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2025 年高考考前信息必刷卷（新高考Ⅱ卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：高考命题趋势正在发生变化，题目呈现方式也在不断创新。命题上，高考题目正逐步减少对
记忆性知识的考查，增加对学生应用能力、分析能力和创新能力的测试。2025年也将保持2024年试卷的
题型格局和赋分方案，分别为单选题 8个、多选题3个、填空题3个、解答题5个。同时，测试卷控制了
阅读总量，减少了繁琐运算，科学设计了试卷的难度梯度，延续了“多考想的、少考算的”的考查理念，
尤其体现在单选题和填空题最后一题上。
高考·新考法：创新题型潜藏于各类试题设计之中，由显性考核转变为隐性考核。2025年新定义（创新试
题）可能出现在选择题，尤其是多选题的位置，值得注意的是，今年8省联考19题从创新题改为立体几何，
并不意味着考试难度的降低。相反，这一变化可能是在为未来的新高考做铺垫，预示着立体几何将成为新
的考查重点。而立体几何题目的创新设计，也将成为拉开尖子生差距的关键因素之一。
命题·大预测：
（1）试题难度对学生会有明显分层，常规题难度进一步降低，平时认真学习的同学拿下100分将会更加容
易。第8题难度比以往可能会有所降低，不一定是以压轴题的身份出现，大部分认真学习的同学都可以拿
下。
（2）前两道大题可能增加一问变成3问，进而计算量加大，得分点更加细化，这样会更加有利于中档学生
得分。
（3）压轴题很可能是11、13、14、18、19题，它侧重考察了尖子生的创新能力。高考的压轴题目有可能
趋向于强基计划和竞赛的风格，这使得尖子生在解决压轴题目时更易凸显其差距。
对于2025年的备考，考生需要全面复习六大金刚——三角函数、立体几何、数列、圆锥曲线、概率与
统计、导数，尖子生特别要加强对“立体几何+圆锥曲线”和“导数+数列”这两部分内容的复习。这两部
分最有可能出现在今年创新题压轴，分值高。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设复数z满足 ，则|z|=（ ）
A．1 B． C．2 D．2
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学科网（北京）股份有限公司3．点 满足 ，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．射线
4．命题“ ”的否定是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 ， 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
6．图中的曲线对应的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 的离心率为 ， 、 为双曲线的左、右焦点，点 是双曲线上的一点，且
的面积为3，则 （ ）
A． B． C． D．
8．在边长为3的菱形ABCD中， ，E为BD中点，将 绕直线BD翻折到 ，使得
四面体 外接球的表面积为 ，则此时直线 与平面BCD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据5，7，9，11，13，14，15，22的平均数为12
B．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7
C．若随机变量 服从二项分布 ，且 ，则
D．若随机变量服从正态分布 ，则
10．几个人讨论某个比赛的成绩，讨论内容如下：
张三：甲是第4名；
李四：乙不是第2或第4名；
王五：丙排在乙前面；
刘六：丁是第1名
已知只有一个人说假话，下列正确的是（ ）．
A．丙是第1名 B．乙是第2名 C．丁是第3名 D．甲是第4名
11．已知函数 的定义域为 ， 的图象关于 对称，且 为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．同时抛掷红、蓝两枚均匀的骰子，设事件A表示“蓝色骰子掷出的点数为3或6”，事件B表示“红、
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学科网（北京）股份有限公司蓝两枚骰子掷出的点数之和大于8”，则 .
13．已知数列 的前n项和 ， 是等差数列，且 ，则 ．
14．高斯是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.用其名字命名的“高斯函数”为：
，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ，则关于 的不等式
的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)比较 与 的大小；
(3)若 恒成立，求a的取值范围．
16．某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，
现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请
完成以下2×2列联表，并依据独立性检验，能否有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关
系；
锻炼
性别 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康
问题，以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求 和
；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本
的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为 ，求 的分布列和数学
期望．
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学科网（北京）股份有限公司附：
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
17．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， 为等边三角形， ， ，
.
(1)求证： ；
(2)若四棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 的夹角正弦值.
18．图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母 表示．如图所示，
边长为1的正三角形被 层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两
圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为 时，等
圆的半径为 ， ．图中给出 等于1，2，10时的覆盖情形．
（Ⅰ）写出 ， 的值，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的层数 ，此正三角形的被覆盖率 低于91%．
（参考数据： ， ）
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学科网（北京）股份有限公司19．人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是
个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的
弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的
事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在
空间直角坐标系下，椭球面 ，这说明椭球完全包含在由平面
所围成的长方体内，其中 按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．
某椭球面与坐标面 的截痕是椭圆 .
(1)已知椭圆 在其上一点 处的切线方程为 ．过椭圆 的左焦点
作直线 与椭圆 相交于 两点，过点 分别作椭圆的切线，两切线交于点 ，求 面积的最小
值．
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理
用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果
截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当 时，椭球面 围成的椭球是一个旋
转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
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