专题17概率与随机变量及分布列(原卷版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

17
专题 概率与随机变量及分布列
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2025(cid:20)(cid:21)(cid:22)
2024(cid:8)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅰ(cid:22)(cid:26)2024(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:22)
(cid:3)(cid:34)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:35)(cid:36)(cid:18)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)
2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:30)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) (cid:43)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:45)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:13)(cid:52)(cid:53)
(cid:22)(cid:26)2023(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:26)2023(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:3)(cid:34)(cid:54)
2022(cid:8)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅰ(cid:22)(cid:26)2022(cid:8)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:26)2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:22)(cid:26)2022
(cid:20)(cid:21)(cid:22)
2024(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:26)2024(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:3)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:55)(cid:56)(cid:18)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:37)(cid:26) 2023(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:22)
(cid:37)(cid:60)(cid:65)(cid:66)(cid:42)(cid:67)(cid:68)(cid:27)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:39)(cid:18)
(cid:27)(cid:18)(cid:37)(cid:40)(cid:41) 2022(cid:8)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅰ(cid:22)(cid:26)2022(cid:8)(cid:23)
(cid:37)(cid:54)
(cid:33)(cid:3)(cid:27)(cid:28)Ⅱ(cid:22)(cid:26)2022(cid:31)(cid:32)(cid:22)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:22)(cid:26)2026(cid:20)(cid:21)(cid:22)
2025(cid:76)(cid:77)(cid:22)(cid:26)2025(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:18)(cid:37)(cid:35)(cid:36) (cid:3)(cid:34)(cid:78)(cid:79)(cid:59)(cid:56)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:60)(cid:80)(cid:81)(cid:82)
2024(cid:8)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:22)(cid:26)2024(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:69)(cid:70)(cid:63)(cid:71)(cid:26)(cid:72)(cid:73)(cid:61) (cid:35)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:83)(cid:74)
2023(cid:8)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:22)(cid:26)2023(cid:76)(cid:77)(cid:22)(cid:26)
(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:74)(cid:75) (cid:75)(cid:54)
2023(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:26)2023(cid:20)(cid:21)(cid:22)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:22)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:22)(cid:26)2026(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:3)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:35)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:19)
2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:22)(cid:26)2025(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:91)
(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:60)(cid:95)(cid:96)(cid:42)(cid:91)(cid:97)(cid:5)(cid:86)(cid:26)(cid:98)(cid:99)
(cid:3)(cid:4)04 (cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85) (cid:22)(cid:26)2025(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:26)2025(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:5)(cid:86)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:35)(cid:42)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:93)(cid:94)(cid:19)
(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:64)(cid:87)(cid:88)(cid:89) 2024(cid:8)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅰ(cid:22)(cid:26)2024(cid:76)(cid:77)(cid:22)
(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:72)(cid:65)(cid:108)(cid:109)(cid:60)(cid:110)(cid:111)(cid:42)(cid:112)(cid:36)(cid:113)
(cid:90) 2023(cid:8)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:22)(cid:26)2023(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:95)(cid:96)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:118)(cid:96)(cid:119)(cid:95)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:26)2022(cid:76)(cid:77)(cid:22)(cid:26)
(cid:120)(cid:119)(cid:60)(cid:110)(cid:121)(cid:122)(cid:25)(cid:42)(cid:113)(cid:3)(cid:34)(cid:123)(cid:124)(cid:54)
2022(cid:20)(cid:21)(cid:22)考点 01 古典概型
1(cid:125)（2025·上海·高考真题）(cid:102)(cid:52)(cid:126)(cid:127)(cid:128)ABCD(cid:42)(cid:107)(cid:129)(cid:36)(cid:126)(cid:127)AB(cid:26)BC(cid:26)CD(cid:26)DA(cid:42)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:5)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:52)(cid:136)(cid:71)(cid:85)
(cid:95)(cid:137)(cid:60)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:138)(cid:139)(cid:98)(cid:142)(cid:143)(cid:20)(cid:42)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:141)(cid:138)(cid:139)(cid:116)(cid:142)(cid:143)(cid:20)(cid:42)(cid:144)(cid:149)(cid:146)(cid:147)(cid:125)(cid:150)(cid:151)(cid:42)(cid:82)A(cid:115)(cid:53)(cid:4)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:146)
(cid:147)(cid:60)(cid:127)(cid:156)(cid:157)(cid:42)(cid:158)(cid:82)(cid:159)(cid:160)C(cid:4)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:10) (cid:11)(cid:125)
1 7 1 3
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)
2 16 4 16
2(cid:125)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:161)(cid:61)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:60)(cid:165)(cid:164)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:102)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:169)(cid:26)(cid:170)(cid:126)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:42)(cid:174)(cid:171)(cid:156)(cid:175)(cid:52)(cid:176)(cid:42)(cid:156)
(cid:175)(cid:176)(cid:132)(cid:177)(cid:57)(cid:58)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:42)(cid:144)(cid:169)(cid:149)(cid:113)(cid:182)(cid:52)(cid:79)(cid:156)(cid:175)(cid:42)(cid:183)(cid:29)(cid:184)(cid:30)(cid:150)(cid:151)(cid:156)(cid:175)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:113)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 1
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)
6 4 3 2
3(cid:125)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:161)(cid:88)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:114)(cid:188)(cid:163)(cid:164)(cid:42)(cid:168)6(cid:79)(cid:189)(cid:13)(cid:42)(cid:174)(cid:190)(cid:172)(cid:164)(cid:191)(cid:88)(cid:192)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:178)(cid:118)(cid:52)(cid:79)(cid:189)(cid:13)
(cid:194)(cid:195)(cid:114)(cid:188)(cid:42)(cid:144)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:190)(cid:172)(cid:164)(cid:191)(cid:88)(cid:178)(cid:159)(cid:149)(cid:191)(cid:189)(cid:13)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:10) (cid:11)
5 2 1 1
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)
6 3 2 3
4(cid:125)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:161)(cid:185)(cid:188)(cid:196)(cid:197)(cid:102)4(cid:198)(cid:88)(cid:199)(cid:42)(cid:36)(cid:193)(cid:33)(cid:52)(cid:26)(cid:33)(cid:91)(cid:8)(cid:200)(cid:201)2(cid:198)(cid:125)(cid:192)(cid:202)4(cid:198)(cid:88)(cid:199)(cid:193)(cid:57)
(cid:58)(cid:203)2(cid:198)(cid:48)(cid:204)(cid:185)(cid:188)(cid:196)(cid:205)(cid:206)(cid:42)(cid:144)(cid:202)2(cid:198)(cid:88)(cid:199)(cid:207)(cid:208)(cid:149)(cid:191)(cid:8)(cid:200)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 2
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)
6 3 2 3
5(cid:125)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:192)(cid:5)(cid:133)(cid:209)(cid:102)1(cid:42)2(cid:42)3(cid:42)4(cid:42)5(cid:42)6(cid:60)6(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:193)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:57)(cid:58)(cid:178)(cid:118)2(cid:210)(cid:42)(cid:144)(cid:178)(cid:159)
(cid:60)2(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:20)(cid:60)(cid:87)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:113)4(cid:60)(cid:219)(cid:87)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:10) (cid:11)
1 1 2 2
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)
5 3 5 3
6(cid:125)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:192)2(cid:220)8(cid:60)7(cid:79)(cid:221)(cid:87)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:118)2(cid:79)(cid:149)(cid:191)(cid:60)(cid:87)(cid:42)(cid:144)(cid:202)2(cid:79)(cid:87)(cid:73)(cid:71)(cid:60)(cid:18)(cid:37)
(cid:115)(cid:10) (cid:11)
1 1 1 2
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)
6 3 2 3
7(cid:125)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:102)6(cid:79)(cid:72)(cid:191)(cid:60)(cid:222)(cid:42)(cid:5)(cid:133)(cid:25)(cid:102)(cid:87)(cid:216)1(cid:26)2(cid:26)3(cid:26)4(cid:26)5(cid:26)6(cid:42)(cid:192)(cid:193)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:223)(cid:57)(cid:58)(cid:118)
3(cid:176)(cid:42)(cid:174)(cid:176)(cid:118)1(cid:79)(cid:222).(cid:224)m(cid:115)(cid:225)(cid:78)(cid:176)(cid:118)(cid:156)(cid:60)(cid:222)(cid:20)(cid:87)(cid:216)(cid:60)(cid:119)(cid:95)(cid:96)(cid:42)n(cid:115)(cid:118)(cid:156)(cid:60)(cid:226)(cid:79)(cid:222)(cid:20)(cid:87)(cid:216)(cid:60)(cid:119)(cid:95)(cid:96)(cid:42)(cid:144)m(cid:83)n
1
(cid:217)(cid:227)(cid:60)(cid:228)(cid:107)(cid:96)(cid:149)(cid:229)(cid:129) (cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)______(cid:125)
2
8(cid:125)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:171)(cid:201)(cid:102)(cid:126)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:42)(cid:174)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:20)(cid:25)(cid:102)(cid:52)(cid:79)(cid:87)(cid:216)(cid:42)(cid:29)(cid:60)(cid:211)(cid:212)(cid:20)(cid:5)(cid:133)(cid:25)(cid:102)(cid:87)(cid:216)1(cid:42)3(cid:42)5(cid:42)7(cid:42)(cid:30)(cid:60)(cid:211)(cid:212)(cid:20)(cid:5)(cid:133)(cid:25)(cid:102)(cid:87)(cid:216)2(cid:42)4(cid:42)6(cid:42)8(cid:42)(cid:78)(cid:171)(cid:230)(cid:231)(cid:126)(cid:232)(cid:163)(cid:164)(cid:42)(cid:233)(cid:174)(cid:232)(cid:163)(cid:164)(cid:193)(cid:42)(cid:78)(cid:171)(cid:201)(cid:208)
(cid:192)(cid:208)(cid:234)(cid:235)(cid:102)(cid:60)(cid:211)(cid:212)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:203)(cid:52)(cid:210)(cid:42)(cid:236)(cid:163)(cid:237)(cid:238)(cid:203)(cid:211)(cid:212)(cid:20)(cid:87)(cid:216)(cid:60)(cid:229)(cid:239)(cid:42)(cid:87)(cid:216)(cid:229)(cid:60)(cid:171)(cid:240)1(cid:5)(cid:42)(cid:87)(cid:216)(cid:239)(cid:60)(cid:171)(cid:240)0(cid:5)(cid:42)
(cid:241)(cid:151)(cid:201)(cid:208)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:232)(cid:238)(cid:203)(cid:60)(cid:211)(cid:212)(cid:10)(cid:242)(cid:243)(cid:60)(cid:211)(cid:212)(cid:233)(cid:244)(cid:151)(cid:60)(cid:232)(cid:176)(cid:193)(cid:149)(cid:245)(cid:246)(cid:68)(cid:11).(cid:144)(cid:126)(cid:232)(cid:163)(cid:164)(cid:151)(cid:42)(cid:29)(cid:60)(cid:247)(cid:240)(cid:5)(cid:149)(cid:239)(cid:129)2
(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)_________.
9(cid:125)（2023·天津·高考真题）(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:79)(cid:251)(cid:222)(cid:64)(cid:252)(cid:222)(cid:10)(cid:202)(cid:253)(cid:222)(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:257)(cid:213)(cid:36)(cid:258)(cid:227)(cid:259)(cid:11)(cid:214)(cid:230)(cid:226)(cid:79)(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:193)(cid:42)(cid:226)(cid:79)
(cid:261)(cid:262)(cid:193)(cid:60)(cid:222)(cid:87)(cid:217)(cid:163)(cid:115)5:4:6(cid:125)(cid:183)(cid:36)(cid:193)(cid:60)(cid:251)(cid:222)(cid:163)(cid:263)(cid:264)(cid:176)(cid:115)40%,25%,50%(cid:125)(cid:249)(cid:192)(cid:174)(cid:79)(cid:261)(cid:262)(cid:193)(cid:201)(cid:57)(cid:58)(cid:265)(cid:156)(cid:52)(cid:222)(cid:42)
(cid:144)(cid:226)(cid:79)(cid:222)(cid:266)(cid:113)(cid:251)(cid:222)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)_________(cid:148)(cid:249)(cid:248)(cid:238)(cid:102)(cid:222)(cid:214)(cid:233)(cid:52)(cid:53)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:265)(cid:156)(cid:52)(cid:222)(cid:42)(cid:144)(cid:267)(cid:222)(cid:113)(cid:252)(cid:222)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)
_________(cid:125)
10(cid:125)（2023·上海·高考真题）(cid:268)(cid:108)(cid:102)4(cid:198)(cid:269)(cid:199)6(cid:198)(cid:270)(cid:199)(cid:42)(cid:105)(cid:192)10(cid:171)(cid:193)(cid:271)(cid:203)3(cid:171)(cid:42)(cid:144)(cid:272)(cid:102)1(cid:198)(cid:269)(cid:199)2(cid:198)(cid:270)(cid:199)
(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)_____________(cid:125)
11(cid:125)（2022·上海·高考真题）(cid:115)(cid:106)(cid:273)(cid:274)(cid:88)(cid:199)(cid:60)(cid:275)(cid:104)(cid:276)(cid:71)(cid:122)(cid:25)(cid:42)(cid:192)(cid:277)(cid:278)(cid:6)1(cid:97)(cid:42)(cid:222)(cid:6)3(cid:97)(cid:42)(cid:279)(cid:280)(cid:6)4(cid:97)(cid:168)8(cid:97)
(cid:97)(cid:281)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:178)(cid:118)4(cid:97)(cid:230)(cid:231)(cid:273)(cid:144)(cid:42)(cid:144)(cid:174)(cid:52)(cid:6)(cid:266)(cid:282)(cid:178)(cid:159)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)___________(cid:148)
12(cid:125)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:192)(cid:98)(cid:283)(cid:104)(cid:60)8(cid:79)(cid:284)(cid:4)(cid:193)(cid:271)(cid:203)4(cid:79)(cid:42)(cid:144)(cid:202)4(cid:79)(cid:4)(cid:233)(cid:191)(cid:52)(cid:79)(cid:119)(cid:142)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)________(cid:125)
13(cid:125)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:192)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:285)5(cid:198)(cid:191)(cid:88)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:203)3(cid:198)(cid:172)(cid:173)(cid:286)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:114)(cid:42)(cid:144)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:266)(cid:291)(cid:203)(cid:60)
(cid:18)(cid:37)(cid:115)____________(cid:125)
14(cid:125)（2024·上海·高考真题）(cid:161)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:292)(cid:88)(cid:293)(cid:294)(cid:163)(cid:164)(cid:42)(cid:102)A(cid:26)B(cid:26)C3(cid:295)(cid:13)(cid:296)(cid:42)A(cid:13)(cid:296)(cid:102)5000(cid:297)(cid:13)(cid:42)B(cid:13)(cid:296)
(cid:102)4000(cid:297)(cid:13)(cid:42)C(cid:13)(cid:296)(cid:102)3000(cid:297)(cid:13)(cid:125)(cid:239)(cid:298)(cid:268)(cid:299)(cid:300)(cid:238)(cid:102)(cid:13)(cid:42)(cid:268)(cid:108)(cid:239)(cid:298)(cid:299)(cid:300)A(cid:13)(cid:296)(cid:60)(cid:98)(cid:180)(cid:37)(cid:113)0.92(cid:42)B(cid:13)(cid:296)(cid:60)
(cid:98)(cid:180)(cid:37)(cid:113)0.86(cid:42)C(cid:13)(cid:296)(cid:60)(cid:98)(cid:180)(cid:37)(cid:113)0.72(cid:125)(cid:105)(cid:301)(cid:192)(cid:238)(cid:102)(cid:60)(cid:13)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:203)(cid:52)(cid:13)(cid:42)(cid:98)(cid:180)(cid:37)(cid:113)______(cid:125)
考点 02 条件概率、全概率公式
1(cid:125)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:161)(cid:223)(cid:60)(cid:193)(cid:88)(cid:199)(cid:193)(cid:102)60%(cid:60)(cid:191)(cid:88)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:42)50%(cid:60)(cid:191)(cid:88)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:306)(cid:42)70%(cid:60)(cid:191)
(cid:88)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:184)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:306).(cid:233)(cid:267)(cid:223)(cid:60)(cid:193)(cid:88)(cid:199)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:307)(cid:34)(cid:52)(cid:190)(cid:191)(cid:88)(cid:42)(cid:249)(cid:267)(cid:191)(cid:88)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:306)(cid:42)(cid:144)(cid:267)(cid:191)(cid:88)(cid:100)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:60)
(cid:18)(cid:37)(cid:115)(cid:10) (cid:11)
A(cid:125)0.8 B(cid:125)0.6 C(cid:125)0.5 D(cid:125)0.4
2(cid:125)（2026·天津·高考真题）(cid:261)(cid:262)(cid:308)(cid:102)(cid:52)(cid:79)(cid:309)(cid:222)(cid:42)(cid:78)(cid:79)(cid:310)(cid:222)(cid:42)(cid:226)(cid:79)(cid:252)(cid:222)(cid:42)(cid:102)(cid:214)(cid:215)(cid:60)(cid:118)(cid:226)(cid:176)(cid:42)(cid:226)(cid:176)(cid:266)(cid:311)(cid:118)(cid:159)(cid:310)
(cid:222)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:113)__________(cid:148)(cid:233)(cid:226)(cid:176)(cid:266)(cid:311)(cid:118)(cid:159)(cid:310)(cid:222)(cid:60)(cid:55)(cid:56)(cid:312)(cid:42)(cid:220)(cid:313)(cid:118)(cid:159)(cid:52)(cid:176)(cid:309)(cid:222)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:113)__________(cid:125)
3(cid:125)（2024·上海·高考真题）(cid:161)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:292)(cid:88)(cid:293)(cid:294)(cid:163)(cid:164)(cid:42)(cid:102)A(cid:26)B(cid:26)C3(cid:295)(cid:13)(cid:296)(cid:42)A(cid:13)(cid:296)(cid:102)5000(cid:297)(cid:13)(cid:42)B(cid:13)(cid:296)(cid:102)
4000(cid:297)(cid:13)(cid:42)C(cid:13)(cid:296)(cid:102)3000(cid:297)(cid:13)(cid:125)(cid:239)(cid:298)(cid:268)(cid:299)(cid:300)(cid:238)(cid:102)(cid:13)(cid:42)(cid:268)(cid:108)(cid:239)(cid:298)(cid:299)(cid:300)A(cid:13)(cid:296)(cid:60)(cid:98)(cid:180)(cid:37)(cid:113)0.92(cid:42)B(cid:13)(cid:296)(cid:60)(cid:98)(cid:180)
(cid:37)(cid:113)0.86(cid:42)C(cid:13)(cid:296)(cid:60)(cid:98)(cid:180)(cid:37)(cid:113)0.72(cid:125)(cid:105)(cid:301)(cid:192)(cid:238)(cid:102)(cid:60)(cid:13)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:203)(cid:52)(cid:13)(cid:42)(cid:98)(cid:180)(cid:37)(cid:113)______(cid:125)4(cid:125)（2024·天津·高考真题）(cid:161)(cid:185)(cid:48)(cid:204)(cid:88)(cid:199)(cid:172)(cid:173)(cid:314)(cid:315)(cid:49)(cid:316)(cid:317)(cid:318)(cid:42)(cid:89)(cid:319)(cid:320)(cid:46)(cid:106)(cid:321)(cid:318)(cid:294)(cid:245)(cid:163)(cid:164)(cid:42)(cid:163)(cid:164)(cid:168)5(cid:79)(cid:97)(cid:281)(cid:42)
(cid:5)(cid:133)(cid:115)(cid:221)(cid:223)(cid:322)(cid:323)(cid:26)(cid:324)(cid:279)(cid:325)(cid:295)(cid:26)(cid:114)(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:26)(cid:279)(cid:319)(cid:329)(cid:330)(cid:26)(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:334)(cid:42)(cid:14)(cid:181)(cid:174)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:36)(cid:193)3(cid:79)(cid:97)(cid:281).(cid:335)(cid:336)(cid:174)(cid:171)(cid:172)(cid:173)
(cid:174)(cid:79)(cid:97)(cid:281)(cid:60)(cid:158)(cid:245)(cid:63)(cid:72)(cid:191)(cid:42)(cid:144)(cid:29)(cid:191)(cid:88)(cid:172)(cid:173)“(cid:221)(cid:223)(cid:322)(cid:323)”(cid:97)(cid:281)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)______(cid:148)(cid:268)(cid:108)(cid:30)(cid:191)(cid:88)(cid:172)(cid:173)(cid:60)3(cid:79)(cid:97)(cid:281)(cid:193)(cid:102)“(cid:221)
(cid:223)(cid:322)(cid:323)”(cid:42)(cid:144)(cid:301)(cid:337)(cid:172)(cid:173)“(cid:279)(cid:319)(cid:329)(cid:330)”(cid:97)(cid:281)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)______(cid:125)
5(cid:125)（2022·天津·高考真题）52(cid:210)(cid:338)(cid:339)(cid:340)(cid:42)(cid:311)(cid:102)(cid:229)(cid:239)(cid:341)(cid:42)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:223)(cid:178)(cid:118)(cid:78)(cid:176)(cid:42)(cid:144)(cid:78)(cid:176)(cid:266)(cid:178)(cid:159)A(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)
____________(cid:148)(cid:268)(cid:108)(cid:182)(cid:52)(cid:176)(cid:178)(cid:159)(cid:60)(cid:113)A(cid:42)(cid:144)(cid:182)(cid:91)(cid:176)(cid:178)(cid:118)A(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)____________
6(cid:125)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:233)(cid:161)(cid:223)(cid:287)(cid:230)(cid:231)(cid:342)(cid:231)(cid:343)(cid:88)(cid:307)(cid:34)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:307)(cid:34)(cid:106)100(cid:190)(cid:161)(cid:295)(cid:344)(cid:343)(cid:345)(cid:346)(cid:60)(cid:8)(cid:347)(cid:42)
(cid:240)(cid:159)(cid:141)(cid:312)(cid:60)(cid:348)(cid:70)(cid:87)(cid:349)(cid:60)(cid:350)(cid:37)(cid:5)(cid:86)(cid:351)(cid:283)(cid:352)(cid:140)
(1)(cid:353)(cid:38)(cid:267)(cid:223)(cid:287)(cid:202)(cid:295)(cid:344)(cid:343)(cid:345)(cid:346)(cid:60)(cid:119)(cid:95)(cid:8)(cid:347)(cid:10)(cid:191)(cid:52)(cid:48)(cid:193)(cid:60)(cid:87)(cid:349)(cid:68)(cid:267)(cid:48)(cid:287)(cid:319)(cid:60)(cid:193)(cid:4)(cid:96)(cid:115)(cid:354)(cid:355)(cid:11)(cid:148)
(2)(cid:353)(cid:38)(cid:267)(cid:223)(cid:287)(cid:52)(cid:190)(cid:202)(cid:295)(cid:344)(cid:343)(cid:345)(cid:346)(cid:60)(cid:8)(cid:347)(cid:190)(cid:129)(cid:287)(cid:319)[20,70)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(3)(cid:268)(cid:108)(cid:267)(cid:223)(cid:287)(cid:202)(cid:295)(cid:344)(cid:343)(cid:60)(cid:345)(cid:343)(cid:37)(cid:115)0.1%(cid:42)(cid:267)(cid:223)(cid:287)(cid:8)(cid:347)(cid:190)(cid:129)(cid:287)(cid:319)[40,50)(cid:60)(cid:171)(cid:356)(cid:357)(cid:267)(cid:223)(cid:287)(cid:247)(cid:171)(cid:356)(cid:60)16%.(cid:192)(cid:267)
(cid:223)(cid:287)(cid:193)(cid:271)(cid:203)(cid:52)(cid:171)(cid:42)(cid:249)(cid:244)(cid:171)(cid:60)(cid:8)(cid:347)(cid:190)(cid:129)(cid:287)(cid:319)[40,50)(cid:42)(cid:92)(cid:244)(cid:171)(cid:345)(cid:202)(cid:295)(cid:344)(cid:343)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:125)(cid:10)(cid:82)(cid:348)(cid:70)(cid:87)(cid:349)(cid:193)(cid:345)(cid:346)(cid:60)(cid:8)(cid:347)
(cid:190)(cid:129)(cid:201)(cid:287)(cid:319)(cid:60)(cid:350)(cid:37)(cid:114)(cid:115)(cid:345)(cid:346)(cid:60)(cid:8)(cid:347)(cid:190)(cid:129)(cid:267)(cid:287)(cid:319)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:358)(cid:180)(cid:159)0.0001(cid:11).
7(cid:125)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:52)(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:362)(cid:115)(cid:363)(cid:364)(cid:161)(cid:223)(cid:60)(cid:52)(cid:295)(cid:223)(cid:283)(cid:63)(cid:344)(cid:343)(cid:83)(cid:365)(cid:223)(cid:366)(cid:367)(cid:60)(cid:368)(cid:199)(cid:369)(cid:370)(cid:10)(cid:368)
(cid:199)(cid:369)(cid:370)(cid:5)(cid:115)(cid:371)(cid:303)(cid:64)(cid:149)(cid:372)(cid:371)(cid:303)(cid:78)(cid:6)(cid:11)(cid:60)(cid:65)(cid:66)(cid:42)(cid:233)(cid:268)(cid:345)(cid:267)(cid:344)(cid:343)(cid:60)(cid:343)(cid:263)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:307)(cid:34)(cid:106)100(cid:263)(cid:10)(cid:373)(cid:115)(cid:343)(cid:263)(cid:48)(cid:11)(cid:42)(cid:191)
(cid:101)(cid:233)(cid:155)(cid:345)(cid:267)(cid:344)(cid:343)(cid:60)(cid:171)(cid:374)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:307)(cid:34)(cid:106)100(cid:171)(cid:10)(cid:373)(cid:115)(cid:107)(cid:375)(cid:48)(cid:11)(cid:42)(cid:240)(cid:159)(cid:141)(cid:312)(cid:87)(cid:349)(cid:140)
(cid:149)(cid:372)(cid:371)(cid:303) (cid:371)(cid:303)
(cid:343)(cid:263)(cid:48) 40 60
(cid:107)(cid:375)(cid:48) 10 90(1)(cid:245)(cid:376)(cid:102)99%(cid:60)(cid:248)(cid:377)(cid:378)(cid:115)(cid:345)(cid:267)(cid:344)(cid:343)(cid:374)(cid:104)(cid:83)(cid:155)(cid:345)(cid:267)(cid:344)(cid:343)(cid:374)(cid:104)(cid:60)(cid:368)(cid:199)(cid:369)(cid:370)(cid:102)(cid:227)(cid:259)(cid:379)
(2)(cid:192)(cid:267)(cid:223)(cid:60)(cid:171)(cid:374)(cid:193)(cid:271)(cid:203)(cid:52)(cid:171)(cid:42)A(cid:355)(cid:380)(cid:59)(cid:56)“(cid:203)(cid:159)(cid:60)(cid:171)(cid:368)(cid:199)(cid:369)(cid:370)(cid:149)(cid:372)(cid:371)(cid:303)”(cid:42)B(cid:355)(cid:380)(cid:59)(cid:56)“(cid:203)(cid:159)(cid:60)(cid:171)(cid:345)(cid:102)(cid:267)(cid:344)
P(B|A) P(B|A)
(cid:343)”(cid:125) (cid:83) (cid:60)(cid:163)(cid:96)(cid:113)(cid:368)(cid:199)(cid:369)(cid:370)(cid:149)(cid:372)(cid:371)(cid:303)(cid:107)(cid:345)(cid:267)(cid:344)(cid:343)(cid:381)(cid:382)(cid:383)(cid:384)(cid:60)(cid:52)(cid:97)(cid:384)(cid:85)(cid:122)(cid:25)(cid:42)(cid:224)(cid:267)(cid:122)(cid:25)(cid:115)R(cid:125)
P(B|A) P(B|A)
P(A|B) P(A|B)
(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:385)(cid:386)(cid:140)R= × (cid:148)
P(A|B) P(A|B)
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:267)(cid:307)(cid:34)(cid:87)(cid:349)(cid:42)(cid:387)(cid:156)P(A|B),P(A|B)(cid:60)(cid:353)(cid:38)(cid:96)(cid:42)(cid:236)(cid:67)(cid:68)(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:60)(cid:44)(cid:388)(cid:387)(cid:156)R(cid:60)(cid:353)(cid:38)(cid:96)(cid:125)
n(ad-bc)2
(cid:389)K2 = (cid:42)
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P  K2 ³k  0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
考点 03 概率及其基本性质、相互独立事件及其推广
1
1(cid:125)（2025·上海·高考真题）(cid:268)(cid:108)(cid:59)(cid:56)A(cid:26)B(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:42)(cid:59)(cid:56)A(cid:157)(cid:199)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)P(A)= (cid:42)(cid:59)(cid:56)B(cid:157)(cid:199)(cid:60)(cid:18)(cid:37)
2
1
(cid:115)P(B)= (cid:42)(cid:144)(cid:59)(cid:56)AÇB(cid:157)(cid:199)(cid:60)(cid:18)(cid:37)P(AÇB)(cid:115)(cid:10) (cid:11)
2
1 1 1
A(cid:125) B(cid:125) C(cid:125) D(cid:125)0
8 4 2
2(cid:125)（2024·上海·高考真题）(cid:102)(cid:126)(cid:295)(cid:390)(cid:391)(cid:42)(cid:225)(cid:226)(cid:295)(cid:308)(cid:142)(cid:5)(cid:133)(cid:392)(cid:393)(cid:102)(cid:193)(cid:28)(cid:44)(cid:26)(cid:224)(cid:59)(cid:70)(cid:26)(cid:394)(cid:395)(cid:42)(cid:182)(cid:126)(cid:79)(cid:390)(cid:391)(cid:308)(cid:142)
(cid:226)(cid:295)(cid:390)(cid:396)(cid:266)(cid:102)(cid:42)(cid:105)(cid:192)(cid:193)(cid:271)(cid:203)(cid:52)(cid:79)(cid:391)(cid:262)(cid:42)(cid:336)(cid:59)(cid:56)A(cid:140)(cid:238)(cid:203)(cid:391)(cid:193)(cid:102)(cid:193)(cid:28)(cid:44)(cid:42)(cid:59)(cid:56)B(cid:140)(cid:238)(cid:203)(cid:391)(cid:193)(cid:102)(cid:224)(cid:59)(cid:70)(cid:42)(cid:59)(cid:56)
C(cid:140)(cid:238)(cid:203)(cid:391)(cid:193)(cid:102)(cid:394)(cid:395)(cid:42)(cid:144)(cid:10) (cid:11)
A(cid:125)(cid:59)(cid:56)A(cid:83)(cid:59)(cid:56)B(cid:73)(cid:397) B(cid:125)(cid:59)(cid:56)A(cid:83)(cid:59)(cid:56)B(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)
C(cid:125)(cid:59)(cid:56)A(cid:83)(cid:59)(cid:56)BÈC(cid:73)(cid:397) D(cid:125)(cid:59)(cid:56)A(cid:83)(cid:59)(cid:56)BÇC(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)
3(cid:125)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:161)(cid:398)(cid:399)(cid:83)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:169)(cid:226)(cid:190)(cid:398)(cid:399)(cid:201)(cid:163)(cid:164)(cid:52)(cid:400)(cid:42)(cid:201)(cid:400)(cid:163)(cid:164)(cid:44)(cid:388)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:125)(cid:268)(cid:108)
(cid:267)(cid:398)(cid:399)(cid:83)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:169)(cid:163)(cid:164)(cid:401)(cid:402)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:5)(cid:133)(cid:115)p,p ,p (cid:42)(cid:183)p > p > p >0(cid:125)(cid:224)(cid:267)(cid:398)(cid:399)(cid:403)(cid:402)(cid:78)(cid:400)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)p(cid:42)
1 2 3 3 2 1
(cid:144)(cid:10) (cid:11)
A(cid:125)p(cid:83)(cid:267)(cid:398)(cid:399)(cid:64)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:169)(cid:60)(cid:163)(cid:164)(cid:176)(cid:132)(cid:213)(cid:65) B(cid:125)(cid:267)(cid:398)(cid:399)(cid:233)(cid:182)(cid:91)(cid:400)(cid:83)(cid:29)(cid:163)(cid:164)(cid:42)p(cid:150)(cid:229)
C(cid:125)(cid:267)(cid:398)(cid:399)(cid:233)(cid:182)(cid:91)(cid:400)(cid:83)(cid:30)(cid:163)(cid:164)(cid:42)p(cid:150)(cid:229) D(cid:125)(cid:267)(cid:398)(cid:399)(cid:233)(cid:182)(cid:91)(cid:400)(cid:83)(cid:169)(cid:163)(cid:164)(cid:42)p(cid:150)(cid:229)
4(cid:125)（2026·上海·高考真题）(cid:59)(cid:56)A(cid:64)(cid:59)(cid:56)B(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:42)“A(cid:64)B(cid:220)(cid:313)(cid:52)(cid:79)(cid:157)(cid:199)”(cid:60)(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:56)(cid:113)(cid:10) (cid:11)(cid:125)A(cid:125)AÇB B(cid:125)AUB C(cid:125)AIB D(cid:125)AÈB
5(cid:125)(cid:10)(cid:404)(cid:203)(cid:13)(cid:11)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:233)(cid:405)(cid:297)(cid:406)(cid:407)(cid:408)0(cid:42)1(cid:405)(cid:409)(cid:42)(cid:405)(cid:409)(cid:60)(cid:407)(cid:408)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:125)(cid:157)(cid:410)0(cid:101)(cid:42)
(cid:411)(cid:159)1(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)a(0<a<1)(cid:42)(cid:411)(cid:159)0(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)1-a(cid:148)(cid:157)(cid:410)1(cid:101)(cid:42)(cid:411)(cid:159)0(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)b(0<b<1)(cid:42)(cid:411)(cid:159)1(cid:60)(cid:18)
(cid:37)(cid:115)1-b. (cid:3)(cid:412)(cid:78)(cid:295)(cid:407)(cid:408)(cid:283)(cid:413)(cid:140)(cid:414)(cid:176)(cid:407)(cid:408)(cid:64)(cid:226)(cid:176)(cid:407)(cid:408)(cid:125)(cid:414)(cid:176)(cid:407)(cid:408)(cid:113)(cid:122)(cid:174)(cid:79)(cid:405)(cid:409)(cid:415)(cid:157)(cid:410)1(cid:176)(cid:42)(cid:226)(cid:176)(cid:407)(cid:408) (cid:113)(cid:122)
(cid:174)(cid:79)(cid:405)(cid:409)(cid:110)(cid:416)(cid:157)(cid:410)3(cid:176)(cid:125)(cid:411)(cid:159)(cid:60)(cid:405)(cid:409)(cid:417)(cid:121)(cid:418)(cid:419)(cid:42)(cid:418)(cid:419)(cid:14)(cid:144)(cid:141)(cid:312)(cid:140)(cid:414)(cid:176)(cid:407)(cid:408)(cid:101)(cid:42)(cid:411)(cid:159)(cid:60)(cid:405)(cid:409)(cid:420)(cid:115)(cid:418)(cid:419)(cid:148)(cid:226)(cid:176)
(cid:407)(cid:408)(cid:101)(cid:42)(cid:411)(cid:159)(cid:60)(cid:405)(cid:409)(cid:193)(cid:156)(cid:105)(cid:176)(cid:87)(cid:404)(cid:60)(cid:420)(cid:115)(cid:418)(cid:419)(cid:10)(cid:263)(cid:141)(cid:42)(cid:249)(cid:264)(cid:176)(cid:411)(cid:159)1(cid:42)0(cid:42)1(cid:42)(cid:144)(cid:418)(cid:419)(cid:115)1(cid:11).
A(cid:125)(cid:421)(cid:68)(cid:414)(cid:176)(cid:407)(cid:408)(cid:283)(cid:413)(cid:42)(cid:249)(cid:264)(cid:176)(cid:157)(cid:410)1(cid:42)0(cid:42)1(cid:42)(cid:144)(cid:264)(cid:176)(cid:411)(cid:159)l(cid:42)0(cid:42)1(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)(1-a)(1-b)2
B(cid:125)(cid:421)(cid:68)(cid:226)(cid:176)(cid:407)(cid:408)(cid:283)(cid:413)(cid:42)(cid:249)(cid:157)(cid:410)1(cid:42)(cid:144)(cid:264)(cid:176)(cid:411)(cid:159)1(cid:42)0(cid:42)1(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)b(1-b)2
C(cid:125)(cid:421)(cid:68)(cid:226)(cid:176)(cid:407)(cid:408)(cid:283)(cid:413)(cid:42)(cid:249)(cid:157)(cid:410)1(cid:42)(cid:144)(cid:418)(cid:419)(cid:115)1(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)b(1-b)2+(1-b)3
D(cid:125)(cid:365)0<a<0.5(cid:101)(cid:42)(cid:249)(cid:157)(cid:410)0(cid:42)(cid:144)(cid:421)(cid:68)(cid:226)(cid:176)(cid:407)(cid:408)(cid:283)(cid:413)(cid:418)(cid:419)(cid:115)0(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:229)(cid:129)(cid:421)(cid:68)(cid:414)(cid:176)(cid:407)(cid:408)(cid:283)(cid:413)(cid:418)(cid:419)(cid:115)0(cid:60)
(cid:18)(cid:37)
6(cid:125)（2026·上海·高考真题）(cid:268)(cid:108)(cid:59)(cid:56)A(cid:42)B(cid:73)(cid:397)(cid:42)PA=0.2(cid:42)PB=0.5(cid:42)(cid:144)PAUB=__________(cid:125)
7(cid:125)（2023·上海·高考真题）(cid:268)(cid:108)(cid:59)(cid:56)A(cid:157)(cid:199)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)P(A)=0.5(cid:42)(cid:144)(cid:258)(cid:60)(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:56)A(cid:157)(cid:199)(cid:60)(cid:18)(cid:37)P(A)=
______________(cid:125)
8(cid:125)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:336)(cid:221)(cid:87)N ³2(cid:125)(cid:161)(cid:191)(cid:88)(cid:68)(cid:52)(cid:79)(cid:222)(cid:230)(cid:231)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:369)(cid:42)(cid:220)(cid:404)(cid:422)(cid:423)N (cid:176)(cid:42)(cid:365)(cid:183)(cid:392)(cid:365)
(cid:422)(cid:193)1(cid:176)(cid:101)(cid:184)N (cid:176)(cid:95)(cid:155)(cid:422)(cid:193)(cid:101)(cid:42)(cid:425)(cid:426)(cid:424)(cid:369)(cid:125)(cid:336)(cid:267)(cid:191)(cid:88)(cid:174)(cid:176)(cid:422)(cid:193)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)p0< p<1(cid:42)(cid:201)(cid:176)(cid:422)(cid:193)(cid:83)(cid:376)(cid:72)(cid:73)(cid:61)
(cid:62)(cid:125)(cid:224)X(cid:115)(cid:425)(cid:426)(cid:424)(cid:369)(cid:101)(cid:267)(cid:191)(cid:88)(cid:60)(cid:422)(cid:423)(cid:176)(cid:87)(cid:125)
1
(1)(cid:365)N =4(cid:42)p= (cid:101)(cid:42)(cid:92)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:148)
3
(2)(cid:336)k(cid:42)m(cid:95)(cid:115)(cid:208)(cid:241)(cid:87)(cid:125)
(cid:10)i(cid:11)(cid:365)k £N-1(cid:101)(cid:42)(cid:92)PX >k(cid:148)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:365)k+m£N-1(cid:101)(cid:42)(cid:385)(cid:386)(cid:140)PX >k+m X >k=PX >m(cid:125)
9(cid:125)（2026·上海·高考真题）(cid:161)(cid:427)(cid:428)(cid:429)(cid:168)150(cid:171)(cid:42)(cid:8)(cid:347)(cid:5)(cid:86)(cid:35)(cid:427)(cid:428)(cid:302)(cid:303)(cid:430)(cid:38)(cid:141)(cid:312)(cid:140)
(cid:8)(cid:347) (cid:431)(cid:432) (cid:433)(cid:434) (cid:435)(cid:435) (cid:171)(cid:87)
25,35
8 4535,45
10 55
45,55
6 50
(1)(cid:105)(cid:421)(cid:68)(cid:5)(cid:436)(cid:178)(cid:348)(cid:178)(cid:118)30(cid:171)(cid:42)(cid:36)(cid:193)(cid:178)(cid:159)(cid:8)(cid:347)(cid:233)25,35(cid:437)(cid:60)(cid:102)(cid:404)(cid:313)(cid:171)(cid:379)
(2)(cid:267)(cid:427)(cid:428)(cid:429)150(cid:171)(cid:60)(cid:119)(cid:95)(cid:8)(cid:347)(cid:113)(cid:404)(cid:313)(cid:379)
(3)(cid:105)(cid:192)150(cid:171)(cid:193)(cid:271)(cid:438)(cid:178)(cid:203)1(cid:171)(cid:42)(cid:224)(cid:178)(cid:159)(cid:60)(cid:88)(cid:439)(cid:8)(cid:347)(cid:233)35,45(cid:115)(cid:59)(cid:56)A(cid:42)(cid:224)(cid:178)(cid:159)(cid:88)(cid:439)(cid:302)(cid:303)(cid:433)(cid:434)(cid:115)(cid:59)(cid:56)B.(cid:59)(cid:56)
A(cid:83)B(cid:113)(cid:376)(cid:61)(cid:62)(cid:379)(cid:440)(cid:441)(cid:386)(cid:442)(cid:177).
10(cid:125)（2025·北京·高考真题）(cid:161)(cid:176)(cid:3)(cid:443)(cid:193)(cid:42)(cid:415)(cid:102)(cid:52)(cid:297)(cid:414)(cid:97)(cid:203)(cid:444)(cid:13)(cid:3)(cid:34)(cid:106)(cid:161)(cid:79)(cid:108)(cid:109)(cid:4)(cid:42)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:185)(cid:60)(cid:33)(cid:52)(cid:8)(cid:200)
(cid:88)(cid:199)(cid:266)(cid:172)(cid:173)(cid:106)(cid:202)(cid:176)(cid:3)(cid:443).(cid:115)(cid:106)(cid:445)(cid:88)(cid:199)(cid:107)(cid:267)(cid:108)(cid:109)(cid:4)(cid:60)(cid:446)(cid:377)(cid:9)(cid:447)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:178)(cid:34)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:185)(cid:33)(cid:52)(cid:8)(cid:200)(cid:201)100(cid:198)(cid:88)(cid:199)
(cid:267)(cid:13)(cid:60)(cid:448)(cid:13)(cid:87)(cid:349)(cid:42)(cid:36)(cid:193)(cid:29)(cid:185)(cid:88)(cid:199)(cid:203)(cid:444)(cid:98)(cid:180)(cid:60)(cid:171)(cid:87)(cid:115)80(cid:42)(cid:30)(cid:185)(cid:88)(cid:199)(cid:203)(cid:444)(cid:98)(cid:180)(cid:60)(cid:171)(cid:87)(cid:115)75.(cid:335)(cid:336)(cid:88)(cid:199)(cid:217)(cid:319)(cid:448)(cid:13)(cid:72)
(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:42)(cid:68)(cid:350)(cid:37)(cid:353)(cid:38)(cid:18)(cid:37).
(1)(cid:353)(cid:38)(cid:29)(cid:185)(cid:33)(cid:52)(cid:8)(cid:200)(cid:88)(cid:199)(cid:267)(cid:13)(cid:203)(cid:444)(cid:98)(cid:180)(cid:60)(cid:18)(cid:37)p
(2)(cid:192)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:185)(cid:33)(cid:52)(cid:8)(cid:200)(cid:88)(cid:199)(cid:193)(cid:201)(cid:57)(cid:58)(cid:178)(cid:118)1(cid:198)(cid:42)(cid:336)X(cid:115)(cid:202)2(cid:198)(cid:88)(cid:199)(cid:193)(cid:267)(cid:13)(cid:203)(cid:444)(cid:98)(cid:180)(cid:60)(cid:171)(cid:87)(cid:42)(cid:353)(cid:38)X =1(cid:60)
(cid:18)(cid:37)(cid:35)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:148)
(3)(cid:335)(cid:336)(cid:140)(cid:141)(cid:388)(cid:311)(cid:102)(cid:446)(cid:377)(cid:267)(cid:108)(cid:109)(cid:4)(cid:42)(cid:88)(cid:199)(cid:449)(cid:192)(cid:13)(cid:281)(cid:387)(cid:156)(cid:60)(cid:126)(cid:79)(cid:203)(cid:97)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:203)(cid:444)(cid:52)(cid:79)(cid:114)(cid:115)(cid:448)(cid:413)(cid:148)(cid:141)(cid:388)(cid:446)(cid:377)(cid:267)(cid:108)
(cid:109)(cid:4)(cid:42)(cid:29)(cid:185)(cid:88)(cid:199)(cid:203)(cid:444)(cid:98)(cid:180)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)100%(cid:42)(cid:30)(cid:185)(cid:88)(cid:199)(cid:203)(cid:444)(cid:98)(cid:180)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)85%.(cid:336)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:185)(cid:33)(cid:52)(cid:8)(cid:200)(cid:88)(cid:199)(cid:446)
(cid:377)(cid:267)(cid:108)(cid:109)(cid:4)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:353)(cid:38)(cid:96)(cid:5)(cid:133)(cid:115)p (cid:42)p (cid:42)(cid:450)(cid:451)p (cid:83)p (cid:60)(cid:229)(cid:239)(cid:10)(cid:44)(cid:452)(cid:149)(cid:121)(cid:92)(cid:385)(cid:386)(cid:11).
1 2 1 2
11(cid:125)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:161)(cid:422)(cid:423)(cid:163)(cid:164)(cid:5)(cid:115)(cid:78)(cid:79)(cid:166)(cid:167)(cid:42)(cid:174)(cid:79)(cid:172)(cid:164)(cid:362)(cid:177)(cid:78)(cid:198)(cid:362)(cid:439)(cid:48)(cid:300)(cid:42)(cid:163)(cid:164)(cid:453)(cid:104)(cid:14)(cid:144)
(cid:141)(cid:312)(cid:140)(cid:182)(cid:52)(cid:166)(cid:167)(cid:177)(cid:172)(cid:164)(cid:362)(cid:193)(cid:52)(cid:198)(cid:362)(cid:439)(cid:422)(cid:423)3(cid:176)(cid:42)(cid:249)3(cid:176)(cid:266)(cid:155)(cid:422)(cid:193)(cid:42)(cid:144)(cid:267)(cid:362)(cid:282)(cid:454)(cid:455)(cid:42)(cid:163)(cid:164)(cid:300)(cid:456)(cid:115)0(cid:5)(cid:148)(cid:249)(cid:220)
(cid:313)(cid:422)(cid:193)(cid:52)(cid:176)(cid:42)(cid:144)(cid:267)(cid:362)(cid:230)(cid:291)(cid:182)(cid:91)(cid:166)(cid:167).(cid:182)(cid:91)(cid:166)(cid:167)(cid:177)(cid:267)(cid:362)(cid:60)(cid:457)(cid:52)(cid:198)(cid:362)(cid:439)(cid:422)(cid:423)3(cid:176)(cid:42)(cid:174)(cid:176)(cid:422)(cid:423)(cid:422)(cid:193)(cid:240)5(cid:5)(cid:42)(cid:155)(cid:422)(cid:193)
(cid:240)0(cid:5).(cid:267)(cid:362)(cid:60)(cid:163)(cid:164)(cid:300)(cid:456)(cid:115)(cid:182)(cid:91)(cid:166)(cid:167)(cid:60)(cid:240)(cid:5)(cid:247)(cid:64)(cid:125)(cid:161)(cid:172)(cid:164)(cid:362)(cid:177)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:198)(cid:362)(cid:439)(cid:48)(cid:300)(cid:42)(cid:336)(cid:29)(cid:174)(cid:176)(cid:422)(cid:193)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)
p(cid:42)(cid:30)(cid:174)(cid:176)(cid:422)(cid:193)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)q(cid:42)(cid:201)(cid:176)(cid:422)(cid:193)(cid:83)(cid:376)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:125)
(1)(cid:249)p=0.4(cid:42)q=0.5(cid:42)(cid:29)(cid:172)(cid:173)(cid:182)(cid:52)(cid:166)(cid:167)(cid:163)(cid:164)(cid:42)(cid:92)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:238)(cid:233)(cid:362)(cid:60)(cid:163)(cid:164)(cid:300)(cid:456)(cid:149)(cid:313)(cid:129)5(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:125)
(2)(cid:335)(cid:336)0< p<q(cid:42)
(cid:10)i(cid:11)(cid:115)(cid:246)(cid:240)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:238)(cid:233)(cid:362)(cid:60)(cid:163)(cid:164)(cid:300)(cid:456)(cid:115)15(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:150)(cid:229)(cid:42)(cid:458)(cid:267)(cid:177)(cid:459)(cid:172)(cid:173)(cid:182)(cid:52)(cid:166)(cid:167)(cid:163)(cid:164)(cid:379)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:115)(cid:246)(cid:240)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:238)(cid:233)(cid:362)(cid:60)(cid:163)(cid:164)(cid:300)(cid:456)(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:150)(cid:229)(cid:42)(cid:458)(cid:267)(cid:177)(cid:459)(cid:172)(cid:173)(cid:182)(cid:52)(cid:166)(cid:167)(cid:163)(cid:164)(cid:379)12(cid:125)（2023·北京·高考真题）(cid:115)(cid:363)(cid:364)(cid:161)(cid:295)(cid:314)(cid:460)(cid:396)(cid:461)(cid:462)(cid:84)(cid:463)(cid:60)(cid:14)(cid:15)(cid:42)(cid:411)(cid:464)(cid:240)(cid:159)(cid:106)(cid:267)(cid:314)(cid:460)(cid:396)(cid:403)(cid:465)40(cid:31)(cid:60)(cid:461)(cid:462)(cid:84)
(cid:463)(cid:87)(cid:349)(cid:42)(cid:141)(cid:312)(cid:355)(cid:238)(cid:380)(cid:125)(cid:233)(cid:466)(cid:467)(cid:461)(cid:462)(cid:84)(cid:463)(cid:101)(cid:42)(cid:68)“+”(cid:355)(cid:380)“(cid:20)(cid:468)”(cid:42)(cid:420)(cid:365)(cid:31)(cid:461)(cid:462)(cid:163)(cid:225)(cid:52)(cid:31)(cid:461)(cid:462)(cid:33)(cid:148)(cid:68)“-”(cid:355)(cid:380)“(cid:312)
(cid:469)”(cid:42)(cid:420)(cid:365)(cid:31)(cid:461)(cid:462)(cid:163)(cid:225)(cid:52)(cid:31)(cid:461)(cid:462)(cid:470)(cid:148)(cid:68)“0”(cid:355)(cid:380)“(cid:149)(cid:84)”(cid:42)(cid:420)(cid:365)(cid:31)(cid:461)(cid:462)(cid:83)(cid:225)(cid:52)(cid:31)(cid:461)(cid:462)(cid:72)(cid:191)(cid:125)
(cid:101)(cid:167) (cid:461)(cid:462)(cid:84)(cid:463)
(cid:182)1(cid:31)(cid:159)(cid:182)20(cid:31) - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
(cid:182)21(cid:31)(cid:159)(cid:182)40(cid:31) 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
(cid:68)(cid:350)(cid:37)(cid:353)(cid:38)(cid:18)(cid:37)(cid:125)
(1)(cid:443)(cid:353)(cid:38)(cid:267)(cid:314)(cid:460)(cid:396)(cid:461)(cid:462)“(cid:20)(cid:468)”(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(2)(cid:335)(cid:336)(cid:267)(cid:314)(cid:460)(cid:396)(cid:174)(cid:31)(cid:60)(cid:461)(cid:462)(cid:84)(cid:463)(cid:113)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:60)(cid:125)(cid:233)(cid:155)(cid:207)(cid:60)(cid:471)(cid:262)(cid:308)(cid:271)(cid:118)4(cid:31)(cid:42)(cid:443)(cid:353)(cid:38)(cid:267)(cid:314)(cid:460)(cid:396)(cid:461)(cid:462)(cid:233)(cid:202)4(cid:31)
(cid:193)2(cid:31)“(cid:20)(cid:468)”(cid:26)1(cid:31)“(cid:312)(cid:469)”(cid:26)1(cid:31)“(cid:149)(cid:84)”(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(3)(cid:335)(cid:336)(cid:267)(cid:314)(cid:460)(cid:396)(cid:174)(cid:31)(cid:60)(cid:461)(cid:462)(cid:84)(cid:463)(cid:415)(cid:472)(cid:225)(cid:52)(cid:31)(cid:461)(cid:462)(cid:84)(cid:463)(cid:60)(cid:434)(cid:473)(cid:125)(cid:450)(cid:451)(cid:182)41(cid:31)(cid:267)(cid:314)(cid:460)(cid:396)(cid:461)(cid:462)“(cid:20)(cid:468)”“(cid:312)(cid:469)”(cid:64)“(cid:149)
(cid:84)”(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:353)(cid:38)(cid:96)(cid:474)(cid:79)(cid:150)(cid:229)(cid:125)(cid:10)(cid:44)(cid:452)(cid:149)(cid:121)(cid:92)(cid:385)(cid:386)(cid:11)
考点 04 随机变量的分布列和数学期望
1(cid:125)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:336)U =x,x ,x  x Î-2,-1,1,2,i=1,2,3 (cid:115)(cid:260)(cid:319)(cid:193)64(cid:79)(cid:4)(cid:475)(cid:300)(cid:60)(cid:464)(cid:45)(cid:42)
1 2 3 i
(cid:4)P1,1,1(cid:42)(cid:224)(cid:348)(cid:70)(cid:260)(cid:319)W=ð P(cid:42)(cid:192)W(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:118)(cid:52)(cid:79)(cid:4)(cid:42)(cid:181)(cid:81)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)X(cid:141)(cid:312)(cid:140)(cid:107)W(cid:193)(cid:60)(cid:174)(cid:79)(cid:4)
U
Ax,x ,x (cid:42)(cid:476)X(A)=x +x +x (cid:42)(cid:144)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:96)(cid:115)(cid:10) (cid:11)
1 2 3 1 2 3
1 1 1
A(cid:125)- B(cid:125)- C(cid:125)0 D(cid:125)
21 63 7
2(cid:125)(cid:10)(cid:404)(cid:203)(cid:13)(cid:11)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:57)(cid:153)“(cid:52)(cid:477)(cid:52)(cid:478)”(cid:28)(cid:50)(cid:45)(cid:114)(cid:60)(cid:479)(cid:291)(cid:42)(cid:161)(cid:480)(cid:481)(cid:295)(cid:482)(cid:287)(cid:404)(cid:483)(cid:236)(cid:186)(cid:74)(cid:318)
(cid:480)(cid:481)(cid:156)(cid:356).(cid:115)(cid:106)(cid:445)(cid:74)(cid:318)(cid:156)(cid:356)(cid:151)(cid:60)(cid:484)(cid:411)(cid:291)(cid:10)(cid:414)(cid:190)(cid:140)(cid:485)(cid:486)(cid:11)(cid:9)(cid:447)(cid:42)(cid:192)(cid:267)(cid:295)(cid:482)(cid:287)(cid:178)(cid:118)(cid:348)(cid:70)(cid:42)(cid:240)(cid:159)(cid:74)(cid:318)(cid:156)(cid:356)(cid:151)(cid:484)(cid:411)(cid:291)
(cid:60)(cid:348)(cid:70)(cid:95)(cid:96)x =2.1(cid:42)(cid:348)(cid:70)(cid:283)(cid:227)s2 =0.01(cid:42)(cid:268)(cid:108)(cid:267)(cid:295)(cid:482)(cid:287)(cid:82)(cid:43)(cid:60)(cid:484)(cid:411)(cid:291)X(cid:288)(cid:192)(cid:98)(cid:99)(cid:5)(cid:86)N
 1.8,0.12
(cid:42)(cid:335)(cid:336)(cid:74)
(cid:318)(cid:156)(cid:356)(cid:151)(cid:60)(cid:484)(cid:411)(cid:291)Y(cid:288)(cid:192)(cid:98)(cid:99)(cid:5)(cid:86)N
 x,s2
(cid:42)(cid:144)(cid:10) (cid:11)(cid:10)(cid:249)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)Z(cid:288)(cid:192)(cid:98)(cid:99)(cid:5)(cid:86)N
 ,2
(cid:42)
P(Z <+)»0.8413(cid:11)
A(cid:125)P(X >2)>0.2 B(cid:125)P(X >2)<0.5
C(cid:125)P(Y >2)>0.5 D(cid:125)P(Y >2)<0.8æ-1 0 1ö
3(cid:125)（2026·上海·高考真题）(cid:268)(cid:108)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:115)ç ÷(cid:42)(cid:183)EX=0.5(cid:42)(cid:144)b=__________(cid:125)
è a 0.3 bø
4(cid:125)（2025·天津·高考真题）(cid:239)(cid:487)(cid:488)(cid:175)(cid:489)(cid:490)(cid:42)(cid:52)(cid:491)2(cid:176)(cid:42)(cid:52)(cid:176)5(cid:490)(cid:184)6(cid:490).(cid:182)(cid:52)(cid:176)(cid:489)5(cid:490)(cid:184)6(cid:490)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:95)(cid:115)
0(cid:125)5(cid:42)(cid:249)(cid:182)(cid:52)(cid:176)(cid:489)5(cid:490)(cid:42)(cid:144)(cid:182)(cid:91)(cid:176)(cid:489)5(cid:490)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)0(cid:125)4(cid:42)6(cid:490)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)0(cid:125)6(cid:148)(cid:249)(cid:182)(cid:52)(cid:176)(cid:489)6(cid:490)(cid:42)(cid:144)(cid:182)(cid:91)(cid:176)
(cid:489)5(cid:490)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)0(cid:125)6(cid:42)6(cid:490)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)0(cid:125)4(cid:125)(cid:239)(cid:487)(cid:52)(cid:491)(cid:489)11(cid:490)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)________(cid:148)(cid:249)(cid:52)(cid:491)(cid:220)(cid:313)(cid:489)11(cid:490)(cid:115)(cid:492)
(cid:318)(cid:85)(cid:160)(cid:25)(cid:42)(cid:144)(cid:403)(cid:465)(cid:489)4(cid:491)(cid:42)(cid:224)(cid:45)(cid:462)(cid:491)(cid:87)(cid:115)X(cid:42)(cid:144)(cid:89)(cid:90)EX=_______
æ 5 6 7 ö
5(cid:125)（2025·上海·高考真题）(cid:268)(cid:108)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:115)ç ÷(cid:42)(cid:144)(cid:89)(cid:90)E[X]=_________(cid:125)
è0.2 0.3 0.5ø
6(cid:125)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:102)5(cid:79)(cid:72)(cid:191)(cid:60)(cid:222)(cid:42)(cid:5)(cid:133)(cid:25)(cid:102)(cid:87)(cid:216)1(cid:42)2(cid:42)3(cid:42)4(cid:42)5(cid:42)(cid:192)(cid:193)(cid:102)(cid:214)(cid:215)(cid:223)(cid:57)(cid:58)(cid:118)3
(cid:176)(cid:42)(cid:174)(cid:176)(cid:118)1(cid:79)(cid:222).(cid:224)X(cid:115)(cid:202)5(cid:79)(cid:222)(cid:193)(cid:220)(cid:313)(cid:282)(cid:118)(cid:156)1(cid:176)(cid:60)(cid:222)(cid:60)(cid:79)(cid:87)(cid:42)(cid:144)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)E(X)=_________.
7(cid:125)（2022·浙江·高考真题）(cid:105)(cid:102)7(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:42)(cid:5)(cid:133)(cid:209)(cid:20)(cid:87)(cid:216)1(cid:42)2(cid:42)2(cid:42)3(cid:42)4(cid:42)5(cid:42)6(cid:125)(cid:192)(cid:202)7(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:178)
(cid:118)3(cid:210)(cid:42)(cid:224)(cid:238)(cid:178)(cid:118)(cid:211)(cid:212)(cid:20)(cid:87)(cid:216)(cid:60)(cid:150)(cid:239)(cid:96)(cid:115)x(cid:42)(cid:144)P(x=2)=__________(cid:42)E(x)=_________(cid:125)
8(cid:125)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:171)(cid:230)(cid:231)(cid:493)(cid:494)(cid:222)(cid:424)(cid:369)(cid:42)(cid:174)(cid:79)(cid:222)(cid:402)(cid:346)(cid:240)1(cid:5)(cid:42)(cid:495)(cid:346)(cid:240)0(cid:5)(cid:125)(cid:336)(cid:174)(cid:79)(cid:222)
æ1 ö
(cid:29)(cid:402)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)pç < p<1÷(cid:42)(cid:30)(cid:402)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:115)q(cid:42)p+q=1(cid:42)(cid:183)(cid:201)(cid:222)(cid:60)(cid:402)(cid:495)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62).(cid:107)(cid:98)(cid:221)(cid:87)k ³2(cid:42)(cid:224)p (cid:115)
è2 ø k
(cid:496)(cid:299)k(cid:79)(cid:222)(cid:151)(cid:29)(cid:163)(cid:30)(cid:220)(cid:313)(cid:404)(cid:240)2(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:42)q (cid:115)(cid:496)(cid:299)k(cid:79)(cid:222)(cid:151)(cid:30)(cid:163)(cid:29)(cid:220)(cid:313)(cid:404)(cid:240)2(cid:5)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:125)
k
(1)(cid:92)p ,p (cid:10)(cid:68)p(cid:355)(cid:380)(cid:11)(cid:125)
3 4
p - p
(2)(cid:249) 4 3 =4(cid:42)(cid:92)p(cid:125)
q -q
4 3
(3)(cid:385)(cid:386)(cid:140)(cid:107)(cid:271)(cid:438)(cid:98)(cid:221)(cid:87)m(cid:42)p -q < p -q < p -q (cid:125)
2m+1 2m+1 2m 2m 2m+2 2m+2
9(cid:125)（2024·北京·高考真题）(cid:161)(cid:497)(cid:382)(cid:40)(cid:498)(cid:115)(cid:106)(cid:106)(cid:445)(cid:267)(cid:40)(cid:498)(cid:161)(cid:295)(cid:497)(cid:382)(cid:460)(cid:396)(cid:60)(cid:499)(cid:500)(cid:9)(cid:447)(cid:42)(cid:192)(cid:45)(cid:191)(cid:382)(cid:89)(cid:501)(cid:502)(cid:503)(cid:60)(cid:497)
(cid:414)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:178)(cid:118)1000(cid:504)(cid:42)(cid:224)(cid:505)(cid:236)(cid:221)(cid:442)(cid:202)(cid:253)(cid:497)(cid:414)(cid:60)(cid:499)(cid:500)(cid:9)(cid:447)(cid:42)(cid:401)(cid:240)(cid:87)(cid:349)(cid:141)(cid:312)(cid:355)(cid:140)
(cid:500)(cid:506)(cid:176)(cid:87) 0 1 2 3 4
(cid:414)(cid:87) 800 100 60 30 10
(cid:335)(cid:336)(cid:140)(cid:52)(cid:504)(cid:497)(cid:414)(cid:60)(cid:497)(cid:507)(cid:115)0.4(cid:485)(cid:486)(cid:148)(cid:225)3(cid:176)(cid:499)(cid:500)(cid:101)(cid:42)(cid:497)(cid:382)(cid:40)(cid:498)(cid:174)(cid:176)(cid:500)(cid:506)0.8(cid:485)(cid:486)(cid:148)(cid:182)(cid:126)(cid:176)(cid:499)(cid:500)(cid:101)(cid:42)(cid:497)(cid:382)(cid:40)(cid:498)
(cid:500)(cid:506)0.6(cid:485)(cid:486).(cid:335)(cid:336)(cid:149)(cid:191)(cid:497)(cid:414)(cid:60)(cid:499)(cid:500)(cid:176)(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62).(cid:68)(cid:350)(cid:37)(cid:353)(cid:38)(cid:18)(cid:37).
(1)(cid:353)(cid:38)(cid:52)(cid:504)(cid:497)(cid:414)(cid:499)(cid:500)(cid:176)(cid:87)(cid:149)(cid:313)(cid:129)2(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(2)(cid:52)(cid:504)(cid:497)(cid:414)(cid:60)(cid:508)(cid:67)(cid:509)(cid:181)(cid:81)(cid:115)(cid:202)(cid:504)(cid:497)(cid:414)(cid:60)(cid:497)(cid:507)(cid:83)(cid:500)(cid:506)(cid:247)(cid:510)(cid:511)(cid:217)(cid:227).(cid:10)i(cid:11)(cid:224)X(cid:115)(cid:52)(cid:504)(cid:497)(cid:414)(cid:60)(cid:508)(cid:67)(cid:509)(cid:42)(cid:353)(cid:38)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)EX(cid:148)
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:141)(cid:388)(cid:213)(cid:499)(cid:500)(cid:60)(cid:497)(cid:414)(cid:60)(cid:497)(cid:507)(cid:512)(cid:313)4%(cid:42)(cid:102)(cid:499)(cid:500)(cid:60)(cid:497)(cid:414)(cid:60)(cid:497)(cid:507)(cid:513)(cid:173)20%(cid:42)(cid:443)(cid:163)(cid:237)(cid:202)(cid:295)(cid:9)(cid:447)(cid:312)(cid:52)(cid:504)(cid:497)(cid:414)(cid:508)(cid:67)
(cid:509)(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:353)(cid:38)(cid:96)(cid:83)(cid:10)i(cid:11)(cid:193)EX(cid:353)(cid:38)(cid:96)(cid:60)(cid:229)(cid:239)(cid:125)(cid:10)(cid:44)(cid:452)(cid:149)(cid:121)(cid:92)(cid:385)(cid:386)(cid:11)
10(cid:125)（2023·上海·高考真题）21(cid:514)(cid:515)(cid:516)(cid:517)(cid:518)(cid:519)(cid:520)(cid:233)(cid:20)(cid:21)2023(cid:8)6(cid:521)7(cid:471)(cid:233)(cid:20)(cid:21)(cid:186)(cid:231)(cid:42)(cid:312)(cid:355)(cid:115)(cid:161)(cid:516)(cid:517)(cid:522)(cid:19)(cid:40)
(cid:498)(cid:168)(cid:102)25(cid:79)(cid:516)(cid:517)(cid:522)(cid:19)(cid:42)(cid:36)(cid:257)(cid:523)(cid:64)(cid:406)(cid:524)(cid:60)(cid:255)(cid:256)(cid:5)(cid:86)(cid:141)(cid:312)(cid:355)(cid:238)(cid:380)(cid:140)
(cid:309)(cid:256)(cid:257)(cid:523) (cid:525)(cid:256)(cid:257)(cid:523)
(cid:526)(cid:256)(cid:406)(cid:524) 8 12
(cid:527)(cid:256)(cid:406)(cid:524) 2 3
(1)(cid:249)(cid:239)(cid:386)(cid:192)(cid:202)(cid:253)(cid:522)(cid:19)(cid:193)(cid:57)(cid:58)(cid:528)(cid:52)(cid:79)(cid:522)(cid:19)(cid:42)(cid:224)(cid:59)(cid:56)A(cid:115)(cid:239)(cid:386)(cid:118)(cid:159)(cid:60)(cid:522)(cid:19)(cid:115)(cid:309)(cid:256)(cid:257)(cid:523)(cid:42)(cid:59)(cid:56)B(cid:118)(cid:159)(cid:522)(cid:19)(cid:102)(cid:527)(cid:256)
(cid:406)(cid:524)(cid:42)(cid:92)PB,PB|A(cid:42)(cid:236)(cid:349)(cid:244)(cid:450)(cid:451)(cid:59)(cid:56)A(cid:64)(cid:59)(cid:56)B(cid:113)(cid:376)(cid:61)(cid:62)(cid:148)
(2)(cid:115)(cid:215)(cid:529)(cid:530)(cid:531)(cid:42)(cid:267)(cid:40)(cid:498)(cid:186)(cid:231)(cid:106)(cid:52)(cid:79)(cid:178)(cid:532)(cid:317)(cid:318)(cid:42)(cid:236)(cid:14)(cid:181)(cid:42)(cid:233)(cid:52)(cid:176)(cid:178)(cid:532)(cid:193)(cid:42)(cid:174)(cid:171)(cid:158)(cid:82)(cid:52)(cid:176)(cid:63)(cid:178)(cid:118)(cid:78)(cid:79)(cid:516)(cid:517)(cid:522)(cid:19)(cid:54)
(cid:115)(cid:106)(cid:240)(cid:159)(cid:532)(cid:396)(cid:6)(cid:19)(cid:42)(cid:105)(cid:114)(cid:156)(cid:141)(cid:312)(cid:335)(cid:336)(cid:140)
(cid:335)(cid:336)1(cid:140)(cid:174)(cid:171)(cid:178)(cid:118)(cid:60)(cid:78)(cid:79)(cid:522)(cid:19)(cid:520)(cid:156)(cid:105)(cid:226)(cid:295)(cid:44)(cid:388)(cid:140) (cid:78)(cid:79)(cid:522)(cid:19)(cid:60)(cid:257)(cid:523)(cid:64)(cid:406)(cid:524)(cid:95)(cid:115)(cid:191)(cid:256)(cid:148) (cid:78)(cid:79)(cid:522)(cid:19)(cid:60)(cid:257)(cid:523)(cid:64)
(cid:406)(cid:524)(cid:95)(cid:115)(cid:149)(cid:191)(cid:256)(cid:148) (cid:78)(cid:79)(cid:522)(cid:19)(cid:60)(cid:257)(cid:523)(cid:191)(cid:256)(cid:533)(cid:406)(cid:524)①(cid:149)(cid:191)(cid:256)(cid:42)(cid:184)(cid:406)(cid:524)(cid:191)(cid:256)(cid:533)(cid:257)(cid:523)(cid:149)(cid:191)(cid:256)(cid:54)②
(cid:335)(cid:336)2(cid:140)(cid:267)(cid:178)(cid:532)(cid:336)(cid:243)③(cid:226)(cid:6)(cid:532)(cid:42)(cid:532)(cid:510)(cid:510)(cid:511)(cid:5)(cid:133)(cid:115)(cid:140)(cid:52)(cid:285)(cid:532)600(cid:486)(cid:42)(cid:91)(cid:285)(cid:532)300(cid:486)(cid:42)(cid:226)(cid:285)(cid:532)150(cid:486)(cid:54)
(cid:335)(cid:336)3(cid:140)(cid:174)(cid:295)(cid:178)(cid:118)(cid:60)(cid:44)(cid:388)(cid:266)(cid:107)(cid:458)(cid:52)(cid:6)(cid:532)(cid:54)(cid:156)(cid:105)(cid:161)(cid:295)(cid:44)(cid:388)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:534)(cid:239)(cid:42)(cid:532)(cid:510)(cid:510)(cid:511)(cid:534)(cid:33)(cid:54)
(cid:440)(cid:450)(cid:451)(cid:82)(cid:20)(cid:226)(cid:295)(cid:44)(cid:388)(cid:5)(cid:133)(cid:107)(cid:458)(cid:535)(cid:285)(cid:532)(cid:54)(cid:336)(cid:193)(cid:532)(cid:60)(cid:532)(cid:510)(cid:87)(cid:113)X(cid:42)(cid:209)(cid:156)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:42)(cid:236)(cid:92)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:54)
11(cid:125)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:171)(cid:422)(cid:423)(cid:42)(cid:174)(cid:176)(cid:177)(cid:36)(cid:193)(cid:52)(cid:171)(cid:422)(cid:423)(cid:42)(cid:14)(cid:144)(cid:141)(cid:312)(cid:140)(cid:249)(cid:12)(cid:193)(cid:144)(cid:244)(cid:171)(cid:536)(cid:465)
(cid:422)(cid:423)(cid:42)(cid:249)(cid:155)(cid:12)(cid:193)(cid:144)(cid:537)(cid:115)(cid:107)(cid:283)(cid:422)(cid:423)(cid:125)(cid:213)(cid:452)(cid:217)(cid:225)(cid:422)(cid:423)(cid:9)(cid:447)(cid:141)(cid:538)(cid:42)(cid:29)(cid:174)(cid:176)(cid:422)(cid:423)(cid:60)(cid:12)(cid:193)(cid:37)(cid:95)(cid:115)0.6(cid:42)(cid:30)(cid:174)(cid:176)(cid:422)(cid:423)(cid:60)(cid:12)
(cid:193)(cid:37)(cid:95)(cid:115)0.8(cid:125)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:182)1(cid:176)(cid:422)(cid:423)(cid:60)(cid:171)(cid:203)(cid:42)(cid:182)1(cid:176)(cid:422)(cid:423)(cid:60)(cid:171)(cid:113)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:201)(cid:115)0.5(cid:125)
(1)(cid:92)(cid:182)2(cid:176)(cid:422)(cid:423)(cid:60)(cid:171)(cid:113)(cid:30)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(2)(cid:92)(cid:182)i(cid:176)(cid:422)(cid:423)(cid:60)(cid:171)(cid:113)(cid:29)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
æ n ö n
(3)(cid:268)(cid:108)(cid:140)(cid:249)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:85)X (cid:288)(cid:192)(cid:78)(cid:4)(cid:5)(cid:86)(cid:42)(cid:183)PX =1=1-PX =0=q,i=1,2,×××,n(cid:42)(cid:144)Eç åX ÷=åq (cid:125)(cid:224)
i i i i i i
è ø
i=1 i=1
(cid:225)n(cid:176)(cid:10)(cid:420)(cid:192)(cid:182)1(cid:176)(cid:159)(cid:182)n(cid:176)(cid:422)(cid:423)(cid:11)(cid:193)(cid:29)(cid:422)(cid:423)(cid:60)(cid:176)(cid:87)(cid:115)Y(cid:42)(cid:92)EY(cid:125)12(cid:125)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:78)(cid:79)(cid:88)(cid:185)(cid:230)(cid:231)(cid:104)(cid:539)(cid:163)(cid:164)(cid:42)(cid:163)(cid:164)(cid:168)(cid:336)(cid:226)(cid:79)(cid:97)(cid:281)(cid:42)(cid:174)(cid:79)(cid:97)(cid:281)(cid:402)(cid:283)(cid:240)10
(cid:5)(cid:42)(cid:495)(cid:283)(cid:240)0(cid:5)(cid:42)(cid:311)(cid:102)(cid:119)(cid:540)(cid:125)(cid:226)(cid:79)(cid:97)(cid:281)(cid:163)(cid:164)(cid:44)(cid:541)(cid:151)(cid:42)(cid:247)(cid:240)(cid:5)(cid:33)(cid:60)(cid:88)(cid:185)(cid:401)(cid:240)(cid:542)(cid:543)(cid:125)(cid:268)(cid:108)(cid:29)(cid:88)(cid:185)(cid:233)(cid:226)(cid:79)(cid:97)(cid:281)(cid:193)
(cid:401)(cid:402)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:5)(cid:133)(cid:115)0.5(cid:42)0.4(cid:42)0.8(cid:42)(cid:201)(cid:97)(cid:281)(cid:60)(cid:163)(cid:164)(cid:44)(cid:388)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:125)
(1)(cid:92)(cid:29)(cid:88)(cid:185)(cid:401)(cid:240)(cid:542)(cid:543)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(2)(cid:68)X(cid:355)(cid:380)(cid:30)(cid:88)(cid:185)(cid:60)(cid:247)(cid:240)(cid:5)(cid:42)(cid:92)X(cid:60)(cid:5)(cid:86)(cid:47)(cid:83)(cid:89)(cid:90)(cid:125)
13(cid:125)（2022·北京·高考真题）(cid:233)(cid:185)(cid:492)(cid:318)(cid:520)(cid:20)(cid:42)(cid:415)(cid:102)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:169)(cid:226)(cid:198)(cid:191)(cid:88)(cid:172)(cid:173)(cid:544)(cid:222)(cid:163)(cid:164)(cid:42)(cid:163)(cid:164)(cid:300)(cid:456)(cid:160)(cid:159)9．50m
(cid:82)(cid:20)(cid:10)(cid:80)9．50m(cid:11)(cid:60)(cid:191)(cid:88)(cid:145)(cid:401)(cid:240)(cid:545)(cid:546)(cid:532)(cid:125)(cid:115)(cid:547)(cid:274)(cid:401)(cid:240)(cid:545)(cid:546)(cid:532)(cid:60)(cid:171)(cid:87)(cid:35)(cid:542)(cid:543)(cid:240)(cid:189)(cid:42)(cid:411)(cid:464)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:169)(cid:82)(cid:43)(cid:60)(cid:163)
(cid:164)(cid:300)(cid:456)(cid:42)(cid:236)(cid:221)(cid:442)(cid:240)(cid:159)(cid:141)(cid:312)(cid:87)(cid:349)(cid:10)(cid:414)(cid:190)(cid:140)m(cid:11)(cid:140)
(cid:29)(cid:140)9.80(cid:42)9.70(cid:42)9.55(cid:42)9.54(cid:42)9.48(cid:42)9.42(cid:42)9.40(cid:42)9.35(cid:42)9.30(cid:42)9.25(cid:148)
(cid:30)(cid:140)9.78(cid:42)9.56(cid:42)9.51(cid:42)9.36(cid:42)9.32(cid:42)9.23(cid:148)
(cid:169)(cid:140)9.85(cid:42)9.65(cid:42)9.20(cid:42)9.16(cid:125)
(cid:335)(cid:336)(cid:68)(cid:350)(cid:37)(cid:353)(cid:38)(cid:18)(cid:37)(cid:42)(cid:183)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:169)(cid:60)(cid:163)(cid:164)(cid:300)(cid:456)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:125)
(1)(cid:353)(cid:38)(cid:29)(cid:233)(cid:185)(cid:492)(cid:318)(cid:520)(cid:544)(cid:222)(cid:163)(cid:164)(cid:193)(cid:401)(cid:240)(cid:545)(cid:546)(cid:532)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:148)
(2)(cid:336)X(cid:113)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:169)(cid:233)(cid:185)(cid:492)(cid:318)(cid:520)(cid:544)(cid:222)(cid:163)(cid:164)(cid:193)(cid:401)(cid:240)(cid:545)(cid:546)(cid:532)(cid:60)(cid:247)(cid:171)(cid:87)(cid:42)(cid:353)(cid:38)X(cid:60)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)E(cid:10)X(cid:11)(cid:148)
(3)(cid:233)(cid:185)(cid:492)(cid:318)(cid:520)(cid:544)(cid:222)(cid:163)(cid:164)(cid:193)(cid:42)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:26)(cid:169)(cid:459)(cid:401)(cid:240)(cid:542)(cid:543)(cid:60)(cid:18)(cid:37)(cid:353)(cid:38)(cid:96)(cid:150)(cid:229)(cid:379)(cid:10)(cid:44)(cid:452)(cid:149)(cid:121)(cid:92)(cid:385)(cid:386)(cid:11)