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秘籍 04 解三角形最值、范围与图形归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 解三角形
作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型，
无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占10分，难度不大也适应了新高考的新
题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握。
【题型一】 最值与范围：角与对边
注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边 的齐次式或关于角的正弦
的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三
角函数形式，利用此角的范围求得结论．
1.已知 的内角 所对的边分别为
（1）求 ；
（2）已知 ，求三角形周长的取值范围.
2.在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 .
（1）求角A的值；
（2）若 ，求三角形周长的取值范围.
3.在锐角三角形 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且
.
（1）求 的大小；
（2）若 ，求 的周长 的取值范围.1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为
a，b，c，已知 ，且△ABC的面积为 ，则△ABC周长的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
2．（2023·陕西商洛·统考二模）在 中，已知 为 的中点， ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·青海·校联考模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且
，则 的取值范围是______．
【题型二】 最值与范围：角与邻边
三角形中最值范围问题的解题思路：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化
为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。
涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时
可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边
的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大
1.．在△ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ．
（1）求角B；
（2）若△ 为锐角三角形，且 ，求△ 面积的取值范围．
2.在 中，设 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 为锐角三角形，求 的面积 的取值范围.
3.已知 为锐角三角形，角 所对边分别为 ， 满足： .
（1）求角 的取值范围；
（2）当角 取最大值时，若 ，求 的周长的取值范围.1．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）在 中，角 所对的边分别是 .已知 .
(1)若 ，求 ；
(2)求 的取值范围.
2．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知圆 是 的外接圆，圆 的直径 .设 ，
， ，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，
① ；
② ；
③ 的面积为 .选择条件______.
(1)求 的值；
(2)求 的周长的取值范围.
3．（2023·河北唐山·统考二模）已知 的内角 的对边分别为 ，
(1)求 的值；
(2)若 ，求 面积 的最大值．
【题型三】 范围与最值：有角无边型1. 三角形 中，已知 ，其中，角 所对的边分别为 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的取值范围.
(abc)(abc) 3ac
2.在锐角三角形ABC,若
(I)求角B
3sin AcosA
(II)求 的取值范围
3.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
（Ⅰ）若 ， ，求b
（Ⅱ）求 的取值范围．
1．（2023·青海西宁·统考二模）在 中，内角 的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 是边 上的一点，且 ，求线段 的最大值.
2．（2015·甘肃兰州·统考一模）已知在 中，角 所对的边分别是 ，且
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
3．（2023·广西·统考一模）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
.
(1)求C；
(2)若角C的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值.
【题型四】 图形：内切圆与外接圆
外接圆：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角
形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径
内切圆：等面积构造法求半径
1. 锐角 的三个内角是 ，满足 ．
(1)求角 的大小及角 的取值范围；
(2)若 的外接圆的圆心为 ，且 ，求 的取值范围．
2.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的内切圆半径.
3.在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，且 ．
(1)求角 和边 的大小；
(2)求△ 的内切圆半径．
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图， 为半圆（ 为直径）上一动点， ， ，
，记 .
(1)当 时，求 的长；
(2)当 周长最大时，求 .2．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）如图，已知锐角 为圆O的内接三角形，圆O的半径为
R，且 ，∠BAC的平分线交边BC于点D，且点D为边BC上靠近点B的三等分点， ，
则 的面积为______．
3．（2023春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）锐角 中，内角 所对的边分别为
， 且 ， .
(1)求证： ；
(2)将 延长至 ，使得 ，记 的内切圆与边 相切于点 ， 是否为定值？若是，求
出该定值，若不是，请说明理由.
【题型五】图形：“补角”三角形
1. 如图， 是边长为3的等边三角形，线段 交 于点 ， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 长.
2.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6， ， ，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．
(1)求cosB与△ABC的面积；
(2)求线段AD的长．
3.如图，在平面四边形 中， ， ， .
(1)当 ， 时，求 的面积；
(2)当 ， 时，求 .
1．（2023春·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中， ，
， ，CD=4，AB=2，则AC=___________.
2．（2023春·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）如图，在平面四边形 中，若 ，
， ， ， ．(1)求B；
(2)求证： ．
3．（2023·重庆·统考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ， ．
(1)求 ；
(2)若 ， 边上的高线长 ，求 ．
【题型六】图形：四边形与多边形
1. 例题1.如图，在平面四边形ABCD中， ， .
(1)若 的面积为 ，求AC；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 .
2.如图，在四边形 中， ．
(1)证明： 为直角三角形；(2)若 ，求四边形 面积S的最大值．
3.如图所示，在平面五边形 中，已知 ， ， ， ， .
(1)当 时，求 ；
(2)当五边形 的面积 时，求 的取值范围.
1．（2023·新疆阿克苏·校考一模）在如图所示的平面四边形 中， ， ，记
， 的面积分别为 ，则 的最大值为__________．
2．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）在 中， 为 的角平分线上一点，且
与 分别位于边 的两侧，若
(1)求 的面积;
(2)若 ，求 的长.
3．（2023·山东菏泽·统考一模）如图,在平面四边形 中, ,
.(1)试用 表示 的长;
(2)求 的最大值.
【题型七】三大线：角平分线应用
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
1．（2023·山东德州·统考一模）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 的角平分线交BC于 ，且 ，求 面积的取值范围．
2．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）记 的内角 ､ ､ 的对边分别为 ､ ､ ，已知
.
(1)证明： ；
(2)若 ， ，角 的内角平分线与边 交于点 ，求 的长.
3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角B；(2)设 的角平分线 交 于点D，若 ，求 的面积的最小值.
1．（2023·全国·校联考二模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ，求 面积的最大值.
2．（2023·浙江·模拟预测）已知锐角 ，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 为 的角平分线，交AB于D点，且 ．求 的值．
3．（2023·山东济南·一模）已知函数 ．
(1)求 的单调递减区间；
(2) 中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，求A的内角平分线 的长．
【题型八】三大线：中线应用
中线的处理方法
1.向量法：
2. 双余弦定理法（补角法）：
如图设 ，
在 中，由余弦定理得 ，①
在 中，由余弦定理得 ，②
因为 ，所以所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的俩三角形面积相等
1．（2023·重庆九龙坡·统考二模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)求角A；
(2)若 ， 的面积为 ，求边BC的中线AD的长.
2．（2023·湖南常德·二模）在 中， ， ， 边中线 .
(1)求 的值；
(2)求 的面积．
3．（2023·北京顺义·统考一模）在 中， ．
(1)求b；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求 的面积．
条件①： ；
条件②： 边上中线的长为 ；
条件③： ．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．1．（2023·浙江杭州·统考一模）已知 中角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足
， ．
(1)求角A；
(2)若 ， 边上中线 ，求 的面积．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点， ， ，AD平分
∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍．
(1)求△ACD的面积；
(2)求△ABC的边BC上的中线AE的长．
3．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知a，b，c分别为 的内角A，B，C的对边，
，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 的外接圆面积为 ，求 边上的中线长．
【题型九】三大线：高的应用
高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：1．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知 中，点 在边 上，满足 ，且
， 的面积与 面积的比为 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求边 上的高 的值．
2．（2023·内蒙古包头·统考一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
．
(1)求A；
(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得 唯一确定，当唯一确
定时，求边 上的高h．
条件①： ；条件②： ．
3．（2023·内蒙古包头·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
．
(1)求 ；
(2)若 ， ，试求边 上的高h．
1．（2023·江西·统考模拟预测）若四棱锥 的棱 ， 的长均为2，其余各棱长均为 ，则该四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和
“表”两个部件组成.圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器.所谓高表测影法，通俗的
说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化.垂直于地面的直
杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图1，利用正午时太阳照在表上，
表在圭上的影长来确定节令．已知某地夏至和冬至正午时，太阳光线与地面所成角分别约为 ， ，如图
2，若影长之差 尺，则表高AB为（ ）尺．
A． B．
C． D．
3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设 的内角A，B，C所对的边分别为 ， ， ，且有
．
(1)求角A；
(2)若BC边上的高 ，求 ．
高考模拟练习1．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知圆台 的上、下底面半径分别为r，R，高为h，
平面 经过圆台 的两条母线，设 截此圆台所得的截面面积为S，则（ ）
A．当 时，S的最大值为
B．当 时，S的最大值为
C．当 时，S的最大值为
D．当 时，S的最大值为
2．（2023·四川达州·统考二模）如图，在 中， ， ， ，平面
ABC内的点D，E在直线AB两侧， 与 都是以B为直角顶点的等腰直角三角形， ， 分别
是 ， 的重心，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
3．（2023·江西宜春·统考一模）如图所示，在等腰梯形 中， ，现将梯形
依次绕着 各点顺时针翻转，则在第一次绕着点 翻转的过程中，对角线 扫过的平面区域
面积为（ ）A． B． C． D．
4．（2023·河北保定·统考一模）保定市主城区开展提升城市“新颜值”行动以来，有一街边旧房拆除后，
打算改建成矩形花圃 ，中间划分出直角三角形 区域种玫瑰，直角顶点 在边 上，且距离
点 ，距离 点 ，且 、 两点分别在边 和 上，已知 ，则玫瑰园的最小面积为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提
供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的
接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体
建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10° ≈
0.985）
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
6．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁
的截面，其中 是房梁与该截面的交点， ， 分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂
面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子 与 之间的距离是 （ 为测量单位），柱子 与 之间的
距离是 ．如果把 ， 视作线段，记 ， ， 是 的四等分点， ， ， 是 的四等分
点，若 ，则线段 的长度为（ ）A． B． C． D．
7．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）某种平面铰链四杆机构的示意图如图1所示，AC与BD
的交点在四边形ABCD的内部．固定杆BC的长度为 ，旋转杆AB的长度为1，AB可绕着连接点B转动，
在转动过程中，伸缩杆AD和CD同时进行伸缩，使得AD和CD的夹角为45°，AD的长度是CD的长度的
倍．如图2，若在连接点B，D之间加装一根伸缩杆BD，则伸缩杆BD的长度的最大值为______．
8．（2023·江西·统考模拟预测）毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的
一个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2， 为锐角三角形，面
积为 ，以 的三边为边长的正方形中心分别为 ，则
的最小值为___________.9．（2023·辽宁大连·统考一模）从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
① ，其中 为 的面积，② ，③ ．
在 中，角 ， ， 对应边分别为 ， ， ，_______________．
(1)求角 ；
(2)若 为边 的中点， ，求 的最大值．
10．（2021·全国·模拟预测）如图，已知△ABC与△ADC关于直线AC对称，把△ADC绕点A逆时针旋转
，得到△AFE，若B，C，E，F四点共线，且 ， .
(1)求BC；
(2)求△ADE的面积.
