专题04导数及其应用(选填题)(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

04
专题 导数及其应用（选填题）
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)
2026(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)(cid:32)2026(cid:33)(cid:34)
(cid:31)(cid:32)2026(cid:35)(cid:36)(cid:31)(cid:32)2026(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:39)
(cid:40)(cid:41)(cid:13)(cid:42)(cid:3)(cid:43)
2025(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:44)(cid:31)
2025(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)2025(cid:35)(cid:36)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
(cid:13)(cid:42)(cid:3)(cid:43)
2024(cid:8)(cid:26)(cid:45)(cid:3)(cid:31)Ⅰ(cid:32)2024(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:46)
(cid:31)
2024(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)2024(cid:35)(cid:36)(cid:31)(cid:32) (cid:44)(cid:50)(cid:3)(cid:43)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:20)(cid:54)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
2024(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:32)2024(cid:8)(cid:26)(cid:45)(cid:3)(cid:31)Ⅱ(cid:39) (cid:52)(cid:18)(cid:55)(cid:56)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:17)(cid:60)(cid:16)(cid:61)(cid:60)(cid:62)(cid:63)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
(cid:40)(cid:41)(cid:13)(cid:42)(cid:3)(cid:43) (cid:64)(cid:65)(cid:32)(cid:66)(cid:62)(cid:63)(cid:67)(cid:13)
2023(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:46)(cid:31)
2023(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:47)(cid:31)2023(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)
2023(cid:35)(cid:36)(cid:31)(cid:32)2023(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:32)(cid:39)(cid:40)
(cid:41)(cid:13)(cid:42)(cid:3)(cid:43)
2022(cid:8)(cid:26)(cid:45)(cid:3)(cid:31)Ⅰ(cid:32)2022(cid:8)(cid:26)(cid:45)(cid:3)
(cid:31)Ⅱ(cid:32)
2022(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:46)(cid:31)(cid:32)2022(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:47)
(cid:31)(cid:32)2022(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)2022(cid:35)(cid:36)(cid:31)(cid:32)
2022(cid:48)(cid:49)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:13)(cid:42)(cid:3)(cid:43)
2026(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)(cid:32)2026(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)
2025(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:74)(cid:31)(cid:32)
(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:40)(cid:81)(cid:16)(cid:17)(cid:79)(cid:82)(cid:83)(cid:84)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:16)(cid:17)(cid:21)(cid:59) 2024(cid:8)(cid:26)(cid:45)(cid:3)(cid:31)Ⅰ(cid:32)2024(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:32)
(cid:85)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:44)(cid:4)(cid:91)(cid:16)(cid:17)(cid:92)
(cid:17)(cid:18)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:32)(cid:71)(cid:72)(cid:32) 2023(cid:8)(cid:26)(cid:45)(cid:3)(cid:31)Ⅰ(cid:32)2023(cid:8)(cid:26)(cid:45)(cid:3)
(cid:93)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:32)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:73)(cid:72)(cid:94)(cid:67)
(cid:73)(cid:72) (cid:31)Ⅱ(cid:32)2023(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:47)(cid:31)(cid:32)
(cid:13)(cid:95)(cid:56)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:80)(cid:18)(cid:101)(cid:102)
2022(cid:8)(cid:26)(cid:45)(cid:3)(cid:31)Ⅰ(cid:32)2022(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:46)
(cid:31)(cid:32)2022(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:47)(cid:31)(cid:32)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:16)(cid:17)(cid:21)(cid:59) 2024(cid:8)(cid:26)(cid:45)(cid:3)(cid:31)Ⅱ (cid:3)(cid:43)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:70)(cid:109)(cid:103)(cid:104)(cid:70)(cid:105)(cid:91)(cid:79)
(cid:17)(cid:18)(cid:103)(cid:104)(cid:70)(cid:105)(cid:106)(cid:58) 2022(cid:8)(cid:26)(cid:45)(cid:3)(cid:31)Ⅰ (cid:110)(cid:111)(cid:4)(cid:112)(cid:113)(cid:24)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:96)(cid:97)(cid:55)(cid:56) (cid:21)(cid:70)(cid:105)
(cid:3)(cid:4)04 (cid:16)(cid:17)(cid:21)(cid:59) 2026(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)2024(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:46)(cid:31) (cid:103)(cid:42)(cid:18)(cid:121)(cid:118)(cid:4)(cid:32)(cid:122)(cid:123)(cid:5)(cid:6)(cid:124)(cid:125)(cid:32)(cid:123)
(cid:17)(cid:18)(cid:118)(cid:4) (cid:10)(cid:119)(cid:11)(cid:32)2023(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:47)(cid:31)(cid:10)(cid:120)(cid:11)(cid:32) (cid:126)(cid:5)(cid:127)(cid:32)(cid:17)(cid:128)(cid:129)(cid:58)(cid:94)(cid:79)(cid:130)(cid:3)(cid:4)
考点 01 导数的计算与几何意义
1(cid:131)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:132)(cid:63)y=5x+8lnx(cid:39)(cid:4)(1,5)(cid:133)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131)y=3x+2 B(cid:131)y=5x C(cid:131)y=8x-3 D(cid:131)y=13x-8
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)D
8
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:138)(cid:83)y=5x+8lnx(cid:91)(cid:52)y¢=5+ (cid:91)(cid:139)x=1(cid:140)(cid:91)y¢=13(cid:91)
x
(cid:141)(cid:142)(cid:132)(cid:63)y=5x+8lnx(cid:39)(cid:4)(1,5)(cid:133)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y-5=13x-1(cid:91)
(cid:143)y=13x-8.
ex+2sinx
2(cid:131)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:144)(cid:59)(cid:17) f x= (cid:91)(cid:52)(cid:132)(cid:63)y= f x(cid:39)(cid:4)0,1(cid:133)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:28)(cid:147)
1+x2
(cid:141)(cid:148)(cid:149)(cid:18)(cid:116)(cid:150)(cid:128)(cid:18)(cid:151)(cid:152)(cid:83)(cid:10) (cid:11)
1 2
A(cid:131)1 B(cid:131)1 C(cid:131) D(cid:131)
6 3 2 3
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)A
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:154)(cid:155)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:19)(cid:20)(cid:156)(cid:157)(cid:103)(cid:39)(cid:4)0,1(cid:133)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:157)(cid:103)(cid:21)(cid:146)(cid:28)(cid:147)(cid:18)(cid:158)(cid:4)(cid:146)(cid:28)(cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:157)
(cid:103)(cid:151)(cid:152).
 ex+2cosx  1+x2 -  ex+2sinx  ×2x
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)
f¢x=
(cid:91)
 1+x22
 e0+2cos0 1+0-  e0+2sin0  ´0
(cid:52) f¢0= =3(cid:91)
1+02
(cid:143)(cid:159)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y-1=3x(cid:91)(cid:143)y=3x+1(cid:91)
1
(cid:160)x=0(cid:91)(cid:52)y=1(cid:91)(cid:160)y=0(cid:91)(cid:52)x=- (cid:91)
3
1 1 1
(cid:161)(cid:159)(cid:62)(cid:63)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:28)(cid:147)(cid:141)(cid:148)(cid:149)(cid:18)(cid:116)(cid:150)(cid:128)(cid:151)(cid:152)S = ´1´ - = .
2 3 6
(cid:161)(cid:162)(cid:163)A.ex æ eö
3(cid:131)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:132)(cid:63)y= (cid:39)(cid:4)ç1, ÷(cid:133)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)(cid:10) (cid:11)
x+1 è 2ø
e e e e e 3e
A(cid:131)y= x B(cid:131)y= x C(cid:131)y= x+ D(cid:131)y= x+
4 2 4 4 2 4
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)C
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:164)(cid:165)(cid:62)(cid:4)(cid:144)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:166)(cid:60)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:91)(cid:167)(cid:62)(cid:4)(cid:18)(cid:168)(cid:146)(cid:28)(cid:169)(cid:170)(cid:16)(cid:17)(cid:157)(cid:81)(cid:62)(cid:63)(cid:18)(cid:171)(cid:172)(cid:91)(cid:169)(cid:170)(cid:141)(cid:144)(cid:64)
(cid:65)(cid:143)(cid:156)(cid:60)(cid:40).
ex æ eö e
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:144)(cid:132)(cid:63)y= (cid:39)(cid:4)ç1, ÷(cid:133)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y- =kx-1(cid:91)
x+1 è 2ø 2
ex
(cid:138)(cid:83)y= (cid:91)
x+1
exx+1-ex xex
(cid:141)(cid:142)y¢= = (cid:91)
x+12 x+12
e
(cid:141)(cid:142)k = y¢| =
x=1 4
e e
(cid:141)(cid:142)y- = x-1
2 4
ex æ eö e e
(cid:141)(cid:142)(cid:132)(cid:63)y= (cid:39)(cid:4)ç1, ÷(cid:133)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y= x+ .
x+1 è 2ø 4 4
(cid:161)(cid:162)(cid:163)C
4(cid:131)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:173)(cid:98)(cid:63)y=2x+5(cid:79)(cid:132)(cid:63)y=ex+x+a(cid:18)(cid:44)(cid:174)(cid:62)(cid:63)(cid:91)(cid:52)a=_________.
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)4
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:54)(cid:44)(cid:163)(cid:95)(cid:56)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:22)(cid:23)(cid:70)(cid:105)(cid:21)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:20)(cid:60)(cid:157)(cid:62)(cid:4)(cid:91)(cid:175)(cid:176)(cid:169)(cid:170)(cid:132)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:143)(cid:156)(cid:157)(cid:40)(cid:177)(cid:54)(cid:74)(cid:163)(cid:95)
(cid:56)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:22)(cid:23)(cid:70)(cid:105)(cid:21)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:20)(cid:157)(cid:81)(cid:178)(cid:179)(cid:62)(cid:4)x ,y (cid:21)a(cid:18)(cid:64)(cid:65)(cid:180)(cid:91)(cid:40)(cid:181)(cid:143)(cid:156)(cid:157)(cid:40).
0 0
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:54)(cid:44)(cid:163)(cid:107)(cid:179)y=ex+x+a(cid:91)(cid:103)(cid:16)(cid:17)(cid:83)y¢=ex +1(cid:91)
(cid:138)(cid:83)(cid:98)(cid:63)y=2x+5(cid:79)(cid:132)(cid:63)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:91)(cid:98)(cid:63)(cid:18)(cid:171)(cid:172)(cid:83)2(cid:91)
(cid:160)y¢=ex+1=2(cid:91)(cid:143)ex =1(cid:91)(cid:40)(cid:157)x=0(cid:91)
(cid:93)x=0(cid:169)(cid:170)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)y=2x+5(cid:91)(cid:156)(cid:157)y=2´0+5=5(cid:91)
(cid:141)(cid:142)(cid:62)(cid:4)(cid:146)(cid:28)(cid:83)(0,5)(cid:91)
(cid:138)(cid:83)(cid:62)(cid:4)(0,5)(cid:39)(cid:132)(cid:63)y=ex+x+a(cid:37)(cid:91)
(cid:141)(cid:142)5=e0+0+a(cid:91)(cid:143)5=1+a(cid:91)(cid:40)(cid:157)a=4.
(cid:161)(cid:41)(cid:135)(cid:83)(cid:163)4.(cid:54)(cid:74)(cid:163)(cid:107)(cid:179)y=ex+x+a(cid:91)(cid:103)(cid:16)(cid:17)(cid:83)y¢=ex +1(cid:91)
(cid:182)(cid:144)y=2x+5(cid:21)y=ex+x+a(cid:18)(cid:62)(cid:4)(cid:83)x ,y (cid:91)
0 0
ìex0 +1=2
ï
(cid:52)íy =2x +5 (cid:91)(cid:40)(cid:157)a=4.
0 0
ï
î
y
0
=ex0 +x
0
+a
(cid:161)(cid:41)(cid:135)(cid:83)(cid:163)4.
5(cid:131)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:173)(cid:132)(cid:63)y=ex+x(cid:39)(cid:4)0,1(cid:133)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:183)(cid:79)(cid:132)(cid:63)y=ln(x+1)+a(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:91)(cid:52)
a=__________.
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)ln2
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:164)(cid:60)(cid:184)(cid:132)(cid:63)y=ex+x(cid:39)0,1(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:166)(cid:144)(cid:132)(cid:63)y=lnx+1+a(cid:18)(cid:62)(cid:4)(cid:83) x ,lnx +1+a (cid:91)(cid:60)
0 0
(cid:184)y¢(cid:91)(cid:95)(cid:56)(cid:66)(cid:62)(cid:63)(cid:171)(cid:172)(cid:185)(cid:94)(cid:60)(cid:184)x (cid:91)(cid:186)(cid:102)(cid:184)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:129)(cid:58)(cid:145)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:185)(cid:187)(cid:143)(cid:156)(cid:60)(cid:40).
0
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:165)y=ex+x(cid:157)y¢=ex +1(cid:91)y¢| =e0+1=2(cid:91)
x=0
(cid:161)(cid:132)(cid:63)y=ex+x(cid:39)0,1(cid:133)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y=2x+1(cid:177)
1
(cid:165)y=lnx+1+a(cid:157)y¢ = (cid:91)
x+1
(cid:144)(cid:62)(cid:63)(cid:21)(cid:132)(cid:63)y=lnx+1+a(cid:185)(cid:62)(cid:18)(cid:62)(cid:4)(cid:83) x ,lnx +1+a (cid:91)
0 0
1 1 æ 1 1ö
(cid:165)(cid:145)(cid:132)(cid:63)(cid:86)(cid:66)(cid:62)(cid:63)(cid:157)y¢= =2(cid:91)(cid:40)(cid:157)x =- (cid:91)(cid:52)(cid:62)(cid:4)(cid:83)ç- ,a+ln ÷(cid:91)
x +1 0 2 è 2 2ø
0
æ 1ö 1
(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y=2çx+ ÷+a+ln =2x+1+a-ln2(cid:91)
è 2ø 2
(cid:188)(cid:189)(cid:145)(cid:62)(cid:63)(cid:110)(cid:58),(cid:141)(cid:142)a-ln2=0(cid:91)(cid:40)(cid:157)a=ln2.
(cid:161)(cid:41)(cid:135)(cid:83)(cid:163)ln2
6(cid:131)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:132)(cid:63)y=ln|x|(cid:190)(cid:146)(cid:28)(cid:191)(cid:4)(cid:18)(cid:145)(cid:174)(cid:62)(cid:63)(cid:18)(cid:64)(cid:65)(cid:83)____________(cid:91)
____________(cid:131)
1 1
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136) y= x y=- x
e e
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:5)x>0(cid:61)x<0(cid:145)(cid:192)(cid:9)(cid:193)(cid:91)(cid:139)x>0(cid:140)(cid:144)(cid:62)(cid:4)(cid:83)x ,lnx (cid:91)(cid:60)(cid:184)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:16)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:60)(cid:184)(cid:62)(cid:63)(cid:18)(cid:171)
0 0
(cid:172)(cid:91)(cid:194)(cid:176)(cid:186)(cid:102)(cid:184)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:166)(cid:188)(cid:189)(cid:62)(cid:63)(cid:190)(cid:146)(cid:28)(cid:191)(cid:4)(cid:60)(cid:184)x (cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:60)(cid:184)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:139)x<0(cid:140)(cid:187)(cid:119)(cid:156)(cid:157)(cid:177)
0
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)[(cid:64)(cid:54)(cid:44)](cid:163)(cid:195)(cid:83)(cid:5)(cid:196)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:5)(cid:196)(cid:60)(cid:5)x>0(cid:61)x<0(cid:145)(cid:192)(cid:9)(cid:193)(cid:91)(cid:139)x>0(cid:140)(cid:144)(cid:62)(cid:4)(cid:83)x ,lnx (cid:91)(cid:60)(cid:184)(cid:59)(cid:17) (cid:16)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:60)(cid:184)(cid:62)(cid:63)(cid:18)(cid:171)(cid:172)(cid:91)(cid:194)(cid:176)
0 0
(cid:186)(cid:102)(cid:184)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:166)(cid:188)(cid:189)(cid:62)(cid:63)(cid:190)(cid:146)(cid:28)(cid:191)(cid:4)(cid:60)(cid:184)x (cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:60)(cid:184)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:139)x<0(cid:140)(cid:187)(cid:119)(cid:156)(cid:157)(cid:177)
0
(cid:40)(cid:163) (cid:138)(cid:83)y=ln x (cid:91)
1 1 1
(cid:139)x>0(cid:140)y=lnx(cid:91)(cid:144)(cid:62)(cid:4)(cid:83)x ,lnx (cid:91)(cid:165)y¢ = (cid:91)(cid:141)(cid:142)y¢| = (cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y-lnx = x-x  (cid:91)
0 0 x x=x0 x 0 x 0
0 0
1 1 1
(cid:197)(cid:62)(cid:63)(cid:190)(cid:146)(cid:28)(cid:191)(cid:4)(cid:91)(cid:141)(cid:142)-lnx = -x  (cid:91)(cid:40)(cid:157)x =e(cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y-1= x-e(cid:91)(cid:143)y= x(cid:177)
0 x 0 0 e e
0
1 1
(cid:139)x<0(cid:140)y=ln-x(cid:91)(cid:144)(cid:62)(cid:4)(cid:83) x,ln-x  (cid:91)(cid:165)y¢ = (cid:91)(cid:141)(cid:142)y¢| = (cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)
1 1 x x=x1 x
1
1
y-ln-x = x-x 
(cid:91)
1 x 1
1
1 1 1
(cid:197)(cid:62)(cid:63)(cid:190)(cid:146)(cid:28)(cid:191)(cid:4)(cid:91)(cid:141)(cid:142)-ln-x = -x  (cid:91)(cid:40)(cid:157)x =-e(cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y-1= x+e(cid:91)(cid:143)y=- x(cid:177)
1 x 1 1 -e e
1
1 1
(cid:161)(cid:41)(cid:135)(cid:83)(cid:163)y= x(cid:177)y=- x
e e
[(cid:64)(cid:54)(cid:74)](cid:163)(cid:188)(cid:189)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:70)(cid:91)(cid:17)(cid:128)(cid:129)(cid:58)
1 1 1
(cid:139)x>0(cid:140)y=lnx(cid:91)(cid:144)(cid:62)(cid:4)(cid:83)x ,lnx (cid:91)(cid:165)y¢ = (cid:91)(cid:141)(cid:142)y¢| = (cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y-lnx = x-x  (cid:91)
0 0 x x=x0 x 0 x 0
0 0
1 1 1
(cid:197)(cid:62)(cid:63)(cid:190)(cid:146)(cid:28)(cid:191)(cid:4)(cid:91)(cid:141)(cid:142)-lnx = -x  (cid:91)(cid:40)(cid:157)x =e(cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y-1= x-e(cid:91)(cid:143)y= x(cid:177)
0 x 0 0 e e
0
(cid:138)(cid:83)y=ln x (cid:79)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:96)(cid:199)(cid:83)(cid:163)
1 1
(cid:141)(cid:142)(cid:139)x<0(cid:140)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:91)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:81)y= x(cid:178)(cid:179)y(cid:147)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:98)(cid:63)y=- x(cid:143)(cid:156).
e e
7(cid:131)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:173)(cid:132)(cid:63)y=(x+a)ex(cid:86)(cid:145)(cid:174)(cid:190)(cid:146)(cid:28)(cid:191)(cid:4)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:91)(cid:52)a(cid:18)(cid:203)(cid:72)(cid:204)(cid:148)(cid:79)
________________(cid:131)
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)-¥,-4
U
0,+¥
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:144)(cid:184)(cid:62)(cid:4)(cid:168)(cid:146)(cid:28)x (cid:91)(cid:95)(cid:56)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:157)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:188)(cid:189)(cid:62)(cid:63)(cid:205)(cid:190)(cid:191)(cid:4)(cid:157)(cid:81)(cid:178)(cid:179)x (cid:18)(cid:64)(cid:65)(cid:91)
0 0(cid:188)(cid:189)(cid:206)(cid:64)(cid:65)(cid:55)(cid:86)(cid:145)(cid:207)(cid:208)(cid:187)(cid:18)(cid:209)(cid:17)(cid:188)(cid:91)(cid:60)(cid:157)a(cid:18)(cid:203)(cid:72)(cid:204)(cid:148).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136) y=(x+a)ex(cid:91) y¢=(x+1+a)ex(cid:91)
∵ ∴
(cid:144)(cid:62)(cid:4)(cid:83)x ,y  ,(cid:52)y =x +aex 0 ,(cid:62)(cid:63)(cid:171)(cid:172)k =x +1+aex0,
0 0 0 0 0
(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)(cid:163)y-x +aex
0
=x +1+aex
0
x-x 
,
0 0 0
(cid:62)(cid:63)(cid:190)(cid:191)(cid:4)(cid:91) -x +aex 0 =x +1+aex 0 -x  ,
0 0 0
∵ ∴
(cid:210)(cid:119)(cid:157)(cid:163)x2+ax -a=0,
0 0
(cid:62)(cid:63)(cid:86)(cid:145)(cid:174)(cid:91) D=a2+4a>0,(cid:40)(cid:157)a<-4(cid:211)a>0,
∵a(cid:18)(cid:203)(cid:72)(cid:204)(cid:148)(cid:79)∴ -¥,-4
U
0,+¥,
∴
(cid:161)(cid:41)(cid:135)(cid:83)(cid:163)-¥,-4
U
0,+¥
考点 02 导数与函数的单调性、极值、最值
x+2
1(cid:131)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:212)(cid:213)(cid:59)(cid:17) f(x)= (cid:18)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:83)1(cid:91)(cid:52)a=(cid:10) (cid:11)
ex+a
3
A(cid:131)1 B(cid:131)1 C(cid:131) D(cid:131)2
2 2
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)B
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:54)1(cid:163)(cid:10)1(cid:11)(cid:139)a<0(cid:140)(cid:91)(cid:165)ex+a¹0(cid:91)(cid:40)(cid:157)x¹ln(-a)(cid:91)
(cid:161)(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)(-¥,ln(-a))È(ln(-a),+¥).
1
(cid:139)a<- (cid:140)(cid:91)ln(-a)+2>0(cid:91)
e2
①
(cid:139)x®ln(-a)+(cid:91)(cid:52) f(x)®+¥(cid:91)(cid:161)(cid:208)(cid:217)(cid:39)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:91)(cid:208)(cid:58)(cid:13)(cid:24)(cid:177)
1 x+2 2
(cid:139)a=- (cid:140)(cid:91)(cid:206)(cid:140) f(x)= (cid:91) f(0)= >2(cid:91)
e2 ex-e-2 1-e-2
②(cid:161)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:208)(cid:83)1(cid:91)(cid:208)(cid:58)(cid:13)(cid:24)(cid:177)
1
(cid:139)- <a<0(cid:140)(cid:91)ln(-a)+2<0(cid:91)
e2
③
(cid:139)x®ln(-a)-(cid:91)(cid:52) f(x)®+¥(cid:91)(cid:161)(cid:208)(cid:217)(cid:39)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:91)(cid:208)(cid:58)(cid:13)(cid:24)(cid:177)
(cid:10)2(cid:11)(cid:139)a³0(cid:140)(cid:91)(cid:52)ex+a>0(cid:91)(cid:52)(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)R.
(cid:218)(cid:165) f(x)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:83)1(cid:156)(cid:213)(cid:91)x+2£ex+a(cid:91)
(cid:143)a³x+2-ex(cid:107)(cid:219)(cid:24)xÎR(cid:220)(cid:149)(cid:221)(cid:91)(cid:218)(cid:94)(cid:222)(cid:92)(cid:203)(cid:81).(cid:144)g(x)=x+2-ex(cid:91)(cid:52)g¢(x)=1-ex(cid:91)
(cid:139)x<0(cid:140)(cid:91)g¢(x)>0(cid:91)g(x)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:177)
(cid:139)x>0(cid:140)(cid:91)g¢(x)<0(cid:91)g(x)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:177)
(cid:161)g(x)£g(0)=1(cid:91)(cid:139)(cid:218)(cid:226)(cid:139)x=0(cid:140)(cid:91)g(x) =1(cid:91)
max
(cid:165)a³x+2-ex(cid:107)(cid:219)(cid:24)xÎR(cid:220)(cid:149)(cid:221)(cid:91)(cid:156)(cid:213)a³1(cid:91)
(cid:197)(cid:139)a>1(cid:140)(cid:91)(cid:220)(cid:86)gx£1<a(cid:91)(cid:203)(cid:208)(cid:81)(cid:94)(cid:222)(cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:86)a=1(cid:91)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)B.
x+2
(cid:54)2(cid:163) f(x)= (cid:91)
ex+a
(cid:165)(cid:162)(cid:227)(cid:213)a>0(cid:91)(cid:52)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)R(cid:91)
(cid:161)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:228)(cid:39)(cid:71)(cid:72)(cid:4)(cid:133)(cid:203)(cid:81)(cid:91)(cid:208)(cid:229)(cid:144)(cid:206)(cid:71)(cid:72)(cid:4)(cid:83)x (cid:91)
0
 ex+a  -x+2ex -x+1ex+a
(cid:165) f¢(x)= = (cid:91)
 ex+a 2  ex+a 2
(cid:52)(cid:165) f¢x =0(cid:91)(cid:156)(cid:157)a=x +1ex 0 (cid:91)
0 0
x +2 ①
(cid:218) f x = 0 =1(cid:91)(cid:143)a=x +2-ex0 (cid:91)
0 ex0 +a 0
②
ìx =0
(cid:230)(cid:221) (cid:40)(cid:157)í 0 .
îa=1
①②
x+2
(cid:231)(cid:232)(cid:163)(cid:139)a=1(cid:140)(cid:91) f(x)= (cid:91)
ex+1
-x+1ex+1
(cid:52)
f¢(x)=
(cid:91)
 ex+1 2
(cid:144)g(x)=-x+1ex+1(cid:91)(cid:52)g¢(x)=-(x+2)ex(cid:91)
(cid:139)x<-2(cid:140)(cid:91)g¢(x)>0(cid:91)(cid:52)g(x)(cid:39)(-¥,-2)(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:177)
(cid:139)x>-2(cid:140)(cid:91)g¢(x)<0(cid:91)(cid:52)g(x)(cid:39)(-¥,-2)(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:177)
1
g(x) =g(-2)= +1(cid:91)(cid:218)g(0)=0(cid:91)
max e2
(cid:218)(cid:139)x®-¥(cid:91)gx®1(cid:177)(cid:139)x®+¥(cid:91)g(x)®-¥(cid:177)
(cid:82)(cid:184)(cid:59)(cid:17)g(x)(cid:18)(cid:214)(cid:233)(cid:96)(cid:199)(cid:91)(cid:139)x<0(cid:140)(cid:91)g(x)>0, f¢(x)>0(cid:91) f(x)(cid:39)(0,+¥)(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:177)
(cid:139)x>0(cid:140)(cid:91)g(x)<0, f¢(x)<0(cid:91) f(x)(cid:39)(0,+¥)(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:177)
(cid:52) f(x) = f(0)=1(cid:91)(cid:234)(cid:235)(cid:13)(cid:24)(cid:91)(cid:161)a=1.
max
(cid:54)3(cid:163)(cid:165)(cid:162)(cid:227)(cid:213)a>0(cid:91)(cid:52)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)R(cid:91)
2
(cid:165) f(0)= £1(a>0)(cid:91)(cid:40)(cid:157)a³1.
1+a
(cid:187)(cid:54)2(cid:231)(cid:232)(cid:156)(cid:157)(cid:91)(cid:161)a=1(cid:234)(cid:235)(cid:13)(cid:24)(cid:91)(cid:165)(cid:162)(cid:227)(cid:236)(cid:44)(cid:156)(cid:157)..
(cid:54)4(cid:163)(cid:165)(cid:162)(cid:227)(cid:213)a>0(cid:91)(cid:52)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)R(cid:91)
2
(cid:165) f(0)= £1(a>0)(cid:91)(cid:40)(cid:157)a³1.
1+a
(cid:231)(cid:232)(cid:163)(cid:139)a=1(cid:140)(cid:91)(cid:165)(cid:208)(cid:94)(cid:237)ex ³x+1(cid:156)(cid:157)ex+1³x+2(cid:91)
x+2
(cid:161) f(x)= £1(cid:91)(cid:139)(cid:218)(cid:226)(cid:139)x=0(cid:140)(cid:94)(cid:222)(cid:149)(cid:221)(cid:91)
ex+1
(cid:161)a=1(cid:234)(cid:235)(cid:13)(cid:24)(cid:91)(cid:165)(cid:162)(cid:227)(cid:236)(cid:44)(cid:156)(cid:157).
2(cid:131)（2024·上海·高考真题）(cid:212)(cid:213)(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:18)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)R(cid:91)(cid:215)(cid:25)(cid:238)(cid:58)
M =  x x ÎR,xÎ-¥,x , f(x)< f x  (cid:91)(cid:39)(cid:239)(cid:157)M =[-1,1](cid:18)(cid:141)(cid:86) f(x)(cid:42)(cid:91)(cid:240)(cid:241)(cid:149)(cid:221)(cid:18)(cid:79)(cid:10) (cid:11)
0 0 0 0
A(cid:131)(cid:217)(cid:39) f(x)(cid:79)(cid:198)(cid:59)(cid:17) B(cid:131)(cid:217)(cid:39) f(x)(cid:39)x=2(cid:133)(cid:203)(cid:73)(cid:214)(cid:72)
C(cid:131)(cid:217)(cid:39) f(x)(cid:79)(cid:224)(cid:59)(cid:17) D(cid:131)(cid:217)(cid:39) f(x)(cid:39)x=-1(cid:133)(cid:203)(cid:81)(cid:71)(cid:242)(cid:72)
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)B
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)A(cid:162)(cid:227)(cid:95)(cid:56)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:70)(cid:105)(cid:202)(cid:81)(cid:243)(cid:244)(cid:143)(cid:156)(cid:177)B(cid:162)(cid:227)(cid:202)(cid:81)(cid:58)(cid:245)(cid:59)(cid:17)(cid:143)(cid:156)(cid:177)C(cid:162)(cid:227)(cid:165)(cid:215)(cid:25)(cid:157)(cid:81)(cid:238)(cid:58)M(cid:21)(cid:212)
(cid:213)(cid:174)(cid:246)(cid:243)(cid:244)(cid:177)D(cid:162)(cid:227)(cid:165)(cid:238)(cid:58)M(cid:18)(cid:215)(cid:25)(cid:202)(cid:81)(cid:243)(cid:244).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:107)(cid:179)A(cid:162)(cid:227)(cid:163)x<x (cid:140)(cid:91) f x< f x (cid:91)
0 0
(cid:139)x =1(cid:140)(cid:91)x Î-1,1(cid:91) (cid:219)(cid:24)(cid:18)xÎ-¥,1(cid:91) f x< f 1(cid:220)(cid:149)(cid:221)(cid:91)
0 0
(cid:173) f x(cid:140)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:206)(cid:140) f 1= f -1(cid:243)(cid:244)(cid:91)(cid:161)A(cid:162)(cid:227)(cid:247)(cid:248)(cid:177)
(cid:107)(cid:179)B(cid:162)(cid:227)(cid:163)(cid:173) f x(cid:59)(cid:17)(cid:96)(cid:97)(cid:249)(cid:240)(cid:163)(cid:139)x<-1(cid:140)(cid:91) f x=-2(cid:91)-1£x£1(cid:140)(cid:91) f xÎ-1,1(cid:91)(cid:139)x>1(cid:91) f x=1(cid:91)
(cid:217)(cid:39) f x(cid:39)x=2(cid:133)(cid:203)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:91)(cid:161)B(cid:162)(cid:227)(cid:250)(cid:251)(cid:177)
∴
(cid:107)(cid:179)C(cid:162)(cid:227)(cid:163)(cid:39)x<-1(cid:140)(cid:91)(cid:173)(cid:59)(cid:17) f x(cid:252)(cid:253)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:52)(cid:238)(cid:58)M(cid:18)(cid:203)(cid:72)(cid:208)(cid:254)(cid:79)-1,1(cid:91)
(cid:176)(cid:79)(cid:29)(cid:76)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:91)(cid:161)C(cid:162)(cid:227)(cid:247)(cid:248)(cid:177)
(cid:107)(cid:179)D(cid:162)(cid:227)(cid:163)(cid:173)(cid:217)(cid:39) f x(cid:39)x=-1(cid:133)(cid:203)(cid:81)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:91)(cid:52)(cid:39)x=-1(cid:39)(cid:255)(cid:256)(cid:217)(cid:39)x=n(cid:91) f n> f -1(cid:91)(cid:21)(cid:238)(cid:58)M
(cid:215)(cid:25)(cid:243)(cid:244)(cid:91)(cid:161)D(cid:162)(cid:227)(cid:247)(cid:248).
(cid:161)(cid:162)(cid:163)B
3(cid:131)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:212)(cid:213)(cid:59)(cid:17) f x=aex-lnx(cid:39)(cid:257)(cid:258)1,2(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:52)a(cid:18)(cid:73)(cid:242)(cid:72)(cid:83)
(cid:10) (cid:11)(cid:131)
A(cid:131)e2 B(cid:131)e C(cid:131)e-1 D(cid:131)e-2
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)C
1
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:188)(cid:189) f¢x=aex- ³0(cid:39)1,2(cid:37)(cid:220)(cid:149)(cid:221)(cid:91)(cid:166)(cid:188)(cid:189)(cid:5)(cid:123)(cid:60)(cid:73)(cid:72)(cid:143)(cid:156)(cid:60)(cid:184)(cid:131)
x
1 1
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:259)(cid:13)(cid:156)(cid:213)(cid:91) f¢x=aex- ³0(cid:39)1,2(cid:37)(cid:220)(cid:149)(cid:221)(cid:91)(cid:260)(cid:261)a>0(cid:91)(cid:141)(cid:142)xex ³ (cid:91)
x a
(cid:144)gx=xex,xÎ1,2(cid:91)(cid:141)(cid:142)g¢x=x+1ex >0(cid:91)(cid:141)(cid:142)gx(cid:39)1,2(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
1 1
gx>g1=e(cid:91)(cid:161)e³ (cid:91)(cid:143)a³ =e-1(cid:91)(cid:143)a(cid:18)(cid:73)(cid:242)(cid:72)(cid:83)e-1(cid:131)
a e
(cid:161)(cid:162)(cid:163)C(cid:131)
4(cid:131)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:59)(cid:17) f x=cosx+x+1sinx+1(cid:39)(cid:257)(cid:258)0,2π (cid:18)(cid:73)(cid:242)(cid:72)(cid:32)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:5)(cid:262)(cid:83)
(cid:10) (cid:11)
π π 3π π π π 3π π
A(cid:131)- (cid:91) B(cid:131)- (cid:91) C(cid:131)- (cid:91) +2 D(cid:131)- (cid:91) +2
2 2 2 2 2 2 2 2
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)D(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:95)(cid:56)(cid:16)(cid:17)(cid:60)(cid:157) f x(cid:18)(cid:68)(cid:69)(cid:257)(cid:258)(cid:91)(cid:194)(cid:176)(cid:263)(cid:264)(cid:184) f x(cid:39)(cid:257)(cid:258)0,2π (cid:37)(cid:18)(cid:73)(cid:242)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:214)(cid:72).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136) f¢x=-sinx+sinx+x+1cosx=x+1cosx(cid:91)
æ πö æ3π ö
(cid:141)(cid:142) f x(cid:39)(cid:257)(cid:258)ç0, ÷(cid:61)ç ,2π÷(cid:37) f¢x>0(cid:91)(cid:143) f x(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:177)
è 2ø è 2 ø
æπ 3πö
(cid:39)(cid:257)(cid:258)ç , ÷(cid:37) f¢x<0(cid:91)(cid:143) f x(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
è2 2 ø
æπö π æ3πö æ3π ö 3π
(cid:197) f 0= f 2π=2(cid:91) f ç ÷= +2(cid:91) f ç ÷=-ç +1÷+1=- (cid:91)
è2ø 2 è 2 ø è 2 ø 2
(cid:141)(cid:142) f x(cid:39)(cid:257)(cid:258)0,2π (cid:37)(cid:18)(cid:73)(cid:242)(cid:72)(cid:83)-
3π
(cid:91)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:83)
π
+2.
2 2
(cid:161)(cid:162)(cid:163)D
31 1 1
5(cid:131)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:212)(cid:213)a= ,b=cos ,c=4sin (cid:91)(cid:52)(cid:10) (cid:11)
32 4 4
A(cid:131)c>b>a B(cid:131)b>a>c C(cid:131)a>b>c D(cid:131)a>c>b
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)A
c 1 1
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:165) =4tan (cid:129)(cid:58)(cid:116)(cid:150)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:70)(cid:105)(cid:156)(cid:157)c>b;(cid:265)(cid:266)(cid:59)(cid:17) f x=cosx+ x2-1,xÎ0,+¥,(cid:95)(cid:56)(cid:16)(cid:17)(cid:156)
b 4 2
(cid:157)b>a,(cid:143)(cid:156)(cid:157)(cid:40).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)[(cid:64)(cid:54)(cid:44)](cid:163)(cid:265)(cid:266)(cid:59)(cid:17)
æ πö
(cid:138)(cid:83)(cid:139)xÎç0, ÷,x<tanx
è 2ø
c 1 c
(cid:161) =4tan >1(cid:91)(cid:161) >1(cid:91)(cid:141)(cid:142)c>b(cid:177)
b 4 b
1
(cid:144) f(x)=cosx+ x2-1,xÎ(0,+¥)(cid:91)
2
f¢(x)=-sinx+x>0(cid:91)(cid:141)(cid:142) f(x)(cid:39)(0,+¥)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
æ1ö 1 31
(cid:161) f ç ÷> f(0)=0(cid:91)(cid:141)(cid:142)cos - >0(cid:91)
è4ø 4 32
(cid:141)(cid:142)b>a(cid:91)(cid:141)(cid:142)c>b>a(cid:91)(cid:161)(cid:162)A
[(cid:64)(cid:54)(cid:74)](cid:163)(cid:208)(cid:94)(cid:237)(cid:267)(cid:268)
æ πö
(cid:138)(cid:83)(cid:139)xÎç0, ÷,sinx<x(cid:91)
è 2ø
1 1 1 æ1ö 2 31
(cid:203)x= (cid:157)(cid:163)cos =1-2sin2 >1-2 ç ÷ = (cid:91)(cid:161)b>a
8 4 8 è8ø 32
1 1 æ1 ö æ pö 1 4
4sin +cos = 17sinç +÷(cid:91)(cid:103)(cid:42)Îç0, ÷(cid:91)(cid:218)sin= ,cos=
4 4 è4 ø è 2ø 17 171 1 1 p p 1
(cid:139)4sin +cos = 17(cid:140)(cid:91) += (cid:91)(cid:109)= -
4 4 4 2 2 4
1 4 1 1
(cid:206)(cid:140)sin =cos= (cid:91)cos =sin=
4 17 4 17
1 1 4 1 1
(cid:161)cos = < =sin <4sin (cid:91)(cid:161)b<c
4 17 17 4 4
(cid:141)(cid:142)b>a(cid:91)(cid:141)(cid:142)c>b>a(cid:91)(cid:161)(cid:162)A
[(cid:64)(cid:54)(cid:116)](cid:163)(cid:269)(cid:270)(cid:101)(cid:271)
31 0.252 1 0.252 0.254
(cid:144)x=0.25(cid:91)(cid:52)a= =1- (cid:91)b=cos »1- + (cid:91)
32 2 4 2 4!
1
sin
1 4 0.252 0.254
c=4sin = »1- + (cid:91)(cid:19)(cid:20)(cid:157)c>b>a(cid:91)(cid:161)(cid:162)A.
4 1 3! 5!
4
[(cid:64)(cid:54)(cid:51)](cid:163)(cid:265)(cid:266)(cid:59)(cid:17)
c 1 æ πö 1 1 c
(cid:138)(cid:83) =4tan (cid:91)(cid:138)(cid:83)(cid:139)xÎç0, ÷,sinx<x<tanx(cid:91)(cid:141)(cid:142)tan > ,(cid:143) >1(cid:91)(cid:141)(cid:142)c>b(cid:177)(cid:144)
b 4 è 2ø 4 4 b
1 æ1ö
f(x)=cosx+ x2-1,xÎ(0,+¥)(cid:91) f¢(x)=-sinx+x>0(cid:91)(cid:141)(cid:142) f(x)(cid:39)(0,+¥)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:52) f ç ÷> f(0)=0,
2 è4ø
1 31
(cid:141)(cid:142)cos - >0(cid:91)(cid:141)(cid:142)b>a,(cid:141)(cid:142)c>b>a(cid:91)
4 32
(cid:161)(cid:162)(cid:163)A(cid:131)
[(cid:64)(cid:54)(cid:7)](cid:163)(cid:134)(cid:73)(cid:272)(cid:40)(cid:136)(cid:208)(cid:94)(cid:237)(cid:267)(cid:268)
c 1 æ πö 1 1 c
(cid:138)(cid:83) =4tan (cid:91)(cid:138)(cid:83)(cid:139)xÎç0, ÷,sinx<x<tanx(cid:91)(cid:141)(cid:142)tan > ,(cid:143) >1(cid:91)(cid:141)(cid:142)c>b(cid:177)(cid:138)(cid:83)(cid:139)
b 4 è 2ø 4 4 b
æ πö 1 1 1 æ1ö 2 31
xÎç0, ÷,sinx<x(cid:91)(cid:203)x= (cid:157)cos =1-2sin2 >1-2 ç ÷ = (cid:91)(cid:161)b>a(cid:91)(cid:141)(cid:142)c>b>a(cid:131)
è 2ø 8 4 8 è8ø 32
(cid:161)(cid:162)(cid:163)A(cid:131)
(cid:134)(cid:210)(cid:76)(cid:4)(cid:273)(cid:136)(cid:64)(cid:54)4(cid:163)(cid:95)(cid:56)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:274)(cid:275)(cid:214)(cid:242)(cid:91)(cid:79)(cid:130)(cid:276)(cid:77)(cid:277)(cid:91)(cid:111)(cid:4)(cid:39)(cid:179)(cid:265)(cid:266)(cid:58)(cid:245)(cid:18)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:278)(cid:179)(cid:279)(cid:70)(cid:279)(cid:54)(cid:177)
æ πö
(cid:64)(cid:54)5(cid:163)(cid:95)(cid:56)(cid:74)(cid:280)(cid:150)(cid:66)(cid:237)(cid:142)(cid:109)(cid:208)(cid:94)(cid:237)xÎç0, ÷,sinx<x<tanx(cid:267)(cid:268)(cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:157)(cid:184)(cid:214)(cid:242)(cid:178)(cid:281)(cid:91)(cid:278)(cid:179)(cid:73)(cid:272)(cid:40)(cid:131)
è 2ø
b
6(cid:131)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:139)x=1(cid:140)(cid:91)(cid:59)(cid:17) f(x)=alnx+ (cid:203)(cid:157)(cid:73)(cid:214)(cid:72)−2(cid:91)(cid:52) f¢(2)=(cid:10) (cid:11)
x
1
A(cid:131)-1 B(cid:131)- C(cid:131)1 D(cid:131)1
2 2
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)B
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:188)(cid:189)(cid:13)(cid:24)(cid:156)(cid:213) f 1=-2(cid:91) f¢1=0(cid:143)(cid:156)(cid:40)(cid:157)a,b(cid:91)(cid:166)(cid:188)(cid:189) f¢x(cid:143)(cid:156)(cid:40)(cid:184)(cid:131)a b
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:138)(cid:83)(cid:59)(cid:17) f x(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)0,+¥(cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:259)(cid:13)(cid:156)(cid:213)(cid:91) f 1=-2(cid:91) f¢1=0(cid:91)(cid:176) f¢x= - (cid:91)(cid:141)(cid:142)
x x2
2 2
b=-2,a-b=0(cid:91)(cid:143)a=-2,b=-2(cid:91)(cid:141)(cid:142) f¢x=- + (cid:91)(cid:138)(cid:206)(cid:59)(cid:17) f x(cid:39)0,1(cid:37)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:39)1,+¥(cid:37)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
x x2
1 1
x=1(cid:140)(cid:203)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:91)(cid:234)(cid:235)(cid:13)(cid:24)(cid:91)(cid:143)(cid:86) f¢2=-1+ =- (cid:131)
2 2
(cid:161)(cid:162)(cid:163)B.
1
7(cid:131)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:144)a=0.1e0.1,b= (cid:91)c=-ln0.9(cid:91)(cid:52)(cid:10) (cid:11)
9
A(cid:131)a<b<c B(cid:131)c<b<a C(cid:131)c<a<b D(cid:131)a<c<b
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)C
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:265)(cid:266)(cid:59)(cid:17) f(x)=ln(1+x)-x(cid:91) (cid:16)(cid:17)(cid:263)(cid:264)(cid:103)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:91)(cid:165)(cid:206)(cid:251)(cid:215)a,b,c(cid:18)(cid:214)(cid:242).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:64)(cid:54)(cid:44)(cid:163)(cid:265)(cid:266)(cid:54)
1 x
(cid:144) f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)(cid:91)(cid:138)(cid:83) f¢(x)= -1=- (cid:91)
1+x 1+x
(cid:139)xÎ(-1,0)(cid:140)(cid:91) f¢(x)>0(cid:91)(cid:139)xÎ(0,+¥)(cid:140) f¢(x)<0(cid:91)
(cid:141)(cid:142)(cid:59)(cid:17) f(x)=ln(1+x)-x(cid:39)(0,+¥)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:39)(-1,0)(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
1 10 1 1 10
(cid:141)(cid:142) f( )< f(0)=0(cid:91)(cid:141)(cid:142)ln - <0(cid:91)(cid:161) >ln =-ln0.9(cid:91)(cid:143)b>c(cid:91)
9 9 9 9 9
1 9 1 9 - 1 1 1 1
(cid:141)(cid:142) f(- )< f(0)=0(cid:91)(cid:141)(cid:142)ln + <0(cid:91)(cid:161) <e 10(cid:91)(cid:141)(cid:142) e10 < (cid:91)
10 10 10 10 10 9
(cid:161)a<b(cid:91)
1
 x2-1  ex+1
(cid:144)g(x)=xex+ln(1-x)(0<x<1)(cid:91)(cid:52)g¢(x)=x+1ex+ = ,
x-1 x-1
(cid:160)h(x)=ex(x2-1)+1(cid:91)h¢(x)=ex(x2+2x-1)(cid:91)
(cid:139)0<x< 2-1(cid:140)(cid:91)h¢(x)<0(cid:91)(cid:59)(cid:17)h(x)=ex(x2-1)+1(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
(cid:139) 2-1<x<1(cid:140)(cid:91)h¢(x)>0(cid:91)(cid:59)(cid:17)h(x)=ex(x2-1)+1(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
(cid:197)h(0)=0(cid:91)
(cid:141)(cid:142)(cid:139)0<x< 2-1(cid:140)(cid:91)h(x)<0(cid:91)
(cid:141)(cid:142)(cid:139)0<x< 2-1(cid:140)(cid:91)g¢(x)>0(cid:91)(cid:59)(cid:17)g(x)=xex+ln(1-x)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
(cid:141)(cid:142)g(0.1)>g(0)=0(cid:91)(cid:143)0.1e0.1 >-ln0.9(cid:91)(cid:141)(cid:142)a>c
(cid:161)(cid:162)(cid:163)C.
(cid:64)(cid:54)(cid:74)(cid:163)(cid:274)(cid:275)(cid:54)0.1
(cid:40)(cid:163) a=0.1e0.1 (cid:91) b= (cid:91) c=-ln(1-0.1) (cid:91)
1-0.1
lna-lnb=0.1+ln(1-0.1) (cid:91)
①(cid:160) f(x)= x+ln(1-x),xÎ(0,0.1],
1 -x
(cid:52) f¢(x)=1- = <0 (cid:91)
1-x 1-x
(cid:161) f(x) (cid:39) (0,0.1] (cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
(cid:156)(cid:157) f(0.1)< f(0)=0 (cid:91)(cid:143) lna-lnb<0 (cid:91)(cid:141)(cid:142) a<b (cid:177)
a-c=0.1e0.1+ln(1-0.1) (cid:91)
②(cid:160) g(x)=xex +ln(1-x),xÎ(0,0.1],
1 1+x1-xex-1
(cid:52) g'x=xex+ex- = (cid:91)
1-x 1-x
(cid:160) k(x)=(1+x)(1-x)ex -1 (cid:91)(cid:141)(cid:142) k¢(x)=(1-x2-2x)ex >0 (cid:91)
(cid:141)(cid:142) k(x) (cid:39) (0,0.1] (cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:156)(cid:157) k(x)>k(0)>0 (cid:91)(cid:143) g¢(x)>0 (cid:91)
(cid:141)(cid:142) g(x) (cid:39) (0,0.1] (cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:156)(cid:157) g(0.1)>g(0)=0 (cid:91)(cid:143) a-c>0 (cid:91)(cid:141)(cid:142) a>c.
(cid:161) c<a<b.
8(cid:131)(cid:10)(cid:282)(cid:162)(cid:13)(cid:11)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:212)(cid:213) f(x)(cid:79)(cid:215)(cid:25)(cid:39)R(cid:37)(cid:18)(cid:283)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:218)(cid:139)x>0(cid:140)(cid:91)f x=  x2-3  ex+2(cid:91)
(cid:52)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131) f(0)=0 B(cid:131)(cid:139)x<0(cid:140)(cid:91) f x=-  x2-3  e-x-2
C(cid:131) f(x)³2(cid:139)(cid:218)(cid:226)(cid:139)x³ 3 D(cid:131)x=-1(cid:79) f(x)(cid:18)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:4)
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)ABD
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:107)A(cid:91)(cid:188)(cid:189)(cid:283)(cid:59)(cid:17)(cid:284)(cid:4)(cid:143)(cid:156)(cid:263)(cid:264)(cid:177)(cid:107)B(cid:91)(cid:95)(cid:56) f(x)=-f -x(cid:169)(cid:170)(cid:60)(cid:40)(cid:143)(cid:156)(cid:177)(cid:107)C(cid:91)(cid:285)(cid:286)(cid:287) f(-1)>2
(cid:143)(cid:156)(cid:177)(cid:107)D(cid:91)(cid:98)(cid:288)(cid:60)(cid:16)(cid:91)(cid:188)(cid:189)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:4)(cid:263)(cid:215)(cid:64)(cid:54)(cid:143)(cid:156)(cid:263)(cid:264).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:107)A(cid:91)(cid:138)(cid:83) f(x)(cid:215)(cid:25)(cid:39)R(cid:37)(cid:283)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:52) f(0)=0(cid:91)(cid:161)A(cid:250)(cid:251)(cid:177)
(cid:107)B(cid:91)(cid:139)x<0(cid:140)(cid:91)-x>0(cid:91)(cid:52) f(x)=-f -x=- é -x2 -3  e-x+2 ù =-  x2-3  e-x-2(cid:91)(cid:161)B(cid:250)(cid:251)(cid:177)
êë úû
(cid:107)C(cid:91) f(-1)=-1-3e-2=2e-1>2(cid:91) (cid:161)C(cid:247)(cid:248)(cid:177)
(cid:107)D(cid:91)(cid:139)x<0(cid:140)(cid:91) f(x)=  3-x2 e-x-2(cid:91)(cid:52) f¢(x)=-  3-x2 e-x-2xe-x =  x2-2x-3  e-x(cid:91)
(cid:160) f¢(x)=0(cid:91)(cid:40)(cid:157)x=-1(cid:211)3(cid:10)(cid:289)(cid:290)(cid:11)(cid:91)
(cid:139)xÎ-¥,-1(cid:140)(cid:91) f¢(x)>0(cid:91)(cid:206)(cid:140) f x(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:139)xÎ-1,0(cid:140)(cid:91) f¢(x)<0(cid:91)(cid:206)(cid:140) f x(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
(cid:52)x=-1(cid:79) f(x)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:4)(cid:91)(cid:161)D(cid:250)(cid:251)(cid:177)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)ABD.
9(cid:131)(cid:10)(cid:282)(cid:162)(cid:13)(cid:11)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:144)(cid:59)(cid:17) f(x)=(x-1)2(x-4)(cid:91)(cid:52)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131)x=3(cid:79) f(x)(cid:18)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:4) B(cid:131)(cid:139)0<x<1(cid:140)(cid:91) f(x)< f
 x2
C(cid:131)(cid:139)1<x<2(cid:140)(cid:91)-4< f(2x-1)<0 D(cid:131)(cid:139)-1<x<0(cid:140)(cid:91) f(2-x)> f(x)
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)ACD
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:60)(cid:184)(cid:59)(cid:17) f x(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:91)(cid:157)(cid:81)(cid:71)(cid:72)(cid:4)(cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:263)(cid:264)A(cid:177)(cid:95)(cid:56)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:156)(cid:263)(cid:264)B(cid:177)(cid:188)(cid:189)(cid:59)(cid:17) f x(cid:39)
1,3(cid:37)(cid:18)(cid:72)(cid:216)(cid:143)(cid:156)(cid:263)(cid:264)C(cid:177)(cid:98)(cid:288)(cid:82)(cid:291)(cid:156)(cid:263)(cid:264)D.
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:107)A(cid:91)(cid:138)(cid:83)(cid:59)(cid:17) f x(cid:18)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)R(cid:91)(cid:176) f¢x=2x-1x-4+x-12 =3x-1x-3(cid:91)
(cid:292)(cid:213)(cid:139)xÎ1,3(cid:140)(cid:91) f¢x<0(cid:91)(cid:139)xÎ-¥,1(cid:211)xÎ3,+¥(cid:140)(cid:91) f¢x>0
(cid:59)(cid:17) f x(cid:39)-¥,1(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:39)1,3(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:39)3,+¥(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:161)x=3(cid:79)(cid:59)(cid:17) f x(cid:18)(cid:71)(cid:242)(cid:72)
(cid:4)(cid:91)(cid:250)(cid:251)(cid:177)
(cid:107)B(cid:91)(cid:139)0<x<1(cid:140)(cid:91)x-x2 =x1-x>0(cid:91)(cid:141)(cid:142)1>x>x2 >0(cid:91)
(cid:176)(cid:165)(cid:37)(cid:156)(cid:213)(cid:91)(cid:59)(cid:17) f x(cid:39)0,1(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:141)(cid:142) f x> f  x2 (cid:91)(cid:247)(cid:248)(cid:177)
(cid:107)C(cid:91)(cid:139)1<x<2(cid:140)(cid:91)1<2x-1<3(cid:91)(cid:176)(cid:165)(cid:37)(cid:156)(cid:213)(cid:91)(cid:59)(cid:17) f x(cid:39)1,3(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
(cid:141)(cid:142) f 1> f 2x-1> f 3(cid:91)(cid:143)-4< f 2x-1<0(cid:91)(cid:250)(cid:251)(cid:177)
(cid:107)D(cid:91)(cid:139)-1<x<0(cid:140)(cid:91) f(2-x)- f(x)=1-x2-2-x-x-12x-4=x-122-2x>0(cid:91)
(cid:141)(cid:142) f(2-x)> f(x)(cid:91)(cid:250)(cid:251)(cid:177)
(cid:161)(cid:162)(cid:163)ACD.
10(cid:131)(cid:10)(cid:282)(cid:162)(cid:13)(cid:11)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:212)(cid:213)(cid:59)(cid:17) f x(cid:18)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)R(cid:91) f xy= y2f x+x2f y(cid:91)(cid:52)
(cid:10) (cid:11)(cid:131)
A(cid:131) f 0=0 B(cid:131) f 1=0
C(cid:131) f x(cid:79)(cid:198)(cid:59)(cid:17) D(cid:131)x=0(cid:83) f x(cid:18)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:4)(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)ABC
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:64)(cid:54)(cid:44)(cid:163)(cid:95)(cid:56)(cid:293)(cid:72)(cid:54)(cid:91)(cid:129)(cid:58)(cid:59)(cid:17)(cid:283)(cid:198)(cid:70)(cid:18)(cid:263)(cid:264)(cid:64)(cid:54)(cid:156)(cid:263)(cid:264)(cid:162)(cid:227)ABC(cid:91)(cid:285)(cid:286)(cid:287) f(x)=0(cid:143)(cid:156)(cid:294)(cid:295)(cid:162)
(cid:227)D.
ìx2ln x,x¹0
(cid:64)(cid:54)(cid:74)(cid:163)(cid:162)(cid:227)ABC(cid:18)(cid:263)(cid:264)(cid:21)(cid:64)(cid:54)(cid:44)(cid:187)(cid:91)(cid:107)(cid:179)D(cid:91)(cid:156)(cid:265)(cid:266)(cid:284)(cid:296)(cid:59)(cid:17) f(x)=í (cid:175)(cid:297)(cid:263)(cid:264)(cid:143)(cid:156).
î0,x=0
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:64)(cid:54)(cid:44)(cid:163)
(cid:138)(cid:83) f(xy)= y2f(x)+x2f(y)(cid:91)
(cid:107)(cid:179)A(cid:91)(cid:160)x= y=0(cid:91) f(0)=0f(0)+0f(0)=0(cid:91)(cid:161)A(cid:250)(cid:251).
(cid:107)(cid:179)B(cid:91)(cid:160)x= y=1(cid:91) f(1)=1f(1)+1f(1)(cid:91)(cid:52) f(1)=0(cid:91)(cid:161)B(cid:250)(cid:251).
(cid:107)(cid:179)C(cid:91)(cid:160)x= y=-1(cid:91) f(1)= f(-1)+ f(-1)=2f(-1)(cid:91)(cid:52) f(-1)=0(cid:91)
(cid:160)y=-1, f(-x)= f(x)+x2f(-1)= f(x)(cid:91)
(cid:197)(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:18)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)R(cid:91)(cid:141)(cid:142) f(x)(cid:83)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:161)C(cid:250)(cid:251)(cid:91)
(cid:107)(cid:179)D(cid:91)(cid:208)(cid:229)(cid:160) f(x)=0(cid:91)(cid:260)(cid:261)(cid:298)(cid:58)(cid:13)(cid:144)(cid:174)(cid:246)(cid:91)(cid:206)(cid:140) f(x)(cid:299)(cid:71)(cid:72)(cid:91)(cid:161)D(cid:247)(cid:248).
(cid:64)(cid:54)(cid:74)(cid:163)
(cid:138)(cid:83) f(xy)= y2f(x)+x2f(y)(cid:91)
(cid:107)(cid:179)A(cid:91)(cid:160)x= y=0(cid:91) f(0)=0f(0)+0f(0)=0(cid:91)(cid:161)A(cid:250)(cid:251).
(cid:107)(cid:179)B(cid:91)(cid:160)x= y=1(cid:91) f(1)=1f(1)+1f(1)(cid:91)(cid:52) f(1)=0(cid:91)(cid:161)B(cid:250)(cid:251).
(cid:107)(cid:179)C(cid:91)(cid:160)x= y=-1(cid:91) f(1)= f(-1)+ f(-1)=2f(-1)(cid:91)(cid:52) f(-1)=0(cid:91)
(cid:160)y=-1, f(-x)= f(x)+x2f(-1)= f(x)(cid:91)
(cid:197)(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:18)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)R(cid:91)(cid:141)(cid:142) f(x)(cid:83)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:161)C(cid:250)(cid:251)(cid:91)
f(xy) f(x) f(y)
(cid:107)(cid:179)D(cid:91)(cid:139)x2y2 ¹0(cid:140)(cid:91)(cid:107) f(xy)= y2f(x)+x2f(y)(cid:145)(cid:300)(cid:187)(cid:140)(cid:295)(cid:142)x2y2(cid:91)(cid:157)(cid:81) = + (cid:91)
x2y2 x2 y2
f(x) ìx2ln x,x¹0
(cid:161)(cid:156)(cid:142)(cid:144) =ln x (x¹0)(cid:91)(cid:52) f(x)=í (cid:91)
x2 î0,x=0
1
(cid:139)x>0(cid:301)(cid:91) f(x)=x2lnx(cid:91)(cid:52) f¢x=2xlnx+x2× =x(2lnx+1)(cid:91)
x
(cid:160) f¢x<0(cid:91)(cid:157) - 1 (cid:177)(cid:160) f¢x>0(cid:91)(cid:157) -1(cid:177)
0< x<e 2 x>e 2
æ 1ö æ 1 ö
- -
(cid:161) f(x)(cid:39)ç0,e 2÷(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:39)çe 2,+¥÷(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
è ø è øæ 1 ö æ 1ö
- -
(cid:138)(cid:83) f(x)(cid:83)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:141)(cid:142) f(x)(cid:39)ç-e 2,0÷(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:39)ç-¥,e 2÷(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
è ø è ø
(cid:260)(cid:261)(cid:91)(cid:206)(cid:140)x=0(cid:79) f(x)(cid:18)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:4)(cid:91)(cid:161)D(cid:247)(cid:248).
(cid:161)(cid:162)(cid:163)ABC.
b c
11(cid:131)(cid:10)(cid:282)(cid:162)(cid:13)(cid:11)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:173)(cid:59)(cid:17) f x=alnx+ + a¹0(cid:302)(cid:86)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:183)(cid:86)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:91)
x x2
(cid:52)(cid:10) (cid:11)(cid:131)
A(cid:131)bc>0 B(cid:131)ab>0 C(cid:131)b2+8ac>0 D(cid:131)ac<0
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)BCD
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:60)(cid:184)(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:18)(cid:16)(cid:17) f¢(x)(cid:91)(cid:165)(cid:212)(cid:213)(cid:156)(cid:157) f¢(x)(cid:39)(0,+¥)(cid:37)(cid:86)(cid:145)(cid:207)(cid:126)(cid:222)(cid:118)(cid:4)(cid:91)(cid:303)(cid:195)(cid:83)(cid:44)(cid:304)(cid:74)(cid:117)(cid:64)(cid:65)
(cid:86)(cid:145)(cid:207)(cid:208)(cid:94)(cid:18)(cid:250)(cid:188)(cid:263)(cid:264)(cid:82)(cid:41).
b c a b 2c ax2-bx-2c
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:59)(cid:17) f(x)=alnx+ + (cid:18)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)(0,+¥)(cid:91)(cid:60)(cid:16)(cid:157) f¢(x)= - - = (cid:91)
x x2 x x2 x3 x3
(cid:138)(cid:83)(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:302)(cid:86)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:183)(cid:86)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:91)(cid:52)(cid:59)(cid:17) f¢(x)(cid:39)(0,+¥)(cid:37)(cid:86)(cid:145)(cid:207)(cid:126)(cid:222)(cid:118)(cid:4)(cid:91)(cid:176)a¹0(cid:91)
(cid:138)(cid:206)(cid:64)(cid:65)ax2-bx-2c=0(cid:86)(cid:145)(cid:207)(cid:208)(cid:94)(cid:18)(cid:250)(cid:188)x,x (cid:91)
1 2
ì
ïΔ=b2+8ac>0
ï
ï b
(cid:179)(cid:79)íx +x = >0 (cid:91)(cid:143)(cid:86)b2+8ac>0(cid:91)ab>0(cid:91)ac<0(cid:91)(cid:260)(cid:261)a2bc<0(cid:91)(cid:143)bc<0(cid:91)A(cid:247)(cid:248)(cid:91)BCD(cid:250)(cid:251).
1 2 a
ï
ï 2c
xx =- >0
ï î 1 2 a
(cid:161)(cid:162)(cid:163)BCD
12(cid:131)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:173)x=2(cid:79)(cid:59)(cid:17) f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)(cid:18)(cid:71)(cid:72)(cid:4)(cid:91)(cid:52) f(0)=___________
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)−4
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:165)(cid:13)(cid:24)(cid:157) f¢2=0(cid:143)(cid:156)(cid:60)(cid:40)a(cid:91)(cid:166)(cid:169)(cid:170)(cid:143)(cid:156)(cid:60)(cid:40).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:165)(cid:13)(cid:24)(cid:86) f x=x-1x-2x-a(cid:91)
(cid:141)(cid:142) f¢x=x-ax-1+x-1x-2+x-ax-2(cid:91)(cid:138)(cid:83)2(cid:79)(cid:59)(cid:17) f x(cid:71)(cid:72)(cid:4)(cid:91)(cid:141)(cid:142) f¢2=2-a=0(cid:91)(cid:157)a=2(cid:91)
(cid:139)a=2(cid:140)(cid:91) f¢x=2x-2x-1+x-22 =x-23x-4(cid:91)
æ 4ö æ4 ö
(cid:139)xÎç-¥, ÷, f¢x>0, f x(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:139)xÎç ,2÷, f¢x<0, f x(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
è 3ø è3 ø
(cid:139)xÎ2,+¥, f¢x>0, f x(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
(cid:141)(cid:142)x=2(cid:79)(cid:59)(cid:17) f x=x-1x-2x-a(cid:18)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:4)(cid:91)(cid:298)(cid:58)(cid:13)(cid:24)(cid:177)
(cid:141)(cid:142) f 0=-1´-2´-a=-2a=-4.
(cid:161)(cid:41)(cid:135)(cid:83)(cid:163)−4.
13(cid:131)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:144)aÎ0,1(cid:91)(cid:173)(cid:59)(cid:17) f x=ax+1+ax(cid:39)0,+¥(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:52)a(cid:18)(cid:203)(cid:72)
(cid:204)(cid:148)(cid:79)______.
é 5-1 ö
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)ê ,1÷
÷
2
ë ø
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:191)(cid:67)(cid:13)(cid:94)(cid:305)(cid:179) f¢x=axlna+1+axln1+a³0(cid:220)(cid:149)(cid:221)(cid:91)(cid:189)(cid:206)(cid:93)(cid:141)(cid:157)(cid:18)(cid:208)(cid:94)(cid:237)(cid:175)(cid:297)(cid:220)(cid:94)(cid:126)(cid:128)(cid:91)(cid:156)
æ1+aö x lna
(cid:157) ç ÷ ³ - (cid:91)(cid:165)(cid:306)(cid:256)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:156)(cid:157)(cid:209)(cid:17)a(cid:18)(cid:74)(cid:117)(cid:208)(cid:94)(cid:237)(cid:91)(cid:60)(cid:40)(cid:74)(cid:117)(cid:208)(cid:94)(cid:237)(cid:307)(cid:156)(cid:251)(cid:215)(cid:209)(cid:17)a(cid:18)(cid:203)
è a ø ln1+a
(cid:72)(cid:204)(cid:148).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:165)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:40)(cid:153)(cid:237)(cid:156)(cid:157) f¢x=axlna+1+axln1+a³0(cid:39)(cid:257)(cid:258)0,+¥(cid:37)(cid:220)(cid:149)(cid:221)(cid:91)
(cid:52)1+axln1+a³-axlna(cid:91)(cid:143) æ ç 1+aö ÷ x ³ - lna (cid:39)(cid:257)(cid:258)0,+¥(cid:37)(cid:220)(cid:149)(cid:221)(cid:91)
è a ø ln1+a
æ1+aö 0 lna
(cid:161)ç ÷ =1³- (cid:91)(cid:176)a+1Î1,2(cid:91)(cid:161)ln1+a>0(cid:91)
è a ø ln1+a
ìlna+1³-lna ìaa+1³1
5-1
(cid:161)í (cid:143)í (cid:91)(cid:161) £a<1(cid:91)
î0<a<1 î0<a<1 2
é 5-1 ö
(cid:129)(cid:58)(cid:13)(cid:24)(cid:156)(cid:157)(cid:209)(cid:17)a(cid:18)(cid:203)(cid:72)(cid:204)(cid:148)(cid:79)ê ,1÷
÷
.
2
ë ø
é 5-1 ö
(cid:161)(cid:41)(cid:135)(cid:83)(cid:163)ê ,1÷.
÷
2
ë ø
14(cid:131)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:212)(cid:213)x=x (cid:61)x=x (cid:5)(cid:262)(cid:79)(cid:59)(cid:17) f(x)=2ax-ex2(cid:10)a>0(cid:218)a¹1(cid:11)(cid:18)(cid:71)(cid:242)(cid:72)
1 2(cid:4)(cid:61)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:4)(cid:131)(cid:173)x <x (cid:91)(cid:52)a(cid:18)(cid:203)(cid:72)(cid:204)(cid:148)(cid:79)____________(cid:131)
1 2
æ1 ö
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)ç ,1 ÷
èe ø
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:54)(cid:44)(cid:163)(cid:259)(cid:13)(cid:156)(cid:213)(cid:91)(cid:64)(cid:65)2lna×ax-2ex=0(cid:18)(cid:145)(cid:207)(cid:188)(cid:83)x,x (cid:91)(cid:143)(cid:59)(cid:17)y=lna×ax(cid:21)(cid:59)(cid:17)y=ex(cid:18)(cid:96)
1 2
(cid:199)(cid:86)(cid:145)(cid:207)(cid:208)(cid:187)(cid:18)(cid:158)(cid:4)(cid:91)(cid:265)(cid:266)(cid:59)(cid:17)gx=lna×ax(cid:91)(cid:95)(cid:56)(cid:308)(cid:17)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:96)(cid:199)(cid:61)(cid:96)(cid:199)(cid:126)(cid:309)(cid:157)(cid:81)gx(cid:18)(cid:96)(cid:199)(cid:91)(cid:95)(cid:56)(cid:16)
(cid:17)(cid:18)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:157)(cid:190)(cid:191)(cid:4)(cid:18)(cid:62)(cid:63)(cid:18)(cid:171)(cid:172)(cid:91)(cid:188)(cid:189)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:156)(cid:157)(cid:184)(cid:41)(cid:135).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)[(cid:64)(cid:54)(cid:44)](cid:163)(cid:134)(cid:73)(cid:272)(cid:40)(cid:136)(cid:303)(cid:195)(cid:54)(cid:91)(cid:118)(cid:4)(cid:18)(cid:67)(cid:13)(cid:303)(cid:83)(cid:59)(cid:17)(cid:96)(cid:199)(cid:18)(cid:158)(cid:4)
(cid:138)(cid:83) f¢x=2lna×ax-2ex(cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:65)2lna×ax-2ex=0(cid:18)(cid:145)(cid:207)(cid:188)(cid:83)x,x (cid:91)
1 2
(cid:143)(cid:64)(cid:65)lna×ax =ex(cid:18)(cid:145)(cid:207)(cid:188)(cid:83)x,x (cid:91)
1 2
(cid:143)(cid:59)(cid:17)y=lna×ax(cid:21)(cid:59)(cid:17)y=ex(cid:18)(cid:96)(cid:199)(cid:86)(cid:145)(cid:207)(cid:208)(cid:187)(cid:18)(cid:158)(cid:4)(cid:91)
(cid:138)(cid:83)x,x (cid:5)(cid:262)(cid:79)(cid:59)(cid:17) f x=2ax-ex2(cid:18)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:4)(cid:61)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:4)(cid:91)
1 2
(cid:141)(cid:142)(cid:59)(cid:17) f x(cid:39)-¥,x (cid:61)x ,+¥(cid:37)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:39)x,x (cid:37)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
1 2 1 2
(cid:141)(cid:142)(cid:139)(cid:140)-¥,x x ,+¥(cid:91) f¢x<0(cid:91)(cid:143)y=ex(cid:96)(cid:199)(cid:39)y=lna×ax(cid:37)(cid:64)
1 2
(cid:139)xÎx,x (cid:140)(cid:91) f¢x>0(cid:91)(cid:143)y=ex(cid:96)(cid:199)(cid:39)y=lna×ax(cid:240)(cid:64)
1 2
a>1(cid:91)(cid:96)(cid:199)(cid:260)(cid:261)(cid:208)(cid:298)(cid:58)(cid:13)(cid:24)(cid:91)(cid:141)(cid:142)0<a<1(cid:131)
(cid:160)gx=lna×ax(cid:91)(cid:52)g¢x=ln2a×ax,0<a<1(cid:91)
(cid:144)(cid:190)(cid:191)(cid:4)(cid:218)(cid:21)(cid:59)(cid:17)y=gx(cid:18)(cid:96)(cid:199)(cid:185)(cid:62)(cid:18)(cid:98)(cid:63)(cid:18)(cid:62)(cid:4)(cid:83)  x ,lna×ax0  (cid:91)
0
(cid:52)(cid:62)(cid:63)(cid:18)(cid:171)(cid:172)(cid:83)g¢x =ln2a×ax 0(cid:91)(cid:161)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y-lna×ax
0
=ln2a×ax
0
x-x (cid:91)
0 0
1
(cid:52)(cid:86)-lna×ax0 =-x
0
ln2a×ax0(cid:91)(cid:40)(cid:157)x
0
=
lna
(cid:91)(cid:52)(cid:62)(cid:63)(cid:18)(cid:171)(cid:172)(cid:83)
ln2a×aln
1
a =eln2a
(cid:91)
(cid:138)(cid:83)(cid:59)(cid:17)y=lna×ax(cid:21)(cid:59)(cid:17)y=ex(cid:18)(cid:96)(cid:199)(cid:86)(cid:145)(cid:207)(cid:208)(cid:187)(cid:18)(cid:158)(cid:4)(cid:91)1 1
(cid:141)(cid:142)eln2a<e(cid:91)(cid:40)(cid:157) <a<e(cid:91)(cid:197)0<a<1(cid:91)(cid:141)(cid:142) <a<1(cid:91)
e e
æ1 ö
(cid:106)(cid:37)(cid:141)(cid:310)(cid:91)a(cid:18)(cid:203)(cid:72)(cid:204)(cid:148)(cid:83)ç ,1÷(cid:131)
èe ø
[(cid:64)(cid:54)(cid:74)](cid:163)(cid:134)(cid:279)(cid:70)(cid:279)(cid:54)(cid:136)(cid:265)(cid:266)(cid:26)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:74)(cid:117)(cid:60)(cid:16)
f¢x=2lna×ax-2ex=0(cid:18)(cid:145)(cid:207)(cid:188)(cid:83)x,x
1 2
(cid:138)(cid:83)x,x (cid:5)(cid:262)(cid:79)(cid:59)(cid:17) f x=2ax-ex2(cid:18)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:4)(cid:61)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:4)(cid:91)
1 2
(cid:141)(cid:142)(cid:59)(cid:17) f x(cid:39)-¥,x (cid:61)x ,+¥(cid:37)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:39)x,x (cid:37)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
1 2 1 2
(cid:144)(cid:59)(cid:17)gx= f¢x=2  axlna-ex  (cid:91)(cid:52)g¢x=2axlna2-2e(cid:91)
(cid:173)a>1(cid:91)(cid:52)g¢x(cid:39)R(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:206)(cid:140)(cid:173) f¢x =0(cid:91)
0
(cid:52) f¢x(cid:39)-¥,x (cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:39)x ,+¥(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:206)(cid:140)(cid:173)(cid:86)x=x (cid:61)x=x (cid:5)(cid:262)(cid:79)(cid:59)(cid:17)
0 0 1 2
f x=2ax-ex2(a>0(cid:218)a¹1)(cid:18)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:4)(cid:61)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:4)(cid:91)(cid:52)x >x (cid:91)(cid:208)(cid:298)(cid:58)(cid:13)(cid:24)(cid:177)
1 2
(cid:173)0<a<1(cid:91)(cid:52)g¢x(cid:39)R(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:206)(cid:140)(cid:173) f¢x =0(cid:91)(cid:52) f¢x(cid:39)-¥,x (cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:39)x ,+¥(cid:37)(cid:68)
0 0 0
e
(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:160)g¢x =0(cid:91)(cid:52)ax 0 = (cid:91)(cid:206)(cid:140)(cid:173)(cid:86)x=x (cid:61)x=x (cid:5)(cid:262)(cid:79)(cid:59)(cid:17) f x=2ax-ex2(a>0(cid:218)a¹1)(cid:18)
0 (lna)2 1 2
(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:4)(cid:61)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:4)(cid:91)(cid:218)x <x (cid:91)(cid:52)(cid:201)(cid:234)(cid:235) f¢x >0(cid:91) f¢x =2  ax0lna-ex  =2 æ ç e -ex ö ÷>0(cid:91)(cid:143)
1 2 0 0 0 èlna 0 ø
x
0
<
ln
1
a
(cid:91)x
0
lna>1(cid:161)lnax0 =x
0
lna=ln
ln
e
a2
>1(cid:91)(cid:141)(cid:142) 1
e
<a<1.
(cid:134)(cid:210)(cid:76)(cid:4)(cid:273)(cid:136)(cid:54)(cid:44)(cid:163)(cid:95)(cid:56)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:118)(cid:4)(cid:21)(cid:145)(cid:59)(cid:17)(cid:96)(cid:199)(cid:158)(cid:4)(cid:18)(cid:178)(cid:281)(cid:91)(cid:165)(cid:17)(cid:128)(cid:129)(cid:58)(cid:40)(cid:184)(cid:91)(cid:311)(cid:184)“(cid:242)(cid:13)(cid:242)(cid:312)”(cid:91)(cid:79)(cid:159)
(cid:13)(cid:18)(cid:73)(cid:272)(cid:40)(cid:177)
(cid:54)(cid:74)(cid:163)(cid:279)(cid:190)(cid:265)(cid:266)(cid:26)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:282)(cid:117)(cid:60)(cid:16)(cid:263)(cid:264)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:91)(cid:188)(cid:189)(cid:71)(cid:72)(cid:4)(cid:18)(cid:214)(cid:242)(cid:178)(cid:281)(cid:157)(cid:184)(cid:208)(cid:94)(cid:237)(cid:91)(cid:40)(cid:184)(cid:143)(cid:156)(cid:91)(cid:159)(cid:54)(cid:278)(cid:179)
(cid:279)(cid:70)(cid:279)(cid:54)(cid:131)考点 03 导数与函数的其他性质综合应用
1(cid:131)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:212)(cid:213)(cid:250)(cid:51)(cid:313)(cid:314)(cid:18)(cid:256)(cid:313)(cid:315)(cid:83)l(cid:91)(cid:103)(cid:316)(cid:317)(cid:4)(cid:318)(cid:39)(cid:187)(cid:44)(cid:319)(cid:151)(cid:37).(cid:173)(cid:159)(cid:319)(cid:18)(cid:76)(cid:152)
(cid:83)36p(cid:91)(cid:218)3£l£3 3(cid:91)(cid:52)(cid:159)(cid:250)(cid:51)(cid:313)(cid:314)(cid:76)(cid:152)(cid:18)(cid:203)(cid:72)(cid:204)(cid:148)(cid:79)(cid:10) (cid:11)
é 81ù é27 81ù é27 64ù
A(cid:131) 18, B(cid:131) , C(cid:131) , D(cid:131)[18,27]
ê ú ê ú ê ú
ë 4 û ë 4 4 û ë 4 3 û
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)C
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:144)(cid:250)(cid:51)(cid:313)(cid:314)(cid:18)(cid:45)(cid:83)h(cid:91)(cid:165)(cid:319)(cid:18)(cid:320)(cid:151)(cid:70)(cid:105)(cid:241)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:184)(cid:250)(cid:51)(cid:313)(cid:314)(cid:18)(cid:321)(cid:151)(cid:300)(cid:315)(cid:21)(cid:45)(cid:18)(cid:178)(cid:281)(cid:91)(cid:165)(cid:206)(cid:251)(cid:215)(cid:250)(cid:51)
(cid:313)(cid:314)(cid:76)(cid:152)(cid:18)(cid:203)(cid:72)(cid:204)(cid:148).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136) (cid:319)(cid:18)(cid:76)(cid:152)(cid:83)36p(cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:319)(cid:18)(cid:322)(cid:323)R=3,
∵
[(cid:64)(cid:54)(cid:44)](cid:163)(cid:16)(cid:17)(cid:54)
(cid:144)(cid:250)(cid:51)(cid:313)(cid:314)(cid:18)(cid:321)(cid:151)(cid:300)(cid:315)(cid:83)2a(cid:91)(cid:45)(cid:83)h(cid:91)
(cid:52)l2 =2a2+h2(cid:91)32 =2a2+(3-h)2,
(cid:141)(cid:142)6h=l2(cid:91)2a2 =l2-h2
1 1 2 l4 l2 1æ l6 ö
(cid:141)(cid:142)(cid:250)(cid:51)(cid:313)(cid:314)(cid:18)(cid:76)(cid:152)V = Sh= ´4a2´h= ´(l2- )´ = çl4- ÷(cid:91)
3 3 3 36 6 9è 36ø
1æ l5ö 1 æ24-l2 ö
(cid:141)(cid:142)V¢= ç4l3- ÷= l3 ç ÷(cid:91)
9è 6 ø 9 è 6 ø
(cid:139)3£l£2 6(cid:140)(cid:91)V¢>0(cid:91)(cid:139)2 6<l£3 3(cid:140)(cid:91)V¢<0(cid:91)
64
(cid:141)(cid:142)(cid:139)l =2 6(cid:140)(cid:91)(cid:250)(cid:51)(cid:313)(cid:314)(cid:18)(cid:76)(cid:152)V(cid:203)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:91)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:83) (cid:91)
3
27 81
(cid:197)l=3(cid:140)(cid:91)V = (cid:91)l =3 3(cid:140)(cid:91)V = ,
4 4
27
(cid:141)(cid:142)(cid:250)(cid:51)(cid:313)(cid:314)(cid:18)(cid:76)(cid:152)V(cid:18)(cid:73)(cid:242)(cid:72)(cid:83) (cid:91)
4é27 64ù
(cid:141)(cid:142)(cid:159)(cid:250)(cid:51)(cid:313)(cid:314)(cid:76)(cid:152)(cid:18)(cid:203)(cid:72)(cid:204)(cid:148)(cid:79) (cid:91) .
ê ú
ë 4 3 û
(cid:161)(cid:162)(cid:163)C.
[(cid:64)(cid:54)(cid:74)](cid:163)(cid:324)(cid:325)(cid:208)(cid:94)(cid:237)(cid:54)
4 2 1 1 é12-2h+h+hù 3 64
(cid:165)(cid:64)(cid:54)(cid:44)(cid:161)(cid:141)(cid:142)V = a2h=  6h-h2 h= 12-2hh´h„ ´ê ú = ((cid:139)(cid:218)(cid:226)(cid:139)h=4(cid:203)(cid:81))(cid:91)
3 3 3 3 3 3
ë û
3 3 3 1 1 3 3 3 27
(cid:139)h= (cid:140)(cid:91)(cid:157)a= (cid:91)(cid:52)V = a2h= ( )2´ = ;
2 2 min 3 3 2 2 4
3 9
(cid:139)l =3 3(cid:140)(cid:91)(cid:319)(cid:326)(cid:39)(cid:250)(cid:51)(cid:313)(cid:314)(cid:45)(cid:63)(cid:37)(cid:91)(cid:206)(cid:140)h= +3= (cid:91)
2 2
2 3 3 3 3 1 1 3 3 9 81 64
a= Þa= (cid:91)(cid:250)(cid:51)(cid:313)(cid:314)(cid:76)(cid:152)V = a2h= ( )2´ = < (cid:91)(cid:161)(cid:159)(cid:250)(cid:51)(cid:313)(cid:314)(cid:76)(cid:152)(cid:18)(cid:203)(cid:72)(cid:204)(cid:148)(cid:79)
2 2 2 1 3 3 2 2 4 3
27 64
[ , ].
4 3
2(cid:131)(cid:10)(cid:282)(cid:162)(cid:13)(cid:11)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:144)(cid:59)(cid:17) f(x)=2x3-3ax2+1(cid:91)(cid:52)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131)(cid:139)a>1(cid:140)(cid:91) f(x)(cid:86)(cid:116)(cid:207)(cid:118)(cid:4)
B(cid:131)(cid:139)a<0(cid:140)(cid:91)x=0(cid:79) f(x)(cid:18)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:4)
C(cid:131)(cid:217)(cid:39)a(cid:91)b(cid:91)(cid:239)(cid:157)x=b(cid:83)(cid:132)(cid:63)y= f(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:147)
D(cid:131)(cid:217)(cid:39)a(cid:91)(cid:239)(cid:157)(cid:4) 1, f 1 (cid:83)(cid:132)(cid:63)y= f(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)AD
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)A(cid:162)(cid:227)(cid:91)(cid:164)(cid:5)(cid:153)(cid:184)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:71)(cid:72)(cid:4)(cid:83)x=0,x=a(cid:91)(cid:188)(cid:189)(cid:118)(cid:4)(cid:217)(cid:39)(cid:215)(cid:119)(cid:61)(cid:71)(cid:72)(cid:18)(cid:298)(cid:222)(cid:263)(cid:264)(cid:184) f(x)(cid:39)
(-1,0),(0,a),(a,2a)(cid:37)(cid:316)(cid:86)(cid:44)(cid:207)(cid:118)(cid:4)(cid:177)B(cid:162)(cid:227)(cid:91)(cid:188)(cid:189)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:16)(cid:59)(cid:17)(cid:298)(cid:222)(cid:18)(cid:178)(cid:281)(cid:175)(cid:297)(cid:5)(cid:153)(cid:177)C(cid:162)(cid:227)(cid:91)(cid:182)(cid:144)(cid:217)(cid:39)
(cid:90)(cid:327)(cid:18)a,b(cid:91)(cid:239)(cid:157)x=b(cid:83) f(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:147)(cid:91)(cid:52) f(x)= f(2b-x)(cid:83)(cid:220)(cid:94)(cid:237)(cid:91)(cid:189)(cid:206)(cid:19)(cid:20)(cid:263)(cid:264)(cid:177)D(cid:162)(cid:227)(cid:91)(cid:173)(cid:217)(cid:39)(cid:90)
(cid:327)(cid:18)a(cid:91)(cid:239)(cid:157)(1,3-3a)(cid:83) f(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:91)(cid:52) f(x)+ f(2-x)=6-6a(cid:91)(cid:189)(cid:206)(cid:175)(cid:297)(cid:19)(cid:20)(cid:263)(cid:264)(cid:91)(cid:328)(cid:156)(cid:95)(cid:56)(cid:329)(cid:4)
(cid:129)(cid:125)(cid:98)(cid:288)(cid:60)(cid:40).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)A(cid:162)(cid:227)(cid:91) f¢(x)=6x2-6ax=6x(x-a)(cid:91)(cid:165)(cid:179)a>1(cid:91)
(cid:161)xÎ-¥,0Èa,+¥(cid:140) f¢(x)>0(cid:91)(cid:161) f(x)(cid:39)-¥,0,a,+¥(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
xÎ(0,a)(cid:140)(cid:91) f¢(x)<0(cid:91) f(x)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
(cid:52) f(x)(cid:39)x=0(cid:133)(cid:203)(cid:81)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:91)(cid:39)x=a(cid:133)(cid:203)(cid:81)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:91)
(cid:165) f(0)=1>0(cid:91) f(a)=1-a3 <0(cid:91)(cid:52) f(0)f(a)<0(cid:91)
(cid:188)(cid:189)(cid:118)(cid:4)(cid:217)(cid:39)(cid:215)(cid:119) f(x)(cid:39)(0,a)(cid:37)(cid:86)(cid:44)(cid:207)(cid:118)(cid:4)(cid:91)(cid:197) f(-1)=-1-3a<0(cid:91) f(2a)=4a3+1>0(cid:91)(cid:52) f(-1)f(0)<0, f(a)f(2a)<0(cid:91)
(cid:52) f(x)(cid:39)(-1,0),(a,2a)(cid:37)(cid:316)(cid:86)(cid:44)(cid:207)(cid:118)(cid:4)(cid:91)(cid:179)(cid:79)a>1(cid:140)(cid:91) f(x)(cid:86)(cid:116)(cid:207)(cid:118)(cid:4)(cid:91)A(cid:162)(cid:227)(cid:250)(cid:251)(cid:177)
B(cid:162)(cid:227)(cid:91) f¢(x)=6x(x-a)(cid:91)a<0(cid:140)(cid:91)xÎ(a,0), f¢(x)<0(cid:91) f(x)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
xÎ(0,+¥)(cid:140) f¢(x)>0(cid:91) f(x)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
(cid:206)(cid:140) f(x)(cid:39)x=0(cid:133)(cid:203)(cid:81)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:91)B(cid:162)(cid:227)(cid:247)(cid:248)(cid:177)
C(cid:162)(cid:227)(cid:91)(cid:182)(cid:144)(cid:217)(cid:39)(cid:90)(cid:327)(cid:18)a,b(cid:91)(cid:239)(cid:157)x=b(cid:83) f(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:147)(cid:91)
(cid:143)(cid:217)(cid:39)(cid:90)(cid:327)(cid:18)a,b(cid:239)(cid:157) f(x)= f(2b-x)(cid:91)
(cid:143)2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1(cid:91)
(cid:188)(cid:189)(cid:74)(cid:227)(cid:237)(cid:215)(cid:119)(cid:91)(cid:94)(cid:237)(cid:306)(cid:300)(2b-x)3(cid:101)(cid:271)(cid:237)(cid:122)(cid:86)x3(cid:18)(cid:227)(cid:83)2C3(2b)0(-x)3 =-2x3(cid:91)
3
(cid:179)(cid:79)(cid:94)(cid:237)(cid:255)(cid:306)(cid:145)(cid:300)x3(cid:18)(cid:281)(cid:17)(cid:318)(cid:208)(cid:185)(cid:94)(cid:91)(cid:191)(cid:94)(cid:237)(cid:208)(cid:156)(cid:92)(cid:220)(cid:149)(cid:221)(cid:91)
(cid:179)(cid:79)(cid:208)(cid:217)(cid:39)(cid:90)(cid:327)(cid:18)a,b(cid:91)(cid:239)(cid:157)x=b(cid:83) f(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:147)(cid:91)C(cid:162)(cid:227)(cid:247)(cid:248)(cid:177)
D(cid:162)(cid:227)(cid:91)
(cid:64)(cid:54)(cid:44)(cid:163)(cid:95)(cid:56)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:18)(cid:186)(cid:330)(cid:237)(cid:195)(cid:331)
f(1)=3-3a(cid:91)(cid:173)(cid:217)(cid:39)(cid:90)(cid:327)(cid:18)a(cid:91)(cid:239)(cid:157)(1,3-3a)(cid:83) f(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:91)
(cid:52) f(x)+ f(2-x)=6-6a(cid:91)(cid:332)(cid:209)(cid:37)(cid:91)
f(x)+ f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a(cid:91)
(cid:179)(cid:79)6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a
ì12-6a=0
ï
(cid:143)í12a-24=0 (cid:91)(cid:40)(cid:157)a=2(cid:91)(cid:143)(cid:217)(cid:39)a=2(cid:239)(cid:157)(1, f(1))(cid:79) f(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:91)D(cid:162)(cid:227)(cid:250)(cid:251).
ï
î18-12a=6-6a
(cid:64)(cid:54)(cid:74)(cid:163)(cid:98)(cid:288)(cid:95)(cid:56)(cid:329)(cid:4)(cid:129)(cid:125)
(cid:219)(cid:23)(cid:116)(cid:117)(cid:59)(cid:17)(cid:318)(cid:86)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:91)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:18)(cid:168)(cid:146)(cid:28)(cid:79)(cid:74)(cid:333)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:118)(cid:4)(cid:91)
f(x)=2x3-3ax2+1(cid:91) f¢(x)=6x2-6ax(cid:91) f¢¢(x)=12x-6a(cid:91)
a æa æaöö
(cid:165) f¢¢(x)=0Û x= (cid:91)(cid:179)(cid:79)(cid:159)(cid:116)(cid:117)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:83)ç , f ç ÷÷(cid:91)
2 è2 è2øø
a
(cid:165)(cid:13)(cid:24)(1, f(1))(cid:183)(cid:79)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:91)(cid:161) =1Ûa=2(cid:91)
2
(cid:143)(cid:217)(cid:39)a=2(cid:239)(cid:157)(1, f(1))(cid:79) f(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:91)D(cid:162)(cid:227)(cid:250)(cid:251).
(cid:161)(cid:162)(cid:163)AD(cid:134)(cid:4)(cid:334)(cid:136)(cid:129)(cid:125)(cid:4)(cid:334)(cid:163)(cid:10)1(cid:11) f(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:147)(cid:83)x=bÛ f(x)= f(2b-x)(cid:177)(cid:10)2(cid:11) f(x)(cid:178)(cid:179)(a,b)(cid:107)(cid:108)
Û f(x)+ f(2a-x)=2b(cid:177)(cid:10)3(cid:11)(cid:219)(cid:23)(cid:116)(cid:117)(cid:59)(cid:17) f(x)=ax3+bx2+cx+d (cid:318)(cid:86)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:91)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:79)(cid:116)(cid:117)(cid:59)(cid:17)
æ b æ b öö
(cid:18)(cid:329)(cid:4)(cid:91)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:18)(cid:168)(cid:146)(cid:28)(cid:79) f¢¢(x)=0(cid:18)(cid:40)(cid:91)(cid:143)ç- , f ç- ÷÷(cid:79)(cid:116)(cid:117)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)
è 3a è 3aøø
3(cid:131)(cid:10)(cid:282)(cid:162)(cid:13)(cid:11)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:212)(cid:213)(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:109)(cid:103)(cid:16)(cid:59)(cid:17) f¢(x)(cid:18)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:335)(cid:83)R(cid:91)(cid:336)
æ3 ö
g(x)= f¢(x)(cid:91)(cid:173) f ç -2x÷(cid:91)g(2+x)(cid:335)(cid:83)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:52)(cid:10) (cid:11)
è2 ø
æ 1ö
A(cid:131) f(0)=0 B(cid:131)gç- ÷=0 C(cid:131) f(-1)= f(4) D(cid:131)g(-1)=g(2)
è 2ø
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)BC
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:64)(cid:54)(cid:44)(cid:163)(cid:303)(cid:195)(cid:13)(cid:144)(cid:174)(cid:246)(cid:83)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:70)(cid:91)(cid:129)(cid:58)(cid:191)(cid:59)(cid:17)(cid:21)(cid:16)(cid:59)(cid:17)(cid:96)(cid:199)(cid:18)(cid:178)(cid:281)(cid:91)(cid:188)(cid:189)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:70)(cid:105)(cid:337)(cid:227)
(cid:263)(cid:264)(cid:143)(cid:156)(cid:157)(cid:40).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)[(cid:64)(cid:54)(cid:44)](cid:163)(cid:107)(cid:108)(cid:70)(cid:61)(cid:338)(cid:339)(cid:70)(cid:18)(cid:178)(cid:281)(cid:84)(cid:85)
æ3 ö æ3 ö æ3 ö æ3 ö æ3 ö
(cid:107)(cid:179) f(x)(cid:91)(cid:138)(cid:83) f ç -2x÷(cid:83)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:141)(cid:142) f ç -2x÷= f ç +2x÷(cid:143) f ç -x÷= f ç +x÷ (cid:91)(cid:141)(cid:142)
è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø
3 ①
f 3-x= f x(cid:91)(cid:141)(cid:142) f(x)(cid:178)(cid:179)x= (cid:107)(cid:108)(cid:91)(cid:52) f(-1)= f(4)(cid:91)(cid:161)C(cid:250)(cid:251)(cid:177)
2
(cid:107)(cid:179)g(x)(cid:91)(cid:138)(cid:83)g(2+x)(cid:83)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:91)g(2+x)=g(2-x)(cid:91)g(4-x)=g(x)(cid:91)(cid:141)(cid:142)g(x)(cid:178)(cid:179)x=2(cid:107)(cid:108)(cid:91)(cid:165) (cid:60)
¢ ¢ ①
é æ3 öù é æ3 öù æ3 ö æ3 ö æ3 ö æ3 ö
(cid:16)(cid:91)(cid:61)g(x)= f¢(x)(cid:91)(cid:157) ê f ç -x÷ú = ê f ç +x÷ú Û-f¢ ç -x÷= f¢ ç +x÷Û-gç -x÷=gç +x÷ (cid:91)(cid:141)
ë è2 øû ë è2 øû è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø
(cid:142)g3-x+gx=0(cid:91)(cid:141)(cid:142)g(x)(cid:178)(cid:179)( 3 ,0)(cid:107)(cid:108)(cid:91)(cid:138)(cid:83)(cid:103)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)R(cid:91)(cid:141)(cid:142)g æ ç 3ö ÷=0(cid:91)(cid:129)(cid:58)g(x)(cid:178)(cid:179)x=2
2 è2ø
æ 3ö æ 1ö æ3ö
(cid:107)(cid:108)(cid:91)(cid:194)(cid:176)(cid:338)(cid:339)T =4´ç2- ÷=2(cid:91)(cid:141)(cid:142)gç- ÷=gç ÷=0(cid:91)g-1=g1=-g2(cid:91)(cid:161)B(cid:250)(cid:251)(cid:91)D(cid:247)(cid:248)(cid:177)
è 2ø è 2ø è2ø
(cid:173)(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:234)(cid:235)(cid:13)(cid:144)(cid:174)(cid:246)(cid:91)(cid:52)(cid:59)(cid:17) f(x)+C(cid:10)C(cid:83)(cid:130)(cid:17)(cid:11)(cid:183)(cid:234)(cid:235)(cid:13)(cid:144)(cid:174)(cid:246)(cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:299)(cid:54)(cid:251)(cid:215) f(x)(cid:18)(cid:59)(cid:17)(cid:72)(cid:91)
(cid:161)A(cid:247)(cid:248).
(cid:161)(cid:162)(cid:163)BC.
[(cid:64)(cid:54)(cid:74)](cid:163)(cid:134)(cid:73)(cid:272)(cid:40)(cid:136)(cid:284)(cid:296)(cid:72)(cid:91)(cid:265)(cid:266)(cid:59)(cid:17)(cid:54).
1
(cid:165)(cid:64)(cid:54)(cid:44)(cid:213)g(x)(cid:338)(cid:339)(cid:83)2(cid:91)(cid:178)(cid:179)x=2(cid:107)(cid:108)(cid:91)(cid:161)(cid:156)(cid:144)gx=cosπx(cid:91)(cid:52) f x= sinπx+c(cid:91)(cid:260)(cid:261)A(cid:91)D(cid:247)
π
(cid:248)(cid:91)(cid:162)BC.
(cid:161)(cid:162)(cid:163)BC.
[(cid:64)(cid:54)(cid:116)](cid:163)æ3 ö
(cid:138)(cid:83) f ç -2x÷(cid:91)g(2+x)(cid:335)(cid:83)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:91)
è2 ø
æ3 ö æ3 ö æ3 ö æ3 ö
(cid:141)(cid:142) f ç -2x÷= f ç +2x÷(cid:143) f ç -x÷= f ç +x÷(cid:91)g(2+x)=g(2-x)(cid:91)
è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø
(cid:141)(cid:142) f 3-x= f x(cid:91)g(4-x)=g(x)(cid:91)(cid:52) f(-1)= f(4)(cid:91)(cid:161)C(cid:250)(cid:251)(cid:177)
3
(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:91)g(x)(cid:18)(cid:96)(cid:199)(cid:5)(cid:262)(cid:178)(cid:179)(cid:98)(cid:63)x= ,x=2(cid:107)(cid:108)(cid:91)
2
(cid:197)g(x)= f¢(x)(cid:91)(cid:218)(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:156)(cid:16)(cid:91)
æ3ö
(cid:141)(cid:142)gç ÷=0,g3-x=-gx(cid:91)
è2ø
(cid:141)(cid:142)g(4-x)=g(x)=-g3-x(cid:91)(cid:141)(cid:142)g(x+2)=-g(x+1)=gx(cid:91)
æ 1ö æ3ö
(cid:141)(cid:142)gç- ÷=gç ÷=0(cid:91)g-1=g1=-g2(cid:91)(cid:161)B(cid:250)(cid:251)(cid:91)D(cid:247)(cid:248)(cid:177)
è 2ø è2ø
(cid:173)(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:234)(cid:235)(cid:13)(cid:144)(cid:174)(cid:246)(cid:91)(cid:52)(cid:59)(cid:17) f(x)+C(cid:10)C(cid:83)(cid:130)(cid:17)(cid:11)(cid:183)(cid:234)(cid:235)(cid:13)(cid:144)(cid:174)(cid:246)(cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:299)(cid:54)(cid:251)(cid:215) f(x)(cid:18)(cid:59)(cid:17)(cid:72)(cid:91)
(cid:161)A(cid:247)(cid:248).
(cid:161)(cid:162)(cid:163)BC.
(cid:134)(cid:4)(cid:273)(cid:136)(cid:64)(cid:54)(cid:44)(cid:163)(cid:188)(cid:189)(cid:13)(cid:24)(cid:293)(cid:72)(cid:126)(cid:309)(cid:157)(cid:81)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:70)(cid:105)(cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:263)(cid:264)(cid:316)(cid:162)(cid:227)(cid:18)(cid:340)(cid:182)(cid:91)(cid:303)(cid:195)(cid:111)(cid:341)(cid:275)(cid:45)(cid:91)(cid:79)(cid:159)(cid:13)(cid:18)
(cid:279)(cid:70)(cid:279)(cid:54)(cid:177)
(cid:64)(cid:54)(cid:74)(cid:163)(cid:188)(cid:189)(cid:13)(cid:24)(cid:157)(cid:184)(cid:18)(cid:70)(cid:105)(cid:265)(cid:266)(cid:284)(cid:296)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(cid:166)(cid:231)(cid:232)(cid:162)(cid:227)(cid:91)(cid:331)(cid:68)(cid:100)(cid:80)(cid:91)(cid:79)(cid:159)(cid:13)(cid:18)(cid:73)(cid:272)(cid:40)(cid:131)
4(cid:131)(cid:10)(cid:282)(cid:162)(cid:13)(cid:11)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:212)(cid:213)(cid:59)(cid:17) f(x)=x3-x+1(cid:91)(cid:52)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131) f(x)(cid:86)(cid:145)(cid:207)(cid:71)(cid:72)(cid:4) B(cid:131) f(x)(cid:86)(cid:116)(cid:207)(cid:118)(cid:4)
C(cid:131)(cid:4)(0,1)(cid:79)(cid:132)(cid:63)y= f(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326) D(cid:131)(cid:98)(cid:63)y=2x(cid:79)(cid:132)(cid:63)y= f(x)(cid:18)(cid:62)(cid:63)
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)AC
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:95)(cid:56)(cid:71)(cid:72)(cid:4)(cid:18)(cid:215)(cid:25)(cid:156)(cid:263)(cid:264)A(cid:91)(cid:129)(cid:58) f(x)(cid:18)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:32)(cid:71)(cid:72)(cid:156)(cid:263)(cid:264)B(cid:91)(cid:95)(cid:56)(cid:342)(cid:343)(cid:156)(cid:263)(cid:264)C(cid:177)(cid:95)(cid:56)(cid:16)(cid:17)
(cid:18)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:263)(cid:264)D.
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:165)(cid:13)(cid:91) f¢x=3x2-1(cid:91)(cid:160) f¢x>0(cid:157)x> 3 (cid:211)x<- 3 (cid:91)
3 3
3 3
(cid:160) f¢(x)<0(cid:157)- <x< (cid:91)
3 3
æ 3ö æ 3 ö æ 3 3ö 3
(cid:141)(cid:142) f(x)(cid:39)ç-¥,- ÷(cid:91)ç ,+¥÷(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)ç- , ÷(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:141)(cid:142)x=± (cid:79)(cid:71)(cid:72)(cid:4)(cid:91)(cid:161)A
ç è 3 ÷ ø ç è 3 ÷ ø ç è 3 3 ÷ ø 3
(cid:250)(cid:251)(cid:177)
3 2 3 3 2 3
(cid:138) f(- )=1+ >0(cid:91) f( )=1- >0(cid:91) f -2=-5<0(cid:91)
3 9 3 9æ 3ö
(cid:141)(cid:142)(cid:91)(cid:59)(cid:17) f x(cid:39)ç-¥,- ÷(cid:37)(cid:86)(cid:44)(cid:207)(cid:118)(cid:4)(cid:91)
ç ÷
3
è ø
3 æ 3ö æ 3 ö
(cid:139)x³ (cid:140)(cid:91) f x³ f ç ÷>0(cid:91)(cid:143)(cid:59)(cid:17) f x(cid:39)ç ,+¥÷(cid:37)(cid:299)(cid:118)(cid:4)(cid:91)
3 ç è 3 ÷ ø ç è 3 ÷ ø
(cid:106)(cid:37)(cid:141)(cid:310)(cid:91)(cid:59)(cid:17) f(x)(cid:86)(cid:44)(cid:207)(cid:118)(cid:4)(cid:91)(cid:161)B(cid:247)(cid:248)(cid:177)
(cid:160)h(x)=x3-x(cid:91)(cid:159)(cid:59)(cid:17)(cid:18)(cid:215)(cid:25)(cid:216)(cid:83)R(cid:91)h-x=-x3--x=-x3+x=-hx(cid:91)
(cid:52)h(x)(cid:79)(cid:283)(cid:59)(cid:17)(cid:91)(0,0)(cid:79)h(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:91)
(cid:93)h(x)(cid:18)(cid:96)(cid:199)(cid:344)(cid:37)(cid:343)(cid:345)(cid:44)(cid:207)(cid:68)(cid:346)(cid:157)(cid:81) f(x)(cid:18)(cid:96)(cid:199)(cid:91)
(cid:141)(cid:142)(cid:4)(0,1)(cid:79)(cid:132)(cid:63)y= f(x)(cid:18)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:326)(cid:91)(cid:161)C(cid:250)(cid:251)(cid:177)
(cid:160) f¢x=3x2-1=2(cid:91)(cid:156)(cid:157)x=±1(cid:91)(cid:197) f(1)= f -1=1(cid:91)
(cid:139)(cid:62)(cid:4)(cid:83)(1,1)(cid:140)(cid:91)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y=2x-1(cid:91)(cid:139)(cid:62)(cid:4)(cid:83)(-1,1)(cid:140)(cid:91)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:83)y=2x+3(cid:91)(cid:161)D(cid:247)(cid:248).
(cid:161)(cid:162)(cid:163)AC.
考点 04 导数与函数的零点
1(cid:131)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:59)(cid:17) f x= x3+ax+2(cid:217)(cid:39)3(cid:207)(cid:118)(cid:4)(cid:91)(cid:52)a(cid:18)(cid:203)(cid:72)(cid:204)(cid:148)(cid:79)(cid:10) (cid:11)
A(cid:131)-¥,-2 B(cid:131)-¥,-3 C(cid:131)-4,-1 D(cid:131)-3,0
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)B
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:347)(cid:184) f¢(x)=3x2+a(cid:91)(cid:348)(cid:60)(cid:184)(cid:71)(cid:72)(cid:4)(cid:91)(cid:303)(cid:195)(cid:83)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:214)(cid:179)0(cid:218)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:242)(cid:179)0(cid:143)(cid:156).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136) f(x)=x3+ax+2(cid:91)(cid:52) f¢(x)=3x2+a(cid:91)
(cid:173) f x(cid:349)(cid:217)(cid:39)3(cid:207)(cid:118)(cid:4)(cid:91)(cid:52) f x(cid:349)(cid:217)(cid:39)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:61)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:91)(cid:52)a<0(cid:91)
-a -a
(cid:160) f¢(x)=3x2+a=0(cid:91)(cid:40)(cid:157)x=- (cid:211) (cid:91)
3 3
æ -a ö æ -a ö
(cid:218)(cid:139)xÎç-¥,- ÷Èç ,+¥÷(cid:140)(cid:91) f¢(x)>0(cid:91)
ç ÷ ç ÷
3 3
è ø è ø
æ -a -a ö
(cid:139)xÎç- , ÷(cid:91) f¢(x)<0(cid:91)
ç 3 3 ÷
è ø
æ -a ö æ -a ö
f x ç-¥,- ÷,ç ,+¥÷(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
ç 3 ÷ ç 3 ÷
è ø è øæ -a -a ö
f x(cid:39)ç- , ÷(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
ç ÷
3 3
è ø
æ -a ö æ -a ö
(cid:161) f x(cid:18)(cid:71)(cid:214)(cid:72)(cid:83) f ç- ÷(cid:91)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:83) f ç ÷(cid:91)
ç 3 ÷ ç 3 ÷
è ø è ø
ì æ -a ö ìa -a -a
ï ï f ç ç è - 3 ÷ ÷ ø >0 ï ï3 3 -a 3 +2>0
(cid:173) f x(cid:349)(cid:217)(cid:39)3(cid:207)(cid:118)(cid:4)(cid:91)(cid:52)í (cid:91)(cid:143)í (cid:91)(cid:40)(cid:157)a<-3(cid:91)
ï æ -a ö ï-a -a -a
ï f ç ç 3 ÷ ÷ <0 ï î 3 3 +a 3 +2<0
î è ø
(cid:161)(cid:162)(cid:163)B.
2(cid:131)（2026·北京·高考真题）(cid:212)(cid:213) f(x)= x2-cosx-c2 (cid:91)(cid:350)(cid:184)(cid:240)(cid:241)(cid:51)(cid:207)(cid:129)(cid:125)(cid:163)
f(x)(cid:39)(-1,1](cid:37)(cid:86)(cid:73)(cid:242)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:177)
①c=1(cid:91)xÎ(-1,2](cid:140)(cid:91) f(x)(cid:86)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:177)
②c=0(cid:91) f(x)=1(cid:86)3(cid:207)(cid:40)(cid:177)
③c>0(cid:91) f(x)(cid:21)y=c(cid:86)4(cid:207)(cid:158)(cid:4).
(cid:103)④(cid:42)(cid:250)(cid:251)(cid:129)(cid:125)(cid:18)(cid:351)(cid:222)(cid:79)________(cid:131)
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)①(cid:91)②(cid:265)③(cid:266)④(cid:59)(cid:17)gx=x2-cosx-c2(cid:348)(cid:60)(cid:103)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:61)(cid:283)(cid:198)(cid:70)(cid:91)(cid:60)(cid:184) f x(cid:18)(cid:283)(cid:198)(cid:70)(cid:91)(cid:5)gx(cid:39)-1,1
①
(cid:352)(cid:86)(cid:118)(cid:4)(cid:61)gx(cid:39)-1,1(cid:352)(cid:299)(cid:118)(cid:4)(cid:145)(cid:192)(cid:9)(cid:193)(cid:124)(cid:125)(cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:263)(cid:264)(cid:177) (cid:91)(cid:60)(cid:184) f x(cid:39)1,2(cid:37)(cid:18)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:263)(cid:264)(cid:177)
②
(cid:91)(cid:60)(cid:184) f x(cid:39)c(cid:203)(cid:219)(cid:24)(cid:209)(cid:17)(cid:18)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:91)(cid:129)(cid:58)(cid:118)(cid:4)(cid:217)(cid:39)(cid:70)(cid:215)(cid:119)(cid:143)(cid:156)(cid:60)(cid:184) f x=1(cid:140)x(cid:18)(cid:72)(cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:263)(cid:264)(cid:177) (cid:91)
③ ④
(cid:60)(cid:184) f 0=1+c2 >c(cid:91)(cid:129)(cid:58) f x(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:143)(cid:156)(cid:157)(cid:184)(cid:21)(cid:98)(cid:63)y=c(cid:18)(cid:158)(cid:4)(cid:207)(cid:17)(cid:91)(cid:143)(cid:156)(cid:263)(cid:264).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:165)(cid:13)(cid:24)(cid:91)
(cid:39)gx=x2-cosx-c2(cid:42)(cid:91)g¢x=2x+sinx(cid:91)g1=1-cos1-c2(cid:91)
①
g-x=-x2-cos-x-c2 =x2-cosx-c2 =gx(cid:91)(cid:59)(cid:17)(cid:83)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:91)
(cid:39)hx=g¢x=2x+sinx(cid:42)(cid:91)h¢x=2+cosx>0(cid:91)
(cid:59)(cid:17)hx=g¢x=2x+sinx(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
∴
h0=g¢0=0+0=0(cid:91)
∵
(cid:139)x<0(cid:140)(cid:91)hx=g¢x<0(cid:91)(cid:139)x>0(cid:140)(cid:91)hx=g¢x>0(cid:91)
∴gx(cid:39)-¥,0(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:39)0,+¥(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
∴
(cid:59)(cid:17)(cid:39)x=0(cid:133)(cid:203)(cid:73)(cid:242)(cid:72)(cid:91)g0=0-cos0-c2 =-1-c2(cid:91)
∴
(cid:39) f x= x2-cosx-c2 (cid:42)(cid:91)
f -x= -x2 -cos-x-c2 = x2-cosx-c2 = f x(cid:91)(cid:83)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:91)
(cid:139)gx(cid:39)-1,1(cid:352)(cid:86)(cid:118)(cid:4)(cid:140)(cid:91)
(cid:143)$x Î-1,0(cid:91)x Î0,1(cid:91)(cid:239)(cid:157)gx=0(cid:91)
1 2
(cid:206)(cid:140) f x(cid:39)-1,x (cid:91)0,x (cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:39)x,0(cid:91)x ,1(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
1 2 1 2
f x = f x =0(cid:91) f 0=-g0=1+c2(cid:91) f 1=g1=1-cos1-c2(cid:91)
1 2
1+c2 >1-cos1-c2(cid:91)
∵ f 0> f 1(cid:91)
∴
f x(cid:39)x=x (cid:61)x=x (cid:133)(cid:203)(cid:73)(cid:242)(cid:72)(cid:91) f x =0(cid:91)
1 2 min
∴
(cid:39)x=0(cid:133)(cid:203)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:91) f x =1+c2
max
(cid:139)gx(cid:39)-1,1(cid:352)(cid:299)(cid:118)(cid:4)(cid:140)(cid:91) f x=-gx=-x2+cosx+c2(cid:91)
f x(cid:39)-1,0(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)(cid:39)0,1(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
f x(cid:39)x=1(cid:133)(cid:203)(cid:157)(cid:73)(cid:242)(cid:72)(cid:91) f x = f 1=-1+cos1+c2(cid:91)
min
∴
(cid:39)x=0(cid:133)(cid:203)(cid:157)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:91) f x = f 0=0+cos0+c2 =c2+1(cid:91)
max
(cid:161) (cid:250)(cid:251)(cid:177)
①(cid:139)c=1(cid:140)(cid:91)
②f x= x2-cosx-1(cid:91)gx=x2-cosx-1(cid:91) f 1= 1-cos1-1 =cos1>0(cid:91)
(cid:165) (cid:156)(cid:157)(cid:91)gx(cid:39)0,+¥(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
①
g1=1-cos1-1=-cos1<0(cid:91)g2=22-cos2-1=3-cos2>0(cid:91)
∵
$x 1,2(cid:91)(cid:239)(cid:157)gx =0(cid:91)
5 5
∴
(cid:39) f x= x2-cosx-1(cid:42)(cid:91)xÎ1,2(cid:91)
∴(cid:206)(cid:140) f x(cid:39)1,x (cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:39)x ,2(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
5 5
f x(cid:39)x=2(cid:133)(cid:203)(cid:73)(cid:214)(cid:72)(cid:91)
∴ (cid:250)(cid:251)(cid:177)
②(cid:187) (cid:156)(cid:157)(cid:353)(cid:354)(cid:129)(cid:125)(cid:91)
③(cid:39) f ①x= x2-cosx-c2 (cid:42)(cid:91) f 0= 0-cos0-c2 =1+c2(cid:91)
f -x= -x2 -cos-x-c2 = x2-cosx-c2 = f x(cid:91)(cid:83)(cid:198)(cid:59)(cid:17)(cid:91)
(cid:143)$x Î-¥,0(cid:91)x Î0,+¥(cid:91)(cid:239)(cid:157)gx =0(cid:91)gx =0(cid:91)
1 2 1 2
(cid:206)(cid:140) f x(cid:39)-¥,x (cid:91)0,x (cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:39)x,0(cid:91)x ,+¥(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
1 2 1 2
f x(cid:39)x=x (cid:61)x=x (cid:133)(cid:203)(cid:71)(cid:242)(cid:72)(cid:91)
1 2
∴
(cid:139)c=0(cid:140)(cid:91) f x= x2-cosx (cid:91)gx=x2-cosx(cid:91) f 0=1(cid:91)
f x(cid:39)-¥,x (cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91) f x =0(cid:91)
1 1
∵
$x Î-¥,x (cid:91)(cid:239)(cid:157) f x =1(cid:91)
3 1 3
∴
f x(cid:39)x ,+¥(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91) f x =0(cid:91)
2 2
∵
$x Îx ,+¥(cid:91)(cid:239)(cid:157) f x =1(cid:91)
4 2 4
∴
(cid:139)x=x ,x ,0(cid:140)(cid:91) f x=1(cid:91)
3 4
∴
c=0(cid:91) f x(cid:86)3(cid:40)(cid:91)
∴(cid:161) (cid:250)(cid:251)(cid:177)
③(cid:165) (cid:156)(cid:157)(cid:91)
④(cid:39) f ③x= x2-cosx-c2 (cid:42)(cid:91) f 0=1+c2(cid:91)
(cid:206)(cid:140) f x(cid:39)-¥,x (cid:91)0,x (cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)(cid:39)x,0(cid:91)x ,+¥(cid:37)(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)
1 2 1 2
(cid:39)wx=1+x2-x(cid:42)(cid:91)Δ=-12-4´1´1=-3<0(cid:91)
1>0(cid:91)(cid:271)(cid:355)(cid:344)(cid:37)(cid:91)
(cid:59)(cid:17)wx=1+x2-x>0(cid:91)(cid:143)1+x2 >x(cid:220)(cid:149)(cid:221)(cid:91)
∴f 0=1+c2 >c
∴
y=c(cid:39) 0, f 0 (cid:240)(cid:64)(cid:91)
∴ c>0(cid:91)
∵y=c(cid:39)x(cid:147)(cid:37)(cid:64)(cid:91)
∴(cid:206)(cid:140)y=c(cid:21) f x(cid:86)4(cid:207)(cid:158)(cid:4)(cid:91)
(cid:161) (cid:250)(cid:251).
④
3(cid:131)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:132)(cid:63)y=x3-3x(cid:21)y=-x-12 +a(cid:39)0,+¥(cid:37)(cid:86)(cid:145)(cid:207)(cid:208)(cid:187)(cid:18)(cid:158)(cid:4)(cid:91)(cid:52)a(cid:18)(cid:203)
(cid:72)(cid:204)(cid:148)(cid:83)______(cid:131)
(cid:134)(cid:41)(cid:135)(cid:136)-2,1
(cid:134)(cid:5)(cid:153)(cid:136)(cid:93)(cid:59)(cid:17)(cid:303)(cid:195)(cid:83)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:160)x3-3x=-x-12+a(cid:91)(cid:5)(cid:127)(cid:123)(cid:17)a(cid:91)(cid:265)(cid:266)(cid:26)(cid:59)(cid:17)gx=x3+x2-5x+1,(cid:129)(cid:58)
(cid:16)(cid:17)(cid:60)(cid:157)gx(cid:68)(cid:69)(cid:257)(cid:258)(cid:91)(cid:356)(cid:184)(cid:214)(cid:233)(cid:96)(cid:128)(cid:17)(cid:128)(cid:129)(cid:58)(cid:143)(cid:156)(cid:60)(cid:40).
(cid:134)(cid:137)(cid:40)(cid:136)(cid:160)x3-3x=-x-12+a(cid:91)(cid:143)a=x3+x2-5x+1(cid:91)(cid:160)gx=x3+x2-5x+1x>0,
(cid:52)g¢x=3x2+2x-5=3x+5x-1(cid:91)(cid:160)g¢x=0x>0(cid:157)x=1(cid:91)
(cid:139)xÎ0,1(cid:140)(cid:91)g¢x<0(cid:91)gx(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:225)(cid:91)
(cid:139)xÎ1,+¥(cid:140)(cid:91)g¢x>0(cid:91)gx(cid:68)(cid:69)(cid:223)(cid:224)(cid:91)g0=1,g1=-2(cid:91)
(cid:138)(cid:83)(cid:132)(cid:63)y=x3-3x(cid:21)y=-x-12+a(cid:39)0,+¥(cid:37)(cid:86)(cid:145)(cid:207)(cid:208)(cid:187)(cid:18)(cid:158)(cid:4)(cid:91)
(cid:141)(cid:142)(cid:94)(cid:305)(cid:179)y=a(cid:21)gx(cid:86)(cid:145)(cid:207)(cid:158)(cid:4)(cid:91)(cid:141)(cid:142)aÎ-2,1
.(cid:161)(cid:41)(cid:135)(cid:83)(cid:163)-2,1