专题10数列(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

10
专题 数列
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)2026(cid:20)(cid:21)(cid:25)(cid:23)(cid:24)
2026(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)2026(cid:28)(cid:29)(cid:23)
(cid:3)(cid:36)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:16)
2025(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:25)(cid:23)(cid:24)2025(cid:28)(cid:29)(cid:23)
(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:38)
2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)Ⅱ(cid:23)(cid:24)2024(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:33)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:63)
(cid:23)(cid:24)2024(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:24)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:46)(cid:17)(cid:16)(cid:39)(cid:40)
2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)Ⅰ(cid:23)(cid:24)2023(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:33)
(cid:41)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:72)(cid:58)(cid:59)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(cid:23)(cid:24)2022(cid:8)(cid:30)(cid:34)(cid:3)(cid:20)(cid:21)Ⅱ(cid:23)(cid:24)2022
(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:35)(cid:23)(cid:24)2022(cid:28)(cid:29)(cid:23)
2026(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)2026(cid:28)(cid:29)(cid:23)
2025(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)2025(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:25)
(cid:3)(cid:36)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:16)
(cid:23)(cid:24)2025(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)2025(cid:28)(cid:29)(cid:23)
(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:38)
2024(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)2024(cid:28)(cid:29)(cid:23)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19) (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:63)
2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)Ⅱ(cid:23)(cid:24)2023(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:33)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:46)(cid:77)(cid:16)(cid:39)(cid:40)
(cid:23)(cid:24)2023(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:35)(cid:23)(cid:24)2023(cid:26)(cid:27)
(cid:41)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:72)(cid:58)(cid:59)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(cid:23)(cid:24)2023(cid:78)(cid:79)(cid:23)(cid:24)2023(cid:28)(cid:29)(cid:23)
2022(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:35)(cid:23)
2026(cid:20)(cid:21)(cid:25)(cid:23)(cid:24)2026(cid:78)(cid:79)(cid:23)
2025(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)2025(cid:78)(cid:79)(cid:23) (cid:18)(cid:19)(cid:75)(cid:50)(cid:80)(cid:76)(cid:81)(cid:13)(cid:38)(cid:82)(cid:4)(cid:53)(cid:5)(cid:73)(cid:75)
2024(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:33)(cid:23)(cid:24)2024(cid:78)(cid:79)(cid:23) (cid:50)(cid:83)(cid:24)(cid:84)(cid:45)(cid:85)(cid:86)(cid:83)(cid:24)(cid:87)(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:83)(cid:16)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:18)(cid:19)(cid:75)(cid:50) 2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)Ⅱ(cid:23)(cid:24)2023(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:33) (cid:75)(cid:50)(cid:58)(cid:83)(cid:90)(cid:91)(cid:3)(cid:36)(cid:53)(cid:92)(cid:75)(cid:93)(cid:94)(cid:54)(cid:55)
(cid:23)(cid:24)2023(cid:28)(cid:29)(cid:23) (cid:95)(cid:96)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:97)(cid:98)(cid:53)(cid:99)(cid:100)(cid:101)
2022(cid:8)(cid:30)(cid:34)(cid:3)(cid:20)(cid:21)Ⅰ(cid:23)(cid:24)2022(cid:78)(cid:79) (cid:102)(cid:38)(cid:75)(cid:50)(cid:58)(cid:83)
(cid:23)
2026(cid:26)(cid:27)(cid:23)2025(cid:28)(cid:29)(cid:23) (cid:3)(cid:36)a (cid:109)S (cid:38)(cid:69)(cid:110)(cid:75)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:24)(cid:111)
n n
2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)Ⅰ(cid:23)(cid:24)2024(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24) (cid:112)(cid:83)(cid:24)(cid:111)(cid:113)(cid:83)(cid:53)(cid:54)(cid:114)(cid:115)(cid:106)(cid:57)(cid:116)(cid:117)(cid:83)(cid:118)
(cid:3)(cid:4)04 (cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:103) 2024(cid:28)(cid:29)(cid:23) (cid:18)(cid:19)(cid:109)(cid:119)(cid:120)(cid:64)(cid:121)(cid:38)(cid:105)(cid:101)(cid:3)(cid:36)(cid:122)(cid:123)
(cid:104)(cid:24)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:105) 2023(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)2023(cid:78)(cid:79)(cid:23) (cid:124)(cid:125)(cid:53)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:92)(cid:75)(cid:93)(cid:94)(cid:129)(cid:130)(cid:18)(cid:19)(cid:40)
(cid:101)(cid:106)(cid:57) 2022(cid:8)(cid:30)(cid:34)(cid:3)(cid:20)(cid:21)Ⅱ(cid:23)(cid:24)2022(cid:8)(cid:20) (cid:131)(cid:38)(cid:64)(cid:121)(cid:53)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:38)(cid:64)(cid:121)(cid:138)
(cid:21)(cid:35)(cid:23)(cid:24)2022(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)2022(cid:28)(cid:29) (cid:139)(cid:54)(cid:140)(cid:50)(cid:105)(cid:101)(cid:56)(cid:57)(cid:54)(cid:140)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:141)(cid:142)
(cid:23)(cid:24)2022(cid:107)(cid:108)(cid:23) (cid:143)(cid:28)(cid:144)(cid:130)(cid:18)(cid:93)(cid:64)(cid:121)(cid:143)(cid:110)(cid:118)考点 01 等差数列
1(cid:145)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:22)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:88)(cid:70)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:53)(cid:161)(cid:119)(cid:162)(cid:97)(cid:38)(cid:67)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:50)(cid:166)(cid:167)(cid:38)
(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:145)(cid:176)(cid:149)(cid:177)(cid:178)(cid:179)108(cid:180)(cid:149)(cid:53)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:154)(cid:28)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:187)12(cid:188)(cid:53)(cid:189)(cid:190)i(cid:188)(cid:37)(cid:149)(cid:38)(cid:180)(cid:18)(cid:191)(cid:192)
a(i=1,2,L,12)(cid:53)(cid:119)(cid:37)a =1(cid:53)a =a =3(cid:53)a =a =5(cid:53)(cid:193)a (cid:53)a (cid:53)…(cid:53)a (cid:80)(cid:22)(cid:194)(cid:71)(cid:45)(cid:192)7(cid:53)(cid:46)(cid:17)(cid:192)2(cid:38)(cid:16)
i 1 2 3 4 5 6 7 12
(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:145)(cid:189)a (cid:53)a (cid:53)…(cid:53)a (cid:5)(cid:192)6(cid:73)(cid:53)(cid:195)(cid:73)2(cid:194)(cid:18)(cid:53)(cid:196)(cid:197)(cid:195)(cid:73)(cid:38)2(cid:194)(cid:18)(cid:198)(cid:50)(cid:199)(cid:116)(cid:187)(cid:22)(cid:194)(cid:45)(cid:18)(cid:192)6(cid:193)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(d >0)
1 2 12
(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)d =(cid:10) (cid:11)
A(cid:145)2 B(cid:145)4 C(cid:145)6 D(cid:145)8
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)B
5
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:205)(cid:65)(cid:66)(cid:75)(cid:206)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)12(cid:45)(cid:38)(cid:50)(cid:53)(cid:207)(cid:30)(cid:18)(cid:19)(cid:192)b (cid:53)(cid:207)(cid:119)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:205)(cid:65)(cid:66)(cid:199)(cid:197)b + d =18(cid:53)
n n 1 2
(cid:208)(cid:101)(cid:99)(cid:45)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:199).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)(cid:63)(cid:64)a =1(cid:53)a =a =3(cid:53)a =a =5(cid:53)a =7+2i-6=2i-5(cid:53)i=6,7,8,9,10,11,12(cid:53)
1 2 3 4 5 i
(cid:207)(cid:30)(cid:18)(cid:19)(cid:192)b (cid:53)n=1,2,3,4,5,6(cid:53)
n
(cid:205)(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)b (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:207)(cid:119)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)d >0(cid:53)
n
(cid:213)a (cid:38)(cid:49)12(cid:45)(cid:214)(cid:192)(cid:215)(cid:18)(cid:53)b (cid:216)(cid:179)(cid:45)(cid:214)(cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:53)
n n
(cid:205)(cid:63)(cid:64)d(cid:192)(cid:218)(cid:217)(cid:18)(cid:53)b (cid:192)(cid:218)(cid:217)(cid:18)(cid:53)
1
6´5 5
(cid:200)6b + ´d =108(cid:53)(cid:219)b + d =18(cid:53)
1 2 1 2
(cid:220)d =2(cid:53)(cid:200)b =13(cid:53)(cid:221)(cid:222)(cid:53)
1
(cid:220)d =6(cid:53)(cid:200)b =3(cid:53)(cid:221)(cid:222)(cid:53)
1
(cid:220)d =8(cid:53)(cid:200)b =-2(cid:53)(cid:221)(cid:222)(cid:53)
1
(cid:220)d =4(cid:53)(cid:200)b =8(cid:53)(cid:223)(cid:224)(cid:199)(cid:225)b =a +a =8(cid:53)b =a +a =12(cid:53)b =a +a =16(cid:53)
1 1 1 6 2 2 7 3 4 8
b =a +a =20(cid:53)b =a +a =24(cid:53)b =a +a =28(cid:53)(cid:226)(cid:227)(cid:92)(cid:75).
4 3 11 5 5 12 6 9 10
2(cid:145)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50).(cid:220)S =6,S =-5,(cid:200)S =(cid:10) (cid:11)
n n 3 5 6A(cid:145)-20 B(cid:145)-15 C(cid:145)-10 D(cid:145)-5
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)B
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:205)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:208)(cid:101)(cid:13)(cid:228)(cid:19)(cid:206)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:45)a (cid:50)(cid:46)(cid:17)d(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:75)(cid:206)(cid:71)(cid:45)a (cid:50)(cid:46)(cid:17)d(cid:53)(cid:229)(cid:205)(cid:16)(cid:17)
1 1
(cid:18)(cid:19)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:211)(cid:199)(cid:42)(cid:43)(cid:75)(cid:76).
ì3a +3d =6 ìd =-3
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:207)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:200)(cid:205)(cid:13)(cid:199)(cid:197) í 1 Þí (cid:53)
n î5a +10d =-5 îa =5
1 1
(cid:216)(cid:161)S =6a +15d =6´5+15´-3=-15.
6 1
(cid:219)(cid:99)(cid:230)B.
3(cid:145)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:220)S =1(cid:53)(cid:200)a +a =(cid:10) (cid:11)
n n 9 3 7
7 2
A(cid:145)-2 B(cid:145) C(cid:145)1 D(cid:145)
3 9
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)D
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:199)(cid:161)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:53)(cid:211)(cid:189)(cid:13)(cid:231)(cid:65)(cid:66)(cid:20)(cid:232)(cid:171)(cid:187)a (cid:50)d(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:53)(cid:236)(cid:199)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:237)(cid:188)
1
(cid:234)(cid:235)(cid:53)(cid:72)(cid:238)(cid:97)(cid:239)(cid:240)(cid:83)(cid:234)(cid:235).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:58)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
9´8
(cid:205)S =1(cid:53)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:75)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:53)S =9a + d =1Û9a +36d =1(cid:53)
9 9 1 2 1
2 2
(cid:213)a +a =a +2d+a +6d =2a +8d = (9a +36d)= .
3 7 1 1 1 9 1 9
(cid:219)(cid:99)(cid:230)D
(cid:58)(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:51)(cid:52)
(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:53)a + a = a + a(cid:53)(cid:205)S =1(cid:53)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:75)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:53)
1 9 3 7 9
9(a +a ) 9(a +a ) 2
S = 1 9 = 3 7 =1(cid:53)(cid:219)a +a = .
9 2 2 3 7 9
(cid:219)(cid:99)(cid:230)D
(cid:58)(cid:83)(cid:242)(cid:230)(cid:97)(cid:239)(cid:240)(cid:83)
1 2
(cid:127)(cid:243)(cid:225)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:46)(cid:17)d =0(cid:53)(cid:200)S =1=9a Þa = (cid:53)(cid:200)a +a =2a = .
9 1 1 9 3 7 1 9
(cid:219)(cid:99)(cid:230)D
4(cid:145)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:63)(cid:64)S =S (cid:53)a =1(cid:53)(cid:200)a =(cid:10) (cid:11)
n n 5 10 5 1
7 7 1 7
A(cid:145) B(cid:145) C(cid:145)- D(cid:145)-
2 3 3 11(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)B
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:205)S =S (cid:208)(cid:101)(cid:16)(cid:17)(cid:37)(cid:45)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:199)(cid:197)a =0(cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:42)(cid:43)(cid:206)(cid:46)(cid:17)(cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:197)a (cid:38)(cid:240).
5 10 8 1
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)S -S =a +a +a +a +a =5a =0(cid:53)(cid:200)a =0(cid:53)
10 5 6 7 8 9 10 8 8
a -a 1 æ 1ö 7
(cid:200)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)d = 8 5 =- (cid:53)(cid:219)a =a -4d =1-4´ç- ÷= .
n 3 3 1 5 è 3ø 3
(cid:219)(cid:99)(cid:230)B.
5(cid:145)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:145)(cid:220)a +a =10,a a =45(cid:53)(cid:200)S =(cid:10) (cid:11)
n n 2 6 4 8 5
A(cid:145)25 B(cid:145)22 C(cid:145)20 D(cid:145)15
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)C
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:58)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:228)(cid:244)(cid:245)(cid:75)(cid:206)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:50)(cid:71)(cid:45)(cid:53)(cid:229)(cid:95)(cid:96)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:211)(cid:199)(cid:76)(cid:206)(cid:246)
n
(cid:58)(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:75)(cid:206)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:53)(cid:229)(cid:95)(cid:96)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:211)(cid:199)(cid:76)(cid:206)(cid:145)
n
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:58)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:207)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:71)(cid:45)(cid:192)a (cid:53)(cid:181)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:197)(cid:53)
n 1
a +a =a +d+a +5d =10(cid:53)(cid:211)a +3d =5,
2 6 1 1 1
(cid:213)a a =a +3da +7d=45(cid:53)(cid:76)(cid:197)(cid:230)d =1,a =2(cid:53)
4 8 1 1 1
5´4
(cid:216)(cid:161)S =5a + ´d =5´2+10=20(cid:145)
5 1 2
(cid:219)(cid:99)(cid:230)C.
(cid:58)(cid:83)(cid:25)(cid:230)a +a =2a =10(cid:53)a a =45(cid:53)(cid:216)(cid:161)a =5(cid:53)a =9(cid:53)
2 6 4 4 8 4 8
a -a
(cid:141)(cid:184)d = 8 4 =1(cid:53)(cid:70)(cid:80)a =a -d =5-1=4(cid:53)
8-4 3 4
(cid:216)(cid:161)S =5a =20(cid:145)
5 3
(cid:219)(cid:99)(cid:230)C.
S
6(cid:145)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:207)(cid:33)(cid:230)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:246)(cid:35)(cid:230){ n}(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)
n n n n
(cid:19)(cid:53)(cid:200)(cid:10) (cid:11)
A(cid:145)(cid:33)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:247)(cid:5)(cid:65)(cid:66)(cid:248)(cid:127)(cid:80)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66)
B(cid:145)(cid:33)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66)(cid:248)(cid:127)(cid:80)(cid:247)(cid:5)(cid:65)(cid:66)
C(cid:145)(cid:33)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:247)(cid:92)(cid:65)(cid:66)
D(cid:145)(cid:33)(cid:250)(cid:127)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:247)(cid:5)(cid:65)(cid:66)(cid:251)(cid:127)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66)(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)C
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:241)(cid:57)(cid:247)(cid:5)(cid:65)(cid:66)(cid:24)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:252)(cid:253)(cid:48)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:252)(cid:253)(cid:53)(cid:229)(cid:208)(cid:101)(cid:18)(cid:19)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:109)(cid:190)n(cid:45)(cid:38)(cid:69)(cid:110)(cid:254)(cid:235)(cid:209)
(cid:210)(cid:255)(cid:81).(cid:53)
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:58)(cid:83)1(cid:53)(cid:33)(cid:230)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:207)(cid:119)(cid:71)(cid:45)(cid:192)a (cid:53)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)
n 1
n(n-1) S n-1 d d S S d
(cid:200)S =na + d, n =a + d = n+a - , n+1 - n = (cid:53)
n 1 2 n 1 2 2 1 2 n+1 n 2
S
(cid:256)(cid:223){ n}(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)(cid:33)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:247)(cid:5)(cid:65)(cid:66)(cid:246)
n
S S S nS -(n+1)S na -S
(cid:257)(cid:198)(cid:53)(cid:35)(cid:230){ n}(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:211) n+1 - n = n+1 n = n+1 n (cid:192)(cid:124)(cid:18)(cid:53)(cid:207)(cid:192)t(cid:53)
n n+1 n n(n+1) n(n+1)
na -S
(cid:211) n+1 n =t(cid:53)(cid:200)S =na -t×n(n+1)(cid:53)(cid:179)S =(n-1)a -t×n(n-1),n³2(cid:53)
n(n+1) n n+1 n-1 n
(cid:258)(cid:47)(cid:85)(cid:89)(cid:197)(cid:230)a =na -(n-1)a -2tn(cid:53)(cid:211)a -a =2t(cid:53)(cid:259)n=1(cid:251)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
n n+1 n n+1 n
(cid:256)(cid:223)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)(cid:33)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66)(cid:53)
n
(cid:216)(cid:161)(cid:33)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:247)(cid:92)(cid:65)(cid:66)(cid:53)C(cid:218)(cid:260).
n(n-1)
(cid:58)(cid:83)2(cid:53)(cid:33)(cid:230)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:207)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:71)(cid:45)a (cid:53)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:211)S =na + d(cid:53)
n n 1 n 1 2
S (n-1) d d S
(cid:200) n =a + d = n+a - (cid:53)(cid:256)(cid:223){ n}(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:211)(cid:33)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:247)(cid:5)(cid:65)(cid:66)(cid:246)
n 1 2 2 1 2 n
S S S S
(cid:257)(cid:198)(cid:53)(cid:35)(cid:230){ n}(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:211) n+1 - n =D, n =S +(n-1)D(cid:53)
n n+1 n n 1
(cid:211)S =nS +n(n-1)D(cid:53)S =(n-1)S +(n-1)(n-2)D(cid:53)
n 1 n-1 1
(cid:261)n³2(cid:224)(cid:53)(cid:28)(cid:258)(cid:47)(cid:85)(cid:89)(cid:197)(cid:230)S -S =S +2(n-1)D(cid:53)(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)(cid:28)(cid:47)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
n n-1 1
(cid:70)(cid:80)a =a +2(n-1)D(cid:53)(cid:213)a -a =a +2nD-[a +2(n-1)D]=2D(cid:192)(cid:124)(cid:18)(cid:53)
n 1 n+1 n 1 1
(cid:256)(cid:223)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)(cid:33)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66)(cid:53)
n
(cid:216)(cid:161)(cid:33)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:247)(cid:92)(cid:65)(cid:66).
(cid:219)(cid:99)(cid:230)C
7(cid:145)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:262)1(cid:80)(cid:37)(cid:21)(cid:263)(cid:264)(cid:67)(cid:163)(cid:37)(cid:38)(cid:265)(cid:266)(cid:208)(cid:116)(cid:53)AA¢,BB¢,CC¢,DD¢(cid:80)(cid:267)(cid:53)(cid:85)(cid:268)(cid:267)
(cid:38)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:192)(cid:274)(cid:53)(cid:275)(cid:244)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:192)(cid:265)(cid:53)(cid:262)2(cid:80)(cid:276)(cid:263)(cid:264)(cid:67)(cid:163)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:38)(cid:281)(cid:228)(cid:262)(cid:145)(cid:119)(cid:37)DD,CC,BB,AA (cid:80)(cid:265)(cid:53)
1 1 1 1
DD CC BB AA
OD,DC,CB,BA (cid:80)(cid:85)(cid:16)(cid:38)(cid:274)(cid:53)(cid:85)(cid:268)(cid:267)(cid:38)(cid:265)(cid:274)(cid:198)(cid:77)(cid:5)(cid:282)(cid:192) 1 =0.5, 1 =k , 1 =k , 1 =k (cid:145)(cid:63)(cid:64)k ,k ,k
1 1 1 1 OD DC 1 CB 2 BA 3 1 2 3
1 1 1 1
(cid:187)(cid:46)(cid:17)(cid:192)0.1(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:244)(cid:283)OA(cid:38)(cid:284)(cid:285)(cid:192)0.725(cid:53)(cid:200)k =(cid:10) (cid:11)
3A(cid:145)0.75 B(cid:145)0.8 C(cid:145)0.85 D(cid:145)0.9
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)D
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:207)OD =DC =CB =BA =1(cid:53)(cid:200)(cid:199)(cid:197)(cid:69)(cid:70)k (cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:53)(cid:75)(cid:206)(cid:119)(cid:76)(cid:286)(cid:199)(cid:197)(cid:218)(cid:260)(cid:38)(cid:99)(cid:45).
1 1 1 1 3
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:207)OD =DC =CB =BA =1(cid:53)(cid:200)CC =k ,BB =k ,AA =k (cid:53)
1 1 1 1 1 1 1 2 1 3
DD +CC +BB +AA
(cid:181)(cid:13)(cid:228)(cid:53)(cid:179)k -0.2=k ,k -0.1=k (cid:53)(cid:193) 1 1 1 1 =0.725(cid:53)
3 1 3 2 OD +DC +CB +BA
1 1 1 1
0.5+3k -0.3
(cid:216)(cid:161) 3 =0.725(cid:53)(cid:219)k =0.9(cid:53)
4 3
(cid:219)(cid:99)(cid:230)D
8(cid:145)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:220)a =-1(cid:53)a =5(cid:53)(cid:200)S =__________(cid:145)
n n 1 4 6
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)24
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:75)(cid:206)(cid:46)(cid:17)(cid:53)(cid:229)(cid:208)(cid:101)(cid:75)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:75)(cid:76)(cid:211)(cid:199).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)a =a +n-1d(cid:53)
n 1
(cid:264)(cid:287)a =5,a =-1(cid:199)(cid:197)5=-1+4-1d (cid:53)(cid:76)(cid:197)d =2.
4 1
6a +a 
(cid:256)(cid:192)a =a +5d =-1+5´2=9(cid:53)(cid:216)(cid:161)S = 1 6 (cid:53)
6 1 6 2
(cid:219)S =3´-1+9=3´8=24.
6
9(cid:145)（2026·北京·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:193)S =6a +30(cid:53)(cid:200)(cid:46)(cid:17)d =________(cid:53)(cid:220)S £S
n n 6 6 n 5
(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:200)(cid:289)(cid:101)(cid:65)(cid:66)(cid:38)a (cid:38)(cid:22)(cid:194)(cid:225)(cid:240)(cid:192)________(cid:145)
1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203) -2 9(cid:10)(cid:81)(cid:202)(cid:127)(cid:290)(cid:22)(cid:53)(cid:226)(cid:227)8£a £10(cid:211)(cid:199)(cid:11)
1
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:109)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:53)(cid:264)(cid:287)(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:46)(cid:17)d(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:75)(cid:76)(cid:246)(cid:205)S £S (cid:288)(cid:187)
n 5(cid:68)(cid:199)(cid:64)S (cid:192)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:38)(cid:291)(cid:292)(cid:240)(cid:53)(cid:208)(cid:101)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:293)(cid:294)(cid:51)(cid:197)(cid:295)a ³0(cid:193)a £0(cid:53)(cid:264)(cid:287)(cid:46)(cid:17)d =-2(cid:76)(cid:127)(cid:16)(cid:47)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:295)a
5 5 6 1
(cid:38)(cid:225)(cid:240)(cid:296)(cid:297)(cid:53)(cid:99)(cid:225)(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:228)(cid:240)(cid:211)(cid:199).
n(n-1)
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:192)S =na + d(cid:53)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:192)a =a +(n-1)d.
n 1 2 n 1
6´5
S =6a + d =6a +15d (cid:53)a =a +5d (cid:53)
6 1 2 1 6 1
∵
6a =6(a +5d)=6a +30d.
6 1 1
∴
(cid:205)S =6a +30(cid:53)(cid:197)6a +15d =6a +30d+30(cid:53)
6 6 1 1
(cid:86)(cid:300)(cid:16)(cid:47)(cid:258)(cid:301)(cid:38)6a (cid:53)(cid:142)(cid:235)(cid:197)-15d =30(cid:53)(cid:76)(cid:197)d =-2.
1
d =-2<0(cid:53)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19){a }(cid:192)(cid:302)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)S £S (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
n n 5
∵
ìa ³0
S (cid:192)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:38)(cid:291)(cid:292)(cid:240)(cid:53)(cid:211)(cid:18)(cid:19)(cid:49)5(cid:45)(cid:303)(cid:304)(cid:53)(cid:190)6(cid:45)(cid:48)(cid:161)(cid:286)(cid:303)(cid:218)(cid:53)(cid:211) í 5 (cid:53)
5 îa £0
6
∴
ìa +4d =a -8³0
(cid:264)(cid:287)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:197)í 1 1 (cid:53)(cid:76)(cid:197)8£a £10(cid:53)
îa +5d =a -10£0 1
1 1
(cid:225)a =9(cid:211)(cid:192)(cid:289)(cid:101)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:22)(cid:194)(cid:225)(cid:240).
1
10(cid:145)（2026·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:37)(cid:53)a =0(cid:53)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)S (cid:305)(cid:156)(cid:306)0,1(cid:298)(cid:307)(cid:308)(cid:179)
n 1 n
(cid:258)(cid:45)(cid:53)(cid:200)(cid:46)(cid:17)d(cid:38)(cid:225)(cid:240)(cid:296)(cid:297)(cid:80)__________(cid:145)
æ 1ö
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)ç0, ÷
è 3ø
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:75)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:19)(cid:47)(cid:42)(cid:43)(cid:75)(cid:76).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:95)(cid:96)(cid:63)(cid:64)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)S (cid:305)(cid:156)(cid:306)0,1(cid:298)(cid:307)(cid:308)(cid:179)(cid:258)(cid:45)(cid:53)(cid:200)(cid:197)(cid:206)d >0(cid:53)
n
(cid:193)S =0(cid:53)S (cid:80)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:309)(cid:38)(cid:53)(cid:216)(cid:161)(cid:249)(cid:310)(cid:226)(cid:227)S Î0,1,S Î0,1(cid:53)
1 n 2 3
æ 1ö
(cid:216)(cid:161)S =dÎ0,1,S =3dÎ0,1(cid:53)(cid:216)(cid:161)dÎç0, ÷.
2 3 è 3ø
11(cid:145)（2025·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:71)(cid:45)a =-3(cid:53)(cid:46)(cid:17)d =2(cid:53)(cid:200)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:49)6(cid:45)(cid:50)(cid:192)_________(cid:145)
n 1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)12
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:244)(cid:245)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:75)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:75)(cid:76).
6´5
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:75)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:53)S =6a + d =12.
6 1 2
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)1212(cid:145)（2025·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:80)(cid:71)(cid:45)(cid:192)1(cid:24)(cid:46)(cid:17)(cid:192)1(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:80)(cid:71)(cid:45)(cid:192)1(cid:24)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q(q>0)
n n
(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:145)(cid:220)(cid:18)(cid:19)a ×b (cid:38)(cid:49)(cid:242)(cid:45)(cid:50)(cid:192)2(cid:53)(cid:200)q=__________(cid:145)
n n
1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)
3
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:311)(cid:206)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:53)(cid:197)(cid:295)a ×b =nqn-1(cid:53)(cid:141)(cid:184)(cid:95)(cid:96)(cid:49)(cid:242)(cid:45)(cid:50)(cid:197)(cid:295)(cid:58)(cid:59)(cid:53)(cid:75)(cid:206)(cid:46)(cid:77).
n n
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:197)a =1+n-1=n(cid:53)b =qn-1(cid:53)
n n
(cid:200)a ×b =nqn-1(cid:53)(cid:216)(cid:161)(cid:49)(cid:242)(cid:45)(cid:50)(cid:192)1+2q+3q2 =2(cid:53)
n n
1
(cid:76)(cid:197)q= (cid:72)-1(cid:10)(cid:312)(cid:300)(cid:11)(cid:53)
3
1
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)
3
13(cid:145)（2024·上海·高考真题）(cid:18)(cid:19)a (cid:53)a =n+c,S <0(cid:53)c(cid:38)(cid:225)(cid:240)(cid:296)(cid:297)(cid:192)___________(cid:145)
n n 7
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)-¥,-4
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:313)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:252)(cid:253)(cid:209)(cid:252)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:229)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:51)(cid:52)(cid:211)(cid:199)(cid:75)(cid:76).
n
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:256)(cid:192)a =n+c(cid:53)(cid:200)a -a =n+1+c-n+c=1(cid:53)
n n+1 n
(cid:199)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
n
(cid:200)S =7a =74+c<0(cid:53)(cid:76)(cid:197)c<-4(cid:53)
7 4
(cid:216)(cid:161)c(cid:38)(cid:225)(cid:240)(cid:296)(cid:297)(cid:192)-¥,-4.
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)-¥,-4.
14(cid:145)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19){a }(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:220)a +a =7(cid:53)3a +a =5(cid:53)(cid:200)S =
n n 3 4 2 5 10
________.
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)95
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:197)(cid:295)(cid:58)(cid:59)(cid:73)(cid:53)(cid:76)(cid:206)a,d(cid:53)(cid:229)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:75)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:295)(cid:81)(cid:202).
1
ì a +2d+a +3d =7 ìa =-4
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:256)(cid:192)(cid:18)(cid:19)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:197)í 1 1 (cid:53)(cid:76)(cid:197)í 1 (cid:53)
n î 3a 1 +d+a 1 +4d =5 î d =3
10´9
(cid:200)S =10a + d =10´-4+45´3=95.
10 1 2(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)95.
15(cid:145)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:145)(cid:220)2S =3S +6(cid:53)(cid:200)(cid:46)(cid:17)d =_______(cid:145)
n n 3 2
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)2
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:232)(cid:171)(cid:65)(cid:66)(cid:192)2a +2d=2a +d+6(cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:76).
1 1
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)2S =3S +6(cid:199)(cid:197)2a +a +a =3a +a +6(cid:53)(cid:171)(cid:314)(cid:197)2a =a +a +6(cid:53)
3 2 1 2 3 1 2 3 1 2
(cid:211)2a +2d=2a +d+6(cid:53)(cid:76)(cid:197)d =2.
1 1
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)2.
16(cid:145)（2022·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:127)(cid:192)(cid:147)(cid:53)S (cid:192)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:220)S =0(cid:53)(cid:200)S i=1,2L,100
n n 5 i
(cid:37)(cid:127)(cid:315)(cid:38)(cid:18)(cid:240)(cid:179)___________(cid:194).
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)98
d
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:205)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:75)(cid:206)a =-2d(cid:53)(cid:141)(cid:184)S = (n2-5n)(cid:53)(cid:205)(cid:223)(cid:54)(cid:75)(cid:206)(cid:208)(cid:316)(cid:145)
1 n 2
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:76)(cid:230)Q(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19){a }(cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:127)(cid:192)(cid:147)(cid:53)S (cid:192)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)S =0(cid:53)
n n 5
5´4
\S =5a + d =0(cid:53)(cid:76)(cid:197)a =-2d(cid:53)
5 1 2 1
n(n-1) n(n-1) d
\S =na + d =-2nd+ d = (n2-5n)(cid:53)
n 1 2 2 2
Qd ¹0(cid:53)\S (i=1(cid:53)2L(cid:53)100)(cid:37)(cid:53)S =S =-3d(cid:53)S =S =-2d(cid:53)
i 2 3 1 4
(cid:119)(cid:317)(cid:318)(cid:45)(cid:319)(cid:127)(cid:85)(cid:16)(cid:53)
\S (i=1(cid:53)2L(cid:53)100)(cid:37)(cid:127)(cid:315)(cid:38)(cid:18)(cid:240)(cid:179)(cid:230)100-2=98(cid:145)
i
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)98(cid:145)
17(cid:145)（2024·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:320)(cid:18) f x=log xa>0,a¹1(cid:145)
a
(1)(cid:220)(cid:320)(cid:18)y= f x(cid:38)(cid:262)(cid:321)(cid:322)(cid:62)(cid:4)4,2(cid:53)(cid:75)(cid:76)(cid:127)(cid:16)(cid:47) f 2x-2< f x(cid:246)
(2)(cid:220)(cid:323)(cid:305)x(cid:53)(cid:196)(cid:197) f x+1(cid:24) f ax(cid:24) f x+2(cid:181)(cid:324)(cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:75)a(cid:38)(cid:225)(cid:240)(cid:296)(cid:297)(cid:145)
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1) 1,2
(2)1,+¥
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:264)(cid:287)(cid:4)(cid:325)(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:75)(cid:206) f x=log x(cid:53)(cid:95)(cid:96)(cid:252)(cid:253)(cid:326)(cid:50)(cid:293)(cid:294)(cid:51)(cid:211)(cid:199)(cid:75)(cid:206) f 2x-2< f x(cid:38)(cid:76)(cid:327)(cid:246)
2(cid:10)2(cid:11)(cid:95)(cid:96) f x=log x(cid:38)(cid:252)(cid:253)(cid:326)(cid:189)(cid:328)(cid:13)(cid:232)(cid:171)(cid:192)x>0(cid:224)(cid:53)(cid:197)(cid:206) f x+1+ f x+2=2f ax(cid:179)(cid:76)(cid:53)(cid:229)(cid:208)(cid:101)(cid:5)(cid:272)
a
(cid:124)(cid:18)(cid:83)(cid:50)(cid:329)(cid:330)(cid:53)(cid:291)(cid:286)(cid:331)(cid:332)(cid:22)(cid:330)(cid:25)(cid:324)(cid:320)(cid:18)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:237)(cid:188)(cid:75)(cid:76)(cid:211)(cid:199).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)Q f 4=2(cid:53)(cid:200)log 4=2(cid:53)
a
\a2 = 4(cid:53)Qa>0(cid:53)\a=2(cid:53)
\f x=log x(cid:53)(cid:252)(cid:253)(cid:326)(cid:192)0,+¥(cid:53)
2
(cid:92)(cid:76)(cid:127)(cid:16)(cid:47) f 2x-2< f x(cid:53)(cid:200)x,2x-2Î0,+¥(cid:53)\xÎ1,+¥(cid:145)
(cid:213) f x=log x(cid:305)(cid:252)(cid:253)(cid:326)(cid:298)(cid:80)(cid:333)(cid:164)(cid:309)(cid:320)(cid:18)(cid:53)
2
(cid:205) f 2x-2< f x(cid:53)(cid:200)2x-2<x(cid:53)(cid:76)(cid:197)x<2(cid:145)
(cid:105)(cid:28)(cid:216)(cid:334)(cid:53)(cid:127)(cid:16)(cid:47) f 2x-2< f x(cid:38)(cid:76)(cid:327)(cid:192)1,2(cid:145)
(cid:10)2(cid:11)Q f x(cid:38)(cid:252)(cid:253)(cid:326)(cid:192)0,+¥(cid:53)(cid:323)(cid:305)x(cid:53)(cid:196)(cid:197) f x+1(cid:24) f ax(cid:24) f x+2(cid:181)(cid:324)(cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
ìx+1>0
ï
(cid:200)(cid:305)(cid:58)(cid:59)2f ax= f x+1+ f x+2(cid:37)(cid:53)(cid:106)(cid:226)(cid:227)íx+2>0(cid:53)
ï
îax>0
(cid:205)a>0(cid:53)(cid:76)(cid:197)x>0(cid:53)(cid:328)(cid:13)(cid:232)(cid:171)(cid:192)x>0(cid:224)(cid:53)(cid:58)(cid:59) f x+1+ f x+2=2f ax(cid:179)(cid:335)(cid:18)(cid:76)(cid:145)
(cid:213) f x=log x(cid:53)(cid:200)log x+1+log x+2=2log ax(cid:53)
a a a a
(cid:211)log  a2x2 =log  x2+3x+2  (cid:145)
a a
Q f x(cid:192)(cid:333)(cid:164)(cid:293)(cid:294)(cid:320)(cid:18)(cid:53)
\a2x2 =x2+3x+2(cid:53)
2 3
Qx>0(cid:53)(cid:258)(cid:336)(cid:315)(cid:337)(cid:161)x2(cid:197)(cid:53)a2 = + +1(cid:145)
x2 x
1
(cid:338)t= (cid:53)(cid:205)x>0(cid:53)(cid:200)tÎ0,+¥(cid:53)
x
\a2 =2t2+3t+1(cid:305)t>0(cid:179)(cid:76)(cid:145)
(cid:213)y=2t2+3t+1=2 æ çt+ 3ö ÷ 2 - 1 (cid:305)0,+¥(cid:28)(cid:80)(cid:333)(cid:164)(cid:309)(cid:320)(cid:18)(cid:53)
è 4ø 8
\y=2t2+3t+1Î1,+¥(cid:53)(cid:211)a2Î1,+¥(cid:53)
(cid:213)a>0(cid:53)(cid:200)aÎ1,+¥
.考点 02 等比数列
1(cid:145)（2026·上海·高考真题）(cid:185)(cid:19)(cid:18)(cid:19)(cid:37)(cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:251)(cid:80)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:80)(cid:10) (cid:11)
A(cid:145)1(cid:53)-1(cid:53)1(cid:53)-1(cid:53)1 B(cid:145)1(cid:53)2(cid:53)3(cid:53)4(cid:53)5
C(cid:145)5(cid:53)5(cid:53)5(cid:53)5(cid:53)5 D(cid:145)1(cid:53)2(cid:53)3(cid:53)5(cid:53)7
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)C
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:207)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:192)a (cid:53)(cid:205)(cid:13)(cid:199)(cid:197)a -a =d(cid:53)a =qa (cid:53)(cid:119)(cid:37)q¹0(cid:53)q(cid:53)d(cid:192)(cid:124)(cid:18)(cid:53)(cid:96)(cid:223)(cid:254)(cid:197)
n n+1 n n+1 n
q-1=0=d(cid:53)(cid:211)(cid:197)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:192)(cid:303)(cid:147)(cid:124)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:209)(cid:210).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:207)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:192)a (cid:53)(cid:200)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:226)(cid:227)a -a =d(cid:53)a =qa (cid:53)(cid:119)(cid:37)q¹0.
n n+1 n n+1 n
(cid:200)a -a =q-1a =d(cid:53)(cid:256)q(cid:53)d(cid:192)(cid:124)(cid:18)(cid:53)(cid:176)(cid:47)(cid:259)(cid:299)(cid:228)(cid:218)(cid:142)(cid:18)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:200)q-1=0=d(cid:53)
n+1 n n
(cid:141)(cid:184)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:192)(cid:303)(cid:147)(cid:124)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:205)(cid:99)(cid:45)(cid:64)(cid:339)(cid:179)C(cid:226)(cid:227)(cid:13)(cid:228).
(cid:219)(cid:99)(cid:230)C
2(cid:145)（2025·北京·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:80)(cid:46)(cid:17)(cid:127)(cid:192)(cid:147)(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a =-2(cid:53)(cid:220)a ,a ,a (cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)a =
n 1 3 4 6 10
(cid:10) (cid:11)
A(cid:145)-20 B(cid:145)-18 C(cid:145)16 D(cid:145)18
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)C
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:205)(cid:16)(cid:77)(cid:37)(cid:45)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:208)(cid:101)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:56)(cid:43)(cid:211)(cid:199)(cid:75)(cid:76).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:207)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d,d ¹0(cid:53)
n
(cid:256)(cid:192)a ,a ,a (cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)a =-2(cid:53)
3 4 6 1
(cid:216)(cid:161)a2 =a a (cid:53)(cid:211)-2+3d2 =-2+2d-2+5d(cid:53)(cid:76)(cid:197)d =2(cid:72)d =0(cid:10)(cid:312)(cid:300)(cid:11)(cid:53)
4 3 6
(cid:216)(cid:161)a =a +9d =-2+9´2=16.
10 1
(cid:219)(cid:99)(cid:230)C.
3(cid:145)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:207)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:318)(cid:45)(cid:319)(cid:192)(cid:218)(cid:18)(cid:53)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)S (cid:53)(cid:220)a =1(cid:53)S =5S -4(cid:53)(cid:200)
n n 1 5 3
S =(cid:10) (cid:11)
4
15 65
A(cid:145) B(cid:145) C(cid:145)15 D(cid:145)40
8 8
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)C(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:228)(cid:19)(cid:206)(cid:69)(cid:70)q(cid:38)(cid:58)(cid:59),(cid:42)(cid:43)(cid:206)q,(cid:211)(cid:199)(cid:75)(cid:206)S .
4
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)(cid:13)(cid:64)1+q+q2+q3+q4 =5  1+q+q2 -4,
(cid:211)q3+q4 =4q+4q2,(cid:211)q3+q2-4q-4=0,(cid:211)(q-2)(q+1)(q+2)=0.
(cid:205)(cid:13)(cid:64)q>0,(cid:216)(cid:161)q= 2.
(cid:216)(cid:161)S =1+2+4+8=15.
4
(cid:219)(cid:99):C.
4(cid:145)（2023·天津·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:220)a =2,a =2S +2  nÎN* (cid:53)(cid:200)a =(cid:10) (cid:11)
n n 1 n+1 n 4
A(cid:145)16 B(cid:145)32 C(cid:145)54 D(cid:145)162
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)C
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:260)(cid:252)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:75)(cid:197)a (cid:38)(cid:240).
4
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:261)n³2,nÎN*(cid:224)(cid:53)a =2S +2(cid:53)(cid:216)(cid:161)a -a =2a (cid:53)(cid:211)a =3a (cid:53)
n n-1 n+1 n n n+1 n
(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)a =2S +2=2a +2=6=3a (cid:53)
2 1 1 1
(cid:216)(cid:161)(cid:18)(cid:19)a (cid:80)(cid:71)(cid:45)(cid:192)2(cid:53)(cid:46)(cid:77)(cid:192)3(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
n
(cid:200)a =aq3 =54.
4 1
(cid:219)(cid:99)(cid:230)C.
5(cid:145)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:220)S =-5(cid:53)S =21S (cid:53)(cid:200)S =
n n 4 6 2 8
(cid:10) (cid:11)(cid:145)
A(cid:145)120 B(cid:145)85 C(cid:145)-85 D(cid:145)-120
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)C
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:58)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:75)(cid:206)(cid:46)(cid:77)(cid:53)(cid:229)(cid:95)(cid:96)S ,S (cid:38)(cid:69)(cid:110)(cid:211)(cid:199)(cid:76)(cid:206)(cid:246)
4 8
(cid:58)(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:75)(cid:76)(cid:145)
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:58)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:207)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q(cid:53)(cid:71)(cid:45)(cid:192)a (cid:53)
n 1
(cid:220)q=-1(cid:53)(cid:200)S =0¹-5(cid:53)(cid:109)(cid:13)(cid:228)(cid:127)(cid:289)(cid:53)(cid:216)(cid:161)q¹-1(cid:246)
4
(cid:220)q=1(cid:53)(cid:200)S =6a =3´2a =3S ¹0(cid:53)(cid:109)(cid:13)(cid:228)(cid:127)(cid:289)(cid:53)(cid:216)(cid:161)q¹1(cid:246)
6 1 1 2
a
 1-q4
a
 1-q6
a
 1-q2
(cid:205)S =-5(cid:53)S =21S (cid:199)(cid:197)(cid:53) 1 =-5(cid:53) 1 =21´ 1 (cid:53)
4 6 2
1-q 1-q 1-q
①(cid:205) (cid:199)(cid:197)(cid:53)1+q2+q4 =21(cid:53)(cid:76)(cid:197)(cid:230)q2 =4(cid:53)
①
a
 1-q8
a
 1-q4
(cid:216)(cid:161)S = 1 = 1 ´  1+q4 =-5´1+16=-85(cid:145)
8
1-q 1-q
(cid:219)(cid:99)(cid:230)C(cid:145)
(cid:58)(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:207)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q(cid:53)
n
(cid:256)(cid:192)S =-5(cid:53)S =21S (cid:53)(cid:216)(cid:161)q¹-1(cid:53)(cid:340)(cid:200)S =0(cid:53)
4 6 2 4
(cid:141)(cid:184)(cid:53)S ,S -S ,S -S ,S -S (cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
2 4 2 6 4 8 6
5
(cid:216)(cid:161)(cid:179)(cid:53)-5-S 2 =S 21S +5(cid:53)(cid:76)(cid:197)(cid:230)S =-1(cid:72)S = (cid:53)
2 2 2 2 2 4
(cid:261)S =-1(cid:224)(cid:53)S ,S -S ,S -S ,S -S (cid:53)(cid:211)(cid:192)-1,-4,-16,S +21(cid:53)
2 2 4 2 6 4 8 6 8
(cid:341)(cid:64)(cid:53)S +21=-64(cid:53)(cid:211)S =-85(cid:246)
8 8
(cid:261)S = 5 (cid:224)(cid:53)S =a +a +a +a =a +a  1+q2 =  1+q2 S >0(cid:53)
2 4 4 1 2 3 4 1 2 2
(cid:109)S =-5(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:312)(cid:300)(cid:145)
4
(cid:219)(cid:99)(cid:230)C(cid:145)
(cid:201)(cid:4)(cid:342)(cid:203)(cid:40)(cid:13)(cid:343)(cid:92)(cid:3)(cid:36)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:38)(cid:106)(cid:57)(cid:53)(cid:161)(cid:48)(cid:142)(cid:143)(cid:60)(cid:61)(cid:38)(cid:106)(cid:57)(cid:53)(cid:76)(cid:13)(cid:69)(cid:344)(cid:80)(cid:144)(cid:130)S ,S (cid:38)(cid:69)
4 8
(cid:110)(cid:53)(cid:141)(cid:184)(cid:89)(cid:308)(cid:85)(cid:69)(cid:41)(cid:38)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:314)(cid:171)(cid:56)(cid:43)(cid:145)
6(cid:145)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)3(cid:45)(cid:50)(cid:192)168(cid:53)a -a =42(cid:53)(cid:200)a =(cid:10) (cid:11)
n 2 5 6
A(cid:145)14 B(cid:145)12 C(cid:145)6 D(cid:145)3
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)D
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:207)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q,q¹0(cid:53)(cid:341)(cid:197)q¹1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项
n
即可得解.
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:76)(cid:230)(cid:207)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q,q¹0(cid:53)
n
(cid:220)q=1(cid:53)(cid:200)a -a =0(cid:53)(cid:109)(cid:13)(cid:228)(cid:221)(cid:222)(cid:53)
2 5
所以q¹1，ì a  1-q3 ìa =96
ïa +a +a = 1 =168 ï 1
则í 1 2 3 1-q ，解得í 1 ，
q=
ï ï
îa -a =aq-aq4 =42 î 2
2 5 1 1
所以a =aq5 =3.
6 1
故选：D.
7(cid:145)(cid:10)(cid:345)(cid:99)(cid:13)(cid:11)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)q(cid:192)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:53)q>0.(cid:220)
n n n
S =7,a =1(cid:53)(cid:200)(cid:10) (cid:11)
3 3
1 1
A(cid:145)q= B(cid:145)a =
2 5 9
C(cid:145)S =8 D(cid:145)a +S =8
5 n n
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)AD
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:259)A(cid:53)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:50)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:197)(cid:295)(cid:58)(cid:59)(cid:73)(cid:53)(cid:76)(cid:206)a,q(cid:53)(cid:229)(cid:241)(cid:57)(cid:119)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:50)(cid:49)n(cid:45)
1
(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:22)(cid:22)(cid:42)(cid:43)(cid:5)(cid:204)(cid:211)(cid:199).
ìa =4 ì a =9
ì aq2 =1 ï 1 ï 1
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:259)A(cid:53)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:197)í 1 (cid:53)(cid:208)(cid:101)q>0(cid:53)(cid:76)(cid:197)í 1(cid:72)í 1(cid:10)(cid:312)(cid:300)(cid:11)(cid:53)(cid:219)A(cid:218)(cid:260)(cid:246)
îa
1
+a
1
q+a
1
q2 =7
ï î
q=
2 ï î
q=-
3
æ1ö 4 1
(cid:259)B(cid:53)(cid:200)a =aq4 =4´ç ÷ = (cid:53)(cid:219)B(cid:87)(cid:346)(cid:246)
5 1 è2ø 4
æ 1 ö
(cid:259)C(cid:53)S = a 1  1-q5 = 4´ç è 1- 32 ÷ ø = 31 (cid:53)(cid:219)C(cid:87)(cid:346)(cid:246)
5 1-q 1 4
1-
2
é æ1ö nù
(cid:259)D(cid:53)a =4´ æ ç 1ö ÷ n-1 =23-n(cid:53) S = 4´ê êë 1-ç è2 ÷ ø ú úû =8-2-n+3(cid:53)
n è2ø n 1
1-
2
(cid:200)a +S =23-n+8-23-n =8(cid:53)(cid:219)D(cid:218)(cid:260)(cid:246)
n n
(cid:219)(cid:99)(cid:230)AD.
8(cid:145)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:207)(cid:335)(cid:18)q(cid:226)(cid:227)(cid:230)(cid:323)(cid:305)(cid:18)(cid:19)a (cid:53)(cid:196)(cid:197)(cid:259)(cid:70)(cid:299)(cid:228)nÎN*(cid:53)(cid:319)(cid:179)
n
a +a +L+a =n2+n(cid:53)(cid:193)a (cid:37)(cid:179)(cid:276)(cid:347)(cid:348)9(cid:45)a (cid:53)a (cid:53)L(cid:53)a (cid:80)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:145)(cid:200)q(cid:38)(cid:291)(cid:292)(cid:240)
1 2 3n n k k+1 k+8
(cid:192)__________(cid:145)3
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)3
2
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:205)(cid:49)3n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:254)(cid:206)(cid:195)(cid:347)(cid:348)(cid:242)(cid:45)(cid:38)(cid:50)T =2n. (cid:189)(cid:347)(cid:348)9(cid:45)(cid:349)(cid:350)(cid:351)(cid:88)(cid:352)(cid:353)3(cid:5)(cid:6)(cid:53)(cid:195)(cid:6)(cid:37)(cid:241)(cid:57)(cid:242)(cid:45)
n
(cid:354)(cid:50)(cid:16)(cid:70)2n(cid:197)(cid:295)(cid:69)(cid:70)(cid:46)(cid:77)q(cid:38)(cid:77)(cid:355)(cid:69)(cid:110)(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:85)(cid:268)(cid:354)(cid:50)(cid:198)(cid:77)(cid:76)(cid:197)q3(cid:38)(cid:28)(cid:356)(cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:225)(cid:197)(cid:291)(cid:292)(cid:240).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:338)T =a +a +a (cid:53)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:197)T =(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n(cid:53)
n 3n-2 3n-1 3n n
(cid:256)(cid:223)(cid:195)(cid:194)(cid:242)(cid:45)(cid:354)B (cid:38)(cid:50)(cid:192)2n.
n
(cid:207)(cid:126)9(cid:45)(cid:192)x,xq,xq2,L,xq8(cid:53)(cid:191)C =1+q+q2. (cid:205)(cid:70)C >0(cid:53)(cid:193)(cid:357)(cid:142)(cid:242)(cid:45)(cid:354)(cid:50)(cid:319)(cid:192)(cid:218)(cid:53)
(cid:185)(cid:280)(cid:349)k(cid:337)(cid:161)3(cid:38)(cid:317)(cid:18)(cid:358)(cid:359).
(cid:220)k =3m+1(m³0)(cid:53)(cid:126)9(cid:45)(cid:218)(cid:137)(cid:360)(cid:361)(cid:242)(cid:194)(cid:357)(cid:142)(cid:242)(cid:45)(cid:354)(cid:53)
(cid:197)xC =2(m+1)(cid:53)xq3C =2(m+2)(cid:53)xq6C =2(m+3)(cid:53)
m+2 m+3
(cid:70)(cid:80)q3 = (cid:193)q3 = (cid:53)(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:219)(cid:126)(cid:362)(cid:350)(cid:4)(cid:127)(cid:323)(cid:305).
m+1 m+2
(cid:220)k =3m+2(m³0)(cid:53)(cid:119)(cid:37)(cid:258)(cid:194)(cid:357)(cid:142)(cid:242)(cid:45)(cid:354)(cid:192)(cid:190)m+2(cid:354)(cid:53)(cid:190)m+3(cid:354)(cid:53)
m+3 3
(cid:197)xq2C =2(m+2)(cid:53)xq5C =2(m+3)(cid:53)(cid:216)(cid:161)q3 = £ .
m+2 2
(cid:220)k =3m(m³1)(cid:53)(cid:119)(cid:37)(cid:258)(cid:194)(cid:357)(cid:142)(cid:242)(cid:45)(cid:354)(cid:192)(cid:190)m+1(cid:354)(cid:53)(cid:190)m+2(cid:354)(cid:53)
m+2 3
(cid:197)xqC =2(m+1)(cid:53)xq4C =2(m+2)(cid:53)(cid:216)(cid:161)q3 = £ .
m+1 2
3 3 3
(cid:105)(cid:28)q3 £ (cid:53)(cid:216)(cid:161)q£ 3 (cid:53)(cid:211)q(cid:38)(cid:291)(cid:292)(cid:240)(cid:192)3 .
2 2 2
9(cid:145)（2026·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a =2(cid:53)a =6(cid:53)(cid:200)a =__________(cid:145)
n 1 2 4
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)54
a
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:207)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q(cid:53)(cid:200)q= 2 =3(cid:53)(cid:200)a =aq3 =2´33 =54.
n a 4 1
1
10(cid:145)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:220)(cid:22)(cid:194)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:318)(cid:45)(cid:319)(cid:192)(cid:218)(cid:18)(cid:53)(cid:193)(cid:49)4(cid:45)(cid:38)(cid:50)(cid:16)(cid:70)4(cid:53)(cid:49)8(cid:45)(cid:38)(cid:50)(cid:16)(cid:70)
68(cid:53)(cid:200)(cid:126)(cid:194)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:16)(cid:70)_________.
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)2
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:75)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:255)(cid:363)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:76)(cid:246)(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:109)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:38)(cid:252)(cid:253)(cid:53)
(cid:197)(cid:295)(cid:69)(cid:70)q(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:53)(cid:76)(cid:198)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:76)(cid:246)(cid:83)(cid:242)(cid:230)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:197)(cid:295)(cid:69)(cid:70)q(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:53)(cid:76)(cid:198)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:76).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:207)(cid:176)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:192)a (cid:53)S (cid:80)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:200)S =4,S =68(cid:53)
n n 4 8(cid:207)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)qq>0(cid:53)
n
(cid:261)q=1(cid:224)(cid:53)S =4a =4(cid:53)(cid:211)a =1(cid:53)(cid:200)S =8a =8¹68(cid:53)(cid:364)(cid:365)(cid:127)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:312)(cid:300)(cid:246)
4 1 1 8 1
a
 1-q4
a
 1-q8
(cid:261)q¹1(cid:224)(cid:53)(cid:200)S = 1 =4,S = 1 =68(cid:53)
4 1-q 8 1-q
1-q8 68  1-q4 1+q4
(cid:258)(cid:47)(cid:85)(cid:337)(cid:197) = (cid:53)(cid:211) =17(cid:53)
1-q4 4 1-q4
(cid:200)1+q4 =17(cid:53)(cid:216)(cid:161)q=2(cid:53)
(cid:216)(cid:161)(cid:176)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:46)(cid:77)(cid:192)2.
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)2.
(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:207)(cid:176)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:192)a (cid:53)S (cid:80)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:200)S =4,S =68(cid:53)
n n 4 8
(cid:207)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)qq>0(cid:53)
n
(cid:216)(cid:161)S =a +a +a +a =4(cid:53)
4 1 2 3 4
S =a +a +a +a +a +a +a +a
8 1 2 3 4 5 6 7 8
=a +a +a +a +aq4+a q4+a q4+a q4
1 2 3 4 1 2 3 4
=a +a +a +a  1+q4 =68(cid:53)
1 2 3 4
(cid:216)(cid:161)4  1+q4 =68(cid:53)(cid:200)1+q4 =17(cid:53)(cid:216)(cid:161)q=2(cid:53)
(cid:216)(cid:161)(cid:176)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:46)(cid:77)(cid:192)2.
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)2.
(cid:83)(cid:242)(cid:230)(cid:207)(cid:176)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:192)a (cid:53)S (cid:80)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:200)S =4,S =68(cid:53)
n n 4 8
(cid:207)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)qq>0(cid:53)
n
(cid:256)(cid:192)S -S =a +a +a +a =a +a +a +a q4 =68-4=64(cid:53)
8 4 5 6 7 8 1 2 3 4
(cid:213)S =a +a +a +a =4(cid:53)
4 1 2 3 4
S -S 64
(cid:216)(cid:161) 8 4 =q4 = =16(cid:53)(cid:216)(cid:161)q=2(cid:53)
S 4
4
(cid:216)(cid:161)(cid:176)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:46)(cid:77)(cid:192)2.
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)2.11(cid:145)（2025·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:80)(cid:71)(cid:45)(cid:192)1(cid:24)(cid:46)(cid:17)(cid:192)1(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:80)(cid:71)(cid:45)(cid:192)1(cid:24)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q(q>0)
n n
(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:145)(cid:220)(cid:18)(cid:19)a ×b (cid:38)(cid:49)(cid:242)(cid:45)(cid:50)(cid:192)2(cid:53)(cid:200)q=__________(cid:145)
n n
1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)
3
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:311)(cid:206)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:53)(cid:197)(cid:295)a ×b =nqn-1(cid:53)(cid:141)(cid:184)(cid:95)(cid:96)(cid:49)(cid:242)(cid:45)(cid:50)(cid:197)(cid:295)(cid:58)(cid:59)(cid:53)(cid:75)(cid:206)(cid:46)(cid:77).
n n
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:197)a =1+n-1=n(cid:53)b =qn-1(cid:53)
n n
(cid:200)a ×b =nqn-1(cid:53)(cid:216)(cid:161)(cid:49)(cid:242)(cid:45)(cid:50)(cid:192)1+2q+3q2 =2(cid:53)
n n
1
(cid:76)(cid:197)q= (cid:72)-1(cid:10)(cid:312)(cid:300)(cid:11)(cid:53)
3
1
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)
3
12(cid:145)（2024·上海·高考真题）(cid:366)(cid:367)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:226)(cid:227)(cid:71)(cid:45)a >0,q>1(cid:53)(cid:191)I =  x-y x,yÎa,a Èa ,a  (cid:53)
n 1 n 1 2 n n+1
(cid:220)(cid:259)(cid:299)(cid:228)(cid:218)(cid:142)(cid:18)n(cid:327)(cid:101)I (cid:80)(cid:368)(cid:156)(cid:306)(cid:53)(cid:200)q(cid:38)(cid:225)(cid:240)(cid:296)(cid:297)(cid:80)______(cid:145)
n
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)q³2
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:261)n³2(cid:224)(cid:53)(cid:127)(cid:243)(cid:207)x³ y(cid:53)(cid:200)x-yÎ0,a -a  U a -a ,a -a  U 0,a -a (cid:53)(cid:208)(cid:101)I (cid:192)(cid:368)(cid:156)(cid:306)(cid:199)
2 1 n 2 n+1 1 n+1 n n
1
(cid:197)q-2³- (cid:259)(cid:299)(cid:228)(cid:38)n³2(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:219)(cid:199)(cid:75)q(cid:38)(cid:225)(cid:240)(cid:296)(cid:297).
qn-2
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)(cid:13)(cid:207)(cid:179)a =aqn-1(cid:53)(cid:256)(cid:192)a >0,q>1(cid:53)(cid:219)a >a (cid:53)(cid:219)a ,a =éaqn-1,aqnù(cid:53)
n 1 1 n+1 n n n+1 ë 1 1 û
(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)x,yÎa,a (cid:53)(cid:219)x-yÎa -a ,a -a (cid:53)(cid:223)(cid:224)I (cid:192)(cid:368)(cid:156)(cid:306)(cid:53)
1 2 1 2 2 1 1
(cid:261)n³2(cid:224)(cid:53)(cid:127)(cid:243)(cid:207)x³ y(cid:53)(cid:220)x,yÎa,a (cid:53)(cid:200)x-yÎ0,a -a (cid:53)
1 2 2 1
(cid:220)yÎa,a ,xÎa ,a (cid:53)(cid:200)x-yÎa -a ,a -a (cid:53)
1 2 n n+1 n 2 n+1 1
(cid:220)x,yÎa ,a (cid:53)(cid:200)x-yÎ0,a -a (cid:53)
n n+1 n+1 n
(cid:105)(cid:28)(cid:53)x-yÎ0,a -a  U a -a ,a -a  U 0,a -a (cid:53)
2 1 n 2 n+1 1 n+1 n
(cid:213)I (cid:192)(cid:368)(cid:156)(cid:306)(cid:16)(cid:369)(cid:70)0,a -a Èa -a ,a -a È0,a -a (cid:192)(cid:368)(cid:156)(cid:306)(cid:53)
n 2 1 n 2 n+1 1 n+1 n
(cid:184)a -a >a -a >a -a (cid:53)(cid:219)a -a ³a -a (cid:259)(cid:299)(cid:228)n³2(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
n+1 1 n+1 n 2 1 n+1 n n 2
(cid:219)a -2a +a ³0(cid:211)aqn-1q-2+a ³0(cid:53)(cid:219)qn-2q-2+1³0(cid:53)
n+1 n 2 1 21
(cid:219)q-2³- (cid:259)(cid:299)(cid:228)(cid:38)n³2(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:256)q>1(cid:53)
qn-2
1
(cid:219)(cid:261)n®+¥(cid:224)(cid:53)- ®0(cid:53)(cid:219)q-2³0(cid:211)q³2.
qn-2
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)q³2.
(cid:201)(cid:4)(cid:342)(cid:203)(cid:60)(cid:370)(cid:4)(cid:342)(cid:230)(cid:109)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:51)(cid:52)(cid:179)(cid:69)(cid:38)(cid:127)(cid:16)(cid:47)(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:199)(cid:241)(cid:57)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:83)(cid:144)(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:192)(cid:232)(cid:192)(cid:69)(cid:70)(cid:109)(cid:46)(cid:77)(cid:179)
(cid:69)(cid:38)(cid:127)(cid:16)(cid:47)(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:249)(cid:92)(cid:224)(cid:199)(cid:241)(cid:57)(cid:371)(cid:372)(cid:5)(cid:272)(cid:233)(cid:234)(cid:235).
13(cid:145)（2024·北京·高考真题）(cid:207)a (cid:109)b (cid:80)(cid:258)(cid:194)(cid:127)(cid:315)(cid:38)(cid:366)(cid:367)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:214)(cid:127)(cid:80)(cid:124)(cid:18)(cid:19).(cid:191)(cid:327)(cid:101)
n n
M =

k|a =b
,kÎN*
(cid:53)(cid:373)(cid:206)(cid:185)(cid:19)4(cid:194)(cid:208)(cid:359)(cid:230)
k k
(cid:220)a (cid:109)b (cid:319)(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)M(cid:37)(cid:291)(cid:345)(cid:179)1(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:246)
n n
①
(cid:220)a (cid:109)b (cid:319)(cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)M(cid:37)(cid:291)(cid:345)(cid:179)2(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:246)
n n
②
(cid:220)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)M(cid:37)(cid:291)(cid:345)(cid:179)3(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:246)
n n
③
(cid:220)a (cid:192)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:192)(cid:302)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)M(cid:37)(cid:291)(cid:345)(cid:179)1(cid:194)(cid:330)(cid:374).
n n
④(cid:119)(cid:37)(cid:218)(cid:260)(cid:208)(cid:359)(cid:38)(cid:375)(cid:376)(cid:80)______.
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:241)①(cid:57)③(cid:258)④(cid:6)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:377)(cid:4)(cid:262)(cid:38)(cid:97)(cid:98)(cid:199)(cid:209)(cid:210) (cid:38)(cid:218)(cid:346)(cid:53)(cid:241)(cid:57)(cid:257)(cid:355)(cid:199)(cid:209)(cid:210) (cid:38)(cid:218)(cid:346)(cid:53)(cid:208)(cid:101)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:38)(cid:97)
(cid:98)(cid:48)(cid:257)(cid:378)(cid:83)(cid:199)(cid:209)(cid:210) (cid:38)(cid:218)(cid:346). ①④ ②
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:259)(cid:70) (cid:53)③(cid:256)(cid:192)a ,b (cid:319)(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:219)(cid:379)(cid:380)(cid:38)(cid:377)(cid:4)(cid:262)(cid:5)(cid:381)(cid:305)(cid:244)(cid:283)(cid:28)(cid:53)
n n
(cid:184)(cid:258)(cid:65)(cid:244)(cid:283)(cid:307)①(cid:345)(cid:179)(cid:22)(cid:194)(cid:46)(cid:178)(cid:4)(cid:53)(cid:219)M (cid:37)(cid:307)(cid:345)(cid:22)(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:53)(cid:219) (cid:218)(cid:260).
(cid:259)(cid:70) (cid:53)(cid:225)a =2n-1,b =--2n-1,(cid:200)a ,b (cid:319)(cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)①(cid:53)
n n n n
②
(cid:248)(cid:261)n(cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:224)(cid:53)(cid:179)a =2n-1 =b =--2n-1(cid:53)(cid:223)(cid:224)M (cid:37)(cid:179)(cid:366)(cid:367)(cid:345)(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:53)(cid:219) (cid:87)(cid:346).
n n
②
(cid:259)(cid:70) (cid:53)(cid:207)b = AqnAq¹0,q¹±1(cid:53)a =kn+bk ¹0(cid:53)
n n
③
(cid:220)M (cid:37)(cid:307)(cid:308)(cid:382)(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:53)(cid:200)(cid:69)(cid:70)n(cid:38)(cid:58)(cid:59)Aqn =kn+b(cid:307)(cid:308)(cid:179)4(cid:194)(cid:127)(cid:315)(cid:38)(cid:218)(cid:18)(cid:76)(cid:53)
(cid:220)q>0,q¹1(cid:53)(cid:200)(cid:205)y= Aqn(cid:50)y=kn+b(cid:38)(cid:377)(cid:4)(cid:262)(cid:199)(cid:197)(cid:69)(cid:70)n(cid:38)(cid:58)(cid:59)Aqn =kn+b(cid:307)(cid:345)(cid:179)(cid:258)(cid:194)(cid:127)(cid:315)(cid:38)(cid:76)(cid:53)(cid:221)(cid:222)(cid:246)
(cid:220)q<0,q¹±1(cid:53)(cid:3)(cid:383)(cid:69)(cid:70)n(cid:38)(cid:58)(cid:59)Aqn =kn+b(cid:215)(cid:18)(cid:76)(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:50)(cid:217)(cid:18)(cid:76)(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:53)
(cid:261)Aqn =kn+b(cid:179)(cid:217)(cid:18)(cid:76)(cid:53)(cid:223)(cid:58)(cid:59)(cid:211)(cid:192)Aqn =kn+b(cid:53)(cid:58)(cid:59)(cid:307)(cid:345)(cid:179)(cid:258)(cid:194)(cid:217)(cid:18)(cid:76)(cid:53)(cid:193)(cid:179)(cid:258)(cid:194)(cid:217)(cid:18)(cid:76)(cid:224)Akln q >0(cid:53)
(cid:340)(cid:200)Akln q <0(cid:53)(cid:256)y= Aqn,y=kn+b(cid:293)(cid:294)(cid:51)(cid:85)(cid:257)(cid:53)
(cid:58)(cid:59)Aqn =kn+b(cid:307)(cid:345)(cid:22)(cid:194)(cid:217)(cid:18)(cid:76)(cid:53)
(cid:261)Aqn =kn+b(cid:179)(cid:215)(cid:18)(cid:76)(cid:53)(cid:223)(cid:58)(cid:59)(cid:211)(cid:192)-Aqn =kn+b(cid:53)
(cid:58)(cid:59)(cid:307)(cid:345)(cid:179)(cid:258)(cid:194)(cid:215)(cid:18)(cid:76)(cid:53)(cid:193)(cid:179)(cid:258)(cid:194)(cid:215)(cid:18)(cid:76)(cid:224)-Akln q >0(cid:211)Akln q <0
(cid:340)(cid:200)Akln q >0(cid:53)(cid:256)y=-Aqn,y=kn+b(cid:293)(cid:294)(cid:51)(cid:85)(cid:257)(cid:53)
(cid:58)(cid:59)-Aqn =kn+b(cid:307)(cid:345)(cid:22)(cid:194)(cid:215)(cid:18)(cid:76)(cid:53)
(cid:256)(cid:192)Akln q >0(cid:53)Akln q <0(cid:127)(cid:199)(cid:54)(cid:315)(cid:224)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
(cid:219)Aqn =kn+b(cid:127)(cid:199)(cid:54)(cid:179)4(cid:194)(cid:127)(cid:315)(cid:38)(cid:142)(cid:18)(cid:76)(cid:53)(cid:211)M(cid:37)(cid:291)(cid:345)(cid:179)3(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:53)
(cid:225)q=-2,a =-2,d =6,b =-2 (cid:53)(cid:200)a =b =-2,a =b =4,a =b =16,(cid:219) (cid:218)(cid:260).
1 1 1 1 2 2 4 4
③
(cid:259)(cid:70) (cid:53)(cid:256)(cid:192)a (cid:192)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:192)(cid:302)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:49)(cid:238)(cid:377)(cid:4)(cid:262)(cid:384)(cid:28)(cid:385)(cid:386)(cid:183)(cid:53)
n n
(cid:286)(cid:238)④(cid:38)(cid:377)(cid:4)(cid:262)(cid:384)(cid:185)(cid:387)(cid:386)(cid:183)(cid:53)(cid:258)(cid:238)(cid:307)(cid:345)(cid:22)(cid:194)(cid:388)(cid:4)(cid:53)(cid:219) (cid:218)(cid:260).
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230) . ④
(cid:201)(cid:4)(cid:342)(cid:203)(cid:60)①(cid:370)(cid:4)③(cid:342)④(cid:230)(cid:259)(cid:70)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:50)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:38)(cid:358)(cid:359)(cid:53)(cid:199)(cid:161)(cid:241)(cid:57)(cid:258)(cid:238)(cid:377)(cid:4)(cid:262)(cid:38)(cid:97)(cid:98)(cid:233)(cid:5)(cid:204)(cid:53)(cid:389)(cid:228)(cid:358)
(cid:359)(cid:258)(cid:238)(cid:51)(cid:52)(cid:69)(cid:110)(cid:224)(cid:53)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:199)(cid:54)(cid:192)(cid:304)(cid:53)(cid:223)(cid:224)(cid:92)(cid:389)(cid:228)(cid:101)(cid:235)(cid:232)(cid:171).
14(cid:145)（2024·北京·高考真题）(cid:390)(cid:264)(cid:391)(cid:392)(cid:207)(cid:42)(cid:38)“(cid:158)(cid:393)(cid:41)”(cid:80)(cid:394)(cid:24)(cid:101)(cid:24)(cid:385)(cid:24)(cid:395)(cid:24)(cid:396)(cid:7)(cid:41)(cid:101)(cid:22)(cid:38)(cid:32)(cid:397)(cid:41)(cid:398)(cid:53)(cid:119)(cid:37)(cid:385)
(cid:41)(cid:398)(cid:24)(cid:395)(cid:41)(cid:398)(cid:24)(cid:396)(cid:41)(cid:398)(cid:38)(cid:399)(cid:400)(cid:319)(cid:199)(cid:401)(cid:192)(cid:402)(cid:403).(cid:220)(cid:385)(cid:24)(cid:395)(cid:24)(cid:396)(cid:41)(cid:398)(cid:38)(cid:404)(cid:405)(cid:187)(cid:46)(cid:77)(cid:192)10(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:406)(cid:280)(cid:244)(cid:407)(cid:181)
(cid:324)(cid:192) 65mm,325mm,325mm(cid:53)(cid:193)(cid:396)(cid:41)(cid:398)(cid:38)(cid:34)(cid:192)230mm(cid:53)(cid:200)(cid:395)(cid:41)(cid:398)(cid:38)(cid:34)(cid:192)______mm(cid:53)(cid:385)(cid:41)(cid:398)(cid:38)(cid:34)(cid:192)________
mm(cid:145)
115
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203) 23 57.5/
2
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:95)(cid:96)(cid:143)(cid:405)(cid:192)(cid:46)(cid:77)(cid:192)10(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:199)(cid:197)(cid:69)(cid:70)(cid:34)(cid:408)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:73)(cid:53)(cid:75)(cid:206)(cid:119)(cid:76)(cid:286)(cid:199)(cid:197)(cid:49)(cid:258)(cid:194)(cid:402)(cid:403)(cid:38)(cid:34)(cid:408).
æ325ö 2 æ325ö 2
πç ÷ h πç ÷ ´230
è 2 ø 2 è 2 ø
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:207)(cid:385)(cid:41)(cid:398)(cid:38)(cid:34)(cid:192)h (cid:53)(cid:395)(cid:41)(cid:398)(cid:38)(cid:34)(cid:192)h (cid:10)(cid:293)(cid:88)(cid:214)(cid:80)mm(cid:11)(cid:53)(cid:200) = =10(cid:53)
1 2 æ65ö 2 æ325ö 2
πç ÷ h πç ÷ h
è 2 ø 1 è 2 ø 2
115
(cid:219)h =23mm(cid:53)h = mm.
2 1 2115
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)23mm, mm.
2
15(cid:145)（2023·北京·高考真题）(cid:409)(cid:21)(cid:408)(cid:41)(cid:410)(cid:38)(cid:123)(cid:411)(cid:179)(cid:412)(cid:413)(cid:414)(cid:38)(cid:168)(cid:169)(cid:53)(cid:415)(cid:21)(cid:224)(cid:416)(cid:417)(cid:63)(cid:322)(cid:206)(cid:418)(cid:419)(cid:6)(cid:420)(cid:70)(cid:421)(cid:422)(cid:38)(cid:24)(cid:57)
(cid:233)(cid:423)(cid:41)(cid:424)(cid:143)(cid:52)(cid:41)(cid:38)“(cid:425)(cid:426)”(cid:145)(cid:63)(cid:64)9(cid:427)(cid:425)(cid:426)(cid:38)(cid:52)(cid:41)(cid:10)(cid:293)(cid:88)(cid:230)(cid:428)(cid:11)(cid:141)(cid:429)(cid:295)(cid:292)(cid:116)(cid:187)(cid:45)(cid:18)(cid:192)9(cid:38)(cid:18)(cid:19)a (cid:53)(cid:176)(cid:18)(cid:19)
n
(cid:38)(cid:49)3(cid:45)(cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:286)7(cid:45)(cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)a =1,a =12,a =192(cid:53)(cid:200)a =___________(cid:246)(cid:18)(cid:19)a (cid:216)(cid:179)(cid:45)
1 5 9 7 n
(cid:38)(cid:50)(cid:192)____________(cid:145)
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203) 48 384
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:58)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:228)(cid:208)(cid:101)(cid:16)(cid:17)(cid:24)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:19)(cid:47)(cid:75)(cid:76)d,q(cid:53)(cid:237)(cid:184)(cid:199)(cid:75)(cid:197)(cid:208)(cid:316)(cid:246)(cid:58)(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:95)(cid:96)
(cid:16)(cid:77)(cid:37)(cid:45)(cid:75)a ,a (cid:53)(cid:305)(cid:208)(cid:101)(cid:16)(cid:17)(cid:24)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:75)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:56)(cid:43)(cid:75)(cid:76).
7 3
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:58)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:207)(cid:49)3(cid:45)(cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:286)7(cid:45)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q>0(cid:53)
a 192
(cid:200)q4 = 9 = =16(cid:53)(cid:193)q>0(cid:53)(cid:199)(cid:197)q= 2(cid:53)
a 12
5
a
(cid:200)a =1+2d = 5 (cid:53)(cid:211)1+2d =3(cid:53)(cid:199)(cid:197)d =1(cid:53)
3 q2
(cid:430)1(cid:230)(cid:199)(cid:197)a =3,a =aq4=48(cid:53)
3 7 3
3
 1-27
(cid:430)2(cid:230)a +a +L +a =1+2+3+3´2+×××+3´26 =3+ =384
1 2 9 1-2
(cid:58)(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:430)1(cid:230)(cid:256)(cid:192)a ,3£n£7(cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)a2 =a a =12´192=482(cid:53)
n 7 5 9
(cid:193)a >0(cid:53)(cid:216)(cid:161)a =48(cid:246)
n 7
a2
(cid:213)(cid:256)(cid:192)a2 =a a (cid:53)(cid:200)a = 5 =3(cid:246)
5 3 7 3 a
7
a
(cid:430)2(cid:230)(cid:207)(cid:286)7(cid:45)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q>0(cid:53)(cid:200)q2 = 5 =4(cid:53)(cid:76)(cid:197)q= 2(cid:53)
a
3
3a +a  a -a q 3-192´2
(cid:199)(cid:197)a +a +a = 1 3 =6,a +a +a +a +a +a +a = 3 9 = =381(cid:53)(cid:216)(cid:161)
1 2 3 2 3 4 5 6 7 8 9 1-q 1-2
a +a +L +a =6+381-a =384.
1 2 9 3
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)48(cid:246)384.
16(cid:145)（2023·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:193)a =3(cid:53)q= 2(cid:53)(cid:75)S =______(cid:246)
n n 1 6
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)189(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:205)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:75)(cid:76)(cid:53)
3(1-26)
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:197)S = =189(cid:53)
6 1-2
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)189.
17(cid:145)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:145)(cid:220)8S =7S (cid:53)(cid:200)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)________(cid:145)
n n 6 3 n
1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)-
2
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:313)(cid:5)(cid:204)q¹1(cid:53)(cid:229)(cid:205)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:50)(cid:270)(cid:58)(cid:17)(cid:46)(cid:47)(cid:171)(cid:314)(cid:211)(cid:199)(cid:75)(cid:206)(cid:46)(cid:77)q.
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:220)q=1(cid:53)
(cid:200)(cid:205)8S =7S (cid:197)8×6a =7×3a (cid:53)(cid:200)a =0(cid:53)(cid:127)(cid:101)(cid:13)(cid:228).
6 3 1 1 1
(cid:216)(cid:161)q¹1.
(cid:261)q¹1(cid:224)(cid:53)(cid:256)(cid:192)8S =7S (cid:53)
6 3
a
 1-q6
a
 1-q3
(cid:216)(cid:161)8× 1 =7× 1 (cid:53)
1-q 1-q
(cid:211)8×
 1-q6
=7×
 1-q3
(cid:53)(cid:211)8×
 1+q3 1-q3
=7×
 1-q3
(cid:53)(cid:211)8×
 1+q3
=7(cid:53)
1
(cid:76)(cid:197)q=- .
2
1
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)-
2
18(cid:145)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a a a =a a (cid:53)a a =-8(cid:53)(cid:200)a =______.
n 2 4 5 3 6 9 10 7
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)-2
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:46)(cid:47)(cid:259)a a a =a a (cid:171)(cid:314)(cid:197)aq=1(cid:53)(cid:431)(cid:68)a a =-8(cid:75)(cid:206)q5 =-2(cid:53)(cid:291)(cid:286)(cid:197)
2 4 5 3 6 1 9 10
a =aq×q5 =q5 =-2.
7 1
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:207)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)qq¹0(cid:53)(cid:200)a a a =a a =a q×a q(cid:53)(cid:364)(cid:365)a ¹0(cid:53)
n 2 4 5 3 6 2 5 n
(cid:200)a =q2(cid:53)(cid:211)aq3 =q2(cid:53)(cid:200)aq=1(cid:53)(cid:256)(cid:192)a a =-8(cid:53)(cid:200)aq8×aq9 =-8(cid:53)
4 1 1 9 10 1 1
(cid:200)q15 =  q53 =-8=-23(cid:53)(cid:200)q5 =-2(cid:53)(cid:200)a =aq×q5 =q5 =-2(cid:53)
7 1
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)-2.考点 03 数列求和
1(cid:145)（2023·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:318)(cid:45)(cid:319)(cid:192)(cid:335)(cid:18)(cid:53)S (cid:192)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:220)(cid:259)(cid:299)(cid:228)k > 2022(cid:53)(cid:214)(cid:179)
n n
S > S (cid:53)(cid:200)(cid:185)(cid:19)(cid:432)(cid:83)(cid:199)(cid:54)(cid:187)(cid:68)(cid:38)(cid:80)(cid:10) (cid:11)
k k+1
A(cid:145)a,a ,a ,L,a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a ,a ,a ,L,a (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)
1 3 5 2n-1 2 4 6 2n
B(cid:145)a,a ,a ,L,a (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a ,a ,a ,L,a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
1 3 5 2n-1 2 4 6 2n
C(cid:145)a,a ,a ,L,a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a ,a ,a ,L ,a (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)
1 2 3 2022 2022 2023 2024 n
D(cid:145)a,a ,a ,L,a (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a ,a ,a ,L ,a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
1 2 3 2022 2022 2023 2024 n
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)C
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:338) f(n)=|S |(S (cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)),(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:197)(cid:261)n>2022(cid:224)(cid:53) f(n)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:89)(cid:53)(cid:208)(cid:101)(cid:25)(cid:324)(cid:320)
n n
(cid:18)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:99)(cid:45)(cid:433)(cid:22)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:199).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:76)(cid:230)(cid:338) f(n)=|S |³0,(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:261)n>2022(cid:224)(cid:53) f(n)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:89)(cid:53)
n
(cid:259)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:192)a (cid:53)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
1
n2-n d d
(cid:200)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)T =na + d = ×n2+(a - )×n((cid:127)(cid:361)(cid:124)(cid:18)(cid:45))(cid:53)
n 1 2 2 1 2
d æ d ö
(cid:223)(cid:224) f n= T = ×n2+ça - ÷×n (cid:53)
n 2 è 1 2ø
(cid:205)(cid:25)(cid:324)(cid:320)(cid:18)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:64)(cid:230)(cid:261)n(cid:227)(cid:55)(cid:292)(cid:224)(cid:53) f(n)(cid:127)(cid:199)(cid:54)(cid:192)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:89)(cid:320)(cid:18)(cid:53)
(cid:216)(cid:161)(cid:53)A(cid:37)(cid:215)(cid:18)(cid:45)(cid:48)B(cid:37)(cid:217)(cid:18)(cid:45)(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:319)(cid:127)(cid:101)(cid:13)(cid:228)(cid:246)
(cid:259)(cid:70)C(cid:53)(cid:261)(cid:49)2022(cid:45)(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:141)(cid:190)2022(cid:45)(cid:434)(cid:351)(cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:193)(cid:46)(cid:77)qÎ(0,1)(cid:224)(cid:53)(cid:226)(cid:227) f(n)> f(n+1)(cid:53)
(cid:219)(cid:289)(cid:101)(cid:13)(cid:228)(cid:246)
(cid:259)(cid:70)D(cid:53)(cid:261)(cid:49)2022(cid:45)(cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:141)(cid:190)2022(cid:45)(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:224)(cid:53)(cid:315)A(cid:24)B(cid:5)(cid:204)(cid:230)(cid:261)n(cid:227)(cid:55)(cid:292)(cid:224)(cid:53)(cid:127)(cid:226)(cid:227)
f(n)> f(n+1)(cid:53)(cid:211) f(n)(cid:127)(cid:199)(cid:54)(cid:192)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:89)(cid:320)(cid:18)(cid:53)(cid:219)(cid:127)(cid:101)(cid:13)(cid:228)
(cid:219)(cid:99)(cid:230)C.
(cid:201)(cid:4)(cid:342)(cid:203)(cid:58)(cid:83)(cid:4)(cid:342)(cid:230)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)S (cid:80)(cid:69)(cid:70)n(cid:38)(cid:25)(cid:324)(cid:25)(cid:45)(cid:47)((cid:127)(cid:361)(cid:124)(cid:18)(cid:45))(cid:53)(cid:305)(cid:435)(cid:436)(cid:179)(cid:69)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:49)n
n
(cid:45)(cid:50)(cid:38)(cid:179)(cid:69)(cid:51)(cid:52)(cid:51)(cid:53)(cid:141)(cid:25)(cid:324)(cid:320)(cid:18)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:206)(cid:123)(cid:53)(cid:54)(cid:196)(cid:328)(cid:13)(cid:197)(cid:295)(cid:314)(cid:171).
2(cid:145)（2025·天津·高考真题）S =-n2+8n(cid:53)(cid:200)(cid:18)(cid:19) a  (cid:38)(cid:49)12(cid:45)(cid:50)(cid:192)(cid:10) (cid:11)
n n
A(cid:145)112 B(cid:145)48 C(cid:145)80 D(cid:145)64(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)C
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:313)(cid:205)(cid:13)(cid:207)(cid:208)(cid:101)a =S -S (cid:75)(cid:206)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:53)(cid:229)(cid:208)(cid:101)(cid:18)(cid:19)a (cid:318)(cid:45)(cid:218)(cid:304)(cid:9)(cid:437)(cid:211)(cid:199)(cid:75)(cid:76).
n n n-1 n n
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:256)(cid:192)S =-n2+8n(cid:53)
n
(cid:216)(cid:161)(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)a =S =-12+8´1=7(cid:53)
1 1
(cid:261)n³2(cid:224)(cid:53)a =S -S =  -n2+8n  -é-n-12 +8n-1ù=-2n+9(cid:53)
n n n-1 ë û
(cid:322)(cid:438)(cid:439)(cid:53)a =7(cid:226)(cid:227)(cid:28)(cid:47)(cid:53)
1
(cid:216)(cid:161)a =-2n+9
 nÎN*
(cid:53)(cid:338)a =-2n+9³0Þn£4(cid:53)a =-2n+9£0Þn³5(cid:53)
n n n
(cid:207)(cid:18)(cid:19) a  (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)T (cid:53)
n n
(cid:200)(cid:18)(cid:19) a  (cid:38)(cid:49)4(cid:45)(cid:50)(cid:192)T =S =-42+8´4=16
n 4 4
(cid:18)(cid:19)
a 
(cid:38)(cid:49)12(cid:45)(cid:50)(cid:192)
n
T = a + a +L+ a =a +a +a +a -a -a -L-a
12 1 2 12 1 2 3 4 5 6 12
=2S -S =2´16-  -122+8´12  =80.
4 12
(cid:219)(cid:99)(cid:230)C
3(cid:145)(cid:10)(cid:345)(cid:99)(cid:13)(cid:11)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:207)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)q¹1(cid:53)a >0 (cid:53)2a =a +a (cid:53)(cid:191)(cid:119)(cid:49)n
n 1 3 1 2
(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:200)(cid:10) (cid:11)
n
1 2a
A(cid:145)q=- B(cid:145)S > 1
2 n 3
n 2na
C(cid:145)2S =S +S D(cid:145)åS > 1
n+2 n+1 n k 3
k=1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)ACD
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:207)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q(cid:53)(cid:95)(cid:96)(cid:65)(cid:66)(cid:19)(cid:206)(cid:69)(cid:70)q(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:53)(cid:75)(cid:76)(cid:199)(cid:197)q(cid:38)(cid:240)(cid:53)(cid:209)(cid:210)A(cid:246)(cid:241)(cid:57)(cid:97)(cid:240)(cid:83)
n
n æ 1ö n
(cid:199)(cid:209)(cid:210)B(cid:246)(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:53)(cid:75)(cid:197)S n+1 +S n (cid:53)S n+2 (cid:53)(cid:171)(cid:314)(cid:199)(cid:209)(cid:210)C(cid:246)(cid:75)(cid:206)åS k (cid:53)(cid:205) ç- ÷ (cid:38)(cid:225)
k=1 è 2ø
(cid:240)(cid:9)(cid:437)(cid:53)(cid:208)(cid:101)(cid:127)(cid:16)(cid:47)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:209)(cid:210)D.
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q(cid:53)(cid:200)2aq2 =a q+a (cid:53)(cid:211)a  2q2-q-1  =0.
n 1 1 1 1
(cid:256)(cid:192)a >0(cid:53)(cid:216)(cid:161)2q2-q-1=0(cid:53)(cid:211)2q+1q-1=0.
11
(cid:256)(cid:192)q¹1(cid:53)(cid:216)(cid:161)q-1¹0(cid:53)(cid:216)(cid:161)2q+1=0(cid:53)(cid:211)q=- (cid:53)(cid:216)(cid:161)A(cid:218)(cid:260).
2
1 2
(cid:256)(cid:192)a >0(cid:53)(cid:200)S = a < a (cid:53)(cid:216)(cid:161)B(cid:87)(cid:346).
1 2 2 1 3 1
é æ 1ö n+2ù
a ê1-ç- ÷ ú
S =
1 êë è 2ø úû
=
2a
1
é
ê1-
æ
ç-
1ö
÷
n+2ù
ú (cid:53)
n+2
1-ç
æ
-
1
÷
ö 3 êë è 2ø úû
è 2ø
é æ 1ö n+1ù é æ 1ö nù
S +S = a 1 ê êë 1-ç è - 2 ÷ ø ú úû + a 1 ê êë 1-ç è - 2 ÷ ø ú úû = 2a 1 ê é 1-ç æ - 1 ÷ ö n+1 +1-ç æ - 1 ÷ ö n ú ù
n+1 n æ 1ö æ 1ö 3 êë è 2ø è 2ø úû
1-ç- ÷ 1-ç- ÷
è 2ø è 2ø
2a é æ 1ö n+1ù 2a é æ 1ö n+2ù
= 1 ê2+ç- ÷ ú =2´ 1 ê1-ç- ÷ ú =2S (cid:53)(cid:216)(cid:161)C(cid:218)(cid:260).
3 êë è 2ø úû 3 êë è 2ø úû n+2
é æ 1ö 1ù é æ 1ö 2ù é æ 1ö nù
a ê1-ç- ÷ ú a ê1-ç- ÷ ú a ê1-ç- ÷ ú
n 1 êë è 2ø úû 1 êë è 2ø úû 1 êë è 2ø úû
åS = + +¼+
k æ 1ö æ 1ö æ 1ö
k=1 1-ç- ÷ 1-ç- ÷ 1-ç- ÷
è 2ø è 2ø è 2ø
2a é æ 1ö 1 æ 1ö 2 æ 1ö nù
= 1 ê1-ç- ÷ +1-ç- ÷ +¼+1-ç- ÷ ú
3 êë è 2ø è 2ø è 2ø úû
2a é æ 1ö 1 æ 1ö 2 æ 1ö nù
= 1 ên-ç- ÷ -ç- ÷ ¼-ç- ÷ ú
3 êë è 2ø è 2ø è 2ø úû
é æ 1ö nù
= 2a 1 ê ên- æ ç- 1ö ÷´ 1-ç è - 2 ÷ ø ú ú = 2na 1 + 2a 1 ê é 1-ç æ - 1 ÷ ö n ú ù (cid:53)
3 ê
ê
è 2ø
1-
æ
ç-
1ö
÷
ú
ú
3 9 êë è 2ø úû
è 2ø
ë û
æ 1ö n æ1ö n
(cid:261)n(cid:192)(cid:215)(cid:18)(cid:224)(cid:53)1-ç- ÷ =1+ç ÷ >0(cid:246)
è 2ø è2ø
æ1ö n 1 æ 1ö n æ1ö n 1
(cid:261)n(cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:224)(cid:53)(cid:256)(cid:192) ç ÷ < (cid:246)(cid:216)(cid:161)1-ç- ÷ =1-ç ÷ ³ >0(cid:53)
è2ø 2 è 2ø è2ø 2
2a é æ 1ö nù n 2na
(cid:216)(cid:161) 1 ê1-ç- ÷ ú>0(cid:53)(cid:211)åS > 1 (cid:53)(cid:216)(cid:161)D(cid:218)(cid:260).
9 êë è 2ø úû k=1 k 3
4(cid:145)（2026·天津·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:109)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)b (cid:226)(cid:227)(cid:230)a =2(cid:53)b =1(cid:53)a =b +b (cid:53)a =b -b (cid:145)
n n 1 1 2 1 2 4 3 1(1)(cid:75)(cid:18)(cid:19)a (cid:53)b (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:246)
n n
(2)(cid:191)E =xÎR x£n(cid:53)$kÎN*(cid:53)x=a (cid:72)x=b }(cid:53)(cid:191)c (cid:192)E (cid:37)(cid:38)(cid:330)(cid:374)(cid:194)(cid:18)(cid:145)
n k k n n
(cid:10)i(cid:11)(cid:75)c (cid:246)
3n
3n-1
(cid:10)ii(cid:11)(cid:75)å(-1)m×a ×c (cid:145)
m m
m=1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)a =2n,b =3n-1
n n
1 1 32n+1+4n-63n+3
(2)(cid:10)i(cid:11)c = ×3n+n+ (cid:246)(cid:10)ii(cid:11) .
3n 2 2 4
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:44)(cid:62)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:211)(cid:199)(cid:75)(cid:197)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:246)
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:5)(cid:204)a (cid:50)b (cid:45)(cid:38)(cid:97)(cid:98)(cid:53)(cid:208)(cid:101)(cid:327)(cid:101)E (cid:38)(cid:252)(cid:253)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:76)(cid:246)(cid:10)ii(cid:11)(cid:241)(cid:57)(cid:5)(cid:73)(cid:75)(cid:50)(cid:83)(cid:50)(cid:87)(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:83)(cid:75)
n n n
(cid:50)(cid:211)(cid:199).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)b (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q(cid:53)
n n
(cid:256)(cid:192)a =2,b =1,a =b +b ,a =b -b (cid:53)
1 1 2 1 2 4 3 1
ì2+d =1+q ìd =q-1 ìd =2 ìd =-1
(cid:216)(cid:161)í (cid:53)(cid:211)í (cid:53)(cid:76)(cid:197)í (cid:72)í (cid:10)(cid:46)(cid:77)(cid:127)(cid:54)(cid:192)0(cid:53)(cid:312)(cid:300)(cid:11)(cid:53)
î2+3d =q2-1 î3d =q2-3 îq=3 îq=0
(cid:216)(cid:161)a =2n,b =3n-1
n n
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:205)(cid:10)1(cid:11)(cid:64)a (cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:53)b (cid:192)(cid:215)(cid:18)(cid:53)(cid:216)(cid:161)(cid:18)(cid:19)a (cid:50)b (cid:440)(cid:179)(cid:85)(cid:315)(cid:45)(cid:53)
n n n n
(cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:228)(cid:53)(cid:327)(cid:101)E (cid:37)(cid:38)(cid:330)(cid:374)(cid:205)(cid:18)(cid:19)a (cid:50)b (cid:37)(cid:429)(cid:70)(cid:16)(cid:70)n(cid:45)(cid:73)(cid:187)(cid:53)
n n n
3n-1
(cid:429)(cid:70)3n(cid:38)(cid:218)(cid:217)(cid:18)(cid:179) (cid:194)(cid:53)(cid:205)3k-1£3n(cid:197)k £n+1(cid:53)kÎN*(cid:53)
2
3n-1
(cid:216)(cid:161)(cid:18)(cid:19)a (cid:37)(cid:429)(cid:70)(cid:16)(cid:70)3n(cid:38)(cid:45)(cid:179) (cid:194)(cid:53)b (cid:37)(cid:429)(cid:70)(cid:16)(cid:70)3n(cid:38)(cid:45)(cid:179)n+1(cid:194)(cid:53)
n n
2
3n-1 1 1
(cid:216)(cid:161)c = +n+1= ×3n+n+ .
3n 2 2 2
(cid:10)ii(cid:11)(cid:261)3i-1£m<3i(cid:224)(cid:53)b (cid:37)(cid:429)(cid:70)(cid:16)(cid:70)m(cid:38)(cid:45)(cid:179)i(cid:194)(cid:53)
n
m m-1
(cid:213)m(cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:224)(cid:53)a (cid:37)(cid:429)(cid:70)(cid:16)(cid:70)m(cid:38)(cid:45)(cid:179) (cid:194)(cid:53)m(cid:192)(cid:215)(cid:18)(cid:224)(cid:53)a (cid:37)(cid:429)(cid:70)(cid:16)(cid:70)m(cid:38)(cid:45)(cid:179) (cid:194)(cid:53)
n 2 n 2ì m
i+ ,3i-1£m<3i,iÎN*,m(cid:192)(cid:217)(cid:18)
ï
ï 2
(cid:216)(cid:161)c =í (cid:53)
m m-1
ïi+ ,3i-1£m<3i,iÎN*,m(cid:192)(cid:215)(cid:18)
ïî 2
ìï2im+m2,3i-1£m<3i,iÎN*,m(cid:192)(cid:217)(cid:18)
(cid:216)(cid:161)a c =í (cid:53)
m m
ïî
2im+mm-1,3i-1£m<3i,iÎN*,m(cid:192)(cid:215)(cid:18)
(cid:141)a c (cid:295)a c (cid:178)(cid:179)3i -1-  3i-1-1  =2×3i-1(cid:45)(cid:53)
3i-1 3i-1 3i-1 3i-1
(cid:213)m(cid:192)(cid:215)(cid:18)(cid:224)(cid:53)
a c -a c =2im+1+m+12-2im-mm-1=2i+1+3m
m+1 m+1 m m
3i-1
(cid:216)(cid:161) å -1ma c =3i-12i+1+3é3i-1+  3i-1+2  +  3i-1+4  +×××+  3i -2 ù
m m ë û
m=3i-1
3i-1 3i-1+3i -2 
=3i-12i+1+3× =3i-12i-2+6×9i-1(cid:53)
2
3n-1 31-1 32-1 3n-1
(cid:216)(cid:161)å-1ma c = å-1ma c + å-1ma c +×××+ å -1ma c
m m m m m m m m
m=1 m=30 m=31 m=3n-1
=  0×30+6×90 +  2×31+6×91 +  4×32+6×92 +×××+é2n-23n-1+6×9n-1ù
ë û
=é0×30+2×31+4×32+×××+2n-23n-1ù+6  90+91+92+×××+9n-1
ë û
1-9n
=é2×31+4×32+×××+2n-23n-1ù+6×
ë û
1-9
3
=é2×31+4×32+×××+2n-23n-1ù+  9n-1 
ë û
4
(cid:338)S =2×31+4×32+×××+2n-23n-1 (cid:53)
n
①
(cid:200)3S =2×32+4×33+×××+2n-23n (cid:53)
n
②
- (cid:197)-2S =2  31+32+×××+3n-1 -2n-23n
n
① ②
3
 1-3n-1
=2× -2n-23n
1-3
=-2n-33n-3(cid:53)
2n-33n+3
(cid:216)(cid:161)S = (cid:53)
n 23n-1 2n-33n+3 3 32n+1+4n-63n+3
(cid:216)(cid:161)å-1ma c = +  9n-1  =
m m 2 4 4
m=1
5(cid:145)（2025·天津·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:80)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a =b =2,a =b +1,a =b (cid:145)
n n 1 1 2 2 3 3
(1)(cid:75)a (cid:53)b (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:246)
n n
(2)"nÎN*(cid:53)I =0,1(cid:53)(cid:179)T =pab + p a b +...+ p a b + p a b | p,p ,...,p ,p ÎI(cid:53)
n 1 1 1 2 2 2 n-1 n-1 n-1 n n n 1 2 n-1 n
(cid:10)i(cid:11)(cid:75)(cid:378)(cid:230)(cid:259)(cid:299)(cid:228)(cid:335)(cid:18)tÎT (cid:53)(cid:319)(cid:179)t<a b ;
n n+1 n+1
(cid:10)ii(cid:11)(cid:75)T (cid:216)(cid:179)(cid:330)(cid:374)(cid:198)(cid:50)(cid:145)
n
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)a =3n-1,b =2n(cid:246)
n n
(2)(cid:10)i(cid:11)(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:205)(cid:10)1(cid:11)p a b =3n-12np =0(cid:72)p a b =3n-12n >0(cid:53)a b =3n+22n+1(cid:53)
n n n n n n n n+1 n+1
(cid:261)p a b =3n-12n >0(cid:224)(cid:53)
n n n
(cid:207)S = pab + p a b +...+ p a b + p a b =2´2+5´22+...+3n-42n-1+3n-12n(cid:53)
n 1 1 1 2 2 2 n-1 n-1 n-1 n n n
(cid:216)(cid:161)2S =2´22+5´23+...+3n-42n+3n-12n+1(cid:53)
n
(cid:216)(cid:161)-S =4+3´  22+23+...+2n -3n-12n+1 =4+3´
22 1-2n-1
-3n-12n+1 =-8+4-3n2n+1(cid:53)
n
1-2
(cid:216)(cid:161)S =8+3n-42n+1(cid:53)(cid:192)T (cid:37)(cid:38)(cid:291)(cid:292)(cid:330)(cid:374)(cid:53)
n n
(cid:223)(cid:224)a b -S =3n+22n+1-é8+3n-42n+1ù=6×2n+1-8>0(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
n+1 n+1 n ë û
(cid:216)(cid:161)(cid:259)"tÎT (cid:53)(cid:319)(cid:179)t<a b .
n n+1 n+1
(cid:10)ii(cid:11)2n-1×é8+3n-42n+1ù
ë û
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:18)(cid:19)b (cid:46)(cid:77)(cid:192)qq¹0(cid:53)(cid:205)(cid:13)(cid:207)(cid:19)(cid:206)(cid:69)(cid:70)d(cid:50)qq¹0(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:75)(cid:76)(cid:53)
n n
(cid:229)(cid:208)(cid:101)(cid:16)(cid:17)(cid:50)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:76)(cid:246)
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:208)(cid:101)(cid:10)1(cid:11)(cid:75)(cid:206)a b (cid:50)pab + p a b +...+ p a b + p a b (cid:38)(cid:291)(cid:292)(cid:240)(cid:53)(cid:229)(cid:255)(cid:17)(cid:77)(cid:442)(cid:258)(cid:238)
n+1 n+1 1 1 1 2 2 2 n-1 n-1 n-1 n n n
(cid:292)(cid:429)(cid:211)(cid:199)(cid:378)(cid:441)(cid:246)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:95)(cid:96)p,p ,...,p ,p (cid:37)(cid:20)(cid:192)1(cid:24)(cid:22)(cid:194)(cid:192)0(cid:119)(cid:317)(cid:192)1(cid:24)2(cid:194)(cid:192)0(cid:119)(cid:317)(cid:192)(cid:24)…(cid:24)(cid:20)(cid:192)0(cid:443)(cid:194)(cid:9)(cid:437)(cid:189)T
1 2 n-1 n n
(cid:37)(cid:38)(cid:216)(cid:179)(cid:330)(cid:374)(cid:5)(cid:110)(cid:19)(cid:53)(cid:74)(cid:75)(cid:206)(cid:318)(cid:110)(cid:19)(cid:37)(cid:330)(cid:374)(cid:38)(cid:50)(cid:53)(cid:291)(cid:286)(cid:189)(cid:216)(cid:179)(cid:110)(cid:19)(cid:216)(cid:197)(cid:38)(cid:50)(cid:112)(cid:350)(cid:233)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:76)(cid:246)(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:95)(cid:96)T (cid:330)(cid:374)(cid:38)(cid:97)(cid:98)(cid:197)(cid:295)T (cid:37)(cid:38)(cid:216)(cid:179)(cid:330)(cid:374)(cid:38)(cid:50)(cid:37)(cid:318)(cid:45)ab iÎ1,2,...,n (cid:206)(cid:418)(cid:38)(cid:324)(cid:18)(cid:319)(cid:192)2n-1(cid:324)(cid:211)(cid:199)(cid:75)
n n i i
(cid:76).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:18)(cid:19)b (cid:46)(cid:77)(cid:192)qq¹0(cid:53)
n n
ì2+d =2q+1 ìd =3
(cid:200)(cid:205)(cid:13)(cid:197)í Þí (cid:53)
î2+2d =2q2 îq=2
(cid:216)(cid:161)a =2+3n-1=3n-1,b =2´2n-1 =2n(cid:246)
n n
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:444)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:205)(cid:10)i(cid:11)(cid:197)(cid:259)(cid:299)(cid:228)(cid:335)(cid:18)tÎT (cid:53)(cid:319)(cid:179)t<a b (cid:53)
n n+1 n+1
(cid:216)(cid:161)pab + p a b +...+ p a b <a b (cid:53)
1 1 1 2 2 2 n-1 n-1 n-1 n n
pab + p a b +...+ p a b < pab + p a b +...+ p a b +a b (cid:53)
1 1 1 2 2 2 n-1 n-1 n-1 1 1 1 2 2 2 n-1 n-1 n-1 n n
(cid:216)(cid:161)pab + p a b +...+ p a b + p a b (cid:225)(cid:240)(cid:445)(cid:412)p p ÎI,1£i£n(cid:38)(cid:225)(cid:240)(cid:127)(cid:315)(cid:318)(cid:127)(cid:85)(cid:315)(cid:53)
1 1 1 2 2 2 n-1 n-1 n-1 n n n i i
(cid:213)S =8+3n-42n+1(cid:192)T (cid:37)(cid:38)(cid:291)(cid:292)(cid:330)(cid:374)(cid:53)
n n
(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:197)T (cid:37)(cid:38)(cid:216)(cid:179)(cid:330)(cid:374)(cid:205)(cid:161)(cid:185)(cid:110)(cid:19)(cid:37)(cid:216)(cid:179)(cid:330)(cid:374)(cid:73)(cid:187)(cid:230)
n
(cid:261)p,p ,...,p ,p (cid:319)(cid:192)1(cid:224)(cid:230)(cid:223)(cid:224)(cid:176)(cid:110)(cid:19)(cid:330)(cid:374)(cid:339)(cid:179)S =8+3n-42n+1(cid:211)C0(cid:194)(cid:246)
1 2 n-1 n n n
(cid:261)p,p ,...,p ,p (cid:37)(cid:339)(cid:179)(cid:22)(cid:194)(cid:192)0(cid:53)(cid:119)(cid:317)(cid:319)(cid:192)1(cid:224)(cid:230)
1 2 n-1 n
(cid:223)(cid:224)(cid:176)(cid:110)(cid:19)(cid:38)(cid:330)(cid:374)(cid:179)S -ab,S -a b ,S -ab ,...,S -a b (cid:178)(cid:179)C1(cid:194)(cid:53)
n 1 1 n 2 2 n 3 3 n n n n
(cid:200)(cid:126)n(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:38)(cid:50)(cid:192)C1S -ab +a b +...+a b =  C1 -C0 S (cid:246)
n n 1 1 2 2 n n n n n
(cid:261)p,p ,...,p ,p (cid:37)(cid:339)(cid:179)2(cid:194)(cid:192)0(cid:53)(cid:119)(cid:317)(cid:319)(cid:192)1(cid:224)(cid:230)
1 2 n-1 n
(cid:223)(cid:224)(cid:176)(cid:110)(cid:19)(cid:38)(cid:330)(cid:374)(cid:192)S -ab -a b i, jÎ1,2,...,n,i¹ j (cid:178)(cid:179)C2(cid:194)(cid:53)
n i i j j n
(cid:200)(cid:126)n(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:38)(cid:50)(cid:192)C2S -C1 ab +a b +...+a b =  C2-C1  S (cid:246)
n n n-1 1 1 2 2 n n n n-1 n
(cid:261)p,p ,...,p ,p (cid:37)(cid:179)3(cid:194)(cid:192)0(cid:53)(cid:119)(cid:317)(cid:319)(cid:192)1(cid:224)(cid:230)(cid:223)(cid:224)(cid:176)(cid:110)(cid:19)(cid:38)(cid:330)(cid:374)(cid:192)
1 2 n-1 n
S -ab -a b -a b i, j,kÎ1,2,...,n,i¹ j¹k (cid:178)(cid:179)C3(cid:194)(cid:53)
n i i j j k k n
(cid:200)(cid:126)n(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:38)(cid:50)(cid:192)C3S -C2 ab +a b +...+a b =  C3 -C2  S (cid:246)
n n n-1 1 1 2 2 n n n n-1 n…
(cid:261)p,p ,...,p ,p (cid:37)(cid:179)n-1(cid:194)(cid:192)0(cid:53)1(cid:194)(cid:192)1(cid:224)(cid:230)(cid:223)(cid:224)(cid:176)(cid:110)(cid:19)(cid:38)(cid:330)(cid:374)(cid:192)ab,a b ,...,a b (cid:178)(cid:179)Cn-1(cid:194)(cid:53)
1 2 n-1 n 1 1 2 2 n n n
(cid:200)(cid:126)n(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:38)(cid:50)(cid:192)Cn-1S -Cn-2ab +a b +...+a b =  Cn-1-Cn-2 S (cid:246)
n n n-1 1 1 2 2 n n n n-1 n
(cid:261)p,p ,...,p ,p (cid:319)(cid:192)0(cid:224)(cid:230)(cid:223)(cid:224)(cid:176)(cid:110)(cid:19)(cid:38)(cid:330)(cid:374)(cid:192)0=  Cn-Cn-1 S (cid:211)Cn =1(cid:194)(cid:53)
1 2 n-1 n n n-1 n n
(cid:105)(cid:28)(cid:216)(cid:334)(cid:53)T (cid:37)(cid:38)(cid:216)(cid:179)(cid:330)(cid:374)(cid:198)(cid:50)(cid:192)
n
S +  C1 -1  S +  C2-C1  S +  C3 -C2  S +...+  Cn-1-Cn-2 S +0
n n n n n-1 n n n-1 n n n-1 n
=é C0 +C1 +...+Cn-1+Cn -  C0 +C1 +...+Cn-2+Cn-1ùS
ë n n n n n-1 n-1 n-1 n-1 û n
=  2n-2n-1 S =2n-1S =2n-1×é8+3n-42n+1ù(cid:246)
n n ë û
(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:205)(cid:10)i(cid:11)(cid:197)S =8+3n-42n+1(cid:53)(cid:192)T (cid:37)(cid:38)(cid:291)(cid:292)(cid:330)(cid:374)(cid:53)
n n
(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:197)
T =  S ,S -ab,S -ab -a b ,S -ab -a b -a b ,...,ab +a b ,ab,0  ,i, j,kÎ1,2,...,n,i¹ j¹k (cid:53)
n n n i i n i i j j n i i j j k k i i j j i i
(cid:216)(cid:161)T (cid:38)(cid:216)(cid:179)(cid:38)(cid:330)(cid:374)(cid:38)(cid:50)(cid:37)(cid:318)(cid:45)ab iÎ1,2,...,n (cid:206)(cid:418)(cid:38)(cid:324)(cid:18)(cid:319)(cid:192)C0 +C1 +...+Cn-2+Cn-1 =2n-1(cid:324)(cid:53)
n i i n-1 n-1 n-1 n-1
(cid:216)(cid:161)T (cid:37)(cid:38)(cid:216)(cid:179)(cid:330)(cid:374)(cid:198)(cid:50)(cid:192)2n-1ab +a b +...+a b =2n-1S =2n-1×é8+3n-42n+1ù.
n 1 1 2 2 n n n ë û
a a 1
6(cid:145)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:37)(cid:53)a =3(cid:53) n+1 = n + .
n 1 n n+1 n(n+1)
(1)(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:18)(cid:19)na (cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:246)
n
(2)(cid:373)(cid:252)(cid:218)(cid:142)(cid:18)m(cid:53)(cid:207)(cid:320)(cid:18) f(x)=ax+a x2+L +a xm(cid:53)(cid:75) f¢(-2)(cid:145)
1 2 m
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:378)(cid:441)(cid:446)(cid:185)(cid:53)nÎN*(cid:53)
a a 1
(cid:305)(cid:18)(cid:19)a (cid:37)(cid:53)a =3(cid:53) n+1 = n + (cid:53)
n 1 n n+1 nn+1
n+1a =na +1(cid:53)(cid:211)n+1a -na =1(cid:53)
n+1 n n+1 n
∴
na (cid:80)(cid:161)a =3(cid:192)(cid:71)(cid:45)(cid:53)1(cid:192)(cid:46)(cid:17)(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19).
n 1
∴
7
3m+7-2m
(2) f¢-2= -
9 9
a a 1
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:231)(cid:216)(cid:373)(cid:65)(cid:66) n+1 = n + (cid:171)(cid:314)(cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:378)(cid:441)(cid:208)(cid:359)(cid:246)
n n+1 nn+1(cid:10)2(cid:11)(cid:313)(cid:75)(cid:206)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:53)(cid:264)(cid:287)(cid:320)(cid:18)(cid:74)(cid:75)(cid:447)(cid:53)(cid:320)(cid:18)(cid:258)(cid:336)(cid:315)(cid:113)(cid:161)x(cid:53)(cid:255)(cid:17)(cid:74)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:197)(cid:206)(cid:447)
n
(cid:320)(cid:18)(cid:448)(cid:449)(cid:47)(cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:206)(cid:208)(cid:359).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:444)
(cid:10)2(cid:11)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:48)(cid:10)1(cid:11)(cid:197)(cid:53)nÎN*(cid:53)
(cid:305)(cid:18)(cid:19)na (cid:37)(cid:53)(cid:71)(cid:45)(cid:192)3(cid:53)(cid:46)(cid:17)(cid:192)1(cid:53)
n
2
na =3+1´n-1(cid:53)(cid:211)a =1+ (cid:53)
n n n
∴
(cid:305) f x=a x+a x2+L+a xm(cid:37)(cid:53)
1 2 m
æ 2 ö
f x=3x+2x2+L+ç1+ ÷xm(cid:53) f¢x=3+4x+L+m+2xm-1
è mø
ïìf¢x=3+4x+L+m+2xm-1
í (cid:53)
îïxf¢x=3x+4x2+L+m+2xm
∴
(cid:261)x¹1(cid:193)x¹0(cid:224)(cid:53)
x
 1-xm-1
1-x f¢x=3+x+x2+L+xm-1-m+2xm =3+ -m+2xm(cid:53)
1-x
∴
3 x  1-xm-1 m+2xm
f¢x= + -
1-x 1-x2 1-x
∴
f¢-2= 3 +
-2é
ë
1--2m-1ù
û -
m+2-2m
1--2 é1--2ù 2 1--2
ë û
∴
-2é
ë
1--2m-1ù
û
m+2-2m
=1+ -
9 3
2
-2m m+2-2m
=1- - -
9 9 3
7
3m+7-2m
= - .
9 9
7(cid:145)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:193)2S =3a -3.
n n n n+1
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:246)
n
(2)(cid:75)(cid:18)(cid:19)S (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50).
næ5ö n-1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)a =ç ÷
n è3ø
15 æ5ö n 3 15
(2) ×ç ÷ - n-
4 è3ø 2 4
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:241)(cid:57)(cid:450)(cid:88)(cid:83)(cid:199)(cid:75)(cid:46)(cid:77)(cid:53)(cid:229)(cid:75)(cid:206)(cid:71)(cid:45)(cid:286)(cid:199)(cid:75)(cid:44)(cid:45)(cid:246)
(cid:10)2(cid:11)(cid:241)(cid:57)(cid:5)(cid:73)(cid:75)(cid:50)(cid:83)(cid:211)(cid:199)(cid:75)S .
n
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:256)(cid:192)2S =3a -3,(cid:219)2S =3a -3(cid:53)
n n+1 n-1 n
5
(cid:216)(cid:161)2a =3a -3a n³2(cid:211)5a =3a (cid:219)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q= (cid:53)
n n+1 n n n+1 3
5 æ5ö n-1
(cid:219)2a 1 =3a 2 -3=3a 1 ´ 3 -3=5a 1 -3(cid:53)(cid:219)a 1 =1(cid:53)(cid:219)a n =ç è3 ÷ ø .
é æ5ö nù
1´ê1-ç ÷ ú
(cid:10)2(cid:11)(cid:205)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:75)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:197) êë è3ø úû 3æ5ö n 3(cid:53)
S = = ç ÷ -
n 5 2è3ø 2
1-
3
(cid:216)(cid:161)(cid:18)(cid:19)S (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)
n
3é æ5ö æ5ö 2 æ5ö 3 æ5ö nù 3
T =S +S +S +×××+S = êç ÷+ç ÷ +ç ÷ +×××+ç ÷ ú- n
n 1 2 3 n 2êë è3ø è3ø è3ø è3ø úû 2
æ5ö é æ5ö nù
ç ÷ê1-ç ÷ ú
=
3
×
è3øêë è3ø úû
-
3
n=
15
×
æ
ç
5ö
÷
n
-
3
n-
15
.
2 æ5ö 2 4 è3ø 2 4
1-ç ÷
è3ø
8(cid:145)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:63)(cid:64)4S =3a +4(cid:145)
n n n n
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:246)
n
(2)(cid:207)b =(-1)n-1na (cid:53)(cid:75)(cid:18)(cid:19)b (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)T (cid:145)
n n n n
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)a =4×(-3)n-1
n
(2)T =(2n-1)×3n+1
n
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:241)(cid:57)(cid:450)(cid:88)(cid:83)(cid:199)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:145)
n
(cid:10)2(cid:11)(cid:241)(cid:57)(cid:87)(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:83)(cid:199)(cid:75)T .
n(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)4S =4a =3a +4(cid:53)(cid:76)(cid:197)a =4(cid:145)
1 1 1 1
(cid:261)n³2(cid:224)(cid:53)4S =3a +4(cid:53)(cid:216)(cid:161)4S -4S =4a =3a -3a (cid:211)a =-3a (cid:53)
n-1 n-1 n n-1 n n n-1 n n-1
a
(cid:184)a =4¹0(cid:53)(cid:219)a ¹0(cid:53)(cid:219) n =-3(cid:53)
1 n a
n-1
(cid:18)(cid:19)a (cid:80)(cid:161)4(cid:192)(cid:71)(cid:45)(cid:53)-3(cid:192)(cid:46)(cid:77)(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
n
∴
(cid:216)(cid:161)a =4×-3n-1 .
n
(cid:10)2(cid:11)b =(-1)n-1×n×4×(-3)n-1 =4n×3n-1,
n
(cid:216)(cid:161)T
n
=b
1
+b
2
+b
3
+L+b
n
=4×30+8×31+12×32+L+4n×3n-1
(cid:219)3T =4×31+8×32+12×33+L+4n×3n
n
(cid:216)(cid:161)-2T =4+4×31+4×32+L+4×3n-1-4n×3n
n
=4+4× 3
 1-3n-1
-4n×3n =4+2×3×  3n-1-1  -4n×3n
1-3
=(2-4n)×3n-2(cid:53)
\T =(2n-1)×3n+1.
n
9(cid:145)（2024·天津·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:192)(cid:46)(cid:77)(cid:292)(cid:70)0(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:193)a =1,S =a -1(cid:145)
n n 1 2 3
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)S (cid:246)
n n
ìk,n=a
(2)(cid:207)(cid:18)(cid:19)b (cid:226)(cid:227)b =í k (cid:53)(cid:119)(cid:37)kÎN*(cid:145)
n n îb +2k,a <n<a
n-1 k k+1
(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:261)n=a  kÎN*,(cid:193)k >1  (cid:224)(cid:53)(cid:75)(cid:378)(cid:230)b ³a ×b (cid:246)
k+1 n-1 k n
Sn
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:75)åb (cid:145)
i
i=1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)a =2n-1,S =2n-1
n n
Sn 3n-14n+1
(2) (cid:378)(cid:441)(cid:125)(cid:212)(cid:76)(cid:246) åb =
i 9
i=1
① ②
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q>0(cid:53)(cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:228)(cid:208)(cid:101)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:75)q(cid:53)(cid:229)(cid:208)(cid:101)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:75)(cid:50)
n
(cid:46)(cid:47)(cid:5)(cid:204)(cid:75)(cid:76)(cid:246)(cid:10)2(cid:11) (cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:228)(cid:5)(cid:204)(cid:199)(cid:64)a =2k-1,b =k+1(cid:53)b =k  2k -1  (cid:53)(cid:241)(cid:57)(cid:255)(cid:17)(cid:83)(cid:5)(cid:204)(cid:378)(cid:441)(cid:246) (cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:228)(cid:208)(cid:101)(cid:16)
k n n-1
① i=2k-1 1 ②
(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:75)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:199)(cid:197) å b = é3k-14k -3k-44k-1ù(cid:53)(cid:229)(cid:208)(cid:101)(cid:84)(cid:45)(cid:85)(cid:86)(cid:83)(cid:5)(cid:204)(cid:75)(cid:76).
2k-1 i 9 ë û
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q>0(cid:53)
n
(cid:256)(cid:192)a =1,S =a -1(cid:53)(cid:211)a +a =a -1(cid:53)
1 2 3 1 2 3
(cid:199)(cid:197)1+q=q2-1(cid:53)(cid:142)(cid:235)(cid:197)q2-q-2=0(cid:53)(cid:76)(cid:197)q= 2(cid:72)q=-1(cid:10)(cid:312)(cid:300)(cid:11)(cid:53)
1-2n
(cid:216)(cid:161)a =2n-1,S = =2n-1.
n n 1-2
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:205)(cid:10)1(cid:11)(cid:199)(cid:64)a =2n-1(cid:53)(cid:193)kÎN*,k ³2(cid:53)
n
ìa =2k-1<2k -1=n-1
(cid:261)n=a =2k ³4(cid:224)(cid:53)(cid:200)í k (cid:53)(cid:211)a <n-1<a
k+1 în-1=a -1<a k k+1
k+1 k+1
(cid:199)(cid:64)a =2k-1,b =k+1(cid:53)
k n
b =b +a -a -1×2k =k+2k  2k-1-1  =k  2k -1  (cid:53)
n-1 ak k+1 k
(cid:199)(cid:197)b -a ×b =k  2k -1  -k+12k-1 =k-12k-1-k ³2k-1-k =k-2³0(cid:53)
n-1 k n
(cid:261)(cid:193)(cid:128)(cid:261)k =2(cid:224)(cid:53)(cid:16)(cid:376)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
(cid:216)(cid:161)b ³a ×b (cid:246)
n-1 k n
(cid:10)ii(cid:11)(cid:205)(cid:10)1(cid:11)(cid:199)(cid:64)(cid:230)S =2n-1=a -1(cid:53)
n n+1
(cid:220)n=1(cid:53)(cid:200)S =1,b =1(cid:246)
1 1
(cid:220)n³2(cid:53)(cid:200)a -a =2k-1(cid:53)
k+1 k
(cid:261)2k-1<i£2k -1(cid:224)(cid:53)b -b =2k(cid:53)(cid:199)(cid:64)b(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
i i-1 i
i=2k-1 2k-1 2k-1-1  1
(cid:199)(cid:197) å b =k×2k-1+2k =k×4k-1 = é3k-14k -3k-44k-1ù(cid:53)
2k-1 i 2 9 ë û
i=1 1 3n-14n+1
(cid:216)(cid:161)åb =1+ é5´42-2´4+8´43-5´42+×××+3n-14n-3n-44n-1ù= (cid:53)
Sn i 9 ë û 9
i=1
3n-14n+1
(cid:193)n=1(cid:53)(cid:289)(cid:101)(cid:28)(cid:47)(cid:53)(cid:105)(cid:28)(cid:216)(cid:334)(cid:230)åb = .
Sn i 9
(cid:201)(cid:4)(cid:342)(cid:203)(cid:69)(cid:344)(cid:4)(cid:4)(cid:342)(cid:230)1.(cid:5)(cid:204)(cid:199)(cid:64)(cid:261)2k-1<i£2k -1(cid:224)(cid:53)b -b =2k(cid:53)(cid:199)(cid:64)b(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:246)
i i-1 ii=2k-1 1
2.(cid:95)(cid:96)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:75)(cid:50)(cid:5)(cid:204)(cid:199)(cid:197) å b = é3k-14k -3k-44k-1ù.
2k-1 i 9 ë û
10(cid:145)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:207)S (cid:192)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:63)(cid:64)a =1,2S =na (cid:145)
n n 2 n n
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:246)
n
ìa ü
(2)(cid:75)(cid:18)(cid:19)í n+1ý(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)T (cid:145)
î 2n þ n
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)a =n-1
n
æ1ö n
(2)T =2-2+n
ç ÷
n è2ø
ìS ,n=1
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:95)(cid:96)a =í 1 (cid:211)(cid:199)(cid:75)(cid:206)(cid:246)
n îS -S ,n³2
n n-1
(cid:10)2(cid:11)(cid:95)(cid:96)(cid:87)(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:83)(cid:211)(cid:199)(cid:76)(cid:206)(cid:145)
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:256)(cid:192)2S =na (cid:53)
n n
(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)2a =a (cid:53)(cid:211)a =0(cid:246)
1 1 1
(cid:261)n=3(cid:224)(cid:53)21+a =3a (cid:53)(cid:211)a =2(cid:53)
3 3 3
(cid:261)n³2(cid:224)(cid:53)2S =n-1a (cid:53)(cid:216)(cid:161)2S -S =na -n-1a =2a (cid:53)
n-1 n-1 n n-1 n n-1 n
a a a
(cid:171)(cid:314)(cid:197)(cid:230)n-2a =n-1a (cid:53)(cid:261)n³3(cid:224)(cid:53) n = n-1 =L= 3 =1(cid:53)(cid:211)a =n-1(cid:53)
n n-1 n-1 n-2 2 n
(cid:261)n=1,2(cid:224)(cid:214)(cid:226)(cid:227)(cid:28)(cid:47)(cid:53)(cid:216)(cid:161)a =n-1
 nÎN*
(cid:145)
n
a n æ1ö 1 æ1ö 2 æ1ö 3 æ1ö n
(cid:10)2(cid:11)(cid:256)(cid:192) n+1 = (cid:53)(cid:216)(cid:161)T =1´ç ÷ +2´ç ÷ +3´ç ÷ +L+n´ç ÷ (cid:53)
2n 2n n è2ø è2ø è2ø è2ø
1 æ1ö 2 æ1ö 3 æ1ö n æ1ö n+1
T =1´ç ÷ +2´ç ÷ +L+(n-1)´ç ÷ +n´ç ÷ (cid:53)
2 n è2ø è2ø è2ø è2ø
(cid:258)(cid:47)(cid:85)(cid:89)(cid:197)(cid:53)
1 é æ1ö nù
´ê1-ç ÷ ú
1 æ1ö 1 æ1ö 2 æ1ö 3 æ1ö n æ1ö n+1 2 êë è2ø úû æ1ö n+1 (cid:53)
T =ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ +L+ç ÷ -n´ç ÷ = -n´ç ÷
2 n è2ø è2ø è2ø è2ø è2ø 1 è2ø
1-
2
æ nöæ1ö n æ1ö n
=1-ç1+ ÷ç ÷ (cid:53)(cid:211)T =2-2+n ç ÷ (cid:53)nÎN*(cid:145)
è 2øè2ø n è2øìa -6,n(cid:192)(cid:215)(cid:18)
11(cid:145)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b =í n (cid:53)(cid:191)S (cid:53)T (cid:5)(cid:282)(cid:192)(cid:18)(cid:19)
n n î2a ,n(cid:192)(cid:217)(cid:18) n n
n
a (cid:53)b (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)S =32(cid:53)T =16(cid:145)
n n 4 3
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:246)
n
(2)(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:261)n>5(cid:224)(cid:53)T >S (cid:145)
n n
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)a =2n+3(cid:246)
n
(2)(cid:125)(cid:76)(cid:204)
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:57)a,d(cid:448)(cid:281)S (cid:48)T (cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:75)(cid:76)(cid:255)(cid:81).
n 1 n n
(cid:10)2(cid:11)(cid:58)(cid:83)1(cid:53)(cid:241)(cid:57)(cid:10)1(cid:11)(cid:38)(cid:208)(cid:359)(cid:75)(cid:206)S (cid:53)b (cid:53)(cid:229)(cid:5)(cid:215)(cid:217)(cid:208)(cid:101)(cid:5)(cid:73)(cid:75)(cid:50)(cid:83)(cid:75)(cid:206)T (cid:53)(cid:74)(cid:109)S (cid:255)(cid:17)(cid:77)(cid:442)(cid:255)(cid:81)(cid:246)(cid:58)
n n n n
(cid:83)2(cid:53)(cid:241)(cid:57)(cid:10)1(cid:11)(cid:38)(cid:208)(cid:359)(cid:75)(cid:206)S (cid:53)b (cid:53)(cid:229)(cid:5)(cid:215)(cid:217)(cid:331)(cid:332)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:75)(cid:206)T (cid:53)(cid:74)(cid:109)S (cid:255)(cid:17)(cid:77)(cid:442)(cid:255)(cid:81).
n n n n
ìa -6,n=2k-1
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:184)b =í n ,kÎN*(cid:53)
n n î2a ,n=2k
n
(cid:200)b =a -6,b =2a =2a +2d,b =a -6=a +2d-6(cid:53)
1 1 2 2 1 3 3 1
ìS =4a +6d =32
(cid:70)(cid:80)í 4 1 (cid:53)(cid:76)(cid:197)a =5,d =2(cid:53)a =a +(n-1)d =2n+3(cid:53)
îT =4a +4d-12=16 1 n 1
3 1
(cid:216)(cid:161)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:80)a =2n+3.
n n
n(5+2n+3) ì2n-3,n=2k-1
(cid:10)2(cid:11)(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:58)(cid:83)1(cid:230)(cid:205)(cid:10)1(cid:11)(cid:64)(cid:53)S = =n2+4n(cid:53)b =í ,kÎN*(cid:53)
n 2 n î4n+6,n=2k
(cid:261)n(cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:224)(cid:53)b +b =2(n-1)-3+4n+6=6n+1(cid:53)
n-1 n
13+(6n+1) n 3 7
T = × = n2+ n(cid:53)
n 2 2 2 2
(cid:261)n>5(cid:224)(cid:53)T -S = æ ç 3 n2+ 7 n ö ÷-  n2+4n  = 1 n(n-1)>0(cid:53)(cid:256)(cid:223)T >S (cid:53)
n n è2 2 ø 2 n n
3 7 3 5
(cid:261)n(cid:192)(cid:215)(cid:18)(cid:224)(cid:53)T =T -b = (n+1)2+ (n+1)-[4(n+1)+6]= n2+ n-5(cid:53)
n n+1 n+1 2 2 2 2
(cid:261)n>5(cid:224)(cid:53)T -S = æ ç 3 n2+ 5 n-5 ö ÷-  n2+4n  = 1 (n+2)(n-5)>0(cid:53)(cid:256)(cid:223)T >S (cid:53)
n n è2 2 ø 2 n n
(cid:216)(cid:161)(cid:261)n>5(cid:224)(cid:53)T >S .
n nn(5+2n+3) ì2n-3,n=2k-1
(cid:58)(cid:83)2(cid:230)(cid:205)(cid:10)1(cid:11)(cid:64)(cid:53)S = =n2+4n(cid:53)b =í ,kÎN*(cid:53)
n 2 n î4n+6,n=2k
-1+2(n-1)-3 n 14+4n+6 n 3 7
(cid:261)n(cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:224)(cid:53)T =b +b +L+b +b +b +L+b = × + × = n2+ n(cid:53)
n 1 3 n-1 2 4 n 2 2 2 2 2 2
(cid:261)n>5(cid:224)(cid:53)T -S = æ ç 3 n2+ 7 n ö ÷-  n2+4n  = 1 n(n-1)>0(cid:53)(cid:256)(cid:223)T >S (cid:53)
n n è2 2 ø 2 n n
-1+2n-3 n+1 14+4(n-1)+6 n-1
(cid:261)n(cid:192)(cid:215)(cid:18)(cid:224)(cid:53)T =b +b +L+b +b +b +L+b = × + ×
n 1 3 n 2 4 n-1 2 2 2 2
3 5 3 5
= n2+ n-5(cid:53)(cid:364)(cid:365)T =b =-1(cid:226)(cid:227)(cid:28)(cid:47)(cid:53)(cid:256)(cid:223)(cid:261)n(cid:192)(cid:215)(cid:18)(cid:224)(cid:53)T = n2+ n-5(cid:53)
2 2 1 1 n 2 2
(cid:261)n>5(cid:224)(cid:53)T -S = æ ç 3 n2+ 5 n-5 ö ÷-  n2+4n  = 1 (n+2)(n-5)>0(cid:53)(cid:256)(cid:223)T >S (cid:53)
n n è2 2 ø 2 n n
(cid:216)(cid:161)(cid:261)n>5(cid:224)(cid:53)T >S .
n n
12(cid:145)（2022·天津·高考真题）(cid:207)a (cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:80)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)a =b =a -b =a -b =1(cid:145)
n n 1 1 2 2 3 3
(1)(cid:75)a (cid:109)b (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:246)
n n
(2)(cid:207)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:75)(cid:378)(cid:230)S +a b =S b -S b (cid:246)
n n n+1 n+1 n n+1 n+1 n n
2n
(3)(cid:75)åé
ë
a
k+1
-(-1)ka
k
ù
û
b
k
(cid:145)
k=1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)a =2n-1,b =2n-1
n n
(2)(cid:378)(cid:441)(cid:125)(cid:76)(cid:204)
(6n-2)4n+1+8
(3)
9
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:237)(cid:188)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:56)(cid:43)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:76)(cid:246)
(cid:10)2(cid:11)(cid:205)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:48)(cid:44)(cid:45)(cid:109)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:38)(cid:69)(cid:110)(cid:208)(cid:101)(cid:5)(cid:204)(cid:83)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:378)(cid:246)
n
(cid:10)3(cid:11)(cid:313)(cid:75)(cid:197)é
ë
a
2k
-(-1)2k-1a
2k-1
ù
û
b
2k-1
+é
ë
a
2k+1
-(-1)2ka
2k
ù
û
b
2k
(cid:53)(cid:237)(cid:184)(cid:205)(cid:74)(cid:45)(cid:75)(cid:50)(cid:199)(cid:197)T
n
=åk×4k+1(cid:53)(cid:229)(cid:208)(cid:101)(cid:87)
k=1
(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:83)(cid:199)(cid:197)(cid:76).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)a (cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)b (cid:46)(cid:77)(cid:192)q(cid:53)(cid:200)a =1+(n-1)d,b =qn-1(cid:53)
n n n n
ì 1+d-q=1
(cid:205)a -b =a -b =1(cid:199)(cid:197)í Þd =q=2(cid:10)d =q=0(cid:312)(cid:300)(cid:11)(cid:53)
2 2 3 3 î1+2d-q2 =1
(cid:216)(cid:161)a =2n-1,b =2n-1(cid:246)
n n(cid:10)2(cid:11)(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:256)(cid:192)b =2b ¹0,(cid:216)(cid:161)(cid:92)(cid:378)(S +a )b =S b -S b (cid:53)
n+1 n n+1 n+1 n n+1 n+1 n n
(cid:211)(cid:378)(S +a )b =S ×2b -S b (cid:53)(cid:211)(cid:378)S +a =2S -S (cid:53)
n+1 n+1 n n+1 n n n n+1 n+1 n+1 n
(cid:211)(cid:378)a =S -S (cid:53)
n+1 n+1 n
(cid:184)a =S -S (cid:364)(cid:365)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:216)(cid:161)(S +a )b =S ×b -S ×b (cid:246)
n+1 n+1 n n+1 n+1 n n+1 n+1 n n
(cid:10)3(cid:11)(cid:256)(cid:192)é
ë
a
2k
-(-1)2k-1a
2k-1
ù
û
b
2k-1
+é
ë
a
2k+1
-(-1)2ka
2k
ù
û
b
2k
=(4k-1+4k-3)´22k-2+[4k+1-(4k-1)]´22k-1 =2k×4k(cid:53)
2n n
(cid:216)(cid:161)åéa -(-1)ka ùb =å[(a -(-1)2k-1a )b +(a -(-1)2ka )b ]
ë k+1 kû k 2k 2k-1 2k-1 2k+1 2k 2k
k=1 k=1
n
=å2k×4k (cid:53)
k=1
n
(cid:207)T =å2k×4k
n
k=1
(cid:216)(cid:161)T =2´4+4´42+6´43+×××+2n´4n(cid:53)
n
(cid:200)4T =2´42+4´43+6´44+×××+2n´4n+1(cid:53)
n
2´4(1-4n)
(cid:255)(cid:17)(cid:197)-3T =2  4+42+43+44+×××+4n -2n×4n+1 = -2n´4n+1
n 1-4
2-6n4n+1-8
= (cid:53)
3
(6n-2)4n+1+8
(cid:216)(cid:161)T = (cid:53)
n 9
2n (6n-2)4n+1+8
(cid:216)(cid:161)åé ë a k+1 -(-1)ka k ù û b k = .
9
k=1
ìS ü 1
13(cid:145)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:63)(cid:64)a =1,í ný(cid:80)(cid:46)(cid:17)(cid:192) (cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)
n n 1 îa þ 3
n
(cid:19)(cid:145)
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:246)
n
1 1 1
(2)(cid:378)(cid:441)(cid:230) + +L+ <2(cid:145)
a a a
1 2 n
nn+1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)a =
n 2
(2)(cid:125)(cid:76)(cid:204)
S 1 n+2 n+2a
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:75)(cid:197) n =1+ n-1= (cid:53)(cid:197)(cid:295)S = n (cid:53)(cid:241)(cid:57)(cid:50)(cid:109)(cid:45)(cid:38)(cid:69)
a 3 3 n 3
nn+2a n+1a a n+1
(cid:110)(cid:197)(cid:295)(cid:261)n³2(cid:224)(cid:53)a =S -S = n - n-1 ,(cid:237)(cid:184)(cid:197)(cid:230) n = (cid:53)(cid:241)(cid:57)(cid:111)(cid:113)(cid:83)(cid:75)(cid:197)
n n n-1 3 3 a n-1
n-1
nn+1 nn+1
a = (cid:53)(cid:438)(cid:439)(cid:259)(cid:70)n=1(cid:251)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:197)(cid:295)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)a = (cid:246)
n 2 n n 2
1 1 1 æ 1 ö
(cid:10)2(cid:11)(cid:205)(cid:10)1(cid:11)(cid:38)(cid:208)(cid:359)(cid:53)(cid:241)(cid:57)(cid:84)(cid:45)(cid:75)(cid:50)(cid:83)(cid:197)(cid:295) + +L+ =2ç1- ÷(cid:53)(cid:237)(cid:184)(cid:378)(cid:197).
a a a è n+1ø
1 2 n
S
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11) a =1 (cid:53) S =a =1, 1 =1,
1 1 1 a
1
∵ ∴ ∴
ìS ü 1
(cid:213) í ný(cid:80)(cid:46)(cid:17)(cid:192) (cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
îa þ 3
n
∵
S 1 n+2 n+2a
n =1+ n-1= , S = n ,
a 3 3 n 3
n
∴ n+1∴a
(cid:261)n³2(cid:224)(cid:53)S = n-1 (cid:53)
n-1 3
∴ n+2a n+1a
a =S -S = n - n-1 ,
n n n-1 3 3
∴
(cid:142)(cid:235)(cid:197)(cid:230)n-1a =n+1a
,
n n-1
a n+1
(cid:211) n = ,
a n-1
n-1
a a a a
a =a ´ 2 ´ 3 ´¼´ n-1 ´ n
n 1 a a a a
1 2 n-2 n-1
∴ 3 4 n n+1 nn+1
=1´ ´ ´¼´ ´ = (cid:53)
1 2 n-2 n-1 2
(cid:364)(cid:365)(cid:259)(cid:70)n=1(cid:251)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
nn+1
a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)a = (cid:246)
n n 2
∴
1 2 æ1 1 ö
(cid:10)2(cid:11)(cid:378)(cid:441)(cid:230) = =2ç - ÷,
a nn+1 èn n+1ø
n
1 1 1 éæ 1ö æ1 1ö æ1 1 öù æ 1 ö
+ +L+ =2 êç1- ÷+ç - ÷+Lç - ÷ú =2ç1- ÷<2
a a a ëè 2ø è2 3ø èn n+1øû è n+1ø
1 2 n
∴
2S
14(cid:145)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:145)(cid:63)(cid:64) n +n=2a +1(cid:145)
n n n n
(1)(cid:378)(cid:441)(cid:230)a (cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:246)
n
(2)(cid:220)a ,a ,a (cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:75)S (cid:38)(cid:291)(cid:429)(cid:240)(cid:145)
4 7 9 n
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)(cid:378)(cid:441)(cid:125)(cid:76)(cid:204)(cid:246)
(2)-78(cid:145)ìS ,n=1
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:181)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:197)2S +n2 =2na +n(cid:53)(cid:95)(cid:96)a =í 1 (cid:53)(cid:255)(cid:17)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:295)a -a =1(cid:53)(cid:141)(cid:184)
n n n îS -S ,n³2 n n-1
n n-1
(cid:197)(cid:378)(cid:246)
(cid:10)2(cid:11)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:205)(cid:10)1(cid:11)(cid:48)(cid:16)(cid:77)(cid:37)(cid:45)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:75)(cid:206)a (cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:295)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:109)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:229)(cid:95)(cid:96)(cid:25)(cid:324)(cid:320)(cid:18)(cid:38)(cid:51)
1 n
(cid:52)(cid:42)(cid:43)(cid:199)(cid:197)(cid:145)
2S
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:256)(cid:192) n +n=2a +1(cid:53)(cid:211)2S +n2 =2na +n (cid:53)
n n n n
①
(cid:261)n³2(cid:224)(cid:53)2S +n-12 =2n-1a +n-1 (cid:53)
n-1 n-1
②
- (cid:197)(cid:53)2S +n2-2S -n-12 =2na +n-2n-1a -n-1(cid:53)
n n-1 n n-1
① ②
(cid:211)2a +2n-1=2na -2n-1a +1(cid:53)
n n n-1
(cid:211)2n-1a -2n-1a =2n-1(cid:53)(cid:216)(cid:161)a -a =1(cid:53)n³2(cid:193)nÎN*(cid:53)
n n-1 n n-1
(cid:216)(cid:161)a (cid:80)(cid:161)1(cid:192)(cid:46)(cid:17)(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:145)
n
(cid:10)2(cid:11)[(cid:58)(cid:83)(cid:22)](cid:230)(cid:25)(cid:324)(cid:320)(cid:18)(cid:38)(cid:51)(cid:52)
(cid:205)(cid:10)1(cid:11)(cid:199)(cid:197)a =a +3(cid:53)a =a +6(cid:53)a =a +8(cid:53)
4 1 7 1 9 1
(cid:213)a (cid:53)a (cid:53)a (cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:216)(cid:161)a 2 =a ×a (cid:53)
4 7 9 7 4 9
(cid:211)a +62 =a +3×a +8(cid:53)(cid:76)(cid:197)a =-12(cid:53)
1 1 1 1
nn-1 1 25 1æ 25ö 2 625
(cid:216)(cid:161)a n =n-13(cid:53)(cid:216)(cid:161)S n =-12n+ 2 = 2 n2- 2 n= 2 ç è n- 2 ÷ ø - 8 (cid:53)
(cid:216)(cid:161)(cid:53)(cid:261)n=12(cid:72)n=13(cid:224)(cid:53)S  =-78(cid:145)
n min
[(cid:58)(cid:83)(cid:25)](cid:230)(cid:201)(cid:291)(cid:451)(cid:76)(cid:203)(cid:268)(cid:45)(cid:372)(cid:376)(cid:83)
(cid:205)(cid:10)1(cid:11)(cid:199)(cid:197)a =a +3(cid:53)a =a +6(cid:53)a =a +8(cid:53)
4 1 7 1 9 1
(cid:213)a (cid:53)a (cid:53)a (cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:216)(cid:161)a 2 =a ×a (cid:53)
4 7 9 7 4 9
(cid:211)a +62 =a +3×a +8(cid:53)(cid:76)(cid:197)a =-12(cid:53)
1 1 1 1
(cid:216)(cid:161)a =n-13(cid:53)(cid:211)(cid:179)a <a <L<a <0,a =0.
n 1 2 12 13
(cid:200)(cid:261)n=12(cid:72)n=13(cid:224)(cid:53)S  =-78(cid:145)
n min(cid:201)(cid:142)(cid:143)(cid:4)(cid:452)(cid:203)(cid:10)2(cid:11)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:95)(cid:96)(cid:25)(cid:324)(cid:320)(cid:18)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:75)(cid:206)S (cid:38)(cid:291)(cid:429)(cid:240)(cid:53)(cid:102)(cid:57)(cid:70)(cid:199)(cid:161)(cid:75)(cid:206)S (cid:38)(cid:448)(cid:449)(cid:47)(cid:246)
n n
(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:95)(cid:96)(cid:268)(cid:45)(cid:372)(cid:376)(cid:83)(cid:75)(cid:291)(cid:240)(cid:53)(cid:42)(cid:43)(cid:41)(cid:429)(cid:53)(cid:80)(cid:176)(cid:13)(cid:38)(cid:291)(cid:451)(cid:76)(cid:145)
考点 04 数列的概念、通项公式及综合应用
1(cid:145)（2026·北京·高考真题）a (cid:53)b (cid:80)(cid:366)(cid:367)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)“(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M (cid:53)(cid:196)a £M £b (n=1,2,3,L)”(cid:80)
n n n n
“a £b (n=1,2,3,L)”(cid:38)(cid:10) (cid:11)
n n
A(cid:145)(cid:247)(cid:5)(cid:127)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66) B(cid:145)(cid:249)(cid:92)(cid:127)(cid:247)(cid:5)(cid:65)(cid:66)
C(cid:145)(cid:247)(cid:5)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66) D(cid:145)(cid:250)(cid:127)(cid:247)(cid:5)(cid:251)(cid:127)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66)
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)A
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:44)(cid:62)(cid:439)(cid:378)(cid:247)(cid:5)(cid:51)(cid:109)(cid:249)(cid:92)(cid:51)(cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:197)(cid:206)(cid:208)(cid:359).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:53)
a (cid:53)b (cid:80)(cid:366)(cid:367)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
n n
(cid:439)(cid:378)(cid:247)(cid:5)(cid:51)(cid:230)
(cid:261)(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M (cid:53)(cid:196)a £M £b n=1,2,3,L (cid:224)(cid:53)
n n
a £Mn=1,2,3,L (cid:53)M £b n=1,2,3,L (cid:53)
n n
a £b n=1,2,3,L (cid:364)(cid:365)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
n n
(cid:439)(cid:378)(cid:249)(cid:92)(cid:51)(cid:230)
(cid:261)a =n(cid:53)b =n2(cid:224)(cid:53)(cid:223)(cid:224)(cid:226)(cid:227)a £b ,
n n n n
(cid:453)(cid:207)(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M (cid:53)(cid:196)a £M £b n=1,2,3,L (cid:187)(cid:68)(cid:53)
n n
(cid:261)n®+¥(cid:224)(cid:53)a =n®+¥(cid:53)b =n2 ®+¥(cid:53)
n n
(cid:223)(cid:224)(cid:53)M (cid:133)(cid:315)(cid:224)“(cid:127)(cid:429)(cid:70)(cid:366)(cid:454)(cid:309)(cid:292)(cid:38)n”(cid:50)“(cid:127)(cid:292)(cid:70)(cid:366)(cid:454)(cid:309)(cid:292)(cid:38)n2”(cid:53)
(cid:248)(cid:127)(cid:323)(cid:305)(cid:126)(cid:455)(cid:38)(cid:456)(cid:252)(cid:124)(cid:18)M (cid:53)
(cid:261)a £b (cid:224)(cid:53)(cid:366)(cid:83)(cid:249)(cid:365)(cid:254)(cid:206)“(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M ”(cid:53)(cid:211)(cid:249)(cid:92)(cid:51)(cid:127)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
n n
∴
“(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M (cid:53)(cid:196)a £M £b n=1,2,3,L  ”(cid:80)“a £b n=1,2,3,L  ”(cid:38)(cid:247)(cid:5)(cid:127)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66).
n n n n
∴
2(cid:145)（2025·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:24)b (cid:24)c (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:5)(cid:282)(cid:192)a =10n-9(cid:53)b =2n(cid:24)(cid:53)
n n n n nc =la +(1-l)b .(cid:220)(cid:259)(cid:299)(cid:228)(cid:38)lÎ0,1(cid:53)a (cid:24)b (cid:24)c (cid:38)(cid:240)(cid:319)(cid:54)(cid:116)(cid:187)(cid:242)(cid:457)(cid:399)(cid:53)(cid:200)(cid:226)(cid:227)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:218)(cid:142)(cid:18)n(cid:179)(cid:10) (cid:11)
n n n n n n
A(cid:145) 4(cid:194) B(cid:145)3(cid:194) C(cid:145)1(cid:194) D(cid:145)(cid:366)(cid:18)(cid:194)
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)B
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:205)c =la +(1-l)b (cid:199)(cid:64)c (cid:296)(cid:297)(cid:53)(cid:229)(cid:205)(cid:242)(cid:457)(cid:399)(cid:242)(cid:336)(cid:69)(cid:110)(cid:199)(cid:197)a ,b ,c (cid:38)(cid:127)(cid:16)(cid:69)(cid:110)(cid:53)(cid:208)(cid:101)(cid:320)(cid:18)(cid:147)(cid:4)(cid:76)
n n n n n n n
(cid:127)(cid:16)(cid:47)(cid:199)(cid:197).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)(cid:13)(cid:228)a ,b ,c >0(cid:53)(cid:127)(cid:243)(cid:207)A(n,a ),B(n,b ),C(n,c )(cid:53)
n n n n n n
uuur uuur
(cid:242)(cid:4)(cid:319)(cid:305)(cid:190)(cid:22)(cid:321)(cid:454)(cid:298)(cid:53)(cid:205)c =la +(1-l)b (cid:199)(cid:64)(cid:53)BC =lBA,lÎ0,1(cid:53)
n n n
(cid:219)(cid:4)C(cid:288)(cid:305)(cid:283)(cid:458)AB(cid:28)(cid:53)(cid:200)(cid:179)mina ,b £c £maxa ,b <a +b .
n n n n n n n
(cid:211)(cid:259)(cid:299)(cid:228)(cid:38)lÎ0,1(cid:53)c <a +b (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
n n n
(cid:338)10x-9=2x(cid:53)(cid:116)(cid:117)(cid:320)(cid:18) f(x)=2x-10x+9,x>0(cid:53)
(cid:200) f¢(x)=2xln2-10(cid:53)(cid:205) f¢(x)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:309)(cid:53)
(cid:213) f¢(3)<0, f¢(4)>0(cid:53)(cid:323)(cid:305)x Î(3,4)(cid:53)(cid:196) f¢x =0(cid:53)
0 0
(cid:211)(cid:261)0<x<x (cid:224)(cid:53) f¢(x)<0(cid:53) f(x)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:89)(cid:246)
0
(cid:261)x>x (cid:224)(cid:53) f¢(x)>0(cid:53) f(x)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:309)(cid:246)
0
(cid:219) f(x)(cid:307)(cid:345)2(cid:194)(cid:147)(cid:4)(cid:53)
(cid:213)(cid:205) f(1)>0, f(2)<0, f(5)<0, f(6)>0(cid:53)
(cid:199)(cid:64) f(x)(cid:323)(cid:305)2(cid:194)(cid:147)(cid:4)(cid:53)(cid:127)(cid:243)(cid:207)x,x x <x (cid:53)(cid:193)x Î(1,2),x Î(5,6).
1 2 1 2 1 2
(cid:220)a £b (cid:53)(cid:211)10n-9£2n(cid:224)(cid:53)(cid:223)(cid:224)n=1(cid:72)n³6.
n n
①
(cid:200)a £c £b (cid:53)(cid:199)(cid:64)b +c >a (cid:187)(cid:68)(cid:53)
n n n n n n
(cid:92)(cid:196)a (cid:24)b (cid:24)c (cid:38)(cid:240)(cid:319)(cid:54)(cid:116)(cid:187)(cid:242)(cid:457)(cid:399)(cid:53)
n n n
(cid:216)(cid:161)a +c >b (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:219)b <2a (cid:53)
n n n n n
ì10n-9£2n
(cid:216)(cid:161)(cid:179)í (cid:53)(cid:76)(cid:197)n=6(cid:246)
î2n <2(10n-9)
(cid:220)a ³b (cid:53)(cid:211)10n-9³2n(cid:224)(cid:53)(cid:223)(cid:224)n=2,3,4,5.
n n
②(cid:200)a ³c ³b (cid:53)(cid:199)(cid:64)a +c >b (cid:187)(cid:68)(cid:53)
n n n n n n
(cid:92)(cid:196)a (cid:24)b (cid:24)c (cid:38)(cid:240)(cid:319)(cid:54)(cid:116)(cid:187)(cid:242)(cid:457)(cid:399)(cid:53)
n n n
(cid:216)(cid:161)b +c >a (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:219)a <2b (cid:53)
n n n n n
ì10n-9³2n
(cid:216)(cid:161)(cid:179)í (cid:53)(cid:76)(cid:197)n=4(cid:72)5(cid:246)
î10n-9<2n+1
(cid:105)(cid:28)(cid:199)(cid:64)(cid:53)(cid:218)(cid:142)(cid:18)n(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:179)3(cid:194).
(cid:219)(cid:99)(cid:230)B.
1
3(cid:145)（2023·北京·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:226)(cid:227)a = a -63+6(n=1,2,3,L)(cid:53)(cid:200)(cid:10) (cid:11)
n n+1 4 n
A(cid:145)(cid:261)a =3(cid:224)(cid:53)a (cid:192)(cid:302)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M (cid:459)0(cid:53)(cid:196)(cid:197)a >M (cid:288)(cid:187)(cid:68)
1 n n
B(cid:145)(cid:261)a =5(cid:224)(cid:53)a (cid:192)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M £6(cid:53)(cid:196)(cid:197)a <M (cid:288)(cid:187)(cid:68)
1 n n
C(cid:145)(cid:261)a =7(cid:224)(cid:53)a (cid:192)(cid:302)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M >6(cid:53)(cid:196)(cid:197)a >M (cid:288)(cid:187)(cid:68)
1 n n
D(cid:145)(cid:261)a =9(cid:224)(cid:53)a (cid:192)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M >0(cid:53)(cid:196)(cid:197)a <M (cid:288)(cid:187)(cid:68)
1 n n
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)B
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:83)1(cid:230)(cid:241)(cid:57)(cid:18)(cid:19)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:199)(cid:209)(cid:210)ACD(cid:218)(cid:346)(cid:53)(cid:241)(cid:57)(cid:302)(cid:254)(cid:199)(cid:209)(cid:210)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:219)(cid:199)(cid:209)(cid:210)B(cid:38)(cid:218)(cid:346).
1
(cid:83)2(cid:230)(cid:116)(cid:117) f x= x-63+6-x(cid:53)(cid:241)(cid:57)(cid:447)(cid:18)(cid:75)(cid:197) f x(cid:38)(cid:218)(cid:304)(cid:9)(cid:437)(cid:53)(cid:229)(cid:241)(cid:57)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:209)(cid:210)(cid:197)(cid:318)(cid:99)(cid:45)a (cid:216)
4 n
1 9
(cid:305)(cid:156)(cid:306)(cid:53)(cid:141)(cid:184)(cid:209)(cid:210)a (cid:38)(cid:293)(cid:294)(cid:51)(cid:246)(cid:259)(cid:70)A(cid:53)(cid:116)(cid:117)hx= x3- x2+26x-47x£3(cid:53)(cid:209)(cid:210)(cid:197)a <a -1(cid:53)(cid:237)
n 4 2 n+1 n
(cid:184)(cid:225)m=-M+4(cid:254)(cid:197)a >M (cid:127)(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:246)(cid:259)(cid:70)B(cid:53)(cid:378)(cid:441)a (cid:216)(cid:305)(cid:156)(cid:306)(cid:315)(cid:224)(cid:378)(cid:197)(cid:286)(cid:348)(cid:208)(cid:359)(cid:246)(cid:259)(cid:70)C(cid:53)(cid:191)
n n
é ù
m =log ê2log M -6+1ú(cid:53)(cid:225)m=m +1(cid:254)(cid:197)a >M (cid:127)(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:246)(cid:259)(cid:70)D(cid:53)(cid:116)(cid:117)
0 3 1 0 n
ë û
4
1 9
gx= x3- x2+26x-49x³9(cid:53)(cid:209)(cid:210)(cid:197)a >a +1(cid:53)(cid:237)(cid:184)(cid:225)m=M+1(cid:254)(cid:197)a <M (cid:127)(cid:288)(cid:187)(cid:68).
4 2 n+1 n n
1 1
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:83)1(cid:230)(cid:256)(cid:192)a = a -63+6(cid:53)(cid:219)a -6= a -63(cid:53)
n+1 4 n n+1 4 n
(cid:259)(cid:70)A (cid:53)(cid:220)a =3(cid:53)(cid:199)(cid:57)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:378)(cid:441)(cid:230)a -6£-3(cid:211)a £3(cid:53)
1 n n
(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)a -6=-3£-3(cid:53)(cid:223)(cid:224)(cid:127)(cid:16)(cid:69)(cid:110)a £3(cid:187)(cid:68)(cid:246)
1 n
(cid:207)(cid:261)n=k(cid:224)(cid:53)a -6£-3(cid:187)(cid:68)(cid:53)
k(cid:200)a -6= 1 a -63 Î æ ç-¥,- 27ö ÷(cid:53)(cid:219)a -6£-3(cid:187)(cid:68)(cid:53)
k+1 4 k è 4 ø k+1
(cid:205)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:199)(cid:197)a £3(cid:187)(cid:68).
n
(cid:184)a -a = 1 a -63-a -6=a -6 é1 a -62-1 ù (cid:53)
n+1 n 4 n n n ê ë4 n ú û
1 9 5
a -62-1³ -1= >0(cid:53)a -6<0(cid:53)(cid:219)a -a <0(cid:53)(cid:219)a <a (cid:53)
4 n 4 4 n n+1 n n+1 n
(cid:219)a (cid:192)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:389)(cid:228)a -6£-3<0
n k+1
1 1 9
(cid:219)a -6= a -63 =a -6´ a -62 £ a -6(cid:53)(cid:208)(cid:101)a -6<0(cid:53)
n+1 4 n n 4 n 4 n n+1
9 æ9ö n æ9ö n
(cid:216)(cid:161)6-a n+1 ³ 4 6-a n (cid:53)(cid:219)6-a n+1 ³3ç è4 ÷ ø (cid:53)(cid:219)a n+1 £6-3ç è4 ÷ ø (cid:53)
æ9ö n-1
(cid:220)(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M (cid:459)0(cid:53)(cid:196)(cid:197)a n >M (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:200)6-3ç ÷ >M (cid:53)
è4ø
6-M æ9ö n-1 6-M
(cid:219) 3 >ç è4 ÷ ø (cid:53)(cid:219)n<log 9 3 +1(cid:53)(cid:219)a n >M (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:128)(cid:259)(cid:462)(cid:5)n(cid:187)(cid:68)(cid:53)
4
(cid:219)A(cid:127)(cid:187)(cid:68).
(cid:259)(cid:70)B(cid:53)(cid:220)a =5,(cid:199)(cid:57)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:378)(cid:441)(cid:230)-1£a -6<0(cid:211)5£a <6(cid:53)
1 n n
(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)-1£a -6=-1£0(cid:53)(cid:223)(cid:224)(cid:127)(cid:16)(cid:69)(cid:110)5£a <6(cid:187)(cid:68)(cid:246)
1 n
(cid:207)(cid:261)n=k(cid:224)(cid:53)5£a <6(cid:187)(cid:68)(cid:53)
k
(cid:200)a -6= 1 a -63 Î æ ç- 1 ,0 ö ÷(cid:53)(cid:219)-1£a -6<0(cid:187)(cid:68)(cid:211)
k+1 4 k è 4 ø k+1
(cid:205)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:199)(cid:197)5£a <6(cid:187)(cid:68).
k+1
(cid:184)a -a = 1 a -63-a -6=a -6 é1 a -62-1 ù (cid:53)
n+1 n 4 n n n ê ë4 n ú û
1
a -62-1<0(cid:53)a -6<0(cid:53)(cid:219)a -a >0(cid:53)(cid:219)a >a (cid:53)(cid:219)a (cid:192)(cid:309)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
4 n n n+1 n n+1 n n
(cid:220)M =6(cid:53)(cid:200)a <6(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:219)B(cid:218)(cid:260).
n
(cid:259)(cid:70)C(cid:53)(cid:261)a =7(cid:224)(cid:53) (cid:199)(cid:57)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:378)(cid:441)(cid:230)0<a -6£1(cid:211)6<a £7(cid:53)
1 n n
(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)0<a -6£1(cid:53)(cid:223)(cid:224)(cid:127)(cid:16)(cid:69)(cid:110)(cid:187)(cid:68)(cid:246)
1
(cid:207)(cid:261)n=k(cid:224)(cid:53)6<a £7(cid:187)(cid:68)(cid:53)
k(cid:200)a k+1 -6= 1 4 a k -63 Î æ ç è 0, 1 4 ú ù û (cid:53)(cid:219)0<a k+1 -6£1(cid:187)(cid:68)(cid:211)6<a k+1 £7
(cid:205)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:199)(cid:197)6<a £7(cid:187)(cid:68).
n
(cid:184)a -a =a -6 é1 a -62 -1 ù <0(cid:53)(cid:219)a <a (cid:53)(cid:219)a (cid:192)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
n+1 n n ê ë4 n ú û n+1 n n
(cid:213)a n+1 -6=a n -6´ 1 4 a n -62 £ 1 4 a n -6(cid:53)(cid:208)(cid:101)a n+1 -6>0(cid:199)(cid:197)(cid:230)a n+1 -6£a 1 -6 æ ç è 1 4 ö ÷ ø n (cid:53)(cid:216)(cid:161)a n+1 £6+ æ ç è 1 4 ö ÷ ø n (cid:53)
æ1ö n
(cid:220)a n+1 £6+ç è4 ÷ ø (cid:53)(cid:220)(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M >6(cid:53)(cid:196)(cid:197)a n >M (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
æ1ö n-1 n<log M -6+1
(cid:200)M -6<ç ÷ (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:219) 1 (cid:53)n(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:179)(cid:454)(cid:53)(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:219)C(cid:87)(cid:346).
è4ø 4
(cid:259)(cid:70)D(cid:53)(cid:261)a =9(cid:224)(cid:53) (cid:199)(cid:57)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:378)(cid:441)(cid:230)a -6³3(cid:211)a ³9(cid:53)
1 n n
(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)a -6=3³3(cid:53)(cid:223)(cid:224)(cid:127)(cid:16)(cid:69)(cid:110)(cid:187)(cid:68)(cid:246)
1
(cid:207)(cid:261)n=k(cid:224)(cid:53)a ³9(cid:187)(cid:68)(cid:53)
k
1 27
(cid:200)a -6= a -63 ³ >3(cid:53)(cid:219)a ³9(cid:187)(cid:68)
k+1 4 k 4 k+1
(cid:205)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:199)(cid:197)a ³9(cid:187)(cid:68).
n
(cid:184)a -a =a -6 é1 a -62 -1 ù >0(cid:53)(cid:219)a >a (cid:53)(cid:219)a (cid:192)(cid:309)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
n+1 n n ê ë4 n ú û n+1 n n
(cid:213)a n+1 -6=a n -6´ 1 4 a n -62 > 9 4 a n -6(cid:53)(cid:208)(cid:101)a n -6>0(cid:199)(cid:197)(cid:230)a n+1 -6>a 1 -6 æ ç è 9 4 ö ÷ ø n-1 =3 æ ç è 9 4 ö ÷ ø n-1 (cid:53)(cid:216)(cid:161)
æ9ö n-1
a ³6+3ç ÷ (cid:53)
n è4ø
æ9ö n-1
(cid:220)(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M >0(cid:53)(cid:196)(cid:197)a n <M (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:200)M >6+3ç ÷ (cid:53)
è4ø
æ9ö n-1 æM -6ö
(cid:219)M >6+3ç è4 ÷ ø (cid:53)(cid:219)n<log 9 ç è 3 ÷ ø +1(cid:53)(cid:126)(cid:109)n(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:179)(cid:454)(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:219)D(cid:87)(cid:346).
4
(cid:219)(cid:99)(cid:230)B.
1 1 9
(cid:83)2(cid:230)(cid:256)(cid:192)a -a = a -63+6-a = a3- a2+26a -48(cid:53)
n+1 n 4 n n 4 n 2 n n
1 9 3
(cid:338) f x= x3- x2+26x-48(cid:53)(cid:200) f¢x= x2-9x+26(cid:53)
4 2 4(cid:338) f¢x>0(cid:53)(cid:197)0<x<6- 2 3 (cid:72)x>6+ 2 3 (cid:246)
3 3
(cid:338) f¢x<0(cid:53)(cid:197)6- 2 3 <x<6+ 2 3 (cid:246)
3 3
æ 2 3ö æ 2 3 ö æ 2 3 2 3ö
(cid:216)(cid:161) f x(cid:305)ç-¥,6- ÷(cid:50)ç6+ ,+¥÷(cid:28)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:309)(cid:53)(cid:305)ç6- ,6+ ÷(cid:28)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:89)(cid:53)
ç 3 ÷ ç 3 ÷ ç 3 3 ÷
è ø è ø è ø
1 9 1
(cid:338) f x=0(cid:53)(cid:200) x3- x2+26x-48=0(cid:53)(cid:211) x-4x-6x-8=0(cid:53)(cid:76)(cid:197)x=4(cid:72)x=6(cid:72)x=8(cid:53)
4 2 4
2 3 2 3
(cid:389)(cid:228)(cid:295)4<6- <5(cid:53)7<6+ <8(cid:53)
3 3
(cid:216)(cid:161)(cid:208)(cid:101) f x(cid:38)(cid:293)(cid:294)(cid:51)(cid:199)(cid:64)(cid:305)-¥,4(cid:50)6,8(cid:28) f x<0(cid:53)(cid:305)4,6(cid:50)8,+¥(cid:28) f x>0(cid:53)
1 1
(cid:259)(cid:70)A(cid:53)(cid:256)(cid:192)a = a -63+6(cid:53)(cid:200)a -6= a -63(cid:53)
n+1 4 n n+1 4 n
1
(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)a =3(cid:53)a -6= a -63 <-3(cid:53)(cid:200)a <3(cid:53)
1 2 4 1 2
(cid:453)(cid:207)(cid:261)n=k(cid:224)(cid:53)a <3(cid:53)
k
1 1
(cid:261)n=k+1(cid:224)(cid:53)a -6= a -63 < 3-63 <-3(cid:53)(cid:200)a <3(cid:53)
k+1 4 k 4 k+1
(cid:105)(cid:28)(cid:230)a £3(cid:53)(cid:211)a Î-¥,4(cid:53)
n n
(cid:256)(cid:192)(cid:305)-¥,4(cid:28) f x<0(cid:53)(cid:216)(cid:161)a <a (cid:53)(cid:200)a (cid:192)(cid:302)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
n+1 n n
1 1 9
(cid:256)(cid:192)a -a +1= a -63+6-a +1= a3- a2+26a -47(cid:53)
n+1 n 4 n n 4 n 2 n n
1 9 3
(cid:338)hx= x3- x2+26x-47x£3(cid:53)(cid:200)h¢x= x2-9x+26(cid:53)
4 2 4
-9
x=- =6
(cid:256)(cid:192)h¢x(cid:434)(cid:463)(cid:464)(cid:28)(cid:53)(cid:259)(cid:273)(cid:465)(cid:192) 3 (cid:53)
2´
4
3
(cid:216)(cid:161)h¢x(cid:305)-¥,3(cid:28)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:89)(cid:53)(cid:219)h¢x³h¢3= ´32-9´3+26>0(cid:53)
4
1 9
(cid:216)(cid:161)hx(cid:305)-¥,3(cid:28)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:309)(cid:53)(cid:219)hx£h3= ´33- ´32+26´3-47<0(cid:53)
4 2
(cid:219)a -a +1<0(cid:53)(cid:211)a <a -1(cid:53)
n+1 n n+1 n
(cid:453)(cid:207)(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M (cid:459)0(cid:53)(cid:196)(cid:197)a >M (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
n
(cid:225)m =-M+4(cid:53)(cid:119)(cid:37)M -1<M£M (cid:53)(cid:193)MÎZ(cid:53)
1
(cid:256)(cid:192)a <a -1(cid:53)(cid:216)(cid:161)a <a -1,a <a -1,L,a <a -1(cid:53)
n+1 n 2 1 3 2 -M+4 -M+3(cid:28)(cid:47)(cid:85)(cid:112)(cid:197)(cid:53)a <a -  -M+3 £3+M -3=M (cid:53)
-M+4 1
(cid:200)a
m1
=a
M+4
<M (cid:53)(cid:109)a
n
>M (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:219)A(cid:87)(cid:346)(cid:246)
(cid:259)(cid:70)B(cid:53)(cid:256)(cid:192)a =5(cid:53)
1
1 1
(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)a =5<6(cid:53)a = a -63+6= ´5-63+6<6(cid:53)
1 2 4 1 4
(cid:453)(cid:207)(cid:261)n=k(cid:224)(cid:53)a <6(cid:53)
k
(cid:261)n=k+1(cid:224)(cid:53)(cid:256)(cid:192)a <6(cid:53)(cid:216)(cid:161)a -6<0(cid:53)(cid:200)a -63 <0(cid:53)
k k k
1
(cid:216)(cid:161)a = a -63 +6<6(cid:53)
k+1 4 k
1 1
(cid:213)(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)a -5= a -63+1= ´5-63+1>0(cid:53)(cid:211)a >5(cid:53)
2 4 1 4 2
(cid:453)(cid:207)(cid:261)n=k(cid:224)(cid:53)a ³5(cid:53)
k
(cid:261)n=k+1(cid:224)(cid:53)(cid:256)(cid:192)a ³5(cid:53)(cid:216)(cid:161)a -6³-1(cid:53)(cid:200)a -63 ³-1(cid:53)
k k k
1
(cid:216)(cid:161)a = a -63 +6³5(cid:53)
k+1 4 k
(cid:105)(cid:28)(cid:230)5£a <6(cid:53)
n
(cid:256)(cid:192)(cid:305)4,6(cid:28) f x>0(cid:53)(cid:216)(cid:161)a >a (cid:53)(cid:216)(cid:161)a (cid:192)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
n+1 n n
(cid:223)(cid:224)(cid:53)(cid:225)M =6(cid:53)(cid:226)(cid:227)(cid:13)(cid:228)(cid:53)(cid:219)B(cid:218)(cid:260)(cid:246)
1 1
(cid:259)(cid:70)C(cid:53)(cid:256)(cid:192)a = a -63+6(cid:53)(cid:200)a -6= a -63(cid:53)
n+1 4 n n+1 4 n
(cid:389)(cid:228)(cid:295)(cid:261)a 1 =7(cid:224)(cid:53)a 2 = 1 4 7-63+6= 1 4 +6(cid:53)a 3 = 1 4 æ ç è 1 4 +6-6 ö ÷ ø 3 +6= æ ç è 1 4 ö ÷ ø 4 +6(cid:53)
3
1é æ1ö 4 ù æ1ö 13
a = êç ÷ +6-6ú +6=ç ÷ +6
4 4êë è4ø úû è4ø
(cid:466)(cid:61)(cid:261)n³2(cid:224)(cid:53)a = æ ç 1ö ÷
1
2
3k-1
+6(cid:53)
k è4ø
(cid:261)n=2(cid:109)n=3(cid:224)(cid:53)a 2 = 1 4 +6(cid:109)a 3 = æ ç è 1 4 ö ÷ ø 4 +6(cid:226)(cid:227)a n = æ ç è 1 4 ö ÷ ø 1 2 3n-1 +6(cid:53)
(cid:453)(cid:207)(cid:261)n=k(cid:224)(cid:53)a = æ ç 1ö ÷
1
2
3k-1
+6(cid:53)
k è4ø(cid:261)n=k+1(cid:224)(cid:53)(cid:216)(cid:161)a = 1 a -63 +6= 1
é
ê æ ç 1ö ÷
1
2
3k-1
+6-6
ù
ú
3
+6= æ ç 1ö ÷
1
2
3k+1-1
+6(cid:53)
k+1 4 k 4êè4ø ú è4ø
ë û
(cid:105)(cid:28)(cid:230)a = æ ç 1ö ÷
1
2
3n-1
+6n³2(cid:53)
n è4ø
(cid:341)(cid:64)3n-1>0(cid:53)(cid:200)0< æ ç 1ö ÷
1
2
3n-1
<1(cid:53)(cid:219)a = æ ç 1ö ÷
1
2
3n-1
+6Î6,7n³2(cid:53)
è4ø n è4ø
(cid:216)(cid:161)a Î6,7(cid:53)
n
(cid:256)(cid:192)(cid:305)6,8(cid:28) f x<0(cid:53)(cid:216)(cid:161)a <a (cid:53)(cid:200)a (cid:192)(cid:302)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
n+1 n n
(cid:453)(cid:207)(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M >6(cid:53)(cid:196)(cid:197)a >M (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
n
é ù
(cid:191)m =log ê2log M -6+1ú(cid:53)(cid:225)m=m +1(cid:53)(cid:119)(cid:37)m -1<m £m ,m ÎN*(cid:53)
0 3 1 0 0 0 0 0
ë û
4
(cid:200)
3m >3m0 =2log
1
M -6+1
(cid:53)
4
(cid:219)
1
2  3m-1  >log 1 M -6 (cid:53)(cid:216)(cid:161) æ ç 1ö ÷
1
2
3m-1
<M -6(cid:53)(cid:211) æ ç 1ö ÷
1
2
3m-1
+6<M (cid:53)
4 è4ø è4ø
(cid:216)(cid:161)a <M (cid:53)(cid:219)a >M (cid:127)(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:219)C(cid:87)(cid:346)(cid:246)
m n
(cid:259)(cid:70)D(cid:53)(cid:256)(cid:192)a =9(cid:53)
1
1 27
(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)a -6= a -63 = >3(cid:53)(cid:200)a >9(cid:53)
2 4 1 4 2
(cid:453)(cid:207)(cid:261)n=k(cid:224)(cid:53)a ³3(cid:53)
k
1 1
(cid:261)n=k+1(cid:224)(cid:53)a -6= a -63 ³ 9-63 >3(cid:53)(cid:200)a >9(cid:53)
k+1 4 k 4 k+1
(cid:105)(cid:28)(cid:230)a ³9(cid:53)
n
(cid:256)(cid:192)(cid:305)8,+¥(cid:28) f x>0(cid:53)(cid:216)(cid:161)a >a (cid:53)(cid:216)(cid:161)a (cid:192)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
n+1 n n
1 1 9
(cid:256)(cid:192)a -a -1= a -63+6-a -1= a3- a2+26a -49(cid:53)
n+1 n 4 n n 4 n 2 n n
1 9 3
(cid:338)gx= x3- x2+26x-49x³9(cid:53)(cid:200)g¢x= x2-9x+26(cid:53)
4 2 4
-9
x=- =6
(cid:256)(cid:192)g¢x(cid:434)(cid:463)(cid:464)(cid:28)(cid:53)(cid:259)(cid:273)(cid:465)(cid:192) 3 (cid:53)
2´
43
(cid:216)(cid:161)g¢x(cid:305)9,+¥(cid:28)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:309)(cid:53)(cid:219)g¢x³g¢9= ´92-9´9+26>0(cid:53)
4
1 9
(cid:216)(cid:161)gx³g9= ´93- ´92+26´9-49>0(cid:53)
4 2
(cid:219)a -a -1>0(cid:53)(cid:211)a >a +1(cid:53)
n+1 n n+1 n
(cid:453)(cid:207)(cid:323)(cid:305)(cid:124)(cid:18)M >0(cid:53)(cid:196)(cid:197)a <M (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
n
(cid:225)m =M+1(cid:53)(cid:119)(cid:37)M -1<M£M (cid:53)(cid:193)MÎZ(cid:53)
2
(cid:256)(cid:192)a >a +1(cid:53)(cid:216)(cid:161)a >a +1,a >a +1,L,a >a +1(cid:53)
n+1 n 2 1 3 2 M+1 M
(cid:28)(cid:47)(cid:85)(cid:112)(cid:197)(cid:53)a >a +M>9+M -1>M (cid:53)
M+1 1
(cid:200)a =a >M (cid:53)(cid:109)a <M (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:219)D(cid:87)(cid:346).
m2 M+1 n
(cid:219)(cid:99)(cid:230)B.
(cid:201)(cid:4)(cid:342)(cid:203)(cid:69)(cid:344)(cid:4)(cid:342)(cid:230)(cid:40)(cid:13)(cid:76)(cid:467)(cid:38)(cid:69)(cid:344)(cid:80)(cid:95)(cid:96)(cid:71)(cid:45)(cid:373)(cid:206)(cid:109)(cid:44)(cid:45)(cid:51)(cid:52)(cid:85)(cid:69)(cid:38)(cid:85)(cid:106)(cid:38)(cid:12)(cid:13)(cid:53)(cid:229)(cid:95)(cid:96)(cid:216)(cid:197)(cid:12)(cid:13)(cid:208)(cid:101)
(cid:468)(cid:469)(cid:83)(cid:197)(cid:295)(cid:44)(cid:45)(cid:216)(cid:226)(cid:227)(cid:38)(cid:127)(cid:16)(cid:47)(cid:69)(cid:110)(cid:53)(cid:141)(cid:184)(cid:199)(cid:209)(cid:210)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:28)(cid:356)(cid:72)(cid:185)(cid:356)(cid:80)(cid:340)(cid:187)(cid:68).
1
4(cid:145)（2022·浙江·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:226)(cid:227)a =1,a =a - a2 nÎN* (cid:53)(cid:200)(cid:10) (cid:11)
n 1 n+1 n 3 n
5 5 7 7
A(cid:145)2<100a < B(cid:145) <100a <3 C(cid:145)3<100a < D(cid:145) <100a <4
100 2 2 100 100 2 2 100
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)B
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:313)(cid:44)(cid:62)(cid:302)(cid:254)(cid:69)(cid:110)(cid:47)(cid:260)(cid:252)a (cid:337)(cid:300)a (cid:53)(cid:119)(cid:120)(cid:45)(cid:214)(cid:305)0,1(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:53)(cid:229)(cid:241)(cid:57)(cid:302)(cid:254)(cid:46)(cid:47)(cid:372)(cid:399)(cid:197)(cid:295)
n 1
1 1 1 1 1 1
- = > (cid:53)(cid:111)(cid:112)(cid:199)(cid:75)(cid:206) > (n+2)(cid:53)(cid:197)(cid:206)100a <3(cid:53)(cid:229)(cid:241)(cid:57)
a a 3-a 3 a 3 100
n+1 n n n
1 1 1 1 1æ 1 ö
a - a = 3-a < 3 = 3 ç è 1+ n+1 ÷ ø (cid:53)(cid:111)(cid:112)(cid:199)(cid:75)(cid:206) 1 -1< 1 n-1+ 1æ ç 1 + 1 +L+ 1ö ÷(cid:53)(cid:229)(cid:324)(cid:468)(cid:469)(cid:199)(cid:197)(cid:206)
n+1 n n 3- a 3 3è2 3 nø
n+2 n
5
100a > (cid:145)
100 2
2
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203) a =1(cid:53)(cid:341)(cid:197)a = Î0,1(cid:53)(cid:181)(cid:324)(cid:6)(cid:254)(cid:199)(cid:197)a Î0,1
1 2 3 n
∵ æ 1 ö 1 3 1 1
(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:53)a n+1 =a n ç è 1- 3 a n ÷ ø (cid:53)(cid:211) a = a 3-a  = a + 3-a (cid:53)
n+1 n n n n
1 1 1 1
- = > (cid:53)
a a 3-a 3
n+1 n n
∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:211) - > (cid:53) - > (cid:53) - > (cid:53)…(cid:53) - > ,(n³2)(cid:53)
a a 3 a a 3 a a 3 a a 3
2 1 3 2 4 3 n n-11 1 1 1
(cid:111)(cid:112)(cid:199)(cid:197) -1> n-1 (cid:53)(cid:211) > (n+2),(n³2)(cid:53)
a 3 a 3
n n
3 1 100
a < ,n³2(cid:53)(cid:211)a < (cid:53)100a < <3,
n n+2 100 34 100 34
∴ 1 1 1 1 1æ 1 ö
- = < = ç1+ ÷,(n³2)
(cid:213)a a 3-a 3 3è n+1ø (cid:53)
n+1 n n 3-
n+2
1 1 1æ 1ö 1 1 1æ 1ö 1 1 1æ 1ö 1 1 1æ 1ö
- = ç1+ ÷(cid:53) - < ç1+ ÷(cid:53) - < ç1+ ÷(cid:53)…(cid:53) - < ç1+ ÷,(n³3)(cid:53)
a a 3è 2ø a a 3è 3ø a a 3è 4ø a a 3è nø
2 1 3 2 4 3 n n-1
∴ 1 1 1æ1 1 1ö
(cid:111)(cid:112)(cid:199)(cid:197) -1< n-1+ ç + +L+ ÷,(n³3)(cid:53)
a 3 3è2 3 nø
n
1 1æ1 1 1 ö 1æ1 1 ö
-1<33+ ç + +L+ ÷<33+ ç ´4+ ´96÷<39(cid:53)
a 3è2 3 100ø 3è2 6 ø
100
∴ 1 1 5
(cid:211) <40(cid:53) a > (cid:53)(cid:211)100a > (cid:246)
a 100 40 100 2
100
5 ∴
(cid:105)(cid:28)(cid:230) <100a <3(cid:145)
2 100
(cid:219)(cid:99)(cid:230)B(cid:145)
(cid:201)(cid:4)(cid:342)(cid:203)(cid:69)(cid:344)(cid:4)(cid:4)(cid:342)(cid:230)(cid:76)(cid:467)(cid:40)(cid:13)(cid:38)(cid:69)(cid:344)(cid:80)(cid:241)(cid:57)(cid:302)(cid:254)(cid:69)(cid:110)(cid:237)(cid:188)(cid:101)(cid:235)(cid:372)(cid:399)(cid:468)(cid:469).
5(cid:145)（2022·北京·高考真题）(cid:207)a (cid:80)(cid:46)(cid:17)(cid:127)(cid:192)0(cid:38)(cid:366)(cid:367)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)“a (cid:192)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19)”(cid:80)“(cid:323)(cid:305)(cid:218)(cid:142)(cid:18)N (cid:53)
n n 0
(cid:261)n>N (cid:224)(cid:53)a >0”(cid:38)(cid:10) (cid:11)
0 n
A(cid:145)(cid:247)(cid:5)(cid:184)(cid:127)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66) B(cid:145)(cid:249)(cid:92)(cid:184)(cid:127)(cid:247)(cid:5)(cid:65)(cid:66)
C(cid:145)(cid:247)(cid:5)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66) D(cid:145)(cid:250)(cid:127)(cid:247)(cid:5)(cid:251)(cid:127)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66)
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)C
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:207)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:200)d ¹0(cid:53)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:208)(cid:101)(cid:247)(cid:5)(cid:65)(cid:66)(cid:24)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:252)(cid:253)
n
(cid:209)(cid:210)(cid:199)(cid:197)(cid:206)(cid:208)(cid:359).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:207)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:200)d ¹0(cid:53)(cid:191)x(cid:192)(cid:127)(cid:470)(cid:62)x(cid:38)(cid:291)(cid:292)(cid:142)(cid:18).
n
(cid:220)a (cid:192)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)d >0(cid:53)
n
(cid:220)a ³0(cid:53)(cid:200)(cid:261)n³2(cid:224)(cid:53)a >a ³0(cid:246)(cid:220)a <0(cid:53)(cid:200)a =a +n-1d(cid:53)
1 n 1 1 n 1
a é a ù
(cid:205)a =a +n-1d >0(cid:199)(cid:197)n>1- 1 (cid:53)(cid:225)N = 1- 1 +1(cid:53)(cid:200)(cid:261)n>N (cid:224)(cid:53)a >0(cid:53)
n 1 d 0 ê ë d ú û 0 n
(cid:216)(cid:161)(cid:53)“a (cid:80)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19)”Þ“(cid:323)(cid:305)(cid:218)(cid:142)(cid:18)N (cid:53)(cid:261)n>N (cid:224)(cid:53)a >0”(cid:246)
n 0 0 n
(cid:220)(cid:323)(cid:305)(cid:218)(cid:142)(cid:18)N (cid:53)(cid:261)n>N (cid:224)(cid:53)a >0(cid:53)(cid:225)kÎN*(cid:193)k > N (cid:53)a >0(cid:53)
0 0 n 0 ka a
(cid:453)(cid:207)d <0(cid:53)(cid:338)a =a +n-kd <0(cid:199)(cid:197)n>k- k (cid:53)(cid:193)k- k >k(cid:53)
n k d d
é a ù
(cid:261)n> k- k +1(cid:224)(cid:53)a <0(cid:53)(cid:109)(cid:13)(cid:207)(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:453)(cid:207)(cid:127)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:200)d >0(cid:53)(cid:211)(cid:18)(cid:19)a (cid:80)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19).
ê ë d ú û n n
(cid:216)(cid:161)(cid:53)“a (cid:80)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19)”Ü“(cid:323)(cid:305)(cid:218)(cid:142)(cid:18)N (cid:53)(cid:261)n>N (cid:224)(cid:53)a >0”.
n 0 0 n
(cid:216)(cid:161)(cid:53)“a (cid:80)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19)”(cid:80)“(cid:323)(cid:305)(cid:218)(cid:142)(cid:18)N (cid:53)(cid:261)n>N (cid:224)(cid:53)a >0”(cid:38)(cid:247)(cid:5)(cid:249)(cid:92)(cid:65)(cid:66).
n 0 0 n
(cid:219)(cid:99)(cid:230)C.
6(cid:145)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:471)(cid:472)(cid:25)(cid:376)(cid:473)(cid:474)(cid:305)(cid:357)(cid:187)(cid:475)(cid:476)(cid:299)(cid:477)(cid:286)(cid:53)(cid:478)(cid:348)(cid:237)(cid:188)(cid:166)(cid:430)(cid:475)(cid:423)(cid:53)(cid:187)(cid:192)(cid:409)(cid:21)(cid:190)(cid:22)(cid:479)(cid:425)
1
(cid:480)(cid:481)(cid:482)(cid:483)(cid:188)(cid:38)(cid:484)(cid:117)(cid:188)(cid:474)(cid:53)(cid:192)(cid:435)(cid:436)(cid:471)(cid:472)(cid:25)(cid:376)(cid:480)(cid:485)(cid:486)(cid:416)(cid:109)(cid:487)(cid:488)(cid:480)(cid:485)(cid:486)(cid:416)(cid:38)(cid:77)(cid:240)(cid:53)(cid:57)(cid:295)(cid:18)(cid:19)b (cid:230)b =1+ (cid:53)
n 1 a
1
1
1 b =1+
b =1+ 3 1
2 1 (cid:53) a+ (cid:53)…(cid:53)(cid:181)(cid:223)(cid:6)(cid:254)(cid:53)(cid:119)(cid:37)a ÎN*(k =1,2,L)(cid:145)(cid:200)(cid:10) (cid:11)
a+ 1 1 k
1 a a +
2 2 a
3
A(cid:145)b <b B(cid:145)b <b C(cid:145)b <b D(cid:145)b <b
1 5 3 8 6 2 4 7
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)D
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:95)(cid:96)a ÎN*k =1,2,¼(cid:53)(cid:229)(cid:241)(cid:57)(cid:18)(cid:19)b (cid:109)a(cid:38)(cid:69)(cid:110)(cid:209)(cid:210)b (cid:37)(cid:318)(cid:45)(cid:38)(cid:292)(cid:429)(cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:75)(cid:76).
k n k n
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)[(cid:58)(cid:83)(cid:22)]:(cid:124)(cid:14)(cid:76)(cid:83)
(cid:256)(cid:192)a ÎN*k =1,2,L (cid:53)
k
1 1
1 >
(cid:216)(cid:161)a <a+ (cid:53)a 1 (cid:53)(cid:197)(cid:295)b >b (cid:53)
1 1 a 1 a+ 1 2
2 1 a
2
1 1
a+ >a+
(cid:315)(cid:235) 1 a 1 1 (cid:53)(cid:199)(cid:197)b <b (cid:53)b >b
2 a + 2 3 1 3
2 a
3
1 1 1 1
> ,a+ <a+
a 1 1 1 1 1
(cid:213)(cid:256)(cid:192) 2 a + a + a + (cid:53)
2 1 2 a 2 1
a + 3 a +
3 a 3 a
4 4
(cid:219)b <b (cid:53)b >b (cid:246)
2 4 3 4
(cid:161)(cid:223)(cid:6)(cid:254)(cid:53)(cid:199)(cid:197)b >b >b >b >… (cid:53)b >b (cid:53)(cid:219)A(cid:87)(cid:346)(cid:246)
1 3 5 7 7 8
b >b >b (cid:53)(cid:219)B(cid:87)(cid:346)(cid:246)
3 7 81 1
>
a 1
2 a + (cid:53)(cid:197)b <b (cid:53)(cid:219)C(cid:87)(cid:346)(cid:246)
2 1 2 6
a +…
3 a
6
1 1
a+ >a+
1 1 1 1
a + a +… (cid:53)(cid:197)b <b (cid:53)(cid:219)D(cid:218)(cid:260).
2 1 2 1 4 7
a + a +
3 a 6 a
4 7
[(cid:58)(cid:83)(cid:25)](cid:230)(cid:97)(cid:240)(cid:83)
3 5 8 13 21 34 55
(cid:127)(cid:243)(cid:207)a =1,(cid:200)b =2,b = (cid:53)b = ,b = (cid:53)b = ,b = (cid:53)b = ,b = (cid:53)
n 1 2 2 3 3 4 5 5 8 6 13 7 21 8 34
b <b (cid:219)D(cid:218)(cid:260).
4 7
7(cid:145)（2024·上海·高考真题）a =2,a =4,a =8,a =16(cid:53)(cid:299)(cid:228)b,b ,b ,b ÎR(cid:53)(cid:226)(cid:227)
1 2 3 4 1 2 3 4
{a +a |1£i< j£4}={b +b |1£i< j£4}(cid:53)(cid:75)(cid:179)(cid:375)(cid:18)(cid:19)b,b ,b ,b (cid:179)_____(cid:259).
i j i j 1 2 3 4
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)48
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:313)(cid:260)(cid:252)  a +a(cid:489)6,10,12,18,20,24  (cid:53)(cid:229)(cid:208)(cid:101){a +a |1£i< j£4}={b +b |1£i< j£4}(cid:53)(cid:207)b <b <b <b (cid:53)
i j 1 j 1 j 1 2 3 4
(cid:199)(cid:197)(cid:295)b +b =6,b +b =10,b +b =20,b +b =24(cid:53)(cid:237)(cid:184)(cid:75)(cid:206)(cid:126)(cid:382)(cid:194)(cid:18)(cid:53)(cid:141)(cid:184)(cid:75)(cid:197)(cid:81)(cid:202).
1 2 1 3 2 4 3 4
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:64)  a +a(cid:489)6,10,12,18,20,24  (cid:53)
i j
(cid:226)(cid:227){a +a |1£i< j£4}={b +b |1£i< j£4}(cid:53)
1 j 1 j
(cid:127)(cid:243)(cid:207)b <b <b <b (cid:53)
1 2 3 4
(cid:200)(cid:249)(cid:179)b +b =6,b +b =10,b +b =20,b +b =24(cid:53)
1 2 1 3 2 4 3 4
(cid:220)b +b =12,b +b =18(cid:53)(cid:76)(cid:197)b =2,b =4,b =8,b =16(cid:246)
2 3 1 4 1 2 3 4
(cid:220)b +b =18,b +b =12(cid:53)(cid:76)(cid:197)b =-1,b =7,b =11,b =13(cid:53)
2 3 1 4 1 2 3 4
(cid:205)(cid:223)(cid:199)(cid:64)(cid:223)(cid:224)(cid:179)2(cid:362)(cid:9)(cid:437)(cid:53)
(cid:208)(cid:101)(cid:299)(cid:228)b,b ,b ,b ÎR(cid:53)(cid:178)(cid:179)2P4 =48(cid:259)(cid:53)
1 2 3 4 4
(cid:219)(cid:81)(cid:202)(cid:192)(cid:230)48
(cid:201)(cid:4)(cid:342)(cid:203)(cid:69)(cid:344)(cid:4)(cid:342)(cid:230)(cid:76)(cid:81)(cid:40)(cid:13)(cid:38)(cid:69)(cid:344)(cid:80)(cid:208)(cid:101){a +a |1£i< j£4}={b +b |1£i< j£4}(cid:254)(cid:206)b <b <b <b (cid:224)(cid:53)
1 j 1 j 1 2 3 4
(cid:126)(cid:382)(cid:194)(cid:18)(cid:38)(cid:240)(cid:53)(cid:237)(cid:184)(cid:208)(cid:101)(cid:13)(cid:228)(cid:75)(cid:197)(cid:81)(cid:202).8(cid:145)（2026·北京·高考真题）(cid:207)A=  a  (cid:80)(cid:22)(cid:194)m(cid:188)n(cid:19)(cid:38)(cid:18)(cid:490)(cid:53)(cid:193)(cid:18)(cid:490)(cid:37)(cid:38)(cid:195)(cid:22)(cid:45)a Î-1,1(cid:53)(cid:214)(cid:16)(cid:70)1
ij m´n ij
(cid:72)-1(cid:145)(cid:220)(cid:259)(cid:299)(cid:228)1£i,p£m(cid:53)1£ j,q£n(cid:53)(cid:119)(cid:37)i¹ p(cid:53)j¹q(cid:53)(cid:193) i- p - j-q =2,(cid:214)(cid:179)a +a +a +a =0,
ij iq pj pq
(cid:200)(cid:273)(cid:18)(cid:490)A(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:145)
(1)(cid:209)(cid:210)(cid:185)(cid:19)(cid:258)(cid:194)(cid:18)(cid:448)(cid:80)(cid:340)(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:145)
1 1 -1 1
A =
1
-1 1 -1 1
1 1 -1 -1
A = 1 -1 1 -1
2
-1 1 -1 1
(2)(cid:220)m=5,n=4(cid:53)(cid:200)(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:38)(cid:18)(cid:490)A(cid:37)1(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:291)(cid:345)(cid:80)(cid:345)(cid:308)(cid:491)
(3)(cid:220)m=n=6(cid:53)a =1(cid:53)(cid:193)(cid:18)(cid:490)A(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:53)(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:259)(cid:299)(cid:228)i(cid:53) jÎ{1,2,3,4,5,6}(cid:53)(cid:214)(cid:179)a =a a (cid:145)
11 ij i1 1j
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)(cid:18)(cid:448)A(cid:127)(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:53)(cid:18)(cid:448)A (cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:246)
1 2
(2)12
(3)(cid:51)(cid:52)P(cid:37)(cid:38)(cid:382)(cid:194)(cid:18)(cid:214)(cid:492)(cid:70)-1,1(cid:53)(cid:193)(cid:382)(cid:194)(cid:18)(cid:38)(cid:50)(cid:192)0(cid:53)(cid:216)(cid:161)(cid:119)(cid:37)(cid:493)(cid:179)(cid:258)(cid:194)1(cid:50)(cid:258)(cid:194)-1(cid:145)
(cid:256)(cid:223)(cid:53)(cid:259)(cid:299)(cid:228)(cid:226)(cid:227)(cid:51)(cid:52)P(cid:185)(cid:32)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:382)(cid:194)(cid:88)(cid:352)(cid:53)(cid:214)(cid:179)a a a a =1 (cid:53)
ij iq pj pq
①
(cid:259)i=1,2,¼,6(cid:53) j=1,2,¼,5(cid:53)(cid:338)c =a a .
ij ij i,j+1
(cid:313)(cid:225)(cid:188)(cid:271)(cid:192)3(cid:24)(cid:19)(cid:271)(cid:192)1(cid:38)(cid:494)(cid:399)(cid:145)
(cid:205) (cid:53)(cid:259)i=1,2,3(cid:48) j=1,2,¼,5(cid:53)(cid:179)c c =1.
ij i+3,j
①
(cid:205)(cid:70)c ,c Î-1,1(cid:53)(cid:216)(cid:161)c =c (cid:53)
ij i+3,j i+3,j ij
(cid:185)(cid:280)(cid:77)(cid:442)(cid:190)1(cid:188)(cid:109)(cid:190)2(cid:188)(cid:38)c(cid:240)(cid:145) ②
(cid:259) j=1,2,3,4(cid:53)(cid:225)(cid:190)1(cid:24)5(cid:188)(cid:50)(cid:190) j(cid:24) j+2(cid:19)(cid:145)
  
(cid:223)(cid:224)(cid:188)(cid:271)(cid:192)4(cid:53)(cid:19)(cid:271)(cid:192)2(cid:53)(cid:205) (cid:197) c c c c =1.
1j 1,j+1 5j 5,j+1
①
(cid:205) (cid:64)c =c (cid:53)(cid:219)  c c  c c  =1 (cid:53)
5j 2j 1j 2j 1,j+1 2,j+1
② ③(cid:338)d =c c .
j 1j 2j
(cid:200)(cid:205) (cid:197)d d =1(cid:53)(cid:216)(cid:161)d =d =d =d =d .
j j+1 1 2 3 4 5
(cid:229)(cid:225)③(cid:190)1(cid:24)2(cid:188)(cid:50)(cid:190)1(cid:24)4(cid:19)(cid:145)
(cid:223)(cid:224)(cid:188)(cid:271)(cid:192)1(cid:53)(cid:19)(cid:271)(cid:192)3(cid:53)(cid:205) (cid:197)c c c c c c =1,(cid:211)dd d =1.
11 12 13 21 22 23 1 2 3
①
(cid:205)(cid:70)d =d =d (cid:193)d Î-1,1(cid:53)(cid:216)(cid:161)d =1(cid:145)
1 2 3 1 1
(cid:141)(cid:184)c =c j=1,2,¼,5 (cid:53)
1j 2j
④
(cid:315)(cid:235)(cid:53)(cid:225)(cid:190)2(cid:24)6(cid:188)(cid:50)(cid:85)(cid:271)2(cid:38)(cid:258)(cid:19)(cid:53)(cid:229)(cid:225)(cid:190)2(cid:24)3(cid:188)(cid:50)(cid:85)(cid:271)3(cid:38)(cid:258)(cid:19)(cid:53)(cid:199)(cid:197)c =c j=1,2,¼,5 (cid:53)
2j 3j
⑤
(cid:208)(cid:101) (cid:24) (cid:24) (cid:53)(cid:199)(cid:64)(cid:259)(cid:70)(cid:195)(cid:194) j=1,2,¼,5(cid:53)(cid:214)(cid:179)c =c =L=c (cid:53)
1j 2j 6j
② ④ ⑤ ⑥
(cid:261) j=1(cid:224)(cid:53)(cid:205)a =1(cid:53)(cid:364)(cid:365)(cid:179)a =a a .
11 i1 i1 11
(cid:261) j³2(cid:224)(cid:53)(cid:205) (cid:53)(cid:205)(cid:37)(cid:306)(cid:256)(cid:495)(cid:319)(cid:187)(cid:259)(cid:206)(cid:418)(cid:53)(cid:193)a2 =1(cid:53)(cid:179)a a =a a a a  L  a a  =c c Lc .
ik i1 ij i1 i2 i2 i3 i,j-1 ij i1 i2 i,j-1
⑥
(cid:229)(cid:205) (cid:53)c c Lc =c c Lc =a a =a .
i1 i2 i,j-1 11 12 1,j-1 11 1j 1j
⑥
(cid:258)(cid:336)(cid:315)(cid:113)a (cid:53)(cid:74)(cid:241)(cid:57)a2 =1(cid:53)(cid:197)a =a a .
i1 i1 ij i1 1j
(cid:12)(cid:13)(cid:197)(cid:378)(cid:145)
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:51)(cid:52)P(cid:38)(cid:185)(cid:32)(cid:496)(cid:497)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:99)(cid:225)(cid:289)(cid:101)(cid:92)(cid:75)(cid:38)(cid:382)(cid:330)(cid:73)(cid:264)(cid:287)(cid:439)(cid:378)(cid:53)(cid:220)(cid:323)(cid:305)(cid:127)(cid:226)(cid:227)(cid:50)(cid:192)0(cid:38)(cid:73)(cid:101)(cid:200)(cid:127)
(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:53)(cid:257)(cid:198)(cid:200)(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P.
(cid:10)2(cid:11)(cid:205)(cid:51)(cid:52)P(cid:38)(cid:50)(cid:496)(cid:497)(cid:254)(cid:447)(cid:188)(cid:19)(cid:289)(cid:376)(cid:38)(cid:16)(cid:369)(cid:113)(cid:405)(cid:496)(cid:497)(cid:53)(cid:260)(cid:252)(cid:195)(cid:188)1(cid:38)(cid:291)(cid:292)(cid:199)(cid:188)(cid:18)(cid:41)(cid:53)(cid:208)(cid:101)(cid:188)(cid:198)(cid:306)(cid:38)(cid:289)(cid:376)(cid:388)
(cid:498)(cid:14)(cid:15)(cid:42)(cid:43)(cid:499)1(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:38)(cid:28)(cid:356)(cid:53)(cid:116)(cid:117)(cid:289)(cid:101)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:335)(cid:355)(cid:378)(cid:441)(cid:28)(cid:356)(cid:199)(cid:449).
(cid:10)3(cid:11)(cid:241)(cid:57)(cid:51)(cid:52)P(cid:38)(cid:113)(cid:405)(cid:16)(cid:369)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:208)(cid:101)a =1(cid:38)(cid:500)(cid:351)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:313)(cid:439)(cid:378)(cid:17)(cid:192)2(cid:38)(cid:185)(cid:32)(cid:73)(cid:101)(cid:53)(cid:229)(cid:44)(cid:62)(cid:302)(cid:254)(cid:254)(cid:501)(cid:295)
11
(cid:216)(cid:179)(cid:185)(cid:32)i, j(cid:53)(cid:357)(cid:187)(cid:378)(cid:441).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:259)(cid:70)A(cid:53)(cid:339)(cid:179)(cid:258)(cid:188)(cid:53)(cid:216)(cid:161)(cid:188)(cid:271)(cid:339)(cid:54)(cid:192)1(cid:145)
1
(cid:92)(cid:226)(cid:227)|(cid:188)(cid:271)- (cid:19)(cid:271)|=2(cid:53)(cid:19)(cid:271)(cid:339)(cid:54)(cid:192)3(cid:145)
(cid:225)(cid:190)1(cid:24)2(cid:188)(cid:50)(cid:190)1(cid:24)4(cid:19)(cid:53)(cid:382)(cid:194)(cid:278)(cid:4)(cid:198)(cid:50)(cid:192)1+1+-1+1=2¹0.
(cid:216)(cid:161)A(cid:127)(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:145)
1
(cid:259)(cid:70)A (cid:53)(cid:188)(cid:271)(cid:192)1(cid:224)(cid:53)(cid:19)(cid:271)(cid:339)(cid:54)(cid:192)3(cid:246)(cid:188)(cid:271)(cid:192)2(cid:224)(cid:53)(cid:127)(cid:323)(cid:305)(cid:289)(cid:101)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:19)(cid:271)(cid:145)
2(cid:256)(cid:223)(cid:53)(cid:339)(cid:133)(cid:438)(cid:439)(cid:85)(cid:268)(cid:258)(cid:188)(cid:109)(cid:190)1(cid:24)4(cid:19)(cid:73)(cid:187)(cid:38)(cid:258)(cid:194)(cid:494)(cid:399)(cid:145)
(cid:190)1(cid:24)2(cid:188)(cid:259)(cid:106)(cid:38)(cid:382)(cid:194)(cid:278)(cid:4)(cid:198)(cid:50)(cid:192)1+-1+1+-1=0.
(cid:190)2(cid:24)3(cid:188)(cid:259)(cid:106)(cid:38)(cid:382)(cid:194)(cid:278)(cid:4)(cid:198)(cid:50)(cid:192)1+-1+-1+1=0.
(cid:216)(cid:161)A (cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:145)
2
4
(cid:10)2(cid:11)(cid:207)(cid:190)i(cid:188)(cid:330)(cid:374)(cid:198)(cid:50)(cid:192)s =åa .
i ij
j=1
(cid:313)(cid:3)(cid:502)(cid:190)1(cid:188)(cid:109)(cid:190)4(cid:188)(cid:145)
(cid:338)x =a +a j=1,2,3,4.
j 1j 4j
(cid:259) j=1,2,3(cid:53)(cid:190)1(cid:24)4(cid:188)(cid:38)(cid:188)(cid:271)(cid:192)3(cid:53)(cid:190) j(cid:24) j+1(cid:19)(cid:38)(cid:19)(cid:271)(cid:192)1(cid:53)(cid:205)(cid:51)(cid:52)P(cid:197)x +x =0.
j j+1
(cid:256)(cid:223)x 2 =−x 1, x 3 =x 1 ,x 4 =−x 1 ,(cid:141)(cid:184)s 1 +s 4 =x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =0.
(cid:315)(cid:235)(cid:53)(cid:3)(cid:502)(cid:190)2(cid:188)(cid:109)(cid:190)5(cid:188)(cid:53)(cid:199)(cid:197)s +s =0.
2 5
(cid:216)(cid:161)(cid:142)(cid:194)(cid:18)(cid:490)(cid:216)(cid:179)(cid:330)(cid:374)(cid:198)(cid:50)(cid:192)s +s +s +s +s =s £4.
1 2 3 4 5 3
(cid:207)(cid:18)(cid:490)(cid:37)1(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:192)N (cid:145)
(cid:18)(cid:490)(cid:37)(cid:178)(cid:179)20(cid:194)(cid:18)(cid:53)(cid:256)(cid:223)-1(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:192)20-N(cid:53)(cid:141)(cid:184)N-20-N£4.(cid:76)(cid:197)N £12.
(cid:185)(cid:280)(cid:432)(cid:441)12(cid:199)(cid:161)(cid:449)(cid:295)(cid:145)
æ 1 -1 -1 1 ö
ç ÷
-1 1 1 -1
ç ÷
(cid:225)A=ç 1 1 1 1 ÷.
ç ÷
-1 1 1 -1
ç ÷
ç ÷
è 1 -1 -1 1 ø
(cid:176)(cid:18)(cid:490)(cid:37)(cid:178)(cid:179)12(cid:194)1(cid:145)
(cid:259)(cid:70)m=5,n=4(cid:38)(cid:18)(cid:490)(cid:53)(cid:199)(cid:54)(cid:38)(cid:188)(cid:271)(cid:24)(cid:19)(cid:271)(cid:73)(cid:101)(cid:339)(cid:179)1,3,3,1,4,2.
(cid:261)(cid:188)(cid:271)(cid:24)(cid:19)(cid:271)(cid:192)1,3(cid:224)(cid:53)(cid:85)(cid:268)(cid:258)(cid:188)(cid:190)1(cid:24)4(cid:19)(cid:38)(cid:382)(cid:194)(cid:18)(cid:198)(cid:50)(cid:319)(cid:192)0(cid:246)
(cid:261)(cid:188)(cid:271)(cid:24)(cid:19)(cid:271)(cid:192)3,1(cid:224)(cid:53)(cid:190)1(cid:24)4(cid:188)(cid:161)(cid:48)(cid:190)2(cid:24)5(cid:188)(cid:259)(cid:106)(cid:318)(cid:19)(cid:38)(cid:330)(cid:374)(cid:198)(cid:50)(cid:319)(cid:192)0(cid:246)
(cid:261)(cid:188)(cid:271)(cid:24)(cid:19)(cid:271)(cid:192)4,2(cid:224)(cid:53)(cid:190)1(cid:24)5(cid:188)(cid:109)(cid:85)(cid:271)2(cid:38)(cid:258)(cid:19)(cid:73)(cid:187)(cid:38)(cid:382)(cid:194)(cid:18)(cid:198)(cid:50)(cid:251)(cid:192)0(cid:145)
(cid:216)(cid:161)(cid:176)(cid:18)(cid:490)(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:53)(cid:193)1(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:192)12(cid:145)(cid:256)(cid:223)(cid:53)1(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:291)(cid:345)(cid:192)12.
(cid:10)3(cid:11)(cid:444)
9(cid:145)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:207)m(cid:192)(cid:218)(cid:142)(cid:18)(cid:53)(cid:18)(cid:19)a,a ,...,a (cid:80)(cid:46)(cid:17)(cid:127)(cid:192)0(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:220)(cid:141)(cid:37)(cid:503)(cid:300)
1 2 4m+2
(cid:258)(cid:45)a (cid:50)a i< j(cid:286)(cid:504)(cid:317)(cid:38)4m(cid:45)(cid:199)(cid:505)(cid:270)(cid:319)(cid:5)(cid:192)m(cid:73)(cid:53)(cid:193)(cid:195)(cid:73)(cid:38)4(cid:194)(cid:18)(cid:214)(cid:54)(cid:116)(cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)(cid:273)(cid:18)(cid:19)
i j
a,a ,...,a (cid:80)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:145)
1 2 4m+2
(1)(cid:311)(cid:206)(cid:216)(cid:179)(cid:38)i, j(cid:53)1£i< j£6(cid:53)(cid:196)(cid:18)(cid:19)a,a ,...,a (cid:80)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:246)
1 2 6
(2)(cid:261)m³3(cid:224)(cid:53)(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:18)(cid:19)a,a ,...,a (cid:80)2,13-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:246)
1 2 4m+2
(3)(cid:141)1,2,...,4m+2(cid:37)(cid:299)(cid:225)(cid:258)(cid:194)(cid:18)i(cid:50) ji< j(cid:53)(cid:191)(cid:18)(cid:19)a,a ,...,a (cid:80)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:103)(cid:285)(cid:192)P (cid:53)(cid:378)(cid:441)(cid:230)
1 2 4m+2 m
1
P > (cid:145)
m 8
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1) 1,2,1,6,5,6
(2)(cid:378)(cid:441)(cid:125)(cid:76)(cid:204)
(3)(cid:378)(cid:441)(cid:125)(cid:76)(cid:204)
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:244)(cid:245)(cid:95)(cid:96)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:252)(cid:253)(cid:211)(cid:199)(cid:246)
(cid:10)2(cid:11)(cid:95)(cid:96)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:252)(cid:253)(cid:211)(cid:199)(cid:439)(cid:378)(cid:208)(cid:359)(cid:246)
(cid:10)3(cid:11)(cid:378)(cid:441)(cid:196)(cid:197)(cid:506)(cid:18)(cid:19)(cid:80)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:38)i, j(cid:307)(cid:308)(cid:179)m+12-m(cid:194)(cid:53)(cid:229)(cid:196)(cid:57)(cid:103)(cid:285)(cid:38)(cid:252)(cid:253).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:71)(cid:313)(cid:53)(cid:409)(cid:380)(cid:207)(cid:18)(cid:19)a,a ,...,a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:200)d ¹0.
1 2 4m+2
(cid:205)(cid:70)(cid:22)(cid:194)(cid:18)(cid:19)(cid:315)(cid:224)(cid:112)(cid:28)(cid:22)(cid:194)(cid:18)(cid:72)(cid:238)(cid:113)(cid:161)(cid:22)(cid:194)(cid:303)(cid:147)(cid:18)(cid:286)(cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:261)(cid:193)(cid:128)(cid:261)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
a -a
(cid:219)(cid:409)(cid:380)(cid:199)(cid:161)(cid:259)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:237)(cid:188)(cid:102)(cid:261)(cid:38)(cid:372)(cid:399)a¢ = k 1 +1k =1,2,...,4m+2(cid:53)
k d
(cid:197)(cid:295)(cid:30)(cid:18)(cid:19)a¢ =kk =1,2,...,4m+2(cid:53)(cid:365)(cid:286)(cid:259)a¢,a¢,...,a¢ (cid:237)(cid:188)(cid:85)(cid:106)(cid:38)(cid:358)(cid:359)(cid:211)(cid:199).
k 1 2 4m+2
(cid:329)(cid:507)(cid:198)(cid:53)(cid:409)(cid:380)(cid:199)(cid:161)(cid:127)(cid:243)(cid:207)a =kk =1,2,...,4m+2(cid:53)(cid:223)(cid:286)(cid:38)(cid:358)(cid:359)(cid:319)(cid:67)(cid:68)(cid:305)(cid:176)(cid:453)(cid:207)(cid:185)(cid:237)(cid:188).
k
(cid:152)(cid:295)(cid:506)(cid:13)(cid:53)(cid:190)1(cid:429)(cid:328)(cid:85)(cid:261)(cid:70)(cid:141)1,2,3,4,5,6(cid:37)(cid:225)(cid:206)(cid:258)(cid:194)(cid:18)i(cid:50) ji< j(cid:53)(cid:196)(cid:197)(cid:504)(cid:185)(cid:382)(cid:194)(cid:18)(cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19).
(cid:508)(cid:509)(cid:504)(cid:185)(cid:382)(cid:194)(cid:18)(cid:339)(cid:199)(cid:54)(cid:80)1,2,3,4(cid:53)(cid:72)2,3,4,5(cid:53)(cid:72)3,4,5,6.
(cid:216)(cid:161)(cid:216)(cid:179)(cid:199)(cid:54)(cid:38)i, j(cid:417)(cid:80)1,2,1,6,5,6
.
(cid:10)2(cid:11)(cid:205)(cid:70)(cid:141)(cid:18)(cid:19)1,2,...,4m+2(cid:37)(cid:225)(cid:206)2(cid:50)13(cid:286)(cid:53)(cid:504)(cid:317)(cid:38)4m(cid:194)(cid:18)(cid:199)(cid:161)(cid:5)(cid:192)(cid:161)(cid:185)(cid:258)(cid:194)(cid:462)(cid:5)(cid:53)(cid:178)m(cid:73)(cid:53)(cid:196)(cid:197)(cid:195)(cid:73)(cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:230)
1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14(cid:53)(cid:178)3(cid:73)(cid:246)
①
15,16,17,18,19,20,21,22,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2(cid:53)(cid:178)m-3(cid:73).
②(cid:10)(cid:446)(cid:316)m-3=0(cid:53)(cid:200)(cid:510)(cid:444) (cid:11)
(cid:219)(cid:18)(cid:19)1,2,...,4m+2(cid:80)2,1②3-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19).
(cid:10)3(cid:11)(cid:252)(cid:253)(cid:327)(cid:101)A=4k+1k =0,1,2,...,m=1,5,9,13,...,4m+1(cid:53)
B=4k+2 k =0,1,2,...,m=2,6,10,14,...,4m+2.
(cid:185)(cid:280)(cid:378)(cid:441)(cid:53)(cid:259)1£i< j£4m+2(cid:53)(cid:446)(cid:316)(cid:185)(cid:280)(cid:258)(cid:194)(cid:12)(cid:13)(cid:315)(cid:224)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
(cid:200)(cid:18)(cid:19)1,2,...,4m+2(cid:22)(cid:252)(cid:80)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:230)
(cid:12)(cid:13)1(cid:230)iÎA, jÎB(cid:72)iÎB, jÎA(cid:246)
(cid:12)(cid:13)2(cid:230) j-i¹3.
(cid:409)(cid:380)(cid:5)(cid:258)(cid:362)(cid:9)(cid:437)(cid:378)(cid:441)(cid:126)(cid:194)(cid:208)(cid:359).
(cid:190)(cid:22)(cid:362)(cid:9)(cid:437)(cid:230)(cid:446)(cid:316)iÎA, jÎB(cid:53)(cid:193) j-i¹3.
(cid:223)(cid:224)(cid:207)i=4k +1(cid:53) j=4k +2(cid:53)k ,k Î0,1,2,...,m .
1 2 1 2
1
(cid:200)(cid:205)i< j(cid:199)(cid:64)4k +1<4k +2(cid:53)(cid:211)k -k >- (cid:53)(cid:219)k ³k .
1 2 2 1 4 2 1
(cid:223)(cid:224)(cid:53)(cid:205)(cid:70)(cid:141)(cid:18)(cid:19)1,2,...,4m+2(cid:37)(cid:225)(cid:206)i=4k +1(cid:50) j=4k +2(cid:286)(cid:53)
1 2
(cid:504)(cid:317)(cid:38)4m(cid:194)(cid:18)(cid:199)(cid:161)(cid:5)(cid:192)(cid:161)(cid:185)(cid:242)(cid:194)(cid:462)(cid:5)(cid:53)(cid:178)m(cid:73)(cid:53)(cid:196)(cid:197)(cid:195)(cid:73)(cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:230)
1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k -3,4k -2,4k -1,4k(cid:53)(cid:178)k (cid:73)(cid:246)
1 1 1 1 1
①
4k +2,4k +3,4k +4,4k +5,4k +6,4k +7,4k +8,4k +9,...,4k -2,4k -1,4k ,4k +1(cid:53)(cid:178)k -k (cid:73)(cid:246)
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1
②
4k +3,4k +4,4k +5,4k +6,4k +7,4k +8,4k +9,4k +10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2(cid:53)(cid:178)m-k
2 2 2 2 2 2 2 2 2
③(cid:73).
(cid:10)(cid:446)(cid:316)(cid:276)(cid:22)(cid:462)(cid:5)(cid:38)(cid:73)(cid:18)(cid:192)0(cid:53)(cid:200)(cid:510)(cid:444)(cid:198)(cid:11)
(cid:219)(cid:223)(cid:224)(cid:18)(cid:19)1,2,...,4m+2(cid:80)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19).
(cid:190)(cid:25)(cid:362)(cid:9)(cid:437)(cid:230)(cid:446)(cid:316)iÎB, jÎA(cid:53)(cid:193) j-i¹3.
(cid:223)(cid:224)(cid:207)i=4k +2(cid:53) j=4k +1(cid:53)k ,k Î0,1,2,...,m .
1 2 1 21
(cid:200)(cid:205)i< j(cid:199)(cid:64)4k +2<4k +1(cid:53)(cid:211)k -k > (cid:53)(cid:219)k >k .
1 2 2 1 4 2 1
(cid:205)(cid:70) j-i¹3(cid:53)(cid:219)4k +1-4k +2¹3(cid:53)(cid:141)(cid:184)k -k ¹1(cid:53)(cid:126)(cid:417)(cid:228)(cid:511)(cid:412)k -k ³2.
2 1 2 1 2 1
(cid:223)(cid:224)(cid:53)(cid:205)(cid:70)(cid:141)(cid:18)(cid:19)1,2,...,4m+2(cid:37)(cid:225)(cid:206)i=4k +2(cid:50) j=4k +1(cid:286)(cid:53)(cid:504)(cid:317)(cid:38)4m(cid:194)(cid:18)(cid:199)(cid:161)(cid:5)(cid:192)(cid:161)(cid:185)(cid:382)(cid:194)(cid:462)(cid:5)(cid:53)
1 2
(cid:178)m(cid:73)(cid:53)(cid:196)(cid:197)(cid:195)(cid:73)(cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:230)
1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k -3,4k -2,4k -1,4k(cid:53)(cid:178)k (cid:73)(cid:246)
1 1 1 1 1
①
4k +1,3k +k +1,2k +2k +1,k +3k +1(cid:53)3k +k +2,2k +2k +2,k +3k +2,4k +2(cid:53)(cid:178)2(cid:73)(cid:246)
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
②
(cid:20)(cid:143)4k + p,3k +k + p,2k +2k + p,k +3k + p(cid:53)(cid:119)(cid:37)p=3,4,...,k -k (cid:53)(cid:178)k -k -2(cid:73)(cid:246)
1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
③
4k +3,4k +4,4k +5,4k +6,4k +7,4k +8,4k +9,4k +10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2(cid:53)(cid:178)m-k
2 2 2 2 2 2 2 2 2
④(cid:73).
(cid:10)(cid:446)(cid:316)(cid:276)(cid:22)(cid:462)(cid:5)(cid:38)(cid:73)(cid:18)(cid:192)0(cid:53)(cid:200)(cid:510)(cid:444)(cid:198)(cid:11)
(cid:126)(cid:512)(cid:259) (cid:50) (cid:237)(cid:188)(cid:22)(cid:185)(cid:76)(cid:513)(cid:230)(cid:189) (cid:37)(cid:38)(cid:195)(cid:22)(cid:73)(cid:255)(cid:192)(cid:22)(cid:194)(cid:514)(cid:186)(cid:53)(cid:186)(cid:187)(cid:22)(cid:194)(cid:360)(cid:361)k -k -2(cid:194)(cid:188)(cid:53)4(cid:194)(cid:19)(cid:38)(cid:18)(cid:448)
2 1
(cid:161)(cid:286)(cid:53)② 4(cid:194)(cid:19)③(cid:5)(cid:282)(cid:80)(cid:185)(cid:280)(cid:126)(cid:515)(cid:18)(cid:230)③
4k +3,4k +4,...,3k +k (cid:53)3k +k +3,3k +k +4,...,2k +2k (cid:53)2k +2k +3,2k +2k +3,...,k +3k (cid:53)
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
k +3k +3,k +3k +4,...,4k  .
1 2 1 2 2
(cid:199)(cid:161)(cid:516)(cid:206)(cid:195)(cid:19)(cid:214)(cid:80)(cid:347)(cid:348)(cid:38)(cid:220)(cid:517)(cid:194)(cid:142)(cid:18)(cid:53)(cid:379)(cid:380)(cid:229)(cid:225)(cid:74)(cid:161)(cid:286)(cid:53)(cid:189)(cid:225)(cid:518)4k +1,4k +2,...,4k +2(cid:37)(cid:337)(cid:434)(cid:7)(cid:194)(cid:327)(cid:101)
1 1 2
4k +1,4k +2(cid:53)3k +k +1,3k +k +2(cid:53)2k +2k +1,2k +2k +2(cid:53)k +3k +1,k +3k +2(cid:53)
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4k +1,4k +2(cid:37)(cid:38)(cid:519)(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:161)(cid:520)(cid:38)(cid:216)(cid:179)(cid:18).
2 2
(cid:184)(cid:126)(cid:519)(cid:194)(cid:18)(cid:37)(cid:53)(cid:337)(cid:434)(cid:63)(cid:322)(cid:300)(cid:521)(cid:38)4k +2(cid:50)4k +1(cid:161)(cid:520)(cid:53)(cid:504)(cid:317)(cid:38)(cid:148)(cid:194)(cid:18)(cid:493)(cid:137)(cid:417)(cid:80) (cid:37)(cid:206)(cid:418)(cid:38)(cid:148)(cid:194)(cid:18).
1 2
②
(cid:126)(cid:417)(cid:432)(cid:441)(cid:409)(cid:380)(cid:373)(cid:206)(cid:38)(cid:5)(cid:73)(cid:58)(cid:47)(cid:226)(cid:227)(cid:92)(cid:75)(cid:53)(cid:219)(cid:223)(cid:224)(cid:18)(cid:19)1,2,...,4m+2(cid:80)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19).
(cid:307)(cid:223)(cid:53)(cid:409)(cid:380)(cid:378)(cid:441)(cid:419)(cid:230)(cid:259)1£i< j£4m+2(cid:53)(cid:446)(cid:316)(cid:49)(cid:334)(cid:12)(cid:13)1(cid:50)(cid:12)(cid:13)2(cid:315)(cid:224)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:200)(cid:18)(cid:19)1,2,...,4m+2(cid:22)(cid:252)(cid:80)i, j-
(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19).
(cid:365)(cid:286)(cid:409)(cid:380)(cid:233)(cid:3)(cid:383)(cid:126)(cid:455)(cid:38)i, j(cid:38)(cid:194)(cid:18).
(cid:71)(cid:313)(cid:53)(cid:205)(cid:70)AIB=Æ(cid:53)A(cid:50)B(cid:318)(cid:179)m+1(cid:194)(cid:330)(cid:374)(cid:53)(cid:219)(cid:226)(cid:227)(cid:12)(cid:13)1(cid:38)i, j(cid:499)(cid:178)(cid:179)m+12(cid:194)(cid:246)(cid:184)(cid:446)(cid:316) j-i=3(cid:53)(cid:453)(cid:207)iÎA, jÎB(cid:53)(cid:200)(cid:199)(cid:207)i=4k +1(cid:53) j=4k +2(cid:53)(cid:264)(cid:287)(cid:197)4k +2-4k +1=3.
1 2 2 1
1
(cid:248)(cid:126)(cid:447)(cid:522)k -k = (cid:53)(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:216)(cid:161)iÎB, jÎA.
2 1 2
(cid:207)i=4k +2(cid:53) j=4k +1(cid:53)k ,k Î0,1,2,...,m(cid:53)(cid:200)4k +1-4k +2=3(cid:53)(cid:211)k -k =1.
1 2 1 2 2 1 2 1
(cid:216)(cid:161)(cid:199)(cid:54)(cid:38)k ,k (cid:493)(cid:137)(cid:417)(cid:80)0,1,1,2,...,m-1,m(cid:53)(cid:259)(cid:106)(cid:38)i, j(cid:5)(cid:282)(cid:80)2,5,6,9,...,4m-2,4m+1(cid:53)(cid:499)
1 2
(cid:178)m(cid:194).
(cid:216)(cid:161)(cid:126)m+12(cid:194)(cid:226)(cid:227)(cid:12)(cid:13)1(cid:38)i, j(cid:37)(cid:53)(cid:127)(cid:226)(cid:227)(cid:12)(cid:13)2(cid:38)(cid:493)(cid:137)(cid:179)m(cid:194).
(cid:126)(cid:417)(cid:197)(cid:295)(cid:315)(cid:224)(cid:226)(cid:227)(cid:12)(cid:13)1(cid:50)(cid:12)(cid:13)2(cid:38)i, j(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:192)m+12-m.
(cid:261)(cid:409)(cid:380)(cid:141)1,2,...,4m+2(cid:37)(cid:22)(cid:324)(cid:299)(cid:225)(cid:258)(cid:194)(cid:18)i(cid:50) ji< j(cid:224)(cid:53)(cid:499)(cid:38)(cid:99)(cid:225)(cid:58)(cid:47)(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:16)(cid:70)
4m+24m+1
=2m+14m+1.
2
(cid:184)(cid:95)(cid:96)(cid:198)(cid:49)(cid:38)(cid:208)(cid:359)(cid:53)(cid:196)(cid:197)(cid:18)(cid:19)a,a ,...,a (cid:80)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:38)i, j(cid:307)(cid:308)(cid:179)m+12-m(cid:194).
1 2 4m+2
(cid:216)(cid:161)(cid:18)(cid:19)a,a ,...,a (cid:80)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:103)(cid:285)P (cid:22)(cid:252)(cid:226)(cid:227)
1 2 4m+2 m
1 æ 1ö 2
m+12 -m m2+m+1 m2+m+ 4 ç è m+ 2 ÷ ø 1.
P ³ = > = =
m 2m+14m+1 2m+14m+1 2m+14m+2 22m+12m+1 8
(cid:126)(cid:417)(cid:378)(cid:441)(cid:419)(cid:208)(cid:359).
(cid:201)(cid:4)(cid:342)(cid:203)(cid:69)(cid:344)(cid:4)(cid:4)(cid:342)(cid:230)(cid:40)(cid:13)(cid:38)(cid:69)(cid:344)(cid:305)(cid:70)(cid:259)(cid:30)(cid:252)(cid:253)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:235)(cid:76)(cid:53)(cid:339)(cid:179)(cid:235)(cid:76)(cid:419)(cid:252)(cid:253)(cid:53)(cid:58)(cid:199)(cid:196)(cid:57)(cid:252)(cid:253)(cid:439)(cid:378)(cid:72)(cid:475)(cid:436)
(cid:208)(cid:359).
10(cid:145)（2024·北京·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:327)(cid:101)
M = i, j,k,wiÎ1,2, jÎ3,4,kÎ5,6,wÎ7,8,(cid:193)i+ j+k+w(cid:192)(cid:217)(cid:18)  (cid:145)(cid:373)(cid:252)(cid:18)(cid:19)A:a,a ,L,a (cid:53)(cid:50)(cid:375)
1 2 8
(cid:19)W:T,T ,LT (cid:53)(cid:119)(cid:37)T =i, j,k ,w ÎMt =1,2,L,s(cid:53)(cid:259)(cid:18)(cid:19)A(cid:237)(cid:188)(cid:446)(cid:185)(cid:372)(cid:329)(cid:230)(cid:189)A(cid:38)(cid:190)i, j,k ,w (cid:45)(cid:319)
1 2 s t t t t t 1 1 1 1
(cid:112)1(cid:53)(cid:119)(cid:317)(cid:45)(cid:127)(cid:372)(cid:53)(cid:197)(cid:295)(cid:38)(cid:18)(cid:19)(cid:191)(cid:255)T A(cid:246)(cid:189)T A(cid:38)(cid:190)i , j ,k ,w (cid:45)(cid:319)(cid:112)1(cid:53)(cid:119)(cid:317)(cid:45)(cid:127)(cid:372)(cid:53)(cid:197)(cid:295)(cid:18)(cid:19)(cid:191)(cid:255)
1 1 2 2 2 2
TT A(cid:246)……(cid:246)(cid:161)(cid:223)(cid:6)(cid:254)(cid:53)(cid:197)(cid:295)T LTT A(cid:53)(cid:314)(cid:191)(cid:192)WA(cid:145)
2 1 s 2 1
(1)(cid:373)(cid:252)(cid:18)(cid:19)A:1,3,2,4,6,3,1,9(cid:50)(cid:375)(cid:19)W:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7(cid:53)(cid:311)(cid:206)WA(cid:246)
(2)(cid:80)(cid:340)(cid:323)(cid:305)(cid:375)(cid:19)W(cid:53)(cid:196)(cid:197)WA(cid:192)a +2,a +6,a +4,a +2,a +8,a +2,a +4,a +4(cid:53)(cid:220)(cid:323)(cid:305)(cid:53)(cid:311)(cid:206)(cid:22)(cid:194)(cid:289)(cid:101)
1 2 3 4 5 6 7 8
(cid:65)(cid:66)(cid:38)W(cid:246)(cid:220)(cid:127)(cid:323)(cid:305)(cid:53)(cid:523)(cid:432)(cid:441)(cid:235)(cid:205)(cid:246)(3)(cid:220)(cid:18)(cid:19)A(cid:38)(cid:318)(cid:45)(cid:319)(cid:192)(cid:218)(cid:142)(cid:18)(cid:53)(cid:193)a +a +a +a (cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:53)(cid:75)(cid:378)(cid:230)“(cid:323)(cid:305)(cid:375)(cid:19)W(cid:53)(cid:196)(cid:197)WA(cid:38)(cid:318)(cid:45)(cid:214)(cid:85)(cid:16)”
1 3 5 7
(cid:38)(cid:247)(cid:92)(cid:65)(cid:66)(cid:192)“a +a =a +a =a +a =a +a ”(cid:145)
1 2 3 4 5 6 7 8
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)WA:3,4,4,5,8,4,3,10
(2)(cid:127)(cid:323)(cid:305)(cid:289)(cid:101)(cid:65)(cid:66)(cid:38)W(cid:53)(cid:235)(cid:205)(cid:125)(cid:76)(cid:204)
(3)(cid:378)(cid:441)(cid:125)(cid:76)(cid:204)
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:244)(cid:245)(cid:349)(cid:524)ΩA(cid:38)(cid:252)(cid:253)(cid:311)(cid:206)ΩA(cid:211)(cid:199)(cid:246)
(cid:10)2(cid:11)(cid:76)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:241)(cid:57)(cid:257)(cid:378)(cid:83)(cid:53)(cid:453)(cid:207)(cid:323)(cid:305)(cid:289)(cid:101)(cid:65)(cid:66)(cid:38)W(cid:53)(cid:205)(cid:223)(cid:19)(cid:206)(cid:58)(cid:59)(cid:73)(cid:53)(cid:237)(cid:22)(cid:274)(cid:432)(cid:441)(cid:58)(cid:59)(cid:73)(cid:366)(cid:76)(cid:211)(cid:199)(cid:246)(cid:76)(cid:83)
(cid:25)(cid:230)(cid:259)(cid:70)(cid:299)(cid:228)(cid:375)(cid:19)(cid:53)(cid:216)(cid:197)(cid:18)(cid:19)(cid:198)(cid:50)(cid:77)(cid:506)(cid:18)(cid:19)(cid:198)(cid:50)(cid:345)4(cid:53)(cid:199)(cid:64)(cid:375)(cid:19)W(cid:178)(cid:179)8(cid:45)(cid:53)(cid:199)(cid:64)(cid:230)
b +b -a +a =8,n=1,2,3,4(cid:53)(cid:438)(cid:439)(cid:211)(cid:199)(cid:246)
2n-1 2n 2n-1 2n
(cid:10)3(cid:11)(cid:76)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:5)(cid:247)(cid:5)(cid:51)(cid:50)(cid:249)(cid:92)(cid:51)(cid:258)(cid:58)(cid:280)(cid:359)(cid:378)(cid:246)(cid:76)(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:220)a +a =a +a =a +a =a +a (cid:53)(cid:5)(cid:6)(cid:358)(cid:359)
1 2 3 4 5 6 7 8
a,a ,a ,a (cid:85)(cid:16)(cid:197)(cid:194)(cid:18)(cid:53)(cid:208)(cid:101)(cid:13)(cid:228)(cid:378)(cid:441)(cid:211)(cid:199)(cid:246)(cid:220)(cid:323)(cid:305)(cid:375)(cid:19)W(cid:53)(cid:196)(cid:197)ΩA(cid:192)(cid:124)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:208)(cid:101)(cid:252)(cid:253)(cid:5)(cid:204)(cid:378)(cid:441)(cid:211)(cid:199).
1 3 5 7
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:256)(cid:192)(cid:18)(cid:19)A:1,3,2,4,6,3,1,9(cid:53)
(cid:205)(cid:375)(cid:19)T 1,3,5,7(cid:199)(cid:197)T A:2,3,3,4,7,3,2,9(cid:246)
1 1
(cid:205)(cid:375)(cid:19)T 2,4,6,8(cid:199)(cid:197)TT A:2,4,3,5,7,4,2,10(cid:246)
2 2 1
(cid:205)(cid:375)(cid:19)T 1,3,5,7(cid:199)(cid:197)TTT A:3,4,4,5,8,4,3,10(cid:246)
3 3 2 1
(cid:216)(cid:161)ΩA:3,4,4,5,8,4,3,10.
(cid:10)2(cid:11)(cid:76)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:453)(cid:207)(cid:323)(cid:305)(cid:289)(cid:101)(cid:65)(cid:66)(cid:38)W(cid:53)(cid:199)(cid:64)ΩA(cid:38)(cid:190)1,2(cid:45)(cid:198)(cid:50)(cid:192)a +a +s(cid:53)(cid:190)3,4(cid:45)(cid:198)(cid:50)(cid:192)a +a +s(cid:53)
1 2 3 4
ìï a +2+a +6=a +a +s
(cid:200)í 1 2 1 2 (cid:53)(cid:184)(cid:176)(cid:58)(cid:59)(cid:73)(cid:366)(cid:76)(cid:53)(cid:219)(cid:453)(cid:207)(cid:127)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
ïî a
3
+4+a
4
+2=a
3
+a
4
+s
(cid:219)(cid:127)(cid:323)(cid:305)(cid:289)(cid:101)(cid:65)(cid:66)(cid:38)W(cid:246)
(cid:76)(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:64)(cid:230)(cid:259)(cid:70)(cid:299)(cid:228)(cid:375)(cid:19)(cid:53)(cid:216)(cid:197)(cid:18)(cid:19)(cid:198)(cid:50)(cid:77)(cid:506)(cid:18)(cid:19)(cid:198)(cid:50)(cid:345)4(cid:53)
(cid:453)(cid:207)(cid:323)(cid:305)(cid:289)(cid:101)(cid:65)(cid:66)(cid:38)W(cid:53)(cid:193)ΩA:b,b ,×××,b (cid:53)
1 2 8
2+6+4+2+8+2+4+4
(cid:256)(cid:192) =8(cid:53)(cid:211)(cid:375)(cid:19)W(cid:178)(cid:179)8(cid:45)(cid:53)
4
(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:64)(cid:230)b +b -a +a =8,n=1,2,3,4(cid:53)
2n-1 2n 2n-1 2n
(cid:438)(cid:439)(cid:199)(cid:64)(cid:230)(cid:261)n=2,3(cid:224)(cid:53)(cid:28)(cid:47)(cid:127)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:211)(cid:453)(cid:207)(cid:127)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:216)(cid:161)(cid:127)(cid:323)(cid:305)(cid:289)(cid:101)(cid:65)(cid:66)(cid:38)W.
(cid:10)3(cid:11)(cid:76)(cid:83)(cid:22)(cid:230)(cid:409)(cid:380)(cid:207)(cid:375)(cid:19)T...TT A(cid:192) a 1£n£8(cid:53)(cid:97)(cid:282)(cid:14)(cid:252)a =a 1£n£8 .
s 2 1 s,n 0,n n
(cid:249)(cid:92)(cid:51)(cid:230)
(cid:220)(cid:323)(cid:305)(cid:375)(cid:19)W:T,T ,LT (cid:53)(cid:196)(cid:197)ΩA(cid:38)(cid:318)(cid:45)(cid:214)(cid:85)(cid:16).
1 2 s
(cid:200)a =a =a =a =a =a =a =a (cid:53)(cid:216)(cid:161)a +a =a +a =a +a =a +a .
s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8 s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8
(cid:95)(cid:96)T...TT A(cid:38)(cid:252)(cid:253)(cid:53)(cid:364)(cid:365)(cid:179)a +a =a +a +1(cid:53)(cid:126)(cid:512) j=1,2,3,4(cid:53)s=1,2,....
s 2 1 s,2j-1 s,2j s-1,2j-1 s-1,2j
(cid:216)(cid:161)(cid:127)(cid:210)(cid:196)(cid:57)(cid:176)(cid:47)(cid:417)(cid:197)(cid:295)a +a =a +a =a +a =a +a =a +a -s(cid:53)(cid:249)(cid:92)(cid:51)(cid:197)(cid:378).
1 2 3 4 5 6 7 8 s,1 s,2
(cid:247)(cid:5)(cid:51)(cid:230)
(cid:220)a +a =a +a =a +a =a +a .
1 2 3 4 5 6 7 8
(cid:205)(cid:63)(cid:64)(cid:53)a +a +a +a (cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:53)(cid:184)a +a =a +a =a +a =a +a (cid:53)(cid:216)(cid:161)
1 3 5 7 1 2 3 4 5 6 7 8
a +a +a +a =4a +a -a +a +a +a (cid:251)(cid:80)(cid:217)(cid:18).
2 4 6 8 1 2 1 3 5 7
(cid:409)(cid:380)(cid:207)T...TT A(cid:80)(cid:44)(cid:62)(cid:101)(cid:83)(cid:38)(cid:375)(cid:19)W(cid:38)(cid:372)(cid:329)(cid:54)(cid:197)(cid:295)(cid:38)(cid:216)(cid:179)(cid:199)(cid:54)(cid:38)(cid:18)(cid:19)ΩA(cid:37)(cid:53)(cid:196)(cid:197)
s 2 1
a -a + a -a + a -a + a -a (cid:291)(cid:429)(cid:38)(cid:22)(cid:194).
s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8
(cid:28)(cid:280)(cid:63)(cid:322)(cid:432)(cid:441)a +a =a +a +1(cid:53)(cid:126)(cid:512) j=1,2,3,4(cid:53)s=1,2,....
s,2j-1 s,2j s-1,2j-1 s-1,2j
(cid:141)(cid:184)(cid:205)a +a =a +a =a +a =a +a (cid:199)(cid:197)a +a =a +a =a +a =a +a =a +a +s.
1 2 3 4 5 6 7 8 s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8 1 2
(cid:315)(cid:224)(cid:53)(cid:205)(cid:70)i + j +k +w (cid:499)(cid:80)(cid:217)(cid:18)(cid:53)(cid:216)(cid:161)a +a +a +a (cid:50)a +a +a +a (cid:38)(cid:215)(cid:217)(cid:51)(cid:525)(cid:526)(cid:127)(cid:372)(cid:53)(cid:141)(cid:184)
t t t t t,1 t,3 t,5 t,7 t,2 t,4 t,6 t,8
a +a +a +a (cid:50)a +a +a +a (cid:214)(cid:80)(cid:217)(cid:18).
s,1 s,3 s,5 s,7 s,2 s,4 s,6 s,8
(cid:185)(cid:280)(cid:378)(cid:441)(cid:127)(cid:323)(cid:305) j=1,2,3,4(cid:196)(cid:197) a -a ³2.
s,2j-1 s,2j
(cid:453)(cid:207)(cid:323)(cid:305)(cid:53)(cid:95)(cid:96)(cid:259)(cid:273)(cid:51)(cid:53)(cid:127)(cid:243)(cid:207) j=1(cid:53)a -a ³2(cid:53)(cid:211)a -a ³2.
s,2j-1 s,2j s,1 s,2
(cid:9)(cid:437)1(cid:230)(cid:220) a -a + a -a + a -a =0(cid:53)(cid:200)(cid:205)a +a +a +a (cid:50)a +a +a +a (cid:214)(cid:80)(cid:217)(cid:18)(cid:53)(cid:64)
s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8 s,1 s,3 s,5 s,7 s,2 s,4 s,6 s,8
a -a ³4.
s,1 s,2
(cid:259)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:347)(cid:348)(cid:255)(cid:382)(cid:324)(cid:372)(cid:329)2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7(cid:286)(cid:53)(cid:30)(cid:38)
a -a + a -a + a -a + a -a (cid:85)(cid:77)(cid:506)(cid:233)(cid:38)
s+4,1 s+4,2 s+4,3 s+4,4 s+4,5 s+4,6 s+4,7 s+4,8a -a + a -a + a -a + a -a (cid:89)(cid:308)4(cid:53)(cid:126)(cid:109) a -a + a -a + a -a + a -a (cid:38)(cid:291)(cid:429)(cid:51)
s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8 s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8
(cid:221)(cid:222)(cid:246)
(cid:9)(cid:437)2(cid:230)(cid:220) a -a + a -a + a -a >0(cid:53)(cid:127)(cid:243)(cid:207) a -a >0.
s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8 s,3 s,4
(cid:9)(cid:437)2-1(cid:230)(cid:446)(cid:316)a -a ³1(cid:53)(cid:200)(cid:259)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:347)(cid:348)(cid:255)(cid:258)(cid:324)(cid:372)(cid:329)2,4,5,7,2,4,6,8(cid:286)(cid:53)(cid:30)(cid:38)
s,3 s,4
a -a + a -a + a -a + a -a (cid:85)(cid:77)(cid:506)(cid:233)(cid:38)
s+2,1 s+2,2 s+2,3 s+2,4 s+2,5 s+2,6 s+2,7 s+2,8
a -a + a -a + a -a + a -a (cid:307)(cid:308)(cid:89)(cid:308)2(cid:53)(cid:126)(cid:109) a -a + a -a + a -a + a -a (cid:38)(cid:291)
s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8 s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8
(cid:429)(cid:51)(cid:221)(cid:222)(cid:246)
(cid:9)(cid:437)2-2(cid:230)(cid:446)(cid:316)a -a ³1(cid:53)(cid:200)(cid:259)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:347)(cid:348)(cid:255)(cid:258)(cid:324)(cid:372)(cid:329)2,3,5,8,2,3,6,7(cid:286)(cid:53)(cid:30)(cid:38)
s,4 s,3
a -a + a -a + a -a + a -a (cid:85)(cid:77)(cid:506)(cid:233)(cid:38)
s+2,1 s+2,2 s+2,3 s+2,4 s+2,5 s+2,6 s+2,7 s+2,8
a -a + a -a + a -a + a -a (cid:307)(cid:308)(cid:89)(cid:308)2(cid:53)(cid:126)(cid:109) a -a + a -a + a -a + a -a (cid:38)(cid:291)
s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8 s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8
(cid:429)(cid:51)(cid:221)(cid:222).
(cid:126)(cid:417)(cid:432)(cid:441)(cid:366)(cid:359)(cid:446)(cid:527)(cid:214)(cid:528)(cid:447)(cid:522)(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:216)(cid:161)(cid:259)(cid:299)(cid:228)(cid:38) j=1,2,3,4(cid:214)(cid:179) a -a £1.
s,2j-1 s,2j
(cid:453)(cid:207)(cid:323)(cid:305) j=1,2,3,4(cid:196)(cid:197) a -a =1(cid:53)(cid:200)a +a (cid:80)(cid:215)(cid:18)(cid:53)(cid:216)(cid:161)
s,2j-1 s,2j s,2j-1 s,2j
a +a =a +a =a +a =a +a (cid:214)(cid:80)(cid:215)(cid:18)(cid:53)(cid:207)(cid:192)2N+1.
s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8
(cid:200)(cid:223)(cid:224)(cid:259)(cid:299)(cid:228) j=1,2,3,4(cid:53)(cid:205) a -a £1(cid:199)(cid:64)(cid:249)(cid:179)  a ,a  =N,N+1.
s,2j-1 s,2j s,2j-1 s,2j
(cid:184)a +a +a +a (cid:50)a +a +a +a (cid:214)(cid:80)(cid:217)(cid:18)(cid:53)(cid:219)(cid:327)(cid:101) m a =N (cid:37)(cid:38)(cid:382)(cid:194)(cid:330)(cid:374)i, j,k,w(cid:198)(cid:50)(cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:53)
s,1 s,3 s,5 s,7 s,2 s,4 s,6 s,8 s,m
(cid:259)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:237)(cid:188)(cid:22)(cid:324)(cid:372)(cid:329)i, j,k,w(cid:53)(cid:200)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:187)(cid:192)(cid:124)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:30)(cid:38)
a -a + a -a + a -a + a -a (cid:16)(cid:70)(cid:147)(cid:53)(cid:77)(cid:506)(cid:233)(cid:38)
s+1,1 s+1,2 s+1,3 s+1,4 s+1,5 s+1,6 s+1,7 s+1,8
a -a + a -a + a -a + a -a (cid:529)(cid:429)(cid:53)(cid:126)(cid:109) a -a + a -a + a -a + a -a (cid:38)(cid:291)(cid:429)(cid:51)(cid:221)
s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8 s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8
(cid:222).
(cid:105)(cid:28)(cid:53)(cid:339)(cid:199)(cid:54) a -a =0j=1,2,3,4(cid:53)(cid:184)a +a =a +a =a +a =a +a (cid:53)(cid:219) a  =ΩA(cid:80)
s,2j-1 s,2j s,1 s,2 s,3 s,4 s,5 s,6 s,7 s,8 s,n
(cid:124)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:247)(cid:5)(cid:51)(cid:197)(cid:378).
(cid:76)(cid:83)(cid:25)(cid:230)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:64)(cid:230)W(cid:37)(cid:375)(cid:19)(cid:38)(cid:530)(cid:375)(cid:127)(cid:531)(cid:532)ΩA(cid:38)(cid:208)(cid:316)(cid:53)(cid:193)a,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a (cid:85)(cid:259)(cid:70)(cid:375)(cid:19)(cid:251)(cid:80)(cid:366)(cid:375)(cid:38)(cid:53)
1 2 3 4 5 6 7 8
(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:220)a +a =a +a =a +a =a +a (cid:53)
1 2 3 4 5 6 7 8
(cid:127)(cid:243)(cid:207)a £a £a £a (cid:53)(cid:200)a ³a ³a ³a (cid:53)
1 3 5 7 2 4 6 8
(cid:261)a =a =a =a (cid:53)(cid:200)a =a =a =a (cid:53)
1 3 5 7 8 6 4 2
①(cid:5)(cid:282)(cid:533)(cid:188)a (cid:194)(cid:375)(cid:19)2,4,6,8(cid:24)a (cid:194)(cid:375)(cid:19)1,3,5,7(cid:53)
1 2
(cid:199)(cid:197)a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a (cid:53)(cid:192)(cid:124)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:289)(cid:101)(cid:13)(cid:228)(cid:246)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:261)a,a ,a ,a (cid:37)(cid:179)(cid:193)(cid:128)(cid:179)(cid:242)(cid:194)(cid:18)(cid:85)(cid:16)(cid:53)(cid:127)(cid:243)(cid:207)a =a =a (cid:53)(cid:200)a =a =a (cid:53)
1 3 5 7 1 3 5 2 4 6
②
(cid:211)a,a ,a,a ,a,a ,a ,a (cid:53)
1 2 1 2 1 2 7 8
(cid:5)(cid:282)(cid:533)(cid:188)a (cid:194)(cid:375)(cid:19)1,3,5,7(cid:24)a (cid:194)(cid:375)(cid:19)2,4,6,8
2 7
(cid:199)(cid:197)a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a (cid:53)
1 2 2 7 1 2 2 7 1 2 2 7 2 7 7 8
(cid:211)a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a (cid:53)
1 2 2 7 1 2 2 7 1 2 2 7 2 7 1 2
(cid:256)(cid:192)a +a +a +a (cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:53)(cid:211)3a +a (cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:53)
1 3 5 7 1 7
a -a
(cid:199)(cid:64)a,a (cid:38)(cid:215)(cid:217)(cid:51)(cid:85)(cid:315)(cid:53)(cid:200) 7 1ÎN*(cid:53)
1 7 2
a -a
(cid:5)(cid:282)(cid:533)(cid:188) 7 1(cid:194)(cid:375)(cid:19)1,3,5,7(cid:53)1,3,6,8(cid:53)2,3,5,8(cid:53)1,4,5,8(cid:53)
2
(cid:199)(cid:197)
3a +2a -a 3a +2a -a 3a +2a -a 3a +2a -a 3a +2a -a 3a +2a -a 3a +2a -a 3a +2a -a
7 2 1, 7 2 1, 7 2 1, 7 2 1, 7 2 1, 7 2 1, 7 2 1, 7 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2
(cid:53)
(cid:192)(cid:124)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:289)(cid:101)(cid:13)(cid:228)(cid:246)
(cid:220)a =a <a =a (cid:53)(cid:200)a =a >a =a (cid:53)(cid:211)a,a ,a,a ,a ,a ,a ,a (cid:53)
1 3 5 7 2 4 6 8 1 2 1 2 5 6 5 6
③
(cid:5)(cid:282)(cid:533)(cid:188)a (cid:194)1,3,6,8(cid:24)a (cid:194)2,4,5,7(cid:53)
5 1
(cid:199)(cid:197)a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a (cid:53)
1 5 1 2 1 5 1 2 1 5 5 6 1 5 5 6
(cid:256)(cid:192)a +a =a +a (cid:53)
1 2 5 6
(cid:199)(cid:197)a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a (cid:53)
1 5 1 2 1 5 1 2 1 5 1 2 1 5 1 2
(cid:211)(cid:232)(cid:192) (cid:53)(cid:199)(cid:64)(cid:289)(cid:101)(cid:13)(cid:228)(cid:246)
①(cid:261)a,a ,a ,a (cid:37)(cid:179)(cid:193)(cid:128)(cid:179)(cid:258)(cid:194)(cid:18)(cid:85)(cid:16)(cid:53)(cid:127)(cid:243)(cid:207)a =a (cid:53)(cid:200)a =a (cid:53)
1 3 5 7 1 3 2 4
④
(cid:211)a,a ,a,a ,a ,a ,a ,a (cid:53)
1 2 1 2 5 6 7 8
(cid:5)(cid:282)(cid:533)(cid:188)a (cid:194)2,4,5,7(cid:24)a (cid:194)1,3,6,8(cid:53)
1 5
(cid:199)(cid:197)a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a (cid:53)
1 5 1 2 1 5 1 2 1 5 5 6 1 7 5 8
(cid:193)a +a =a +a (cid:53)(cid:199)(cid:197)a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a (cid:53)
1 2 5 6 1 5 1 2 1 5 1 2 1 5 1 2 1 7 5 8
(cid:256)(cid:192)a +a +a +a =2a +a +a (cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:53)(cid:199)(cid:64)a ,a (cid:38)(cid:215)(cid:217)(cid:51)(cid:85)(cid:315)(cid:53)
1 3 5 7 1 5 7 5 7
(cid:200)a +a +a +a +a +a +a +a =4a +3a +a (cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:53)
1 5 1 5 1 5 1 7 1 5 7
(cid:193)a +a =a +a =a +a <a +a (cid:53)(cid:211)(cid:232)(cid:192) (cid:53)(cid:199)(cid:64)(cid:289)(cid:101)(cid:13)(cid:228)(cid:246)
1 5 1 5 1 5 1 7
②
(cid:220)a <a <a <a (cid:53)(cid:200)a >a >a >a (cid:53)(cid:211)a,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a (cid:53)
1 3 5 7 2 4 6 8 1 2 3 4 5 6 7 8
⑤
(cid:5)(cid:282)(cid:533)(cid:188)a (cid:194)2,3,5,8(cid:24)a (cid:194)1,4,6,7(cid:53)
1 3
(cid:199)(cid:197)a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a (cid:53)
1 3 1 2 1 3 3 4 1 5 3 6 3 7 1 8
(cid:193)a +a =a +a (cid:53)(cid:199)(cid:197)a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a ,a +a (cid:53)
1 2 3 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 5 3 6 3 7 1 8
(cid:256)(cid:192)a +a +a +a (cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:53)
1 3 5 7
(cid:200)a +a +a +a +a +a +a +a =2a +a +a +a +a +a (cid:192)(cid:217)(cid:18)(cid:53)
1 3 1 3 1 5 3 7 1 3 1 3 5 7
(cid:193)a +a =a +a <a +a <a +a (cid:53)(cid:211)(cid:232)(cid:192) (cid:53)(cid:199)(cid:64)(cid:289)(cid:101)(cid:13)(cid:228)(cid:246)
1 3 1 3 1 5 3 7
④
(cid:105)(cid:28)(cid:216)(cid:334)(cid:230)(cid:220)a +a =a +a =a +a =a +a (cid:53)(cid:200)(cid:323)(cid:305)(cid:375)(cid:19)W(cid:53)(cid:196)(cid:197)ΩA(cid:192)(cid:124)(cid:18)(cid:19)(cid:246)
1 2 3 4 5 6 7 8
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:220)(cid:323)(cid:305)(cid:375)(cid:19)W(cid:53)(cid:196)(cid:197)ΩA(cid:192)(cid:124)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
(cid:256)(cid:192)(cid:259)(cid:299)(cid:228)ΩA:b,b ,×××,b (cid:53)
1 2 8
(cid:319)(cid:179)b +b -a +a =b +b -a +a  =b +b -a +a =b +b -a +a (cid:187)(cid:68)(cid:53)
1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8
(cid:220)ΩA(cid:192)(cid:124)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)b +b =b +b =b +b =b +b (cid:53)
1 2 3 4 5 6 7 8
(cid:216)(cid:161)a +a =a +a =a +a =a +a (cid:246)
1 2 3 4 5 6 7 8
(cid:105)(cid:28)(cid:216)(cid:334)(cid:230)“(cid:323)(cid:305)(cid:375)(cid:19)W(cid:53)(cid:196)(cid:197)ΩA(cid:192)(cid:124)(cid:18)(cid:19)”(cid:38)(cid:247)(cid:92)(cid:65)(cid:66)(cid:192)“a +a =a +a =a +a =a +a ”.
1 2 3 4 5 6 7 8(cid:201)(cid:4)(cid:342)(cid:203)(cid:69)(cid:344)(cid:4)(cid:4)(cid:342)(cid:230)(cid:40)(cid:13)(cid:190)(cid:242)(cid:328)(cid:38)(cid:69)(cid:344)(cid:305)(cid:70)(cid:259)(cid:30)(cid:252)(cid:253)(cid:38)(cid:235)(cid:76)(cid:53)(cid:161)(cid:48)(cid:259)(cid:119)(cid:40)(cid:52)(cid:38)(cid:5)(cid:204).
11(cid:145)（2023·北京·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a ,b (cid:38)(cid:45)(cid:18)(cid:319)(cid:192)m(m>2)(cid:53)(cid:193)a ,b Î{1,2,L,m},a ,b (cid:38)(cid:49)n
n n n n n n
(cid:45)(cid:50)(cid:5)(cid:282)(cid:192)A ,B (cid:53)(cid:74)(cid:14)(cid:252)A =B =0(cid:145)(cid:259)(cid:70)kÎ0,1,2,L,m(cid:53)(cid:252)(cid:253)r =maxi∣B £ A ,iÎ{0,1,2,L,m}(cid:53)(cid:119)
n n 0 0 k i k
(cid:37)(cid:53)maxM (cid:448)(cid:281)(cid:18)(cid:327)M(cid:37)(cid:291)(cid:292)(cid:38)(cid:18).
(1)(cid:220)a =2,a =1,a =3,b =1,b =3,b =3(cid:53)(cid:75)r,r,r ,r (cid:38)(cid:240)(cid:246)
1 2 3 1 2 3 0 1 2 3
(2)(cid:220)a ³b(cid:53)(cid:193)2r £r +r , j=1,2,L,m-1,(cid:53)(cid:75)r (cid:246)
1 1 j j+1 j-1 n
(3)(cid:378)(cid:441)(cid:230)(cid:323)(cid:305)p,q,s,tÎ0,1,2,L,m(cid:53)(cid:226)(cid:227)p>q,s>t, (cid:196)(cid:197)A +B = A +B (cid:145)
p t q s
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)r =0(cid:53)r =1(cid:53)r =1(cid:53)r =2
0 1 2 3
(2)r =n,nÎN
n
(3)(cid:125)(cid:76)(cid:204)
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:313)(cid:75)A ,A ,A ,A ,B ,B ,B ,B (cid:53)(cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:228)(cid:5)(cid:204)(cid:75)(cid:76)(cid:246)
0 1 2 3 0 1 2 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:228)(cid:13)(cid:228)(cid:5)(cid:204)(cid:199)(cid:197)r -r ³1(cid:53)(cid:241)(cid:57)(cid:257)(cid:378)(cid:199)(cid:197)r -r =1(cid:53)(cid:305)(cid:208)(cid:101)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:56)(cid:43)(cid:75)(cid:76)(cid:246)
i+1 i i+1 i
(cid:10)3(cid:11)(cid:358)(cid:359)A ,B (cid:38)(cid:292)(cid:429)(cid:53)(cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:228)(cid:208)(cid:101)(cid:257)(cid:378)(cid:83)(cid:5)(cid:204)(cid:378)(cid:441).
m m
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:64)(cid:230)A =0,A =2,A =3,A =6,B =0,B =1,B =4,B =7(cid:53)
0 1 2 3 0 1 2 3
(cid:261)k =0(cid:224)(cid:53)(cid:200)B = A = 0,B > A ,i =1,2,3(cid:53)(cid:219)r =0(cid:246)
0 0 i 0 0
(cid:261)k=1(cid:224)(cid:53)(cid:200)B < A ,B < A ,B > A ,i = 2,3(cid:53)(cid:219)r =1(cid:246)
0 1 1 1 i 1 1
(cid:261)k =2(cid:224)(cid:53)(cid:200)B A ,i=0,1,B A ,B > A ,(cid:219)r =1(cid:246)
i 2 2 2 3 2 2
(cid:261)k =3(cid:224)(cid:53)(cid:200)B A,i=0,1,2,B A (cid:53)(cid:219)r =2(cid:246)
i 3 3 3 3
(cid:105)(cid:28)(cid:216)(cid:334)(cid:230)r =0(cid:53)r =1(cid:53)r =1(cid:53)r =2.
0 1 2 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:64)(cid:230)r £ m (cid:53)(cid:193)r ÎN(cid:53)
n n
(cid:256)(cid:192)a ³1,b ³1(cid:53)(cid:193)a ³b(cid:53)(cid:200)A ³B >B (cid:259)(cid:299)(cid:228)nÎN*(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
n n 1 1 n 1 0
(cid:216)(cid:161)r =0,r ³1(cid:53)
0 1
(cid:213)(cid:256)(cid:192)2r £ r + r (cid:53)(cid:200)r - r ³ r - r (cid:53)(cid:211)r -r ³r -r ³××׳r -r ³1(cid:53)
i i-1 i+1 i+1 i i i-1 m m-1 m-1 m-2 1 0
(cid:199)(cid:197)r -r ³1(cid:53)
i+1 i(cid:257)(cid:378)(cid:230)(cid:453)(cid:207)(cid:226)(cid:227)r - r >1(cid:38)(cid:291)(cid:429)(cid:218)(cid:142)(cid:18)(cid:192)1£ j£m-1(cid:53)
n+1 n
(cid:261)i³ j(cid:224)(cid:53)(cid:200)r -r ³ 2(cid:246)(cid:261)i£ j-1(cid:224)(cid:53)(cid:200)r -r =1(cid:53)
i+1 i i+1 i
(cid:200)r =r -r +r -r +×××+r -r +r ³2m- j+ j=2m- j(cid:53)
m m m-1 m-1 m-2 1 0 0
(cid:213)(cid:256)(cid:192)1£ j£m-1(cid:53)(cid:200)r ³2m- j³2m-m-1=m+1>m(cid:53)
m
(cid:453)(cid:207)(cid:127)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:219)r - r =1(cid:53)
n+1 n
(cid:211)(cid:18)(cid:19)r(cid:80)(cid:161)(cid:71)(cid:45)(cid:192)1(cid:53)(cid:46)(cid:17)(cid:192)1(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:216)(cid:161)r =0+1´n=n,nÎN.
n n
(cid:10)3(cid:11)(cid:256)(cid:192)a ,b (cid:319)(cid:192)(cid:218)(cid:142)(cid:18)(cid:53)(cid:200)A ,B (cid:319)(cid:192)(cid:302)(cid:309)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
n n n n
(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:220)A =B (cid:53)(cid:200)(cid:199)(cid:225)t =q=0(cid:53)(cid:226)(cid:227)p>q,s>t, (cid:196)(cid:197)A +B = A +B (cid:246)
m m p t q s
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:220)A <B (cid:53)(cid:200)r <m(cid:53)
m m k
(cid:116)(cid:67)S =B -A,1£n£m(cid:53)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:197)(cid:230)S £0(cid:53)(cid:193)S (cid:192)(cid:142)(cid:18)(cid:53)
n r n n n
n
(cid:257)(cid:378)(cid:53)(cid:453)(cid:207)(cid:323)(cid:305)(cid:218)(cid:142)(cid:18)K(cid:53)(cid:196)(cid:197)S £-m(cid:53)
K
   
(cid:200)B -A £-m,B -A >0(cid:53)(cid:199)(cid:197)b =B -B = B -A - B -A >m(cid:53)
rK K rK+1 K rK+1 rK+1 rK rK+1 K rK K
(cid:126)(cid:109)b Î1,2,×××,m(cid:85)(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:219)(cid:259)(cid:299)(cid:228)1£n£m,nÎN(cid:53)(cid:319)(cid:179)S ³1-m .
r K+1 n
(cid:220)(cid:323)(cid:305)(cid:218)(cid:142)(cid:18)N (cid:53)(cid:196)(cid:197)S =B -A =0(cid:53)(cid:211)A =B (cid:53)
N r N N r
N N
①
(cid:199)(cid:225)t =q=0,p=N,s=r (cid:53)
N
(cid:226)(cid:227)p>q,s>t(cid:53)(cid:196)(cid:197)A +B = A +B (cid:246)
p t q s
(cid:220)(cid:127)(cid:323)(cid:305)(cid:218)(cid:142)(cid:18)N (cid:53)(cid:196)(cid:197)S = 0(cid:53)
N
②(cid:256)(cid:192)S Î-1,-2,×××,-m-1 (cid:53)(cid:193)1£n£m(cid:53)
n
(cid:216)(cid:161)(cid:249)(cid:323)(cid:305)1£ X <Y £m(cid:53)(cid:196)(cid:197)S =S (cid:53)
X Y
(cid:211)B -A =B -A (cid:53)(cid:199)(cid:197)A +B = A +B (cid:53)
rX X rY Y Y rX X rY
(cid:199)(cid:225)p=Y,s=r ,q= X,t =r (cid:53)
Y X
(cid:226)(cid:227)p>q,s>t(cid:53)(cid:196)(cid:197)A +B = A +B (cid:246)
p t q s
(cid:10)ⅲ(cid:11)(cid:220)A >B (cid:53)
m m(cid:252)(cid:253)R =max(cid:489)i A £B ,iÎ0,1,2,L,m (cid:53)(cid:200)R <m(cid:53)
k i k k
(cid:116)(cid:67)S = A -B ,1£n£m(cid:53)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:197)(cid:230)S £0(cid:53)(cid:193)S (cid:192)(cid:142)(cid:18)(cid:53)
n Rn n n n
(cid:257)(cid:378)(cid:53)(cid:453)(cid:207)(cid:323)(cid:305)(cid:218)(cid:142)(cid:18)K,1£K £m(cid:53)(cid:196)(cid:197)S £-m(cid:53)
K
   
(cid:200)A -B £-m,A -B >0(cid:53)(cid:199)(cid:197)a = A -A = A -B - A -B >m(cid:53)
RK K RK+1 K RK+1 RK+1 RK RK+1 K RK K
(cid:126)(cid:109)a Î1,2,×××,m(cid:85)(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:219)(cid:259)(cid:299)(cid:228)1£n£m,nÎN(cid:53)(cid:319)(cid:179)S ³1-m .
R K+1 n
(cid:220)(cid:323)(cid:305)(cid:218)(cid:142)(cid:18)N (cid:53)(cid:196)(cid:197)S = A -B =0(cid:53)(cid:211)A =B (cid:53)
N RN N RN N
①
(cid:199)(cid:225)q=t =0,s=N,p=R (cid:53)
N
(cid:211)(cid:226)(cid:227)p>q,s>t(cid:53)(cid:196)(cid:197)A +B = A +B (cid:246)
p t q s
(cid:220)(cid:127)(cid:323)(cid:305)(cid:218)(cid:142)(cid:18)N (cid:53)(cid:196)(cid:197)S = 0(cid:53)
N
②(cid:256)(cid:192)S Î-1,-2,×××,-m-1 (cid:53)(cid:193)1£n£m(cid:53)
n
(cid:216)(cid:161)(cid:249)(cid:323)(cid:305)1£ X <Y £m(cid:53)(cid:196)(cid:197)S =S (cid:53)
X Y
(cid:211)A -B = A -B (cid:53)(cid:199)(cid:197)A +B = A +B (cid:53)
RX X RY Y RY X RX Y
(cid:199)(cid:225)p=R ,t= X,q=R ,s=Y(cid:53)
Y X
(cid:226)(cid:227)p>q,s>t(cid:53)(cid:196)(cid:197)A +B = A +B .
p t q s
(cid:105)(cid:28)(cid:216)(cid:334)(cid:230)(cid:323)(cid:305)0£q< p£m,0£t<s£m(cid:196)(cid:197)A +B = A +B (cid:145)
p t q s
12(cid:145)（2023·天津·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a +a =16,a -a =4(cid:145)
n 2 5 5 3
2n-1
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:50) å a  nÎN* (cid:145)
n i
i=2n-1
(2)(cid:207)b (cid:80)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:259)(cid:299)(cid:228)(cid:38)kÎN*(cid:53)(cid:261)2k-1£n£2k -1(cid:224)(cid:53)(cid:200)b <a <b (cid:53)
n k n k+1
(cid:10)Ⅰ(cid:11)(cid:261)k ³2(cid:224)(cid:53)(cid:75)(cid:378)(cid:230)2k -1<b <2k +1(cid:246)
k
(cid:10)Ⅱ(cid:11)(cid:75)b (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:145)
n
2n-1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)a =2n+1(cid:53) å a =3×4n-1(cid:246)
n i
i=2n-1
(2)(Ⅰ)(cid:378)(cid:441)(cid:446)(cid:185)(cid:230)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:64)(cid:53)(cid:261)2k-1£n£2k -1(cid:224)(cid:53)b <a (cid:53)
k n
(cid:225)n=2k-1(cid:53)(cid:200)b <a =2´2k-1+1=2k +1(cid:53)(cid:211)b <2k +1(cid:53)
k 2k-1 k
(cid:261)2k-2 £ n £ 2k-1-1(cid:224)(cid:53)a <b (cid:53)
n k
(cid:225)n = 2k-1-1(cid:53)(cid:223)(cid:224)a =a =2  2k-1-1  +1=2k -1(cid:53)
n 2k-1-1
(cid:96)(cid:223)(cid:199)(cid:197)2k -1<b (cid:53)
k
(cid:105)(cid:28)(cid:199)(cid:197)(cid:230)2k -1<b <2k +1.
k
(Ⅱ)b =2n(cid:53)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)2n+1-2.
n
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(1)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:197)(cid:295)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:46)(cid:17)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:53)(cid:76)(cid:58)(cid:59)(cid:199)(cid:197)a =3,d =2(cid:53)(cid:96)(cid:223)(cid:199)(cid:75)(cid:197)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:53)(cid:365)
1
2n-1
(cid:286)(cid:260)(cid:252)(cid:216)(cid:373)(cid:38)(cid:75)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:512)(cid:280)(cid:38)(cid:71)(cid:45)(cid:50)(cid:45)(cid:18)(cid:53)(cid:208)(cid:101)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:42)(cid:43)(cid:199)(cid:197) åa =3×4n-1.
i
i=2n-1
(2)(Ⅰ)(cid:241)(cid:57)(cid:13)(cid:37)(cid:38)(cid:208)(cid:359)(cid:5)(cid:282)(cid:3)(cid:36)(cid:127)(cid:16)(cid:47)(cid:258)(cid:301)(cid:38)(cid:9)(cid:437)(cid:53)(cid:261)2k-1£n£2k -1(cid:224)(cid:53)b <a (cid:53)
k n
(cid:225)n=2k-1(cid:53)(cid:261)2k-2 £ n £ 2k-1-1(cid:224)(cid:53)a <b (cid:53)(cid:225)n = 2k-1-1(cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:378)(cid:197)(cid:13)(cid:37)(cid:38)(cid:127)(cid:16)(cid:47)(cid:246)
n k
(Ⅱ)(cid:208)(cid:101)(Ⅰ)(cid:37)(cid:38)(cid:208)(cid:359)(cid:53)(cid:241)(cid:57)(cid:534)(cid:454)(cid:60)(cid:61)(cid:260)(cid:252)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:53)(cid:237)(cid:184)(cid:199)(cid:197)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:53)(cid:291)(cid:286)(cid:205)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)
(cid:46)(cid:47)(cid:211)(cid:199)(cid:42)(cid:43)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50).
ìa +a =2a +5d =16 ìa =3
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:197)í 2 5 1 (cid:53)(cid:76)(cid:197)í 1 (cid:53)
îa -a =2d =4 îd =2
5 3
(cid:200)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:192)a =a +n-1d =2n+1(cid:53)
n n 1
2n-1 2n-1 2n-1
(cid:75)(cid:50)(cid:197) åa = å 2i+1=2åi+  2n-1-2n-1+1 
i
i=2n-1 i=2n-1 i=2n-1
=2é2n-1+  2n-1+1  +  2n-1+2  +L+  2n-1 ù+2n-1
ë û
2  2n-1+2n-1  ×2n-1
= +2n-1 =3×4n-1.
2
(cid:10)2(cid:11)(Ⅰ)(cid:444)
(Ⅱ)(cid:205)(Ⅰ)(cid:199)(cid:64)(cid:230)2k -1<b <2k +1(cid:53)2k+1-1<b <2k+1+1
k k+12k+1-1 3 b 2k+1+1 3
(cid:200)(cid:18)(cid:19)b (cid:38)(cid:46)(cid:77)q(cid:226)(cid:227) =2- <q= k+1 < =2+ (cid:53)
n 2k +1 2k +1 b 2k -1 2k -1
k
æ 3 ö æ 3 ö
(cid:261)kÎN*,k ®+¥(cid:224)(cid:53)ç2- ÷®2,ç2+ ÷®2(cid:53)(cid:216)(cid:161)q= 2(cid:53)
è 2k +1ø è 2k -1ø
2k -1 1 2k +1 1
(cid:216)(cid:161)2k -1<b2k-1<2k +1(cid:53)(cid:211) =2- <b < =2+ (cid:53)
1 2k-1 2k-1 1 2k-1 2k-1
æ 1 ö æ 1 ö
(cid:261)kÎN*,k ®+¥(cid:224)(cid:53)ç2- ÷®2,ç2+ ÷®2(cid:53)(cid:216)(cid:161)b =2(cid:53)
è 2k-1ø è 2k-1ø 1
(cid:216)(cid:161)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:192)b =2n(cid:53)
n
2´
 1-2n
(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)(cid:230)S = =2n+1-2.
n 1-2
(cid:201)(cid:4)(cid:342)(cid:203)(cid:40)(cid:13)(cid:38)(cid:535)(cid:536)(cid:305)(cid:3)(cid:36)(cid:18)(cid:19)(cid:37)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:18)(cid:19)(cid:37)(cid:38)(cid:302)(cid:254)(cid:69)(cid:110)(cid:47)(cid:53)(cid:75)(cid:76)(cid:18)(cid:19)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:50)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:38)(cid:535)
(cid:536)(cid:80)(cid:260)(cid:252)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:53)(cid:190)(cid:25)(cid:328)(cid:537)(cid:48)(cid:295)(cid:302)(cid:254)(cid:69)(cid:110)(cid:47)(cid:38)(cid:114)(cid:115)(cid:106)(cid:57)(cid:53)(cid:313)(cid:466)(cid:286)(cid:378)(cid:80)(cid:18)(cid:93)(cid:37)(cid:124)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:83)(cid:198)(cid:22)(cid:53)(cid:379)(cid:259)
(cid:93)(cid:94)(cid:475)(cid:538)(cid:30)(cid:64)(cid:121)(cid:539)(cid:179)(cid:540)(cid:541).
13(cid:145)（2022·上海·高考真题）(cid:18)(cid:19)a (cid:259)(cid:299)(cid:228)nÎN*(cid:53)(cid:193)n³2(cid:53)(cid:319)(cid:323)(cid:305)(cid:218)(cid:142)(cid:18)iÎ1,n-1(cid:53)(cid:226)(cid:227)
n
a =2a -a,a =1,a =3.
n+1 n i 1 2
(1)(cid:75)a (cid:199)(cid:54)(cid:240)(cid:246)
4
(2)(cid:12)(cid:13)p(cid:230)(cid:220)a,a ,...a (cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)a <30(cid:53)(cid:378)(cid:441)p(cid:192)(cid:542)(cid:53)(cid:315)(cid:224)(cid:311)(cid:206)p(cid:543)(cid:12)(cid:13)q(cid:53)(cid:74)(cid:209)(cid:210)(cid:12)(cid:13)q(cid:80)(cid:542)(cid:80)
1 2 8 9
(cid:453)(cid:53)(cid:432)(cid:441)(cid:235)(cid:205)(cid:230)
(3)(cid:220)a =3m,  mÎN* (cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:75)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47).
2m n
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)7(cid:72)9(cid:246)
(2)(cid:81)(cid:202)(cid:125)(cid:76)(cid:204)(cid:246)
ì1,n=1
ï
ï n-3
(3)a =í5´3 2 ,n=2k+1,kÎN*.
n
ï
n
ï î32,n=2k,kÎN*
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:241)(cid:57)(cid:302)(cid:254)(cid:46)(cid:47)(cid:199)(cid:197)a =5(cid:53)(cid:237)(cid:184)(cid:199)(cid:75)(cid:206)a (cid:246)
3 4
(cid:10)2(cid:11)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:197)a =2n-1  nÎ1,8,nÎN* (cid:53)(cid:200)a =2a -a<30(cid:53)(cid:141)(cid:184)(cid:12)(cid:13)p(cid:192)(cid:542)(cid:12)(cid:13)(cid:53)(cid:373)(cid:206)(cid:257)(cid:355)(cid:211)(cid:199)(cid:197)
n 9 8
(cid:206)(cid:12)(cid:13)q(cid:192)(cid:453)(cid:12)(cid:13)(cid:246)
(cid:10)3(cid:11)(cid:205)(cid:13)(cid:228)(cid:199)(cid:197)a =2a -a i£2m(cid:53)a =2a -a j£2m-1(cid:53)(cid:365)(cid:286)(cid:241)(cid:57)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:378)(cid:441)(cid:18)(cid:19)(cid:293)
2m+2 2m+1 i 2m+1 2m j(cid:294)(cid:302)(cid:309)(cid:53)(cid:291)(cid:286)(cid:5)(cid:6)(cid:358)(cid:359)(cid:211)(cid:199)(cid:260)(cid:252)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:256)(cid:192)a =2a -a =5(cid:53)(cid:216)(cid:161)a =2a -a =7(cid:72)a =2a -a =9(cid:53)(cid:216)(cid:161)a (cid:199)(cid:54)(cid:240)(cid:192)7(cid:72)9(cid:246)
3 2 1 4 3 2 4 3 1 4
(cid:10)2(cid:11)(cid:256)(cid:192)a,a ,...a (cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:216)(cid:161)d =2(cid:53)a =2n-1
 nÎ1,8,nÎN*
,
1 2 8 n
(cid:216)(cid:161)a =2a -a=30-a <30(cid:53)
9 8 i
(cid:543)(cid:12)(cid:13)q(cid:230)(cid:220)a <30(cid:53)(cid:200)a,a ,...a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:80)(cid:453)(cid:12)(cid:13)(cid:53)(cid:265)(cid:355)(cid:230)a =1,a =3, a =5,
9 1 2 8 1 2 3
a =7,a =9,a =11,a =13,a =2a -a =17,a =2a -a =21,(cid:219)(cid:12)(cid:13)q(cid:192)(cid:453)(cid:12)(cid:13)(cid:53)
4 5 6 7 8 7 5 9 8 7
(cid:10)3(cid:11)(cid:256)(cid:192)a =3m,  mÎN* (cid:53)(cid:216)(cid:161)a =3m+1,a =2a -a i£2m,
2m 2m+2 2m+2 2m+1 i
a =2a -a j£2m-1(cid:53)(cid:216)(cid:161)a =4a -a -a (cid:53)
2m+1 2m j 2m+2 2m j i
(cid:256)(cid:223)2a +a =4a -a =4´3m-3m+1 =3m =a (cid:53)
j i 2m 2m+2 2m
(cid:161)(cid:185)(cid:57)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:378)(cid:441)(cid:18)(cid:19)(cid:293)(cid:294)(cid:302)(cid:309)(cid:53)(cid:211)(cid:378)(cid:441)a >a (cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:230)
n+1 n
(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)a >a (cid:441)(cid:364)(cid:187)(cid:68)(cid:246)
2 1
(cid:453)(cid:207)(cid:261)n=k(cid:224)(cid:12)(cid:13)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:211)a >a >a >L>a >a (cid:53)
k k-1 k-2 2 1
(cid:200)a -a =2a -a -a =a -a >0(cid:53)(cid:211)a >a (cid:53)(cid:211)(cid:12)(cid:13)(cid:197)(cid:378)(cid:246)
k+1 k k i k k i k+1 k
(cid:152)(cid:295)(cid:506)(cid:13)(cid:53)(cid:5)(cid:6)(cid:358)(cid:359)(cid:75)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:230)
1.(cid:220) j=2m-1(cid:53)(cid:200)a =2a +a =2a +a >a -a (cid:221)(cid:222)(cid:246)
2m j i 2m-1 i 2m-1 i
2.(cid:220) j=2m-2(cid:53)(cid:200)a =3m-1(cid:53)(cid:216)(cid:161)a =3m-2a =3m-1(cid:53)(cid:216)(cid:161)i=2m-2(cid:53)
j i j
(cid:223)(cid:224)a =2a -a =2´3m-3m-1 =5´3m-1(cid:53)
2m+1 2m j
ì1,n=1
ï
ï n-3
(cid:216)(cid:161)a =í5´3 2 ,n=2k+1,kÎN*(cid:53)
n
ï
n
ï î32,n=2k,kÎN*
3.(cid:220) j<2m-2(cid:53)(cid:200)2a <2´3m-1(cid:53)(cid:216)(cid:161)a =3m-2a >3m-1(cid:53)(cid:216)(cid:161) j=2m-1(cid:53)
j i j
(cid:216)(cid:161)a =2a -a (cid:10)(cid:205)(cid:10)2(cid:11)(cid:64)(cid:259)(cid:299)(cid:228)m(cid:187)(cid:68)(cid:11)(cid:53)(cid:216)(cid:161)a =2a -a (cid:53)(cid:109)(cid:544)(cid:335)(cid:28)a =2a -a (cid:221)(cid:222)(cid:53)
2m+2 2m+1 2m-1 6 5 3 6 5 2ì1,n=1
ï
ï n-3
(cid:105)(cid:28)a =í5´3 2 ,n=2k+1,kÎN*.
n
ï
n
ï î32,n=2k,kÎN*
(cid:201)(cid:4)(cid:342)(cid:203)1(cid:145)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:80)(cid:22)(cid:362)(cid:82)(cid:92)(cid:38)(cid:18)(cid:93)(cid:60)(cid:61)(cid:58)(cid:83)(cid:53)(cid:343)(cid:92)(cid:57)(cid:70)(cid:76)(cid:467)(cid:109)(cid:218)(cid:142)(cid:18)(cid:179)(cid:69)(cid:38)(cid:18)(cid:93)(cid:328)(cid:13)(cid:145)(cid:378)(cid:441)(cid:224)(cid:274)(cid:545)
(1)(cid:50)(2)(cid:546)(cid:22)(cid:127)(cid:199)(cid:53)(cid:274)(cid:545)(1)(cid:80)(cid:274)(cid:545)(2)(cid:38)(cid:39)(cid:547)(cid:53)(cid:274)(cid:545)(2)(cid:80)(cid:302)(cid:254)(cid:38)(cid:181)(cid:96)(cid:145)
2(cid:145)(cid:305)(cid:57)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83)(cid:378)(cid:441)(cid:224)(cid:53)(cid:190)(1)(cid:274)(cid:439)(cid:43)n(cid:548)n (cid:38)n (cid:127)(cid:22)(cid:252)(cid:192)1(cid:53)(cid:184)(cid:80)(cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:231)(cid:92)(cid:75)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:38)(cid:350)(cid:351)(cid:240)(cid:145)(cid:190)
0 0
(2)(cid:274)(cid:53)(cid:378)(cid:441)n(cid:548)k(cid:549)1(cid:224)(cid:12)(cid:13)(cid:251)(cid:187)(cid:68)(cid:38)(cid:62)(cid:59)(cid:53)(cid:22)(cid:252)(cid:92)(cid:57)(cid:295)(cid:460)(cid:461)(cid:453)(cid:207)(cid:53)(cid:340)(cid:200)(cid:417)(cid:127)(cid:80)(cid:18)(cid:93)(cid:460)(cid:461)(cid:83).
14(cid:145)（2022·浙江·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:71)(cid:45)a =-1(cid:53)(cid:46)(cid:17)d >1(cid:145)(cid:191)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S  nÎN* (cid:145)
n 1 n n
(1)(cid:220)S -2a a +6=0(cid:53)(cid:75)S (cid:246)
4 2 3 n
(2)(cid:220)(cid:259)(cid:70)(cid:195)(cid:194)nÎN*(cid:53)(cid:323)(cid:305)(cid:335)(cid:18)c (cid:53)(cid:196)a +c ,a +4c ,a +15c (cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:75)d(cid:38)(cid:225)(cid:240)(cid:296)(cid:297)(cid:145)
n n n n+1 n n+2 n
3n2-5n
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)S = (nÎN*)
n 2
(2)1<d £2
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:241)(cid:57)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:171)(cid:314)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:75)(cid:206)d(cid:53)(cid:229)(cid:75)S (cid:246)
n
(2)(cid:205)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:252)(cid:253)(cid:19)(cid:58)(cid:59)(cid:53)(cid:208)(cid:101)(cid:22)(cid:330)(cid:25)(cid:324)(cid:58)(cid:59)(cid:179)(cid:76)(cid:38)(cid:65)(cid:66)(cid:75)d(cid:38)(cid:296)(cid:297).
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:256)(cid:192)S -2a a +6=0(cid:53)a =-1(cid:53)
4 2 3 1
(cid:216)(cid:161)-4+6d-2-1+d-1+2d+6=0(cid:53)
(cid:216)(cid:161)d2-3d =0(cid:53)(cid:213)d >1(cid:53)
(cid:216)(cid:161)d =3(cid:53)
(cid:216)(cid:161)a =3n-4(cid:53)
n
a +a n 3n2-5n
(cid:216)(cid:161)S = 1 n = (cid:53)
n 2 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:256)(cid:192)a +c (cid:53)a +4c (cid:53)a +15c (cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)
n n n+1 n n+2 n
(cid:216)(cid:161)a +4c 2 =a +c a +15c (cid:53)
n+1 n n n n+2 n
nd-1+4c 2 =-1+nd-d+c -1+nd+d+15c (cid:53)
n n n
c2+(14d-8nd+8)c +d2 =0(cid:53)
n n
(cid:205)(cid:63)(cid:64)(cid:58)(cid:59)c2+(14d-8nd+8)c +d2 =0(cid:38)(cid:209)(cid:282)(cid:47)(cid:292)(cid:70)(cid:16)(cid:70)0(cid:53)
n n(cid:216)(cid:161)D=14d-8nd+82-4d2 ³0(cid:53)
(cid:216)(cid:161)16d-8nd+812d-8nd+8³0(cid:259)(cid:70)(cid:299)(cid:228)(cid:38)nÎN*(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
(cid:216)(cid:161)é
ë
n-2d-1ù
û
é
ë
2n-3d-2ù
û
³0(cid:259)(cid:70)(cid:299)(cid:228)(cid:38)nÎN*(cid:288)(cid:187)(cid:68)(cid:53)
(cid:261)n=1(cid:224)(cid:53)é
ë
n-2d-1ù
û
é
ë
2n-3d-2ù
û
=d+1d+2³0(cid:53)
(cid:261)n=2(cid:224)(cid:53)(cid:205)2d-2d-14d-3d-2³0(cid:53)(cid:199)(cid:197)d £2
(cid:261)n³3(cid:224)(cid:53)é
ë
n-2d-1ù
û
é
ë
2n-3d-2ù
û
>(n-3)(2n-5)³0(cid:53)
(cid:213)d >1
(cid:216)(cid:161)1<d £2
15(cid:145)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:80)(cid:46)(cid:77)(cid:192)2(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)
n n
a -b =a -b =b -a (cid:145)
2 2 3 3 4 4
(1)(cid:378)(cid:441)(cid:230)a =b (cid:246)
1 1
(2)(cid:75)(cid:327)(cid:101) k b =a +a,1£m£500 (cid:37)(cid:330)(cid:374)(cid:194)(cid:18)(cid:145)
k m 1
(cid:201)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(1)(cid:378)(cid:441)(cid:125)(cid:76)(cid:204)(cid:246)
(2)9(cid:145)
(cid:201)(cid:5)(cid:204)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:228)(cid:19)(cid:206)(cid:58)(cid:59)(cid:73)(cid:211)(cid:199)(cid:378)(cid:206)(cid:246)
n
(cid:10)2(cid:11)(cid:95)(cid:96)(cid:13)(cid:228)(cid:171)(cid:314)(cid:199)(cid:197)m=2k-2(cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:76)(cid:206)(cid:145)
ì a +d-2b =a +2d-4b d
(cid:201)(cid:212)(cid:76)(cid:203)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:216)(cid:161)(cid:53)í 1 1 1 1 (cid:53)(cid:211)(cid:199)(cid:76)(cid:197)(cid:53)b =a = (cid:53)(cid:216)(cid:161)(cid:506)
n î a 1 +d-2b 1 =8b 1 -a 1 +3d 1 1 2
(cid:12)(cid:13)(cid:197)(cid:378)(cid:145)
d
(cid:10)2(cid:11)(cid:205)(cid:10)1(cid:11)(cid:64)(cid:53)b =a = (cid:53)(cid:216)(cid:161)b =a +a Ûb ´2k-1 =a +m-1d+a (cid:53)(cid:211)2k-1 =2m(cid:53)(cid:236)(cid:211)
1 1 2 k m 1 1 1 1
m=2k-2Î1,500(cid:53)(cid:76)(cid:197)2£k £10(cid:53)(cid:216)(cid:161)(cid:226)(cid:227)(cid:16)(cid:47)(cid:38)(cid:76)k =2,3,4,L,10(cid:53)(cid:219)(cid:327)(cid:101)k|b =a +a,1£m£500
k m 1
(cid:37)(cid:38)(cid:330)(cid:374)(cid:194)(cid:18)(cid:192)10-2+1=9(cid:145)