专题13圆锥曲线选填题(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

13
专题 圆锥曲线选填题
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:3)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:4)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:13)(cid:47)(cid:38)
2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:19)Ⅱ(cid:29) (cid:39)(cid:40)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:16)(cid:17)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:42)(cid:4)(cid:43)(cid:44)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) 2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:19)Ⅰ(cid:29)(cid:32)2023(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:35) (cid:45)(cid:18)(cid:54)(cid:44)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:52)(cid:61)(cid:32)(cid:62)(cid:60)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:29) (cid:52)(cid:61)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:42)(cid:4)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:3)(cid:37)
2022(cid:8)(cid:30)(cid:36)(cid:3)(cid:33)(cid:34)Ⅰ(cid:29)(cid:32)2022(cid:8)(cid:33) (cid:69)(cid:70)(cid:32)(cid:71)(cid:72)(cid:57)(cid:58)(cid:63)(cid:64)(cid:62)(cid:60)(cid:52)(cid:61)(cid:73)(cid:74)
(cid:34)(cid:35)(cid:29) (cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:57)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:45)(cid:63)(cid:64)(cid:47)
2026(cid:33)(cid:34)(cid:85)(cid:29)(cid:32)2026(cid:33)(cid:34)(cid:86)(cid:29)(cid:32)
2026(cid:87)(cid:88)(cid:29)(cid:32)2026(cid:89)(cid:90)(cid:29)(cid:32)2026
(cid:27)(cid:28)(cid:29)
2025(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:85)(cid:29)(cid:32)2025(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:86)
(cid:29)(cid:32)2025(cid:87)(cid:88)(cid:29)(cid:32)2025(cid:89)(cid:90)(cid:29)(cid:32)
2025(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:3)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:51)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:57)(cid:86)(cid:96)(cid:50)(cid:63)(cid:64)
2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:19)Ⅰ(cid:29)(cid:32)2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:19)
(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:97)(cid:98)(cid:75)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:99)(cid:100)(cid:77)(cid:78)(cid:101)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18) Ⅱ(cid:29)(cid:32)2024(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:32)2024(cid:87)(cid:88)
(cid:45)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:4)(cid:102)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:32)(cid:94)(cid:95)
(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:29)(cid:32)2024(cid:89)(cid:90)(cid:29)(cid:32)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:84)(cid:51)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:106)(cid:44)(cid:76)(cid:73)(cid:21)(cid:22)(cid:107)(cid:108)(cid:48)
2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:19)Ⅰ(cid:29)(cid:32)2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:19)
(cid:49)(cid:47)
Ⅱ(cid:29)(cid:32)2023(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:32)2023(cid:8)(cid:33)
(cid:34)(cid:91)(cid:29)(cid:32)2023(cid:87)(cid:88)(cid:29)(cid:32)2023(cid:89)(cid:90)
(cid:29)
2022(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:32)2022(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:91)
(cid:29)(cid:32)2022(cid:87)(cid:88)(cid:29)(cid:32)2022(cid:89)(cid:90)(cid:29)(cid:32)
2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)2022(cid:92)(cid:93)(cid:29)
2026(cid:33)(cid:34)(cid:85)(cid:29)(cid:32)2026(cid:33)(cid:34)(cid:86)(cid:29)(cid:32)
2026(cid:89)(cid:90)(cid:29)(cid:32)2026(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:3)(cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:52)(cid:53)(cid:51)(cid:42)(cid:4)(cid:60)(cid:111)(cid:55)(cid:25)
2025(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:85)(cid:29)(cid:32)2025(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:86) (cid:26)(cid:47)(cid:112)(cid:113)(cid:13)(cid:114)(cid:67)(cid:68)(cid:115)(cid:116)(cid:52)(cid:53)(cid:117)(cid:118)(cid:119)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18) (cid:29)(cid:32)2025(cid:87)(cid:88)(cid:29)(cid:32)2025(cid:89)(cid:90)(cid:29) (cid:120)(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:103)(cid:38)(cid:121)(cid:122)(cid:32)(cid:123)(cid:124)(cid:4)(cid:18)(cid:125)(cid:126)(cid:57)
(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) 2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:19)Ⅱ(cid:29)(cid:32)2024(cid:87)(cid:88)(cid:29)(cid:32) (cid:73)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:4)(cid:60)(cid:18)(cid:77)(cid:78)(cid:127)(cid:128)(cid:57)(cid:58)(cid:129)
2024(cid:89)(cid:90)(cid:29)(cid:32)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:40)(cid:32)(cid:114)(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:76)(cid:130)(cid:131)(cid:48)(cid:49)(cid:57)(cid:132)(cid:133)(cid:85)
2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:19)Ⅱ(cid:29)(cid:32)2023(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:91) (cid:134)(cid:86)(cid:135)(cid:63)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:130)(cid:131)(cid:49)(cid:13)(cid:47)
(cid:29)(cid:32)2023(cid:87)(cid:88)(cid:29)2022(cid:8)(cid:30)(cid:36)(cid:3)(cid:33)(cid:34)Ⅰ(cid:29)(cid:32)2022(cid:8)(cid:30)
(cid:36)(cid:3)(cid:33)(cid:34)Ⅱ(cid:29)(cid:32)2022(cid:8)(cid:33)(cid:34)(cid:91)(cid:29)(cid:32)
2022(cid:89)(cid:90)(cid:29)
(cid:3)(cid:4)04 (cid:17)(cid:139)(cid:83)(cid:84) 2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:19)Ⅰ(cid:29) (cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:134)(cid:141)(cid:30)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:142)(cid:57)(cid:143)(cid:143)(cid:144)(cid:145)
(cid:140)(cid:64)(cid:46)(cid:13) 2023(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:146)(cid:147)
考点 01 椭圆的标准方程及其性质
1(cid:148)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:83)(cid:84)C(cid:151)x2+y2 =16(cid:10)y>0(cid:11)(cid:57)(cid:152)C(cid:27)(cid:153)(cid:154)(cid:85)(cid:4)P(cid:74)x(cid:105)(cid:155)(cid:156)(cid:84)(cid:157)
PP¢(cid:57)P¢(cid:158)(cid:156)(cid:159)(cid:57)(cid:66)(cid:84)(cid:157)PP¢(cid:18)(cid:114)(cid:4)M(cid:18)(cid:125)(cid:126)(cid:21)(cid:22)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
x2 y2 x2 y2
A(cid:148) + =1(cid:10)y>0(cid:11) B(cid:148) + =1(cid:10)y>0(cid:11)
16 4 16 8
y2 x2 y2 x2
C(cid:148) + =1(cid:10)y>0(cid:11) D(cid:148) + =1(cid:10)y>0(cid:11)
16 4 16 8
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)A
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:165)(cid:4)M(x,y)(cid:57)(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:114)(cid:4)(cid:18)(cid:104)(cid:19)(cid:169)(cid:170)(cid:137)(cid:171)P(x,2y)(cid:57)(cid:172)(cid:173)(cid:17)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:174)(cid:137)(cid:48)(cid:49).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:165)(cid:4)M(x,y)(cid:57)(cid:66)P(x,y ),P¢(x,0)(cid:57)
0
(cid:176)(cid:158)M (cid:158)PP¢(cid:18)(cid:114)(cid:4)(cid:57)(cid:177)(cid:138)y =2y(cid:57)(cid:174)P(x,2y)(cid:57)
0
(cid:178)P(cid:179)(cid:17)x2+y2 =16(y>0)(cid:27)(cid:57)
x2 y2
(cid:177)(cid:138)x2+4y2 =16(y>0)(cid:57)(cid:174) + =1(y>0)(cid:57)
16 4
x2 y2
(cid:174)(cid:4)M (cid:18)(cid:125)(cid:126)(cid:21)(cid:22)(cid:158) + =1(y>0).
16 4
(cid:180)(cid:112)(cid:151)A
x2 uuur uuuur
2(cid:148)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:165)F,F (cid:158)(cid:16)(cid:17)C: +y2 =1(cid:18)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:4)(cid:57)(cid:4)P(cid:179)C(cid:27)(cid:57)(cid:183)PF ×PF =0(cid:57)
1 2 5 1 2
(cid:66) PF × PF =(cid:10) (cid:11)
1 2
A(cid:148)1 B(cid:148)2 C(cid:148)4 D(cid:148)5
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)B
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:21)(cid:184)(cid:85)(cid:151)(cid:167)(cid:168)(cid:42)(cid:4)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:71)(cid:72)(cid:185)(cid:186)(cid:48)(cid:187)VPFF (cid:18)(cid:71)(cid:72)(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:49)(cid:187)(cid:65)
1 2(cid:21)(cid:184)(cid:86)(cid:151)(cid:167)(cid:168)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:138)(cid:23)(cid:188)(cid:189)(cid:52)(cid:61)(cid:174)(cid:137)(cid:49)(cid:187)(cid:148)
uuur uuuur
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:21)(cid:184)(cid:85)(cid:151)(cid:176)(cid:158)PF ×PF =0(cid:57)(cid:177)(cid:138)ÐFPF =90o(cid:57)
1 2 1 2
1
(cid:152)(cid:190)S =b2tan45o =1= ´ PF × PF (cid:57)(cid:177)(cid:138) PF × PF =2(cid:148)
VF1PF2 2 1 2 1 2
(cid:180)(cid:112)(cid:151)B.
(cid:21)(cid:184)(cid:86)(cid:151)
uuur uuuur
(cid:176)(cid:158)PF ×PF =0(cid:57)(cid:177)(cid:138)ÐFPF =90o(cid:57)(cid:166)(cid:16)(cid:17)(cid:21)(cid:22)(cid:137)(cid:150)(cid:57)c2 =5-1=4Þc=2(cid:57)
1 2 1 2
(cid:177)(cid:138) PF 2+ PF 2 = FF 2 =42 =16(cid:57)(cid:178) PF + PF =2a=2 5(cid:57)(cid:191)(cid:21)(cid:171)(cid:151)
1 2 1 2 1 2
PF 2+ PF 2+2 PF PF =16+2 PF PF =20(cid:57)(cid:177)(cid:138) PF × PF =2(cid:148)
1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:180)(cid:112)(cid:151)B.
x2 y2
3(cid:148)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:165)O(cid:158)(cid:104)(cid:19)(cid:192)(cid:4)(cid:57)F,F (cid:158)(cid:16)(cid:17)C: + =1(cid:18)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:4)(cid:57)(cid:4) P(cid:179)C(cid:27)(cid:57)
1 2
9 6
3
cosÐFPF = (cid:57)(cid:66)|OP|=(cid:10) (cid:11)
1 2 5
13 30 14 35
A(cid:148) B(cid:148) C(cid:148) D(cid:148)
5 2 5 2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)B
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:21)(cid:184)(cid:85)(cid:151)(cid:167)(cid:168)(cid:42)(cid:4)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:71)(cid:72)(cid:185)(cid:186)(cid:48)(cid:187)VPFF (cid:18)(cid:71)(cid:72)(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:102)(cid:4)P(cid:18)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:171)(cid:187)OP (cid:18)(cid:122)(cid:65)
1 2
(cid:21)(cid:184)(cid:86)(cid:151)(cid:115)(cid:116)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:138)(cid:23)(cid:59)(cid:60)(cid:52)(cid:61)(cid:48)(cid:187) PF PF , PF 2+ PF 2(cid:57)(cid:193)(cid:63)(cid:64)(cid:114)(cid:84)(cid:18)(cid:74)(cid:75)(cid:185)(cid:186)(cid:138)(cid:23)(cid:81)(cid:75)(cid:72)(cid:174)
1 2 1 2
(cid:137)(cid:48)(cid:187)(cid:65)
(cid:21)(cid:184)(cid:43)(cid:151)(cid:115)(cid:116)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:138)(cid:23)(cid:59)(cid:60)(cid:52)(cid:61)(cid:48)(cid:187) PF 2+ PF 2(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:167)(cid:168)(cid:114)(cid:84)(cid:52)(cid:61)(cid:48)(cid:187)(cid:148)
1 2
π ÐFPF
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:21)(cid:184)(cid:85)(cid:151)(cid:165)ÐFPF =2q,0<q< (cid:57)(cid:177)(cid:138)S =b2tan 1 2 =b2tanq(cid:57)
1 2 2 VPF1F2 2
cos2q-sin2q 1-tan2q 3 1
(cid:166)cosÐFPF =cos2q= = = (cid:57)(cid:49)(cid:171)(cid:151)tanq= (cid:57)
1 2 cos2q+sin2q 1+tan2q 5 2
(cid:166)(cid:16)(cid:17)(cid:21)(cid:22)(cid:137)(cid:150)(cid:57)a2 =9,b2 =6,c2 =a2-b2 =3(cid:57)
1 1 1
(cid:177)(cid:138)(cid:57)S = ´ FF ´ y = ´2 3´ y =6´ (cid:57)(cid:49)(cid:171)(cid:151)y2 =3(cid:57)
VPF1F2 2 1 2 p 2 p 2 p
æ 3ö 9 9 30
(cid:174)x2 =9´ç1- ÷= (cid:57)(cid:176)(cid:194)OP = x2 +y2 = 3+ = (cid:148)
p è 6ø 2 p p 2 2
(cid:180)(cid:112)(cid:151)B(cid:148)
(cid:21)(cid:184)(cid:86)(cid:151)(cid:176)(cid:158) PF + PF =2a=6 (cid:57) PF 2+ PF 2-2 PF PF cosÐFPF = FF 2(cid:57)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
①6
(cid:174) PF 2+ PF 2- PF PF =12 (cid:57)(cid:195)(cid:196) (cid:57)
1 2 5 1 2
15 ② ①②
(cid:49)(cid:171)(cid:151) PF PF = , PF 2+ PF 2 =21(cid:57)
1 2 2 1 2
uuur 1 uuur uuuur  uuur 1 uuur uuuur
(cid:190)PO= PF +PF (cid:57)(cid:177)(cid:138)OP = PO = PF +PF (cid:57)
2 1 2 2 1 2
uuur 1 uuur uuuur 1 uuur2 uuur uuuur uuuur2 1 3 15 30
(cid:174) PO = PF +PF = PF +2PF ×PF + PF = 21+2´ ´ = (cid:148)
2 1 2 2 1 1 2 2 2 5 2 2
(cid:180)(cid:112)(cid:151)B(cid:148)
(cid:21)(cid:184)(cid:43)(cid:151)(cid:176)(cid:158) PF + PF =2a=6 (cid:57) PF 2+ PF 2-2 PF PF cosÐFPF = FF 2(cid:57)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
6 ①
(cid:174) PF 2+ PF 2- PF PF =12 (cid:57)(cid:195)(cid:196) (cid:57)(cid:49)(cid:171)(cid:151) PF 2+ PF 2 =21(cid:57)
1 2 5 1 2 1 2
(cid:166)(cid:114)(cid:84)(cid:52)(cid:61)(cid:137)(cid:150)(cid:57) 2OP2 + FF ② 2 =2  PF ① 2+ ② PF 2 =42(cid:57)(cid:197)(cid:150) FF =2 3(cid:57)(cid:49)(cid:171)(cid:151)OP = 30 (cid:148)
1 2 1 2 1 2
2
(cid:180)(cid:112)(cid:151)B(cid:148)
(cid:160)(cid:4)(cid:198)(cid:163)(cid:98)(cid:13)(cid:167)(cid:168)(cid:48)(cid:49)(cid:18)(cid:199)(cid:19)(cid:137)(cid:138)(cid:112)(cid:200)(cid:115)(cid:116)(cid:16)(cid:17)(cid:114)(cid:18)(cid:86)(cid:135)(cid:63)(cid:136)(cid:42)(cid:4)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:18)(cid:71)(cid:72)(cid:185)(cid:186)(cid:130)(cid:131)(cid:49)(cid:187)(cid:57)(cid:201)(cid:137)(cid:138)(cid:50)
(cid:14)(cid:115)(cid:116)(cid:52)(cid:53)(cid:63)(cid:64)(cid:59)(cid:60)(cid:52)(cid:61)(cid:57)(cid:138)(cid:23)(cid:74)(cid:75)(cid:18)(cid:81)(cid:75)(cid:72)(cid:49)(cid:202)(cid:114)(cid:84)(cid:46)(cid:13)(cid:18)(cid:21)(cid:186)(cid:49)(cid:202)(cid:57)(cid:203)(cid:137)(cid:138)(cid:204)(cid:205)(cid:116)(cid:114)(cid:84)(cid:52)(cid:61)(cid:49)(cid:202)(cid:57)(cid:144)
(cid:145)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:147)(cid:148)
x2 x2
4(cid:148)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:165)(cid:16)(cid:17)C : + y2 =1(a>1),C : + y2 =1(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:5)(cid:209)(cid:158)e,e (cid:148)(cid:183)
1 a2 2 4 1 2
e = 3e (cid:57)(cid:66)a=(cid:10) (cid:11)
2 1
2 3
A(cid:148) B(cid:148) 2 C(cid:148) 3 D(cid:148) 6
3
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)A
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:210)(cid:52)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:63)(cid:64)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:18)(cid:154)(cid:53)(cid:211)(cid:186)(cid:119)(cid:120)(cid:155)(cid:161).
4-1 a2-1 2 3
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:166)e = 3e (cid:57)(cid:171)e2 =3e2(cid:57)(cid:176)(cid:194) =3´ (cid:57)(cid:190)a>1(cid:57)(cid:177)(cid:138)a= .
2 1 2 1 4 a2 3
(cid:180)(cid:112)(cid:151)A
x2 y2 1
5(cid:148)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:16)(cid:17)C: + =1(a>b>0)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158) (cid:57)A,A (cid:5)(cid:209)(cid:158)C(cid:18)(cid:212)(cid:32)(cid:213)
a2 b2 3 1 2
uuur uuuur
(cid:214)(cid:4)(cid:57)B(cid:158)C(cid:18)(cid:27)(cid:214)(cid:4)(cid:148)(cid:183)BA ×BA =-1(cid:57)(cid:66)C(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
1 2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2
A(cid:148) + =1 B(cid:148) + =1 C(cid:148) + =1 D(cid:148) +y2 =1
18 16 9 8 3 2 2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)B
uuur uuuur
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:23)BA ×BA =-1(cid:57)(cid:49)(cid:171)(cid:55)(cid:215)a2,b2(cid:18)(cid:76)(cid:75)(cid:55)(cid:56)(cid:186)(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:49).
1 2c b2 1 b2 8 8
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:49)(cid:151)(cid:176)(cid:158)(cid:38)(cid:39)(cid:40)e= = 1- = (cid:57)(cid:49)(cid:171) = (cid:57)b2 = a2(cid:57)
a a2 3 a2 9 9
A,A (cid:5)(cid:209)(cid:158)C(cid:18)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:4)(cid:57)(cid:66)A -a,0,A a,0(cid:57)
1 2 1 2
B(cid:158)(cid:27)(cid:214)(cid:4)(cid:57)(cid:177)(cid:138)B(0,b).
uuur uuuur uuur uuuur
(cid:177)(cid:138)BA =(-a,-b),BA =(a,-b)(cid:57)(cid:176)(cid:158)BA ×BA =-1
1 2 1 2
8
(cid:177)(cid:138)-a2+b2 =-1(cid:57)(cid:216)b2 = a2(cid:172)(cid:173)(cid:57)(cid:49)(cid:171)a2 =9,b2 =8(cid:57)
9
x2 y2
(cid:180)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158) + =1.
9 8
(cid:180)(cid:112)(cid:151)B.
x2 y2
6(cid:148)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:16)(cid:17)C: + =1(a>b>0)(cid:18)(cid:212)(cid:214)(cid:4)(cid:158)A(cid:57)(cid:4)P(cid:57)Q(cid:217)(cid:179)C(cid:27)(cid:57)(cid:218)(cid:55)(cid:215)y
a2 b2
1
(cid:105)(cid:219)(cid:220)(cid:148)(cid:183)(cid:204)(cid:84)AP,AQ(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:221)(cid:72)(cid:158) (cid:57)(cid:66)C(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
4
3 2 1 1
A(cid:148) B(cid:148) C(cid:148) D(cid:148)
2 2 2 3
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)A
y2 1 x2 y2
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:165)Px,y (cid:57)(cid:66)Q-x,y (cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:129)(cid:40)(cid:185)(cid:186)(cid:63)(cid:64)(cid:13)(cid:154)(cid:137)(cid:171) 1 = (cid:57)(cid:193)(cid:167)(cid:168) 1 + 1 =1(cid:57)(cid:216)y
1 1 1 1 -x2+a2 4 a2 b2 1
1
(cid:116)x (cid:169)(cid:170)(cid:57)(cid:222)(cid:61)(cid:57)(cid:193)(cid:63)(cid:64)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:185)(cid:186)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:49).
1
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)[(cid:21)(cid:184)(cid:85)](cid:151)(cid:165)(cid:190)(cid:206)(cid:48)
(cid:165)Px,y (cid:57)(cid:66)Q-x,y 
1 1 1 1
1 y y y2 1
(cid:66)(cid:166)k ×k = (cid:171)(cid:151)k ×k = 1 × 1 = 1 = (cid:57)
AP AQ 4 AP AQ x +a -x +a -x2+a2 4
1 1 1
x2 y2 b2 a2-x2
(cid:166) 1 + 1 =1(cid:57)(cid:171)y2 = 1 (cid:57)
a2 b2 1 a2
b2 a2-x2
1 b2 1
(cid:177)(cid:138) a2 1 (cid:57)(cid:174) = (cid:57)
= a2 4
-x2+a2 4
1
c b2 3
(cid:177)(cid:138)(cid:16)(cid:17)C(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)e= = 1- = (cid:57)(cid:180)(cid:112)A.
a a2 2
[(cid:21)(cid:184)(cid:86)](cid:151)(cid:223)(cid:43)(cid:52)(cid:53)(cid:165)(cid:213)(cid:224)(cid:4)(cid:158)B(cid:57)(cid:225)(cid:205)PB(cid:57)(cid:166)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:219)(cid:220)(cid:25)(cid:150)(cid:151)k =-k
PB AQ
1
(cid:180)k ×k =k ×-k = (cid:57)
AP AQ PA PB 4
b2
(cid:166)(cid:16)(cid:17)(cid:223)(cid:43)(cid:52)(cid:53)(cid:171)(cid:151)k ×k =- (cid:57)
PA PB a2
b2 1
(cid:180) =
a2 4
c b2 3
(cid:177)(cid:138)(cid:16)(cid:17)C(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)e= = 1- = (cid:57)(cid:180)(cid:112)A.
a a2 2
7(cid:148)（2026·上海·高考真题）(cid:179)VABC(cid:114)(cid:57)AB=3(cid:57)AC =5(cid:57)BC = 14(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:4)A(cid:57)B(cid:57)C(cid:5)(cid:209)(cid:158)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:27)(cid:32)
(cid:226)(cid:32)(cid:213)(cid:214)(cid:4)(cid:57)(cid:138)(cid:23)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:4)(cid:114)(cid:18)(cid:43)(cid:4)(cid:57)(cid:48)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)__________(cid:148)
2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)
3
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:16)(cid:17)(cid:219)(cid:220)(cid:25)(cid:5)(cid:164)(cid:227)(cid:4)(cid:18)(cid:137)(cid:228)(cid:25)(cid:9)(cid:229)(cid:57)(cid:5)(cid:9)(cid:229)(cid:230)(cid:136)(cid:48)a,b,c(cid:18)(cid:122)(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:38)(cid:39)(cid:40).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:176)(cid:158)AB<BC< AC(cid:57)
(cid:167)(cid:168)(cid:219)(cid:220)(cid:25)(cid:137)(cid:150)(cid:151)(cid:4)A,B,C(cid:24)(cid:114)(cid:85)(cid:182)(cid:158)(cid:27)(cid:226)(cid:214)(cid:4)(cid:57)(cid:85)(cid:182)(cid:158)(cid:213)(cid:214)(cid:4)(cid:57)(cid:85)(cid:182)(cid:158)(cid:42)(cid:4)(cid:57)(cid:206)(cid:231)(cid:232)(cid:27)(cid:214)(cid:4).
(cid:233)(cid:4)A,B,C(cid:114)(cid:85)(cid:182)(cid:158)(cid:27)(cid:214)(cid:4)(cid:57)(cid:85)(cid:182)(cid:158)(cid:213)(cid:214)(cid:4)(cid:57)(cid:85)(cid:182)(cid:158)(cid:212)(cid:42)(cid:4)(cid:57)(cid:58)(cid:101)1
①
ì b2+c2 =3 ì b2+c2 =3 ìa=3
ï ï
ï ï ï
(cid:66)í a2+b2 = 14(cid:73)í a2+b2 =5(cid:57)(cid:49)(cid:171)íb= 5(cid:73)(cid:234)(cid:49)(cid:65)
ï ï ï
ï a+c=5 ï a+c= 14 î c=2
î î
(cid:233)(cid:4)A,B,C(cid:114)(cid:85)(cid:182)(cid:158)(cid:27)(cid:214)(cid:4)(cid:57)(cid:85)(cid:182)(cid:158)(cid:213)(cid:214)(cid:4)(cid:57)(cid:85)(cid:182)(cid:158)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:57)(cid:58)(cid:101)2(cid:57)
②ìa=3 ìa= 14
ïï ï ï
(cid:66)í a2+b2 =5(cid:73)í a2+b2 =5(cid:57)(cid:21)(cid:22)(cid:235)(cid:217)(cid:234)(cid:49)(cid:65)
ï ï
ïî a-c= 14 ïî a-c=3
c 2
(cid:140)(cid:27)(cid:177)(cid:236)(cid:151)a=3(cid:57)b= 5(cid:57)c=2(cid:57)(cid:177)(cid:138)(cid:38)(cid:39)(cid:40)e= = .
a 3
x2 y2 x2
8(cid:148)（2026·上海·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:16)(cid:17)G : +y2 =1a>1(cid:51)(cid:16)(cid:17)G : + =1(cid:111)(cid:237)(cid:215)A(cid:32)B(cid:32)C(cid:32)D(cid:238)
1 a2 2 b2+2 b2
(cid:4)(cid:57)(cid:218)(cid:51)G (cid:41)G (cid:18)(cid:238)(cid:182)(cid:42)(cid:4)(cid:179)(cid:239)(cid:85)(cid:182)(cid:17)(cid:27)(cid:57)(cid:66)b2 =_____________.
1 2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163) 3
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:16)(cid:17)(cid:41)(cid:17)(cid:18)(cid:219)(cid:220)(cid:25)(cid:32)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:42)(cid:103)(cid:185)(cid:186)(cid:240)(cid:241)(cid:48)(cid:49)(cid:174)(cid:137).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:176)(cid:158)(cid:181)(cid:182)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:238)(cid:182)(cid:42)(cid:4)(cid:179)(cid:239)(cid:85)(cid:182)(cid:17)(cid:27)(cid:57)
(cid:177)(cid:138)(cid:167)(cid:168)(cid:16)(cid:17)G (cid:41)G (cid:18)(cid:219)(cid:220)(cid:25)(cid:137)(cid:150)(cid:57)(cid:242)(cid:17)(cid:18)(cid:17)(cid:39)(cid:158)(cid:192)(cid:4)(cid:57)
1 2
(cid:176)(cid:194)(cid:243) a2-12 = b2+2-b2 Þa2 =3(cid:57)
(cid:218)(cid:181)(cid:182)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:244)(cid:42)(cid:103)(cid:158) b2+2-b2 = 2(cid:57)
(cid:176)(cid:194)(cid:242)(cid:17)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x2+y2 =2(cid:57)
(cid:178)(cid:176)(cid:158)A(cid:32)B(cid:32)C(cid:32)D(cid:238)(cid:4)(cid:51)G (cid:41)G (cid:18)(cid:238)(cid:182)(cid:42)(cid:4)(cid:179)(cid:239)(cid:85)(cid:182)(cid:17)(cid:27)(cid:57)
1 2
(cid:177)(cid:138)(cid:166)(cid:16)(cid:17)(cid:41)(cid:17)(cid:18)(cid:219)(cid:220)(cid:25)(cid:137)(cid:150)(cid:57)(cid:245)(cid:238)(cid:182)(cid:4)(cid:201)(cid:179)(cid:17)x2+y2 =2(cid:27)(cid:57)
ì 3
ìx2 x2 =
ï +y2 =1 ï ï 2 y2 x2
(cid:166)í 3 Þí (cid:57)(cid:172)(cid:173)(cid:16)(cid:17)G : + =1(cid:114)(cid:57)
ï îx2+y2 =2 ïy2 =
1 2 b2+2 b2
ïî 2
1 3
(cid:171) 2
+
2
=1Þ
 b22
=3
(cid:57)(cid:178)b2 >0(cid:57)(cid:180)b2 = 3(cid:57)
b2+2 b2
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151) 3
x2 y2
9(cid:148)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:16)(cid:17)C: + =1(a>b>0)(cid:57)C(cid:18)(cid:27)(cid:214)(cid:4)(cid:158)A(cid:57)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:4)(cid:158)F (cid:57)
a2 b2 1
1
F (cid:57)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158) (cid:148)(cid:100)F (cid:218)(cid:156)(cid:204)(cid:215)AF (cid:18)(cid:204)(cid:84)(cid:51)C(cid:237)(cid:215)D(cid:57)E(cid:181)(cid:4)(cid:57)|DE|=6(cid:57)(cid:66)VADE(cid:18)(cid:69)(cid:70)(cid:207)
2 2 1 2
________________(cid:148)
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)13x2 y2
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:115)(cid:116)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:171)(cid:102)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158) + =1(cid:57)(cid:174)3x2+4y2-12c2 =0(cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:171)(cid:102)(cid:204)(cid:84)AF (cid:18)(cid:129)
4c2 3c2 2
(cid:40)(cid:57)(cid:240)(cid:190)(cid:115)(cid:116)(cid:204)(cid:84)(cid:18)(cid:156)(cid:204)(cid:55)(cid:56)(cid:171)(cid:102)(cid:204)(cid:84)DE(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:57)(cid:246)(cid:187)(cid:204)(cid:84)DE(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:151)x= 3y-c(cid:57)(cid:172)(cid:173)(cid:16)(cid:17)(cid:21)(cid:22)
13 13
3x2+4y2-12c2=0(cid:57)(cid:222)(cid:61)(cid:118)(cid:117)(cid:171)(cid:102)(cid:151)13y2-6 3cy-9c2 =0(cid:57)(cid:115)(cid:116)(cid:60)(cid:70)(cid:185)(cid:186)(cid:48)(cid:171)c= (cid:57)(cid:171)a=2c= (cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:219)
8 4
(cid:220)(cid:25)(cid:216)VADE(cid:18)(cid:69)(cid:70)(cid:247)(cid:118)(cid:158)(cid:248)F DE(cid:18)(cid:69)(cid:70)(cid:57)(cid:115)(cid:116)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:171)(cid:102)(cid:69)(cid:70)(cid:158)4a=13.
2
c 1
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163) (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)e= = (cid:57) a=2c(cid:57) b2 =a2-c2 =3c2(cid:57) (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)
a 2
x2 y2∵ ∴ ∴ ∴
+ =1(cid:57)(cid:174)3x2+4y2-12c2 =0(cid:57)(cid:206)(cid:231)(cid:165)(cid:212)(cid:42)(cid:4)(cid:158)F (cid:57)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:158)F (cid:57)(cid:58)(cid:101)(cid:177)(cid:170)(cid:57) AF =a(cid:57)OF =c(cid:57)a=2c(cid:57)
4c2 3c2 1 2 2 2
p ∵
ÐAFO= (cid:57) VAFF (cid:158)(cid:62)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:57) (cid:100)F (cid:218)(cid:156)(cid:204)(cid:215)AF (cid:18)(cid:204)(cid:84)(cid:51)C(cid:237)(cid:215)D(cid:57)E(cid:181)(cid:4)(cid:57)DE(cid:158)(cid:84)(cid:157)AF (cid:18)(cid:156)
2 3 1 2 1 2 2
∴ ∴ 3 ∵
(cid:204)(cid:191)(cid:5)(cid:84)(cid:57) (cid:204)(cid:84)DE(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:158) (cid:57)(cid:129)(cid:40)(cid:249)(cid:81)(cid:158) 3(cid:57) (cid:204)(cid:84)DE(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:151)x= 3y-c(cid:57)(cid:172)(cid:173)(cid:16)(cid:17)(cid:21)(cid:22)
3
∴
3x2+4y2-12c2=0(cid:57)(cid:222)(cid:61)(cid:118)(cid:117)(cid:171)(cid:102)(cid:151)13y2-6 3cy-9c2 =0(cid:57)
 2
(cid:123)(cid:209)(cid:186)D= 6 3c +4´13´9c2 =62´16´c2(cid:57)
 2 Δ c
DE = 1+ 3 y -y =2´ =2´6´4´ =6(cid:57)
1 2 13 13
∴ 13 13
c= (cid:57) (cid:171)a=2c= (cid:57)
8 4
∴
DE(cid:158)(cid:84)(cid:157)AF (cid:18)(cid:156)(cid:204)(cid:191)(cid:5)(cid:84)(cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:219)(cid:220)(cid:25)(cid:57)AD=DF(cid:57)AE=EF (cid:57) VADE(cid:18)(cid:69)(cid:70)(cid:76)(cid:215)(cid:248)F DE(cid:18)(cid:69)(cid:70)(cid:57)
2 2 2 2
∵ ∴
(cid:115)(cid:116)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:171)(cid:102)(cid:248)F DE(cid:69)(cid:70)(cid:158)
2
DF + EF + DE = DF + EF + DF + EF = DF + DF + EF + EF =2a+2a=4a=13.
2 2 2 2 1 1 1 2 1 2
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151)13.考点 02 双曲线的标准方程及其性质
x2 y2 æ 7 ö
1(cid:148)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:165)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C(cid:151) - =1(cid:10)a>0(cid:57)b>0(cid:11)(cid:250)(cid:100)(cid:4)1,0(cid:41)(cid:4)ç ,3÷(cid:57)(cid:66)C
ç ÷
a2 b2
è
2
ø
(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
3 2
A(cid:148)y=±3 2x B(cid:148)y=±2 3x C(cid:148)y=± x D(cid:148)y=± x
6 6
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)B
æ 7 ö
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:251)(cid:4)(1,0)(cid:41)ç ,3÷(cid:172)(cid:173)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:48)(cid:187)a,b(cid:57)(cid:193)(cid:48)(cid:187)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:174)(cid:137).
ç ÷
2
è ø
æ 7 ö
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:251)(cid:4)(1,0)(cid:41)ç ,3÷(cid:57)(cid:172)(cid:173)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:137)(cid:171)
ç ÷
2
è ø
ì 1
=1
ï a2
ï
ï 7 ìa2 =1
ï í 4 - 9 =1Þ ï íb2 =12 Þ ì í ïa=1 (cid:57)
ï a2 b2 ï ïîb=2 3
a>0,b>0
ïa>0,b>0 î
ï
ï
î
y2
(cid:177)(cid:138)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x2- =1(cid:57)
12
(cid:180)(cid:242)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=±2 3x.
x2 y2 2
2(cid:148)（2026·北京·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C(cid:151) - =1(a>0)(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=± x(cid:57)(cid:66)a(cid:18)(cid:122)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
a2 4 3
A(cid:148)2 B(cid:148)3 C(cid:148)4 D(cid:148)9
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)B
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:63)(cid:64)(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:211)(cid:186)(cid:119)(cid:120)(cid:48)(cid:49).
x2 y2 2
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:176)(cid:158)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:158) - =1(cid:57)(cid:66)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:158)y=± x(cid:57)
a2 4 a
2
(cid:178)(cid:176)(cid:158)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:158)y=± x(cid:57)(cid:218)a>0(cid:57)(cid:177)(cid:138)a=3.
3
x2 y2
3(cid:148)（2026·天津·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84) - =1(cid:10)a>0(cid:57)b>0(cid:11)(cid:18)(cid:212)(cid:42)(cid:4)(cid:158)F (cid:57)A(cid:207)(cid:213)(cid:214)(cid:4)(cid:57)P(cid:207)(cid:82)(cid:83)
a2 b2
(cid:84)(cid:27)(cid:85)(cid:4)(cid:57)(cid:252)(cid:159) FA = FP (cid:57)ÐFAP=30°(cid:57)(cid:66)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
8 8 4
A(cid:148)4 B(cid:148) C(cid:148) D(cid:148)
3 5 3(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)D
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:49)(cid:184)(cid:85)(cid:151)(cid:100)(cid:4)P(cid:155)PH (cid:156)(cid:204)x(cid:105)(cid:57)(cid:156)(cid:159)(cid:158)H(cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:77)(cid:78)(cid:55)(cid:56)(cid:116)a,c(cid:169)(cid:170)(cid:187)(cid:4)P(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:172)(cid:173)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:21)
(cid:22)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:186)(cid:57)(cid:257)(cid:258)(cid:137)(cid:171)(cid:38)(cid:39)(cid:40).
(cid:49)(cid:184)(cid:86)(cid:151)(cid:165)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:158)F¢(cid:57)(cid:225)(cid:205)PF¢(cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:41)(cid:25)(cid:26)(cid:137)(cid:171) PF = FA =a+c(cid:57) PF¢ =3a+c(cid:57)(cid:63)(cid:64)
(cid:59)(cid:60)(cid:52)(cid:61)(cid:259)(cid:120)(cid:48)(cid:49).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:49)(cid:184)(cid:85)(cid:151)(cid:58)(cid:101)(cid:57)(cid:100)(cid:4)P(cid:155)PH (cid:156)(cid:204)(cid:215)x(cid:105)(cid:57)(cid:156)(cid:159)(cid:158)H(cid:57)
(cid:176)(cid:158) FA = FP (cid:57)(cid:177)(cid:138)ÐFPA=ÐFAP=30°(cid:57)(cid:177)(cid:138)ÐPFH =60°(cid:57)
1 3
(cid:178) PF = FA =a+c(cid:57)(cid:177)(cid:138) HF = a+c, PH = a+c(cid:57)
2 2
æ 1 3 3 3 ö
(cid:167)(cid:168)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:219)(cid:220)(cid:25)(cid:57)(cid:206)(cid:231)(cid:165)(cid:4)P(cid:179)(cid:223)(cid:86)(cid:260)(cid:261)(cid:57)(cid:66)Pç- a- c, a+ c÷(cid:57)
ç 2 2 2 2 ÷
è ø
2
æ 1 3 ö 2 æ 3 3 ö
(cid:216)(cid:4)P(cid:104)(cid:19)(cid:172)(cid:173)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:171)(cid:151)ç è - 2 a- 2 c÷ ø ç è 2 a+ 2 c÷ ø (cid:57)
- =1
a2 b2
(cid:222)(cid:61)(cid:171)a+3c2b2-3a+c2a2 =4a2b2(cid:57)
(cid:216)b2 =c2-a2(cid:172)(cid:173)(cid:27)(cid:186)(cid:57)(cid:222)(cid:61)(cid:171)a+3c2 c2-a2 -3a+c2 a2 =4a2 c2-a2 (cid:57)
4
(cid:181)(cid:54)(cid:239)(cid:262)(cid:263)(cid:138)a4(cid:57)(cid:222)(cid:61)(cid:171)3e-4e+12 =0(cid:57)(cid:49)(cid:171)e= .
3
(cid:49)(cid:184)(cid:86)(cid:151)(cid:58)(cid:101)(cid:57)(cid:165)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:158)F¢(cid:57)(cid:225)(cid:205)PF¢(cid:57)
(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:137)(cid:150)(cid:151) PF = FA =a+c(cid:57) PF¢ =3a+c(cid:57)
(cid:179)(cid:43)(cid:44)(cid:45)PFA(cid:114)(cid:57) PA =2 FAcos30°= 3(a+c)(cid:57)
(cid:179)(cid:43)(cid:44)(cid:45)PF¢A(cid:114)(cid:57) PF¢2 = PA2+ AF¢2-2 PA× AF¢cos150°(cid:57)
æ 3ö
(cid:174)3a+c2 =3(c+a)2+(c-a)2-2 3(c+a)×(c-a)ç- ÷(cid:57)
ç 2 ÷
è ø
(cid:222)(cid:61)(cid:137)(cid:171)4a-3ca+c=0(cid:57)(cid:137)(cid:171)4a=3c(cid:57)
c 4
(cid:177)(cid:138)e= = .
a 3
4(cid:148)（2025·北京·高考真题）(cid:82)(cid:83)(cid:84)x2 -4y2 =4(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
3 5 5
A(cid:148) B(cid:148) C(cid:148) D(cid:148) 5
2 2 4
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)B
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:264)(cid:216)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:118)(cid:265)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:48)(cid:187)a,b,c(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:48)(cid:187)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:148)
x2
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:166)x2 -4y2 =4(cid:171)(cid:57) -y2 =1(cid:57)(cid:177)(cid:138)a2 =4,b2 =1,c2 =a2+b2 =5(cid:57)
4
c 5
(cid:174)a=2,c= 5(cid:57)(cid:177)(cid:138)e= = (cid:57)
a 2
(cid:180)(cid:112)(cid:151)B(cid:148)
x2 y2
5(cid:148)（2025·天津·高考真题）(cid:82)(cid:83)(cid:84) - =1(a>0,b>0)(cid:18)(cid:212)(cid:32)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:5)(cid:209)(cid:158)F,F (cid:57)(cid:138)(cid:213)(cid:42)(cid:4)F (cid:158)(cid:42)(cid:4)(cid:18)
a2 b2 1 2 2
(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =2px(p>0)(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:237)(cid:215)(cid:223)(cid:85)(cid:260)(cid:261)(cid:18)(cid:4)P(cid:57)(cid:183) PF + PF =3 FF (cid:57)(cid:66)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)e=(cid:10) (cid:11)
1 2 1 2
2+1 5+1
A(cid:148)2 B(cid:148)5 C(cid:148) D(cid:148)
2 2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)A
ìïPF =3c+a
1
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:115)(cid:116)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:51)(cid:25)(cid:26)(cid:171)(cid:187)í (cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:188)(cid:189)(cid:52)(cid:61)(cid:152)(cid:190)(cid:266)(cid:52)P(cid:18)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:115)
ïî PF
2
=3c-a= PA
(cid:116)(cid:4)(cid:179)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:21)(cid:22)(cid:119)(cid:120)(cid:174)(cid:137).
æ p ö
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:13)(cid:154)(cid:137)(cid:165)F ç ,0÷(cid:57)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:244)(cid:42)(cid:103)(cid:158)c(cid:57)Px ,y (cid:57)(cid:66)p=2c(cid:57)
2 è 2 ø 0 0
(cid:100)F (cid:155)x(cid:105)(cid:18)(cid:156)(cid:84)l(cid:57)(cid:100)P(cid:155)l(cid:18)(cid:156)(cid:84)(cid:57)(cid:156)(cid:159)(cid:158)A(cid:57)(cid:267)(cid:257)(cid:204)(cid:84)AF (cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:57)
1 1
(cid:66) PA = PF (cid:57)
2ìïPF - PF =2a ìïPF =3c+a
1 2 1
(cid:166)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:149)(cid:150)(cid:107)(cid:108)(cid:137)(cid:150)í (cid:57)(cid:66)í (cid:57)
ïî PF
1
+ PF
2
=6c ïî PF
2
=3c-a= PA
(cid:166)(cid:188)(cid:189)(cid:52)(cid:61)(cid:137)(cid:150) AF 2 = y2 = PF 2- PA2 =12ac(cid:57)
1 0 1
x2 y2 9a2 12ac
(cid:197)(cid:150)y2 =4cx ,\x =3a(cid:57)(cid:174) 0 - 0 = - =1(cid:57)
0 0 0 a2 b2 a2 c2-a2
(cid:222)(cid:61)(cid:171)2c2-3ac-2a2 =0=2c+ac-2a(cid:57) c=2a(cid:57)(cid:174)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)2.
(cid:180)(cid:112)(cid:151) ∴
6(cid:148)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C(cid:18)(cid:268)(cid:105)(cid:70)(cid:207)(cid:269)(cid:105)(cid:70)(cid:18) 7(cid:270)(cid:57)(cid:66)C(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
A(cid:148) 2 B(cid:148)2 C(cid:148) 7 D(cid:148)2 2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)D
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:166)(cid:13)(cid:137)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:114)a,b(cid:18)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:63)(cid:64)a2+b2 =c2(cid:41)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:185)(cid:186)(cid:48)(cid:49)
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:165)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:269)(cid:105)(cid:57)(cid:268)(cid:105)(cid:57)(cid:42)(cid:103)(cid:5)(cid:209)(cid:158)2a,2b,2c(cid:57)
(cid:166)(cid:13)(cid:150)(cid:57)b= 7a(cid:57)
(cid:215)(cid:207)a2+b2 =c2 =a2+7a2 =8a2(cid:57)(cid:66)c=2 2a(cid:57)
c
(cid:174)e= =2 2.
a
(cid:180)(cid:112)(cid:151)D
7(cid:148)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:4)(cid:5)(cid:209)(cid:158)0,4,0,-4(cid:57)(cid:4)-6,4(cid:179)(cid:242)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:57)(cid:66)(cid:242)
(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
A(cid:148)4 B(cid:148)3 C(cid:148)2 D(cid:148) 2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)C
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:166)(cid:42)(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:137)(cid:171)(cid:42)(cid:103)2c(cid:57)(cid:63)(cid:64)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:52)(cid:53)(cid:119)(cid:120)(cid:137)(cid:171)2a(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:38)(cid:39)(cid:40).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:57)(cid:165)F 0,-4(cid:32)F 0,4(cid:32)P-6,4(cid:57)
1 2(cid:66) FF =2c=8(cid:57) PF = 62+4+42 =10(cid:57) PF = 62+4-42 =6(cid:57)
1 2 1 2
2c 8
(cid:66)2a= PF - PF =10-6=4(cid:57)(cid:66)e= = =2.
1 2 2a 4
(cid:180)(cid:112)(cid:151)C.
x2 y2
8(cid:148)（2024·天津·高考真题）(cid:82)(cid:83)(cid:84) - =1(a>0(cid:57)b>0)(cid:18)(cid:212)(cid:32)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:5)(cid:209)(cid:158)F,F.(cid:4)P(cid:179)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:213)(cid:271)(cid:27)(cid:57)
a2 b2 1 2
(cid:204)(cid:84)PF (cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:158)2(cid:148)(cid:183)VPFF (cid:207)(cid:204)(cid:44)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:57)(cid:218)(cid:71)(cid:72)(cid:158)8(cid:57)(cid:66)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
2 1 2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A(cid:148) - =1 B(cid:148) - =1 C(cid:148) - =1 D(cid:148) - =1
2 8 4 8 8 2 8 4
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)A
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:137)(cid:115)(cid:116)VPFF (cid:43)(cid:54)(cid:129)(cid:40)(cid:46)(cid:13)(cid:51)(cid:62)(cid:60)(cid:52)(cid:61)(cid:57)(cid:247)(cid:118)(cid:187)(cid:43)(cid:54)(cid:272)(cid:273)(cid:57)(cid:165) PF =m(cid:57)(cid:166)(cid:71)(cid:72)(cid:185)(cid:186)(cid:48)(cid:187)m(cid:57)(cid:166)
1 2 2
(cid:188)(cid:189)(cid:52)(cid:61)(cid:171)(cid:187)c(cid:57)(cid:63)(cid:64)(cid:223)(cid:85)(cid:52)(cid:53)(cid:193)(cid:48)(cid:187)a.
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:58)(cid:226)(cid:101)(cid:151)(cid:166)(cid:13)(cid:137)(cid:150)(cid:57)(cid:4)P(cid:274)(cid:275)(cid:179)(cid:223)(cid:238)(cid:260)(cid:261)(cid:57)ÐFPF =90°(cid:57)(cid:165) PF =m(cid:57)
1 2 2
2
ÐPF F =q,ÐPFF =q(cid:57)(cid:166)k =tanq =2(cid:57)(cid:48)(cid:171)sinq = (cid:57)
2 1 1 1 2 2 PF2 1 1 5
1 1
(cid:176)(cid:158)ÐFPF =90°(cid:57)(cid:177)(cid:138)k ×k =-1(cid:57)(cid:48)(cid:171)k =- (cid:57)(cid:174)tanq = (cid:57)
1 2 PF1 PF2 PF1 2 2 2
1
sinq = (cid:57)(cid:166)(cid:62)(cid:60)(cid:52)(cid:61)(cid:137)(cid:171)(cid:151) PF : PF : FF =sinq:sinq :sin90°=2:1: 5(cid:57)
2 5 1 2 1 2 1 2
(cid:66)(cid:166) PF =m(cid:171) PF =2m, FF =2c= 5m(cid:57)
2 1 1 2
1 1
(cid:166)S = PF × PF = m×2m=8(cid:171)m=2 2(cid:57)
VPF1F2 2 1 2 2
(cid:66) PF =2 2, PF =4 2, FF =2c=2 10,c= 10(cid:57)
2 1 1 2
(cid:166)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:223)(cid:85)(cid:52)(cid:53)(cid:137)(cid:171)(cid:151) PF - PF =2a=2 2(cid:57)a= 2,b= c2-a2 = 8(cid:57)
1 2
x2 y2
(cid:177)(cid:138)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158) - =1.
2 8
(cid:180)(cid:112)(cid:151)Ax2 y2
9(cid:148)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C: - =1(a>0,b>0)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158) 5(cid:57)C(cid:18)(cid:85)(cid:107)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:51)(cid:17)
a2 b2
(x-2)2+(y-3)2 =1(cid:237)(cid:215)A(cid:57)B(cid:181)(cid:4)(cid:57)(cid:66)|AB|=(cid:10) (cid:11)
5 2 5 3 5 4 5
A(cid:148) B(cid:148) C(cid:148) D(cid:148)
5 5 5 5
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)D
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:171)(cid:187)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:193)(cid:166)(cid:17)(cid:39)(cid:102)(cid:204)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:23)(cid:17)(cid:244)(cid:276)(cid:137)(cid:48)(cid:60)(cid:70).
c2 a2+b2 b2
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:166)e= 5(cid:57)(cid:66) = =1+ =5(cid:57)
a2 a2 a2
b
(cid:49)(cid:171) =2(cid:57)
a
(cid:177)(cid:138)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:158)y=±2x(cid:57)
|2´2+3| 7 5
(cid:233)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:158)y=-2x(cid:262)(cid:57)(cid:17)(cid:39)(2,3)(cid:102)(cid:242)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)d = = >1(cid:57)(cid:206)(cid:64)(cid:13)(cid:154)(cid:65)
22+1 5
|2´2-3| 5
(cid:233)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:158)y=2x(cid:262)(cid:57)(cid:66)(cid:17)(cid:39)(2,3)(cid:102)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)d = = (cid:57)
22+1 5
1 4 5
(cid:177)(cid:138)(cid:60)(cid:70)|AB|=2 r2-d2 =2 1- = .
5 5
(cid:180)(cid:112)(cid:151)D
y2
10(cid:148)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:165)A(cid:57)B(cid:158)(cid:82)(cid:83)(cid:84)x2- =1(cid:27)(cid:181)(cid:4)(cid:57)(cid:226)(cid:211)(cid:238)(cid:182)(cid:4)(cid:114)(cid:57)(cid:137)(cid:158)(cid:84)(cid:157)AB(cid:114)(cid:4)(cid:18)
9
(cid:207)(cid:10) (cid:11)
A(cid:148)1,1 B(cid:148)-1,2 C(cid:148)1,3 D(cid:148)-1,-4
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)D
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:4)(cid:277)(cid:184)(cid:5)(cid:164)(cid:137)(cid:171)k ×k =9(cid:57)(cid:219)(cid:215)A(cid:32)B(cid:32)D(cid:151)(cid:99)(cid:100)(cid:195)(cid:196)(cid:21)(cid:22)(cid:123)(cid:124)(cid:237)(cid:4)(cid:182)(cid:81)(cid:57)(cid:278)(cid:279)(cid:5)(cid:164)(cid:123)(cid:124)(cid:65)(cid:219)
AB
(cid:215)C(cid:151)(cid:63)(cid:64)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:5)(cid:164)(cid:123)(cid:124).
æx +x y +y ö
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:165)Ax,y ,Bx ,y (cid:57)(cid:66)AB(cid:18)(cid:114)(cid:4)Mç 1 2 , 1 2 ÷(cid:57)
1 1 2 2 è 2 2 ø
y +y
1 2
y -y 2 y +y
(cid:137)(cid:171)k = 1 2,k = = 1 2 (cid:57)
AB x -x x +x x +x
1 2 1 2 1 2
2
ì y2
ïx2- 1 =1
ï 1 9 y2-y2
(cid:176)(cid:158)A,B(cid:179)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:57)(cid:66)í (cid:57)(cid:181)(cid:186)(cid:111)(cid:280)(cid:171) x2-x2 - 1 2 =0(cid:57)
ï x2- y 2 2 =1 1 2 9
ïî 2 9y2-y2
(cid:177)(cid:138)k ×k = 1 2 =9.
AB x2-x2
1 2
(cid:219)(cid:215)(cid:112)(cid:279)A(cid:151) (cid:137)(cid:171)k =1,k =9(cid:57)(cid:66)AB:y=9x-8(cid:57)
AB
ìy=9x-8
ï
(cid:195)(cid:196)(cid:21)(cid:22)í y2 (cid:57)(cid:281)(cid:282)y(cid:171)72x2-2´72x+73=0(cid:57)
ïx2- =1
î 9
(cid:194)(cid:262)Δ=-2´722-4´72´73=-288<0(cid:57)
(cid:177)(cid:138)(cid:204)(cid:84)AB(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:283)(cid:243)(cid:237)(cid:4)(cid:57)(cid:180)A(cid:284)(cid:285)(cid:65)
9 9 5
(cid:219)(cid:215)(cid:112)(cid:279)B(cid:151)(cid:137)(cid:171)k =-2,k =- (cid:57)(cid:66)AB:y=- x- (cid:57)
AB 2 2 2
ì 9 5
y=- x-
ï
ï 2 2
(cid:195)(cid:196)(cid:21)(cid:22)í (cid:57)(cid:281)(cid:282)y(cid:171)45x2+2´45x+61=0(cid:57)
y2
ï x2- =1
ïî 9
(cid:194)(cid:262)Δ=2´452-4´45´61=-4´45´16<0(cid:57)
(cid:177)(cid:138)(cid:204)(cid:84)AB(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:283)(cid:243)(cid:237)(cid:4)(cid:57)(cid:180)B(cid:284)(cid:285)(cid:65)
(cid:219)(cid:215)(cid:112)(cid:279)C(cid:151)(cid:137)(cid:171)k =3,k =3(cid:57)(cid:66)AB:y=3x
AB
(cid:166)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:137)(cid:171)a=1,b=3(cid:57)(cid:66)AB:y=3x(cid:158)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:57)
(cid:177)(cid:138)(cid:204)(cid:84)AB(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:283)(cid:243)(cid:237)(cid:4)(cid:57)(cid:180)C(cid:284)(cid:285)(cid:65)
9 9 7
(cid:219)(cid:215)(cid:112)(cid:279)D(cid:151)k =4,k = (cid:57)(cid:66)AB:y= x- (cid:57)
AB 4 4 4
ì 9 7
y= x-
ï
ï 4 4
(cid:195)(cid:196)(cid:21)(cid:22)í (cid:57)(cid:281)(cid:282)y(cid:171)63x2+126x-193=0(cid:57)
y2
ï x2- =1
ïî 9
(cid:194)(cid:262)D=1262+4´63´193>0(cid:57)(cid:180)(cid:204)(cid:84)AB(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:243)(cid:181)(cid:182)(cid:237)(cid:4)(cid:57)(cid:180)D(cid:62)(cid:266)(cid:65)
(cid:180)(cid:112)(cid:151)D.
x2 y2
11(cid:148)（2023·天津·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84) - =1(a>0,b>0)(cid:18)(cid:212)(cid:32)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:5)(cid:209)(cid:158)F(cid:32)F (cid:148)(cid:100)F (cid:74)(cid:85)(cid:107)(cid:94)
a2 b2 1 2 2
2
(cid:95)(cid:84)(cid:155)(cid:156)(cid:84)(cid:57)(cid:156)(cid:159)(cid:158)P(cid:148)(cid:183) PF =2(cid:57)(cid:204)(cid:84)PF(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:158) (cid:57)(cid:66)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
2 1
4
x2 y2 x2 y2
A(cid:148) - =1 B(cid:148) - =1
8 4 4 8
x2 y2 x2 y2
C(cid:148) - =1 D(cid:148) - =1
4 2 2 4
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)Db b
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:264)(cid:166)(cid:4)(cid:102)(cid:204)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:185)(cid:186)(cid:48)(cid:187)b(cid:57)(cid:165)ÐPOF =q(cid:57)(cid:166)tanq= = (cid:171)(cid:102) OP =a(cid:57)OF =c.(cid:193)(cid:166)
2 OP a 2
a 2
(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:18)(cid:71)(cid:72)(cid:185)(cid:186)(cid:171)(cid:102)y (cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:171)(cid:102)x (cid:57)(cid:66)(cid:137)(cid:171)(cid:102) = (cid:57)(cid:49)(cid:187)a(cid:57)(cid:172)(cid:173)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:102)(cid:161)
P P a2+2 4
(cid:162).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:58)(cid:101)(cid:57)
b
(cid:176)(cid:158)F c,0(cid:57)(cid:206)(cid:231)(cid:165)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y= x(cid:57)(cid:174)bx-ay=0(cid:57)
2 a
bc bc
(cid:177)(cid:138) PF = = =b(cid:57)
2 a2+b2 c
(cid:177)(cid:138)b=2.
PF b b
(cid:165)ÐPOF =q,(cid:66)tanq= 2 = = (cid:57)(cid:177)(cid:138) OP =a(cid:57)(cid:177)(cid:138)OF =c.
2 OP OP a 2
ab
1 1 ab a2
(cid:176)(cid:158) ab= c×y ,(cid:177)(cid:138)y = (cid:57)(cid:177)(cid:138) y c b(cid:57)(cid:177)(cid:138)x = (cid:57)
2 2 P P c tanq= P = = P c
x x a
P P
æa2 abö
(cid:177)(cid:138)Pç , ÷(cid:57)
è c c ø
(cid:176)(cid:158)F -c,0(cid:57)
1
ab
c ab 2a a 2
(cid:177)(cid:138)k = = = = = (cid:57)
PF1 a2 a2+c2 a2+a2+4 a2+2 4
+c
c
(cid:177)(cid:138) 2  a2+2  =4a(cid:57)(cid:49)(cid:171)a= 2(cid:57)
x2 y2
(cid:177)(cid:138)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158) - =1
2 4
(cid:180)(cid:112)(cid:151)D
x2 y2
12(cid:148)（2022·天津·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84) - =1(a>0,b>0)(cid:18)(cid:212)(cid:32)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:5)(cid:209)(cid:158)F,F (cid:57)(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =4 5x
a2 b2 1 2p
(cid:18)(cid:20)(cid:84)l(cid:250)(cid:100)F (cid:57)(cid:218)l(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:85)(cid:107)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:237)(cid:215)(cid:4)A(cid:57)(cid:183)ÐFF A= (cid:57)(cid:66)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
1 1 2 4
x2 y2 x2 y2
A(cid:148) - =1 B(cid:148) - =1
16 4 4 16
x2 y2
C(cid:148) -y2 =1 D(cid:148)x2- =1
4 4
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)D
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:166)(cid:149)(cid:150)(cid:137)(cid:171)(cid:187)c(cid:18)(cid:122)(cid:57)(cid:48)(cid:187)(cid:4)A(cid:18)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:5)(cid:164)(cid:137)(cid:171) AF = FF (cid:57)(cid:166)(cid:194)(cid:137)(cid:171)(cid:187)(cid:55)(cid:215)a(cid:32)b(cid:32)c(cid:18)(cid:21)(cid:22)
1 1 2
(cid:235)(cid:57)(cid:49)(cid:187)(cid:245)(cid:43)(cid:182)(cid:75)(cid:18)(cid:122)(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:187)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22).
   
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =4 5x(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x=- 5(cid:57)(cid:66)c= 5(cid:57)(cid:66)F - 5,0 (cid:32)F 5,0 (cid:57)
1 2
ì b ìx=-c
ïy=- x ï æ bcö
(cid:206)(cid:231)(cid:165)(cid:4)A(cid:158)(cid:223)(cid:86)(cid:260)(cid:261)(cid:286)(cid:18)(cid:4)(cid:57)(cid:195)(cid:196)í a (cid:57)(cid:137)(cid:171)í bc(cid:57)(cid:174)(cid:4)Aç-c, ÷(cid:57)
ï îx=-c ï î y= a è a ø
p
(cid:176)(cid:158)AF ^FF (cid:218)ÐFF A= (cid:57)(cid:66)(cid:248)FF A(cid:158)(cid:76)(cid:287)(cid:204)(cid:44)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:57)
1 1 2 1 2 4 1 2
bc b
(cid:218) AF = FF (cid:57)(cid:174) =2c(cid:57)(cid:137)(cid:171) =2(cid:57)
1 1 2 a a
ìb
=2
ï a ìa=1
ï ï ï y2
(cid:177)(cid:138)(cid:57)íc= 5 (cid:57)(cid:49)(cid:171)íb=2 (cid:57)(cid:176)(cid:194)(cid:57)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x2- =1.
ï
ï
c2 =a2+b2 ï
îc= 5
4
ïî
(cid:180)(cid:112)(cid:151)D.
x2 y2
13(cid:148)(cid:10)(cid:288)(cid:112)(cid:13)(cid:11)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:82)(cid:83)(cid:84)C: - =1(a>0,b>0)(cid:18)(cid:212)(cid:32)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:5)(cid:209)(cid:158)F(cid:32)F (cid:57)
a2 b2 1 2
5p
(cid:212)(cid:32)(cid:213)(cid:214)(cid:4)(cid:5)(cid:209)(cid:158)A(cid:57)A (cid:57)(cid:138)FF (cid:158)(cid:204)(cid:276)(cid:18)(cid:17)(cid:51)C(cid:18)(cid:85)(cid:107)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:237)(cid:215)M(cid:57)N(cid:181)(cid:4)(cid:57)(cid:218)ÐNAM = (cid:57)(cid:66)
1 2 1 2 1 6
(cid:10) (cid:11)
p
A(cid:148)ÐAMA = B(cid:148) MA =2 MA
1 2 6 1 2
C(cid:148)C(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158) 13 D(cid:148)(cid:233)a= 2(cid:262)(cid:57)(cid:238)(cid:54)(cid:45)NAMA (cid:18)(cid:71)(cid:72)(cid:158)8 3
1 2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)ACD
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:166)(cid:191)(cid:241)(cid:238)(cid:54)(cid:45)(cid:18)(cid:25)(cid:26)(cid:123)(cid:124)A(cid:65)(cid:166)FM ^FM (cid:218) MO =c(cid:63)(cid:64)M (cid:179)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:27)(cid:137)(cid:48)M (cid:18)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:137)
1 2
(cid:123)(cid:124)B(cid:18)(cid:62)(cid:285)(cid:57)(cid:73)(cid:96)(cid:115)(cid:116)(cid:43)(cid:44)(cid:289)(cid:81)(cid:52)(cid:53)(cid:41)(cid:59)(cid:60)(cid:52)(cid:61)(cid:201)(cid:137)(cid:123)(cid:124)(cid:65)(cid:166)(cid:114)(cid:84)(cid:74)(cid:75)(cid:63)(cid:64)B(cid:18)(cid:63)(cid:290)(cid:137)(cid:171)c2 =13a2(cid:57)(cid:119)
MA b
(cid:120)(cid:258)(cid:137)(cid:123)(cid:124)C(cid:18)(cid:62)(cid:285)(cid:57)(cid:73)(cid:96)(cid:115)(cid:116) 2 = = 3(cid:291)(cid:63)(cid:64)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:292)(cid:45)(cid:185)(cid:186)(cid:174)(cid:137)(cid:123)(cid:124)(cid:65)(cid:63)(cid:64)BC(cid:18)(cid:63)(cid:290)(cid:48)(cid:187)(cid:71)
AA 2a
1 2(cid:72)(cid:258)(cid:137)(cid:123)(cid:124)D(cid:18)(cid:62)(cid:285).
b
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:206)(cid:231)(cid:165)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:158)y= x(cid:57)M (cid:179)(cid:223)(cid:85)(cid:260)(cid:261)(cid:57)N (cid:179)(cid:223)(cid:43)(cid:260)(cid:261)(cid:57)
a
5π π
(cid:219)(cid:215)A(cid:57)(cid:166)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:219)(cid:220)(cid:25)(cid:137)(cid:171)AMA N(cid:158)(cid:191)(cid:241)(cid:238)(cid:54)(cid:45)(cid:57)(cid:180)ÐAMA =π- = (cid:57)
1 2 1 2 6 6
(cid:180)A(cid:62)(cid:266)(cid:65)
(cid:219)(cid:215)B(cid:57)(cid:21)(cid:184)(cid:85)(cid:151)(cid:176)(cid:158)M (cid:179)(cid:138)FF (cid:158)(cid:204)(cid:276)(cid:18)(cid:17)(cid:27)(cid:57)(cid:180)FM ^FM (cid:218) MO =c(cid:57)
1 2 1 2
ì
x2+y2 =c2
ï ï 0 0 ìx =a
(cid:165)Mx ,y (cid:57)(cid:66)í (cid:57)(cid:180)í 0 (cid:57)(cid:180)MA ^ AA (cid:57)
0 0
ï
y
0 =
b îy
0
=b 2 1 2
ï îx a
0
π 3 2 3
(cid:166)A(cid:171)ÐAMA = (cid:57)(cid:180) MA = MA ´ (cid:174) MA = MA (cid:57)(cid:180)B(cid:284)(cid:285)(cid:65)
1 2 6 2 1 2 1 3 2
b
(cid:21)(cid:184)(cid:86)(cid:151)(cid:176)(cid:158)tanÐMOA = (cid:57)(cid:176)(cid:158)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:114)(cid:57)c2 =a2+b2(cid:57)
2 a
a
(cid:66)cosÐMOA = (cid:57)(cid:178)(cid:176)(cid:158)(cid:138)FF (cid:158)(cid:204)(cid:276)(cid:18)(cid:17)(cid:51)C(cid:18)(cid:85)(cid:107)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:237)(cid:215)M (cid:32)N (cid:57)(cid:66)OM =c(cid:57)
2 c 1 2
a
(cid:66)(cid:183)(cid:100)(cid:4)M (cid:143)x(cid:105)(cid:155)(cid:156)(cid:84)(cid:57)(cid:156)(cid:159)(cid:158)H(cid:57)(cid:66)OH =c× =a= OA (cid:57)(cid:66)(cid:4)H(cid:51)A H(cid:68)(cid:64)(cid:57)(cid:66)MA ^x(cid:105)(cid:57)(cid:66)
c 2 2 2
p
MA = c2-a2 =b(cid:57)(cid:66)VAHM (cid:158)(cid:204)(cid:44)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:57)(cid:218)ÐAMH = (cid:57)(cid:66)2 MA = 3 MA (cid:57)
2 1 1 6 2 1
(cid:21)(cid:184)(cid:43)(cid:151)(cid:179)VOMA (cid:115)(cid:116)(cid:59)(cid:60)(cid:52)(cid:61)(cid:150)(cid:57) MA 2 = OM 2+ OA 2-2OM OA cosÐMOA (cid:57)
2 2 2 2 2a
(cid:174) MA 2 =c2+a2-2ac× =b2(cid:57)(cid:66) MA =b(cid:57)
2 c 2
p
(cid:66)VAAM (cid:158)(cid:204)(cid:44)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:57)(cid:218)ÐAMA = (cid:57)(cid:66)2 MA = 3 MA (cid:57)(cid:180)B(cid:284)(cid:285)(cid:65)
1 2 1 2 6 2 1
(cid:219)(cid:215)C(cid:57)(cid:21)(cid:184)(cid:85)(cid:151)(cid:176)(cid:158)M uuu O ur = 1 M uuu A ur +M uuu A ur  (cid:57)(cid:180)4M uuu O ur 2 =M uuu A ur 2 +2M uuu A ur ×M uuu A ur +M uuu A ur 2(cid:57)
2 1 2 1 1 2 2
2 3
(cid:166)B(cid:137)(cid:150) MA =b, MA = b(cid:57)
2 1 3
4 2 3 3 13 13
(cid:180)4c2 =b2+ b2+2´b´ b´ = b2 =  c2-a2(cid:174)c2 =13a2(cid:57)
3 3 2 3 3
(cid:180)(cid:38)(cid:39)(cid:40)e= 13(cid:57)(cid:180)C(cid:62)(cid:266)(cid:65)
MA b b c b2
(cid:21)(cid:184)(cid:86)(cid:151)(cid:176)(cid:158) 2 = = 3(cid:57)(cid:66) =2 3(cid:57)(cid:66)e= = 1+ = 1+(2 3)2 = 13(cid:57)(cid:180)C(cid:62)(cid:266)(cid:65)
AA 2a a a a2
1 2
(cid:219)(cid:215)D(cid:57)(cid:233)a= 2(cid:262)(cid:57)(cid:166)C(cid:137)(cid:150)e= 13(cid:57)(cid:180)c= 26(cid:57)
1
(cid:180)b=2 6(cid:57)(cid:180)(cid:238)(cid:54)(cid:45)NAMA (cid:158)2S =2´ ´2 6´2 2 =8 3(cid:57)
1 2 (cid:248)MA1A2 2
(cid:180)D(cid:62)(cid:266)(cid:57)
(cid:180)(cid:112)(cid:151)ACD.
14(cid:148)(cid:10)(cid:288)(cid:112)(cid:13)(cid:11)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:82)(cid:83)(cid:84)C(cid:18)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:4)(cid:158)F,F (cid:57)(cid:138)C(cid:18)(cid:269)(cid:105)(cid:158)(cid:204)(cid:276)(cid:18)(cid:17)(cid:133)(cid:158)
1 2
3
D(cid:57)(cid:100)F (cid:155)D(cid:18)(cid:293)(cid:84)(cid:51)C(cid:237)(cid:215)M(cid:57)N(cid:181)(cid:4)(cid:57)(cid:218)cosÐFNF = (cid:57)(cid:66)C(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
1 1 2 5
5 3 13 17
A(cid:148) B(cid:148) C(cid:148) D(cid:148)
2 2 2 2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)AC
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:294)(cid:13)(cid:154)(cid:206)(cid:231)(cid:165)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:42)(cid:4)(cid:179)x(cid:105)(cid:57)(cid:165)(cid:100)F (cid:155)(cid:17)D(cid:18)(cid:293)(cid:84)(cid:293)(cid:4)(cid:158)G(cid:57)(cid:115)(cid:116)(cid:62)(cid:60)(cid:52)(cid:61)(cid:63)(cid:64)(cid:43)(cid:44)(cid:292)(cid:295)(cid:32)
1
(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:171)(cid:102)2b=3a(cid:73)a=2b(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:49)(cid:57)(cid:296)(cid:154)(cid:297)M,N(cid:179)(cid:82)(cid:271)(cid:27)(cid:203)(cid:207)(cid:179)(cid:298)(cid:271)(cid:27)(cid:5)(cid:6)(cid:230)(cid:136).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)[(cid:21)(cid:184)(cid:85)](cid:151)(cid:77)(cid:78)(cid:184)(cid:57)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:52)(cid:53)(cid:18)(cid:299)(cid:116)
(cid:9)(cid:229)(cid:85)
M(cid:32)N(cid:179)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:239)(cid:85)(cid:271)(cid:57)(cid:294)(cid:13)(cid:154)(cid:206)(cid:231)(cid:165)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:42)(cid:4)(cid:179)x(cid:105)(cid:57)(cid:165)(cid:100)F (cid:155)(cid:17)D(cid:18)(cid:293)(cid:84)(cid:293)(cid:4)(cid:158)B(cid:57)
13
(cid:177)(cid:138)OB^FN(cid:57)(cid:176)(cid:158)cosÐFNF = >0(cid:57)(cid:177)(cid:138)N (cid:179)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:212)(cid:271)(cid:57)
1 1 2 5
3 4
OB =a(cid:57)OF =c(cid:57) FB =b(cid:57)(cid:165)ÐFNF =a(cid:57)(cid:166)(cid:174)cosa= (cid:57)(cid:66)sina= (cid:57)
1 1 1 2 5 5
3 5
NA = a(cid:57)NF = a
2 2 2
NF - NF =2a
2 1
5 æ3 ö
a-ç a-2b÷=2a(cid:57)
2 è2 ø
5
2b=a(cid:57)\e=
2
(cid:112)A
(cid:9)(cid:229)(cid:86)
3
(cid:183)M(cid:32)N(cid:179)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:181)(cid:271)(cid:57)(cid:176)(cid:158)cosÐFNF = >0(cid:57)(cid:177)(cid:138)N (cid:179)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:213)(cid:271)(cid:57)
1 2 5
(cid:177)(cid:138) OB =a(cid:57)OF =c(cid:57) FB =b(cid:57)(cid:165)ÐFNF =a(cid:57)
1 1 1 2
3 3 4
(cid:166)cosÐFNF = (cid:57)(cid:174)cosa= (cid:57)(cid:66)sina= (cid:57)
1 2 5 5 5
3 5
NA = a(cid:57)NF = a
2 2 2
NF - NF =2a
1 2
3 5
a+2b- a=2a(cid:57)
2 2
b 3
(cid:177)(cid:138)2b=3a(cid:57)(cid:174) = (cid:57)
a 2
c b2 13
(cid:177)(cid:138)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)e= = 1+ =
a a2 2
(cid:112)C
[(cid:21)(cid:184)(cid:86)](cid:151)(cid:161)(cid:162)(cid:300)(cid:172)(cid:184)5
A(cid:112)(cid:279)e=
2
(cid:127)(cid:122)(cid:82)(cid:83)(cid:84)
x2
   
-y2 =1,\F - 5,0 ,F 5,0 (cid:57)
4 1 2
 
(cid:100)F(cid:218)(cid:51)(cid:17)(cid:111)(cid:293)(cid:18)(cid:85)(cid:107)(cid:204)(cid:84)(cid:158)y=2 x+ 5 (cid:57)
1
æ 6 2 ö
Q(cid:181)(cid:237)(cid:4)(cid:301)(cid:179)(cid:212)(cid:271),\Nç- 5,- 5÷(cid:57)
è 5 5 ø
\NF =5, NF =1, FF =2 5(cid:57)
2 1 1 2
3
(cid:66)cosÐFNF = (cid:57)
1 2 5
13
C(cid:112)(cid:279)e=
2
x2 y2
   
(cid:127)(cid:122)(cid:82)(cid:83)(cid:84) - =1,\F - 13,0 ,F 13,0 (cid:57)
4 9 1 2
2 
(cid:100)F(cid:218)(cid:51)(cid:17)(cid:111)(cid:293)(cid:18)(cid:85)(cid:107)(cid:204)(cid:84)(cid:158)y= x+ 13 (cid:57)
1 3
æ14 18 ö
Q(cid:181)(cid:237)(cid:4)(cid:179)(cid:212)(cid:213)(cid:181)(cid:271)(cid:57)N(cid:179)(cid:213)(cid:271)(cid:57)\Nç 13, 13÷(cid:57)
è13 13 ø
\NF =5, NF =9, FF =2 13(cid:57)
2 1 1 2
3
(cid:66)cosÐFNF = (cid:57)
1 2 5
[(cid:21)(cid:184)(cid:43)](cid:151)
(cid:294)(cid:13)(cid:154)(cid:206)(cid:231)(cid:165)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:42)(cid:4)(cid:179)x(cid:105)(cid:57)(cid:165)(cid:100)F (cid:155)(cid:17)D(cid:18)(cid:293)(cid:84)(cid:293)(cid:4)(cid:158)G(cid:57)
1
(cid:183)M,N(cid:5)(cid:209)(cid:179)(cid:212)(cid:213)(cid:271)(cid:57)
3
(cid:176)(cid:158)OG^NF (cid:57)(cid:218)cosÐFNF = >0(cid:57)(cid:177)(cid:138)N (cid:179)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:213)(cid:271)(cid:57)
1 1 2 5
(cid:178)OG =a(cid:57)OF =c(cid:57)GF =b(cid:57)
1 1
(cid:165)ÐFNF =a(cid:57)ÐF FN =b(cid:57)
1 2 2 1
NF NF 2c
(cid:179) FNF (cid:114)(cid:57)(cid:243) 2 = 1 = (cid:57)
1 2 sinb sina+b sina
△
NF - NF 2c a c
(cid:180) 1 2 = (cid:174) = (cid:57)
sina+b-sinb sina sina+b-sinb sina
a c
(cid:177)(cid:138) = (cid:57)
sinacosb+cosasinb-sinb sina3 a b 4
(cid:190)cosa= (cid:57)sinb= (cid:57)cosb= (cid:57)(cid:180)sina= (cid:57)
5 c c 5
b 3
(cid:172)(cid:173)(cid:222)(cid:61)(cid:171)(cid:102)2b=3a(cid:57)(cid:174) = (cid:57)
a 2
c b2 13
(cid:177)(cid:138)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)e= = 1+ =
a a2 2
(cid:183)M,N(cid:217)(cid:179)(cid:212)(cid:271)(cid:27)(cid:57)
NF NF 2c b
(cid:239)(cid:61)(cid:243) 2 = 1 = (cid:57)(cid:24)(cid:114)b(cid:158)(cid:302)(cid:44)(cid:57)(cid:180)cosb=- (cid:57)
sinb sina+b sina c
NF - NF 2c a c
(cid:180) 2 1 = (cid:174) = (cid:57)
sinb-sina+b sina sinb-sinacosb-cosasinb sina
3 a 4 a 1
(cid:172)(cid:173)cosa= (cid:57)sinb= (cid:57)sina= (cid:57)(cid:222)(cid:61)(cid:171)(cid:102)(cid:151) = (cid:57)
5 c 5 4b+ 2a 4
æbö 2 5
(cid:180)a=2b(cid:57)(cid:180)e= 1+ç ÷ = (cid:57)
èaø 2
(cid:180)(cid:112)(cid:151)AC.
15(cid:148)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:82)(cid:83)(cid:84)5x2-6y2 =1(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)__________(cid:148)
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)
66
6
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:264)(cid:216)(cid:210)(cid:52)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:118)(cid:158)(cid:19)(cid:20)(cid:45)(cid:186)(cid:57)(cid:266)(cid:52)a2(cid:32)b2(cid:57)(cid:193)(cid:115)(cid:116)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:114)a,b,c(cid:18)(cid:55)(cid:56)(cid:48)(cid:187)c(cid:57)(cid:121)(cid:258)(cid:167)(cid:168)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:52)(cid:53)(cid:119)(cid:120)(cid:63)(cid:290).
x2 y2
- =1 1 1
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:216)(cid:82)(cid:83)(cid:84)5x2-6y2 =1(cid:118)(cid:158)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:171) 1 1 (cid:57)(cid:66)a2 = ,b2 = (cid:57)
5 6
5 6
11
(cid:176)(cid:194)c2 =a2+b2 = 1 + 1 = 11 (cid:57)(cid:66)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)e= c = c2 = 30 = 11 = 66 .
5 6 30 a a2 1 6 6
5
x2 y2
16(cid:148)（2025·上海·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84) - =1(a>0)(cid:18)(cid:212)(cid:32)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:5)(cid:209)(cid:158)F(cid:32)F (cid:148)(cid:99)(cid:100)F (cid:218)(cid:303)(cid:129)(cid:44)
a2 6-a2 1 2 2
π
(cid:158) (cid:18)(cid:204)(cid:84)(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:237)(cid:215)(cid:223)(cid:85)(cid:260)(cid:261)(cid:18)(cid:4)A(cid:57)(cid:304)(cid:70)AF (cid:305)B(cid:306)(cid:171)AB= AF (cid:148)(cid:183)VBFF (cid:18)(cid:71)(cid:72)(cid:158)3 6(cid:57)(cid:66)a(cid:18)
3 2 1 1 2
(cid:122)(cid:158)__________(cid:148)
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163) 3
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:155)(cid:101)(cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:71)(cid:72)(cid:185)(cid:186)(cid:138)(cid:23)(cid:204)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:63)(cid:64)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:137)(cid:171)(cid:161)(cid:162).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:137)(cid:155)(cid:101)(cid:58)(cid:226)(cid:151)
x2 y2
(cid:166) - =1(cid:57)(cid:66)b2 =6-a2 >0(cid:57)(cid:49)(cid:171)0<a< 6(cid:57)(cid:218)c= a2+b2 = 6(cid:57)
a2 6-a2
   
(cid:66)F - 6,0 (cid:57)F 6,0 (cid:57)
1 2
1
(cid:165)Bx ,y (cid:57)(cid:66)S = × y × FF = 6 y =3 6(cid:57)(cid:49)(cid:171)y =-3(cid:57)
B B VBF1F2 2 B 1 2 B B
π  
(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:137)(cid:171)(cid:204)(cid:84)AB(cid:18)(cid:129)(cid:40)tan = 3(cid:57)(cid:66)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y= 3 x- 6 (cid:57)
3
 
(cid:216)y =-3(cid:172)(cid:173)(cid:27)(cid:186)(cid:57)(cid:66)-3= 3 x - 6 (cid:57)(cid:49)(cid:171)x = 6- 3(cid:57)
B B B
(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:137)(cid:171) AF - AF = AB - AF = BF =  6- 3- 6 2 +-3-02 =2 3(cid:57)
1 2 2 2
(cid:197)(cid:150)a= 3.
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151) 3.
17(cid:148)（2024·上海·高考真题）(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:54)(cid:70)(cid:158)5(cid:57)6(cid:57)7(cid:57)(cid:66)(cid:138)(cid:54)(cid:70)(cid:158)6(cid:18)(cid:181)(cid:182)(cid:214)(cid:4)(cid:158)(cid:42)(cid:4)(cid:57)(cid:100)(cid:307)(cid:308)(cid:85)(cid:182)(cid:214)(cid:4)(cid:18)
(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)______.(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)3
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:115)(cid:116)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:48)(cid:49)(cid:174)(cid:137).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:166)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:57)2c=6,2a=7-5=2,
c
(cid:66)e= =3.
a
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151)3
18(cid:148)（2024·天津·高考真题）(cid:165)aÎR(cid:57)(cid:289)(cid:81) f x=2 x2-ax- ax-2 +1.(cid:183) f x(cid:309)(cid:243)(cid:85)(cid:182)(cid:310)(cid:4)(cid:57)(cid:66)a(cid:18)(cid:232)
(cid:122)(cid:311)(cid:312)(cid:158)______(cid:148)
   
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163) - 3,-1 È 1, 3
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:63)(cid:64)(cid:289)(cid:81)(cid:310)(cid:4)(cid:51)(cid:181)(cid:289)(cid:81)(cid:18)(cid:237)(cid:4)(cid:18)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:253)(cid:254)(cid:289)(cid:81)gx=2 x2-ax (cid:51)hx=í (cid:57)(cid:66)(cid:181)(cid:289)
2
ï1-ax,x<
ïî a
(cid:81)(cid:101)(cid:260)(cid:243)(cid:313)(cid:85)(cid:237)(cid:4)(cid:57)(cid:5)a=0(cid:32)a>0(cid:51)a<0(cid:240)(cid:241)(cid:230)(cid:136)(cid:57)(cid:233)a>0(cid:262)(cid:57)(cid:119)(cid:120)(cid:289)(cid:81)(cid:52)(cid:53)(cid:314)(cid:137)(cid:171)x³a(cid:73)x£0(cid:57)(cid:119)(cid:120)
(cid:137)(cid:171)aÎ0,2(cid:262)(cid:57)(cid:181)(cid:289)(cid:81)(cid:179)y(cid:105)(cid:212)(cid:67)(cid:243)(cid:85)(cid:237)(cid:4)(cid:57)(cid:66)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:102)(cid:233)aÎ0,2(cid:262)(cid:57)(cid:179)y(cid:105)(cid:213)(cid:67)(cid:234)(cid:237)(cid:4)(cid:18)(cid:9)(cid:229)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:65)
(cid:233)a<0(cid:262)(cid:57)(cid:318)(cid:239)(cid:85)(cid:21)(cid:186)(cid:230)(cid:136)(cid:174)(cid:137)(cid:171).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:319) f x=0(cid:57)(cid:174)2 x2-ax = ax-2 -1(cid:57)
(cid:166)(cid:13)(cid:137)(cid:171)x2-ax³0(cid:57)
1
(cid:233)a=0(cid:262)(cid:57)xÎR(cid:57)(cid:243)2 x2 = -2 -1=1(cid:57)(cid:66)x=± (cid:57)(cid:206)(cid:320)(cid:64)(cid:321)(cid:48)(cid:57)(cid:322)(cid:282)(cid:65)
2
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a
(cid:233)a>0(cid:262)(cid:57)(cid:66)2 x2-ax = ax-2 -1=í (cid:57)
2
ï1-ax,x<
ïî a
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a
(cid:174)(cid:289)(cid:81)gx=2 x2-ax (cid:51)(cid:289)(cid:81)hx=í (cid:243)(cid:313)(cid:85)(cid:237)(cid:4)(cid:57)
2
ï1-ax,x<
ïî a
(cid:166)x2-ax³0(cid:57)(cid:137)(cid:171)x³a(cid:73)x£0(cid:57)
(cid:233)x£0(cid:262)(cid:57)(cid:66)ax-2<0(cid:57)(cid:66)2 x2-ax = ax-2 -1=1-ax(cid:57)
(cid:174)4x2-4ax=1-ax2(cid:57)(cid:222)(cid:61)(cid:171)  4-a2 x2-2ax-1=é
ë
2+ax+1ù
û
é
ë
2-ax-1ù
û
=0(cid:57)
1
(cid:233)a=2(cid:262)(cid:57)(cid:174)4x+1=0(cid:57)(cid:174)x=- (cid:57)
41 1
(cid:233)aÎ0,2(cid:57)x=- (cid:73)x= >0(cid:10)(cid:62)(cid:122)(cid:322)(cid:282)(cid:11)(cid:57)
2+a 2-a
1 1
(cid:233)aÎ2,+¥(cid:262)(cid:57)x=- <0(cid:73)x= <0(cid:57)(cid:243)(cid:181)(cid:49)(cid:57)(cid:322)(cid:282)(cid:57)
2+a 2-a
(cid:174)(cid:233)aÎ0,2(cid:262)(cid:57)2 x2-ax- ax-2 +1=0(cid:179)x£0(cid:262)(cid:243)(cid:313)(cid:85)(cid:49)(cid:57)
(cid:66)(cid:233)aÎ0,2(cid:262)(cid:57)2 x2-ax- ax-2 +1=0(cid:179)x³a(cid:262)(cid:316)(cid:234)(cid:49)(cid:57)
(cid:233)aÎ0,2(cid:57)(cid:218)x³a(cid:262)(cid:57)
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a 2 1 3
(cid:166)(cid:289)(cid:81)hx=í (cid:55)(cid:215)x= (cid:219)(cid:220)(cid:57)(cid:319)hx=0(cid:57)(cid:137)(cid:171)x= (cid:73)x= (cid:57)
2 a a a
ï1-ax,x<
ïî a
æ1 2ö æ2 3ö
(cid:218)(cid:289)(cid:81)hx(cid:179)ç , ÷(cid:27)(cid:298)(cid:80)(cid:323)(cid:280)(cid:57)(cid:179)ç , ÷(cid:27)(cid:298)(cid:80)(cid:323)(cid:324)(cid:57)
èa aø èa aø
æ aö 2
çx- ÷
(cid:319)gx= y=2 x2-ax (cid:57)(cid:174) è 2ø - y2 =1(cid:57)
a2 a2
4
x2 y2
(cid:180)x³a(cid:262)(cid:57)gx(cid:101)(cid:260)(cid:158)(cid:82)(cid:83)(cid:84) a2 - a2 =1 (cid:213)(cid:271)(cid:18)x(cid:105)(cid:27)(cid:21)(cid:325)(cid:5)(cid:74)(cid:213)(cid:191)(cid:326) a (cid:177)(cid:171)(cid:57)
2
4
x2 y2 a
- =1 y=± x=±2x
(cid:166) a2 a2 (cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158) a (cid:57)
2
4
æ aö
(cid:174)gx(cid:325)(cid:5)(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=2çx- ÷(cid:57)(cid:24)(cid:129)(cid:40)(cid:158)2(cid:57)
è 2ø
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a 2
(cid:178)aÎ0,2(cid:57)(cid:174)hx=í (cid:179)x³ (cid:262)(cid:18)(cid:129)(cid:40)aÎ0,2(cid:57)
2 a
ï1-ax,x<
ïî a
(cid:319)gx=2 x2-ax =0(cid:57)(cid:137)(cid:171)x=a(cid:73)x=0(cid:10)(cid:322)(cid:282)(cid:11)(cid:57)
(cid:218)(cid:289)(cid:81)gx(cid:179)a,+¥(cid:27)(cid:298)(cid:80)(cid:323)(cid:324)(cid:57)
ì1
<a
ï
ïa
(cid:180)(cid:243)í (cid:57)(cid:49)(cid:171)1<a< 3(cid:57)(cid:180)1<a< 3(cid:320)(cid:64)(cid:321)(cid:48)(cid:65)
3
ï >a
ïîa
ì 2
ax-3,x£
ï
ï a
(cid:233)a<0(cid:262)(cid:57)(cid:66)2 x2-ax = ax-2 -1=í (cid:57)
2
ï1-ax,x>
ïî aì 2
ax-3,x£
ï
ï a
(cid:174)(cid:289)(cid:81)gx=2 x2-ax (cid:51)(cid:289)(cid:81)hx=í (cid:243)(cid:313)(cid:85)(cid:237)(cid:4)(cid:57)
2
ï1-ax,x>
ïî a
(cid:166)x2-ax³0(cid:57)(cid:137)(cid:171)x³0(cid:73)x£a(cid:57)
(cid:233)x³0(cid:262)(cid:57)(cid:66)ax-2<0(cid:57)(cid:66)2 x2-ax = ax-2 -1=1-ax(cid:57)
(cid:174)4x2-4ax=1-ax2(cid:57)(cid:222)(cid:61)(cid:171)  4-a2 x2-2ax-1=é
ë
2+ax+1ù
û
é
ë
2-ax-1ù
û
=0(cid:57)
1
(cid:233)a=-2(cid:262)(cid:57)(cid:174)4x-1=0(cid:57)(cid:174)x= (cid:57)
4
1 1
(cid:233)aÎ-2,0(cid:57)x=- <0(cid:10)(cid:327)(cid:122)(cid:322)(cid:282)(cid:11)(cid:73)x= 0(cid:57)
2+a 2-a
1 1
(cid:233)aÎ-¥,2(cid:262)(cid:57)x=- >0(cid:73)x= >0(cid:57)(cid:243)(cid:181)(cid:49)(cid:57)(cid:322)(cid:282)(cid:57)
2+a 2-a
(cid:174)(cid:233)aÎ-2,0(cid:262)(cid:57)2 x2-ax- ax-2 +1=0(cid:179)x³0(cid:262)(cid:243)(cid:313)(cid:85)(cid:49)(cid:57)
(cid:66)(cid:233)aÎ-2,0(cid:262)(cid:57)2 x2-ax- ax-2 +1=0(cid:179)x£a(cid:262)(cid:316)(cid:234)(cid:49)(cid:57)
(cid:233)aÎ-2,0(cid:57)(cid:218)x£a(cid:262)(cid:57)
ì 2
ax-3,x£
ï
ï a 2 1 3
(cid:166)(cid:289)(cid:81)hx=í (cid:55)(cid:215)x= (cid:219)(cid:220)(cid:57)(cid:319)hx=0(cid:57)(cid:137)(cid:171)x= (cid:73)x= (cid:57)
2 a a a
ï1-ax,x>
ïî a
æ2 1ö æ3 2ö
(cid:218)(cid:289)(cid:81)hx(cid:179)ç , ÷(cid:27)(cid:298)(cid:80)(cid:323)(cid:280)(cid:57)(cid:179)ç , ÷(cid:27)(cid:298)(cid:80)(cid:323)(cid:324)(cid:57)
èa aø èa aø
x2 y2
(cid:239)(cid:61)(cid:137)(cid:171)(cid:151)x£a(cid:262)(cid:57)gx(cid:101)(cid:260)(cid:158)(cid:82)(cid:83)(cid:84) a2 - a2 =1 (cid:212)(cid:271)(cid:18)x(cid:105)(cid:27)(cid:21)(cid:325)(cid:5)(cid:74)(cid:212)(cid:191)(cid:326) a (cid:177)(cid:171)(cid:57)
2
4
æ aö
gx(cid:325)(cid:5)(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=-2çx+ ÷(cid:57)(cid:24)(cid:129)(cid:40)(cid:158)-2(cid:57)
è 2ø
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a 2
(cid:178)aÎ-2,0(cid:57)(cid:174)hx=í (cid:179)x< (cid:262)(cid:18)(cid:129)(cid:40)aÎ-2,0(cid:57)
2 a
ï1-ax,x<
ïî a
(cid:319)gx=2 x2-ax =0(cid:57)(cid:137)(cid:171)x=a(cid:73)x=0(cid:10)(cid:322)(cid:282)(cid:11)(cid:57)
(cid:218)(cid:289)(cid:81)gx(cid:179)-¥,a(cid:27)(cid:298)(cid:80)(cid:323)(cid:280)(cid:57)
ì1
>a
ï
ïa
(cid:180)(cid:243)í (cid:57)(cid:49)(cid:171)- 3<a<-1(cid:57)(cid:180)- 3<a<-1(cid:320)(cid:64)(cid:321)(cid:48)(cid:65)
3
ï <a
ïîa   
(cid:140)(cid:27)(cid:177)(cid:236)(cid:57)aÎ - 3,-1 È 1, 3 .
   
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151) - 3,-1 È 1, 3 .
(cid:160)(cid:4)(cid:198)(cid:163)(cid:55)(cid:328)(cid:4)(cid:4)(cid:198)(cid:151)(cid:98)(cid:13)(cid:55)(cid:328)(cid:4)(cid:179)(cid:215)(cid:216)(cid:289)(cid:81) f x(cid:18)(cid:310)(cid:4)(cid:46)(cid:13)(cid:247)(cid:118)(cid:158)(cid:289)(cid:81)gx=2 x2-ax (cid:51)(cid:289)(cid:81)
ì 2
ax-3,x³
ï
ï a
hx=í (cid:18)(cid:237)(cid:4)(cid:46)(cid:13)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:137)(cid:216)(cid:24)(cid:5)(cid:265)(cid:181)(cid:182)(cid:289)(cid:81)(cid:329)(cid:330).
2
ï1-ax,x<
ïî a
x2 y2
19(cid:148)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:165)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C: - =1(a>0,b>0)(cid:18)(cid:212)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:5)(cid:209)(cid:158)F(cid:32)F (cid:57)(cid:100)F (cid:155)(cid:191)
a2 b2 1 2 2
(cid:241)(cid:215)y(cid:105)(cid:18)(cid:204)(cid:84)(cid:237)C(cid:215)A(cid:57)B(cid:181)(cid:4)(cid:57)(cid:183)|FA|=13,|AB|=10(cid:57)(cid:66)C(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)___________(cid:148)
1
3
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)
2
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:331)(cid:187)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:147)(cid:332)(cid:101)(cid:260)(cid:57)(cid:48)(cid:187) AF (cid:57)(cid:63)(cid:64)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:223)(cid:85)(cid:52)(cid:53)(cid:48)(cid:187) AF (cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:102)a,b,c(cid:18)(cid:122)(cid:57)
2 1
(cid:152)(cid:190)(cid:48)(cid:187)(cid:38)(cid:39)(cid:40).
x2 y2
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:166)(cid:13)(cid:137)(cid:150)A,B,F (cid:43)(cid:4)(cid:333)(cid:104)(cid:19)(cid:111)(cid:76)(cid:57)(cid:165)A(cid:179)(cid:223)(cid:85)(cid:260)(cid:261)(cid:57)(cid:216)x=c(cid:172)(cid:173) - =1
2 a2 b2
b2 æ b2 ö æ b2 ö 2b2 b2
(cid:171)y=± (cid:57)(cid:174)Açc, ÷,Bçc,- ÷(cid:57)(cid:180) AB = =10(cid:57) AF = =5(cid:57)
a è a ø è a ø a 2 a
b2
(cid:178) AF - AF =2a(cid:57)(cid:171) AF = AF +2a=2a+5=13(cid:57)(cid:49)(cid:171)a=4(cid:57)(cid:172)(cid:173) =5(cid:171)b2 =20(cid:57)
1 2 1 2
a
c 6 3
(cid:180)c2 =a2+b2 =36,(cid:57)(cid:174)c=6(cid:57)(cid:177)(cid:138)e= = = .
a 4 2
3
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151)
2
20(cid:148)（2023·北京·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C(cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:158)(-2,0)(cid:41)(2,0)(cid:57)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158) 2(cid:57)(cid:66)C(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)____________(cid:148)
x2 y2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163) - =1
2 2
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:210)(cid:52)(cid:107)(cid:108)(cid:57)(cid:48)(cid:187)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C(cid:18)(cid:269)(cid:244)(cid:105)(cid:32)(cid:268)(cid:244)(cid:105)(cid:70)(cid:57)(cid:193)(cid:246)(cid:187)C(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:155)(cid:161).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:319)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C(cid:18)(cid:269)(cid:244)(cid:105)(cid:32)(cid:268)(cid:244)(cid:105)(cid:70)(cid:5)(cid:209)(cid:158)a,b(cid:57)(cid:267)(cid:257)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C(cid:18)(cid:114)(cid:39)(cid:158)(cid:192)(cid:4)(cid:57)(cid:42)(cid:4)(cid:179)x(cid:105)(cid:27)(cid:57)(cid:24)(cid:244)(cid:42)(cid:103)c=2(cid:57)
c
(cid:166)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158) 2(cid:57)(cid:171) = 2(cid:57)(cid:49)(cid:171)a= 2(cid:57)(cid:66)b= c2-a2 = 2(cid:57)
a
x2 y2
(cid:177)(cid:138)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158) - =1.
2 2
x2 y2
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151) - =1
2 2
x2 y2
21(cid:148)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C: - =1(a>0,b>0)(cid:18)(cid:212)(cid:32)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:5)(cid:209)(cid:158)F,F (cid:148)(cid:4)A(cid:179)
a2 b2 1 2
uuur uuur uuuur 2uuuur
C(cid:27)(cid:57)(cid:4)B(cid:179)y(cid:105)(cid:27)(cid:57)FA^FB,F A=- F B(cid:57)(cid:66)C(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)________(cid:148)
1 1 2 3 2
3 5 3
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163) / 5
5 5
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:21)(cid:184)(cid:85)(cid:151)(cid:115)(cid:116)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:51)(cid:74)(cid:75)(cid:81)(cid:72)(cid:18)(cid:77)(cid:78)(cid:154)(cid:53)(cid:171)(cid:102) AF , BF , BF , AF (cid:55)(cid:215)a,m(cid:18)(cid:169)(cid:334)(cid:186)(cid:57)
2 2 1 1
(cid:152)(cid:190)(cid:115)(cid:116)(cid:188)(cid:189)(cid:52)(cid:61)(cid:48)(cid:171)a=m(cid:57)(cid:240)(cid:190)(cid:115)(cid:116)(cid:59)(cid:60)(cid:52)(cid:61)(cid:171)(cid:102)a,c(cid:18)(cid:255)(cid:256)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:171)(cid:49).
5 2
(cid:21)(cid:184)(cid:86)(cid:151)(cid:294)(cid:13)(cid:154)(cid:165)(cid:187)(cid:227)(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:166)(cid:74)(cid:75)(cid:104)(cid:19)(cid:259)(cid:120)(cid:48)(cid:171)x = c,y =- t(cid:57)t2 =4c2(cid:57)(cid:216)(cid:4)A(cid:172)(cid:173)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C
0 3 0 3
(cid:171)(cid:102)(cid:55)(cid:215)a,b,c(cid:18)(cid:255)(cid:256)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:171)(cid:49)(cid:65)
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:21)(cid:184)(cid:85)(cid:151)
(cid:294)(cid:13)(cid:154)(cid:57)(cid:165) AF =2m(cid:57)(cid:66) BF =3m= BF , AF =2a+2m(cid:57)
2 2 1 1
(cid:179)RtVABF (cid:114)(cid:57)9m2+(2a+2m)2 =25m2(cid:57)(cid:66)(a+3m)(a-m)=0(cid:57)(cid:180)a=m(cid:73)a=-3m(cid:10)(cid:322)(cid:282)(cid:11)(cid:57)
1
(cid:177)(cid:138) AF =4a, AF =2a(cid:57) BF = BF =3a(cid:57)(cid:66) AB =5a(cid:57)
1 2 2 1
AF 4a 4
(cid:180)cosÐFAF = 1 = = (cid:57)
1 2 AB 5a 5
16a2+4a2-4c2 4
(cid:177)(cid:138)(cid:179)VAFF (cid:114)(cid:57)cosÐFAF = = (cid:57)(cid:222)(cid:61)(cid:171)5c2 =9a2(cid:57)
1 2 1 2 2´4a´2a 5
c 3 5
(cid:180)e= = .
a 5(cid:21)(cid:184)(cid:86):
(cid:294)(cid:13)(cid:154)(cid:57)(cid:171)F(-c,0),F (c,0)(cid:57)(cid:319)Ax ,y ,B(0,t)(cid:57)
1 2 0 0
uuuur 2uuuur 2 5 2
(cid:176)(cid:158)F A=- F B(cid:57)(cid:177)(cid:138)x -c,y =- -c,t(cid:57)(cid:66)x = c,y =- t(cid:57)
2 3 2 0 0 3 0 3 0 3
uuur uuur uuur uuur æ8 2 ö 8 2
(cid:178)FA^FB(cid:57)(cid:177)(cid:138)FA×FB=ç c,- t÷×c,t = c2- t2 =0(cid:57)(cid:66)t2 =4c2(cid:57)
1 1 1 1 è3 3 ø 3 3
25 4
c2 t2 25c2 4t2 25c2 16c2
(cid:178)(cid:4)A(cid:179)C(cid:27)(cid:57)(cid:66) 9 9 (cid:57)(cid:222)(cid:61)(cid:171) - =1(cid:57)(cid:66) - =1(cid:57)
- =1 9a2 9b2 9a2 9b2
a2 b2
(cid:177)(cid:138)25c2b2-16c2a2 =9a2b2(cid:57)(cid:174)25c2 c2-a2 -16a2c2 =9a2 c2-a2 (cid:57)
(cid:222)(cid:61)(cid:171)25c4-50a2c2+9a4 =0(cid:57)(cid:66)
 5c2-9a2 5c2-a2
=0(cid:57)(cid:49)(cid:171)5c2 =9a2(cid:73)5c2 =a2(cid:57)
3 5 5 3 5
(cid:178)e>1(cid:57)(cid:177)(cid:138)e= (cid:73)e= (cid:10)(cid:322)(cid:282)(cid:11)(cid:57)(cid:180)e= .
5 5 5
3 5
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151) .
5
(cid:160)(cid:4)(cid:198)(cid:163)(cid:55)(cid:328)(cid:4)(cid:198)(cid:151)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:100)(cid:42)(cid:4)(cid:18)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:18)(cid:49)(cid:202)(cid:55)(cid:328)(cid:207)(cid:335)(cid:5)(cid:115)(cid:116)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:57)(cid:63)(cid:64)(cid:188)(cid:189)(cid:52)(cid:61)(cid:51)(cid:59)(cid:60)(cid:52)
(cid:61)(cid:171)(cid:102)(cid:55)(cid:215)a,b,c(cid:18)(cid:255)(cid:256)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:171)(cid:49).
x2 y2 b
22(cid:148)（2022·浙江·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84) - =1(a>0,b>0)(cid:18)(cid:212)(cid:42)(cid:4)(cid:158)F(cid:57)(cid:100)F(cid:218)(cid:129)(cid:40)(cid:158) (cid:18)(cid:204)(cid:84)(cid:237)
a2 b2 4a
(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:215)(cid:4)Ax,y (cid:57)(cid:237)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:215)(cid:4)Bx ,y (cid:218)x <0<x (cid:148)(cid:183)|FB|=3|FA|(cid:57)(cid:66)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)
1 1 2 2 1 2
(cid:207)_________(cid:148)
3 6
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)
4
b
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:195)(cid:196)(cid:204)(cid:84)AB(cid:41)(cid:94)(cid:95)(cid:84)l :y= x(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:137)(cid:48)(cid:187)(cid:4)B(cid:57)(cid:193)(cid:167)(cid:168)|FB|=3|FA|(cid:137)(cid:48)(cid:171)(cid:4)A(cid:57)(cid:121)(cid:258)(cid:167)(cid:168)(cid:4)
2 a
A(cid:179)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:49)(cid:187)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:148)
b b b
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:100)F (cid:218)(cid:129)(cid:40)(cid:158) (cid:18)(cid:204)(cid:84)AB:y= (x+c)(cid:57)(cid:94)(cid:95)(cid:84)l :y= x(cid:57)
4a 4a 2 a
ì b
y= (x+c)
ï ï 4a æc bcö æ 5c bcö
(cid:195)(cid:196)í (cid:57)(cid:171)Bç , ÷(cid:57)(cid:166)|FB|=3|FA|(cid:57)(cid:171)Aç- , ÷,
ï y= b x è3 3aø è 9 9aø
ïî a
25c2 b2c2 c2 81 3 6
(cid:190)(cid:4)A(cid:179)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:57)(cid:215)(cid:207) - =1(cid:57)(cid:49)(cid:171)(cid:151) = (cid:57)(cid:177)(cid:138)(cid:38)(cid:39)(cid:40)e= .
81a2 81a2b2 a2 24 4
3 6
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151) (cid:148)
4x2 y2
23(cid:148)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:133)(cid:82)(cid:83)(cid:84)C: - =1(a>0,b>0)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)e(cid:57)(cid:246)(cid:187)(cid:252)(cid:159)(cid:107)(cid:108)“(cid:204)(cid:84)y=2x
a2 b2
(cid:51)C(cid:234)(cid:185)(cid:336)(cid:4)”(cid:18)e(cid:18)(cid:85)(cid:182)(cid:122)______________(cid:148)
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)2(cid:10)(cid:252)(cid:159)1<e£ 5(cid:337)(cid:137)(cid:11)
b b
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:13)(cid:338)(cid:339)(cid:340)(cid:57)(cid:315)(cid:316)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:94)(cid:95)(cid:84)y=± x(cid:114)0< £2(cid:174)(cid:137)(cid:48)(cid:171)(cid:252)(cid:159)(cid:321)(cid:48)(cid:18)e(cid:122).
a a
x2 y2 b
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:49)(cid:151)C: - =1(a>0,b>0)(cid:57)(cid:177)(cid:138)C(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=± x,
a2 b2 a
b b2
(cid:63)(cid:64)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:18)(cid:127)(cid:4)(cid:57)(cid:315)(cid:316)0< £2(cid:57)(cid:174) £4(cid:57)
a a2
(cid:137)(cid:252)(cid:159)(cid:107)(cid:108)“(cid:204)(cid:84)y=2x(cid:51)C(cid:234)(cid:185)(cid:336)(cid:4)”
c b2
(cid:177)(cid:138)e= = 1+ £ 1+4 = 5(cid:57)
a a2
(cid:178)(cid:176)(cid:158)e>1(cid:57)(cid:177)(cid:138)1<e£ 5(cid:57)
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151)2(cid:10)(cid:252)(cid:159)1<e£ 5(cid:337)(cid:137)(cid:11)
x2
24(cid:148)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:183)(cid:82)(cid:83)(cid:84)y2 - =1(m>0)(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:51)(cid:17)x2+y2-4y+3=0(cid:111)(cid:293)(cid:57)(cid:66)m=
m2
_________(cid:148)
3
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)
3
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:341)(cid:264)(cid:48)(cid:187)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:193)(cid:216)(cid:17)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:118)(cid:158)(cid:19)(cid:20)(cid:186)(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:102)(cid:17)(cid:39)(cid:104)(cid:19)(cid:51)(cid:244)(cid:276)(cid:57)(cid:294)(cid:13)(cid:154)(cid:17)
(cid:39)(cid:102)(cid:204)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:76)(cid:215)(cid:17)(cid:18)(cid:244)(cid:276)(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:102)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:49)(cid:171)(cid:174)(cid:137)(cid:148)
x2 x
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:49)(cid:151)(cid:82)(cid:83)(cid:84)y2- =1m>0(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:158)y=± (cid:57)(cid:174)x±my=0(cid:57)
m2 m
(cid:206)(cid:231)(cid:232)x+my=0(cid:57)(cid:17)x2+y2-4y+3=0(cid:57)(cid:174)x2+y-22 =1(cid:57)(cid:177)(cid:138)(cid:17)(cid:39)(cid:158)0,2(cid:57)(cid:244)(cid:276)r=1(cid:57)
2m
(cid:294)(cid:13)(cid:154)(cid:17)(cid:39)0,2(cid:102)(cid:94)(cid:95)(cid:84)x+my=0(cid:18)(cid:103)(cid:38)d = =1(cid:57)
1+m23 3
(cid:49)(cid:171)m= (cid:73)m=- (cid:10)(cid:322)(cid:282)(cid:11)(cid:148)
3 3
3
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151) (cid:148)
3
x2 3
25(cid:148)（2022·北京·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84)y2+ =1(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=± x(cid:57)(cid:66)m=__________(cid:148)
m 3
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)-3
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:341)(cid:264)(cid:137)(cid:171)m<0(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:102)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:171)(cid:102)a(cid:32)b(cid:57)(cid:193)(cid:342)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:171)(cid:102)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:49)(cid:171)
(cid:174)(cid:137)(cid:65)
x2 x2
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:49)(cid:151)(cid:219)(cid:215)(cid:82)(cid:83)(cid:84)y2+ =1(cid:57)(cid:177)(cid:138)m<0(cid:57)(cid:174)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y2- =1(cid:57)
m -m
x2 3
(cid:66)a=1(cid:57)b= -m(cid:57)(cid:178)(cid:82)(cid:83)(cid:84)y2+ =1(cid:18)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=± x(cid:57)
m 3
a 3 1 3
(cid:177)(cid:138) = (cid:57)(cid:174) = (cid:57)(cid:49)(cid:171)m=-3(cid:65)
b 3 -m 3
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151)-3
x2
26(cid:148)（2022·上海·高考真题）(cid:82)(cid:83)(cid:84) - y2 =1(cid:18)(cid:269)(cid:105)(cid:70)(cid:158)__________(cid:148)
9
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)6
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:41)(cid:269)(cid:105)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:137)(cid:171)(cid:161)(cid:162).
x2
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:166) - y2 =1(cid:150)(cid:57)a2 =9(cid:57)(cid:177)(cid:138)a=3(cid:57)
9
(cid:177)(cid:138)(cid:269)(cid:105)(cid:70)2a=6.
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151)6
(cid:160)(cid:4)(cid:198)(cid:163)(cid:98)(cid:13)(cid:3)(cid:37)(cid:343)(cid:166)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:138)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:57)(cid:344)(cid:215)(cid:97)(cid:345)(cid:13).
考点 03 抛物线的标准方程及其性质
1(cid:148)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C :y2 =2px(cid:10)p >0(cid:11)(cid:41)C :x2 =2p y(cid:10)p >0(cid:11)(cid:217)(cid:250)(cid:100)(cid:4)
1 1 1 2 2 2
(4,8)(cid:57)(cid:66)C (cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:51)C (cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:221)(cid:346)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
1 2
65
A(cid:148)12 B(cid:148)4 5 C(cid:148)6 D(cid:148)
2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)D
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:216)(cid:149)(cid:150)(cid:4)(cid:172)(cid:173)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:347)(cid:81)p,p (cid:57)(cid:193)(cid:63)(cid:64)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:42)(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:185)(cid:186)(cid:171)(cid:102)(cid:181)(cid:182)(cid:42)(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:121)(cid:258)(cid:172)
1 2
(cid:173)(cid:103)(cid:38)(cid:185)(cid:186)(cid:119)(cid:120)(cid:174)(cid:137).(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163) (cid:109)(cid:110)(cid:84)C :y2 =2px(p >0)(cid:250)(cid:100)(cid:4)(4,8)(cid:57)
1 1 1
∵
(cid:216)x=4,y=8(cid:172)(cid:173)C (cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:171)82 =2p ×4(cid:57)(cid:174)64=8p (cid:57)(cid:49)(cid:171)p =8.
1 1 1 1
∴ æ p ö
C (cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:158)F ç 1,0÷(cid:57)(cid:174)F(4,0).
1 1 è 2 ø 1
∴
(cid:109)(cid:110)(cid:84)C :x2 =2p y(p >0)(cid:250)(cid:100)(cid:4)(4,8)(cid:57)
2 2 2
∵
(cid:216)x=4,y=8(cid:172)(cid:173)C (cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:171)42 =2p ×8(cid:57)(cid:174)16=16p (cid:57)(cid:49)(cid:171)p =1.
2 2 2 2
∴ æ p ö æ 1ö
C (cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:158)F ç0, 2 ÷(cid:57)(cid:174)F ç0, ÷.
2 2 è 2 ø 2 è 2ø
∴
(cid:167)(cid:168)(cid:181)(cid:4)(cid:346)(cid:103)(cid:38)(cid:185)(cid:186)(cid:57)F (cid:51)F (cid:221)(cid:346)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)(cid:151)
1 2
æ 1ö 2 1 65 65
|FF |= (4-0)2+ç0- ÷ = 16+ = = .
1 2 è 2ø 4 4 2
x2 y2
2(cid:148)（2025·天津·高考真题）(cid:82)(cid:83)(cid:84) - =1(a>0,b>0)(cid:18)(cid:212)(cid:32)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:5)(cid:209)(cid:158)F,F (cid:57)(cid:138)(cid:213)(cid:42)(cid:4)F (cid:158)(cid:42)(cid:4)(cid:18)
a2 b2 1 2 2
(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =2px(p>0)(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:237)(cid:215)(cid:223)(cid:85)(cid:260)(cid:261)(cid:18)(cid:4)P(cid:57)(cid:183) PF + PF =3 FF (cid:57)(cid:66)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:38)(cid:39)(cid:40)e=(cid:10) (cid:11)
1 2 1 2
2+1 5+1
A(cid:148)2 B(cid:148)5 C(cid:148) D(cid:148)
2 2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)A
ìïPF =3c+a
1
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:115)(cid:116)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:51)(cid:25)(cid:26)(cid:171)(cid:187)í (cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:188)(cid:189)(cid:52)(cid:61)(cid:152)(cid:190)(cid:266)(cid:52)P(cid:18)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:115)
ïî PF
2
=3c-a= PA
(cid:116)(cid:4)(cid:179)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:21)(cid:22)(cid:119)(cid:120)(cid:174)(cid:137).
æ p ö
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:13)(cid:154)(cid:137)(cid:165)F ç ,0÷(cid:57)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:244)(cid:42)(cid:103)(cid:158)c(cid:57)Px ,y (cid:57)(cid:66)p=2c(cid:57)
2 è 2 ø 0 0
(cid:100)F (cid:155)x(cid:105)(cid:18)(cid:156)(cid:84)l(cid:57)(cid:100)P(cid:155)l(cid:18)(cid:156)(cid:84)(cid:57)(cid:156)(cid:159)(cid:158)A(cid:57)(cid:267)(cid:257)(cid:204)(cid:84)AF (cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:57)
1 1
(cid:66) PA = PF (cid:57)
2
ìïPF - PF =2a ìïPF =3c+a
1 2 1
(cid:166)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:149)(cid:150)(cid:107)(cid:108)(cid:137)(cid:150)í (cid:57)(cid:66)í (cid:57)
ïî PF
1
+ PF
2
=6c ïî PF
2
=3c-a= PA
(cid:166)(cid:188)(cid:189)(cid:52)(cid:61)(cid:137)(cid:150) AF 2 = y2 = PF 2- PA2 =12ac(cid:57)
1 0 1
x2 y2 9a2 12ac
(cid:197)(cid:150)y2 =4cx ,\x =3a(cid:57)(cid:174) 0 - 0 = - =1(cid:57)
0 0 0 a2 b2 a2 c2-a2
(cid:222)(cid:61)(cid:171)2c2-3ac-2a2 =0=2c+ac-2a(cid:57) c=2a(cid:57)(cid:174)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:158)2.
∴(cid:180)(cid:112)(cid:151)
3(cid:148)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:165)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C:y2 =2px(p>0)(cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:158)F,(cid:4)A(cid:179)C(cid:27)(cid:57)(cid:100)A(cid:155)C(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:18)
(cid:156)(cid:84)(cid:57)(cid:156)(cid:159)(cid:158)B．(cid:183)(cid:204)(cid:84)BF(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=-2x+2(cid:57)(cid:66)|AF |=(cid:10) (cid:11)
A(cid:148)3 B(cid:148)4 C(cid:148)5 D(cid:148)6
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)C
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:264)(cid:166)(cid:204)(cid:84)l (cid:48)(cid:187)(cid:42)(cid:4)F (cid:41)p(cid:174)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:240)(cid:190)(cid:294)(cid:256)(cid:171)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:41)(cid:4)B(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:137)(cid:294)
BF
(cid:256)(cid:48)(cid:187)y (cid:41)x (cid:57)(cid:193)(cid:166)(cid:42)(cid:244)(cid:276)(cid:185)(cid:186)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:49).
A A
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:219)l :y=-2x+2(cid:57)(cid:319)y=0(cid:57)(cid:66)x=1(cid:57)
BF
(cid:177)(cid:138)F1,0(cid:57)p=2(cid:174)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C:y2 =4x(cid:57)(cid:180)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x=-1(cid:57)
(cid:180)B-1,4(cid:57)(cid:66)y =4(cid:57)(cid:172)(cid:173)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C:y2 =4x(cid:171)x =4.
A A
p
(cid:177)(cid:138) AF = AB =x + =4+1=5.
A 2
(cid:180)(cid:112)(cid:151)C
4(cid:148)（2023·北京·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C:y2 =8x(cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:158)F (cid:57)(cid:4)M (cid:179)C(cid:27)(cid:148)(cid:183)M (cid:102)(cid:204)(cid:84)x=-3(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)
5(cid:57)(cid:66)|MF |=(cid:10) (cid:11)
A(cid:148)7 B(cid:148)6 C(cid:148)5 D(cid:148)4(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)D
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:115)(cid:116)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:48)(cid:49)(cid:174)(cid:137).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:176)(cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C:y2 =8x(cid:18)(cid:42)(cid:4)F2,0(cid:57)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x=-2(cid:57)(cid:4)M (cid:179)C(cid:27)(cid:57)
(cid:177)(cid:138)M (cid:102)(cid:20)(cid:84)x=-2(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158) MF (cid:57)
(cid:178)M (cid:102)(cid:204)(cid:84)x=-3(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)5(cid:57)
(cid:177)(cid:138) MF +1=5(cid:57)(cid:180) MF =4.
(cid:180)(cid:112)(cid:151)D.
x2 y2
5(cid:148)（2022·天津·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:82)(cid:83)(cid:84) - =1(a>0,b>0)(cid:18)(cid:212)(cid:32)(cid:213)(cid:42)(cid:4)(cid:5)(cid:209)(cid:158)F,F (cid:57)(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =4 5x
a2 b2 1 2
p
(cid:18)(cid:20)(cid:84)l(cid:250)(cid:100)F (cid:57)(cid:218)l(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:85)(cid:107)(cid:94)(cid:95)(cid:84)(cid:237)(cid:215)(cid:4)A(cid:57)(cid:183)ÐFF A= (cid:57)(cid:66)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)(cid:10) (cid:11)
1 1 2 4
x2 y2 x2 y2
A(cid:148) - =1 B(cid:148) - =1
16 4 4 16
x2 y2
C(cid:148) -y2 =1 D(cid:148)x2- =1
4 4
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)D
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:166)(cid:149)(cid:150)(cid:137)(cid:171)(cid:187)c(cid:18)(cid:122)(cid:57)(cid:48)(cid:187)(cid:4)A(cid:18)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:5)(cid:164)(cid:137)(cid:171) AF = FF (cid:57)(cid:166)(cid:194)(cid:137)(cid:171)(cid:187)(cid:55)(cid:215)a(cid:32)b(cid:32)c(cid:18)(cid:21)(cid:22)
1 1 2
(cid:235)(cid:57)(cid:49)(cid:187)(cid:245)(cid:43)(cid:182)(cid:75)(cid:18)(cid:122)(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:187)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22).
   
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =4 5x(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x=- 5(cid:57)(cid:66)c= 5(cid:57)(cid:66)F - 5,0 (cid:32)F 5,0 (cid:57)
1 2
ì b ìx=-c
ïy=- x ï æ bcö
(cid:206)(cid:231)(cid:165)(cid:4)A(cid:158)(cid:223)(cid:86)(cid:260)(cid:261)(cid:286)(cid:18)(cid:4)(cid:57)(cid:195)(cid:196)í a (cid:57)(cid:137)(cid:171)í bc(cid:57)(cid:174)(cid:4)Aç-c, ÷(cid:57)
ï îx=-c ï î y= a è a ø
p
(cid:176)(cid:158)AF ^FF (cid:218)ÐFF A= (cid:57)(cid:66)(cid:248)FF A(cid:158)(cid:76)(cid:287)(cid:204)(cid:44)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:57)
1 1 2 1 2 4 1 2
bc b
(cid:218) AF = FF (cid:57)(cid:174) =2c(cid:57)(cid:137)(cid:171) =2(cid:57)
1 1 2 a a
ìb
=2
ï a ìa=1
ï ï ï y2
(cid:177)(cid:138)(cid:57)íc= 5 (cid:57)(cid:49)(cid:171)íb=2 (cid:57)(cid:176)(cid:194)(cid:57)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x2- =1.
ï
ï
c2 =a2+b2 ï
îc= 5
4
ïî
(cid:180)(cid:112)(cid:151)D.
6(cid:148)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:165)F(cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C:y2 =4x(cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:57)(cid:4)A(cid:179)C(cid:27)(cid:57)(cid:4)B(3,0)(cid:57)(cid:183) AF = BF (cid:57)(cid:66) AB =(cid:10) (cid:11)
A(cid:148)2 B(cid:148)2 2 C(cid:148)3 D(cid:148)3 2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)B
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:27)(cid:18)(cid:4)(cid:102)(cid:42)(cid:4)(cid:41)(cid:20)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:111)(cid:76)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:48)(cid:171)(cid:4)A(cid:18)(cid:333)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:240)(cid:190)(cid:48)(cid:171)(cid:4)A(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:174)(cid:137)
(cid:171)(cid:102)(cid:161)(cid:162).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:171)(cid:57)F1,0(cid:57)(cid:66) AF = BF =2(cid:57)
(cid:174)(cid:4)A(cid:102)(cid:20)(cid:84)x=-1(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)2(cid:57)(cid:177)(cid:138)(cid:4)A(cid:18)(cid:333)(cid:104)(cid:19)(cid:158)-1+2=1(cid:57)
(cid:206)(cid:231)(cid:165)(cid:4)A(cid:179)x(cid:105)(cid:27)(cid:21)(cid:57)(cid:172)(cid:173)(cid:171)(cid:57)A1,2(cid:57)
(cid:177)(cid:138) AB = 3-12+0-22 =2 2.
(cid:180)(cid:112)(cid:151)B
7(cid:148)(cid:10)(cid:288)(cid:112)(cid:13)(cid:11)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:109)(cid:110)(cid:84)E(cid:151)y2 =8x(cid:57)(cid:129)(cid:40)(cid:158)kk >0(cid:18)(cid:204)(cid:84)l(cid:250)(cid:100)(cid:4)
-1,0(cid:57)(cid:76)(cid:54)(cid:43)(cid:44)(cid:45)ABC(cid:18)(cid:214)(cid:4)A(cid:179)E(cid:27)(cid:57)(cid:214)(cid:4)B,C(cid:217)(cid:179)l(cid:27)(cid:57)(cid:226)(cid:211)(cid:63)(cid:136)(cid:62)(cid:266)(cid:18)(cid:243)(cid:10) (cid:11)
A(cid:148)E(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x=-2
B(cid:148)(cid:183)l(cid:51)E(cid:283)(cid:243)(cid:185)(cid:336)(cid:4)(cid:57)(cid:66)k > 2
C(cid:148)(cid:183)l(cid:51)E(cid:18)(cid:313)(cid:85)(cid:185)(cid:336)(cid:4)(cid:158)B(cid:57)(cid:66)E(cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:179)(cid:204)(cid:84)AB(cid:27)
3
D(cid:148)(cid:183)k =2(cid:57)(cid:66)VABC(cid:71)(cid:72)(cid:18)(cid:121)(cid:348)(cid:122)(cid:158)
15
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)ABD
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)A(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:171)p(cid:57)(cid:240)(cid:190)(cid:171)(cid:187)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:65)B(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:165)(cid:204)(cid:84)l(cid:158)y=k(x+1)(cid:57)(cid:41)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)
(cid:22)(cid:195)(cid:196)(cid:281)(cid:282)x(cid:57)(cid:319)D<0(cid:48)(cid:49)(cid:65)C(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:264)(cid:167)(cid:168)(cid:204)(cid:84)(cid:41)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:111)(cid:293)(cid:57)(cid:48)(cid:187)(cid:293)(cid:4)B(cid:57)(cid:349)(cid:165)AB(cid:100)(cid:42)(cid:4)(cid:57)(cid:66)(cid:171)(cid:102)
k (cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:181)(cid:204)(cid:84)(cid:18)(cid:106)(cid:44)(cid:18)(cid:185)(cid:186)(cid:350)(cid:187)ÐABC(cid:18)(cid:62)(cid:293)(cid:122)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:123)(cid:124)(cid:65)D(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:137)(cid:216)(cid:46)(cid:13)(cid:247)(cid:118)(cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:27)(cid:85)(cid:4)(cid:102)
AB
(cid:204)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:121)(cid:348)(cid:122)(cid:351)(cid:352)(cid:61).
p
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)A(cid:112)(cid:279)(cid:57)y2 =8x=2px(cid:57)(cid:66)p=4(cid:57)(cid:180)(cid:20)(cid:84)x=- =-2(cid:57)A(cid:112)(cid:279)(cid:62)(cid:266)(cid:65)
2
B(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:165)(cid:204)(cid:84)l(cid:158)y=k(x+1)(cid:57)(cid:66)8y=8kx+8k(cid:57)
(cid:195)(cid:196)y2 =8x(cid:171)(cid:102)(cid:57)ky2-8y+8k =0(cid:57)
(cid:204)(cid:84)(cid:41)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:234)(cid:237)(cid:4)(cid:57)(cid:66)Δ=64-32k2 <0(cid:57)
(cid:63)(cid:64)k>0(cid:57)(cid:49)(cid:171)k > 2(cid:57)B(cid:112)(cid:279)(cid:62)(cid:266)(cid:65)C(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:166)(cid:195)(cid:196)(cid:21)(cid:22)ky2-8y+8k =0(cid:57)
(cid:183)l(cid:51)E(cid:111)(cid:237)(cid:215)(cid:313)(cid:85)(cid:4)B(cid:57)(cid:315)(cid:137)(cid:228)(cid:207)(cid:111)(cid:293)(cid:57)
(cid:66)Δ=64-32k2 =0(cid:57)(cid:49)(cid:171)k = 2(cid:57)
(cid:194)(cid:262) 2y2-8y+8 2 =0(cid:57)(cid:49)(cid:171)y=2 2(cid:57)(cid:240)(cid:190)(cid:171)x=1(cid:57)(cid:66)B(1,2 2)(cid:57)
 
(cid:183)AB(cid:100)(cid:42)(cid:4)F (cid:10)(cid:58)(cid:101)(cid:11)(cid:57)(cid:166)(cid:215)B 1,2 2 ,F(2,0)(cid:57)k =-2 2(cid:57)(cid:190)k = 2(cid:57)
BF BC
(cid:167)(cid:168)(cid:303)(cid:129)(cid:44)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:57)tanÐBFx=-2 2(cid:57)tanÐBPF = 2(cid:57)
-2 2- 2
(cid:190)ÐABC =ÐBFx-ÐBPF(cid:57)(cid:194)(cid:262)ÐABC(cid:18)(cid:62)(cid:293)(cid:122)(cid:158) = 2 ¹ 3(cid:57)
1-4
(cid:174)ÐABC ¹60o(cid:57)(cid:245)(cid:51)VABC(cid:158)(cid:76)(cid:54)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:353)(cid:354)(cid:57)C(cid:112)(cid:279)(cid:284)(cid:285)(cid:65)
D(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:233)k =2(cid:57)(cid:194)(cid:262)(cid:204)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=2x+2(cid:57)
æt2 ö
t2
-t+2
(t-2)2
+1
(cid:165)Aç ,t÷(cid:57)(cid:66)A(cid:102)l(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158) 4 4 1 (cid:57)
è 8 ø d = = ³
5 5 5
1 1 2d d2 3
(cid:174)(cid:76)(cid:54)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:18)(cid:36)(cid:18)(cid:121)(cid:348)(cid:122)(cid:158) (cid:57)(cid:194)(cid:262)(cid:71)(cid:72)S = ´d´ = ³ (cid:57)D(cid:112)(cid:279)(cid:62)(cid:266).
5 2 3 3 15
uuur   uuur  
C(cid:112)(cid:279)(cid:21)(cid:184)(cid:86)(cid:151)(cid:48)(cid:171)B(1,2 2)(cid:57)(cid:66)BP= -2,-2 2 (cid:57)BF = 1,-2 2 (cid:57)
uuur uuur  2
-2+ -2 2
BP×BF 3 1
(cid:66)cosÐPBF = uuur uuur = = ¹ (cid:57)
BP × BF -22 +  -2 2 2 12+  -2 2 2 3 2
(cid:66)ÐÐPBF ¹60o(cid:57)(cid:109)(cid:110)(cid:84)E(cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:206)(cid:179)(cid:204)(cid:84)AB(cid:27)(cid:57)(cid:180)C(cid:284)(cid:285).
D(cid:112)(cid:279)(cid:21)(cid:184)(cid:86)(cid:151)A(cid:102)BC(cid:18)(cid:121)(cid:348)(cid:103)(cid:38)(cid:137)(cid:247)(cid:118)(cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:41)BC(cid:191)(cid:241)(cid:18)(cid:293)(cid:84)(cid:57)(cid:48)(cid:171)(cid:181)(cid:191)(cid:241)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:174)(cid:137)(cid:57)
(cid:166)(cid:215)k =2(cid:57)(cid:165)(cid:204)(cid:84)m(cid:158)y=2x+n(cid:57)
BC
(cid:195)(cid:196)y2 =8x(cid:57)(cid:171)(cid:102)y2-4y+4n=0(cid:57)
(cid:166)Δ=0Þn=1(cid:57)(cid:194)(cid:262)(cid:204)(cid:84)m(cid:158)y=2x+1(cid:57)1
(cid:166)(cid:191)(cid:241)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:185)(cid:186)(cid:137)(cid:350)(cid:187)l,m(cid:204)(cid:84)(cid:346)(cid:103)(cid:38)(cid:158) (cid:57)(cid:24)(cid:59)(cid:239)(cid:27).
5
8(cid:148)(cid:10)(cid:288)(cid:112)(cid:13)(cid:11)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C: y2 =6x(cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:158)F(cid:57)(cid:100)F(cid:18)(cid:85)(cid:107)(cid:204)(cid:84)(cid:237)C(cid:215)A(cid:57)
3
B(cid:181)(cid:4)(cid:57)(cid:100)A(cid:155)(cid:204)(cid:84)l(cid:151)x=- (cid:18)(cid:156)(cid:84)(cid:57)(cid:156)(cid:159)(cid:158)D(cid:57)(cid:100)F(cid:218)(cid:51)(cid:204)(cid:84)AB(cid:156)(cid:204)(cid:18)(cid:204)(cid:84)(cid:237)l(cid:215)(cid:4)E(cid:57)(cid:66)(cid:10) (cid:11)
2
A(cid:148)|AD|=|AF| B(cid:148)|AE|=|AB|
C(cid:148)|AB|³6 D(cid:148)|AE|×|BE|³18
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)ACD
3
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:219)(cid:215)A(cid:57)(cid:264)(cid:123)(cid:124)(cid:171)(cid:204)(cid:84)l:x=- (cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:57)(cid:193)(cid:115)(cid:116)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:174)(cid:137)(cid:123)(cid:124)(cid:65)(cid:219)(cid:215)B(cid:57)(cid:115)(cid:116)
2
(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:111)(cid:355)(cid:356)(cid:171)ÐAEB=90°(cid:57)(cid:240)(cid:190)(cid:171)(cid:138)(cid:123)(cid:124)(cid:65)(cid:219)(cid:215)C(cid:57)(cid:115)(cid:116)(cid:204)(cid:84)(cid:18)(cid:357)(cid:165)(cid:184)(cid:10)(cid:184)(cid:85)(cid:11)(cid:51)(cid:62)(cid:165)(cid:184)(cid:10)(cid:184)(cid:86)(cid:11)(cid:57)(cid:195)
(cid:196)(cid:204)(cid:84)AB(cid:51)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:63)(cid:64)(cid:358)(cid:334)(cid:52)(cid:61)(cid:51)(cid:42)(cid:4)(cid:60)(cid:185)(cid:186)(cid:137)(cid:123)(cid:124)C(cid:65)(cid:115)(cid:116)(cid:115)(cid:116)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:111)(cid:355)(cid:356)(cid:171)
AE2 = AF × AB (cid:57) BE2 = BF × AB (cid:57)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:244)(cid:276)(cid:185)(cid:186)(cid:137)(cid:123)(cid:124)D.
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:184)(cid:85)(cid:151)(cid:219)(cid:215)A(cid:57)(cid:219)(cid:215)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C: y2 =6x(cid:57)
3 æ3 ö
(cid:66)p=3(cid:57)(cid:24)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x=- (cid:57)(cid:42)(cid:4)Fç ,0÷(cid:57)
2 è2 ø
(cid:66) AD (cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:27)(cid:4)(cid:102)(cid:20)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:57) AF (cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:27)(cid:4)(cid:102)(cid:42)(cid:4)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:57)
(cid:166)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:137)(cid:150)(cid:57)|AD|=|AF|(cid:57)(cid:180)A(cid:62)(cid:266)(cid:65)
(cid:219)(cid:215)B(cid:57)(cid:100)(cid:4)B(cid:155)(cid:20)(cid:84)l(cid:18)(cid:156)(cid:84)(cid:57)(cid:237)(cid:215)(cid:4)P(cid:57)
(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:137)(cid:150)AD^l,EF ^ AB(cid:57)(cid:66)ÐADE=ÐAFE=90°(cid:57)(cid:178)|AD|=|AF|(cid:57)|AE|=|AE|(cid:57)(cid:177)(cid:138)VADE@VAFE(cid:57)
(cid:177)(cid:138)ÐAED=ÐAEF (cid:57)(cid:239)(cid:61)ÐBEP=ÐBEF(cid:57)
(cid:178)ÐAED+ÐAEF+ÐBEP+ÐBEF =180°(cid:57)
(cid:177)(cid:138)ÐAEF+ÐBEF =90°(cid:57)(cid:174)ÐAEB=90°(cid:57)
(cid:267)(cid:257)AB(cid:158)VABE(cid:18)(cid:129)(cid:54)(cid:57)(cid:66)|AE|<|AB|(cid:57)(cid:180)B(cid:284)(cid:285)(cid:65)
(cid:219)(cid:215)C(cid:57)(cid:197)(cid:150)(cid:204)(cid:84)AB(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:206)(cid:158)0(cid:57)
(cid:165)(cid:204)(cid:84)AB(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x=my+ 3 (cid:57)Ax,y ,Bx ,y (cid:57)
2 1 1 2 2
ì 3
ïx=my+
(cid:195)(cid:196)í 2(cid:57)(cid:171)y2-6my-9=0(cid:57)
ï îy2 =6x
(cid:197)(cid:150)D>0(cid:57)(cid:66)y +y =6m,y y =-9(cid:57)
1 2 1 2
3 3
(cid:178)x =my + (cid:57)x =my + (cid:57)
1 1 2 2 2 2
(cid:177)(cid:138)|AB|=x +x + p =my +y +3+3=6m2+6³6(cid:57)
1 2 1 2
(cid:233)(cid:218)(cid:359)(cid:233)m=0(cid:262)(cid:232)(cid:76)(cid:360)(cid:57)(cid:180)C(cid:62)(cid:266)(cid:65)
(cid:219)(cid:215)D(cid:57)(cid:179)Rt△ABE(cid:51)RtVAEF(cid:114)(cid:57)ÐBAE=ÐEAF (cid:57)
AE AF
(cid:177)(cid:138)RtVABE~RtVAEF(cid:57)(cid:66) = (cid:57)(cid:174) AE2 = AF × AB (cid:57)
AB AE
(cid:239)(cid:61) BE2 = BF × AB (cid:57)
æ 3öæ 3ö
(cid:178) AF × BF =çx + ÷çx + ÷=my +3my +3
è 1 2øè 2 2ø 1 2
=m2y y +3my +y +9=-9m2+18m2+9=9  m2+1  (cid:57)
1 2 1 2
AB =6m2+6=6  m2+1  (cid:57)
(cid:177)(cid:138) AE2× BE2 = BF × AF × AB2 =9  m2+1  ´36  m2+1 2 (cid:57)
1 3
(cid:66) AE × BE =3  m2+1  2´6  m2+1  =18  m2+1  2 ³18(cid:57)(cid:180)D(cid:62)(cid:266).
(cid:180)(cid:112)(cid:151)ACD.
(cid:184)(cid:86)(cid:151)(cid:219)(cid:215)A(cid:57)(cid:219)(cid:215)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C: y2 =6x(cid:57)
3 æ3 ö
(cid:66)p=3(cid:57)(cid:24)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x=- (cid:57)(cid:42)(cid:4)Fç ,0÷(cid:57)
2 è2 ø(cid:66) AD (cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:27)(cid:4)(cid:102)(cid:20)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:57) AF (cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:27)(cid:4)(cid:102)(cid:42)(cid:4)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:57)
(cid:166)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:137)(cid:150)(cid:57)|AD|=|AF|(cid:57)(cid:180)A(cid:62)(cid:266)(cid:65)
(cid:219)(cid:215)B(cid:57)(cid:100)(cid:4)B(cid:155)(cid:20)(cid:84)l(cid:18)(cid:156)(cid:84)(cid:57)(cid:237)(cid:215)(cid:4)P(cid:57)
(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:137)(cid:150)AD^l,EF ^ AB(cid:57)(cid:66)ÐADE=ÐAFE=90°(cid:57)
(cid:178)|AD|=|AF|(cid:57)|AE|=|AE|(cid:57)(cid:177)(cid:138)VADE@VAFE(cid:57)
(cid:177)(cid:138)ÐAED=ÐAEF (cid:57)(cid:239)(cid:61)ÐBEP=ÐBEF(cid:57)
(cid:178)ÐAED+ÐAEF+ÐBEP+ÐBEF =180°(cid:57)
(cid:177)(cid:138)ÐAEF+ÐBEF =90°(cid:57)(cid:174)ÐAEB=90°(cid:57)
(cid:267)(cid:257)AB(cid:158)VABE(cid:18)(cid:129)(cid:54)(cid:57)(cid:66)|AE|<|AB|(cid:57)(cid:180)B(cid:284)(cid:285)(cid:65)
(cid:219)(cid:215)C(cid:57)(cid:233)(cid:204)(cid:84)AB(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:206)(cid:361)(cid:179)(cid:262)(cid:57) AB =2p=6(cid:65)
æ 3ö
(cid:233)(cid:204)(cid:84)AB(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:361)(cid:179)(cid:262)(cid:57)(cid:165)(cid:204)(cid:84)AB(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=kçx- ÷(cid:57)
è 2ø
ì æ 3ö
(cid:195)(cid:196) ï í y=kç è x- 2 ÷ ø(cid:57)(cid:281)(cid:282)y(cid:57)(cid:171)k2x2-  3k2+6  x+ 9 k2 =0(cid:57)
4
ï îy2 =6x
6 9
(cid:197)(cid:150)D>0(cid:57)(cid:66)x +x =3+ ,xx = (cid:57)
1 2 k2 1 2 4
(cid:177)(cid:138) AB = 1+k2 x -x = 1+k2´ x +x 2-4xx
1 2 1 2 1 2
æ 6 ö 2 æ 1 ö
= 1+k2 ´ ç3+ ÷ -9 =6ç1+ ÷>6(cid:57)
è k2 ø è k2 ø
(cid:140)(cid:27)(cid:57)|AB|³6(cid:57)(cid:180)C(cid:62)(cid:266)(cid:65)
(cid:219)(cid:215)D(cid:57)(cid:179)Rt△ABE(cid:51)RtVAEF(cid:114)(cid:57)ÐBAE=ÐEAF (cid:57)
AE AF
(cid:177)(cid:138)RtVABE~RtVAEF(cid:57)(cid:66) = (cid:57)(cid:174) AE2 = AF × AB (cid:57)
AB AE(cid:239)(cid:61) BE2 = BF × AB (cid:57)
1
(cid:233)(cid:204)(cid:84)AB(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:206)(cid:361)(cid:179)(cid:262)(cid:57) AB =6(cid:57) AF = BF = AB =3(cid:65)
2
(cid:177)(cid:138) AE2× BE2 = BF × AF × AB2 =3´3´62(cid:57)(cid:174) AE × BE =18(cid:65)
æ 1 ö
(cid:233)(cid:204)(cid:84)AB(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:361)(cid:179)(cid:262)(cid:57) AB =6ç1+ ÷(cid:57)
è k2 ø
æ 3öæ 3ö 3 9
AF × BF =çx + ÷çx + ÷=xx + x +x +
è 1 2øè 2 2ø 1 2 2 1 2 4
9 3æ 6 ö 9 æ 1 ö
= + ç3+ ÷+ =9ç1+ ÷(cid:57)
4 2è k2 ø 4 è k2 ø
(cid:177)(cid:138) AE2× BE2 = BF × AF × AB2 =9 æ ç1+ 1 ö ÷´36 æ ç1+ 1 ö ÷ 2 (cid:57)
è k2 ø è k2 ø
1 3
(cid:66) AE × BE =3 æ ç1+ 1 ö ÷ 2 ´6 æ ç1+ 1 ö ÷=18 æ ç1+ 1 ö ÷ 2 >18(cid:65)
è k2 ø è k2 ø è k2 ø
(cid:140)(cid:27)(cid:57) AE × BE ³18(cid:57)(cid:180)D(cid:62)(cid:266).
(cid:180)(cid:112)(cid:151)ACD.
9(cid:148)(cid:10)(cid:288)(cid:112)(cid:13)(cid:11)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:109)(cid:110)(cid:84)C(cid:151)y2 =4x(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:158)l(cid:57)P(cid:158)C(cid:27)(cid:18)(cid:362)(cid:4)(cid:57)(cid:100)P(cid:155)
(cid:363)A:x2+(y-4)2 =1(cid:18)(cid:85)(cid:107)(cid:293)(cid:84)(cid:57)Q(cid:158)(cid:293)(cid:4)(cid:57)(cid:100)P(cid:155)l(cid:18)(cid:156)(cid:84)(cid:57)(cid:156)(cid:159)(cid:158)B(cid:57)(cid:66)(cid:10) (cid:11)
A(cid:148)l(cid:51)eA(cid:111)(cid:293)
B(cid:148)(cid:233)P(cid:57)A(cid:57)B(cid:43)(cid:4)(cid:336)(cid:84)(cid:262)(cid:57)|PQ|= 15
C(cid:148)(cid:233)|PB|=2(cid:262)(cid:57)PA^ AB
D(cid:148)(cid:252)(cid:159)|PA|=|PB|(cid:18)(cid:4)P(cid:243)(cid:218)(cid:359)(cid:243)2(cid:182)
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)ABD
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)A(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:20)(cid:84)(cid:158)x=-1(cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:17)(cid:39)(cid:102)(cid:20)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:351)(cid:123)(cid:124)(cid:65)B(cid:112)(cid:279)(cid:57)P,A,B(cid:43)(cid:4)(cid:336)(cid:84)(cid:262)(cid:57)(cid:264)(cid:48)
(cid:187)P(cid:18)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:240)(cid:190)(cid:171)(cid:187)(cid:293)(cid:84)(cid:70)(cid:65)C(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:167)(cid:168) PB =2(cid:264)(cid:120)(cid:187)P(cid:18)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:257)(cid:258)(cid:364)(cid:356)k k =-1(cid:207)(cid:365)(cid:265)(cid:196)(cid:65)D
PA AB
(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:57) PB = PF (cid:57)(cid:215)(cid:207)(cid:46)(cid:13)(cid:247)(cid:118)(cid:265) PA = PF (cid:18)P(cid:4)(cid:18)(cid:361)(cid:179)(cid:25)(cid:46)(cid:13)(cid:57)(cid:194)(cid:262)(cid:3)(cid:366)AF (cid:18)
(cid:114)(cid:156)(cid:84)(cid:41)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:237)(cid:4)(cid:182)(cid:81)(cid:174)(cid:137)(cid:57)(cid:367)(cid:137)(cid:204)(cid:205)(cid:165)P(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:240)(cid:241)(cid:48)(cid:49).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)A(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =4x(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:158)x=-1(cid:57)
eA(cid:18)(cid:17)(cid:39)(0,4)(cid:102)(cid:204)(cid:84)x=-1(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:267)(cid:257)(cid:207)1(cid:57)(cid:76)(cid:215)(cid:17)(cid:18)(cid:244)(cid:276)(cid:57)(cid:180)(cid:20)(cid:84)l(cid:41)eA(cid:111)(cid:293)(cid:57)A(cid:112)(cid:279)(cid:62)(cid:266)(cid:65)
B(cid:112)(cid:279)(cid:57)P,A,B(cid:43)(cid:4)(cid:336)(cid:84)(cid:262)(cid:57)(cid:174)PA^l(cid:57)(cid:66)P(cid:18)(cid:368)(cid:104)(cid:19)y =4(cid:57)
P
(cid:166)y2 =4x (cid:57)(cid:171)(cid:102)x =4(cid:57)(cid:180)P(4,4)(cid:57)
P P P
(cid:194)(cid:262)(cid:293)(cid:84)(cid:70) PQ = PA2-r2 = 42-12 = 15(cid:57)B(cid:112)(cid:279)(cid:62)(cid:266)(cid:65)
C(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:233) PB =2(cid:262)(cid:57)x =1(cid:57)(cid:194)(cid:262)y2 =4x =4(cid:57)(cid:180)P(1,2)(cid:73)P(1,-2)(cid:57)
P P P
4-2 4-2
(cid:233)P(1,2)(cid:262)(cid:57)A(0,4),B(-1,2)(cid:57)k = =-2(cid:57)k = =2(cid:57)
PA 0-1 AB 0-(-1)
(cid:206)(cid:252)(cid:159)k k =-1(cid:65)
PA AB
4-(-2) 4-(-2)
(cid:233)P(1,-2)(cid:262)(cid:57)A0,4,B-1,-2(cid:57)k = =-6(cid:57)k = =6(cid:57)
PA 0-1 AB 0-(-1)
(cid:206)(cid:252)(cid:159)k k =-1(cid:65)
PA AB
(cid:215)(cid:207)PA^ AB(cid:206)(cid:265)(cid:196)(cid:57)C(cid:112)(cid:279)(cid:284)(cid:285)(cid:65)
D(cid:112)(cid:279)(cid:57)(cid:21)(cid:184)(cid:85)(cid:151)(cid:115)(cid:116)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:52)(cid:53)(cid:247)(cid:118)
(cid:167)(cid:168)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:57) PB = PF (cid:57)(cid:245)(cid:369)F(1,0)(cid:57)
(cid:215)(cid:207) PA = PB (cid:262)P(cid:4)(cid:18)(cid:361)(cid:179)(cid:25)(cid:46)(cid:13)(cid:247)(cid:118)(cid:265) PA = PF (cid:262)P(cid:4)(cid:18)(cid:361)(cid:179)(cid:25)(cid:46)(cid:13)(cid:57)
æ1 ö 1 1
A(0,4),F(1,0)(cid:57)AF (cid:114)(cid:4)ç ,2÷(cid:57)AF (cid:114)(cid:156)(cid:84)(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:158)- = (cid:57)
è2 ø k 4
AF
2x+15
(cid:215)(cid:207)AF (cid:18)(cid:114)(cid:156)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)(cid:151)y= (cid:57)(cid:51)(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =4x(cid:195)(cid:196)(cid:137)(cid:171)y2-16y+30=0(cid:57)
8
D=162-4´30=136>0(cid:57)(cid:174)AF (cid:18)(cid:114)(cid:156)(cid:84)(cid:41)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:243)(cid:181)(cid:182)(cid:237)(cid:4)(cid:57)
(cid:174)(cid:361)(cid:179)(cid:181)(cid:182)P(cid:4)(cid:57)(cid:306)(cid:171) PA = PF (cid:57)D(cid:112)(cid:279)(cid:62)(cid:266).
(cid:21)(cid:184)(cid:86)(cid:151)(cid:10)(cid:165)(cid:4)(cid:204)(cid:205)(cid:48)(cid:49)(cid:11)
æt2 ö
(cid:165)Pç ,t÷(cid:57)(cid:166)PB^l(cid:137)(cid:171)B-1,t(cid:57)(cid:178)A(0,4)(cid:57)(cid:178) PA = PB (cid:57)
è 4 ø
t4 t2
(cid:167)(cid:168)(cid:181)(cid:4)(cid:346)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:185)(cid:186)(cid:57) +(t-4)2 = +1(cid:57)(cid:222)(cid:61)(cid:171)t2-16t+30=0(cid:57)
16 4
D=162-4´30=136>0(cid:57)(cid:66)(cid:55)(cid:215)t(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:243)(cid:181)(cid:182)(cid:49)(cid:57)
(cid:174)(cid:361)(cid:179)(cid:181)(cid:182)(cid:245)(cid:370)(cid:18)P(cid:4)(cid:57)D(cid:112)(cid:279)(cid:62)(cid:266).
(cid:180)(cid:112)(cid:151)ABD10(cid:148)(cid:10)(cid:288)(cid:112)(cid:13)(cid:11)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:165)O(cid:158)(cid:104)(cid:19)(cid:192)(cid:4)(cid:57)(cid:204)(cid:84)y=- 3x-1(cid:100)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C:y2 =2pxp>0
(cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:57)(cid:218)(cid:51)C(cid:237)(cid:215)M(cid:57)N(cid:181)(cid:4)(cid:57)l(cid:158)C(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:57)(cid:66)(cid:10) (cid:11)(cid:148)
8
A(cid:148)p=2 B(cid:148) MN =
3
C(cid:148)(cid:138)MN(cid:158)(cid:204)(cid:276)(cid:18)(cid:17)(cid:51)l(cid:111)(cid:293) D(cid:148)VOMN (cid:158)(cid:76)(cid:287)(cid:43)(cid:44)(cid:45)
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)AC
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:264)(cid:48)(cid:171)(cid:42)(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:48)(cid:171)p(cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:60)(cid:70)(cid:185)(cid:186)(cid:48)(cid:171) MN (cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:17)(cid:51)(cid:76)(cid:287)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:18)(cid:150)(cid:371)(cid:266)(cid:52)(cid:62)(cid:266)(cid:161)
(cid:162).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)A(cid:112)(cid:279)(cid:151)(cid:204)(cid:84)y=- 3x-1(cid:100)(cid:4)1,0(cid:57)(cid:177)(cid:138)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C:y2 =2pxp>0(cid:18)(cid:42)(cid:4)F1,0(cid:57)
p
(cid:177)(cid:138) =1,p=2,2p=4(cid:57)(cid:66)A(cid:112)(cid:279)(cid:62)(cid:266)(cid:57)(cid:218)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y2 =4x.
2
B(cid:112)(cid:279)(cid:151)(cid:165)Mx,y ,Nx ,y (cid:57)
1 1 2 2
ìïy=- 3x-1
(cid:166)í (cid:281)(cid:282)y(cid:291)(cid:118)(cid:117)(cid:171)3x2-10x+3=x-33x-1=0(cid:57)
ïîy2 =4x
1 1 16
(cid:49)(cid:171)x =3,x = (cid:57)(cid:177)(cid:138) MN =x +x + p=3+ +2= (cid:57)B(cid:112)(cid:279)(cid:284)(cid:285).
1 2 3 1 2 3 3
C(cid:112)(cid:279)(cid:151)(cid:165)MN(cid:18)(cid:114)(cid:4)(cid:158)A(cid:57)M,N,A(cid:102)(cid:204)(cid:84)l(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:5)(cid:209)(cid:158)d,d ,d(cid:57)
1 2
1 1 1
(cid:176)(cid:158)d = d +d = MF + NF = MN (cid:57)
2 1 2 2 2
(cid:174)A(cid:102)(cid:204)(cid:84)l(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:76)(cid:215)MN(cid:18)(cid:85)(cid:244)(cid:57)(cid:177)(cid:138)(cid:138)MN(cid:158)(cid:204)(cid:276)(cid:18)(cid:17)(cid:51)(cid:204)(cid:84)l(cid:111)(cid:293)(cid:57)C(cid:112)(cid:279)(cid:62)(cid:266).
D(cid:112)(cid:279)(cid:151)(cid:204)(cid:84)y=- 3x-1(cid:57)(cid:174) 3x+y- 3=0(cid:57)
3
O(cid:102)(cid:204)(cid:84) 3x+y- 3=0(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)d = (cid:57)
2
1 16 3 4 3
(cid:177)(cid:138)(cid:43)(cid:44)(cid:45)OMN(cid:18)(cid:71)(cid:72)(cid:158) ´ ´ = (cid:57)
2 3 2 3æ1 ö 2 3
(cid:166)(cid:27)(cid:236)(cid:5)(cid:164)(cid:137)(cid:150)y =- 33-1=-2 3,y =- 3ç -1÷= (cid:57)
1 2 è3 ø 3
 2 æ1ö 2 æ2 3ö 2 13
(cid:177)(cid:138)OM = 32+ -2 3 = 21,ON = ç ÷ +ç ç ÷ ÷ = (cid:57)
è3ø
è
3
ø
3
(cid:177)(cid:138)(cid:43)(cid:44)(cid:45)OMN(cid:206)(cid:207)(cid:76)(cid:287)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:57)D(cid:112)(cid:279)(cid:284)(cid:285).
(cid:180)(cid:112)(cid:151)AC.
11(cid:148)(cid:10)(cid:288)(cid:112)(cid:13)(cid:11)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)O(cid:158)(cid:104)(cid:19)(cid:192)(cid:4)(cid:57)(cid:100)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C:y2 =2px(p>0)(cid:42)(cid:4)F
(cid:18)(cid:204)(cid:84)(cid:51)C(cid:237)(cid:215)A(cid:57)B(cid:181)(cid:4)(cid:57)(cid:24)(cid:114)A(cid:179)(cid:223)(cid:85)(cid:260)(cid:261)(cid:57)(cid:4)M(p,0)(cid:57)(cid:183)|AF|=|AM |(cid:57)(cid:66)(cid:10) (cid:11)
A(cid:148)(cid:204)(cid:84)AB(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:158)2 6 B(cid:148)|OB|=|OF|
C(cid:148)|AB|>4|OF| D(cid:148)ÐOAM +ÐOBM <180°
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)ACD
3p 6p
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:166) AF = AM (cid:23)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:48)(cid:171)A( , )(cid:57)(cid:193)(cid:166)(cid:129)(cid:40)(cid:185)(cid:186)(cid:174)(cid:137)(cid:123)(cid:124)A(cid:112)(cid:279)(cid:65)(cid:169)(cid:170)(cid:187)(cid:204)(cid:84)AB(cid:18)
4 2
p 6p 25p
(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:195)(cid:196)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:48)(cid:171)B( ,- )(cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:48)(cid:187)OB (cid:123)(cid:124)B(cid:112)(cid:279)(cid:65)(cid:166)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:48)(cid:187) AB = (cid:174)(cid:137)(cid:123)(cid:124)
3 3 12
uuuv uuuv uuuv uuuv
C(cid:112)(cid:279)(cid:65)(cid:166)OA×OB<0(cid:57)MA×MB<0(cid:48)(cid:171)ÐAOB(cid:57)ÐAMB(cid:158)(cid:302)(cid:44)(cid:174)(cid:137)(cid:123)(cid:124)D(cid:112)(cid:279).
p
p + p
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:219)(cid:215)A(cid:57)(cid:197)(cid:171)F( ,0)(cid:57)(cid:166) AF = AM (cid:137)(cid:171)(cid:4)A(cid:179)FM (cid:18)(cid:156)(cid:204)(cid:191)(cid:5)(cid:84)(cid:27)(cid:57)(cid:66)A(cid:4)(cid:333)(cid:104)(cid:19)(cid:158) 2 3p(cid:57)
2 =
2 4
6p
(cid:172)(cid:173)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:137)(cid:171)y2 =2p× 3p = 3 p2(cid:57)(cid:66)A( 3p , 6p )(cid:57)(cid:66)(cid:204)(cid:84)AB(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:158) 2 =2 6(cid:57)A(cid:62)(cid:266)(cid:65)
4 2 4 2 3p p
-
4 2
1 p 1
(cid:219)(cid:215)B(cid:57)(cid:166)(cid:129)(cid:40)(cid:158)2 6(cid:137)(cid:171)(cid:204)(cid:84)AB(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x= y+ (cid:57)(cid:195)(cid:196)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:171)y2- py- p2 =0(cid:57)
2 6 2 62
6 6 6p æ 6pö p
(cid:165)B(x,y )(cid:57)(cid:66) p+ y = p(cid:57)(cid:66)y =- (cid:57)(cid:172)(cid:173)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:171)ç- ÷ =2p×x (cid:57)(cid:49)(cid:171)x = (cid:57)(cid:66)
1 1 2 1 6 1 3 è 3 ø 1 1 3
p 6p
B( ,- )(cid:57)
3 3
æ pö 2 æ 6pö 2 7p p
(cid:66)OB = ç ÷ +ç- ÷ = ¹ OF = (cid:57)B(cid:284)(cid:285)(cid:65)
è 3ø è 3 ø 3 2
3p p 25p
(cid:219)(cid:215)C(cid:57)(cid:166)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:52)(cid:53)(cid:150)(cid:151) AB = + + p= >2p=4OF (cid:57)C(cid:62)(cid:266)(cid:65)
4 3 12
uuuv uuuv 3p 6p p 6p 3p p 6p æ 6pö 3p2
(cid:219)(cid:215)D(cid:57)OA×OB=( , )×( ,- )= × + ×ç- ÷=- <0(cid:57)(cid:66)ÐAOB(cid:158)(cid:302)(cid:44)(cid:57)
4 2 3 3 4 3 2 ç 3 ÷ 4
è ø
uuuv uuuv p 6p 2p 6p p æ 2pö 6p æ 6pö 5p2
(cid:178)MA×MB=(- 4 , 2 )×(- 3 ,- 3 )=- 4 ×ç è - 3 ÷ ø + 2 ×ç ç è - 3 ÷ ÷ ø =- 6 <0(cid:57)(cid:66)ÐAMB(cid:158)(cid:302)(cid:44)(cid:57)
(cid:178)ÐAOB+ÐAMB+ÐOAM +ÐOBM =360o(cid:57)(cid:66)ÐOAM +ÐOBM <180o(cid:57)D(cid:62)(cid:266).
(cid:180)(cid:112)(cid:151)ACD.
12(cid:148)(cid:10)(cid:288)(cid:112)(cid:13)(cid:11)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)O(cid:158)(cid:104)(cid:19)(cid:192)(cid:4)(cid:57)(cid:4)A(1,1)(cid:179)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C:x2 =2py(p>0)
(cid:27)(cid:57)(cid:100)(cid:4)B(0,-1)(cid:18)(cid:204)(cid:84)(cid:237)C(cid:215)P(cid:57)Q(cid:181)(cid:4)(cid:57)(cid:66)(cid:10) (cid:11)
A(cid:148)C(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:158)y=-1 B(cid:148)(cid:204)(cid:84)AB(cid:51)C(cid:111)(cid:293)
C(cid:148)OP ×OQ >|OA 2 D(cid:148)|BP|×|BQ|>|BA|2
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)BCD
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:48)(cid:187)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:137)(cid:123)(cid:124)A(cid:57)(cid:195)(cid:196)AB(cid:51)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:48)(cid:237)(cid:4)(cid:137)(cid:123)(cid:124)B(cid:57)(cid:115)(cid:116)(cid:103)(cid:38)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:60)(cid:70)(cid:185)(cid:186)(cid:137)
(cid:123)(cid:124)C(cid:32)D.
1
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:216)(cid:4)A(cid:18)(cid:172)(cid:173)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:171)1=2p(cid:57)(cid:177)(cid:138)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x2 = y(cid:57)(cid:180)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=- (cid:57)A(cid:284)(cid:285)(cid:65)
41-(-1)
k = =2(cid:57)(cid:177)(cid:138)(cid:204)(cid:84)AB(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=2x-1(cid:57)
AB 1-0
ìy=2x-1
(cid:195)(cid:196)í (cid:57)(cid:137)(cid:171)x2-2x+1=0(cid:57)(cid:49)(cid:171)x=1(cid:57)(cid:180)B(cid:62)(cid:266)(cid:65)
îx2 = y
(cid:165)(cid:100)B(cid:18)(cid:204)(cid:84)(cid:158)l(cid:57)(cid:183)(cid:204)(cid:84)l(cid:51)y(cid:105)(cid:68)(cid:64)(cid:57)(cid:66)(cid:204)(cid:84)l(cid:51)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C(cid:315)(cid:243)(cid:85)(cid:182)(cid:237)(cid:4)(cid:57)
(cid:177)(cid:138)(cid:57)(cid:204)(cid:84)l(cid:18)(cid:129)(cid:40)(cid:361)(cid:179)(cid:57)(cid:165)(cid:24)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y=kx-1(cid:57)P(x,y ),Q(x ,y )(cid:57)
1 1 2 2
ìy=kx-1
(cid:195)(cid:196)í (cid:57)(cid:171)x2-kx+1=0(cid:57)
îx2 = y
ìΔ=k2-4>0
ï
(cid:177)(cid:138)í x +x =k (cid:57)(cid:177)(cid:138)k >2(cid:73)k <-2(cid:57)y y =(x x )2 =1(cid:57)
1 2 1 2 1 2
ï
xx =1
î 1 2
(cid:178)|OP|= x2+y2 = y +y2 (cid:57)|OQ|= x2+y2 = y +y2 (cid:57)
1 1 1 1 2 2 2 2
(cid:177)(cid:138)|OP|×|OQ|= y y (1+y )(1+y ) = kx ´kx =|k|>2=|OA|2(cid:57)(cid:180)C(cid:62)(cid:266)(cid:65)
1 2 1 2 1 2
(cid:176)(cid:158)|BP|= 1+k2 |x |(cid:57)|BQ|= 1+k2 |x |(cid:57)
1 2
(cid:177)(cid:138)|BP|×|BQ|=(1+k2)|x x |=1+k2 >5(cid:57)(cid:190)|BA|2=5(cid:57)(cid:180)D(cid:62)(cid:266).
1 2
(cid:180)(cid:112)(cid:151)BCD
13(cid:148)（2026·天津·高考真题）(cid:179)(cid:191)(cid:71)(cid:286)(cid:57)O(cid:158)(cid:104)(cid:19)(cid:192)(cid:4)(cid:57)(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =2x(cid:27)(cid:243)A(cid:32)B(cid:32)C(cid:32)D(cid:238)(cid:182)(cid:4)(cid:57)A(cid:32)
B(cid:32)C(cid:32)D(cid:18)(cid:368)(cid:104)(cid:19)(cid:5)(cid:209)(cid:158)y (cid:32)y (cid:32)y (cid:32)y (cid:57)(cid:204)(cid:84)AB(cid:51)(cid:204)(cid:84)CD(cid:237)x(cid:105)(cid:215)(cid:4)P(cid:57)(cid:204)(cid:84)AC(cid:237)x(cid:105)(cid:215)(cid:4)M (cid:57)
A B C D
(cid:204)(cid:84)BD(cid:237)x(cid:105)(cid:215)(cid:4)N (cid:57)(cid:138)(cid:226)(cid:372)(cid:184)(cid:62)(cid:266)(cid:18)(cid:243)______(cid:148)
(cid:183)P(cid:51)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:42)(cid:4)(cid:68)(cid:64)(cid:57)(cid:66)y y =-2(cid:65)
A B
①y y = y y (cid:65)
A B C D
②
OM ON =2OP2(cid:65)
③
y -y OP = y -y OM (cid:65)
A C B D
④ 2
S æ OM ö
(cid:248)ACP =ç ÷
S ç ON ÷
(cid:248)BDP è ø
⑤
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)②(cid:341)(cid:264)④(cid:373)(cid:48)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:60)(cid:51)x(cid:105)(cid:237)(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:51)(cid:60)(cid:224)(cid:4)(cid:368)(cid:104)(cid:19)(cid:72)(cid:18)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:193)(cid:115)(cid:116)(cid:55)(cid:56)(cid:186)(cid:278)(cid:279)(cid:5)(cid:164)(cid:57) (cid:197)(cid:171)(cid:57)
①②(cid:216)(cid:70)(cid:145)(cid:51)(cid:71)(cid:72)(cid:301)(cid:247)(cid:118)(cid:158)(cid:368)(cid:104)(cid:19)(cid:169)(cid:170)(cid:57)(cid:118)(cid:117)(cid:48)(cid:49)(cid:137)(cid:171).
③(cid:160)(cid:175)④(cid:49)⑤(cid:163)(cid:166)(cid:13)(cid:154)A(cid:32)B(cid:32)C(cid:32)D(cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =2x(cid:27)(cid:238)(cid:182)(cid:4)(cid:137)(cid:150)(cid:57)y ,y ,y ,y (cid:181)(cid:181)(cid:206)(cid:76).
A B C D
æs2 ö æt2 ö
(cid:165)(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =2x(cid:27)(cid:153)(cid:154)(cid:181)(cid:4)Sç ,s÷,Tç ,t÷(cid:57)(cid:24)(cid:114)s¹t.
è 2 ø è 2 ø
s-t 2
k = =
(cid:233)s+t ¹0(cid:262)(cid:57)(cid:204)(cid:84)ST(cid:18)(cid:129)(cid:40) s2 t2 s+t (cid:57)
-
2 2
2 t2
(cid:66)(cid:204)(cid:84)ST(cid:21)(cid:22)(cid:158)y-t = (x- )(cid:57)
s+t 2
st
(cid:319)y=0(cid:57)(cid:66)(cid:204)(cid:84)ST(cid:51)x(cid:105)(cid:18)(cid:237)(cid:4)R(cid:333)(cid:104)(cid:19)x =-
0 2
(cid:127)(cid:209)(cid:374)(cid:57)(cid:233)s+t =0(cid:262)(cid:57)s=-t(cid:57)
st
(cid:194)(cid:262)(cid:204)(cid:84)ST(cid:156)(cid:204)(cid:215)x(cid:105)(cid:57)x =- (cid:201)(cid:265)(cid:196)(cid:57)
0 2
st
(cid:176)(cid:194)(cid:57)(cid:204)(cid:84)ST(cid:51)x(cid:105)(cid:18)(cid:237)(cid:4)R(cid:333)(cid:104)(cid:19)x =- (cid:10)*(cid:11).
0 2
1
(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:204)(cid:84)AB(cid:237)x(cid:105)(cid:215)(cid:4)P(cid:57)(cid:183)P(cid:51)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:42)(cid:4)(cid:68)(cid:64)(cid:57)(cid:66)(cid:24)(cid:333)(cid:104)(cid:19)(cid:158) (cid:57)
2
① 1 y y
(cid:180)(cid:166)*(cid:186)(cid:137)(cid:171) =- A B (cid:57)(cid:174)y y =-1¹-2(cid:57)(cid:180) (cid:284)(cid:285)(cid:65)
2 2 A B
(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:204)(cid:84)AB(cid:51)(cid:204)(cid:84)CD(cid:237)x(cid:105)(cid:215)(cid:4)P(cid:57) ①
y y y y
②(cid:66)(cid:166)*(cid:186)(cid:137)(cid:171)(cid:4)P(cid:333)(cid:104)(cid:19)x =- A B =- C D (cid:57)
0 2 2
(cid:137)(cid:171)y y = y y (cid:57)(cid:180) (cid:62)(cid:266)(cid:65)
A B C D
(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:204)(cid:84)AC(cid:237)x②(cid:105)(cid:215)(cid:4)M (cid:57)(cid:204)(cid:84)BD(cid:237)x(cid:105)(cid:215)(cid:4)N (cid:57)
③(cid:66)(cid:166)*(cid:186)(cid:137)(cid:171)
y y y y y y y y
OM = x = - A C ,ON = x = - B D ,OP = x = - A B = - C D (cid:57)
M 2 N 2 0 2 2y y y y y y 2 y y 2
(cid:66)OM ON = A B C D = A B ,OP2 = A B (cid:57)
4 4 4
(cid:180)OM ON = OP2(cid:57)(cid:180) (cid:284)(cid:285)(cid:65)
③ y y y y
(cid:166)*(cid:186)(cid:137)(cid:171) y -y OP = y -y A B , y -y OM = y -y A C (cid:57)
A C A C 2 B D B D 2
④
(cid:233)(cid:4)A(cid:73)C(cid:158)(cid:192)(cid:4)(cid:262)(cid:57)(cid:66)(cid:4)P,M (cid:201)(cid:68)(cid:64)(cid:215)(cid:192)(cid:4)(cid:57)(cid:194)(cid:262) y -y OP = y -y OM (cid:65)
A C B D
(cid:233)(cid:4)A(cid:51)C(cid:217)(cid:206)(cid:158)(cid:192)(cid:4)(cid:262)(cid:57)(cid:174)y ¹0(cid:57)(cid:218)y ¹0(cid:57)
A C
y y
y -y A B
(cid:66)(cid:63)(cid:64) (cid:63)(cid:136)(cid:137)(cid:150)(cid:57) A C 2 = y A y B -y C y B = y D y C -y C y B =1(cid:57)
y y y y -y y y y -y y
y -y A C B C D C B C D C
② B D 2
(cid:66)(cid:243) y -y OP = y -y OM (cid:57)(cid:180) (cid:62)(cid:266)(cid:65)
A C B D
④
y y OM x y y æ y ö 2
(cid:166)y A y B = y C y D (cid:57)(cid:137)(cid:150) y D A = y C B (cid:57)(cid:66) ON = x M N = y B A y C D =ç è y D A ÷ ø (cid:57)
⑤
1 y y y y
MP y -y A C - A B y -y
S 2 A C 2 2 A C
VACP = =
S 1 y y y y
VBDP NP y -y B D - C D y -y
2 B D 2 2 B D
y y -y y y -y y 2 æ y ö 2 OM
= A A C = A A C = A =ç A ÷ =
y y -y y y y 2 è y ø ON (cid:57)
D B D y C D -y D D
D y D
A
2
OM S æ OM ö
(cid:58)(cid:101)(cid:57)(cid:233) ¹1(cid:262)(cid:57) VACP =ç ÷ (cid:206)(cid:265)(cid:196)(cid:57)(cid:180) (cid:284)(cid:285)(cid:65)
ON S ç ON ÷
VBDP è ø
⑤
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151)
②④
14(cid:148)（2026·上海·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:4)P(cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)G:y2 =4x(cid:27)(cid:85)(cid:4)(cid:57)(cid:183)(cid:4)P(cid:102)G(cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:207)P(cid:102)y(cid:105)(cid:18)(cid:103)
(cid:38)(cid:18)(cid:181)(cid:270)(cid:57)(cid:66)(cid:4)P(cid:18)(cid:333)(cid:104)(cid:19)(cid:207)____________.
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)1(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:165)Px ,y x ³0(cid:57)(cid:167)(cid:168)(cid:107)(cid:108)(cid:57)(cid:115)(cid:116)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:171)x +1=2x (cid:57)(cid:174)(cid:137)(cid:48)(cid:49).
0 0 0 0 0
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:176)(cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)G:y2 =4x(cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:158)F1,0(cid:57)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x=-1(cid:57)(cid:165)Px ,y x ³0(cid:57)
0 0 0
(cid:166)(cid:13)(cid:243)x +1=2x (cid:57)(cid:49)(cid:171)x =1(cid:57)
0 0 0
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151)1.
15(cid:148)（2025·北京·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =2px(p>0)(cid:18)(cid:214)(cid:4)(cid:102)(cid:42)(cid:4)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)3(cid:57)(cid:66)p=________(cid:148)
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)6
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:77)(cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:137)(cid:48)p(cid:18)(cid:122).
p p
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:176)(cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:214)(cid:4)(cid:102)(cid:42)(cid:103)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158) (cid:57)(cid:180) =3(cid:57)(cid:180)p=6(cid:57)
2 2
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151)6.
16(cid:148)（2024·上海·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =4x(cid:27)(cid:243)(cid:85)(cid:4)P(cid:102)(cid:20)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)9(cid:57)(cid:375)(cid:376)(cid:4)P(cid:102)x(cid:105)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)
______(cid:148)
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)4 2
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:52)(cid:53)(cid:150)x =8(cid:57)(cid:216)(cid:24)(cid:193)(cid:172)(cid:173)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:174)(cid:137).
P
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:166)y2 =4x(cid:150)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x=-1(cid:57)(cid:165)(cid:4)Px ,y (cid:57)(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:171)x +1=9(cid:57)(cid:49)(cid:171)x =8(cid:57)
0 0 0 0
(cid:172)(cid:173)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)(cid:22)y2 =4x(cid:57)(cid:171)y2 =32(cid:57)(cid:49)(cid:171)y =±4 2(cid:57)
0 0
(cid:66)(cid:4)P(cid:102)x(cid:105)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)4 2(cid:148)
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151)4 2(cid:148)
17(cid:148)（2024·北京·高考真题）(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =16x(cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:158)________(cid:148)
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)4,0
æ p ö
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:45)(cid:58)y2 =2px,p¹0(cid:18)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:42)(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:158)ç ,0÷(cid:57)(cid:166)(cid:194)(cid:174)(cid:137)(cid:171)(cid:49).
è 2 ø
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y2 =16x(cid:57)(cid:177)(cid:138)(cid:24)(cid:42)(cid:4)(cid:104)(cid:19)(cid:158)4,0.
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151)4,0.
18(cid:148)（2024·天津·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:17)(x-1)2+ y2 =25(cid:18)(cid:17)(cid:39)(cid:51)(cid:109)(cid:110)(cid:84)y2 =2px(cid:18)(cid:42)(cid:4)F (cid:68)(cid:64)(cid:57)(cid:218)(cid:181)(cid:83)(cid:84)(cid:179)
(cid:223)(cid:85)(cid:260)(cid:261)(cid:18)(cid:237)(cid:4)(cid:158)A(cid:57)(cid:66)(cid:192)(cid:4)(cid:102)(cid:204)(cid:84)AF (cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)______(cid:148)4
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163) /0.8
5
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:264)(cid:48)(cid:187)(cid:17)(cid:39)(cid:104)(cid:19)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:137)(cid:48)(cid:42)(cid:20)(cid:103)(cid:57)(cid:193)(cid:195)(cid:196)(cid:17)(cid:41)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:48)A(cid:23)AF (cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:152)(cid:190)(cid:137)(cid:48)(cid:192)(cid:4)(cid:102)
(cid:204)(cid:84)AF (cid:18)(cid:103)(cid:38).
p
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:17)(x-1)2+ y2 =25(cid:18)(cid:17)(cid:39)(cid:158)F1,0(cid:57)(cid:180) =1(cid:174)p=2(cid:57)
2
ìïx-12 +y2 =25
(cid:166)í (cid:137)(cid:171)x2+2x-24=0(cid:57)(cid:180)x=4(cid:73)x=-6(cid:10)(cid:322)(cid:11)(cid:57)
ïîy2 =4x
4
(cid:180)A4,4(cid:57)(cid:180)(cid:204)(cid:84)AF:y= x-1(cid:174)4x-3y-4=0(cid:57)
3
4 4
(cid:180)(cid:192)(cid:4)(cid:102)(cid:204)(cid:84)AF (cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)d = = (cid:57)
5 5
4
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151)
5
19(cid:148)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:149)(cid:150)(cid:4)A  1, 5  (cid:179)(cid:109)(cid:110)(cid:84)C(cid:151)y2 =2px(cid:27)(cid:57)(cid:66)A(cid:102)C(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)______.
9
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)
4
5
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:341)(cid:264)(cid:48)(cid:171)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:57)(cid:257)(cid:258)(cid:166)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:137)(cid:171)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x=- (cid:57)(cid:121)(cid:258)(cid:115)
4
(cid:116)(cid:4)(cid:18)(cid:104)(cid:19)(cid:41)(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:119)(cid:120)(cid:4)A(cid:102)C(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:174)(cid:137).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:166)(cid:13)(cid:154)(cid:137)(cid:171)(cid:151)  5 2 =2p´1(cid:57)(cid:66)2p=5(cid:57)(cid:109)(cid:110)(cid:84)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:158)y2 =5x(cid:57)
5 æ 5ö 9
(cid:20)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158)x=- (cid:57)(cid:4)A(cid:102)C(cid:18)(cid:20)(cid:84)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:158)1-ç- ÷= .
4 è 4ø 4
9
(cid:180)(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:151) .
4
考点 04 圆锥曲线综合问题
1(cid:148)（2023·上海·高考真题）(cid:179)(cid:191)(cid:71)(cid:27)(cid:57)(cid:183)(cid:83)(cid:84)Γ(cid:377)(cid:243)(cid:58)(cid:226)(cid:25)(cid:26)(cid:151)(cid:361)(cid:179)(cid:4)M(cid:57)(cid:306)(cid:171)(cid:219)(cid:215)(cid:153)(cid:154)(cid:4)PÎG(cid:57)(cid:301)(cid:243)QÎG
(cid:306)(cid:171) PM ×QM =1(cid:148)(cid:66)(cid:220)(cid:245)(cid:107)(cid:83)(cid:84)(cid:158)“(cid:378)(cid:111)(cid:55)(cid:83)(cid:84)”(cid:148)(cid:123)(cid:124)(cid:226)(cid:211)(cid:181)(cid:182)(cid:12)(cid:13)(cid:18)(cid:379)(cid:349)(cid:10) (cid:11)
(cid:177)(cid:243)(cid:16)(cid:17)(cid:301)(cid:207)“(cid:378)(cid:111)(cid:55)(cid:83)(cid:84)”(cid:148) (cid:361)(cid:179)(cid:207)“(cid:378)(cid:111)(cid:55)(cid:83)(cid:84)”(cid:18)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:148)
①A(cid:148) (cid:349)(cid:12)(cid:13)(cid:65) (cid:379)(cid:12)(cid:13) ② B(cid:148) (cid:379)(cid:12)(cid:13)(cid:65) (cid:349)(cid:12)(cid:13)
C(cid:148)①(cid:379)(cid:12)(cid:13)(cid:65)②(cid:379)(cid:12)(cid:13) D(cid:148)①(cid:349)(cid:12)(cid:13)(cid:65)②(cid:349)(cid:12)(cid:13)
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)①B ② ① ②
1
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:166)(cid:30)(cid:52)(cid:53)(cid:48)(cid:49)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:153)(cid:85)(cid:4)P(cid:102)(cid:52)(cid:4)M (cid:103)(cid:38)(cid:18)(cid:232)(cid:122)(cid:311)(cid:312)A(cid:57)(cid:233)(cid:153)(cid:154)xÎA(cid:57)(cid:301)(cid:243) ÎA(cid:262)(cid:57)(cid:83)(cid:84)(cid:252)
x(cid:159)(cid:52)(cid:53)(cid:57)(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:25)(cid:26)(cid:123)(cid:124)(cid:57)
x2 y2
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:219)(cid:215) (cid:57)(cid:206)(cid:231)(cid:165)(cid:16)(cid:17)(cid:21)(cid:22)(cid:158) + =1(a>b>0)(cid:57)M(m,0)(cid:57)
a2 b2
(cid:66)(cid:16)(cid:17)(cid:27)(cid:85)(cid:4)① P(cid:102)M (cid:103)(cid:38)(cid:158)
b2 b2
|PM |= (x-m)2+y2 = (x-m)2+b2- x2 = (1- )x2-2mx+m2+b2,-a£x£a(cid:57)
a2 a2
m
x= >a
(cid:233)m>a(cid:262)(cid:57)(cid:219)(cid:220)(cid:105) b2 (cid:57)(cid:137)(cid:171)|PM |Î[m-a,m+a](cid:57)
1-
a2
(cid:380)(cid:361)(cid:179)m(cid:306)(cid:171)(m-a)(m+a)=1(cid:57)(cid:194)(cid:262)(cid:252)(cid:159)(cid:13)(cid:154)(cid:57)(cid:180)(cid:153)(cid:154)(cid:16)(cid:17)(cid:301)(cid:207)“(cid:378)(cid:111)(cid:55)(cid:83)(cid:84)”(cid:57)(cid:180) (cid:62)(cid:266)(cid:57)
(cid:219)(cid:215) (cid:57)(cid:219)(cid:215)(cid:210)(cid:52)(cid:18)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:41)(cid:4)P(cid:57)(cid:267)(cid:257)|PM |(cid:361)(cid:179)(cid:121)(cid:348)(cid:122)(cid:57)(cid:190)M (cid:333)(cid:104)(cid:19)(cid:381)(cid:95)(cid:215)(cid:234)(cid:382)①(cid:147)(cid:262)(cid:57)|PM |(cid:381)(cid:95)(cid:215)(cid:234)
(cid:382)(cid:147)②(cid:57)|PM |Î[m,+¥)(cid:57)(cid:180)(cid:206)(cid:252)(cid:159)(cid:13)(cid:154)(cid:57)(cid:206)(cid:361)(cid:179)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:207)“(cid:378)(cid:111)(cid:55)(cid:83)(cid:84)”(cid:180) (cid:284)(cid:285)(cid:57)
(cid:180)(cid:112)(cid:151)B ②
(cid:160)(cid:4)(cid:198)(cid:163)(cid:98)(cid:13)(cid:55)(cid:328)(cid:179)(cid:215)(cid:30)(cid:52)(cid:53)(cid:18)(cid:61)(cid:49)(cid:57)(cid:247)(cid:118)(cid:158)(cid:48)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:153)(cid:85)(cid:4)(cid:102)(cid:52)(cid:4)M (cid:103)(cid:38)(cid:18)(cid:232)(cid:122)(cid:311)(cid:312)(cid:57)(cid:193)(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:51)(cid:82)
(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:25)(cid:26)(cid:123)(cid:124)(cid:174)(cid:137)(cid:148)
2(cid:148)(cid:10)(cid:288)(cid:112)(cid:13)(cid:11)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:165)(cid:119)(cid:85)(cid:107)(cid:383)(cid:384)(cid:18)(cid:385)(cid:386),(cid:24)(cid:254)(cid:142) (cid:137)(cid:138)(cid:387)(cid:155)(cid:101)(cid:114)(cid:18)(cid:83)(cid:84)C(cid:18)(cid:85)(cid:325)(cid:5).
(cid:149)(cid:150)C(cid:100)(cid:104)(cid:19)(cid:192)(cid:4)O.(cid:218)C(cid:27)(cid:18)(cid:4)(cid:252)(cid:159):(cid:333)(cid:104)(cid:19)(cid:147)(cid:215)-2(cid:57)(cid:102)(cid:4)F(2,0)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:51)(cid:102)(cid:52)(cid:204)(cid:84)x=a(a<0)(cid:18)(cid:103)(cid:38)(cid:221)
(cid:72)(cid:158)4(cid:57)(cid:66)(cid:10) (cid:11)
A(cid:148)a=-2 B(cid:148)(cid:4)(2 2,0)(cid:179)C(cid:27)
4
C(cid:148)C(cid:179)(cid:223)(cid:85)(cid:260)(cid:261)(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:368)(cid:104)(cid:19)(cid:18)(cid:121)(cid:147)(cid:122)(cid:158)1 D(cid:148)(cid:233)(cid:4)x ,y (cid:179)C(cid:27)(cid:262)(cid:57)y £
0 0 0 x +2
0
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)ABD
(cid:160)(cid:5)(cid:164)(cid:163)(cid:167)(cid:168)(cid:13)(cid:165)(cid:216)(cid:192)(cid:4)(cid:172)(cid:173)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:258)(cid:137)(cid:48)a(cid:57)(cid:180)(cid:137)(cid:123)(cid:124)A(cid:18)(cid:62)(cid:285)(cid:57)(cid:63)(cid:64)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:137)(cid:123)(cid:124)B(cid:18)(cid:62)(cid:285)(cid:57)(cid:115)
(cid:116)(cid:127)(cid:273)(cid:184)(cid:137)(cid:123)(cid:124)C(cid:18)(cid:62)(cid:285)(cid:57)(cid:216)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:118)(cid:117)(cid:258)(cid:63)(cid:64)(cid:206)(cid:76)(cid:186)(cid:18)(cid:25)(cid:26)(cid:137)(cid:123)(cid:124)D(cid:18)(cid:62)(cid:285).
(cid:160)(cid:175)(cid:49)(cid:163)(cid:219)(cid:215)A(cid:151)(cid:165)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:18)(cid:362)(cid:4)Px,y(cid:57)(cid:66)x>-2(cid:218) x-22 +y2 ´ x-a =4(cid:57)
(cid:176)(cid:158)(cid:83)(cid:84)(cid:100)(cid:104)(cid:19)(cid:192)(cid:4)(cid:57)(cid:180) 0-22 +02 ´ 0-a =4(cid:57)(cid:49)(cid:171)a=-2(cid:57)(cid:180)A(cid:62)(cid:266).(cid:219)(cid:215)B(cid:151)(cid:178)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:158) x-22 +y2 ´ x+2 =4(cid:57)(cid:190)x>-2(cid:57)
(cid:180) x-22 +y2 ´x+2=4.
 2  
(cid:233)x=2 2,y=0(cid:262)(cid:57) 2 2-2 ´ 2 2+2 =8-4=4(cid:57)
 
(cid:180) 2 2,0 (cid:179)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:57)(cid:180)B(cid:62)(cid:266).
(cid:219)(cid:215)C(cid:151)(cid:166)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:21)(cid:22)(cid:137)(cid:171)y2 = 16 -x-22 (cid:57)(cid:232)x= 3 (cid:57)
x+22
2
64 1 64 1 64 5 256-245
(cid:66)y2 = - (cid:57)(cid:190) - -1= - = >0(cid:57)(cid:180)(cid:194)(cid:262)y2 >1(cid:57)
49 4 49 4 49 4 49´4
(cid:180)C(cid:179)(cid:223)(cid:85)(cid:260)(cid:261)(cid:286)(cid:4)(cid:18)(cid:368)(cid:104)(cid:19)(cid:18)(cid:121)(cid:147)(cid:122)(cid:147)(cid:215)1(cid:57)(cid:180)C(cid:284)(cid:285).
16 16
(cid:219)(cid:215)D(cid:151)(cid:233)(cid:4)x
0
,y
0
(cid:179)(cid:83)(cid:84)(cid:27)(cid:262)(cid:57)(cid:166)C(cid:18)(cid:5)(cid:164)(cid:137)(cid:171)y
0
2 =
x +22
-x
0
-22 £
x +22
(cid:57)
0 0
4 4
(cid:180)- £ y £ (cid:57)(cid:180)D(cid:62)(cid:266).
x +2 0 x +2
0 0
(cid:180)(cid:112)(cid:151)ABD.
(cid:160)(cid:4)(cid:198)(cid:163)(cid:388)(cid:389)(cid:4)(cid:198)(cid:151)(cid:167)(cid:168)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:230)(cid:136)(cid:83)(cid:84)(cid:18)(cid:25)(cid:26)(cid:57)(cid:85)(cid:390)(cid:316)(cid:321)(cid:216)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:22)(cid:292)(cid:45)(cid:118)(cid:117)(cid:258)(cid:63)(cid:64)(cid:206)(cid:76)(cid:186)(cid:18)(cid:25)(cid:26)(cid:76)
(cid:351)(cid:352)(cid:61).