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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 07 平面解析几何（选填题）
平面解析几何在高考中考查比例较大，一般是1+1+1模式或者是2+1+1模式。在选题中，解析几何一般为
一道简单题目加上一道中等难度题目。常考题型为
考点 1 ：直线和圆的综合问 题
考点 2 ：椭圆 ，双曲线基本性质
考点 3：椭圆双曲线的离心率
考点 4 ：抛物线 性质及应用
考点 5 ：圆锥曲线的综合问题
考点 01 直线与圆的综合问题
1．(2022高考北京卷)若直线 是圆 的一条对称轴，则 ( )
A． B． C．1 D．
【答案】A
解析:由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得
．
故选,A．
2．(2020北京高考)已知半径为 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为 ( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆心 ，则 ，化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 1所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，故选：A．
3．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·)过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
( )
A．1 B． C． D．
【答案】B
解析：方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 2因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 ．
故选：B．
4．(2020年高考课标Ⅰ卷)已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动
点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为
( )
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 3A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学
生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
5．(2020年高考课标Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为
( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 ．
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 4圆心 到直线 的距离均为 ；
圆心 到直线 的距离均为
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题．
6．(2021高考北京)已知直线 ( 为常数)与圆 交于点 ，当 变化时，若
的最小值为2，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：由题可得圆心为 ，半径为2， 则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
则当 时，弦长 取得最小值为 ，解得 ．
故选：C．
二 填空题
1．(2020北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的
企业要限期整改、设企业的污水摔放量 与时间 的关系为 ，用 的大小评价在
这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系
如下图所示．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 5给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】 表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能
力比乙企业强；①正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，
即在 的污水治理能力最强．④错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比
乙企业强；②正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：
①②③
2．(2022新高考全国I卷)写出与圆 和 都相切的一条直线的方程
________________．
【答案】 或 或
解析：圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心 为 ，半
径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 6由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 ．
3．(2022年高考全国乙卷数学)过四点 中的三点的一个圆的方程为____________．
【 答 案 】 或 或 或
；
解析：依题意设圆的方程为 ，
若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 7若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
故答案为： 或 或 或
；
4．(2020江苏高考)在平面直角坐标系 中，已知 ， ， 是圆 上的两个
动点，满足 ，则 面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
设圆心 到直线 距离为 ，则
所以
令 (负值舍去)
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为
，
故答案为：
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 85．(2020年浙江省高考数学试卷)设直线 ，圆 ， ，
若直线 与 ， 都相切，则 _______；b=______．
【答案】(1)． (2)．
解析：由题意， 到直线的距离等于半径，即 ， ，
所以 ，所以 (舍)或者 ，
解得 ．
6．(2022年高考全国甲卷数学(理))若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
_________．
【答案】
【解析】双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 (舍去)．
故答案为： ．
7．(2022新高考全国II卷·第15题)设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
解析： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 9依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
8．(2021高考天津·第12题)若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，
则 ____________．
【答案】
解析：设直线 的方程为 ，则点 ，
由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，因为 ，故 ．
故答案为： ．
9．(2020天津高考·第12题)已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，
则 的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．故答案为： ．
10．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第15题)已知直线 与 交于A，B两
点，写出满足“ 面积为 ”的m的一个值______．
【答案】 ( 中任意一个皆可以)
解析：设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 10故答案为： ( 中任意一个皆可以)．
考点 02 椭圆双曲线的基本性质
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第5题)已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线
与C交于A．B两点，若 面积是 面积的2倍，则
( )．
A． B． C． D．
【答案】C
解析：将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 的距离 到 距离 ，易知 ，
则 ， ，
，解得 或 (舍去)，
故选：C．
2．(2023年全国甲卷理科·第12题)设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点P在
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 11C上， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：方法一：设 ，所以 ，
由 ，解得： ，
由椭圆方程可知， ，
所以， ，解得： ，
即 ，因此 ．
故选：B．
方法二：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，
解得： ，
而 ，所以 ，
即 ．
故选：B．
方法三：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，解得： ，
由 中 线 定 理 可 知 ， ， 易 知 ， 解 得 ：
．
故选：B．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 123．(2021年新高考Ⅰ卷·第5题)已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为 ( )
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
解析:由题， ，则 ，
所以 (当且仅当 时，等号成立)．
故选：C．
4 (2022年高考全国甲卷数学(理)·第10题)椭圆 的左顶点为A．点P，Q均在C上，
且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，设 ，则 ，
则 ，故 ，
又 ，则 ，所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 ．
故选：A．
5．(2019·全国Ⅰ·理·第10题)已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ，
两点．若 ，
，则 的方程为 ( )
A． B． C． D．
【答案】答案：B
解析：如图，设 ，则 ，由 ，可得
， ，所以点 为椭圆的上顶点或下顶点．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 13在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，即 ，即 ，又 ，所以椭圆方程为
．
B
F1 O F2
A
6．(2023年全国乙卷理科·第11题)设A．B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中
点的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 ．
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 14此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D．
7 (2020年高考课标Ⅲ卷理科·第11题)设双曲线C： (a>0，b>0) 左、右焦点分别为F ，
的1
F ，离心率为 ．P是C上一点，且F P⊥F P．若△PF F 的面积为4，则a=
2 1 2 1 2
( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
解析： ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 15，即 ，解得 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，
属于中档题．
8．(2020年浙江省高考数学试卷·第8题)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P满足|PA．–|
PB．=2，且P为函数y= 图像上的点，则|OP|= ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：因为 ，所以点 在以 为焦点，实轴长为 ，焦距为 的双曲线的右支
上，由 可得， ，即双曲线的右支方程为 ，而点 还
在函数 的图象上，所以，
由 ，解得 ，即 ． 故选：D．
9 (2021高考北京·第5题)若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为
( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析： ，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 ． 故选：B
10．(2020天津高考·第7题)设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点
的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为
( )
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 16A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
故选： ．
11．(2019·浙江·第2题)渐近线方程为 的双曲线的离心率是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，则双曲线是等轴双曲线，离心率 ．故选C．
12．(2019·全国Ⅲ·理·第10题)双曲线C： =1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为
坐标原点，若 ，则△PFO的面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在 上，则 ．
，故选A．
【点评】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
二 填空题
1．(2021年高考全国甲卷理科·第15题)已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关
于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 17【答案】
解析：因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
，即四边形 面积等于 ．
故答案： ．
2．(2022新高考全国II卷·第16题)已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y
轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为___________．
【答案】
解析：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，
即 ，解得 或 (舍去)，
又 ，即 ，解得 或 (舍去)，
所以直线 ，即 ；
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 18故答案为：
3．(2022新高考全国I卷·第16题)已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ，
，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
________________．
【答案】13
解析：∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线
与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ，
直 线 的 方 程 ： ， 代 入 椭 圆 方 程 ， 整 理 化 简 得 到 ：
，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于
的周长，利用椭圆的定义得到 周长为
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 19故答案
为：13．
4．(2019·全国Ⅲ·理·第15题)设 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第一
象限．若 为等腰三角形，则 的坐标为___________．
【答案】
【解析】由已知可得 ， ．
．
设点 的坐标为 ，则 ，
又 ，解得 ，
，解得 ( 舍去)，
的坐标为 ．
法二、在得出 ． ．
，∴ ．
∴ ，
的坐标为 ．
法三、由题知 ，又由焦半径公式 ，得 ，
从而得到 ， 的坐标为 ．
【点评】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实
了直观想象、逻辑推理等数学素养．
5．(2023年北京卷·第12题)已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
____________．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 20【答案】
解析：令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x轴上，其
半焦距 ，
由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则 ，
所以双曲线 的方程为 ．
故答案为：
6．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第16题)已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．
点 在 上，点 在 轴上， ，则 的离心率为________．
【答案】
解析：方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 (舍去)，
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 21方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 (舍去)，故 ．
故答案为： ．
7．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第13题)已知双曲线 的离心率为2，则该双曲线的渐
近线方程为_______________
【答案】
解析:因为双曲线 的离心率为2，所以 ，所以 ，
所以该双曲线的渐近线方程为 ．故答案为 ．
8．(2021年高考全国乙卷理科·第13题)已知双曲线 的一条渐近线为
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 22，则C的焦距为_________．
【答案】4
解析：由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得 ，又双曲线中
，故 ，解得 (舍去)， ，故焦距
故答案为：4
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键
9．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第15题)已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右
顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为______________．
【答案】2
【解析】联立 ，解得 ，所以 ．
依题可得， ， ，即 ，变形得 ， ,
因此，双曲线 的离心率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
10．(2022高考北京卷·第12题)已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 __________．
【答案】
解析:对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，解得 ；故答案为：
考点 03 椭圆双曲线的离心率
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 231．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第5题)设椭圆 的离心率分别为
．若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 ．
故选：A
2．(2021年高考全国乙卷理科·第11题)设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意
一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是 ( )
A B C D
A． B． C． D．
1 1 1 1
【答案】C
解析：设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由
可得 ，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得，
，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域
讨论函数的单调性从而确定最值．
6．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 243．(2019·全国Ⅱ·理·第8题)若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则
( )
A． B． C． D．
【答案】D
x2 y2
【解析】因为抛物线 的焦点 是椭圆 1的一个焦点，所以
3p p
，解得 ，故选D．
p 8
【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程，即可解出 ，或者利用检验排除的
方法，如 时，抛物线焦点为 ，椭圆焦点为 ，排除A，同样可排除B，C，故选D．
4．(2019·北京·理·第4题)已知椭圆 (a＞b＞0)的离心率为 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】椭圆的离心率 ，化简得 ，故选B．
5．(2023年天津卷·第9题)双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一条
渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
解析：如图，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 25因为 ，不妨设渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
设 ,则 ，所以 ，所以 ．
因 ,所以 ，所以 ，所以 ，
为
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为
故选：D
6．(2021年高考全国甲卷理科·第5题)已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 26故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 间的等量关系是求解的关键．
7．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第8题)设 为坐标原点，直线 与双曲线
的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为 ( )
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
解析：
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等
式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属
于中档题．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 278．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第11题)双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为
D．过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为
( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，
又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 289．(2021高考天津·第8题)已知双曲线 的右焦点与抛物线 的
焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A．B两点，交双曲线的渐近线于C．D两点，若
．则双曲线的离心率为 (
)
.
A B． C．2D．3
．
【答案】A
解析：设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以双曲线的离心率 ．
故选：A．
10．(2019·全国Ⅱ·理·第11题)设 为双曲线 的右焦点， 为坐标原点，
( )
以 为直径的圆与圆 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为
( )
A． 2 B． 3 C． D． 5
【答案】A
【解析】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，又∵ ，∴ ，
PQ x A PQ x
c
为以 为直径的圆的半径，∴ 为圆心|OA| ．∴ ，又 点在圆 上，
OF 2 x2 y2 a2
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 29∴ ，即 ，∴ ，∴ ，故选A．
二 填空题
1．(2021年高考浙江卷·第16题)已知椭圆 ，焦点 ， ，若过
的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率
是___________，椭圆的离心率是___________．
【答案】 (1)． (2)．
解析:
如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，
，
所以 , 由 ，所以 ， ，于是
，即 ，所以 ．
故答案为 ； ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 302．(2022年浙江省高考数学试题·第16题)已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率
为 的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若
，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
解析:过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ，
联立 ，得 ，由 ，得
而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 ．
故答案为： ．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 313．(2020北京高考·第12题)已知双曲线 ，则 的右焦点的坐标为_________； 的焦点到
其渐近线的距离是_________．
【答案】(1)． (2)．
【解析】在双曲线 中， ， ，则 ，则双曲线 的右焦点坐标为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ．故答案为： ； ．
4．(2019·全国Ⅰ·理·第16题)已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过
的直线与 的两条渐近线分别交于 两点．若 ， ，则 的离心率为
．
【答案】2
解析：注意到 ，得到 垂直平分 ，则 ，由渐近线的对称
性 ， 得 ， 可 得 ， 所 以 ， 可 得 离 心 率
．
B
A
F1 O F2
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 32考点 04 抛物线的性质及应用
1．(2023年北京卷·第6题)已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距
离为5，则 ( )
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
解析：因为抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，点 在 上，
所以 到准线 的距离为 ，
又 到直线 的距离为 ，
所以 ，故 ．
故选：D．
2．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第3题)抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
( )
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
解析:抛物线的焦点坐标为 ，其到直线 的距离： ，解得： (
舍去)，故选B．
3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第4题)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为
12，到y轴的距离为9，则p= ( )
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 ．
故选：C．
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题．
4．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第5题)设 为坐标原点，直线 与抛物线C： 交
于 ， 两点，若 ，则 的焦点坐标为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 33解析：因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称
性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．
5．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第5题)设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，
若 ，则 ( )
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
解析：由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入得， ，
所以 ． 故选：B
6．(2020北京高考·第7题)设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，
过 作 于 ，则线段 的垂直平分线 ( )．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示： ．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知，
，所以线段 的垂直平分线经过点 ．故选：B．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 34二、填空题
1．(2023年全国乙卷理科·第13题)已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为
______．
【答案】
解析：由题意可得： ，则 ，抛物线的方程为 ，
准线方程为 ，点 到 的准线的距离为 ．
故答案为： ．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第14题)已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为
上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______．
【答案】
解析:不妨设
因为 ，所以 的准线方程为 ,故答案为 ．
3．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第13题)斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于
A，B两点，则 =________．
【答案】
解析：∵抛物线的方程为 ，∴抛物线 的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解得 ，所以
4．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第14题)斜率为 直的线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交
于A，B两点，则 =________．
【答案】
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 35解析：∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示．
故答案为：
5．(2021高考北京·第12题)已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴与于点
．若 ，则点 的横坐标为_______； 的面积为_______．
【答案】 ①． 5 ②．
解析：因为抛物线的方程为 ，故 且 ．
因为 ， ，解得 ，故 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 36所以 ，
故答案为：5； ．
6．(2019·上海·第9题)过 的焦点 并垂直于 轴的直线分别与 交于 ， 在
上方， 为抛物线上一点， ，则 ______.
【答案】3
【解析】依题意求得： ， ，设M坐标
有： ，代入 有：
即： .
本题主要考查平面向量、抛物线．
【点评】
7．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第16题)已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率
为 的直线与 交于 两点，若 ，则 ．
【答案】
解析：法一：抛物线 的焦点坐标为 ，可设直线 ，
联立方程 ，消去 并整理可得
所以 ，由点 在抛物线上，可得 ，
所以 ，
由 ，可得 ，所以
所以
即
所以 即 ，解得
故所求直线 的斜率 ．
法二：抛物线 的焦点 ，准线方程为
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 37由依题意可知以 为直径的圆与准线相切于点 ，故线段 中点的纵坐标为
设直线 ，
联立方程 ，消去 并整理可得
则有 ，解得
故所求直线 的斜率 ．
考点 05 圆锥曲线的综合问题
1．(2023年全国甲卷理科·第8题)已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐
近线与圆 交于A．B两点，则 ( )
A. B． C． D．
【答案】D
解析：由 ，则 ，
解得 ，
所以双曲线的一条渐近线不妨取 ，
则圆心 到渐近线的距离 ，
所以弦长 ．
故选：D
2．(2021年高考浙江卷·第9题)已知 ，函数 ．若
成等比数列，则平面上点 的轨迹是 ( )
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 38解析:由题意得 ，即 ，
对其进行整理变形：
，
， ，
，所以 或 ，其中 为双曲线， 为直
线,故选C．
3．(2019·天津·理·第 5 题)已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线
的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 ( 为原点)，则双
曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析： ， ， ，所以双曲线的两条渐近线方程
为
，所以 ，则双曲线的离心率 ．
4．(2019·北京·理·第8题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： 就
是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是 ( )
A．① B．② C．①② D．①②③
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 39【答案】C
【解析】由 得， ， ，
所以 可为的整数有0，－1，1，从而曲线 恰好经过(0，1)，(0，－1)，(1，
0)，(1，1)， (－1，0)，(－1，1)六个整点，结论①正确；
由 得， ，解得 ，所以曲线 上任意一点到原点的
距离都不超过 ，结论②正确；
如图所示，易知 ，四边形 的面积
，
很明显“心形”区域的面积大于 ，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误．故选C．
二 填空题：
1．(2023年天津卷·第12题)过原点的一条直线与圆 相切，交曲线
于点 ，若 ，则 的值为_________．
【答案】
解析：易知圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，
所以 ，解得： ，由 解得： 或 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 40所以 ，解得： ．
当 时，同理可得．
故答案为： ．
2．（2023·全国·乙卷）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为 .
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为 ，最后利
用点的坐标和准线方程计算点 到 的准线的距离即可.
【详解】由题意可得： ，则 ，抛物线的方程为 ，
准线方程为 ，点 到 的准线的距离为 .
故答案为： .
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