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专题五 微专题 2 随机变量及其分布
(分值：90分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得
分ξ的所有可能取值的和是( )
A.8 B.10
C.12 D.14
2.(2024·三明模拟)下列说法正确的是( )
A.随机变量X~B(3，0.2)，则P(X=2)=0.032
B.若随机变量X~N(3，σ2)，P(X>2)=0.62，则P(3<X<4)=0.24
C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对
立的事件
D.从除颜色外完全相同的10个红球和20个白球中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布
1
3.甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为 ，比赛采取三
3
局两胜制(当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，则甲获胜的概率为( )
5 7
A. B.
27 27
2 1
C. D.
9 9
4.(2024·金华模拟)某市高中数学统考(总分150分)，假设考试成绩服从正态分布N(95，122).如果按照
16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级.若某同学考试成绩为99分，
则该同学的等级为(参考数据：P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.68，P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.95)( )
A.A B.B
C.C D.D
5
5.已知随机变量ξ的分布列如表所示，若D(ξ+1)= ，则E(ξ+1)等于( )
9
ξ -1 0 1
1
P a c
3
2 4
A. B.
3 32 4 2 4
C. 或 D.- 或
3 3 3 3
6.[柯西分布]柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西
1
分布为X~C(γ，x )，其中当γ=1，x =0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)= .已知
0 0 π(1+x2
)
( √3) 1 (√3 ) 1
X~C(1，0)，P |X|≤ = ，P <X≤1 = ，则P(|X|≤1)等于( )
3 3 3 12
1 2
A. B.
6 3
1 1
C. D.
4 2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.小明的计算器坏了，每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A= .例如，若
a =a =a =1，a =a =0，则A=10101.其中二进制数A的各位数中，已知a =1，a(k=2，3，4，5)出现0的概率
1 3 5 2 4 1 k
1 2
为 ，出现1的概率为 ，记X=a +a +a +a +a ，现在计算器启动一次，则下列说法正确的是( )
3 3 1 2 3 4 5
8 8
A.P(X=4)= B.P(X=3)=
81 27
8 8
C.E(X)= D.D(X)=
3 9
8.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛
结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为p(0≤p<1)，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为
X，则( )
A.乙3∶0赢甲的概率是(1-p)3
B.P(X=4)=4p3(1-p)+4p(1-p)3
C.P(X=5)=6p2(1-p)2
3
D.P(X=5)的最大值是
8
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·南通模拟)已知随机变量X~N(4，42).若P(X<3)=0.3，则P(3≤X≤5)= ，若Y=2X+1，则Y的
方差为 .
10.(2024·衡阳模拟)已知有A，B两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和2个白
球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出
的2个球全部放入A盒中，若2个球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复
操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是 .
四、解答题(共27分)11.(12分)(2024·萍乡模拟)定义两组数据u，v(i=1，2，…，n)的“斯皮尔曼系数”为变量u在该组数据中
i i i
n
6
的排名x和变量v在该组数据中的排名y的样本相关系数，记为ρ，其中ρ=1- Σ (x-y)2.
i i i n(n2-1) i i
i=1
某校15名学生的数学成绩的排名x与知识竞赛成绩的排名y如表：
i i
学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
i
y 1 5 3 4 9 8 7 6 10 2 12 14 13 11 15
i
(1)试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；(5分)
(2)已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有
X人，试求X的分布列和数学期望.(7分)
12.(15分)(2024·深圳模拟)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，
质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率
为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%.
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求
X的分布列和数学期望；(7分)
(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的
条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业
把零件交给甲工厂生产的概率.设事件A=“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B=“该大型企业
把零件交给甲工厂生产”，已知0<P(B)<1，证明： P(A|B)>P(A|B).(8分)
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选
项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，
有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明
1
对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是 ，记X为小明随机选择1个选项的得分，记Y
2
为小明随机选择2个选项的得分，则( )
A.P(X=0)>P(Y=0)
B.P(X=3)=P(Y=4)C.E(X)=E(Y)
D.D(X)>D(Y)
14.(2024·沈阳模拟)切比雪夫不等式是数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机
D(X)
变量X，若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在，则对任意正实数ε，有P(|X-E(X)|<ε)≥1- .根据该不等
ε2
式可以对事件|X-E(X)|<ε的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续
发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X，为了至少
有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4，0.6)内，估计信号发射次数n的值至少为 .答案精析
1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D
7.BD 8.ACD
9.0.4 64
解析 由题意可知μ=4，σ=4，即D(X)=16，所以D(Y)=4D(X)=64；
因为P(X<3)=0.3，所以P(3≤X≤5)=1-2P(X<3)=0.4.
77
10.
300
解析 若两次取球后，B盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜.
1 2 1
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为 × = ，
2 5 5
第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球，B盒中有4个黑球和2个白球，
2 2 3 4 8
第二次取到不同色球为取到一个白球一个黑球，其概率为 × + × = ，此时B盒中恰有7个球的概率
5 6 5 6 15
1 8 8
为 × = ；
5 15 75
1 3 3
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为 × = ，
2 5 10
第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒中有3个黑球和3个白球，
3 3 2 3 1
第二次取到不同色球为取到一个白球一个黑球，其概率为 × + × = ，此时B盒中恰有7个球的概率为
5 6 5 6 2
3 1 3 8 3 77
× = .所以B盒中恰有7个球的概率为 + = .
10 2 20 75 20 300
6
11.解 (1)依题意，ρ=1- ×(9+16+4+4+1+64+1+4+9)=0.8，
15×224
所以这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”是0.8.
(2)依题意，X的值可能为0，1，2，3，
C3
2
5
P(X=0)= = ，
C3 91
15
C1 C2
20
10 5
P(X=1)= = ，
C3 91
15
C2 C1
45
10 5
P(X=2)= = ，
C3 91
15
C3
24
10
P(X=3)= = ，
C3 91
15则X的分布列为
X 0 1 2 3
2 20 45 24
P
91 91 91 91
所以X的数学期望为
20 45 24
E(X)=1× +2× +3× =2.
91 91 91
12.(1)解 设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，
事件M=“混合放在一起的零件来自甲工厂”，事件N=“混合放在一起的零件来自乙工厂”，事件
C=“混合放在一起的某一零件是合格品”，
m n
则P(M)= ，P(N)= ，
m+n m+n
P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)
m n
=94%× +98%× =97%，
m+n m+n
解得3m=n.
m 1
所以P(M)= = .
m+n 4
X的可能取值为0，1，2，3，
( 1)
X~B 3， ，
4
P(X=0)=C0(1) 0 (3) 3
=
27
，
3 4 4 64
P(X=1)=C1(1) 1 (3) 2
=
27
，
3 4 4 64
P(X=2)=C2(1) 2 (3) 1
=
9
，
3 4 4 64
P(X=3)=C3(1) 3 (3) 0
=
1
.
3 4 4 64
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
27 27 9 1
P
64 64 64 64
1 3
E(X)=3× = .
4 4(2)证明 由题意得P(B|A)>P(B|A)，
P(AB) P(AB)
即 > .
P(A) P(A)
因为P(A)>0，P(A)>0，
所以P(AB)P(A)>P(AB)P(A).
因为P(A)=1-P(A)，
P(AB)=P(B)-P(AB)，
所以P(AB)[1-P(A)]>[P(B)-P(AB)]P(A)，
即得P(AB)>P(A)P(B)，
所以P(AB)-P(AB)P(B)> P(A)P(B)-P(AB)P(B).
即P(AB)[1-P(B)]>P(B)[P(A)-P(AB)].
又因为1-P(B)=P(B)，
P(A)-P(AB)=P(AB)，
所以P(AB)P(B)>P(B)P(AB).
因为0<P(B)<1，0<P(B)<1，
P(AB) P(AB)
所以 > .
P(B) P(B)
即P(A|B)>P(A|B)得证.
13.BC [A选项，X=0，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，若该题有三个正确
选项，则小明选择错误选项，
1
C1
1
C1
3
2 1
故P(X=0)= × + × = ，
2 C1 2 C1 8
4 4
Y=0，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选项中选择1个，或选择
两个错误选项，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个，
1
C1C1+C2
1
C1C1
2
2 2 2 1 3
故P(Y=0)= × + × = ，
2 C2 2 C2 3
4 4
故P(X=0)<P(Y=0)，A错误；
B选项，X=3，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个，
1
C1
1
2
故P(X=3)= × = ，
2 C1 4
4
Y=4，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个，
1
C2
1
3
故P(Y=4)= × = ，
2 C2 4
4
故P(X=3)=P(Y=4)，B正确；C选项，X的可能取值为0，2，3，
3 1
其中P(X=0)= ，P(X=3)= ，
8 4
X=2，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个，
1
C1
3
3
故P(X=2)= × = ，
2 C1 8
4
3 3 1 3
故E(X)=0× +2× +3× = ，
8 8 4 2
Y的可能取值为0，4，6，
2 1
其中P(Y=0)= ，P(Y=4)= ，
3 4
Y=6，即该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项，
1
C2
1
2
P(Y=6)= × = ，
2 C2 12
4
2 1 1 3
故E(Y)=0× +4× +6× = ，
3 4 12 2
所以E(X)=E(Y)，C正确；
( 3) 2 3 ( 3) 2 3 ( 3) 2 1 3
D选项，D(X)= 0- × + 2- × + 3- × = ，
2 8 2 8 2 4 2
( 3) 2 2 ( 3) 2 1 ( 3) 2 1 19
D(Y)= 0- × + 4- × + 6- × = ，
2 3 2 4 2 12 4
显然D(X)<D(Y)，D错误.]
14.1 250
( 1)
解析 由题意知X~B n， ，
2
所以E(X)=0.5n，D(X)=0.25n，
X
若0.4< <0.6，
n
则0.4n<X<0.6n，
即-0.1n<X-0.5n<0.1n，
即|X-0.5n|<0.1n，
0.25n
由切比雪夫不等式P(|X-0.5n|<0.1n)≥1- 知，
(0.1n) 2
要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4，0.6)内，
0.25n
则1- ≥0.98，
(0.1n) 2解得n≥1 250，所以估计信号发射次数n的最小值为1 250.
