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2023—2024 学年度高三第一学月七校联考
高三数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D A C C A B A BC BCD ACD ABD
13． 7 14． 15． 16． 12 3
8．【详解】正数 满足 ，
所以 ，即 ，所以 ，
令 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，令 ，
所以 在 上 单减；在 上 单增，
所以 的最小值是 ，所以 的最小值为 .
选A
12．【详解】函数 ，
求导得 ，再次求导得 ，
对于A，当 时， ，有 ，函数 在
上单调递增，A正确；
对于 B，当 时， ，有 ，函数 在
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学科网（北京）股份有限公司上单调递增，
而 ，则 使得 ，
当 时， ，当 时， ，因此 在 上递减，在
上递增，
由 选 项 A 知 ， 在 上 递 增 ， 又
，则 ，
使得 ，因此函数 在 上有两个零点，B正确；
对于C，对 恒有 ，由选项B知， ，
则有 ，由 得： ，
，
令 ， ，
函数 在 上单调递减， ，又 ，
则有 ，因此整数 的最大值为 ，C不正确；
对 于 D ， 当 时 ， 令 ， 则
，
函数 在 上递减， ，即 ，函数 在 上递增，
，即 ，
令 ， ，
显然 在 上单调递增，则有函数 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司因此 ，即 ，所以当 时， 成立，D正确.
故选：ABD
16．【详解】由 可得 ，由 ，则 ，则
. 因 为 ， 所 以 ， 则
，则 ，
，
则 ，则 .因为 ，则
，则 ，当且仅
当 ，即 时取得等号.故 ，面积最大值为 .
解答题
17．（1） ， ，
， ，
或 ，
（2）无论选①还是选②还是选③，均等价于 ，
①若 ，则 ，解得 ，
②若 ，则 ，解得 ，
综上，
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学科网（北京）股份有限公司18．
（1）∵
∴ 的最小正周期 ，
由 , ，解得 , ，
的单调递增区间为 , ；
（2） ，
, ，则 ， ，
19．（1）由题设 ，则 ，
所以在 上 ， 递增，在 上 ， 递减，
则 ，极大值 ，
综上， 最大值为 ，最小值为 .
（2）(法1)根据题意，只需 即可，
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学科网（北京）股份有限公司一方面，由 在 上 ，
另一方面，由 且 ，
当 时， ，此时 递增且值域为R，所以满足题设；
当 时， 上 ， 递增； 上 ， 递减；
所以 ，此时 ，可得 ，
综上，a的取值范围 .
(法2)因为 在 上 ，
原问题等价于 使得 成立，
即 使得 成立，即
令 ，则
所以 在区间 上单减，在区间 上单增
所以 ，从而
20．（1）解：因为 ，由正弦定理可得 ，
所以， ，
因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 .
（2）解：在△ABC中，因为 ，
所以 ，所以 ，解得 或
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 为钝角，不符合题意，
当 时， ，则 为锐角，合乎题意，故 ，
因为 为 的中点，则 ，
所以，
，故 .
21．（1）
（2） ,
当且仅当 时取等,所以当广告促销费用定为2.5万元的时候，该产品利
润最大，为15.5万元
22．
（1）先作换底变换： .则 ，
当 时 ，则 ，而 ，
则切线方程为 ，即 .....................（4分：注，如
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学科网（北京）股份有限公司果没作换底求对了也给分，导数求对给1分，斜率算对1分，函数值求对给1分，方程求对给1
分）
（2）由（1）知 ，分母不影响符号，故只研究分
子 的 变 化 情 况 . 设 ， 则
. ..............（1分）
第一种情形，若 ，则 ，而 ，则 在 上恒成立，则
在 上单调递增，又因为当 时， ，则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，则 在 上单调递增，则 在定义域内无极值点.
.....................（1分）
第二种情形，若 ，令 得 ，易知 在 单调递减，当
时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减.
而 ，又因为当 时，
， 当 时 ， ， 则 存 在 唯 一 的 实 数 ， 使 得 当
时， ， ， 单调递增，当 时， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司单 调 递 减 ， 则 为 函 数 的 极 大 值 点 ， 所 以 的 取 值 范 围 为 .
.........................（3分）
由前面的分析知 的极大值点 满足方程 ，
而 ， 则 ，
当且仅当 时取等号，此时 .故 成立. ..................（3分）
（注：如果学生分离参数解决，求 的范围正确给3分，证明不等式正确给5分，具体细则自
行决定，其他情况请酌情给分。）
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