专题03函数及其性质(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

03
专题 函数及其性质
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) 2026(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:27)2025(cid:40)(cid:41)(cid:39)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10)(cid:25)(cid:26)(cid:27) 2024(cid:8)(cid:42)(cid:43)(cid:3)(cid:39)Ⅰ(cid:27)2024(cid:37)(cid:38)(cid:39) (cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:16)(cid:17)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:3)(cid:55)(cid:16)(cid:17)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:27)(cid:31) 2023(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:27)2023(cid:37)(cid:38)(cid:39) (cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:26)(cid:30)(cid:50)(cid:56)(cid:57)
(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:11) 2022(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:27)2022(cid:44)(cid:45)(cid:39)
2026(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:27)2026(cid:65)(cid:66)(cid:39)(cid:27)2026
(cid:37)(cid:38)(cid:39)
2025(cid:8)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:39)(cid:27)2025(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:27)
2025(cid:37)(cid:38)(cid:39)
2024(cid:8)(cid:67)(cid:68)(cid:70)(cid:39)(cid:10)(cid:71)(cid:11)(cid:27)2024(cid:40)
(cid:3)(cid:55)(cid:59)(cid:17)(cid:72)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:10)(cid:76)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:16) (cid:41)(cid:39)(cid:27)2024(cid:65)(cid:66)(cid:39)(cid:27)2024(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:27)
(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:50)(cid:11)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:5)(cid:82)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)
(cid:17)(cid:18)(cid:61)(cid:62)(cid:33)(cid:63)(cid:64) 2023(cid:8)(cid:42)(cid:43)(cid:3)(cid:39)Ⅰ(cid:27)2023(cid:8)(cid:67)(cid:68)(cid:70)
(cid:75)(cid:25)(cid:83)(cid:17)(cid:27)(cid:59)(cid:60)(cid:17)(cid:18)(cid:61)(cid:62)(cid:75)(cid:84)(cid:50)
(cid:39)(cid:27)2023(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:27)2023(cid:65)(cid:66)(cid:39)(cid:27)
2023(cid:37)(cid:38)(cid:39)
2022(cid:8)(cid:67)(cid:68)(cid:70)(cid:39)(cid:27)2022(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:27)
2022(cid:65)(cid:66)(cid:39)(cid:27)2022(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:27)2022
(cid:44)(cid:45)(cid:39)
2026(cid:42)(cid:90)(cid:91)(cid:67)(cid:68)Ⅰ(cid:39)(cid:27)2026(cid:42)(cid:90)(cid:91)
(cid:67)(cid:68)Ⅱ(cid:39)2026(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:27)2026(cid:65)(cid:66)
(cid:39)(cid:27)2026(cid:37)(cid:38)(cid:39)
2025(cid:8)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:39)(cid:27)2025(cid:40)(cid:41)(cid:39)
2025(cid:65)(cid:66)(cid:39)(cid:27)2025(cid:37)(cid:38)(cid:39)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75) 2024(cid:8)(cid:42)(cid:43)(cid:3)(cid:39)Ⅰ(cid:27)2024(cid:8)(cid:67)(cid:68)(cid:70)
(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:63)(cid:64)(cid:10)(cid:73)(cid:74) (cid:39)2024(cid:65)(cid:66)(cid:39)(cid:27)2024(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:27) (cid:46)(cid:93)(cid:94)(cid:16)(cid:17)(cid:95)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:3)(cid:55)(cid:16)(cid:17)(cid:18)
(cid:75)(cid:27)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:27)(cid:87)(cid:88) 2023(cid:8)(cid:42)(cid:43)(cid:3)(cid:39)Ⅰ(cid:27)2023(cid:8)(cid:42)(cid:43)(cid:3) (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:27)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:27)(cid:87)(cid:88)(cid:75)(cid:21)(cid:60)(cid:89)(cid:75)
(cid:75)(cid:27)(cid:60)(cid:89)(cid:75)(cid:11) (cid:39)Ⅱ(cid:27)2023(cid:8)(cid:67)(cid:68)(cid:70)(cid:39)(cid:27)2023(cid:8)(cid:67)
(cid:68)(cid:92)(cid:39)(cid:27)2023(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:27)2023(cid:65)(cid:66)
(cid:39)(cid:27)2023(cid:37)(cid:38)(cid:39)
2022(cid:8)(cid:42)(cid:43)(cid:3)(cid:39)Ⅰ(cid:27)2022(cid:8)(cid:42)(cid:43)(cid:3)
(cid:39)Ⅱ(cid:27)2022(cid:8)(cid:67)(cid:68)(cid:70)(cid:39)(cid:27)2022(cid:8)(cid:67)
(cid:68)(cid:92)(cid:39)2022(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:27)2022(cid:65)(cid:66)(cid:39)(cid:27)2022(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:27)2022(cid:44)(cid:45)(cid:39)
2026(cid:42)(cid:90)(cid:91)(cid:67)(cid:68)Ⅱ(cid:39)
2025(cid:65)(cid:66)(cid:39)(cid:27)2025(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:27)
2024(cid:8)(cid:42)(cid:43)(cid:3)(cid:39)Ⅱ(cid:27)2024(cid:8)(cid:67)(cid:68)(cid:70)
(cid:39)(cid:10)(cid:71)(cid:11)(cid:27)2024(cid:65)(cid:66)(cid:39)(cid:27)2024(cid:37) (cid:69)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:4)(cid:3)(cid:55)(cid:54)(cid:106)(cid:107)
(cid:3)(cid:4)04 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:96)
(cid:38)(cid:39) (cid:108)(cid:109)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:4)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:17)(cid:110)(cid:101)(cid:102)
(cid:4)(cid:33)(cid:97)(cid:98)(cid:18)(cid:80)
2023(cid:8)(cid:42)(cid:43)(cid:3)(cid:39)Ⅰ(cid:27)2023(cid:65)(cid:66)(cid:39)(cid:27) (cid:111)(cid:112)
2023(cid:37)(cid:38)(cid:39)
2022(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:27)2022(cid:65)(cid:66)(cid:39)(cid:27)2022
(cid:37)(cid:38)(cid:39)
考点 01 函数的概念及其表示（求值、定义域、值域、图像与解析式）
1(cid:113)（2026·上海·高考真题）(cid:114)(cid:115)(cid:60)(cid:89)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:107)(cid:18)(cid:63)(cid:64).(cid:125)(cid:114)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:91)(cid:130)xOy(cid:121)(cid:123)(cid:69)(cid:31)(cid:110)W(cid:54)
(cid:131)W(cid:56)(cid:132)(cid:133)(cid:69)(cid:4)P(cid:95)(cid:134)(cid:127)(cid:135)x(cid:136)(cid:18)(cid:127)(cid:137)l (cid:54)(cid:138)(cid:139)l IW(cid:51)(cid:69)(cid:137)(cid:82).(cid:140)(cid:141)l (cid:97)(cid:142)(cid:114)(cid:115)(cid:143)(cid:144)(cid:137)(cid:82)(cid:54)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:18)(cid:121)(cid:4)
P P P
(cid:149)(cid:117)x(cid:136)(cid:37)(cid:54)(cid:143)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:114)(cid:115)(cid:60)(cid:89)(cid:116).(cid:60)(cid:135)-x2+x+1(cid:54)-x2-x(cid:54)(cid:127)(cid:137)x=0(cid:72)(cid:127)(cid:137)x=1(cid:153)(cid:154)(cid:18)(cid:155)(cid:156)(cid:31)(cid:110)W(cid:54)(cid:60)
(cid:147)(cid:157)(cid:158)(cid:69)(cid:159)(cid:114)(cid:115)(cid:60)(cid:89)(cid:54)(cid:146)(cid:160)(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:78)(cid:161)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113) B(cid:113)
C(cid:113) D(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)A
1
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:166)(cid:95)(cid:167)(cid:168)(cid:16)(cid:17)(cid:117)(cid:169)(cid:170)[0,1](cid:37)(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:114)(cid:115)(cid:60)(cid:89)(cid:116)(cid:54)(cid:5)(cid:171)(cid:62)(cid:167)x=0(cid:72)x= (cid:172)(cid:54)(cid:168)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:16)(cid:17)
2
(cid:26)(cid:54)(cid:25)(cid:146)(cid:60)(cid:63)(cid:137)(cid:82)(cid:18)(cid:121)(cid:4)(cid:18)(cid:173)(cid:129)(cid:91)(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:146)(cid:167)(cid:106)(cid:107)(cid:176)(cid:168)(cid:16)(cid:17)(cid:31)(cid:94)(cid:37)(cid:177)(cid:114)(cid:115)(cid:18)(cid:178)(cid:179)(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:114)(cid:115)(cid:180)(cid:60)(cid:63)(cid:4)(cid:18)(cid:129)
(cid:91)(cid:101)(cid:102)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:69)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:146)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:46)(cid:191)(cid:131)(cid:192)(cid:62)(cid:168)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:26)(cid:193)(cid:26)(cid:50)(cid:5)(cid:194)(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:195)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:6)(cid:196)(cid:101)(cid:102)(cid:182)(cid:183)(cid:197)(cid:28)(cid:163)(cid:164).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:97)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:200)(cid:13)(cid:133)(cid:54)(cid:95)(cid:167)(cid:16)(cid:17)y =-x2+x+1(cid:33)y =-x2-x(cid:117)[0,1](cid:37)(cid:18)(cid:31)(cid:94).
1 2
1
(cid:201)(cid:202)(cid:114)(cid:115)(cid:60)(cid:89)(cid:116)(cid:54)(cid:203)x=0(cid:172)(cid:54)y =1,y =0(cid:54)(cid:137)(cid:82)(cid:121)(cid:4)(cid:173)(cid:129)(cid:91)(cid:51) (cid:54)
1 2 2
1 1 1
(cid:204)(cid:63)(cid:176)(cid:205)(cid:172)(cid:18)(cid:137)(cid:82)(cid:141)l (cid:97)(cid:142)(cid:142)(cid:177)(cid:114)(cid:115) (cid:54)y ,y (cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:37)(cid:18)(cid:60)(cid:63)(cid:4)(cid:173)(cid:129)(cid:91)(cid:63)(cid:5)(cid:171)(cid:51) (cid:72)- (cid:54)(cid:206)(cid:207)(cid:208)B(cid:183)(cid:188)
P 2 1 2 2 2
1 5 3
(cid:203)x= (cid:172)(cid:54)y = ,y =- (cid:54)(cid:137)(cid:82)(cid:121)(cid:4)(cid:173)(cid:129)(cid:91)(cid:51)1(cid:54)(cid:204)(cid:63)(cid:176)(cid:205)(cid:172)(cid:18)(cid:137)(cid:82)(cid:141)l (cid:97)(cid:142)(cid:142)(cid:177)(cid:114)(cid:115)1(cid:54)
2 1 4 2 4 4 P 4
y
1
,y
2
(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:37)(cid:18)(cid:60)(cid:63)(cid:4)(cid:173)(cid:129)(cid:91)(cid:63)(cid:5)(cid:171)(cid:51)1(cid:72)−1(cid:54)(cid:206)(cid:190)(cid:207)(cid:208)C(cid:54)D(cid:168)(cid:183)(cid:54)A(cid:183)(cid:209)(cid:102)(cid:13)(cid:133).
(cid:97)(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:80)(cid:81)(cid:114)(cid:115)(cid:60)(cid:89)(cid:116)(cid:18)(cid:47)(cid:48)(cid:19)(cid:20)(cid:54)(cid:176)(cid:16)(cid:17)y=-x2+x+1(cid:72)(cid:16)(cid:17)y=-x2-x(cid:117)[0,1](cid:37)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:26)(cid:193)(cid:26)(cid:50)(cid:5)
(cid:117)x(cid:136)(cid:37)(cid:177)(cid:168)(cid:211)(cid:54)
-x2+x+1-  -x2-x 
1
(cid:50)(cid:5)(cid:194)(cid:51)y= =x+ (cid:54)(cid:206)(cid:117)[0,1](cid:37)(cid:137)(cid:75)(cid:212)(cid:213)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:182)(cid:183)(cid:104)(cid:54)(cid:214)(cid:123)(cid:182)(cid:183)A(cid:209)(cid:102)(cid:13)(cid:133).
2 2
(cid:206)(cid:182)(cid:199)A.
2(cid:113)（2025·北京·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)D(cid:54)(cid:204)“ f(x)(cid:18)(cid:26)(cid:30)(cid:51)R”(cid:216)“(cid:60)(cid:132)(cid:133)MÎR(cid:54)(cid:217)(cid:117)
x ÎD(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x  >M ”(cid:18)(cid:10) (cid:11)
0 0
A(cid:113)(cid:218)(cid:5)(cid:219)(cid:220)(cid:107)(cid:221)(cid:222) B(cid:113)(cid:220)(cid:107)(cid:219)(cid:218)(cid:5)(cid:221)(cid:222) C(cid:113)(cid:218)(cid:107)(cid:221)(cid:222) D(cid:113)(cid:223)(cid:219)(cid:218)(cid:5)(cid:189)(cid:219)(cid:220)(cid:107)(cid:221)
(cid:222)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)A
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:224)(cid:16)(cid:17)(cid:26)(cid:30)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:225)(cid:226)(cid:54)(cid:227)(cid:80)(cid:81)(cid:218)(cid:5)(cid:221)(cid:222)(cid:27)(cid:220)(cid:107)(cid:221)(cid:222)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:187)(cid:190)(cid:25)(cid:34).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:228)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:18)(cid:26)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)(cid:204)(cid:60)(cid:132)(cid:133)MÎR(cid:54)(cid:69)(cid:28)(cid:217)(cid:117)x ÎD(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x = M +1(cid:54)
1 1
(cid:229)x =x (cid:54)(cid:204) f x  = M +1>M (cid:54)(cid:218)(cid:5)(cid:75)(cid:154)(cid:230)(cid:188)
0 1 0
(cid:229) f(x)=2x(cid:54)D=R(cid:54)(cid:204)(cid:60)(cid:132)(cid:133)MÎR(cid:54)(cid:69)(cid:28)(cid:217)(cid:117)x ÎD(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x = M +1(cid:54)
1 1
(cid:229)x =x (cid:54)(cid:204) f x  = M +1>M (cid:54)(cid:231)(cid:205)(cid:172)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:18)(cid:26)(cid:30)(cid:51)0,+¥(cid:54)(cid:220)(cid:107)(cid:75)(cid:219)(cid:154)(cid:230)(cid:188)
0 1 0(cid:232)(cid:46)“ f(x)(cid:18)(cid:26)(cid:30)(cid:51)R”(cid:216)“(cid:60)(cid:132)(cid:133)MÎR(cid:54)(cid:217)(cid:117)x ÎD(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x  >M ”(cid:18)(cid:218)(cid:5)(cid:219)(cid:220)(cid:107)(cid:221)(cid:222).
0 0
(cid:206)(cid:182)(cid:199)A.
3(cid:113)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54) f(x)> f(x-1)+ f(x-2)(cid:54)(cid:233)(cid:203)x<3(cid:172)
f(x)=x(cid:54)(cid:204)(cid:177)(cid:234)(cid:101)(cid:235)(cid:121)(cid:69)(cid:28)(cid:236)(cid:197)(cid:18)(cid:216)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113) f(10)>100 B(cid:113) f(20)>1000
C(cid:113) f(10)<1000 D(cid:113) f(20)<10000
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:237)(cid:238)(cid:146)(cid:160) f(1)=1, f(2)=2(cid:54)(cid:227)(cid:239)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:75)(cid:84)(cid:72)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:54)(cid:184)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:187)(cid:190)(cid:185)(cid:186).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51)(cid:203)x<3(cid:172) f(x)=x(cid:54)(cid:232)(cid:46) f(1)=1, f(2)=2(cid:54)
(cid:244)(cid:243)(cid:51) f(x)> f(x-1)+ f(x-2)(cid:54)
(cid:204) f(3)> f(2)+ f(1)=3, f(4)> f(3)+ f(2)>5(cid:54)
f(5)> f(4)+ f(3)>8, f(6)> f(5)+ f(4)>13, f(7)> f(6)+ f(5)>21(cid:54)
f(8)> f(7)+ f(6)>34, f(9)> f(8)+ f(7)>55, f(10)> f(9)+ f(8)>89(cid:54)
f(11)> f(10)+ f(9)>144, f(12)> f(11)+ f(10)>233, f(13)> f(12)+ f(11)>377
f(14)> f(13)+ f(12)>610, f(15)> f(14)+ f(13)>987(cid:54)
f(16)> f(15)+ f(14)>1597>1000(cid:54)(cid:204)(cid:200)(cid:159)(cid:177)(cid:245)(cid:190)(cid:104) f(20)>1000(cid:54)(cid:204)B(cid:236)(cid:197)(cid:188)
(cid:233)(cid:246)(cid:247)(cid:81)(cid:23)(cid:248)ACD(cid:69)(cid:28)(cid:236)(cid:197).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B.
(cid:162)(cid:4)(cid:249)(cid:165)(cid:250)(cid:251)(cid:4)(cid:4)(cid:249)(cid:199)(cid:48)(cid:13)(cid:18)(cid:250)(cid:251)(cid:216)(cid:239)(cid:64) f(1)=1, f(2)=2(cid:54)(cid:227)(cid:239)(cid:64)(cid:13)(cid:252)(cid:232)(cid:253)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:75)(cid:84)
f(x)> f(x-1)+ f(x-2)(cid:54)(cid:237)(cid:238)(cid:16)(cid:17)(cid:26)(cid:227)(cid:101)(cid:102)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:254)(cid:142)(cid:190)(cid:255)(cid:75)(cid:54)(cid:219)(cid:186)(cid:241)(cid:242)(cid:187)(cid:190).
4(cid:113)（2025·北京·高考真题）(cid:250)(cid:135)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:18)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:54)(cid:253)(cid:167)(cid:177)(cid:234)(cid:256)(cid:257)(cid:101)(cid:235)(cid:199)
(cid:217)(cid:117)(cid:117)R(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:18)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:145)(cid:146) f(x)+ f(2x)=-x(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:188)
①(cid:217)(cid:117)(cid:117)R(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:18)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:145)(cid:146) f x- f 2x=x(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:188)
②(cid:145)(cid:146) f(x)+ f(-x)=cosx(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:18)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:217)(cid:117)(cid:233)(cid:123)(cid:246)(cid:261)(cid:262)(cid:257)(cid:188)
③(cid:145)(cid:146) f(x)- f(-x)=cosx(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:18)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:217)(cid:117)(cid:233)(cid:123)(cid:246)(cid:261)(cid:262)(cid:257)(cid:113)
④(cid:22)(cid:121)(cid:236)(cid:197)(cid:101)(cid:235)(cid:18)(cid:263)(cid:264)(cid:216)________(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)②(cid:239)(cid:64)③(cid:265)(cid:247)(cid:116)(cid:190)(cid:185)(cid:186) (cid:18)(cid:236)(cid:266)(cid:54)(cid:267)(cid:268)(cid:16)(cid:17)(cid:269)(cid:270)(cid:247)(cid:180)(cid:190)(cid:185)(cid:186) (cid:18)(cid:236)(cid:266).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:60)(cid:135) (cid:54)(cid:228)(cid:217)(cid:117)(cid:117)① R ④(cid:37)(cid:18)(cid:258)(cid:16)(cid:17) f x(cid:54)(cid:138)(cid:139) f x+ f 2x②=-③x(cid:54)
①(cid:204) f 0+ f 2´0=-0(cid:54)(cid:187) f 0=0(cid:54)
(cid:206)x>0(cid:172)(cid:54) f 4x> f 2x> f x>0(cid:54)(cid:206) f(4x)+ f(2x)> f(x)+ f(2x)(cid:54)
(cid:206)-2x>-x(cid:187)x<0(cid:54)(cid:271)(cid:272)(cid:54)(cid:206) (cid:273)(cid:266)(cid:188)
(cid:60)(cid:135) (cid:54)(cid:229) f x=-x(cid:54)(cid:195)(cid:16)(cid:17)①(cid:51)R(cid:37)(cid:18)(cid:260)(cid:16)(cid:17)(cid:233) f x- f 2x=x(cid:54)
(cid:206)(cid:195)②(cid:16)(cid:17)(cid:209)(cid:102)(cid:54)(cid:206) (cid:236)(cid:197)(cid:188)
1
(cid:60)(cid:135) (cid:54)(cid:229) f x=②cosx+mx,mÎR(cid:54)
2
③
(cid:205)(cid:172) f x+ f -x=cosx(cid:54)(cid:224)mÎR(cid:190)(cid:146) f x(cid:123)(cid:246)(cid:261)(cid:262)(cid:257)(cid:54)
(cid:206) (cid:236)(cid:197)(cid:188)
(cid:60)③(cid:135) (cid:54)(cid:228)(cid:217)(cid:117) f x(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x- f -x=cosx(cid:54)
(cid:274)x= ④ 0(cid:54)(cid:204)0=cos0(cid:54)(cid:231)cos0=1(cid:54)(cid:271)(cid:272)(cid:54)
(cid:206)(cid:138)(cid:139) f x- f -x=cosx(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:219)(cid:217)(cid:117)(cid:54)(cid:206) (cid:273)(cid:266).
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199) ④
②③ ìf(x),x³0
5(cid:113)（2024·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104) f(x)=x2,g(x)=í (cid:54)(cid:25)g(x)£2-x(cid:18)x(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)_______.
î-f(-x),x<0
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)-¥,1
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:5)x³0(cid:33)x<0(cid:168)(cid:82)(cid:25)(cid:34)(cid:210)(cid:159)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:190)(cid:146).
ìx2(cid:54)x³0
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:13)(cid:133)(cid:104)g(x)=í .
î-x2(cid:54)x<0
(cid:203)x³0(cid:172)(cid:54)gx£2-x,(cid:187)x2+x-2£0(cid:54)(cid:34)(cid:146)-2£x£1(cid:54)(cid:204)(cid:123)0£x£1(cid:188)
(cid:203)x<0(cid:172)(cid:54)gx£2-x,(cid:187)-x2+x-2£0(cid:54)xÎR(cid:54)(cid:187)x<0(cid:172)(cid:54)(cid:219)(cid:50)(cid:36)gx£2-x(cid:276)(cid:154)(cid:230).
(cid:277)(cid:37)(cid:232)(cid:278)(cid:54)g(x)£2-x(cid:18)x(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:51)-¥,1
.
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)-¥,1
.
6(cid:113)（2024·上海·高考真题）(cid:16)(cid:17)y=log x(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)_______.
2
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)0,+¥
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:224)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:75)(cid:84)(cid:187)(cid:190)(cid:146).(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:190)(cid:146)x>0(cid:54)(cid:187)y=log x(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)0,+¥ .
2
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)0,+¥
.
ìï x,x>0
7(cid:113)（2024·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104) f x=í ,(cid:204) f 3=______(cid:113)
ïî1,x£0
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165) 3
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:239)(cid:64)(cid:5)(cid:82)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:110)(cid:36)(cid:190)(cid:25) f 3 .
ìï x,x>0
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51) f x=í ,(cid:206) f 3= 3(cid:54)
ïî1,x£0
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199) 3.
æ1ö
8(cid:113)（2023·北京·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f(x)=4x+log x(cid:54)(cid:204) f ç ÷=____________(cid:113)
2 è2ø
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)1
1
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:253)(cid:28)(cid:221)(cid:222)(cid:54)(cid:279)x= (cid:237)(cid:238)(cid:54)(cid:239)(cid:64)(cid:59)(cid:17)(cid:27)(cid:60)(cid:17)(cid:61)(cid:62)(cid:192)(cid:62)(cid:95)(cid:163).
2
1 1 1
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:16)(cid:17) f(x)=4x+log x(cid:54)(cid:232)(cid:46) f( )=42 +log =2-1=1.
2 2 2 2
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)1
ì2x,x>0
9(cid:113)（2023·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104) f x=í (cid:54)(cid:204) f x(cid:18)(cid:26)(cid:30)(cid:216)______(cid:188)
î1,x£0
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)[1,+¥)
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:5)(cid:82)(cid:280)(cid:235) f x(cid:18)(cid:275)(cid:153)(cid:187)(cid:190).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:203) x>0 (cid:172), (cid:80)(cid:81)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:33)(cid:75)(cid:84)(cid:104) f(x)=2x >1(cid:54)
(cid:203) x£0 (cid:172), f(x)=1.
(cid:277)(cid:37): y= f(x) (cid:18)(cid:26)(cid:30)(cid:51) [1,+¥).
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)[1,+¥).
ì-x2+2, x£1,
ï æ æ1öö
10(cid:113)（2022·浙江·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f x=í 1 (cid:204) f ç f ç ÷÷ =________(cid:188)(cid:228)(cid:203)xÎ[a,b](cid:172)(cid:54)
ïx+ -1, x>1, è è2øø
î x
1£ f(x)£3(cid:54)(cid:204)b-a(cid:18)(cid:281)(cid:78)(cid:26)(cid:216)_________(cid:113)
37
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165) 3+ 3/ 3+3
28
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:101)(cid:102)(cid:5)(cid:82)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:25)(cid:16)(cid:17)(cid:26)(cid:54)(cid:224)(cid:221)(cid:222)(cid:25)(cid:167)a(cid:18)(cid:281)(cid:79)(cid:26),b(cid:18)(cid:281)(cid:78)(cid:26)(cid:187)(cid:190).1 æ1ö 2 7 7 7 4 37
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:215)(cid:104) f( )=-ç ÷ +2= (cid:54) f( )= + -1= (cid:54)
2 è2ø 4 4 4 7 28
é 1 ù 37
(cid:232)(cid:46) f f( ) = (cid:54)
ê ú
ë 2 û 28
(cid:203)x£1(cid:172)(cid:54)(cid:224)1£ f(x)£3(cid:190)(cid:146)1£-x2+2£3(cid:54)(cid:232)(cid:46)-1£x£1(cid:54)
1
(cid:203)x>1(cid:172)(cid:54)(cid:224)1£ f(x)£3(cid:190)(cid:146)1£x+ -1£3(cid:54)(cid:232)(cid:46)1<x£2+ 3(cid:54)
x
1£ f(x)£3(cid:50)(cid:282)(cid:135)-1£x£2+ 3(cid:54)(cid:232)(cid:46)[a,b]Í[-1,2+ 3](cid:54)
(cid:232)(cid:46)b-a(cid:18)(cid:281)(cid:78)(cid:26)(cid:51)3+ 3.
37
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199) (cid:54)3+ 3.
28
1
11(cid:113)（2022·北京·高考真题）(cid:16)(cid:17) f(x)= + 1-x (cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:216)_________(cid:113)
x
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)-¥,0È0,1
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:86)(cid:159)(cid:97)(cid:80)(cid:18)(cid:283)(cid:284)(cid:97)(cid:17)(cid:285)(cid:286)(cid:27)(cid:5)(cid:287)(cid:219)(cid:51)(cid:96)(cid:146)(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:288)(cid:54)(cid:34)(cid:146)(cid:187)(cid:190)(cid:188)
1 ì1-x³0
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:34)(cid:199)(cid:243)(cid:51) f x= + 1-x(cid:54)(cid:232)(cid:46)í (cid:54)(cid:34)(cid:146)x£1(cid:233)x¹0(cid:54)
x îx¹0
(cid:206)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)-¥,0È0,1(cid:188)
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)-¥,0È0,1
考点 02 幂指对函数的运算与应用
1(cid:113)（2026·上海·高考真题）a(cid:51)(cid:219)(cid:51)1(cid:18)(cid:132)(cid:133)(cid:289)(cid:17)(cid:54)(cid:204)a×3 a =(cid:10) (cid:11)(cid:113)
3 4 5 5
A(cid:113) B(cid:113) C(cid:113) D(cid:113)
a2 a3 a2 a3
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
1 1 4
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)a¹1(cid:54)(cid:204) a×3 a =a×a3 =a 1+ 3 =a3 .
2(cid:113)（2026·天津·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f(x)= lnx (cid:54)(cid:228)a= f(20.3)(cid:54)b= f(30.3)(cid:54)c= f(3-0.5)(cid:54)(cid:204)a(cid:54)b(cid:54)c(cid:18)
(cid:78)(cid:79)(cid:250)(cid:130)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113)a<b<c B(cid:113)b<a<c C(cid:113)c<b<a D(cid:113)c<a<b
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)A(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:33)(cid:290)(cid:60)(cid:26)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:213)(cid:291) f x(cid:54)(cid:227)(cid:224)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:27)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:72)(cid:58)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:187)
(cid:190).
ìlnx,x>1
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:190)(cid:146) f x=í (cid:54)
î-lnx,0<x<1
(cid:243)(cid:51)(cid:16)(cid:17)y=x0.3(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:232)(cid:46)1<20.3<30.3(cid:54)
(cid:244)(cid:243)(cid:16)(cid:17)y=3x(cid:117)R(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:204)0<3-0.5 <1<30.5(cid:54)
(cid:232)(cid:46)c= f  3-0.5 =-ln3-0.5 =ln30.5 = f  30.5 (cid:54)
(cid:243)1<20.3<30.3<30.5(cid:54)(cid:233) f x(cid:117)1,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)
(cid:232)(cid:46) f
 20.3
< f
 30.3
< f
 30.5
(cid:54)(cid:187) f
 20.3
< f
 30.3
< f
 3-0.5
.
(cid:206)a<b<c.
3(cid:113)（2025·北京·高考真题）(cid:69)(cid:28)(cid:221)(cid:222)(cid:177)(cid:54)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:296)(cid:78)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:196)(cid:300)(cid:301)N(cid:257)(cid:73)(cid:302)(cid:18)(cid:17)(cid:81)(cid:194)(cid:232)(cid:106)(cid:107)(cid:18)(cid:172)(cid:170)
T =klog N(cid:10)(cid:73)(cid:302)(cid:199)h(cid:11)(cid:54)(cid:22)(cid:121)k(cid:51)(cid:303)(cid:17)(cid:113)(cid:117)(cid:205)(cid:221)(cid:222)(cid:177)(cid:54)(cid:215)(cid:104)(cid:300)(cid:301)(cid:17)(cid:81)(cid:194)N(cid:174)106(cid:257)(cid:73)(cid:302)(cid:258)(cid:255)(cid:160)1.024´109(cid:257)
2
(cid:73)(cid:302)(cid:172)(cid:54)(cid:300)(cid:301)(cid:172)(cid:170)(cid:258)(cid:255)20h(cid:188)(cid:203)(cid:300)(cid:301)(cid:17)(cid:81)(cid:194)N(cid:174)1.024´109(cid:257)(cid:73)(cid:302)(cid:258)(cid:255)(cid:160)4.096´109(cid:257)(cid:73)(cid:302)(cid:172)(cid:54)(cid:300)(cid:301)(cid:172)(cid:170)(cid:258)
(cid:255)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113)2h B(cid:113)4h C(cid:113)20h D(cid:113)40h
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:224)(cid:13)(cid:253)(cid:221)(cid:222)(cid:234)(cid:167)(cid:219)(cid:254)(cid:300)(cid:301)(cid:17)(cid:81)(cid:194)(cid:172)(cid:232)(cid:106)(cid:18)(cid:172)(cid:170)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:60)(cid:17)(cid:18)(cid:61)(cid:62)(cid:75)(cid:84)(cid:187)(cid:190)(cid:25)(cid:34).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:125)(cid:203)N(cid:229)106(cid:257)(cid:73)(cid:302)(cid:27)1.024´109(cid:257)(cid:73)(cid:302)(cid:27)4.096´109(cid:257)(cid:73)(cid:302)(cid:172)(cid:232)(cid:106)(cid:172)(cid:170)(cid:5)(cid:171)(cid:51)T,T ,T ,
1 2 3
(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:54)T =klog 106 =6klog 10(cid:54)
1 2 2
T =klog  1.024´109 =klog  210´106 =k10+6log 10(cid:54)
2 2 2 2
T =klog  4.096´109 =klog  212´106 =k12+6log 10(cid:54)
3 2 2 2
(cid:243)(cid:51)T -T =k10+6log 10-6klog 10=10k =20(cid:54)(cid:232)(cid:46)k =2(cid:54)
2 1 2 2
(cid:232)(cid:46)T -T =k12+6log 10-k10+6log 10=2k =4(cid:54)
3 2 2 2
(cid:232)(cid:46)(cid:203)(cid:300)(cid:301)(cid:17)(cid:81)(cid:194)N(cid:174)1.024´109(cid:257)(cid:73)(cid:302)(cid:258)(cid:255)(cid:160)4.096´109(cid:257)(cid:73)(cid:302)(cid:172)(cid:54)(cid:300)(cid:301)(cid:172)(cid:170)(cid:258)(cid:255)4(cid:79)(cid:172).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B.
4(cid:113)（2025·上海·高考真题）(cid:125)a>0,sÎR(cid:113)(cid:177)(cid:234)(cid:181)(cid:183)(cid:121)(cid:54)(cid:296)(cid:242)(cid:167)as >a(cid:18)(cid:69)(cid:183)(cid:216)(cid:10) (cid:11)A(cid:113)a>1(cid:54)(cid:233)s>0 B(cid:113)a>1(cid:54)(cid:233)s<0
C(cid:113)0<a<1(cid:54)(cid:233)s>0 D(cid:113)0<a<1(cid:54)(cid:233)s<0
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:239)(cid:64)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:5)(cid:6)(cid:280)(cid:235)a(cid:33)1(cid:18)(cid:250)(cid:130)(cid:187)(cid:190)(cid:185)(cid:28)(cid:182)(cid:183).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165) a>0,as >a(cid:54) as-1 >1=a0(cid:54)
∵ ∴
(cid:203)aÎ0,1(cid:172)(cid:54)y=ax(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:304)(cid:305)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)
(cid:205)(cid:172)(cid:228)s-1<0(cid:54)(cid:204)(cid:69)(cid:28)(cid:123)as-1 >1=a0(cid:154)(cid:230)(cid:54)(cid:206)D(cid:236)(cid:197)(cid:54)C(cid:273)(cid:266)(cid:188)
(cid:203)aÎ1,+¥(cid:172)(cid:54)y=ax(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:304)(cid:305)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:107)(cid:138)(cid:139)as-1 >1=a0(cid:54)(cid:106)s>1(cid:54)(cid:187)A(cid:27)B(cid:273)(cid:266).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D
5(cid:113)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:215)(cid:104)2+log x=3+log y=5+log z(cid:54)(cid:204)x(cid:54)y(cid:54)z(cid:18)(cid:78)(cid:79)(cid:250)(cid:130)(cid:219)(cid:190)(cid:296)(cid:216)(cid:10) (cid:11)
2 3 5
A(cid:113)x> y>z B(cid:113)x>z> y
C(cid:113)y>x>z D(cid:113)y>z>x
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:125)2+log x=3+log y=5+log z=m(cid:54)(cid:60)m(cid:280)(cid:235)(cid:306)(cid:26)(cid:25)(cid:167)x,y,z(cid:54)(cid:187)(cid:190)(cid:146)(cid:167)(cid:78)(cid:79)(cid:250)(cid:130)(cid:54)(cid:239)(cid:64)
2 3 5
(cid:207)(cid:208)(cid:116)(cid:25)(cid:167)(cid:188)
(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:80)(cid:81)(cid:17)(cid:110)(cid:101)(cid:102)(cid:34)(cid:167).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:125)2+log x=3+log y=5+log z=m(cid:54)(cid:232)(cid:46)
2 3 5
1 1
(cid:274)m=2(cid:54)(cid:204)x=1,y=3-1 = ,z=5-3 = (cid:54)(cid:205)(cid:172)x> y>z(cid:54)A(cid:123)(cid:190)(cid:296)(cid:188)
3 125
(cid:274)m=5(cid:54)(cid:204)x=8,y=9,z=1(cid:54)(cid:205)(cid:172)y>x>z(cid:54)C(cid:123)(cid:190)(cid:296)(cid:188)
(cid:274)m=8(cid:54)(cid:204)x=26 =64,y=35 =243,z=53 =125(cid:54)(cid:205)(cid:172)y>z>x(cid:54)D(cid:123)(cid:190)(cid:296)(cid:188)
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B(cid:113)
(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:125)2+log x=3+log y=5+log z=m(cid:54)(cid:232)(cid:46)(cid:54)x=2m-2,y=3m-3,z=5m-5
2 3 5
(cid:80)(cid:81)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:54)(cid:307)(cid:104)(cid:181)(cid:97)(cid:98)(cid:214)(cid:123)(cid:308)(cid:69)(cid:18)(cid:80)(cid:54)
(cid:95)(cid:167)(cid:16)(cid:17)y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:54)(cid:46)(cid:37)(cid:97)(cid:98)(cid:18)(cid:80)(cid:5)(cid:171)(cid:216)(cid:16)(cid:17)y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:33)(cid:127)(cid:137)
x=m(cid:18)(cid:309)(cid:4)(cid:173)(cid:129)(cid:91)(cid:54)(cid:310)(cid:31)(cid:232)(cid:24)(cid:199)(cid:307)(cid:104)(cid:54)(cid:311)(cid:312)m(cid:18)(cid:212)(cid:213)(cid:190)(cid:296)(cid:167)(cid:140)(cid:199)x> y>z(cid:54)y>x>z(cid:54)y>z>x(cid:54)z> y>x(cid:54)
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B(cid:113)
6(cid:113)（2025·上海·高考真题）(cid:58)(cid:16)(cid:17)y=xa(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:216)(cid:304)(cid:305)(cid:260)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:233)(cid:313)(cid:131)-1,-1(cid:54)(cid:204)a(cid:18)(cid:26)(cid:190)(cid:296)(cid:216)
(cid:10) (cid:11)(cid:113)
2 1
A(cid:113)- B(cid:113)- C(cid:113)1 D(cid:113)3
3 3 3
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:58)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:190)(cid:207)(cid:208)C(cid:72)D(cid:188)(cid:80)(cid:81)(cid:58)(cid:16)(cid:17)(cid:131)(cid:4)-1,-1(cid:54)(cid:190)(cid:207)(cid:208)A.
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51)(cid:58)(cid:16)(cid:17)y=xa(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:216)(cid:304)(cid:305)(cid:260)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:232)(cid:46)a<0(cid:54)(cid:206)C(cid:273)(cid:266)(cid:54)D(cid:273)(cid:266)(cid:188)
2 1 1
(cid:60)(cid:135)A(cid:54)(cid:228)a=- 2 3 (cid:54)(cid:204) y=x - 2 3 (cid:54)(cid:203)x=-1(cid:172)(cid:54) y=-1- 3 = -1 2
3
= 3-12 =1 (cid:54)
(cid:232)(cid:46)(cid:58)(cid:16)(cid:17) - 2 (cid:131)(cid:4)-1,1(cid:54)(cid:206)A(cid:273)(cid:266)(cid:188)
y=x 3
1 1
(cid:60)(cid:135)B(cid:54)(cid:228)a=- 1 (cid:54)(cid:204) y=x - 1 3 (cid:54)(cid:203)x=-1(cid:172)(cid:54) y=-1- 3 = 1 =-1 (cid:54)
3 -1
3
(cid:232)(cid:46)(cid:58)(cid:16)(cid:17) - 1 (cid:131)(cid:4)-1,-1(cid:54)(cid:206)B(cid:236)(cid:197).
y=x 3
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B.
7(cid:113)（2024·北京·高考真题）(cid:215)(cid:104)x,y (cid:54)x ,y (cid:216)(cid:16)(cid:17)y=2x(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:37)(cid:168)(cid:257)(cid:219)(cid:254)(cid:18)(cid:4)(cid:54)(cid:204)(cid:10) (cid:11)
1 1 2 2
y +y x +x y +y x +x
A(cid:113)log 1 2 < 1 2 B(cid:113)log 1 2 > 1 2
2 2 2 2 2 2
y +y y +y
C(cid:113)log 1 2 <x +x D(cid:113)log 1 2 >x +x
2 2 1 2 2 2 1 2
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:72)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:101)(cid:102)(cid:47)(cid:48)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:5)(cid:35)(cid:185)(cid:186)AB(cid:188)(cid:314)(cid:226)(cid:185)(cid:186)CD(cid:187)(cid:190).(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:219)(cid:315)(cid:125)x
1
<x
2
(cid:54)(cid:243)(cid:51)(cid:16)(cid:17)y=2x(cid:216)(cid:258)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:232)(cid:46)0<2x1 <2x2(cid:54)(cid:187)0< y
1
< y
2
(cid:54)
2x 1 +2x 2 x 1+x 2 y +y x1+x2
(cid:60)(cid:135)(cid:182)(cid:183)AB(cid:199)(cid:190)(cid:146) > 2x 1·2x 2 =2 2 (cid:54)(cid:187) 1 2 >2 2 >0(cid:54)
2 2
y +y x 1+x 2 x +x
(cid:80)(cid:81)(cid:16)(cid:17)y=log x(cid:216)(cid:258)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:232)(cid:46)log 1 2 >log 2 2 = 1 2 (cid:54)(cid:206)B(cid:236)(cid:197)(cid:54)A(cid:273)(cid:266)(cid:188)
2 2 2 2 2
(cid:60)(cid:135)(cid:182)(cid:183)D(cid:199)(cid:226)(cid:310)x =0,x =1(cid:54)(cid:204)y =1,y =2(cid:54)
1 2 1 2
y +y 3 y +y
(cid:190)(cid:146)log 1 2 =log Î0,1(cid:54)(cid:187)log 1 2 <1=x +x (cid:54)(cid:206)D(cid:273)(cid:266)(cid:188)
2 2 2 2 2 2 1 2
1 1
(cid:60)(cid:135)(cid:182)(cid:183)C(cid:199)(cid:226)(cid:310)x =-1,x =-2(cid:54)(cid:204)y = ,y = (cid:54)
1 2 1 2 2 4
y +y 3 y +y
(cid:190)(cid:146)log 1 2 =log =log 3-3Î-2,-1(cid:54)(cid:187)log 1 2 >-3=x +x (cid:54)(cid:206)C(cid:273)(cid:266)(cid:54)
2 2 28 2 2 2 1 2
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B.
S-1
8(cid:113)（2024·北京·高考真题）(cid:316)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:179)(cid:59)(cid:17) d = (cid:216)(cid:320)(cid:321)(cid:322)(cid:84)(cid:18)(cid:69)(cid:257)(cid:323)(cid:282)(cid:59)(cid:91)(cid:54)(cid:22)(cid:121)S,N(cid:5)(cid:171)(cid:23)(cid:24)(cid:320)(cid:321)
lnN
(cid:121)(cid:18)(cid:316)(cid:317)(cid:324)(cid:6)(cid:17)(cid:33)(cid:316)(cid:317)(cid:257)(cid:53)(cid:325)(cid:17).(cid:316)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:179)(cid:59)(cid:17)d(cid:326)(cid:78)(cid:54)(cid:322)(cid:84)(cid:326)(cid:327)(cid:113)(cid:310)(cid:328)(cid:292)(cid:320)(cid:321)(cid:329)(cid:71)(cid:330)(cid:180)(cid:18)(cid:316)(cid:317)(cid:324)(cid:6)(cid:17)S(cid:331)
(cid:123)(cid:212)(cid:213)(cid:54)(cid:316)(cid:317)(cid:257)(cid:53)(cid:325)(cid:17)(cid:224)N (cid:212)(cid:51)N (cid:54)(cid:316)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:179)(cid:59)(cid:17)(cid:224)2.1(cid:332)(cid:43)(cid:160)3.15(cid:54)(cid:204)(cid:10) (cid:11)
1 2
A(cid:113)3N =2N B(cid:113)2N =3N
2 1 2 1
C(cid:113)N2 =N3 D(cid:113)N3 =N2
2 1 2 1
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
S-1 S-1
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:13)(cid:133)(cid:5)(cid:35)(cid:190)(cid:146) =2.1, =3.15(cid:54)(cid:333)(cid:245)S(cid:187)(cid:190)(cid:25)(cid:34).
lnN lnN
1 2
S-1 S-1
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:146) =2.1, =3.15(cid:54)(cid:204)2.1lnN =3.15lnN (cid:54)(cid:187)2lnN =3lnN (cid:54)(cid:232)(cid:46)N3 =N2.
lnN lnN 1 2 1 2 2 1
1 2
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D.
9(cid:113)（2024·天津·高考真题）(cid:125)a=4.2-0.2(cid:54)b=4.20.2(cid:54)c=log 0.2(cid:54)(cid:204)a(cid:54)b(cid:54)c(cid:18)(cid:78)(cid:79)(cid:250)(cid:130)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
4.2
A(cid:113)a<b<c B(cid:113)a<c<b C(cid:113)c<b<a D(cid:113)c<a<b
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:239)(cid:64)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:72)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:5)(cid:35)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:190).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51)y=4.2x(cid:117)R(cid:37)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:233)-0.2<0<0.2(cid:54)
(cid:232)(cid:46)0<4.2-0.2 <4.20 <4.20.2(cid:54)
(cid:232)(cid:46)0<4.2-0.2 <1<4.20.2(cid:54)(cid:187)0<a<1<b(cid:54)(cid:243)(cid:51)y=log x(cid:117)(0,+¥)(cid:37)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:233)0<0.2<1(cid:54)
4.2
(cid:232)(cid:46)log 0.2<log 1=0(cid:54)(cid:187)c<0(cid:54)
4.2 4.2
(cid:232)(cid:46)c<a<b(cid:54)
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D
10(cid:113)（2023·北京·高考真题）(cid:177)(cid:234)(cid:16)(cid:17)(cid:121)(cid:54)(cid:117)(cid:169)(cid:170)(0,+¥)(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:18)(cid:216)(cid:10) (cid:11)
1
A(cid:113) f(x)=-lnx B(cid:113) f(x)=
2x
1
C(cid:113) f(x)=- D(cid:113) f(x)=3|x-1|
x
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)C
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:239)(cid:64)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:334)(cid:102)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:185)(cid:186)ABC(cid:54)(cid:314)(cid:265)(cid:226)(cid:207)(cid:208)D(cid:187)(cid:190).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:60)(cid:135)A(cid:54)(cid:243)(cid:51)y=lnx(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:232)(cid:46) f x=-lnx(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:206)A(cid:273)(cid:266)(cid:188)
1
(cid:60)(cid:135)B(cid:54)(cid:243)(cid:51)y=2x(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)y= (cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)
x
1
(cid:232)(cid:46) f x= (cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:206)B(cid:273)(cid:266)(cid:188)
2x
1
(cid:60)(cid:135)C(cid:54)(cid:243)(cid:51)y= (cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)y=-x(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)
x
1
(cid:232)(cid:46) f x=- (cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:206)C(cid:236)(cid:197)(cid:188)
x
(cid:60)(cid:135)D(cid:54)(cid:243)(cid:51) f æ ç 1ö ÷=3 1 2 -1 =3 1 2 = 3(cid:54) f 1=31-1 =30 =1, f 2=32-1 =3(cid:54)
è2ø
(cid:335)(cid:336) f x=3x-1(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:219)(cid:73)(cid:74)(cid:54)D(cid:273)(cid:266).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)C.
æ 2ö æ 3ö æ 6ö
11(cid:113)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f x=e-(x-1)2(cid:113)(cid:337)a= f ç ÷,b= f ç ÷,c= f ç ÷(cid:54)(cid:204)(cid:10) (cid:11)
2 2 2
è ø è ø è ø
A(cid:113)b>c>a B(cid:113)b>a>c C(cid:113)c>b>a D(cid:113)c>a>b
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)A
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:239)(cid:64)(cid:95)(cid:193)(cid:116)(cid:76)(cid:77)(cid:338)(cid:212)(cid:194)(cid:18)(cid:78)(cid:79)(cid:54)(cid:227)(cid:80)(cid:81)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:21)(cid:210)(cid:159)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:190).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:274)g(x)=-(x-1)2(cid:54)(cid:204)g(x)(cid:284)(cid:339)(cid:142)(cid:177)(cid:54)(cid:60)(cid:89)(cid:136)(cid:51)x=1(cid:54)
6 æ 3ö 6+ 3 4
(cid:243)(cid:51) -1-ç1- ÷= - (cid:54)(cid:175)( 6+ 3)2-42 =9+6 2-16=6 2-7>0(cid:54)
2 ç 2 ÷ 2 2
è ø6 æ 3ö 6+ 3 4 6 3
(cid:232)(cid:46) -1-ç1- ÷= - >0(cid:54)(cid:187) -1>1-
2 ç è 2 ÷ ø 2 2 2 2
6 3
(cid:224)(cid:210)(cid:159)(cid:16)(cid:17)(cid:75)(cid:84)(cid:104)g( )<g( )(cid:54)
2 2
6 æ 2ö 6+ 2 4
(cid:243)(cid:51) -1-ç1- ÷= - (cid:54)(cid:175)( 6+ 2)2-42 =8+4 3-16=4 3-8=4( 3-2)<0(cid:54)
2 ç 2 ÷ 2 2
è ø
6 2 6 2
(cid:187) -1<1- (cid:54)(cid:232)(cid:46)g( )>g( )(cid:54)
2 2 2 2
2 6 3
(cid:277)(cid:37)(cid:54)g( )<g( )<g( )(cid:54)
2 2 2
(cid:244)y=ex(cid:51)(cid:258)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:206)a<c<b(cid:54)(cid:187)b>c>a.
(cid:206)(cid:182)(cid:199)A.
12(cid:113)（2023·天津·高考真题）(cid:125)a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5(cid:54)(cid:204)a,b,c(cid:18)(cid:78)(cid:79)(cid:250)(cid:130)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113)a<b<c B(cid:113)b<a<c
C(cid:113)c<b<a D(cid:113)c<a<b
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:60)(cid:63)(cid:58)(cid:27)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:185)(cid:186)(cid:78)(cid:79)(cid:250)(cid:130)(cid:187)(cid:190).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)y=1.01x(cid:117)R(cid:37)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:204)a=1.010.5 <b=1.010.6(cid:54)
(cid:224)y=x0.5(cid:117)[0,+¥)(cid:37)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:204)a=1.010.5 >c=0.60.5.
(cid:232)(cid:46)b>a>c.
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D
13(cid:113)（2022·上海·高考真题）(cid:177)(cid:234)(cid:16)(cid:17)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:18)(cid:216)(cid:10)(cid:340)(cid:340)(cid:11)
1 1 1
A(cid:113) - B(cid:113)y=x-1 C(cid:113) D(cid:113)
y=x 2 y=x3 y=x2
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)C
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:213)(cid:5)(cid:17)(cid:59)(cid:17)(cid:58)(cid:51)(cid:80)(cid:36)(cid:54)(cid:5)(cid:171)(cid:25)(cid:167)(cid:256)(cid:257)(cid:182)(cid:183)(cid:121)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:146)(cid:163)(cid:164)(cid:113)
(cid:162)(cid:34)(cid:163)(cid:165)y=x
- 1
2 =
1
(cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)
x x>0
(cid:54)
x
1
y=x-1 = (cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51) x x¹0 (cid:54)
x
1
y=x3 = 3 x
(cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)
1
(cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)
x x³0
(cid:113)
y=x2 = x(cid:206)(cid:182)(cid:199)C(cid:113)
14(cid:113)（2022·天津·高考真题）(cid:213)(cid:291)2log 3+log 3log 2+log 2=(cid:10) (cid:11)
4 8 3 9
5 5
A(cid:113)1 B(cid:113) C(cid:113)2 D(cid:113)
4 2
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)C
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:60)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:190)(cid:25)(cid:237)(cid:17)(cid:36)(cid:18)(cid:26).
1 1 1
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:341)(cid:36)=(2´ log 3+ log 3)(log 2+ log 2)
2 2 3 2 3 2 3
4 3
= log 3´ log 2=2(cid:54)
3 2 2 3
(cid:206)(cid:182)(cid:199)C
æ1ö 0.7 1
15(cid:113)（2022·天津·高考真题）(cid:125)a=20.7(cid:54)b=ç
è3 ÷ ø
(cid:54)c=log
23
(cid:54)(cid:204)a,b,c(cid:18)(cid:78)(cid:79)(cid:250)(cid:130)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113)a<b<c B(cid:113)c<a<b C(cid:113)b<c<a D(cid:113)c<b<a
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:239)(cid:64)(cid:58)(cid:16)(cid:17)(cid:27)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:101)(cid:102)(cid:121)(cid:170)(cid:26)(cid:116)(cid:190)(cid:146)(cid:167)a(cid:27)b(cid:27)c(cid:18)(cid:78)(cid:79)(cid:250)(cid:130).
æ1ö 0.7 1
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51)20.7 >ç ÷ >0=log 1>log (cid:54)(cid:206)c<b<a.
è3ø 2 2 3
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D.
16(cid:113)（2022·浙江·高考真题）(cid:215)(cid:104)2a =5,log 3=b(cid:54)(cid:204)4a-3b =(cid:10) (cid:11)
8
25 5
A(cid:113)25 B(cid:113)5 C(cid:113) D(cid:113)
9 3
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)C
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:59)(cid:17)(cid:36)(cid:33)(cid:60)(cid:17)(cid:36)(cid:18)(cid:342)(cid:213)(cid:54)(cid:58)(cid:18)(cid:61)(cid:62)(cid:75)(cid:84)(cid:46)(cid:21)(cid:60)(cid:17)(cid:18)(cid:61)(cid:62)(cid:75)(cid:84)(cid:187)(cid:190)(cid:34)(cid:167)(cid:113)
1 4a
 2a2
52 25
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51)2a =5(cid:54)b=log 3= log 3(cid:54)(cid:187)23b =3(cid:54)(cid:232)(cid:46)4a-3b = = = = (cid:113)
8 3 2 43b  23b2 32 9
(cid:206)(cid:182)(cid:199)C.
17(cid:113)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:215)(cid:104)9m =10,a=10m-11,b=8m-9(cid:54)(cid:204)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113)a>0>b B(cid:113)a>b>0 C(cid:113)b>a>0 D(cid:113)b>0>a
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)A
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:80)(cid:81)(cid:59)(cid:60)(cid:342)(cid:213)(cid:46)(cid:21)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:187)(cid:190)(cid:104)m=log 10>1(cid:54)(cid:227)(cid:239)(cid:64)(cid:47)(cid:48)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:54)(cid:343)(cid:344)(cid:345)(cid:36)
9(cid:190)(cid:146)m>lg11(cid:54)log 9>m(cid:54)(cid:336)(cid:180)(cid:224)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:187)(cid:190)(cid:34)(cid:167)(cid:113)
8
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:346)(cid:97)(cid:116)(cid:69)(cid:347)(cid:199)(cid:10)(cid:59)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:75)(cid:84)(cid:11)
(cid:224)9m =10(cid:190)(cid:146)m=log 9 10= l l g g 1 9 0 >1(cid:54)(cid:175)lg9lg11< æ ç è lg9+ 2 lg11ö ÷ ø 2 = æ ç è lg 2 99ö ÷ ø 2 <1=lg102(cid:54)(cid:232)(cid:46) l l g g 1 9 0 > l l g g 1 1 0 1 (cid:54)
(cid:187)m>lg11(cid:54)(cid:232)(cid:46)a=10m-11>10lg11-11=0.
(cid:244)lg8lg10< æ ç è lg8+ 2 lg10ö ÷ ø 2 = æ ç è lg 2 80ö ÷ ø 2 <lg92(cid:54)(cid:232)(cid:46) l l g g8 9 > l l g g 1 9 0 (cid:54)(cid:187)log 8 9>m(cid:54)
(cid:232)(cid:46)b=8m-9<8log89-9=0.(cid:277)(cid:37)(cid:54)a>0>b.
(cid:346)(cid:97)(cid:116)(cid:210)(cid:347)(cid:199)(cid:162)(cid:281)(cid:348)(cid:34)(cid:165)(cid:10)(cid:267)(cid:268)(cid:16)(cid:17)(cid:11)
(cid:224)9m =10(cid:54)(cid:190)(cid:146)m=log 10Î(1,1.5)(cid:113)
9
(cid:80)(cid:81)a,b(cid:18)(cid:110)(cid:36)(cid:267)(cid:268)(cid:16)(cid:17) f(x)=xm-x-1(x>1) (cid:54)(cid:204) f¢(x)=mxm-1-1(cid:54)
(cid:274) f¢(x)=0(cid:54)(cid:34)(cid:146) 1 (cid:54)(cid:224)m=log 10Î(1,1.5) (cid:104)x Î(0,1) .
x =m1-m 9 0
0
f(x) (cid:117) (1,+¥) (cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:232)(cid:46) f(10)> f(8) (cid:54)(cid:187) a>b (cid:54)
(cid:244)(cid:243)(cid:51) f(9)=9log910-10=0 (cid:54)(cid:232)(cid:46)a>0>b .
(cid:206)(cid:182)(cid:199)A.
(cid:162)(cid:4)(cid:323)(cid:165)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:191)(cid:131)(cid:47)(cid:48)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:72)(cid:343)(cid:344)(cid:345)(cid:36)(cid:46)(cid:21)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:54)(cid:97)(cid:116)(cid:127)(cid:349)(cid:303)(cid:64)(cid:54)(cid:350)(cid:135)(cid:191)(cid:75)(cid:191)(cid:116)(cid:188)
(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:239)(cid:64)a,b(cid:18)(cid:110)(cid:36)(cid:267)(cid:268)(cid:16)(cid:17) f(x)=xm-x-1(x>1)(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:146)(cid:167)(cid:78)(cid:79)(cid:250)(cid:130)(cid:54)(cid:291)(cid:73)(cid:248)(cid:351)(cid:54)(cid:216)(cid:195)
(cid:13)(cid:18)(cid:281)(cid:348)(cid:34)(cid:113)
18(cid:113)（2022·北京·高考真题）(cid:117)(cid:40)(cid:41)(cid:352)(cid:353)(cid:100)(cid:37)(cid:54)(cid:68)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)“(cid:358)(cid:359)(cid:360)”(cid:145)(cid:64)(cid:43)(cid:361)(cid:362)(cid:363)(cid:18)(cid:210)(cid:364)(cid:213)(cid:365)(cid:366)(cid:367)(cid:368)(cid:127)(cid:369)(cid:370)
(cid:358)(cid:371)(cid:372)(cid:54)(cid:51)(cid:289)(cid:140)(cid:373)(cid:374)(cid:352)(cid:353)(cid:95)(cid:167)(cid:351)(cid:375)(cid:376)(cid:113)(cid:310)(cid:31)(cid:377)(cid:278)(cid:351)(cid:69)(cid:28)(cid:221)(cid:222)(cid:177)(cid:210)(cid:364)(cid:213)(cid:365)(cid:232)(cid:378)(cid:18)(cid:379)(cid:380)(cid:33)T(cid:72)lgP(cid:18)(cid:250)(cid:130)(cid:54)(cid:22)
(cid:121)T(cid:23)(cid:24)(cid:381)(cid:179)(cid:54)(cid:73)(cid:302)(cid:216)K(cid:188)P(cid:23)(cid:24)(cid:382)(cid:383)(cid:54)(cid:73)(cid:302)(cid:216)bar(cid:113)(cid:177)(cid:234)(cid:101)(cid:235)(cid:121)(cid:236)(cid:197)(cid:18)(cid:216)(cid:10) (cid:11)A(cid:113)(cid:203)T =220(cid:54)P=1026(cid:172)(cid:54)(cid:210)(cid:364)(cid:213)(cid:365)(cid:378)(cid:135)(cid:384)(cid:380)
B(cid:113)(cid:203)T =270(cid:54)P=128(cid:172)(cid:54)(cid:210)(cid:364)(cid:213)(cid:365)(cid:378)(cid:135)(cid:385)(cid:380)
C(cid:113)(cid:203)T =300(cid:54)P=9987(cid:172)(cid:54)(cid:210)(cid:364)(cid:213)(cid:365)(cid:378)(cid:135)(cid:386)(cid:367)(cid:368)(cid:379)(cid:380)
D(cid:113)(cid:203)T =360(cid:54)P=729(cid:172)(cid:54)(cid:210)(cid:364)(cid:213)(cid:365)(cid:378)(cid:135)(cid:386)(cid:367)(cid:368)(cid:379)(cid:380)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)T(cid:33)lgP(cid:18)(cid:250)(cid:130)(cid:31)(cid:190)(cid:146)(cid:236)(cid:197)(cid:18)(cid:182)(cid:183).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:203)T =220(cid:54)P=1026(cid:172)(cid:54)lgP>3(cid:54)(cid:205)(cid:172)(cid:210)(cid:364)(cid:213)(cid:365)(cid:378)(cid:135)(cid:387)(cid:380)(cid:54)(cid:206)A(cid:273)(cid:266).
(cid:203)T =270(cid:54)P=128(cid:172)(cid:54)2<lgP<3(cid:54)(cid:205)(cid:172)(cid:210)(cid:364)(cid:213)(cid:365)(cid:378)(cid:135)(cid:384)(cid:380)(cid:54)(cid:206)B(cid:273)(cid:266).
(cid:203)T =300(cid:54)P=9987(cid:172)(cid:54)lgP(cid:33)4(cid:285)(cid:303)(cid:349)(cid:388)(cid:54)(cid:206)(cid:205)(cid:172)(cid:210)(cid:364)(cid:213)(cid:365)(cid:378)(cid:135)(cid:387)(cid:380)(cid:54)(cid:60)(cid:63)(cid:18)(cid:216)(cid:285)(cid:386)(cid:367)(cid:368)(cid:379)(cid:380)(cid:54)(cid:206)C(cid:273)
(cid:266).
(cid:203)T =360(cid:54)P=729(cid:172)(cid:54)(cid:243)2<lgP<3, (cid:206)(cid:205)(cid:172)(cid:210)(cid:364)(cid:213)(cid:365)(cid:378)(cid:135)(cid:386)(cid:367)(cid:368)(cid:379)(cid:380)(cid:54)(cid:206)D(cid:236)(cid:197).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D
1
19(cid:113)（2022·北京·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f(x)= (cid:54)(cid:204)(cid:60)(cid:132)(cid:133)(cid:289)(cid:17)x(cid:54)(cid:123)(cid:10) (cid:11)
1+2x
A(cid:113) f(- x)+ f(x)= 0 B(cid:113) f(-x)-f(x)=0
1
C(cid:113) f(-x)+ f(x)=1 D(cid:113) f(-x)- f(x)=
3
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)C
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:127)(cid:349)(cid:237)(cid:238)(cid:192)(cid:62)(cid:54)(cid:389)(cid:133)(cid:191)(cid:5)(cid:219)(cid:107)(cid:192)(cid:62)(cid:273)(cid:266)(cid:113)
1 1 2x 1
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165) f -x+ f x= + = + =1(cid:54)(cid:206)A(cid:273)(cid:266)(cid:54)C(cid:236)(cid:197)(cid:188)
1+2-x 1+2x 1+2x 1+2x
1 1 2x 1 2x-1 2
f -x- f x= - = - = =1- (cid:54)(cid:219)(cid:216)(cid:303)(cid:17)(cid:54)(cid:206)BD(cid:273)(cid:266)(cid:188)
1+2-x 1+2x 1+2x 1+2x 2x+1 2x+1
(cid:206)(cid:182)(cid:199)C(cid:113)
20(cid:113)(cid:10)(cid:262)(cid:182)(cid:13)(cid:11)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:393)(cid:394)(cid:13)(cid:326)(cid:395)(cid:326)(cid:396)(cid:160)(cid:124)(cid:397)(cid:113)(cid:64)(cid:391)(cid:382)(cid:398)(cid:395)(cid:179)(cid:194)(cid:391)(cid:399)(cid:18)(cid:383)(cid:400)(cid:54)
p
(cid:28)(cid:29)(cid:391)(cid:382)(cid:398)L =20´lg (cid:54)(cid:22)(cid:121)(cid:303)(cid:17)p p >0(cid:216)(cid:401)(cid:402)(cid:177)(cid:403)(cid:404)(cid:26)(cid:54)p(cid:216)(cid:289)(cid:405)(cid:391)(cid:382)(cid:113)(cid:177)(cid:23)(cid:51)(cid:219)(cid:254)(cid:391)(cid:406)(cid:18)(cid:391)(cid:382)
p p 0 0
0
(cid:398)(cid:199)
(cid:391)(cid:406) (cid:33)(cid:391)(cid:406)(cid:18)(cid:407)(cid:408)/m (cid:391)(cid:382)(cid:398)/dB
(cid:409)(cid:410)(cid:411)(cid:412) 10 60~90
(cid:413)(cid:102)(cid:414)(cid:415)(cid:411)(cid:412) 10 50:60(cid:416)(cid:414)(cid:411)(cid:412) 10 40
(cid:215)(cid:104)(cid:117)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:410)(cid:411)(cid:412)(cid:27)(cid:413)(cid:102)(cid:414)(cid:415)(cid:411)(cid:412)(cid:27)(cid:416)(cid:414)(cid:411)(cid:412)10m(cid:378)(cid:417)(cid:146)(cid:289)(cid:405)(cid:391)(cid:382)(cid:5)(cid:171)(cid:51)p,p ,p (cid:54)(cid:204)(cid:10) (cid:11)(cid:113)
1 2 3
A(cid:113)p ³ p B(cid:113)p >10p
1 2 2 3
C(cid:113)p =100p D(cid:113)p £100p
3 0 1 2
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)ACD
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:13)(cid:133)(cid:190)(cid:104)L Î60,90,L Î50,60,L =40(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:60)(cid:17)(cid:61)(cid:62)(cid:184)(cid:183)(cid:5)(cid:35)(cid:185)(cid:186).
p1 p2 p3
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:190)(cid:104)(cid:199)L Î60,90,L Î50,60,L =40(cid:54)
p1 p2 p3
p p p
(cid:60)(cid:135)(cid:182)(cid:183)A(cid:199)(cid:190)(cid:146)L -L =20´lg 1 -20´lg 2 =20´lg 1 (cid:54)
p1 p2 p p p
0 0 2
p p
(cid:243)(cid:51)L ³L (cid:54)(cid:204)L -L =20´lg 1 ³0(cid:54)(cid:187)lg 1 ³0(cid:54)
p1 p2 p1 p2 p p
2 2
p
(cid:232)(cid:46) 1 ³1(cid:233)p,p >0(cid:54)(cid:190)(cid:146)p ³ p (cid:54)(cid:206)A(cid:236)(cid:197)(cid:188)
p 1 2 1 2
2
p p p
(cid:60)(cid:135)(cid:182)(cid:183)B(cid:199)(cid:190)(cid:146)L -L =20´lg 2 -20´lg 3 =20´lg 2 (cid:54)
p2 p3 p p p
0 0 3
p p 1
(cid:243)(cid:51)L -L =L -40³10(cid:54)(cid:204)20´lg 2 ³10(cid:54)(cid:187)lg 2 ³ (cid:54)
p2 p3 p2 p p 2
3 3
p
(cid:232)(cid:46) 2 ³ 10(cid:233)p ,p >0(cid:54)(cid:190)(cid:146)p ³ 10p (cid:54)
p 2 3 2 3
3
(cid:203)(cid:233)(cid:418)(cid:203)L =50(cid:172)(cid:54)(cid:50)(cid:264)(cid:154)(cid:230)(cid:54)(cid:206)B(cid:273)(cid:266)(cid:188)
p2
p p
(cid:60)(cid:135)(cid:182)(cid:183)C(cid:199)(cid:243)(cid:51)L =20´lg 3 =40(cid:54)(cid:187)lg 3 =2(cid:54)
p3 p p
0 0
p
(cid:190)(cid:146) 3 =100(cid:54)(cid:187)p =100p (cid:54)(cid:206)C(cid:236)(cid:197)(cid:188)
p 3 0
0
p
(cid:60)(cid:135)(cid:182)(cid:183)D(cid:199)(cid:224)(cid:182)(cid:183)A(cid:190)(cid:104)(cid:199)L -L =20´lg 1 (cid:54)
p1 p2 p
2
p
(cid:233)L -L £90-50=40(cid:54)(cid:204)20´lg 1 £40(cid:54)
p1 p2 p
2
p p
(cid:187)lg 1 £2(cid:54)(cid:190)(cid:146) 1 £100(cid:54)(cid:233)p,p >0(cid:54)(cid:232)(cid:46)p £100p (cid:54)(cid:206)D(cid:236)(cid:197)(cid:188)
p p 1 2 1 2
2 2
(cid:206)(cid:182)(cid:199)ACD.
æ f ö
21(cid:113)（2026·北京·高考真题）(cid:399)(cid:43)y(cid:10)(cid:73)(cid:302):mel(cid:11)(cid:33)(cid:419)(cid:420)f(cid:10)(cid:73)(cid:302)(cid:199)Hz(cid:11)(cid:138)(cid:139)y=lgç1+ ÷(cid:54)(cid:228)
è 700ø
lg2£ y£3lg2(cid:54)(cid:204)f(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:51)________(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)700,4900æ f ö f
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:13)(cid:133)lg2£lgç1+ ÷£3lg2=lg8(cid:54)(cid:204)2£1+ £8(cid:54)(cid:34)(cid:146)700£ f £4900(cid:54)
è 700ø 700
(cid:232)(cid:46)f(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:51)700,4900
.
22(cid:113)（2024·上海·高考真题）(cid:16)(cid:17)y=log x(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)_______.
2
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)0,+¥
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:224)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:75)(cid:84)(cid:187)(cid:190)(cid:146).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:190)(cid:146)x>0(cid:54)(cid:187)y=log x(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)0,+¥ .
2
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)0,+¥
.
1 1 5
23(cid:113)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:215)(cid:104)a>1(cid:233) - =- (cid:54)(cid:204)a=______(cid:113)
log a log 4 2
8 a
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)64
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:176)log a,log 4(cid:239)(cid:64)(cid:343)(cid:344)(cid:345)(cid:36)(cid:421)(cid:213)(cid:154)log a(cid:395)(cid:23)(cid:24)(cid:187)(cid:190)(cid:25)(cid:34).
8 a 2
1 1 3 1 5
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:13) - = - log a=- (cid:54)(cid:422)(cid:71)(cid:146)log a2-5log a-6=0(cid:54)
log a log 4 log a 2 2 2 2 2
8 a 2
Þlog a=-1(cid:423)log a=6(cid:54)(cid:244)a>1(cid:54)
2 2
(cid:232)(cid:46)log a=6=log 26(cid:54)(cid:206)a=26 =64
2 2
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)64.
æ1ö
24(cid:113)（2023·北京·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f(x)=4x+log x(cid:54)(cid:204) f ç ÷=____________(cid:113)
2 è2ø
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)1
1
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:253)(cid:28)(cid:221)(cid:222)(cid:54)(cid:279)x= (cid:237)(cid:238)(cid:54)(cid:239)(cid:64)(cid:59)(cid:17)(cid:27)(cid:60)(cid:17)(cid:61)(cid:62)(cid:192)(cid:62)(cid:95)(cid:163).
2
1 1 1
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:16)(cid:17) f(x)=4x+log x(cid:54)(cid:232)(cid:46) f( )=42 +log =2-1=1.
2 2 2 2
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)1
ìïlog x+1,x³0
25(cid:113)（2023·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f(x)=2-x+1(cid:54)(cid:233)gx=í 2 (cid:54)(cid:204)(cid:97)(cid:98)g(x)=2(cid:18)(cid:34)(cid:51)
ïî f -x,x<0
______________(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)x=3
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:5)(cid:6)(cid:280)(cid:235)x³0(cid:72)x<0(cid:54)(cid:34)(cid:97)(cid:98)g(x)=2(cid:18)(cid:34)(cid:54)(cid:187)(cid:190)(cid:146)(cid:167)(cid:163)(cid:164).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:203)x³0(cid:172)(cid:54)gx=log x+1=2(cid:54)(cid:34)(cid:146)(cid:199)x=3(cid:54)
2(cid:203)x<0(cid:172)(cid:54)gx= f -x=2x+1=2(cid:54)(cid:34)(cid:146)(cid:199)x=0(cid:10)(cid:424)(cid:245)(cid:11)(cid:54)
(cid:232)(cid:46)(cid:97)(cid:98)g(x)=2(cid:18)(cid:34)(cid:51)x=3.
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)x=3.
26(cid:113)（2022·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f x=x3(cid:18)(cid:265)(cid:16)(cid:17)(cid:51)y= f-1x(cid:54)(cid:204) f-127=________
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)3
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:25)(cid:167)(cid:16)(cid:17) f x=x3(cid:18)(cid:265)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:54)(cid:157)(cid:175)(cid:190)(cid:25)(cid:146)(cid:101)(cid:328).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)y=x3(cid:190)(cid:146)x= 3 y (cid:54)(cid:206) f-1x= 3 x (cid:54)(cid:243)(cid:205)(cid:54) f-127= 3 27 =3.
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)3.
27(cid:113)（2024·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f x=log xa>0,a¹1(cid:113)
a
(1)(cid:228)(cid:16)(cid:17)y= f x(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:313)(cid:131)(cid:4)4,2(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:219)(cid:50)(cid:36) f 2x-2< f x(cid:188)
(2)(cid:228)(cid:217)(cid:117)x(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x+1(cid:27) f ax(cid:27) f x+2(cid:200)(cid:159)(cid:154)(cid:50)(cid:193)(cid:17)(cid:234)(cid:54)(cid:25)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(1) 1,2
(2)
1,+¥
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:237)(cid:238)(cid:4)(cid:129)(cid:91)(cid:192)(cid:62)(cid:25)(cid:167) f x=log x(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:187)(cid:190)(cid:25)(cid:167) f 2x-2< f x(cid:18)(cid:34)(cid:425)(cid:188)
2
(cid:10)2(cid:11)(cid:80)(cid:81) f x=log x(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:176)(cid:394)(cid:13)(cid:421)(cid:213)(cid:51)x>0(cid:172)(cid:54)(cid:146)(cid:167) f x+1+ f x+2=2f ax(cid:123)(cid:34)(cid:54)(cid:227)(cid:101)(cid:102)(cid:5)(cid:408)
a
(cid:303)(cid:17)(cid:116)(cid:72)(cid:343)(cid:426)(cid:54)(cid:281)(cid:180)(cid:427)(cid:428)(cid:69)(cid:426)(cid:210)(cid:159)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:157)(cid:158)(cid:25)(cid:34)(cid:187)(cid:190).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)Q f 4=2(cid:54)(cid:204)log 4=2(cid:54)
a
\a2 = 4(cid:54)Qa>0(cid:54)\a=2(cid:54)
\f x=log x(cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)0,+¥(cid:54)
2
(cid:107)(cid:34)(cid:219)(cid:50)(cid:36) f 2x-2< f x(cid:54)(cid:204)x,2x-2Î0,+¥(cid:54)\xÎ1,+¥(cid:113)
(cid:244) f x=log x(cid:117)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:56)(cid:216)(cid:304)(cid:305)(cid:258)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
2
(cid:224) f 2x-2< f x(cid:54)(cid:204)2x-2<x(cid:54)(cid:34)(cid:146)x<2(cid:113)
(cid:277)(cid:37)(cid:232)(cid:278)(cid:54)(cid:219)(cid:50)(cid:36) f 2x-2< f x(cid:18)(cid:34)(cid:425)(cid:51)1,2(cid:113)
(cid:10)2(cid:11)Q f x(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)0,+¥(cid:54)(cid:217)(cid:117)x(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x+1(cid:27) f ax(cid:27) f x+2(cid:200)(cid:159)(cid:154)(cid:50)(cid:193)(cid:17)(cid:234)(cid:54)ìx+1>0
ï
(cid:204)(cid:117)(cid:97)(cid:98)2f ax= f x+1+ f x+2(cid:121)(cid:54)(cid:63)(cid:138)(cid:139)íx+2>0(cid:54)
ï
îax>0
(cid:224)a>0(cid:54)(cid:34)(cid:146)x>0(cid:54)(cid:394)(cid:13)(cid:421)(cid:213)(cid:51)x>0(cid:172)(cid:54)(cid:97)(cid:98) f x+1+ f x+2=2f ax(cid:123)(cid:289)(cid:17)(cid:34)(cid:113)
(cid:244) f x=log x(cid:54)(cid:204)log x+1+log x+2=2log ax(cid:54)
a a a a
(cid:187)log  a2x2 =log  x2+3x+2  (cid:113)
a a
Q f x(cid:51)(cid:304)(cid:305)(cid:73)(cid:74)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
\a2x2 =x2+3x+2(cid:54)
2 3
Qx>0(cid:54)(cid:168)(cid:429)(cid:254)(cid:208)(cid:46)x2(cid:146)(cid:54)a2 = + +1(cid:113)
x2 x
1
(cid:274)t= (cid:54)(cid:224)x>0(cid:54)(cid:204)tÎ0,+¥(cid:54)
x
\a2 =2t2+3t+1(cid:117)t>0(cid:123)(cid:34)(cid:113)
(cid:244)y=2t2+3t+1=2 æ çt+ 3ö ÷ 2 - 1 (cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:216)(cid:304)(cid:305)(cid:258)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
è 4ø 8
\y=2t2+3t+1Î1,+¥(cid:54)(cid:187)a2Î1,+¥(cid:54)
(cid:244)a>0(cid:54)(cid:204)aÎ1,+¥
.
28(cid:113)（2022·上海·高考真题） f(x)=log (a+x)+log (6-x)
3 3
(1)(cid:228)(cid:176)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:31)(cid:32)(cid:142)(cid:177)(cid:115)m(cid:10)m>0(cid:11)(cid:180)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:313)(cid:131)3,0,5,0(cid:54)(cid:25)(cid:289)(cid:17)a(cid:54)m(cid:18)(cid:26).
(2)(cid:228)a>-3(cid:233)a¹0(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:219)(cid:50)(cid:36) f(x)£ f(6-x).
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(1)a=-2,m=1
(2)(cid:163)(cid:164)(cid:430)(cid:34)(cid:35).
ìlog (a+3)+log (6-3)-m=0
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:224)(cid:13)(cid:104)a>-6(cid:54)(cid:227)(cid:80)(cid:81)(cid:13)(cid:133)(cid:146)í 3 3 (cid:54)(cid:34)(cid:97)(cid:98)(cid:187)(cid:190)(cid:146)(cid:163)(cid:164)(cid:188)
îlog (a+5)+log (6-5)-m=0
3 3
ì2ax³6a
ï
(cid:10)2(cid:11)(cid:80)(cid:81)(cid:13)(cid:133)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:176)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:421)(cid:213)(cid:51)í-a<x<6 (cid:18)(cid:34)(cid:425)(cid:54)(cid:227)(cid:5)(cid:6)(cid:280)(cid:235)(cid:25)(cid:34)(cid:187)(cid:190).
ï
î0<x<a+6
ìx+a>0 ìx>-a
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:34)(cid:199)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:138)(cid:139)í (cid:54)(cid:187)í (cid:54)
î6-x>0 îx<6(cid:232)(cid:46)(cid:54)(cid:107)(cid:145)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:285)(cid:431)(cid:54)(cid:204)-a<6(cid:54)(cid:187)a>-6.
(cid:228)(cid:176)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:31)(cid:32)(cid:142)(cid:177)(cid:115)m(cid:10)m>0(cid:11)(cid:180)(cid:146)(cid:160)(cid:18)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:51)(cid:199)
g(x)= f(x)-m=log (a+x)+log (6-x)-m(cid:54)xÎ-a,6 .
3 3
ìlog (a+3)+log (6-3)-m=0
(cid:232)(cid:46)3,0,5,0(cid:117)(cid:16)(cid:17)g(x)(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:37)(cid:54)(cid:187)í 3 3 (cid:54)
îlog (a+5)+log (6-5)-m=0
3 3
(cid:34)(cid:146)(cid:199)a=-2,m=1(cid:54)
(cid:232)(cid:46)(cid:54)a=-2,m=1
(cid:10)2(cid:11)(cid:34)(cid:199)(cid:224)(cid:13)(cid:104)aÎ-3,0
U
0,+¥(cid:54)
f(x)=log
3
(a+x)+log
3
(6-x)=log
3
é
ë
a+x6-xù û,xÎ-a,6
f(6-x)=log
3
(a+6-x)+log
3
x=log
3
é
ë
xa+6-xù û,xÎ0,a+6
(cid:243)(cid:51)(cid:16)(cid:17)y=log x(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)
3
(cid:232)(cid:46) f(x)£ f(6-x)(cid:50)(cid:282)(cid:135)a+x6-x£xa+6-x(cid:54)(cid:432)(cid:284)(cid:422)(cid:71)(cid:146)(cid:199)2ax³6a(cid:54)
ì2ax³6a
ï
(cid:232)(cid:46)(cid:54)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:18)(cid:34)(cid:425)(cid:51)í-a<x<6 (cid:18)(cid:34)(cid:54)
ï
î0<x<a+6
(cid:232)(cid:46)(cid:54)(cid:203)aÎ-3,0(cid:172)(cid:54)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:18)(cid:34)(cid:51)-a<x£3(cid:188)
(cid:203)aÎ0,+¥(cid:172)(cid:54)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:18)(cid:34)(cid:51)3£x<6.
(cid:277)(cid:37)(cid:54)(cid:203)aÎ-3,0(cid:172)(cid:54)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:18)(cid:34)(cid:51) x -a<x£3 (cid:188)(cid:203)aÎ0,+¥(cid:172)(cid:54)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:18)(cid:34)(cid:51) x3£x<6 .
考点 03 函数的性质及其应用（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
1(cid:113)（2026·北京·高考真题）(cid:177)(cid:234)(cid:16)(cid:17) f x(cid:216)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:233)(cid:117)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:18)(cid:216)(cid:10) (cid:11)
1
A(cid:113) f x= B(cid:113) f x=sinx
x2+1
5+x
C(cid:113) f x=2-x-2x D(cid:113) f x=ln
5-x
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)A(cid:54)(cid:117) f x= 1 (cid:121)(cid:54)xÎR(cid:54)(cid:204) f -x= 1 = 1 = f x (cid:54)(cid:16)(cid:17)(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:206)(cid:273)(cid:266)(cid:188)
x2+1 -x2 +1 x2+1B(cid:54)(cid:117) f x=sinx(cid:121)(cid:54)xÎR(cid:54)(cid:16)(cid:17)(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:231)(cid:117)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:219)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:206)(cid:273)(cid:266)(cid:188)
(cid:97)(cid:116)(cid:69)(cid:199)
C(cid:54)(cid:117) f x=2-x-2x(cid:121)(cid:54)xÎR(cid:54)(cid:204) f -x=2x-2-x =-f x(cid:54)
f¢x=-2-xln2-2xln2<0(cid:54)(cid:16)(cid:17)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:206)(cid:273)(cid:266)(cid:188)
5+x 5+x
D(cid:54)(cid:117) f x=ln (cid:121)(cid:54) >0(cid:54)(cid:34)(cid:146)-5<x<5(cid:54)
5-x 5-x
f x=ln5+x-ln5-x(cid:54)(cid:204) f -x=ln5-x-ln5+x=-f x(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
1 1 5-x+5+x 10
f¢x= + = = >0(cid:54)(cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:117)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:206)(cid:236)(cid:197).
5+x 5-x 25-x2 25-x2
(cid:116)(cid:210)(cid:199)
C(cid:54)(cid:117) f x=2-x-2x(cid:121)(cid:54)xÎR(cid:54)(cid:204) f -x=2x-2-x =-f x(cid:54)(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
y=2-x(cid:72)y=-2x(cid:216)(cid:260)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
∵
(cid:16)(cid:17) f x=2-x-2x(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:206)(cid:273)(cid:266)(cid:188)
∴ 5+x 5+x
D(cid:54)(cid:117) f x=ln (cid:121)(cid:54) >0(cid:54)(cid:34)(cid:146)-5<x<5(cid:54)
5-x 5-x
f x=ln5+x-ln5-x(cid:54) f -x=ln5-x-ln5+x=-f x(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
y=ln5+x(cid:72)y=-ln5-x(cid:216)(cid:258)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204) f x(cid:51)(cid:258)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
∵ 5+x
(cid:16)(cid:17) f x=ln (cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:206)(cid:236)(cid:197).
5-x
∴ é3 ù
2(cid:113)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:215)(cid:104) f x(cid:216)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:18)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54) f x+ f x-2=0(cid:54)(cid:233)(cid:203)xÎ ,3 (cid:172)(cid:54)
ê ú
ë2 û
f x=x2+ax+b(cid:54)(cid:204)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113)a=-2(cid:54)b=-3 B(cid:113)a=-2(cid:54)b=3
C(cid:113)a=-4(cid:54)b=-3 D(cid:113)a=-4(cid:54)b=3
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81) f(x)+ f(x-2)=0(cid:242)(cid:167)(cid:87)(cid:88)(cid:75)T =4(cid:54)(cid:5)(cid:35)(cid:190)(cid:146) f(1.5)= f(2.5)(cid:54)(cid:146)(cid:160)a(cid:54)(cid:227)(cid:224) f(-1)=0(cid:190)(cid:146)b.
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165) f(x)+ f(x-2)=0(cid:54)(cid:204) f(x+2)+ f(x)=0(cid:54)
f(x+4)=-f(x+2)= f(x)(cid:54)(cid:187) f(x)(cid:18)(cid:87)(cid:88)(cid:51)4(cid:54)
(cid:101)(cid:102)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:54)(cid:87)(cid:88)(cid:75)(cid:54)(cid:206) f(1.5)= f(-2.5)= f(2.5)(cid:54)(cid:117)[1.5,3](cid:37)(cid:138)(cid:139) f(1.5)= f(2.5)(cid:54)(cid:433)(cid:248) f(x)=x2+ax+b(cid:18)(cid:60)(cid:89)(cid:136)(cid:51)x=2(cid:54)
a
(cid:204)- =2(cid:54)(cid:34)(cid:146)a=-4(cid:54)
2
(cid:244)(cid:80)(cid:81) f(x)+ f(x-2)=0(cid:104) f(1)+ f(-1)=0(cid:54)(cid:175) f(1)= f(-1)(cid:54)
(cid:204) f(-1)=0(cid:54)(cid:135)(cid:216) f(3)= f(-1)=0(cid:54)
(cid:187) f(3)=9+3a+b=9-12+b=0(cid:54)(cid:34)(cid:146)b=3
3(cid:113)（2026·天津·高考真题）(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:18)(cid:434)(cid:5)(cid:31)(cid:94)(cid:310)(cid:31)(cid:232)(cid:24)(cid:54)(cid:204) f(x)(cid:18)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:190)(cid:296)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113)x+sinπx B(cid:113)x-sinπx C(cid:113)-x+sinπx D(cid:113)x×sinπx
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)C
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)A(cid:27)B(cid:27)D(cid:183)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:225)(cid:435)(cid:4)(cid:187)(cid:190)(cid:207)(cid:208)(cid:188)C(cid:183)(cid:54)(cid:25)(cid:167)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:54)(cid:187)(cid:190)(cid:185)(cid:186).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:54)
(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:21)(cid:31)(cid:146)(cid:54)(cid:16)(cid:17)y= f x(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:233)(cid:203)x=1(cid:172)(cid:54) f x<0(cid:54)
(cid:60)A(cid:182)(cid:183)(cid:54)(cid:203)x=1(cid:172)(cid:54)1+sinπ=1+0=1>0(cid:54)(cid:33)(cid:31)(cid:94)(cid:219)(cid:209)(cid:54)(cid:206)A(cid:273)(cid:266)(cid:188)
(cid:60)B(cid:182)(cid:183)(cid:54)(cid:203)x=1(cid:172)(cid:54)1-sinπ=1-0=1>0(cid:54)(cid:33)(cid:31)(cid:94)(cid:219)(cid:209)(cid:54)(cid:206)B(cid:273)(cid:266)(cid:188)
(cid:60)D(cid:182)(cid:183)(cid:54)(cid:203)x=1(cid:172)(cid:54)1´sinπ=1´0=0(cid:54)(cid:33)(cid:31)(cid:94)(cid:219)(cid:209)(cid:54)(cid:206)D(cid:273)(cid:266)(cid:188)
(cid:60)C(cid:182)(cid:183)(cid:54)(cid:117)gx=-x+sinπx(cid:121)(cid:54)
g-x=--x+sin-πx=x-sinπx=-gx(cid:54)(cid:187)(cid:195)(cid:16)(cid:17)(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
g1=-1+sinπ=-1+0=-1<0(cid:54)(cid:33)(cid:31)(cid:94)(cid:436)(cid:209)(cid:54)(cid:206)C(cid:236)(cid:197).
4(cid:113)（2026·上海·高考真题）(cid:60)(cid:135)(cid:16)(cid:17)y= f x(cid:54)xÎD(cid:54)(cid:125)A =x,y| y³ f x,xÎD .(cid:60)(cid:135)(cid:4)(cid:425)M(cid:54)(cid:228)(cid:217)
f
(cid:117)x ,y ÎM (cid:54)(cid:145)(cid:146)(cid:132)(cid:229)x,yÎM (cid:54)(cid:325)(cid:123)y³ y (cid:54)(cid:204)(cid:89)x ,y (cid:51)“(cid:281)(cid:437)(cid:4)”.(cid:60)(cid:135)(cid:16)(cid:17)y= f x(cid:72)y=gx(cid:54)
0 0 0 0 0
(cid:46)(cid:177)(cid:433)(cid:116)(cid:121)(cid:236)(cid:197)(cid:18)(cid:216)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113)(cid:228)y= f x(cid:72)y=gx(cid:276)(cid:123)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:204)A IA (cid:123)(cid:281)(cid:437)(cid:4)(cid:188)
f g
B(cid:113)(cid:228)A IA (cid:123)(cid:281)(cid:437)(cid:4)(cid:54)(cid:204)y= f x(cid:72)y=gx(cid:276)(cid:123)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:188)
f gC(cid:113)(cid:228)y= f x(cid:423)y=gx(cid:123)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:204)A UA (cid:123)(cid:281)(cid:437)(cid:4)(cid:188)
f g
D(cid:113)(cid:228)A UA (cid:123)(cid:281)(cid:437)(cid:4)(cid:54)(cid:204)y= f x(cid:423)y=gx(cid:123)(cid:281)(cid:79)(cid:26).
f g
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:190)(cid:46)(cid:314)(cid:265)(cid:226)(cid:247)(cid:248)(cid:182)(cid:183)A(cid:27)B(cid:27)C(cid:18)(cid:12)(cid:13)(cid:149)(cid:51)(cid:438)(cid:12)(cid:13)(cid:54)(cid:60)D(cid:54)(cid:80)(cid:81)“(cid:281)(cid:437)(cid:4)”(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:5)(cid:35)(cid:146)x ,y ÎA
0 0 f
(cid:423)x ,y ÎA (cid:54)(cid:227)(cid:5)(cid:6)(cid:280)(cid:235)(cid:187)(cid:190).
0 0 g
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:60)(cid:135)A(cid:183)(cid:54)(cid:229) f x=x(cid:54)xÎ[0,1](cid:54)(cid:229)gx=x(cid:54)xÎ[2,3](cid:54)
(cid:204) f x =0(cid:54)gx =2(cid:188)(cid:175)A IA =Æ(cid:246)(cid:281)(cid:437)(cid:4)(cid:54)(cid:206)A(cid:273)(cid:266)(cid:188)
min min f g
(cid:60)(cid:135)B(cid:183)(cid:54)(cid:229) f x=x(cid:54)xÎ(0,3](cid:54)(cid:229)gx=x(cid:54)xÎ[2,3](cid:54)
(cid:204) f x(cid:246)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)gx =2(cid:188)(cid:175)A IA = A (cid:123)(cid:281)(cid:437)(cid:4)2,2(cid:54)(cid:206)B(cid:273)(cid:266)(cid:188)
min f g g
(cid:60)(cid:135)C(cid:183)(cid:54)(cid:229) f x=-x2(cid:54)xÎR(cid:54)(cid:229)gx=x2(cid:54)xÎR(cid:54)
(cid:204) f x(cid:246)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)gx =0(cid:188)
min
(cid:243)(cid:51) f x=-x2(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:26)(cid:190)(cid:439)(cid:142)(cid:135)(cid:286)(cid:246)(cid:261)(cid:78)(cid:54)(cid:232)(cid:46)A = x,y|y³-x2,xÎR  (cid:246)(cid:281)(cid:437)(cid:4)(cid:54)(cid:204)A UA (cid:440)(cid:246)(cid:281)
f f g
(cid:437)(cid:4)(cid:54)(cid:206)C(cid:273)(cid:266)(cid:188)
(cid:60)(cid:135)D(cid:183)(cid:54)(cid:243)(cid:51)A UA (cid:123)(cid:281)(cid:437)(cid:4)(cid:54)(cid:219)(cid:315)(cid:125)x ,y (cid:51)A UA (cid:18)(cid:281)(cid:437)(cid:4)(cid:54)y= f x(cid:233)xÎD (cid:54)y=gx(cid:233)xÎD (cid:54)
f g 0 0 f g 1 2
(cid:232)(cid:46)x ,y ÎA (cid:423)x ,y ÎA (cid:54)
0 0 f 0 0 g
(cid:228)x ,y ÎA (cid:54)(cid:204)y = f x (cid:233)(cid:60)(cid:132)(cid:133)(cid:18)xÎD (cid:54)(cid:325)(cid:123)y= f(x)³ y (cid:54)(cid:187) f(x) = y (cid:188)
0 0 f 0 0 1 0 min 0
(cid:228)x ,y ÎA (cid:54)(cid:254)(cid:71)(cid:190)(cid:104)g(x) = y (cid:188)
0 0 g min 0
(cid:232)(cid:46)(cid:228)A UA (cid:123)(cid:281)(cid:437)(cid:4)(cid:54)(cid:204)y= f x(cid:423)y=gx(cid:123)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:206)D(cid:236)(cid:197).
f g
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D.
5(cid:113)（2025·北京·高考真题）(cid:51)(cid:351)(cid:146)(cid:160)(cid:16)(cid:17)y=9x(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:54)(cid:214)(cid:106)(cid:279)(cid:16)(cid:17)y=3x(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:37)(cid:232)(cid:123)(cid:4)(cid:18)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113)(cid:441)(cid:129)(cid:91)(cid:212)(cid:51)(cid:341)(cid:395)(cid:18)1(cid:442)(cid:10)(cid:173)(cid:129)(cid:91)(cid:219)(cid:212)(cid:11)B(cid:113)(cid:441)(cid:129)(cid:91)(cid:212)(cid:51)(cid:341)(cid:395)(cid:18)2(cid:442)(cid:10)(cid:173)(cid:129)(cid:91)(cid:219)(cid:212)(cid:11)
2
C(cid:113)(cid:173)(cid:129)(cid:91)(cid:212)(cid:51)(cid:341)(cid:395)(cid:18)1(cid:442)(cid:10)(cid:441)(cid:129)(cid:91)(cid:219)(cid:212)(cid:11) D(cid:113)(cid:173)(cid:129)(cid:91)(cid:212)(cid:51)(cid:341)(cid:395)(cid:18)3(cid:442)(cid:10)(cid:441)(cid:129)(cid:91)(cid:219)(cid:212)(cid:11)
3
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)A(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:224)y=9x =32x(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:204)(cid:187)(cid:190)(cid:34)(cid:167)(cid:113)
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51)y=9x =32x(cid:54)(cid:232)(cid:46)(cid:176)(cid:16)(cid:17)y=3x(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:37)(cid:232)(cid:123)(cid:4)(cid:18)(cid:441)(cid:129)(cid:91)(cid:212)(cid:154)(cid:341)(cid:395)(cid:18)1(cid:442)(cid:54)(cid:173)(cid:129)(cid:91)(cid:219)(cid:212)(cid:54)(cid:187)(cid:190)
2
(cid:146)(cid:160)(cid:16)(cid:17)y=9x(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:54)
(cid:206)(cid:182)(cid:199)A.
6(cid:113)（2025·天津·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17)y= f x(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:310)(cid:177)(cid:54)(cid:204) f x(cid:18)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:190)(cid:296)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
x x |x| |x|
A(cid:113) f(x)= B(cid:113) f(x)= C(cid:113) f(x)= D(cid:113) f(x)=
1-|x| |x|-1 1-x2 x2-1
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:166)(cid:224)(cid:16)(cid:17)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:207)(cid:208)AB(cid:54)(cid:227)(cid:224)xÎ0,1(cid:172)(cid:16)(cid:17)(cid:26)(cid:236)(cid:286)(cid:9)(cid:443)(cid:190)(cid:146)(cid:34).
x x
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:31)(cid:190)(cid:104)(cid:16)(cid:17)(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:175)(cid:16)(cid:17) f x= (cid:72)(cid:16)(cid:17) f x= (cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:182)(cid:183)AB(cid:188)
1- x x -1
x x
(cid:244)(cid:203)xÎ0,1(cid:172)1-x2 >0,x2-1<0(cid:54)(cid:205)(cid:172) f x= >0, f x= <0(cid:54)
1-x2 x2-1
(cid:224)(cid:31)(cid:190)(cid:104)(cid:203)xÎ0,1(cid:172)(cid:54) f x<0(cid:54)(cid:206)C(cid:219)(cid:209)(cid:102)(cid:54)D(cid:209)(cid:102).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D
7(cid:113)（2025·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104)A(0,1),B(1,2)(cid:54)C(cid:117)G:x2-y2 =1(x³1,y³0)(cid:37)(cid:54)(cid:204) ABC(cid:18)(cid:126)(cid:444)(cid:10) (cid:11)
△
A(cid:113)(cid:123)(cid:281)(cid:78)(cid:26)(cid:54)(cid:231)(cid:331)(cid:123)(cid:281)(cid:79)(cid:26) B(cid:113)(cid:331)(cid:123)(cid:281)(cid:78)(cid:26)(cid:54)(cid:231)(cid:123)(cid:281)(cid:79)(cid:26)
C(cid:113)(cid:223)(cid:123)(cid:281)(cid:78)(cid:26)(cid:54)(cid:189)(cid:123)(cid:281)(cid:79)(cid:26) D(cid:113)(cid:223)(cid:331)(cid:123)(cid:281)(cid:78)(cid:26)(cid:54)(cid:189)(cid:331)(cid:123)(cid:281)(cid:79)(cid:26)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)A
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:125)(cid:167)(cid:445)(cid:137)(cid:37)(cid:69)(cid:4)(cid:51)(a,b)(cid:54)(cid:146)(cid:167)a= b2+1(cid:54)(cid:176)(cid:446)(cid:128)(cid:110)(cid:18)(cid:43)(cid:421)(cid:213)(cid:154)(cid:250)(cid:135)b(cid:18)(cid:16)(cid:17),(cid:5)(cid:35)(cid:22)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:54)(cid:174)(cid:175)
(cid:25)(cid:34).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:125)(cid:445)(cid:137)(cid:37)(cid:69)(cid:4)(cid:51)(a,b)(cid:54)(cid:204)a2-b2 =1(cid:54)(cid:204)a= b2+1(cid:54)
2-1
k = =1(cid:54)AB(cid:97)(cid:98)(cid:51)(cid:199)y-1=x(cid:54)(cid:187)x-y+1=0(cid:54)
AB 1-0b2+1-b+1
(cid:80)(cid:81)(cid:4)(cid:160)(cid:127)(cid:137)(cid:18)(cid:407)(cid:408)(cid:345)(cid:36)(cid:54)(a,b)(cid:160)AB(cid:18)(cid:407)(cid:408)(cid:51)(cid:199)
a-b+1
= =
b2+1-b+1(cid:54)
2 2 2
1
(cid:125) f(b)= b2+1-b= (cid:54)
b2+1+b
(cid:224)(cid:135)b³0(cid:54)(cid:335)(cid:336) f(b)(cid:250)(cid:135)b(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54) f(b) = f(0)(cid:54)(cid:246)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)
max
(cid:187) ABC(cid:121)(cid:54)AB(cid:429)(cid:37)(cid:18)(cid:43)(cid:123)(cid:281)(cid:78)(cid:26)(cid:54)(cid:246)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)
(cid:244)A△B(cid:69)(cid:28)(cid:54)(cid:206)(cid:126)(cid:444)(cid:123)(cid:281)(cid:78)(cid:26)(cid:54)(cid:246)(cid:281)(cid:79)(cid:26).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)A
8(cid:113)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:215)(cid:104) f(x)(cid:216)(cid:28)(cid:29)(cid:117)R(cid:37)(cid:233)(cid:87)(cid:88)(cid:51)2(cid:18)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:203)2£x£3(cid:172)(cid:54)
æ 3ö
f(x)=5-2x(cid:54)(cid:204) f ç- ÷=(cid:10) (cid:11)
è 4ø
1 1 1
A(cid:113)- B(cid:113)- C(cid:113) D(cid:113)1
2 4 4 2
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)A
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:87)(cid:88)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:279)(cid:447)(cid:25)(cid:338)(cid:212)(cid:194)(cid:421)(cid:213)(cid:51)[2,3](cid:18)(cid:275)(cid:153)(cid:121)(cid:25)(cid:34).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:13)(cid:104) f(x)= f(-x), f(x+2)= f(x)(cid:60)(cid:69)(cid:448)xÎR(cid:154)(cid:230)(cid:54)
3 3 11 11 1
(cid:135)(cid:216) f(- )= f( )= f( )=5-2´ =- .
4 4 4 4 2
(cid:206)(cid:182)(cid:199)A
9(cid:113)（2024·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:425)(cid:102)
M =  x x ÎR,xÎ-¥,x , f(x)< f x  (cid:54)(cid:117)(cid:145)(cid:146)M =[-1,1](cid:18)(cid:232)(cid:123) f(x)(cid:121)(cid:54)(cid:177)(cid:234)(cid:154)(cid:230)(cid:18)(cid:216)(cid:10) (cid:11)
0 0 0 0
A(cid:113)(cid:217)(cid:117) f(x)(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17) B(cid:113)(cid:217)(cid:117) f(x)(cid:117)x=2(cid:378)(cid:229)(cid:281)(cid:78)(cid:26)
C(cid:113)(cid:217)(cid:117) f(x)(cid:216)(cid:258)(cid:16)(cid:17) D(cid:113)(cid:217)(cid:117) f(x)(cid:117)x=-1(cid:378)(cid:229)(cid:160)(cid:449)(cid:79)(cid:26)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)A(cid:182)(cid:183)(cid:239)(cid:64)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:450)(cid:160)(cid:271)(cid:272)(cid:187)(cid:190)(cid:188)B(cid:182)(cid:183)(cid:450)(cid:160)(cid:102)(cid:451)(cid:16)(cid:17)(cid:187)(cid:190)(cid:188)C(cid:182)(cid:183)(cid:224)(cid:28)(cid:29)(cid:146)(cid:160)(cid:425)(cid:102)M(cid:33)(cid:215)
(cid:104)(cid:221)(cid:222)(cid:271)(cid:272)(cid:188)D(cid:182)(cid:183)(cid:224)(cid:425)(cid:102)M(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:450)(cid:160)(cid:271)(cid:272).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:60)(cid:135)A(cid:182)(cid:183)(cid:199)x<x (cid:172)(cid:54) f x< f x (cid:54)
0 0
(cid:203)x =1(cid:172)(cid:54)x Î-1,1(cid:54) (cid:132)(cid:133)(cid:18)xÎ-¥,1(cid:54) f x< f 1(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
0 0
(cid:228) f x(cid:172)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:205)(cid:172) f 1= f -1(cid:271)(cid:272)(cid:54)(cid:206)A(cid:182)(cid:183)(cid:273)(cid:266)(cid:188)
(cid:60)(cid:135)B(cid:182)(cid:183)(cid:199)(cid:228) f x(cid:16)(cid:17)(cid:31)(cid:32)(cid:310)(cid:177)(cid:199)(cid:203)x<-1(cid:172)(cid:54) f x=-2(cid:54)-1£x£1(cid:172)(cid:54) f xÎ-1,1(cid:54)(cid:203)x>1(cid:54) f x=1(cid:54)
(cid:217)(cid:117) f x(cid:117)x=2(cid:378)(cid:229)(cid:281)(cid:78)(cid:26)(cid:54)(cid:206)B(cid:182)(cid:183)(cid:236)(cid:197)(cid:188)
∴
(cid:60)(cid:135)C(cid:182)(cid:183)(cid:199)(cid:117)x<-1(cid:172)(cid:54)(cid:228)(cid:16)(cid:17) f x(cid:304)(cid:305)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:204)(cid:425)(cid:102)M(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:219)(cid:100)(cid:216)-1,1(cid:54)
(cid:175)(cid:216)(cid:67)(cid:53)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:54)(cid:206)C(cid:182)(cid:183)(cid:273)(cid:266)(cid:188)
(cid:60)(cid:135)D(cid:182)(cid:183)(cid:199)(cid:228)(cid:217)(cid:117) f x(cid:117)x=-1(cid:378)(cid:229)(cid:160)(cid:449)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:204)(cid:117)x=-1(cid:117)(cid:452)(cid:211)(cid:217)(cid:117)x=n(cid:54) f n> f -1(cid:54)(cid:33)(cid:425)(cid:102)M
(cid:28)(cid:29)(cid:271)(cid:272)(cid:54)(cid:206)D(cid:182)(cid:183)(cid:273)(cid:266).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B
10(cid:113)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:16)(cid:17) f x=-x2+  ex-e-x sinx(cid:117)(cid:169)(cid:170)[-2.8,2.8](cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:78)(cid:161)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113) B(cid:113)
C(cid:113) D(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:239)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:190)(cid:207)(cid:208)A(cid:27)C(cid:54)(cid:237)(cid:238)x=1(cid:190)(cid:146) f 1>0(cid:54)(cid:190)(cid:207)(cid:208)D.
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165) f -x=-x2+  e-x-ex sin-x=-x2+  ex-e-x sinx= f x(cid:54)
(cid:244)(cid:16)(cid:17)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)-2.8,2.8(cid:54)(cid:206)(cid:195)(cid:16)(cid:17)(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:190)(cid:207)(cid:208)A(cid:27)C(cid:54)
æ 1ö æ 1ö π e 1 1 1
(cid:244) f 1=-1+çe- ÷sin1>-1+çe- ÷sin = -1- > - >0(cid:54)
è eø è eø 6 2 2e 4 2e(cid:206)(cid:190)(cid:207)(cid:208)D.
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B.
11(cid:113)（2024·天津·高考真题）(cid:177)(cid:234)(cid:16)(cid:17)(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
ex-x2 cosx-x2 ex-x sinx-x
A(cid:113)y= B(cid:113)y= C(cid:113)y= D(cid:113)y=
ex+x2 x2+1 ex+x x2+1
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:185)(cid:28)(cid:97)(cid:116)(cid:69)(cid:69)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:190).
ex-x2 e-1-1 1-e e-1
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:60)A(cid:54)(cid:125) f x= (cid:54)(cid:16)(cid:17)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)(cid:231) f -1= = (cid:54) f 1= (cid:54)(cid:204)
ex+x2 e-1+1 e+1 e+1
f -1¹ f 1(cid:54)(cid:206)A(cid:273)(cid:266)(cid:188)
cosx-x2
(cid:60)B(cid:54)(cid:125)gx= (cid:54)(cid:16)(cid:17)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)
x2+1
cos-x--x2 cosx-x2
(cid:233)g-x= = =gx(cid:54)(cid:204)gx(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:206)B(cid:236)(cid:197)(cid:188)
-x2 +1 x2+1
ex-x e-1+1 1+e e-1
(cid:60)C(cid:54)(cid:125)hx= (cid:54)h-1= = ,h1= (cid:54)
ex+x e-1-1 1-e e+1
h-1¹h1(cid:54)(cid:204)hx(cid:219)(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:206)C(cid:273)(cid:266)(cid:188)
sinx-x
(cid:60)D(cid:54)(cid:125)jx= (cid:54)(cid:16)(cid:17)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)
x2+1
sin-x--x -sinx+x
(cid:243)(cid:51)j-x= = =-jx (cid:54)(cid:233)jx(cid:219)(cid:259)(cid:51)0(cid:54)
-x2 +1 x2+1
(cid:204)jx(cid:219)(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:206)D(cid:273)(cid:266).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B.
12(cid:113)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:125)(cid:16)(cid:17) f(x)=(x+a)ln(x+b)(cid:54)(cid:228) f(x)³0(cid:54)(cid:204)a2+b2(cid:18)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
1 1
A(cid:113) B(cid:113) C(cid:113)1 D(cid:113)1
8 4 2
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)C
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:34)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:190)(cid:104)(cid:199)f(x)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)-b,+¥(cid:54)(cid:5)(cid:6)(cid:280)(cid:235)-a(cid:33)-b,1-b(cid:18)(cid:78)(cid:79)(cid:250)(cid:130)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:209)(cid:264)(cid:5)
(cid:35)(cid:185)(cid:186)(cid:54)(cid:187)(cid:190)(cid:146)b=a+1(cid:54)(cid:237)(cid:238)(cid:190)(cid:146)(cid:281)(cid:26)(cid:188)(cid:34)(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:80)(cid:81)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:5)(cid:35)ln(x+b)(cid:18)(cid:209)(cid:264)(cid:54)(cid:157)(cid:175)(cid:190)(cid:146)x+a
(cid:18)(cid:209)(cid:264)(cid:54)(cid:187)(cid:190)(cid:146)b=a+1(cid:54)(cid:237)(cid:238)(cid:190)(cid:146)(cid:281)(cid:26).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:34)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:190)(cid:104)(cid:199) f(x)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)-b,+¥(cid:54)
(cid:274)x+a=0(cid:34)(cid:146)x=-a(cid:188)(cid:274)ln(x+b)=0(cid:34)(cid:146)x=1-b(cid:188)(cid:228)-a£-b(cid:54)(cid:203)xÎ-b,1-b(cid:172)(cid:54)(cid:190)(cid:104)x+a>0,lnx+b<0(cid:54)
(cid:205)(cid:172) f(x)<0(cid:54)(cid:219)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:188)
(cid:228)-b<-a<1-b(cid:54)(cid:203)xÎ-a,1-b(cid:172)(cid:54)(cid:190)(cid:104)x+a>0,lnx+b<0(cid:54)
(cid:205)(cid:172) f(x)<0(cid:54)(cid:219)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:188)
(cid:228)-a=1-b(cid:54)(cid:203)xÎ-b,1-b(cid:172)(cid:54)(cid:190)(cid:104)x+a<0,lnx+b<0(cid:54)(cid:205)(cid:172) f(x)>0(cid:188)
(cid:203)xÎ1-b,+¥(cid:172)(cid:54)(cid:190)(cid:104)x+a³0,lnx+b³0(cid:54)(cid:205)(cid:172) f(x)³0(cid:188)
(cid:190)(cid:104)(cid:228)-a=1-b(cid:54)(cid:209)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:188)
(cid:228)-a>1-b(cid:54)(cid:203)xÎ1-b,-a(cid:172)(cid:54)(cid:190)(cid:104)x+a<0,lnx+b>0(cid:54)
(cid:205)(cid:172) f(x)<0(cid:54)(cid:219)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:188)
(cid:277)(cid:37)(cid:232)(cid:278)(cid:199)-a=1-b(cid:54)(cid:187)b=a+1(cid:54)
(cid:204)a2+b2 =a2+a+12 =2 æ ça+ 1ö ÷ 2 + 1 ³ 1 (cid:54)(cid:203)(cid:233)(cid:418)(cid:203)a=- 1 ,b= 1 (cid:172)(cid:54)(cid:50)(cid:264)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
è 2ø 2 2 2 2
(cid:232)(cid:46)a2+b2(cid:18)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:51)1(cid:188)
2
(cid:34)(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:190)(cid:104)(cid:199) f(x)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)-b,+¥(cid:54)
(cid:274)x+a=0(cid:34)(cid:146)x=-a(cid:188)(cid:274)ln(x+b)=0(cid:34)(cid:146)x=1-b(cid:188)
(cid:204)(cid:203)xÎ-b,1-b(cid:172)(cid:54)lnx+b<0(cid:54)(cid:206)x+a£0(cid:54)(cid:232)(cid:46)1-b+a£0(cid:188)
xÎ1-b,+¥(cid:172)(cid:54)lnx+b>0(cid:54)(cid:206)x+a³0(cid:54)(cid:232)(cid:46)1-b+a³0(cid:188)
(cid:206)1-b+a=0(cid:54) (cid:204)a2+b2 =a2+a+12 =2 æ ça+ 1ö ÷ 2 + 1 ³ 1 (cid:54)
è 2ø 2 2
1 1
(cid:203)(cid:233)(cid:418)(cid:203)a=- ,b= (cid:172)(cid:54)(cid:50)(cid:264)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
2 2
(cid:232)(cid:46)a2+b2(cid:18)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:51)1
.
2
(cid:206)(cid:182)(cid:199)C.
(cid:162)(cid:4)(cid:249)(cid:165)(cid:250)(cid:251)(cid:4)(cid:4)(cid:249)(cid:199)(cid:5)(cid:171)(cid:25)x+a=0(cid:27)ln(x+b)=0(cid:18)(cid:80)(cid:54)(cid:46)(cid:80)(cid:72)(cid:16)(cid:17)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)(cid:367)(cid:368)(cid:54)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:5)(cid:6)(cid:280)(cid:235)(cid:54)
(cid:101)(cid:102)(cid:209)(cid:264)(cid:75)(cid:5)(cid:35)(cid:185)(cid:186).
13(cid:113)（2023·北京·高考真题）(cid:177)(cid:234)(cid:16)(cid:17)(cid:121)(cid:54)(cid:117)(cid:169)(cid:170)(0,+¥)(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:18)(cid:216)(cid:10) (cid:11)1
A(cid:113) f(x)=-lnx B(cid:113) f(x)=
2x
1
C(cid:113) f(x)=- D(cid:113) f(x)=3|x-1|
x
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)C
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:239)(cid:64)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:334)(cid:102)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:185)(cid:186)ABC(cid:54)(cid:314)(cid:265)(cid:226)(cid:207)(cid:208)D(cid:187)(cid:190).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:60)(cid:135)A(cid:54)(cid:243)(cid:51)y=lnx(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:232)(cid:46) f x=-lnx(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:206)A(cid:273)(cid:266)(cid:188)
1
(cid:60)(cid:135)B(cid:54)(cid:243)(cid:51)y=2x(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)y= (cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)
x
1
(cid:232)(cid:46) f x= (cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:206)B(cid:273)(cid:266)(cid:188)
2x
1
(cid:60)(cid:135)C(cid:54)(cid:243)(cid:51)y= (cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)y=-x(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)
x
1
(cid:232)(cid:46) f x=- (cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:206)C(cid:236)(cid:197)(cid:188)
x
(cid:60)(cid:135)D(cid:54)(cid:243)(cid:51) f æ ç 1ö ÷=3 1 2 -1 =3 1 2 = 3(cid:54) f 1=31-1 =30 =1, f 2=32-1 =3(cid:54)
è2ø
(cid:335)(cid:336) f x=3x-1(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:219)(cid:73)(cid:74)(cid:54)D(cid:273)(cid:266).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)C.
14(cid:113)（2023·上海·高考真题）(cid:177)(cid:234)(cid:16)(cid:17)(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:216)(cid:10) (cid:11).
A(cid:113)y=sinx B(cid:113)y=cosx C(cid:113)y=x3 D(cid:113)y=2x
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:127)(cid:349)(cid:61)(cid:64)(cid:303)(cid:430)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:190).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:232)(cid:120)(cid:104)(cid:105)(cid:54)(cid:104)(cid:453)y=sinx,y=x3(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)y=cosx(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)y=2x(cid:51)(cid:285)(cid:85)(cid:285)(cid:86)(cid:16)(cid:17).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B.
xex
15(cid:113)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:215)(cid:104) f(x)= (cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204)a=(cid:10) (cid:11)
eax-1
A(cid:113)−2 B(cid:113)-1 C(cid:113)1 D(cid:113)2
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:34).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51) f x=
xex
(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204) f x- f -x=
xex
-
-xe-x
=
xé
ë
ex-ea-1xù
û =0 (cid:54)
eax-1 eax-1 e-ax-1 eax-1(cid:244)(cid:243)(cid:51)x(cid:219)(cid:259)(cid:51)0(cid:54)(cid:190)(cid:146)ex-ea-1x =0(cid:54)(cid:187)ex =ea-1x(cid:54)
(cid:204)x=a-1x(cid:54)(cid:187)1=a-1(cid:54)(cid:34)(cid:146)a=2.
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D.
16(cid:113)（2023·天津·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f x(cid:18)(cid:434)(cid:5)(cid:31)(cid:94)(cid:310)(cid:177)(cid:31)(cid:232)(cid:24)(cid:54)(cid:204) f x(cid:18)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:190)(cid:296)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
5ex-5e-x 5sinx
A(cid:113) B(cid:113)
x2+2 x2+1
5ex+5e-x 5cosx
C(cid:113) D(cid:113)
x2+2 x2+1
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:224)(cid:31)(cid:104)(cid:16)(cid:17)(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:63)(cid:64)(cid:207)(cid:208)(cid:54)(cid:166)(cid:185)(cid:186)B(cid:121)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:54)(cid:227)(cid:185)(cid:186)A(cid:27)C(cid:121)(cid:16)(cid:17)(cid:117)(0,+¥)(cid:37)(cid:18)
(cid:16)(cid:17)(cid:209)(cid:264)(cid:207)(cid:208)(cid:182)(cid:183)(cid:54)(cid:187)(cid:146)(cid:163)(cid:164).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:31)(cid:104)(cid:199)(cid:16)(cid:17)(cid:31)(cid:94)(cid:250)(cid:135)y(cid:136)(cid:60)(cid:89)(cid:54)(cid:22)(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:233) f(-2)= f(2)<0(cid:54)
5sin(-x) 5sinx
(cid:224) =- (cid:233)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)(cid:187)B(cid:121)(cid:16)(cid:17)(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:207)(cid:208)(cid:188)
(-x)2+1 x2+1
5(ex-e-x) 5(ex+e-x)
(cid:203)x>0(cid:172) >0(cid:27) >0(cid:54)(cid:187)A(cid:27)C(cid:121)(0,+¥)(cid:37)(cid:16)(cid:17)(cid:26)(cid:51)(cid:236)(cid:54)(cid:207)(cid:208)(cid:188)
x2+2 x2+2
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D
17(cid:113)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:125)(cid:16)(cid:17) f x=2xx-a(cid:117)(cid:169)(cid:170)0,1(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:204)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:216)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113)-¥,-2 B(cid:113)-2,0
C(cid:113)0,2 D(cid:113)2,+¥
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:239)(cid:64)(cid:59)(cid:17)(cid:196)(cid:334)(cid:102)(cid:16)(cid:17)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:54)(cid:185)(cid:186)(cid:234)(cid:36)(cid:192)(cid:62)(cid:95)(cid:163).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:16)(cid:17)y=2x(cid:117)R(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:175)(cid:16)(cid:17) f x=2xx-a(cid:117)(cid:169)(cid:170)0,1(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)a a2 a
(cid:204)(cid:123)(cid:16)(cid:17)y=x(x-a)=(x- )2- (cid:117)(cid:169)(cid:170)0,1(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:243)(cid:205) ³1(cid:54)(cid:34)(cid:146)a³2(cid:54)
2 4 2
(cid:232)(cid:46)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:216)2,+¥
.
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D
2x-1
18(cid:113)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:228) f x=x+aln (cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204)a=(cid:10) (cid:11)(cid:113)
2x+1
A(cid:113)-1 B(cid:113)0 C(cid:113)1 D(cid:113)1
2
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:75)(cid:84)(cid:54)(cid:239)(cid:64)(cid:225)(cid:435)(cid:26)(cid:116)(cid:25)(cid:167)a(cid:26)(cid:54)(cid:227)(cid:454)(cid:270)(cid:187)(cid:190).
1
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51) f(x) (cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204) f(1)= f(-1)(cid:54)\(1+a)ln =(-1+a)ln3(cid:54)(cid:34)(cid:146)a=0(cid:54)
3
2x-1 1 1
(cid:203)a=0(cid:172)(cid:54) f x=xln (cid:54)2x-12x+1>0(cid:54)(cid:34)(cid:146)x> (cid:423)x<- (cid:54)
2x+1 2 2
ì 1 1ü
(cid:204)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)íx x (cid:423)x<- ý(cid:54)(cid:250)(cid:135)(cid:341)(cid:4)(cid:60)(cid:89).
î 2 2þ
2-x-1 2x+1 æ2x-1ö -1 2x-1
f -x=-xln =-xln =-xlnç ÷ =xln = f x(cid:54)
2-x+1 2x-1 è2x+1ø 2x+1
(cid:206)(cid:205)(cid:172) f x(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B.
ì-x2-2ax-a,x<0
19(cid:113)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f(x)=í (cid:117)R(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:204)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:216)
îex+ln(x+1),x³0
(cid:10) (cid:11)
A(cid:113)(-¥,0] B(cid:113)[-1,0] C(cid:113)[-1,1] D(cid:113)[0,+¥)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:210)(cid:159)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:72)(cid:5)(cid:368)(cid:4)(cid:18)(cid:78)(cid:79)(cid:250)(cid:130)(cid:187)(cid:190)(cid:146)(cid:160)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:288)(cid:54)(cid:34)(cid:167)(cid:187)(cid:190).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51) f x(cid:117)R(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:233)x³0(cid:172)(cid:54) f x=ex+lnx+1(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)
ì -2a
- ³0
ï
(cid:204)(cid:106)(cid:138)(cid:139)í
2´-1
(cid:54)(cid:34)(cid:146)-1£a£0(cid:54)
ï î-a£e0+ln1
(cid:187)a(cid:18)(cid:275)(cid:153)(cid:216)[-1,0].
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B.x2-1
20(cid:113)（2022·天津·高考真题）(cid:16)(cid:17)y= (cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:78)(cid:161)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
x
A(cid:113) B(cid:113)
C(cid:113) D(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)A
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:5)(cid:35)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:27)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:27)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:21)(cid:22)(cid:117)-¥,0(cid:37)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:26)(cid:209)(cid:264)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:207)(cid:208)(cid:116)(cid:190)(cid:146)(cid:167)(cid:102)(cid:451)(cid:18)(cid:182)
(cid:183).
x2-1
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:16)(cid:17)y= f x= (cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)
x x¹0
(cid:54)
x
-x2-1
x2-1
(cid:233) f -x= =- =-f x(cid:54)
-x x
(cid:16)(cid:17) f x(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)CD(cid:182)(cid:183)(cid:273)(cid:266)(cid:188)
x2-1
(cid:244)(cid:203)x<0(cid:172)(cid:54) f x= £0(cid:54)B(cid:182)(cid:183)(cid:273)(cid:266).
x
(cid:206)(cid:182)(cid:199)A.
21(cid:113)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)(cid:233) f(x+ y)+ f(x- y)= f(x)f(y), f(1)=1(cid:54)
22
(cid:204)å f(k)=(cid:10) (cid:11)
k=1
A(cid:113)−3 B(cid:113)−2 C(cid:113)0 D(cid:113)1
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)A
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:80)(cid:81)(cid:13)(cid:133)(cid:306)(cid:26)(cid:187)(cid:190)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f x(cid:18)(cid:69)(cid:257)(cid:87)(cid:88)(cid:51)6(cid:54)(cid:25)(cid:167)(cid:16)(cid:17)(cid:69)(cid:257)(cid:87)(cid:88)(cid:121)(cid:18) f 1, f 2,L, f 6
(cid:18)(cid:26)(cid:54)(cid:187)(cid:190)(cid:34)(cid:167)(cid:113)(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)[(cid:97)(cid:116)(cid:69)](cid:199)(cid:306)(cid:26)(cid:255)(cid:75)(cid:84)
(cid:243)(cid:51) f x+y+ f x-y= f x f y(cid:54)(cid:274)x=1,y=0(cid:190)(cid:146)(cid:54)2f 1= f 1 f 0(cid:54)(cid:232)(cid:46) f 0=2(cid:54)(cid:274)x=0(cid:190)(cid:146)(cid:54)
fy+ f-y=2fy(cid:54)(cid:187) f y= f -y(cid:54)(cid:232)(cid:46)(cid:16)(cid:17) f x(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:274)y=1(cid:146)(cid:54)
f x+1+ f x-1= f x f 1= f x(cid:54)(cid:187)(cid:123) f x+2+ f x= f x+1(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:190)(cid:104) f x+2=-f x-1(cid:54)
f x-1=-f x-4(cid:54)(cid:206) f x+2= f x-4(cid:54)(cid:187) f x= f x+6 (cid:54)(cid:232)(cid:46)(cid:16)(cid:17) f x(cid:18)(cid:69)(cid:257)(cid:87)(cid:88)(cid:51)6(cid:113)(cid:243)(cid:51)
f 2= f 1- f 0=1-2=-1(cid:54) f 3= f 2- f 1=-1-1=-2(cid:54) f 4= f -2= f 2=-1(cid:54)
f 5= f -1= f 1=1(cid:54) f6= f0=2(cid:54)(cid:232)(cid:46)
(cid:69)(cid:257)(cid:87)(cid:88)(cid:56)(cid:18) f 1+ f 2+L+ f 6=0(cid:113)(cid:224)(cid:135)22(cid:208)(cid:46)6(cid:455)4(cid:54)
22
(cid:232)(cid:46)å f k= f 1+ f 2+ f 3+ f 4=1-1-2-1=-3(cid:113)(cid:206)(cid:182)(cid:199)A(cid:113)
k=1
[(cid:97)(cid:116)(cid:210)](cid:199)(cid:162)(cid:281)(cid:348)(cid:34)(cid:165)(cid:267)(cid:268)(cid:225)(cid:435)(cid:16)(cid:17)
(cid:224) f x+y+ f x-y= f x f y(cid:54)(cid:456)(cid:457)(cid:160)(cid:455)(cid:458)(cid:16)(cid:17)(cid:72)(cid:193)(cid:213)(cid:444)(cid:345)(cid:36)
cosx+y+cosx-y=2cosxcosy(cid:54)(cid:190)(cid:125) f x=acoswx(cid:54)(cid:204)(cid:224)(cid:97)(cid:116)(cid:69)(cid:121) f 0=2, f 1=1(cid:104)a=2,acosw=1(cid:54)
1 p
(cid:34)(cid:146)cosw= (cid:54)(cid:229)w= (cid:54)
2 3
p
(cid:232)(cid:46) f x=2cos x(cid:54)(cid:204)
3
æp p ö æp p ö p p p
f x+y+ f x-y=2cosç x+ y÷+2cosç x- y÷=4cos xcos y= f x f y(cid:54)(cid:232)(cid:46) f x=2cos x
è 3 3 ø è 3 3 ø 3 3 3
2p
T = =6
(cid:209)(cid:102)(cid:221)(cid:222)(cid:54)(cid:243)(cid:205) f(x)(cid:18)(cid:87)(cid:88) p (cid:54) f 0=2, f 1=1(cid:54)(cid:233)
3
f 2=-1, f 3=-2, f 4=-1, f 5=1, f 6=2(cid:54)(cid:232)(cid:46) f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)+ f(5)+ f(6)=0(cid:54)
(cid:224)(cid:135)22(cid:208)(cid:46)6(cid:455)4(cid:54)
22
(cid:232)(cid:46)å f k= f 1+ f 2+ f 3+ f 4=1-1-2-1=-3(cid:113)(cid:206)(cid:182)(cid:199)A(cid:113)
k=1
(cid:162)(cid:422)(cid:53)(cid:4)(cid:323)(cid:165)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:239)(cid:64)(cid:306)(cid:26)(cid:116)(cid:25)(cid:167)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:87)(cid:88)(cid:54)(cid:187)(cid:190)(cid:34)(cid:167)(cid:54)(cid:216)(cid:195)(cid:13)(cid:18)(cid:191)(cid:75)(cid:191)(cid:116)(cid:188)
(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:95)(cid:51)(cid:182)(cid:459)(cid:13)(cid:54)(cid:239)(cid:64)(cid:460)(cid:461)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:145)(cid:93)(cid:94)(cid:394)(cid:13)(cid:122)(cid:53)(cid:213)(cid:54)(cid:291)(cid:213)(cid:242)(cid:71)(cid:131)(cid:98)(cid:54)(cid:127)(cid:349)(cid:145)(cid:64)(cid:122)(cid:53)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:34)(cid:13)(cid:54)
(cid:291)(cid:73)(cid:248)(cid:351)(cid:54)(cid:216)(cid:195)(cid:13)(cid:18)(cid:281)(cid:348)(cid:34).
22(cid:113)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:310)(cid:31)(cid:216)(cid:177)(cid:234)(cid:256)(cid:257)(cid:16)(cid:17)(cid:121)(cid:18)(cid:292)(cid:257)(cid:16)(cid:17)(cid:117)(cid:169)(cid:170)[-3,3](cid:18)(cid:78)(cid:161)(cid:31)(cid:32)(cid:54)(cid:204)(cid:195)(cid:16)(cid:17)(cid:216)
(cid:10) (cid:11)-x3+3x x3-x 2xcosx 2sinx
A(cid:113)y= B(cid:113)y= C(cid:113)y= D(cid:113)y=
x2+1 x2+1 x2+1 x2+1
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)A
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:224)(cid:16)(cid:17)(cid:31)(cid:32)(cid:18)(cid:225)(cid:462)(cid:101)(cid:102)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:184)(cid:183)(cid:207)(cid:208)(cid:187)(cid:190)(cid:146)(cid:34).
x3-x
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:125) f x= (cid:54)(cid:204) f 1=0(cid:54)(cid:206)(cid:207)(cid:208)B;
x2+1
2xcosx æ πö
(cid:125)hx= (cid:54)(cid:203)xÎç0, ÷(cid:172)(cid:54)0<cosx<1(cid:54)
x2+1 è 2ø
2xcosx 2x
(cid:232)(cid:46)hx= < £1(cid:54)(cid:206)(cid:207)(cid:208)C;
x2+1 x2+1
2sinx 2sin3
(cid:125)gx= (cid:54)(cid:204)g3= >0(cid:54)(cid:206)(cid:207)(cid:208)D.
x2+1 10
(cid:206)(cid:182)(cid:199)A.
23(cid:113)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:16)(cid:17)y=
 3x-3-x
cosx(cid:117)(cid:169)(cid:170)
é
-
π
,
πù
(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:78)(cid:161)(cid:51)(cid:10) (cid:11)
ê ú
ë 2 2û
A(cid:113) B(cid:113)
C(cid:113) D(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)A(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:224)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:101)(cid:102)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:27)(cid:446)(cid:128)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:184)(cid:183)(cid:207)(cid:208)(cid:187)(cid:190)(cid:146)(cid:34).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:274) f x=  3x-3-x cosx,xÎ é - p , pù (cid:54)
ê ú
ë 2 2û
(cid:204) f -x=  3-x-3x cos-x=-  3x-3-x cosx=-f x(cid:54)
(cid:232)(cid:46) f x(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:207)(cid:208)BD(cid:188)
æ pö
(cid:244)(cid:203)xÎç0, ÷(cid:172)(cid:54)3x-3-x >0,cosx>0(cid:54)(cid:232)(cid:46) f x>0(cid:54)(cid:207)(cid:208)C.
è 2ø
(cid:206)(cid:182)(cid:199)A.
24(cid:113)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f(x),g(x)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:149)(cid:51)R(cid:54)(cid:233)
22
f(x)+g(2-x)=5,g(x)- f(x-4)=7(cid:113)(cid:228)y=g(x)(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:250)(cid:135)(cid:127)(cid:137)x=2(cid:60)(cid:89)(cid:54)g(2)=4(cid:54)(cid:204)å f k=(cid:10) (cid:11)
k=1
A(cid:113)-21 B(cid:113)-22 C(cid:113)-23 D(cid:113)-24
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:60)(cid:89)(cid:75)(cid:72)(cid:215)(cid:104)(cid:221)(cid:222)(cid:146)(cid:160) f(x)+ f(x-2)=-2(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:146)(cid:160) f 3+ f 5+K+ f 21=-10(cid:54)
f 4+ f 6+K+ f 22=-10(cid:54)(cid:336)(cid:180)(cid:80)(cid:81)(cid:221)(cid:222)(cid:146)(cid:160) f(2)(cid:18)(cid:26)(cid:54)(cid:227)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:146)(cid:160)g3=6(cid:174)(cid:175)(cid:146)(cid:160) f 1(cid:18)(cid:26)(cid:187)
(cid:190)(cid:25)(cid:34).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51)y=g(x)(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:250)(cid:135)(cid:127)(cid:137)x=2(cid:60)(cid:89)(cid:54)
(cid:232)(cid:46)g2-x=gx+2(cid:54)
(cid:243)(cid:51)g(x)- f(x-4)=7(cid:54)(cid:232)(cid:46)g(x+2)- f(x-2)=7(cid:54)(cid:187)g(x+2)=7+ f(x-2)(cid:54)
(cid:243)(cid:51) f(x)+g(2-x)=5(cid:54)(cid:232)(cid:46) f(x)+g(x+2)=5(cid:54)
(cid:237)(cid:238)(cid:146) f(x)+7+ f(x-2)=5(cid:54)(cid:187) f(x)+ f(x-2)=-2(cid:54)
(cid:232)(cid:46) f 3+ f 5+K+ f 21=-2´5=-10(cid:54)
f 4+ f 6+K+ f 22=-2´5=-10.
(cid:243)(cid:51) f(x)+g(2-x)=5(cid:54)(cid:232)(cid:46) f(0)+g(2)=5(cid:54)(cid:187) f 0=1(cid:54)(cid:232)(cid:46) f(2)=-2- f 0=-3.
(cid:243)(cid:51)g(x)- f(x-4)=7(cid:54)(cid:232)(cid:46)g(x+4)- f(x)=7(cid:54)(cid:244)(cid:243)(cid:51) f(x)+g(2-x)=5(cid:54)
(cid:456)(cid:230)(cid:146)(cid:54)g2-x+gx+4=12(cid:54)
(cid:232)(cid:46)y=g(x)(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:250)(cid:135)(cid:4)3,6(cid:121)(cid:463)(cid:60)(cid:89)(cid:54)(cid:243)(cid:51)(cid:16)(cid:17)g(x)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)
(cid:232)(cid:46)g3=6(cid:243)(cid:51) f(x)+g(x+2)=5(cid:54)(cid:232)(cid:46) f 1=5-g3=-1.
22
(cid:232)(cid:46)å f(k)= f 1+ f 2+é
ë
f 3+ f 5+K+ f 21ù
û
+é
ë
f 4+ f 6+K+ f 22ù
û
=-1-3-10-10=-24.
k=1
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D
(cid:162)(cid:4)(cid:249)(cid:165)(cid:464)(cid:123)(cid:60)(cid:89)(cid:136)(cid:423)(cid:60)(cid:89)(cid:121)(cid:463)(cid:18)(cid:394)(cid:13)(cid:465)(cid:465)(cid:221)(cid:222)(cid:76)(cid:77)(cid:466)(cid:467)(cid:54)(cid:3)(cid:316)(cid:106)(cid:107)(cid:80)(cid:81)(cid:215)(cid:104)(cid:221)(cid:222)(cid:157)(cid:158)(cid:468)(cid:203)(cid:18)(cid:421)(cid:213)(cid:54)(cid:336)(cid:180)
(cid:146)(cid:160)(cid:232)(cid:106)(cid:18)(cid:69)(cid:144)(cid:17)(cid:26)(cid:423)(cid:250)(cid:130)(cid:36)(cid:174)(cid:175)(cid:34)(cid:13).
25(cid:113)(cid:10)(cid:262)(cid:182)(cid:13)(cid:11)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:21)(cid:22)(cid:469)(cid:16)(cid:17) f¢(x)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:149)(cid:51)R(cid:54)(cid:337)
æ3 ö
g(x)= f¢(x)(cid:54)(cid:228) f ç -2x÷(cid:54)g(2+x)(cid:149)(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204)(cid:10) (cid:11)
è2 ø
æ 1ö
A(cid:113) f(0)=0 B(cid:113)gç- ÷=0 C(cid:113) f(-1)= f(4) D(cid:113)g(-1)=g(2)
è 2ø
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)BC
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:97)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:421)(cid:213)(cid:13)(cid:125)(cid:221)(cid:222)(cid:51)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:60)(cid:89)(cid:75)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:341)(cid:16)(cid:17)(cid:33)(cid:469)(cid:16)(cid:17)(cid:31)(cid:94)(cid:18)(cid:250)(cid:130)(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:184)(cid:183)
(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:190)(cid:146)(cid:34).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)[(cid:97)(cid:116)(cid:69)](cid:199)(cid:60)(cid:89)(cid:75)(cid:72)(cid:87)(cid:88)(cid:75)(cid:18)(cid:250)(cid:130)(cid:470)(cid:471)
æ3 ö æ3 ö æ3 ö æ3 ö æ3 ö
(cid:60)(cid:135) f(x)(cid:54)(cid:243)(cid:51) f ç -2x÷(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:232)(cid:46) f ç -2x÷= f ç +2x÷(cid:187) f ç -x÷= f ç +x÷ (cid:54)(cid:232)(cid:46)
è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø
3 ①
f 3-x= f x(cid:54)(cid:232)(cid:46) f(x)(cid:250)(cid:135)x= (cid:60)(cid:89)(cid:54)(cid:204) f(-1)= f(4)(cid:54)(cid:206)C(cid:236)(cid:197)(cid:188)
2
(cid:60)(cid:135)g(x)(cid:54)(cid:243)(cid:51)g(2+x)(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)g(2+x)=g(2-x)(cid:54)g(4-x)=g(x)(cid:54)(cid:232)(cid:46)g(x)(cid:250)(cid:135)x=2(cid:60)(cid:89)(cid:54)(cid:224) (cid:25)
¢ ¢ ①
é æ3 öù é æ3 öù æ3 ö æ3 ö æ3 ö æ3 ö
(cid:469)(cid:54)(cid:72)g(x)= f¢(x)(cid:54)(cid:146) ê f ç -x÷ú = ê f ç +x÷ú Û-f¢ ç -x÷= f¢ ç +x÷Û-gç -x÷=gç +x÷ (cid:54)(cid:232)
ë è2 øû ë è2 øû è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø
(cid:46)g3-x+gx=0(cid:54)(cid:232)(cid:46)g(x)(cid:250)(cid:135)( 3 ,0)(cid:60)(cid:89)(cid:54)(cid:243)(cid:51)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)(cid:232)(cid:46)g æ ç 3ö ÷=0(cid:54)(cid:101)(cid:102)g(x)(cid:250)(cid:135)x=2
2 è2ø
æ 3ö æ 1ö æ3ö
(cid:60)(cid:89)(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:87)(cid:88)T =4´ç2- ÷=2(cid:54)(cid:232)(cid:46)gç- ÷=gç ÷=0(cid:54)g-1=g1=-g2(cid:54)(cid:206)B(cid:236)(cid:197)(cid:54)D(cid:273)(cid:266)(cid:188)
è 2ø è 2ø è2ø
(cid:228)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:138)(cid:139)(cid:13)(cid:125)(cid:221)(cid:222)(cid:54)(cid:204)(cid:16)(cid:17) f(x)+C(cid:10)C(cid:51)(cid:303)(cid:17)(cid:11)(cid:189)(cid:138)(cid:139)(cid:13)(cid:125)(cid:221)(cid:222)(cid:54)(cid:232)(cid:46)(cid:246)(cid:116)(cid:197)(cid:28) f(x)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:26)(cid:54)
(cid:206)A(cid:273)(cid:266).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)BC.
[(cid:97)(cid:116)(cid:210)](cid:199)(cid:162)(cid:281)(cid:348)(cid:34)(cid:165)(cid:225)(cid:435)(cid:26)(cid:54)(cid:267)(cid:268)(cid:16)(cid:17)(cid:116).
1
(cid:224)(cid:97)(cid:116)(cid:69)(cid:104)g(x)(cid:87)(cid:88)(cid:51)2(cid:54)(cid:250)(cid:135)x=2(cid:60)(cid:89)(cid:54)(cid:206)(cid:190)(cid:125)gx=cosπx(cid:54)(cid:204) f x= sinπx+c(cid:54)(cid:335)(cid:336)A(cid:54)D(cid:273)
π
(cid:266)(cid:54)(cid:182)BC.
(cid:206)(cid:182)(cid:199)BC.
[(cid:97)(cid:116)(cid:446)](cid:199)æ3 ö
(cid:243)(cid:51) f ç -2x÷(cid:54)g(2+x)(cid:149)(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
è2 ø
æ3 ö æ3 ö æ3 ö æ3 ö
(cid:232)(cid:46) f ç -2x÷= f ç +2x÷(cid:187) f ç -x÷= f ç +x÷(cid:54)g(2+x)=g(2-x)(cid:54)
è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø
(cid:232)(cid:46) f 3-x= f x(cid:54)g(4-x)=g(x)(cid:54)(cid:204) f(-1)= f(4)(cid:54)(cid:206)C(cid:236)(cid:197)(cid:188)
3
(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:54)g(x)(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:5)(cid:171)(cid:250)(cid:135)(cid:127)(cid:137)x= ,x=2(cid:60)(cid:89)(cid:54)
2
(cid:244)g(x)= f¢(x)(cid:54)(cid:233)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:190)(cid:469)(cid:54)
æ3ö
(cid:232)(cid:46)gç ÷=0,g3-x=-gx(cid:54)
è2ø
(cid:232)(cid:46)g(4-x)=g(x)=-g3-x(cid:54)(cid:232)(cid:46)g(x+2)=-g(x+1)=gx(cid:54)
æ 1ö æ3ö
(cid:232)(cid:46)gç- ÷=gç ÷=0(cid:54)g-1=g1=-g2(cid:54)(cid:206)B(cid:236)(cid:197)(cid:54)D(cid:273)(cid:266)(cid:188)
è 2ø è2ø
(cid:228)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:138)(cid:139)(cid:13)(cid:125)(cid:221)(cid:222)(cid:54)(cid:204)(cid:16)(cid:17) f(x)+C(cid:10)C(cid:51)(cid:303)(cid:17)(cid:11)(cid:189)(cid:138)(cid:139)(cid:13)(cid:125)(cid:221)(cid:222)(cid:54)(cid:232)(cid:46)(cid:246)(cid:116)(cid:197)(cid:28) f(x)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:26)(cid:54)
(cid:206)A(cid:273)(cid:266).
(cid:206)(cid:182)(cid:199)BC.
(cid:162)(cid:4)(cid:323)(cid:165)(cid:97)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:80)(cid:81)(cid:13)(cid:133)(cid:306)(cid:26)(cid:212)(cid:343)(cid:146)(cid:160)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:54)(cid:187)(cid:190)(cid:185)(cid:186)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:18)(cid:472)(cid:438)(cid:54)(cid:421)(cid:213)(cid:473)(cid:179)(cid:77)(cid:43)(cid:54)(cid:216)(cid:195)(cid:13)(cid:18)
(cid:191)(cid:75)(cid:191)(cid:116)(cid:188)
(cid:97)(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:80)(cid:81)(cid:13)(cid:133)(cid:146)(cid:167)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:267)(cid:268)(cid:225)(cid:435)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:227)(cid:270)(cid:247)(cid:182)(cid:183)(cid:54)(cid:291)(cid:73)(cid:248)(cid:351)(cid:54)(cid:216)(cid:195)(cid:13)(cid:18)(cid:281)(cid:348)(cid:34)(cid:113)
26(cid:113)（2026·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f x(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:203)x³0(cid:172)(cid:54) f x= x-a(cid:54)(cid:228) f -4=3(cid:54)(cid:204)a=
__________(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)-1
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:25)(cid:34).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51)(cid:16)(cid:17) f x(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:203)x³0(cid:172)(cid:54) f x= x-a(cid:54)
(cid:232)(cid:46) f -4= f 4= 4-a=3(cid:54)(cid:34)(cid:146)a=-1.
27(cid:113)（2025·天津·高考真题）(cid:228)a,bÎR(cid:54)(cid:60)"xÎ[-2,2](cid:54)(cid:149)(cid:123)(2a+b)x2+bx-a-1£0(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:54)(cid:204)2a+b(cid:18)
(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:51)_______
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)−4
1
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:166)(cid:125)t=2a+b(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:18)(cid:110)(cid:36)(cid:54)(cid:51)(cid:351)(cid:333)a(cid:190)(cid:46)(cid:229)x=- (cid:54)(cid:146)(cid:160)t³-4(cid:54)(cid:270)(cid:247)t=-4(cid:172)(cid:54)a,b(cid:216)(cid:474)
2
(cid:190)(cid:46)(cid:229)(cid:160)(cid:54)(cid:157)(cid:175)(cid:185)(cid:186)(cid:195)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:216)(cid:474)(cid:190)(cid:229)(cid:187)(cid:190)(cid:146)(cid:160)(cid:163)(cid:164).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:125)t=2a+b(cid:54)(cid:341)(cid:13)(cid:421)(cid:213)(cid:51)(cid:25)t(cid:18)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:341)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:190)(cid:213)(cid:51)(cid:60)(cid:132)(cid:133)(cid:18)-2£x£2(cid:54)tx2+t-2ax-a-1£0(cid:54)
1 1 1
(cid:219)(cid:315)(cid:237)(cid:238)x=- (cid:54)(cid:146) t- t-2a-a-1£0(cid:54)(cid:146)t³-4(cid:54)
2 4 2
(cid:203)t=-4(cid:172)(cid:54)(cid:341)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:190)(cid:213)(cid:51)-4x2+-4-2ax-a-1£0(cid:54)
2
é æ1 öù 1
(cid:187)-
ê
2x+ç a+1÷ú + a2 £0(cid:54)
ë è2 øû 4
1
(cid:475)(cid:476)(cid:190)(cid:104)(cid:54)(cid:203)a=0(cid:172)(cid:54)-2x+12 £0(cid:60)-2£x£2(cid:69)(cid:28)(cid:154)(cid:230)(cid:54)(cid:203)(cid:233)(cid:418)(cid:203)x=- (cid:229)(cid:50)(cid:264)(cid:54)
2
(cid:205)(cid:172)(cid:54)a=0,b=-4(cid:54)(cid:433)(cid:248)t=-4(cid:172)(cid:54)a,b(cid:149)(cid:190)(cid:229)(cid:160)(cid:54)(cid:138)(cid:139)(cid:13)(cid:133)(cid:54)
(cid:206)t=2a+b(cid:18)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:51)−4.
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)−4
28(cid:113)（2024·上海·高考真题）(cid:228)(cid:16)(cid:17) f x=x3+axÎR(cid:216)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204)(cid:289)(cid:17)a=______.
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)0
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:34)(cid:113)
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165) f(x)(cid:216)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204) f(-x)=-f(x)(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
(cid:232)(cid:46)-x3+a=-(x3+a)(cid:54)(cid:34)(cid:146)a=0
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)0(cid:113)
ìx+2,x<-a,
ïï
29(cid:113)（2023·北京·高考真题）(cid:125)a>0(cid:54)(cid:16)(cid:17) f(x)=í a2-x2,-a£x£a,(cid:54)(cid:253)(cid:167)(cid:177)(cid:234)(cid:256)(cid:257)(cid:101)(cid:235)(cid:199)
ï
ïî - x-1,x>a.
f(x)(cid:117)(cid:169)(cid:170)(a-1,+¥)(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:188)
①(cid:203)a³1(cid:172)(cid:54) f(x)(cid:217)(cid:117)(cid:281)(cid:78)(cid:26)(cid:188)
②(cid:125)Mx, f x x £a,Nx , f x x >a(cid:54)(cid:204)|MN|>1(cid:188)
1 1 1 2 2 2
③ (cid:125)Px 3 , f x 3 x 3 <-a,Qx 4 , f x 4 x 4 ³-a(cid:113)(cid:228) PQ (cid:217)(cid:117)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:204)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:216) æ ç è 0, 1 2 ú ù û (cid:113)
④(cid:22)(cid:121)(cid:232)(cid:123)(cid:236)(cid:197)(cid:101)(cid:235)(cid:18)(cid:263)(cid:264)(cid:216)____________(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)
1
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)②(cid:166)(cid:5)③(cid:35) f x(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:54)(cid:227)(cid:184)(cid:69)(cid:5)(cid:35)(cid:181)(cid:101)(cid:235)(cid:188)(cid:60)(cid:135) (cid:54)(cid:229)a= (cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:31)(cid:32)(cid:187)(cid:190)(cid:185)(cid:186)(cid:188)(cid:60)(cid:135) (cid:54)(cid:5)(cid:82)
2
① 4 ②
(cid:280)(cid:235) f x(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:146)(cid:46)(cid:185)(cid:186)(cid:188)(cid:60)(cid:135) (cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:31)(cid:32)(cid:190)(cid:104) MN (cid:18)(cid:275)(cid:153)(cid:188)(cid:60)(cid:135) (cid:54)(cid:229)a= (cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:31)(cid:32)
5
③ ④(cid:190)(cid:104)(cid:205)(cid:172) PQ (cid:217)(cid:117)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:146)(cid:46)(cid:185)(cid:186).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:200)(cid:13)(cid:133)(cid:54)a>0(cid:54)
(cid:203)x<-a(cid:172)(cid:54) f x=x+2(cid:54)(cid:307)(cid:104)(cid:22)(cid:31)(cid:32)(cid:51)(cid:69)(cid:221)(cid:477)(cid:4)(cid:229)(cid:219)(cid:160)(cid:26)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:18)(cid:478)(cid:137)(cid:188)
(cid:203)-a£x£a(cid:172)(cid:54) f x= a2-x2 (cid:54)(cid:307)(cid:104)(cid:22)(cid:31)(cid:32)(cid:216)(cid:54)(cid:479)(cid:463)(cid:51)0,0(cid:54)(cid:480)(cid:481)(cid:51)a(cid:18)(cid:479)(cid:117)x(cid:136)(cid:37)(cid:97)(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:10)(cid:187)(cid:480)
(cid:479)(cid:11)(cid:188)
(cid:203)x>a(cid:172)(cid:54) f x=- x-1(cid:54)(cid:307)(cid:104)(cid:22)(cid:31)(cid:32)(cid:216)(cid:69)(cid:221)(cid:477)(cid:4)(cid:229)(cid:219)(cid:160)(cid:26)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:18)(cid:445)(cid:137)(cid:188)
1
(cid:60)(cid:135) (cid:54)(cid:229)a= (cid:54)(cid:204) f x(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:310)(cid:177)(cid:54)
2
①
æ 1 ö æ 1 ö
(cid:335)(cid:336)(cid:54)(cid:203)xÎ(a-1,+¥)(cid:54)(cid:187)xÎç- ,+¥÷(cid:172)(cid:54) f x(cid:117)ç- ,0÷(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:206) (cid:273)(cid:266)(cid:188)
è 2 ø è 2 ø
(cid:60)(cid:135) (cid:54)(cid:203)a³1(cid:172)(cid:54) ①
(cid:203)x<②-a(cid:172)(cid:54) f x=x+2<-a+2£1(cid:188)
(cid:203)-a£x£a(cid:172)(cid:54) f x= a2-x2 (cid:335)(cid:336)(cid:229)(cid:146)(cid:281)(cid:78)(cid:26)a(cid:188)
(cid:203)x>a(cid:172)(cid:54) f x=- x-1<- a-1£-2(cid:54)
(cid:277)(cid:37)(cid:199) f x(cid:229)(cid:146)(cid:281)(cid:78)(cid:26)a(cid:54)(cid:206) (cid:236)(cid:197)(cid:188)
②
(cid:60)(cid:135) (cid:54)(cid:307)(cid:104)(cid:203)-a£x £a(cid:172)(cid:54)(cid:117)x =a(cid:54)x >a(cid:233)(cid:349)(cid:388)(cid:135)x=a(cid:378)(cid:54)Mx, f x x £a,Nx , f x x >a
1 1 2 1 1 1 2 2 2
(cid:18)(cid:407)③(cid:408)(cid:281)(cid:79)(cid:54)(cid:203)x =a(cid:172)(cid:54)y= f x =0(cid:54)(cid:203)x >a(cid:233)(cid:349)(cid:388)(cid:135)x=a(cid:378)(cid:54)y = f x <- a-1(cid:54)
1 1 2 2 2
(cid:205)(cid:172)(cid:54) MN > y -y > a+1>1(cid:54)
1 2
(cid:203)x <-a(cid:172)(cid:54)x >a(cid:233)(cid:349)(cid:388)(cid:135)x=a(cid:378)(cid:54)Mx, f x x £a,Nx , f x x >a(cid:18)(cid:407)(cid:408)(cid:281)(cid:79)(cid:54)
1 2 1 1 1 2 2 2
a+ a+1+2
(cid:205)(cid:172) MN ³ >1(cid:188)(cid:206) (cid:236)(cid:197)(cid:188)
2
③
4
(cid:60)(cid:135) (cid:54)(cid:229)a= (cid:54)(cid:204) f x(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:310)(cid:177)(cid:54)
5
④
(cid:243)(cid:51)Px , f x x <-a,Qx , f x x ³-a(cid:54)
3 3 3 4 4 4
æ 4ö 16 æ 4 4ö
(cid:101)(cid:102)(cid:31)(cid:32)(cid:190)(cid:104)(cid:54)(cid:107)(cid:145) PQ (cid:229)(cid:146)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:204)(cid:4)P(cid:117) f x=x+2çx<- ÷(cid:37)(cid:54)(cid:4)Q(cid:117) f x= -x2 ç- £x£ ÷ (cid:54)
è 5ø 25 è 5 5ø
æ 4ö
(cid:254)(cid:172) PQ (cid:18)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:51)(cid:4)O(cid:160) f x=x+2çx<- ÷(cid:18)(cid:407)(cid:408)(cid:260)(cid:245)(cid:480)(cid:479)(cid:18)(cid:480)(cid:481)a(cid:54)
è 5ø
æ 4ö
(cid:205)(cid:172)(cid:54)(cid:243)(cid:51) f x= y=x+2çx<- ÷(cid:18)(cid:482)(cid:420)(cid:51)1(cid:54)(cid:204)k =-1(cid:54)(cid:206)(cid:127)(cid:137)OP(cid:18)(cid:97)(cid:98)(cid:51)y=-x(cid:54)
è 5ø OP
ìy=-x ìx=-1
(cid:456)(cid:230)í (cid:54)(cid:34)(cid:146)í (cid:54)(cid:204)P-1,1(cid:54)
îy=x+2 îy=1
æ 4ö
(cid:335)(cid:336)P-1,1(cid:117) f x=x+2çx<- ÷(cid:37)(cid:54)(cid:138)(cid:139) PQ (cid:229)(cid:146)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)
è 5ø
4 æ 1ù
(cid:187)a= (cid:189)(cid:138)(cid:139) PQ (cid:217)(cid:117)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:206)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:219)(cid:418)(cid:418)(cid:216)ç0,
ú
(cid:54)(cid:206) (cid:273)(cid:266).
5 è 2û
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199) . ④
30(cid:113)（2023 ② ·全 ③ 国甲卷·高考真题）(cid:228) f x=x-12 +ax+sin æ çx+ πö ÷(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204)a=________(cid:113)
è 2ø
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)2
æ πö æπö
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:239)(cid:64)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:146)(cid:160) f ç- ÷= f ç ÷(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:25)(cid:146)a=2(cid:54)(cid:227)(cid:454)(cid:270)(cid:187)(cid:190)(cid:146)(cid:34).
è 2ø è2ø
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51)y= f x=x-12 +ax+sin æ çx+ πö ÷=x-12 +ax+cosx(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)
è 2øæ πö æπö æ π ö 2 π æ πö æπ ö 2 π π
(cid:232)(cid:46) f ç- ÷= f ç ÷(cid:54)(cid:187) ç- -1÷ - a+cosç- ÷=ç -1÷ + a+cos (cid:54)
è 2ø è2ø è 2 ø 2 è 2ø è2 ø 2 2
2 2
æπ ö æπ ö
(cid:204)πa=ç +1÷ -ç -1÷ =2π(cid:54)(cid:206)a=2(cid:54)
è2 ø è2 ø
(cid:205)(cid:172) f x=x-12 +2x+cosx=x2+1+cosx(cid:54)
(cid:232)(cid:46) f -x=-x2 +1+cos-x=x2+1+cosx= f x(cid:54)
(cid:244)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)(cid:206) f x(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
(cid:232)(cid:46)a=2.
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)2.
ì-ax+1, x<a,
ï
31(cid:113)（2022·北京·高考真题）(cid:125)(cid:16)(cid:17) f x=í (cid:228) f(x)(cid:217)(cid:117)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:204)a(cid:18)(cid:69)(cid:257)(cid:229)(cid:26)(cid:51)
ïî x-22, x³a.
________(cid:188)a(cid:18)(cid:281)(cid:78)(cid:26)(cid:51)___________(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165) 0(cid:10)(cid:163)(cid:164)(cid:219)(cid:308)(cid:69)(cid:11) 1
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:5)(cid:82)(cid:16)(cid:17)(cid:121)(cid:18)(cid:16)(cid:17)y=-ax+1(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:5)(cid:6)(cid:280)(cid:235)(cid:54)(cid:190)(cid:104)(cid:54)a=0(cid:209)(cid:102)(cid:221)(cid:222)(cid:54)a<0(cid:219)(cid:209)(cid:102)(cid:221)(cid:222)(cid:54)
a>0(cid:172)(cid:16)(cid:17)y=-ax+1(cid:331)(cid:123)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:206) f(x)(cid:18)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:214)(cid:296)(cid:229)y=(x-2)2(cid:18)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:280)(cid:235)(cid:190)(cid:104)
-a2+1³0(cid:423)-a2+1³a-22(cid:54) (cid:34)(cid:146) 0<a£1.
1 ,x<0
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:34)(cid:199)(cid:228)a=0(cid:172)(cid:54) f(x)={ (cid:54) f(x) =0(cid:188)
(x-2)2,x³0 min
(cid:228)a<0(cid:172)(cid:54)(cid:203)x<a(cid:172)(cid:54) f(x)=-ax+1(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)∴(cid:203)x®-¥(cid:172)(cid:54) f(x)®-¥(cid:54)(cid:206) f(x)(cid:331)(cid:123)(cid:281)(cid:79)(cid:26)(cid:54)(cid:219)(cid:209)(cid:102)
(cid:13)(cid:252)(cid:107)(cid:25)(cid:188)
(cid:228)a>0(cid:172)(cid:54)
(cid:203)x<a(cid:172)(cid:54) f(x)=-ax+1(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54) f(x)> f(a)=-a2+1(cid:54)
0 (0<a<2)
(cid:203)x>a(cid:172)(cid:54) f(x) ={
min (a-2)2 (a³2)
-a2+1³0(cid:423)-a2+1³(cid:10)a-2(cid:11)2(cid:54)
∴(cid:34)(cid:146)0<a£1(cid:54)
(cid:277)(cid:37)(cid:190)(cid:146)0£a£1(cid:188)
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)0(cid:10)(cid:163)(cid:164)(cid:219)(cid:308)(cid:69)(cid:11)(cid:54)1ìa2x-1,x<0
ï
32(cid:113)（2022·上海·高考真题）(cid:228)(cid:16)(cid:17) f(x)=í x+a,x>0 (cid:54)(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204)(cid:83)(cid:17)a(cid:18)(cid:26)(cid:51)___________(cid:113)
ï
0,x=0
î
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)1
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:190)(cid:25)(cid:83)(cid:17)(cid:18)(cid:26).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:203)x<0(cid:172)(cid:54) f x=a2x-1(cid:54)
(cid:203)x>0(cid:172)(cid:54)-x<0(cid:54)(cid:206) f -x=-a2x-1(cid:54)
ìa2 =1
(cid:175) f x=-f -x=a2x+1=x+a(cid:54)(cid:206)í (cid:187)a=1(cid:54)
îa=1
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)1.
1
33(cid:113)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:228) f x=ln a+ +b(cid:216)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204)a=_____(cid:54)b=______(cid:113)
1-x
1
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165) - (cid:188) ln2(cid:113)
2
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:187)(cid:190)(cid:25)(cid:167)(cid:113)
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)[(cid:97)(cid:116)(cid:69)](cid:199)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:18)(cid:60)(cid:89)(cid:75)
(cid:228)a=0(cid:54)(cid:204) f(x)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51){x|x¹1}(cid:54)(cid:219)(cid:250)(cid:135)(cid:341)(cid:4)(cid:60)(cid:89)
\a¹0
1 1
(cid:228)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:18) f(x)=ln|a+ |+b(cid:123)(cid:133)(cid:29)(cid:54)(cid:204)x¹1(cid:233)a+ ¹0
1-x 1-x
1
\x¹1(cid:233)x¹1+ (cid:54)
a
(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:250)(cid:135)(cid:341)(cid:4)(cid:60)(cid:89)(cid:54)
∵ 1 1
\1+ =-1(cid:54)(cid:34)(cid:146)a=- (cid:54)
a 2
1
(cid:224) f(0)=0(cid:146)(cid:54)ln +b=0(cid:54)
2
\b=ln2(cid:54)
1
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)- (cid:188)ln2(cid:113)
2
[(cid:97)(cid:116)(cid:210)](cid:199)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:85)(cid:86)(cid:75)(cid:25)(cid:83)
1 a-ax+1 ax-a-1
f(x)=ln a+ +b=ln +b=ln +b
1-x 1-x 1-x
ax+a+1
f(-x)=ln +b
1+x(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)
ax-a-1 ax+a+1
\∵ f(x)+ f(-x)=ln +ln +2b=0
1-x 1+x
a2x2-(a+1)2
\ln +2b=0
x2-1
a2 (a+1)2 1
\ = Þ2a+1=0Þa=-
1 1 2
1
-2b=ln =-2ln2Þb=ln2
4
1
\a=- ,b=ln2
2
[(cid:97)(cid:116)(cid:446)](cid:199)
1
(cid:243)(cid:51)(cid:16)(cid:17) f x=ln a+ +b(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:232)(cid:46)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:250)(cid:135)(cid:341)(cid:4)(cid:60)(cid:89)(cid:113)
1-x
1 a+1 1
(cid:224)a+ ¹0(cid:190)(cid:146)(cid:54)1-xa+1-ax¹0(cid:54)(cid:232)(cid:46)x= =-1(cid:54)(cid:34)(cid:146)(cid:199)a=- (cid:54)(cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)
1-x a 2
1 1 1+x
-¥,-1È-1,1È1,+¥(cid:54)(cid:227)(cid:224) f 0=0(cid:190)(cid:146)(cid:54)b=ln2(cid:113)(cid:187) f x=ln - + +ln2=ln (cid:54)(cid:117)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
2 1-x 1-x
(cid:56)(cid:138)(cid:139) f -x=-f x(cid:54)(cid:209)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:113)
1
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)- (cid:188)ln2(cid:113)
2
34(cid:113)（2026·上海·高考真题）(cid:125) f x(cid:216)(cid:28)(cid:29)(cid:117)R(cid:37)(cid:18)(cid:16)(cid:17).(cid:28)(cid:29)(cid:75)(cid:84)P(cid:199)(cid:228)(cid:60)(cid:132)(cid:133)x,x ÎR(cid:54)(cid:203) x < x (cid:172)(cid:54)
1 2 1 2
f x < f x (cid:54)(cid:204)(cid:89)(cid:16)(cid:17) f x(cid:122)(cid:123)“(cid:75)(cid:84)P”.
1 2
(1)(cid:185)(cid:186)(cid:16)(cid:17) f x=ex(cid:216)(cid:474)(cid:122)(cid:123)“(cid:75)(cid:84)P”(cid:188)
ìax,x£0
(2)(cid:228)(cid:5)(cid:82)(cid:16)(cid:17) f x=í (cid:122)(cid:123)“(cid:75)(cid:84)P”(cid:54)(cid:25)(cid:232)(cid:123)(cid:138)(cid:139)(cid:221)(cid:222)(cid:18)(cid:289)(cid:17)a(cid:72)b(cid:18)(cid:34)(cid:188)
îx+b,x>0
(3)(cid:215)(cid:104) f x(cid:18)(cid:26)(cid:30)(cid:51)0,1(cid:54)(cid:233)(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:216)(cid:304)(cid:305)(cid:258)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:247)(cid:248)(cid:199)f x(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:218)(cid:107)(cid:221)(cid:222)(cid:216)(cid:199)f x(cid:122)(cid:123)
“(cid:75)(cid:84)P”.
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(1)(cid:331)(cid:123)(cid:54)(cid:71)(cid:224)(cid:430)(cid:34)(cid:35)
(2)a=-1,b=0
(3)(cid:247)(cid:248)(cid:430)(cid:34)(cid:35)
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:61)(cid:64)(cid:225)(cid:226)(cid:116)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:190)(cid:188)
(cid:10)2(cid:11)(cid:80)(cid:81)(cid:69)(cid:159)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:54)(cid:101)(cid:102)“(cid:75)(cid:84)P”(cid:18)(cid:225)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:25)(cid:34)(cid:187)(cid:190)(cid:188)(cid:10)3(cid:11)(cid:80)(cid:81)(cid:218)(cid:107)(cid:221)(cid:222)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:27)“(cid:75)(cid:84)P”(cid:18)(cid:225)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:61)(cid:62)(cid:247)(cid:248)(cid:187)(cid:190).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:16)(cid:17) f x=ex(cid:219)(cid:122)(cid:123)“(cid:75)(cid:84)P”(cid:54)(cid:71)(cid:224)(cid:310)(cid:177)(cid:199)
(cid:226)(cid:310)(cid:203)x =-2,x =-3(cid:172)(cid:54)(cid:335)(cid:336) x < x (cid:154)(cid:230)(cid:54)
1 2 1 2
ex1 =e-2,ex2 =e-3(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:190)(cid:104)e-2 >e-3(cid:54)
(cid:232)(cid:46)(cid:123) f x > f x (cid:54)(cid:143)(cid:33)“(cid:75)(cid:84)P”(cid:271)(cid:272)(cid:54)(cid:206)(cid:16)(cid:17) f x=ex(cid:219)(cid:122)(cid:123)“(cid:75)(cid:84)P”(cid:188)
1 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:243)(cid:51)(cid:16)(cid:17) f x(cid:122)(cid:123)“(cid:75)(cid:84)P”(cid:54)(cid:232)(cid:46)(cid:229)x =0(cid:54)(cid:123) x =0< x (cid:54)
1 1 2
(cid:135)(cid:216)(cid:123) f x < f x (cid:54)
1 2
(cid:203)x Î0,+¥(cid:172)(cid:54)(cid:224) f x < f x Þ0<x +bÞb³0(cid:54)
2 1 2 2
(cid:203)x Î-¥,0(cid:172)(cid:54)(cid:224) f x < f x Þ0<ax Þa<0(cid:54)
2 1 2 2
éb ö æbö b
(cid:228)b>0(cid:54)(cid:228)x 2 Î ê ëa ,0÷ ø (cid:54)(cid:204)(cid:123) f x 2 £ f ç èa ÷ ø =a× a =b(cid:54)
x
(cid:229)x =- 2 >0Þ f x =x +b>b³ f x (cid:54)
1 2 1 1 2
(cid:205)(cid:172) x < x (cid:54)(cid:231)(cid:216) f x > f x (cid:54)(cid:219)(cid:209)(cid:102)“(cid:75)(cid:84)P”(cid:54)(cid:232)(cid:46)b>0(cid:219)(cid:209)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:54)
1 2 1 2
ìax,x£0
(cid:206)b=0(cid:54)(cid:205)(cid:172) f x=í (cid:54)
îx,x>0
x
(cid:228)x >0,x <0,x <-x (cid:172)(cid:54)(cid:204) 1 >-1(cid:54)
1 2 1 2 x
2
x
(cid:224) f x < f x Þx <ax Þ 1 >aÞa£-1(cid:54)
1 2 1 2 x
2
x
(cid:228)x <0,x >0,-x <x (cid:172)(cid:54)(cid:204) 2 <-1(cid:54)
1 2 1 2 x
1
x
(cid:224) f x < f x Þax <x Þ 2 <aÞa³-1(cid:54)
1 2 1 2 x
1
(cid:243)(cid:205)a=-1(cid:54)
(cid:277)(cid:37)(cid:232)(cid:278)(cid:199)(cid:203)(cid:233)(cid:418)(cid:203)a=-1,b=0(cid:172)(cid:54)(cid:138)(cid:139)(cid:221)(cid:222)(cid:188)
(cid:10)3(cid:11)(cid:218)(cid:5)(cid:75)(cid:199)(cid:228) f x(cid:122)(cid:123)“(cid:75)(cid:84)P”(cid:54)(cid:204) f x(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17).
(cid:228)(cid:217)(cid:117)x >0(cid:54) f x ¹ f -x (cid:54)(cid:219)(cid:315)(cid:125) f x > f -x (cid:54)
0 0 0 0 0
(cid:337) f x =M, f -x =m(cid:54)(cid:187)M >m(cid:54)
0 0(cid:243)(cid:51)(cid:16)(cid:17) f x(cid:18)(cid:26)(cid:30)(cid:51)0,1(cid:54)
(cid:232)(cid:46)0£m<M <1(cid:54)
(cid:228) x < -x (cid:54)(cid:204)(cid:123) f x< f -x =m(cid:54)
0 0
(cid:228) x >x (cid:54)(cid:204)(cid:123) f x> f x =M (cid:54)
0 0
M +m
(cid:206)(cid:60)(cid:132)(cid:133)xÎR(cid:54) f x¹ Î0,1(cid:54)(cid:143)(cid:33) f x(cid:18)(cid:26)(cid:30)(cid:51)0,1(cid:271)(cid:272)(cid:54)
2
(cid:232)(cid:46) f x ¹ f -x (cid:219)(cid:154)(cid:230)(cid:54)(cid:204)(cid:123) f x = f -x (cid:54)(cid:243)(cid:205)(cid:16)(cid:17) f x(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:188)
0 0 0 0
(cid:220)(cid:107)(cid:75)(cid:199)(cid:228) f x(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204) f x(cid:122)(cid:123)“(cid:75)(cid:84)P”.
(cid:203) x < x (cid:172)(cid:54)(cid:243)(cid:51) f x(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:216)(cid:304)(cid:305)(cid:258)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
1 2
(cid:232)(cid:46) f  x < f  x  (cid:54)
1 2
(cid:244)(cid:243)(cid:51)(cid:16)(cid:17) f x(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
(cid:232)(cid:46)(cid:224) f  x < f  x Þ f x < f x (cid:54)(cid:243)(cid:205) f x(cid:122)(cid:123)“(cid:75)(cid:84)P”.
1 2 1 2
(cid:232)(cid:46) f x(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:218)(cid:107)(cid:221)(cid:222)(cid:216)(cid:199) f x(cid:122)(cid:123)“(cid:75)(cid:84)P”.
35(cid:113)（2026·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104)i, j,k(cid:216)1(cid:54)2(cid:54)3(cid:18)(cid:69)(cid:257)(cid:207)(cid:234)(cid:54)(cid:228)(cid:16)(cid:17) f x(cid:54) f x(cid:54) f x(cid:54)(cid:60)(cid:132)(cid:133)
1 2 3
xÎI(cid:54)(cid:276)(cid:123) f x£ f x(cid:233) f x+ f x£ f x+ f x(cid:54)(cid:204)(cid:89)i, j,k(cid:216)(cid:250)(cid:135) f x(cid:54) f x(cid:54) f x(cid:18)(cid:69)(cid:257)I
1 i 1 2 i j 1 2 3
(cid:207)(cid:234)(cid:54)(cid:204)(cid:250)(cid:135) f x(cid:54) f x(cid:54) f x(cid:18)I(cid:207)(cid:234)(cid:325)(cid:17)(cid:337)(cid:51)n (cid:113)
1 2 3 I
(1)(cid:215)(cid:104)I =3,+¥(cid:54) f x=x(cid:54) f x=0(cid:54) f x=x2+1(cid:54)(cid:185)(cid:186)3,1,2(cid:216)(cid:474)(cid:51)I(cid:207)(cid:234)(cid:188)
1 2 3
(2)(cid:60)I =0,+¥(cid:54) f x=x-1(cid:54) f x=x+m(cid:54) f x=x2(cid:138)(cid:139)(cid:221)(cid:222)(cid:18)n =6(cid:54)(cid:25)m(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:188)
1 2 3 I
(3)(cid:60)xÎ0,+¥(cid:54)(cid:233)(cid:60)(cid:132)(cid:133)xÎ0,+¥(cid:54)0<Fx<1(cid:54)(cid:274)I =a,+¥(cid:54) f x=Fx(cid:54)
1
1
f x= Fx+a+Fx-a(cid:54) f x=1-e-x(cid:54)(cid:247)(cid:248)(cid:199)(cid:228)Fx(cid:304)(cid:305)(cid:260)(cid:54)(cid:204)(cid:217)(cid:117)a>0(cid:54)(cid:145)n ³4(cid:188)(cid:228)Fx
2 2 3 I
(cid:304)(cid:305)(cid:258)(cid:54)(cid:204)(cid:217)(cid:117)aÎ0,1(cid:54)n ¹2(cid:113)
I
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(1)(cid:216)I(cid:207)(cid:234)(cid:188)
1
(2)-1£m£- (cid:188)
4
(3)(cid:483)(cid:166)(cid:247)(cid:248)(cid:484)1(cid:257)(cid:101)(cid:235)(cid:54)(cid:475)(cid:476)(cid:10)2(cid:11)(cid:394)(cid:18)6(cid:257)(cid:9)(cid:443)(cid:54)(cid:228) f (x)£ f (x)(cid:72) f (x)£ f (x)(cid:117)I=[a,+¥)(cid:37)(cid:254)(cid:172)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
1 3 2 3
(cid:485)(cid:486)(cid:207)(cid:234)(1,2,3),(1,3,2),(3,1,2),(3,2,1)(cid:276)(cid:176)(cid:216)I(cid:207)(cid:234)(cid:54)(cid:205)(cid:172)n (cid:487)(cid:488)(cid:51)4(cid:113)
I
(cid:203) f (x)£ f (x)(cid:172)(cid:54)(cid:187)F(x)£1-e-x(cid:54)
1 3
(cid:243)(cid:51)F(x)(cid:216)(cid:28)(cid:29)(cid:117)[0,+¥)(cid:37)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:233)(cid:304)(cid:305)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:289)(cid:17)a>0,I =[a,+¥)(cid:54)
(cid:204)F(0)³Fa(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
(cid:244)(cid:243)(cid:51)(cid:16)(cid:17)y=1-e-x(cid:117)[a,+¥)(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)
(cid:204)(cid:117)(cid:169)(cid:170)I=[a,+¥)(cid:37)(cid:54)F(x) =Fa(cid:54) f x =1-e-a.
max 3 min
(cid:228) f (x)£ f (x)(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:54)(cid:204)Fa£1-e-a(cid:54)
1 3
(cid:204)(cid:214)(cid:106)F(0)£1-e-a(cid:54)(cid:187)e-a £1-F0(cid:54)(cid:243)(cid:51)(cid:60)(cid:132)(cid:133)(cid:18)xÎ0,+¥(cid:54)0<Fx<1(cid:54)
(cid:204)F0Î0,1(cid:54)(cid:204)1-F(0)Î0,1(cid:54)(cid:204)(cid:34)(cid:146)a³-ln(1-F(0))(cid:54)
1
(cid:203) f (x)£ f (x)(cid:172)(cid:54)(cid:187) [F(x+a)+F(x-a)]£1-e-x(cid:54)
2 3 2
(cid:243)(cid:51)F(x)(cid:304)(cid:305)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:232)(cid:46)F(x+a)<F(0)(cid:233)F(x-a)£F(0)(cid:54)
1
f (x)£ [F(0)+F(0)]=F(0)(cid:54)
2 2
(cid:214)(cid:107)a³-ln(1-F(0))(cid:54)(cid:489)(cid:123) f x£F0£1-e-a = f x £ f x(cid:54)
2 3 min 3
(cid:204)(cid:190)(cid:229)a=-ln1-F0
(cid:187)(cid:190)(cid:138)(cid:139)(cid:13)(cid:133)(cid:113)
(cid:187)(cid:217)(cid:117)a>0(cid:54)(cid:145)(cid:146)n ³4.
I
(cid:227)(cid:247)(cid:248)(cid:484)2(cid:257)(cid:101)(cid:235).
(cid:438)(cid:125)(cid:60)(cid:135)(cid:132)(cid:133)(cid:18)aÎ(0,1)(cid:54)(cid:276)(cid:123)n =2(cid:54)
I
(cid:243)(cid:51)(cid:10)2(cid:11)(cid:121) (cid:207)(cid:234)(1,2,3)(cid:490)(cid:491)(cid:138)(cid:139)(cid:221)(cid:222)(cid:54)
(cid:204)(cid:117)(cid:492)(cid:177)(cid:18)5①(cid:324)(cid:207)(cid:234)(cid:121)(cid:54)(cid:214)(cid:123)(cid:308)(cid:69)(cid:18)(cid:69)(cid:257)(cid:216)I(cid:207)(cid:234)(cid:113)
(cid:483)(cid:166)(cid:54)(cid:493)(cid:148)(cid:247)(cid:248) f x£ f x(cid:219)(cid:190)(cid:296)(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:199)
1 2
(cid:438)(cid:125)(cid:60)(cid:135)(cid:292)(cid:257)a>0(cid:54)(cid:117)[a,+¥)(cid:37)(cid:259)(cid:123) f (x)£ f (x)(cid:113)
1 2
1
(cid:187)F(x)£ [F(x+a)+F(x-a)](cid:54)
2
(cid:187)F(x+a)-F(x)³F(x)-F(x-a)(cid:54)(cid:229)x =2a+n×a(n=0,1,2,¼)(cid:113)(cid:224)(cid:135)F(x)(cid:304)(cid:305)(cid:241)(cid:258)(cid:54)
n
(cid:274)D=F(2a)-F(a)>0(cid:54)
(cid:204)Fx +a-Fx ³Fx +a-Fx ³L³F(2a)-F(a)=D(cid:54)
n n n-1 n-1
(cid:135)(cid:216)(cid:60)(cid:132)(cid:133)(cid:236)(cid:422)(cid:17)N (cid:199)
N-1
Fx -Fx =åéFx +a-Fx ù³N×D(cid:54)
N 0 ë k k û
k=0
(cid:203)N ®+¥(cid:172)(cid:54)Fx ®+¥(cid:54)(cid:143)(cid:33)0<F(x)<1(cid:271)(cid:272)(cid:494)
N
(cid:243)(cid:205)(cid:54) f (x)£ f (x)(cid:219)(cid:190)(cid:296)(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:113)(cid:204)(cid:207)(cid:234) (cid:207)(cid:234)(2,1,3)(cid:72) (cid:207)(cid:234)(2,3,1)(cid:495)(cid:496)(cid:219)(cid:190)(cid:296)(cid:216)I(cid:207)(cid:234)(cid:113)
1 2
③ ④
(cid:349)(cid:177)(cid:395)(cid:214)(cid:492) (cid:207)(cid:234)(1,3,2)(cid:54)(cid:22)(cid:106)(cid:138)(cid:139) f (x)£ f (x)(cid:54)
2 3
②
(cid:207)(cid:234)(3,1,2)(cid:54)(cid:22)(cid:106)(cid:138)(cid:139) f (x)£ f (x), f (x)£ f (x)(cid:54)
1 3 2 3
⑤
(cid:207)(cid:234)(3,2,1)(cid:54)(cid:22)(cid:106)(cid:138)(cid:139) f (x)£ f (x)(cid:54)
1 3
⑥
(cid:177)(cid:126)(cid:247)(cid:248)(cid:199)(cid:60)(cid:135)(cid:132)(cid:133)aÎ(0,1), f x£ f x(cid:117)I(cid:37)(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:497)(cid:33)(cid:497) f x£ f x(cid:117)I(cid:37)(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:497)(cid:143)(cid:168)(cid:257)(cid:12)(cid:13)(cid:54)(cid:220)
1 3 2 3
(cid:498)(cid:123)(cid:233)(cid:214)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:51)(cid:472)(cid:113)
(cid:10)i(cid:11)(cid:228)(cid:60)(cid:132)(cid:133)x>0(cid:54)(cid:276)(cid:123) f x£ f x(cid:54)(cid:187)(cid:276)(cid:123)F(x)£1-e-x(cid:54)
1 3
(cid:60)(cid:135)(cid:132)(cid:133)aÎ(0,1)(cid:72)x³a(cid:54)
F(x+a)+F(x-a) 1-e-(x+a)+1-e-(x-a) ea+e-a
(cid:204) f (x)= £ =1-e-x× £1-e-x× ea×e-a =1-e-x(cid:54)
2 2 2 2
(cid:203)(cid:233)(cid:418)(cid:203)a=0(cid:172)(cid:50)(cid:264)(cid:154)(cid:230)(cid:54)(cid:244)(cid:243)(cid:51)a>0(cid:54)(cid:206)(cid:50)(cid:264)(cid:246)(cid:116)(cid:229)(cid:160)(cid:54)
(cid:232)(cid:46) f (x)<1-e-x = f (x)(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
2 3
(cid:204) f x£ f x(cid:60)(cid:232)(cid:123)(cid:18)aÎ(0,1)(cid:259)(cid:154)(cid:230).
2 3
(cid:204)(cid:205)(cid:172) (cid:207)(cid:234)(1,3,2)(cid:54) (cid:207)(cid:234)(3,1,2)(cid:54) (cid:207)(cid:234)(3,2,1)(cid:149)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
(cid:204)n =②4(cid:54)(cid:33)(cid:438)(cid:125)n =2⑤(cid:271)(cid:272)(cid:494) ⑥
I I
(cid:10)ii(cid:11)(cid:269)(cid:285)(cid:60)(cid:135)(cid:232)(cid:123)x>0(cid:276)(cid:123) f x£ f x(cid:54)(cid:187)F(x)£1-e-x(cid:54)
1 3
(cid:204)(cid:220)(cid:28)(cid:217)(cid:117)x >0(cid:54)(cid:145)(cid:146)Fx >1-e-x0(cid:54)
0 0
(cid:125)Fx =1-e-x0+2D(D>0)(cid:54)
0
(cid:243)(cid:51)y=1-e-x(cid:216)(cid:304)(cid:305)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:18)(cid:499)(cid:500)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204)(cid:60)(cid:135)(cid:215)(cid:104)(cid:18)Δ>0(cid:54)(cid:325)(cid:190)(cid:46)(cid:450)(cid:160)x >x (cid:54)(cid:145)(cid:146)  1-e-x1  -  1-e-x0  <D(cid:54)
1 0
(cid:187)1-e-x1 <1-e-x0+D(cid:54)(cid:187)1-e-x0 >1-e-x1-D(cid:54)
(cid:254)(cid:172)(cid:54)(cid:243)(cid:51)F(x)(cid:304)(cid:305)(cid:241)(cid:258)(cid:233)x >x (cid:54)(cid:220)(cid:123)Fx >Fx (cid:113)
1 0 1 0
(cid:187)Fx >1-e-x0+2D>  1-e-x1-D  +2D(cid:54)
1
(cid:187)Fx >1-e-x1+D>1-e-x1(cid:54)(cid:187) f x > f x (cid:54)
1 1 1 3 1
(cid:204)(cid:190)(cid:229)(cid:218)(cid:5)(cid:79)(cid:18)a(cid:145)(cid:146)a<x <x (cid:54)(cid:187)(cid:217)(cid:117)x >a(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x > f x (cid:54)
0 1 1 1 1 3 1
(cid:232)(cid:46)(cid:497) f x£ f x(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:497)(cid:143)(cid:257)(cid:12)(cid:13)(cid:216)(cid:438)(cid:18)(cid:113)
1 3
(cid:223)(cid:336) f x£ f x(cid:51)(cid:438)(cid:54)(cid:485)(cid:486)(cid:497) f x£ f x(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:497)(cid:220)(cid:498)(cid:51)(cid:472)(cid:113)
1 3 2 3
(cid:187)(cid:208) (cid:207)(cid:234)(cid:501)(cid:492)(cid:455)(cid:18)5(cid:257)(cid:207)(cid:234)(cid:121)(cid:54)(cid:214)(cid:123) (cid:207)(cid:234)(1,3,2)(cid:154)(cid:230)(cid:54)(cid:205)(cid:172)(cid:138)(cid:139)n =2(cid:54)
I
① ②
(cid:204)(cid:60)(cid:135)"aÎ0,x (cid:54)(cid:117)x³a(cid:172)(cid:276)(cid:123)(cid:199)
1
F(x+a)+F(x-a)
£1-e-x(cid:54)
2
(cid:187)F(x+a)+F(x-a)£2
 1-e-x
(cid:54)
(cid:229)x=x (cid:54)(cid:204)(cid:60)(cid:135)(cid:132)(cid:133)aÎ0,x (cid:199)
1 1
Fx +a+Fx -a£2  1-e-x1  (cid:54)
1 1
(cid:243)(cid:51)F(x)(cid:304)(cid:305)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:204)Fx +a>Fx (cid:113)
1 1
(cid:204)Fx +Fx -a<2  1-e-x1 
1 1
(cid:244)(cid:243)(cid:51)Fx >1-e-x1+D(cid:54)
1
(cid:204)  1-e-x1+D  +Fx -a<2  1-e-x1 
1
(cid:187)Fx -a<1-e-x1-D(cid:54)(cid:60)(cid:132)(cid:133)aÎ0,x (cid:276)(cid:154)(cid:230)(cid:113)
1 1
(cid:229)t =x -a(cid:54)(cid:243)(cid:51)aÎ0,x (cid:54)(cid:204)tÎ0,x (cid:54)
1 1 1
(cid:204)(cid:60)(cid:135)0,x (cid:56)(cid:18)(cid:132)(cid:133)t(cid:54)(cid:276)(cid:138)(cid:139)F(t)<1-e-x 1-D(cid:54)
1
(cid:243)(cid:51)0<x <x (cid:54)(cid:206)(cid:123)Fx <1-e-x1-D(cid:54)
0 1 0
(cid:231)(cid:216)(cid:54)(cid:502)(cid:330)(cid:493)(cid:148)(cid:146)(cid:160)1-e-x0 >1-e-x1-D(cid:54)(cid:187)1-e-x1 <1-e-x0+D(cid:54)(cid:204)1-e-x1-D<1-e-x0(cid:54)
(cid:204)(cid:123)(cid:199)Fx <1-e-x0(cid:54) (cid:143)(cid:33)(cid:493)(cid:148)(cid:18)(cid:438)(cid:125)(cid:436)(cid:271)(cid:272)(cid:113)
0
(cid:277)(cid:37)(cid:54)(cid:341)(cid:12)(cid:13)(cid:154)(cid:230)(cid:54)(cid:220)(cid:336)(cid:217)(cid:117)aÎ(0,1)(cid:54)(cid:145)(cid:146)n ¹2(cid:113)
I
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:80)(cid:81)I(cid:207)(cid:234)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:190)(cid:188)
(cid:10)2(cid:11)(cid:5)(cid:35)(cid:146)1(cid:54)2(cid:54)3(cid:18)(cid:67)(cid:207)(cid:234)(cid:149)(cid:209)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:54)(cid:204)(cid:146)(cid:160)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:288)(cid:54)(cid:34)(cid:167)(cid:187)(cid:190)(cid:188)
(cid:10)3(cid:11)(cid:484)(cid:69)(cid:257)(cid:101)(cid:235)(cid:5) f (x)£ f (x)(cid:72) f (x)£ f (x)(cid:280)(cid:235)(cid:187)(cid:190)(cid:247)(cid:248)(cid:54)(cid:484)(cid:210)(cid:257)(cid:101)(cid:235)(cid:239)(cid:64)(cid:265)(cid:247)(cid:116)(cid:187)(cid:190)(cid:247)(cid:248).
1 3 2 3
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:146)i=3, j=1(cid:54)
æ 1ö 2 3
(cid:204)(cid:203)I =[3,+¥)(cid:54) f (x)- f (x)=x-x2-1=-çx- ÷ - £0(cid:54)
1 3 è 2ø 4
(cid:204) f (x)£ f (x)(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
1 3
f (x)+ f (x)-f (x)+ f (x)=0+x-  x2+1+x  =-x2-1£0(cid:54)
1 2 3 1
(cid:204) f (x)+ f (x)£ f (x)+ f (x)(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
1 2 i j
(cid:206)(3,1,2)(cid:216)(cid:51)I(cid:207)(cid:234).
(cid:10)2(cid:11)(cid:228)n =6(cid:54)(cid:204)1(cid:54)2(cid:54)3(cid:18)(cid:67)(cid:207)(cid:234)(cid:149)(cid:138)(cid:139)(cid:13)(cid:133)(cid:54)
I
(i, j,k)=(1,2,3)(cid:54)(cid:204)(cid:123)(cid:199) f (x)£ f (x), f (x)+ f (x)£ f (x)+ f (x)(cid:54)(cid:205)(cid:172)(cid:168)(cid:257)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:335)(cid:336)(cid:154)(cid:230)(cid:113)
1 1 1 2 1 2
①
(i, j,k)=(1,3,2)(cid:54)(cid:204)(cid:123)(cid:199) f (x)£ f (x), f (x)+ f (x)£ f (x)+ f (x)(cid:54)(cid:187) f (x)£ f (x).
1 1 1 2 1 3 2 3
②
(i, j,k)=(2,1,3)(cid:54)(cid:204)(cid:123)(cid:199) f (x)£ f (x), f (x)+ f (x)£ f (x)+ f (x)(cid:54)(cid:187) f (x)£ f (x).
1 2 1 2 2 1 1 2
③
(i, j,k)=(2,3,1)(cid:54)(cid:204)(cid:123)(cid:199) f (x)£ f (x), f (x)+ f (x)£ f (x)+ f (x)(cid:54)(cid:187) f (x)£ f (x), f (x)£ f (x).
1 2 1 2 2 3 1 2 1 3
④
(i, j,k)=(3,1,2)(cid:54)(cid:204)(cid:123)(cid:199) f (x)£ f (x), f (x)£ f (x)(cid:113)
1 3 2 3
⑤
(i, j,k)=(3,2,1)(cid:54)(cid:204)(cid:123)(cid:199) f (x)£ f (x), f (x)+ f (x)£ f (x)+ f (x)(cid:54)(cid:187) f (x)£ f (x).
1 3 1 2 3 2 1 3
⑥
ìf (x)£ f (x)
1 2
ï
f (x)£ f (x)
ï 1 3
ï
(cid:204)(cid:37)(cid:278)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:149)(cid:107)(cid:154)(cid:230)(cid:54)(cid:229)(cid:147)(cid:148)(cid:18)(cid:309)(cid:425)(cid:123)íf (x)+ f (x)£ f (x)+ f (x) (cid:54)
1 2 1 3
ï
f (x)+ f (x)£ f (x)+ f (x)
ï 1 2 2 3
ïîx>0
(cid:187) f (x)£ f (x)£ f (x)(cid:54)(cid:187)x-1£x+m£x2(cid:60)"x>0(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
1 2 3ì m³-1 æ 1ö 2 1 1
(cid:5)(cid:408)(cid:83)(cid:17)(cid:146)í (cid:54)(cid:243)(cid:51)(cid:203)x>0(cid:172)(cid:54)y=x2-x=çx- ÷ - ³- (cid:54)
îm£x2-x è 2ø 4 4
1
(cid:232)(cid:46)-1£m£- .
4
(cid:10)3(cid:11)(cid:503).
36(cid:113)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f x(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)R(cid:54)(cid:233)(cid:203)x<0(cid:172)(cid:54) f x=2x(cid:113)(cid:60)(cid:132)(cid:133)x ÎR(cid:54)
0
(cid:28)(cid:29)(cid:425)(cid:102)Dx =  dÎR f x +d> f x  (cid:113)
0 0 0
(1)(cid:228)(cid:203)x³0(cid:172)(cid:54) f x=1-x(cid:54)(cid:25)D-1(cid:188)
(2)(cid:228) f x(cid:216)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54) f x £ f x (cid:54)(cid:233)xx ¹0(cid:54)(cid:247)(cid:248)(cid:199)Dx ÍDx (cid:188)
1 2 1 2 2 1
(3)(cid:125) f x(cid:138)(cid:139)(cid:199) (cid:228) f x £ f x (cid:54)(cid:204)Dx ÍDx (cid:188) (cid:203)0<x<1(cid:172)(cid:54) f x< f 0(cid:113)
1 2 2 1
(cid:10)i(cid:11)(cid:247)(cid:248)(cid:199) f(0)³①1(cid:188) ②
(cid:10)ii(cid:11)(cid:247)(cid:248)(cid:199) f(x)(cid:117)(cid:169)(cid:170)0,+¥(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:113)
æ 3ö
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(1)D-1=ç0,
÷
è 2ø
(2)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:247)(cid:248)(cid:310)(cid:177)(cid:199)
(cid:117) f x(cid:121)(cid:54) f x(cid:216)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:203)x<0(cid:172)(cid:54) f x=2xÎ0,1(cid:113)
f 0=0(cid:54)(cid:203)x>0(cid:172)(cid:54) fx=-f-x=-2-xÎ-1,0(cid:54)
∴
ì2x,x<0
ï
f x=í0,x=0
ï -2-x,x>0
î
∴
(cid:117)(cid:425)(cid:102)Dx =  dÎR f x +d> f x  (cid:121)(cid:54)
0 0 0
(cid:203)x <0(cid:172)(cid:54)Dx =  dÎR f x +d> f x  =0,-x (cid:54)
0 0 0 0 0
(cid:203)x =0(cid:172)(cid:54)Dx =  dÎR f x +d> f x  =-¥,-x (cid:54)
0 0 0 0 0
(cid:203)x >0(cid:172)(cid:54)Dx =  dÎR f x +d> f x  =-¥,-x È0,+¥(cid:54)
0 0 0 0 0
ì0,-x,x<0
ï
Dx=í -¥,0,x=0 (cid:54)
ï-¥,-xÈ0,+¥,x>0
î
∴xx ¹0(cid:54)
1 2
∵
x ¹0(cid:233)x ¹0(cid:54)(cid:187) f x ¹0(cid:54) f x ¹0(cid:54)
1 2 1 2
∴
f x £ f x (cid:54)
1 2
∵
(cid:203) f x £ f x <0(cid:172)(cid:54)(cid:34)(cid:146)0<x £x (cid:54)
1 2 1 2
∴①
Dx =-¥,-x 
U
0,+¥(cid:54)Dx =-¥,-x 
U
0,+¥(cid:54)
1 1 2 2
(cid:205)(cid:172)Dx ÍDx (cid:54)
2 1
(cid:203) f x <0< f x (cid:172)(cid:54)(cid:34)(cid:146)x <0<x (cid:54)
1 2 2 1
②
Dx =-¥,-x 
U
0,+¥(cid:54)Dx =0,-x (cid:54)
1 1 2 2
(cid:205)(cid:172)Dx ÍDx (cid:54)
2 1
(cid:203)0< f x £ f x (cid:172)(cid:54)(cid:34)(cid:146)x £x <0(cid:54)
1 2 1 2
③
Dx =0,-x (cid:54)Dx =0,-x (cid:54)
1 1 2 2
(cid:205)(cid:172)Dx ÍDx (cid:54)
2 1
(cid:277)(cid:37)(cid:54)Dx ÍDx 
.
2 1
(3)(cid:10)i(cid:11)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:247)(cid:248)(cid:310)(cid:177)(cid:54)
(cid:116)(cid:69)(cid:199)
(cid:228) f 0<1(cid:54)(cid:204)(cid:217)(cid:117)tÎ-1,0(cid:54)(cid:145)(cid:146) f t³ f 0(cid:54)
(cid:221)(cid:222) (cid:199)(cid:228) f x £ f x (cid:54)(cid:204)Dx ÍDx (cid:54)
1 2 2 1
①
f 0£ f t(cid:54)(cid:204)DtÍD0(cid:54)
∴ t æt ö
(cid:229)d =- (cid:54)(cid:204) f t+d = f ç ÷> f t(cid:54)(cid:205)(cid:172)d ÎDt(cid:54)
0 2 0 è2ø 0
t æ 1ö
d =- Îç0, ÷(cid:54)(cid:204) f d < f 0(cid:54)(cid:187)d D0(cid:54)
0 2 è 2ø 0 0
∵
(cid:231)d ÎDtÍD0Þd ÎD0(cid:54)(cid:436)(cid:271)(cid:272)(cid:54)
0 0
f(0)³1
∴(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:438)(cid:125) f 0<1(cid:54)(cid:204)(cid:217)(cid:117)tÎ0,2(cid:54)(cid:145)(cid:146) f -t=2-t ³ f 0(cid:54)
t æt ö
(cid:174)(cid:175)d = Î0,tÍD-tÍD0(cid:54)(cid:143)(cid:469)(cid:161) f ç ÷> f 0(cid:54)
1 2 è2ø
t
(cid:231) Î0,1(cid:54)
2
æt ö
(cid:80)(cid:81)(cid:221)(cid:222)(cid:244)(cid:123) f ç ÷< f 0(cid:54)(cid:271)(cid:272)(cid:54)
è2ø
∵
(cid:438)(cid:125)(cid:219)(cid:154)(cid:230)(cid:54) f 0³1.
∴(cid:10)ii(cid:11)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:54)(cid:10)2(cid:11)(cid:21)(cid:10)3(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:247)(cid:248)(cid:310)(cid:177)(cid:54)
(cid:117)(cid:425)(cid:102)Dx =  dÎR f x +d> f x  (cid:121)(cid:54)
0 0 0
(cid:107)(cid:247) f x(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)
(cid:187)(cid:106)(cid:247)"x >0(cid:54)d >0(cid:54)(cid:276)(cid:123)dÎDx (cid:54)
0 0
(cid:187)(cid:106)(cid:247)"x >0(cid:54)d >0(cid:54)(cid:276)(cid:123) f x +d> f x (cid:54)
0 0 0
(cid:166)(cid:247)(cid:248)(cid:199)(cid:203)x>0(cid:172)(cid:54) f x£0(cid:54)
①
(cid:438)(cid:125)$x >0(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x >0(cid:54)
0 0
(cid:203)x<0(cid:172)(cid:54) f x=2x(cid:54)
∵
$x <0(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x £ f x (cid:54)
1 1 0
∴
Dx ÍDx (cid:54)
0 1
∴
(cid:175)(cid:203)x <0(cid:172)(cid:54)Dx Í0,+¥(cid:54)
1 1
(cid:474)(cid:204)$d <0(cid:54)(cid:145)(cid:146)dÎDx (cid:54) f x +d> f x (cid:54)(cid:33) f x +d£ f x (cid:271)(cid:272)(cid:54)
1 1 1 1 1
Dx Í0,+¥(cid:54)
0
∴
-x Dx (cid:54)
0 0
∴
f 0= f x +-x £ f x (cid:54)
0 0 0
∴
(cid:224)(cid:10)3(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:146)(cid:54) f 0³1(cid:54)
(cid:204) f x ³1(cid:54)
0(cid:224)(cid:221)(cid:222) (cid:199)(cid:203)0<x<1(cid:172)(cid:54) f x< f 0(cid:54)
②
(cid:204)x ³1(cid:54)
0
(cid:474)(cid:204)x <1(cid:172)(cid:54) f x < f 0(cid:33) f 0£ f x (cid:271)(cid:272)(cid:54)
0 0 0
(cid:228)$x >0(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x >0(cid:54)(cid:204)x ³1(cid:54) f x ³1(cid:54)(cid:10)*(cid:11)
0 0 0 0
∴
$x <x <0(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x < f x < f x (cid:54)
2 3 2 3 0
∴
(cid:204)Dx ÊDx ÊDx (cid:54)
2 3 0
(cid:274)d =x -x >1(cid:54) f x +d= f x > f x (cid:54)
0 3 3 0 3
(cid:205)(cid:172)dÎDx (cid:54)(cid:204)dÎDx (cid:54)(cid:204) f x +d> f x >0(cid:54)
3 2 2 2
f x -x -x >0(cid:54)
0 3 2
∴
x -x Î0,+¥(cid:54)
3 2
∵
(cid:307)(cid:229)x (cid:54)x (cid:138)(cid:139)x -x -x Î0,1(cid:54)$uÎ0,1(cid:145)(cid:146) f u>0(cid:54)
3 2 0 3 2
∴
(cid:80)(cid:81)(cid:10)*(cid:11)(cid:190)(cid:146)(cid:54)(cid:205)(cid:172)u³1(cid:54)(cid:33)uÎ0,1(cid:271)(cid:272)(cid:54)
(cid:203)x>0(cid:172)(cid:54) f x£0(cid:54)
∴
(cid:247)(cid:248)(cid:199)(cid:60)"x >0(cid:54)d >0(cid:54)(cid:276)(cid:123)dÎDx (cid:54)
0 0
②
"x >0(cid:54)x <0(cid:54)(cid:276)(cid:123) f x <0< f x (cid:54)
0 4 0 4
∵
Dx ÊDx (cid:54)
0 4
∴
(cid:60)(cid:132)(cid:133)(cid:253)(cid:28)(cid:18)d >0(cid:54)(cid:229)x <-d(cid:54)(cid:204) f x +d> f x Þ dÎDx ÍDx (cid:54)
4 4 4 4 0
(cid:60)"x >0(cid:54)d >0(cid:54)(cid:276)(cid:123)dÎDx (cid:54)
0 0
∴
f x(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258).
∴
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:25)(cid:167) f -1(cid:54)(cid:504)(cid:167) f x(cid:23)(cid:505)(cid:36)(cid:54)(cid:187)(cid:190)(cid:25)(cid:167)D-1(cid:188)
(cid:10)2(cid:11)(cid:25)(cid:167) f x(cid:23)(cid:505)(cid:36)(cid:54)(cid:213)(cid:291)(cid:425)(cid:102)Dx (cid:269)(cid:146)(cid:167)(cid:23)(cid:505)(cid:36)(cid:54)(cid:239)(cid:64)xx ¹0(cid:146)(cid:167) f x ¹0(cid:33) f x ¹0(cid:54)(cid:60)
0 1 2 1 2
f x £ f x (cid:18)(cid:446)(cid:324)(cid:9)(cid:443)(cid:157)(cid:158)(cid:5)(cid:6)(cid:280)(cid:235)(cid:54)(cid:187)(cid:190)(cid:247)(cid:248)(cid:101)(cid:235)(cid:188)
1 2t
(cid:10)3(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:438)(cid:125) f 0<1(cid:54)(cid:204)(cid:217)(cid:117)tÎ-1,0(cid:54)(cid:145)(cid:146) f t³ f 0(cid:54)(cid:229)d =- (cid:54)(cid:25)(cid:167)d ÎDt(cid:54)(cid:33)
0 2 0
t æ 1ö
d =- Îç0, ÷(cid:271)(cid:272)(cid:54)(cid:157)(cid:175)(cid:247)(cid:248)(cid:101)(cid:235)(cid:188)
0 2 è 2ø
t
(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:438)(cid:125) f 0<1(cid:54)(cid:204)(cid:217)(cid:117)tÎ0,2(cid:54)(cid:145)(cid:146) f -t=2-t ³ f 0(cid:54)(cid:229)d = Î0,1(cid:54)(cid:25)(cid:167)d ÎDt(cid:54)(cid:33)
1 2 1
t æt ö
d = Î0,1(cid:172) f ç ÷< f 0(cid:271)(cid:272)(cid:54)(cid:157)(cid:175)(cid:247)(cid:248)(cid:101)(cid:235)(cid:188)
1 2 è2ø
(cid:10)ii(cid:11)(cid:176)(cid:247)(cid:248)(cid:421)(cid:213)(cid:51)(cid:247)"x >0(cid:54)d >0(cid:54)(cid:276)(cid:123) f x +d> f x (cid:54)(cid:166)(cid:247)(cid:248)(cid:199)(cid:203)x>0(cid:172)(cid:54) f x£0(cid:54)(cid:227)(cid:247)(cid:248)(cid:60)
0 0 0
"x >0(cid:54)d >0(cid:54)(cid:276)(cid:123)dÎDx (cid:54)(cid:157)(cid:175)(cid:247)(cid:248)(cid:167) f x(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258).
0 0
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:54)
ì2x,x<0 1
(cid:117) f x(cid:121)(cid:54) f x=í (cid:54) f -1= (cid:54)
î1-x,x³0 2
(cid:117)Dx =  dÎR f x +d> f x  (cid:121)(cid:54)
0 0 0
D-1=  dÎR f -1+d> f -1 = ì ídÎR f -1+d> 1ü ý(cid:54)
î 2þ
1
f -1+d> (cid:54)
2
∴ 1
(cid:203)-1+d <0(cid:172)(cid:54)2-1+d > =2-1(cid:54)-1+d >-1(cid:54)(cid:34)(cid:146)d >0(cid:54)
2
1 3
(cid:203)-1+d ³0(cid:172)(cid:54)1--1+d> (cid:54)(cid:34)(cid:146)d < (cid:54)
2 2
3
0<d < (cid:54)
2
∴ æ 3ö
D-1=ç0, ÷.
è 2ø
∴(cid:10)2(cid:11)(cid:503)
(cid:10)3(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:503)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:503)
37(cid:113)（2025·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17)y= f x(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:216)D(cid:113)(cid:60)(cid:135)tÎD(cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:425)(cid:102)S =  x f x³ f t (cid:113)
ft
(1) f x=log x(cid:54)(cid:25)S (cid:188)
2 f16
(2)(cid:60)(cid:135)(cid:425)(cid:102)A(cid:54)(cid:228)(cid:60)(cid:132)(cid:133)xÎA(cid:276)(cid:123)-xÎA(cid:54)(cid:204)(cid:89)A(cid:216)(cid:60)(cid:89)(cid:425)(cid:113)(cid:228)D(cid:216)(cid:60)(cid:89)(cid:425)(cid:54)(cid:247)(cid:248)(cid:199)“(cid:16)(cid:17)y= f x(cid:216)(cid:86)
(cid:16)(cid:17)”(cid:18)(cid:218)(cid:107)(cid:221)(cid:222)(cid:216)“(cid:60)(cid:132)(cid:133)tÎD(cid:54)S (cid:216)(cid:60)(cid:89)(cid:425)”(cid:188)
ft1
(3)(cid:228)xÎR(cid:54) f x=ex- mx2(cid:113)(cid:25)m(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:54)(cid:145)(cid:146)(cid:60)(cid:135)(cid:132)(cid:133)t <t ÎD(cid:54)(cid:276)(cid:123)S ÍS (cid:113)
2 1 2 ft 2  ft 1 
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(1)
x x³16
(2)(cid:247)(cid:248)(cid:430)(cid:198)(cid:34)
(3)
0,e
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:80)(cid:81)(cid:60)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:187)(cid:190)(cid:25)(cid:34)(cid:188)
(cid:10)2(cid:11)(cid:80)(cid:81)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:60)(cid:89)(cid:425)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:187)(cid:190)(cid:247)(cid:248)(cid:220)(cid:107)(cid:75)(cid:72)(cid:218)(cid:5)(cid:75)(cid:188)
(cid:10)3(cid:11)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:185)(cid:186)(cid:167)(cid:16)(cid:17)(cid:73)(cid:74)(cid:219)(cid:260)(cid:54)(cid:146)(cid:160)(cid:469)(cid:16)(cid:17)(cid:78)(cid:135)(cid:50)(cid:135)0(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:187)(cid:190)(cid:25)(cid:34).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:224)(cid:28)(cid:29)(cid:146)(cid:54)S =  x f x³ f 16 =x log x³log 16=x x³16 .
f16 2 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:247)(cid:248)(cid:199)
(cid:220)(cid:107)(cid:75)(cid:199)(cid:243)(cid:51)(cid:16)(cid:17)y= f x(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:232)(cid:46)(cid:60)(cid:132)(cid:133)xÎD(cid:54) f x= f -x(cid:54)
(cid:60)(cid:132)(cid:133)tÎD(cid:54)(cid:228)xÎS (cid:54)(cid:187) fx³ ft(cid:54)(cid:204) f-x= fx³ ft(cid:54)
ft
(cid:232)(cid:46)-xÎS (cid:54)(cid:232)(cid:46)(cid:60)(cid:132)(cid:133)tÎD(cid:54)S (cid:216)(cid:60)(cid:89)(cid:425).
ft ft
(cid:218)(cid:5)(cid:75)(cid:199)(cid:228)(cid:60)(cid:132)(cid:133)tÎD(cid:54)S (cid:216)(cid:60)(cid:89)(cid:425)(cid:54)
ft
(cid:243)(cid:51)(cid:60)(cid:132)(cid:133)tÎD(cid:54)tÎS (cid:54)(cid:232)(cid:46)-tÎS (cid:54)(cid:187) f-t³ ft (cid:54)
ft ft
①
(cid:244)-tÎS (cid:54)(cid:232)(cid:46)tÎS (cid:54)(cid:187) ft³ f-t .
f-t f-t
②
(cid:224) (cid:146)(cid:54)(cid:60)(cid:132)(cid:133)tÎD(cid:54) f t= f -t(cid:54)
①②
(cid:232)(cid:46)(cid:16)(cid:17)y= f x(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17).
(cid:277)(cid:37)(cid:54)“(cid:16)(cid:17)y= f x(cid:216)(cid:86)(cid:16)(cid:17)”(cid:18)(cid:218)(cid:107)(cid:221)(cid:222)(cid:216)“(cid:60)(cid:132)(cid:133)tÎD(cid:54)S (cid:216)(cid:60)(cid:89)(cid:425)”(cid:54)(cid:146)(cid:247).
ft
(cid:10)3(cid:11)(cid:243)(cid:51)(cid:60)(cid:135)(cid:132)(cid:133)t <t ÎD(cid:54)(cid:276)(cid:123)S ÍS (cid:54)
1 2 ft 2  ft 1 
(cid:232)(cid:46)(cid:228)xÎS (cid:54)(cid:204)xÎS (cid:54)(cid:187)(cid:228) fx³ ft (cid:54)(cid:204) fx³ ft (cid:54)
ft2  ft1  2 1
(cid:232)(cid:46) ft ³ ft (cid:54)(cid:232)(cid:46) f x(cid:117)R(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:219)(cid:260)(cid:54)
2 1
(cid:232)(cid:46)(cid:60)(cid:132)(cid:133)xÎR(cid:54) f¢x=ex -mx³0(cid:259)(cid:154)(cid:230).
(cid:203)x=0(cid:172)(cid:54)(cid:335)(cid:336)(cid:154)(cid:230)(cid:54)mÎR(cid:188)ex ex x-1ex
(cid:203)x>0(cid:172)(cid:54)m£ (cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:54)(cid:274)gx= (cid:54)g¢x= (cid:54)
x x x2
(cid:232)(cid:46)gx(cid:117)0,1(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)1,+¥(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:232)(cid:46)m£gx =g1=e(cid:188)
min
(cid:203)x<0(cid:172)(cid:54)m³
ex
(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:54)(cid:205)(cid:172)g¢x=
x-1ex
<0
x x2
(cid:243)(cid:51)gx(cid:117)-¥,0(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:203)x®-¥(cid:172)(cid:54)gx®0,gx<0(cid:54)
x<0,x®0(cid:172)(cid:54)gx®-¥(cid:54)
(cid:232)(cid:46)m³0(cid:188)
(cid:277)(cid:37)(cid:54)mÎ0,e.
(cid:162)(cid:4)(cid:249)(cid:165)(cid:250)(cid:251)(cid:4)(cid:4)(cid:249)(cid:199)(cid:16)(cid:17)(cid:117)(cid:169)(cid:170)(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:219)(cid:260)(cid:50)(cid:282)(cid:135)(cid:469)(cid:16)(cid:17)(cid:117)(cid:169)(cid:170)(cid:37)(cid:78)(cid:135)(cid:50)(cid:135)0(cid:259)(cid:154)(cid:230).
38(cid:113)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:125)a>0(cid:54)(cid:16)(cid:17) f(x)=2 x-a -a(cid:113)
(1)(cid:25)(cid:219)(cid:50)(cid:36) f x<x(cid:18)(cid:34)(cid:425)(cid:188)
(2)(cid:228)(cid:445)(cid:137)y= f x(cid:33)x(cid:136)(cid:232)(cid:153)(cid:154)(cid:18)(cid:31)(cid:110)(cid:18)(cid:126)(cid:444)(cid:51)2(cid:54)(cid:25)a(cid:113)
æa ö
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(1)ç ,3a÷
è3 ø
(2)2
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:5)x£a(cid:72)x>a(cid:280)(cid:235)(cid:187)(cid:190);
(cid:10)2(cid:11)(cid:504)(cid:167)(cid:5)(cid:82)(cid:16)(cid:17),(cid:506)(cid:167)(cid:507)(cid:31),(cid:23)(cid:505)(cid:126)(cid:444)(cid:34)(cid:97)(cid:98)(cid:187)(cid:190).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:228)x£a,(cid:204) f(x)=2a-2x-a<x,
a a
(cid:187)3x>a,(cid:34)(cid:146)x> ,(cid:187) <x£a,
3 3
(cid:228)x>a,(cid:204) f(x)=2x-2a-a<x,
(cid:34)(cid:146)x<3a,(cid:187)a< x<3a,
æa ö
(cid:277)(cid:37),(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:18)(cid:34)(cid:425)(cid:51)ç ,3a÷.
è3 ø
ì-2x+a,x£a
(cid:10)2(cid:11) f(x)=í .
î2x-3a,x>a
(cid:506)(cid:167) f(x)(cid:18)(cid:507)(cid:31),(cid:204) f(x)(cid:33)x(cid:136)(cid:153)(cid:154) ABC,
æa ö æ3a ö
ABC(cid:18)(cid:43)(cid:51)a,Aç ,0÷,Bç ,0÷,(cid:232) △ (cid:46)|AB|=a,
è2 ø è 2 ø
△ 1 1
(cid:232)(cid:46)S = |AB|×a= a2 =2,(cid:34)(cid:146)a=2.
VABC 2 2考点 04 函数的零点与方程的根
1(cid:113)（2025·天津·高考真题）(cid:16)(cid:17) f(x)=0.3x- x(cid:18)(cid:96)(cid:4)(cid:232)(cid:117)(cid:169)(cid:170)(cid:216)(cid:10) (cid:11)
A(cid:113)(0,0.3) B(cid:113)(0.3,0.5) C(cid:113)(0.5,1) D(cid:113)(1,2)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)B
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:239)(cid:64)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:33)(cid:58)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:101)(cid:102)(cid:96)(cid:4)(cid:217)(cid:117)(cid:75)(cid:28)(cid:71)(cid:192)(cid:62)(cid:187)(cid:190).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:224)(cid:59)(cid:17)(cid:16)(cid:17)(cid:27)(cid:58)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:190)(cid:104)(cid:199)y=0.3x(cid:117)R(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)y= x(cid:117)0,+¥(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)
(cid:232)(cid:46) f x=0.3x- x(cid:117)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)
(cid:335)(cid:336) f 0=1>0, f 0.3=0.30.3-0.30.5 >0, f 0.5=0.30.5-0.50.5 <0(cid:54)
(cid:232)(cid:46)(cid:80)(cid:81)(cid:96)(cid:4)(cid:217)(cid:117)(cid:75)(cid:28)(cid:71)(cid:190)(cid:104) f x(cid:18)(cid:96)(cid:4)(cid:302)(cid:135)0.3,0.5.
(cid:206)(cid:182)(cid:199)B
2(cid:113)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:125)(cid:16)(cid:17) f(x)=a(x+1)2-1(cid:54)g(x)=cosx+2ax(cid:54)(cid:203)xÎ(-1,1)(cid:172)(cid:54)(cid:445)(cid:137)y= f(x)
(cid:33)y=g(x)(cid:468)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:309)(cid:4)(cid:54)(cid:204)a=(cid:10) (cid:11)
1
A(cid:113)−1 B(cid:113) C(cid:113)1 D(cid:113)2
2
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)D
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:34)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:274)Fx=ax2+a-1,Gx=cosx(cid:54)(cid:5)(cid:35)(cid:190)(cid:104)(cid:445)(cid:137)y=F(x)(cid:33)y=G(x)(cid:468)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:309)(cid:4)(cid:54)(cid:101)(cid:102)
(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:60)(cid:89)(cid:75)(cid:190)(cid:104)(cid:195)(cid:309)(cid:4)(cid:214)(cid:296)(cid:117)y(cid:136)(cid:37)(cid:54)(cid:187)(cid:190)(cid:146)a=2(cid:54)(cid:269)(cid:237)(cid:238)(cid:454)(cid:270)(cid:187)(cid:190)(cid:188)(cid:34)(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:274)
hx= f(x)-gx,xÎ-1,1(cid:54)(cid:190)(cid:104)hx(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:60)(cid:89)(cid:75)(cid:190)(cid:104)hx(cid:18)(cid:96)(cid:4)(cid:214)(cid:296)(cid:51)0(cid:54)(cid:187)(cid:190)(cid:146)
a=2(cid:54)(cid:269)(cid:237)(cid:238)(cid:454)(cid:270)(cid:187)(cid:190).(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:34)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:274) f(x)=gx(cid:54)(cid:187)a(x+1)2-1=cosx+2ax(cid:54)(cid:190)(cid:146)ax2+a-1=cosx(cid:54)
(cid:274)Fx=ax2+a-1,Gx=cosx(cid:54)
(cid:341)(cid:13)(cid:133)(cid:50)(cid:282)(cid:135)(cid:203)xÎ(-1,1)(cid:172)(cid:54)(cid:445)(cid:137)y=F(x)(cid:33)y=G(x)(cid:468)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:309)(cid:4)(cid:54)
(cid:389)(cid:133)(cid:160)Fx,Gx(cid:149)(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:190)(cid:104)(cid:195)(cid:309)(cid:4)(cid:214)(cid:296)(cid:117)y(cid:136)(cid:37)(cid:54)
(cid:190)(cid:146)F0=G0(cid:54)(cid:187)a-1=1(cid:54)(cid:34)(cid:146)a=2(cid:54)
(cid:228)a=2(cid:54)(cid:274)Fx=Gx(cid:54)(cid:190)(cid:146)2x2+1-cosx=0
(cid:243)(cid:51)xÎ-1,1(cid:54)(cid:204)2x2 ³0,1-cosx³0(cid:54)(cid:203)(cid:233)(cid:418)(cid:203)x=0(cid:172)(cid:54)(cid:50)(cid:264)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
(cid:190)(cid:146)2x2+1-cosx³0(cid:54)(cid:203)(cid:233)(cid:418)(cid:203)x=0(cid:172)(cid:54)(cid:50)(cid:264)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
(cid:204)(cid:97)(cid:98)2x2+1-cosx=0(cid:123)(cid:233)(cid:418)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:289)(cid:80)0(cid:54)(cid:187)(cid:445)(cid:137)y=F(x)(cid:33)y=G(x)(cid:468)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:309)(cid:4)(cid:54)
(cid:232)(cid:46)a=2(cid:209)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:188)
(cid:277)(cid:37)(cid:232)(cid:278)(cid:199)a=2.
(cid:34)(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:274)hx= f(x)-gx=ax2+a-1-cosx,xÎ-1,1(cid:54)
(cid:341)(cid:13)(cid:133)(cid:50)(cid:282)(cid:135)hx(cid:123)(cid:233)(cid:418)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)
(cid:243)(cid:51)h-x=a-x2+a-1-cos-x=ax2+a-1-cosx=hx(cid:54)
(cid:204)hx(cid:51)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
(cid:80)(cid:81)(cid:86)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:60)(cid:89)(cid:75)(cid:190)(cid:104)hx(cid:18)(cid:96)(cid:4)(cid:214)(cid:296)(cid:51)0(cid:54)
(cid:187)h0=a-2=0(cid:54)(cid:34)(cid:146)a=2(cid:54)
(cid:228)a=2(cid:54)(cid:204)hx=2x2+1-cosx,xÎ-1,1(cid:54)
(cid:244)(cid:243)(cid:51)2x2 ³0,1-cosx³0(cid:203)(cid:233)(cid:418)(cid:203)x=0(cid:172)(cid:54)(cid:50)(cid:264)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
(cid:190)(cid:146)hx³0(cid:54)(cid:203)(cid:233)(cid:418)(cid:203)x=0(cid:172)(cid:54)(cid:50)(cid:264)(cid:154)(cid:230)(cid:54)
(cid:187)hx(cid:123)(cid:233)(cid:418)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:96)(cid:4)0(cid:54)(cid:232)(cid:46)a=2(cid:209)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:188)
(cid:206)(cid:182)(cid:199)D.
3(cid:113)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:228)(cid:16)(cid:17) f x=2x+22-x-m(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:204)m(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:216)__________(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)4,+¥4
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:97)(cid:116)(cid:69)(cid:199)(cid:274)t=2x,(cid:204)2x+22-x-m=0(cid:187)t+ -m=0(cid:54)t2-mt+4=0(t >0),(cid:421)(cid:213)(cid:51)(cid:69)(cid:426)(cid:210)(cid:159)(cid:97)(cid:98)
t
t2-mt+4=0(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:236)(cid:80)(cid:18)(cid:394)(cid:13).
(cid:97)(cid:116)(cid:210)(cid:199)(cid:279)(cid:16)(cid:17) f x=2x+22-x-m(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:421)(cid:213)(cid:51)(cid:97)(cid:98)2x+22-x-m=0(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:289)(cid:17)(cid:80)(cid:18)(cid:394)(cid:13)(cid:54)(cid:227)(cid:421)(cid:213)(cid:51)
2x+22-x =m,(cid:187)(cid:16)(cid:17)y=2x+22-x(cid:33)(cid:16)(cid:17)y=m(cid:309)(cid:4)(cid:394)(cid:13).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:274) f x=2x+22-x-m=0(cid:54)(cid:146)2x+22-x-m=0(cid:54)(cid:187)2x+22-x =m(cid:54)
(cid:97)(cid:116)(cid:69)(cid:199)
4
(cid:274)t=2x(cid:54)(cid:204)2x+22-x-m=0(cid:54)(cid:187)t+ -m=0(cid:54)t2-mt+4=0(t >0),
t
(cid:204)(cid:69)(cid:426)(cid:210)(cid:159)(cid:97)(cid:98)t2-mt+4=0(t >0)(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:236)(cid:80)(cid:54)
ìΔ=m2-16>0 ìm>4(cid:423)m<-4
(cid:485)(cid:486)í Þí Þm>4(cid:54)
ît +t =m>0 îm>0
1 2
(cid:232)(cid:46)(cid:54)m(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:216)4,+¥
.
(cid:97)(cid:116)(cid:210)(cid:199)
4 4
(cid:125)g(x)=2x+22-x =2x+ (cid:54)(cid:485)(cid:486)(cid:125)u=2x(cid:54)(cid:204)g(u)=u+ ,(u>0)(cid:54)
2x u
(cid:224)(cid:135)g(u)(cid:117)(0,2)(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:117)(2,+¥)(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)
(cid:206)g(x)(cid:117)(-¥,1)(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:117)(1,+¥)(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:233)g1=4(cid:54)
(cid:80)(cid:81)(cid:16)(cid:17)(cid:31)(cid:94)(cid:190)(cid:104)(cid:54)(cid:16)(cid:17) f x(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:204)m(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:216)4,+¥ .
4(cid:113)（2025·上海·高考真题）(cid:250)(cid:135)x(cid:18)(cid:97)(cid:98)|x-1|+|π-x|=π-1(cid:18)(cid:34)(cid:425)(cid:51)__________(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)1,p
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)x(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:245)(cid:290)(cid:60)(cid:26)(cid:54)(cid:5)(cid:6)(cid:280)(cid:235)(cid:34)(cid:97)(cid:98)(cid:187)(cid:190).ìx-1+x-π,x³π ì2x-1-π,x³π
ï ï
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165) x-1+ π-x =íπ-1,1<x<π =íπ-1,1<x<π .
ï ï
î1-x+π-x,x£1 î1+π-2x,x£1
(cid:203)x³π(cid:172)(cid:54)(cid:274)2x-1-π=π-1(cid:146)x=π(cid:188)
(cid:203)1<x<π(cid:172)(cid:54)|x-1|+|π-x|=π-1(cid:259)(cid:154)(cid:230)(cid:188)
(cid:203)x£1(cid:172)(cid:54)(cid:274)1+π-2x=π-1(cid:146)x=1.
(cid:277)(cid:37)(cid:232)(cid:278)(cid:54)(cid:97)(cid:98)|x-1|+|π-x|=π-1(cid:18)(cid:34)(cid:425)(cid:51)1,p
.
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)1,p
.
5(cid:113)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:445)(cid:137)y=x3-3x(cid:33)y=-x-12 +a(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:219)(cid:254)(cid:18)(cid:309)(cid:4)(cid:54)(cid:204)a(cid:18)(cid:229)
(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:51)______(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)-2,1
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:176)(cid:16)(cid:17)(cid:421)(cid:213)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:54)(cid:274)x3-3x=-x-12+a(cid:54)(cid:5)(cid:408)(cid:83)(cid:17)a(cid:54)(cid:267)(cid:268)(cid:42)(cid:16)(cid:17)gx=x3+x2-5x+1,(cid:101)(cid:102)
(cid:469)(cid:17)(cid:25)(cid:146)gx(cid:73)(cid:74)(cid:169)(cid:170)(cid:54)(cid:506)(cid:167)(cid:78)(cid:161)(cid:31)(cid:110)(cid:17)(cid:110)(cid:101)(cid:102)(cid:187)(cid:190)(cid:25)(cid:34).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:274)x3-3x=-x-12+a(cid:54)(cid:187)a=x3+x2-5x+1(cid:54)(cid:274)gx=x3+x2-5x+1x>0,
(cid:204)g¢x=3x2+2x-5=3x+5x-1(cid:54)(cid:274)g¢x=0x>0(cid:146)x=1(cid:54)
(cid:203)xÎ0,1(cid:172)(cid:54)g¢x<0(cid:54)gx(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)
(cid:203)xÎ1,+¥(cid:172)(cid:54)g¢x>0(cid:54)gx(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)g0=1,g1=-2(cid:54)
(cid:243)(cid:51)(cid:445)(cid:137)y=x3-3x(cid:33)y=-x-12+a(cid:117)0,+¥(cid:37)(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:219)(cid:254)(cid:18)(cid:309)(cid:4)(cid:54)
(cid:232)(cid:46)(cid:50)(cid:282)(cid:135)y=a(cid:33)gx(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:309)(cid:4)(cid:54)(cid:232)(cid:46)aÎ-2,1
.
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)-2,16(cid:113)（2024·天津·高考真题）(cid:125)aÎR(cid:54)(cid:16)(cid:17) f x=2 x2-ax- ax-2 +1.(cid:228) f x(cid:468)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:204)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)
(cid:275)(cid:153)(cid:51)______(cid:113)
   
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165) - 3,-1 È 1, 3
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:101)(cid:102)(cid:16)(cid:17)(cid:96)(cid:4)(cid:33)(cid:168)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:309)(cid:4)(cid:18)(cid:250)(cid:130)(cid:54)(cid:267)(cid:268)(cid:16)(cid:17)gx=2 x2-ax (cid:33)hx=í (cid:54)(cid:204)(cid:168)(cid:16)
2
ï1-ax,x<
ïî a
(cid:17)(cid:31)(cid:94)(cid:123)(cid:308)(cid:69)(cid:309)(cid:4)(cid:54)(cid:5)a=0(cid:27)a>0(cid:33)a<0(cid:157)(cid:158)(cid:280)(cid:235)(cid:54)(cid:203)a>0(cid:172)(cid:54)(cid:192)(cid:62)(cid:16)(cid:17)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:190)(cid:146)x³a(cid:423)x£0(cid:54)(cid:192)
(cid:62)(cid:190)(cid:146)aÎ0,2(cid:172)(cid:54)(cid:168)(cid:16)(cid:17)(cid:117)y(cid:136)(cid:452)(cid:211)(cid:123)(cid:69)(cid:309)(cid:4)(cid:54)(cid:204)(cid:214)(cid:106)(cid:450)(cid:160)(cid:203)aÎ0,2(cid:172)(cid:54)(cid:117)y(cid:136)(cid:508)(cid:211)(cid:246)(cid:309)(cid:4)(cid:18)(cid:9)(cid:443)(cid:187)(cid:190)(cid:146)(cid:188)
(cid:203)a<0(cid:172)(cid:54)(cid:201)(cid:254)(cid:69)(cid:97)(cid:36)(cid:280)(cid:235)(cid:187)(cid:190)(cid:146).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:274) f x=0(cid:54)(cid:187)2 x2-ax = ax-2 -1(cid:54)
(cid:224)(cid:13)(cid:190)(cid:146)x2-ax³0(cid:54)
1
(cid:203)a=0(cid:172)(cid:54)xÎR(cid:54)(cid:123)2 x2 = -2 -1=1(cid:54)(cid:204)x=± (cid:54)(cid:219)(cid:209)(cid:102)(cid:107)(cid:25)(cid:54)(cid:424)(cid:245)(cid:188)
2
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a
(cid:203)a>0(cid:172)(cid:54)(cid:204)2 x2-ax = ax-2 -1=í (cid:54)
2
ï1-ax,x<
ïî a
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a
(cid:187)(cid:16)(cid:17)gx=2 x2-ax (cid:33)(cid:16)(cid:17)hx=í (cid:123)(cid:308)(cid:69)(cid:309)(cid:4)(cid:54)
2
ï1-ax,x<
ïî a
(cid:224)x2-ax³0(cid:54)(cid:190)(cid:146)x³a(cid:423)x£0(cid:54)
(cid:203)x£0(cid:172)(cid:54)(cid:204)ax-2<0(cid:54)(cid:204)2 x2-ax = ax-2 -1=1-ax(cid:54)
(cid:187)4x2-4ax=1-ax2(cid:54)(cid:422)(cid:71)(cid:146)  4-a2 x2-2ax-1=é
ë
2+ax+1ù
û
é
ë
2-ax-1ù
û
=0(cid:54)
1
(cid:203)a=2(cid:172)(cid:54)(cid:187)4x+1=0(cid:54)(cid:187)x=- (cid:54)
4
1 1
(cid:203)aÎ0,2(cid:54)x=- (cid:423)x= >0(cid:10)(cid:236)(cid:26)(cid:424)(cid:245)(cid:11)(cid:54)
2+a 2-a
1 1
(cid:203)aÎ2,+¥(cid:172)(cid:54)x=- <0(cid:423)x= <0(cid:54)(cid:123)(cid:168)(cid:34)(cid:54)(cid:424)(cid:245)(cid:54)
2+a 2-a
(cid:187)(cid:203)aÎ0,2(cid:172)(cid:54)2 x2-ax- ax-2 +1=0(cid:117)x£0(cid:172)(cid:123)(cid:308)(cid:69)(cid:34)(cid:54)
(cid:204)(cid:203)aÎ0,2(cid:172)(cid:54)2 x2-ax- ax-2 +1=0(cid:117)x³a(cid:172)(cid:106)(cid:246)(cid:34)(cid:54)(cid:203)aÎ0,2(cid:54)(cid:233)x³a(cid:172)(cid:54)
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a 2 1 3
(cid:224)(cid:16)(cid:17)hx=í (cid:250)(cid:135)x= (cid:60)(cid:89)(cid:54)(cid:274)hx=0(cid:54)(cid:190)(cid:146)x= (cid:423)x= (cid:54)
2 a a a
ï1-ax,x<
ïî a
æ1 2ö æ2 3ö
(cid:233)(cid:16)(cid:17)hx(cid:117)ç , ÷(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:117)ç , ÷(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)
èa aø èa aø
æ aö 2
çx- ÷
(cid:274)gx= y=2 x2-ax (cid:54)(cid:187) è 2ø - y2 =1(cid:54)
a2 a2
4
x2 y2
(cid:206)x³a(cid:172)(cid:54)gx(cid:31)(cid:94)(cid:51)(cid:509)(cid:445)(cid:137) a2 - a2 =1 (cid:508)(cid:510)(cid:18)x(cid:136)(cid:37)(cid:97)(cid:434)(cid:5)(cid:142)(cid:508)(cid:114)(cid:115) a (cid:232)(cid:146)(cid:54)
2
4
x2 y2 a
- =1 y=± x=±2x
(cid:224) a2 a2 (cid:18)(cid:240)(cid:388)(cid:137)(cid:97)(cid:98)(cid:51) a (cid:54)
2
4
æ aö
(cid:187)gx(cid:434)(cid:5)(cid:18)(cid:240)(cid:388)(cid:137)(cid:97)(cid:98)(cid:51)y=2çx- ÷(cid:54)(cid:22)(cid:482)(cid:420)(cid:51)2(cid:54)
è 2ø
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a 2
(cid:244)aÎ0,2(cid:54)(cid:187)hx=í (cid:117)x³ (cid:172)(cid:18)(cid:482)(cid:420)aÎ0,2(cid:54)
2 a
ï1-ax,x<
ïî a
(cid:274)gx=2 x2-ax =0(cid:54)(cid:190)(cid:146)x=a(cid:423)x=0(cid:10)(cid:424)(cid:245)(cid:11)(cid:54)
(cid:233)(cid:16)(cid:17)gx(cid:117)a,+¥(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)
ì1
<a
ï
ïa
(cid:206)(cid:123)í (cid:54)(cid:34)(cid:146)1<a< 3(cid:54)(cid:206)1<a< 3(cid:209)(cid:102)(cid:107)(cid:25)(cid:188)
3
ï >a
ïîa
ì 2
ax-3,x£
ï
ï a
(cid:203)a<0(cid:172)(cid:54)(cid:204)2 x2-ax = ax-2 -1=í (cid:54)
2
ï1-ax,x>
ïî a
ì 2
ax-3,x£
ï
ï a
(cid:187)(cid:16)(cid:17)gx=2 x2-ax (cid:33)(cid:16)(cid:17)hx=í (cid:123)(cid:308)(cid:69)(cid:309)(cid:4)(cid:54)
2
ï1-ax,x>
ïî a
(cid:224)x2-ax³0(cid:54)(cid:190)(cid:146)x³0(cid:423)x£a(cid:54)
(cid:203)x³0(cid:172)(cid:54)(cid:204)ax-2<0(cid:54)(cid:204)2 x2-ax = ax-2 -1=1-ax(cid:54)(cid:187)4x2-4ax=1-ax2(cid:54)(cid:422)(cid:71)(cid:146)  4-a2 x2-2ax-1=é
ë
2+ax+1ù
û
é
ë
2-ax-1ù
û
=0(cid:54)
1
(cid:203)a=-2(cid:172)(cid:54)(cid:187)4x-1=0(cid:54)(cid:187)x= (cid:54)
4
1 1
(cid:203)aÎ-2,0(cid:54)x=- <0(cid:10)(cid:286)(cid:26)(cid:424)(cid:245)(cid:11)(cid:423)x= 0(cid:54)
2+a 2-a
1 1
(cid:203)aÎ-¥,2(cid:172)(cid:54)x=- >0(cid:423)x= >0(cid:54)(cid:123)(cid:168)(cid:34)(cid:54)(cid:424)(cid:245)(cid:54)
2+a 2-a
(cid:187)(cid:203)aÎ-2,0(cid:172)(cid:54)2 x2-ax- ax-2 +1=0(cid:117)x³0(cid:172)(cid:123)(cid:308)(cid:69)(cid:34)(cid:54)
(cid:204)(cid:203)aÎ-2,0(cid:172)(cid:54)2 x2-ax- ax-2 +1=0(cid:117)x£a(cid:172)(cid:106)(cid:246)(cid:34)(cid:54)
(cid:203)aÎ-2,0(cid:54)(cid:233)x£a(cid:172)(cid:54)
ì 2
ax-3,x£
ï
ï a 2 1 3
(cid:224)(cid:16)(cid:17)hx=í (cid:250)(cid:135)x= (cid:60)(cid:89)(cid:54)(cid:274)hx=0(cid:54)(cid:190)(cid:146)x= (cid:423)x= (cid:54)
2 a a a
ï1-ax,x>
ïî a
æ2 1ö æ3 2ö
(cid:233)(cid:16)(cid:17)hx(cid:117)ç , ÷(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)(cid:117)ç , ÷(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)
èa aø èa aø
x2 y2
(cid:254)(cid:71)(cid:190)(cid:146)(cid:199)x£a(cid:172)(cid:54)gx(cid:31)(cid:94)(cid:51)(cid:509)(cid:445)(cid:137) a2 - a2 =1 (cid:452)(cid:510)(cid:18)x(cid:136)(cid:37)(cid:97)(cid:434)(cid:5)(cid:142)(cid:452)(cid:114)(cid:115) a (cid:232)(cid:146)(cid:54)
2
4
æ aö
gx(cid:434)(cid:5)(cid:18)(cid:240)(cid:388)(cid:137)(cid:97)(cid:98)(cid:51)y=-2çx+ ÷(cid:54)(cid:22)(cid:482)(cid:420)(cid:51)−2(cid:54)
è 2ø
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a 2
(cid:244)aÎ-2,0(cid:54)(cid:187)hx=í (cid:117)x< (cid:172)(cid:18)(cid:482)(cid:420)aÎ-2,0(cid:54)
2 a
ï1-ax,x<
ïî a
(cid:274)gx=2 x2-ax =0(cid:54)(cid:190)(cid:146)x=a(cid:423)x=0(cid:10)(cid:424)(cid:245)(cid:11)(cid:54)
(cid:233)(cid:16)(cid:17)gx(cid:117)-¥,a(cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)
ì1
>a
ï
ïa
(cid:206)(cid:123)í (cid:54)(cid:34)(cid:146)- 3<a<-1(cid:54)(cid:206)- 3<a<-1(cid:209)(cid:102)(cid:107)(cid:25)(cid:188)
3
ï <a
ïîa
   
(cid:277)(cid:37)(cid:232)(cid:278)(cid:54)aÎ - 3,-1 È 1, 3 .
   
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199) - 3,-1 È 1, 3 .
(cid:162)(cid:4)(cid:249)(cid:165)(cid:250)(cid:251)(cid:4)(cid:4)(cid:249)(cid:199)(cid:48)(cid:13)(cid:250)(cid:251)(cid:4)(cid:117)(cid:135)(cid:176)(cid:16)(cid:17) f x(cid:18)(cid:96)(cid:4)(cid:394)(cid:13)(cid:421)(cid:213)(cid:51)(cid:16)(cid:17)gx=2 x2-ax (cid:33)(cid:16)(cid:17)ì 2
ax-3,x³
ï
ï a
hx=í (cid:18)(cid:309)(cid:4)(cid:394)(cid:13)(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:190)(cid:176)(cid:22)(cid:5)(cid:154)(cid:168)(cid:257)(cid:16)(cid:17)(cid:470)(cid:471).
2
ï1-ax,x<
ïî a
7(cid:113)（2023·天津·高考真题）(cid:125)aÎR,(cid:16)(cid:17) f x=ax2-2x- x2-ax+1,(cid:228) f x(cid:468)(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:204)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)
(cid:153)(cid:51)_________(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)-¥,0È0,1È1,+¥
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:290)(cid:60)(cid:26)(cid:18)(cid:133)(cid:29)(cid:54)(cid:245)(cid:511)(cid:290)(cid:60)(cid:26)(cid:54)(cid:25)(cid:167)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:227)(cid:80)(cid:81)(cid:80)(cid:217)(cid:117)(cid:18)(cid:221)(cid:222)(cid:187)(cid:190)(cid:185)(cid:186)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:113)
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:203)x2-ax+1³0(cid:172)(cid:54) f x=0Ûa-1x2+a-2x-1=0(cid:54)
(cid:187)éa-1x-1ùx+1=0(cid:54)
ë û
(cid:228)a=1(cid:172)(cid:54)x=-1(cid:54)(cid:205)(cid:172)x2-ax+1³0(cid:154)(cid:230)(cid:188)
1
(cid:228)a¹1(cid:172)(cid:54)x= (cid:423)x=-1(cid:54)
a-1
(cid:228)(cid:97)(cid:98)(cid:123)(cid:69)(cid:80)(cid:51)x=-1(cid:54)(cid:204)1+a+1³0(cid:54)(cid:187)a³-2(cid:233)a¹1(cid:188)
1 æ 1 ö 2 1
(cid:228)(cid:97)(cid:98)(cid:123)(cid:69)(cid:80)(cid:51)x= (cid:54)(cid:204) ç ÷ -a´ +1³0(cid:54)(cid:34)(cid:146)(cid:199)a£2(cid:233)a¹1(cid:188)
a-1 èa-1ø a-1
1
(cid:228)x= =-1(cid:172)(cid:54)a=0(cid:54)(cid:205)(cid:172)1+a+1³0(cid:154)(cid:230)(cid:113)
a-1
(cid:10)2(cid:11)(cid:203)x2-ax+1<0(cid:172)(cid:54) f x=0Ûa+1x2-a+2x+1=0(cid:54)
(cid:187)éa+1x-1ùx-1=0(cid:54)
ë û
(cid:228)a=-1(cid:172)(cid:54)x=1(cid:54)(cid:335)(cid:336)x2-ax+1<0(cid:219)(cid:154)(cid:230)(cid:188)
1
(cid:228)a¹-1(cid:172)(cid:54)x=1(cid:423)x= (cid:54)
a+1
(cid:228)(cid:97)(cid:98)(cid:123)(cid:69)(cid:80)(cid:51)x=1(cid:54)(cid:204)1-a+1<0(cid:54)(cid:187)a>2(cid:188)
1 æ 1 ö 2 1
(cid:228)(cid:97)(cid:98)(cid:123)(cid:69)(cid:80)(cid:51)x= (cid:54)(cid:204) ç ÷ -a´ +1<0(cid:54)(cid:34)(cid:146)(cid:199)a<-2(cid:188)
a+1 èa+1ø a+1
1
(cid:228)x= =1(cid:172)(cid:54)a=0(cid:54)(cid:335)(cid:336)x2-ax+1<0(cid:219)(cid:154)(cid:230)(cid:188)
a+1
(cid:277)(cid:37)(cid:54)
1 1
(cid:203)a<-2(cid:172)(cid:54)(cid:96)(cid:4)(cid:51) (cid:54) (cid:188)
a+1 a-1
1
(cid:203)-2£a<0(cid:172)(cid:54)(cid:96)(cid:4)(cid:51) (cid:54)−1(cid:188)
a-1(cid:203)a=0(cid:172)(cid:54)(cid:214)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:96)(cid:4)−1(cid:188)
1
(cid:203)0<a<1(cid:172)(cid:54)(cid:96)(cid:4)(cid:51) (cid:54)−1(cid:188)
a-1
(cid:203)a=1(cid:172)(cid:54)(cid:214)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:96)(cid:4)−1(cid:188)
1
(cid:203)1<a£2(cid:172)(cid:54)(cid:96)(cid:4)(cid:51) (cid:54)−1(cid:188)
a-1
(cid:203)a>2(cid:172)(cid:54)(cid:96)(cid:4)(cid:51)1,-1(cid:113)
(cid:232)(cid:46)(cid:54)(cid:203)(cid:16)(cid:17)(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:172)(cid:54)a¹0(cid:233)a¹1(cid:113)
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)-¥,0È0,1È1,+¥(cid:113)
(cid:162)(cid:4)(cid:249)(cid:165)(cid:48)(cid:13)(cid:18)(cid:34)(cid:13)(cid:250)(cid:251)(cid:216)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:245)(cid:511)(cid:290)(cid:60)(cid:26)(cid:54)(cid:25)(cid:167)(cid:97)(cid:98)(cid:18)(cid:80)(cid:54)(cid:227)(cid:80)(cid:81)(cid:80)(cid:217)(cid:117)(cid:18)(cid:221)(cid:222)(cid:25)(cid:167)(cid:60)(cid:63)(cid:18)(cid:275)(cid:153)(cid:54)
(cid:336)(cid:180)(cid:80)(cid:81)(cid:275)(cid:153)(cid:280)(cid:235)(cid:80)(cid:10)(cid:423)(cid:96)(cid:4)(cid:11)(cid:18)(cid:257)(cid:17)(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:34)(cid:167)(cid:113)
8(cid:113)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17) f x=coswx-1(w>0)(cid:117)(cid:169)(cid:170)0,2π (cid:123)(cid:233)(cid:418)(cid:123)3(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:204)w(cid:18)
(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:216)________(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)[2,3)
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:274) f(x)=0(cid:54)(cid:146)coswx=1(cid:123)3(cid:257)(cid:80)(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:101)(cid:102)(cid:455)(cid:458)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:75)(cid:84)(cid:187)(cid:190)(cid:146)(cid:34).
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:243)(cid:51)0£x£2π(cid:54)(cid:232)(cid:46)0≤wx≤2wπ(cid:54)
(cid:274) f(x)=coswx-1=0(cid:54)(cid:204)coswx=1(cid:123)3(cid:257)(cid:80)(cid:54)
(cid:274)t =wx(cid:54)(cid:204)cost =1(cid:123)3(cid:257)(cid:80)(cid:54)(cid:22)(cid:121)tÎ[0,2wπ](cid:54)
(cid:101)(cid:102)(cid:455)(cid:458)(cid:16)(cid:17)y=cost(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:75)(cid:84)(cid:190)(cid:146)4π£2wπ<6π(cid:54)(cid:206)2£w<3(cid:54)
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)[2,3).
9(cid:113)（2022·天津·高考真题）(cid:125)aÎR(cid:54)(cid:60)(cid:132)(cid:133)(cid:289)(cid:17)x(cid:54)(cid:64) f x(cid:23)(cid:24) x -2,x2-ax+3a-5(cid:121)(cid:18)(cid:77)(cid:79)(cid:512)(cid:113)(cid:228)(cid:16)(cid:17)
f x(cid:487)(cid:488)(cid:123)3(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:204)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:51)______.
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)a³10
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:125)gx=x2-ax+3a-5(cid:54)hx= x -2(cid:54)(cid:5)(cid:35)(cid:190)(cid:104)(cid:16)(cid:17)gx(cid:487)(cid:488)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:190)(cid:146)(cid:167)Δ³0(cid:54)(cid:25)(cid:167)
a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:54)(cid:336)(cid:180)(cid:60)(cid:289)(cid:17)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:157)(cid:158)(cid:5)(cid:6)(cid:280)(cid:235)(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:13)(cid:133)(cid:190)(cid:146)(cid:167)(cid:250)(cid:135)(cid:289)(cid:17)a(cid:18)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:54)(cid:277)(cid:102)(cid:190)(cid:25)(cid:146)
(cid:289)(cid:17)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153).(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:125)gx=x2-ax+3a-5(cid:54)hx= x -2(cid:54)(cid:224) x -2=0(cid:190)(cid:146)x=±2.
(cid:107)(cid:145)(cid:146)(cid:16)(cid:17) f x(cid:487)(cid:488)(cid:123)3(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:204)(cid:16)(cid:17)gx(cid:487)(cid:488)(cid:123)(cid:69)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:204)D=a2-12a+20³0(cid:54)
(cid:34)(cid:146)a£2(cid:423)a³10.
(cid:203)a=2(cid:172)(cid:54)gx=x2-2x+1(cid:54)(cid:95)(cid:167)(cid:16)(cid:17)gx(cid:27)hx(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:310)(cid:177)(cid:31)(cid:232)(cid:24)(cid:199)
①
(cid:205)(cid:172)(cid:16)(cid:17) f x(cid:214)(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:219)(cid:102)(cid:513)(cid:13)(cid:133)(cid:188)
(cid:203)a<2(cid:172)(cid:54)(cid:125)(cid:16)(cid:17)gx(cid:18)(cid:168)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:5)(cid:171)(cid:51)x (cid:27)x x <x (cid:54)
1 2 1 2
②
(cid:107)(cid:145)(cid:146)(cid:16)(cid:17) f x(cid:487)(cid:488)(cid:123)3(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:204)x £-2(cid:54)
2
ìa
ï <-2
(cid:232)(cid:46)(cid:54)í2 (cid:54)(cid:34)(cid:146)aÎÆ(cid:188)
ïg-2=4+5a-5³0
î
(cid:203)a=10(cid:172)(cid:54)gx=x2-10x+25(cid:54)(cid:95)(cid:167)(cid:16)(cid:17)gx(cid:27)hx(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:310)(cid:177)(cid:31)(cid:232)(cid:24)(cid:199)
③
(cid:224)(cid:31)(cid:190)(cid:104)(cid:54)(cid:16)(cid:17) f x(cid:18)(cid:96)(cid:4)(cid:257)(cid:17)(cid:51)3(cid:54)(cid:102)(cid:513)(cid:13)(cid:133)(cid:188)
(cid:203)a>10(cid:172)(cid:54)(cid:125)(cid:16)(cid:17)gx(cid:18)(cid:168)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:5)(cid:171)(cid:51)x (cid:27)x x <x (cid:54)
3 4 3 4
④
(cid:107)(cid:145)(cid:146)(cid:16)(cid:17) f x(cid:487)(cid:488)(cid:123)3(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:204)x ³2(cid:54)
3
ìa
ï >2
(cid:190)(cid:146)í2 (cid:54)(cid:34)(cid:146)a>4(cid:54)(cid:205)(cid:172)a>10.
ïg2=4+a-5³0
î
(cid:277)(cid:37)(cid:232)(cid:278)(cid:54)(cid:289)(cid:17)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:216)10,+¥
.(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)10,+¥
.
(cid:162)(cid:4)(cid:249)(cid:165)(cid:97)(cid:116)(cid:4)(cid:249)(cid:199)(cid:215)(cid:104)(cid:16)(cid:17)(cid:123)(cid:96)(cid:4)(cid:10)(cid:97)(cid:98)(cid:123)(cid:80)(cid:11)(cid:25)(cid:83)(cid:17)(cid:26)(cid:10)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:11)(cid:303)(cid:64)(cid:18)(cid:97)(cid:116)(cid:199)
(cid:10)1(cid:11)(cid:127)(cid:349)(cid:116)(cid:199)(cid:127)(cid:349)(cid:25)(cid:34)(cid:97)(cid:98)(cid:146)(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:18)(cid:80)(cid:54)(cid:227)(cid:191)(cid:131)(cid:34)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:197)(cid:28)(cid:83)(cid:17)(cid:275)(cid:153)(cid:188)
(cid:10)2(cid:11)(cid:5)(cid:408)(cid:83)(cid:17)(cid:116)(cid:199)(cid:166)(cid:176)(cid:83)(cid:17)(cid:5)(cid:408)(cid:54)(cid:421)(cid:213)(cid:154)(cid:25)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:26)(cid:30)(cid:394)(cid:13)(cid:255)(cid:46)(cid:34)(cid:514)(cid:188)
(cid:10)3(cid:11)(cid:17)(cid:110)(cid:101)(cid:102)(cid:116)(cid:199)(cid:166)(cid:60)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:212)(cid:110)(cid:54)(cid:157)(cid:175)(cid:267)(cid:268)(cid:168)(cid:257)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:336)(cid:180)(cid:117)(cid:254)(cid:69)(cid:114)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:91)(cid:130)(cid:121)(cid:506)(cid:167)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:31)(cid:94)(cid:54)
(cid:239)(cid:64)(cid:17)(cid:110)(cid:101)(cid:102)(cid:18)(cid:97)(cid:116)(cid:25)(cid:34).
p æpö
10(cid:113)（2022·北京·高考真题）(cid:228)(cid:16)(cid:17) f(x)= Asinx- 3cosx(cid:18)(cid:69)(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:51) (cid:54)(cid:204)A=________(cid:188) f ç ÷=
3 è12ø
________(cid:113)
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165) 1 - 2
π π
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:166)(cid:237)(cid:238)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:25)(cid:146)A(cid:18)(cid:26)(cid:54)(cid:227)(cid:176)(cid:16)(cid:17)(cid:213)(cid:291)(cid:51) f(x)=2sin(x- )(cid:54)(cid:237)(cid:238)(cid:338)(cid:212)(cid:194)x= (cid:54)(cid:192)(cid:62)(cid:187)(cid:190).
3 12
π 3 3
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165) f( )= A- =0(cid:54) A=1
3 2 2
∵ π∴
f(x)=sinx- 3cosx=2sin(x- )
3
∴ π π π π
f( )=2sin( - )=-2sin =- 2
12 12 3 4
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)1(cid:54)- 2
11(cid:113)（2022·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104) f(x)(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:203)xÎ0,1(cid:172)(cid:54) f(x)=lnx(cid:54)(cid:233) f(x)(cid:250)(cid:135)(cid:127)(cid:137)x=1(cid:60)(cid:89)(cid:54)
(cid:125) f(x)=x+1(cid:18)(cid:236)(cid:17)(cid:34)(cid:200)(cid:159)(cid:51)x (cid:27)x (cid:27)x (cid:27)×××(cid:27)x (cid:27)×××(cid:54)(cid:204)lim(x -x )=________
1 2 3 n n®¥ n+1 n
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)2
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:80)(cid:81)(cid:13)(cid:133)(cid:190)(cid:146)(cid:16)(cid:17) f x(cid:216)(cid:46)4(cid:51)(cid:87)(cid:88)(cid:18)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:95)(cid:167)(cid:16)(cid:17) f x(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:31)(cid:32)(cid:190)(cid:104)
lim(x -x )(cid:18)(cid:118)(cid:119)(cid:133)(cid:29)(cid:51)(cid:16)(cid:17) f x(cid:168)(cid:221)(cid:240)(cid:388)(cid:137)(cid:502)(cid:170)(cid:18)(cid:407)(cid:408)(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:190)(cid:146)(cid:167)(cid:163)(cid:164).
n+1 n
n®¥
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:34)(cid:199)(cid:243)(cid:51) f(x)(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:232)(cid:46) f x=-f -x(cid:54)(cid:233) f 0=0(cid:54)
(cid:244) f(x)(cid:250)(cid:135)(cid:127)(cid:137)x=1(cid:60)(cid:89)(cid:54)(cid:232)(cid:46) f 1+x= f 1-x(cid:54)
(cid:232)(cid:46) f 2+x=f -x=- f x(cid:54)
(cid:204) f 4+x=-f 2+x= f x(cid:54)
(cid:232)(cid:46)(cid:16)(cid:17) f x(cid:216)(cid:46)4(cid:51)(cid:87)(cid:88)(cid:18)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:95)(cid:167)(cid:16)(cid:17)y= f x(cid:72)y=x+1(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:310)(cid:31)(cid:232)(cid:24)(cid:199)
(cid:224) f(x)=x+1(cid:18)(cid:236)(cid:17)(cid:34)(cid:200)(cid:159)(cid:51)x (cid:27)x (cid:27)x (cid:27)×××(cid:27)x (cid:27)×××(cid:54)
1 2 3 n
(cid:204)lim(x -x )(cid:18)(cid:118)(cid:119)(cid:133)(cid:29)(cid:51)(cid:16)(cid:17) f x(cid:168)(cid:221)(cid:240)(cid:388)(cid:137)(cid:502)(cid:170)(cid:18)(cid:407)(cid:408)(cid:51)2(cid:54)
n+1 n
n®¥
(cid:232)(cid:46)lim(x -x )=2.
n+1 n
n®¥
(cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:199)2.
π
12(cid:113)（2024·上海·高考真题）(cid:215)(cid:104) f(x)=sin(wx+ )(cid:54)w>0
3
(1)(cid:125)w=1(cid:54)(cid:25)(cid:34):y= f x,xÎ0,π(cid:18)(cid:26)(cid:30);
(2)a>π(aÎR),f(x)(cid:18)(cid:281)(cid:79)(cid:236)(cid:87)(cid:88)(cid:51)π(cid:54)(cid:228)(cid:117)xÎπ,a(cid:37)(cid:468)(cid:123)3(cid:257)(cid:96)(cid:4)(cid:54)(cid:25)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153).
é 3 ù
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(1)ê- ,1ú;
2
ë û
é7π 17πö
(2)aÎ ê , ÷
ë 3 6 ø
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:239)(cid:64)(cid:446)(cid:128)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:101)(cid:102)(cid:343)(cid:426)(cid:116)(cid:25)(cid:167)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:54)(cid:227)(cid:25)(cid:34)(cid:26)(cid:30)(cid:187)(cid:190).
(cid:10)2(cid:11)(cid:239)(cid:64)(cid:446)(cid:128)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:75)(cid:84)(cid:25)(cid:34)(cid:83)(cid:17)(cid:187)(cid:190).
æ πö
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:243)(cid:51)w=1(cid:54)(cid:232)(cid:46) f x=sinçx+ ÷(cid:54)
è 3ø
π éπ 4πù
(cid:243)(cid:51)xÎ0,π (cid:54)(cid:232)(cid:46)(cid:274)t =x+ ,tÎ , (cid:54)
ê ú
3 ë3 3 û
éπ πù éπ 4πù
(cid:224)(cid:236)(cid:458)(cid:16)(cid:17)(cid:75)(cid:84)(cid:146)y=gt=sint(cid:117) , (cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:258)(cid:54)(cid:117) , (cid:37)(cid:73)(cid:74)(cid:241)(cid:260)(cid:54)
ê ú ê ú
ë3 2û ë2 3 û
æπö æ4πö 3 æπö 3 é 3 ù
(cid:232)(cid:46)gç ÷=1,gç ÷=- ,gç ÷= (cid:54)(cid:206)yÎê- ,1ú(cid:54)
è2ø è 3 ø 2 è3ø 2 ë 2 û
2π æ πö
(cid:10)2(cid:11)(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:146)T = =π(cid:54)(cid:232)(cid:46)w=2(cid:54)(cid:190)(cid:146) f x=sinç2x+ ÷(cid:54)
w è 3ø
π π kπ
(cid:203) f x=0(cid:172)(cid:54)2x+ =kπ(cid:54)kÎZ(cid:54)(cid:187)x=- + (cid:54)kÎZ(cid:54)
3 6 25π
(cid:203)k =2(cid:172)(cid:54)x= <π(cid:54)(cid:219)(cid:209)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:54)
6
4π
(cid:203)k =3(cid:172)(cid:54)x= >π(cid:54)(cid:209)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:54)
3
11π
(cid:203)k =4(cid:172)(cid:54)x= >π(cid:54)(cid:209)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:54)
6
7π
(cid:203)k =5(cid:172)(cid:54)x= >π(cid:54)(cid:209)(cid:102)(cid:13)(cid:133)(cid:54)
3
4π 4π 3
(cid:232)(cid:46) +T £a< + T(cid:54)
3 3 2
7π 17π é7π 17πö
(cid:187) £a< (cid:54)(cid:206)aÎ
ê
, ÷.
3 6 ë 3 6 ø
x2+3a+1x+c
13(cid:113)（2023·上海·高考真题）(cid:16)(cid:17) f x= a,cÎR
x+a
(1)(cid:203)a=0(cid:172)(cid:54)(cid:216)(cid:474)(cid:217)(cid:117)(cid:289)(cid:17)c(cid:54)(cid:145)(cid:146) f x(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:188)
(2)(cid:228)(cid:16)(cid:17) f x(cid:131)(cid:4)(1,3)(cid:54)(cid:233)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:31)(cid:32)(cid:33)x(cid:136)(cid:286)(cid:480)(cid:136)(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:219)(cid:254)(cid:309)(cid:4)(cid:54)(cid:25)(cid:289)(cid:17)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153).
(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(1)(cid:219)(cid:217)(cid:117)
1 1
(2)a> (cid:233)a¹
3 2
c
(cid:162)(cid:5)(cid:35)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:176)a=0(cid:237)(cid:238)(cid:146) f(x)=x+1+ (cid:54)(cid:166)(cid:3)(cid:515)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:54)(cid:227)(cid:438)(cid:125) f(x)(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:146)(cid:160)(cid:97)(cid:98)2+c=c
x
(cid:246)(cid:34)(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:146)(cid:46)(cid:185)(cid:186)(cid:188)
x2+(3a+1)x+1
(cid:10)2(cid:11)(cid:166)(cid:480)(cid:4)(1,3)(cid:237)(cid:238) f(x)(cid:25)(cid:146)c=1(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:146)(cid:160) f(x)= (cid:54)(cid:227)(cid:239)(cid:64)(cid:210)(cid:159)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:80)(cid:18)(cid:5)(cid:516)(cid:146)(cid:160)(cid:250)
x+a
1
(cid:135)a(cid:18)(cid:219)(cid:50)(cid:36)(cid:288)(cid:54)(cid:34)(cid:502)(cid:190)(cid:146)a> (cid:54)(cid:281)(cid:180)(cid:227)(cid:3)(cid:515)x=-a(cid:18)(cid:9)(cid:443)(cid:54)(cid:174)(cid:175)(cid:146)(cid:160)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153).
3
x2+x+c c
(cid:162)(cid:198)(cid:34)(cid:165)(cid:10)1(cid:11)(cid:203)a=0(cid:172)(cid:54) f(x)= =x+1+ (cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)D=(-¥,0)U(0,+¥)(cid:54)
x x
(cid:438)(cid:125)y= f(x)(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:54)(cid:204) f(-1)=-f(1)(cid:54)
(cid:175) f(1)=2+c, f(-1)=-c(cid:54)(cid:204)2+c=c(cid:54)(cid:205)(cid:172)(cid:246)(cid:289)(cid:17)c(cid:138)(cid:139)(cid:221)(cid:222)(cid:54)
(cid:232)(cid:46)(cid:219)(cid:217)(cid:117)(cid:289)(cid:17)c(cid:54)(cid:145)(cid:146)(cid:16)(cid:17) f(x)(cid:51)(cid:85)(cid:16)(cid:17)(cid:188)
1+(3a+1)+c
(cid:10)2(cid:11)y= f(x)(cid:31)(cid:32)(cid:313)(cid:131)(cid:4)(1,3)(cid:54)(cid:204)(cid:237)(cid:238)(cid:146) =3(cid:54)(cid:34)(cid:146)c=1(cid:54)
1+a
x2+(3a+1)x+c x2+(3a+1)x+1
(cid:232)(cid:46) f(x)= = (cid:54)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:51)(-¥,-a)U(-a,+¥)(cid:54)
x+a x+a
(cid:274)g(x)=x2+(3a+1)x+1(cid:54)(cid:204)g(x)(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:33)x(cid:136)(cid:286)(cid:480)(cid:136)(cid:123)(cid:168)(cid:257)(cid:309)(cid:4)(cid:54)
ì-(3a+1)<0 ì ï 3a+1>0 1
(cid:232)(cid:46)í (cid:54)(cid:187)í (cid:54)(cid:34)(cid:146)a> (cid:54)
îΔ>0 ïî 3a+12 -4>0 3(cid:228)x+a=0(cid:54)(cid:187)x=-a(cid:216)(cid:97)(cid:98)x2+(3a+1)x+1=0(cid:18)(cid:34)(cid:54)
1
(cid:204)(cid:237)(cid:238)(cid:190)(cid:146)a2+(3a+1)´-a+1=0(cid:54)(cid:34)(cid:146)a= (cid:423)a=-1.
2
1 1 1
(cid:224)(cid:13)(cid:133)(cid:146)a¹ (cid:54)(cid:232)(cid:46)(cid:289)(cid:17)a(cid:18)(cid:229)(cid:26)(cid:275)(cid:153)(cid:216)a> (cid:233)a¹ .
2 3 2