球的个数，则
【解答】解：对于 ，“取到2个白球”和“取到2个黑球”是互斥事件，不是对立事件，
故 错误；
对于 ，“第一次取到白球”发生会影响“第二次取到黑球”的概率，不是相互独立事件，
故 错误；
对于 ，在第一次取到白球的条件下，第二次取一个球共有4个基本事件，其中取到的是
黑球的事件有3个，其概率为 ，故 错误；
对于 ，由题意可得， 所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
故 ；
由题意可得， 所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
故 ，
故 ，故 正确．
故选： ．
15．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望
A． B． C． D．
【解答】解：由题意， 可能取值为0，1，2，
， ， ，
．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．若10件产品中有4件次品和6件正品．现从中随机抽取3件产品，记取得的次品数为
随机变量 ，则下列结论正确的是
A．若是有放回的抽取，则
B．若是无放回的抽取，则
C．无论是有放回的抽取还是无放回的抽取， 的数学期望 相等
D．无论是有放回的抽取还是无放回的抽取， 的方差相等 相等
【解答】解：若是有放回的抽取，则 ，
则 ，
， ，故 错误；
若是无放回的抽取，则 可能取0，1，2，3，
其对应的概率为 ，，
，
，
，
，
故 、 正确， 错误．
故选： ．
17．随机变量 且 ，随机变量 ，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 且 ，
所以 ，故 ， ，选项 正确，选项 错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，选项 正确；
，选项 正确．
故选： ．
18．设离散型随机变量 的分布列为若离散型随机变量 满足 ，则下列结果正
确的有
0 1 2 3 40.4 0.1 0.2 0.2
A． B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：由分布列的性质可得， ，解得 ，故 正确，
，
， 故 错
误， 正确，
，
， ，故
正确．
故选： ．
19．下列结论正确的是
A．若随机变量 服从两点分布， ，则
B．若随机变量 的方差 ，则
C．若随机变量 服从二项分布 ，则
D．若随机变量 服正态分布 ， ，则
【解答】解：对于选项 ：若随机变量 服从两点分布且 ，
所以 ，故选项 错误；
对于选项 ：若随机变量 的方差 ，
则 ，故选项 错误；对于选项 ：若随机变量 服从二项分布 ，
所以 ，故选项 正确；
对于 ，若随机变量 服正态分布 ， ，
可得 ，故选项 正确．
故选： ．
20．设随机变量 的概率分布为 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 ，
则 ，
故 ， ．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬奥会的比赛之一．冰壶比
赛的场地如图所示，其中左端（投掷线 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿
的投掷线 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶
最终静止时距离营垒区圆心 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶
的中心落在 中，得3分，冰壶的中心落在圆环 中，得2分，冰壶的中心落在圆环
中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得 3分的
概率分别为 ；甲、乙得2分的概率分别为 ；甲、乙得1分的概率分别为 ．甲、
乙所得分数相同的概率为 ；若甲、乙两人所得的分数之和为 ，则 的数学期望
为 ．【解答】解：甲、乙得3分的概率分别为 ；甲、乙得2分的概率分别为 ；甲、乙
得1分的概率分别为 ，
则甲得0分的概率为 ，
乙得0分的概率为 ，
故甲、乙得分数相同的概率为 ，
甲、乙两人得分的分数之和为 ，
则 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
故 ，
，
，
，
，
，
，
故 ．故答案为： ； ．
22．若随机变量 的数学期望和方差分别为 ， ，则对于任意 ，不等式
成立．在2023年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分150
分，某校高三共有 500名学生参加考试，全体学生的成绩 的期望 ，方差
，则根据上述不等式，可估计分数不低于100分的学生不超过 1 0 人．
【解答】解：取 ， ，所以 或 ，
又因为 ，
所以 ，
即估计分数不低于100分的学生不超过 （人 ．
故答案为：10．
23．若离散型随机变量 的分布列为
0 1
则 的方差 ．
【解答】解：由 ，得 或 （舍去）．
所以 的分布列为：
0 1
所以 ，
则 ．故答案为： ．
24．盒中有形状大小都相同的黑色小球3个和红色小球2个，从中不放回的摸3次，每摸1
个小球，设摸到的红色小球的个数为 ，则 ．
【解答】解：设摸到的红色小球的个数为 ， 取值可能为：0，1，2，
则 ， ， ；
的分布列为：
0 1 2
．
故答案为： ．
25．某校数学兴趣小组，在研究随机变量的概率分布时，发现离散型随机变量 的取值与
其概率的函数关系为 ，1，2， ，10； 为参数），则这个随机变
量 的数学期望 5 ．
【解答】解：由离散型随机变量分布列性质可得， ，
则 ，即 ，解得 ，
①，
，
②，
由 ① ② 得 ： ，，
．
故答案为：5．
四．解答题（共3小题）
26．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办．中国田径队拟派出
甲、乙、丙三人参加男子100米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛
都获得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为 ；乙在预赛和半决
赛中晋级的概率分别为 和 ；丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为 和 ，其中
，甲、乙、丙三人晋级与否互不影响．
（1）试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小；
（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为 ，求三人中进入决赛的人数 的分布列和期
望．
【解答】解：（1）已知甲在初赛的两轮中均获胜的概率 ，
乙在初赛的两轮中均获胜的概率 ，
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，
即甲进入决赛的可能性最大；
（2）不妨设甲、乙、丙都进入决赛的概率为 ，
可得 ，又 ，
解得 ，
所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为 和 ，
两轮中均获胜的概率 ，
而 的所有可能取值为0，1，2，3，
此时 ，
，
，
，
则 的分布列为：
0 1 2 3
所以 ．
27．高三年级组织班级趣味体育比赛，经多轮比赛后，甲、乙两班进入决赛，决赛共设三
个项目，每个项目胜者得2分，负者得 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高
的班级获得冠军．已知甲班在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.8，各项目的比赛
结果相互独立．
（1）求甲班获得冠军的概率；
（2）用 表示乙班的总得分，求 的分布列与期望．
【解答】解：（1）不妨设甲班在三个项目中获胜的事件依次为 ， ， ，
则甲班获得冠军的概率
，所以甲班获得冠军的概率为0.6；
（2）因为 表示乙班的总得分，
此时 的所有可能取值为 ，0，3，6，
可 得 ，
，
，
，
则 的分布列为：
0 3 6
0.16 0.44 0.34 0.06
故 ．
28．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个
连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功
否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红
球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
（1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行
抽球试验的轮次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
（2）为验证抽球试验成功的概率不超过 ，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，
记 表示成功时抽球试验的轮次数， 表示对应的人数，部分统计数据如下：
1 2 3 4 5
232 98 60 40 20
求 关于 的回归方程 ，并预测成功的总人数（精确到 ；
附：经验回归方程系数： ， ；参考数据： ， ， （其中 ， ．
【解答】解：（1）易知 的所有可能取值为1，2，3，
此时 ， ，
，
则 的分布列为：
1 2 3
故 ；
（2）令 ，
此时 ，
易知 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
故所求的回归方程为 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
则预测成功的总人数为 ．
