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高 2024 届高考诊断考试（一）数学试题
（试卷满分：150分 120分钟完卷）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
的
4. 数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己 计数方法．十进制的算筹计数法就
是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一
种方法．例如：3可表示为“ ”，26可表示为“ ”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，
则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 若数列 的前 项积 ，则 的最大值与最小值的和为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
6. 如图所示，正方形 的边长为2，点 ， ， 分别是边 ， ， 的中点，点 是线段
上的动点，则 的最小值为（ ）A. B. 3 C. D. 487. 椭圆 的左右焦点为 ， ，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N
满足 ， ，若四边形 的周长等于 ，则椭圆C的离心率为 （
）
A. B. C. D.
8. 已知偶函数 满足 ， ，且当 时， .若关于
的不等式 在 上有且只有 个整数解，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9. 已知函数 ，则（ ）
A. B. 的最小正周期为
C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递增
10. 某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天
一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：
人
学校 平均运动时间 方差
数
200
甲校 10 3
0
300
乙校 8 2
0
记这两个学校学生一周运动的总平均时间为 ，方差为 ，则（ ）
A. B.C. D.
11. 如图，平行六面体 中， ， ， 与 交于点O，则下列说法
正确的有（ ）A. 平面 平面
B. 若 ，则平行六面体的体积
C.
D. 若 ，则
12. 已知函数 ，下列选项正确的是（ ）
A. 有最大值
.
B
C. 若 时， 恒成立，则
D. 设 为两个不相等的正数，且 ，则
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 展开式中的各二项式系数之和为256，则 的系数是_______
14. 现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解
决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、
布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互
独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为__________.15. 已知等比数列 满足： ， .数列 满足 ，其前 项
和为 ，若 恒成立，则 的最小值为______.
16. 已知抛物线 上存在两点 （ 异于坐标原点 ），使得 ，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转 与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最
小值为________．
四、解答题（共6小题，共70分）
17. 在 中，角 所对的边分别为 ， ．
（1）求角 ；
（2）若 的面积为 ，且 ，求 的周长．
18. 已知数列 的首项 ，且满足 .
（1）求证： 是等比数列；
（2）求数列 的前项和 .
19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年 4月23日
为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 位年轻人，对这些人
每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这 位年轻人每天阅读时间的平均数 （单位：分钟）；（同一组数据
用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间 近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，求
；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 ，
， 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 的
人数 的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则① ；② ；③．
在
20. 如图所示， 三棱锥 中，已知 平面 ，平面 平面 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，在线段 上（不含端点），是否存在点 ，使得二面角
的余弦值为 ，若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由．
的
21. 在平面直角坐标系 中，已知点 、 ， 内切圆与直线 相切于点
，记点M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线 上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接 .若直线
的斜率与直线 的斜率之和为0，试比较 与 的大小.
22. 已知函数 ．
（1）当 时，
（I）求 处的切线方程；
（II）判断 的单调性，并给出证明；（2）若 恒成立，求 的取值范围．
