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专题五 微专题 2 随机变量及其分布
(分值：90分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得
分ξ的所有可能取值的和是( )
A.8 B.10
C.12 D.14
2.(2024·三明模拟)下列说法正确的是( )
A.随机变量X~B(3，0.2)，则P(X=2)=0.032
B.若随机变量X~N(3，σ2)，P(X>2)=0.62，则P(3P(A|B).(8分)
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选
项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，
有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明
1
对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是 ，记X为小明随机选择1个选项的得分，记Y
2
为小明随机选择2个选项的得分，则( )
A.P(X=0)>P(Y=0)
B.P(X=3)=P(Y=4)C.E(X)=E(Y)
D.D(X)>D(Y)
14.(2024·沈阳模拟)切比雪夫不等式是数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机
D(X)
变量X，若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在，则对任意正实数ε，有P(|X-E(X)|<ε)≥1- .根据该不等
ε2
式可以对事件|X-E(X)|<ε的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续
发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X，为了至少
有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4，0.6)内，估计信号发射次数n的值至少为 .答案精析
1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D
7.BD 8.ACD
9.0.4 64
解析 由题意可知μ=4，σ=4，即D(X)=16，所以D(Y)=4D(X)=64；
因为P(X<3)=0.3，所以P(3≤X≤5)=1-2P(X<3)=0.4.
77
10.
300
解析 若两次取球后，B盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜.
1 2 1
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为 × = ，
2 5 5
第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球，B盒中有4个黑球和2个白球，
2 2 3 4 8
第二次取到不同色球为取到一个白球一个黑球，其概率为 × + × = ，此时B盒中恰有7个球的概率
5 6 5 6 15
1 8 8
为 × = ；
5 15 75
1 3 3
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为 × = ，
2 5 10
第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒中有3个黑球和3个白球，
3 3 2 3 1
第二次取到不同色球为取到一个白球一个黑球，其概率为 × + × = ，此时B盒中恰有7个球的概率为
5 6 5 6 2
3 1 3 8 3 77
× = .所以B盒中恰有7个球的概率为 + = .
10 2 20 75 20 300
6
11.解 (1)依题意，ρ=1- ×(9+16+4+4+1+64+1+4+9)=0.8，
15×224
所以这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”是0.8.
(2)依题意，X的值可能为0，1，2，3，
C3
2
5
P(X=0)= = ，
C3 91
15
C1 C2
20
10 5
P(X=1)= = ，
C3 91
15
C2 C1
45
10 5
P(X=2)= = ，
C3 91
15
C3
24
10
P(X=3)= = ，
C3 91
15则X的分布列为
X 0 1 2 3
2 20 45 24
P
91 91 91 91
所以X的数学期望为
20 45 24
E(X)=1× +2× +3× =2.
91 91 91
12.(1)解 设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，
事件M=“混合放在一起的零件来自甲工厂”，事件N=“混合放在一起的零件来自乙工厂”，事件
C=“混合放在一起的某一零件是合格品”，
m n
则P(M)= ，P(N)= ，
m+n m+n
P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)
m n
=94%× +98%× =97%，
m+n m+n
解得3m=n.
m 1
所以P(M)= = .
m+n 4
X的可能取值为0，1，2，3，
( 1)
X~B 3， ，
4
P(X=0)=C0(1) 0 (3) 3
=
27
，
3 4 4 64
P(X=1)=C1(1) 1 (3) 2
=
27
，
3 4 4 64
P(X=2)=C2(1) 2 (3) 1
=
9
，
3 4 4 64
P(X=3)=C3(1) 3 (3) 0
=
1
.
3 4 4 64
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
27 27 9 1
P
64 64 64 64
1 3
E(X)=3× = .
4 4(2)证明 由题意得P(B|A)>P(B|A)，
P(AB) P(AB)
即 > .
P(A) P(A)
因为P(A)>0，P(A)>0，
所以P(AB)P(A)>P(AB)P(A).
因为P(A)=1-P(A)，
P(AB)=P(B)-P(AB)，
所以P(AB)[1-P(A)]>[P(B)-P(AB)]P(A)，
即得P(AB)>P(A)P(B)，
所以P(AB)-P(AB)P(B)> P(A)P(B)-P(AB)P(B).
即P(AB)[1-P(B)]>P(B)[P(A)-P(AB)].
又因为1-P(B)=P(B)，
P(A)-P(AB)=P(AB)，
所以P(AB)P(B)>P(B)P(AB).
因为0 .
P(B) P(B)
即P(A|B)>P(A|B)得证.
13.BC [A选项，X=0，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，若该题有三个正确
选项，则小明选择错误选项，
1
C1
1
C1
3
2 1
故P(X=0)= × + × = ，
2 C1 2 C1 8
4 4
Y=0，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选项中选择1个，或选择
两个错误选项，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个，
1
C1C1+C2
1
C1C1
2
2 2 2 1 3
故P(Y=0)= × + × = ，
2 C2 2 C2 3
4 4
故P(X=0)
