文档内容
专题 08 数列小题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 数列的
2022·全国乙卷、2022·北京卷
1.掌握数列的有关概念和表示方
增减性
2021·全国甲卷、2020·北京卷
法，能利用与的关系以及递推关
（10年3考）
系求数列的通项公式，理解数列
考点2 递推数
2023·北京卷、2022·北京卷、2022·浙江卷
是一种特殊的函数,能利用数列的
列及数列的通
2021·浙江卷、2020·浙江卷、2020·全国卷
周期性、单调性解决简单的问
项公式
2019·浙江卷、2017·上海卷
题，该内容是新高考卷的必考内
（10年6考）
容，常考查利用与关系求通项或
2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2024·全国新
项及通项公式构造的相关应用，
Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2023·全国甲卷、2023·
需综合复习
全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·北京卷、
2.理解等差数列的概念，掌握等差
考点3 等差数 2020·浙江卷、2020·山东卷、2020·全国卷、
数列的通项公式与前n项和公式，
列及其前n项 2019·全国卷
能在具体的问题情境中识别数列
和 2019·江苏卷、2019·北京卷、2019·全国卷、
的等差关系并能用等差数列的有
（10年10 2019·全国卷、2018·北京卷、2018·全国卷、
关知识解决相应的问题，熟练掌
考） 2017·全国卷、2016·浙江卷、2015·重庆卷
握等差数列通项公式与前n项和的
2015·全国卷、2015·全国卷、2016·北京卷、
性质，该内容是新高考卷的必考
2016·江苏卷、2015·广东卷、2015·陕西卷、
内容，一般给出数列为等差数
2015·安徽卷、2015·全国卷
列，或通过构造为等差数列，求
2023·全国甲卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ
通项公式及前n项和，需综合复习
卷
3.掌握等比数列的通项公式与前n
考点4 等比数 2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2022·全国乙
项和公式，能在具体的问题情境
列及其前n项 卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷、2020·全国 中识别数列的等比关系并能用等
和 卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷 比数列的有关知识解决相应的问
（10年10 2017·全国卷、2017·北京卷、2017·江苏卷、 题，熟练掌握等比数列通项公式
考） 2016·浙江卷、2016·全国卷、2015·浙江卷 与前n项和的性质，该内容是新高
2015·全国卷、2015·全国卷、2015·湖南卷 考卷的必考内容，一般给出数列
2015·广东卷、2015·安徽卷 为等比数列，或通过构造为等比
数列，求通项公式及前n项和。需
考点5 数列中 2023·北京卷、2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国新Ⅰ卷、2020·浙江卷、2020·全国卷、2020·全国
的数学文化
卷
（10年6考）
2018·北京卷、2017·全国卷
考点6 数列求
综合复习
和 2021·浙江卷、2021·全国新Ⅱ卷
4.熟练掌握裂项相消求和和错位相
（10年10 2020·江苏卷、2017·全国卷、2015·江苏
减求和，该内容是新高考卷的常
考）
考内容，常考查裂项相消求和、
考点01 数列的增减性
1．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环
绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，再利用数列 与 的关系判断 中各项的大小，即可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为 ，
所以 ， ，得到 ，
同理 ，可得 ，
又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ， ，故A错误；
，故B错误；，得 ，故C错误；
，得 ，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设 则
故D正确.
2．（2022·北京·高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出下
列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】推导出 ，求出 、 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的
定义可判断③.
【详解】由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.
3．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递增
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说
明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过
程．
4．（2020·北京·高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，则数列
（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大
项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属
于中等题.
考点02 递推数列及数列的通项公式
1．（2023·北京·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
【答案】B
【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.
法2：构造 ，利用导数求得 的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项 所
在区间，从而判断 的单调性；对于A，构造 ，判断得 ，
进而取 推得 不恒成立；对于B，证明 所在区间同时证得后续结论；对于C，记
，取 推得 不恒成立；对于D，构造
，判断得 ，进而取 推得 不恒成立.
【详解】法1：因为 ，故 ，
对于A ，若 ，可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系 成立；设当 时， 成立，
则 ，故 成立，
由数学归纳法可得 成立.
而 ，
， ，故 ，故 ，
故 为减数列，注意
故 ，结合 ，
所以 ，故 ，故 ，
若存在常数 ，使得 恒成立，则 ，
故 ，故 ，故 恒成立仅对部分 成立，
故A不成立.
对于B，若 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系 成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立即
由数学归纳法可得 成立.
而 ，
， ，故 ，故 ，故 为增数列，
若 ，则 恒成立，故B正确.
对于C，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立即由数学归纳法可得 成立.
而 ，故 ，故 为减数列，
又 ，结合 可得： ，所以
，
若 ，若存在常数 ，使得 恒成立，
则 恒成立，故 ， 的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立
由数学归纳法可得 成立.
而 ，故 ，故 为增数列，
又 ，结合 可得： ，所以
，
若存在常数 ，使得 恒成立，则 ，
故 ，故 ，这与n的个数有限矛盾，故D错误.
故选：B.
法2：因为 ，
令 ，则 ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ；
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
令 ，则 ，即 ，解得 或 或 ，
注意到 ， ，
所以结合 的单调性可知在 和 上 ，在 和 上 ，
对于A，因为 ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
假设当 时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，即 ，
因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列，
因为 ，
令 ，则 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，故 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
故 ，即 ，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
取 ，其中 ，且 ，
因为 ，所以 ，
上式相加得， ，
则 ，与 恒成立矛盾，故A错误；对于B，因为 ，
当 时， ， ，
假设当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
又当 时， ，即 ，
假设当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
综上： ，
因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列，
此时，取 ，满足题意，故B正确；
对于C，因为 ，则 ，
注意到当 时， ， ，
猜想当 时， ，
当 与 时， 与 满足 ，
假设当 时， ，
当 时，所以 ，
综上： ，易知 ，则 ，故 ，
所以 ，
因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
记 ，取 ，其中 ，
则 ，
故 ，所以 ，即 ，
所以 ，故 不恒成立，故C错误；
对于D，因为 ，
当 时， ，则 ，
假设当 时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，
因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列，
因为 ，
令 ，则 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，
故 ，即 ，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
取 ，其中 ，且 ，
因为 ，所以 ，上式相加得， ，
则 ，与 恒成立矛盾，故D错误.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合
放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.
2．（2022·北京·高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出下
列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】推导出 ，求出 、 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的
定义可判断③.
【详解】由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；
假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.
3．（2022·浙江·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过递推关系式确定 除去 ，其他项都在 范围内，再利用递推公式变形得到
，累加可求出 ，得出 ，再利用
，累加可求出 ，再次放缩可得
出 ．
【详解】∵ ，易得 ，依次类推可得
由题意， ，即 ，
∴ ，
即 ， ， ，…， ，
累加可得 ，即 ，
∴ ，即 ， ,
又 ，
∴ ， ， ，…， ，
累加可得 ，
∴ ，
即 ，∴ ，即 ；综上： ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
4．（2021·浙江·高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得
，由累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后利用累
乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解．
【详解】因为 ，所以 ， ．
由
，即
根据累加法可得， ，当 时 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
，
由累乘法可得 ，且 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：所以 ，即 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到 的不等关系，再由累加法可求得 ，由题
目条件可知要证 小于某数，从而通过局部放缩得到 的不等关系，改变不等式的方向得到
，最后由裂项相消法求得 ．
5．（2020·浙江·高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列
就是二阶等差数列，数列 的前3项和是 ．
【答案】
【分析】根据通项公式可求出数列 的前三项，即可求出．
【详解】因为 ，所以 ．
即 ．
故答案为： .
【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．
6．（2020·全国·高考真题）数列 满足 ，前16项和为540，则 .
【答案】
【分析】对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用
表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论.
【详解】 ，
当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
设数列 的前 项和为 ，
，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.
7．（2019·浙江·高考真题）设 ，数列 中， ， ,则
A．当 B．当
C．当 D．当
【答案】A
【解析】若数列 为常数列， ，则只需使 ，选项的结论就会不成立.将每个选项的 的
取值代入方程 ，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、
D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.
【详解】若数列 为常数列，则 ，由 ，
可设方程
选项A： 时， ， ，
，
故此时 不为常数列，
，
且 ，
，则 ，
故选项A正确；
选项B： 时， ， ，
则该方程的解为 ，
即当 时，数列 为常数列， ，
则 ，故选项B错误；
选项C： 时， ，
该方程的解为 或 ，
即当 或 时，数列 为常数列， 或 ，
同样不满足 ，则选项C也错误；
选项D： 时， ，该方程的解为 ，
同理可知，此时的常数列 也不能使 ，
则选项D错误.
故选：A.
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论
的可能取值，利用“排除法”求解.
8．（2017·上海·高考真题）已知数列 和 ，其中 ， ， 的项是互不相等的正整数，
若对于任意 ， 的第 项等于 的第 项，则
【答案】2
【详解】由 ，若对于任意 的第 项等于 的第 项，
则 ，则
所以 ，
所以 .
考点03 等差数列及其前n项和
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 结合等差中项的性质可得 ，即可计算出公差，即可得 的值.
【详解】由 ，则 ，
则等差数列 的公差 ，故 .
故选：B.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成 和 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由 ，根据等差数列的求和公式， ，
又 .
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质， ，由 ，根据等差数列的求和公式，
，故 .
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差 ，则 ，则 .
故选：D
3．（2023·全国甲卷·高考真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列 的公差和首项，再根据前 项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列 的公差，再根据前 项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列 的公差为 ，首项为 ，依题意可得，
，即 ,
又 ，解得： ，
所以 ．
故选：C.
方法二： ， ，所以 ， ，
从而 ，于是 ，
所以 ．
故选：C.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，
则 （ ）A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
【详解】依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
则在 中， 或 ，
于是有 ，即有 ，解得 ，
所以 ， .
故选：B
5．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
6．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义
判断可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
7．（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0， ．记b =S ，bn+ =S2n+ –
1 2 1 2
S n， ，下列等式不可能成立的是（ ）
2
A．2a =a +a B．2b =b +b C． D．
4 2 6 4 2 6
【答案】D
【分析】根据题意可得， ，而 ，即可表示出题中 ，
再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】对于A，因为数列 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 可得，
，A正确；
对于B，由题意可知， ， ，
∴ ， ， ， ．
∴ ， ．
根据等差数列的下标和性质，由 可得 ，B
正确；
对于C， ，
当 时， ，C正确；
对于D， ，
，
．
当 时， ，∴ 即 ；
当 时， ，∴ 即 ，所以 ，D不正确．
故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
8．（2019·全国·高考真题）记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B， ， ，排除B，对C， ，排除C．对D，
，排除D，故选A．
【详解】由题知， ，解得 ，∴ ，故选A．
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数
列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
9．（2018·全国·高考真题）设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：首先设出等差数列 的公差为 ，利用等差数列的求和公式，得到公差 所满足的等量
关系式，从而求得结果 ，之后应用等差数列的通项公式求得 ，从而求得正
确结果.
详解：设该等差数列的公差为 ，
根据题中的条件可得 ，
整理解得 ，所以 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，
结合等差数列的求和公式，得到公差 的值，之后利用等差数列的通项公式得到 与 的关系，从而
求得结果.
10．（2017·全国·高考真题）（2017新课标全国I理科）记 为等差数列 的前 项和．若 ，
，则 的公差为
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】C
【详解】设公差为 ， ， ，联立
解得 ，故选C.
11．（2016·浙江·高考真题）如图，点列{A }，{B }分别在某锐角的两边上，且
n n
， .（ ）
若A． 是等差数列
B． 是等差数列
C． 是等差数列
D． 是等差数列
【答案】A
【详解】 表示点 到对面直线的距离（设为 ）乘以 长度的一半，
即 ，由题目中条件可知 的长度为定值，
那么我们需要知道 的关系式，
由于 和两个垂足构成了直角梯形，
那么 ，
其中 为两条线的夹角，即为定值，
那么 ，
，
作差后： ，都为定值，所以 为定值．故选A．
12．（2015·重庆·高考真题）在等差数列 中，若 =4， =2，则 =
A．-1 B．0 C．1 D．6
【答案】B
【详解】在等差数列 中，若 ，则 ，解得 ，故选B.
13．（2015·全国·高考真题）已知 是公差为1的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则
A． B． C． D．
【答案】B【详解】试题分析：由 得 ，解得 .
考点：等差数列.
14．（2015·全国·高考真题）设 是等差数列 的前 项和,若 ,则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， ，选A.
二、填空题
15．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则
.
【答案】95
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出 ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.
【详解】因为数列 为等差数列，则由题意得 ，解得 ，
则 .
故答案为： .
16．（2022·全国乙卷·高考真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 ．
【答案】2
【分析】转化条件为 ，即可得解.
【详解】由 可得 ，化简得 ，
即 ，解得 .
故答案为：2.
17．（2020·山东·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和
为 ．
【答案】
【分析】首先判断出数列 与 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以
及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等
差数列求和公式，属于简单题目.
18．（2020·全国·高考真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 ．
【答案】
【分析】因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前 项和，即可求得答
案.
【详解】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前 项和，解题关键是掌握等差数列的前 项和公式，考查了分析
能力和计算能力，属于基础题.
19．（2019·江苏·高考真题）已知数列 是等差数列， 是其前n项和.若 ，
则 的值是 .
【答案】16.
【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.
【详解】由题意可得： ，
解得： ，则 .
【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建 的方程组.
20．（2019·北京·高考真题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a=−3，S=−10，则a= ，Sn的
2 5 5
最小值为 ．
【答案】 0. -10.
【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最
小值.
【详解】等差数列 中, ,得 ,公差 , ,
由等差数列 的性质得 时, , 时, 大于0,所以 的最小值为 或 ,即为 .
【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基
本运算能力的考查.
21．（2019·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 .
【答案】100
【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.
【详解】 得
【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和
公式是解题的关键．
22．（2019·全国·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和， ，则 .
【答案】4.
【分析】根据已知求出 和 的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】因 ，所以 ，即 ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
23．（2018·北京·高考真题）设 是等差数列，且 ， ，则 的通项公式为 ．
【答案】
【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，
性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应
用.
24．（2016·北京·高考真题）已知 为等差数列， 为其前n项和，若 ， ，则
.
【答案】6
【详解】试题分析：因为 是等差数列，所以 ，即 ，又 ，所以
，
所以 ．故答案为6．
【考点】等差数列的基本性质
【名师点睛】在等差数列五个基本量 ， ， ， ， 中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结
合等差数列的通项公式、前 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体
代换思想及方程思想的应用.
25．（2016·江苏·高考真题）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a+a2= 3，S=10，则a 的值是
1 2 5 9
.
【答案】
【详解】由 得 ，因此
考点：等差数列性质
26．（2015·广东·高考真题）在等差数列{a }中,若a +a +a +a +a =25,则a +a = .
n 3 4 5 6 7 2 8
【答案】10
【详解】试题分析：据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出a
5
的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a 的值代入即可求出值．
5
解：由a +a +a +a +a =（a +a ）+（a +a ）+a =5a =25，
3 4 5 6 7 3 7 4 6 5 5
得到a =5，
5
则a +a =2a =10．
2 8 5
故答案为10．
考点：等差数列的性质．
27．（2015·陕西·高考真题）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为
．
【答案】5.
【详解】设数列的首项为 ，则 ，所以 ，故该数列的首项为 ，所以答案
应填： ．
【考点定位】等差中项．28．（2015·安徽·高考真题）已知数列 中， ， （ ），则数列 的前9项和
等于 .
【答案】27
【详解】试题分析： ，所以数列 是公差为 的等差数列，所以
，故填：27.
考点：等差数列
29．（2015·全国·高考真题）设 是数列 的前 项和，且 ， ，则 ．
【答案】
【详解】原式为 ，整理为： ，即 ，即数列
是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .
【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当
时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形
为： ，再利用递推求解通项公式.
考点04 等比数列及其前n项和
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【分析】根据题意列出关于 的方程,计算出 ,即可求出 .
【详解】由题知 ,
即 ,即 ,即 .
由题知 ,所以 .
所以 .故选:C.
2．（2023·天津·高考真题）已知数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
【答案】C
【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得 的值.
【详解】当 时， ，所以 ，即 ，
当 时， ，
所以数列 是首项为2，公比为3的等比数列，
则 .
故选：C.
3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则
（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据 的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
由 ， 可得， ， ①，
由①可得， ，解得： ，
所以 ．
故选：C．
方法二：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，否则 ，
从而， 成等比数列，
所以有， ，解得： 或 ，
当 时， ，即为 ，易知， ，即 ；
当 时， ，
与 矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握 的关
系，从而减少相关量的求解，简化运算．
4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通
项即可得解.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
5．（2021·全国甲卷·高考真题）记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步求出答案.
【详解】∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
6．（2020·全国·高考真题）设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D
【分析】根据已知条件求得 的值，再由 可求得结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
7．（2020·全国·高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a –a =12，a –a =24，则 =（ ）
5 3 6 4
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通
项公式和前 项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前 项和公式的应用，考查了数
学运算能力.
8．（2020·全国·高考真题）数列 中， ，对任意 ，若
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出
关于 的等式，由 可求得 的值.
【详解】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，，
，则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，
属于中等题.
9．（2015·浙江·高考真题）已知 是公差 不为零的等差数列，其前 项和为 ，若 成等比数
列，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵等差数列 ， ， ， 成等比数列，∴ ，
∴ ，∴ ， ，故选B.
考点：1.等差数列的通项公式及其前 项和；2.等比数列的概念
10．（2015·全国·高考真题）已知等比数列 满足 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由a +a +a =21得 a +a +a =
1 3 5 3 5 7
，选B.
二、填空题
11．（2023·全国甲卷·高考真题）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为
．
【答案】
【分析】先分析 ，再由等比数列的前 项和公式和平方差公式化简即可求出公比 .
【详解】若 ，
则由 得 ，则 ，不合题意.
所以 .
当 时，因为 ，
所以 ，即 ，即 ，即 ，
解得 .
故答案为：
12．（2023·全国乙卷·高考真题）已知 为等比数列， ， ，则 .
【答案】
【分析】根据等比数列公式对 化简得 ，联立 求出 ，最后得
.
【详解】设 的公比为 ，则 ，显然 ，
则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ，
则 ，则 ，则 ，
故答案为： .
13．（2019·全国·高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若 ，则S= ．
4
【答案】 .
【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 ．
题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】详解：设等比数列的公比为 ，由已知
，即
解得 ，
所以 ．
【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考
生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算 ，避免繁分式
计算．
14．（2019·全国·高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若 ，则S= ．
5【答案】 .
【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 ．
题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，
所以 所以 ．
【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考
生易出现运算错误．
15．（2017·全国·高考真题）设等比数列 满足a + a = –1, a – a = –3，则a = ．
1 2 1 3 4
【答案】-8
【详解】设等比数列 的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程
组：
，由 可得： ，代入①可得 ，
由等比数列的通项公式可得 .
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关
键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数
列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
16．（2017·北京·高考真题）若等差数列 和等比数列 满足 ， ，则
.
【答案】
【分析】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题中条件求出 、 的值，进而求出
和 的值，由此可得出 的值.
【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为 和 ，则 ，
求得 ， ，那么 ，故答案为 .
【考点】等差数列和等比数列
【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程
可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分
运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.17．（2017·江苏·高考真题）等比数列{ }的各项均为实数，其前 项为 ，已知 = ， = ，则 =
．
【答案】32
【详解】由题意可得 ，所以 两式相除得 代入得
，填32．
18．（2016·浙江·高考真题）设数列{an}的前n项和为Sn.若S＝4，an ＝2Sn＋1，n∈N*，则a＝
2 ＋1 1
，S＝ ．
5
【答案】 1 121
【详解】试题分析： ，
再由 ，又 ，
所以
【考点】等比数列的定义，等比数列的前 项和．
【易错点睛】由 转化为 的过程中，一定要检验当 时是否满足 ，否则很容
易出现错误.
19．（2016·全国·高考真题）设等比数列 满足a+a=10，a+a=5，则aa …an的最大值为 ．
1 3 2 4 1 2
【答案】
【详解】试题分析：设等比数列的公比为 ，由 得， ，解得 .所以
，于是当 或 时， 取得最大值 .
考点：等比数列及其应用
20．（2015·全国·高考真题）数列 中 为 的前n项和，若 ，则 .
【答案】6
【详解】试题分析：由题意得，因为 ，即 ，所以数列 构成首项 ，公比为 的等
比数列，则 ，解得 ．
考点：等比数列的概念及等比数列求和．
21．（2015·湖南·高考真题）设 为等比数列 的前 项和，若 ，且 ， ， 成等差数列，则.
【答案】 .
【详解】试题分析：∵ ， ， 成等差数列，∴
，
又∵等比数列 ，∴ .
考点：等差数列与等比数列的性质.
【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列
基本量 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.
22．（2015·广东·高考真题）若三个正数 ， ， 成等比数列，其中 ， ，则
．
【答案】
【详解】试题分析：由题意得，三个正数 ， ， 成等比数列，所以 ，解
得 ．
考点：等比中项．
23．（2015·安徽·高考真题）已知数列 是递增的等比数列， ，则数列 的前 项和
等于 .
【答案】
【详解】由题意， ，解得 或者 ，
而数列 是递增的等比数列，所以 ，
即 ，所以 ，
因而数列 的前 项和 ，故答案为 .
考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前 项和公式.
考点05 数列中的数学文化
1．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用
来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，该数
列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列 所
有项的和为 ．
【答案】 48 384【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解 ，进而可求得结果；方法二：根
据等比中项求 ，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为 ，后7项公比为 ，
则 ，且 ，可得 ，
则 ，即 ，可得 ，
空1：可得 ，
空2：
方法二：空1：因为 为等比数列，则 ，
且 ，所以 ；
又因为 ，则 ；
空2：设后7项公比为 ，则 ，解得 ，
可得 ，所以
.
故答案为：48；384.
2．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的
水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】设 ，则可得关于 的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，
故选：D
3．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴
把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图
形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的
图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如
果对折 次，那么 .
【答案】 5
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，所以对着
三次的结果有： ，共4种不同规格（单位 ；
故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积
成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为 ，对于第n此对折后的
图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 种（证明从略），故得猜想 ，
设 ，
则 ，
两式作差得：，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂项相
消法求和.
4．（2020·浙江·高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列
就是二阶等差数列，数列 的前3项和是 ．
【答案】
【分析】根据通项公式可求出数列 的前三项，即可求出．
【详解】因为 ，所以 ．
即 ．
故答案为： .
【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．
5．（2020·全国·高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足
，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列 ，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足
的序列是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据新定义，逐一检验即可
【详解】由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，
是一道中档题.
6．（2020·全国·高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆
形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环
比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则
三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，
设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 .【详解】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
7．（2018·北京·高考真题）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音
比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，
从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f，则
第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为 ，
所以 ，
又 ，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法
主要有如下两种：
（1）定义法，若 （ ）或 （ ）， 数列 是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列 中， 且 （ ），则数列 是等比数列.
8．（2017·全国·高考真题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点
倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下
一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏
【答案】B
【详解】设塔顶的a 盏灯，
1
由题意{a }是公比为2的等比数列，
n
∴S = =381，
7
解得a =3．
1
故选B．
考点06 数列求和
1．（2021·浙江·高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得
，由累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后利用累
乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解．
【详解】因为 ，所以 ， ．
由
，即
根据累加法可得， ，当 时 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，，
由累乘法可得 ，且 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：
所以 ，即 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到 的不等关系，再由累加法可求得 ，由题
目条件可知要证 小于某数，从而通过局部放缩得到 的不等关系，改变不等式的方向得到
，最后由裂项相消法求得 ．
2．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数 ，其中 ，
记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用 的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项， ， ，
所以， ，A选项正确；
对于B选项，取 ， ， ，
而 ，则 ，即 ，B选项错误；
对于C选项， ，
所以， ，
，
所以， ，因此， ，C选项正确；对于D选项， ，故 ，D选项正确.
故选：ACD.
3．（2020·江苏·高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的
前n项和 ，则d+q的值是 ．
【答案】
【分析】结合等差数列和等比数列前 项和公式的特点，分别求得 的公差和公比，由此求得 .
【详解】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 .
等差数列 的前 项和公式为 ，
等比数列 的前 项和公式为 ，
依题意 ，即 ，
通过对比系数可知 ，故 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前 项和公式，属于中档题.
4．（2017·全国·高考真题）（2017新课标全国II理科）等差数列 的前 项和为 ， ， ，
则 ．
【答案】
【详解】设等差数列的首项为 ，公差为 ，由题意有 ，解得 ，
数列的前n项和 ，
裂项可得 ，
所以 ．点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a ，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另
1
外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作
用，而a 和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，
1
要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有
前后对称的特点．
5．（2015·江苏·高考真题）数列 满足 ，且 （ ），则数列 的前10项
和为 ．
【答案】
【详解】试题分析：：∵数列 满足 ，且 （ ），
∴当n≥2时， ．
当n=1时，上式也成立，∴ ．∴ ．
∴数列 的前n项的和
∴数列 的前10项的和为
考点：数列求通项公式求和
