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微专题 2 随机变量及其分布
[考情分析] 离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考
查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.
考点一 分布列性质及应用
离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(1)p≥0，i=1，2，…，n.
i
(2)p +p +…+p =1.
1 2 n
(3)E(X)=x p +x p +…+xp+…+x p .
1 1 2 2 i i n n
(4)D(X)=(x -E(X)) 2 p +(x -E(X)) 2 p +…+(x -E(X)) 2 p .
1 1 2 2 n n
(5)若Y=aX+b，则E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X).
5
例1 (1)(2024·廊坊模拟)已知X的分布列如表所示，且Y=aX+b，E(Y)= ，则D(Y)的值为( )
6
X -1 0 1
1 1
P a
3 6
5
A.1 B.
18
5 5
C. D.
9 36
(2)(多选)已知a>0，b>0，c>0，且a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a b c
下列选项正确的是( )
1 2
A.b= B.a+c=
4 3
4 8 2
C. <E(X)< D.D(X)的最大值为
3 3 3
[规律方法] 分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.2
跟踪演练1 (1)(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)= ，E(X)，D(X)分别为随机变量X的
3
均值与方差，则下列结论正确的是( )
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=3
2
C.D(X)= D.D(3X+2)=4
9
(2)随机变量X的分布列如表所示，则D(bX)的最大值为( )
X 1 2 3
P a 2b a
2 1
A. B.
9 9
2 1
C. D.
27 27
考点二 随机变量的分布列
1.二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，
则X的分布列为P(X=k)=Ck pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n.
n
E(X)=np，D(X)=np(1-p).
2.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的
Ck Cn-k
n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=
M N-M，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n，N，M∈N*，
Cn
N
M
M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}.E(X)=n· .
N
考向1 相互独立事件
例2 (多选)(2024·昆明模拟)在一个有限样本空间中，事件A，B，C发生的概率满足P(A)=P(B)=P(C)=
1 5
，P(A∪B)= ，A与C互斥，则下列说法正确的是( )
3 9
1
A.P(AC)=
3
B.A与B相互独立
1
C.P(ABC)=
27
8
D.P(A∪B∪C)≤
9
考向2 超几何分布例3 (2024·聊城模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，
新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，
提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分
100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改
进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望.
考向3 二项分布
例4 (2024·无锡模拟)我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的
新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无
人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每
4
次投弹时击中目标的概率都为 ，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭
5
1 2
的概率为 ，击中目标两次起火点被扑灭的概率为 ，击中目标三次起火点必定被扑灭.
2 3
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
[规律方法] 求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均
值和方差的公式求解.
跟踪演练2 某市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛
选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从
6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公
2
司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
3
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标
成功的可能性更大？
考点三 正态分布
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴x=μ.
(2)样本标准差σ.
(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.
例5 (1)(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶
叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入
的样本均值x=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设
推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x，s2)，则( )
(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
(2)已知随机变量ξ服从正态分布，有下列四个命题：
甲：P(ξ>a+1)>P(ξ>a+2)；
乙：P(ξ≤a)=0.5；
丙：P(ξ>a+1)=P(ξ<a-1)；
丁：P(a-1<ξ<3+a)<P(a<ξ<4+a).
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
[规律方法] 利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称，
及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：
(1)对任意的a，有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)P(X<x )=1-P(X≥x ).
0 0
(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).
跟踪演练3 (2024·洛阳模拟)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20 000名优秀考生中随机抽取
了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均
数为x=110.据此估计这20 000名优秀考生数学成绩的标准差s；
(2)根据以往经验，可以认为这20 000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中参数μ
和σ可以分别用(1)中的x和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y=5X-10，试估计这20 000
名优秀考生中总成绩Y∈[600，660]的人数.
注：√6≈2.4；
若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.答案精析
例1 (1)D (2)BCD
跟踪演练1 (1)ABC (2)D
1
例2 ABD [A选项，A与C互斥，故A∩C=⌀，P(AC)=0，则C包含事件A，故P(AC)=P(A)= ，A正确；
3
B选项，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，
1 1 5
即 + -P(A∩B)= ，
3 3 9
1
故P(A∩B)= ，
9
故P(A∩B)=P(A)P(B)，A与B相互独立，B正确；
C选项，A与C互斥，故AB与C互斥，故P(ABC)=P[(AB)∩C]=0，C错误；
D选项，P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
1 1 1 1 1 8
= + + - × -P(BC)= -P(BC)，
3 3 3 3 3 9
8 8
因为P(BC)≥0，故P(A∪B∪C)= -P(BC)≤ ，D正确.]
9 9
例3 解 (1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，
82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.
73+77
因为20×25%=5，所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为 =75.
2
(2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；
分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，
所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.
所以X的所有可能取值为1，2，3，
C2C1
3
2 3
P(X=1)= = ；
C3 10
5
C1C2
3
2 3
P(X=2)= = ；
C3 5
5
C0C3
1
2 3
P(X=3)= = ，
C3 10
5
所以X的分布列为
X 1 2 33 3 1
P
10 5 10
3 3 1 9
数学期望E(X)=1× +2× +3× = .
10 5 10 5
例4 解 (1)起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3，
(1) 3 1
P(X=0)= = ，
5 125
P(X=1)=C1×
4
×
(1) 2
=
12
，
3 5 5 125
P(X=2)=C2×
(4) 2
×
1
=
48
，
3 5 5 125
(4) 3 64
P(X=3)= = .
5 125
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
1 12 48 64
P
125 125 125 125
( 4)
∵X~B 3， ，
5
4 12
∴E(X)=3× = .
5 5
(2)击中一次火被扑灭的概率
P =C1×
(4) 1
×
(1) 2
×
1
=
6
，
1 3 5 5 2 125
击中两次火被扑灭的概率
P =C2×
(4) 2
×
1
×
2
=
32
，
2 3 5 5 3 125
击中三次火被扑灭的概率
(4) 3 64
P = = ，
3 5 125
∴所求概率
6 32 64 102
P= + + = .
125 125 125 125
跟踪演练2 解 (1)由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题，C2C1 C3
4
4 2 4
所求概率P= + = .
C3 C3 5
6 6
(2)设甲公司答对的题数为X，则X的可能取值为1，2，3，
C1C2
1
4 2
P(X=1)= = ，
C3 5
6
C2C1
3
4 2
P(X=2)= = ，
C3 5
6
C3
1
4
P(X=3)= = ，
C3 5
6
则X的分布列为
X 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
1 3 1
所以E(X)=1× +2× +3× =2，
5 5 5
1 3 1 2
D(X)=(1-2)2× +(2-2)2× +(3-2)2× = .
5 5 5 5
设乙公司答对的题数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3，
P(Y=0)=C0×
(2) 0
×
(1) 3
=
1
，
3 3 3 27
P(Y=1)=C1×
(2) 1
×
(1) 2
=
2
，
3 3 3 9
P(Y=2)=C2×
(2) 2
×
(1) 1
=
4
，
3 3 3 9
P(Y=3)=C3×
(2) 3
×
(1) 0
=
8
，
3 3 3 27
则Y的分布列为
Y 0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
2
所以E(Y)=3× =2，
3
2 ( 2) 2
D(Y)=3× × 1- = ，
3 3 3
由于E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，所以甲公司竞标成功的可能性更大.
例5 (1)BC (2)D跟踪演练3 解 (1)抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2=(80-110)2×0.02+(90-110)2×0.09+(100-
110)2×0.22 +(110-110)2×0.33+(120-110)2×0.24+(130-110)2×0.08 +(140-110)2×0.02=150.
故估计这20 000名考生数学成绩的方差为150，标准差s=√150=5√6≈5×2.4=12.
(2)由(1)知μ可用x=110来估计，σ可用s来估计.故X~N(110，122).
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)
又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=
2
0.954 5-0.682 7
≈ =0.135 9，
2
故P(122≤X≤134)≈0.135 9.
又Y=5X-10，
所以P(600≤Y≤660)=P(600≤5X-10≤660)=P(122≤X≤134)≈0.135 9.故这20 000名考生中成绩在[600，
660]的人数约为20 000×0.135 9=2 718.
