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专题 17 立体几何外接球与内切球必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知正四棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，且正四棱锥 的底面面积为6，侧面积
为 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据几何体的性质，转化为平面问题，利用勾股定理求解得出球的半径即可求出球的体积
【详解】
设底面边长为 ，侧棱长为 ，
因为底面面积为6，所以 ，得 ，
因为侧面积为 ，
所以 ，解得 ，
连接 交于点 ，连接 ，则可得 平面 ，，
所以四棱锥 的高 ，
点 在 上，连接 ，设球的半径为 ，则
，解得 ，
所以球 的体积为 ，
故选：A2．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥 为鳖臑， 平面
， ， ， ，若三棱锥 的所有顶点都在球 上，则球 的半径为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将鳖臑补形为长方体,求出长方体的外接球的半径即可.
【详解】
由题意,将鳖臑补形为长方体如图,则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球.
外接球的半径为
故选：A
3．已知 是以 为斜边的直角三角形， 为平面 外一点，且平面 平面 ， ，
， ，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】
由 为直角三角形，可知 中点 为 外接圆的圆心，又平面 平面 ，所以球心在过
与平面 垂直的直线上，且球心为 的外心.利用正余弦定理求出 外接圆的半径即为球的
半径，从而求出球的体积.
【详解】
解：取 中点 ，过点 做直线 垂直 ，因为 为直角三角形，所以点 为 外接圆的圆
心，又平面 平面 ，所以 平面 ，根据球的性质，球心一定在垂线 上，且球心为
的外心.
在 中， ，
所以 ，则 外接圆的半径为
即外接球的半径为 ，所以体积为 .
故选：D
4．三棱锥 中， ， ， 的面积为 ，则此三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角形全等和三角形的面积公式求出高 ，求解直角三角形得 ，利用余弦定理得出，可得 为三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积.
【详解】
， ， ，
又 ， ，则 ，
取 中点 ，连接 ，
又由 的面积为 ，可得 的高 ，
则可得 ，
在 中，由余弦定理 ，
，解得 ，
则 ，可得 ， ，
，
根据球的性质可得 为三棱锥外接球的直径，则半径为1，
故外接球的表面积为 .
故选：A.
5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）．已知在鳖臑
中， 平面 ， ，则该鳖臑的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将问题转化为棱长为 的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球半径为体对角线长一半可得所求
外接球半径，根据球的表面积公式可求得结果.
【详解】如图所示，鳖臑 的外接球即为棱长为 的正方体的外接球，
该鳖臑的外接球半径 ，
该外接球表面积 .
故选：C.
6．已知三棱锥 中， ， ， 的中点为E，DE的中点恰好为点A
在平面BCD上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图，设点A在面BCD上的射影为点F，根据题意和勾股定理求出BF、AF，
设球心到平面BCD的距离为h，利用勾股定理求出h，进而可得出结果.
【详解】
由题意知，如图， 为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心，
设点A在面BCD上的射影为点F，则点F为DE的中点，
所以 ，
所以 ，
设球心到平面BCD的距离为h，由BO=AO，在 和 中，可得 ，解得 ，所以 .
故选：D
7．如图，把两个完全相同的直三角尺 ， 斜边重合，沿其斜边 折叠形成一个120°的二面角，其
中 ，且 ，则空间四边形 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过点 作 于 ，连接 ，证得 为二面角 的平面角，进而求出 的长度，然后
取 的中点 ,证得 为空间四边形 外接球的球心，从而可知 为球直径，从而结合球的表面积的
公式即可求出结果.
【详解】过点 作 于 ，连接 ，由于 和 全等，所以 ， ，所以
为二面角 的平面角，即 ，在 中，结合余弦定理得
，即 ，因此 ，因为 ，
所以 ，
在 中， ，从而 ，在 中， ，又因为 ，
所以 ，取 的中点 ，连接 ，由于 是 和 的斜边，所以
，故 为空间四边形 外接球的球心， 为球直径，所以空间四边形 外接
球的半径为 ，所以空间四边形 外接球的表面积为 ，
故选：B.
8．已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28π，则该
三棱柱的体积为（ ）
A．6 B．18 C．12 D．16
【答案】B
【分析】
根据球的表面积求出外接球的半径，设出三棱柱的棱长，确认球心位置，结合勾股定理列出方程，解之即可求出结果.
【详解】
设球 的半径为 ，则 ，则 ，
设三棱柱 的棱长为 ，
连接 的外心 ，则 的中点 即为球心，
且 ,
则 ，则 ．
．
故选：B.
9．已知边长为2的等边三角形 ， 为 的中点，以 为折痕进行折叠，使折后的 ，则
过 ， ， ， 四点的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先对平面图形进行转换，进一步求出外接球的半径，最后带入表面积公式求解.【详解】
边长为2的等边三角形 ， 为 的中点，以 为折痕进行折叠，使折后的 ，构成以D
为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱
长分别为1，1， ，所以 ，球面积 ，
故选:D.
10．已知正四面体 的表面积为 ，且 、 、 ， 四点都在球 的球面上，则球 的体积为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为 ，则根据正四面体
的表面积即可得出 ，从而得出对应的正方体的棱长为1，而正方体的外接球即为该正四面体
的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径为 ，最后根据球的体积公式即可得出结果.
【详解】
解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为 ，
所以该正四面体的表面积为 ，
所以 ，又正方体的面对角线可构成正四面体，
若正四面体棱长为 ，可得正方体的棱长为1，
所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，
所以外接球的直径为 ，半径为 ，所以球 的体积为 ．故选：C.
11．在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形，且 ，则四棱锥外接球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用勾股定理判断 平面 ，过正方形 的中心 作垂线，再过 中点作此垂线的垂线，交
点 即为外接球的球心，求出外接球半径，由表面积公式即可求解.
【详解】
由题意可知 ， ，
所以 ， ，
又 ，
所以 平面 ，
过正方形 的中心 作垂线，
再过 中点作此垂线的垂线，交点为 ，
此点即为外接球的球心，
则外接球半径 ，
所以四棱锥外接球的表面积 .
故选：C
12．三棱锥D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD， AB⊥DB.则三棱锥D-ABC外接球的表面积是
（ ）.A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题可得球心为 的中点，即求.
【详解】
取 的中点为 ，连接 ，因为AC⊥CD， AB⊥DB
∴ 即 为棱锥D-ABC外接球的球心，
又AB=DC=3，AC=DB=2，
∴ ，
∴三棱锥D-ABC外接球的表面积为 .
故选：B.
13．已知一个圆锥的母线长为 ，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（
）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先利用圆锥的侧面展开图为扇形求出圆锥的底面半径r和圆锥的高h，设该圆锥的外接球的球心为O，半径
为R,利用勾股定理求出R，即可求出球的体积.
【详解】
设圆锥的底面半径为r，由侧面展开图是圆心角为 的扇形得：
，解得： .
作出圆锥的轴截面如图所示：
设圆锥的高为h，则 .
设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,则有 ，
即 ，解得：R=3，
所以该圆锥的外接球的体积为 .
故选：A.
14．已知三棱柱 的 个顶点全部在球 的表面上， ， ，三棱柱
的侧面积为 ，则球 表面积的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设三棱柱 的高为 ， ，根据题意得出 ，设 的外接圆半径为 、球
的半径为 ，根据勾股定理得出 的表达式，结合基本不等式即可得出结果.
【详解】
设三棱柱 的高为 ， .
因为 ，
所以 ，
则该三棱柱的侧面积为 ，故 .
设 的外接圆半径为 ，则 .
设球 的半径为 ，则 （当且仅当 时，等号成立），
故球 的表面积为 .
故选：B
15．三棱锥 的顶点均在一个半径为4的球面上， 为等边三角形且其边长为6，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据球的性质，结合线面垂直的性质、三棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】
如图所示：点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，
当 平面 时，三棱锥 体积最大，
此时， ，
因为 ，所以 ，
点M为三角形ABC的中心，
，
中，有 ，
，
，
故选：B.
第II卷（非选择题）
二、填空题
16．已知 ， 分别是边长为2的等边 边 ， 的中点，现将 沿 翻折使得平面
平面 ，则棱锥 外接球的表面积为_________．
【答案】
【分析】
取 的中点 ，连接 ，可得 为等腰梯形 的外接圆的圆心，再过折起后的 的外心作平面 的垂线，得出两垂线的交点 为棱锥 外接球的球心，求出半径，利用球的表面积公式
即可求解.
【详解】
取 的中点 ，连接 ，可知 ，
则 为等腰梯形 的外接圆的圆心，
过 作平面 的垂线，
再过折起后的 的外心作平面 的垂线，
设两垂线的交点为 ，
则 为四棱锥 外接球的球心，
的边长为 ， ，
则四棱锥 外接球的半径 ，
四棱锥 外接球的表面积为 .
故答案为：
17．如图，矩形 中， 为 的中点， ，将 沿直线 翻折成 （ 不在
平面 内），连结 ， 为 的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是_________.① 平面 ；②存在某个位置，使得 ；③当三棱锥 的体积最大时，三棱锥
的外接球的表面积是 .
【答案】①③
【分析】
取 中点，可判断①；通过 不成立，可判断②；当平面 平面 时，体积最大，此
时 中点为外接球球心，可判断③.
【详解】
取 中点 ，连接 ， ，故 ， ，四边形 为平行四边形，
故 ，即 平面 ，①正确；
由底面 为矩形，可知 ，若 ，则需 ，由已知可得 不成立，故②
错误；
当平面 平面 时，体积最大，此时 中点 为外接球球心，则该球的半径 ，表面积，故③正确；
故答案为：①③.
18．如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为2，则半球的
表面积为____________.
【答案】
【分析】
过正方体与半球底面垂直的对角面作截面 ，将问题转化为半圆与矩形的内接问题，进而求出半球的半径
，再利用球的表面积公式进行求解.
【详解】
设该半球的半径为 ，
过正方体与半球底面垂直的对角面作截面 ，
则面 截半球面得半圆，截正方体得一个矩形，
且矩形内接于半圆（如图所示），在矩形 中， ， ,
则 ，
所以半球的表面积为 .
故答案为： .
19．已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥 的体积的最大值为 ，
则该球O的体积为________．
【答案】
【分析】
易知 为该球的直径，由顶点 在底面的射影为球心 ，且底面 为等腰直角三角形时，三棱锥
体积最大求解.
【详解】
如图所示：
因为球心O在CD上，
所以 为该球的直径，
由此易知，当顶点 在底面的射影为球心 时，
且底面 为等腰直角三角形时，三棱锥 体积最大，所以 ，
解得 ，
故所求球 的体积为 .
故答案为： .
20．圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为 的球面上，上、下底面半径分别为 和 则该圆台的体积为
_______．
【答案】
【分析】
由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积.
【详解】
圆台的下底面半径为3，故下底面在外接球的大圆上，
如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为 ，
则圆台的高 ，
据此可得圆台的体积： .故答案为： .
21．已知三棱锥SABC中，SA平面ABC，且SA＝4，AB＝AC＝2，BAC＝120，则三棱锥SABC的
外接球的表面积为_____．
【答案】
【分析】
把三棱锥SABC中补形成一个直三棱柱，找出球心，求出球的半径即可求解.
【详解】
如图，把三棱锥SABC中补形成一个直三棱柱，设上、下底面外接圆的圆心分别为 ，球的半径为 ，
则外接球的球心O为 的中点，
由正弦定理 ，
又 ，
则其外接球的表面积为 ．
故答案为： .
22．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 ，底面边长为 ，则该球的表面积为
_________．
【答案】
【分析】
易知球心 在正四棱锥的高 上，可利用勾股定理构造出关于外接球的半径 ，解方程求得 后，利用
球的表面积公式可得结果.【详解】
如图所示， 为底面正方形的中心，
则 ， ，则正四棱锥的外接球的球心 在 上，
则外接球的半径 满足 ，解得： ，
该球的表面积 ．
故答案为： .
23．已知在四面体 中， ，则四面体 的外接球表面积
为______.
【答案】
【分析】
把四面体 补成为一个长方体，利用长方体求出外接球的半径，即可求出外接球表面积.
【详解】
对于四面体 中，因为 ，
所以可以把四面体 还原为一个长方体，如图：
设从同一个顶点出发的三条边长分别为x、y、z，则有：，解得：
点A、B、C、D均为长、宽、高分别为 ， ， 的长方体的顶点，
且四面体 的外接球即为该长方体的外接球，
于是长方体的体对角线即为外接球的直径，
不妨设外接球的半径为 ，∴ ，
∴外接球的表面积为 .
故答案为： .
24．已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上， 平面BCD，又 ，且
，则球O的体积为__________
【答案】
【分析】
由题可证 平面 ，因此可把四面体ABCD放入长方体中，则易求其外接球的体积.
【详解】
∵四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上， 平面BCD，
又 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平面 ，∴以 为长方体的长、宽、高构造长方体，则球 的半径为 ，
∴球O的体积为 .
故答案为： .
25．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑 中，满足
平面 ，且有 ，则此时它外接球的体积为_______.
【答案】 .
【分析】
根据题意，将图形还原成长方体，进而求该长方体外接球的体积即可.
【详解】
因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，AB⊥BD，又BD⊥CD，即AB，BD，CD三条直线两两垂直，如图，将鳖臑还原为长方体 ，则问题转化为求该长方体外接球的体积.
设外接球的半径为R，则 .
所以外接球的体积 .
故答案为： .
26．已知S，A，B，C是球O表面上的点， 平面 ，则球O的表面
积是_______；
【答案】
【分析】
先确定外接球的球心，再根据勾股定理得到半径，进而计算表面积得到答案.
【详解】
如图，取 中点 ，则 为 的外接圆的圆心
易知球心 在点 的上方，且 ，
此时球的半径 ，
.
故答案为：
27．一个正四面体表面积为 ，其内切球表面积为S.则 =___________.
2
【答案】【分析】
设正四面体的棱长为a，用a表示正四面体表面积为 ，求得正四面体的高，再利用等体积法求得其内切
球的半径为r即可.
【详解】
如图所示：
设正四面体的棱长为a，
因为正四面体表面积为 ，
所以 ，正四面体的高为 ，
设正四面体的内切球的半径为r，
则正四面体的体积为 ，
解得 ，
所以 ，
所以
故答案为：
28．已知四面体ABCD中，AB＝AD＝6，AC＝4，CD＝2 ，AB⊥平面ACD，则四面体ABCD外接球
的表面积为______．
【答案】88π．
【分析】首先四面体补体为长方体，借助长方体求外接球的半径，求四面体的外接球的表面积.
【详解】
解：因为AD＝6，AC＝4，CD＝2 ，所以 ，
所以 又因为AB⊥平面ACD，
由题意可知几何体是长方体的一部分，如图，
长方体的对角线的长为l ，就是外接球的直径，
所以外接球的直径为 ，
所以球的表面积为： ．
故答案为：
29．设体积为 的正三棱锥 外接球的球心为O，其中O在三棱锥 内部．若球O的半径
为R，且球心O到底面 的距离为 ，则球O的半径 __________．
【答案】3
【分析】
根据等边三角形的性质，结合球的几何性质、棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】
取 的中心G．连接 ，则 平面 且球心O在 上．由条件知， ，连接 ， ，
则 ，设等边 的边长为 ，所以等边 的高为： ，
2√6
因此 ，所以有a= R，
3
于是 的边长为 ．又 ，
故三棱锥 的高是： ，
所以 ，得 ．
故答案为：
30．在边长为6的菱形 中， ，将菱形 沿对角线 折起成直二面角，则所得三棱
锥 外接球的表面积等于___________.
【答案】
【分析】
过 的外心 作平面 的垂线，过 的外心 作平面 的垂线，两垂线交于 ，则点 为
三棱锥 外接球的球心，然后根据已知的数据求出球的半径，从而可求得球的表面积
【详解】
解：如图，取 的中点 ，连接 ，
因为边长为6的菱形 中， ，所以 和 均为正三角形，
所以 ,
因为二面角 为直二面角，所以 ，设 ， 分别是 和 的外心，过 作平面 的垂线，过 作平面 的垂线，两垂线交
于 ，则 到 的距离相等，所以点 为三棱锥 外接球的球心，
因为 , ，
所以 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 ，
故答案为：任务二:中立模式(中档)1-50题
一、单选题
1．已知球O是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，
AB= ，点E在线段BD上，且BD=3BE．过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图，O 是A在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，利用余弦定理求出OE=1，
1 1
当截面垂直于OE时，截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.
【详解】
解：如图，O 是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCD的外接圆半径 ；
1由勾股定理得棱锥的高AO ；
1
设球O的半径为R，则 ，
解得 ，所以OO =1；
1
在△BOE中，由余弦定理得
1
所以OE=1；所以在△OEO 中，OE= ；
1 1
当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为 ，截面面积为 .
故选：A
2．在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， 的面积为
，则三棱锥 的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取 的中点 ，过 作 于 ，连接 ，则由已知条件可得 为三棱锥 的外接球的球
心，则 为半径，从而可求出三棱锥 的外接球体积
【详解】
取 的中点 ，则 为 的外心，过 作 于 ，连接 ，
在 中， ， ， ，
所以 ，
所以 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，因为 的面积为 ， ， ，
所以 ，得 ，所以 ，
在 中由余弦定理得，
，
所以 ，所以 ，
所以 ,
所以 为三棱锥 的外接球的球心，且球的半径为
所以三棱锥 的外接球体积为 ，
故选：C
3．球 的表面积为 ，三棱柱 的顶点在球面上，且三角形 是边长为 的正三角形，
则 所在直线与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出球半径和 外接圆半径，即可求出球心到平面 的距离，得出侧棱长，取BC中点D，连接，可得 即为 所在直线与平面 所成角，直接求解即可.
【详解】
设球的半径为 ，则 ，解得 ，
设三角形 的外接圆半径为 ，则 ，解得 ，
则球心到平面 的距离 ，
因为三棱柱 的顶点在球面上，则三棱柱 为直三棱柱，则侧棱长为4，
取BC中点D，连接 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
所以 即为 所在直线与平面 所成角，
因为 ， ，所以 .
故选：C.
4．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào）．已知在鳖臑
中， 平面 ， ，则该鳖臑的内切球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意可得 ， ， ， ，求出 和 的面积，再根据
平面 结合勾股定理，推出 ， ，从而可求出 和 的面积，
然后根据等体积法即可求得该鳖臑的内切球的半径，从而得解.
【详解】
∵ 四个面都为直角三角形， ，
∴ ， ，则 ， ，
∴ ， ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，即 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ， ，
设 内切球的半径 ，由等体积法可得： ，即
，解得 ，
∴该鳖臑的内切球的表面积为 ，
故选：A.
5．已知圆锥的底面半径为 母线长为 则该圆锥内半径最大的球的表面积与圆锥外接球的表面积之比为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设其半径为 利用面积的等量关系求出 ，再求出圆锥外接
球的半径，即得解.
【详解】
圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设其半径为 设圆锥的一个轴截面为 如图所示，
则 内切圆的半径为圆锥内切球的半径．
在 中， 为 的中点，
所以 为等边三角形．由 ，
得 解得 ．
又 外接圆的直径 ，
所以外接球的半径
所以该圆锥内半径最大的球的表面积与圆锥外接球的表面积之比为 .
故选：B
6．已知三棱锥S-ABC的外接球O的表面积为 ，SA=2，SA⊥平面ABC， ABC是以AC为斜边的直角
三角形，点P在球O的表面上运动，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（ △ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定条件求出球O半径和线段AC长，进而求出 ABC面积最大值，点P到平面ABC的最大距离即可
△得解.
【详解】
因SA⊥平面ABC， 平面ABC，则SA⊥BC，又AB⊥BC，于是得BC⊥平面SAB，而 平面SAB，
则有SB⊥BC，
SC中点为O，连OB，OA，如图，于是得OB=OA=OC=OS，即点S，A，B，C在给定的球O的表面上，
OA长为该球半径，
由 得 ， ，而SA⊥AC，SA=2，则AC=2，
在 中， ，当且仅当 时等号成立，则 ，
又 ，于是得 ，
取AC中点O，连OO ，则O 为 外接圆圆心，OO ⊥平面ABC， ，
1 1 1 1
而球O表面上的点P到平面ABC的距离最大值为 ，
所以三棱锥 体积最大值为 .
故选：A
7．已知 ， ， ， 在球 的表面上， 为等边三角形且其面积为 ， 平面 ，
，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意求出△ 外接圆的半径，进而根据AD⊥平面ABC，得出 ，然后由勾股定理求得答案.【详解】
由等边三角形 面积为 可得 ，设△ 外接圆 半径为r，则直径 ，所以
r=1，
如图，因为AD⊥平面ABC，则 ，易知△ 是等腰三角形，所以 ，球 半径
， ，
故选：D.
8．在四面体 中， 平面 ， ， ， ，则该四面体的外接球
的表面积是（ ）
A． B．100π C． D．20π
【答案】D
【分析】
由题知 ， ， ，设 为三角形 的外心，进而得 ，过 作三角形 的
垂线 ，球心 在 上，且 ，进而得外接球半径 ，再计算表面积即可得答案.
【详解】
如图：因为 平面 ， ，
所以 ， ，
因为 ，由余弦定理可解得 ，设 为三角形 的外心，
则由正弦定理得三角形 外接圆半径为2，
即 ，
过 作三角形 的垂线 ，球心 在 上，则 ，
可求外接球半径 ，
故该四面体的外接球的表面积是 ，
故选：D.
9．已知四棱锥 ，底面 为矩形，侧面 平面 ， ，
.若点 为 的中点，则下列说法正确的为（ ）
A． 平面 B． 面
C．四棱锥 外接球的表面积为 D．四棱锥 的体积为6
【答案】B
【分析】
根据面面垂直的性质定理得出 平面 ，从而可判断出选项A错误；
证明出 即可判断出选项B正确；
判断出 的交点 为四棱锥 外接球的球心，从而求四棱锥 外接球的体积，从而
判断选项C错误；
通过求四棱锥 的体积来求四棱锥 的体积，从而判断选项D错误.【详解】
在四棱锥 中,
因为侧面 平面 ，面 平面 ， ，
所以 平面 ，
因为过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；
连接 交 于 ，连接 ，
在 中， ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，所以选项B正确；
取 中点 ，连接 ，在矩形 中，易得 ，
在 中， ，在 中， ，
所以 ，
所以O为四棱锥 外接球的球心，半径为 ，
所以其体积为 ，所以选项C不正确；
四棱锥 的体积是四棱锥 的体积的一半，
因为 ，侧面 平面 ，面 平面 ，
所以 平面 ， ，
所以四棱锥 的体积 ，所以选项D错误.
故选：B.
10．已知四棱锥 的侧棱均相等，其各个顶点都在球 的球面上， ， ，
， ，三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由四点共圆，可得出 ，进而求出截面圆的直径，再根据体积可求出四棱锥的高，然后根据勾
股定理，可求出外接球的半径，最后直接套表面积公式，可求得答案.
【详解】
如图，F为AC中点，由题意可知PF为四棱锥的高，
∵各个顶点都在球 的球面上， ，
∴ 四点共圆，且 为直径，
∴ ，
又∵ ， ，∴
在 ，解得 ，同理可得 .
∵三棱锥 的体积为 ,
∴ ，解得 ，
设 ，则 ，在 中， ，解得 .
球 的表面积为 .
故选：A11．三棱锥 的各个顶点都在球 的表面上，且 是等边三角形， 底面 ， ，
.若点 在线段 上，且 ，则过点 的平面截球 所得截面的最小面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图，设 外接圆的圆心为 ，求出 和外接球的半径 ,取 的中点 ，求出 ,即得解.
【详解】
如图，设 外接圆的圆心为 ，则外接圆半径 ，
设三棱锥 的外接球的球心为 ，则外接球的半径 .
取 的中点 ，由 ， ，得 ， .
则过点 的平面截球 所得截面圆的最小半径为 ，
过点 的平面截球 所得截面的最小面积为 .
故选：A
12．如图，三棱台ABC－A B C 中，AB⊥AC，BC＝6，A B ＝A C ＝4 ，AA ＝5 ，平面BCC B ⊥
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据面面垂直的性质，结合球的几何性质、球体积进行求解即可.
【详解】
设 的中点分别为 ，连接 ，如下图所示：
显然 ，因为平面BCC B⊥平面ABC，平面BCC B⊥平面ABC ，
1 1 1 1
所以 平面ABC，显然该三棱台外接球的球心在直线 上，设球心为
因为AB⊥AC，BC＝6，AB＝AC ＝ ，
1 1 1 1所以 ，
因此 ，
当 在线段 上时，如下图所示：
设 ，由勾股定理可知： ，
所以球的体积为： ，
当 不在线段 上时，如下图所示：
，由勾股定理可知： ，方程组无实数解，
故选：A
13．已知正三棱锥的底面边长为 ，高为 ，则三棱锥的内切球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三棱锥内切球的性质，结合球的表面积公式、三棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】
如图所示：设正三棱锥为 ，
设 为三棱锥的内切球的球心， 为正三角形 的中心，所以 为正三棱锥的高， ，设 是
的中点，
正三棱锥的底面边长为 ，所以 ， ，
因为 为正三棱锥的高，所以 ，
由正棱锥的性质可知： ，
， ，
设内切球的半径为 ，
，
三棱锥的内切球的表面积为： ，故选：C
14．已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O满足 ，则二面角A﹣PB﹣C的正弦值为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 ，得到 为 的外心，设 的边长为 ，求得三棱锥的高、侧棱长及斜高，取
的中点 ，连接 ，证得 ，再作 ，交证得 ，得到 是二面角
的平面角，在 中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】
因为正三棱锥 的外接球的球心 满足 ，
可得 为 的重心，因为 为等边三角形，所以 也为外心，
设 的边长为 ，则此三棱锥的高为 ，
所以侧棱长 ，
侧面的斜高 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
作 ，交 于点 ，连接 ，因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 是二面角 的平面角，
在 中，由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，所以二面角 的正弦值为 .
故选：C.
15．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、
内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠
已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠（近似看作球体）的
表面上有四个点 、 、 、 ，满足 为正三棱锥， 是 的中点，且 ，侧棱 ，
则该蹴鞠的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
若 ， 为 中点易得 ，再应用余弦定理、勾股定理求得 ，即 为直三棱
锥，即可求外接球半径，进而求表面积.
【详解】
如下图，若 为 中点，则 ，又 ，
∴ ，又 为正三棱锥且侧棱 ，∴ ，若 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，可得 ， ，
∴ ，即 为直三棱锥，易得外接球半径 ，
∴该蹴鞠的表面积为 .
故选：A
16．如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，且
，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取 中点 ，连接 先证明点 就是四棱锥外接球的球心，再求出外接球的半径即得解.
【详解】取 中点 ，连接
由题得 ，又 ，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 .
同理 ,
所以 ，
所以点 就是四棱锥外接球的球心.
因为 ，
所以 .
所以 所以外接球的半径为 .
所以该四棱锥外接球的表面积 ．
故选：B
17．已知球 是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心) 的外接球， ，
，点 在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（
）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】
设 的中心为 ，球 的半径为 ，连接 ， ， ， ，首先在 中可得
，解出 ，然后求出 ，然后过点 作球 的截面，当截面与 垂直时，截面的面积最
小，当截面过球心时，截面面积最大，然后可得答案.
【详解】
如图，设 的中心为 ，球 的半径为 ，连接 ， ， ， ，
则 ， .
在 中， ，解得 ，则 ，由 ，得 .
在 中， .
所以 .
过点 作球 的截面，当截面与 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为 ，则
最小面积为 .
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为
故选：C18．已知边长为 的菱形 中， ，现沿对角线 折起，使得 ，此时点
在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，再利用球的表面积公式即可求解.
【详解】
如图所示，取 的中点 ，连接 ， 则 ，
因为 ，在 中 ，
所以 ，过点 作 面 交 的延长线于点
可得 ，
所以 ， ，
设 外接圆的圆心为 ，三棱锥 外接球的球心为 ，则 面 ，
设 ，因为 ，所以 ，
过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
由勾股定理可得： ，解得： ， ，所以该球的表面积为 ，
故选：C
19．正方体 的棱长为2， 的中点分别是P，Q，直线 与正方体的外接球O相交
于M，N两点点G是球O上的动点则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图，设正方体外接球球O的半径为r，过球心O作 ，垂足为H，可得H为 的中点，由已知
数据可求得 的长是定值，而点G是球O上的动点，所以当点G到 的距离最大时， 面积的面
积最大，而点G到 的最大距离为 ，从而利用三角形的面积公式可求得结果
【详解】
如图，设正方体外接球球O的半径为r，过球心O作 ，垂足为H，易知H为 的中点．
因为正方体 的棱长为2，
所以 ，
所以 ，
，所以 ．
因为点G是球O上的动点，所以点G到 的最大距离为 ，
故 面积的最大值为 ．
故选：A
20．已知四棱锥 ， 平面 ， ， ， ， ，二面
角 的大小为 .若四面体 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先确定出三角形 外接圆的圆心 ，然后过 作垂直于平面 的垂线 ，再过 中点 向 作垂
线，垂足即为球心，根据线段长度可求解出球的半径，则球的体积可求.
【详解】
因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 外接圆的圆心为 的中点，记为 ，过 作直线 使得 平面 ，
取 中点 ，过 作 垂足为 ，则 ，
所以 为四面体 外接球的球心，
因为 ，所以 平面 ， ，
又 ，所以二面角 的平面角为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，
所以四面体 外接球的体积为 ，
故选：A.
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．已知菱形 的边长为 ， ，若沿对角线 将 折起，所得的二面角
为钝二面角，且A， ， ， 四点所在球的表面积为 ，则四面体 的体积为
________．
【答案】
【分析】
以等边三角形 ， 的中心 ， 分别作两个平面的垂线，交点为外接球球心 ，求得各个长
度，根据外接球表面积，求得外接球半径，即可求得 的值，进而可得 ，即可得
，即可求得点 到平面 的距离，代入椎体体积公式，即可得答案.【详解】
由已知可得， ， 均为等边三角形． 以等边三角形 ， 的中心 ， 分别作两个
平面的垂线，交点为外接球球心 ，如图所示，
由已知得 ，
则 ， ，
又外接球的表面积 ，
所以外接球的半径 ，
所以在 中，由勾股定理得 ，
所以在 中， ，
所以 ，同理可得 ，
所以 ，则点 到平面 的距离 ．
因为 ．
所以四面体 的体积 ．
故答案为：
22．已知三棱锥 中， 底面 ， ， ，则三棱锥 外接球的
表面积为___________.
【答案】【分析】
由球的性质可得三棱锥 外接球的球心在过 且与平面 垂直的直线上.求出 外接圆半径，
从而可得答案.
【详解】
设三棱锥 外接球半径为 .
设 为 的外接圆的圆心，则三棱锥 外接球的球心在过 且与平面 垂直的直线上.
即设球心为 ,则 平面 ，又 底面 ，则
连接结 , 过 作 ,由 ,则 为 的中点.
因为 外接圆半径 ，即
所以三棱锥 外接球半径 ，
所以三棱锥 外接球的表面积 .
故答案为：
23．如图，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ， 是边长为6的正三角形，二
面角 的大小为120°，则球 的体积为______．【答案】 /
【分析】
因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，其中 的外心就是其中心， 的外心是 的中点，
由此可构造直角三角形求解 的长，再利用球的体积公式求解即可．
【详解】
解：取 的中点 ，连接 ，设 为 的外心，则点 在 上且 ，
因为 ，则 为 的外心，
根据球的几何性质，则 平面 ， 平面 ，
因为二面角 的大小为 ，平面 平面 ，
则二面角 的大小为 ，
所以 ，
因为 是边长为6的正三角形，
则 ，
所以 ，
在 中， ，
在 中，因为 ，则 ，
所以球 的半径 ，
表面积为 ．故答案为： ．
24．已知四面体 中 和 是等边三角形，二面角 为直二面角．若 ，则四
面体 外接球的体积为_______．
【答案】
【分析】
设 为 的中心，O为四面体 的外接球的球心，过O作 ，然后在 中，由
求解.
【详解】
如图所示：
设 为 的中心，O为四面体 的外接球的球心，
则 平面 ．
设M为线段 的中点，外接球的半径为R，
连接 ，
过O作 于点G，
易知G为 的中心，则 ，因为 ，
故 ，
在 中， ，
故 ，
则 ．
所以外接球的体积为 ，
故答案为：
25．已知矩形 中， ， ， 是 边的中点.现以 为折痕将 折起，当三棱锥
的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为___________.
【答案】
【分析】
求得三角形 边 上的高 ，然后求得外接球的半径 ，进而求得外接球的体积.
【详解】
过 作 交 于 ， ，
在 中有 ， .
三角形 是等边三角形，边长为 ，
由 可得三角形 外接圆半径为 ，设外接圆圆心为 ，
.当平面 平面 时，三棱锥 的体积最大，
此时 平面 .
由于 ，
，所以 是三棱锥 外接球的球心，
设外接球半径为 ，则 ，
所以外接球的体积为 .
故答案为：
26．在一次数学探究活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面 为矩形， ，半圆面 底面 ．经研究发现，当点P在半圆弧 上（不含A，D
点）运动时，四棱锥 的外接球始终保持不变，则该外接球的体积为____．
【答案】
【分析】
由题意可得矩形 的中心即为三棱锥 的外接球的球心，求其对角线长，可得外接球的半径，
代入球的表面积公式得答案．
【详解】
解：由题意， 为直角三角形，
取 中点 ，则 ，
取正方形 的中心 ，连接 ，则 ，
面 底面 ，且面 底面 ， 面 ，
平面 ，得 到四棱锥 各顶点的距离相等，
为四棱锥 的外接球的球心，即三棱锥 的外接球的球心，
半径 ，
外接球的表面积为 ．
故答案为： ．27．在三棱锥 中， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积
为___________.
【答案】
【分析】
根据题设长度关系，可证明 平面 ，由正弦定理可得 的外接圆半径为 ，又
在线段 的垂直平分线上，可得 ，即可得 ，利用球的表面积公式即得
解
【详解】
在 中， ， ，
所以 ，所以 ，
在 中， ， ，
所以 ，所以 .
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，在 中， ，
所以 的外接圆半径为 ，
不妨设 的外接圆圆心为 ，三棱锥 的外接球球心为
连接 ，由于 ，故 在线段 的垂直平分线上，
即
故三棱锥 的外接球半径 ，
外接球的表面积为 .
故答案为：
28．四棱锥 的各顶点都在同一球面上， 底面 ，底面 为梯形， ，
且 ，则此球的体积等于______．
【答案】
【分析】
先确定底面四边形 的外接圆的圆心为 的位置，由于 为线段 的垂直平分线的交点，可得
当 为 中点时，满足 ，设四棱锥外接球的球心为 ，可知 平面 ，再由
确定 的位置
【详解】
由已知可得，底面四边形 为等腰梯形，
如下图所示，设底面外接圆的圆心为 ，故 到四个顶点 的距离相等，
因此 为线段 的垂直平分线的交点
由于 ，当 为 中点时，满足故底面外接圆的圆心为 在 中点
设四棱锥外接球的球心为 ，需保证
由于 ，当 平面
有
可得
下面由 确定 的位置：取 为 中点，连结
由于 平面 ， 底面 ，故
若 ，则 ，又 ，故
故四边形 为平行四边形，
，即四棱锥外接球的半径为 ．
∴此球的体积等于 ．
故答案为：
29．空间四面体 中， ， ， ，则该四面体的外接球的表面积
为_________
【答案】
【分析】
对角线长分别为 ， ， 的长方体，则该长方体的外接球即为四面体
的外接球，即得解【详解】
如图所示，构造对角线长分别为 ， ， 的长方体，则该长方体的外
接球即为四面体的外接球
不妨设从A点出发的三条棱长分别为 ，外接球半径为 ，如图所示
则
解得 ，即外接球的表面积为
故答案为：
30．在三棱锥 中， ， ， ， ，则该三棱锥外
接球的半径为___________.
【答案】
【分析】
由已知求解三角形可得 为等边三角形，取 的外心为 ，连接 ，可得 ，设垂足为
，连接 ，可得 平面 ，确定三棱锥外接球的球心，利用勾股定理求半径
【详解】
如图，在 中，由余弦定理可得
，所以 ，
因为 ，
所以 为等边三角形，
设 的外心为 ，连接 ， ， ，连接 ，
由题意可得 ， ，
， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
设 为三棱锥 外接球的球心，连接 ，
过 作 于 ，则外接球的半径 满足
，
将 ， 代入得 ，
所以 ，
所以
故答案为：
31．如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方
且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为_____________.【答案】
【分析】
结合图形，由题意可知大球的半径为 ，设小球的半径为 ，利用已知条件，结合勾股定理，推出结果
即可．
【详解】
解：由题意可知大球的半径为 ，设小球的半径为 ，
如图，设大圆的圆心为O，小圆的圆心为C，E为小圆与上底面的切点，作 交于点D，
由题意可知， ， ， ，
所以 ，即 ， ，
解得 ，
故答案为： ．
32．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上， 平面 ， ， ， ，
，若 为 的中点，过点 作球 的截面，则截面面积的最小值是___________.
【答案】
【分析】过底面 外接圆的圆心 作垂直于底面的直线，则球心 在该直线上，若 是 的中点，则 ，
重合，过点 作球 的截面，则截面面积最小时是与 垂直的面，即是三角形 的外接圆，然后算出
答案即可.
【详解】
如图所示：由题意知， ，则底面三角形 为直角三角形，若 是 的中点，则 ，
重合，过点 作球 的截面，
则截面面积最小时是与 垂直的面，即是三角形 的外接圆，
而三角形 的外接圆半径是斜边的一半，即 ，所以截面面积为 .
故答案为： .
33．在三棱锥 中， 和 都是边长为 的正三角形， .若 为三棱锥
外接球上的动点，则点 到平面 距离的最大值为_________.
【答案】
【分析】
设 中点为 ，可证明 ，设 和 的外心分别为 和 ，过 和 分别作两个平面
的垂线交于点 即为三棱锥 外接球的球心，求出外接球的半径 的长， 到平面 的距
离 即可求解.
【详解】设 中点为 ， 的外心为 ， 的外心为 ，
过点 作面 的垂线，过点 作直线面 的垂线，
两条垂线的交点 即为三棱锥 外接球的球心，
因为 和 都是边长为 的正三角形，可得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，且 ，
所以四边形 是边长为 的正方形，所以外接球半径 ，
到平面 的距离 ，
故答案为： .
34．球 的球面上有四点 、 、 、 ，其中 、 、 、 四点共面， 是边长为 的正三角
形，平面 平面 ，则棱锥 体积的最大值为___________
【答案】3
【分析】
由于面 面 ，所以点 在平面 上的射影 落在 上，根据球体的对称性可知，当 在“最
高点”，也就是说 为 中点时， 最大，棱锥 的体积最大．
【详解】
解：由题意画出几何体的图形如图由于面 面 ，所以点 在平面 上的射影 落在 上，根据球体的对称性可知，
当 在“最高点”，也就是说 为 中点时， 最大，棱锥 的体积最大．
是边长为 的正三角形，
球的半径 ，
在 中， ，
，求得 ，
体积 ．
故答案为：3.
35．已知球 为三棱锥 外接球， 为边长为1的等边三角形， ， ，且
，则球 的表面积为______
【答案】
【分析】
取 中点 ，连接 ，证明线面垂直后得线线垂直，从而得 ，再证得 平面 ，过
外心 作底面 的垂线，取 （ 与 同方向）， 即为外接球球心，求出球半径可
得表面积．
【详解】
如图，取 中点 ，连接 ，
是等边三角形，则 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，因此 ， ，同理 ， 平面 ，
所以 平面 ，
设 在 上且 ，则 是等边三角形 的外心，作 平面 ，取 ，如图，
则 是三棱锥 外接球球心．
， ，则 ，
所以球表面积为 ．
故答案为： ．
36．在正三棱锥 中， ､ 分别是棱 ､ 的中点，且 ，若侧棱 ，则该正
三棱锥外接球的体积是___________.
【答案】
【分析】
取 中点 ，连接 ，利用线面垂直的判定与性质，结合三角形中位线的性质可确定 两
两互相垂直，由此可将所求的外接球转化为以 为棱的正方体的外接球的求解问题，根据正方体
外接球的半径可求得结果.
【详解】
解：如图所示：取 中点 ，连接 ，三棱锥 为正三棱锥，
， ，
又 为 中点，
， ，
平面 ， ，
平面 ，
又 平面 ，
，
又 分别为 中点，
，
，
又 ， ， 平面 ，
平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
， ，
由正三棱锥特点知： 两两互相垂直，
三棱锥 的外接球，
即为以 为棱的正方体的外接球，
三棱锥 的外接球半径为： ，
三棱锥 的外接球体积为： .故答案为： .
37．在菱形 中， ， ，将 沿 折起到 的位置，若二面角 的
大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为___________.
【答案】
【分析】
设菱形中心为 ，则 为等边三角形，利用球的对称性可知 ，利用等边三角形的性质和
勾股定理求出球的半径可得答案.
【详解】
过球心 作 平面 ， 平面 ，则 为等边三角形 的中心，
为等边三角形 的中心， ，
∵四边形 是菱形， ，∴ 、 都是边长为2等边三角形，
连接 ， ，所以 ，
设 ， 交于点 ，则 ， ， ，
则 ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴球的半径 ，
∴三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为： .38．已知长方体 中， ， ， 与平面 所成角的正弦值为 ，则
该长方体的外接球的表面积为___________.
【答案】
【分析】
作 ，垂足为E，连接 ，BE，证得 是 与平面 所成的平面角，进而可以求出
的长度，然后根据长方体的对角线是其外接球的直径，进而可以求出球直径，从而结合球的表面积公
式可以求出结果.
【详解】
作 ，垂足为E，连接 ，BE，因为 平面 ，且 平面 ，所以平面
平面 ，又因为平面 平面 ， 平面ABC，所以 平面 ，因此 是
与平面 所成的平面角.
又 ， .
∴ ，解得 .故该长方体的体对角线为 .设长方体的外接球的半径为 ，则 ，解得 .
∴该长方体的外接球的表面积为 .
故答案为： .
39．已知三棱锥 ， 平面ABC， ， ，直线SB和平面ABC所成的角
大小为 .若三棱锥 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.
【答案】
【分析】
由于 平面 ，则 为直线SB和平面 所成的角，从而由已知条件可求出 ，设 为三棱
锥 外接球的球心，G为 外接圆圆心，在 中利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理求
出 外接圆的半径，即 的长，然后利用勾股定理可求出球的半径，进而求出球的表面积
【详解】
如图：平面 ，则 为直线SB和平面 所成的角，即
在 中： ，
如图，设 为三棱锥 外接球的球心，G为 外接圆圆心，
连结 ，则必有 面
在 ， ，
则
其外接圆半径 ，
又 ，
所以三棱锥 外接球半径为
该球的表面积为 ，
故答案为： .
40．在四棱锥 中，若 ，四棱锥
外接球表面积为__________.
【答案】
【分析】
根据题意，四棱锥 的外接球与三棱锥 的外接球为同一个，三棱锥 为正四面体，
进而构造正方体，利用正方体求解即可.
【详解】
因为 ，∠ 所以 ，
即四边形 四点共圆，
四棱锥 的外接球与三棱锥 的外接球为同一个，
又 ， ，所以三棱锥 为正四面体，
如图，构造棱长为1的正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球，
易求得外接球半径 ，
所以外接球表面积 .
故答案为：
任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．已知点 ､ ､ ､ 都在球 的球面上， ，△ 是边长为1的等边三角形， 与平面
所成角的正弦值为 ，若 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
若 是 的中点，则 是△ 的中心，连接 ，由线面垂直、面面垂直的判定可得面 面
，过 作 面 ，由面面垂直的性质知 必在直线 上，即 为 与面 所成角，
再过 作 交 于 ，结合已知可知 是 中点， 为 的中点，即可确定球心的位置，进
而求表面积.
【详解】
由题设，若 是 的中点，则 是△ 的中心，连接 ，如下图示：由题设知： ， ，又 ，则 面 ，
而 面 ，即面 面 ，
过 作 面 ，则 必在直线 上，易知： 为 与平面 所成角的平面角，
又 与平面 所成角的正弦值为 ， ，可得 .
过 作 交 于 ，易知： ，
而 ，即 ，又 ，故 为 的中点， ，
∴ ，即 是球心，故球 的半径为1，
∴球 的表面积为 .
故选：B
2．在三棱锥 中， ， ， .若三棱锥 的体积为1，
则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由条件可知 和 为以 为斜边的直角三角形，则 的中点 为外接球的球心. 过 做 平
面 ，垂足为 ，由三棱锥的体积可求出高 ，根据三角形全等可证明 在 的角平分线
上，即 ，由线面垂直的定理可知 ，从而可计算 ，勾股可知 的长，从而计
算外接球的半径和表面积.
【详解】
解：因为 ，所以 和 为以 为斜边的直角三角形，则 的中点 到各个顶点的距离都相等，则 为外接球的球心.即 为直径.
过 做 平面 ，垂足为 ，连结 ， ，
则 ，解得： .
， ， ， ，则
分别为 在平面 内的射影，所以有 ，
又 ， 为公共边，所以 ，则 ，所以 在 的角平分线上，
，
， ， ，所以有 平面 ， 平面 ，则有 ，
因为 ， ，所以 ，则 ，
则
故外接球的表面积为 .
故选：D.
3．已知四棱锥 中，侧面 底面 ， ，且 ，
则此四棱锥外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先分别找出等腰梯形 和等边三角形ABC外接圆的圆心N，G；根据 来求外接球的半径OA，从而求四棱锥外接球的表面积.
【详解】
易知四边形 为等腰梯形，又 ，所以梯形的高为 ，所以
， ，
所以 ，即 为直角三角形，取ED的中点 ，则 为梯形 外接圆的圆心.
设等边三角形ABC外接圆的圆心为 ，则 ，
因为侧面 底面 ，
所以四棱锥外接球的 ，
所以四棱锥外接球的表面积为 .
故选：D.
4．已知直四棱柱 ，其底面 是平行四边形，外接球体积为 ，若 ，则其
外接球被平面 截得图形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由条件可得 为矩形，进而可得 平面 ，所以 ，则四边形 为正方形，所以直四棱柱 为正四棱柱，设 ，由余弦定理可得 的值，求出
的值，由正弦定理可得 的外接圆的半径为 ，由均值不等式可得 的最小
值，从而得出答案.
【详解】
由直四棱柱 内接于球，则 四点在球面上，
所以四边形 为球的一截面圆的内接四边形，所以对角互补.
又四边形 是平行四边形，所以 为矩形.
在直四棱柱 中， 平面 ，所以
又 ， ，所以 平面 ，所以
所以四边形 为正方形，所以直四棱柱 为正四棱柱.
由外接球体积为 ，则球的半径为 ,
由 为该外接球的直径，则
设 ，则 ，则
在 中, ，
由余弦定理可得
所以
设 的外接圆的半径为 ，由正弦定理可得所以
当且仅当 ,即 时取得等号，即 的最小值为
其外接球被平面 截得图形面积的最小值为：
故选：A
5．已知边长为 的菱形 ， ，沿对角线 把 折起，二面角 的平面角是
，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出图形，利用勾股定理建立方程，求三棱锥 的外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】如图所示，设菱形的对角线交于 ，顶点A在底面的投影为 ，由菱形的性质可得，
二面角 的平面角是 ， ，
因为菱形的边长为 ， ， ， ，
设底面 外接圆圆心为 ，外接球球心为 ，连接 ，过 作 ，设 ，则
，
由勾股定理可得， ，
即 ，解得 ， ，
三棱锥 的外接球的表面积为 ，
故选：B.
6．在三棱锥 中， ， ， ， ，则该三棱锥的外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
在 中由余弦定理求得 ，即知 为等边三角形，又由已知，若 的外接圆的圆心为
有 为菱形，则 平面ABC，进而确定外接球球心O，由球心与相关点的位置关系求球的半径，
最后求表面积即可.
【详解】
在 中， ，即 ，又 ，
∴ 为等边三角形
根据题意，有如下示意图：如图，设 的外接圆的圆心为 ，连接 ， ， ，连接PH.
由题意可得 ，且 ， .
∴由上知： 且 ，又 ，
∴ ，由 ， 平面ABC.
设O为三棱锥 外接球的球心，连接 ， ，OC过O作 ，垂足为D，则外接球的半径
R满足 ， ， ，代入解得
，即有 ，
∴三棱锥 外接球的表面积为 .
故选：A.
7．在菱形 中， ， ，将△ 沿 折起到△ 的位置，二面角 的大小
为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意作示意图，找到底面等边△ 的外接圆圆心 ，以及三棱锥 的外接球的球心 ，过
作 于 ，则面 为球体最大截面，进而根据已知条件即可求外接球半径，即可求外接球表面
积.
【详解】
由题意可得如下示意图，设 交于 ，
则 ，即
所以 为二面角 的平面角，即 ，
又 ，所以 平面 ，
过 作 于 ， ，
所以 平面 ，
若 分别是面 的外接圆圆心、三棱锥 的外接球的球心，
则 平面 ，所以 ，
所以 必共面且该面为球体的最大截面，
连接 ，有 为外接球半径，
为面 的外接圆半径，若设 ，
则： ， ，
∵菱形 中， ， ，
∴ ， ， ，
且 ， ， ， ，
∴ ，即 ，解得 ，∴ ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 ，
故选：D
8．已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， 平面 ， ， 与平面
所成的角为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取 中点 ，连接 ，证明 平面 ，故 为 与平面 所成的角为 ，球心
在平面 的投影为 的外心 ，计算得到答案.
【详解】
取 中点 ，连接 ， ，则 .
平面 ， 平面 ，故 .
，故 平面 ，故 为 与平面 所成的角为 .
，故 ， ， ，故 .
球心 在平面 的投影为 的外心 ，
根据 知， ，故 ，
故球的表面积为 .
故选： .9．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ，则三棱锥 体积最大时，
其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先根据题意得到当 的面积最大时，此时三棱锥 的体积最大，设 ，利用正弦定理和
余弦定理得到 ，从而得到当 时， 最大，再将三棱锥 放入直三
棱柱 中，求外接球体积即可.
【详解】
如图所示：因为 平面 ， ，
所以当 的面积最大时，此时三棱锥 的体积最大.
设 ，则 ，
，
所以 .
所以 ，
当 ，即 时， 最大.
当 时， ，则 .
将三棱锥 放入直三棱柱 中，
， 分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为 ，
则 的中点 为直三棱柱 外接球球心，设外接球半径为 ，
如图所示：根据正弦定理 ，解得 ，所以 .
故外接球体积 .
故选：D
10．已知球 内接正四面体 ， 为棱 的中点， 是棱 上的一点，且 ，则球 与
四面体 的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出正四面体 与球 ，顶点 在底面的射影为 ，球心 在 上.设正四面体的棱长为 ，令
，由 ，可得 的关系，再分别求出体积，即可得答案；
【详解】
如图，正四面体 中，顶点 在底面的射影为 ，球心 在 上.
设正四面体的棱长为 ，则正四面体高 .
设外接球半径为 ，在直角三角形 中，
，即，解得 .
令 ，在 中，由余弦定理得
①，同理，在 中，由余弦定理得
②.由题设 ，解得 .由于 到平面
的距离与 到平面 的距离相等，都等于 ， ，故
， .所以
.
故选：D.
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．在梯形 中， ， ， 为 的中点，将 沿直线
翻折成 ，当三棱锥 的体积最大时，过点 的平面截三棱锥 的外接球所得截面面
积的最小值为______.
【答案】
【分析】
分析出当平面 平面 时，三棱锥 的体积最大，取 的中点 ，分析出点 为三棱锥
的外接球的球心，求出球的半径，计算出截面圆半径为最小值，结合圆的面积公式可得结果.
【详解】如下图所示，连接 ，则 ，
则 ，故 ，
设二面角 的平面角为 ，设三棱锥 的高为 ，则 ，
，
当且仅当 时，等号成立，即当平面 平面 时，三棱锥 的体积最大，
， ， ，故 为等腰直角三角形，且 ，
在梯形 中， ，则 ，所以， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，故 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 平面
，
平面 ，则 ，
因为 ， ， 平面 ，平面 ，所以， ，
记 中点为 ，由 得 为三棱锥 的外接球的球心，
且球的半径为 ，
设 与过点 的平面所成的角为 ，设点 到截面的距离为 ，则 ，
故截面圆的半径为 ，
当且仅当 时，过点 的平面截三棱锥外接球 所得截面面积最小，
所以截面圆面积的最小值为 .
故答案为： .
12．已知在平面四边形 中， ， ，将 沿对角线 折起，使
点 到达点 的位置，当 时，三棱锥 的外接球的体积为______．
【答案】
【分析】
根据三棱锥的特殊性找到外接球球心的位置，再根据几何关系列出关于外接球半径的等量关系，从而求出
外接球的半径
【详解】
记 的中点为 ，连接 ， ，可得 ，则 ，作 的边 的
中垂线 ，且过正三角形 的中心 作平面 垂线 ，则外接球的球心 在 与 的交点处，如右图
所示，在 中，过点 作 于点 ，设外接球的半径为 ，则 ，因为点 是正
三角形 的中心， ,所以 ,所以 , ，所以在 中，，解得 ，故三棱锥 的外接球的体积为 ．
故答案为： .
13．已知球 的表面积为 ，点 均在球 的表面上，且 ，则四面体
体积的最大值为___________.
【答案】
【分析】
由题意，利用球的表面积公式、正弦定理，求出球 的半径 、△ 外接圆半径 ，根据余弦定理及基
本不等式可得 ，再由球体的性质判断四面体 体积的最大时 的位置，最后应用
三角形面积公式、锥体的体积公式有最大 即可求最大值.
【详解】
若球 的半径为 ，则 ，即 ，
在△ 中，外接圆半径为 ，则 ，且 ，∵ ，故 当且仅当 等号成
立，
∴ ，
∴要使四面体 体积的最大， 是过△ 外接圆圆心且垂直于外接圆的垂线与球 垂直于面 的
最大截面圆的最远交点，令 到面 距离为 ，则此时 ，
∴四面体 体积的最大值 .
故答案为： .
14．体积为 的四棱锥 的底面是边长为 的正方形，底面 的中心为 ，四棱锥
的外接球球心 到底面 的距离为 ，则点 的轨迹长度为_______________________．
【答案】
【分析】
由已知可得 到底面 的距离为3，进而可求 外接球的半径 ，即可知 与 不可能在面
的两侧，则 在垂直于 且与球心 距离为2的平面与 的外接球的交线上，即可求 的
轨迹长度.
【详解】
由题意知： 到底面 的高 ，又四棱锥 的外接球球心 到底面的距离为 ，若外接球半径为 ，
∵底面 的中心为 ，
∴ 面 且 ，
∴ 与 不可能在面 的两侧，可得如下示意图，
∴ 在垂直于 且与球心 距离为2的平面与 的外接球的交线上，如上图以O'P为半径的圆
上，而 ，
∴ ，故 的轨迹长度为 .
故答案为： .
15．在棱长为 的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在棱 上，
，若平面 交 于点 ，四棱锥 的五个顶点都在球 的球面上，则球 半
径为_________
【答案】
【分析】
先确定出点 的位置，然后将四棱锥 补成直三棱柱 ，最后求解直三棱柱的外接球
半径即可得到结果.【详解】
如图，连接 并延长交 的延长线于点 ，则 ，因此 ，连接 ，则 与
的交点即为点 .又 与 相似，所以 ，因此 .
由图可知，四棱锥 可以补成直三棱柱 ，显然它们的外接球相同，下面只需求直三
棱柱 的外接球半径 即可.
在 中， ，设其外接圆半径为 ，由正弦定理得
，所以 .
设直三棱柱两底面三角形外接圆圆心分别为 ， ，则 的中点即为直三棱柱外接球球心 ，又
，所以外接球半径 .
故答案为： ．16．在四面体 中， ，二面角 为 ，则四面体 的外
接球的表面积为_____．
【答案】
【分析】
根据题意作出图示，过 的外心作所在面的垂线，所得交点 即为外接球球心，再根据长度以
及二面角的大小，求解出外接球的半径，则外接球的表面积可求.
【详解】
解：作空间四边形 ，取 的中点 ，连接 ， ，如下图所示，
由已知可得， ， 为等边三角形，则 ， ，
∴ 为二面角 的平面角，大小为 ，
设 的外心为 ， 的外心为 ，连接 ，分别过 ， 作所在面的垂线，相交于 ，则 为四面体 的外接球的球心，
由已知求得 ，
在 中， ，
∴ ，
又 ，
所以 为等边三角形，所以 ，
故四面体 的外接球的半径 ，
∴四面体 的外接球的表面积为 .
故答案为： .
17．已知在圆柱 内有一个球O，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线 的平面截圆柱得到
四边形 ，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧 的中点，则平面 与球O的交线长为___________.
【答案】
【分析】
先根据球与圆柱的上､下底面及母线均相切，可得四边形 为正方形，由 ，求出球的半径 r;
由题意分析出平面 与球O的交线为一个圆，利用垂径定理，计算出圆的半径 ，求出周长即
可.
【详解】设球的半径为r，则 ，而 ，∴ .
作 于H,
∵ ⊥底面,∴ ⊥ AB
∵P为圆柱底面圆弧 的中点，∴AP=BP
又 为AB中点，∴ ⊥AB
又 ,∴
∴ ，
又 且 ,∴
∵ ， ，
∴
∴∴
平面 与球O的交线为一个圆，其半径
圆周长为 .
故答案为：
18．在四棱锥 中， 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， ，
，若动点Q在平面PAD内运动，使得 与 相等，则三棱锥 的体
积最大时的外接球的体积为_____．
【答案】
【分析】
根据题意推出 ， ，再根据 推出 ，在平面 内，建立直角
坐标系求出 点轨迹是圆 ，从而可求出点 到 的距离最大为 ，即三棱锥
的高的最大值为 ，再寻找三棱锥的外接球球心，计算球半径，进而计算球的体积即得结果.
【详解】
因为 平面 ，所以平面 平面 ，因为 ， ，所以 平面 ， 平面 ，
因为 在 内及边上，所以 、 在平面 内，
所以 ， ，
所以在 内， ，在 内， ，
因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，
在平面 内，以 的中点为原点O，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系：
则 ， ，设 ，
则 ， ，
由 得 ，化简得 ，
所以动点Q在平面PAD内运动， 点轨迹是圆 ，如图所示，
当 在过圆心的垂线时点 到 的距离最大为半径 ，也就是三棱锥 的高的最大值为 ，
下面的计算不妨设点 在x轴上方， 外接圆圆心在 中垂线上，即y轴上，设外接圆圆心N，半径
r，则 ，而 ，
故 ， ，所以，故 ，则 .
如图三棱锥 ， 平面 ， ， 的外接圆圆心在斜边中点M上，过M，N
作平面 和平面 的垂线，交于点I，即是三棱锥外接球球心，因为
，
所以三棱锥 外接球半径 ，
所以三棱锥 的外接球的体积为 .
故答案为： .
19．已知菱形 中，对角线 ，将 沿着 折叠，使得二面角 为120°，
，则三棱锥 的外接球的表面积为________.
【答案】
【分析】
将 沿 折起后，取 中点为 ，连接 ， ，得到 ，在 中由余弦定理求出
的长，进一步求出 的长,分别记三角形 与 的重心为 、 ，记该几何体 的外接
球球心为 ，连接 ， ，证明 与 全等，求出 ，再推出 ，连接 ，由勾股定理求出 ，即可得出外接球的表面积.
【详解】
将 沿 折起后，取 中点为 ，连接 ， ，则 ， ，
所以 即为二面角 的平面角，所以 ；
设 ，则 ,在 中
，即
解得 ，即 ，所以
所以 与 是边长为 的等边三角形.
分别记三角形 与 的重心为 、 ，则 ， ；即 ；
因为 与 都是边长为 的等边三角形，
所以点 是 的外心，点 是 的外心；
记该几何体 的外接球球心为 ，连接 ， ，
根据球的性质，可得 平面 ， 平面 ，
所以 与 都是直角三角形，且 为公共边，
所以 与 全等，因此 ，
所以 ；
因为 ， ， ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
又 平面 ，所以 ，
连接 ，则外接球半径为 ，
所以外接球表面积为 .
故答案为：20．球O的内接正四面体 中，P、Q分别为被AC、AD上的点，过PQ作平面 ，使得AB、CD与
平行，且AB、CD到 的距离分别为1，2，则球О被平面 所截得的圆的面积是_______．
【答案】
【分析】
先将正四面体放到一个正方体模型中，结合面面平行证明上下底面和平面 平行，将距离都转移到线段
上，得到正四面体和正方体的棱长，再利用球心到截面的距离求截面圆的半径，最后计算面积即可.
【详解】
将正四面体 放到一个正方体模型中，如图所示，球O是正四面体 的外接球，也是正方体
的外接球.
依题意，设平面 交BC于R，
因为 平面 ，平面 与平面 交于 ，所以 ，
同理 平面 ，可证 .如图，连接 ，与AB交于上底面中心 ，易见 ，而 平面 ，
故 平面 ，结合 平面 ， ，
故上底面 平面 ，同理下底面也平行平面 .
因为AB、CD到 的距离分别为1，2，即连接上下底面中心 ，交平面 于S，
则 ，则正方形棱长为 ，正四面体 棱长为 ，
正方体的体对角线，即球的直径为 ，即 ，
球О被平面 所截得的圆的半径为r，
则截面圆圆心为S，到球心的距离 ，
故 ，
故面积 .
故答案为： .
