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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 03 导数及应用（选填小题）
函数导数应用是高考必考知识点
考点 01 利用导数求函数单调性，极值最值
1．（2023年全国新高考Ⅱ卷数学）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为
（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
2．（2023年全国高考乙卷数学（文）试题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出 ，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】 ，则 ，若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，
且当 时， ，
当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，故选：B.
3．（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方
程即可求解.
【详解】设曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为 ，所以 ，
所以 所以 所以曲线 在点 处的切线方程为 .故选：C
4．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）当 时，函数 取得最大值 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．故选：B.
5．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设 ，若 为函数 的极大值点，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 进行分
类讨论，画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，
为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.故选：D
6．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定
结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .故选：D.
.
7．（2019年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）若x= ，x= 是函数f(x)= ( >0)两个相邻的极值点，
1 2
则 =
A．2 B．
C．1 D．
【答案】A
【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得 .
【详解】由题意知， 的周期 ，得 ．故选A．
【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式
法，利用方程思想解题．
8．（2019年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判定点 是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当 时， ，即点 在曲线 上．
则 在点 处的切线方程为 ，即
．故选C．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取
导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，
若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
9．（2019年全国高考Ⅲ卷（文）数学试题）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，
则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 ，将点的坐标代入直线方程，求得 ．
【详解】详解：
，
将 代入 得 ，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．二、填空题
10．（2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围
是________________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
11．（2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数 的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，
即可求 最小值.
【详解】由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.
12．（2022年全国高考Ⅰ卷（文）数学试题）曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【分析】设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，得到
切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
13．（2019年全国高考Ⅲ卷（文）数学试题）设函数 ．若 ，则a=_________．
【答案】1
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
14．（2019年全国高考Ⅰ卷（文）数学试题）曲线 在点 处的切线方程为___________．
【答案】 .
【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线
方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导
要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．考点 02 构造函数利用导数求单调性比较大小
1．（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 ．记
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
2．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式
可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
3．（2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．（2021年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较 、 与 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】 ，即 .
故选：C.
5．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真
数与 的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
6．（2020年全国高考Ⅲ卷（文）数学试题）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将 , 改写为 ， ，再利用单调性比较即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
7．（2019年全国高考Ⅲ卷（文）数学试题）设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析】由已知函数为偶函数，把 ，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】 是R的偶函数， ．
，
又 在(0，+∞)单调递减，
∴ ，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
考点 03 导数综合应用
1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数 的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，
即可求 最小值.
【详解】由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.
2．（2023·天津·统考高考真题）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为
_________．
【答案】【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断 的取值范围．
【详解】（1）当 时， ，
即 ，
若 时， ，此时 成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 且 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： 且 ；
若 时， ，此时 成立．
（2）当 时， ，
即 ，
若 时， ，显然 不成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： ；
若 时， ，显然 不成立；
综上，
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ．
所以，当函数有两个零点时， 且 ．
故答案为： ．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
3．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
