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海口市 2024 届高三年级调研考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.在复平面内， 对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知 ，设甲： ，乙： ，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件
3.设 ，m是两条直线， ， 是两个平面，则（ ）
A.若 ， ， ，则 B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则 D.若 ， ， ，则
4.已知椭圆 ： 的2个焦点与椭圆 ： 的2个焦点构成正方形的四个顶
点，则 （ ）
A. B. C.7 D.5
5.某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻
的排法种数为（ ）
A.72 B.96 C.144 D.240
6.已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，当 时， ，则曲线
学科网（北京）股份有限公司在点 处的切线斜率为（ ）
A. B. C.2 D.-2
7.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.-2
8.已知 是双曲线 ： 的右焦点，直线 与 C 交于 A，B 两点.若
的周长为 ，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知甲、乙两组样本各有 10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下列说法正确的是
（ ）
A.若甲、乙两组数据的平均数都为a，则新数据的平均数等于a
B.若甲、乙两组数据的极差都为b，则新数据的极差可能大于b
C.若甲、乙两组数据的方差都为c，则新数据的方差可能小于c
D.若甲、乙两组数据的中位数都为d，则新数据的中位数等于d
10.已知函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. 的图象关于点 中心对称
学科网（北京）股份有限公司C. D. 在 上的值域为
11.已知 为正项数列 的前 项和， ， ，则（）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是_________.
13.已知圆 ： ，点P在直线 ： 上，过点P作 的两条切线，切点分别
为A，B.当 最大时， ___________.
14.在正三棱台 中， ， ，侧棱 与底面 所成角的正切值为 .若
存在一个球与该正三棱台的每个面都相切，则此正三棱台的体积为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分】
已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，求 的取值范围.
16.（15分）
如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， ，四边形 是边长为2
的正方形.
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成的角为30°，求二面角 的余弦值.
17.（15分）
已知摊物线 ： 的准线与 轴的交点为 ， 的焦点为F.经过点E的直线 与
分别交于A，B两点.
（1）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： ；
（2）记 与 的面积分别为 ， ，若 ，求 .
18.（17分）
一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则
下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得 0分，且下一次投进得1分.已知某同学连
续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为 ，且每次投篮相互独立，
（1） 时，判断 与20的大小，并说明理由；
（2） 时，求 的概率分布列和数学期望；
（3）记 的概率为 ，求 的表达式.
19.（17分
已知函数 ，等差数列 的前 项和为 ，记 .
（1）求证： 的图象关于点 中心对称；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ， ， 是某三角形的三个内角，求 的取值范围；
（3）若 ，求证： .反之是否成立?并请说明理由.
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海口市 2024 届高三年级调研考试
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分。
题 1 2 3 4 5 6 7 8
号
答 D B B A C C B A
案
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。第9、11题每个正确选项2分；第10题
每个正确选项3分。
题 9 10 11
号
答 ABD AC ABD
案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1） 的定义域为 ，
当 时， ，所以 在 ，上单调递增；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 ，得 .
设 ，则 .
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取最大值 .
学科网（北京）股份有限公司所以 .
16.（15分）
（1）证：因为四边形 是正方形，
所以 .
因为平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
又因为 ， ， ，
所以 平面 .
（2）解：由（1）知， 为直线 与平面 所成的角，
即
正方形 的边长为2，
所以 ， ，
所以 .
（方法一）过点 作 ，垂足为 ，
过点 作 ，垂足为 ，连结 .
因为 平面 ， 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又 平面 ， ，
所以 平面 .
所以 是 在平面 内的射影，
所以由三垂线定可知， ，
所以 是二面角 的平面角.
在直角 中， ， ，
所以 ，
所以 ，
即二面角 的余弦值为 .
（方法二）取 的中点 ，连结 .
因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
学科网（北京）股份有限公司取 的中点 ，则 ，
以 ，为基底，建立空间直角坐标系 .
所以 ， ， ，
所以 ， .
设平面 的法向量为 ，
则 即 取 .
取平面 的法向量 ，
设二面角 的大小为 ，
则 .
因为二面角 为锐角，所以 ，
即二面角 的余弦值为 .
17.（15分）
解：（1）因为抛物线C的准线与x轴的交点为 ，
所以 ，即 ，
所以 的方程为 .
学科网（北京）股份有限公司显然直线 的斜率存在且不为0.
设直线 ： ， ， ，
将直线方程与抛物线方程联立并消去 ，
得 .
所以 ， ，
所以
.
（2）不妨设 ， .
因为 ， .
又 ，解得 ， .
所以 ，
所以 .
18.（17分）
解：（1） .
理由如下：记该同学投篮30次投进次数为 ，则 .
若每次投进得分都为1分，则得分的期望为 .
由题意比赛得分的规则知，连续投进时，得分翻倍，
故实际总得分 必大于每次得分固定为1分的数学期望.
所以 .
（2）X的可能取值为：0，1，2，3，7，且
学科网（北京）股份有限公司； ；
； ；
.
所以， 的概率分布列为
0 1 2 3 7
所以 .
（3）投篮 次得分为3分，有两种可能的情况：
情形一，恰好两次投进，且两次相邻；
情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻.
当 时，情形二不可能发生，
故 .
当 时，情形一发生的概率为 ，
情形二发生是指，将 次未投进的投篮排成一列，共有 个空位，
选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为
，
所以
.
综上，
19.（17分）
学科网（北京）股份有限公司解：（1）设 的图象上任意一点 ，则 ，
点 关于点 ，的对称点为 .
因为 ，
所以点 ，在 的图象上，
所以 的图象关于点 中心对称.
（2）若 ， ， 是某三角形的三个内角，
则 ，
又 是等差数列，所以 .
所以
.
不妨设 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
（3）因为 是等差数列，且 ，
所以当 时， ，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司.
所以，若 ，则 成立.
反之不成立.
考虑存在等差数列 ，满足 ，则 ，
所以 .
下面证明，存在 ，可以使得 ，且 .
不妨设 ，因为 ，所以 .
.
设 ，其中 ，
因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
但此时 .
所以反之不成立.
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