2024届海南省海口市高三下学期一模数学试题(1)_2024年4月_024月合集_2024届海南省海口市高三下学期一模（4月调研）

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海口市 2024 届高三年级调研考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
12i
1.在复平面内， 对应的点位于（ ）
2i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知b0，设甲：ab1，乙： a  b 1，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件
3.设l，m是两条直线，，是两个平面，则（ ）
A.若∥，l∥，m∥，则l∥m B.若∥，l∥m，m，则l 
C.若，l∥，m∥，则l m D.若，l∥，m∥，则l∥m
x2 y2 x2 y2
4.已知椭圆C ：  1的2个焦点与椭圆C ：  1  m0 的2个焦点构成正方形的四个顶
1 12 3 2 m2 16
点，则m（ ）
A. 7 B. 5 C.7 D.5
5.某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻
的排法种数为（ ）
A.72 B.96 C.144 D.240
1
6.已知函数 f  x 的定义域为R， f  x1 是偶函数，当x 时， f  x ln  12x ，则曲线y  f  x 
2
在点  2, f  2  处的切线斜率为（ ）
学科网（北京）股份有限公司2 2
A. B. C.2 D.-2
5 5
tan A
7.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2 b2 3c2，则 （ ）
tanB
3 1 2
A. B. C. D.-2
2 2 3
x2 y2 5
8.已知F 是双曲线C：  1  a0,b0 的右焦点，直线 y  b与C交于A，B两点.若△ABF
a2 b2 2
的周长为7a，则C的离心率为（ ）
4 5 6 2 10
A. B. C. D.
3 3 5 5
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.已知甲、乙两组样本各有10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下列说法正确的是（ ）
A.若甲、乙两组数据的平均数都为a，则新数据的平均数等于a
B.若甲、乙两组数据的极差都为b，则新数据的极差可能大于b
C.若甲、乙两组数据的方差都为c，则新数据的方差可能小于c
D.若甲、乙两组数据的中位数都为d，则新数据的中位数等于d

10.已知函数 f  x  Asin x（其中A0，0， ）的部分图象如图所示，则（ ）
2
11 
A.2 B. f  x 的图象关于点 ,0中心对称
 12 
   5 
C. f  x 2cos2x  D. f  x 在   ,  上的值域为2,1 
 6  6 3
11.已知S 为正项数列 a 的前n项和，a 1，S S  1  n 2,nN* ，则（）
n n 1 n n1 a
n
A.S  n B.a a
n n1 n
1
C.S S  2S D.S  lnn
n n2 n1 n S
n
学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分。
12.已知集合A3,1,2 ，B   x1mx0  ，若AB B ，则m的取值范围是_________.
13.已知圆C：x2  y2 2 16，点P在直线l：x2y60上，过点P作C的两条切线，切点分别
为A，B.当APB最大时，cosAPB ___________.
14.在正三棱台ABCABC 中，AB2，AB  AB ，侧棱AA 与底面 ABC所成角的正切值为 2 .若
1 1 1 1 1 1
存在一个球与该正三棱台的每个面都相切，则此正三棱台的体积为_________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分】
已知函数 f  x  x2aex.
（1）讨论 f  x 的单调性；
（2）若 f  x 0，求a的取值范围.
16.（15分）
如图，在三棱柱ABCABC 中，平面ACC A 平面ABC，AB  BC，四边形ACC A 是边长为2的
1 1 1 1 1 1 1
正方形.
（1）证明：BC 平面ABB A ；
1 1
（2）若直线AC与平面ABB A 所成的角为30°，求二面角BACA的余弦值.
1 1 1 1
17.（15分）
已知摊物线C：y2 2px  p 0 的准线与x轴的交点为E 1,0 ，C的焦点为F.经过点E的直线l与C
分别交于A，B两点.
（1）设直线AF ，BF的斜率分别为k ，k ，证明：k k 0；
1 2 1 2
（2）记△ABF 与△BEF 的面积分别为S ，S ，若S 3S ，求 AF  BF .
1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司18.（17分）
一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则
下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知某同学连
2
续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为 ，且每次投篮相互独立，
3
（1）n30时，判断E  X 与20的大小，并说明理由；
（2）n3时，求X 的概率分布列和数学期望；
 
（3）记X 3的概率为P n2,nN* ，求P 的表达式.
n n
19.（17分
n
已知函数 f  x  x6sinx，等差数列 a 的前n项和为S ，记T  f  a  .
n n n i
i1
（1）求证： f  x 的图象关于点,中心对称；
（2）若a ，a ，a 是某三角形的三个内角，求T 的取值范围；
1 2 3 3
（3）若S 100，求证：T 100.反之是否成立?并请说明理由.
100 100
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数学试题参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A C C B A
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分。第 9、11题每个正确选项 2分；第 10
题每个正确选项 3分。
题号 9 10 11
答案 ABD AC ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分。
1 1 3 7 2
12. m 13. 14.
3 2 5 12
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1） f  x 的定义域为R， f x 1aex
当a0时， f x 0，所以 f  x 在,，上单调递增；
1 1
当a 0时，令 f x 0，得xln ，令 f x 0，得xln ，
a a
 1  1 
所以 f  x 在 ,ln 上单调递增，在ln , 上单调递减.
 a  a 
x2
（2）由 f  x  x2aex 0，得a  .
ex
x2 x1
设g  x  ，则g x  .
ex ex
令g x 0，得x1，令g x 0，得x 1，
所以g  x 在,1 上单调递增，在1,上单调递减，
所以当x 1时，g  x 取最大值g 1 e.
所以a e.
16.（15分）
（1）证：因为四边形ACC A 是正方形，
1 1
所以AA  AC .
1
学科网（北京）股份有限公司因为平面ACC A 平面ABC，AA 平面ACC A ，
1 1 1 1 1
平面ACC A 平面ABC  AC，
1 1
所以AA 平面ABC.
1
因为BC 平面ABC，所以AA BC .
1
又因为AB  BC，AB,AA  ABB A ，ABAA  A，
1 1 1 1
所以BC 平面ABB A .
1 1
（2）解：由（1）知，BAC 为直线AC与平面ABB A 所成的角，
1 1 1 1
即BAC 30
1
正方形ACC A 的边长为2，
1 1
所以AC 2 2 ，BC  2，
1
所以AB  2 .
（方法一）过点A作AD  AB，垂足为D，
1
过点D作DE  AC ，垂足为E，连结AE.
1
因为BC 平面ABB A ，AD平面ABB A ，
1 1 1 1
所以BC  AD，
又BC,AB 平面ABC，BCAB B，
1 1 1
所以AD平面ABC.
1
所以DE是AE在平面ABC内的射影，
1
学科网（北京）股份有限公司所以由三垂线定可知，AE  AC ，
1
所以AED是二面角BACA的平面角.
1
2 3
在直角△ADE中，AE  2，AD  ，
3
AD 6
所以sinAED  ，
AE 3
3
所以cosAED ，
3
3
即二面角BACA的余弦值为 .
1 3
（方法二）取AC的中点O，连结BO.
因为AB  BC，所以BO  AC ，
因为平面ACC A 平面ABC，
1 1
平面ACC A 平面ABC  AC，BO平面ABC，
1 1
所以BO 平面ACC A .
1 1
取AC 的中点O$，则OO  AC，
1 1 1 1
  
 
以 OB,OC,OO ，为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.
1
所以B  1,0,0 ，C  0,1,0 ，A  0,1,2 ，
1
 
所以BC 1,1,0 ，AC  0,2,2  .
1

设平面ABC的法向量为n
x,y,z
，
1
学科网（北京）股份有限公司   
 n BC,  nBC x y  0, 
则  即  取n 1,1,1  .
n AC, n AC  2y2z 0,
1 1

取平面AAC 的法向量OB  1,0,0 ，
1
设二面角BACA的大小为，
1
 
nOB
1 3
则 cos      .
n  OB 31 3
3
因为二面角BACA为锐角，所以cos ，
1 3
3
即二面角BACA的余弦值为 .
1 3
17.（15分）
解：（1）因为抛物线C的准线与x轴的交点为E 1,0 ，
p
所以 1，即 p2，
2
所以C的方程为 y2 4x.
显然直线l的斜率存在且不为0.
设直线l：xmy1，A  x ,y ，B  x ,y ，
1 1 2 2
将直线方程与抛物线方程联立并消去x，
得y2 4my40.
所以 y  y  4m，y y 4，
1 2 1 2
y y y y
所以k k  1  2  1  2
1 2 x 1 x 1 my 2 my 2
1 2 1 2
2my y 2  y  y  2m424m
 1 2 1 2  0.
 my 2  my 2   my 2  my 2 
1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司（2）不妨设 y 0， y 0.
1 2
因为S 3S ，y 4y .
1 2 1 2
又y y 4，解得 y 4，y 1.
1 2 1 2
y2  y 2 17
所以x x  1 2  ，
1 2 4 4
25
所以 AF  BF  x 1  x 1  .
1 2 4
18.（17分）
解：（1）E  X 20.
 2
理由如下：记该同学投篮30次投进次数为，则~ B30, .
 3
2
若每次投进得分都为1分，则得分的期望为E 30 20.
3
由题意比赛得分的规则知，连续投进时，得分翻倍，
故实际总得分E  X 必大于每次得分固定为1分的数学期望.
所以E  X 20.
（2）X的可能取值为：0，1，2，3，7，且
3 2
1 1 2 1 6
P  X 0     ；P  X 1 C1     ；
3 27 3 3 3 27
2 2
2 1 4 2 1 8
P  X 2      ；P  X 3 C1      ；
3 3 27 2 3 3 27
3
2 8
P  X 7     .
3 27
所以，X 的概率分布列为
X 0 1 2 3 7
P 1 6 4 8 8
27 27 27 27 27
1 6 4 8 8 94
所以E  X 0 1 2 3 7  .
27 27 27 27 27 27
（3）投篮n次得分为3分，有两种可能的情况：
情形一，恰好两次投进，且两次相邻；
情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻.
当2n4时，情形二不可能发生，
学科网（北京）股份有限公司2 n2 n
2 1 1
故P C1      4  n1    .
n n1 3 3 3
2 n2 n
2 1 1
当n5时，情形一发生的概率为C1      4  n1    ，
n1
3 3 3
情形二发生是指，将n3次未投进的投篮排成一列，共有n2个空位，
选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为
3 n3 n1
2 1 1
C3      4  n2  n3  n4    ，
n2
3 3 3
n n1
1 1
所以P 4  n1    4  n2  n3  n4   
n 3 3
n1
4  n39n229n27   1  .
3
 n
1
4  n1    ,n2,3,4,
 3
综上，P 
n n1
  1
 4 n3 9n2 29n27   ,n5,nN*.
 3
19.（17分）
解：（1）设 f  x 的图象上任意一点P  x,y ，则 y  f  x ，
点P关于点,，的对称点为P 2x,2 y  .
因为 f  2x  2x 6sin  2x 2x6sinx2 y，
所以点P 2x,2 y ，在 f  x 的图象上，
所以 f  x 的图象关于点,中心对称.
（2）若a ，a ，a 是某三角形的三个内角，
1 2 3
则a a a ，
1 2 3

又 a 是等差数列，所以a  .
n 2 3
所以T  f  a  f  a  f  a a a a 6  sina sina sina 
3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 
3 36sina 6sin a  3 39sina 3 3cosa
1  3 1  1 1
学科网（北京）股份有限公司 
3 36 3sina  .
 1 6
    
不妨设a 1 a 3 ，则a 1    0, 3   ，所以a 1  6    6 , 2   ，
  1 
所以sin  a 1  6     2 ,1   ，

所以T  6 3,9 3 .
3 
（3）因为 a 是等差数列，且S a a a 100，
n 100 1 2 100
所以当mn101时，a a  2，
m n
所以sina sina 0.
m n
100 100
T  f  a S 6sina
100 i 100 i
i1 i1
1006

 sina sina  sina sina  sina sina 

100.
1 100 2 99 50 51
所以，若S 100，则T 100成立.
100 100
反之不成立.
考虑存在等差数列 a ，满足a a 49d ，则S 99，
n 50 1 99
所以T 99.
99
下面证明，存在d ，可以使得 f  a ，且a .
100 100
不妨设d 0，因为a 49d ，所以a a 99d .
1 100 1
f  a 50d 6sin50d .
100
设g  x  x6sinx，其中x 0，
3 3
因为g 0，g   60，
 2  2
 3
所以存在  , ，使得g 0，
 2 
 3
所以存在d  , ，使得 f  a ，即T 100，
50 100 100 100
学科网（北京）股份有限公司但此时S 100.
100
所以反之不成立.
学科网（北京）股份有限公司