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微专题 2 随机变量及其分布
[考情分析] 离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考
查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.
考点一 分布列性质及应用
离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(1)p≥0，i=1，2，…，n.
i
(2)p +p +…+p =1.
1 2 n
(3)E(X)=x p +x p +…+xp+…+x p .
1 1 2 2 i i n n
(4)D(X)=(x -E(X)) 2 p +(x -E(X)) 2 p +…+(x -E(X)) 2 p .
1 1 2 2 n n
(5)若Y=aX+b，则E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X).
5
例1 (1)(2024·廊坊模拟)已知X的分布列如表所示，且Y=aX+b，E(Y)= ，则D(Y)的值为( )
6
X -1 0 1
1 1
P a
3 6
5
A.1 B.
18
5 5
C. D.
9 36
答案 D
1 1 1
解析 由a+ + =1可得a= ，
3 6 2
1 1 1 1
所以E(X)=-1× +0× +1× =- ，
2 3 6 3
( 1) 2 1 ( 1) 2 1 ( 1) 2 1 5
D(X)= -1+ × + 0+ × + 1+ × = ，
3 2 3 3 3 6 9
1 5 5
所以D(Y)=a2D(X)= × = .
4 9 36
(2)(多选)已知a>0，b>0，c>0，且a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a b c下列选项正确的是( )
1 2
A.b= B.a+c=
4 3
4 8 2
C. <E(X)< D.D(X)的最大值为
3 3 3
答案 BCD
{a+c=2b,
解析 对于AB，由
a+b+c=1,
1
{ b= ,
3
得 A错误，B正确；
2
a+c= ,
3
2 2
对于C，由a+c= ，a>0，c>0，得0<c< ，
3 3
4 (4 8)
则E(X)=a+2b+3c=2c+ ∈ ， ，C正确；
3 3 3
2 2 2
[ ( 4)] 1[ ( 4)] [ ( 4)]
对于D，D(X)=a 1- 2c+ + 2- 2c+ +c 3- 2c+
3 3 3 3
(2 )( 1) 2 1( 2) 2 ( 5) 2
= -c 2c+ + 2c- +c 2c-
3 3 3 3 3
8 2
=-4c2+ c+
3 9
( 1) 2 2
=-4 c- + ，
3 3
1 2
当c= 时，D(X)取得最大值，且最大值为 ，D正确.
3 3
[规律方法] 分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
2
跟踪演练1 (1)(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)= ，E(X)，D(X)分别为随机变量X的
3
均值与方差，则下列结论正确的是( )
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=3
2
C.D(X)= D.D(3X+2)=4
9
答案 ABC
2 1
解析 随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)= ，所以P(X=1)= ，
3 31 2
所以E(X)= ，D(X)= .
3 9
对于A，P(X=1)=E(X)，故A正确；
对于B，E(3X+2)=3E(X)+2=3，故B正确；
2
对于C，D(X)= ，故C正确；
9
2
对于D，D(3X+2)=9D(X)=9× =2，故D不正确.
9
(2)随机变量X的分布列如表所示，则D(bX)的最大值为( )
X 1 2 3
P a 2b a
2 1
A. B.
9 9
2 1
C. D.
27 27
答案 D
解析 由题可知2a+2b=1，0≤a≤1，0≤2b≤1，
1 1
所以a+b= ，0≤b≤ ，
2 2
E(X)=a+4b+3a=4(a+b)=2，
D(X)=(1-2)2a+(3-2)2a=2a，
则D(bX)=b2D(X)=2ab2=-2b3+b2，
令f(b)=-2b3+b2，
则f'(b)=-6b2+2b=-2b(3b-1)，
( 1) (1 1) (1) 1
则f(b)在 0， 上单调递增，在 ， 上单调递减，所以f(b) =f = ，
3 3 2 max 3 27
1
所以D(bX)的最大值为 .
27
考点二 随机变量的分布列
1.二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，
则X的分布列为P(X=k)=Ck pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n.
n
E(X)=np，D(X)=np(1-p).
2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的
Ck Cn-k
n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=
M N-M，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n，N，M∈N*，
Cn
N
M
M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}.E(X)=n· .
N
考向1 相互独立事件
例2 (多选)(2024·昆明模拟)在一个有限样本空间中，事件A，B，C发生的概率满足P(A)=P(B)=P(C)=
1 5
，P(A∪B)= ，A与C互斥，则下列说法正确的是( )
3 9
1
A.P(AC)=
3
B.A与B相互独立
1
C.P(ABC)=
27
8
D.P(A∪B∪C)≤
9
答案 ABD
1
解析 A选项，A与C互斥，故A∩C=⌀，P(AC)=0，则C包含事件A，故P(AC)=P(A)= ，A正确；
3
B选项，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，
1 1 5 1
即 + -P(A∩B)= ，故P(A∩B)= ，
3 3 9 9
故P(A∩B)=P(A)P(B)，A与B相互独立，B正确；
C选项，A与C互斥，故AB与C互斥，故P(ABC)=P[(AB)∩C]=0，C错误；
D选项，P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
1 1 1 1 1 8
= + + - × -P(BC)= -P(BC)，
3 3 3 3 3 9
8 8
因为P(BC)≥0，故P(A∪B∪C)= -P(BC)≤ ，D正确.
9 9
考向2 超几何分布
例3 (2024·聊城模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，
新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，
提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分
100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改
进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望.
解 (1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，
85，86，86，87，89，91，91，92，94.
73+77
因为20×25%=5，所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为 =75.
2
(2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；
分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，
所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.
所以X的所有可能取值为1，2，3，
C2C1
3
2 3
P(X=1)= = ；
C3 10
5
C1C2
3
2 3
P(X=2)= = ；
C3 5
5
C0C3
1
P(X=3)= 2 3 = ，
C3 10
5
所以X的分布列为
X 1 2 3
3 3 1
P
10 5 10
3 3 1 9
数学期望E(X)=1× +2× +3× = .
10 5 10 5
考向3 二项分布
例4 (2024·无锡模拟)我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的
新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无
人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每
4
次投弹时击中目标的概率都为 ，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭
5
1 2
的概率为 ，击中目标两次起火点被扑灭的概率为 ，击中目标三次起火点必定被扑灭.
2 3
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
解 (1)起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3，
(1) 3 1
P(X=0)= = ，
5 125P(X=1)=C1×
4
×
(1) 2
=
12
，
3 5 5 125
P(X=2)=C2×
(4) 2
×
1
=
48
，
3 5 5 125
(4) 3 64
P(X=3)= = .
5 125
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
1 12 48 64
P
125 125 125 125
( 4)
∵X~B 3， ，
5
4 12
∴E(X)=3× = .
5 5
(2)击中一次火被扑灭的概率
P =C1×
(4) 1
×
(1) 2
×
1
=
6
，
1 3 5 5 2 125
击中两次火被扑灭的概率P =C2 ×
(4) 2
×
1
×
2
=
32
，
2 3 5 5 3 125
(4) 3 64
击中三次火被扑灭的概率P = = ，
3 5 125
6 32 64 102
∴所求概率P= + + = .
125 125 125 125
[规律方法] 求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均
值和方差的公式求解.
跟踪演练2 某市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛
选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从
6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公
2
司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
3
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标
成功的可能性更大？
解 (1)由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题，
C2C1 C3
4
4 2 4
所求概率P= + = .
C3 C3 5
6 6
(2)设甲公司答对的题数为X，则X的可能取值为1，2，3，
C1C2
1
P(X=1)= 4 2 = ，
C3 5
6
C2C1
3
P(X=2)= 4 2 = ，
C3 5
6
C3
1
P(X=3)= 4 = ，
C3 5
6
则X的分布列为
X 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
1 3 1
所以E(X)=1× +2× +3× =2，
5 5 5
1 3 1 2
D(X)=(1-2)2× +(2-2)2× +(3-2)2× = .
5 5 5 5
设乙公司答对的题数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3，
P(Y=0)=C0×
(2) 0
×
(1) 3
=
1
，
3 3 3 27
P(Y=1)=C1×
(2) 1
×
(1) 2
=
2
，
3 3 3 9
P(Y=2)=C2×
(2) 2
×
(1) 1
=
4
，
3 3 3 9
P(Y=3)=C3×
(2) 3
×
(1) 0
=
8
，
3 3 3 27
则Y的分布列为
Y 0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
2
所以E(Y)=3× =2，
32 ( 2) 2
D(Y)=3× × 1- = ，
3 3 3
由于E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，所以甲公司竞标成功的可能性更大.
考点三 正态分布
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴x=μ.
(2)样本标准差σ.
(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.
例5 (1)(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶
叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入
的样本均值x=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设
推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x，s2)，则( )
(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
答案 BC
解析 依题可知，x=2.1，s2=0.01，
所以Y~N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误；
因为X~N(1.8，0.12)，
所以P(X<1.8+0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7，
而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158 7，
所以B正确，A错误.
(2)已知随机变量ξ服从正态分布，有下列四个命题：
甲：P(ξ>a+1)>P(ξ>a+2)；
乙：P(ξ≤a)=0.5；
丙：P(ξ>a+1)=P(ξ<a-1)；
丁：P(a-1<ξ<3+a)<P(a<ξ<4+a).
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
答案 D
解析 对于甲，a取任何值，都有P(ξ>a+1)>P(ξ>a+2)，所以甲为真命题；对于乙，若P(ξ≤a)=0.5，
则该正态分布的均值μ=a；
对于丙，若P(ξ>a+1)=P(ξ<a-1)，
(a+1)+(a-1)
则该正态分布的均值μ= =a，
2
乙和丙至少有一个真命题，又因为乙和丙等价，所以乙和丙都是真命题；
对于丁，P(a<ξ<4+a)=P(a<ξ<3+a)+P(3+a<ξ<4+a)
=P(a<ξ<3+a)+P(a-4<ξ<a-3)
<P(a<ξ<3+a)+P(a-1<ξ<a)
=P(a-1<ξ<3+a)，所以丁为假命题.
[规律方法] 利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称，
及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：
(1)对任意的a，有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)P(X<x )=1-P(X≥x ).
0 0
(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).
跟踪演练3 (2024·洛阳模拟)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20 000名优秀考生中随机抽取
了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均
数为x=110.据此估计这20 000名优秀考生数学成绩的标准差s；
(2)根据以往经验，可以认为这20 000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中参数μ
和σ可以分别用(1)中的x和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y=5X-10，试估计这20 000
名优秀考生中总成绩Y∈[600，660]的人数.
注：√6≈2.4；
若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
解 (1)抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2=(80-110)2×0.02+(90-110)2×0.09+(100-110)2×0.22
+(110-110)2×0.33+(120-110)2×0.24+(130-110)2×0.08 +(140-110)2×0.02=150.
故估计这20 000名考生数学成绩的方差为150，标准差s=√150=5√6≈5×2.4=12.
(2)由(1)知μ可用x=110来估计，σ可用s来估计.故X~N(110，122).P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)
又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=
2
0.954 5-0.682 7
≈ =0.135 9，
2
故P(122≤X≤134)≈0.135 9.
又Y=5X-10，
所以P(600≤Y≤660)=P(600≤5X-10≤660)=P(122≤X≤134)≈0.135 9.
故这20 000名考生中成绩在[600，660]的人数约为20 000×0.135 9=2 718.
专题强化练
(分值：90分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得
分ξ的所有可能取值的和是( )
A.8 B.10
C.12 D.14
答案 C
解析 选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，得
6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12.
2.(2024·三明模拟)下列说法正确的是( )
A.随机变量X~B(3，0.2)，则P(X=2)=0.032
B.若随机变量X~N(3，σ2)，P(X>2)=0.62，则P(3<X<4)=0.24
C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对
立的事件
D.从除颜色外完全相同的10个红球和20个白球中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布
答案 D
解析 对于选项A，P(X=2)=C2 ×0.22×(1-0.2)=0.096，故A错误；
3
对于选项B，P(X≥4)=P(X≤2)=1-P(X>2)=0.38，
所以P(3<X<4)=0.5-P(X≥4)=0.12，故B错误；
对于选项C，至少有一个黑球包含的样本点有“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的样本点有“一
黑一红，两红”，所以两事件不互斥，故C错误；Ck C5-k
10 20
对于选项D，设摸出红球的个数为k，则P(X=k)= (k=0，1，2，3，4，5)，符合超几何分布，故D
C5
30
正确.
1
3.甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为 ，比赛采取三
3
局两胜制(当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，则甲获胜的概率为( )
5 7
A. B.
27 27
2 1
C. D.
9 9
答案 B
解析 分三种情况：
1 1 1
①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为 × = ；
3 3 9
( 1) 1 1 2
②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为 1- × × = ；
3 3 3 27
1 ( 1) 1 2
③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为 × 1- × = .
3 3 3 27
1 2 2 7
故甲获胜的概率为 + + = .
9 27 27 27
4.(2024·金华模拟)某市高中数学统考(总分150分)，假设考试成绩服从正态分布N(95，122).如果按照
16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级.若某同学考试成绩为99分，
则该同学的等级为(参考数据：P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.68，P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.95)( )
A.A B.B
C.C D.D
答案 B
解析 数学测试成绩服从正态分布N(95，122)，
则μ=95，σ=12，
由于A，D等级的概率之和为16%+16%=32%≈1-P(μ-σ<X<μ+σ)，
1-P(|X -μ|≤σ)
所以P(X<μ-σ)=P(X>μ+σ)= ≈0.16 P(X<83)=P(X>107)≈0.16，
2
⇒
而P(μ-σ<X<μ)=P(μ<X<μ+σ)≈0.34，即P(83<X<95)=P(95<X<107)≈0.34，
故X>107为A等级，95<X<107为B等级，83<X<95为C等级，X<83为D等级，故99分为B等级.
5
5.已知随机变量ξ的分布列如表所示，若D(ξ+1)= ，则E(ξ+1)等于( )
9
ξ -1 0 11
P a c
3
2 4
A. B.
3 3
2 4 2 4
C. 或 D.- 或
3 3 3 3
答案 C
1 2
解析 由题意可得a+ +c=1，即c= -a，
3 3
1 2
则E(ξ)=-1×a+0× +1×c=c-a= -2a，
3 3
(2 ) 2 1(2 ) 2 (2 )(2 ) 2 5
则D(ξ)=a -2a+1 + -2a-0 + -a -2a-1 =D(ξ+1)= ，
3 3 3 3 3 9
8 2 5
化简得-4a2+ a+ = ，
3 9 9
即12a2-8a+1=(2a-1)(6a-1)=0，
1 1
解得a= 或a= ，
2 6
1 1
则E(ξ)=- 或E(ξ)= ，
3 3
1 2 1 4
则E(ξ+1)=E(ξ)+1=- +1= 或E(ξ+1)=E(ξ)+1= +1= .
3 3 3 3
6.[柯西分布]柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西
1
分布为X~C(γ，x )，其中当γ=1，x =0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)= .已知
0 0 π(1+x2
)
( √3) 1 (√3 ) 1
X~C(1，0)，P |X|≤ = ，P <X≤1 = ，则P(|X|≤1)等于( )
3 3 3 12
1 2
A. B.
6 3
1 1
C. D.
4 2
答案 D
1
解析 函数f(x)= 的图象关于y轴对称，
π(1+x2
)
( √3) 1
由P |X|≤ = 可知，
3 3
( √3) 1
P 0≤X≤ = ，
3 6(√3 ) 1
且P <X≤1 = ，
3 12
1 1 1 1
则P(X>1)= - - = ，
2 6 12 4
1 1
所以P(|X|≤1)=1-2× = .
4 2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.小明的计算器坏了，每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A= .例如，若
a =a =a =1，a =a =0，则A=10101.其中二进制数A的各位数中，已知a =1，a(k=2，3，4，5)出现0的概率
1 3 5 2 4 1 k
1 2
为 ，出现1的概率为 ，记X=a +a +a +a +a ，现在计算器启动一次，则下列说法正确的是( )
3 3 1 2 3 4 5
8 8
A.P(X=4)= B.P(X=3)=
81 27
8 8
C.E(X)= D.D(X)=
3 9
答案 BD
解析 由题意，计算器启动一次，随机变量X的可能取值为1，2，3，4，5，
则P(X=1)=C0(1) 4
=
1
，
4 3 81
P(X=2)=C1(2) 1
×
(1) 3
=
8
，
4 3 3 81
P(X=3)=C2(2) 2
×
(1) 2
=
24
=
8
，
4 3 3 81 27
P(X=4)=C3(2) 3
×
(1) 1
=
32
，
4 3 3 81
P(X=5)=C4(2) 4
=
16
，
4 3 81
1 8 8 32 16 11
∴E(X)=1× +2× +3× +4× +5× = ，
81 81 27 81 81 3
1 8 8 32 16 (11) 2 8
D(X)=12× +22× +32× +42× +52× - = .
81 81 27 81 81 3 9
综上，A，C错误；B，D正确.
8.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛
结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为p(0≤p<1)，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为
X，则( )
A.乙3∶0赢甲的概率是(1-p)3
B.P(X=4)=4p3(1-p)+4p(1-p)3C.P(X=5)=6p2(1-p)2
3
D.P(X=5)的最大值是
8
答案 ACD
解析 对于选项A，因为每局比赛甲胜乙的概率都为p(0≤p<1)，且每局比赛的胜负互不影响，
所以乙3∶0赢甲的概率是(1-p)3，故选项A正确；
对于选项B，因为X=4，当乙3∶1赢甲时，概率为C1 p(1-p)3=3p(1-p)3，
3
当甲3∶1赢乙时，概率为C1 p3(1-p)=3p3(1-p)，
3
所以P(X=4)=3p3(1-p)+3p(1-p)3，故选项B错误；
对于选项C，因为X=5，所以前4局比赛，甲、乙各赢2局，
得到P(X=5)=C2 p2(1-p)2=6p2(1-p)2，所以选项C正确；
4
对于选项D，由选项C知P(X=5)=6p2(1-p)2，
令y=6p2(1-p)2，
则y'=12p(1-p)2-12p2(1-p)=12p(1-p)(1-2p)，又0≤p<1，
1
当0≤p< 时，y'>0；
2
1
当 <p<1时，y'<0，
2
[ 1) (1 )
即y=6p2(1-p)2在区间 0， 上单调递增，在区间 ，1 上单调递减，
2 2
(1) 2 ( 1) 2 3
所以y =6× 1- = ，故选项D正确.
max 2 2 8
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·南通模拟)已知随机变量X~N(4，42).若P(X<3)=0.3，则P(3≤X≤5)= ，若Y=2X+1，则Y的
方差为 .
答案 0.4 64
解析 由题意可知μ=4，σ=4，即D(X)=16，所以D(Y)=4D(X)=64；
因为P(X<3)=0.3，
所以P(3≤X≤5)=1-2P(X<3)=0.4.
10.(2024·衡阳模拟)已知有A，B两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和2个白
球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出
的2个球全部放入A盒中，若2个球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复
操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是 .
77
答案
300解析 若两次取球后，B盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜.
1 2 1
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为 × = ，
2 5 5
第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球，B盒中有4个黑球和2个白球，
2 2 3 4 8
第二次取到不同色球为取到一个白球一个黑球，其概率为 × + × = ，
5 6 5 6 15
1 8 8
此时B盒中恰有7个球的概率为 × = ；
5 15 75
1 3 3
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为 × = ，
2 5 10
第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒中有3个黑球和3个白球，
3 3 2 3 1
第二次取到不同色球为取到一个白球一个黑球，其概率为 × + × = ，
5 6 5 6 2
3 1 3
此时B盒中恰有7个球的概率为 × = .
10 2 20
8 3 77
所以B盒中恰有7个球的概率为 + = .
75 20 300
四、解答题(共27分)
11.(12分)(2024·萍乡模拟)定义两组数据u，v(i=1，2，…，n)的“斯皮尔曼系数”为变量u在该组数据中
i i i
n
6
的排名x和变量v在该组数据中的排名y的样本相关系数，记为ρ，其中ρ=1- Σ (x-y)2.
i i i n(n2-1) i i
i=1
某校15名学生的数学成绩的排名x与知识竞赛成绩的排名y如表：
i i
学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
i
y 1 5 3 4 9 8 7 6 10 2 12 14 13 11 15
i
(1)试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；(5分)
(2)已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有
X人，试求X的分布列和数学期望.(7分)
6
解 (1)依题意，ρ=1- ×(9+16+4+4+1+64+1+4+9)=0.8，
15×224
所以这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”是0.8.
(2)依题意，X的值可能为0，1，2，3，
C3
2
P(X=0)= 5 = ，
C3 91
15C1 C2
20
P(X=1)= 10 5 = ，
C3 91
15
C2 C1
45
P(X=2)= 10 5 = ，
C3 91
15
C3
24
P(X=3)= 10 = ，
C3 91
15
则X的分布列为
X 0 1 2 3
2 20 45 24
P
91 91 91 91
所以X的数学期望为
20 45 24
E(X)=1× +2× +3× =2.
91 91 91
12.(15分)(2024·深圳模拟)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，
质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率
为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%.
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求
X的分布列和数学期望；(7分)
(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的
条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业
把零件交给甲工厂生产的概率.设事件A=“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B=“该大型企业
把零件交给甲工厂生产”，已知0<P(B)<1，证明： P(A|B)>P(A|B).(8分)
(1)解 设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，
事件M=“混合放在一起的零件来自甲工厂”，事件N=“混合放在一起的零件来自乙工厂”，事件
C=“混合放在一起的某一零件是合格品”，
m n
则P(M)= ，P(N)= ，
m+n m+n
P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)
m n
=94%× +98%× =97%，
m+n m+n
解得3m=n.
m 1
所以P(M)= = .
m+n 4
( 1)
X的可能取值为0，1，2，3，X~B 3， ，
4P(X=0)=C0(1) 0 (3) 3
=
27
，
3 4 4 64
P(X=1)=C1(1) 1 (3) 2
=
27
，
3 4 4 64
P(X=2)=C2(1) 2 (3) 1
=
9
，
3 4 4 64
P(X=3)=C3(1) 3 (3) 0
=
1
.
3 4 4 64
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
27 27 9 1
P
64 64 64 64
1 3
E(X)=3× = .
4 4
(2)证明 由题意得P(B|A)>P(B|A)，
P(AB) P(AB)
即 > .
P(A) P(A)
因为P(A)>0，P(A)>0，
所以P(AB)P(A)>P(AB)P(A).
因为P(A)=1-P(A)，P(AB)=P(B)-P(AB)，
所以P(AB)[1-P(A)]>[P(B)-P(AB)]P(A)，
即得P(AB)>P(A)P(B)，
所以P(AB)-P(AB)P(B)>P(A)P(B)-P(AB)P(B).
即P(AB)[1-P(B)]>P(B)[P(A)-P(AB)].
又因为1-P(B)=P(B)，P(A)-P(AB)=P(AB)，
所以P(AB)P(B)>P(B)P(AB).
因为0<P(B)<1，0<P(B)<1，
P(AB) P(AB)
所以 > .
P(B) P(B)
即P(A|B)>P(A|B)得证.
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选
项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明
1
对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是 ，记X为小明随机选择1个选项的得分，记Y
2
为小明随机选择2个选项的得分，则( )
A.P(X=0)>P(Y=0)
B.P(X=3)=P(Y=4)
C.E(X)=E(Y)
D.D(X)>D(Y)
答案 BC
解析 A选项，X=0，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，
若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，
1
C1
1
C1
3
故P(X=0)= × 2 + × 1 = ，
2 C1 2 C1 8
4 4
Y=0，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选项中选择1个，或选择
两个错误选项，
若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个，
1
C1C1+C2
1
C1C1
2
故P(Y=0)= × 2 2 2 + × 1 3 = ，
2 C2 2 C2 3
4 4
故P(X=0)<P(Y=0)，A错误；
B选项，X=3，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个，
1
C1
1
故P(X=3)= × 2 = ，
2 C1 4
4
Y=4，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个，
1
C2
1
故P(Y=4)= × 3 = ，故P(X=3)=P(Y=4)，B正确；
2 C2 4
4
C选项，X的可能取值为0，2，3，
3 1
其中P(X=0)= ，P(X=3)= ，
8 4
X=2，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个，
1
C1
3
故P(X=2)= × 3 = ，
2 C1 8
4
3 3 1 3
故E(X)=0× +2× +3× = ，
8 8 4 2
Y的可能取值为0，4，6，2 1
其中P(Y=0)= ，P(Y=4)= ，
3 4
Y=6，即该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项，
1
C2
1
P(Y=6)= × 2 = ，
2 C2 12
4
2 1 1 3
故E(Y)=0× +4× +6× = ，
3 4 12 2
所以E(X)=E(Y)，C正确；
( 3) 2 3 ( 3) 2 3 ( 3) 2 1 3
D选项，D(X)= 0- × + 2- × + 3- × = ，
2 8 2 8 2 4 2
( 3) 2 2 ( 3) 2 1 ( 3) 2 1 19
D(Y)= 0- × + 4- × + 6- × = ，
2 3 2 4 2 12 4
显然D(X)<D(Y)，D错误.
14.(2024·沈阳模拟)切比雪夫不等式是数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机
D(X)
变量X，若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在，则对任意正实数ε，有P(|X-E(X)|<ε)≥1- .根据该不等
ε2
式可以对事件|X-E(X)|<ε的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续
发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X，为了至少
有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4，0.6)内，估计信号发射次数n的值至少为 .
答案 1 250
( 1)
解析 由题意知X~B n， ，所以E(X)=0.5n，D(X)=0.25n，
2
X
若0.4< <0.6，则0.4n<X<0.6n，
n
即-0.1n<X-0.5n<0.1n，即|X-0.5n|<0.1n，
0.25n
由切比雪夫不等式P(|X-0.5n|<0.1n)≥1- 知，
(0.1n) 2
要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4，0.6)内，
0.25n
则1- ≥0.98，解得n≥1 250，
(0.1n) 2
所以估计信号发射次数n的最小值为1 250.
