专题10数列(原卷版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

10
专题 数列
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)2026(cid:20)(cid:21)(cid:25)(cid:23)(cid:24)
2026(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)2026(cid:28)(cid:29)(cid:23)
(cid:3)(cid:36)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:16)
2025(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:25)(cid:23)(cid:24)2025(cid:28)(cid:29)(cid:23)
(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:38)
2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)Ⅱ(cid:23)(cid:24)2024(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:33)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19) (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:63)
(cid:23)(cid:24)2024(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:24)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:46)(cid:17)(cid:16)(cid:39)(cid:40)
2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)Ⅰ(cid:23)(cid:24)2023(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:33)
(cid:41)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:72)(cid:58)(cid:59)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(cid:23)(cid:24)2022(cid:8)(cid:30)(cid:34)(cid:3)(cid:20)(cid:21)Ⅱ(cid:23)(cid:24)2022
(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:35)(cid:23)(cid:24)2022(cid:28)(cid:29)(cid:23)
2026(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)2026(cid:28)(cid:29)(cid:23)
2025(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)2025(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:25)
(cid:3)(cid:36)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:16)
(cid:23)(cid:24)2025(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)2025(cid:28)(cid:29)(cid:23)
(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:38)
2024(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)2024(cid:28)(cid:29)(cid:23)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19) (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:63)
2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)Ⅱ(cid:23)(cid:24)2023(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:33)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:46)(cid:77)(cid:16)(cid:39)(cid:40)
(cid:23)(cid:24)2023(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:35)(cid:23)(cid:24)2023(cid:26)(cid:27)
(cid:41)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:72)(cid:58)(cid:59)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(cid:23)(cid:24)2023(cid:78)(cid:79)(cid:23)(cid:24)2023(cid:28)(cid:29)(cid:23)
2022(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:35)(cid:23)
2026(cid:20)(cid:21)(cid:25)(cid:23)(cid:24)2026(cid:78)(cid:79)(cid:23)
2025(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)2025(cid:78)(cid:79)(cid:23) (cid:18)(cid:19)(cid:75)(cid:50)(cid:80)(cid:76)(cid:81)(cid:13)(cid:38)(cid:82)(cid:4)(cid:53)(cid:5)(cid:73)(cid:75)
2024(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:33)(cid:23)(cid:24)2024(cid:78)(cid:79)(cid:23) (cid:50)(cid:83)(cid:24)(cid:84)(cid:45)(cid:85)(cid:86)(cid:83)(cid:24)(cid:87)(cid:88)(cid:85)(cid:89)(cid:83)(cid:16)
(cid:3)(cid:4)03 (cid:18)(cid:19)(cid:75)(cid:50) 2023(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)Ⅱ(cid:23)(cid:24)2023(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:33) (cid:75)(cid:50)(cid:58)(cid:83)(cid:90)(cid:91)(cid:3)(cid:36)(cid:53)(cid:92)(cid:75)(cid:93)(cid:94)(cid:54)(cid:55)
(cid:23)(cid:24)2023(cid:28)(cid:29)(cid:23) (cid:95)(cid:96)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:97)(cid:98)(cid:53)(cid:99)(cid:100)(cid:101)
2022(cid:8)(cid:30)(cid:34)(cid:3)(cid:20)(cid:21)Ⅰ(cid:23)(cid:24)2022(cid:78)(cid:79) (cid:102)(cid:38)(cid:75)(cid:50)(cid:58)(cid:83)
(cid:23)
2026(cid:26)(cid:27)(cid:23)2025(cid:28)(cid:29)(cid:23) (cid:3)(cid:36)a (cid:109)S (cid:38)(cid:69)(cid:110)(cid:75)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:24)(cid:111)
n n
2024(cid:8)(cid:30)(cid:31)(cid:32)Ⅰ(cid:23)(cid:24)2024(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24) (cid:112)(cid:83)(cid:24)(cid:111)(cid:113)(cid:83)(cid:53)(cid:54)(cid:114)(cid:115)(cid:106)(cid:57)(cid:116)(cid:117)(cid:83)(cid:118)
(cid:3)(cid:4)04 (cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:103) 2024(cid:28)(cid:29)(cid:23) (cid:18)(cid:19)(cid:109)(cid:119)(cid:120)(cid:64)(cid:121)(cid:38)(cid:105)(cid:101)(cid:3)(cid:36)(cid:122)(cid:123)
(cid:104)(cid:24)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:105) 2023(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)2023(cid:78)(cid:79)(cid:23) (cid:124)(cid:125)(cid:53)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:92)(cid:75)(cid:93)(cid:94)(cid:129)(cid:130)(cid:18)(cid:19)(cid:40)
(cid:101)(cid:106)(cid:57) 2022(cid:8)(cid:30)(cid:34)(cid:3)(cid:20)(cid:21)Ⅱ(cid:23)(cid:24)2022(cid:8)(cid:20) (cid:131)(cid:38)(cid:64)(cid:121)(cid:53)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:38)(cid:64)(cid:121)(cid:138)
(cid:21)(cid:35)(cid:23)(cid:24)2022(cid:26)(cid:27)(cid:23)(cid:24)2022(cid:28)(cid:29) (cid:139)(cid:54)(cid:140)(cid:50)(cid:105)(cid:101)(cid:56)(cid:57)(cid:54)(cid:140)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:141)(cid:142)
(cid:23)(cid:24)2022(cid:107)(cid:108)(cid:23) (cid:143)(cid:28)(cid:144)(cid:130)(cid:18)(cid:93)(cid:64)(cid:121)(cid:143)(cid:110)(cid:118)考点 01 等差数列
1(cid:145)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:22)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:88)(cid:70)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:53)(cid:161)(cid:119)(cid:162)(cid:97)(cid:38)(cid:67)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:50)(cid:166)(cid:167)(cid:38)
(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:145)(cid:176)(cid:149)(cid:177)(cid:178)(cid:179)108(cid:180)(cid:149)(cid:53)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:154)(cid:28)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:187)12(cid:188)(cid:53)(cid:189)(cid:190)i(cid:188)(cid:37)(cid:149)(cid:38)(cid:180)(cid:18)(cid:191)(cid:192)
a(i=1,2,L,12)(cid:53)(cid:119)(cid:37)a =1(cid:53)a =a =3(cid:53)a =a =5(cid:53)(cid:193)a (cid:53)a (cid:53)…(cid:53)a (cid:80)(cid:22)(cid:194)(cid:71)(cid:45)(cid:192)7(cid:53)(cid:46)(cid:17)(cid:192)2(cid:38)(cid:16)
i 1 2 3 4 5 6 7 12
(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:145)(cid:189)a (cid:53)a (cid:53)…(cid:53)a (cid:5)(cid:192)6(cid:73)(cid:53)(cid:195)(cid:73)2(cid:194)(cid:18)(cid:53)(cid:196)(cid:197)(cid:195)(cid:73)(cid:38)2(cid:194)(cid:18)(cid:198)(cid:50)(cid:199)(cid:116)(cid:187)(cid:22)(cid:194)(cid:45)(cid:18)(cid:192)6(cid:193)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(d >0)
1 2 12
(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)d =(cid:10) (cid:11)
A(cid:145)2 B(cid:145)4 C(cid:145)6 D(cid:145)8
2(cid:145)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50).(cid:201)S =6,S =-5,(cid:200)S =(cid:10) (cid:11)
n n 3 5 6
A(cid:145)-20 B(cid:145)-15 C(cid:145)-10 D(cid:145)-5
3(cid:145)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:201)S =1(cid:53)(cid:200)a +a =(cid:10) (cid:11)
n n 9 3 7
7 2
A(cid:145)-2 B(cid:145) C(cid:145)1 D(cid:145)
3 9
4(cid:145)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:63)(cid:64)S =S (cid:53)a =1(cid:53)(cid:200)a =(cid:10) (cid:11)
n n 5 10 5 1
7 7 1 7
A(cid:145) B(cid:145) C(cid:145)- D(cid:145)-
2 3 3 11
5(cid:145)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:145)(cid:201)a +a =10,a a =45(cid:53)(cid:200)S =(cid:10) (cid:11)
n n 2 6 4 8 5
A(cid:145)25 B(cid:145)22 C(cid:145)20 D(cid:145)15
S
6(cid:145)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:202)(cid:33)(cid:203)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:204)(cid:35)(cid:203){ n}(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)
n n n n
(cid:19)(cid:53)(cid:200)(cid:10) (cid:11)
A(cid:145)(cid:33)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:205)(cid:5)(cid:65)(cid:66)(cid:206)(cid:127)(cid:80)(cid:207)(cid:92)(cid:65)(cid:66)
B(cid:145)(cid:33)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:207)(cid:92)(cid:65)(cid:66)(cid:206)(cid:127)(cid:80)(cid:205)(cid:5)(cid:65)(cid:66)
C(cid:145)(cid:33)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:205)(cid:92)(cid:65)(cid:66)
D(cid:145)(cid:33)(cid:208)(cid:127)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:205)(cid:5)(cid:65)(cid:66)(cid:209)(cid:127)(cid:80)(cid:35)(cid:38)(cid:207)(cid:92)(cid:65)(cid:66)
7(cid:145)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:210)1(cid:80)(cid:37)(cid:21)(cid:211)(cid:212)(cid:67)(cid:163)(cid:37)(cid:38)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:116)(cid:53)AA¢,BB¢,CC¢,DD¢(cid:80)(cid:216)(cid:53)(cid:85)(cid:217)(cid:216)
(cid:38)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:192)(cid:223)(cid:53)(cid:224)(cid:225)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:192)(cid:213)(cid:53)(cid:210)2(cid:80)(cid:226)(cid:211)(cid:212)(cid:67)(cid:163)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:38)(cid:231)(cid:232)(cid:210)(cid:145)(cid:119)(cid:37)DD,CC,BB,AA (cid:80)(cid:213)(cid:53)
1 1 1 1DD CC BB AA
OD,DC,CB,BA (cid:80)(cid:85)(cid:16)(cid:38)(cid:223)(cid:53)(cid:85)(cid:217)(cid:216)(cid:38)(cid:213)(cid:223)(cid:198)(cid:77)(cid:5)(cid:233)(cid:192) 1 =0.5, 1 =k , 1 =k , 1 =k (cid:145)(cid:63)(cid:64)k ,k ,k
1 1 1 1 OD DC 1 CB 2 BA 3 1 2 3
1 1 1 1
(cid:187)(cid:46)(cid:17)(cid:192)0.1(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:225)(cid:234)OA(cid:38)(cid:235)(cid:236)(cid:192)0.725(cid:53)(cid:200)k =(cid:10) (cid:11)
3
A(cid:145)0.75 B(cid:145)0.8 C(cid:145)0.85 D(cid:145)0.9
8(cid:145)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:201)a =-1(cid:53)a =5(cid:53)(cid:200)S =__________(cid:145)
n n 1 4 6
9(cid:145)（2026·北京·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:193)S =6a +30(cid:53)(cid:200)(cid:46)(cid:17)d =________(cid:53)(cid:201)S £S
n n 6 6 n 5
(cid:237)(cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:200)(cid:238)(cid:101)(cid:65)(cid:66)(cid:38)a (cid:38)(cid:22)(cid:194)(cid:239)(cid:240)(cid:192)________(cid:145)
1
10(cid:145)（2026·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:37)(cid:53)a =0(cid:53)(cid:46)(cid:17)(cid:192)d(cid:53)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)S (cid:241)(cid:156)(cid:242)0,1(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:179)
n 1 n
(cid:246)(cid:45)(cid:53)(cid:200)(cid:46)(cid:17)d(cid:38)(cid:239)(cid:240)(cid:247)(cid:248)(cid:80)__________(cid:145)
11(cid:145)（2025·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:71)(cid:45)a =-3(cid:53)(cid:46)(cid:17)d =2(cid:53)(cid:200)(cid:176)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:49)6(cid:45)(cid:50)(cid:192)_________(cid:145)
n 1
12(cid:145)（2025·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:80)(cid:71)(cid:45)(cid:192)1(cid:24)(cid:46)(cid:17)(cid:192)1(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:80)(cid:71)(cid:45)(cid:192)1(cid:24)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q(q>0)
n n
(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:145)(cid:201)(cid:18)(cid:19)a ×b (cid:38)(cid:49)(cid:249)(cid:45)(cid:50)(cid:192)2(cid:53)(cid:200)q=__________(cid:145)
n n
13(cid:145)（2024·上海·高考真题）(cid:18)(cid:19)a (cid:53)a =n+c,S <0(cid:53)c(cid:38)(cid:239)(cid:240)(cid:247)(cid:248)(cid:192)___________(cid:145)
n n 7
14(cid:145)（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19){a }(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:201)a +a =7(cid:53)3a +a =5(cid:53)(cid:200)S =
n n 3 4 2 5 10
________.
15(cid:145)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:145)(cid:201)2S =3S +6(cid:53)(cid:200)(cid:46)(cid:17)d =_______(cid:145)
n n 3 2
16(cid:145)（2022·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:17)(cid:127)(cid:192)(cid:147)(cid:53)S (cid:192)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:201)S =0(cid:53)(cid:200)S i=1,2L,100
n n 5 i
(cid:37)(cid:127)(cid:250)(cid:38)(cid:18)(cid:240)(cid:179)___________(cid:194).
17(cid:145)（2024·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:251)(cid:18) f x=log xa>0,a¹1(cid:145)
a(1)(cid:201)(cid:251)(cid:18)y= f x(cid:38)(cid:210)(cid:252)(cid:253)(cid:62)(cid:4)4,2(cid:53)(cid:75)(cid:76)(cid:127)(cid:16)(cid:47) f 2x-2< f x(cid:204)
(2)(cid:201)(cid:254)(cid:241)x(cid:53)(cid:196)(cid:197) f x+1(cid:24) f ax(cid:24) f x+2(cid:181)(cid:255)(cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:75)a(cid:38)(cid:239)(cid:240)(cid:247)(cid:248)(cid:145)
考点 02 等比数列
1(cid:145)（2026·上海·高考真题）(cid:185)(cid:19)(cid:18)(cid:19)(cid:37)(cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:209)(cid:80)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:80)(cid:10) (cid:11)
A(cid:145)1(cid:53)-1(cid:53)1(cid:53)-1(cid:53)1 B(cid:145)1(cid:53)2(cid:53)3(cid:53)4(cid:53)5
C(cid:145)5(cid:53)5(cid:53)5(cid:53)5(cid:53)5 D(cid:145)1(cid:53)2(cid:53)3(cid:53)5(cid:53)7
2(cid:145)（2025·北京·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:80)(cid:46)(cid:17)(cid:127)(cid:192)(cid:147)(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a =-2(cid:53)(cid:201)a ,a ,a (cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)a =
n 1 3 4 6 10
(cid:10) (cid:11)
A(cid:145)-20 B(cid:145)-18 C(cid:145)16 D(cid:145)18
3(cid:145)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:202)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:256)(cid:45)(cid:257)(cid:192)(cid:258)(cid:18)(cid:53)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)S (cid:53)(cid:201)a =1(cid:53)S =5S -4(cid:53)(cid:200)
n n 1 5 3
S =(cid:10) (cid:11)
4
15 65
A(cid:145) B(cid:145) C(cid:145)15 D(cid:145)40
8 8
4(cid:145)（2023·天津·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:201)a =2,a =2S +2  nÎN* (cid:53)(cid:200)a =(cid:10) (cid:11)
n n 1 n+1 n 4
A(cid:145)16 B(cid:145)32 C(cid:145)54 D(cid:145)162
5(cid:145)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:201)S =-5(cid:53)S =21S (cid:53)(cid:200)S =
n n 4 6 2 8
(cid:10) (cid:11)(cid:145)
A(cid:145)120 B(cid:145)85 C(cid:145)-85 D(cid:145)-120
6(cid:145)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)3(cid:45)(cid:50)(cid:192)168(cid:53)a -a =42(cid:53)(cid:200)a =(cid:10) (cid:11)
n 2 5 6
A(cid:145)14 B(cid:145)12 C(cid:145)6 D(cid:145)3
7(cid:145)(cid:10)(cid:259)(cid:99)(cid:13)(cid:11)（2025·全国二卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)q(cid:192)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:53)q>0.(cid:201)
n n n
S =7,a =1(cid:53)(cid:200)(cid:10) (cid:11)
3 3
1 1
A(cid:145)q= B(cid:145)a =
2 5 9
C(cid:145)S =8 D(cid:145)a +S =8
5 n n
8(cid:145)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:202)(cid:260)(cid:18)q(cid:261)(cid:262)(cid:203)(cid:254)(cid:241)(cid:18)(cid:19)a (cid:53)(cid:196)(cid:197)(cid:263)(cid:70)(cid:264)(cid:232)nÎN*(cid:53)(cid:257)(cid:179)
na +a +L+a =n2+n(cid:53)(cid:193)a (cid:37)(cid:179)(cid:226)(cid:265)(cid:266)9(cid:45)a (cid:53)a (cid:53)L(cid:53)a (cid:80)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:145)(cid:200)q(cid:38)(cid:267)(cid:268)(cid:240)
1 2 3n n k k+1 k+8
(cid:192)__________(cid:145)
9(cid:145)（2026·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a =2(cid:53)a =6(cid:53)(cid:200)a =__________(cid:145)
n 1 2 4
10(cid:145)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:201)(cid:22)(cid:194)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:256)(cid:45)(cid:257)(cid:192)(cid:258)(cid:18)(cid:53)(cid:193)(cid:49)4(cid:45)(cid:38)(cid:50)(cid:16)(cid:70)4(cid:53)(cid:49)8(cid:45)(cid:38)(cid:50)(cid:16)(cid:70)
68(cid:53)(cid:200)(cid:126)(cid:194)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:16)(cid:70)_________.
11(cid:145)（2025·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:80)(cid:71)(cid:45)(cid:192)1(cid:24)(cid:46)(cid:17)(cid:192)1(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:80)(cid:71)(cid:45)(cid:192)1(cid:24)(cid:46)(cid:77)(cid:192)q(q>0)
n n
(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:145)(cid:201)(cid:18)(cid:19)a ×b (cid:38)(cid:49)(cid:249)(cid:45)(cid:50)(cid:192)2(cid:53)(cid:200)q=__________(cid:145)
n n
12(cid:145)（2024·上海·高考真题）(cid:269)(cid:270)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:261)(cid:262)(cid:71)(cid:45)a >0,q>1(cid:53)(cid:191)I =  x-y x,yÎa,a Èa ,a  (cid:53)
n 1 n 1 2 n n+1
(cid:201)(cid:263)(cid:264)(cid:232)(cid:258)(cid:142)(cid:18)n(cid:271)(cid:101)I (cid:80)(cid:272)(cid:156)(cid:242)(cid:53)(cid:200)q(cid:38)(cid:239)(cid:240)(cid:247)(cid:248)(cid:80)______(cid:145)
n
13(cid:145)（2024·北京·高考真题）(cid:202)a (cid:109)b (cid:80)(cid:246)(cid:194)(cid:127)(cid:250)(cid:38)(cid:269)(cid:270)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:273)(cid:127)(cid:80)(cid:124)(cid:18)(cid:19).(cid:191)(cid:271)(cid:101)
n n
M =

k|a =b
,kÎN*
(cid:53)(cid:274)(cid:275)(cid:185)(cid:19)4(cid:194)(cid:215)(cid:276)(cid:203)
k k
(cid:201)a (cid:109)b (cid:257)(cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)M(cid:37)(cid:267)(cid:259)(cid:179)1(cid:194)(cid:277)(cid:278)(cid:204)
n n
①
(cid:201)a (cid:109)b (cid:257)(cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)M(cid:37)(cid:267)(cid:259)(cid:179)2(cid:194)(cid:277)(cid:278)(cid:204)
n n
②
(cid:201)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)M(cid:37)(cid:267)(cid:259)(cid:179)3(cid:194)(cid:277)(cid:278)(cid:204)
n n
③
(cid:201)a (cid:192)(cid:279)(cid:280)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:192)(cid:279)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)M(cid:37)(cid:267)(cid:259)(cid:179)1(cid:194)(cid:277)(cid:278).
n n
④(cid:119)(cid:37)(cid:258)(cid:281)(cid:215)(cid:276)(cid:38)(cid:282)(cid:283)(cid:80)______.
14(cid:145)（2024·北京·高考真题）(cid:284)(cid:212)(cid:285)(cid:286)(cid:202)(cid:42)(cid:38)“(cid:158)(cid:287)(cid:41)”(cid:80)(cid:288)(cid:24)(cid:101)(cid:24)(cid:289)(cid:24)(cid:290)(cid:24)(cid:291)(cid:7)(cid:41)(cid:101)(cid:22)(cid:38)(cid:32)(cid:292)(cid:41)(cid:293)(cid:53)(cid:119)(cid:37)(cid:289)
(cid:41)(cid:293)(cid:24)(cid:290)(cid:41)(cid:293)(cid:24)(cid:291)(cid:41)(cid:293)(cid:38)(cid:294)(cid:295)(cid:257)(cid:199)(cid:296)(cid:192)(cid:297)(cid:298).(cid:201)(cid:289)(cid:24)(cid:290)(cid:24)(cid:291)(cid:41)(cid:293)(cid:38)(cid:299)(cid:300)(cid:187)(cid:46)(cid:77)(cid:192)10(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:301)(cid:230)(cid:225)(cid:302)(cid:181)
(cid:255)(cid:192) 65mm,325mm,325mm(cid:53)(cid:193)(cid:291)(cid:41)(cid:293)(cid:38)(cid:34)(cid:192)230mm(cid:53)(cid:200)(cid:290)(cid:41)(cid:293)(cid:38)(cid:34)(cid:192)______mm(cid:53)(cid:289)(cid:41)(cid:293)(cid:38)(cid:34)(cid:192)________
mm(cid:145)
15(cid:145)（2023·北京·高考真题）(cid:303)(cid:21)(cid:304)(cid:41)(cid:305)(cid:38)(cid:123)(cid:306)(cid:179)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:38)(cid:168)(cid:169)(cid:53)(cid:310)(cid:21)(cid:311)(cid:312)(cid:313)(cid:63)(cid:253)(cid:275)(cid:314)(cid:315)(cid:6)(cid:316)(cid:70)(cid:317)(cid:318)(cid:38)(cid:24)(cid:57)
(cid:319)(cid:320)(cid:41)(cid:321)(cid:143)(cid:52)(cid:41)(cid:38)“(cid:322)(cid:323)”(cid:145)(cid:63)(cid:64)9(cid:324)(cid:322)(cid:323)(cid:38)(cid:52)(cid:41)(cid:10)(cid:325)(cid:88)(cid:203)(cid:326)(cid:11)(cid:141)(cid:327)(cid:328)(cid:268)(cid:116)(cid:187)(cid:45)(cid:18)(cid:192)9(cid:38)(cid:18)(cid:19)a (cid:53)(cid:176)(cid:18)(cid:19)
n
(cid:38)(cid:49)3(cid:45)(cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:329)7(cid:45)(cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)a =1,a =12,a =192(cid:53)(cid:200)a =___________(cid:204)(cid:18)(cid:19)a (cid:330)(cid:179)(cid:45)
1 5 9 7 n
(cid:38)(cid:50)(cid:192)____________(cid:145)
16(cid:145)（2023·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:193)a =3(cid:53)q= 2(cid:53)(cid:75)S =______(cid:204)
n n 1 617(cid:145)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:145)(cid:201)8S =7S (cid:53)(cid:200)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)(cid:192)________(cid:145)
n n 6 3 n
18(cid:145)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a a a =a a (cid:53)a a =-8(cid:53)(cid:200)a =______.
n 2 4 5 3 6 9 10 7
考点 03 数列求和
1(cid:145)（2023·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:256)(cid:45)(cid:257)(cid:192)(cid:260)(cid:18)(cid:53)S (cid:192)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:201)(cid:263)(cid:264)(cid:232)k > 2022(cid:53)(cid:273)(cid:179)
n n
S > S (cid:53)(cid:200)(cid:185)(cid:19)(cid:331)(cid:83)(cid:199)(cid:54)(cid:187)(cid:68)(cid:38)(cid:80)(cid:10) (cid:11)
k k+1
A(cid:145)a,a ,a ,L,a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a ,a ,a ,L,a (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)
1 3 5 2n-1 2 4 6 2n
B(cid:145)a,a ,a ,L,a (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a ,a ,a ,L,a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
1 3 5 2n-1 2 4 6 2n
C(cid:145)a,a ,a ,L,a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a ,a ,a ,L ,a (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)
1 2 3 2022 2022 2023 2024 n
D(cid:145)a,a ,a ,L,a (cid:192)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a ,a ,a ,L ,a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
1 2 3 2022 2022 2023 2024 n
2(cid:145)（2025·天津·高考真题）S =-n2+8n(cid:53)(cid:200)(cid:18)(cid:19) a  (cid:38)(cid:49)12(cid:45)(cid:50)(cid:192)(cid:10) (cid:11)
n n
A(cid:145)112 B(cid:145)48 C(cid:145)80 D(cid:145)64
3(cid:145)(cid:10)(cid:259)(cid:99)(cid:13)(cid:11)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:202)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:46)(cid:77)q¹1(cid:53)a >0 (cid:53)2a =a +a (cid:53)(cid:191)(cid:119)(cid:49)n
n 1 3 1 2
(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:200)(cid:10) (cid:11)
n
1 2a
A(cid:145)q=- B(cid:145)S > 1
2 n 3
n 2na
C(cid:145)2S =S +S D(cid:145)åS > 1
n+2 n+1 n k 3
k=1
4(cid:145)（2026·天津·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:109)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)b (cid:261)(cid:262)(cid:203)a =2(cid:53)b =1(cid:53)a =b +b (cid:53)a =b -b (cid:145)
n n 1 1 2 1 2 4 3 1
(1)(cid:75)(cid:18)(cid:19)a (cid:53)b (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:204)
n n
(2)(cid:191)E =xÎR x£n(cid:53)$kÎN*(cid:53)x=a (cid:72)x=b }(cid:53)(cid:191)c (cid:192)E (cid:37)(cid:38)(cid:277)(cid:278)(cid:194)(cid:18)(cid:145)
n k k n n
(cid:10)i(cid:11)(cid:75)c (cid:204)
3n
3n-1
(cid:10)ii(cid:11)(cid:75)å(-1)m×a ×c (cid:145)
m m
m=15(cid:145)（2025·天津·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:80)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a =b =2,a =b +1,a =b (cid:145)
n n 1 1 2 2 3 3
(1)(cid:75)a (cid:53)b (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:204)
n n
(2)"nÎN*(cid:53)I =0,1(cid:53)(cid:179)T =pab + p a b +...+ p a b + p a b | p,p ,...,p ,p ÎI(cid:53)
n 1 1 1 2 2 2 n-1 n-1 n-1 n n n 1 2 n-1 n
(cid:10)i(cid:11)(cid:75)(cid:332)(cid:203)(cid:263)(cid:264)(cid:232)(cid:260)(cid:18)tÎT (cid:53)(cid:257)(cid:179)t<a b ;
n n+1 n+1
(cid:10)ii(cid:11)(cid:75)T (cid:330)(cid:179)(cid:277)(cid:278)(cid:198)(cid:50)(cid:145)
n
a a 1
6(cid:145)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:37)(cid:53)a =3(cid:53) n+1 = n + .
n 1 n n+1 n(n+1)
(1)(cid:332)(cid:333)(cid:203)(cid:18)(cid:19)na (cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:204)
n
(2)(cid:274)(cid:334)(cid:258)(cid:142)(cid:18)m(cid:53)(cid:202)(cid:251)(cid:18) f(x)=ax+a x2+L +a xm(cid:53)(cid:75) f¢(-2)(cid:145)
1 2 m
7(cid:145)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:193)2S =3a -3.
n n n n+1
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:204)
n
(2)(cid:75)(cid:18)(cid:19)S (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50).
n
8(cid:145)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:63)(cid:64)4S =3a +4(cid:145)
n n n n
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:204)
n
(2)(cid:202)b =(-1)n-1na (cid:53)(cid:75)(cid:18)(cid:19)b (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)T (cid:145)
n n n n
9(cid:145)（2024·天津·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:192)(cid:46)(cid:77)(cid:268)(cid:70)0(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:119)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:193)a =1,S =a -1(cid:145)
n n 1 2 3
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)S (cid:204)
n n
ìk,n=a
(2)(cid:202)(cid:18)(cid:19)b (cid:261)(cid:262)b =í k (cid:53)(cid:119)(cid:37)kÎN*(cid:145)
n n îb +2k,a <n<a
n-1 k k+1
(cid:10)ⅰ(cid:11)(cid:335)n=a  kÎN*,(cid:193)k >1  (cid:311)(cid:53)(cid:75)(cid:332)(cid:203)b ³a ×b (cid:204)
k+1 n-1 k nSn
(cid:10)ⅱ(cid:11)(cid:75)åb (cid:145)
i
i=1
10(cid:145)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:202)S (cid:192)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:63)(cid:64)a =1,2S =na (cid:145)
n n 2 n n
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:204)
n
ìa ü
(2)(cid:75)(cid:18)(cid:19)í n+1ý(cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)T (cid:145)
î 2n þ n
ìa -6,n(cid:192)(cid:336)(cid:18)
11(cid:145)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b =í n (cid:53)(cid:191)S (cid:53)T (cid:5)(cid:233)(cid:192)(cid:18)(cid:19)
n n î2a ,n(cid:192)(cid:337)(cid:18) n n
n
a (cid:53)b (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)S =32(cid:53)T =16(cid:145)
n n 4 3
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:204)
n
(2)(cid:332)(cid:333)(cid:203)(cid:335)n>5(cid:311)(cid:53)T >S (cid:145)
n n
12(cid:145)（2022·天津·高考真题）(cid:202)a (cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:80)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)a =b =a -b =a -b =1(cid:145)
n n 1 1 2 2 3 3
(1)(cid:75)a (cid:109)b (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:204)
n n
(2)(cid:202)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S (cid:53)(cid:75)(cid:332)(cid:203)S +a b =S b -S b (cid:204)
n n n+1 n+1 n n+1 n+1 n n
2n
(3)(cid:75)åé
ë
a
k+1
-(-1)ka
k
ù
û
b
k
(cid:145)
k=1
ìS ü 1
13(cid:145)（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:53)(cid:63)(cid:64)a =1,í ný(cid:80)(cid:46)(cid:17)(cid:192) (cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)
n n 1 îa þ 3
n
(cid:19)(cid:145)
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:204)
n
1 1 1
(2)(cid:332)(cid:333)(cid:203) + +L+ <2(cid:145)
a a a
1 2 n
2S
14(cid:145)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:191)S (cid:192)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:145)(cid:63)(cid:64) n +n=2a +1(cid:145)
n n n n
(1)(cid:332)(cid:333)(cid:203)a (cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:204)
n(2)(cid:201)a ,a ,a (cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:75)S (cid:38)(cid:267)(cid:327)(cid:240)(cid:145)
4 7 9 n
考点 04 数列的概念、通项公式及综合应用
1(cid:145)（2026·北京·高考真题）a (cid:53)b (cid:80)(cid:269)(cid:270)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)“(cid:254)(cid:241)(cid:124)(cid:18)M (cid:53)(cid:196)a £M £b (n=1,2,3,L)”(cid:80)
n n n n
“a £b (n=1,2,3,L)”(cid:38)(cid:10) (cid:11)
n n
A(cid:145)(cid:205)(cid:5)(cid:127)(cid:207)(cid:92)(cid:65)(cid:66) B(cid:145)(cid:207)(cid:92)(cid:127)(cid:205)(cid:5)(cid:65)(cid:66)
C(cid:145)(cid:205)(cid:5)(cid:207)(cid:92)(cid:65)(cid:66) D(cid:145)(cid:208)(cid:127)(cid:205)(cid:5)(cid:209)(cid:127)(cid:207)(cid:92)(cid:65)(cid:66)
2(cid:145)（2025·上海·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:24)b (cid:24)c (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:5)(cid:233)(cid:192)a =10n-9(cid:53)b =2n(cid:24)(cid:53)
n n n n n
c =la +(1-l)b .(cid:201)(cid:263)(cid:264)(cid:232)(cid:38)lÎ0,1(cid:53)a (cid:24)b (cid:24)c (cid:38)(cid:240)(cid:257)(cid:54)(cid:116)(cid:187)(cid:249)(cid:338)(cid:294)(cid:53)(cid:200)(cid:261)(cid:262)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:258)(cid:142)(cid:18)n(cid:179)(cid:10) (cid:11)
n n n n n n
A(cid:145) 4(cid:194) B(cid:145)3(cid:194) C(cid:145)1(cid:194) D(cid:145)(cid:269)(cid:18)(cid:194)
1
3(cid:145)（2023·北京·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:261)(cid:262)a = a -63+6(n=1,2,3,L)(cid:53)(cid:200)(cid:10) (cid:11)
n n+1 4 n
A(cid:145)(cid:335)a =3(cid:311)(cid:53)a (cid:192)(cid:279)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:254)(cid:241)(cid:124)(cid:18)M (cid:339)0(cid:53)(cid:196)(cid:197)a >M (cid:237)(cid:187)(cid:68)
1 n n
B(cid:145)(cid:335)a =5(cid:311)(cid:53)a (cid:192)(cid:279)(cid:280)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:254)(cid:241)(cid:124)(cid:18)M £6(cid:53)(cid:196)(cid:197)a <M (cid:237)(cid:187)(cid:68)
1 n n
C(cid:145)(cid:335)a =7(cid:311)(cid:53)a (cid:192)(cid:279)(cid:89)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:254)(cid:241)(cid:124)(cid:18)M >6(cid:53)(cid:196)(cid:197)a >M (cid:237)(cid:187)(cid:68)
1 n n
D(cid:145)(cid:335)a =9(cid:311)(cid:53)a (cid:192)(cid:279)(cid:280)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:254)(cid:241)(cid:124)(cid:18)M >0(cid:53)(cid:196)(cid:197)a <M (cid:237)(cid:187)(cid:68)
1 n n
1
4(cid:145)（2022·浙江·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a (cid:261)(cid:262)a =1,a =a - a2 nÎN* (cid:53)(cid:200)(cid:10) (cid:11)
n 1 n+1 n 3 n
5 5 7 7
A(cid:145)2<100a < B(cid:145) <100a <3 C(cid:145)3<100a < D(cid:145) <100a <4
100 2 2 100 100 2 2 100
5(cid:145)（2022·北京·高考真题）(cid:202)a (cid:80)(cid:46)(cid:17)(cid:127)(cid:192)0(cid:38)(cid:269)(cid:270)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)“a (cid:192)(cid:279)(cid:280)(cid:18)(cid:19)”(cid:80)“(cid:254)(cid:241)(cid:258)(cid:142)(cid:18)N (cid:53)
n n 0
(cid:335)n>N (cid:311)(cid:53)a >0”(cid:38)(cid:10) (cid:11)
0 n
A(cid:145)(cid:205)(cid:5)(cid:184)(cid:127)(cid:207)(cid:92)(cid:65)(cid:66) B(cid:145)(cid:207)(cid:92)(cid:184)(cid:127)(cid:205)(cid:5)(cid:65)(cid:66)
C(cid:145)(cid:205)(cid:5)(cid:207)(cid:92)(cid:65)(cid:66) D(cid:145)(cid:208)(cid:127)(cid:205)(cid:5)(cid:209)(cid:127)(cid:207)(cid:92)(cid:65)(cid:66)
6(cid:145)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:340)(cid:341)(cid:25)(cid:283)(cid:342)(cid:343)(cid:241)(cid:344)(cid:187)(cid:345)(cid:346)(cid:264)(cid:347)(cid:329)(cid:53)(cid:348)(cid:266)(cid:349)(cid:188)(cid:166)(cid:350)(cid:345)(cid:320)(cid:53)(cid:187)(cid:192)(cid:303)(cid:21)(cid:190)(cid:22)(cid:351)(cid:322)
1
(cid:352)(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:188)(cid:38)(cid:356)(cid:117)(cid:188)(cid:343)(cid:53)(cid:192)(cid:357)(cid:358)(cid:340)(cid:341)(cid:25)(cid:283)(cid:352)(cid:359)(cid:360)(cid:312)(cid:109)(cid:361)(cid:362)(cid:352)(cid:359)(cid:360)(cid:312)(cid:38)(cid:77)(cid:240)(cid:53)(cid:57)(cid:328)(cid:18)(cid:19)b (cid:203)b =1+ (cid:53)
n 1 a
11
1 b =1+
b =1+ 3 1
2 1 (cid:53) a+ (cid:53)…(cid:53)(cid:181)(cid:363)(cid:6)(cid:364)(cid:53)(cid:119)(cid:37)a ÎN*(k =1,2,L)(cid:145)(cid:200)(cid:10) (cid:11)
a+ 1 1 k
1 a a +
2 2 a
3
A(cid:145)b <b B(cid:145)b <b C(cid:145)b <b D(cid:145)b <b
1 5 3 8 6 2 4 7
7(cid:145)（2024·上海·高考真题）a =2,a =4,a =8,a =16(cid:53)(cid:264)(cid:232)b,b ,b ,b ÎR(cid:53)(cid:261)(cid:262)
1 2 3 4 1 2 3 4
{a +a |1£i< j£4}={b +b |1£i< j£4}(cid:53)(cid:75)(cid:179)(cid:282)(cid:18)(cid:19)b,b ,b ,b (cid:179)_____(cid:263).
i j i j 1 2 3 4
8(cid:145)（2026·北京·高考真题）(cid:202)A=  a  (cid:80)(cid:22)(cid:194)m(cid:188)n(cid:19)(cid:38)(cid:18)(cid:365)(cid:53)(cid:193)(cid:18)(cid:365)(cid:37)(cid:38)(cid:195)(cid:22)(cid:45)a Î-1,1(cid:53)(cid:273)(cid:16)(cid:70)1
ij m´n ij
(cid:72)-1(cid:145)(cid:201)(cid:263)(cid:264)(cid:232)1£i,p£m(cid:53)1£ j,q£n(cid:53)(cid:119)(cid:37)i¹ p(cid:53)j¹q(cid:53)(cid:193) i- p - j-q =2,(cid:273)(cid:179)a +a +a +a =0,
ij iq pj pq
(cid:200)(cid:222)(cid:18)(cid:365)A(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:145)
(1)(cid:366)(cid:367)(cid:185)(cid:19)(cid:246)(cid:194)(cid:18)(cid:368)(cid:80)(cid:369)(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:145)
1 1 -1 1
A =
1
-1 1 -1 1
1 1 -1 -1
A = 1 -1 1 -1
2
-1 1 -1 1
(2)(cid:201)m=5,n=4(cid:53)(cid:200)(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:38)(cid:18)(cid:365)A(cid:37)1(cid:38)(cid:194)(cid:18)(cid:267)(cid:259)(cid:80)(cid:259)(cid:245)(cid:370)
(3)(cid:201)m=n=6(cid:53)a =1(cid:53)(cid:193)(cid:18)(cid:365)A(cid:134)(cid:179)(cid:51)(cid:52)P(cid:53)(cid:332)(cid:333)(cid:203)(cid:263)(cid:264)(cid:232)i(cid:53) jÎ{1,2,3,4,5,6}(cid:53)(cid:273)(cid:179)a =a a (cid:145)
11 ij i1 1j
9(cid:145)（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:202)m(cid:192)(cid:258)(cid:142)(cid:18)(cid:53)(cid:18)(cid:19)a,a ,...,a (cid:80)(cid:46)(cid:17)(cid:127)(cid:192)0(cid:38)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:201)(cid:141)(cid:37)(cid:371)(cid:372)
1 2 4m+2
(cid:246)(cid:45)a (cid:50)a i< j(cid:329)(cid:373)(cid:374)(cid:38)4m(cid:45)(cid:199)(cid:375)(cid:219)(cid:257)(cid:5)(cid:192)m(cid:73)(cid:53)(cid:193)(cid:195)(cid:73)(cid:38)4(cid:194)(cid:18)(cid:273)(cid:54)(cid:116)(cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)(cid:222)(cid:18)(cid:19)
i j
a,a ,...,a (cid:80)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:145)
1 2 4m+2
(1)(cid:376)(cid:275)(cid:330)(cid:179)(cid:38)i, j(cid:53)1£i< j£6(cid:53)(cid:196)(cid:18)(cid:19)a,a ,...,a (cid:80)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:204)
1 2 6
(2)(cid:335)m³3(cid:311)(cid:53)(cid:332)(cid:333)(cid:203)(cid:18)(cid:19)a,a ,...,a (cid:80)2,13-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:204)
1 2 4m+2
(3)(cid:141)1,2,...,4m+2(cid:37)(cid:264)(cid:239)(cid:246)(cid:194)(cid:18)i(cid:50) ji< j(cid:53)(cid:191)(cid:18)(cid:19)a,a ,...,a (cid:80)i, j-(cid:199)(cid:5)(cid:18)(cid:19)(cid:38)(cid:103)(cid:236)(cid:192)P (cid:53)(cid:332)(cid:333)(cid:203)
1 2 4m+2 m1
P > (cid:145)
m 8
10(cid:145)（2024·北京·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:271)(cid:101)
M = i, j,k,wiÎ1,2, jÎ3,4,kÎ5,6,wÎ7,8,(cid:193)i+ j+k+w(cid:192)(cid:337)(cid:18)  (cid:145)(cid:274)(cid:334)(cid:18)(cid:19)A:a,a ,L,a (cid:53)(cid:50)(cid:282)
1 2 8
(cid:19)W:T,T ,LT (cid:53)(cid:119)(cid:37)T =i, j,k ,w ÎMt =1,2,L,s(cid:53)(cid:263)(cid:18)(cid:19)A(cid:349)(cid:188)(cid:377)(cid:185)(cid:378)(cid:379)(cid:203)(cid:189)A(cid:38)(cid:190)i, j,k ,w (cid:45)(cid:257)
1 2 s t t t t t 1 1 1 1
(cid:112)1(cid:53)(cid:119)(cid:374)(cid:45)(cid:127)(cid:378)(cid:53)(cid:197)(cid:328)(cid:38)(cid:18)(cid:19)(cid:191)(cid:380)T A(cid:204)(cid:189)T A(cid:38)(cid:190)i , j ,k ,w (cid:45)(cid:257)(cid:112)1(cid:53)(cid:119)(cid:374)(cid:45)(cid:127)(cid:378)(cid:53)(cid:197)(cid:328)(cid:18)(cid:19)(cid:191)(cid:380)
1 1 2 2 2 2
TT A(cid:204)……(cid:204)(cid:161)(cid:363)(cid:6)(cid:364)(cid:53)(cid:197)(cid:328)T LTT A(cid:53)(cid:381)(cid:191)(cid:192)WA(cid:145)
2 1 s 2 1
(1)(cid:274)(cid:334)(cid:18)(cid:19)A:1,3,2,4,6,3,1,9(cid:50)(cid:282)(cid:19)W:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7(cid:53)(cid:376)(cid:275)WA(cid:204)
(2)(cid:80)(cid:369)(cid:254)(cid:241)(cid:282)(cid:19)W(cid:53)(cid:196)(cid:197)WA(cid:192)a +2,a +6,a +4,a +2,a +8,a +2,a +4,a +4(cid:53)(cid:201)(cid:254)(cid:241)(cid:53)(cid:376)(cid:275)(cid:22)(cid:194)(cid:238)(cid:101)
1 2 3 4 5 6 7 8
(cid:65)(cid:66)(cid:38)W(cid:204)(cid:201)(cid:127)(cid:254)(cid:241)(cid:53)(cid:382)(cid:331)(cid:333)(cid:383)(cid:384)(cid:204)
(3)(cid:201)(cid:18)(cid:19)A(cid:38)(cid:256)(cid:45)(cid:257)(cid:192)(cid:258)(cid:142)(cid:18)(cid:53)(cid:193)a +a +a +a (cid:192)(cid:337)(cid:18)(cid:53)(cid:75)(cid:332)(cid:203)“(cid:254)(cid:241)(cid:282)(cid:19)W(cid:53)(cid:196)(cid:197)WA(cid:38)(cid:256)(cid:45)(cid:273)(cid:85)(cid:16)”
1 3 5 7
(cid:38)(cid:205)(cid:92)(cid:65)(cid:66)(cid:192)“a +a =a +a =a +a =a +a ”(cid:145)
1 2 3 4 5 6 7 8
11(cid:145)（2023·北京·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:18)(cid:19)a ,b (cid:38)(cid:45)(cid:18)(cid:257)(cid:192)m(m>2)(cid:53)(cid:193)a ,b Î{1,2,L,m},a ,b (cid:38)(cid:49)n
n n n n n n
(cid:45)(cid:50)(cid:5)(cid:233)(cid:192)A ,B (cid:53)(cid:74)(cid:14)(cid:334)A =B =0(cid:145)(cid:263)(cid:70)kÎ0,1,2,L,m(cid:53)(cid:334)(cid:385)r =maxi∣B £ A ,iÎ{0,1,2,L,m}(cid:53)(cid:119)
n n 0 0 k i k
(cid:37)(cid:53)maxM (cid:368)(cid:231)(cid:18)(cid:271)M(cid:37)(cid:267)(cid:268)(cid:38)(cid:18).
(1)(cid:201)a =2,a =1,a =3,b =1,b =3,b =3(cid:53)(cid:75)r,r,r ,r (cid:38)(cid:240)(cid:204)
1 2 3 1 2 3 0 1 2 3
(2)(cid:201)a ³b(cid:53)(cid:193)2r £r +r , j=1,2,L,m-1,(cid:53)(cid:75)r (cid:204)
1 1 j j+1 j-1 n
(3)(cid:332)(cid:333)(cid:203)(cid:254)(cid:241)p,q,s,tÎ0,1,2,L,m(cid:53)(cid:261)(cid:262)p>q,s>t, (cid:196)(cid:197)A +B = A +B (cid:145)
p t q s
12(cid:145)（2023·天津·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:80)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)a +a =16,a -a =4(cid:145)
n 2 5 5 3
2n-1
(1)(cid:75)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:50) å a  nÎN* (cid:145)
n i
i=2n-1
(2)(cid:202)b (cid:80)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)(cid:263)(cid:264)(cid:232)(cid:38)kÎN*(cid:53)(cid:335)2k-1£n£2k -1(cid:311)(cid:53)(cid:200)b <a <b (cid:53)
n k n k+1(cid:10)Ⅰ(cid:11)(cid:335)k ³2(cid:311)(cid:53)(cid:75)(cid:332)(cid:203)2k -1<b <2k +1(cid:204)
k
(cid:10)Ⅱ(cid:11)(cid:75)b (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:145)
n
13(cid:145)（2022·上海·高考真题）(cid:18)(cid:19)a (cid:263)(cid:264)(cid:232)nÎN*(cid:53)(cid:193)n³2(cid:53)(cid:257)(cid:254)(cid:241)(cid:258)(cid:142)(cid:18)iÎ1,n-1(cid:53)(cid:261)(cid:262)
n
a =2a -a,a =1,a =3.
n+1 n i 1 2
(1)(cid:75)a (cid:199)(cid:54)(cid:240)(cid:204)
4
(2)(cid:12)(cid:13)p(cid:203)(cid:201)a,a ,...a (cid:187)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:200)a <30(cid:53)(cid:332)(cid:333)p(cid:192)(cid:386)(cid:53)(cid:250)(cid:311)(cid:376)(cid:275)p(cid:387)(cid:12)(cid:13)q(cid:53)(cid:74)(cid:366)(cid:367)(cid:12)(cid:13)q(cid:80)(cid:386)(cid:80)
1 2 8 9
(cid:388)(cid:53)(cid:331)(cid:333)(cid:383)(cid:384)(cid:203)
(3)(cid:201)a =3m,  mÎN* (cid:187)(cid:68)(cid:53)(cid:75)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47).
2m n
14(cid:145)（2022·浙江·高考真题）(cid:63)(cid:64)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)a (cid:38)(cid:71)(cid:45)a =-1(cid:53)(cid:46)(cid:17)d >1(cid:145)(cid:191)a (cid:38)(cid:49)n(cid:45)(cid:50)(cid:192)S  nÎN* (cid:145)
n 1 n n
(1)(cid:201)S -2a a +6=0(cid:53)(cid:75)S (cid:204)
4 2 3 n
(2)(cid:201)(cid:263)(cid:70)(cid:195)(cid:194)nÎN*(cid:53)(cid:254)(cid:241)(cid:260)(cid:18)c (cid:53)(cid:196)a +c ,a +4c ,a +15c (cid:187)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:75)d(cid:38)(cid:239)(cid:240)(cid:247)(cid:248)(cid:145)
n n n n+1 n n+2 n
15(cid:145)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:63)(cid:64)a (cid:192)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:53)b (cid:80)(cid:46)(cid:77)(cid:192)2(cid:38)(cid:16)(cid:77)(cid:18)(cid:19)(cid:53)(cid:193)
n n
a -b =a -b =b -a (cid:145)
2 2 3 3 4 4
(1)(cid:332)(cid:333)(cid:203)a =b (cid:204)
1 1
(2)(cid:75)(cid:271)(cid:101) k b =a +a,1£m£500 (cid:37)(cid:277)(cid:278)(cid:194)(cid:18)(cid:145)
k m 1