04 概率与统计（30题）
常用公式
条件概率
定义:一般地,设 为两个随机事件,且 我们称
为在事件 发生的条件下,事件 发生的条件概率.
(1)
(2)当 时,当且仅当事件 相互独立时,有 ；
(3)如果 是两个互斥事件,则
离散型随机变量及其分布列
1.离散型随机变量的分布列
(1)用表格表示:(一般涉及组合数的计算)
（2）性质:
① ②
离散型随机变量的均值与方差
1.均值(或数学期望): 它反映了随机变量取值的平均水平.
2.方差:度量随机变量 取值与均值 的偏离程度
3. 标差:
4.性质:
（1）
（2）
（3）
概率模型
1.两点分布
12.二项分布:
(1)定义:在 重伯努利试验中,设每次试验中事件 发生的概率为 ,用 表示事件 发生的次数,则
的分布列为:
(2)推论:
3.超几何分布
4.正态分布
(1) 正态曲线: 我们称f(x)＝ ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,为正态密度函 数,称它的图象为正态密度
曲线.
(2)正态曲线的特点:
①非负性:对∀x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.
②定值性:曲线与x轴之间的面积为1.
③对称性:曲线是单峰的,它关于直线 x ＝ μ 对称.
④最大值:曲线在 x ＝ μ 处达到峰值.
⑤位置:当σ 一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ 的变化而沿x轴平移,如图①.
⑥体型:当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ较小时曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时,曲线
“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②.
(3)正态分布的几何意义:若X～N(μ,σ2),如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)
为区域B的面积.
(4) 原则:P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
概率模型的均值与方差
1.若X服从两点分布,则 .
2.若X～B(n,p),则 .
3. 若 ,则
成对数据的统计分析
样本相关系数
(1)样本相关系数r的取值范围为 .
(2)当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强；
2当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.
(3)注意点:
当|r|＝1时,表明成对样本数据都在一条直线上,即两个变量之间满足一种线性关系.
当r＝0时,表明成对数据间没有线性相关关系,但不排除它们之间有其他相关关系.
经验回归直线
1.最小二乘法:我们将y＝bx＋a称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回
归直线.
这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的b,a叫做b,a的最小二乘估计.
y＝bx＋a
其中
注意点:经验回归方程y＝bx＋a必过点样本点中心 .
2.残差平方和法:
越小,模型的拟合效果越好.
3.决定系数R2
可以用 来比较两个模型的拟合效果.
R2越大,模型拟合效果越好; R2越小,模型拟合效果越差.
独立性检验
1.独立性检验:利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作卡方独立性检验,简称 独
立性检验 .
2.方法:
(1)零假设(或原假设) :两个分类变量 独立；
(2) 2×2列联表:
y y 合计
1 2
x a b a＋b
1
x c d c+d
2
合计 a+c b＋d a+b +c+d
(3)公式:χ2＝,其中n＝a＋b＋c＋d.
(4)查表(题目中会给出):常用临界值表如下:
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
(5)下结论:
①当 时,我们推断 不成立,即认为 不独立,该推断犯错误的概率不超过 ；
②当 时,我们没有充分证据推断 不成立,即可以认为 独立.
基础通关练
1．（2026·山西晋城·模拟预测）某校共有 名高一学生，其中男生 人．为了解该校高一学生的数学学习水
平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了 名学生进行调查，分数分布在 分之
间．将分数不低于 分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．
3(1)求实数 的值，并估计该样本中“优等生”的人数；
(2)若样本中属于“优等生”的男生有 人，完成下列 列联表；根据小概率值 的独立性检验，能否认
为这次成绩是否优秀（分数不低于 分）与性别有关？
属于“优等生” 不属于“优等生” 合计
男生
女生
合计
附： ．
2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、
DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具
的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表：
能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具
男员工 30 15
女员工 16 9
(1)根据 的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？
(2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不
能够熟练使用AI工具的人数为 ，求 的分布列以及数学期望．
附： ，其中 ．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
43．（2026·湖南·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入 （单位：亿元）和营业额 （单位：亿元）
的数据，如下表：
/亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2
/亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660
参考数据： ， ， ， ．
参考公式：相关系数 ．
(1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额；
(2)求样本 的相关系数（精确到0.01）；
(3)已知 与 的关系可以用线性回归模型 进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模
型预测该公司今年的营业额．
4．（2026·湖北黄冈·二模）一辆汽车上有 个座位，编号从1到 ．现在编号为1到 的乘客依次上车，编号为1
的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，
如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，
编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑
选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上．
(1)当 时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率 ；
(2)当 时，设 为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为 的乘客坐在了编号为 的座位上为坐在了
自己的座位上），求随机变量 的期望．
5．（2026·四川绵阳·模拟预测）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模
拟，得到科技改造投入 （亿元）与科技改造直接收益 （亿元）的数据统计如下：
2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
513 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68
当 时，建立了y与x的两个回归模型：模型① ；模型②： ；
(1)根据下列表格中的数据，比较当 时模型①、②的相关指数 ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，
预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
182.4 79.2
（附1：刻画回归效果的相关指数 ）
(2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布 ，公司对科技改造
团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每
台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数
学期望.
（附2：随机变量 服从正态分布 ，则 ， .）
6．（2026·安徽合肥·模拟预测）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了
200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表：
每周课外阅读时长
频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15
同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，
得到如下的 列联表：
写作水平良好 写作水平一般 合计
每周课外阅读时长不低于6小时 50
每周课外阅读时长低于6小时 80
合计 200
(1)根据已知条件补全 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读
时长是否有关；
6(2)从每周课外阅读时长在 和 的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2
人参加座谈，设 表示抽取的2人中每周课外阅读时长在 的人数，求 的分布列和数学期望．
附： ．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
7．（2026·陕西西安·模拟预测）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市
充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量 （单位：万个），为方便研究，年份代码用
表示（用 分别表示2021年，2022年，…，2025年），具体参考数据如下表：
统计量
数值 15 21 55 72.6
(1)请根据表中数据，建立 关于 的回归直线方程 ；
(2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快
充桩个数为 ，求 的分布列及均值．
（参考公式： ）
8．（2026·甘肃金昌·三模）某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100人进行问卷调查，每人给出
一个评分，分数都不低于60，满分100分．统计出这100人的评分成绩，绘制出频率分布直方图如图．已知这100
人中，男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80分的男、女市民人数相等．
(1)求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例；
(2)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分；
(3)在满意度评分低于80分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出5人进行座谈，再在这
5人中选出3人作为座谈会主讲人，求3位主讲人中至少有1位男性市民的概率．
79．（2026·山西朔州·二模）某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础
信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同.
(1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率；
(2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完
毕时停止，记停止时检测的芯片总数为 ，求 的分布列与数学期望.
10．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意
义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况
如下表所示：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
购买量
0.40 0.70 1.10 1.50 1.80
（万辆）
(1)计算 与 的相关系数 （保留三位小数）；
(2)求 关于 的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量．
参考公式： ．
参考数值： ．
中档提升练
11．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区
使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.
8(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的 分位数；
(2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从 ，
［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在 年龄段的人
数为 ，求 的分布列及数学期望.
12．（2026·重庆北碚·模拟预测） 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的
答题活动， 满分 100 分. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据.
人数分数 学历
本科及以下 37 33 12 10 5 3
本科以上 20 20 10 10 30 10
(1)若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉；
学历
熟悉程度 合计
本科及以下 本科以上
熟悉
不熟悉
合计
根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与
人员学历有关系.
(2)从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中随机抽出
3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
附： ， .
0.05 0.01 0.001
93.841 6.635 10.828
13．（2026·四川泸州·模拟预测）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记
录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数 与天数 的情况，对统计得到的样本数据
作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
表中 ， .
(1)依据散点图推断， 与 哪一个更适合作为未佩戴头盔人数 与天数 的回归方程类型？（给出判
断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程.
(2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
14．（2026·陕西咸阳·三模）咸阳文旅部门统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入 （单位：万元），得到
以下数据：
月份 2 3 4 5 6
旅游收入 10 12 11 12 20
(1)根据表中所给数据，用相关系数 判断，是否可用线性回归模型拟合 与 的关系？（当 时，认为线性
相关性较强），若可以，求出 关于 之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；
(2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的 列联表，依据
10的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”．
喜欢 不喜欢 总计
男 50
女 30
总计 60
参考公式：相关系数 ，参考数据： ．
线性回归方程： ，其中
，其中 ．
临界值表：
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
15．（2026·山西运城·二模）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，
同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小
张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，
小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.
已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响.
(1)求小张周日打羽毛球的概率；
(2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率；
(3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为 ，求 的数学期望．
16．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛
的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为 ，乙、丙之间的胜率
互为 ．
11(1)求甲连续打前四局比赛的概率；
(2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；
(3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为 ，求 的分布列和期望．
17．（2026·河北雄安·模拟预测）当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条
路径.
(1)小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别为 ，求小李、小
王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率.
(2)若小刘决定连续两天去爬山，事件 “小刘第一天选择①路径爬山”， “小刘第二天选择②路径爬山”，
且 .若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择①路径爬山的概率为 ；若小刘第一天选择②路径爬山，
则第二天选择①路径爬山的概率为 .求 .
(3)有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为“有效”和“无效”.在对
全体登山队员的登山速度的提高做出评定后，从中随机抽取一人，登山速度的提高为“有效”的概率为0.88.现从
全体登山队员中随机抽取一人，若此人登山速度的提高为“有效”，则继续抽取下一人，直到抽取到登山速度的提高为
“无效”的人为止.若抽取的次数为 ，且 （ 且 ） ，求 的最大值.
（参考数据： ）
18．（2026·甘肃金昌·三模）甲､乙两人参加射击比赛，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，甲､乙
射击比赛得分规则是：一次击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分.甲､乙同时射击，且是否击中目标，
互不影响.
(1)甲､乙同时射击1次，求甲得1分的概率；
(2)甲､乙同时射击2次，记甲的得分为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)甲､乙同时射击 次，甲的总得分与乙的总得分相等，求证：甲､乙两人击中目标的次数相等.
1219．（2026·上海松江·模拟预测）质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指
标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：
(1)写出频率分布直方图（甲）中 的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为 ，试比较
与 的大小（只要求写出结果）；
(2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率；
(3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布 .其中 近似为样本平均数
近似为样本方差 ，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于 的桶数，求X的数
学期望.（结果保留两位小数）
注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若 ，则
.
20．（2026·辽宁沈阳·三模）某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量 （单位
kg/亩）越大，青菜产量 （单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表：
施肥量 2 3 4 5 6
430 438
青菜产量 4200 4350 4400
0 0
根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足 的关系，取 ，经计算可知
， ， ， ，
13(1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程 ，并结合常识描述 的实际意义，为简化计
算，计算过程中 、 均精确到个位数.
(2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量.
参考公式： ， .
冲刺满分练
21．（2026·浙江温州·二模）在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.
工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为 个单位，向“负方向姿态修正一次”记为 个单位.假
设向正负方向姿态修正是等可能的.
(1)求6次姿态修正后达到 个单位的概率；
(2)以下三种情况将导致校准流程终止：
情况1：累计姿态偏移达到 个单位（校准到位）；
情况2：累计姿态偏移达到 个单位（需紧急干预）；
情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.
（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；
（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求 ．
22．（2026·河南郑州·二模）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到 的 张奖券，不同的奖券标号对应不
同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券 次，每次抽取一张奖券，抽取结果中
标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为 ．
(1)当 时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率．
(2)若 ．
①求最终拿到标号不大于 的奖券的概率；
②求随机变量 的期望 （用 表示）．
14(3)当 时，证明： ．
23．（2026·福建·二模）某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量 的分布列为
其中 ， ．
(1)当 时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；
(2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为 ，每个盲盒是否为封面款相互
独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随
机选取一人．
（i）求该顾客为幸运客户的概率 ；
（ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过 ，求 的取值范围．
24．（2026·四川广元·三模）某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行
落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为 ，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立
即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记 为恰好
次测试后成功终止的概率．
(1)求 ， ；
(2)求 ；
(3)该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成
功概率将在原有基础上增加 ，（ ，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次
空翻的成功概率会重置为初始值 ．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益
15时最终“成功终止”的概率提升至少 ，求满足条件的 的最小值．
25．（2026·陕西咸阳·三模）某校举办了一场以“新质生产力·青春创未来”为主题的知识与能力挑战赛.比赛题库
中有选择题和填空题两种题型，且数目相同，每次答题从中随机抽取1题进行作答，每次答题（无论对错）后，
该题都会被移除，系统会补充1道同题型的新题，使比赛题库中的选择题和填空题的数目始终保持相同.答对1道
选择题可获得1分，答对1道填空题可获得2分，若答对，继续从补充题目后的比赛题库中随机抽取1题进行作答；
若答错，立即停止答题，比赛结束.已知甲同学答对每道选择题的概率均为 ，答对每道填空题的概率均为 ，且
每道题答对与否互不影响．
(1)记甲同学进行1次答题后的得分为 ，求 的分布列及数学期望 ；
(2)比赛结束前，记甲同学累计得分达到 的概率为 ．
（i）求 ；
（ii）求 ．（用含 的式子表达）
26．（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场
乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k
次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场
乒乓球比赛中每人获胜的概率均为 ，每次抽奖每人中奖的概率均为 ，且各场比赛结果、每次抽奖结
果互不影响．
(1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率；
(2)记甲在游戏中总得分为2的概率为 ，求 的最小值；
(3)若 ，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求 ．
1627．（2026·湖南永州·三模）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为 ，乙每次投篮的
命中率均为 ．
(1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率；
(2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进
两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机
变量 的分布列与数学期望；
(3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续 次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为 ，随机变
量 的数学期望为 ，记 ．写出 与 的递推关系，并求数列 的前 项和 ．
28．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流
行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌 和致病菌 共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈．
(1)现有一种对疾病 的试剂检测方法，该检验方法对患病 的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病 的
人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病 的患病率为
0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）；
(2)对疾病 有效治疗的药物有 ， 两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3
天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠
自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物 杀灭致病菌 和致病菌 的概率分别为 ，药物 杀灭致病
菌 和致病菌 的概率均为 ，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可
使得痊愈的平均天数更短？
29．（2026·四川宜宾·三模）某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况.现有 份产品
样本（ 足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验 次；方式二：混合检验，将其中k份产
17品样本混合检验，若混合样本合格，说明这 份产品样本全部合格，只需检验1次；若混合样本不合格，为了明确
具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样本再分别检验一次，检验总次数为 次.
(1)现有5份不同的产品样本，其中只有2份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把不
合格的产品样本全部判断出来的概率；
(2)假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为 .
（i）现取其中k份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为 ；记采用混合检验方式样本需要检
验的总次数为 ，当 时，求p关于k的函数关系式 ；
（ii）现将n份产品样本随机分为m组，每组k（k为n的正因数）份，然后将各组k份产品样本进行混合检验.设
该种方法需要检验的总次数为X，当 时，求p的取值范围并解释其实际意义.
30．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙
包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：
游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到 次，则游戏立即结束并获奖，若投掷 次 且
后仍未累计命中 次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得 分，未命中记得 分，当累计得分达到 分，
则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到 分，游戏立即结束，无法获奖.
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命
中率为 ；乙同学参加游戏二，每次命中率为 .
(1)当 时，记甲同学投掷次数为 ，求 的分布列及期望；
(2)当 且 时，求甲同学获奖的概率（用含 的表达式表示）；
(3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过 次的概率为 ；若乙同学获奖概率不小于 ，求 的最小值.
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