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微专题 2 随机变量及其分布
[考情分析] 离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考
查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.
考点一 分布列性质及应用
离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(1)p≥0，i=1，2，…，n.
i
(2)p +p +…+p =1.
1 2 n
(3)E(X)=x p +x p +…+xp+…+x p .
1 1 2 2 i i n n
(4)D(X)=(x -E(X)) 2 p +(x -E(X)) 2 p +…+(x -E(X)) 2 p .
1 1 2 2 n n
(5)若Y=aX+b，则E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X).
5
例1 (1)(2024·廊坊模拟)已知X的分布列如表所示，且Y=aX+b，E(Y)= ，则D(Y)的值为( )
6
X -1 0 1
1 1
P a
3 6
5
A.1 B.
18
5 5
C. D.
9 36
答案 D
1 1 1
解析 由a+ + =1可得a= ，
3 6 2
1 1 1 1
所以E(X)=-1× +0× +1× =- ，
2 3 6 3
( 1) 2 1 ( 1) 2 1 ( 1) 2 1 5
D(X)= -1+ × + 0+ × + 1+ × = ，
3 2 3 3 3 6 9
1 5 5
所以D(Y)=a2D(X)= × = .
4 9 36
(2)(多选)已知a>0，b>0，c>0，且a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a b c下列选项正确的是( )
1 2
A.b= B.a+c=
4 3
4 8 2
C. 0，c>0，得02)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
答案 BC
解析 依题可知，x=2.1，s2=0.01，
所以Y~N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误；
因为X~N(1.8，0.12)，
所以P(X<1.8+0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7，
而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)≈0.158 7，
所以B正确，A错误.
(2)已知随机变量ξ服从正态分布，有下列四个命题：
甲：P(ξ>a+1)>P(ξ>a+2)；
乙：P(ξ≤a)=0.5；
丙：P(ξ>a+1)=P(ξa+1)>P(ξ>a+2)，所以甲为真命题；对于乙，若P(ξ≤a)=0.5，
则该正态分布的均值μ=a；
对于丙，若P(ξ>a+1)=P(ξμ+a).
(2)P(X2)=0.62，则P(32)=0.38，
所以P(3μ+σ)= ≈0.16 P(X<83)=P(X>107)≈0.16，
2
⇒
而P(μ-σ107为A等级，951)= - - = ，
2 6 12 4
1 1
所以P(|X|≤1)=1-2× = .
4 2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.小明的计算器坏了，每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A= .例如，若
a =a =a =1，a =a =0，则A=10101.其中二进制数A的各位数中，已知a =1，a(k=2，3，4，5)出现0的概率
1 3 5 2 4 1 k
1 2
为 ，出现1的概率为 ，记X=a +a +a +a +a ，现在计算器启动一次，则下列说法正确的是( )
3 3 1 2 3 4 5
8 8
A.P(X=4)= B.P(X=3)=
81 27
8 8
C.E(X)= D.D(X)=
3 9
答案 BD
解析 由题意，计算器启动一次，随机变量X的可能取值为1，2，3，4，5，
则P(X=1)=C0(1) 4
=
1
，
4 3 81
P(X=2)=C1(2) 1
×
(1) 3
=
8
，
4 3 3 81
P(X=3)=C2(2) 2
×
(1) 2
=
24
=
8
，
4 3 3 81 27
P(X=4)=C3(2) 3
×
(1) 1
=
32
，
4 3 3 81
P(X=5)=C4(2) 4
=
16
，
4 3 81
1 8 8 32 16 11
∴E(X)=1× +2× +3× +4× +5× = ，
81 81 27 81 81 3
1 8 8 32 16 (11) 2 8
D(X)=12× +22× +32× +42× +52× - = .
81 81 27 81 81 3 9
综上，A，C错误；B，D正确.
8.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛
结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为p(0≤p<1)，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为
X，则( )
A.乙3∶0赢甲的概率是(1-p)3
B.P(X=4)=4p3(1-p)+4p(1-p)3C.P(X=5)=6p2(1-p)2
3
D.P(X=5)的最大值是
8
答案 ACD
解析 对于选项A，因为每局比赛甲胜乙的概率都为p(0≤p<1)，且每局比赛的胜负互不影响，
所以乙3∶0赢甲的概率是(1-p)3，故选项A正确；
对于选项B，因为X=4，当乙3∶1赢甲时，概率为C1 p(1-p)3=3p(1-p)3，
3
当甲3∶1赢乙时，概率为C1 p3(1-p)=3p3(1-p)，
3
所以P(X=4)=3p3(1-p)+3p(1-p)3，故选项B错误；
对于选项C，因为X=5，所以前4局比赛，甲、乙各赢2局，
得到P(X=5)=C2 p2(1-p)2=6p2(1-p)2，所以选项C正确；
4
对于选项D，由选项C知P(X=5)=6p2(1-p)2，
令y=6p2(1-p)2，
则y'=12p(1-p)2-12p2(1-p)=12p(1-p)(1-2p)，又0≤p<1，
1
当0≤p< 时，y'>0；
2
1
当 P(A|B).(8分)
(1)解 设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，
事件M=“混合放在一起的零件来自甲工厂”，事件N=“混合放在一起的零件来自乙工厂”，事件
C=“混合放在一起的某一零件是合格品”，
m n
则P(M)= ，P(N)= ，
m+n m+n
P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)
m n
=94%× +98%× =97%，
m+n m+n
解得3m=n.
m 1
所以P(M)= = .
m+n 4
( 1)
X的可能取值为0，1，2，3，X~B 3， ，
4P(X=0)=C0(1) 0 (3) 3
=
27
，
3 4 4 64
P(X=1)=C1(1) 1 (3) 2
=
27
，
3 4 4 64
P(X=2)=C2(1) 2 (3) 1
=
9
，
3 4 4 64
P(X=3)=C3(1) 3 (3) 0
=
1
.
3 4 4 64
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
27 27 9 1
P
64 64 64 64
1 3
E(X)=3× = .
4 4
(2)证明 由题意得P(B|A)>P(B|A)，
P(AB) P(AB)
即 > .
P(A) P(A)
因为P(A)>0，P(A)>0，
所以P(AB)P(A)>P(AB)P(A).
因为P(A)=1-P(A)，P(AB)=P(B)-P(AB)，
所以P(AB)[1-P(A)]>[P(B)-P(AB)]P(A)，
即得P(AB)>P(A)P(B)，
所以P(AB)-P(AB)P(B)>P(A)P(B)-P(AB)P(B).
即P(AB)[1-P(B)]>P(B)[P(A)-P(AB)].
又因为1-P(B)=P(B)，P(A)-P(AB)=P(AB)，
所以P(AB)P(B)>P(B)P(AB).
因为0 .
P(B) P(B)
即P(A|B)>P(A|B)得证.
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选
项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明
1
对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是 ，记X为小明随机选择1个选项的得分，记Y
2
为小明随机选择2个选项的得分，则( )
A.P(X=0)>P(Y=0)
B.P(X=3)=P(Y=4)
C.E(X)=E(Y)
D.D(X)>D(Y)
答案 BC
解析 A选项，X=0，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，
若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，
1
C1
1
C1
3
故P(X=0)= × 2 + × 1 = ，
2 C1 2 C1 8
4 4
Y=0，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选项中选择1个，或选择
两个错误选项，
若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个，
1
C1C1+C2
1
C1C1
2
故P(Y=0)= × 2 2 2 + × 1 3 = ，
2 C2 2 C2 3
4 4
故P(X=0)
