2024届海南省海口市高三下学期一模数学试题(1)_2024年4月_024月合集_2024届海南省海口市高三下学期一模（4月调研）

机密 启用前 ★ 海口市 2024 届高三年级调研考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 12i 1.在复平面内， 对应的点位于（ ） 2i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知b0，设甲：ab1，乙： a  b 1，则（ ） A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 3.设l，m是两条直线，，是两个平面，则（ ） A.若∥，l∥，m∥，则l∥m B.若∥，l∥m，m，则l  C.若，l∥，m∥，则l m D.若，l∥，m∥，则l∥m x2 y2 x2 y2 4.已知椭圆C ：  1的2个焦点与椭圆C ：  1  m0 的2个焦点构成正方形的四个顶 1 12 3 2 m2 16 点，则m（ ） A. 7 B. 5 C.7 D.5 5.某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻 的排法种数为（ ） A.72 B.96 C.144 D.240 1 6.已知函数 f  x 的定义域为R， f  x1 是偶函数，当x 时， f  x ln  12x ，则曲线y  f  x  2 在点  2, f  2  处的切线斜率为（ ） 学科网（北京）股份有限公司2 2 A. B. C.2 D.-2 5 5 tan A 7.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2 b2 3c2，则 （ ） tanB 3 1 2 A. B. C. D.-2 2 2 3 x2 y2 5 8.已知F 是双曲线C：  1  a0,b0 的右焦点，直线 y  b与C交于A，B两点.若△ABF a2 b2 2 的周长为7a，则C的离心率为（ ） 4 5 6 2 10 A. B. C. D. 3 3 5 5 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.已知甲、乙两组样本各有10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下列说法正确的是（ ） A.若甲、乙两组数据的平均数都为a，则新数据的平均数等于a B.若甲、乙两组数据的极差都为b，则新数据的极差可能大于b C.若甲、乙两组数据的方差都为c，则新数据的方差可能小于c D.若甲、乙两组数据的中位数都为d，则新数据的中位数等于d  10.已知函数 f  x  Asin x（其中A0，0， ）的部分图象如图所示，则（ ） 2 11  A.2 B. f  x 的图象关于点 ,0中心对称  12     5  C. f  x 2cos2x  D. f  x 在   ,  上的值域为2,1   6  6 3 11.已知S 为正项数列 a 的前n项和，a 1，S S  1  n 2,nN* ，则（） n n 1 n n1 a n A.S  n B.a a n n1 n 1 C.S S  2S D.S  lnn n n2 n1 n S n 学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分。 12.已知集合A3,1,2 ，B   x1mx0  ，若AB B ，则m的取值范围是_________. 13.已知圆C：x2  y2 2 16，点P在直线l：x2y60上，过点P作C的两条切线，切点分别 为A，B.当APB最大时，cosAPB ___________. 14.在正三棱台ABCABC 中，AB2，AB  AB ，侧棱AA 与底面 ABC所成角的正切值为 2 .若 1 1 1 1 1 1 存在一个球与该正三棱台的每个面都相切，则此正三棱台的体积为_________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分】 已知函数 f  x  x2aex. （1）讨论 f  x 的单调性； （2）若 f  x 0，求a的取值范围. 16.（15分） 如图，在三棱柱ABCABC 中，平面ACC A 平面ABC，AB  BC，四边形ACC A 是边长为2的 1 1 1 1 1 1 1 正方形. （1）证明：BC 平面ABB A ； 1 1 （2）若直线AC与平面ABB A 所成的角为30°，求二面角BACA的余弦值. 1 1 1 1 17.（15分） 已知摊物线C：y2 2px  p 0 的准线与x轴的交点为E 1,0 ，C的焦点为F.经过点E的直线l与C 分别交于A，B两点. （1）设直线AF ，BF的斜率分别为k ，k ，证明：k k 0； 1 2 1 2 （2）记△ABF 与△BEF 的面积分别为S ，S ，若S 3S ，求 AF  BF . 1 2 1 2 学科网（北京）股份有限公司18.（17分） 一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则 下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知某同学连 2 续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为 ，且每次投篮相互独立， 3 （1）n30时，判断E  X 与20的大小，并说明理由； （2）n3时，求X 的概率分布列和数学期望；   （3）记X 3的概率为P n2,nN* ，求P 的表达式. n n 19.（17分 n 已知函数 f  x  x6sinx，等差数列 a 的前n项和为S ，记T  f  a  . n n n i i1 （1）求证： f  x 的图象关于点,中心对称； （2）若a ，a ，a 是某三角形的三个内角，求T 的取值范围； 1 2 3 3 （3）若S 100，求证：T 100.反之是否成立?并请说明理由. 100 100 学科网（北京）股份有限公司机密启用前 海口市 2024 届高三年级调研考试 数学试题参考答案 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B A C C B A 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分。第 9、11题每个正确选项 2分；第 10 题每个正确选项 3分。 题号 9 10 11 答案 ABD AC ABD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分。 1 1 3 7 2 12. m 13. 14. 3 2 5 12 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 解：（1） f  x 的定义域为R， f x 1aex 当a0时， f x 0，所以 f  x 在,，上单调递增； 1 1 当a 0时，令 f x 0，得xln ，令 f x 0，得xln ， a a  1  1  所以 f  x 在 ,ln 上单调递增，在ln , 上单调递减.  a  a  x2 （2）由 f  x  x2aex 0，得a  . ex x2 x1 设g  x  ，则g x  . ex ex 令g x 0，得x1，令g x 0，得x 1， 所以g  x 在,1 上单调递增，在1,上单调递减， 所以当x 1时，g  x 取最大值g 1 e. 所以a e. 16.（15分） （1）证：因为四边形ACC A 是正方形， 1 1 所以AA  AC . 1 学科网（北京）股份有限公司因为平面ACC A 平面ABC，AA 平面ACC A ， 1 1 1 1 1 平面ACC A 平面ABC  AC， 1 1 所以AA 平面ABC. 1 因为BC 平面ABC，所以AA BC . 1 又因为AB  BC，AB,AA  ABB A ，ABAA  A， 1 1 1 1 所以BC 平面ABB A . 1 1 （2）解：由（1）知，BAC 为直线AC与平面ABB A 所成的角， 1 1 1 1 即BAC 30 1 正方形ACC A 的边长为2， 1 1 所以AC 2 2 ，BC  2， 1 所以AB  2 . （方法一）过点A作AD  AB，垂足为D， 1 过点D作DE  AC ，垂足为E，连结AE. 1 因为BC 平面ABB A ，AD平面ABB A ， 1 1 1 1 所以BC  AD， 又BC,AB 平面ABC，BCAB B， 1 1 1 所以AD平面ABC. 1 所以DE是AE在平面ABC内的射影， 1 学科网（北京）股份有限公司所以由三垂线定可知，AE  AC ， 1 所以AED是二面角BACA的平面角. 1 2 3 在直角△ADE中，AE  2，AD  ， 3 AD 6 所以sinAED  ， AE 3 3 所以cosAED ， 3 3 即二面角BACA的余弦值为 . 1 3 （方法二）取AC的中点O，连结BO. 因为AB  BC，所以BO  AC ， 因为平面ACC A 平面ABC， 1 1 平面ACC A 平面ABC  AC，BO平面ABC， 1 1 所以BO 平面ACC A . 1 1 取AC 的中点O$，则OO  AC， 1 1 1 1      以 OB,OC,OO ，为基底，建立空间直角坐标系Oxyz. 1 所以B  1,0,0 ，C  0,1,0 ，A  0,1,2 ， 1   所以BC 1,1,0 ，AC  0,2,2  . 1  设平面ABC的法向量为n x,y,z ， 1 学科网（北京）股份有限公司     n BC,  nBC x y  0,  则  即  取n 1,1,1  . n AC, n AC  2y2z 0, 1 1  取平面AAC 的法向量OB  1,0,0 ， 1 设二面角BACA的大小为， 1   nOB 1 3 则 cos      . n  OB 31 3 3 因为二面角BACA为锐角，所以cos ， 1 3 3 即二面角BACA的余弦值为 . 1 3 17.（15分） 解：（1）因为抛物线C的准线与x轴的交点为E 1,0 ， p 所以 1，即 p2， 2 所以C的方程为 y2 4x. 显然直线l的斜率存在且不为0. 设直线l：xmy1，A  x ,y ，B  x ,y ， 1 1 2 2 将直线方程与抛物线方程联立并消去x， 得y2 4my40. 所以 y  y  4m，y y 4， 1 2 1 2 y y y y 所以k k  1  2  1  2 1 2 x 1 x 1 my 2 my 2 1 2 1 2 2my y 2  y  y  2m424m  1 2 1 2  0.  my 2  my 2   my 2  my 2  1 2 1 2 学科网（北京）股份有限公司（2）不妨设 y 0， y 0. 1 2 因为S 3S ，y 4y . 1 2 1 2 又y y 4，解得 y 4，y 1. 1 2 1 2 y2  y 2 17 所以x x  1 2  ， 1 2 4 4 25 所以 AF  BF  x 1  x 1  . 1 2 4 18.（17分） 解：（1）E  X 20.  2 理由如下：记该同学投篮30次投进次数为，则~ B30, .  3 2 若每次投进得分都为1分，则得分的期望为E 30 20. 3 由题意比赛得分的规则知，连续投进时，得分翻倍， 故实际总得分E  X 必大于每次得分固定为1分的数学期望. 所以E  X 20. （2）X的可能取值为：0，1，2，3，7，且 3 2 1 1 2 1 6 P  X 0     ；P  X 1 C1     ； 3 27 3 3 3 27 2 2 2 1 4 2 1 8 P  X 2      ；P  X 3 C1      ； 3 3 27 2 3 3 27 3 2 8 P  X 7     . 3 27 所以，X 的概率分布列为 X 0 1 2 3 7 P 1 6 4 8 8 27 27 27 27 27 1 6 4 8 8 94 所以E  X 0 1 2 3 7  . 27 27 27 27 27 27 （3）投篮n次得分为3分，有两种可能的情况： 情形一，恰好两次投进，且两次相邻； 情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻. 当2n4时，情形二不可能发生， 学科网（北京）股份有限公司2 n2 n 2 1 1 故P C1      4  n1    . n n1 3 3 3 2 n2 n 2 1 1 当n5时，情形一发生的概率为C1      4  n1    ， n1 3 3 3 情形二发生是指，将n3次未投进的投篮排成一列，共有n2个空位， 选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为 3 n3 n1 2 1 1 C3      4  n2  n3  n4    ， n2 3 3 3 n n1 1 1 所以P 4  n1    4  n2  n3  n4    n 3 3 n1 4  n39n229n27   1  . 3  n 1 4  n1    ,n2,3,4,  3 综上，P  n n1   1  4 n3 9n2 29n27   ,n5,nN*.  3 19.（17分） 解：（1）设 f  x 的图象上任意一点P  x,y ，则 y  f  x ， 点P关于点,，的对称点为P 2x,2 y  . 因为 f  2x  2x 6sin  2x 2x6sinx2 y， 所以点P 2x,2 y ，在 f  x 的图象上， 所以 f  x 的图象关于点,中心对称. （2）若a ，a ，a 是某三角形的三个内角， 1 2 3 则a a a ， 1 2 3  又 a 是等差数列，所以a  . n 2 3 所以T  f  a  f  a  f  a a a a 6  sina sina sina  3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2  3 36sina 6sin a  3 39sina 3 3cosa 1  3 1  1 1 学科网（北京）股份有限公司  3 36 3sina  .  1 6      不妨设a 1 a 3 ，则a 1    0, 3   ，所以a 1  6    6 , 2   ，   1  所以sin  a 1  6     2 ,1   ，  所以T  6 3,9 3 . 3  （3）因为 a 是等差数列，且S a a a 100， n 100 1 2 100 所以当mn101时，a a  2， m n 所以sina sina 0. m n 100 100 T  f  a S 6sina 100 i 100 i i1 i1 1006   sina sina  sina sina  sina sina   100. 1 100 2 99 50 51 所以，若S 100，则T 100成立. 100 100 反之不成立. 考虑存在等差数列 a ，满足a a 49d ，则S 99， n 50 1 99 所以T 99. 99 下面证明，存在d ，可以使得 f  a ，且a . 100 100 不妨设d 0，因为a 49d ，所以a a 99d . 1 100 1 f  a 50d 6sin50d . 100 设g  x  x6sinx，其中x 0， 3 3 因为g 0，g   60，  2  2  3 所以存在  , ，使得g 0，  2   3 所以存在d  , ，使得 f  a ，即T 100， 50 100 100 100 学科网（北京）股份有限公司但此时S 100. 100 所以反之不成立. 学科网（北京）股份有限公司