专题14圆锥曲线解答题(解析版_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

14
专题 圆锥曲线解答题
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:18)2026(cid:32)(cid:33)(cid:31)
(cid:3)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:18)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:47)(cid:48)
2025(cid:8)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:31)(cid:18)2025(cid:32)(cid:33)(cid:31) (cid:24)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:49)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:64)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
2024(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅰ(cid:31)(cid:18)2024(cid:38)(cid:39)(cid:31)(cid:18) (cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:70)(cid:57)(cid:71)(cid:19)(cid:20)
(cid:20)(cid:21)(cid:18)(cid:22)(cid:23)(cid:21)(cid:24)(cid:25)
2023(cid:8)(cid:28)(cid:29)(cid:40)(cid:31)(cid:18)2023(cid:41)(cid:42)(cid:31) (cid:21)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:70)(cid:18)(cid:5)(cid:72)(cid:73)(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(cid:26)(cid:27)(cid:13)
2022(cid:8)(cid:35)(cid:43)(cid:3)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:31)(cid:18)2022(cid:32)(cid:33) (cid:77)(cid:78)(cid:57)(cid:79)(cid:4)(cid:3)(cid:44)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:78)(cid:52)
(cid:31)(cid:18)2022(cid:41)(cid:42)(cid:31) (cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:21)(cid:89)(cid:90)(cid:24)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)
2026(cid:41)(cid:42)(cid:31)
(cid:96)(cid:4)(cid:18)(cid:96)(cid:97)(cid:18)(cid:96)(cid:51)(cid:48)(cid:27)(cid:13)(cid:99)(cid:100)(cid:80)(cid:81)
2025(cid:38)(cid:39)(cid:31)
(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:24)(cid:59)(cid:50)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:102)(cid:24)(cid:108)(cid:57)(cid:58)
2024(cid:8)(cid:28)(cid:29)(cid:40)(cid:31)(cid:18)2024(cid:32)(cid:33)(cid:31)
(cid:109)(cid:58)(cid:59)(cid:110)(cid:111)(cid:84)(cid:18)(cid:60)(cid:61)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:112)(cid:113)(cid:111)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:96)(cid:4)(cid:18)(cid:96) 2024(cid:38)(cid:39)(cid:31)
(cid:84)(cid:114)(cid:115)(cid:96)(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:18)(cid:96)(cid:97)(cid:116)(cid:96)(cid:51)(cid:48)(cid:49)
(cid:97)(cid:18)(cid:96)(cid:51)(cid:48)(cid:27)(cid:13) 2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅱ(cid:31)(cid:18)2023(cid:8)(cid:28)(cid:29)(cid:98)
(cid:50)(cid:57)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:115)(cid:30)(cid:123)(cid:24)(cid:124)(cid:125)(cid:49)
(cid:31)(cid:18)2023(cid:32)(cid:33)(cid:31)
(cid:73)(cid:57)(cid:126)(cid:79)(cid:82)(cid:80)(cid:81)(cid:127)(cid:128)(cid:124)(cid:125)(cid:93)(cid:94)(cid:24)(cid:3)
2022(cid:8)(cid:28)(cid:29)(cid:40)(cid:31)(cid:18)2022(cid:8)(cid:28)(cid:29)(cid:98)
(cid:44)(cid:95)
(cid:31)
(cid:3)(cid:44)(cid:137)(cid:138)(cid:18)(cid:25)(cid:26)(cid:18)(cid:139)(cid:140)(cid:18)(cid:141)(cid:137)(cid:74)(cid:24)
(cid:129)(cid:97)(cid:62)(cid:142)(cid:95)(cid:143)(cid:6)(cid:27)(cid:13)(cid:109)(cid:52)(cid:144)(cid:84)(cid:124)
(cid:145)(cid:18)(cid:107)(cid:74)(cid:70)(cid:124)(cid:145)(cid:89)(cid:90)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:146)(cid:61)(cid:147)
2026(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:18)2026(cid:38)(cid:39)(cid:31)
(cid:37)(cid:144)(cid:84)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:148)(cid:144)(cid:84)(cid:129)(cid:97)(cid:18)(cid:149)(cid:150)
2025(cid:8)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:18)2025(cid:8)(cid:28)(cid:29)(cid:34)
(cid:107)(cid:74)(cid:70)(cid:18)(cid:151)(cid:84)(cid:74)(cid:49)(cid:73)(cid:62)(cid:142)(cid:57)(cid:3)(cid:44)(cid:80)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:111)(cid:84)(cid:24)(cid:62) (cid:31)(cid:18)2025(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:18)2025(cid:38)(cid:39)(cid:31)
(cid:81)(cid:152)(cid:103)(cid:52)(cid:103)(cid:153)(cid:24)(cid:84)(cid:80)(cid:124)(cid:145)(cid:95)
(cid:97)(cid:18)(cid:129)(cid:97)(cid:18)(cid:130)(cid:131)(cid:132) 2024(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:18)2024(cid:38)(cid:39)(cid:31)
(cid:133)(cid:134)(cid:27)(cid:13)(cid:30)(cid:123)(cid:100)(cid:62)(cid:133)(cid:134)(cid:48)(cid:154)(cid:155)(cid:74)(cid:18)
(cid:133)(cid:134)(cid:27)(cid:13) 2023(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅰ(cid:31)(cid:18)2023(cid:38)(cid:39)(cid:31)
(cid:20)(cid:155)(cid:74)(cid:18)(cid:51)(cid:48)(cid:156)(cid:76)(cid:116)(cid:157)(cid:51)(cid:74)(cid:86)(cid:87)(cid:55)
2022(cid:8)(cid:35)(cid:43)(cid:3)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:31)(cid:18)2022(cid:38)(cid:39)
(cid:56)(cid:57)(cid:99)(cid:100)(cid:80)(cid:81)(cid:158)(cid:86)(cid:87)(cid:159)(cid:160)(cid:152)(cid:103)(cid:161)(cid:83)
(cid:31)(cid:18)2022(cid:135)(cid:136)(cid:31)
(cid:84)(cid:162)(cid:163)(cid:70)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:76)(cid:164)(cid:151)
(cid:133)(cid:134)(cid:57)(cid:165)(cid:166)(cid:82)(cid:84)(cid:80)(cid:124)(cid:125)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:24)(cid:3)
(cid:44)(cid:95)
(cid:3)(cid:4)04 (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48) 2026(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:31) (cid:3)(cid:44)(cid:30)(cid:171)(cid:172)(cid:35)(cid:96)(cid:173)(cid:116)(cid:174)(cid:52)(cid:175)(cid:176)(cid:177)
(cid:170)(cid:90)(cid:27)(cid:13) 2024(cid:8)(cid:35)(cid:36)(cid:37)Ⅱ(cid:31) (cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:13)(cid:181)(cid:57)(cid:182)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)考点 01 弦长、三角形、四边形的面积问题
1(cid:187)（2026·北京·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)E(cid:190)
x2
+
y2
=1(cid:10)a>b>0(cid:11)(cid:24)(cid:30)(cid:191)(cid:192)(cid:4)(cid:193)2,0(cid:57)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) 1 (cid:187)
a2 b2 2
(1)(cid:62)E(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:59)(cid:4)A1,1(cid:57)(cid:139)(cid:140)(cid:161)kk ¹±1(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:64)(cid:189)(cid:45)E(cid:196)B(cid:18)C(cid:197)(cid:4)(cid:57)B(cid:55)(cid:196)y=x(cid:24)(cid:82)(cid:198)(cid:4)(cid:161)D(cid:57)DC(cid:64)y=x
5
(cid:196)Q(cid:57)(cid:199) S -S = (cid:57)(cid:62)k(cid:187)
(cid:200)ABQ (cid:200)ACQ 8
x2 y2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) + =1
4 3
2
(2)k =±
4
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:192)(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:132)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:77)(cid:78)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)(cid:63)(cid:51)(cid:48)l (cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:207)(cid:114)(cid:52)(cid:64)(cid:4)(cid:208)(cid:65)(cid:37)(cid:209)(cid:55)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:13)(cid:147)(cid:211)(cid:212)(cid:159)(cid:160)(cid:77)(cid:78)(cid:207)(cid:114)(cid:4)D(cid:18)(cid:4)Q
BC
(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:4)(cid:115)(cid:51)(cid:48)(cid:137)(cid:138)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:197)(cid:4)(cid:213)(cid:137)(cid:138)(cid:69)(cid:70)(cid:207)(cid:162)(cid:214)(cid:63)S (cid:52)S (cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:13)(cid:147)(cid:211)(cid:212)(cid:159)(cid:160)(cid:52)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)
VABQ △ACQ
(cid:77)(cid:78)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:142).
c a2-b2 4-b2 1 x2 y2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:207)(cid:114)a=2(cid:57)(cid:218)e= = = = (cid:57)(cid:206)b= 3(cid:57)(cid:219)E(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1(cid:195)
a a 2 2 4 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:207)(cid:114)l :y=kx-1+1(cid:57)(cid:110)Bx,y (cid:18)Cx ,y (cid:57)
BC 1 1 2 2
(cid:216)B(cid:55)(cid:196)(cid:51)(cid:48)y=x(cid:82)(cid:198)(cid:24)(cid:4)(cid:161)D(cid:57)(cid:218)Dy ,x (cid:57)
1 1
ìx2 y2
(cid:60)(cid:61) ï í 4 + 3 =1 (cid:57)(cid:112)(cid:113)y(cid:114)(cid:190)  4k2+3  x2-8kk-1x+4k2-8k-8=0(cid:57)
ïy=kx-1+1
î
12 12 7 8kk-1 4k2-8k-8
(cid:216) + = <1(cid:57)(cid:219)A(cid:101)(cid:189)(cid:45)(cid:220)(cid:221)(cid:57)(cid:219)D>0(cid:222)(cid:223)(cid:61)(cid:57)(cid:209)x +x = (cid:18)xx = (cid:57)
4 3 12 1 2 4k2+3 1 2 4k2+3
(cid:218)y +y =kx -1+1+kx -1+1=kx +x -2k+2(cid:57)
1 2 1 2 1 2
y y =ékx -1+1ù×ékx -1+1ù=k2xx +  k-k2x +x +k2-2k+1(cid:57)
1 2 ë 1 û ë 2 û 1 2 1 2
ì y -x
y -x ïy= 2 1x-y +x
l :y= 2 1x-y +x (cid:57)(cid:60)(cid:61)í x -y 1 1(cid:57)
CD x -y 1 1 2 1
2 1 ï îy=xy -x
(cid:218)x= 2 1x-y +x (cid:57)(cid:206)x -y x=y -x x-y -x y +x x -y (cid:57)
x -y 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1
2 1
xx -y y æ xx -y y xx -y y ö
(cid:224)(cid:92)(cid:114)x= 1 2 1 2 (cid:57)(cid:206)Qç 1 2 1 2 , 1 2 1 2 ÷(cid:57)
x +x -y +y  çx +x -y +y  x +x -y +y ÷
1 2 1 2 è 1 2 1 2 1 2 1 2 ø
x -y x -y
(cid:4)B(cid:115)(cid:51)(cid:48)AQ(cid:24)(cid:137)(cid:138)d = 1 1 (cid:57)(cid:4)C(cid:115)(cid:51)(cid:48)AQ(cid:24)(cid:137)(cid:138)d = 2 2 (cid:57)
1 2 2 2
1 x -y 1 x -y
(cid:225) AQ = 2 x -1(cid:57)(cid:218)S = × 2 x -1× 1 1 (cid:57)S = × 2 x -1× 2 2 (cid:57)
Q VABQ 2 Q 2 VACQ 2 Q 2
2 x -y x -y 1
(cid:219) S -S = x -1× 1 1 - 2 2 = x -1× x -y - x -y
VABQ VACQ 2 Q 2 2 2 Q 1 1 2 2
1 xx -y y 1
= 1 2 1 2 -1×x +x -y +y  = xx -y y -x +x +y +y 
2 x +x -y +y  1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1
= xx -y y -x +x +y +y 
2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
= xx -k2xx -  k-k2x +x -k2+2k-1-x +x +kx +x -2k+2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
=  1-k2 xx -  1-k2x +x -k2+1
2 1 2 1 2
1
 1-k2 4k2-8k-8   1-k2 8kk-1
= - -k2+1
2 4k2+3 4k2+3
1 4k2-8k-8-4k4+8k3+8k2 8k2-8k-8k4+8k3 -4k4-3k2+4k2+3
= - +
2 4k2+3 4k2+3 4k2+3
1 5k2-5 5
= = (cid:57)
2 4k2+3 8
15 15
(cid:206)(cid:209)5k2-5 =5k2+ (cid:57)(cid:199)k2 >1(cid:57)(cid:218)5= (cid:57)(cid:226)(cid:142)(cid:57)(cid:107)(cid:227)(cid:195)
4 4
15 2
(cid:218)k2 <1(cid:57)(cid:209)5-5k2 =5k2+ (cid:57)(cid:142)(cid:114)k =± (cid:195)
4 4
2
(cid:219)k =± .
4x2 y2 2
2(cid:187)（2025·北京·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)E: + =1a>b>0(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) (cid:57)(cid:189)(cid:45)E(cid:38)(cid:24)(cid:4)(cid:115)(cid:197)(cid:228)(cid:4)(cid:24)(cid:137)
a2 b2 2
(cid:138)(cid:229)(cid:230)(cid:161)4.
(1)(cid:62)(cid:189)(cid:45)E(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:110)O(cid:161)(cid:65)(cid:37)(cid:231)(cid:4)(cid:57)(cid:4)Mx ,y x ¹0(cid:101)(cid:189)(cid:45)E(cid:38)(cid:57)(cid:51)(cid:48)x x+2y y-4=0(cid:52)(cid:51)(cid:48)y=2(cid:57)y=-2(cid:5)(cid:232)(cid:64)
0 0 0 0 0
S |OA|
(cid:196)(cid:4)A(cid:57)B(cid:187)(cid:110)VOAM (cid:52)VOBM (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:5)(cid:232)(cid:161)S ,S (cid:57)(cid:233)(cid:185) 1 (cid:52) (cid:24)(cid:186)(cid:234)(cid:187)
1 2 S |OB|
2
x2 y2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) + =1
4 2
S OA
(2) 1 =
S OB
2
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:189)(cid:45)(cid:96)(cid:173)(cid:237)(cid:132)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:207)(cid:62)(cid:63)a,c(cid:57)(cid:66)(cid:235)(cid:236)a,b,c(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:62)(cid:63)b(cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:115)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
OA S AM
(cid:10)2(cid:11)(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:4)A,B(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63) (cid:57)(cid:66)(cid:235)(cid:236) 1 = (cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:63)(cid:238)(cid:239)(cid:24)(cid:186)(cid:234)(cid:55)
OB S BM
2
(cid:56).
(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:67)(cid:68)(cid:51)(cid:48)(cid:24)(cid:115)(cid:20)(cid:69)(cid:70)(cid:116)(cid:174)(cid:240)(cid:139)(cid:20)(cid:229)(cid:213)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:114)(cid:115)ÐAOM =ÐBOM (cid:57)(cid:66)(cid:235)(cid:236)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:142)
(cid:63).
c 2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:189)(cid:45)(cid:207)(cid:177)(cid:57)2a=4(cid:57)(cid:211)(cid:237)a=2(cid:57)(cid:225)e= = (cid:57)(cid:211)(cid:237)c= 2(cid:57)b2 =a2-c2 =2(cid:57)
a 2
x2 y2
(cid:219)(cid:189)(cid:45)E(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1(cid:195)
4 2
ìx x+2y y-4=0
ï 0 0 æ4-2y yö 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:60)(cid:61)íx2 y2 (cid:57)(cid:112)(cid:113)x(cid:114)(cid:57)ç 0 ÷ +2y2 =4(cid:57)
ï + =1 è x ø
î 4 2 0
(cid:224)(cid:92)(cid:114)(cid:57)  2x2+4y2 y2-16y y+16-4x2 =0 (cid:57)
0 0 0 0
x2 y2 ①
(cid:225) 0 + 0 =1(cid:57)(cid:211)(cid:237)2x2+4y2 =8(cid:57)16-4x2 =8y2(cid:57)
4 2 0 0 0 0
(cid:219) (cid:70)(cid:207)(cid:103)(cid:241)(cid:161)8y2-16y y+8y2 =0(cid:57)(cid:206)y-y 2 =0(cid:57)(cid:211)(cid:237)y= y (cid:57)
0 0 0 0
①
(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)x x+2y y-4=0(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:155)(cid:242)(cid:57)M (cid:161)(cid:242)(cid:4).
0 0
S OA
(cid:110)Ax,y ,Bx ,y (cid:57)(cid:243)(cid:177)(cid:57)(cid:244)x =x (cid:245)(cid:57)(cid:216)(cid:82)(cid:198)(cid:169)(cid:207)(cid:177)(cid:57) 1 = (cid:187)
1 1 2 2 1 2 S OB
2
S AM x -x x -x
(cid:219)(cid:110)x <x <x (cid:57)(cid:243)(cid:177) 1 = = 1 0 = 1 0 (cid:57)
2 0 1 S BM x -x x -x
2 2 0 0 2ìx x+2y y-4=0 4-4y
(cid:60)(cid:61)í 0 0 (cid:57)(cid:142)(cid:114)x = 0,y =2(cid:57)
îy=2 1 x
0
1
ìx x+2y y-4=0 4+4y
(cid:60)(cid:61)í 0 0 (cid:57)(cid:142)(cid:114)x = 0,y =-2(cid:57)
îy=-2 2 x
0
2
4-4y
0 -x
S x -x x 0 4-4y -x2
(cid:211)(cid:237) 1 = 1 0 = 0 = 0 0
S x -x 4+4y x2-4y -4
2 0 2 x - 0 0 0
0 x
0
2y2-4y 2-y
= 0 0 = 0 (cid:57)
-2y2-4y 2+y
0 0 0
2
æ4-4y ö
OA ç è x 0 ÷ ø +4 41-y 2+x2 41-y 2+4-2y2 y2-4y +4 2-y
= 0 = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 (cid:57)
OB ç æ4+4y 0 ÷ ö 2 +4 41+y 0 2+x 0 2 41+y 0 2+4-2y 0 2 y 0 2+4y 0 +4 2+y 0
è x ø
0
S OA
(cid:219) 1 = (cid:187)
S OB
2
S OA
(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:107)(cid:246)(cid:110)Ax,y ,Bx ,y (cid:57)(cid:243)(cid:177)(cid:57)(cid:244)x =x (cid:245)(cid:57)(cid:216)(cid:82)(cid:198)(cid:169)(cid:207)(cid:177)(cid:57) 1 = (cid:187)
1 1 2 2 1 2 S OB
2
(cid:219)(cid:110)x <x <x (cid:57)
2 0 1
ìx x+2y y-4=0 4-4y
(cid:60)(cid:61)í 0 0 (cid:57)(cid:142)(cid:114)x = 0,y =2(cid:57)
îy=2 1 x
0
1
ìx x+2y y-4=0 4+4y
(cid:60)(cid:61)í 0 0 (cid:57)(cid:142)(cid:114)x = 0,y =-2(cid:57)
îy=-2 2 x
0
2
(cid:199)x =0(cid:57)(cid:218)y =1,x =± 2,x =±4 2(cid:57)
1 0 0 2
(cid:216)(cid:82)(cid:198)(cid:169)(cid:57)(cid:107)(cid:246)(cid:247)x = 2,x =4 2(cid:57)(cid:218)A0,2,B  4 2,-2  ,M  2,1  (cid:57)
0 2
2 2
+
2 4
tanÐBOM = 2(cid:57)tanÐBOM = = 2(cid:57)(cid:211)(cid:237)ÐAOM =ÐBOM (cid:57)
2 2
1- ´
2 4
(cid:248)(cid:92)(cid:57)(cid:244)x =0(cid:245)(cid:57)ÐAOM =ÐBOM (cid:57)
2
y 2x x y -2x x y
(cid:244)xx ¹0(cid:245)(cid:57)(cid:218)k = 1 = 0 = 0 (cid:57)k = 2 = 0 =- 0 (cid:57)k = 0 ,
1 2 OA x 4-4y 2-2y OB x 4+4y 2+2y OM x
1 0 0 2 0 0 0x2 y2
(cid:225) 0 + 0 =1(cid:57)(cid:211)(cid:237)x2+2y2 =4(cid:57)
4 2 0 0
x y
0 - 0
k -k 2-2y x
(cid:211)(cid:237)tanÐAOM = OA OM = 0 0
1+k ×k x y
OA OM 1+ 0 ´ 0
2-2y x
0 0
x2+2y2-2y 4-2y 2
=- 0 0 0 =- 0 = (cid:57)
x y -2 x y -2 x
0 0 0 0 0
y x
0 + 0
k -k x 2+2y x2+2y2+2y 4+2y 2
tanÐBOM = OM OB = 0 0 = 0 0 0 = 0 = (cid:57)
1+k ×k y æ x ö x y +2 x y +2 x
OM OB 1+ 0´ç- 0 ÷ 0 0 0 0 0
x è 2+2y ø
0 0
(cid:218)tanÐAOM =tanÐBOM (cid:57)(cid:206)ÐAOM =ÐBOM (cid:57)
S OA OM sinÐAOM OA
(cid:211)(cid:237) 1 = = .
S OB OM sinÐBOM OB
2
x2 y2 2
3(cid:187)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)C: + =1(a>b>0)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) (cid:57)(cid:17)(cid:249)(cid:17)(cid:161)4(cid:187)
a2 b2 2
(1)(cid:62)C(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:59)(cid:4)(0,-2)(cid:24)(cid:51)(cid:48)l(cid:64)C(cid:196)A,B(cid:197)(cid:4)(cid:57)O(cid:161)(cid:65)(cid:37)(cid:231)(cid:4).(cid:199)VOAB(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:161) 2(cid:57)(cid:62)|AB|(cid:187)
x2 y2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) + =1
4 2
(2) 5
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:17)(cid:249)(cid:17)(cid:230)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:62)(cid:63)(cid:149)(cid:150)(cid:108)(cid:250)(cid:207)(cid:114)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)(cid:63)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:251)(cid:60)(cid:61)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:250)(cid:89)(cid:90)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:68)(cid:111)(cid:84)t(cid:162)(cid:214)(cid:25)(cid:26)(cid:250)(cid:207)(cid:62)t(cid:24)(cid:97)(cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:207)(cid:62)(cid:16)(cid:17).
2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:253)(cid:161)(cid:17)(cid:249)(cid:17)(cid:161)4(cid:57)(cid:219)a=2(cid:57)(cid:252)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) (cid:57)(cid:219)c= 2(cid:57)
2
x2 y2
(cid:219)b= 2(cid:57)(cid:219)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:161)(cid:190) + =1.
4 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:110)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:161)0(cid:57)(cid:219)(cid:110)(cid:51)(cid:48)l:x=ty+2(cid:57)Ax,y ,Bx ,y (cid:57)
1 1 2 2
ìx=ty+2
(cid:216)í (cid:207)(cid:114)  t2+2  y2+4t2y+4t2-4=0(cid:57)
îx2+2y2 =4
(cid:219)Δ=16t4-4  t2+2  4t2-4  =4  8-4t2 >0(cid:206)- 2 <t< 2(cid:57)
4t2 4t2-4
(cid:254)y +y =- ,y y = (cid:57)
1 2 t2+2 1 2 t2+2
1 t 32-16t2
(cid:219)S = ´ 2t ´ y -y = t y +y 2-4y y = = 2(cid:57)
VOAB 2 1 2 1 2 1 2 t2+2
6
(cid:142)(cid:114)t =± (cid:57)
3
2
32-16´
(cid:219) AB = 1+t2 y -y = 1+ 2 ´ y +y 2 -4y y = 5 ´ 3 = 5.
1 2 3 1 2 1 2 3 2
+2
3
æ 3ö x2 y2
4(cid:187)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)A(0,3)(cid:230)Pç3, ÷(cid:161)(cid:189)(cid:45)C: + =1(a>b>0)(cid:38)(cid:197)(cid:4).
è 2ø a2 b2
(1)(cid:62)C(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140);
(2)(cid:199)(cid:59)P(cid:24)(cid:51)(cid:48)l(cid:64)C(cid:196)(cid:255)(cid:30)(cid:4)B(cid:57)(cid:254)VABP(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:161)9(cid:57)(cid:62)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:187)
1
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)
2
(2)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)3x-2y-6=0(cid:116)x-2y=0.
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:83)(cid:256)(cid:197)(cid:4)(cid:114)(cid:115)(cid:55)(cid:196)a,b(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:142)(cid:63)(cid:206)(cid:207)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:49)(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:237) AP (cid:161)(cid:257)(cid:57)(cid:62)(cid:63)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:24)(cid:43)(cid:57)(cid:206)(cid:4)B(cid:115)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:57)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:156)(cid:76)(cid:48)(cid:137)(cid:138)(cid:69)(cid:70)(cid:114)(cid:115)(cid:156)(cid:258)
(cid:250)(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:114)(cid:115)B(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:218)(cid:114)(cid:115)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)(cid:49)(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:248)(cid:73)(cid:30)(cid:114)(cid:115)(cid:4)B(cid:115)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)
(cid:137)(cid:138)(cid:57)(cid:66)(cid:110)Bx ,y (cid:57)(cid:235)(cid:236)(cid:4)(cid:115)(cid:51)(cid:48)(cid:137)(cid:138)(cid:230)(cid:4)(cid:101)(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:114)(cid:115)(cid:49)(cid:50)(cid:259)(cid:57)(cid:142)(cid:63)(cid:206)(cid:207)(cid:195)(cid:73)(cid:19)(cid:190)(cid:248)(cid:73)(cid:30)(cid:114)(cid:115)(cid:4)B(cid:115)
0 0
(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:111)(cid:84)(cid:49)(cid:50)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:142)(cid:195)(cid:73)(cid:22)(cid:190)(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:133)(cid:51)(cid:48)AB(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:24)(cid:9)(cid:264)(cid:57)(cid:66)(cid:110)(cid:51)(cid:48)
y=kx+3(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:114)(cid:115)(cid:4)B(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:4)(cid:115)(cid:51)(cid:48)(cid:137)(cid:138)(cid:69)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:195)(cid:73)(cid:7)(cid:190)(cid:260)(cid:261)(cid:3)(cid:265)(cid:51)(cid:48)PB(cid:139)(cid:140)(cid:107)3
(cid:263)(cid:101)(cid:24)(cid:9)(cid:264)(cid:57)(cid:66)(cid:110)PB:y- =k(x-3)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:16)(cid:17)(cid:69)(cid:70)(cid:230)(cid:4)(cid:115)(cid:51)(cid:48)(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:69)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:115)(cid:202)(cid:203)(cid:195)(cid:73)(cid:266)(cid:190)(cid:110)(cid:48)(cid:73)
2
1
(cid:52)(cid:73)(cid:7)(cid:30)(cid:267)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:268)(cid:156)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:157)(cid:43)(cid:270) (cid:162)(cid:163)(cid:25)(cid:26)(cid:206)(cid:207).
2
ì b=3
ïï 9 ìb2 =9
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:114)í (cid:57)(cid:142)(cid:114)í (cid:57)
ï 9 + 4 =1 îa2 =12
ïîa2 b2
b2 9 1
(cid:211)(cid:237)e= 1- = 1- = .
a2 12 2
3
3- 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:73)(cid:30)(cid:190) 2 1(cid:57)(cid:218)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=- x+3(cid:57)(cid:206)x+2y-6=0(cid:57)
k = =- 2
AP 0-3 2
AP = 0-32 + æ ç3- 3ö ÷ 2 = 3 5 (cid:57)(cid:216)(cid:10)1(cid:11)(cid:177)C: x2 + y2 =1(cid:57)
è 2ø 2 12 9
2´9 12 5
d = =
(cid:110)(cid:4)B(cid:115)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:161)d(cid:57)(cid:218) 3 5 5 (cid:57)
2
12 5
(cid:218)(cid:158)(cid:51)(cid:48)AP(cid:272)(cid:273)(cid:52)AP(cid:157)(cid:51)(cid:24)(cid:49)(cid:274)(cid:156)(cid:258) (cid:275)(cid:53)(cid:206)(cid:207)(cid:57)
5
(cid:276)(cid:245)(cid:277)(cid:156)(cid:76)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:64)(cid:4)(cid:206)(cid:161)(cid:4)B(cid:57)
(cid:110)(cid:277)(cid:156)(cid:76)(cid:48)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)(cid:190)x+2y+C =0(cid:57)
C+6 12 5
(cid:218) = (cid:57)(cid:142)(cid:114)C =6(cid:116)C =-18(cid:57)
5 5
ì x2 y2 ìx=-3
ï + =1 ì x=0 ï
(cid:244)C =6(cid:245)(cid:57)(cid:60)(cid:61)í 12 9 (cid:57)(cid:142)(cid:114)í (cid:116)í 3(cid:57)
ï
îy=-3
ï
y=-
îx+2y+6=0 î 2
æ 3ö
(cid:206)B0,-3(cid:116)ç-3,- ÷(cid:57)
è 2ø
3 3
(cid:244)B0,-3(cid:245)(cid:57)(cid:276)(cid:245)k = (cid:57)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y= x-3(cid:57)(cid:206)3x-2y-6=0(cid:57)
l 2 2
æ 3ö 1 1
(cid:244)Bç-3,- ÷(cid:245)(cid:57)(cid:276)(cid:245)k = (cid:57)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y= x(cid:57)(cid:206)x-2y=0(cid:57)
è 2ø l 2 2
ì x2 y2
ï + =1
(cid:244)C =-18(cid:245)(cid:57)(cid:60)(cid:61)í 12 9 (cid:114)2y2-27y+117=0(cid:57)
ï
îx+2y-18=0
D=272-4´2´117=-207<0(cid:57)(cid:276)(cid:245)(cid:277)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:226)(cid:64)(cid:4).
(cid:170)(cid:38)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)3x-2y-6=0(cid:116)x-2y=0.
(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:248)(cid:73)(cid:30)(cid:114)(cid:115)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x+2y-6=0(cid:57)12 5
(cid:4)B(cid:115)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:137)(cid:138)d = (cid:57)
5
ì x +2y -6 12 5
ï 0 0 = ìx =-3
ï 5 5 ï 0 ì x =0
(cid:110)Bx ,y (cid:57)(cid:218)í (cid:57)(cid:142)(cid:114)í 3(cid:116)í 0 (cid:57)
0 0 ï x 0 2 + y 0 2 =1 ï î y 0 =- 2 îy 0 =-3
ï
î 12 9
æ 3ö
(cid:206)B0,-3(cid:116)ç-3,- ÷(cid:57)(cid:237)(cid:278)(cid:248)(cid:73)(cid:30).
è 2ø
(cid:73)(cid:19)(cid:190)(cid:248)(cid:73)(cid:30)(cid:114)(cid:115)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x+2y-6=0(cid:57)
12 5
(cid:4)B(cid:115)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:137)(cid:138)d = (cid:57)
5
(cid:110)B  2 3cosq,3sinq  (cid:57)(cid:175)(cid:104)qÎ0,2p(cid:57)(cid:218)(cid:209) 2 3cosq+6sinq-6 = 12 5 (cid:57)
5 5
ì 3
ï ï cosq=- 2 ìcosq=0
(cid:60)(cid:61)cos2q+sin2q=1(cid:57)(cid:142)(cid:114)í (cid:116)í (cid:57)
ï 1 îsinq=-1
sinq=-
ïî 2
æ 3ö
(cid:206)B0,-3(cid:116)ç-3,- ÷(cid:57)(cid:237)(cid:278)(cid:248)(cid:73)(cid:30)(cid:195)
è 2ø
(cid:73)(cid:22)(cid:190)(cid:244)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:245)(cid:57)(cid:276)(cid:245)B0,-3(cid:57)
1 3 3
S = ´6´3=9(cid:57)(cid:227)(cid:90)(cid:13)(cid:217)(cid:57)(cid:276)(cid:245)k = (cid:57)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y= x-3(cid:57)(cid:206)3x-2y-6=0(cid:57)
VPAB 2 l 2 2
(cid:244)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:245)(cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=kx+3(cid:57)
ì y=kx+3
(cid:60)(cid:61)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:209) ï íx2 y2 (cid:57)(cid:218)  4k2+3  x2+24kx=0(cid:57)(cid:175)(cid:104)k ¹k (cid:57)(cid:206)k ¹- 1 (cid:57)
ï + =1 AP 2
î12 9
-24k 1
(cid:142)(cid:114)x=0(cid:116)x= (cid:57)k ¹0(cid:57)k ¹- (cid:57)
4k2+3 2
-24k -12k2+9 æ -24k -12k2+9ö
(cid:279)x= (cid:57)(cid:218)y= (cid:57)(cid:218)Bç , ÷
4k2+3 4k2+3 è4k2+3 4k2+3 ø
(cid:248)(cid:73)(cid:30)(cid:114)(cid:115)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x+2y-6=0(cid:57)
12 5
(cid:4)B(cid:115)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:137)(cid:138)d = (cid:57)
5
-24k -12k2+9
+2´ -6 3
(cid:218) 4k2+3 4k2+3 12 5 (cid:57)(cid:142)(cid:114)k = (cid:57)
= 2
5 5
æ 3ö 1 1
(cid:276)(cid:245)Bç-3,- ÷(cid:57)(cid:218)(cid:114)(cid:115)(cid:276)(cid:245)k = (cid:57)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y= x(cid:57)(cid:206)x-2y=0(cid:57)
è 2ø l 2 2
(cid:170)(cid:38)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)3x-2y-6=0(cid:116)x-2y=0.æ 3ö
(cid:73)(cid:7)(cid:190)(cid:244)l(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:245)(cid:57)l:x=3,Bç3,- ÷, PB =3,A(cid:115)PB(cid:137)(cid:138)d =3(cid:57)
è 2ø
1 9
(cid:276)(cid:245)S = ´3´3= ¹9(cid:107)(cid:280)(cid:281)(cid:159)(cid:160).
VABP 2 2
3
(cid:244)l(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:245)(cid:57)(cid:110)PB:y- =k(x-3)(cid:57)(cid:279)Px,y ,Bx ,y (cid:57)
2 1 1 2 2
ì 3
y=k(x-3)+
ï
ï
í
2 (cid:57)(cid:112)y(cid:207)(cid:114)  4k2+3  x2-  24k2-12k  x+36k2-36k-27=0(cid:57)
x2 y2
ï
+ =1
ïî12 9
1
Δ=  24k2-12k 2 -4  4k2+3  36k2-36k-27  >0(cid:57)(cid:254)k ¹k (cid:57)(cid:206)k ¹- (cid:57)
AP 2
ì 24k2-12k 27
ïx +x = 4 3 k2+1 3k2+9k+
í ï 1 2 4k2+3 , PB = k2+1 x +x 2 -4xx = 4 (cid:57)
ï
36k2-36k-27 1 2 1 2 4k2+3
xx =
ïî 1 2 4k2+3
3 27 3
3k+ 4 3 k2+1 3k2+9k+ 3k+
A(cid:115)(cid:51)(cid:48)PB(cid:137)(cid:138) 2 1 4 2 (cid:57)
d = ,S = × × =9
k2+1 VPAB 2 4k2+3 k2+1
1 3 1 3
\k = (cid:116) (cid:57)(cid:282)(cid:280)(cid:281)(cid:13)(cid:217)(cid:57)\l:y= x(cid:116)y= x-3(cid:57)(cid:206)3x-2y-6=0(cid:116)x-2y=0.
2 2 2 2
æ 3ö
(cid:73)(cid:266)(cid:190)(cid:244)l(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:245)(cid:57)l:x=3,Bç3,- ÷, PB =3,A(cid:115)PB(cid:137)(cid:138)d =3(cid:57)
è 2ø
1 9
(cid:276)(cid:245)S = ´3´3= ¹9(cid:107)(cid:280)(cid:281)(cid:159)(cid:160).
VABP 2 2
3
(cid:244)(cid:51)(cid:48)l(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:245)(cid:57)(cid:110)l:y=k(x-3)+ (cid:57)
2
æ 3ö
(cid:110)l(cid:52)y(cid:249)(cid:24)(cid:64)(cid:4)(cid:161)Q(cid:57)(cid:279)x=0(cid:57)(cid:218)Qç0,-3k+ ÷(cid:57)
è 2ø
ì 3
(cid:60)(cid:61) ï í y=kx-3k+ 2(cid:57)(cid:218)(cid:209)  3+4k2 x2-8k æ ç3k- 3ö ÷x+36k2-36k-27=0(cid:57)
ï î3x2+4y2 =36 è 2ø
 3+4k2 x2-8k æ ç3k- 3ö ÷x+36k2-36k-27=0(cid:57)
è 2ø
(cid:175)(cid:104)Δ=8k2 æ ç3k- 3ö ÷ 2 -4  3+4k2 36k2-36k-27  >0(cid:57)(cid:254)k ¹- 1 (cid:57)
è 2ø 2
36k2-36k-27 12k2-12k-9
(cid:218)3x = ,x = (cid:57)
B 3+4k2 B 3+4k2
1 1 3 12k+18 1 3
(cid:218)S = AQ x -x = 3k+ =9(cid:57)(cid:142)(cid:114)k = (cid:116)k = (cid:57)(cid:283)(cid:83)(cid:256)(cid:284)(cid:232)(cid:70)(cid:262)(cid:133)(cid:282)(cid:280)(cid:281)(cid:13)(cid:217).
2 P B 2 2 3+4k2 2 2
1 3
(cid:218)(cid:51)(cid:48)l(cid:161)y= x(cid:116)y= x-3(cid:57)(cid:206)3x-2y-6=0(cid:116)x-2y=0.
2 25(cid:187)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:51)(cid:48)x-2y+1=0(cid:52)(cid:285)(cid:286)(cid:48)C:y2 =2px(p>0)(cid:64)(cid:196)A,B(cid:197)(cid:4)(cid:57)(cid:254)
|AB|=4 15(cid:187)
(1)(cid:62)p(cid:195)
uuuur uuur
(2)(cid:110)F(cid:161)C(cid:24)(cid:228)(cid:4)(cid:57)M(cid:57)N(cid:161)C(cid:38)(cid:197)(cid:4)(cid:57)FM×FN =0(cid:57)(cid:62)VMFN(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:129)(cid:234)(cid:97)(cid:187)
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)p=2
(2)12-8 2
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:24)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)(cid:230)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:16)(cid:17)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:63)p(cid:195)
uuuur uuur
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)(cid:51)(cid:48)MN(cid:190)x=my+n(cid:57)Mx,y ,Nx ,y ,(cid:67)(cid:68)FM×FN =0(cid:57)(cid:106)(cid:115)m,n(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:237)(cid:132)VMFN(cid:24)(cid:25)
1 1 2 2
(cid:26)(cid:162)(cid:163)(cid:70)(cid:57)(cid:66)(cid:89)(cid:90)(cid:144)(cid:84)(cid:24)(cid:169)(cid:287)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63)(cid:175)(cid:129)(cid:234)(cid:97)(cid:187)
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)Ax ,y ,Bx ,y (cid:57)
A A B B
ìx-2y+1=0
(cid:216)í (cid:207)(cid:114)(cid:57)y2-4py+2p=0(cid:57)(cid:211)(cid:237)y +y =4p,y y =2p(cid:57)
îy2 =2px A B A B
(cid:211)(cid:237) AB = x -x 2+y -y 2 = 5 y -y = 5´ y +y 2-4y y =4 15(cid:57)
A B A B A B A B A B
(cid:206)2p2- p-6=0(cid:57)(cid:253)(cid:161)p>0(cid:57)(cid:142)(cid:114)(cid:190)p=2(cid:187)
(cid:10)2(cid:11)(cid:253)(cid:161)F1,0(cid:57)(cid:288)(cid:289)(cid:51)(cid:48)MN(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:207)(cid:93)(cid:161)(cid:290)(cid:57)
(cid:110)(cid:51)(cid:48)MN(cid:190)x=my+n(cid:57)Mx,y ,Nx ,y (cid:57)
1 1 2 2
ìy2 =4x
(cid:216)í (cid:207)(cid:114)(cid:57)y2-4my-4n=0(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:57)y +y =4m,y y =-4n(cid:57)
îx=my+n 1 2 1 2
D=16m2+16n>0Þm2+n>0(cid:57)
uuuur uuur
(cid:253)(cid:161)FM×FN =0(cid:57)(cid:211)(cid:237)x -1x -1+y y =0(cid:57)
1 2 1 2
(cid:206)my +n-1my +n-1+ y y =0(cid:57)
1 2 1 2(cid:291)(cid:206)  m2+1  y y +mn-1y +y +n-12 =0(cid:57)
1 2 1 2
(cid:158)y +y =4m,y y =-4n(cid:83)(cid:256)(cid:114)(cid:57)
1 2 1 2
4m2 =n2-6n+1(cid:57)4  m2+n  =n-12 >0(cid:57)
(cid:211)(cid:237)n¹1(cid:57)(cid:254)n2-6n+1³0(cid:57)(cid:142)(cid:114)n³3+2 2(cid:116)n£3-2 2(cid:187)
n-1
(cid:110)(cid:4)F (cid:115)(cid:51)(cid:48)MN(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:161)d(cid:57)(cid:211)(cid:237)d = (cid:57)
1+m2
MN = x -x 2+y -y 2 = 1+m2 y -y = 1+m2 16m2+16n
1 2 1 2 1 2
= 1+m2 4  n2-6n+1  +16n =2 1+m2 n-1(cid:57)
1 1 n-1
(cid:211)(cid:237)VMFN(cid:24)(cid:25)(cid:26)S = ´ MN ´d = ´ ´2 1+m2 n-1 =n-12 (cid:57)
2 2 1+m2
(cid:252)n³3+2 2(cid:116)n£3-2 2(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:57)
 2
(cid:244)n=3-2 2(cid:245)(cid:57)VMFN(cid:24)(cid:25)(cid:26)S = 2-2 2 =12-8 2(cid:187)
min
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:150)(cid:13)(cid:142)(cid:13)(cid:55)(cid:293)(cid:193)(cid:235)(cid:236)(cid:274)(cid:108)(cid:24)(cid:84)(cid:108)(cid:26)(cid:161)(cid:290)(cid:106)(cid:115)m,n(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:30)(cid:193)(cid:161)(cid:119)(cid:294)(cid:295)(cid:57)(cid:34)(cid:193)(cid:58)(cid:59)(cid:155)(cid:296)(cid:24)(cid:297)(cid:298)(cid:55)
(cid:56)(cid:106)(cid:115)(cid:299)(cid:300)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:57)(cid:161)(cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:70)(cid:301)(cid:302)(cid:96)(cid:173)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:129)(cid:234)(cid:97).
x2 y2
6(cid:187)（2023·天津·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45) + =1(a>b>0)(cid:24)(cid:306)(cid:307)(cid:192)(cid:4)(cid:5)(cid:232)(cid:161)A,A (cid:57)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:161)F (cid:57)(cid:188)(cid:177)
a2 b2 1 2
AF =3, A F =1(cid:187)
1 2
(1)(cid:62)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:230)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:195)
(2)(cid:4)P(cid:101)(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:10)(cid:308)(cid:196)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:192)(cid:4)(cid:11)(cid:57)(cid:51)(cid:48)A P(cid:64)y(cid:249)(cid:196)(cid:4)Q(cid:57)(cid:199)(cid:19)(cid:20)(cid:21)APQ(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:193)(cid:19)(cid:20)(cid:21)A PF(cid:25)(cid:26)
2 1 2
(cid:24)(cid:34)(cid:309)(cid:57)(cid:62)(cid:51)(cid:48)A P(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:187)
2
x2 y2 1
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1(cid:57)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161)e= .
4 3 2
6
(2)y=± x-2.
2
ìa+c=3
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)í (cid:142)(cid:114)a=2,c=1(cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:62)(cid:63)b= 3(cid:57)(cid:83)(cid:256)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:66)(cid:83)(cid:256)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:69)
îa-c=1
(cid:70)(cid:206)(cid:62)(cid:138)(cid:194)(cid:140).
(cid:10)2(cid:11)(cid:261)(cid:110)(cid:51)(cid:48)A P(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:57)(cid:112)(cid:113)y(cid:57)(cid:66)(cid:216)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:207)(cid:114)x ×x (cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:114)(cid:115)P(cid:4)(cid:230)Q(cid:4)(cid:65)
2 A2 P(cid:37).(cid:216)S =S +S =2S +S (cid:114)2 y =3 y (cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:115)(cid:55)(cid:196)k(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:142)(cid:63)k(cid:57)(cid:83)(cid:256)(cid:51)(cid:48)A P
(cid:200)A2QA1 (cid:200)A1PQ (cid:200)A1A2P (cid:200)A2PF (cid:200)A1A2P Q P 2
(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:115)(cid:202)(cid:203).
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:71)(cid:88)(cid:57)
ìa+c=3
(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:114)í (cid:57)(cid:142)(cid:114)a=2,c=1(cid:57)(cid:211)(cid:237)b= 22-12 = 3(cid:57)
îa-c=1
x2 y2 c 1
(cid:211)(cid:237)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1(cid:57)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161)e= = .
4 3 a 2
x2 y2
(cid:10)2(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:114)(cid:57)(cid:51)(cid:48)A P(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:216)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1(cid:207)(cid:114)A 2,0(cid:57)
2 2
4 3
(cid:110)(cid:51)(cid:48)A P(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=kx-2(cid:57)
2
ìx2 y2
(cid:60)(cid:61)(cid:49)(cid:50)(cid:259) ï í 4 + 3 =1 (cid:57)(cid:112)(cid:113)y(cid:224)(cid:92)(cid:114)(cid:190)  3+4k2 x2-16k2x+16k2-12=0(cid:57)
ïy=kx-2
î
16k2-12 8k2-6
(cid:216)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:114)x ×x = (cid:57)(cid:211)(cid:237)x = (cid:57)
A2 P 3+4k2 P 3+4k2
æ8k2-6 -12k ö
(cid:211)(cid:237)Pç , ÷(cid:57)Q0,-2k .
è3+4k2 3+4k2
ø
1 1 1
(cid:211)(cid:237)S = ´4´ y ,S = ´1´ y ,S = ´4´ y (cid:57)
(cid:200)A2QA1 2 Q VA2PF 2 P VA1A2P 2 P
(cid:211)(cid:237)S =S +S =2S +S (cid:57)
(cid:200)A2QA1 (cid:200)A1PQ (cid:200)A1A2P (cid:200)A2PF (cid:200)A1A2P
12k
(cid:211)(cid:237)2 y =3 y (cid:57)(cid:206)2 -2k =3- (cid:57)
Q P 3+4k2
6 6
(cid:142)(cid:114)k =± (cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)A P(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=± x-2.
2
2 2x2 y2 BF 3
7(cid:187)（2022·天津·高考真题）(cid:189)(cid:45) + =1a>b>0(cid:24)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:161)F(cid:57)(cid:307)(cid:192)(cid:4)A(cid:230)(cid:38)(cid:192)(cid:4)(cid:161)B(cid:280)(cid:281) = (cid:187)
a2 b2 AB 2
(1)(cid:62)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)e(cid:195)
(2)(cid:51)(cid:48)l(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:209)(cid:310)(cid:30)(cid:69)(cid:311)(cid:4)M(cid:57)(cid:52)y(cid:249)(cid:155)(cid:64)(cid:196)(cid:4)N(cid:10)N(cid:308)(cid:196)M(cid:11)(cid:187)(cid:312)O(cid:161)(cid:231)(cid:4)(cid:57)(cid:199)OM = ON (cid:57)(cid:254)VMON
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:161) 3(cid:57)(cid:62)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:187)
6
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)e=
3
x2 y2
(2) + =1
6 2
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:188)(cid:177)(cid:159)(cid:160)(cid:207)(cid:114)(cid:63)(cid:55)(cid:196)a(cid:18)b(cid:24)(cid:74)(cid:108)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:216)(cid:276)(cid:207)(cid:62)(cid:114)(cid:277)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:24)(cid:97)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:216)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:177)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x2+3y2 =a2(cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=kx+m(cid:57)(cid:158)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:60)
(cid:61)(cid:57)(cid:216)D=0(cid:207)(cid:114)(cid:63)3m2 =a2 1+3k2 (cid:57)(cid:62)(cid:63)(cid:4)M (cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:70)(cid:237)(cid:132)(cid:188)(cid:177)(cid:159)(cid:160)(cid:207)(cid:62)(cid:114)a2(cid:24)
(cid:97)(cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:63)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50).
BF b2+c2 a 3
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)(cid:190) = = = Þ4a2 =3  b2+a2 Þa2 =3b2(cid:57)
AB b2+a2 b2+a2 2
c a2-b2 6
(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161)e= = = .
a a2 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:142)(cid:190)(cid:216)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:177)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x2+3y2 =a2(cid:57)
(cid:243)(cid:177)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=kx+m(cid:57)
ìy=kx+m
(cid:60)(cid:61)í (cid:114)  1+3k2 x2+6kmx+  3m2-a2 =0(cid:57)
îx2+3y2 =a2
(cid:216)D=36k2m2-4  1+3k2 3m2-a2 =0Þ3m2 =a2 1+3k2 (cid:57)
3km m ①
x =- (cid:57)y =kx +m= (cid:57)
M 3k2+1 M M 1+3k2
m2 9k2+1 
(cid:216)OM = ON (cid:207)(cid:114)m2 = (cid:57)
 3k2+1 2
②
1 3km
(cid:216)S = 3(cid:207)(cid:114) m× = 3(cid:57)
VOMN 2 1+3k2
1 ③ x2 y2
(cid:60)(cid:61) (cid:207)(cid:114)k2 = (cid:57)m2 =4(cid:57)a2 =6(cid:57)(cid:219)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:37)(cid:313)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1(cid:187)
3 6 2
①②③x2 y2
8(cid:187)（2022·北京·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)E: + =1(a>b>0)(cid:24)(cid:30)(cid:191)(cid:192)(cid:4)(cid:161)A(0,1)(cid:57)(cid:228)(cid:137)(cid:161)2 3(cid:187)
a2 b2
(1)(cid:62)(cid:189)(cid:45)E(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:59)(cid:4)P(-2,1)(cid:314)(cid:139)(cid:140)(cid:161)k(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)E(cid:64)(cid:196)(cid:107)(cid:248)(cid:24)(cid:197)(cid:4)B(cid:57)C(cid:57)(cid:51)(cid:48)AB(cid:57)AC(cid:5)(cid:232)(cid:52)x(cid:249)(cid:64)(cid:196)(cid:4)M(cid:57)N(cid:57)
(cid:244)|MN|=2(cid:245)(cid:57)(cid:62)k(cid:24)(cid:97)(cid:187)
x2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) +y2 =1
4
(2)k =-4
ìb=1
ï
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:315)(cid:13)(cid:217)(cid:207)(cid:114)í2c=2 3 (cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63)a(cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:62)(cid:63)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
ï c2 =a2-b2
î
(cid:10)2(cid:11)(cid:260)(cid:261)(cid:162)(cid:214)(cid:63)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:110)Bx,y (cid:18)Cx ,y (cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:112)(cid:295)(cid:316)(cid:63)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:57)(cid:216)(cid:51)(cid:48)
1 1 2 2
AB(cid:18)AC(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:162)(cid:214)(cid:63)x (cid:18)x (cid:57)(cid:235)(cid:236) MN = x -x (cid:114)(cid:115)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:142)(cid:114)(cid:206)(cid:207)(cid:195)
M N N M
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)(cid:190)(cid:315)(cid:13)(cid:217)(cid:207)(cid:114)b=1(cid:57)2c=2 3(cid:57)(cid:225)c2 =a2-b2(cid:57)
x2
(cid:211)(cid:237)a=2(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:161) +y2 =1(cid:195)
4
(cid:10)2(cid:11)(cid:199)(cid:51)(cid:48)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:57)x=-2(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:317)(cid:209)(cid:30)(cid:191)(cid:64)(cid:4)(cid:57)(cid:107)(cid:90)(cid:13)(cid:217)(cid:195)
(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:110)(cid:59)(cid:4)P-2,1(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:161)y-1=kx+2(cid:57)
(cid:110)Bx,y (cid:18)Cx ,y (cid:57)(cid:107)(cid:246)(cid:279)-2£x <x £2(cid:57)
1 1 2 2 1 2
ìy-1=kx+2
(cid:216) ï íx2 (cid:57)(cid:112)(cid:113)y(cid:224)(cid:92)(cid:114)  1+4k2 x2+  16k2+8k  x+16k2+16k =0(cid:57)
ï +y2 =1
î 4
(cid:211)(cid:237)Δ=  16k2+8k 2 -4  1+4k2 16k2+16k  >0(cid:57)(cid:142)(cid:114)k <0(cid:57)
16k2+8k 16k2+16k
(cid:211)(cid:237)x +x =- (cid:57)x ×x = (cid:57)
1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
y -1 x
(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y-1= 1 x(cid:57)(cid:279)y=0(cid:57)(cid:142)(cid:114)x = 1 (cid:57)
x M 1-y
1 1
y -1 x
(cid:51)(cid:48)AC(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y-1= 2 x(cid:57)(cid:279)y=0(cid:57)(cid:142)(cid:114)x = 2 (cid:57)
x N 1-y
2 2
x x
(cid:211)(cid:237) MN = x -x = 2 - 1
N M 1-y 1-y
2 1x x
= 2 - 1
1-ékx +2+1ù 1-ékx +2+1ù
ë 2 û ë 1 û
x x
= 2 + 1
-kx +2 kx +2
2 1
x +2x -x x +2
= 2 1 2 1
kx +2x +2
2 1
2 x -x
= 1 2 =2(cid:57)
k x +2x +2
2 1
(cid:211)(cid:237) x -x = k x +2x +2(cid:57)
1 2 2 1
(cid:206) x +x 2 -4xx = k éx x +2x +x +4ù
1 2 1 2 ë 2 1 2 1 û
æ 16k2+8kö 2 16k2+16k é16k2+16k æ 16k2+8kö ù
(cid:206) ç- ÷ -4´ = k ê +2ç- ÷+4ú
è
1+4k2
ø
1+4k2
ë
1+4k2
è
1+4k2
ø û
(cid:206) 8  2k2+k 2 -  1+4k2 k2+k  = k é16k2+16k-2  16k2+8k  +4  1+4k2ù
1+4k2 1+4k2 ë û
(cid:224)(cid:92)(cid:114)8 -k =4 k (cid:57)(cid:142)(cid:114)k =-4
x2 y2
9(cid:187)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:4)A(2,1)(cid:101)(cid:318)(cid:47)(cid:48)C: - =1(a>1)(cid:38)(cid:57)(cid:51)(cid:48)l(cid:64)C(cid:196)P(cid:57)Q
a2 a2-1
(cid:197)(cid:4)(cid:57)(cid:51)(cid:48)AP,AQ(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:229)(cid:230)(cid:161)0(cid:187)
(1)(cid:62)l(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:195)
(2)(cid:199)tanÐPAQ=2 2(cid:57)(cid:62)△PAQ(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:187)
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)-1(cid:195)
16 2
(2) (cid:187)
9
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:4)A(2,1)(cid:101)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:207)(cid:62)(cid:63)a(cid:57)(cid:243)(cid:177)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:110)l:y=kx+m(cid:57)
Px,y ,Qx ,y (cid:57)(cid:66)(cid:235)(cid:236)k +k =0(cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:142)(cid:63)l(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:195)
1 1 2 2 AP AQ
(cid:10)2(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:51)(cid:48)AP,AQ(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:229)(cid:230)(cid:161)0(cid:207)(cid:177)(cid:51)(cid:48)AP,AQ(cid:24)(cid:240)(cid:139)(cid:20)(cid:296)(cid:319)(cid:57)(cid:235)(cid:236)tanÐPAQ=2 2(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63)(cid:51)(cid:48)
AP,AQ(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:57)(cid:66)(cid:5)(cid:232)(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)AP,AQ(cid:52)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:4)P,Q(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:115)(cid:51)(cid:48)PQ(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:237)(cid:132)PQ
(cid:24)(cid:17)(cid:57)(cid:216)(cid:4)(cid:115)(cid:51)(cid:48)(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:63)(cid:4)A(cid:115)(cid:51)(cid:48)PQ(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:63)△PAQ(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:187)x2 y2 4 1
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:253)(cid:161)(cid:4)A(2,1)(cid:101)(cid:318)(cid:47)(cid:48)C: - =1(a>1)(cid:38)(cid:57)(cid:211)(cid:237) - =1(cid:57)(cid:142)(cid:114)a2 =2(cid:57)(cid:206)(cid:318)(cid:47)
a2 a2-1 a2 a2-1
x2
(cid:48)C: -y2 =1(cid:187)
2
(cid:243)(cid:177)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:110)l:y=kx+m(cid:57)Px,y ,Qx ,y (cid:57)
1 1 2 2
ìy=kx+m
(cid:60)(cid:61) ï íx2 (cid:207)(cid:114)(cid:57)  1-2k2 x2-4mkx-2m2-2=0(cid:57)
ï -y2 =1
î 2
(cid:211)(cid:237)(cid:57)x +x =- 4mk ,xx = 2m2+2 (cid:57)Δ=16m2k2-4  2m2+2  2k2-1  >0Þm2+1-2k2 >0(cid:254)k ¹± 2 (cid:187)
1 2 2k2-1 1 2 2k2-1 2
y -1 y -1
(cid:211)(cid:237)(cid:216)k +k =0(cid:207)(cid:114)(cid:57) 2 + 1 =0(cid:57)
AP AQ x -2 x -2
2 1
(cid:206)x -2kx +m-1+x -2kx +m-1=0(cid:57)
1 2 2 1
(cid:206)2kxx +m-1-2kx +x -4m-1=0(cid:57)
1 2 1 2
2m2+2 æ 4mk ö
(cid:211)(cid:237)2k´ +m-1-2k ç- ÷-4m-1=0(cid:57)
2k2-1 è 2k2-1ø
(cid:103)(cid:241)(cid:114)(cid:57)8k2+4k-4+4mk+1=0(cid:57)(cid:206)k+12k-1+m=0(cid:57)
(cid:211)(cid:237)k =-1(cid:116)m=1-2k(cid:57)
(cid:244)m=1-2k(cid:245)(cid:57)(cid:51)(cid:48)l:y=kx+m=kx-2+1(cid:59)(cid:4)A2,1(cid:57)(cid:52)(cid:13)(cid:217)(cid:107)(cid:227)(cid:57)(cid:320)(cid:113)(cid:57)
(cid:219)k =-1(cid:187)
(cid:10)2(cid:11)(cid:321)(cid:49)(cid:73)(cid:30)(cid:322)(cid:190)(cid:201)(cid:129)(cid:323)(cid:142)(cid:204)(cid:109)(cid:14)(cid:152)(cid:103)
æ π ö
(cid:107)(cid:246)(cid:110)(cid:51)(cid:48)PA,AQ(cid:24)(cid:240)(cid:139)(cid:20)(cid:161)a,bç
è
a<
2
<b÷
ø
(cid:57)(cid:253)(cid:161)k
AP
+k
AQ
=0(cid:57)(cid:211)(cid:237)a+b=π(cid:57)(cid:216)(cid:10)1(cid:11)(cid:177)(cid:57)
xx =2m2+2>0(cid:57)
1 2
(cid:244)P,Q(cid:282)(cid:101)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:306)(cid:304)(cid:245)(cid:57)ÐPAQ=2a(cid:57)(cid:211)(cid:237)tan2a=2 2(cid:57)
2
(cid:206) 2tan2a+tana- 2 =0(cid:57)(cid:142)(cid:114)tana= (cid:10)(cid:324)(cid:97)(cid:320)(cid:113)(cid:11)
2
(cid:276)(cid:245)PA(cid:52)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:156)(cid:76)(cid:57)(cid:52)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:306)(cid:304)(cid:226)(cid:64)(cid:4)(cid:57)(cid:320)(cid:113)(cid:195)
(cid:244)P,Q(cid:282)(cid:101)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:307)(cid:304)(cid:245)(cid:57)
(cid:253)(cid:161)tanÐPAQ=2 2(cid:57)(cid:211)(cid:237)tanb-a=2 2(cid:57)(cid:206)tan2a=-2 2(cid:57)
(cid:206) 2tan2a-tana- 2=0(cid:57)(cid:142)(cid:114)tana= 2(cid:10)(cid:324)(cid:97)(cid:320)(cid:113)(cid:11)(cid:57)
(cid:196)(cid:193)(cid:57)(cid:51)(cid:48)PA:y= 2x-2+1(cid:57)(cid:51)(cid:48)QA:y=- 2x-2+1(cid:57)ìy= 2x-2+1
ï 3  
(cid:60)(cid:61)íx2 (cid:207)(cid:114)(cid:57) x2+2 2-4 x+10-4 2 =0(cid:57)
ï -y2 =1 2
î 2
10-4 2 4 2-5
(cid:253)(cid:161)(cid:49)(cid:50)(cid:209)(cid:30)(cid:191)(cid:235)(cid:161)2(cid:57)(cid:211)(cid:237)x = (cid:57)y = (cid:57)
P 3 P 3
10+4 2 -4 2-5
(cid:248)(cid:92)(cid:207)(cid:114)(cid:57)x = (cid:57)y = (cid:187)
Q 3 Q 3
5
5 16 2+1-
(cid:211)(cid:237)PQ:x+y- =0(cid:57) PQ = (cid:57)(cid:4)A(cid:115)(cid:51)(cid:48)PQ(cid:24)(cid:137)(cid:138) 3 2 2 (cid:57)
3 3 d = =
2 3
1 16 2 2 16 2
(cid:219)△PAQ(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:161) ´ ´ = (cid:187)
2 3 3 9
(cid:321)(cid:49)(cid:73)(cid:34)(cid:322)(cid:190)
æ πö ÐPAQ 2
(cid:110)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:240)(cid:139)(cid:20)(cid:161)a(cid:57)ç0<a< ÷(cid:57)(cid:216)tanÐPAQ=2 2(cid:57)(cid:114)tan = (cid:57)
è 2ø 2 2
y -1
(cid:216)2a+ÐPAQ=p(cid:57)(cid:114)k =tana= 2(cid:57)(cid:206) 1 = 2(cid:57)
AP x -2
1
y -1 x2 10-4 2 4 2-5
(cid:60)(cid:61) 1 = 2(cid:57)(cid:132) 1 -y2 =1(cid:114)x = (cid:57)y = (cid:57)
x -2 2 1 1 3 1 3
1
10+4 2 -4 2-5 20 68
(cid:248)(cid:92)(cid:57)x = (cid:57)y = (cid:57)(cid:219)x +x = (cid:57)xx =
2 3 2 3 1 2 3 1 2 9
(cid:252)|AP|= 3|x -2|(cid:57)|AQ|= 3|x -2|(cid:57)
1 2
2 2
(cid:216)tanÐPAQ=2 2(cid:57)(cid:114)sinÐPAQ= (cid:57)
3
1 16 2
(cid:219)S = |AP||AQ|sinÐPAQ= 2|xx -2(x +x )+4|= .
VPAQ 2 1 2 1 2 9
(cid:201)(cid:224)(cid:117)(cid:4)(cid:327)(cid:204)(cid:10)2(cid:11)(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:216)(cid:328)(cid:30)(cid:27)(cid:89)(cid:329)(cid:67)(cid:68)(cid:240)(cid:139)(cid:20)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:207)(cid:62)(cid:63)(cid:51)(cid:48)PA,PB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:4)P,Q
(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:75)(cid:252)(cid:62)(cid:63)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:25)(cid:26)(cid:57)(cid:124)(cid:330)(cid:331)(cid:332)(cid:51)(cid:180)(cid:57)(cid:193)(cid:277)(cid:13)(cid:24)(cid:58)(cid:169)(cid:58)(cid:73)(cid:57)(cid:333)(cid:193)(cid:129)(cid:323)(cid:142)(cid:195)
(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:334)(cid:25)(cid:142)(cid:202)(cid:52)(cid:73)(cid:30)(cid:62)(cid:142)(cid:4)P,Q(cid:65)(cid:37)(cid:59)(cid:50)(cid:21)(cid:70)(cid:209)(cid:211)(cid:335)(cid:232)(cid:57)(cid:129)(cid:336)(cid:147)(cid:24)(cid:30)(cid:337)(cid:57)(cid:338)(cid:100)(cid:335)(cid:232)(cid:101)(cid:196)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:70)
(cid:24)(cid:339)(cid:340)(cid:107)(cid:30)(cid:337)(cid:187)
考点 02 定点、定值、定直线问题
x2 y2
1
1(cid:187)（2026·天津·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)C: + =1(cid:10)a>b>0(cid:11)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) (cid:57)(cid:189)(cid:45)(cid:341)(cid:51)(cid:48)x=b(cid:141)(cid:114)(cid:24)(cid:48)
a2 b2 2
(cid:154)(cid:17)(cid:161) 3(cid:187)
(1)(cid:62)C(cid:24)(cid:37)(cid:313)(cid:49)(cid:50)(cid:195)(2)(cid:139)(cid:140)(cid:161)- 3(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:45)x2+y2 =b2(cid:155)(cid:242)(cid:57)(cid:254)(cid:277)(cid:51)(cid:48)(cid:64)(cid:189)(cid:45)(cid:196)P(x,y )(cid:57)Q(x ,y )(cid:10)y < y (cid:11)(cid:57)A(cid:193)(cid:189)(cid:45)(cid:24)
1 1 2 2 1 2
k
(cid:38)(cid:192)(cid:4)(cid:187)(cid:312)(cid:51)(cid:48)AP(cid:57)AQ(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:5)(cid:232)(cid:161)k (cid:57)k (cid:57)(cid:62) 1 (cid:187)
1 2 k
2
x2 y2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) + =1
4 3
(2)3
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:207)(cid:177)a=2c(cid:57)b2 =3c2(cid:57)(cid:289)(cid:250)(cid:158)x=b(cid:83)(cid:256)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:142)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:45)(cid:155)(cid:242)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63)m=±2 3(cid:57)(cid:5)(cid:6)(cid:342)(cid:329)(cid:206)(cid:207).
1 c 1
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:196)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) (cid:57)(cid:211)(cid:237)e= = (cid:57)(cid:206)a=2c(cid:57)
2 a 2
(cid:216)(cid:196)a2 =b2+c2(cid:57)(cid:211)(cid:237)b2 =3c2(cid:57)
b2 y2 3c2 y2 3 3
(cid:158)x=b(cid:83)(cid:256)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:114) + =1(cid:57)(cid:206) + =1(cid:57)(cid:142)(cid:114)y2 = c2(cid:57)(cid:206)y=± c(cid:57)
a2 b2 4c2 3c2 4 2
3
(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:57)(cid:211)(cid:141)(cid:114)(cid:24)(cid:48)(cid:154)(cid:17)(cid:161) 3(cid:57)(cid:211)(cid:237)2´ c= 3(cid:57)(cid:142)(cid:114)c=1(cid:57)(cid:120)(cid:252)a2 =4,b2 =3(cid:57)
2
x2 y2
(cid:211)(cid:237)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1.
4 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:216)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:177)(cid:57)b2 =3(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x2+y2 =3(cid:57)
(cid:110)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=- 3x+m(cid:57)(cid:253)(cid:161)(cid:51)(cid:48)l(cid:52)(cid:45)(cid:155)(cid:242)(cid:57)(cid:71)(cid:88)(cid:211)(cid:214)(cid:57)
m m
d = = = 3
(cid:218)(cid:45)(cid:194)(cid:115)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:137)(cid:138)  2 2 (cid:57)(cid:142)(cid:114)m=±2 3(cid:57)
- 3 +12
 
(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:192)(cid:4)A 0, 3 (cid:57)(cid:5)(cid:197)(cid:343)(cid:9)(cid:264)(cid:342)(cid:329)(cid:190)
x2 y2
(cid:244)m=2 3(cid:245)(cid:57)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=- 3x+2 3(cid:57)(cid:83)(cid:256)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50) + =1(cid:57)
4 3
① 6
(cid:103)(cid:241)(cid:114)5x2-16x+12=0(cid:57)(cid:142)(cid:114)x=2(cid:116)x= (cid:57)
5
6 4 3 æ6 4 3ö
(cid:218)(cid:244)x=2(cid:245)(cid:57)y=0(cid:57)(cid:244)x= (cid:245)(cid:57)y= (cid:57)(cid:216)(cid:196)y < y (cid:57)(cid:211)(cid:237)P2,0,Qç , ÷(cid:57)
5 5 1 2 ç è 5 5 ÷ ø4 3 3
- 3 -
(cid:218)k = 0- 3 =- 3 (cid:57)k = 5 =- 3 (cid:57)(cid:276)(cid:245) k 1 = 2 =3(cid:195)
1 2-0 2 2 6 6 k 3
-0 2 -
5 6
x2 y2
(cid:244)m=-2 3(cid:245)(cid:57)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=- 3x-2 3(cid:57)(cid:83)(cid:256)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50) + =1(cid:57)
4 3
② 6
(cid:103)(cid:241)(cid:114)5x2+16x+12=0(cid:57)(cid:142)(cid:114)x=-2(cid:116)x=- (cid:57)
5
6 4 3 æ 6 4 3ö
(cid:244)x=-2(cid:245)(cid:57)y=0(cid:57)(cid:244)x=- (cid:245)(cid:57)y=- (cid:57)(cid:216)(cid:196)y < y (cid:57)(cid:211)(cid:237)Pç- ,- ÷,Q-2,0(cid:57)
5 5 1 2 ç è 5 5 ÷ ø
4 3 3 3
- - 3
(cid:218)k = 5 = 3 3 (cid:57)k2= 0- 3 = 3 (cid:57)(cid:276)(cid:245) k 1 = 2 =3.
1 6 2 -2-0 2 k 3
- -0 2
5 2
k
(cid:170)(cid:38)(cid:211)(cid:344)(cid:57) 1 (cid:24)(cid:97)(cid:161)3.
k
2
x2
2(cid:187)（2025·上海·高考真题）(cid:101)(cid:156)(cid:25)(cid:51)(cid:20)(cid:65)(cid:37)(cid:56)(cid:104)(cid:57)(cid:188)(cid:177)(cid:47)(cid:48)G: +y2 =1(y³0)(cid:57)(cid:4)P(cid:18)Q(cid:5)(cid:232)(cid:161)G(cid:38)(cid:107)(cid:248)
4
(cid:24)(cid:197)(cid:4)(cid:57)T(t,0)(cid:187)
(1)(cid:62)G(cid:211)(cid:101)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:195)
5
(2)(cid:199)T(1,0),Q(cid:101)y(cid:249)(cid:38)(cid:57)(cid:199)T(cid:115)(cid:51)(cid:48)PQ(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:161) (cid:57)(cid:62)P(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:195)
5
(3)(cid:193)(cid:345)(cid:263)(cid:101)t(cid:57)(cid:346)(cid:114)VTPQ(cid:193)(cid:237)T(cid:161)(cid:51)(cid:20)(cid:192)(cid:4)(cid:24)(cid:74)(cid:347)(cid:51)(cid:20)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:348)(cid:199)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:62)t(cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:195)(cid:199)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:349)
(cid:350)(cid:134)(cid:92)(cid:216)(cid:187)
3
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) (cid:195)
2
(2)P(2,0)(cid:195)
é 6 6ù
(3)(cid:263)(cid:101)(cid:57)tÎ - , .
ê ú
ë 5 5û
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:180)(cid:62)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:195)
5 x2
(cid:10)2(cid:11)(cid:27)(cid:13)(cid:103)(cid:161)(cid:237)T(1,0)(cid:161)(cid:45)(cid:194)(cid:57) (cid:161)(cid:351)(cid:352)(cid:24)(cid:45)(cid:52)(cid:59)Q(0,1)(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:155)(cid:242)(cid:57)(cid:254)(cid:242)(cid:48)(cid:52)G: +y2 =1(y³0)(cid:209)(cid:64)
5 4
(cid:4)(cid:57)(cid:110)(cid:242)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:52)(cid:45)(cid:155)(cid:242)(cid:55)(cid:56)(cid:62)(cid:111)(cid:84)(cid:57)(cid:75)(cid:252)(cid:353)(cid:96)P(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:195)
(cid:10)3(cid:11)(cid:110)PQ:y=kx+m(cid:57)P(x,y ),Q(x ,y )(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:18)(cid:284)(cid:232)(cid:70)(cid:114)
1 1 2 24km m 1
4k2+1>m>2|k|³0(cid:57)(cid:126)(cid:217)(cid:342)(cid:329)k =0(cid:18)k ¹0(cid:57)(cid:353)(cid:96)PQ(cid:104)(cid:4)(cid:161)A(- , )(cid:57)(cid:66)(cid:89)(cid:90)k =- (cid:18)
1+4k2 1+4k2 TA k
uur uuur
TP×TQ=0(cid:62)(cid:111)(cid:84)(cid:130)(cid:131).
x2 3
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)G: +y2 =1(y³0)(cid:57)(cid:218)a=2,c= 3(cid:57)(cid:206)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) (cid:195)
4 2
5
(cid:10)2(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:110)(cid:57)(cid:27)(cid:13)(cid:103)(cid:161)(cid:237)T(1,0)(cid:161)(cid:45)(cid:194)(cid:57) (cid:161)(cid:351)(cid:352)(cid:24)(cid:45)(cid:52)(cid:59)Q(0,1)(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:155)(cid:242)(cid:57)
5
x2
(cid:254)(cid:242)(cid:48)(cid:52)G: +y2 =1(y³0)(cid:209)(cid:64)(cid:4)(cid:57)(cid:288)(cid:289)(cid:242)(cid:48)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:279)(cid:242)(cid:48)(cid:161)y=nx+1(cid:57)
4
|n+1| 5 1
(cid:211)(cid:237) = (cid:57)(cid:207)(cid:114)2n2+5n+2=(2n+1)(n+2)=0(cid:57)(cid:218)n=- (cid:116)n=-2(cid:57)
1+n2 5 2
1 1
(cid:244)n=- (cid:57)(cid:218)(cid:242)(cid:48)(cid:161)y=- x+1(cid:57)(cid:60)(cid:61)x2+4y2 =4(cid:57)(cid:207)(cid:114)x2-2x=0(cid:57)
2 2
(cid:218)x=0(cid:116)x=2(cid:57)(cid:219)(cid:276)(cid:245)P(2,0)(cid:57)(cid:280)(cid:281)(cid:195)
(cid:244)n=-2(cid:57)(cid:218)(cid:242)(cid:48)(cid:161)y=-2x+1(cid:57)(cid:60)(cid:61)x2+4y2 =4(cid:57)(cid:207)(cid:114)17x2-16x=0(cid:57)
16 16 15
(cid:218)x=0(cid:116)x= (cid:57)(cid:219)(cid:276)(cid:245)P( ,- )(cid:57)(cid:107)(cid:280)(cid:281)(cid:195)
17 17 17
(cid:170)(cid:38)(cid:57)P(2,0).
(cid:10)3(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:110)(cid:57)(cid:51)(cid:48)PQ(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:207)(cid:110)PQ:y=kx+m(cid:57)P(x,y ),Q(x ,y )(cid:57)
1 1 2 2
(cid:60)(cid:61)x2+4y2 =4(cid:57)(cid:224)(cid:92)(cid:114)  1+4k2 x2+8kmx+4m2-4=0(cid:57)
(cid:175)(cid:104)D=64k2m2-16(m2-1)(1+4k2)=64k2-16m2+16>0(cid:57)(cid:206)4k2 >m2-1(cid:57)
8km 4(m2-1) 2m
(cid:211)(cid:237)x +x =- (cid:57)xx = (cid:57)(cid:218)y +y =k(x +x )+2m= >0(cid:57)
1 2 1+4k2 1 2 1+4k2 1 2 1 2 1+4k2
4k2m2-4k2 8k2m2 m2-4k2
y y =k2xx +kmx +x +m2 = - +m2 = ³0(cid:57)
1 2 1 2 1 2 1+4k2 1+4k2 1+4k2
(cid:211)(cid:237)m2 ³4k2(cid:254)m>0(cid:57)(cid:219) 4k2+1>m>2|k|³0(cid:57)
2 5
(cid:244)k =0(cid:245)(cid:57)(cid:218)y
1
= y
2
=m(cid:254)|x
1
|=|x
2
|=m(cid:57)(cid:218)m= Î(0,1)(cid:57)(cid:276)(cid:245)T(0,0)(cid:57)(cid:280)(cid:281)(cid:195)
5
4km m
(cid:244)k ¹0(cid:57)(cid:252)PQ(cid:24)(cid:104)(cid:4)(cid:161)A(- , )(cid:57)(cid:225)T(t,0)(cid:57)
1+4k2 1+4k2m
-0
1+4k2 1 3km
(cid:218)k = =- (cid:57)(cid:206)t =- (cid:57)
TA 4km k 1+4k2
- -t
1+4k2
uur uuur
(cid:254)TP×TQ=(x -t)(x -t)+y y =xx -t(x +x )+t2+y y =0(cid:57)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4(m2-1) 8kmt m2-4k2 5m2-4k2-4 8kmt
+ +t2+ = + +t2 =0(cid:57)
1+4k2 1+4k2 1+4k2 1+4k2 1+4k2
(cid:211)(cid:237)5m2-4k2-4+8kmt+(1+4k2)t2 =0(cid:57)(cid:218)5m2(1+k2)=4(4k4+5k2+1)(cid:57)
9k2m2 36
(cid:211)(cid:237)m2 = 4 (4k2+1)(cid:57)(cid:218) 4  4k2+1  ³4k2 Þ0<k2 £1(cid:57)(cid:219) t2 = (1+4k2)2 = 5
5 5 +20
k2
æ 36ù é 6 ö æ 6ù
(cid:211)(cid:237)t2Îç0,
ú
(cid:57)(cid:218)tÎ
ê
- ,0÷Èç0,
ú
.
è 25û ë 5 ø è 5û
é 6 6ù
(cid:170)(cid:38)(cid:57)tÎ - , .
ê ú
ë 5 5û
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:55)(cid:293)(cid:4)(cid:4)(cid:292)(cid:190)(cid:328)(cid:19)(cid:27)(cid:57)(cid:110)PQ:y=kx+m(cid:57)P(x,y ),Q(x ,y )(cid:57)(cid:235)(cid:236)(cid:188)(cid:177)(cid:114)(cid:115)
1 1 2 2
1 uur uuur
4k2+1>m>2|k|>0(cid:57)(cid:254)k =- (cid:18)TP×TQ=0(cid:24)(cid:354)(cid:68)(cid:161)(cid:55)(cid:293)
TA k
x2 y2
3(cid:187)（2024·上海·高考真题）(cid:101)(cid:156)(cid:25)(cid:51)(cid:20)(cid:65)(cid:37)(cid:56)xOy(cid:104)(cid:57)(cid:188)(cid:177)(cid:4)A(cid:161)(cid:189)(cid:45)G: + =1(cid:38)(cid:30)(cid:4)(cid:57)F (cid:18)F (cid:5)(cid:232)
1 2
6 2
(cid:161)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:306)(cid:18)(cid:307)(cid:228)(cid:4).
(1)(cid:199)(cid:4)A(cid:24)(cid:208)(cid:65)(cid:37)(cid:161)2(cid:57)(cid:62) AF (cid:24)(cid:17);
1
(2)(cid:110)G(cid:24)(cid:38)(cid:18)(cid:278)(cid:192)(cid:4)(cid:5)(cid:232)(cid:161)M (cid:18)M (cid:57)(cid:312)VAFF (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:161)S ,VAM M (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:161)S (cid:57)(cid:199)S ³S (cid:57)(cid:62)OA (cid:24)(cid:247)
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
(cid:97)(cid:130)(cid:131)
(3)(cid:199)(cid:4)A(cid:101)x(cid:249)(cid:38)(cid:49)(cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)AF (cid:52)G(cid:64)(cid:196)(cid:4)B(cid:57)(cid:52)y(cid:249)(cid:64)(cid:196)(cid:4)K(cid:57)KF (cid:355)(cid:17)(cid:48)(cid:52)G(cid:64)(cid:196)(cid:4)C(cid:57)(cid:193)(cid:345)(cid:263)(cid:101)x(cid:249)
2 1
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur
(cid:38)(cid:49)(cid:24)(cid:4)C(cid:57)(cid:346)(cid:114)FA+FB+FC =l

F A+F B+FC
lÎR(cid:223)(cid:61)?(cid:199)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:349)(cid:62)(cid:63)(cid:4)C(cid:24)(cid:65)(cid:37);(cid:199)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:57)
1 1 1 2 2 2
(cid:349)(cid:350)(cid:134)(cid:92)(cid:216).
5 6
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) (cid:195)
3
3 10
(2)( 2, ](cid:195)
59 5
(3)(cid:263)(cid:101)(cid:57)C(- , )
4 4
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:212)(cid:96)(cid:159)(cid:160)(cid:57)(cid:62)(cid:63)(cid:4)A(cid:24)(cid:356)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:197)(cid:4)(cid:213)(cid:137)(cid:138)(cid:69)(cid:70)(cid:77)(cid:78)(cid:206)(cid:114).
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)Ax,y,xy¹0(cid:57)(cid:62)(cid:63)S ,S (cid:57)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:212)(cid:96)(cid:55)(cid:56)(cid:62)(cid:63)y2(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:57)(cid:75)(cid:252)(cid:62)(cid:63)OA (cid:24)(cid:130)(cid:131).
1 2
(cid:10)3(cid:11)(cid:110)Ax,y ,y >0,Bx ,y (cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:274)(cid:108)(cid:65)(cid:37)(cid:85)(cid:78)(cid:132)(cid:311)(cid:48)(cid:274)(cid:108)(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:162)(cid:214)(cid:207)(cid:114)y +2y =0(cid:57)(cid:66)(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)
1 1 1 2 2 2 1
AB(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:62)(cid:142)(cid:206)(cid:114).
x2 y2 22 y2 2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)A2,y(cid:57)(cid:216)(cid:4)A(cid:161)(cid:189)(cid:45)G: + =1(cid:38)(cid:30)(cid:4)(cid:57)(cid:114) + =1(cid:57)(cid:206)y2 = (cid:57)(cid:225)F -2,0(cid:57)
6 2 6 2 3 1
5 6
(cid:211)(cid:237) AF = [2-(-2)]2+y-02 = .
1 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)Ax,y,xy¹0(cid:57)(cid:252)|FF |=4,|M M |=2 2(cid:57)
1 2 1 2
1 1
(cid:218)S = FF y =2 y(cid:57)S = M M x = 2 x (cid:57)(cid:216)S ³S (cid:57)(cid:114)2 y ³ 2 x (cid:57)
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
x2 y2 6
(cid:206)2y2 ³x2(cid:57)(cid:225) + =1(cid:57)(cid:218)2y2 ³6-3y2(cid:57)(cid:142)(cid:114) £ y2 <2(cid:57)
6 2 5
æ 3 10ù
OA = x2+y2 =  6-3y2 +y2 = 6-2y2 Îç 2, ú(cid:57)
ç 5
è û
æ 3 10ù
(cid:211)(cid:237)OA (cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:193)ç 2, ú.
ç 5
è û
(cid:10)3(cid:11)(cid:110)Ax,y ,y >0,Bx ,y (cid:57)(cid:216)(cid:88)(cid:128)(cid:82)(cid:198)(cid:169)(cid:57)(cid:114)A(cid:18)C(cid:55)(cid:196)y(cid:249)(cid:82)(cid:198)(cid:57)(cid:218)C-x,y (cid:57)
1 1 1 2 2 1 1
uuur uuur uuur
(cid:225)F -2,0(cid:57)F 2,0(cid:57)(cid:196)(cid:193)FA=x +2,y (cid:57)FB=x +2,y (cid:57)FC =-x +2,y (cid:57)
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur
(cid:218)FA+FB+FC =x +6,y +2y (cid:57)(cid:248)(cid:92)F A+F B+FC =x -6,y +2y (cid:57)
1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur
(cid:216)FA+FB+FC =l(F A+F B+FC)(cid:57)(cid:114)(FA+FB+FC)//(F A+F B+FC)(cid:57)
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
(cid:253)(cid:276)x +6y +2y =x -6y +2y (cid:57)(cid:206)12(y +2y )=0(cid:57)(cid:218)y +2y =0(cid:57)
2 2 1 2 2 1 2 1 2 1
ìx=my+2
(cid:110)(cid:51)(cid:48)AF :x=my+2(cid:57)(cid:216)í (cid:112)(cid:113)x(cid:114)  m2+3  y2+4my-2=0(cid:57)
2 îx2+3y2 =6
ì -2 ì -2
y y = -2y2 =
ï ï 1 2 m2+3 ï ï 1 m2+3 5 5
(cid:218)í (cid:57)(cid:206)í (cid:57)(cid:252)y >0(cid:57)(cid:142)(cid:114)m= (cid:57)y = (cid:57)
ïy +y =- 4m ï-y =- 4m 1 5 1 4
ïî 1 2 m2+3 ïî 1 m2+3
9 9 5
(cid:216)x =my +2(cid:57)(cid:114)x = (cid:57)(cid:211)(cid:237)C(- , ).
1 1 1 4 4 4
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:124)(cid:330)(cid:4)(cid:292)(cid:190)(cid:142)(cid:202)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:13)(cid:147)(cid:245)(cid:57)(cid:245)(cid:109)(cid:357)(cid:197)(cid:191)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:57)(cid:112)(cid:113)x((cid:116)y)(cid:146)(cid:61)(cid:30)(cid:295)(cid:34)(cid:148)(cid:49)
(cid:50)(cid:57)(cid:289)(cid:250)(cid:358)(cid:359)(cid:235)(cid:52)(cid:56)(cid:84)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:251)(cid:89)(cid:90)(cid:13)(cid:110)(cid:159)(cid:160)(cid:146)(cid:61)(cid:209)(cid:55)(cid:111)(cid:102)(cid:108)(cid:24)(cid:74)(cid:108)(cid:55)(cid:56)(cid:195)(cid:360)(cid:132)(cid:115)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:110)(cid:73)(cid:245)(cid:57)
(cid:361)(cid:362)(cid:3)(cid:265)(cid:28)(cid:25)(cid:57)(cid:107)(cid:100)(cid:363)(cid:364)(cid:51)(cid:48)(cid:139)(cid:140)(cid:161)0(cid:116)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:74)(cid:121)(cid:122)(cid:9)(cid:21)(cid:187)
x2 y2
4(cid:187)（2024·北京·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)E(cid:190) + =1a>b>0(cid:57)(cid:237)(cid:189)(cid:45)E(cid:24)(cid:228)(cid:4)(cid:230)(cid:365)(cid:249)(cid:366)(cid:4)(cid:161)(cid:192)(cid:4)(cid:24)(cid:22)(cid:23)
a2 b2
(cid:21)(cid:193)(cid:23)(cid:17)(cid:161)2(cid:24)(cid:367)(cid:49)(cid:21).(cid:59)(cid:4)0,t t> 2  (cid:254)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)E(cid:64)(cid:196)(cid:107)(cid:248)(cid:24)(cid:197)(cid:4)A,B(cid:57)(cid:59)(cid:4)A(cid:230)C0,1
(cid:24)(cid:51)(cid:48)AC(cid:52)(cid:189)(cid:45)E(cid:24)(cid:255)(cid:30)(cid:191)(cid:64)(cid:4)(cid:161)D(cid:187)
(1)(cid:62)(cid:189)(cid:45)E(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:132)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:195)
(2)(cid:199)(cid:51)(cid:48)BD(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161)0(cid:57)(cid:62)t(cid:24)(cid:97)(cid:187)
x2 y2 2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) + =1,e=
4 2 2
(2)t=2
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:114)b=c= 2(cid:57)(cid:75)(cid:30)(cid:368)(cid:114)a(cid:57)(cid:216)(cid:276)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:142)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)AB:y=kx+t,  k ¹0,t> 2  (cid:57)Ax,y ,Bx ,y (cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:216)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:209)
1 1 2 2x +x = -4kt ,xx = 2t2-4 (cid:57)(cid:252)AD:y= y 1 -y 2x-x +y (cid:57)(cid:279)x=0(cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:142).
1 2 1+2k2 1 2 2k2+1 x +x 1 1
1 2
2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:217)b=c= = 2(cid:57)(cid:120)(cid:252)a= b2+c2 =2(cid:57)
2
x2 y2 2
(cid:211)(cid:237)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1(cid:57)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161)e= (cid:195)
4 2 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:51)(cid:48)AB(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:161)0(cid:57)(cid:345)(cid:218)(cid:51)(cid:48)AB(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:226)(cid:64)(cid:4)(cid:57)(cid:369)(cid:370)(cid:57)
(cid:120)(cid:252)(cid:110)AB:y=kx+t,  k ¹0,t> 2  (cid:57)Ax,y ,Bx ,y (cid:57)
1 1 2 2
ìx2 y2
(cid:60)(cid:61) ï í 4 + 2 =1 (cid:57)(cid:103)(cid:241)(cid:251)(cid:224)(cid:92)(cid:114)  1+2k2 x2+4ktx+2t2-4=0(cid:57)
ï
îy=kx+t
(cid:216)(cid:13)(cid:217)Δ=16k2t2-8  2k2+1  t2-2  =8  4k2+2-t2 >0(cid:57)(cid:206)k,t(cid:354)(cid:280)(cid:281)4k2+2-t2 >0(cid:57)
-4kt 2t2-4
(cid:211)(cid:237)x +x = ,xx = (cid:57)
1 2 1+2k2 1 2 2k2+1
(cid:199)(cid:51)(cid:48)BD(cid:139)(cid:140)(cid:161)0(cid:57)(cid:216)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:82)(cid:198)(cid:169)(cid:207)(cid:110)D-x ,y (cid:57)
2 2
y -y
(cid:211)(cid:237)AD:y= 1 2x-x +y (cid:57)(cid:101)(cid:51)(cid:48)AD(cid:49)(cid:50)(cid:104)(cid:279)x=0(cid:57)
x +x 1 1
1 2
x y +x y x kx +t+x kx +t 2kxx +tx +x  4k  t2-2  2
(cid:114)y = 1 2 2 1 = 1 2 2 1 = 1 2 1 2 = +t = =1(cid:57)
C x +x x +x x +x -4kt t
1 2 1 2 1 2
(cid:211)(cid:237)t=2(cid:57)
ì4k2+2-t2 =4k2-2>0
2 2
(cid:276)(cid:245)k(cid:354)(cid:280)(cid:281)í (cid:57)(cid:206)k(cid:354)(cid:280)(cid:281)k <- (cid:116)k > (cid:57)
îk ¹0 2 2
2 2
(cid:170)(cid:38)(cid:211)(cid:344)(cid:57)t=2(cid:280)(cid:281)(cid:13)(cid:217)(cid:57)(cid:276)(cid:245)k <- (cid:116)k > .
2 2
x2 y2 æ 3ö
5(cid:187)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)C: + =1(a>b>0)(cid:24)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:161)F (cid:57)(cid:4)Mç1, ÷(cid:101)C(cid:38)(cid:57)(cid:254)
a2 b2 è 2ø
MF ^x(cid:249)(cid:187)
(1)(cid:62)C(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:59)(cid:4)P4,0(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:64)C(cid:196)A,B(cid:197)(cid:4)(cid:57)N (cid:161)(cid:48)(cid:154)FP(cid:24)(cid:104)(cid:4)(cid:57)(cid:51)(cid:48)NB(cid:64)(cid:51)(cid:48)MF(cid:196)(cid:4)Q(cid:57)(cid:133)(cid:134)(cid:190)AQ^ y(cid:249)(cid:187)
x2 y2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) + =1
4 3
(2)
(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:362)(cid:96)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:110)AB:y=k(x-4)(cid:57)Ax,y (cid:57)Bx ,y (cid:57)
1 1 2 2
ì3x2+4y2 =12
(cid:216)í (cid:207)(cid:114)  3+4k2 x2-32k2x+64k2-12=0(cid:57)
îy=k(x-4)
(cid:219)Δ=1024k4-4  3+4k2 64k2-12  >0(cid:57)(cid:219)- 1 <k < 1 (cid:57)
2 2
32k2 64k2-12
(cid:225)x +x = ,xx = (cid:57)
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
3
y æ 5ö - y
(cid:252)N æ ç è 5 2 ,0 ö ÷ ø (cid:57)(cid:219)(cid:51)(cid:48) BN:y= x - 2 5 ç è x- 2 ÷ ø (cid:57)(cid:219)y Q = 2 5 2 = 2 - x 3y - 2 5 (cid:57)
2 2 x - 2
2 2
3y y ´2x -5+3y
(cid:211)(cid:237)y -y = y + 2 = 1 2 2
1 Q 1 2x -5 2x -5
2 2
kx -4´2x -5+3kx -4
= 1 2 2
2x -5
2
64k2-12 32k2
=k
2x
1
x
2
-5x
1
+x
2
+8
=k
2´ 3+4k2 -5´ 3+4k2 +8
2x -5 2x -5
2 2
128k2-24-160k2+24+32k2
3+4k2 (cid:57)
=k =0
2x -5
2
(cid:219)y = y (cid:57)(cid:206)AQ^ y(cid:249).
1 Q
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)Fc,0(cid:57)(cid:235)(cid:236)M (cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:132)MF ^ x(cid:249)(cid:207)(cid:62)(cid:149)(cid:150)(cid:108)(cid:57)(cid:219)(cid:207)(cid:62)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50).
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)AB:y=k(x-4)(cid:57)Ax,y (cid:57)Bx ,y (cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:230)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:68)A,B(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:162)(cid:214)y -y (cid:57)(cid:89)
1 1 2 2 1 Q
(cid:90)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:103)(cid:241)(cid:334)(cid:174)(cid:207)(cid:114)y -y =0(cid:57)(cid:219)(cid:207)(cid:133)AQ^ y(cid:249).
1 Qb2 3 a2-1 3
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)Fc,0(cid:57)(cid:216)(cid:13)(cid:110)(cid:209)c=1(cid:254) = (cid:57)(cid:219) = (cid:57)(cid:219)a=2(cid:57)(cid:219)b= 3(cid:57)
a 2 a 2
x2 y2
(cid:219)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1.
4 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:364)
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:49)(cid:73)(cid:4)(cid:292)(cid:190)(cid:67)(cid:68)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:73)(cid:142)(cid:371)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:155)(cid:64)(cid:27)(cid:13)(cid:24)(cid:149)(cid:150)(cid:368)(cid:372)(cid:71)(cid:278)(cid:190)
(cid:10)1(cid:11)(cid:110)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:110)(cid:64)(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:161)x,y ,x ,y (cid:195)
1 1 2 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:114)(cid:115)(cid:55)(cid:196)x(cid:10)(cid:116)y(cid:11)(cid:24)(cid:30)(cid:295)(cid:34)(cid:148)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:126)(cid:217)D(cid:24)(cid:284)(cid:373)(cid:195)
(cid:10)3(cid:11)(cid:316)(cid:63)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:195)
(cid:10)4(cid:11)(cid:158)(cid:211)(cid:62)(cid:27)(cid:13)(cid:116)(cid:13)(cid:104)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:152)(cid:103)(cid:161)x +x (cid:18)xx (cid:10)(cid:116)y +y (cid:18)y y (cid:11)(cid:24)(cid:21)(cid:70)(cid:195)
1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:10)5(cid:11)(cid:83)(cid:256)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:62)(cid:142).
x2 y2 5
6(cid:187)（2023·北京·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)E: + =1(a>b>0)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) (cid:57)A(cid:18)C(cid:5)(cid:232)(cid:193)E(cid:24)(cid:38)(cid:18)(cid:278)(cid:192)(cid:4)(cid:57)
a2 b2 3
B(cid:57)D(cid:5)(cid:232)(cid:193)E(cid:24)(cid:306)(cid:18)(cid:307)(cid:192)(cid:4)(cid:57)|AC|=4(cid:187)
(1)(cid:62)E(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:110)P(cid:161)(cid:328)(cid:30)(cid:128)(cid:374)(cid:220)E(cid:38)(cid:24)(cid:375)(cid:4)(cid:57)(cid:51)(cid:48)PD(cid:52)(cid:51)(cid:48)BC(cid:64)(cid:196)(cid:4)M (cid:57)(cid:51)(cid:48)PA(cid:52)(cid:51)(cid:48)y = -2(cid:64)(cid:196)(cid:4)N (cid:187)(cid:62)(cid:133)(cid:190)
MN //CD(cid:187)
x2 y2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) + =1
9 4
(2)
x2 y2
(cid:253)(cid:161)(cid:189)(cid:45)E(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1(cid:57)(cid:211)(cid:237)A0,2,C0,-2,B-3,0,D3,0(cid:57)
9 4
m2 n2
(cid:253)(cid:161)P(cid:161)(cid:328)(cid:30)(cid:128)(cid:374)E(cid:38)(cid:24)(cid:375)(cid:4)(cid:57)(cid:110)Pm,n0<m<3,0<n<2(cid:57)(cid:218) + =1(cid:57)
9 4
0+2 2 2
(cid:243)(cid:114)k = =- (cid:57)(cid:218)(cid:51)(cid:48)BC(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=- x-2(cid:57)
BC -3-0 3 3
n-0 n n
k = = (cid:57)(cid:218)(cid:51)(cid:48)PD(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y= x-3(cid:57)
PD m-3 m-3 m-3ì 2 ì 33n-2m+6
ï ï y=- 3 x-2 ï ï x= 3n+2m-6 æ33n-2m+6 -12n ö
(cid:60)(cid:61)í (cid:57)(cid:142)(cid:114)í (cid:57)(cid:206)Mç , ÷(cid:57)
ïy= n x-3 ï y= -12n è 3n+2m-6 3n+2m-6 ø
ïî m-3 ïî 3n+2m-6
n-2 n-2 n-2
(cid:252)k = = (cid:57)(cid:218)(cid:51)(cid:48)PA(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y= x+2(cid:57)
PA m-0 m m
n-2 -4m æ-4m ö
(cid:279)y=-2(cid:57)(cid:218)-2= x+2(cid:57)(cid:142)(cid:114)x= (cid:57)(cid:206)Nç ,-2÷(cid:57)
m n-2 èn-2 ø
m2 n2 9n2
(cid:225) + =1(cid:57)(cid:218)m2 =9- (cid:57)8m2 =72-18n2(cid:57)
9 4 4
-12n
+2 -6n+4m-12n-2
3n+2m-6
(cid:211)(cid:237)k = =
MN 33n-2m+6 -4m 9n-6m+18n-2+4m3n+2m-6
-
3n+2m-6 n-2
-6n2+4mn-8m+24 -6n2+4mn-8m+24
= =
9n2+8m2+6mn-12m-36 9n2+72-18n2+6mn-12m-36
-6n2+4mn-8m+24 2  -3n2+2mn-4m+12  2
= = = (cid:57)
-9n2+6mn-12m+36 3  -3n2+2mn-4m+12  3
0+2 2
(cid:225)k = = (cid:57)(cid:206)k =k (cid:57)
CD 3-0 3 MN CD
(cid:288)(cid:289)(cid:57)MN(cid:52)CD(cid:107)(cid:79)(cid:90)(cid:57)(cid:211)(cid:237)MN //CD.
c 5
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:89)(cid:90)(cid:13)(cid:217)(cid:114)(cid:115) = (cid:57)2b=4(cid:57)(cid:66)(cid:89)(cid:90)a2-c2 =b2(cid:57)(cid:142)(cid:229)(cid:206)(cid:207)(cid:195)
a 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:315)(cid:13)(cid:217)(cid:62)(cid:114)(cid:51)(cid:48)BC(cid:18)PD(cid:52)PA(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:62)(cid:114)(cid:4)M,N(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:75)(cid:252)(cid:62)(cid:114)k (cid:57)(cid:66)(cid:235)(cid:236)(cid:13)(cid:217)(cid:62)(cid:114)
MN
k (cid:57)(cid:114)(cid:115)k =k (cid:57)(cid:216)(cid:276)(cid:114)(cid:142).
CD MN CD
c 5 5
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:315)(cid:13)(cid:217)(cid:57)(cid:114)e= = (cid:57)(cid:218)c= a(cid:57)
a 3 3
(cid:225)A,C(cid:5)(cid:232)(cid:161)(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:278)(cid:192)(cid:4)(cid:57) AC =4(cid:57)(cid:211)(cid:237)2b=4(cid:57)(cid:206)b=2(cid:57)
5 4
(cid:211)(cid:237)a2-c2 =b2 =4(cid:57)(cid:206)a2- a2 = a2 =4(cid:57)(cid:218)a2 =9(cid:57)
9 9
x2 y2
(cid:211)(cid:237)(cid:189)(cid:45)E(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1.
9 4
(cid:10)2(cid:11)(cid:364)
7(cid:187)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)C: y2 + x2 =1(a>b>0)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:193) 5 (cid:57)(cid:4)A-2,0(cid:101)C(cid:38)(cid:187)
a2 b2 3
(1)(cid:62)C(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:59)(cid:4)-2,3(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:64)C(cid:196)P,Q(cid:197)(cid:4)(cid:57)(cid:51)(cid:48)AP,AQ(cid:52)y(cid:249)(cid:24)(cid:64)(cid:4)(cid:5)(cid:232)(cid:161)M,N(cid:57)(cid:133)(cid:134)(cid:190)(cid:48)(cid:154)MN(cid:24)(cid:104)(cid:4)(cid:161)(cid:96)(cid:4)(cid:187)
y2 x2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) + =1
9 4
(2)(cid:133)(cid:134)(cid:71)(cid:278)(cid:190)
(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:207)(cid:177)(cid:190)(cid:51)(cid:48)PQ(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:110)PQ:y=kx+2+3,Px,y ,Qx ,y (cid:57)
1 1 2 2
ìy=kx+2+3
(cid:60)(cid:61)(cid:49)(cid:50) ï íy2 x2 (cid:57)(cid:112)(cid:113)y(cid:114)(cid:190)  4k2+9  x2+8k2k+3x+16  k2+3k  =0(cid:57)
ï + =1
î 9 4
(cid:218)Δ=64k22k+32 -64  4k2+9  k2+3k  =-1728k >0(cid:57)(cid:142)(cid:114)k <0(cid:57)
8k2k+3 16  k2+3k 
(cid:207)(cid:114)x +x =- ,xx = (cid:57)
1 2 4k2+9 1 2 4k2+9
y
(cid:253)(cid:161)A-2,0(cid:57)(cid:218)(cid:51)(cid:48)AP:y= 1 x+2 (cid:57)
x +2
1
2y æ 2y ö
(cid:279)x=0(cid:57)(cid:142)(cid:114)y= 1 (cid:57)(cid:206)Mç0, 1 ÷,
x +2 è x +2ø
1 1
æ 2y ö
(cid:248)(cid:92)(cid:207)(cid:114)Nç0, 2 ÷(cid:57)
è x +2ø
2
2y 2y
1 + 2
(cid:218) x 1 +2 x 2 +2 = é ë kx 1 +2+3ù û + é ë kx 2 +2+3ù û
2 x +2 x +2
1 2
ékx +2k+3ùx +2+ékx +2k+3ùx +2 2kxx +4k+3x +x +42k+3
= ë 1 û 2 ë 2 û 1 = 1 2 1 2
x +2x +2 xx +2x +x +4
1 2 1 2 1 2
32k  k2+3k  8k4k+32k+3
- +42k+3
4k2+9 4k2+9 108
= = =3(cid:57)
16  k2+3k  16k2k+3 36
- +4
4k2+9 4k2+9
(cid:211)(cid:237)(cid:48)(cid:154)MN(cid:24)(cid:104)(cid:4)(cid:193)(cid:96)(cid:4)0,3
.(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:13)(cid:217)(cid:316)(cid:70)(cid:62)(cid:142)a,b,c(cid:57)(cid:75)(cid:252)(cid:207)(cid:114)(cid:89)(cid:376)(cid:195)
y +y
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)(cid:51)(cid:48)PQ(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:75)(cid:252)(cid:207)(cid:62)(cid:4)M,N(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:262)(cid:133) M N (cid:161)(cid:96)(cid:97)(cid:206)(cid:207).
2
ì
ï b=2 ìa=3
ï ï ï
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:207)(cid:114)ía2 =b2+c2 (cid:57)(cid:142)(cid:114)íb=2 (cid:57)
ï ï
ïe=
c
=
5 îc= 5
ïî a 3
y2 x2
(cid:211)(cid:237)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1.
9 4
(cid:10)2(cid:11)(cid:364)
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:49)(cid:73)(cid:4)(cid:292)(cid:190)(cid:62)(cid:142)(cid:96)(cid:97)(cid:27)(cid:13)(cid:24)(cid:19)(cid:191)(cid:368)(cid:372)
(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:121)(cid:377)(cid:114)(cid:63)(cid:30)(cid:191)(cid:97)(cid:57)(cid:276)(cid:97)(cid:30)(cid:123)(cid:378)(cid:193)(cid:96)(cid:97)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:133)(cid:134)(cid:96)(cid:97)(cid:57)(cid:209)(cid:245)(cid:207)(cid:51)(cid:180)(cid:133)(cid:134)(cid:96)(cid:97)(cid:57)(cid:209)(cid:245)(cid:158)(cid:27)(cid:13)(cid:152)(cid:103)(cid:161)(cid:83)(cid:84)(cid:70)(cid:57)(cid:207)(cid:133)(cid:134)(cid:277)(cid:83)(cid:84)(cid:70)(cid:52)(cid:111)(cid:84)((cid:379)(cid:171)(cid:102)(cid:108))(cid:226)(cid:55)(cid:195)
(cid:333)(cid:207)(cid:279)(cid:56)(cid:84)(cid:74)(cid:196)(cid:290)(cid:57)(cid:114)(cid:63)(cid:96)(cid:97)(cid:195)
(cid:10)3(cid:11)(cid:114)(cid:63)(cid:89)(cid:329)(cid:187)
 
8(cid:187)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:318)(cid:47)(cid:48)C(cid:24)(cid:104)(cid:194)(cid:161)(cid:65)(cid:37)(cid:231)(cid:4)(cid:57)(cid:306)(cid:228)(cid:4)(cid:161) -2 5,0 (cid:57)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) 5(cid:187)
(1)(cid:62)C(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:312)C(cid:24)(cid:306)(cid:18)(cid:307)(cid:192)(cid:4)(cid:5)(cid:232)(cid:161)A(cid:57)A (cid:57)(cid:59)(cid:4)-4,0(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:52)C(cid:24)(cid:306)(cid:304)(cid:64)(cid:196)M(cid:57)N(cid:197)(cid:4)(cid:57)M(cid:101)(cid:328)(cid:34)(cid:128)(cid:374)(cid:57)(cid:51)(cid:48)
1 2
MA (cid:52)NA (cid:64)(cid:196)(cid:4)P(cid:187)(cid:133)(cid:134):(cid:4)P(cid:101)(cid:96)(cid:51)(cid:48)(cid:38).
1 2
x2 y2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) - =1
4 16
(2)
(cid:216)(1)(cid:207)(cid:114)A -2,0,A 2,0(cid:57)(cid:110)Mx,y ,Nx ,y (cid:57)
1 2 1 1 2 21 1
(cid:288)(cid:289)(cid:51)(cid:48)(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:161)0(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:110)(cid:51)(cid:48)MN(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x=my-4(cid:57)(cid:254)- <m< (cid:57)
2 2
(cid:52)
x2
-
y2
=1(cid:60)(cid:61)(cid:207)(cid:114)  4m2-1  y2-32my+48=0(cid:57)(cid:254)D=64(4m2+3)>0(cid:57)
4 16
32m 48
(cid:218)y +y = ,y y = (cid:57)
1 2 4m2-1 1 2 4m2-1
y y
(cid:51)(cid:48)MA (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y= 1 x+2 (cid:57)(cid:51)(cid:48)NA (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y= 2 x-2 (cid:57)
1 x +2 2 x -2
1 2
(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)MA (cid:52)(cid:51)(cid:48)NA (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:207)(cid:114)(cid:190)
1 2
x+2 y x +2 y my -2 my y -2y +y +2y
= 2 1 = 2 1 = 1 2 1 2 1
x-2 y x -2 y my -6 my y -6y
1 2 1 2 1 2 1
48 32m -16m
m× -2× +2y +2y
4m2-1 4m2-1 1 4m2-1 1 1
= = =- (cid:57)
48 48m 3
m´ -6y -6y
4m2-1 1 4m2-1 1
x+2 1
(cid:216) =- (cid:207)(cid:114)x=-1(cid:57)(cid:206)x =-1(cid:57)
x-2 3 P
(cid:236)(cid:276)(cid:207)(cid:114)(cid:4)P(cid:101)(cid:96)(cid:51)(cid:48)x=-1(cid:38)(cid:85)(cid:375).
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:62)(cid:114)a,b(cid:24)(cid:97)(cid:206)(cid:207)(cid:353)(cid:96)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)(cid:63)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:52)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:57)(cid:289)(cid:250)(cid:216)(cid:4)(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:5)(cid:232)(cid:380)(cid:63)(cid:51)(cid:48)MA (cid:52)NA (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:57)
1 2
x+2 1
(cid:112)(cid:113)y(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:77)(cid:78)(cid:207)(cid:114) =- (cid:57)(cid:206)(cid:64)(cid:4)(cid:24)(cid:208)(cid:65)(cid:37)(cid:161)(cid:96)(cid:97)(cid:57)(cid:236)(cid:276)(cid:207)(cid:133)(cid:114)(cid:4)P(cid:101)(cid:96)(cid:51)(cid:48)x=-1(cid:38).
x-2 3
x2 y2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:161) - =1a>0,b>0(cid:57)(cid:216)(cid:228)(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:207)(cid:177)c=2 5(cid:57)
a2 b2
c
(cid:218)(cid:216)e= = 5(cid:207)(cid:114)a=2(cid:57)b= c2-a2 =4(cid:57)
a
x2 y2
(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:161) - =1.
4 16
(cid:10)2(cid:11)(cid:364)
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:55)(cid:293)(cid:4)(cid:4)(cid:292):(cid:62)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:96)(cid:51)(cid:48)(cid:27)(cid:13)(cid:57)(cid:217)(cid:101)(cid:3)(cid:44)(cid:80)(cid:81)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:93)(cid:94)(cid:57)(cid:152)(cid:103)(cid:93)(cid:94)(cid:230)(cid:170)(cid:90)(cid:354)(cid:68)(cid:93)(cid:94)(cid:57)(cid:175)(cid:104)(cid:235)(cid:236)(cid:110)(cid:252)(cid:107)(cid:62)(cid:24)(cid:124)(cid:145)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:114)(cid:115)(cid:235)(cid:52)(cid:56)(cid:84)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:207)(cid:237)(cid:241)(cid:103)(cid:85)(cid:78)(cid:57)(cid:193)(cid:142)(cid:13)(cid:24)(cid:55)(cid:293).
9(cid:187)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:110)(cid:285)(cid:286)(cid:48)C:y2 =2px(p>0)(cid:24)(cid:228)(cid:4)(cid:161)F(cid:57)(cid:4)Dp,0(cid:57)(cid:59)F(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:64)C(cid:196)
M(cid:57)N(cid:197)(cid:4)(cid:187)(cid:244)(cid:51)(cid:48)MD(cid:157)(cid:51)(cid:196)x(cid:249)(cid:245)(cid:57) MF =3(cid:187)
(1)(cid:62)C(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:110)(cid:51)(cid:48)MD,ND(cid:52)C(cid:24)(cid:255)(cid:30)(cid:191)(cid:64)(cid:4)(cid:5)(cid:232)(cid:161)A(cid:57)B(cid:57)(cid:312)(cid:51)(cid:48)MN,AB(cid:24)(cid:240)(cid:139)(cid:20)(cid:5)(cid:232)(cid:161)a,b(cid:187)(cid:244)a-b(cid:247)(cid:114)(cid:129)(cid:186)
(cid:97)(cid:245)(cid:57)(cid:62)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:187)
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)y2 =4x(cid:195)
(2)AB:x= 2y+4.
p
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:24)(cid:96)(cid:173)(cid:207)(cid:114) MF =p+ (cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:142)(cid:195)
2
(cid:10)2(cid:11)(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:110)(cid:4)(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:132)(cid:51)(cid:48)MN:x=my+1(cid:57)(cid:216)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:132)(cid:139)(cid:140)(cid:69)(cid:70)(cid:207)(cid:114)k =2k (cid:57)(cid:66)(cid:216)(cid:381)(cid:20)(cid:24)(cid:367)(cid:242)(cid:69)
MN AB
2
(cid:70)(cid:132)(cid:149)(cid:150)(cid:107)(cid:74)(cid:70)(cid:207)(cid:114)k = (cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)AB:x= 2y+n(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:207)(cid:142).
AB 2
p
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:24)(cid:313)(cid:48)(cid:161)x=- (cid:57)(cid:244)MD(cid:52)x(cid:249)(cid:157)(cid:51)(cid:245)(cid:57)(cid:4)M(cid:24)(cid:208)(cid:65)(cid:37)(cid:161)p(cid:57)
2
p
(cid:276)(cid:245) MF =p+ =3(cid:57)(cid:211)(cid:237)p=2(cid:57)
2
(cid:211)(cid:237)(cid:285)(cid:286)(cid:48)C(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y2 =4x(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)[(cid:49)(cid:73)(cid:30)](cid:190)(cid:201)(cid:129)(cid:323)(cid:142)(cid:204)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:208)(cid:141)(cid:70)
æ y2 ö æ y2 ö æ y2 ö æ y2 ö
(cid:110)Mç 1 ,y ÷,Nç 2 ,y ÷,Aç 3 ,y ÷,Bç 4 ,y ÷(cid:57)(cid:51)(cid:48)MN:x=my+1(cid:57)
è 4 1 ø è 4 2 ø è 4 3 ø è 4 4 ø
ìx=my+1
(cid:216)í (cid:207)(cid:114)y2-4my-4=0(cid:57)D>0,y y =-4(cid:57)
îy2 =4x 1 2
y -y 4 y -y 4
k = 1 2 = k = 3 4 =
(cid:216)(cid:139)(cid:140)(cid:69)(cid:70)(cid:207)(cid:114) MN y2 y2 y +y (cid:57) AB y2 y2 y +y (cid:57)
1 - 2 1 2 3 - 4 3 4
4 4 4 4
x -2 4x -2
(cid:51)(cid:48)MD:x= 1 ×y+2(cid:57)(cid:83)(cid:256)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:207)(cid:114)y2- 1 ×y-8=0(cid:57)
y y
1 1
D>0,y y =-8(cid:57)(cid:211)(cid:237)y =2y (cid:57)(cid:248)(cid:92)(cid:207)(cid:114)y =2y (cid:57)
1 3 3 2 4 14 4 k
(cid:211)(cid:237)k = = = MN
AB y +y 2y +y  2
3 4 1 2
k tana
(cid:225)(cid:253)(cid:161)(cid:51)(cid:48)MN(cid:18)AB(cid:24)(cid:240)(cid:139)(cid:20)(cid:5)(cid:232)(cid:161)a,b(cid:57)(cid:211)(cid:237)k =tanb= MN = (cid:57)
AB 2 2
æ pö
(cid:199)(cid:100)(cid:346)a-b(cid:129)(cid:186)(cid:57)(cid:218)bÎç0, ÷(cid:57)(cid:110)k =2k =2k >0(cid:57)(cid:218)
è 2ø MN AB
tana-tanb k 1 1 2
tana-b= = = £ =
1+tanatanb 1+2k2 1 1 4 (cid:57)
+2k 2 ×2k
k k
1 2
(cid:244)(cid:254)(cid:382)(cid:244) =2k (cid:206)k = (cid:245)(cid:57)(cid:74)(cid:383)(cid:223)(cid:61)(cid:57)
k 2
2
(cid:211)(cid:237)(cid:244)a-b(cid:129)(cid:186)(cid:245)(cid:57)k = (cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)AB:x= 2y+n(cid:57)
AB 2
(cid:83)(cid:256)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:207)(cid:114)y2-4 2y-4n=0(cid:57)
D>0,y y =-4n=4y y =-16(cid:57)(cid:211)(cid:237)n=4(cid:57)
3 4 1 2
(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)AB:x= 2y+4.
[(cid:49)(cid:73)(cid:34)](cid:190)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:4)(cid:139)(cid:70)
(cid:216)(cid:13)(cid:207)(cid:177)(cid:57)(cid:51)(cid:48)MN(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101).
(cid:110)Mx,y ,Nx ,y ,Ax ,y ,Bx ,y  ,(cid:51)(cid:48)MN:y=kx-1
1 1 2 2 3 3 4 4
ìy=k(x-1)
(cid:216) í (cid:114)(cid:190)k2x2-  2k2+4  x+k2 =0(cid:57)xx =1,(cid:248)(cid:92)(cid:57)y y =-4.
îy2 =4x 1 2 1 2
y
(cid:51)(cid:48)MD:y= 1 (x-2),(cid:83)(cid:256)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:207)(cid:114)(cid:190)xx =4(cid:57)(cid:248)(cid:92)(cid:57)x x =4.
x -2 1 3 2 4
1
(cid:83)(cid:256)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:207)(cid:114):y y =-8,(cid:211)(cid:237)y =2y (cid:57)(cid:248)(cid:92)(cid:207)(cid:114)y =2y (cid:57)
1 3 3 2 4 1
y -y 2y -y  y -y 1
k = 4 3 = 1 2 = 1 2 = k .
(cid:216)(cid:139)(cid:140)(cid:69)(cid:70)(cid:207)(cid:114)(cid:190) AB x -x æ 1 1 ö 2x -x  2 MN
4 3 4ç - ÷ 1 2
èx x ø
2 1
æ pö
(cid:10)(cid:278)(cid:248)(cid:49)(cid:73)(cid:30)(cid:11)(cid:199)(cid:100)(cid:346)a-b(cid:129)(cid:186)(cid:57)(cid:218)bÎç0, ÷(cid:57)
è 2ø
tana-tanb k 1 1 2
tana-b= = = £ =
(cid:110)k =2k =2k >0(cid:57)(cid:218) 1+tanatanb 1+2k2 1 1 4 (cid:57)
MN AB +2k 2 ×2k
k k
1 2
(cid:244)(cid:254)(cid:382)(cid:244) =2k (cid:206)k = (cid:245)(cid:57)(cid:74)(cid:383)(cid:223)(cid:61)(cid:57)
k 2
2
(cid:211)(cid:237)(cid:244)a-b(cid:129)(cid:186)(cid:245)(cid:57)k = (cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)AB:x= 2y+n(cid:57)
AB 2(cid:83)(cid:256)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:207)(cid:114)y2-4 2y-4n=0(cid:57)D>0,y y =-4n=4y y =-16(cid:57)(cid:211)(cid:237)n=4(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)
3 4 1 2
AB:x= 2y+4.
[(cid:49)(cid:73)(cid:19)](cid:190)(cid:19)(cid:4)(cid:311)(cid:48)
æ y2 ö æ y2 ö æ y2 ö æ y2 ö
(cid:110)Mç 1 ,y ÷,Nç 2 ,y ÷,Aç 3 ,y ÷,Bç 4 ,y ÷(cid:57)
è 4 1 ø è 4 2 ø è 4 3 ø è 4 4 ø
uuuuv æ y2 ö uuuv æ y2 ö
(cid:110)Pt,0 ,(cid:199) P(cid:18)M(cid:18)N(cid:19)(cid:4)(cid:311)(cid:48)(cid:57)(cid:216)PM =ç 1 -t,y ÷ (cid:57)PN =ç 2 -t,y ÷
è 4 1 ø è 4 2 ø
æ y2 ö æ y2 ö
(cid:211)(cid:237)ç 1 -t÷y =ç 2 -t÷y (cid:57)(cid:103)(cid:241)(cid:114)y y =-4t(cid:57)
è 4 ø 2 è 4 ø 1 1 2
(cid:384)(cid:229)(cid:57)(cid:199)y y =-4t,(cid:207)(cid:114)MN(cid:59)(cid:96)(cid:4)t,0
1 2
(cid:253)(cid:276)(cid:57)(cid:216)M(cid:18)N(cid:18)F(cid:19)(cid:4)(cid:311)(cid:48)(cid:57)(cid:114)y y =-4(cid:57)
1 2
(cid:216)M(cid:18)D(cid:18)A(cid:19)(cid:4)(cid:311)(cid:48)(cid:57)(cid:114)y y =-8(cid:57)
1 3
(cid:216)N(cid:18)D(cid:18)B(cid:19)(cid:4)(cid:311)(cid:48)(cid:57)(cid:114)y y =-8(cid:57)
2 4
(cid:218)y y =4y y =-16(cid:57)AB(cid:59)(cid:96)(cid:4)(cid:10)4,0(cid:11)
3 4 1 2
æ pö
(cid:10)(cid:278)(cid:248)(cid:49)(cid:73)(cid:30)(cid:11)(cid:199)(cid:100)(cid:346)a-b(cid:129)(cid:186)(cid:57)(cid:218)bÎç0, ÷(cid:57)
è 2ø
tana-tanb k 1 1 2
tana-b= = = £ =
(cid:110)k =2k =2k >0(cid:57)(cid:218) 1+tanatanb 1+2k2 1 1 4 (cid:57)
MN AB +2k 2 ×2k
k k
1 2
(cid:244)(cid:254)(cid:382)(cid:244) =2k (cid:206)k = (cid:245)(cid:57)(cid:74)(cid:383)(cid:223)(cid:61)(cid:57)
k 2
2
(cid:211)(cid:237)(cid:244)a-b(cid:129)(cid:186)(cid:245)(cid:57)k = (cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)AB:x= 2y+4.
AB 2
(cid:201)(cid:224)(cid:117)(cid:4)(cid:327)(cid:204)(cid:10)2(cid:11)(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:67)(cid:68)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:208)(cid:141)(cid:70)(cid:57)(cid:241)(cid:103)(cid:119)(cid:60)(cid:61)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:85)(cid:78)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:48)MN,AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:55)
(cid:56)(cid:57)(cid:216)(cid:149)(cid:150)(cid:107)(cid:74)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:57)(cid:66)(cid:235)(cid:236)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:62)(cid:63)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:193)(cid:277)(cid:13)(cid:24)(cid:129)(cid:323)(cid:142)(cid:57)(cid:333)(cid:193)(cid:58)(cid:169)(cid:58)
(cid:73)(cid:195)
(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:109)(cid:14)(cid:110)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:4)(cid:139)(cid:70)(cid:57)(cid:142)(cid:13)(cid:59)(cid:50)(cid:248)(cid:142)(cid:73)(cid:30)(cid:195)
(cid:73)(cid:19)(cid:190)(cid:58)(cid:59)(cid:110)(cid:4)(cid:216)(cid:19)(cid:4)(cid:311)(cid:48)(cid:105)(cid:106)(cid:356)(cid:65)(cid:37)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:385)(cid:386)(cid:106)(cid:115)(cid:51)(cid:48)AB(cid:59)(cid:96)(cid:4)(cid:57)(cid:387)(cid:113)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:50)(cid:57)(cid:333)(cid:107)(cid:388)(cid:161)(cid:30)(cid:343)(cid:241)(cid:103)
(cid:85)(cid:78)(cid:24)(cid:389)(cid:49)(cid:73)(cid:187)æ3 ö
10(cid:187)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)E(cid:24)(cid:104)(cid:194)(cid:161)(cid:65)(cid:37)(cid:231)(cid:4)(cid:57)(cid:82)(cid:198)(cid:249)(cid:161)x(cid:249)(cid:18)y(cid:249)(cid:57)(cid:254)(cid:59)A0,-2,Bç ,-1÷
è2 ø
(cid:197)(cid:4)(cid:187)
(1)(cid:62)E(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:110)(cid:59)(cid:4)P1,-2(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:64)E(cid:196)M(cid:57)N(cid:197)(cid:4)(cid:57)(cid:59)M(cid:254)(cid:156)(cid:76)(cid:196)x(cid:249)(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:48)(cid:154)AB(cid:64)(cid:196)(cid:4)T(cid:57)(cid:4)H(cid:280)(cid:281)
uuur uuur
MT =TH(cid:187)(cid:133)(cid:134)(cid:190)(cid:51)(cid:48)HN(cid:59)(cid:96)(cid:4)(cid:187)
y2 x2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) + =1
4 3
(2)(0,-2)
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:158)(cid:212)(cid:96)(cid:4)(cid:83)(cid:256)(cid:110)(cid:63)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:62)(cid:142)(cid:206)(cid:207)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)(cid:63)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:52)(cid:189)(cid:45)C(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:57)(cid:5)(cid:9)(cid:264)(cid:342)(cid:329)(cid:139)(cid:140)(cid:193)(cid:345)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:142).
æ3 ö
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:142)(cid:190)(cid:110)(cid:189)(cid:45)E(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)mx2+ny2 =1(cid:57)(cid:59)A0,-2,Bç ,-1÷(cid:57)
è2 ø
ì 4n=1
ï 1 1
(cid:218)í9 (cid:57)(cid:142)(cid:114)m= (cid:57)n= (cid:57)
m+n=1 3 4
ï
î4
y2 x2
(cid:211)(cid:237)(cid:189)(cid:45)E(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)(cid:190) + =1.
4 3
3 2
(cid:10)2(cid:11)A(0,-2),B( ,-1)(cid:57)(cid:211)(cid:237)AB:y+2= x(cid:57)
2 3
x2 y2
(cid:199)(cid:59)(cid:4)P(1,-2)(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:51)(cid:48)x=1.(cid:83)(cid:256) + =1(cid:57)
3 4
① 2 6 2 6 2
(cid:207)(cid:114)M(1,- )(cid:57)N(1, )(cid:57)(cid:83)(cid:256)AB(cid:49)(cid:50)y= x-2(cid:57)(cid:207)(cid:114)
3 3 3
2 6 uuur uuur 2 6
T(- 6+3,- )(cid:57)(cid:216)MT =TH(cid:114)(cid:115)H(-2 6+5,- ).(cid:62)(cid:114)HN(cid:49)(cid:50)(cid:190)
3 3
2 6
y=(2+ )x-2(cid:57)(cid:59)(cid:4)(0,-2).
3
(cid:199)(cid:59)(cid:4)P(1,-2)(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:110)kx-y-(k+2)=0,M(x,y ),N(x ,y ).
1 1 2 2
② ìkx-y-(k+2)=0
ï
(cid:60)(cid:61)í x2 y2 ,(cid:114)(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0(cid:57)
ï + =1
î 3 4
ì 6k(2+k) ì -82+k
x +x = ï y +y =
ï ï 1 2 3k2+4 ï 1 2 3k2+4
(cid:207)(cid:114)í (cid:57)í (cid:57)
ï xx = 3k(4+k) ï 4  4+4k-2k2
ïî 1 2 3k2+4 ï î y 1 y 2 = 3k2+4
(cid:254)x y +x y =x ékx -1-2ù+x ékx -1-2ù=2kxx -k+2x +x 
1 2 2 1 1ë 1 û 2ë 1 û 1 2 1 26k2(4+k) 6k(2+k) -24k
= -k+2 =
3k2+4 3k2+4 3k2+4
-24k
(cid:206)x y +x y = (*)
1 2 2 1 3k2+4
ì y= y
ï 1 3y
(cid:60)(cid:61)í 2 ,(cid:207)(cid:114)T( 1 +3,y ),H(3y +6-x,y ).
y= x-2 2 1 1 1 1
ï
î 3
y -y
(cid:207)(cid:62)(cid:114)(cid:276)(cid:245)HN:y-y = 1 2 (x-x )(cid:57)
2 3y +6-x -x 2
1 1 2
(cid:158)(0,-2)(cid:57)(cid:83)(cid:256)(cid:224)(cid:92)(cid:114)2(x +x )-6(y +y )+x y +x y -3y y -12=0(cid:57)
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
(cid:158)(*)(cid:83)(cid:256)(cid:57)(cid:114)24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0,
(cid:288)(cid:289)(cid:223)(cid:61)(cid:57)
(cid:170)(cid:38)(cid:57)(cid:207)(cid:114)(cid:51)(cid:48)HN(cid:59)(cid:96)(cid:4)(0,-2).
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:62)(cid:96)(cid:4)(cid:18)(cid:96)(cid:97)(cid:27)(cid:13)(cid:109)(cid:390)(cid:24)(cid:49)(cid:73)(cid:209)(cid:197)(cid:343)(cid:190)
(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:256)(cid:391)(cid:57)(cid:62)(cid:63)(cid:96)(cid:97)(cid:57)(cid:66)(cid:133)(cid:134)(cid:143)(cid:191)(cid:97)(cid:52)(cid:102)(cid:108)(cid:226)(cid:55)(cid:195)
①(cid:51)(cid:180)(cid:164)(cid:92)(cid:18)(cid:77)(cid:78)(cid:57)(cid:251)(cid:101)(cid:77)(cid:78)(cid:164)(cid:92)(cid:24)(cid:59)(cid:50)(cid:104)(cid:112)(cid:113)(cid:102)(cid:108)(cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:114)(cid:115)(cid:96)(cid:97).
②
考点 03 参数的求值、最值、范围及证明问题
x2 y2
1
1(cid:187)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)C: + =1(a>b>0)(cid:24)(cid:306)(cid:228)(cid:4)(cid:161)F(-1,0)(cid:57)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) (cid:187)
a2 b2 2
(1)(cid:62)C(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:110)O(cid:161)(cid:65)(cid:37)(cid:231)(cid:4)(cid:57)(cid:59)F (cid:254)(cid:139)(cid:140)(cid:186)(cid:196)0 (cid:24)(cid:375)(cid:51)(cid:48)l(cid:52)C(cid:64)(cid:196)P(cid:57)Q(cid:197)(cid:4)(cid:57)(cid:175)(cid:104)Q(cid:101)(cid:328)(cid:19)(cid:128)(cid:374)(cid:57)(cid:51)(cid:48)PO(cid:52)C
(cid:24)(cid:255)(cid:30)(cid:191)(cid:64)(cid:4)(cid:161)R(cid:187)
(cid:10)i(cid:11)(cid:199)VPQR(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:193)VPFO(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:24)3 (cid:309)(cid:57)(cid:62)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:62)tanÐPQR(cid:24)(cid:129)(cid:234)(cid:97)(cid:187)
x2 y2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) + =1
4 3
5
(2)(cid:10)i(cid:11)y= x+1(cid:195)(cid:10)ii(cid:11)4 3
2
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:228)(cid:4)(cid:237)(cid:132)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:24)(cid:96)(cid:173)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:142)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:10)i(cid:11)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:237)(cid:132)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:142)(cid:195)(cid:10)ii(cid:11)(cid:216)(cid:196)ÐPQR(cid:193)
(cid:51)(cid:48)PQ(cid:52)(cid:51)(cid:48)RQ(cid:24)(cid:392)(cid:20)(cid:57)(cid:316)(cid:63)tanÐPQR(cid:24)(cid:162)(cid:163)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:142).
x2 y2 1
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45) + =1(cid:24)(cid:306)(cid:228)(cid:4)(cid:161)F-1,0(cid:57)(cid:138)(cid:194)(cid:140)e= (cid:57)
a2 b2 2c 1
(cid:218)c=1,e= = (cid:57)(cid:142)(cid:114)a=2(cid:57)b2 =a2-c2 =22-12 =4-1=3(cid:57)
a 2
x2 y2
(cid:253)(cid:276)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1.
4 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:142)(cid:73)(cid:30)(cid:190)
(cid:110)l:y=kx+1k >0(cid:57)(cid:4)Px,y (cid:57)(cid:4)Qx ,y (cid:57)(cid:175)(cid:104)x >x (cid:57)
1 1 2 2 1 2
ìy=kx+1
(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)l(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50) ï íx2 y2 (cid:57)(cid:114)  3+4k2 x2+8k2x+4k2-12=0(cid:57)
ï + =1
î 4 3
8k2 4k2-12
(cid:216)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:114)x +x =- ,xx = (cid:57)
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
(cid:216)(cid:196)P,R(cid:197)(cid:4)(cid:101)(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:57)(cid:55)(cid:196)(cid:231)(cid:4)(cid:82)(cid:198)(cid:57)
(cid:211)(cid:237)(cid:4)R-x,-y (cid:57)(cid:254)y =kx +1,y =kx +1(cid:57)
1 1 1 1 2 2
(cid:10)i(cid:11)
1 1 1 k
(cid:216)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:70)(cid:57)S = OF × y -y = ×1× y -y = y -y = x -x (cid:57)
VPQO 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
(cid:225)(cid:253)(cid:161)O(cid:193)(cid:48)(cid:154)PR(cid:24)(cid:104)(cid:4)(cid:57)(cid:211)(cid:237)S =S (cid:57)(cid:211)(cid:237)S =2S =kx -x (cid:57)
VPQO VRQO VPQR VPQO 1 2
1 y kx +1
S = OF × y = 1 = 1 (cid:57)
VPFO 2 1 2 2
S
(cid:216)(cid:196) VPQR =3(cid:57)(cid:114)2x -x =3x +1(cid:57)(cid:206)x +2x =-3(cid:57)
S 1 2 1 1 2
VPFO
8u 9-4u 9+4u
(cid:279)u=k2(cid:57)(cid:216)x +x =- (cid:52)x +2x =-3(cid:57)(cid:114)x = ,x =- (cid:57)
1 2 3+4u 1 2 1 3+4u 2 3+4u
4u-12 9-4u9+4u 4u-12 5
(cid:83)(cid:256)xx = (cid:57)(cid:114)- = (cid:57)(cid:142)(cid:114)u= (cid:57)
1 2 3+4u 3+4u2 3+4u 4
5 5
(cid:211)(cid:237)k = (cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y= x+1.
2 2
-y -y x +x +2 3
(cid:10)ii(cid:11)(cid:51)(cid:48)QR(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161) 1 2 =k 1 2 =- (cid:57)
-x -x x +x 4k
1 2 1 23
k+
(cid:196)(cid:193)tanÐPQR= 4k =4k+ 3 ³2 4k× 3 =4 3(cid:57)(cid:244)(cid:254)(cid:382)(cid:244)k= 3(cid:245)(cid:247)(cid:74)(cid:383)(cid:57)
3 k k 2
1-
4
(cid:219)tanÐPQR(cid:24)(cid:129)(cid:234)(cid:97)(cid:161)4 3.
(cid:142)(cid:73)(cid:34)(cid:190)
1
(cid:10)i(cid:11)(cid:71)(cid:88)(cid:211)(cid:214)(cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x=my-1(cid:57)(cid:175)(cid:104)(cid:139)(cid:140)k = >0Þm>0(cid:57)
m
(cid:110)(cid:4)Px,y (cid:57)(cid:4)Qx ,y (cid:57)(cid:254)x ,y <0(cid:57)
1 1 2 2 2 2
(cid:235)(cid:236)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:104)(cid:194)(cid:82)(cid:198)(cid:169)(cid:207)(cid:177)(cid:57)(cid:4)R-x,-y (cid:57)
1 1
ì x=my-1
(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:114) ï íx2 y2 (cid:57)(cid:103)(cid:241)(cid:114)  3m2+4  y2-6my-9=0(cid:57)
ï + =1
î 4 3
6m -9
(cid:216)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:207)(cid:114)y +y = ,y y = (cid:57)
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
(cid:253)(cid:161)R(cid:193)P(cid:55)(cid:196)(cid:231)(cid:4)O(cid:24)(cid:82)(cid:198)(cid:4)(cid:57)(cid:211)(cid:237)O(cid:193)(cid:48)(cid:154)PR(cid:24)(cid:104)(cid:4)(cid:57)
(cid:253)(cid:276)S =S (cid:57)(cid:211)(cid:237)S =2S (cid:57)
VPQO VRQO (cid:200)PQR (cid:200)PQO
(cid:216)(cid:196)S =3S (cid:57)(cid:211)(cid:237)2S =3S (cid:57)
(cid:200)PQR (cid:200)PFO (cid:200)PQO (cid:200)PFO
1 1 1
S = OF × y -y = ×1× y -y = y -y (cid:57)
VPQO 2 1 2 2 1 2 2 1 2
1 1 1
S = OF × y = ×1× y = y (cid:57)
VPFO 2 1 2 1 2 1
æ1 ö æ1 ö 3
(cid:211)(cid:237)2×ç y -y ÷=3×ç y ÷(cid:57)(cid:206) y -y = y (cid:57)
è2 1 2 ø è2 1 ø 1 2 2 1
3
(cid:216)(cid:196)y >0,y <0(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:241)(cid:103)(cid:161)y -y = y Þ y =-2y (cid:57)
1 2 1 2 2 1 1 2
-6m æ -6m ö 2 -9
(cid:83)(cid:256)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:57)(cid:114)y 2 = 3m2+4 (cid:57)(cid:218)y 1 y 2 =-2y 2 2 =-2ç è3m2+4 ÷ ø = 3m2+4 (cid:57)2 2 5
(cid:103)(cid:241)(cid:114)45m2 =36(cid:57)(cid:216)(cid:196)m>0(cid:57)(cid:142)(cid:114)m= = (cid:57)
5 5
2 5 5
(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x= y-1(cid:57)(cid:206)y= x+1.
5 2
(cid:10)ii(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:57)ÐPQR(cid:206)(cid:161)(cid:51)(cid:48)QP(cid:52)(cid:51)(cid:48)QR(cid:24)(cid:392)(cid:20)(cid:57)
(cid:51)(cid:48)QP(cid:206)(cid:51)(cid:48)l(cid:57)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x=my-1m>0(cid:57)
1
(cid:4)Qx ,y (cid:57)(cid:4)Px,y (cid:57)(cid:4)R-x,-y (cid:57)(cid:51)(cid:48)QP(cid:24)(cid:139)(cid:140)k = (cid:57)
2 2 1 1 1 1 QP m
y --y  y +y
(cid:51)(cid:48)QR(cid:24)(cid:139)(cid:140)k = 2 1 = 2 1 (cid:57)
QR x --x  x +x
2 1 2 1
(cid:216)(cid:196)P,Q(cid:101)(cid:51)(cid:48)x=my-1m>0(cid:38)(cid:57)(cid:209)x =my -1,x =my -1(cid:57)
1 1 2 2
y +y 6m
(cid:218)k = 1 2 (cid:57)(cid:83)(cid:256)y +y = (cid:57)
QR my +y -2 1 2 3m2+4
1 2
6m
3m2+4 6m 6m 3m
(cid:218)k = = = =- (cid:57)
QR 6m 6m2-2  3m2+4  -8 4
m× -2
3m2+4
(cid:110)(cid:51)(cid:48)QP(cid:24)(cid:240)(cid:139)(cid:20)(cid:161)a(cid:57)(cid:51)(cid:48)QR(cid:24)(cid:240)(cid:139)(cid:20)(cid:161)b(cid:57)(cid:218)ÐPQR=π-b+a(cid:57)
tana-tanb k -k
(cid:253)(cid:276)tanÐPQR=tanπ-b+a=tana-b= = QP QR (cid:57)
1+tanatanb 1+k ×k
QP QR
1 æ 3mö
-ç- ÷
(cid:206)tanÐPQR= k QP -k QR = m è 4 ø = 4+3m2 =3m+ 4 (cid:57)
1+k ×k 1 æ 3mö m m
QP QR 1+ ×ç- ÷
m è 4 ø
4 4 4 2 3
(cid:216)(cid:149)(cid:150)(cid:107)(cid:74)(cid:70)(cid:114)3m+ ³2 3m× =4 3(cid:57)(cid:244)(cid:254)(cid:382)(cid:244)3m= (cid:57)(cid:206)m= (cid:245)(cid:247)(cid:74)(cid:383)(cid:57)(cid:211)(cid:237)tanÐPQR(cid:24)(cid:129)(cid:234)
m m m 3
(cid:97)(cid:161)4 3.
2(cid:187)（2026·上海·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:318)(cid:47)(cid:48)G:x2-y2 =1(cid:57)(cid:4)P(cid:101)G(cid:38)(cid:57)F (cid:57)F (cid:5)(cid:232)(cid:161)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:306)(cid:18)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:187)
1 2
(1)(cid:62)(cid:4)2,0(cid:115)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:195)
uuur uuuur
(2)(cid:199)PF ×PF =1(cid:57)(cid:62)S (cid:195)
1 2 (cid:200)PF1F2
ì x>0 ì x<0
(3)(cid:312)W(cid:161)(cid:318)(cid:47)(cid:48)G(cid:280)(cid:281)í (cid:230)í (cid:24)(cid:221)(cid:5)(cid:195)(cid:51)(cid:48)l(cid:57)m(cid:282)(cid:59)(cid:307)(cid:228)(cid:4)F (cid:57)l(cid:52)W(cid:64)(cid:196)P(cid:57)Q(cid:197)(cid:4)(cid:10)(cid:5)(cid:232)
îy³-1 îy£-1 2
(cid:101)(cid:328)(cid:30)(cid:18)(cid:328)(cid:22)(cid:128)(cid:374)(cid:11)(cid:57)m(cid:52)W(cid:64)(cid:196)M (cid:57)N (cid:197)(cid:4)(cid:10)(cid:5)(cid:232)(cid:101)(cid:328)(cid:19)(cid:18)(cid:22)(cid:128)(cid:374)(cid:11)(cid:57)(cid:27)(cid:190)(cid:193)(cid:345)(cid:263)(cid:101)(cid:109)(cid:84)l(cid:57)(cid:346)(cid:114)(cid:82)(cid:393)(cid:217)(cid:51)(cid:48)l(cid:57)(cid:394)(cid:263)(cid:101)(cid:310)(cid:30)(cid:82)(cid:354)(cid:24)(cid:51)(cid:48)m(cid:280)(cid:281)lPQ = MN (cid:348)(cid:199)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:62)(cid:63)l(cid:24)(cid:97)(cid:195)(cid:199)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:349)(cid:350)(cid:134)(cid:92)(cid:216)(cid:187)
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) 2
(2) 2
é9 ö
(3)(cid:263)(cid:101)(cid:395)(cid:84)l(cid:227)(cid:90)(cid:13)(cid:217)(cid:57)(cid:276)(cid:245)l(cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:161)
ê
,+¥÷
ë7 ø
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:62)a,b,c(cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:237)(cid:132)(cid:4)(cid:115)(cid:51)(cid:48)(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:195)
1
(cid:10)2(cid:11)(cid:142)(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:235)(cid:236)(cid:396)(cid:16)(cid:96)(cid:92)(cid:207)(cid:114) PF 2+ PF 2 =10(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:96)(cid:173)(cid:207)(cid:114) PF PF =3(cid:57)cosÐFPF = (cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:114)
1 2 1 2 1 2 3
(cid:25)(cid:26)(cid:195)(cid:142)(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:110)Px ,y (cid:57)(cid:235)(cid:236)(cid:84)(cid:108)(cid:26)(cid:207)(cid:114) y =1(cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:25)(cid:26)(cid:195)(cid:142)(cid:73)(cid:19)(cid:190)(cid:235)(cid:236)(cid:397)(cid:103)(cid:222)(cid:74)(cid:70)(cid:230)(cid:104)(cid:48)(cid:17)(cid:169)(cid:287)
0 0 0
1
(cid:207)(cid:114) PF PF =3(cid:57)cosÐFPF = (cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:70)(cid:85)(cid:78)(cid:62)(cid:142)(cid:195)
1 2 1 2 3
2
 1+n2
(cid:10)3(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:13)(cid:217)(cid:89)(cid:90)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:169)(cid:287)(cid:207)(cid:114)(cid:51)(cid:48)(cid:139)(cid:140)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:89)(cid:90)(cid:16)(cid:17)(cid:69)(cid:70)(cid:207)(cid:114) PQ = 1 (cid:57)
1-n2
1
2
 1+n2
MN = 2 (cid:57)(cid:75)(cid:252)(cid:5)(cid:205)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:142).
n2-1
2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:207)(cid:177)(cid:190)a=b=1(cid:57)c= 2(cid:57)
   
(cid:218)F - 2,0 (cid:57)F 2,0 (cid:57)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=±x(cid:57)(cid:206)x±y=0(cid:57)
1 2
2
(cid:211)(cid:237)(cid:4)2,0(cid:115)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:161) = 2.
2
uuur uuuur
(cid:10)2(cid:11)(cid:142)(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:253)(cid:161)PF ×PF = PF × PF cosÐFPF =1(cid:57)
1 2 1 2 1 2
(cid:216)(cid:396)(cid:16)(cid:96)(cid:92)(cid:207)(cid:114) FF 2 = PF 2+ PF 2-2 PF × PF cosÐFPF (cid:57)
1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:224)(cid:92)(cid:114)(cid:190) PF 2+ PF 2 =10(cid:57)
1 2
(cid:253)(cid:4)P(cid:193)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:30)(cid:4)(cid:57)(cid:218) PF - PF =2(cid:57)(cid:207)(cid:114) PF 2+ PF 2-2 PF PF =4(cid:57)
1 2 1 2 1 2
1 2 2
(cid:83)(cid:256)(cid:207)(cid:114) PF PF =3(cid:57)cosÐFPF = (cid:57)(cid:218)sinÐFPF = 1-cos2ÐFPF = (cid:57)
1 2 1 2 3 1 2 1 2 3
1 1 2 2
(cid:211)(cid:237)VPFF (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:161) PF PF sinÐFPF = ´3´ = 2(cid:195)
1 2 2 1 2 1 2 2 3
(cid:142)(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:110)Px ,y (cid:57)(cid:218)x2-y2 =1(cid:57)(cid:206)x2 = y2+1(cid:57)
0 0 0 0 0 0
uuur   uuuur  
(cid:207)(cid:114)PF = -x - 2,-y (cid:57)PF = -x + 2,-y (cid:57)
1 0 0 2 0 0
uuur uuur
(cid:253)(cid:161)PF ×PF =x2+y2-2=1(cid:57)(cid:206)2y2-1=1(cid:57)(cid:142)(cid:114) y =1(cid:57)
1 2 0 0 0 01
(cid:211)(cid:237)VPFF (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:161) ´2 2´1= 2(cid:195)
1 2 2
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(cid:142)(cid:73)(cid:19)(cid:190)(cid:253)(cid:161)PF ×PF =  PO+OF  ×  PO-OF  =PO 2 -OF 2 =PO 2 -2=1(cid:57)(cid:206) PO 2 =3 (cid:57)
1 2 1 1 1
(cid:216)(cid:104)(cid:48)(cid:17)(cid:96)(cid:92)(cid:207)(cid:177)(cid:190) PF 2+ PF 2 =2  PO2+ OF 2 =10(cid:57)
1 2 1
(cid:253)(cid:161) PF - PF =2(cid:57)(cid:207)(cid:114) PF 2+ PF 2-2 PF PF =4(cid:57)
1 2 1 2 1 2
1 ÐFPF 1
(cid:83)(cid:256)(cid:207)(cid:114) PF PF =3(cid:57)cosÐFPF = (cid:57)(cid:207)(cid:114)2cos2 1 2 -1= (cid:57)
1 2 1 2 3 2 3
ÐFPF
sin 1 2
ÐFPF 6 ÐFPF ÐFPF 3 ÐFPF 2 2
(cid:142)(cid:114)cos 1 2 = (cid:57)(cid:218)sin 1 2 = 1-cos2 1 2 = (cid:57)tan 1 2 = = (cid:57)
2 3 2 2 3 2 cos ÐF 1 PF 2 2
2
b2
= 2
(cid:211)(cid:237)VPFF (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:161) ÐFPF .
1 2 tan 1 2
2
    2
(cid:10)3(cid:11)(cid:107)(cid:246)(cid:247)A - 2,-1 (cid:57)B 2,-1 (cid:57)(cid:218)(cid:51)(cid:48)AF (cid:24)(cid:139)(cid:140)k = (cid:57)
2 AF2 4
(cid:315)(cid:13)(cid:217)(cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)l(cid:190)x=n y+ 2(cid:57)(cid:218)n Î0,1(cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)m(cid:190)x=n y+ 2(cid:57)(cid:218)n Î  1,2 2ù(cid:57)Px,y (cid:57)Qx ,y (cid:57)
1 1 2 2 û 1 1 2 2
(cid:60)(cid:61)(cid:49)(cid:50)
ìï
í
x=n
1
y+ 2
(cid:57)(cid:112)(cid:113)x(cid:207)(cid:114)  n2-1  y2+2 2n y+1=0(cid:57)
ïîx2-y2 =1 1 1
2 2n 1
(cid:218)y +y =- 1 (cid:57)y y = (cid:57)
1 2 n2-1 1 2 n2-1
1 1
æ 2 2n ö 2 4 2  1+n2 æ 2 ö
(cid:207)(cid:114) PQ = 1+n
1
2 ç
ç è
-
n 1 2-1
1÷
÷ ø
-
n 1 2-1
=
1-n 1 2
1 =2ç
è1-n 1 2
-1÷
ø
(cid:57)
æ 2 ö
(cid:207)(cid:177)(cid:144)(cid:84) f t=2ç -1÷(cid:101)tÎ0,1(cid:220)(cid:275)(cid:166)(cid:398)(cid:399)(cid:57)(cid:218) f t³ f 0=2(cid:57)
è1-t2 ø
(cid:254)(cid:244)t(cid:400)(cid:326)(cid:196)1(cid:245)(cid:57) f t(cid:400)(cid:326)(cid:196)+¥(cid:57)(cid:206) f t(cid:101)0,1(cid:220)(cid:24)(cid:97)(cid:303)(cid:161)2,+¥(cid:57)(cid:219) PQ Î2,+¥(cid:57)
(cid:253)l>0(cid:57)(cid:211)(cid:237)lPQ Î2l,+¥(cid:195)2
 1+n2
æ 2 ö
(cid:248)(cid:92)(cid:207)(cid:114)(cid:190) MN = 2 =2ç +1÷
n2-1 èn2-1
ø
2 2
(cid:207)(cid:177)gs=2 è æ ç s2 2 -1 +1 ø ö ÷(cid:101)sÎ  1,2 2ù û (cid:220)(cid:275)(cid:166)(cid:398)(cid:294)(cid:57)(cid:218)gs³g  2 2  = 1 7 8 (cid:57)
(cid:254)(cid:244)s(cid:400)(cid:326)(cid:196)1(cid:245)(cid:57)gs(cid:400)(cid:326)(cid:196)+¥(cid:57)(cid:206)gs(cid:101)  1,2 2ù
û
(cid:220)(cid:24)(cid:97)(cid:303)(cid:161) é
ê
18 ,+¥÷ ö (cid:57)(cid:219) MN Î
ê
é18 ,+¥÷ ö (cid:195)
ë 7 ø ë 7 ø
é18 ö 18 9
(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:207)(cid:177)(cid:190)2l,+¥Í
ê
,+¥÷(cid:57)(cid:207)(cid:114)2l³ (cid:57)(cid:142)(cid:114)l³ (cid:57)
ë 7 ø 7 7
é9 ö
(cid:211)(cid:237)(cid:263)(cid:101)(cid:395)(cid:84)l(cid:227)(cid:90)(cid:13)(cid:217)(cid:57)(cid:276)(cid:245)l(cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:161)
ê
,+¥÷.
ë7 ø
x2 y2
3(cid:187)（2026·上海·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:318)(cid:47)(cid:48)G: - =1(cid:57)(cid:59)(cid:4)Mm,0(cid:314)(cid:107)(cid:157)(cid:51)(cid:196)x(cid:249)(cid:24)(cid:51)(cid:48)l(cid:64)(cid:318)(cid:47)(cid:48)G(cid:196)
2 2
A(cid:18)B(cid:197)(cid:4).
(1)(cid:62)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:195)
 
(2)(cid:199)(cid:4)A 3,1 (cid:57)(cid:4)B(cid:101)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:307)(cid:304)(cid:38)(cid:57)(cid:254)B(cid:193)AM (cid:24)(cid:104)(cid:4)(cid:57)(cid:62)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:195)
(3)(cid:199)m>0(cid:57)F (cid:57)F (cid:5)(cid:232)(cid:193)(cid:318)(cid:47)(cid:48)G(cid:24)(cid:306)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:57)A¢(cid:193)A(cid:55)(cid:196)y(cid:249)(cid:24)(cid:82)(cid:198)(cid:4)(cid:57)(cid:199)(cid:263)(cid:101)(cid:51)(cid:48)l(cid:346)(cid:114)
1 2
uuuur uuuur
FA¢×F B=0(cid:57)(cid:62)m(cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131).
1 2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) 2
2 3+3
(2)
3
æ4 ö
(3)ç ,2÷∪2,+¥
è3 ø
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:62)(cid:63)a,b,c(cid:57)(cid:51)(cid:180)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:142)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:104)(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:63)(cid:4)B(cid:57)(cid:158)(cid:4)B(cid:65)(cid:37)(cid:83)(cid:256)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:62)(cid:63)m(cid:57)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:69)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63)(cid:202)(cid:203)(cid:195)
(cid:10)3(cid:11)(cid:110)(cid:51)(cid:48)l(cid:49)(cid:50)(cid:161)x=ny+m(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)  n2-1  y2+2nmy+m2-2=0(cid:57)(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:114)D>0(cid:254)n2-1¹0(cid:57)(cid:66)(cid:235)
uuuur uuuur
(cid:236)FA¢×F B=0(cid:62)(cid:63)n2 =m2-2m+1(cid:57)(cid:89)(cid:90)D>0(cid:254)n2-1¹0(cid:207)(cid:62)(cid:63)(cid:202)(cid:203).
1 2
x2 y2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:82)(cid:196)(cid:318)(cid:47)(cid:48)G: - =1(cid:57)a= 2(cid:57)b= 2(cid:57)
2 2
c= a2+b2 =2(cid:57)
c 2
(cid:211)(cid:237)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:138)(cid:194)(cid:140)e= = = 2.
a 2
æm+ 3 1ö
(cid:10)2(cid:11)(cid:253)(cid:161)(cid:4)B(cid:193)AM (cid:24)(cid:104)(cid:4)(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:4)Bç , ÷(cid:57)
ç 2 2÷
è ø 2
x2 y2 m+ 3
(cid:83)(cid:256)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50) - =1(cid:57)(cid:114) 1 (cid:57)
- =1
2 2
8 8
(cid:142)(cid:114)m=±3- 3(cid:57)
(cid:225)(cid:4)B(cid:101)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:307)(cid:304)(cid:38)(cid:57)(cid:211)(cid:237)m+ 3>0(cid:57)(cid:206)m>- 3(cid:57)
(cid:211)(cid:237)m=3- 3(cid:57)
0-1 1 2 3+3
(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)l(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161) = = .
3- 3- 3 2 3-3 3
uuuur uuuur
(cid:10)3(cid:11)(cid:244)(cid:51)(cid:48)(cid:139)(cid:140)(cid:161)0(cid:245)(cid:57)(cid:243)(cid:177)FA¢(cid:52)F B(cid:311)(cid:48)(cid:57)(cid:107)(cid:227)(cid:90)(cid:13)(cid:217)(cid:195)
1 2
(cid:244)(cid:51)(cid:48)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:161)0(cid:245)(cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)l(cid:49)(cid:50)(cid:161)x=ny+m(cid:57)
(cid:110)Ax,y (cid:57)Bx ,y (cid:57)(cid:218)A¢-x,y (cid:57)
1 1 2 2 1 1
ìx2 y2
(cid:60)(cid:61) ï í 2 - 2 =1 (cid:57)(cid:224)(cid:92)(cid:114)  n2-1  y2+2nmy+m2-2=0(cid:57)
ï
îx=ny+m
Δ=2nm2 -4  n2-1  m2-2  =4  m2+2n2-2  >0(cid:10)*(cid:11)(cid:254)n2-1¹0(cid:57)
-2nm m2-2
y +y = (cid:57)y y = (cid:57)
1 2 n2-1 1 2 n2-1
(cid:253)(cid:161)F -2,0(cid:57)F 2,0(cid:57)
1 2
uuur uuuur
(cid:211)(cid:237)FA¢=-x +2,y =-ny -m+2,y (cid:57)F B=x -2,y =ny +m-2,y (cid:57)
1 1 1 1 2 2 2 2 2
uuur uuuur
(cid:211)(cid:237)FA¢×F B=-ny -m+2ny +m-2+y y =0(cid:57)
2 1 2 1 2
(cid:206)  -n2+1  y y -nm-2y +y -m-22 =0(cid:57)
1 2 1 2
 -n2+1  m2-2  nm-2-2nm
(cid:206) - -m-22 =0(cid:57)
n2-1 n2-1
(cid:224)(cid:92)(cid:114)m2-n2-2m+1=0(cid:57)(cid:206)n2 =m2-2m+1(cid:57)
4
(cid:83)(cid:256)(cid:10)*(cid:11)(cid:104)(cid:114)3m2-4m>0(cid:57)(cid:225)m>0(cid:57)(cid:211)(cid:237)m> (cid:57)
3
(cid:225)(cid:253)(cid:161)n2-1¹0(cid:57)(cid:206)m2-2m+1-1¹0(cid:57)(cid:211)(cid:237)m¹0(cid:254)m¹2(cid:57)
æ4 ö
(cid:170)(cid:38)(cid:57)m(cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:161)ç ,2÷È2,+¥.
è3 øx2 y2
4(cid:187)（2025·天津·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45) + =1a>b>0(cid:24)(cid:306)(cid:228)(cid:4)(cid:161)F(cid:57)(cid:307)(cid:192)(cid:4)(cid:161)A(cid:57)P(cid:161)x=a(cid:38)(cid:30)(cid:4)(cid:57)
a2 b2
1 3 1
(cid:254)(cid:51)(cid:48)PF(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161) (cid:57)VPFA(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:161) (cid:57)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) .
3 2 2
(1)(cid:62)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:59)(cid:4)P(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:209)(cid:310)(cid:30)(cid:64)(cid:4)B(cid:10)(cid:308)(cid:196)(cid:4)A(cid:11)(cid:57)(cid:62)(cid:133)(cid:190)PF(cid:156)(cid:5)ÐAFB.
x2 y2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) + =1
4 3
(2)(cid:133)(cid:134)(cid:190)(cid:216)(cid:10)1(cid:11)(cid:207)(cid:177)P(2,1)(cid:57)F(-1,0)(cid:57)A(2,0)(cid:57)
(cid:243)(cid:177)(cid:51)(cid:48)PB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:110)(cid:175)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=kx+m(cid:57)(cid:218)1=2k+m(cid:57)(cid:206)m=1-2k(cid:57)
ìy=kx+m
(cid:60)(cid:61) ï íx2 y2 (cid:57)(cid:112)(cid:113)y(cid:114)(cid:57)  3+4k2 x2+8kmx+4m2-12=0(cid:57)
ï + =1
î 4 3
(cid:253)(cid:161)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:209)(cid:310)(cid:30)(cid:64)(cid:4)(cid:57)(cid:211)(cid:237)Δ=8k×m2 -4(3+4k2)×(4m2-12)=0(cid:57)
1
(cid:206)4k2-m2+3=0(cid:57)(cid:218)4k2-1-2k2 +3=0(cid:57)(cid:142)(cid:114)k =- (cid:57)(cid:218)m=2(cid:57)
2
1
(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)PB(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=- x+2(cid:57)
2
ì 1
y=- x+2 ìx=1
ï
ï 2 ï 3
(cid:60)(cid:61)í (cid:57)(cid:142)(cid:114)í 3(cid:57)(cid:218)B(1, )(cid:57)
x2 y2 y= 2
ï ï
+ =1 î 2
ïî 4 3
(cid:237)(cid:278)(cid:5)(cid:232)(cid:68)(cid:22)(cid:343)(cid:49)(cid:73)(cid:133)(cid:134)(cid:89)(cid:329)(cid:190)
uuur æ 3ö uuur uuur
(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:218)FB=ç2, ÷,FP=3,1,FA=3,0(cid:57)
è 2ø
3
uuur uuur 2´3+ ´1
FB×FP 2 3 10
(cid:211)(cid:237) cosÐBFP= uuur uuur = = (cid:57)
FB × FP æ3ö 2 10
22+ç ÷ × 32+12
è2ø
uuur uuur
FA×FP 3´3+1´0 3 10
cosÐPFA= uuur uuur = = (cid:57)
FA× FP 3 32+12 10π
(cid:218)cosÐBFP=cosÐPFA(cid:57)(cid:225)ÐBFP,ÐPFAÎ(0, )(cid:57)
2
(cid:211)(cid:237)ÐBFP=ÐPFA(cid:57)(cid:206)PF(cid:156)(cid:5)ÐAFB.
3
-0 1-0 1
(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:211)(cid:237) 2 3(cid:57)k = = (cid:57)k =0(cid:57)
k = = PF 2-(-1) 3 AF
FB 1-(-1) 4
3 1 1
- -0
4 3 1 3 1
(cid:216)(cid:197)(cid:51)(cid:48)(cid:392)(cid:20)(cid:69)(cid:70)(cid:57)(cid:114)tanÐBFP= = (cid:57)tanÐPFA= = (cid:57)
1 3 3 1+0 3
1+ ´
3 4
π
(cid:218)tanÐBFP=tanÐPFA(cid:57)(cid:225)ÐBFP,ÐPFAÎ(0, )(cid:57)
2
(cid:211)(cid:237)ÐBFP=ÐPFA(cid:57)(cid:206)PF(cid:156)(cid:5)ÐAFB.
1 3
(cid:73)(cid:19)(cid:190)(cid:218)tanÐPFA=k = (cid:57)tanÐBFA=k = (cid:57)
PF 3 FB 4
1
2´
2tanÐPFA 3 3
tan2ÐPFA= = = =tanÐBFA
(cid:219) (cid:57)
1-tan2ÐPFA æ1ö 2 4
1-ç ÷
è3ø
π
(cid:225)ÐBFP,ÐPFAÎ(0, )(cid:57)
2
(cid:211)(cid:237)ÐBFP=ÐPFA(cid:57)(cid:206)PF(cid:156)(cid:5)ÐAFB.
3
-0
(cid:73)(cid:22)(cid:190)(cid:218) 2 3(cid:57)
k = =
FB 1-(-1) 4
3
(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)FB(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y= x+1(cid:57)(cid:206)3x-4y+3=0(cid:57)
4
3´2-4´1+3
d = =1
(cid:218)(cid:4)P(cid:115)(cid:51)(cid:48)FB(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:161) (cid:57)
32+-42
(cid:225)(cid:4)P(cid:115)(cid:51)(cid:48)FA(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:333)(cid:161)1(cid:57)
(cid:211)(cid:237)PF(cid:156)(cid:5)ÐAFB.
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:13)(cid:217)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:114)(cid:115)a=2c(cid:57)(cid:66)(cid:216)(cid:51)(cid:48)PF(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:114)(cid:115)m=c(cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:67)(cid:68)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:70)(cid:114)(cid:115)(cid:55)(cid:196)c(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:142)(cid:229)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:142)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:175)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:62)(cid:114)k(cid:57)(cid:75)(cid:252)(cid:114)(cid:115)(cid:51)(cid:48)PB(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:4)B(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:67)(cid:68)(cid:274)
(cid:108)(cid:24)(cid:392)(cid:20)(cid:69)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:133)(cid:195)(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:67)(cid:68)(cid:197)(cid:51)(cid:48)(cid:24)(cid:392)(cid:20)(cid:69)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:133)(cid:195)(cid:73)(cid:19)(cid:67)(cid:68)(cid:367)(cid:242)(cid:24)(cid:309)(cid:20)(cid:69)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:133)(cid:195)(cid:73)
(cid:22)(cid:190)(cid:67)(cid:68)(cid:20)(cid:156)(cid:5)(cid:48)(cid:24)(cid:169)(cid:287)(cid:52)(cid:4)(cid:48)(cid:137)(cid:138)(cid:69)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:133).
x2 y2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:315)(cid:13)(cid:217)(cid:57)(cid:110)(cid:189)(cid:45) + =1(a>b>0)(cid:24)(cid:351)(cid:228)(cid:137)(cid:161)c(cid:57)
a2 b2c 1
(cid:218)(cid:306)(cid:228)(cid:4)F(-c,0)(cid:57)(cid:307)(cid:192)(cid:4)A(a,0)(cid:57)(cid:138)(cid:194)(cid:140)e= = (cid:57)(cid:206)a=2c(cid:57)
a 2
(cid:253)(cid:161)P(cid:161)x=a(cid:38)(cid:30)(cid:4)(cid:57)(cid:110)P(a,m)(cid:57)
1 m-0 1 m 1
(cid:225)(cid:51)(cid:48)PF(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161) (cid:57)(cid:218) = (cid:57)(cid:206) = (cid:57)
3 a-(-c) 3 a+c 3
m 1
(cid:211)(cid:237) = (cid:57)(cid:142)(cid:114)m=c(cid:57)(cid:218)P(a,c)(cid:57)(cid:206)P(2c,c)(cid:57)
2c+c 3
3
(cid:253)(cid:161)VPFA(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:161) (cid:57)|AF|=a-(-c)=a+c=3c(cid:57)(cid:43)(cid:161)|m|=c(cid:57)
2
1 1 3
(cid:211)(cid:237)S = AF m = ´3c´c= (cid:57)(cid:142)(cid:114)c=1(cid:57)
VPFA 2 2 2
(cid:218)a=2c=2(cid:57)b2 =a2-c2 =3(cid:57)
x2 y2
(cid:211)(cid:237)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161) + =1.
4 3
.
(cid:10)2(cid:11)(cid:364)
x2 y2
5(cid:187)（2025·上海·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)G: + =1(a> 5)(cid:57)M(0,m)(m>0)(cid:57)A(cid:193)G(cid:24)(cid:307)(cid:192)(cid:4)(cid:187)
a2 5
(1)(cid:199)G(cid:24)(cid:228)(cid:4)(2,0)(cid:57)(cid:62)(cid:138)(cid:194)(cid:140)e(cid:195)
uuur uuuur
(2)(cid:199)a=4(cid:57)(cid:254)G(cid:38)(cid:263)(cid:101)(cid:30)(cid:4)P(cid:57)(cid:280)(cid:281)AP=2PM (cid:57)(cid:62)m(cid:195)
(3)(cid:188)(cid:177)AM(cid:24)(cid:104)(cid:157)(cid:48)l(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161)2(cid:57)l(cid:52)G(cid:64)(cid:196)C(cid:18)D(cid:197)(cid:4)(cid:57)ÐCMD(cid:161)(cid:401)(cid:20)(cid:57)(cid:62)a(cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:187)
2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)
3
(2) 10
 
(3) 5, 11
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:49)(cid:50)(cid:207)(cid:114)b2 =5(cid:57)(cid:66)(cid:216)(cid:228)(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:114)c(cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:62)(cid:63)a(cid:114)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:195)
uuur uuuur
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)(cid:4)P(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:216)(cid:274)(cid:108)(cid:55)(cid:56)AP=2PM (cid:65)(cid:37)(cid:103)(cid:207)(cid:142)(cid:114)P(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:83)(cid:256)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:207)(cid:114)m(cid:195)
(cid:10)3(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:104)(cid:157)(cid:48)(cid:169)(cid:287)(cid:57)(cid:216)(cid:139)(cid:140)(cid:52)(cid:104)(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:114)(cid:51)(cid:48)l(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:158)(cid:401)(cid:20)(cid:159)(cid:160)(cid:152)(cid:103)(cid:161)(cid:274)(cid:108)(cid:107)
uuuur uuuur
(cid:74)(cid:70)MC×MD<0(cid:57)(cid:66)(cid:65)(cid:37)(cid:103)(cid:67)(cid:68)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:83)(cid:256)(cid:103)(cid:241)(cid:107)(cid:74)(cid:70)(cid:62)(cid:142)(cid:207)(cid:114)a(cid:130)(cid:131).
x2 y2
 
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:177)(cid:57)Γ: + =1 a> 5 (cid:57)(cid:218)b2 =5(cid:57)
a2 5(cid:216)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(2,0)(cid:57)(cid:207)(cid:177)c=2(cid:57)(cid:218)a= 5+c2 =3(cid:57)
c 2
(cid:219)(cid:138)(cid:194)(cid:140)e= = .
a 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:217)A(4,0),M(0,m)(m>0)(cid:57)P(x ,y )
P P
(cid:216) u A u P ur =2 u P u M uur (cid:114)(cid:57) ì í x P -4=-2x P (cid:57)
y =2m-2y
î P p
4 2m x2 y2
(cid:142)(cid:114)P( , )(cid:57)(cid:83)(cid:256) + =1(cid:57)
3 3 16 5
1 4m2
(cid:114) + =1(cid:57)(cid:225)m>0(cid:57)(cid:142)(cid:114)m= 10.
9 45
1
(cid:10)3(cid:11)(cid:216)(cid:48)(cid:154)AM (cid:24)(cid:104)(cid:157)(cid:48)l(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161)2(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)AM (cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161)- (cid:57)
2
m-0 1 a
(cid:218) =- (cid:57)(cid:142)(cid:114)m= (cid:57)
0-a 2 2
a a a
(cid:216)A(a,0),M(0, )(cid:114)AM (cid:104)(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:161)( , )(cid:57)
2 2 4
3 3
(cid:219)(cid:51)(cid:48)l:y=2x- a(cid:57)(cid:288)(cid:289)(cid:51)(cid:48)l(cid:59)(cid:189)(cid:45)(cid:220)(cid:4)( a,0)(cid:57)
4 8
(cid:219)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:222)(cid:209)(cid:197)(cid:107)(cid:248)(cid:64)(cid:4)(cid:57)
(cid:110)C(x,y ),D(x ,y )(cid:57)
1 1 2 2
ì 3
ïy=2x- a 9
(cid:216)í 4 (cid:112)y(cid:114)(4a2+5)x2-3a3x+ a4-5a2 =0(cid:57)
16
ï î5x2+a2y2 =5a2
9
a4-5a2
(cid:216)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:114) 3a3 16 (cid:57)
x +x = ,xx =
1 2 4a2+5 1 2 4a2+5
uuuur uuuur a
(cid:253)(cid:161)ÐCMD(cid:161)(cid:401)(cid:20)(cid:57)(cid:218)MC×MD<0(cid:57)(cid:254)M(0, )(cid:57)
2
a a
(cid:218)(cid:209)xx +(y - )(y - )<0(cid:57)
1 2 1 2 2 2
æ 5aöæ 5aö 5 25
(cid:211)(cid:237)xx +ç2x - ÷ç2x - ÷=5xx - a(x +x )+ a2 <0(cid:57)
1 2 è 1 4 øè 2 4 ø 1 2 2 1 2 16(cid:206)5 æ ç 9 a4-5a2 ö ÷- 5a ´3a3+ 25 a2 4a2+5  <0(cid:57)(cid:142)(cid:114)a2 <11(cid:57)
è16 ø 2 16
(cid:225)a> 5(cid:57)
 
(cid:219) 5<a< 11(cid:57)(cid:206)a(cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:193) 5, 11 .
x2 y2 2 2
6(cid:187)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)C: + =1(a>b>0)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) (cid:57)(cid:278)(cid:192)(cid:4)(cid:161)A(cid:57)(cid:307)(cid:192)(cid:4)(cid:161)
a2 b2 3
B(cid:57)|AB|= 10(cid:187)
(1)(cid:62)C(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:188)(cid:177)(cid:375)(cid:4)P(cid:107)(cid:101)y(cid:249)(cid:38)(cid:57)(cid:4)R(cid:101)(cid:402)(cid:48)AP(cid:38)(cid:57)(cid:254)(cid:280)(cid:281) AP × AR =3(cid:187)
(cid:10)i(cid:11)(cid:110)P(m,n)(cid:57)(cid:62)R(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:10)(cid:68)m(cid:57)n(cid:162)(cid:214)(cid:11)(cid:195)
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:110)O(cid:161)(cid:65)(cid:37)(cid:231)(cid:4)(cid:57)Q(cid:193)C(cid:38)(cid:24)(cid:375)(cid:4)(cid:57)(cid:51)(cid:48)OR(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161)(cid:51)(cid:48)OP(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:24)3(cid:309)(cid:57)(cid:62)|PQ|(cid:24)(cid:129)(cid:186)(cid:97)(cid:187)
x2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) +y2 =1
9
æ 3m n+2-m2-n2 ö  
(2)(ⅰ) ç , ÷ (ⅱ) 3 3+ 2
çm2+n+12 m2+n+12 ÷
è ø
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:13)(cid:217)(cid:316)(cid:63)a,b,c(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:70),(cid:142)(cid:49)(cid:50)(cid:62)(cid:63)a,b,c,(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:115)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:37)(cid:313)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(ⅰ)(cid:110)Rx ,y  ,(cid:235)(cid:236)(cid:139)(cid:140)(cid:155)(cid:74)(cid:237)(cid:132)(cid:13)(cid:147)(cid:159)(cid:160)(cid:316)(cid:70),(cid:103)(cid:241)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63)(cid:116)(cid:174)(cid:67)(cid:68)(cid:84)(cid:270)(cid:274)(cid:108)(cid:62)(cid:63)(cid:195)
0 0
(ⅱ) (cid:235)(cid:236)(cid:139)(cid:140)(cid:55)(cid:56)(cid:207)(cid:114)(cid:115)(cid:4)P(cid:24)(cid:403)(cid:404)(cid:161)(cid:45)(cid:10)(cid:405)(cid:113)(cid:197)(cid:4)(cid:11)(cid:57)(cid:66)(cid:235)(cid:236)(cid:4)(cid:52)(cid:45)(cid:24)(cid:129)(cid:97)(cid:62)(cid:73)(cid:89)(cid:90)(cid:19)(cid:20)(cid:406)(cid:295)(cid:116)(cid:174)(cid:51)(cid:180)(cid:85)
(cid:78)(cid:206)(cid:207)(cid:142)(cid:63).
ì a2+b2 = 10
ï
ï c 2 2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:207)(cid:177),A0,-b,Ba,0(cid:57)(cid:211)(cid:237)íe= = (cid:57)(cid:142)(cid:114)a2 =9,b2 =1,c2 =8(cid:57)
a 3
ï
ïc2 =a2-b2
î
x2
(cid:219)(cid:189)(cid:45)C(cid:24)(cid:37)(cid:313)(cid:49)(cid:50)(cid:161) +y2 =1(cid:195)
9
(cid:10)2(cid:11)(ⅰ)(cid:110)Rx ,y (cid:57)(cid:243)(cid:177)m¹0(cid:57)
0 0n+1 y +1 n+1
(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:211)(cid:237)k = (cid:57)(cid:219) 0 = (cid:57)(cid:254)mx >0(cid:187)
AP m x m 0
0
(cid:253)(cid:161)A0,-1(cid:57) AR AP =3(cid:57)(cid:211)(cid:237) x2+y +12 ´ m2+n+12 =3(cid:57)
0 0
é æn+1ö 2ù 3m n+2-m2-n2
(cid:206) êë ê1+ç è m ÷ ø ú úû x 0 m=3(cid:57)(cid:142)(cid:114)x 0 = m2+n+12 (cid:57)(cid:211)(cid:237)y 0 = m2+n+12 (cid:57)
æ 3m n+2-m2-n2 ö
(cid:211)(cid:237)(cid:4)R(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:161)ç , ÷.
çm2+n+12 m2+n+12 ÷
è ø
uuur uuur
(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:110)AR=lAP,l>0(cid:57)(cid:218) AR AP
=3Þlém2+n+12ù=3(cid:57)(cid:211)(cid:237)
ë û
3 uuur uuur æ 3m 3n+1 ö
l= (cid:57)AR=lAP=lm,n+1=ç , ÷(cid:57)(cid:219)
m2+n+12 çm2+n+12 m2+n+12 ÷
è ø
æ 3m n+2-m2-n2 ö
(cid:4)R(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:161)ç , ÷.
çm2+n+12 m2+n+12 ÷
è ø
n+2-m2-n2
m2+n+12 n+2-m2-n2 n
(ⅱ)(cid:253)(cid:161)k = = ,k = ,(cid:216)k =3k ,(cid:207)(cid:114)
OR 3m 3m OP m OR OP
m2+n+12
3n n+2-m2-n2
= ,(cid:103)(cid:241)(cid:114)m2+n2+8n-2=0,(cid:206)m2+n+42 =18m¹0,
m 3m
(cid:211)(cid:237)(cid:4)P(cid:101)(cid:237)N0,-4(cid:161)(cid:45)(cid:194),3 2(cid:161)(cid:351)(cid:352)(cid:24)(cid:45)(cid:38)(cid:10)(cid:405)(cid:113)(cid:197)(cid:191)(cid:4)(cid:11),
PQ (cid:161)Q(cid:115)(cid:45)(cid:194)N (cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:407)(cid:38)(cid:351)(cid:352),
max
(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:110)Q3cosq,sinq ,(cid:211)(cid:237)
QN 2 =3cosq2+sinq+42 =9cos2q+sin2q+8sinq+16
=8cos2q+1+8sinq+16
=8  1-sin2q  +8sinq+17
=-8sin2q+8sinq+25æ 1ö 2 1
=-8çsinq- ÷ +27£27,(cid:244)(cid:254)(cid:382)(cid:244)sinq= (cid:245)(cid:247)(cid:74)(cid:383),
è 2ø 2
 
(cid:211)(cid:237) PQ = 27+3 2 =3 3+ 2 .
max
 
x2
(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:110)Q x ,y (cid:57)(cid:218) Q +y2 =1(cid:57)
Q Q 9 Q
QN 2 =x2 +  y +4 2 =9-9y2 +y2 +8y +16=-8y2 +8y +25
Q Q Q Q Q Q Q
æ 1ö 2 1
=-8ç è y Q - 2 ÷ ø +27£27(cid:57)(cid:244)(cid:254)(cid:382)(cid:244)y Q = 2 (cid:245)(cid:247)(cid:74)(cid:383),
 
(cid:219) PQ = 27+3 2 =3 3+ 2 .
max
y2
7(cid:187)（2024·上海·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:318)(cid:47)(cid:48)Γ:x2- =1b>0(cid:57)(cid:306)(cid:18)(cid:307)(cid:192)(cid:4)(cid:5)(cid:232)(cid:161)A,A (cid:57)(cid:59)(cid:4)M-2,0(cid:24)(cid:51)
b2 1 2
(cid:48)(cid:64)(cid:318)(cid:47)(cid:48)Γ(cid:196)P,Q(cid:197)(cid:4).
(1)(cid:199)Γ(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161)2(cid:57)(cid:62)b.
2 6
(2)(cid:199)b= ,(cid:200)MAP(cid:161)(cid:74)(cid:347)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:57)(cid:254)(cid:4)P(cid:101)(cid:328)(cid:30)(cid:128)(cid:374)(cid:57)(cid:62)(cid:4)P(cid:24)(cid:65)(cid:37).
3 2
uuur uuuur
(3)(cid:408)(cid:180)QO(cid:10)O(cid:161)(cid:65)(cid:37)(cid:231)(cid:4)(cid:11)(cid:251)(cid:355)(cid:17)(cid:64)Γ(cid:196)(cid:4)R(cid:57)(cid:199)AR×AP=1(cid:57)(cid:62)b(cid:24)(cid:129)(cid:186)(cid:97).
1 2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)b= 3(cid:195)
2 6  
(2)(cid:244)b= (cid:245)(cid:57)P 2,2 2 (cid:195)
3
30
(3)b(cid:24)(cid:129)(cid:186)(cid:97)(cid:161) .
3
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:24)(cid:409)(cid:410)(cid:62)(cid:63)c(cid:57)(cid:66)(cid:62)(cid:63)b(cid:206)(cid:207)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:71)(cid:88)(cid:57)(cid:243)(cid:177)ÐPAM (cid:161)(cid:401)(cid:20)(cid:57)(cid:218) A P = AM =3(cid:57)(cid:235)(cid:236)(cid:197)(cid:4)(cid:137)(cid:138)(cid:69)(cid:70)(cid:146)(cid:61)(cid:49)(cid:50)(cid:259)(cid:57)(cid:142)(cid:229)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:142)(cid:195)
2 2 2
(cid:10)3(cid:11)(cid:110)Px,y ,Qx ,y (cid:57)PQ(cid:190)x=my-2(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:230)(cid:156)(cid:25)(cid:274)(cid:108)(cid:84)(cid:108)(cid:26)(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:162)
1 1 2 2
10 1
(cid:214)(cid:146)(cid:61)(cid:55)(cid:196)m,b(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:114)b2 = (cid:57)(cid:89)(cid:90)m2 ¹ (cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:142).
m2+3 b2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:177)a=1(cid:57)c= 1+b2 (cid:57)
c 1+b2
(cid:253)(cid:161)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161)2(cid:57)(cid:211)(cid:237) = =2(cid:57)(cid:114)b= 3.
a 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:244)b= 2 6 (cid:245)(cid:57)(cid:318)(cid:47)(cid:48)Γ:x2- 3y2 =1(cid:57)(cid:254)A 1,0 .
2
3 8(cid:253)(cid:161)(cid:4)P(cid:101)(cid:328)(cid:30)(cid:128)(cid:374)(cid:57)(cid:211)(cid:237)ÐPAM (cid:161)(cid:401)(cid:20).
2
(cid:225)(cid:200)MAP(cid:161)(cid:74)(cid:347)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:57)(cid:211)(cid:237) A P = AM =3.
2 2 2
ì x -12 +y2 =3,
ï 0 0
(cid:110)(cid:4)Px ,y (cid:57)(cid:254)x >0,y >0(cid:57)(cid:218)í
0 0 0 0 3y2
ï x2- 0 =1,
î 0 8
(cid:114)
ìï
í
x
0
=2
(cid:57)(cid:211)(cid:237)P  2,2 2  .
ïîy =2 2
0
(cid:10)3(cid:11)(cid:216)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:177)A -1,0,A 1,0(cid:57)(cid:254)(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:177)Q,R(cid:55)(cid:196)(cid:231)(cid:4)(cid:82)(cid:198).
1 2
(cid:110)Px,y ,Qx ,y (cid:57)(cid:218)R-x ,-y  .
1 1 2 2 2 2
(cid:216)(cid:51)(cid:48)PQ(cid:107)(cid:52)y(cid:249)(cid:157)(cid:51)(cid:57)(cid:207)(cid:110)(cid:51)(cid:48)PQ(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x=my-2.
ìx=my-2,
ï
(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:114)í y2
ïx2- =1,
î b2
(cid:112)(cid:113)x(cid:57)(cid:114)  b2m2-1  y2-4b2my+3b2 =0(cid:57)
1 4b2m 3b2
(cid:254)b2m2-1¹0(cid:57)(cid:206)m2 ¹ (cid:57)(cid:114)y +y = ,y y = .
b2 1 2 b2m2-1 1 2 b2m2-1
uuur uuuur
AR=-x +1,-y ,A P=x -1,y (cid:57)
1 2 2 2 1 1
uuur uuuur
(cid:216)AR×AP=1(cid:57)(cid:114)-x +1x -1-y y =1(cid:57)
1 2 2 1 1 2
(cid:211)(cid:237)x -1x -1+y y =-1(cid:57)(cid:206)my -3my -3+y y =-1(cid:57)
2 1 1 2 2 1 1 2
(cid:224)(cid:92)(cid:114)  m2+1  y y -3my +y +10=0(cid:57)
1 2 1 2
3b2 4b2m
(cid:211)(cid:237) m2+1  × -3m× +10=0(cid:57)
b2m2-1 b2m2-1
10 æ 10ù
(cid:224)(cid:92)(cid:114)b2m2+3b2-10=0(cid:57)(cid:211)(cid:237)b2 =
m2+3
Îç
è
0,
3 û ú
.
10 10b2
1 b2 ¹ =
(cid:225)m2 ¹ (cid:57)(cid:211)(cid:237) 1 3b2+1(cid:57)(cid:142)(cid:114)b2 ¹3(cid:57)
b2 +3
b2
æ 10ù
(cid:211)(cid:237)b2Î0,3Èç3,
ú
(cid:57)(cid:225)b>0(cid:57)
è 3 û
 
æ 30ù
30
(cid:219)b(cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:193) 0, 3 Èç 3, ú(cid:57)(cid:219)b(cid:24)(cid:129)(cid:186)(cid:97)(cid:161) .
ç è 3 û 3(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:55)(cid:293)(cid:4)(cid:4)(cid:292)(cid:190)(cid:142)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:52)(cid:156)(cid:25)(cid:274)(cid:108)(cid:64)(cid:411)(cid:13)(cid:24)(cid:55)(cid:293)(cid:193)(cid:110)(cid:155)(cid:55)(cid:4)(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:158)(cid:156)(cid:25)(cid:274)(cid:108)(cid:68)(cid:65)(cid:37)(cid:162)(cid:214)(cid:57)
(cid:85)(cid:68)(cid:155)(cid:354)(cid:24)(cid:156)(cid:25)(cid:274)(cid:108)(cid:65)(cid:37)(cid:85)(cid:78)(cid:73)(cid:218)(cid:10)(cid:407)(cid:18)(cid:294)(cid:18)(cid:84)(cid:108)(cid:26)(cid:18)(cid:84)(cid:270)(cid:11)(cid:116)(cid:85)(cid:78)(cid:15)(cid:116)(cid:84)(cid:108)(cid:26)(cid:24)(cid:86)(cid:87)(cid:217)(cid:173)(cid:57)(cid:158)(cid:27)(cid:13)(cid:104)(cid:274)
(cid:108)(cid:213)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:10)(cid:155)(cid:74)(cid:18)(cid:157)(cid:51)(cid:18)(cid:156)(cid:76)(cid:74)(cid:11)(cid:152)(cid:103)(cid:161)(cid:83)(cid:84)(cid:55)(cid:56).
x2 y2 1
8(cid:187)（2024·天津·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45) + =1(a>b>0)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161) (cid:187)(cid:306)(cid:192)(cid:4)(cid:161)A(cid:57)(cid:278)(cid:192)(cid:4)(cid:161)B(cid:57)C(cid:193)(cid:48)
a2 b2 2
3 3
(cid:154)OB(cid:24)(cid:104)(cid:4)(cid:10)O(cid:161)(cid:231)(cid:4)(cid:11)(cid:57)VABC(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:161) (cid:187)
2
(1)(cid:62)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:187)
uur uuur
(2)(cid:59)(cid:4)C(cid:24)(cid:375)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:155)(cid:64)(cid:196)P(cid:57)Q(cid:197)(cid:4)(cid:187)(cid:101)y(cid:249)(cid:38)(cid:193)(cid:345)(cid:263)(cid:101)(cid:4)T(cid:57)(cid:346)(cid:114)TP×TQ£0(cid:222)(cid:223)(cid:61)(cid:187)(cid:199)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:62)
(cid:63)(cid:4)T(cid:356)(cid:65)(cid:37)(cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:195)(cid:199)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:349)(cid:350)(cid:134)(cid:92)(cid:216)(cid:187)
x2 y2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) + =1
12 9
æ 3ö uur uuur
(2)(cid:263)(cid:101)T0,t ç-3£t£ ÷(cid:57)(cid:346)(cid:114)TP×TQ£0(cid:222)(cid:223)(cid:61).
è 2ø
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:230)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:207)(cid:62)(cid:149)(cid:150)(cid:108)(cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:207)(cid:114)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:37)(cid:313)(cid:49)(cid:50).
3
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)(cid:277)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:161)(cid:190)y=kx- (cid:57)Px,y ,Qx ,y ,T0,t(cid:57) (cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:230)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:251)(cid:112)(cid:295)(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:210)
2 1 1 2 2
uur uuur uur uuur
(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:230)(cid:274)(cid:108)(cid:84)(cid:108)(cid:26)(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:85)(cid:78)(cid:207)(cid:68)k,t(cid:162)(cid:214)TP×TQ(cid:57)(cid:66)(cid:235)(cid:236)TP×TQ£0(cid:207)(cid:62)t(cid:24)(cid:130)(cid:131).
1
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:253)(cid:161)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:161)e= (cid:57)(cid:219)a=2c(cid:57)b= 3c(cid:57)(cid:175)(cid:104)c(cid:161)(cid:351)(cid:228)(cid:137)(cid:57)
2
(cid:211)(cid:237)A-2c,0,B  0,- 3c  ,C
æ
ç0,-
3cö
÷(cid:57)(cid:219)S = 1 ´2c´ 3 c= 3 3 (cid:57)
ç è 2 ÷ ø (cid:200)ABC 2 2 2
x2 y2
(cid:219)c= 3(cid:57)(cid:211)(cid:237)a=2 3(cid:57)b=3(cid:57)(cid:219)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:161)(cid:190) + =1.
12 9
(cid:10)2(cid:11)æ 3ö 3
(cid:199)(cid:59)(cid:4)ç0,- ÷(cid:24)(cid:375)(cid:51)(cid:48)(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:218)(cid:207)(cid:110)(cid:277)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:161)(cid:190)y=kx- (cid:57)
è 2ø 2
(cid:110)Px,y ,Qx ,y ,T0,t(cid:57)
1 1 2 2
ì3x2+4y2 =36
(cid:216) ï í 3 (cid:207)(cid:114)  3+4k2 x2-12kx-27=0(cid:57)
ïy=kx-
î 2
(cid:219)Δ=144k2+108  3+4k2 =324+576k2 >0(cid:254)x +x = 12k ,xx =- 27 ,
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
uur uuur
(cid:252)TP=x,y -t,TQ=x ,y -t(cid:57)
1 1 2 2
uur uuur æ 3 öæ 3 ö
(cid:219)TP×TQ=xx +y -ty -t=xx +çkx - -t÷çkx - -t÷
1 2 1 2 1 2 è 1 2 øè 2 2 ø
=  1+k2 xx -k æ ç 3 +t ö ÷ x +x + æ ç 3 +t ö ÷ 2
1 2 è2 ø 1 2 è2 ø
=
 1+k2
´
æ
ç-
27 ö
÷-k
æ
ç
3
+t
ö
÷´
12k
+
æ
ç
3
+t
ö
÷
2
è 3+4k2 ø è2 ø 3+4k2 è2 ø
-27k2-27-18k2-12k2t+3 æ ç 3 +t ö ÷ 2 +3+2t2k2
è2 ø
=
3+4k2
é ë 3+2t2 -12t-45ù û k2+3 æ ç è 3 2 +t ö ÷ ø 2 -27 (cid:57)
=
3+4k2
ì3+2t2 -12t-45£0
uur uuur ï 3
(cid:253)(cid:161)TP×TQ£0(cid:222)(cid:223)(cid:61)(cid:57)(cid:219)í æ3 ö 2 (cid:57)(cid:142)(cid:114)-3£t£ .
ï3ç +t÷ -27£0 2
î è2 ø
æ 3ö
(cid:199)(cid:59)(cid:4)ç0,- ÷(cid:24)(cid:375)(cid:51)(cid:48)(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:218)P0,3,Q0,-3(cid:116)P0,-3,Q0,3(cid:57)
è 2ø
3
(cid:276)(cid:245)(cid:99)-3£t£3(cid:57)(cid:197)(cid:174)(cid:89)(cid:90)(cid:207)(cid:114)-3£t£ .
2
æ 3ö uur uuur
(cid:170)(cid:38)(cid:57)(cid:263)(cid:101)T0,t ç-3£t£ ÷(cid:57)(cid:346)(cid:114)TP×TQ£0(cid:222)(cid:223)(cid:61).
è 2ø
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:124)(cid:330)(cid:4)(cid:292)(cid:190)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:104)(cid:24)(cid:130)(cid:131)(cid:27)(cid:13)(cid:57)(cid:182)(cid:182)(cid:99)(cid:100)(cid:68)(cid:90)(cid:412)(cid:24)(cid:111)(cid:84)(cid:162)(cid:214)(cid:147)(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:70)(cid:57)(cid:162)(cid:214)(cid:59)(cid:50)(cid:104)(cid:99)(cid:100)(cid:358)
(cid:359)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:57)(cid:276)(cid:245)(cid:126)(cid:217)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:90)(cid:92)(cid:413)(cid:110).9(cid:187)（2023·上海·高考真题）(cid:47)(cid:48)G:y2 =4x(cid:57)(cid:328)(cid:30)(cid:128)(cid:374)(cid:220)(cid:4)A(cid:101)Γ(cid:38)(cid:57)A(cid:24)(cid:356)(cid:65)(cid:37)(cid:193)a(cid:187)
(1)(cid:199)A(cid:115)(cid:313)(cid:48)(cid:137)(cid:138)(cid:161)3(cid:57)(cid:62)a(cid:195)
(2)(cid:199)a(cid:414)4(cid:57)B(cid:101)x(cid:249)(cid:38)(cid:57)AB(cid:104)(cid:4)(cid:101)G(cid:38)(cid:57)(cid:62)(cid:4)B(cid:65)(cid:37)(cid:230)(cid:65)(cid:37)(cid:231)(cid:4)O(cid:115)AB(cid:137)(cid:138)(cid:195)
(3)(cid:51)(cid:48)l:x=-3(cid:57)(cid:279)P(cid:193)(cid:328)(cid:30)(cid:128)(cid:374)Γ(cid:38)(cid:308)(cid:196)A(cid:24)(cid:30)(cid:4)(cid:57)(cid:51)(cid:48)PA(cid:64)l(cid:196)Q(cid:57)H(cid:193)P(cid:101)l(cid:38)(cid:24)(cid:415)(cid:416)(cid:57)(cid:199)(cid:4)A(cid:280)
(cid:281)“(cid:82)(cid:196)(cid:393)(cid:217)P(cid:394)(cid:209) HQ >4”(cid:57)(cid:62)a(cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:187)
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)2 2
4 13
(2)
13
(3)(0,2]
a2
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:83)(cid:256)(cid:62)(cid:63)x = (cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:96)(cid:173)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63)a(cid:97)(cid:195)
A 4
(cid:10)2(cid:11)(cid:83)(cid:256)a(cid:97)(cid:62)(cid:63)A(4,4)(cid:57)(cid:110)B(b,0)(cid:57)(cid:218)(cid:114)(cid:115)AB(cid:24)(cid:104)(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:66)(cid:83)(cid:256)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:218)(cid:114)b(cid:97)(cid:57)(cid:218)(cid:114)(cid:115)(cid:51)(cid:48)AB
(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:4)(cid:115)(cid:51)(cid:48)(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:206)(cid:207)(cid:195)
æ p2 ö p2+12
(cid:10)3(cid:11)(cid:110)Pç ,p÷(p>0,p¹a)(cid:57)(cid:380)(cid:63)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:62)(cid:63)Q(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:218)|HQ|= >4(cid:57)(cid:5)aÎ0,2
è 4 ø a+ p
(cid:230)a=2(cid:342)(cid:329)(cid:206)(cid:207).
a2 a2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:279)y=a(cid:57)(cid:142)(cid:114)x= (cid:57)(cid:206)x = (cid:57)(cid:252)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:24)(cid:313)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x=-1(cid:57)
4 A 4
a2
(cid:235)(cid:236)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:24)(cid:96)(cid:173)(cid:209) +1=3(cid:57)(cid:142)(cid:114)a=±2 2(cid:57)(cid:253)(cid:161)A(cid:161)(cid:328)(cid:30)(cid:128)(cid:374)(cid:24)(cid:4)(cid:57)(cid:218)a=2 2.
4
(cid:10)2(cid:11)(cid:216)a=4(cid:83)(cid:256)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:209)16=4x(cid:57)(cid:142)(cid:114)x=4(cid:57)(cid:218)A(4,4)(cid:57)
æ b ö
(cid:110)B(b,0)(cid:57)(cid:218)AB(cid:24)(cid:104)(cid:4)(cid:161)ç2+ ,2÷,
è 2 ø
æb ö
(cid:83)(cid:256)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:209)4=4ç +2÷(cid:57)(cid:142)(cid:114)b=-2(cid:57)
è2 ø
4-0 2 2
\(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161)k = = (cid:57)(cid:175)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y= (x+2)(cid:57)(cid:206)2x-3y+4=0,
AB 4+2 3 3
4 4 13
\(cid:65)(cid:37)(cid:231)(cid:4)O(cid:115)AB(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:161)d = = .
13 13
æ p2 ö æa2 ö
(cid:10)3(cid:11)(cid:110)Pç ,p÷(p>0,p¹a)(cid:57)(cid:235)(cid:236)Aç ,a÷(cid:57)
è 4 ø è 4 ø
p-a 4
k = = 4 æ p2 ö
(cid:218) AP p2-a2 p+a(cid:57)(cid:218)(cid:51)(cid:48)AP(cid:49)(cid:50)(cid:161)y- p= çx- ÷(cid:57)
p+aè 4 ø
4
(cid:103)(cid:241)(cid:114)4x-(a+ p)y+ap=0(cid:57)ap-12 ap-12 p2+12
(cid:279)x=-3(cid:57)(cid:218)y = (cid:57)(cid:225)H(-3,p)(cid:57)\|HQ|= - p = >4(cid:57)
Q a+ p a+ p a+ p
(cid:103)(cid:241)(cid:114) 4a<(p-2)2+8 (cid:82)(cid:393)(cid:217)(cid:24) pÎ(0,a)È(a,+¥) (cid:222)(cid:223)(cid:61).
(cid:218)4a<8, (cid:89)(cid:90)a>0(cid:57)\①aÎ(0,2)(cid:57)
(cid:244)a=2(cid:245)(cid:57)Qp¹a(cid:57)(cid:218)p¹2(cid:57)(cid:218) (cid:333)(cid:223)(cid:61).
(cid:170)(cid:38)(cid:211)(cid:344):aÎ(0,2]. ①
æ p2 ö
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:55)(cid:293)(cid:4)(cid:292)(cid:190)(cid:150)(cid:13)(cid:328)(cid:19)(cid:27)(cid:24)(cid:55)(cid:293)(cid:193)(cid:110)Pç ,p÷(p>0,p¹a)(cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:380)(cid:63)(cid:51)(cid:48)AP(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:66)(cid:114)(cid:115)
è 4 ø
p2+12
|HQ|= >4(cid:57)(cid:66)(cid:152)(cid:103)(cid:161)(cid:222)(cid:223)(cid:61)(cid:27)(cid:13)(cid:57)(cid:5)(cid:6)(cid:342)(cid:329)(cid:206)(cid:207).
a+ p
æ 1ö
10(cid:187)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:101)(cid:51)(cid:20)(cid:65)(cid:37)(cid:56)xOy(cid:104)(cid:57)(cid:4)P(cid:115)x(cid:249)(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:74)(cid:196)(cid:4)P(cid:115)(cid:4)ç0, ÷(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:57)(cid:312)
è 2ø
(cid:375)(cid:4)P(cid:24)(cid:403)(cid:404)(cid:161)W(cid:187)
(1)(cid:62)W(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:188)(cid:177)(cid:417)(cid:21)ABCD(cid:209)(cid:19)(cid:191)(cid:192)(cid:4)(cid:101)W(cid:38)(cid:57)(cid:133)(cid:134)(cid:190)(cid:417)(cid:21)ABCD(cid:24)(cid:418)(cid:17)(cid:186)(cid:196)3 3(cid:187)
1
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)y=x2+
4
(2)(cid:390)(cid:142)(cid:205)
æ 1ö 2
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)P(x,y)(cid:57)(cid:235)(cid:236)(cid:13)(cid:217)(cid:316)(cid:63)(cid:49)(cid:50)x2+çy- ÷ = y2(cid:57)(cid:103)(cid:241)(cid:206)(cid:207)(cid:195)
è 2ø
æ 1ö æ 1ö æ 1ö
(cid:10)2(cid:11)(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:110)(cid:417)(cid:21)(cid:24)(cid:19)(cid:191)(cid:192)(cid:4)Aça,a2+ ÷,Bçb,b2+ ÷,Cçc,c2+ ÷(cid:57)(cid:254)a<b<c(cid:57)(cid:5)(cid:232)(cid:279)
è 4ø è 4ø è 4ø
1 æ 1ö
k =a+b=m<0(cid:57)k =b+c=n>0(cid:57)(cid:254)mn=-1(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:419)(cid:420)(cid:73)(cid:114) C³çn+ ÷ 1+n2 (cid:57)(cid:110)(cid:144)(cid:84)
AB BC 2 è nø
f(x)=
æ
çx+
1ö
÷
2  1+x2(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:151)(cid:84)(cid:62)(cid:63)(cid:175)(cid:129)(cid:234)(cid:97)(cid:57)(cid:218)(cid:114)C(cid:24)(cid:129)(cid:234)(cid:97)(cid:57)(cid:66)(cid:421)(cid:405)(cid:23)(cid:422)(cid:97)(cid:206)(cid:207).
è xø1
(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:110)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=k(x-a)+a2+ (cid:57)(cid:158)(cid:175)(cid:52)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:57)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:16)(cid:17)(cid:69)(cid:70)(cid:230)(cid:419)(cid:420)(cid:73)(cid:114)
4
 1+k23
(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:406)(cid:295)(cid:73)(cid:230)(cid:62)(cid:151)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63)(cid:418)(cid:17)(cid:129)(cid:97)(cid:57)(cid:66)(cid:421)(cid:405)(cid:23)(cid:422)(cid:97)(cid:206)(cid:207).
AB + AD ³
k2
(cid:73)(cid:19)(cid:190)(cid:67)(cid:68)(cid:156)(cid:258)(cid:65)(cid:37)(cid:56)(cid:73)(cid:57)(cid:66)(cid:110)(cid:4)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:19)(cid:20)(cid:406)(cid:295)(cid:66)(cid:82)(cid:20)(cid:184)(cid:5)(cid:6)(cid:342)(cid:329)(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:149)(cid:150)(cid:107)(cid:74)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:133)(cid:134).
æ 1ö 2 1
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)P(x,y),(cid:218) y = x2+çy- ÷ (cid:57)(cid:197)(cid:23)(cid:248)(cid:156)(cid:49)(cid:103)(cid:241)(cid:114)y=x2+ (cid:57)
è 2ø 4
1
(cid:219)W :y=x2+ .
4
æ 1ö æ 1ö æ 1ö
(cid:10)2(cid:11)(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:110)(cid:417)(cid:21)(cid:24)(cid:19)(cid:191)(cid:192)(cid:4)Aça,a2+ ÷,Bçb,b2+ ÷,Cçc,c2+ ÷(cid:101)W(cid:38),(cid:254)a<b<c(cid:57)(cid:243)(cid:177)(cid:417)(cid:21)(cid:22)(cid:159)(cid:23)
è 4ø è 4ø è 4ø
(cid:211)(cid:101)(cid:51)(cid:48)(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:282)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:254)(cid:107)(cid:161)0(cid:57)
1 æ 1ö
b2+ -ça2+
÷
(cid:218)k AB ×k BC =-1,a+b<0<b+c,(cid:279) k = 4 è 4ø =a+b=m<0 (cid:57)
AB b-a
1
(cid:248)(cid:92)(cid:279)k =b+c=n>0(cid:57)(cid:254)mn=-1(cid:57)(cid:218)m = - (cid:57)
BC n
1
(cid:110)(cid:417)(cid:21)(cid:418)(cid:17)(cid:161)C,(cid:216)(cid:82)(cid:198)(cid:169)(cid:107)(cid:246)(cid:110)|m|³|n|(cid:57)k -k =c-a=n-m=n+ (cid:57)
BC AB n
1 æ 1ö æ 1ö
(cid:218) C =|AB|+|BC|=(b-a) 1+m2 +(c-b) 1+n2 ³(c-a) 1+n2 =çn+ ÷ 1+n2 (cid:57)(cid:243)(cid:177)çn+ ÷ 1+n2 >0
2 è nø è nø
(cid:218)(cid:279) f(x)= æ çx+ 1ö ÷ 2  1+x2 ,x>0, f¢(x)=2 æ çx+ 1ö ÷ 2 æ ç2x- 1ö ÷ ,
è xø è xø è xø
2
(cid:279) f¢(x)=0(cid:57)(cid:142)(cid:114)x= (cid:57)
2
æ 2ö
(cid:244)xÎç0, ÷(cid:245)(cid:57) f¢(x)<0(cid:57)(cid:276)(cid:245) f(x)(cid:275)(cid:166)(cid:398)(cid:294)(cid:57)
ç 2 ÷
è ø
æ 2 ù
(cid:244)xÎç ,1ú(cid:57) f¢(x)>0(cid:57)(cid:276)(cid:245) f(x)(cid:275)(cid:166)(cid:398)(cid:399)(cid:57)
ç 2
è ûæ 2ö 27
(cid:218) f(x) = f ç ÷= (cid:57)
min ç 2 ÷ 4
è ø
1 27 3 3
(cid:219) C³ = ,(cid:206)C³3 3.
2 4 2
2
(cid:244)C =3 3(cid:245),n= ,m=- 2,(cid:254)(b-a) 1+m2 =(b-a) 1+n2 (cid:57)(cid:206)m=n(cid:245)(cid:74)(cid:383)(cid:223)(cid:61)(cid:57)(cid:369)(cid:370)(cid:57)(cid:219)C >3 3,
2
(cid:114)(cid:133).
(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:107)(cid:246)(cid:110)A,B,D(cid:101)W(cid:38)(cid:57)(cid:254)BA^DA(cid:57)
æ 1ö
(cid:315)(cid:13)(cid:217)(cid:207)(cid:110)Aça,a2+ ÷(cid:57)(cid:243)(cid:177)(cid:51)(cid:48)BA(cid:57)DA(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:282)(cid:263)(cid:101)(cid:254)(cid:107)(cid:161)0(cid:57)
è 4ø
1
(cid:218)(cid:110)BA,DA(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:5)(cid:232)(cid:161)k(cid:230)- (cid:57)(cid:216)(cid:82)(cid:198)(cid:169)(cid:57)(cid:107)(cid:246)(cid:110) k £1(cid:57)
k
1
(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=k(x-a)+a2+ (cid:57)
4
ì 1
y=x2+
ï
ï 4
(cid:218)(cid:60)(cid:61)í (cid:114)x2-kx+ka-a2 =0(cid:57)
1
ïy=k(x-a)+a2+
ïî 4
D=k2-4  ka-a2 =k-2a2 >0(cid:57)(cid:218)k ¹2a
(cid:218)|AB|= 1+k2 |k-2a|(cid:57)
1 1
(cid:248)(cid:92)|AD|= 1+ +2a (cid:57)
k2 k
1 1
\|AB|+|AD|= 1+k2 |k-2a|+ 1+ +2a
k2 k
æ 1 ö 1
 1+k23
³ 1+k2 ç k-2a + +2a ÷³ 1+k2 k+ =
è k ø k k2
(m+1)3 1
(cid:279)k2 =m(cid:57)(cid:218)mÎ0,1(cid:57)(cid:110) f(m)= =m2+3m+ +3(cid:57)
m m1 (2m-1)(m+1)2 1
(cid:218) f¢(m)=2m+3- = (cid:57)(cid:279) f¢(m)=0(cid:57)(cid:142)(cid:114)m= (cid:57)
m2 m2 2
æ 1ö
(cid:244)mÎç0, ÷(cid:245)(cid:57) f¢(m)<0(cid:57)(cid:276)(cid:245) f(m)(cid:275)(cid:166)(cid:398)(cid:294)(cid:57)
è 2ø
æ1 ö
(cid:244)mÎç ,+¥÷(cid:57) f¢(m)>0(cid:57)(cid:276)(cid:245) f(m)(cid:275)(cid:166)(cid:398)(cid:399)(cid:57)
è2 ø
æ1ö 27
(cid:218) f(m) = f ç ÷= (cid:57)
min è2ø 4
3 3
\|AB|+|AD|³ (cid:57)
2
1 1 æ 1 ö 2
(cid:423) 1+k2 |k-2a|+ 1+ +2a ³ 1+k2 ç|k-2a|+ +2a ÷(cid:57)(cid:276)(cid:91)(cid:247)(cid:74)(cid:159)(cid:160)(cid:161)k=1(cid:57)(cid:52)(cid:129)(cid:336)(cid:247)(cid:74)(cid:245)k =
k2 k è k ø 2
3 3
(cid:107)(cid:30)(cid:267)(cid:57)(cid:219) AB + AD > .
2
1
(cid:73)(cid:19)(cid:190)(cid:161)(cid:119)(cid:77)(cid:78)(cid:49)(cid:424),(cid:425)(cid:239)(cid:158)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:274)(cid:278)(cid:258)(cid:375) (cid:191)(cid:275)(cid:53)(cid:114)(cid:285)(cid:286)(cid:48)W¢:y=x2,
4
(cid:417)(cid:21)ABCD(cid:102)(cid:406)(cid:161)(cid:417)(cid:21)A¢B¢C¢D¢,(cid:218)(cid:27)(cid:13)(cid:74)(cid:426)(cid:196)(cid:417)(cid:21)A¢B¢C¢D¢(cid:24)(cid:418)(cid:17)(cid:186)(cid:196)3 3.
(cid:110)
B¢
t
,t2 ,A¢
t
,t2 ,C¢
t
,t2
, (cid:235)(cid:236)(cid:82)(cid:198)(cid:169)(cid:107)(cid:246)(cid:110) t ³0.
0 0 1 1 2 2 0
(cid:218) k =t +t ,k =t +t , (cid:216)(cid:196) A¢B¢^B¢C¢, (cid:218) t +t t +t =-1.
A¢B¢ 1 0 B¢C¢ 2 0 1 0 2 0
(cid:216)(cid:196) A¢B¢ = 1+t +t 2 t -t , B¢C¢ = 1+t +t 2 t -t , (cid:254) t (cid:427)(cid:196) t ,t (cid:229)(cid:213),
1 0 1 0 2 0 2 0 0 1 2
(cid:218) A¢B¢ + B¢C¢ = 1+t +t 2 t -t + 1+t +t 2 t -t . (cid:279) t +t =tanq,
1 0 1 0 2 0 2 0 2 0
æ πö
t +t =-cotq,qÎç0, ÷,(cid:218)t =tanq-t ,t =-cotq-t ,(cid:120)(cid:252)
1 0 è 2ø 2 0 1 0
A¢B¢ + B¢C¢ = 1+cot2q2t +cotq+ 1+tan2qtanq-2t 
0 0
æ 1 1 ö sinq cosq 2t (cosq-sinq) sin3q+cos3q
(cid:219) A¢B¢ + B¢C¢ =2t ç - ÷+ + = 0 +
0 èsinq cosqø cos2q sin2q sinqcosq sin2qcos2q
æ πù
(cid:244)qÎç0,
ú
(cid:245),
è 4û
① sin3q+cos3q sinq cosq 1 2
A¢B¢ + B¢C¢ ³ = + ³2 =2 ³2 2
sin2qcos2q cos2q sin2q sinqcosq sin2q
æπ πö
(cid:244) qÎç , ÷ (cid:245),(cid:216)(cid:196)t <t <t ,(cid:120)(cid:252)-cotq-t <t <tanq-t ,
è4 2ø 1 0 2 0 0 0
② cotq tanq
(cid:120)(cid:252)- <t < (cid:225)t ³0,
2 0 2 0
tanq 2t (cosq-sinq) sin3q+cos3q
(cid:219)0£t < ,(cid:216)(cid:276) A¢B¢ + B¢C¢ = 0 +
0 2 sinqcosq sin2qcos2qsinq(cosq-sinq)(sinqcosq) sin3q+cos3q 1 cosq
> + = +
sin2qcos3q sin2qcos2q cosq sin2q
2 2
= =
sin2qsin2q×2cos2q  1-cos2q  1-cos2q  ×2cos2q
2 2 3 3
³ ³ =
æ 1-cos2q  +  1-cos2q  +2cos2qö 3 æ2ö 3 2 (cid:57)
ç ÷ ç ÷
ç 3 ÷
è3ø
è ø
3 3 3
(cid:244)(cid:254)(cid:382)(cid:244)cosq = (cid:245)(cid:74)(cid:383)(cid:223)(cid:61)(cid:57)(cid:219) A¢B¢ + B¢C¢ > (cid:57)(cid:219)(cid:417)(cid:21)(cid:418)(cid:17)(cid:186)(cid:196)3 3.
3 2
.
1 æ 1ö
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:55)(cid:293)(cid:4)(cid:292)(cid:190)(cid:150)(cid:13)(cid:24)(cid:328)(cid:34)(cid:191)(cid:24)(cid:55)(cid:293)(cid:193)(cid:58)(cid:59)(cid:419)(cid:420)(cid:114) C =|AB|+|BC|³çn+ ÷ 1+n2 (cid:57)(cid:248)(cid:245)(cid:161)(cid:119)(cid:241)(cid:424)(cid:85)
2 è nø
(cid:78)(cid:57)(cid:82)(cid:307)(cid:23)(cid:24)(cid:70)(cid:428)(cid:156)(cid:49)(cid:250)(cid:66)(cid:110)(cid:35)(cid:144)(cid:84)(cid:62)(cid:151)(cid:57)(cid:129)(cid:250)(cid:66)(cid:421)(cid:405)(cid:23)(cid:422)(cid:97)(cid:206)(cid:207).
x2 y2
11(cid:187)（2023·上海·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)Γ: + =1(m>0,m¹ 3)(cid:187)
m2 3
(1)(cid:199)m=2(cid:57)(cid:62)(cid:189)(cid:45)Γ(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:195)
uuur uuur
(2)(cid:110)A,A (cid:161)(cid:189)(cid:45)Γ(cid:24)(cid:306)(cid:307)(cid:192)(cid:4)(cid:57)(cid:199)(cid:189)(cid:45)Γ(cid:38)(cid:30)(cid:4)E(cid:24)(cid:356)(cid:65)(cid:37)(cid:161)1(cid:57)(cid:254)EA ×EA =-2(cid:57)(cid:62)m(cid:24)(cid:97)(cid:195)
1 2 1 2
y2 x2
(3)(cid:199)P(cid:161)(cid:189)(cid:45)Γ(cid:38)(cid:30)(cid:4)(cid:57)(cid:59)(cid:4)P(cid:314)(cid:30)(cid:159)(cid:139)(cid:140)(cid:161) 3(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:318)(cid:47)(cid:48) - =1(cid:382)(cid:209)(cid:30)(cid:191)(cid:69)(cid:311)(cid:4)(cid:57)(cid:62)m(cid:24)(cid:247)
5m2 5
(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:187)
1
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)
2
(2)3

(3) 3,3ù
û
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:96)(cid:173)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:63)(cid:202)(cid:203)(cid:195)
uuur uuuur uuur uuuur
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)A -m,0,A m,0(cid:57)(cid:62)(cid:63)E(cid:4)(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:162)(cid:214)(cid:63)EA,EA (cid:57)(cid:216)(cid:84)(cid:108)(cid:26)(cid:24)(cid:96)(cid:173)(cid:62)(cid:63)EA ×EA (cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63)
1 2 1 2 1 2
m(cid:24)(cid:97)(cid:195)y2 x2
(cid:10)3(cid:11)(cid:110)(cid:277)(cid:51)(cid:48)(cid:161)l:y= 3x+b(cid:57)(cid:51)(cid:48)l(cid:52)(cid:318)(cid:47)(cid:48) - =1(cid:382)(cid:209)(cid:30)(cid:191)(cid:69)(cid:311)(cid:4)(cid:57)(cid:342)(cid:329)(cid:51)(cid:48)l(cid:52)(cid:318)(cid:47)(cid:48)
5m2 5
y2 x2 y2 x2
- =1(cid:24)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:156)(cid:76)(cid:230)(cid:51)(cid:48)l(cid:52)(cid:318)(cid:47)(cid:48) - =1(cid:24)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:107)(cid:156)(cid:76)(cid:89)(cid:90)P(cid:161)(cid:189)(cid:45)Γ(cid:38)(cid:30)(cid:4)(cid:206)(cid:207)(cid:114)(cid:63)(cid:202)
5m2 5 5m2 5
(cid:203).
x2 y2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:244)m=2(cid:245)(cid:57)(cid:189)(cid:45)G: + =1(cid:57)(cid:228)(cid:4)(cid:101)x(cid:38)(cid:57)
4 3
c 1
(cid:218)a2 =4,b2 =3,c2 =a2-b2 =1(cid:57)(cid:218)e= = .
a 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:253)(cid:161)A,A (cid:161)(cid:189)(cid:45)Γ(cid:24)(cid:306)(cid:307)(cid:192)(cid:4)(cid:57)(cid:211)(cid:237)A -m,0,A m,0(cid:57)
1 2 1 2
x2 y2 x2 1 x2 2 6
(cid:279)Γ: + =1(cid:104)y=1(cid:57)(cid:218) + =1Þ = Þx=± m(cid:57)
m2 3 m2 3 m2 3 3
æ 6 ö uuur æ 6 ö uuuur æ 6 ö
(cid:199)Eç m,1÷(cid:57)EA =ç-m- m,-1÷,EA =çm- m,-1÷(cid:57)
ç 3 ÷ 1 ç 3 ÷ 2 ç 3 ÷
è ø è ø è ø
uuur uuuur æ 6 öæ 6 ö
EA ×EA =ç-m- m÷çm- m÷+1=-2(cid:57)
1 2 ç 3 ÷ç 3 ÷
è øè ø
(cid:142)(cid:114)(cid:190)m=3.
æ 6 ö uuur æ 6 ö uuuur æ 6 ö
(cid:199)Eç- m,1÷(cid:57)EA =ç-m+ m,-1÷,EA =çm+ m,-1÷(cid:57)
ç 3 ÷ 1 ç 3 ÷ 2 ç 3 ÷
è ø è ø è ø
uuur uuuur æ 6 öæ 6 ö
EA ×EA =ç-m+ m÷çm+ m÷+1=-2(cid:57)
1 2 ç 3 ÷ç 3 ÷
è øè ø
(cid:142)(cid:114)(cid:190)m=3.
(cid:10)3(cid:11)(cid:199)P(cid:161)(cid:189)(cid:45)Γ(cid:38)(cid:30)(cid:4)(cid:57)(cid:59)(cid:4)P(cid:314)(cid:30)(cid:159)(cid:139)(cid:140)(cid:161) 3(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:57)
y2 x2
(cid:110)(cid:277)(cid:51)(cid:48)(cid:161)l:y= 3x+b(cid:57)(cid:51)(cid:48)l(cid:52)(cid:318)(cid:47)(cid:48) - =1(cid:382)(cid:209)(cid:30)(cid:191)(cid:69)(cid:311)(cid:4)(cid:57)
5m2 5
y2 x2
(cid:51)(cid:48)l(cid:52)(cid:318)(cid:47)(cid:48) - =1(cid:24)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:156)(cid:76)(cid:245)(cid:57)
5m2 5
① y2 x2
(cid:218)(cid:318)(cid:47)(cid:48) - =1(cid:24)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:161)(cid:190)y=±mx(cid:57)(cid:211)(cid:237)m= 3.
5m2 5
(cid:253)(cid:161)P(cid:161)(cid:189)(cid:45)Γ(cid:38)(cid:30)(cid:4)(cid:57)(cid:211)(cid:237)m>0,m¹ 3(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:107)(cid:280)(cid:281)(cid:13)(cid:217).
y2 x2
(cid:51)(cid:48)l(cid:52)(cid:318)(cid:47)(cid:48) - =1(cid:24)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:107)(cid:156)(cid:76)(cid:245)(cid:57)
5m2 5
②
ì y2 x2
ï í5m2 - 5 =1 (cid:57)(cid:218)  3-m2 x2+2 3bx+b2-5m2 =0(cid:57)
ï
îy= 3x+bì3-m2 ¹0
ï
(cid:218)í
ïV=

2 3b
2
-4
 3-m2 b2-5m2
=0
(cid:57)(cid:142)(cid:114)(cid:190)b2 =5m2-15³0(cid:57)
î
(cid:142)(cid:114)(cid:190)m2 ³3(cid:57)(cid:253)(cid:161)m>0,m¹ 3(cid:57)(cid:211)(cid:237)m> 3.
ìx2 y2
(cid:225)(cid:253)(cid:161)P(cid:161)(cid:189)(cid:45)Γ(cid:38)(cid:30)(cid:4)(cid:57)(cid:211)(cid:237) ï ím2 + 3 =1 (cid:57)(cid:218)  3+3m2 x2+2 3bm2x+  b2-3  m2 =0(cid:57)
ï
îy= 3x+b
(cid:218)V=  2 3bm2 2 -4  3+3m2 b2-3  m2 ³0(cid:57)(cid:142)(cid:114)(cid:190)b2 £3m2+3(cid:57)
(cid:211)(cid:237)5m2-15£3m2+3(cid:57)(cid:211)(cid:237)-3£m£3(cid:57)(cid:170)(cid:38)(cid:211)(cid:344)(cid:190) 3<m£3.

(cid:218)m(cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:161)(cid:190) 3,3ù
û
x2 y2
12(cid:187)（2022·上海·高考真题）(cid:110)(cid:209)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)G: + =1(a>b>0)(cid:57)(cid:51)(cid:48)l:x+ y-4 2 =0(cid:57)G(cid:278)(cid:366)(cid:4)(cid:161)A(cid:57)
a2 b2
   
M(cid:101)l(cid:38)(cid:57)(cid:306)(cid:18)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:5)(cid:232)(cid:161)F - 2,0 ,F 2,0 .
1 2
(1)a=2(cid:57)AM(cid:24)(cid:104)(cid:4)(cid:101)x(cid:249)(cid:38)(cid:57)(cid:62)(cid:4)M(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:195)
3
(2)(cid:51)(cid:48)l(cid:52)y(cid:249)(cid:64)(cid:196)B(cid:57)(cid:51)(cid:48)AM(cid:283)(cid:59)(cid:307)(cid:228)(cid:4)F (cid:57)(cid:101)VABM (cid:104)(cid:209)(cid:30)(cid:220)(cid:20)(cid:396)(cid:16)(cid:97)(cid:161) (cid:57)(cid:62)b(cid:195)
2 5
(3)(cid:101)(cid:189)(cid:45)G(cid:38)(cid:263)(cid:101)(cid:30)(cid:4)P(cid:115)l(cid:137)(cid:138)(cid:161)d(cid:57)(cid:346) PF + PF +d =6(cid:57)(cid:429)a(cid:24)(cid:102)(cid:103)(cid:57)(cid:62)d(cid:24)(cid:129)(cid:234)(cid:97).
1 2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)M(3 2, 2)
3 2
(2)b= 2或
4 7
8
(3)
3
x2 y2
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)（1）由题意可得椭圆方程为 + =1，从而确定M 点的纵坐标，进一步可得点M 的坐标；
4 2
3 3
（2）由直线方程可知B(0,4 2)，分类讨论cosÐBAM = 和cosÐBMA= 两种情况确定b的值即可；
5 5|acosq+bsinq-4 2|
（3）设P(acosq,bsinq)，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得 =6-2a，进一步整
2
5
理计算，结合三角函数的有界性求得1„ a„ 即可确定d的最小值．
3
x2 y2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)解：由题意可得a=2,b=c= 2，所以G: + =1,A(0,- 2)，
4 2
(cid:430)AM 的中点在x轴上，
\M 的纵坐标为 2，代入x+y-4 2 =0得M(3 2, 2)；
2
(cid:10)2(cid:11)(cid:142)(cid:190)由直线方程可知B(0,4 2)，cosÐABM = (cid:57)
2
3 4 4
若cosÐBAM = ，则tanÐBAM = ，即tanÐOAF = ，
5 3 2 3
① 3 3
\OA= OF = 2，
4 2 4
3
\b= 2.
4
3 4
若cosÐBMA= ，则sinÐBMA= ，
5 5
② p 2 3 2 4 2
QÐMBA= ，\cos(ÐMBA+ÐAMB)= ´ - ´ =- ，
4 2 5 2 5 10
2
\cosÐBAM = ，\tanÐBAM =7，即tanÐOAF =7，
10 2
2 2
\OA= ，\b= .
7 7
3 2
综上，b= 2或 ；
4 7
(cid:10)3(cid:11)(cid:142)(cid:190)设P(acosq,bsinq)，结合已知条件，由椭圆的定义及点到直线距离公式可得
|acosq+bsinq-4 2|
d = =6-2a，
2
acosq+bsinq-4 2
显然椭圆在直线的左下方，则- =6-2a，即4 2- a2+b2sin(q+j)=6 2-2 2a，
2
Qa2 =b2+2，\ 2a2-2sin(q+j)=2 2a-2 2，即 a2-1sin(q+j)=2a-2，
|2a-2| 5
\|sin(q+j)|= „1，整理可得(a-1)(3a-5)„ 0，即1„ a„ ，
a2-1 3
5 8 8
\d =6-2a…6-2´ = ，即d的最小值为 ．
3 3 3
x2 æ 1ö
13(cid:187)（2022·浙江·高考真题）(cid:71)(cid:88)(cid:57)(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45) +y2 =1(cid:187)(cid:110)A(cid:57)B(cid:193)(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:308)(cid:196)P(0,1)(cid:24)(cid:197)(cid:4)(cid:57)(cid:254)(cid:4)Qç0, ÷
12 è 2ø
1
(cid:101)(cid:48)(cid:154)AB(cid:38)(cid:57)(cid:51)(cid:48)PA,PB(cid:5)(cid:232)(cid:64)(cid:51)(cid:48)y=- x+3(cid:196)C(cid:57)D(cid:197)(cid:4)(cid:187)
2(1)(cid:62)(cid:4)P(cid:115)(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:4)(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:24)(cid:129)(cid:186)(cid:97)(cid:195)
(2)(cid:62)|CD|(cid:24)(cid:129)(cid:234)(cid:97)(cid:187)
12 11
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) (cid:195)
11
6 5
(2) (cid:187)
5
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)H(2 3cosq,sinq)(cid:193)(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:393)(cid:217)(cid:30)(cid:4),(cid:66)(cid:235)(cid:236)(cid:197)(cid:4)(cid:213)(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:63)|PH |2(cid:57)(cid:66)(cid:235)(cid:236)(cid:34)(cid:148)(cid:144)
(cid:84)(cid:24)(cid:169)(cid:287)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63)(cid:195)
1 1
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)(cid:51)(cid:48)AB: y = kx+ (cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:60)(cid:61)(cid:207)(cid:114)xx ,x +x (cid:57)(cid:66)(cid:158)(cid:51)(cid:48)y=- x+3(cid:49)(cid:50)(cid:52)PA(cid:18)PB(cid:24)(cid:49)
2 1 2 1 2 2
(cid:50)(cid:5)(cid:232)(cid:60)(cid:61)(cid:57)(cid:207)(cid:142)(cid:114)(cid:4)C,D(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:66)(cid:235)(cid:236)(cid:197)(cid:4)(cid:213)(cid:24)(cid:137)(cid:138)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:63)CD (cid:57)(cid:129)(cid:250)(cid:83)(cid:256)(cid:103)(cid:241)(cid:207)(cid:114)
3 5 16k2+1
CD = × (cid:57)(cid:216)(cid:431)(cid:432)(cid:107)(cid:74)(cid:70)(cid:206)(cid:207)(cid:62)(cid:63)(cid:129)(cid:234)(cid:97)(cid:187)
2 3k+1
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)H(2 3cosq,sinq)(cid:193)(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:393)(cid:217)(cid:30)(cid:4),P(0,1),
æ 1 ö 2 144 144 1
|PH |2=12cos2q+(1-sinq)2 =13-11sin2q-2sinq=-11çsinq+ ÷ + £ (cid:57)(cid:244)(cid:254)(cid:382)(cid:244)sinq=- (cid:245)(cid:247)
è 11ø 11 11 11
12 11
(cid:74)(cid:383)(cid:57)(cid:219) PH (cid:24)(cid:129)(cid:186)(cid:97)(cid:193) .
11
1 x2 æ 1 ö 3
(cid:10)2(cid:11)(cid:110)(cid:51)(cid:48)AB: y = kx+ ,(cid:51)(cid:48)AB(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:189)(cid:45) +y2 =1(cid:60)(cid:61),(cid:207)(cid:114)çk2+ ÷x2+kx- =0,(cid:110)
2 12 è 12ø 4
ì k
x +x =-
ï 1 2 1
ï k2+
ï 12
Ax,y ,Bx ,y (cid:57)(cid:211)(cid:237)í (cid:57)
1 1 2 2 3
ïxx =-
ï 1 2 æ 1 ö
ï
4çk2+
÷
î è 12øy -1 1
(cid:253)(cid:161)(cid:51)(cid:48)PA:y= 1 x+1(cid:52)(cid:51)(cid:48)y=- x+3(cid:64)(cid:196)C,
x 2
1
4x 4x 4x 4x
(cid:218)x = 1 = 1 ,(cid:248)(cid:92)(cid:207)(cid:114),x = 2 = 2 .(cid:218)
C x +2y -2 (2k+1)x -1 D x +2y -2 (2k+1)x -1
1 1 1 2 2 2
1 5 4x 4x
|CD|= 1+ x -x = 1 - 2
4 C D 2 (2k+1)x -1 (2k+1)x -1
1 2
x -x x -x
=2 5 1 2 =2 5 1 2
(2k+1)x -1(2k+1)x -1 (2k+1)2xx -(2k+1)x +x +1
1 2 1 2 1 2
9 æ 3 ö 2
16k2+1 +1 ç4k´ +1´1÷
3 5 16k2+1 6 5 16 6 5 è 4 ø 6 5(cid:57)
= × = × ³ ´ =
2 3k+1 5 3k+1 5 3k+1 5
3 6 5
(cid:244)(cid:254)(cid:382)(cid:244)k = (cid:245)(cid:247)(cid:74)(cid:383)(cid:57)(cid:219)CD (cid:24)(cid:129)(cid:234)(cid:97)(cid:161) .
16 5
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:150)(cid:13)(cid:338)(cid:100)(cid:3)(cid:44)(cid:129)(cid:97)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:57)(cid:328)(cid:30)(cid:27)(cid:67)(cid:68)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:111)(cid:84)(cid:49)(cid:50)(cid:237)(cid:132)(cid:34)(cid:148)(cid:144)(cid:84)(cid:24)(cid:169)(cid:287)(cid:185)(cid:389)(cid:142)(cid:371)(cid:57)(cid:328)(cid:34)(cid:27)(cid:124)
(cid:330)(cid:241)(cid:275)(cid:57)(cid:85)(cid:78)(cid:108)(cid:185)(cid:186)(cid:57)(cid:62)(cid:129)(cid:97)(cid:24)(cid:59)(cid:50)(cid:104)(cid:433)(cid:346)(cid:68)(cid:115)(cid:431)(cid:432)(cid:107)(cid:74)(cid:70)(cid:62)(cid:129)(cid:97)(cid:57)(cid:82)(cid:80)(cid:81)(cid:24)(cid:170)(cid:90)(cid:93)(cid:94)(cid:100)(cid:62)(cid:185)(cid:43)(cid:57)(cid:434)(cid:196)(cid:185)
(cid:183)(cid:13)(cid:187)
x2 y2
14(cid:187)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:318)(cid:47)(cid:48)C: - =1(a>0,b>0)(cid:24)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:161)F(2,0)(cid:57)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:49)
a2 b2
(cid:50)(cid:161)y=± 3x(cid:187)
(1)(cid:62)C(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(2)(cid:59)F(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:52)C(cid:24)(cid:197)(cid:159)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:5)(cid:232)(cid:64)(cid:196)A(cid:57)B(cid:197)(cid:4)(cid:57)(cid:4)Px,y ,Qx ,y (cid:101)C(cid:38)(cid:57)(cid:254)
1 1 2 2
x > x >0,y >0(cid:187)(cid:59)P(cid:254)(cid:139)(cid:140)(cid:161)- 3(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:52)(cid:59)Q(cid:254)(cid:139)(cid:140)(cid:161) 3(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:64)(cid:196)(cid:4)M.(cid:120)(cid:278)(cid:25) (cid:104)(cid:339)(cid:247)(cid:197)
1 2 1
(cid:191)(cid:314)(cid:161)(cid:159)(cid:160)(cid:57)(cid:133)(cid:134)(cid:255)(cid:435)(cid:30)(cid:191)(cid:223)(cid:61)(cid:190) ①②③
M(cid:101)AB(cid:38)(cid:195) PQ(cid:436)AB(cid:195) |MA|=|MB|(cid:187)
(cid:126)①(cid:190)(cid:199)(cid:339)(cid:340)(cid:107)(cid:248)②(cid:24)(cid:259)(cid:90)(cid:5)(cid:232)(cid:142)(cid:202)③(cid:57)(cid:218)(cid:437)(cid:328)(cid:30)(cid:191)(cid:142)(cid:202)(cid:77)(cid:5).
y2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)x2- =1
3
(2)(cid:390)(cid:142)(cid:205)
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:228)(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:62)(cid:114)c(cid:24)(cid:97)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:62)(cid:114)a,b(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:75)(cid:252)(cid:67)(cid:68)a,b,c(cid:24)(cid:156)(cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:62)(cid:114)
a,b(cid:24)(cid:97)(cid:57)(cid:114)(cid:115)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:261)(cid:5)(cid:205)(cid:114)(cid:115)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:254)(cid:107)(cid:161)(cid:290)(cid:57)(cid:110)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161)k, M(x ,y ),(cid:216) |AM|=|BM|(cid:74)(cid:426)(cid:5)(cid:205)(cid:114)
0 0
③8k2
(cid:115)x +ky = (cid:195)(cid:216)(cid:51)(cid:48)PM (cid:230)QM (cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:114)(cid:115)(cid:51)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:89)(cid:90)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:197)(cid:4)(cid:213)(cid:137)(cid:138)(cid:69)(cid:70)(cid:114)(cid:115)(cid:51)(cid:48)
0 0 k2-3
3x
PQ(cid:24)(cid:139)(cid:140)m= 0 (cid:57)(cid:216) PQ//AB(cid:74)(cid:426)(cid:152)(cid:103)(cid:161)ky =3x (cid:57)(cid:216) M (cid:101)(cid:51)(cid:48)AB(cid:38)(cid:74)(cid:426)(cid:196)ky =k2x -2(cid:57)(cid:289)
y 0 0 0 0
0
(cid:250)(cid:339)(cid:340)(cid:197)(cid:191)(cid:314)(cid:161)(cid:188)(cid:177)(cid:159)(cid:160)②(cid:30)(cid:191)(cid:314)(cid:161)(cid:89)(cid:329)(cid:57)(cid:75)(cid:76)(cid:133)(cid:134)(cid:206)(cid:207). ①
b
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:161)F(2,0)(cid:57) c=2, (cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=± 3x(cid:57) = 3(cid:57) b= 3a(cid:57)
a
∴ ∵ ∴ ∴
c2 =a2+b2 =4a2 =4(cid:57) a=1(cid:57) b= 3(cid:187)
∴ y2 ∴ ∴
C(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)(cid:190)x2- =1(cid:195)
3
∴(cid:10)2(cid:11)(cid:216)(cid:188)(cid:177)(cid:114)(cid:51)(cid:48)PQ(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:254)(cid:107)(cid:161)(cid:290)(cid:57)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:161)(cid:290)(cid:57)
(cid:199)(cid:339)(cid:216) (cid:164) (cid:116)(cid:339)(cid:216) (cid:164) (cid:190)(cid:216) (cid:223)(cid:61)(cid:207)(cid:177)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:254)(cid:107)(cid:161)(cid:290)(cid:195)
(cid:199)(cid:339) ①②(cid:164) ③(cid:57)(cid:218)M (cid:161)②(cid:48)③(cid:154)AB①(cid:24)(cid:104)(cid:4)②(cid:57)(cid:413)(cid:199)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:263)(cid:101)(cid:57)(cid:218)(cid:216)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:82)(cid:198)(cid:169)(cid:207)(cid:177)M (cid:101)x(cid:249)
(cid:38)(cid:57)①(cid:206)(cid:161)③(cid:228)(cid:4)② F ,(cid:276)(cid:245)(cid:216)(cid:82)(cid:198)(cid:169)(cid:207)(cid:177)P(cid:18)Q(cid:55)(cid:196)x(cid:249)(cid:82)(cid:198)(cid:57)(cid:52)(cid:120)(cid:252)x =x (cid:57)(cid:188)(cid:177)(cid:107)(cid:227)(cid:195)
1 2
(cid:438)(cid:229)(cid:57)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:263)(cid:101)(cid:254)(cid:107)(cid:161)(cid:290).
(cid:110)(cid:51)(cid:48)AB(cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161)k,(cid:51)(cid:48)AB(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=kx-2,
(cid:218)(cid:159)(cid:160) M (cid:101)AB(cid:38)(cid:57)(cid:74)(cid:426)(cid:196)y =kx -2Ûky =k2x -2(cid:195)
0 0 0 0
①
(cid:197)(cid:325)(cid:326)(cid:48)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:90)(cid:251)(cid:161)3x2-y2 =0,
(cid:60)(cid:61)(cid:112)(cid:113)y(cid:251)(cid:103)(cid:241)(cid:224)(cid:92)(cid:114)(cid:190)  k2-3  x2-4k2x+4k2 =0
(cid:110)Ax ,y ,Bx ,y  ,(cid:48)(cid:154)(cid:104)(cid:4)(cid:161)Nx ,y  ,(cid:218)x = x 3 +x 4 = 2k2 ,y =kx -2= 6k ,
3 3 4 4 N N N 2 k2-3 N N k2-3
(cid:110)Mx ,y  ,
0 0
(cid:218)(cid:159)(cid:160) AM = BM (cid:74)(cid:426)(cid:196)x -x 2+y -y 2 =x -x 2+y -y 2 ,
0 3 0 3 0 4 0 4
(cid:258)(cid:439)(cid:251)③(cid:67)(cid:68)(cid:156)(cid:49)(cid:381)(cid:69)(cid:70)(cid:224)(cid:92)(cid:114)(cid:190)
x -x é2x -x +x ù+y -y é2y -y +y ù=0(cid:57)
3 4 ë 0 3 4 û 3 4 ë 0 3 4 û
y -y
ë
é2x
0
-x
3
+x
4

û
ù+
x
3
-x
4 é
ë
2y
0
-y
3
+y
4
ù
û
=0,(cid:206)x
0
-x
N
+ky
0
-y
N
=0,
3 4
8k2
(cid:206)x +ky = (cid:195)
0 0 k2-3
(cid:216)(cid:13)(cid:217)(cid:177)(cid:51)(cid:48)PM (cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161)- 3, (cid:51)(cid:48)QM (cid:24)(cid:139)(cid:140)(cid:161) 3,
(cid:216)y -y =- 3x -x ,y -y = 3x -x ,
1 0 1 0 2 0 2 0
∴y -y =- 3x +x -2x ,
1 2 1 2 0
∴
y -y 3x +x -2x 
(cid:211)(cid:237)(cid:51)(cid:48)PQ(cid:24)(cid:139)(cid:140)m= 1 2 =- 1 2 0 ,
x -x x -x
1 2 1 2
(cid:51)(cid:48)PM :y=- 3x-x +y ,(cid:206)y= y + 3x - 3x,
0 0 0 0
  
(cid:83)(cid:256)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:49)(cid:50)3x2-y2-3=0,(cid:206) 3x+y 3x-y =3(cid:104)(cid:57)
(cid:114)(cid:190)

y + 3x
é2
3x-

y + 3x
ù=3,
0 0 ë 0 0 û
1 æ 3 ö
(cid:142)(cid:114)P(cid:24)(cid:208)(cid:65)(cid:37)(cid:190)x = ç +y + 3x ÷,
1 2 3 ç è y + 3x 0 0÷ ø
0 0
1 æ 3 ö
(cid:248)(cid:92)(cid:190)x =- ç +y - 3x ÷(cid:57)
2 2 3 ç è y - 3x 0 0÷ ø
0 0
1 æ 3y ö 3x
x -x = ç 0 +y ÷,x +x -2x =- 0 -x ,
1 2 3è y2-3x2 0 ø 1 2 0 y2-3x2 0
0 0 0 0
∴
3x
m= 0 ,
y
0
∴
(cid:159)(cid:160) PQ//AB(cid:74)(cid:426)(cid:196)m=k Ûky =3x (cid:57)
0 0
∴(cid:170)(cid:38)(cid:211)②(cid:344)(cid:190)
(cid:159)(cid:160) M (cid:101)AB(cid:38)(cid:57)(cid:74)(cid:426)(cid:196)ky =k2x -2(cid:195)
0 0
①
(cid:159)(cid:160) PQ//AB(cid:74)(cid:426)(cid:196)ky =3x (cid:195)
0 0
② 8k2
(cid:159)(cid:160) AM = BM (cid:74)(cid:426)(cid:196)x +ky = (cid:195)
0 0 k2-3
(cid:339) ③(cid:164) :
(cid:216)①②(cid:142)③(cid:114)(cid:190)x =
2k2
,\x +ky =4x =
8k2
, (cid:223)(cid:61)(cid:195)
0 k2-3 0 0 0 k2-3
(cid:339)①②(cid:164) (cid:190) ∴③
(cid:216)①③(cid:142)②(cid:114)(cid:190)x =
2k2
(cid:57)ky =
6k2
(cid:57)
0 k2-3 0 k2-3
①③
ky =3x (cid:57) (cid:223)(cid:61)(cid:195)
0 0
∴(cid:339) (cid:164) ∴(cid:190)②
(cid:216)②③(cid:142)①(cid:114)(cid:190)x =
2k2
(cid:57)ky =
6k2
(cid:57) x -2=
6
(cid:57)
0 k2-3 0 k2-3 0 k2-3
②③ ∴ky =k2x -2(cid:57) (cid:223)(cid:61).
0 0
∴ ∴①
x2
15(cid:187)（2022·上海·高考真题）(cid:101)(cid:189)(cid:45)G: +y2 =1(cid:104)(cid:57)(cid:51)(cid:48)l:x=a(cid:38)(cid:209)(cid:197)(cid:4)C(cid:18)D (C(cid:4)(cid:101)(cid:328)(cid:30)(cid:128)(cid:374))(cid:57)(cid:306)(cid:192)
a2
(cid:4)(cid:161)A(cid:57)(cid:278)(cid:192)(cid:4)(cid:161)B(cid:57)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:161)F.
p
(1)(cid:199) AFB= (cid:57)(cid:62)(cid:189)(cid:45)G(cid:24)(cid:37)(cid:313)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
6
(2)(cid:199)∠(cid:4)C(cid:24)(cid:356)(cid:65)(cid:37)(cid:161)2(cid:57)(cid:4)D(cid:24)(cid:356)(cid:65)(cid:37)(cid:161)1(cid:57)(cid:218)BC(cid:52)AD(cid:24)(cid:64)(cid:4)(cid:193)(cid:345)(cid:101)(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:134)(cid:92)(cid:216)(cid:195)
(3)(cid:188)(cid:177)(cid:51)(cid:48)BC(cid:52)(cid:189)(cid:45)G(cid:155)(cid:64)(cid:196)(cid:4)P(cid:57)(cid:51)(cid:48)AD(cid:52)(cid:189)(cid:45)G(cid:155)(cid:64)(cid:196)(cid:4)Q(cid:57)(cid:199)P(cid:52)Q(cid:55)(cid:196)(cid:231)(cid:4)(cid:82)(cid:198)(cid:57)(cid:62)|CD|(cid:24)
(cid:129)(cid:234)(cid:97).
x2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1) +y2 =1
4
3a 4
(2)(cid:64)(cid:4)(cid:161)( , )(cid:57)(cid:101)(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:57)(cid:92)(cid:216)(cid:390)(cid:142)(cid:205)
5 5
(3)6
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:380)(cid:63)A,B,F(cid:19)(cid:4)(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:207)(cid:158)tanÐAFB(cid:68)(cid:65)(cid:37)(cid:162)(cid:214)(cid:63)(cid:440)(cid:57)(cid:62)(cid:63)c(cid:24)(cid:97)(cid:57)(cid:66)(cid:89)(cid:90)(cid:188)(cid:177)(cid:159)(cid:160)(cid:57)(cid:206)
(cid:207)(cid:62)(cid:63)a2(cid:57)(cid:75)(cid:252)(cid:380)(cid:63)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:37)(cid:313)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(cid:235)(cid:236)(cid:159)(cid:160)(cid:57)(cid:380)(cid:63)(cid:51)(cid:48)BC(cid:230)AD(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:4)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:66)(cid:158)(cid:175)(cid:83)(cid:256)(cid:189)(cid:45)(cid:37)(cid:313)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:306)(cid:23)(cid:57)(cid:206)(cid:207)(cid:284)(cid:373)
(cid:277)(cid:4)(cid:52)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:195)
(cid:10)3(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:19)(cid:20)(cid:406)(cid:295)(cid:10)(cid:116)(cid:174)(cid:189)(cid:45)(cid:24)(cid:111)(cid:84)(cid:49)(cid:50)(cid:11)(cid:24)(cid:49)(cid:73)(cid:110)(cid:63)(cid:4)P,Q(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:66)(cid:89)(cid:90)(cid:4)A,B(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:380)(cid:63)(cid:51)(cid:48)BP
(cid:230)AQ(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:62)(cid:63)(cid:4)C,D(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:162)(cid:214)(cid:63)|CD|(cid:57)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:19)(cid:20)(cid:222)(cid:74)(cid:102)(cid:406)(cid:237)(cid:132)(cid:248)(cid:20)(cid:19)(cid:20)(cid:144)(cid:84)(cid:55)(cid:56)(cid:103)(cid:241)|CD|(cid:57)
(cid:129)(cid:250)(cid:235)(cid:236)(cid:79)(cid:100)(cid:107)(cid:74)(cid:70)(cid:77)(cid:78)(cid:63)|CD|(cid:24)(cid:129)(cid:234)(cid:97).
p
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:207)(cid:114)A(-a,0)，B(0,-1),F(c,0)(cid:57)(cid:225)ÐAFB= (cid:57)
6
b 1 p 3
(cid:211)(cid:237)tanÐAFB= = =tan = (cid:57)(cid:142)(cid:114)c= 3(cid:57)
c c 6 3
(cid:211)(cid:237)a2 =1+( 3)2 =4(cid:57)
x2
(cid:219)(cid:189)(cid:45)G(cid:24)(cid:37)(cid:313)(cid:49)(cid:50)(cid:161) +y2 =1(cid:195)
4
3
(cid:10)2(cid:11)(cid:216)B(0,-1),C(a,2)(cid:57)(cid:114)(cid:51)(cid:48)BC(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)(cid:190)y= x-1(cid:57)
a
1
(cid:216)A(-a,0),D(a,1)(cid:57)(cid:114)(cid:51)(cid:48)AD(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)(cid:190)y= (x+a)(cid:57)
2a
3a 4
(cid:60)(cid:61)(cid:197)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:142)(cid:114)(cid:64)(cid:4)(cid:161)( , )(cid:57)
5 53a
( )2
(cid:83)(cid:256)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:306)(cid:23)(cid:57)(cid:114) 5 +( 4 )2 = 9 + 16 =1 (cid:57)
a2 5 25 25
(cid:219)(cid:51)(cid:48)BC(cid:52)AD(cid:24)(cid:64)(cid:4)(cid:101)(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:195)
(cid:10)3(cid:11)(cid:216)(cid:13)(cid:209)A(-a,0)，B(0,-1)
(cid:253)(cid:161)P,Q(cid:197)(cid:4)(cid:101)(cid:189)(cid:45)(cid:38)(cid:57)(cid:254)(cid:55)(cid:196)(cid:231)(cid:4)(cid:82)(cid:198)(cid:57)
(cid:218)(cid:110)P(acosq,sinq),Q(-acosq,-sinq)(cid:57)
sinq+1 sinq+1
(cid:51)(cid:48)BP:y= x-1(cid:57)(cid:218)C(a, -1)(cid:57)
acosq cosq
sinq 2sinq
(cid:51)(cid:48)AQ:y= (x+a)(cid:57)(cid:218)D(a, )(cid:57)
acosq-a cosq-1
sinq+1 2sinq
(cid:211)(cid:237)CD = -1-
cosq cosq-1
q q q q q q
2sin cos +sin2 +cos2 4sin cos
2 2 2 2 2 2
= - -1
q q q
cos2 -sin2 -2sin2
2 2 2
q 2t+t2+1 2 1 1
(cid:110)tan =t(cid:57)(cid:218)CD = + -1 =2 + -1(cid:57)
2 1-t2 t 1-t t
1 1 x+y x+y 4
+ = ³ =
(cid:253)(cid:161)x y xy æx+yö 2 x+y (cid:57)
ç ÷
è 2 ø
1 1 4
(cid:211)(cid:237) + -1³ -1=3(cid:57)(cid:218)CD ³6(cid:57)(cid:206)CD (cid:24)(cid:129)(cid:234)(cid:97)(cid:161)6.
1-t t 1-t+t
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:55)(cid:293)(cid:4)(cid:4)(cid:292)(cid:190)(cid:328)(cid:10)3(cid:11)(cid:234)(cid:13)(cid:104)(cid:57)(cid:237)(cid:19)(cid:20)(cid:144)(cid:84)(cid:21)(cid:70)(cid:10)(cid:111)(cid:84)(cid:49)(cid:50)(cid:11)(cid:110)(cid:4)(cid:193)(cid:142)(cid:13)(cid:24)(cid:55)(cid:293)(cid:57)(cid:75)(cid:252)(cid:67)(cid:68)(cid:19)(cid:20)(cid:222)
(cid:74)(cid:102)(cid:406)(cid:230)(cid:248)(cid:20)(cid:19)(cid:20)(cid:144)(cid:84)(cid:55)(cid:56)(cid:10)(cid:34)(cid:148)(cid:441)(cid:148)(cid:5)(cid:70)(cid:103)(cid:367)(cid:396)(cid:16)(cid:161)(cid:367)(cid:242)(cid:11)(cid:158)|CD|(cid:103)(cid:241)(cid:57)(cid:129)(cid:336)(cid:67)(cid:68)(cid:79)(cid:100)(cid:107)(cid:74)(cid:70)(cid:62)(cid:63)(cid:175)(cid:129)
(cid:234)(cid:97).
考点 04 圆锥曲线综合问题
x2
1(cid:187)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:189)(cid:45)E(cid:190) +y2 =1(cid:10)a>1(cid:11)(cid:57)(cid:59)E(cid:24)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:254)(cid:52)x(cid:249)(cid:157)(cid:51)(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:341)E
a2
(cid:141)(cid:114)(cid:24)(cid:48)(cid:154)(cid:17)(cid:161) 2(cid:187)
(1)(cid:62)E(cid:24)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:187)
(2)(cid:110)O(cid:161)(cid:65)(cid:37)(cid:231)(cid:4)(cid:57)(cid:212)(cid:96)(cid:4)Gt,0t ¹0(cid:57)Ax ,y y ¹0(cid:161)E(cid:38)(cid:24)(cid:4)(cid:57)(cid:59)A(cid:314)y(cid:249)(cid:24)(cid:157)(cid:48)(cid:57)(cid:157)(cid:281)(cid:161)B(cid:57)
0 0 0
(cid:51)(cid:48)AO(cid:52)(cid:51)(cid:48)GB(cid:24)(cid:64)(cid:4)(cid:161)P(cid:187)(cid:244)A(cid:101)E(cid:38)(cid:85)(cid:375)(cid:245)(cid:57)(cid:4)P(cid:24)(cid:403)(cid:404)(cid:161)M (cid:187)
(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:62)M (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:244)t(cid:161)(cid:87)(cid:97)(cid:245)(cid:57)M (cid:209)(cid:82)(cid:198)(cid:104)(cid:194)(cid:348)(cid:244)M (cid:209)(cid:82)(cid:198)(cid:104)(cid:194)(cid:245)(cid:57)(cid:158)M (cid:156)(cid:258)(cid:250)(cid:114)(cid:115)(cid:47)(cid:48)M¢(cid:57)(cid:346)(cid:114)O(cid:161)M¢(cid:24)(cid:82)(cid:198)
(cid:104)(cid:194)(cid:57)(cid:350)(cid:134)M¢(cid:193)(cid:442)(cid:443)(cid:47)(cid:48).
2
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)
2
æ1 1 ö 2
(2)(cid:10)i(cid:11)M (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)ç - ÷x2+y2+ x-1=0y¹0(cid:195)
è2 t2 ø t
0 0
(cid:10)ii(cid:11)(cid:244)t¹± 2(cid:245)(cid:57)M (cid:209)(cid:82)(cid:198)(cid:104)(cid:194)(cid:195)
(cid:244)t > 2(cid:245)(cid:57)M¢(cid:21)(cid:444)(cid:161)(cid:228)(cid:4)(cid:101)x(cid:249)(cid:38)(cid:24)(cid:189)(cid:45)(cid:113)(cid:445)(cid:52)x(cid:249)(cid:64)(cid:4)(cid:57)
(cid:244)0<(cid:446)(cid:446)t < 2(cid:245)(cid:57)M¢(cid:21)(cid:444)(cid:161)(cid:228)(cid:4)(cid:101)x(cid:249)(cid:38)(cid:24)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:113)(cid:445)(cid:52)x(cid:249)(cid:64)(cid:4).
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:59)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:157)(cid:51)(cid:196)x(cid:249)(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:341)E(cid:211)(cid:141)(cid:48)(cid:154)(cid:17)(cid:161) 2(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:65)(cid:37)(cid:142)(cid:63)(cid:48)(cid:154)(cid:24)(cid:17)(cid:57)(cid:62)(cid:114)
a,b,c(cid:66)(cid:62)(cid:63)(cid:138)(cid:194)(cid:140)(cid:195)
(cid:10)2(cid:11)(i)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:49)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:4)P(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:57)(cid:66)(cid:384)(cid:142)(cid:63)(cid:4)A(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:83)(cid:256)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:120)(cid:252)(cid:62)(cid:63)P(cid:24)(cid:403)(cid:404)M (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:195)
(cid:10)ii(cid:11)(cid:261)(cid:82)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:447)(cid:49)(cid:57)(cid:66)(cid:342)(cid:329)t (cid:101)(cid:107)(cid:248)(cid:247)(cid:97)(cid:245)(cid:57)(cid:104)(cid:194)(cid:263)(cid:101)(cid:24)(cid:9)(cid:264)(cid:195)(cid:66)(cid:58)(cid:59)(cid:156)(cid:258)(cid:14)(cid:15)(cid:62)(cid:63)M¢(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:66)
0
(cid:342)(cid:329)(cid:107)(cid:248)(cid:9)(cid:264)(cid:278)M¢(cid:24)(cid:21)(cid:444).
x2
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:110)(cid:189)(cid:45) +y2 =1(cid:24)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:161)(c,0)(cid:57)(cid:175)(cid:104) c= a2-1(cid:57)
a2
(cid:448)(cid:443)(cid:59)(cid:307)(cid:228)(cid:4)(cid:254)(cid:157)(cid:51)(cid:196) x(cid:249)(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:161)x=c(cid:57)(cid:83)(cid:256)(cid:189)(cid:45)(cid:114)
c2 c2 a2-1 1
+y2 =1(cid:57)(cid:206) y2 =1- =1- = (cid:57)
a2 a2 a2 a2
1 2
(cid:211)(cid:237) y=± (cid:57)(cid:216)(cid:196)(cid:141)(cid:48)(cid:154)(cid:17)(cid:161) = 2(cid:57)(cid:142)(cid:114) a= 2(cid:57)
a a
c 1 2
(cid:219) c= 2-1=1(cid:57)(cid:138)(cid:194)(cid:140) e= = = .
a 2 2
(cid:10)2(cid:11)(i) (cid:49)(cid:73)(cid:30)(cid:190)
x2 x2
(cid:216)(cid:10)1(cid:11)(cid:177)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50)(cid:161) +y2 =1(cid:57)(cid:216)(cid:196)(cid:4)Ax ,y (cid:280)(cid:281) 0 +y2 =1(cid:57)(cid:254) y ¹0(cid:57)(cid:59)A(cid:314)y(cid:249)(cid:24)(cid:157)(cid:48)(cid:57)(cid:64) y
2 0 0 2 0 0
(cid:249)(cid:196)(cid:4) B0,y (cid:57)
0
(cid:448)(cid:443)(cid:244)x =0(cid:245)(cid:57)(cid:4)A0,±1(cid:57)(cid:4)P(cid:52)(cid:4)A0,±1(cid:79)(cid:90)(cid:195)
0
y x y
(cid:244)x ¹0(cid:245)(cid:57)(cid:51)(cid:48) AO(cid:49)(cid:50)(cid:161)(cid:190)y= 0 x(cid:57)(cid:51)(cid:48)GB(cid:49)(cid:50)(cid:161)(cid:190) + =1(cid:57)
0 x t y
0 0 0
y
(cid:206) y=- 0 x+y (cid:57)
t 0ì y ì x t
y= 0 x x= 0
ï ï
ï x ï x +t æ x t y t ö
(cid:60)(cid:61)í 0 (cid:57)(cid:142)(cid:114)í 0 (cid:57)(cid:206)(cid:4)Pç 0 , 0 ÷ y ¹0(cid:57)
ïy=-
y
0 x+y ïy=
y
0
t èx
0
+t x
0
+tø 0
ï î t 0 ï î x +t
0
ï ì ï x= x x 0 + t t ï ì ï x 0 = t- xt x
(cid:110)Px,y(cid:57)(cid:218)(cid:216)í 0 Þí y¹0(cid:57)
y t yt
ïy= 0 ïy =
ï î x +t ïî 0 t-x
0
x2 1æ xt ö 2 æ yt ö 2 t2x2 t2y2
(cid:83)(cid:256)(cid:189)(cid:45)(cid:49)(cid:50) 2 0 +y 0 2 =1(cid:114) 2 ç èt-x ÷ ø +ç èt-x ÷ ø =1(cid:57)(cid:206) 2t-x2 + t-x2 =1(cid:57)
t-x2 x2 t-x2
(cid:197)(cid:23)(cid:270)(cid:237) (cid:114) +y2 = (cid:57)
t2 2 t2
æ1 1 ö 2
(cid:224)(cid:92)(cid:114)ç - ÷x2+y2+ x-1=0(cid:57)
è2 t2 ø t
(cid:357)(cid:4)P0,±1(cid:83)(cid:256)(cid:57)(cid:449)(cid:289)(cid:223)(cid:61)(cid:57)
æ1 1 ö 2
(cid:219)(cid:403)(cid:404)M (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)ç - ÷x2+y2+ x-1=0y¹0(cid:195)
è2 t2 ø t
(cid:49)(cid:73)(cid:34)(cid:190)
(cid:216)(cid:196)Gt,0t ¹0(cid:57)(cid:4)B(cid:101)y(cid:249)(cid:57)(cid:219)(cid:51)(cid:48)GB(cid:362)(cid:209)(cid:139)(cid:140)(cid:195)
(cid:110)(cid:51)(cid:48)GB(cid:49)(cid:50)(cid:161)y=kx-t(cid:57)P(u,v)(cid:57)(cid:448)(cid:443)(cid:4)B0,-kt(cid:57)
(cid:216)(cid:196)AB^ y(cid:249)(cid:57)(cid:218)y =-kt(cid:57)
0
uuur uuur
(cid:216)(cid:196)(cid:4)P,O,A(cid:19)(cid:4)(cid:311)(cid:48)(cid:57)(cid:218)OP//OAÞx v=-ktu(cid:57)
0
ì tu
x =
ìïx v=-ktu ï ï 0 t-u
(cid:253)(cid:161)(cid:4)P(cid:101)(cid:51)(cid:48)GB(cid:38)(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:57)í 0 Þí (cid:57)
ïî v=ku-t ïy =-kt = x 0 v = tv v¹0
ïî 0 u t-u
x2 1æ ut ö 2 æ vt ö 2 t2u2 t2v2
(cid:357)A(x 0 ,y 0 )(cid:83)(cid:256)(cid:189)(cid:45)E(cid:49)(cid:50)(cid:190) 2 0 +y 0 2 =1(cid:57)(cid:114) 2 ç èt-u ÷ ø +ç èt-v ÷ ø =1(cid:57)(cid:206) 2t-u2 + t-u2 =1(cid:57)
æ1 1 ö 2
(cid:224)(cid:92)(cid:103)(cid:241)(cid:57)(cid:114) ç - ÷u2+v2+ u-1=0(cid:57)
è2 t2 ø t
æ1 1 ö 2
(cid:219)(cid:403)(cid:404)M (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)ç - ÷x2+y2+ x-1=0y¹0(cid:195)
è2 t2 ø t
æ1 1 ö 2
(ii)(cid:216)(cid:10)i(cid:11)(cid:114)(cid:403)(cid:404)M (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)ç - ÷x2+y2+ x-1=0y¹0(cid:57)
è2 t2 ø t1 1 2
(cid:244) - =0(cid:206)t=± 2(cid:245)(cid:57)(cid:403)(cid:404)M (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161) y2+ x-1=0y¹0(cid:57)(cid:161)(cid:285)(cid:286)(cid:48)(cid:113)(cid:445)(cid:52)x(cid:249)(cid:64)(cid:4)(cid:57)(cid:226)(cid:82)(cid:198)(cid:104)
2 t2 t
(cid:194)(cid:195)
1 1
(cid:244) - ¹0(cid:206) t¹± 2(cid:254)t ¹0(cid:245)(cid:57)
2 t2
 t2-2 2 æ 2t ö 2 t2-2
(cid:103)(cid:241)(cid:403)(cid:404)M (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161) çx+ ÷ + y2 =1y¹0(cid:57)
2t4 è t2-2ø t2
2t  t2-2 2 x2 t2-2
(cid:158)(cid:403)(cid:404)M (cid:274)(cid:306)(cid:116)(cid:274)(cid:307)(cid:156)(cid:258) t2-2 (cid:191)(cid:275)(cid:53)(cid:114)(cid:115)M¢(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)
2t4
+
t2
y2 =1y¹0(cid:57)(cid:206)
x2 y2
+ =1y¹0
2t4 t2
(cid:57)
 t2-2 2 t2-2
(cid:211)(cid:237)(cid:244)t > 2(cid:245)(cid:57)M¢(cid:21)(cid:444)(cid:161)(cid:228)(cid:4)(cid:101)x(cid:249)(cid:38)(cid:24)(cid:189)(cid:45)(cid:113)(cid:445)(cid:52)x(cid:249)(cid:64)(cid:4)(cid:57)
(cid:244)0<(cid:446)(cid:446)t < 2(cid:245)(cid:57)M¢(cid:21)(cid:444)(cid:161)(cid:228)(cid:4)(cid:101)x(cid:249)(cid:38)(cid:24)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:113)(cid:445)(cid:52)x(cid:249)(cid:64)(cid:4).
(cid:170)(cid:38)(cid:57)(cid:244)t=± 2(cid:245)(cid:57)(cid:403)(cid:404)M (cid:226)(cid:82)(cid:198)(cid:104)(cid:194)(cid:195)
(cid:244)t¹± 2(cid:245)(cid:57)M (cid:209)(cid:82)(cid:198)(cid:104)(cid:194)(cid:195)
(cid:244)t > 2(cid:245)(cid:57)M¢(cid:21)(cid:444)(cid:161)(cid:228)(cid:4)(cid:101)x(cid:249)(cid:38)(cid:24)(cid:189)(cid:45)(cid:113)(cid:445)(cid:52)x(cid:249)(cid:64)(cid:4)(cid:57)
(cid:244)0<(cid:446)(cid:446)t < 2(cid:245)(cid:57)M¢(cid:21)(cid:444)(cid:161)(cid:228)(cid:4)(cid:101)x(cid:249)(cid:38)(cid:24)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:113)(cid:445)(cid:52)x(cid:249)(cid:64)(cid:4).
2(cid:187)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:188)(cid:177)(cid:318)(cid:47)(cid:48)C:x2-y2 =mm>0(cid:57)(cid:4)P5,4(cid:101)C(cid:38)(cid:57)k(cid:161)(cid:109)(cid:84)(cid:57)
1
0<k <1(cid:187)(cid:437)(cid:450)(cid:71)(cid:278)(cid:49)(cid:70)(cid:315)(cid:148)(cid:451)(cid:452)(cid:4)P n=2,3,...(cid:190)(cid:59)P (cid:314)(cid:139)(cid:140)(cid:161)k(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:52)C(cid:24)(cid:306)(cid:304)(cid:64)(cid:196)(cid:4)Q (cid:57)(cid:279)P
n n-1 n-1 n
(cid:161)Q (cid:55)(cid:196)y(cid:249)(cid:24)(cid:82)(cid:198)(cid:4)(cid:57)(cid:312)P(cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:161)x ,y .
n-1 n n n
1
(1)(cid:199)k = (cid:57)(cid:62)x ,y (cid:195)
2 2 2
1+k
(2)(cid:133)(cid:134)(cid:190)(cid:84)(cid:316)x -y (cid:193)(cid:69)(cid:233)(cid:161) (cid:24)(cid:74)(cid:233)(cid:84)(cid:316)(cid:195)
n n 1-k(3)(cid:110)S (cid:161)VPP P (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:57)(cid:133)(cid:134)(cid:190)(cid:82)(cid:393)(cid:217)(cid:367)(cid:224)(cid:84)n(cid:57)S =S .
n n n+1 n+2 n n+1
(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(1)x =3(cid:57)y =0
2 2
(2)(3)(cid:390)(cid:142)(cid:205)
(cid:201)(cid:5)(cid:205)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)(cid:51)(cid:180)(cid:235)(cid:236)(cid:13)(cid:147)(cid:104)(cid:24)(cid:451)(cid:452)(cid:49)(cid:70)(cid:77)(cid:78)(cid:63)P (cid:24)(cid:65)(cid:37)(cid:206)(cid:207)(cid:195)
2
(cid:10)2(cid:11)(cid:124)(cid:330)(cid:30)(cid:190)(cid:235)(cid:236)(cid:74)(cid:233)(cid:84)(cid:316)(cid:24)(cid:96)(cid:173)(cid:206)(cid:207)(cid:262)(cid:133)(cid:89)(cid:329)(cid:195)(cid:124)(cid:330)(cid:34)(cid:190)(cid:67)(cid:68)(cid:4)(cid:381)(cid:73)(cid:230)(cid:90)(cid:233)(cid:169)(cid:287)(cid:206)(cid:207)(cid:133)(cid:134)(cid:195)
(cid:10)3(cid:11)(cid:124)(cid:330)(cid:30)(cid:190)(cid:346)(cid:68)(cid:156)(cid:25)(cid:274)(cid:108)(cid:84)(cid:108)(cid:26)(cid:230)(cid:74)(cid:233)(cid:84)(cid:316)(cid:453)(cid:454)(cid:57)(cid:133)(cid:134)S (cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:161)(cid:52)n(cid:226)(cid:55)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:206)(cid:207).(cid:124)(cid:330)(cid:34)(cid:190)(cid:346)(cid:68)(cid:74)
n
x +y +x -y
(cid:381)(cid:84)(cid:316)(cid:453)(cid:454)(cid:57)(cid:133)(cid:134)S (cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:161)(cid:52)n(cid:226)(cid:55)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:206)(cid:207).(cid:124)(cid:330)(cid:19)(cid:190)(cid:67)(cid:68)(cid:4)(cid:381)(cid:73)(cid:114)(cid:115)k = n+1 n+1 n n (cid:57)
n PnPn+1 x +y -x -y 
n+1 n+1 n n
x +y +x -y
k = n+2 n+2 n-1 n-1 (cid:57)(cid:66)(cid:89)(cid:90)(cid:10)2(cid:11)(cid:104)(cid:24)(cid:89)(cid:329)(cid:114)x +y =qx +y (cid:57)(cid:129)(cid:250)(cid:133)(cid:134)(cid:63)k =k
P n-1 P n+2 x +y -x -y  n+1 n+1 n+2 n+2 PnPn+1 Pn-1Pn+2
n+2 n+2 n-1 n-1
(cid:206)(cid:207).
(cid:201)(cid:215)(cid:142)(cid:204)(cid:10)1(cid:11)
(cid:216)(cid:188)(cid:177)(cid:209)m=52-42 =9(cid:57)(cid:219)C(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:161)x2-y2 =9.
(cid:244)k = 1
2
(cid:245)(cid:57)(cid:59)P
1
5,4(cid:254)(cid:139)(cid:140)(cid:161) 1
2
(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:161)y= x
2
+3 (cid:57)(cid:52)x2-y2 =9(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:115)x2- æ
ç è
x
2
+3ö
÷ ø
2 =9.
(cid:142)(cid:114)x=-3(cid:116)x=5(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:277)(cid:51)(cid:48)(cid:52)C(cid:24)(cid:107)(cid:248)(cid:196)P(cid:24)(cid:64)(cid:4)(cid:161)Q -3,0(cid:57)(cid:277)(cid:4)(cid:288)(cid:289)(cid:101)C(cid:24)(cid:306)(cid:304)(cid:38).
1 1
(cid:219)P 3,0(cid:57)(cid:120)(cid:252)x =3(cid:57)y =0.
2 2 2
(cid:10)2(cid:11)(cid:133)(cid:134)(cid:71)(cid:278)(cid:190)
(cid:49)(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:216)(cid:196)(cid:59)P x ,y (cid:254)(cid:139)(cid:140)(cid:161)k(cid:24)(cid:51)(cid:48)(cid:161)y=kx-x +y (cid:57)(cid:52)x2-y2 =9(cid:60)(cid:61)(cid:57)(cid:114)(cid:115)(cid:49)(cid:50)
n n n n n
x2- kx-x +y 2 =9.
n n
(cid:455)(cid:456)(cid:206)(cid:114)  1-k2 x2-2ky -kx x-y -kx 2 -9=0(cid:57)(cid:216)(cid:196)P x ,y (cid:188)(cid:283)(cid:193)(cid:51)(cid:48)y=kx-x +y (cid:230)
n n n n n n n n n
x2-y2 =9(cid:24)(cid:69)(cid:311)(cid:4)(cid:57)(cid:219)(cid:49)(cid:50)(cid:362)(cid:209)(cid:30)(cid:235)x=x .
n2ky -kx  2ky -x -k2x
(cid:120)(cid:252)(cid:235)(cid:236)(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:57)(cid:255)(cid:30)(cid:235)x= n n -x = n n n (cid:57)(cid:155)(cid:354)(cid:24)
1-k2 n 1-k2
y +k2y -2kx
y=kx-x +y = n n n .
n n 1-k2
æ2ky -x -k2x y +k2y -2kx ö
(cid:211)(cid:237)(cid:277)(cid:51)(cid:48)(cid:52)C(cid:24)(cid:107)(cid:248)(cid:196)P(cid:24)(cid:64)(cid:4)(cid:161)Q ç n n n , n n n ÷(cid:57)(cid:252)(cid:126)(cid:217)(cid:115)Q (cid:24)(cid:208)(cid:65)(cid:37)(cid:291)(cid:207)(cid:58)(cid:59)
n n
è
1-k2 1-k2
ø
n
-y -kx 2 -9
(cid:210)(cid:163)(cid:96)(cid:92)(cid:162)(cid:214)(cid:161) n n (cid:57)(cid:219)Q (cid:30)(cid:96)(cid:101)C(cid:24)(cid:306)(cid:304)(cid:38).
 1-k2 x n
n
æx +k2x -2ky y +k2y -2kx ö
(cid:211)(cid:237)P ç n n n , n n n ÷.
n+1
è
1-k2 1-k2
ø
x +k2x -2ky y +k2y -2kx
(cid:143)(cid:378)(cid:114)(cid:115)x = n n n (cid:57)y = n n n .
n+1 1-k2 n+1 1-k2
x +k2x -2ky y +k2y -2kx
(cid:211)(cid:237)x -y = n n n - n n n
n+1 n+1 1-k2 1-k2
x +k2x +2kx y +k2y +2ky 1+k2+2k 1+k
= n n n - n n n = x -y = x -y .
1-k2 1-k2 1-k2 n n 1-k n n
1+k
(cid:66)(cid:216)x2-y2 =9(cid:57)(cid:378)(cid:177)(cid:457)x -y ¹0(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:84)(cid:316)x -y (cid:193)(cid:69)(cid:233)(cid:161) (cid:24)(cid:74)(cid:233)(cid:84)(cid:316).
1 1 1 1 n n 1-k
y -y 1+k x +x -y +y
(cid:49)(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:253)(cid:161)P x ,y (cid:57)Q -x ,y (cid:57)k =- n+1 n (cid:57)(cid:218) = n+1 n n+1 n (cid:57)
n n n n n+1 n+1 x +x 1-k x +x +y -y
n+1 n n+1 n n+1 n
ìx 2-y 2 =9
(cid:216)(cid:196)í n+1 n+1 (cid:57)(cid:314)(cid:381)(cid:114)x -y x +y =x -y x +y (cid:57)
î x 2-y 2 =9 n+1 n+1 n+1 n+1 n n n n
n n
x -y x +y x -y x +y x -y +x +y 1+k
n+1 n+1 = n n (cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:90)(cid:233)(cid:169)(cid:287)(cid:177) n+1 n+1 = n n = n+1 n+1 n n = (cid:57)
x -y x +y x -y x +y x -y +x +y 1-k
n n n+1 n+1 n n n+1 n+1 n n n+1 n+1
1+k
(cid:253)(cid:276)x -y (cid:193)(cid:69)(cid:233)(cid:161) (cid:24)(cid:74)(cid:233)(cid:84)(cid:316).
n n 1-k
(3)(cid:133)(cid:134)(cid:71)(cid:278)(cid:190)
uuur uuuur 1
(cid:49)(cid:73)(cid:30)(cid:190)(cid:261)(cid:133)(cid:134)(cid:30)(cid:191)(cid:89)(cid:329)(cid:190)(cid:82)(cid:156)(cid:25)(cid:38)(cid:19)(cid:191)(cid:4)U,V,W (cid:57)(cid:199)UV =a,b(cid:57)UW =c,d(cid:57)(cid:218)S = ad-bc .(cid:10)(cid:199)
VUVW 2
U,V,W (cid:101)(cid:248)(cid:30)(cid:159)(cid:51)(cid:48)(cid:38)(cid:57)(cid:298)(cid:96)S =0(cid:11)
VUVW
1 uuur uuuur uuur uuuur 1 uuur uuuur uuur uuuur
(cid:133)(cid:134)(cid:190)S = UV ×UW sinUV,UW = UV ×UW 1-cos2UV,UW
VUVW 2 2
æ uuur uuuur ö 2
= 1 U uu V ur ×U uu W uur 1-ç u U uu V r ×U uu W uur ÷ = 1 U uu V ur2 ×U uu W uur2 -  U uu V ur ×U uu W uur 2
2 ç UV ×UW ÷ 2
è ø
1
=
 a2+b2 c2+d2 -ac+bd2
21
= a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-2abcd
2
1 1 1
= a2d2+b2c2-2abcd = ad-bc2 = ad-bc .
2 2 2
(cid:133)(cid:458)(cid:57)(cid:459)(cid:115)(cid:231)(cid:13).
x +k2x -2ky y +k2y -2kx
(cid:216)(cid:196)(cid:38)(cid:30)(cid:234)(cid:27)(cid:188)(cid:283)(cid:114)(cid:115)x = n n n (cid:57)y = n n n (cid:57)
n+1 1-k2 n+1 1-k2
x +k2x -2ky y +k2y -2kx 1+k2-2k 1-k
(cid:219)x +y = n n n + n n n = x +y = x +y .
n+1 n+1 1-k2 1-k2 1-k2 n n 1+k n n
(cid:66)(cid:216)x2-y2 =9(cid:57)(cid:378)(cid:177)(cid:457)x +y ¹0(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:84)(cid:316)x +y (cid:193)(cid:69)(cid:233)(cid:161) 1-k (cid:24)(cid:74)(cid:233)(cid:84)(cid:316).
1 1 1 1 n n 1+k
(cid:211)(cid:237)(cid:82)(cid:393)(cid:217)(cid:24)(cid:367)(cid:224)(cid:84)m(cid:57)(cid:394)(cid:209)
x y -y x
n n+m n n+m
1 1
= x x -y y +x y -y x - x x -y y -x y -y x 
2 n n+m n n+m n n+m n n+m 2 n n+m n n+m n n+m n n+m
1 1
= x -y x +y - x +y x -y 
2 n n n+m n+m 2 n n n+m n+m
1æ1-kö m 1æ1+kö m
= ç ÷ x -y x +y - ç ÷ x +y x -y 
2è1+kø n n n n 2è1-kø n n n n
=
1æ
çç
æ1-k
÷
ö m
-ç
æ1+k
÷
ö mö
÷
 x2-y2
2ç è1+kø è1-kø ÷ n n
è ø
9ææ1-kö m æ1+kö mö
= 2 è ç ç è ç 1+kø ÷ - è ç 1-kø ÷ ø ÷ ÷ .
uuuuuur uuuuuuur
(cid:252)(cid:225)(cid:209)P P =-x -x ,-y -y  (cid:57)P P =x -x ,y -y (cid:57)
n+1 n n+1 n n+1 n n+1 n+2 n+2 n+1 n+2 n+1
(cid:219)(cid:67)(cid:68)(cid:334)(cid:25)(cid:188)(cid:283)(cid:133)(cid:134)(cid:24)(cid:89)(cid:329)(cid:206)(cid:114)
1
S =S = -x -x y -y +y -y x -x 
n VPnPn+1Pn+2 2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+2 n+1
1
= x -x y -y -y -y x -x 
2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+2 n+1
1
= x y -y x +x y -y x -x y -y x 
2 n+1 n+2 n+1 n+2 n n+1 n n+1 n n+2 n n+2
1 9æ1-k 1+kö 9æ1-k 1+kö 9æ æ1-kö 2 æ1+kö 2ö
= ç - ÷+ ç - ÷- çç ÷ -ç ÷ ÷ .
2 2è1+k 1-kø 2è1+k 1-kø 2ç è1+kø è1-kø ÷
è ø
(cid:143)(cid:378)(cid:162)(cid:134)S (cid:24)(cid:247)(cid:97)(cid:193)(cid:52)n(cid:226)(cid:55)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:57)(cid:211)(cid:237)S =S .
n n n+1
x +k2x -2ky y +k2y -2kx
(cid:49)(cid:73)(cid:34)(cid:190)(cid:216)(cid:196)(cid:38)(cid:30)(cid:234)(cid:27)(cid:188)(cid:283)(cid:114)(cid:115)x = n n n (cid:57)y = n n n (cid:57)
n+1 1-k2 n+1 1-k2x +k2x -2ky y +k2y -2kx 1+k2-2k 1-k
(cid:219)x +y = n n n + n n n = x +y = x +y .
n+1 n+1 1-k2 1-k2 1-k2 n n 1+k n n
(cid:66)(cid:216)x2-y2 =9(cid:57)(cid:378)(cid:177)(cid:457)x +y ¹0(cid:57)(cid:211)(cid:237)(cid:84)(cid:316)x +y (cid:193)(cid:69)(cid:233)(cid:161) 1-k (cid:24)(cid:74)(cid:233)(cid:84)(cid:316).
1 1 1 1 n n 1+k
(cid:211)(cid:237)(cid:82)(cid:393)(cid:217)(cid:24)(cid:367)(cid:224)(cid:84)m(cid:57)(cid:394)(cid:209)
x y -y x
n n+m n n+m
1 1
= x x -y y +x y -y x - x x -y y -x y -y x 
2 n n+m n n+m n n+m n n+m 2 n n+m n n+m n n+m n n+m
1 1
= x -y x +y - x +y x -y 
2 n n n+m n+m 2 n n n+m n+m
1æ1-kö m 1æ1+kö m
= ç ÷ x -y x +y - ç ÷ x +y x -y 
2è1+kø n n n n 2è1-kø n n n n
=
1æ
çç
æ1-k
÷
ö m
-ç
æ1+k
÷
ö mö
÷
 x2-y2
2ç è1+kø è1-kø ÷ n n
è ø
9ææ1-kö m æ1+kö mö
= 2 è ç ç è ç 1+kø ÷ - è ç 1-kø ÷ ø ÷ ÷ .
9æ1-k 1+kö
(cid:143)(cid:378)(cid:114)(cid:115)x y -y x = ç - ÷=x y -y x (cid:57)
n+2 n+3 n+2 n+3 2è1+k 1-kø n n+1 n n+1
9ææ1-kö 2 æ1+kö 2ö
(cid:237)(cid:132)x n+1 y n+3 -y n+1 x n+3 = 2 è ç ç è ç 1+kø ÷ - è ç 1-kø ÷ ø ÷ ÷ =x n y n+2 -y n x n+2 .
(cid:197)(cid:70)(cid:155)(cid:294)(cid:57)(cid:206)(cid:114)x y -y x -x y -y x =x y -y x -x y -y x  .
n+2 n+3 n+2 n+3 n+1 n+3 n+1 n+3 n n+1 n n+1 n n+2 n n+2
(cid:258)(cid:439)(cid:114)(cid:115)x y -y x -x y +y x = y x -x y -y x +x y .
n+2 n+3 n n+2 n+1 n+3 n n+1 n+2 n+3 n n+2 n+1 n+3 n n+1
(cid:219)y -y x -x =y -y x -x  .
n+3 n n+2 n+1 n+2 n+1 n+3 n
uuuuuur uuuuuuur
(cid:252)PP =x -x ,y -y (cid:57)P P =x -x ,y -y .
n n+3 n+3 n n+3 n n+1 n+2 n+2 n+1 n+2 n+1
uuuuuur uuuuuuur
(cid:211)(cid:237)PP (cid:230)P P (cid:156)(cid:76)(cid:57)(cid:143)(cid:378)(cid:114)(cid:115)S =S (cid:57)(cid:206)S =S .
n n+3 n+1 n+2 VPnPn+1Pn+2 VPn+1Pn+2Pn+3 n n+1
ìx 2-y 2 =9
(cid:49)(cid:73)(cid:19)(cid:190)(cid:216)(cid:196)í n+1 n+1 (cid:57)(cid:314)(cid:381)(cid:114)x 2-x 2 = y 2-y 2(cid:57)
î x 2-y 2 =9 n+1 n n+1 n
n n
y -y x +x x +y +x -y
(cid:102)(cid:21)(cid:114)k = n+1 n = n+1 n = n+1 n+1 n n (cid:57)
P n P n+1 x -x y +y x +y -x -y 
n+1 n n+1 n n+1 n+1 n n
y -y x +x x +y +x①-y
(cid:248)(cid:92)(cid:207)(cid:114)k = n+2 n-1 = n+2 n-1 = n+2 n+2 n-1 n-1 (cid:57)
Pn-1Pn+2 x -x y +y x +y -x -y 
n+2 n-1 n+2 n-1 n+2 n+2 n-1 n-1
1+k 1+k
(cid:216)(cid:10)2(cid:11)(cid:177)x -y (cid:193)(cid:69)(cid:233)(cid:161) (cid:24)(cid:74)(cid:233)(cid:84)(cid:316)(cid:57)(cid:279)q= (cid:218)x -y =qx -y  (cid:57)
n n 1-k 1-k n n n-1 n-1
②1
(cid:248)(cid:245)x +y (cid:193)(cid:69)(cid:233)(cid:161) (cid:24)(cid:74)(cid:233)(cid:84)(cid:316)(cid:57)(cid:218)x +y =qx +y  (cid:57)
n n q n+1 n+1 n+2 n+2
(cid:158) (cid:83)(cid:256) (cid:57) ③
y ② - ③ y x ① +y +x -y qx +y +qx -y  x +y +x -y
n+1 n = n+1 n+1 n n = n+2 n+2 n-1 n-1 = n+2 n+2 n-1 n-1
x -x x +y -x -y  qx +y -qx -y  x +y -x -y 
n+1 n n+1 n+1 n n n+2 n+2 n-1 n-1 n+2 n+2 n-1 n-1
(cid:206)k =k (cid:57)(cid:120)(cid:252)S =S (cid:57)(cid:206)S =S .
PnPn+1 Pn-1Pn+2 n-1 n n n+1
(cid:201)(cid:4)(cid:292)(cid:204)(cid:55)(cid:293)(cid:4)(cid:4)(cid:292)(cid:190)(cid:150)(cid:13)(cid:24)(cid:55)(cid:293)(cid:101)(cid:196)(cid:158)(cid:142)(cid:205)(cid:86)(cid:87)(cid:230)(cid:84)(cid:316)(cid:177)(cid:178)(cid:24)(cid:89)(cid:90)(cid:57)(cid:99)(cid:100)(cid:170)(cid:90)(cid:85)(cid:68)(cid:460)(cid:49)(cid:25)(cid:177)(cid:178)(cid:49)(cid:207)(cid:114)(cid:142).