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专题 09 解析几何专题（数学文化）
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用
垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的
矩形 截某圆锥得到椭圆 ，且 与矩形 的四边相切.设椭圆 在平面直角坐标系中的方程为
，下列选项中满足题意的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北
京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现
代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半
部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道
和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚
的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相
邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为 ，若双曲线C
以 为焦点、以直线 为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·云南曲靖·高二校考开学考试）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，
他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022·全国·高三专题练习）我们把离心率为 的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭
圆”，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（
）．
A． B．
C． D．
5．（2022秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问
题一般的描述是：已知点 、 是 的 边上的两个定点， 是 边上的一个动点，当 在何处
时， 最大?问题的答案是：当且仅当 的外接圆与边 相切于点 时， 最大．人们称
这一命题为米勒定理．已知点 ， 的坐标分别是 ， ， 是 轴正半轴上的一动点，当 最
大时，点 的纵坐标为（ ）
A． B．2 C． D．4
6．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知
地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中
心的距离之比为 ，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·福建·高二校联考期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 是锐角 的一边 上的两点，试在 边上找一点 ，使得 最大.”如图，其结论是：点 为过 ， 两点且和
射线 相切的圆与射线 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 中，给定两点
，点 在 轴上移动，当 取最大值时，点 的横坐标是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
8．（2022秋·北京·高二北大附中校考期末）公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的
平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、
阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：
与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线
和抛物线.已知 是平面内两个定点， 且 |AB| = 4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（ ）
A．到 两点距离相等的点的轨迹是直线
B．到 两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆
C．到 两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆
D．到 两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线
9．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥
曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，
到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，
并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲
线；当 时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的
角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（ ）的方法非常巧妙，
极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面､截面相切，两个球分别与截面相
切于 ，在截口曲线上任取一点 ，过 作圆锥的母线，分别与两个球相切于 ，由球和圆的几何性
质，可以知道， ， ，于是 .由 的产生方法可知，它们之间
的距离 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以 为焦点的椭圆.
如图②，一个半径为 的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源 ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知
是椭圆的长轴， 垂直于桌面且与球相切， ，则椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．
当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长与短半轴长
的乘积，已知椭圆 的面积为 ，两个焦点分别为 ，点P为椭圆C的上顶点．
直线 与椭圆C交于A，B两点，若 的斜率之积为 ，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3 B．6 C． D．12．（2022秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，
形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： 可以转
化为平面上点 与点 的距离.结合上述观点，可得 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五
星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有
人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，
OO ，OO ，OO ，OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB
1 2 3 4
所在直线的倾斜角约为（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
14．（2022秋·湖北·高二宜城市第一中学校联考期中）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐
含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮
马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，
若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回
到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所
示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于 ，
则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
16．（2020秋·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考阶段练习）2020年11月24日，我国在中国文昌航天发
射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，它将首次带月壤返回地球，我们离月
球的“距离”又近一步了.已知点 ，直线 ，若某直线上存在点 ，使得点 到点 的距离
比到直线 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的轨迹曲线是一条线段
B． 不是“最远距离直线”
C． 是“最远距离直线”
D．点 的轨迹与直线 ： 是没有交会的轨迹 即两个轨迹没有交点
17．（2022·广东·统考模拟预测）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，
很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与 相关的代数问题，可以转化为点
与点 之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数 ，下
列结论正确的是（ ）
A． 无解 B． 的解为C． 的最小值为2 D． 的最大值为2
18．（2022秋·广东茂名·高二统考期末）(多选)如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球
后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次
变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 和2c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用
1 2
2a 和2a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，下列式子正确的是（ ）
1 2
A． B．
C． < D．
19．（2022·全国·高三专题练习）数学家称 为黄金比，记为ω.定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄
金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”.以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆”：
与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有（ ）
A． B．黄金椭圆离心率
C．设直线OQ的倾斜角为θ，则 D．交点Q坐标为(b,ωb)
20．（2022·全国·高二假期作业）1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三
角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知 的顶点
，重心 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 的坐标为B． 为等边三角形
C．欧拉线方程为
D． 外接圆的方程为
21．（2023秋·江苏南京·高二校考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ， 的
距离之比为定值 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知
， ，动点 满足 ，记点 的轨迹为圆 ，又已知动圆 ：
.则下列说法正确的是（ ）
A．圆 的方程是
B．当 变化时，动点 的轨迹方程为
C．当 时，过直线 上一点 引圆 的两条切线，切点为 ， ，则 的最大值为
D．存在 使得圆 与圆 内切
22．（2022秋·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期末）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布﹒伯努
利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系 中，把到定点 ， 距离之积等于
的点的轨迹称为双纽线 .已知点 是双纽线 上一点，下列说法中正确的有（ ）
A．双纽线 关于 轴对称 B．
C．双纽线 上满足 的点 有两个D． 的最大值为
三、填空题
23．（2022秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史．为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示．该伞沿是一个半
径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为 ，当阳光与地面夹角为 时，在地面形成了一个椭圆形影子，
且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率 _____________．
24．（2022秋·河南·高二校联考期末）台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球
之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，
本球需经过边 ， 两次反弹后击打目标球N，点M到 的距离分别为 ，点N到
的距离分别为 ，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则
___________．
25．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长
也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要
早100多年．已知直角坐标平面内有一点 和一动点 满足 ，若过点 的直线 将动点
的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 的斜率 __________．
26．（2022秋·湖南·高二校联考期中）古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆 ，则该椭圆的面积为
________．
27．（2022·广东韶关·统考一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定
义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是 与 两点间的直线距离，即
.切比雪夫距离是 与 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝
对值中的最大值，即 .已知 是直线 上的动点，当 与 （ 为
坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________.
28．（2022·全国·高二假期作业）中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精
美的青花瓷它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心 的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线
旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为______厘米．
29．（2022秋·湖北·高二校联考期末）如图1所示，拋物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形
成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用
于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两
点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点， 是馈源的方向角，记为 ，焦点F到顶点的距离f
与口径d的比值 称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源
的方向角 ，则其焦径比为______．30．（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．
比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全
部都会经过另一个焦点．设椭圆方程 为其左、右焦点，若从右焦点 发出的光
线经椭圆上的点A和点B反射后，满足 ，则该椭圆的离心率为_________．
31．（2022春·江西九江·高二九江一中校考阶段练习）天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时
发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标
系中，设定点为 ， ，点O为坐标原点，动点 满足 （ 且为常数），
化简得曲线E： ．下列命题中正确序号是__________．
①曲线E既是中心对称又是轴对称图形；
② 的最小值为2a；
③当 时， 的最大值为 ；
④ 面积不大于 ．32．（2022·高二课时练习）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计
元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例压缩后可
近似看成双曲线 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率
为2，则该双曲线的方程为______．
33．（2022·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角 的一边
QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得 最大．”如图，其结论是：点 为过M，N两点且和射
线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点
，点 在 轴上移动，当 取最大值时，点 的横坐标是________.
34．（2022秋·北京·高二北京八十中校考期末）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微
分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆
称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 的蒙日圆为 ，过 上的动点 作 的
两条切线，分别与 交于P，Q两点，直线 交 于A，B两点，则下列说法，正确的有______.
①椭圆 的离心率为
② 面积的最大值为
③ 到 的左焦点的距离的最小值为④若动点 在 上，将直线 ， 的斜率分别记为 ， ，则
35．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约公元前 年）证明过这样一个命题：平面内到两定
点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知 、 分别是圆
，圆 上的动点， 是坐标原点，则 的最小值是 __．
四、解答题
36．（2022秋·江西宜春·高二校联考阶段练习）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波
罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称
为阿波罗尼斯圆.已知点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足 ，记动点M的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程；
(2)过点N(0、4)的直线l与曲线C交于P，Q两点，若P为线段NQ的中点，求直线l的方程.
37．（2021春·上海普陀·高二校考期中）1972年9月，苏步青先生第三次来到江南造船厂，这一次他是为
解决造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我国计算机辅助几何设计的发展作出了重要贡献.
造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线，由于这条圆弧线的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因
此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线.如图，已知圆弧 的半径 r 29米，圆弧
所对的弦长l 12米，以米为单位，建立适当的坐标系，并求圆弧 的方程（答案中数据精确到0.001米，
）.38．（2021春·江西抚州·高一黎川县第一中学校考期末）数学家欧拉在1765年提出：三角形的重心､外心､
垂心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若 的顶点 ， ，且
的欧拉线的方程为 ．（注：如果 三个顶点坐标分别为 ，
则 重心的坐标是 .）
（1）求 外心 (外接圆圆心)的坐标；
（2）求顶点 的坐标．
39．（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心
依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该
定理被称为欧拉线定理．现已知 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，圆 的圆心
在 的欧拉线上，且满足 ，直线 被圆 截得的弦长为 ．
(1)求 的欧拉线的方程；
(2)求圆 的标准方程．
40．（2021·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏
饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从
山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从
点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.
（1）若军营所在区域为 ： ，求“将军饮马”的最短总路程；
（2）若军营所在区域为为 ： ，求“将军饮马”的最短总路程．
41．（2022秋·湖北武汉·高三校考阶段练习） 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了
“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个
平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线与双曲线 及其渐近线围成的平面图形 如图所示.若将图形 被直线 所截
得的两条线段绕 轴旋转一周，则形成的旋转面的面积 ______；若将图形 绕 轴旋转一周，则形成
的旋转体的体积 ______.
