秘籍04解三角形最值、范围与图形题型归类（9大题型）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

秘籍 04 解三角形最值、范围与图形归类 概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 题型预测 解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 考向预测 解三角形 作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型， 无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占10分，难度不大也适应了新高考的新 题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握。 【题型一】 最值与范围：角与对边 注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边 的齐次式或关于角的正弦 的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三 角函数形式，利用此角的范围求得结论． 1.已知 的内角 所对的边分别为 （1）求 ； （2）已知 ，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 解（1）由 可得 即 ，则 ， 所以 （2） ， 即 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 所以三角形周长的取值范围是2.在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 . （1）求角A的值； （2）若 ，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【详解】（1） ， 由余弦定理可得： ， 由正弦定理可得： ，整理可得： ， ， ， 可得： ， ， （2） ， ， ， ， ， 设周长为y，则 ， ， ， ， ， . 周长的取值范围是 . 3.在锐角三角形 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且 . （1）求 的大小； （2）若 ，求 的周长 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【详解】 （1）∵ ，∴ ①，∵ ， ∴ ②，又 ③， ④， 将①②③④代入已知，得 ， 得 ，即 ，又 ，∴ ，即 . （2）由正弦定理得， ∵ ，∴ ，∴ ， 的周长 的取值范围 . 1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在 ABC中，内角A，B，C的对应边分别为 △ a，b，c，已知 ，且 ABC的面积为 ，则 ABC周长的最小值为（ ） △ △ A． B．6 C． D． 【答案】B 【详解】由题设及三角形内角和性质： ， 根据正弦定理及诱导公式得 ， ， ， ，即 ， ，则 ，则 ，解得 ,则 ， 所以 ，则 ， 又 仅当 时等号成立， 根据余弦定理得 ，即 ，设 的周长为 ，则 ， 设 ，则 ， 根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得： 在 上为单调增函数， 故 ，故 ，当且仅当 时取等. 故选：B 2．（2023·陕西商洛·统考二模）在 中，已知 为 的中点， ，则 的最 小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在 中，由余弦定理得 ， 在 中，由余弦定理得 ， 又 ，所以 ，所以 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立， 在 中， 由余弦定理得 ， 所以 的最小值为 . 故选：A. 3．（2023·青海·校联考模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且 ，则 的取值范围是______．【答案】 【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得 ， 因为 ，所以 ， 可得 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， ， 由 ， 可得 ， 所以 ， ， 由正弦定理得 . 故答案为： . 【题型二】 最值与范围：角与邻边 三角形中最值范围问题的解题思路： 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化 为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。 涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时 可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边 的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大1.．在△ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ． （1）求角B； （2）若△ 为锐角三角形，且 ，求△ 面积的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【详解】（1）由题设及正弦定理得 因为 ，所以 ． 由 ，可得 ，故 ． 因为 ，故 ，由 ． （2）由题设及（1）知 的面积 ．由正弦定理得 ． 由于 为锐角三角形，故 ， ，由（1）知 ，所以 ， 故 ，所以 ，从而 ． 因此， 面积的取值范围是 ． 2.在 中，设 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 . （1）求 ； （2）若 ，且 为锐角三角形，求 的面积 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【详解】（1） ∴ ∴ ∴ ，而 ∴ ， ，∴ ． （2） ∴ 为锐角三角形∴ 且 即∴ ∴ ∴ ． 3.已知 为锐角三角形，角 所对边分别为 ， 满足： . （1）求角 的取值范围； （2）当角 取最大值时，若 ，求 的周长的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【详解】 （1）由正弦定理可得： ，即 ， ，又 ， 的取值范围为 ； （2）由（1）知： ；由正弦定理 得： ， ， ， 周长 ， ， 为锐角三角形， ，即 ，解得： ， 令 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递减， ， ， 即 周长的取值范围为 . 1．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）在 中，角 所对的边分别是 .已知 .(1)若 ，求 ； (2)求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得 ，又 ， 得 ， ， ， 所以 或 ， 得 或 (舍去)， 若 ，则 ； （2） ， 由正弦定理，得 ， 由（1）知 ，得 ， 又 ， 所以 ， 即 ， 而 ，所以 ，得 ， 故 ，即 . 2．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知圆 是 的外接圆，圆 的直径 .设 ，， ，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题， ① ； ② ； ③ 的面积为 .选择条件______. (1)求 的值； (2)求 的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若选①，因为 ， 由正弦定理可得 ， 显然 ，所以 ， 即 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ， 因为 外接圆的半径 ，所以 . 若选②，因为 ， 所以 ， 即 ， 所以 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ， 因为 外接圆的半径 ，所以 . 若选③， 的面积为 ，则 ， 由余弦定理可得 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ， 因为 外接圆的半径 ，所以 . （2）由题知 ，设 ， ， 由正弦定理 ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 . 3．（2023·河北唐山·统考二模）已知 的内角 的对边分别为 ， (1)求 的值； (2)若 ，求 面积 的最大值．【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）因为 ，由正弦定理得， 由余弦定理得， ， 整理得 ； （2）因为 ，因为 ，由（1）可得 ，则 .， 又 ，即 ，当且仅当 时等号成立. 于是 所以 的最大值为 . 【题型三】 范围与最值：有角无边型 1. 三角形 中，已知 ，其中，角 所对的边分别为 . （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的取值范围. 2π 2√3 C= ∈(1, ] 3 3 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得： 由余弦定理得： ， . (Ⅱ)由正弦定理得：又 ， ， ， 而 ， ， ， . (abc)(abc) 3ac 2.在锐角三角形ABC,若 (I)求角B 3sin AcosA (II)求 的取值范围 B  600  3  2sin(A300) 2 【答案】（I） ；（II） (abc)(abc) 3ac  【解析】(I) a2 c2 b2 ac 1 cosB    化简得a2 c2 b2  ac 2ac 2ac 2 B  600 3 1 3sin AcosA 2( sin A cosA)  2sin(A300)  2 2 （II） 由三角形ABC为锐角三角形，  B  600,AC 1200,C 1200  A00  A900且00 1200  A900 3  sin(A300)1 300  A900,600  A300 1200 2  解得  3  2sin(A300) 2 3.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ． （Ⅰ）若 ， ，求b （Ⅱ）求 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） ． 【解析】 （Ⅰ）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ， 由 为锐角三角形得 ．根据余弦定理，得 ．所以， ． （Ⅱ） ．由 为锐角三角形知， ， ． ，所以 ． 由此有 ，所以 的取值范围为 ． 1．（2023·青海西宁·统考二模）在 中，内角 的对边分别为 ， ， ，且 . (1)求角 的大小； (2)若 ， 是边 上的一点，且 ，求线段 的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ，由正弦定理得 ， 又 ，所以 ， 所以 ，即 ， ， 又 ， 所以 ，所以 ，所以 ； （2）在 中，由正弦定理得 ， 所以 .因为 ，所以 ， 在 中，由余弦定理得 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 ，即线段 的最大值为 . 2．（2015·甘肃兰州·统考一模）已知在 中，角 所对的边分别是 ，且 (1)求 的大小； (2)若 ，求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据 ，由正弦定理得 ， 整理得 ，即 ， 又 ，所以 ； 即A的大小为 . （2）因为 ,所以 ，又 ，所以 ； 所以 又因为 ， 则 ，所以 （当且仅当 时，等号成立）， 可得 ， 即 的取值范围是 3．（2023·广西·统考一模）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 . (1)求C； (2)若角C的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 由正弦定理得 ， 即 ， 所以 ，又 ，则 ， 所以 ， 又因 ，所以 ； （2）因为角C的平分线交AB于点D， 所以 ， 由 ，得 ， 即 ，所以 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最小值为 . 【题型四】 图形：内切圆与外接圆 外接圆： 1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角 形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径 内切圆：等面积构造法求半径1. 锐角 的三个内角是 ，满足 ． (1)求角 的大小及角 的取值范围； (2)若 的外接圆的圆心为 ，且 ，求 的取值范围． 【答案】(1) ，角 的取值范围为 ； (2) (1)设 的外接圆的半径为 ，因为 ，由正弦定理可得 ， ， ，所以 ，又 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ，因为 为锐角三角形，所以 ， ，所以 ， 所以角 的取值范围为 ； (2)由已知 为 的外接圆的圆心，所以 ，因为 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ，所以 ，设 ，则 ， 又 ，所以 所以 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 的取值范围为 .2.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （1）求 ； （2）若 ， ，求 的内切圆半径. 【答案】（1） ；（2） . 【详解】（1）根据题意 ，且 ， ∴ ， ， 由正弦定理得 ， 因为 ，故 ，即 ， ∵ ， ，∴ ，即 ， . （2）由题意可得： ，解得： ， 设 内切圆半径为 ，∴ ， 又 ，解得 ，∴ 内切圆半径 . 3.在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，且 ． (1)求角 和边 的大小； (2)求△ 的内切圆半径． 【答案】(1) ， (2) 【分析】 (1)由 可得 ， ∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，又∵ , ∴ ．由余弦定理可得 ，∴ ． (2)由（1）知 ，故△ 为直角三角形，设△ 的内切圆半径为 ． 由等面积法可知 ， 即 ，解得： . 1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图， 为半圆（ 为直径）上一动点， ， ， ，记 . (1)当 时，求 的长； (2)当 周长最大时，求 . 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在 中， ， ， ， ∴ ， ，且 在以 为直径的圆上， ∴ ， 在 中， ， ， 由正弦定理， ，解得 . （2）在 中， ， ， 由余弦定理，即 ， ∴ ，∴ ， 当且仅当 时取等号， ∴ ，∴ ， 即当 时， 周长最大，此时 ∴ . 2．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）如图，已知锐角 为圆O的内接三角形，圆O的半径为 R，且 ，∠BAC的平分线交边BC于点D，且点D为边BC上靠近点B的三等分点， ， 则 的面积为______． 【答案】 【详解】因为 ，所以根据正弦定理，得 ， 又因为 为锐角，得 ，由题可知 ， 因为 ，所以 ，即 ，化简得 ， 设 ，在 中， 因为 ，所以 ，化简得 ， 所以 ，又 ，所以 ，则 ， 在 中， ， ， 所以 . 故答案为： 3．（2023春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）锐角 中，内角 所对的边分别为 ， 且 ， . (1)求证： ； (2)将 延长至 ，使得 ，记 的内切圆与边 相切于点 ， 是否为定值？若是，求 出该定值，若不是，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) 为定值 【详解】（1）由 ， 得： ， 即 ，整理得： ， 由正弦定理得： ， 又 ， ， ， ，又 ， ， ， . （2）由（1）得： ， ，又 ， 整理可得： ， ，设内切圆圆心为 ，内切圆与边 分别相切于点 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， 又 ， . 【题型五】图形：“补角”三角形 1. 如图， 是边长为3的等边三角形，线段 交 于点 ， . (1)求 ； (2)若 ，求 长. 【答案】(1) (2) （1）解：在 中，由余弦定理可得 ，代入数据可得 ， ，由正弦定理可得 ，所以 ； （2） 在 中，由（1）及余弦定理得 ， ，又 ， 在 中，由余弦定理可得 ，故 . 2.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6， ， ，点D在边BC 上，且∠ADC＝60°． (1)求cosB与△ABC的面积； (2)求线段AD的长． 【答案】(1) ； (2)4 (1)根据题意得： ，则 ∴△ABC的面积 (2)∵∠ADC＝60°，则 在△ABD中由正弦定理 ，可得 3.如图，在平面四边形 中， ， ， .(1)当 ， 时，求 的面积； (2)当 ， 时，求 . 【答案】(1) ；(2) . (1) 当 时，在 中，由余弦定理得 ， 即 ，解得 ， ， 因为 ，则 ，又 ， 所以 的面积是 . (2) 在 中，由正弦定理得 ，即 ， 在 中，由正弦定理得 ，即 ， 则 ，整理得 ，而 ， 为 锐角， 所以 . 1．（2023春·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中， ，， ，CD=4，AB=2，则AC=___________. 【答案】 【详解】在 中，由正弦定理可得： ， 所以 ①， 在 中，由正弦定理可得： ， 所以 ②， 又因为 ，所以由①②可得： ， 解得： ， 所以在 中，由余弦定理得： ， 解得： . 故答案为: . 2．（2023春·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）如图，在平面四边形 中，若 ， ， ， ， ．(1)求B； (2)求证： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）在 中，因为 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 又 ，所以 ， 因为 ，所以 ； （2）在 中， ， 则 ， 所以 ， 则 ， 在 中， ， ， ， 则 ， 因为 且 ， 所以 . 3．（2023·重庆·统考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ， ． (1)求 ；(2)若 ， 边上的高线长 ，求 ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得 ； （2） ， ， ， ， ， ， ， ， ，又 ， ，， ， ， . 【题型六】图形：四边形与多边形 1. 例题1.如图，在平面四边形ABCD中， ， . (1)若 的面积为 ，求AC； (2)在（1）的条件下，若 ，求 . 【答案】(1) ；(2) . （1）在 中， ， ， 的面积为 ，所以 ， 即 ，解得 .在 中，由余弦定理得 ， 所以 ，解得 ；（2）因为 ， ，AD=9，在 中，由正弦定理 ， 所以 ．所以 ． 2.如图，在四边形 中， ． (1)证明： 为直角三角形； (2)若 ，求四边形 面积S的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2)12 （1）∵ ，由 与余弦定理∴ ，整理得， ，∴ ．∴ 为直角三角形． （ 2 ） ∵ ， ∴ ． 由 ， 得 ． ．（当且仅当 时 取等号）所以四边形 面积S的最大值为12． 3.如图所示，在平面五边形 中，已知 ， ， ， ， . (1)当 时，求 ； (2)当五边形 的面积 时，求 的取值范围. 【答案】(1) ；(2) . (1)连接 ，由五边形内角和得： ，∴ ，则四边形 为等腰梯形，则 ，又 ， ，故 ， ， 所以在 中 ，由余弦定理得 ，∴ ， 过 点作 于 ，可得 ，∴ ； (2) 由 ，又五边形 的面积 ，∴ ， 设 ，则 ， 整理得 ，解得 或 ， 又 ，即 ，∴ 的取值范围是 . 1．（2023·新疆阿克苏·校考一模）在如图所示的平面四边形 中， ， ，记 ， 的面积分别为 ，则 的最大值为__________． 【答案】 【详解】在 中，由余弦定理得： ； 在 中，由余弦定理得： ；，整理可得： ； ， ， ， 则当 时， . 故答案为： . 2．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）在 中， 为 的角平分线上一点，且 与 分别位于边 的两侧，若 (1)求 的面积; (2)若 ，求 的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在 中， ， 即 ，解得 (负根舍)， 所以 .（2）因为 ， 平分 ，所以 ， 又 ，所以 ， 在 中，由正弦定理，得 ，① 在 中，由正弦定理，得 ，② ① ②，得 ，所以 ， 又 ，且 ，所以 ， 将 代入②，得 ，所以 . 3．（2023·山东菏泽·统考一模）如图,在平面四边形 中, , . (1)试用 表示 的长; (2)求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （ ）, , , ，则 在 中, ,,则 . （2）在 中, , 则当 时,取到最大值 . 故 的最大值是 【题型七】三大线：角平分线应用 角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）： 1．（2023·山东德州·统考一模）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ． (1)求证： ； (2)若 的角平分线交BC于 ，且 ，求 面积的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为 ，由正弦定理得 又 ，所以 因为 为锐角三角形，所以 ， ， 又 在 上单调递增，所以 ，即 ； （2）由（1）可知， ，所以在 中， ， 由正弦定理得： ，所以 ， 所以 ． 又因为 为锐角三角形，所以 ， ， ，解得 ， 所以 ，即 面积的取值范围为 ． 2．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）记 的内角 ､ ､ 的对边分别为 ､ ､ ，已知 . (1)证明： ； (2)若 ， ，角 的内角平分线与边 交于点 ，求 的长. 【答案】(1)证明见解析； (2) . 【详解】（1）证明：因为 ，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ； （2）由余弦定理得： ， ， 又 ， 所以 ， ， 由角平分线定理可得， ， ， 在 中，由余弦定理得： ， 所以 . 3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且 . (1)求角B； (2)设 的角平分线 交 于点D，若 ，求 的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知及正弦定理得： ， 又在 中， ,∴ ， 即 ， 又 ，∴ , 又 ，∴ ，即角B的大小为 . （2）∵ . 是 的角平分线，而 ， ∴ ， 即 ，∴ . ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，即 , 当且仅当 时取等号，则 ， 即 的面积的最小值为 . 1．（2023·全国·校联考二模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . (1)求角 的大小； (2)若 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ，求 面积的最大值. 【答案】(1) ； (2) .【详解】（1）由正弦定理及 ， 得 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 所以 ， 所以 . 因为 ，所以 ， 所以 ，故 . （2）因为 为角 的平分线， 为角 的平分线， 所以 ， 所以 ， 又 ， 所以 . 由余弦定理知 ， 所以 ， 故 ， 即 ， 当且仅当 时，等号成立.所以 ， 即 面积的最大值为 . 2．（2023·浙江·模拟预测）已知锐角 ，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 ． (1)证明： ； (2)若 为 的角平分线，交AB于D点，且 ．求 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为 ，由正弦定理 得： ，又 ， 所以 ，整理得 ． 又 ，则 ，即 . （2）因为 为 的平分线，且 ， 所以 ，则 ， 所以 ，可得 ， 因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 在 中，由余弦定理可得，所以 ， 由正弦定理 得 . 3．（2023·山东济南·一模）已知函数 ． (1)求 的单调递减区间； (2) 中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，求A的内角平分线 的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 所以 ， , 解得 ， , 所以 的单调递减区间为 ． （2）因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 故 ， 由题意知， ， 所以 ，即 ， 所以 ． 【题型八】三大线：中线应用 中线的处理方法 1.向量法： 2. 双余弦定理法（补角法）： 如图设 ， 在 中，由余弦定理得 ，① 在 中，由余弦定理得 ，② 因为 ，所以 所以①+②式即可 3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形 4.中线分割的俩三角形面积相等 1．（2023·重庆九龙坡·统考二模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 . (1)求角A；(2)若 ， 的面积为 ，求边BC的中线AD的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ,所以 , 可得 , 又由两角和差正弦公式可得 , , ， 所以 , . （2）因为 ,所以 , 因为余弦定理得 ,又已知 , 可得 ,即得 . 因为BC的中线AD,可得 , . 2．（2023·湖南常德·二模）在 中， ， ， 边中线 . (1)求 的值； (2)求 的面积．【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ，所以由正弦定理可得 因为 ，所以 ，因为 ，所以 . （2）因为 ， ，可知 为等腰三角形. 在 中，由余弦定理可得 即 ，解得 . 所以 的面积为 . 3．（2023·北京顺义·统考一模）在 中， ． (1)求b； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求 的面积． 条件①： ； 条件②： 边上中线的长为 ； 条件③： ． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 在 中，由正弦定理 ，可得： ， △又因为 ， 所以 . （2）选择条件①；由 ， ， 以及余弦定理得 ， 该方程无解，故此时三角形不存在，故不能选择条件① 选择条件② 设 边上的中线为 ，则 ， ， 在 中，由余弦定理得： △ ， 因为 ， ，所以 ， 所以 的面积为 . △ 选择条件③ 方法1： 由题设，因为 ，所以 ， 因为 ，所以 因为 ，所以 ，所以 ， 由余弦定理 可得： ， 整理得 ，解得 （舍）， 因为 ， ，所以 ， 所以 的面积为 . △ 方法2：由题设，因为 ，所以 ，因为 ，所以 在 中，因为 ，所以 ，即 ，所以 ， △ 所以 ， 因为 ， ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 的面积为 . △ 方法3：因为 且 ， 所以 或 ， 因为 ，所以 ， 又因为 ， 所以 即 ， 所以 为等腰三角形，设 边上的高为 ，则 ， △ 由勾股定理 ， 所以△ 的面积为 . 1．（2023·浙江杭州·统考一模）已知 中角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足， ． (1)求角A； (2)若 ， 边上中线 ，求 的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 所以由正弦定理得 ， ， ，即 ， ， ， ， ； （2） ， 则 ， 即 ， 而 ， 边上中线 ， 故 ，解得 ， ． 2．（2023·河南·校联考模拟预测）在 ABC中，D是边BC上的点， ， ，AD平分 △ ∠BAC， ABD的面积是 ACD的面积的两倍． △ △(1)求 ACD的面积； (2)求△ABC的边BC上的中线AE的长． △ 【答案】(1) (2) ． 【详解】（1）由已知及正弦定理可得： ， 化简得： ． 又因为： ，所以 ， 所以 ， 所以 ACD的面积为 ． △ （2）由（1）可知 ，因为AE是 ABC的边BC上的中线， △ 所以 ， 所以 ， 所以 ABC的边BC上的中线AE的长为 ． △ 3．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知a，b，c分别为 的内角A，B，C的对边，，且 ． (1)求角 的大小； (2)若 的外接圆面积为 ，求 边上的中线长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 根据正弦定理可得： ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 . 故 . （2） 如图，取 中点 ，连接 ， 记 的外接圆的半径为 ，则 ，解得 . 根据正弦定理可得 ， 因为 ，所以 ，即 . 根据余弦定理可得： 所以 ，故 边上的中线长为 【题型九】三大线：高的应用 高的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法： 1．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知 中，点 在边 上，满足 ，且 ， 的面积与 面积的比为 ． (1)求 的值； (2)若 ，求边 上的高 的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵ ， ∴ 为 的平分线，在 与 中，根据正弦定理可得： 两式相比可得： 又 的面积与 面积的比为 ， ∴ ， 即 ，且 ， 由 得 ， ∴ 且 为锐角，∴ ． 故答案为： （2）由（1）知 为锐角，且 ， 因此 ， 又 ，所以在 中由余弦定理得 ， 解得： ， ∵ ∴ ． 故答案为：2．（2023·内蒙古包头·统考一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ． (1)求A； (2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得 唯一确定，当唯一确 定时，求边 上的高h． 条件①： ；条件②： ． 【答案】(1) (2)见解析. 【详解】（1）在 中， ， 由 及正弦定理得 ， 由余弦定理得 ， 化简得 ，所以 ， 结合 ，得 ． （2）若增加条件①： ， ． 因为 ， 由 ，得 ，或 ， 所以 不能唯一确定，不合题意． 若增加条件②： ． 将 代入 ，得 ，解得 ，或 （舍去）．此时 唯一确定． 由 ，得 ． 所以 ． 3．（2023·内蒙古包头·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ． (1)求 ； (2)若 ， ，试求边 上的高h． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在 中，有 ， 由正弦定理得 ， 再由余弦定理得 ， 化简得 ， 所以 ， 又 ，所以 ． （2）结合（1），将 ， ，代入 中， 得 ，解得 ，或 （舍去）． 由 ，得 ．1．（2023·江西·统考模拟预测）若四棱锥 的棱 ， 的长均为2，其余各棱长均为 ，则该 四棱锥的高为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】如图连接 ， ，交点为 ， ， ， ， ， ， 由题意得 ， ， ，即 ， 又 ，所以 ， ， 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 ， 过点 作 ，垂足为 ，由面面垂直的性质可知 平面 ，连接 ， ， ， ， ， 平面 ， ， ， 由 ， 是公共边， ， ，同理可得 ， ， ， ， 四点在以 为直径的圆周上，所以 ，即 ，所以 ， 在 和 中分别利用余弦定理可得 ， 即 ， ，所以 ， ， 即 ，所以 ， 设 外接圆的半径为 ，则 ，所以 ， 即 ，所以 ， 即该四棱锥的高为 . 故选：B 2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和 “表”两个部件组成.圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器.所谓高表测影法，通俗的 说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化.垂直于地面的直 杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图1，利用正午时太阳照在表上， 表在圭上的影长来确定节令．已知某地夏至和冬至正午时，太阳光线与地面所成角分别约为 ， ，如图 2，若影长之差 尺，则表高AB为（ ）尺．A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设 ，则 . 故选：C 3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设 的内角A，B，C所对的边分别为 ， ， ，且有 ． (1)求角A； (2)若BC边上的高 ，求 ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）由题意得： ， 则 ， 有 ，即 ，因为 所以 ． （2）（2）由 ，则 ，所以 ， 有 ，则 ， 又 ，则 ．高考模拟练习 1．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知圆台 的上、下底面半径分别为r，R，高为h， 平面 经过圆台 的两条母线，设 截此圆台所得的截面面积为S，则（ ） A．当 时，S的最大值为 B．当 时，S的最大值为 C．当 时，S的最大值为 D．当 时，S的最大值为 【答案】D 【详解】如图,将圆台 补成圆锥 . 设圆台 的母线长为 ,则 ,等腰梯形 为过两母线的截面. 设 ，由 ，得 , 则 ， 当 时， ，当 最大，即截面为轴截面时面积最大， 则 的最大值为 .当 时, ，当 时，截面面积最大， 则 的最大值为 . 故选：D. 2．（2023·四川达州·统考二模）如图，在 中， ， ， ，平面 ABC内的点D，E在直线AB两侧， 与 都是以B为直角顶点的等腰直角三角形， ， 分别 是 ， 的重心，则 （ ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】连接 交 于 点，连接 交 于 点，在 内，由正弦定理得 ， 因为 ， 所以 ，所以 ， 因为 是等腰直角三角形， 是 的重心，所以 为 边上 的中线，且 ， 因为 ， 所以 ， 因为 为等腰直角三角形， 是 的重心，所以 为 边上 的中线，且 ，因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ，所以 . 故选：A. 3．（2023·江西宜春·统考一模）如图所示，在等腰梯形 中， ，现将梯形 依次绕着 各点顺时针翻转，则在第一次绕着点 翻转的过程中，对角线 扫过的平面区域 面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设 ， ， 又 ，则 ， 所以 ，又 ，可得 ，故 ， 所以第一次绕着点 翻转的过程的翻转角为 ，而 ，故对角线 扫过的平面区域面积为 . 故选：D 4．（2023·河北保定·统考一模）保定市主城区开展提升城市“新颜值”行动以来，有一街边旧房拆除后， 打算改建成矩形花圃 ，中间划分出直角三角形 区域种玫瑰，直角顶点 在边 上，且距离 点 ，距离 点 ，且 、 两点分别在边 和 上，已知 ，则玫瑰园的最小面积为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示， 设 ，则 ， ， 所以 ， ， 所以 ， 又 、 两点分别在边 和 上， 所以 ， ，所以 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 ， 即 的最小值为 ， 故选：A. 5．（2023·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的 接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体 建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10° ≈ 0.985） A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m 【答案】B 【详解】如图， 设球的半径为 ， ， ， 故选：B 6．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁 的截面，其中 是房梁与该截面的交点， ， 分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂 面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子 与 之间的距离是 （ 为测量单位），柱子 与 之间的 距离是 ．如果把 ， 视作线段，记 ， ， 是 的四等分点， ， ， 是 的四等分点，若 ，则线段 的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，如图所示：其中点 与点 重合， 因为该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称， ， ， 是 的四等分点， ， ， 是 的四等分点 所以 ， ， ， 所以 为直角三角形，四边形 为矩形， 所以 且 ， 又 ，所以 ， 在 中，由余弦定理得：， 所以 ， 所以 . 故选：A. 7．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）某种平面铰链四杆机构的示意图如图1所示，AC与BD 的交点在四边形ABCD的内部．固定杆BC的长度为 ，旋转杆AB的长度为1，AB可绕着连接点B转动， 在转动过程中，伸缩杆AD和CD同时进行伸缩，使得AD和CD的夹角为45°，AD的长度是CD的长度的 倍．如图2，若在连接点B，D之间加装一根伸缩杆BD，则伸缩杆BD的长度的最大值为______． 【答案】 【详解】设 ，且 ， 在 中，由余弦定理得 ， 又由正弦定理得 ，则 ， 在 中， ， ，则 ，且 ， 在 中，由余弦定理得 ， 所以当 时， 取最大值1，可得 的最大值为9，所以 长度的最大值为 ． 故答案为： . 8．（2023·江西·统考模拟预测）毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的 一个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2， 为锐角三角形，面 积为 ，以 的三边为边长的正方形中心分别为 ，则 的最小值为___________. 【答案】 / 【详解】由题意知， ， 又 ，即 ，得 ， 由余弦定理，得 ， 在 中， ， 由余弦定理可得 ， 又 ，所以 ，则 . 同理 ，故 . 因为 ，当且仅当 时等号成立， 故 . 故答案为： . 9．（2023·辽宁大连·统考一模）从下列条件中选择一个条件补充到题目中： ① ，其中 为 的面积，② ，③ ． 在 中，角 ， ， 对应边分别为 ， ， ，_______________． (1)求角 ； (2)若 为边 的中点， ，求 的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选①，由余弦定理得： ， 又 ，所以 ， 得 ， 因为 ，所以 ． 选②，因为 ，由正弦定理得： ， 整理得： ， 由余弦定理得： ， 因为 ，所以 ． 选③，因为 ，由正弦定理得： ，即 ， 又因为 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． （2）在 中，设 ， 由正弦定理得 ， 所以 ， ， ∴ ，其中 ， 当 时取等号，所以 的最大值是 ． 10．（2021·全国·模拟预测）如图，已知△ABC与△ADC关于直线AC对称，把△ADC绕点A逆时针旋转 ，得到△AFE，若B，C，E，F四点共线，且 ， . (1)求BC；(2)求△ADE的面积. 【答案】(1) (2) (1) 解法一： （1）由题意可得 ， ， 所以△ACE为正三角形，（旋转前后图形的大小､形状相同及旋转角度得到△ACE为正三角形），则 ，在△ABC中， ， ，设 ， 则由余弦定理可得 ， 即 ， 整理得 ，得 （负值舍去），所以 ； 解法二： （1）由题意可得 ， ， 所以△ACE为正三角形，（旋转前后图形的大小､形状相同及旋转角度得到△ACE为正三角形），则 ，在△ABC中， ， ，由正弦定理得： ，所以 ，易得 ， 所以 ， 在△ABC中，由正弦定理得 ，即 ，得 ； (2) 解法一：（2）在△ABC中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 所以 . 在△ADE中， ， ， 所以△ADE的面积 . 解法二： （2）由（1）知 ，易得 ， 所以 ，在 △ADE中， ， ， 所以△ADE的面积 .