文档内容
2 0 2 4 年 教 师 资 格 证
数理统计与概率论 2、3
讲师：吉吉
更多干货关注 粉笔教师教育 粉笔教师选+简
（七）n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，事件发生的概率是p，
则在n次试验中恰好成功k 次的概率为：
例如：某人进行射击，共射击10次，击中目标的概率为0.8，则射击结束时恰好成功6次的
概率为？
2024FENBI
P149So easy 𝑃 𝜉 = 𝑘 = 𝐶𝑘𝑝𝑘 1 − 𝑝 𝑛−𝑘(𝑘 = 0,1,2, …𝑛)
𝑛
2024FENBI
P1492024FENBI
P1492024FENBI
P1502024FENBI
P150一 随机变量
第三节
二 随机变量的分布函数
随机变量及其分布列 三 离散型随机变量的分布列
（概率分布）
四 连续型随机变量的概率分布
2024FENBI一、随机变量
（一）随机变量的定义
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变
量常用希腊字母𝜉，𝜂等表示。
【注】（1）随机变量将随机事件的结果数量化。
（2）随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。
2024FENBI
P151（二）离散型随机变量
• 对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做
离散型随机变量。
注意：
（1）随机变量将随机事件的结果数量化。
（2）随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。
（3）若𝜉 是随机变量，则𝜂 = 𝑎𝜉 + 𝑏（其中𝑎，𝑏 是常数）也是随机变量。
𝝃 0 1
𝑃 1 2
3 3
2024FENBI
𝜂 = 2𝜉 + 1
P151
𝑃三、离散型随机变量的分布列
选+简
（一）分布列
分布列的两个性质:
ξ 𝑥 𝑥 𝑥
1 2 3
P 0.2 0.3
2024FENBI
P152练一练
例如：投掷一枚骰子，用X表示骰子向上一面的点数，写出随机变量
X的分布列。
X
P
2024FENBI（二）常用的离散型随机变量
1. 两点分布★
2024FENBI
P153选+简
（二）常用的离散型随机变量
2. 二项分布★
2024FENBI
P153练一练
例如：某人进行射击，共射击3次，击中目标的概率为0.8，则其射中次数的分布列如下：
X
P
2024FENBI书上无
二项分布 X~B（n,p）
4
例：已知一名国家射击运动员𝐴，每次射中靶心的概率为 ，记𝑋为该运动员在10次射击训练中的
5
命中次数，且每次射击相互独立，互不影响。
（1）10次射击训练中该名运动员命中靶心6次的概率为多少？
（2）𝑋服从什么分布；
（3）求𝐸𝑋,即10次射击训练中该名运动员平均可以命中靶心几次？
2024FENBI选+简
（二）常用的离散型随机变量
3. 超几何分布★
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有次品数记为ξ，则事件{ξ＝k}发生的
𝑘 𝑛−𝑘
𝐶 𝐶
𝑀 𝑁−𝑀
概率为P（ξ＝k）＝
𝑛
𝐶
𝑁
X
P
例如：现在有10件衣服，其中有次品3件次品，现在从这些衣服里任意的选3件，问你抽的这
2024FENBI
三件衣服里次品数可能有几种情况，写出次品数的分布列。
P1532024FENBI
P154二、随机变量的分布函数
X 1 2 3
P 1 1 1
6 3 2
2024FENBI
P151四、连续型随机变量的概率分布
选+简
（一）概率密度函数
2024FENBI
P154𝑥
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = න 𝑓 𝑡 ⅆ𝑡
−∞
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥
X 1 2 5
1 1 1
P
2 3 6
2024FENBI
P154-P155工具
（二）性质
𝑥
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = න 𝑓 𝑡 ⅆ𝑡
−∞
2024FENBI
P154-P155看起来很抽象，实际算定积分
2024FENBI
P1552024FENBI
P1552024FENBI
P1552024FENBI
P1552024FENBI
P1552024FENBI
P156（三）常用的连续型随机变量
2024FENBI
P1562024FENBI
P1522024FENBI
P152（四）二维随机变量
2024FENBI
P156（四）二维随机变量
2024FENBI
P1562024FENBI
P1572024FENBI
P157总结考点
考点1：求离散型随机变量的分布列
注意：两种常考的的类型：二项分布和超几何分布
考点2：求连续型随机变量的分布函数
注意：记忆理解公式和两组性质
2024FENBI一 期望与方差的定义
第四节
二 随机变量的数学期望
随机变量的数字特征 三 随机变量的方差
2024FENBI一、期望和方差的定义
（一）期望
注意：数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平
2024FENBI
P158选
（二）方差、标准差及标准差系数
在一组数据x ,x ,…,x 中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据
1 2 n
的方差。通常用“s2”表示，即
𝟏
s2＝ [(x －𝒙ഥ)2＋(x －𝒙ഥ)2＋…＋(x －𝒙ഥ)2]
1 2 n
𝒏
s为这组数据的标准差。
𝑠
标准差系数（离散系数）：𝑉 = 。
𝑠
𝑥
注意：方差反映了这组数据波动的情况。
2024FENBI
P158
【
离
或
度
注
散
者
和
】
系
数
量
当
数
据
纲
两
V
量
的
组
=
纲
影
标
平
数
的
响
准
均
据
不
，
差
数
的
同
需
测
时
用
量
，
离
尺
为
散
度
消
/
相
变
除
差
异
测
太
系
量
大
数
尺
，
比 较 。二、随机变量的数学期望
选+简
（一）离散型随机变量的数学期望
1.一维离散型随机变量的数学期望
一般地，随机变量ξ的概率分布为
期望： ， 则称为ξ的数学期望或平均数、均值，简称为期望。
∞
E X = 𝑥 𝑝
𝑘 𝑘
2024FENBI
𝑘=1
p158【例】投掷一枚骰子，用X表示骰子向上一面的点数，写出随机变量X的分
布列及数学期望。
X 1 2 3 4 5 6
P
2024FENBI
P1592024FENBI
P1592024FENBI
P160选+简
（一）离散型随机变量的数学期望
2.一维离散型随机变量函数的数学期望
【例】𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1,令𝑌 = 𝑔(𝑋)，求𝐸 𝑌 。
X 1 2 5
2024FENBI
P 1 1 1
2 3 6
P160小cake~
2024FENBI
P160选+简
（二）连续型随机变量的数学期望
1. 一维连续型随机变量的数学期望
设X~U（a，b），求EX。
1
，𝑎 < 𝑥 < 𝑏
f(x) =ቐ𝑏−𝑎
2024FENBI
0， 其他
P161选+简
𝑏
3
− 𝑎
3
= (𝑏 − 𝑎)(𝑏
2
+ 𝑎𝑏 + 𝑎
2)
（二）连续型随机变量的数学期望
2.一维连续型随机变量函数的数学期望
设X~U（a，b），求EX2。
1
，𝑎 < 𝑥 < 𝑏
f(x) =ቐ𝑏−𝑎
2024FENBI
0， 其他
P161总结公式
∞
E X = 𝑥 𝑝
𝑘 𝑘
𝑘=1
2024FENBI选
（三）随机变量期望的性质
①E(c)=c(c为常数)
②E(cX)=cE(X)
③E(X±Y)=E(X)±E(Y)
𝑛 𝑛
④𝐸 𝑋 = 𝐸(𝑋 )
𝑖 𝑖
𝑖=1 𝑖=1
⑤若X，Y相互独立，则E(XY)=E(X)·E(Y)。
2024FENBI
P161小粉笔习惯性的向你抛出一道题并摆出姿势 ~
①E(c)=c(c为常数)
②E(cX)=cE(X)
2024FENBI
③E(X±Y)=E(X)±E(Y)
P162选+简
三、随机变量的方差
𝟏
（一）离散型随机变量的方差 s2＝ [(x －𝒙ഥ)2＋(x －𝒙ഥ)2＋…＋(x －𝒙ഥ)2]
1 2 n
𝒏
若离散型随机变量的分布列为
∞
2 2
D X = [𝑥 − 𝐸(𝑋)] 𝑝 = E [𝑋 − 𝐸(𝑋)]
𝑘 𝑘
2024FENBI
𝑘=1
P1612 2
𝐷𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸𝑋
2
D X = E [𝑋 − 𝐸(𝑋)]
2024FENBI检测一下自己
2024FENBI
P163选+简
（二）连续型随机变量的方差
2024FENBI
P162缘来 So easy
2024FENBI
P163【参考答案】
2024FENBI
P163-P164选
η=aξ+b
（三）随机变量方差的性质：
D(η)=D(aξ+b)=a2D（ξ）
∞
① D X = [𝑥 − 𝐸(𝑋)] 2 𝑝 = E [𝑋 − 𝐸(𝑋)] 2
𝑘 𝑘
𝑘=1
②D(c)=0(c为常数)
③D(cX)=c2D(X) (c为常数)
④D(X+c)=D(X) (c为常数)
⑤若X，Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)
⑥𝐷 𝑋 = 𝐸 𝑋 2 − 𝐸 𝑋 2
2024FENBI
P162一 正态分布的概念
第五节
二 正态分布的性质
正 态 分 布 三 标准正态分布
2024FENBI一、正态分布的概念
补充：若𝑿~𝑵(𝝁, 𝝈 𝟐 )且𝒂与𝒃是实数，那么𝒂𝑿 + 𝒃~𝑵(𝒂𝝁 + 𝒃, 𝒂𝝈 𝟐 )
2024FENBI
P165𝟐
𝒂𝑿 + 𝒃~𝑵(𝒂𝝁 + 𝒃, 𝒂𝝈 )
2024FENBI
P165二、正态分布的性质
选
2024FENBI
P166方法1：图像法
2024FENBI
P166选
（1）曲线在𝑥轴上方，并且关于直线𝑥 = 𝜇对称。
（2）曲线在𝑥 = 𝜇时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低。
（3）曲线的对称轴位置由 𝜇 确定；曲线的形状由 𝜎 确定， 𝜎 越大，曲线越“矮胖”，
反之越“高瘦”。
2024FENBI
P166三、标准正态分布
2024FENBI
P1672024FENBI
P1672
𝐸𝑋 = 𝜇, 𝐷𝑋 = 𝜎
X ～N（2, 4）
1
X ～N（4, 36）
2
2024FENBI①E(c)=c(c为常数)
②E(cX)=cE(X)
③E(X±Y)=E(X)±E(Y)
2
𝐸𝑋 = 𝜇, 𝐷𝑋 = 𝜎
②D(c)=0(c为常数)
③D(cX)=c2D(X) (c为常数)
④D(X+c)=D(X) (c为常数)
（2）常用性质
2024FENBI
X −
① X ~ N (, 2 ) ，则 ~ N(0,1) ，该公式揭示了求解正态分布问题的一个重要
【注】
思路：标准化．
2 x =
②正态分布 N (, ) 具有对称性，即其概率密度是关于直线 对称的，特别地，
标准正态分布的概率密度是偶函数．
（
①
2
X
） 常
~ N
用
(
性 质
, 2 ) ， 则
X
~ N ( 0 , 1 )
思 路 ：
②
标
正
准
态
化
分
．
布 N ( ,
2
)
−
， 该 公 式 揭 示 了 求 解 正 态 分 布 问 题 的 一 个 重 要
具 有 对 称 性 ， 即 其 概 率 密 度 是 关 于 直 线
x
标 准 正 态 分 布 的 概 率 密 度 是 偶 函 数 ．
=
对 称 的 ， 特 别 地 ，
（2）常用性质
① X ~ N ( , 2 ) ，则
X
~ N ( 0 , 1 )
−
，该公式揭示了求解正态分布问题的一个重要
思路：标准化．
2 x = ②正态分布 N (, ) 具有对称性，即其概率密度是关于直线 对称的，特别地，
标准正态分布的概率密度是偶函数．𝑋 − 𝜇
2
𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 , 则𝑌 = ~𝑁(0,1)
𝜎
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥
X ～N（2, 4） X ～N（4, 36）
1 2
2024FENBI
P167𝑋 − 𝜇
2
𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 , 则𝑌 = ~𝑁(0,1)
𝜎
2024FENBI
P167又方又圆的我终于到达这一章的最后一题
方法2：公式法
2024FENBI
P1682024FENBI
P168又方又圆的我终于到达这一章的最后一题
方法2：公式法
2024FENBI
P1682024FENBI
P168总结：常见离散型、连续型随机变量函数 选+简
2024FENBI总结
2024FENBI
