专题12直线与圆(解析版)_小初高学习资料合集（每天更新）_2027版高考《2022-2026五年真题分类汇编》高考（数学）

12
专题 直线与圆
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)2022-2026(cid:11) (cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)
2026(cid:21)(cid:22)(cid:23) (cid:16)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)
2025(cid:21)(cid:22)(cid:23) (cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:18)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:41)(cid:49)
(cid:3)(cid:4)01 (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
2024(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:26)2024(cid:21)(cid:22)(cid:23) (cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:44)(cid:18)(cid:50)(cid:51)(cid:32)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:18)(cid:56)
(cid:20)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:23)(cid:26)2022(cid:21)(cid:22) (cid:57)(cid:58)(cid:13)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:18)(cid:3)(cid:33)(cid:4)(cid:41)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)
(cid:23) (cid:37)(cid:38)(cid:66)(cid:67)(cid:18)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)
2026(cid:29)(cid:30)(cid:73)(cid:23)(cid:26)2026(cid:29)(cid:30)(cid:74)(cid:23)(cid:26)
2026(cid:24)(cid:25)(cid:23)
2025(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:73)(cid:23)(cid:26)2025(cid:75)(cid:76)(cid:23)
(cid:3)(cid:33)(cid:81)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:26)(cid:44)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:26)
2024(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:77)(cid:23)(cid:26)2024(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:26)
(cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:44)(cid:18)(cid:50)(cid:51)(cid:32)(cid:52)(cid:26)(cid:87)(cid:88)(cid:26)(cid:89)(cid:17)(cid:26)
2024(cid:21)(cid:22)(cid:23)
(cid:65)(cid:90)(cid:55)(cid:91)(cid:92)(cid:58)(cid:13)(cid:41)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:44)(cid:18)(cid:29)
2023(cid:8)(cid:27)(cid:78)(cid:79)Ⅰ(cid:23)(cid:26)2023(cid:8)(cid:27)(cid:78)(cid:79)
(cid:97)(cid:98)(cid:82)(cid:99)(cid:100)(cid:4)(cid:72)(cid:42)(cid:53)(cid:41)(cid:44)(cid:18)(cid:87)(cid:88)(cid:58)
(cid:3)(cid:4)02 (cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20) Ⅱ(cid:23)(cid:26)2023(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:77)(cid:23)(cid:26)2023(cid:8)(cid:29)
(cid:13)(cid:101)(cid:44)(cid:18)(cid:91)(cid:92)(cid:58)(cid:13)(cid:102)(cid:63)(cid:103)(cid:104)(cid:34)(cid:28)(cid:41)
(cid:30)(cid:80)(cid:23)(cid:26)2023(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:26)2023(cid:75)(cid:76)
(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:44)(cid:50)(cid:51)(cid:32)(cid:52)(cid:26)(cid:93)(cid:105)
(cid:23)(cid:26)2023(cid:21)(cid:22)(cid:23)
(cid:106)(cid:107)(cid:47)(cid:48)(cid:18)(cid:70)(cid:4)(cid:3)(cid:33)(cid:41)(cid:108)(cid:109)(cid:75)(cid:76)(cid:26)
2022(cid:8)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:23)(cid:26)2022(cid:8)(cid:27)
(cid:24)(cid:25)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:18)(cid:3)(cid:13)(cid:53)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:102)
(cid:28)(cid:3)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:23)(cid:26)2022(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:77)(cid:23)(cid:26)
2022(cid:8)(cid:29)(cid:30)(cid:80)(cid:23)(cid:26)2022(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:26)
2022(cid:75)(cid:76)(cid:23)(cid:26)2022(cid:21)(cid:22)(cid:23)
考点 01 直线的方程
1(cid:116)（2025·上海·高考真题）(cid:117)(cid:99)A(0,1),B(1,2)(cid:41)C(cid:109)G:x2-y2 =1(x³1,y³0)(cid:21)(cid:41)(cid:118)VABC(cid:18)(cid:119)(cid:120)(cid:10) (cid:11)
A(cid:116)(cid:121)(cid:91)(cid:122)(cid:92)(cid:41)(cid:36)(cid:123)(cid:121)(cid:91)(cid:124)(cid:92) B(cid:116)(cid:123)(cid:121)(cid:91)(cid:122)(cid:92)(cid:41)(cid:36)(cid:121)(cid:91)(cid:124)(cid:92)
C(cid:116)(cid:125)(cid:121)(cid:91)(cid:122)(cid:92)(cid:41)(cid:126)(cid:121)(cid:91)(cid:124)(cid:92) D(cid:116)(cid:125)(cid:123)(cid:121)(cid:91)(cid:122)(cid:92)(cid:41)(cid:126)(cid:123)(cid:121)(cid:91)(cid:124)(cid:92)
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)A(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:132)(cid:102)(cid:133)(cid:17)(cid:21)(cid:73)(cid:4)(cid:114)(a,b)(cid:41)(cid:134)(cid:102)a= b2+1(cid:41)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:18)(cid:28)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:32)(cid:142)b(cid:18)(cid:143)(cid:144),(cid:5)(cid:131)(cid:42)(cid:145)(cid:146)(cid:106)(cid:41)(cid:147)
(cid:148)(cid:81)(cid:149).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:132)(cid:133)(cid:17)(cid:21)(cid:73)(cid:4)(cid:114)(a,b)(cid:41)(cid:118)a2-b2 =1(cid:41)(cid:118)a= b2+1(cid:41)
2-1
k = =1(cid:41)AB(cid:19)(cid:20)(cid:114)(cid:151)y-1=x(cid:41)(cid:152)x-y+1=0(cid:41)
AB 1-0
b2+1-b+1
(cid:153)(cid:154)(cid:4)(cid:155)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:156)(cid:157)(cid:41)(a,b)(cid:155)AB(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:114)(cid:151)
a-b+1
= =
b2+1-b+1(cid:41)
2 2 2
1
(cid:132) f(b)= b2+1-b= (cid:41)
b2+1+b
(cid:158)(cid:142)b³0(cid:41)(cid:159)(cid:160) f(b)(cid:32)(cid:142)b(cid:145)(cid:146)(cid:161)(cid:40)(cid:41) f(b) = f(0)(cid:41)(cid:162)(cid:91)(cid:124)(cid:92)(cid:41)
max
(cid:152)VABC(cid:53)(cid:41)AB(cid:163)(cid:21)(cid:18)(cid:28)(cid:121)(cid:91)(cid:122)(cid:92)(cid:41)(cid:162)(cid:91)(cid:124)(cid:92)(cid:41)
(cid:164)AB(cid:73)(cid:86)(cid:41)(cid:165)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:91)(cid:122)(cid:92)(cid:41)(cid:162)(cid:91)(cid:124)(cid:92).
(cid:165)(cid:166)(cid:151)A
2(cid:116)（2024·北京·高考真题）(cid:117)(cid:99)M = x,y|y=x+t  x2-x  ,1£x£2,0£t£1  (cid:59)(cid:167)(cid:119)(cid:16)(cid:137)(cid:168)(cid:79)(cid:52)(cid:53)(cid:18)(cid:4)(cid:169).
(cid:132)d(cid:59)M (cid:53)(cid:170)(cid:4)(cid:68)(cid:56)(cid:57)(cid:18)(cid:91)(cid:122)(cid:92)(cid:41)S(cid:59)M (cid:171)(cid:172)(cid:18)(cid:173)(cid:138)(cid:18)(cid:119)(cid:120)(cid:41)(cid:118)(cid:10) (cid:11)
A(cid:116)d =3(cid:41)S <1 B(cid:116)d =3(cid:41)S >1
C(cid:116)d = 10(cid:41)S <1 D(cid:116)d = 10(cid:41)S >1
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)C
ìy£x2
ï
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:174)(cid:175)t(cid:114)(cid:176)(cid:177)(cid:41)(cid:5)(cid:131)(cid:178)(cid:99)(cid:179)(cid:81)(cid:169)(cid:46)(cid:171)(cid:172)(cid:18)(cid:173)(cid:138)(cid:152)(cid:114)(cid:167)(cid:119)(cid:112)(cid:180)íy³x (cid:41)(cid:181)(cid:46)(cid:173)(cid:138)(cid:5)(cid:131)(cid:81)(cid:149)(cid:152)(cid:178).
ï
1£x£2
î
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:65)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:86)xÎ1,2(cid:41)(cid:118)x2-x=xx-1³0(cid:41)(cid:108)tÎ0,1(cid:41)
(cid:178)(cid:99)x£x+t  x2-x  £x+x2-x=x2(cid:41)(cid:152)x£ y£x2(cid:41)
ìy£x2
ï
(cid:185)(cid:181)(cid:46)x(cid:18)(cid:182)(cid:183)(cid:106)(cid:41)(cid:179)(cid:175)(cid:179)(cid:81)(cid:169)(cid:46)(cid:171)(cid:172)(cid:18)(cid:173)(cid:138)(cid:152)(cid:114)(cid:167)(cid:119)(cid:112)(cid:180)íy³x (cid:41)
ï
1£x£2
î
(cid:49)(cid:173)(cid:186)(cid:187)(cid:97)(cid:5)(cid:179)(cid:172)(cid:41)(cid:42)(cid:53)A1,1,B2,2,C2,4(cid:41)(cid:178)(cid:99)(cid:182)(cid:183)(cid:170)(cid:4)(cid:68)(cid:56)(cid:57)(cid:91)(cid:122)(cid:92)d = AC = 1-22+1-42 = 10(cid:41)
1
(cid:186)(cid:187)(cid:97)(cid:5)(cid:119)(cid:120)S <S = ´1´2=1.
(cid:188)ABC 2
(cid:165)(cid:166)(cid:151)C.
(cid:127)(cid:4)(cid:189)(cid:130)(cid:19)(cid:190)(cid:4)(cid:189)(cid:151)(cid:144)(cid:138)(cid:181)(cid:46)(cid:18)(cid:70)(cid:4)(cid:59)“(cid:175)(cid:138)(cid:191)(cid:144)”(cid:41)(cid:109)(cid:149)(cid:13)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:183)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:183)(cid:100)(cid:41)(cid:201)(cid:155)(cid:82)(cid:53)(cid:121)(cid:173)(cid:41)
(cid:202)(cid:144)(cid:200)(cid:173)(cid:41)(cid:175)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:18)(cid:199)(cid:207)(cid:116)(cid:208)(cid:48)(cid:144)(cid:138)(cid:181)(cid:46)(cid:190)(cid:18)(cid:209)(cid:210)(cid:59)(cid:13)(cid:211)(cid:53)(cid:18)(cid:212)(cid:213)(cid:121)(cid:214)(cid:85)(cid:18)(cid:93)(cid:105)(cid:183)(cid:215)(cid:41)(cid:149)(cid:13)(cid:192)(cid:193)(cid:216)(cid:85)
(cid:217)(cid:218)(cid:212)(cid:213)(cid:26)(cid:181)(cid:219)(cid:43)(cid:93)(cid:105)(cid:173)(cid:138)(cid:18)(cid:65)(cid:47)(cid:32)(cid:52)(cid:41)(cid:216)(cid:85)(cid:220)(cid:48)(cid:93)(cid:105)(cid:173)(cid:138)(cid:53)(cid:18)(cid:31)(cid:32)(cid:181)(cid:219)(cid:81)(cid:149)(cid:116)
3(cid:116)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:173)1(cid:59)(cid:53)(cid:30)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:53)(cid:18)(cid:225)(cid:226)(cid:181)(cid:227)(cid:41)AA¢,BB¢,CC¢,DD¢(cid:59)(cid:228)(cid:41)(cid:31)(cid:229)(cid:228)
(cid:18)(cid:230)(cid:167)(cid:56)(cid:57)(cid:90)(cid:114)(cid:231)(cid:41)(cid:232)(cid:16)(cid:56)(cid:57)(cid:90)(cid:114)(cid:225)(cid:41)(cid:173)2(cid:59)(cid:233)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:119)(cid:18)(cid:172)(cid:183)(cid:173)(cid:116)(cid:42)(cid:53)DD,CC,BB,AA (cid:59)(cid:225)(cid:41)
1 1 1 1
DD CC BB AA
OD,DC,CB,BA (cid:59)(cid:31)(cid:110)(cid:18)(cid:231)(cid:41)(cid:31)(cid:229)(cid:228)(cid:18)(cid:225)(cid:231)(cid:237)(cid:238)(cid:5)(cid:239)(cid:114) 1 =0.5, 1 =k , 1 =k , 1 =k (cid:116)(cid:117)(cid:99)k ,k ,k
1 1 1 1 OD DC 1 CB 2 BA 3 1 2 3
1 1 1 1
(cid:141)(cid:156)(cid:240)(cid:114)0.1(cid:18)(cid:110)(cid:240)(cid:144)(cid:241)(cid:41)(cid:108)(cid:16)(cid:17)OA(cid:18)(cid:242)(cid:104)(cid:114)0.725(cid:41)(cid:118)k =(cid:10) (cid:11)
3
A(cid:116)0.75 B(cid:116)0.8 C(cid:116)0.85 D(cid:116)0.9
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)D
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:132)OD =DC =CB =BA =1(cid:41)(cid:118)(cid:178)(cid:134)(cid:32)(cid:142)k (cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:41)(cid:81)(cid:102)(cid:42)(cid:149)(cid:243)(cid:178)(cid:134)(cid:244)(cid:85)(cid:18)(cid:166)(cid:245).
1 1 1 1 3
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:132)OD =DC =CB =BA =1(cid:41)(cid:118)CC =k ,BB =k ,AA =k (cid:41)
1 1 1 1 1 1 1 2 1 3DD +CC +BB +AA
(cid:246)(cid:13)(cid:183)(cid:41)(cid:121)k -0.2=k ,k -0.1=k (cid:41)(cid:108) 1 1 1 1 =0.725(cid:41)
3 1 3 2 OD +DC +CB +BA
1 1 1 1
0.5+3k -0.3
(cid:179)(cid:175) 3 =0.725(cid:41)(cid:165)k =0.9(cid:41)
4 3
(cid:165)(cid:166)(cid:151)D
4(cid:116)（2026·上海·高考真题）(cid:109)(cid:167)(cid:119)(cid:16)(cid:137)(cid:168)(cid:79)(cid:52)(cid:53)(cid:41)(cid:4)1,2(cid:155)(cid:16)(cid:17)4x-3y+5=0(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:114)____________.
3
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130) /0.6
5
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:153)(cid:154)(cid:4)(cid:155)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:156)(cid:157)(cid:81)(cid:149)(cid:152)(cid:178).
4´1-3´2+5 3
d = =
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:153)(cid:154)(cid:4)(cid:155)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:156)(cid:157)(cid:178)(cid:134) .
42+-32 5
3
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151) .
5
5(cid:116)（2024·上海·高考真题）(cid:16)(cid:17)x-y+1=0(cid:18)(cid:247)(cid:242)(cid:137)______(cid:116)
p
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)45°(cid:10)(cid:248) (cid:11)
4
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:174)(cid:217)(cid:16)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:140)(cid:114)(cid:242)(cid:236)(cid:157)(cid:81)(cid:102)(cid:242)(cid:104)(cid:41)(cid:185)(cid:153)(cid:154)(cid:242)(cid:104)(cid:43)(cid:247)(cid:242)(cid:137)(cid:18)(cid:32)(cid:52)(cid:41)(cid:181)(cid:46)(cid:247)(cid:242)(cid:137)(cid:18)(cid:249)(cid:92)(cid:250)(cid:251)(cid:85)(cid:86)(cid:91)
(cid:252)(cid:137)(cid:253).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:254)(cid:114) x-y+1=0(cid:41)
(cid:179)(cid:175)y=x+1
(cid:179)(cid:175)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:242)(cid:104) k=1
(cid:132)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:247)(cid:242)(cid:137)(cid:114) a(cid:10)0° £a<180°(cid:11)(cid:41)(cid:118)
tana=k =1
p
(cid:179)(cid:175)a=45°(cid:10)(cid:152) (cid:255)(cid:253)(cid:11).
4
p
(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)45o(cid:10)(cid:248) (cid:11).
4
ìx+my=2
6(cid:116)（2022·上海·高考真题）(cid:117)(cid:99)(cid:19)(cid:20)(cid:256)í (cid:121)(cid:162)(cid:257)(cid:149)(cid:41)(cid:118)m(cid:18)(cid:92)(cid:114)________
îmx+16y=8
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)4
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:246)(cid:13)(cid:183)(cid:178)(cid:134)(cid:16)(cid:17)x+my=2(cid:43)(cid:16)(cid:17)mx+16y=8(cid:70)(cid:46)(cid:41)(cid:152)(cid:178)(cid:134)(cid:155)(cid:19)(cid:20)(cid:256)(cid:41)(cid:149)(cid:134)(cid:152)(cid:178)(cid:258)
ì x+my=2
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:149)(cid:151)(cid:254)(cid:114)(cid:19)(cid:20)(cid:256)í (cid:121)(cid:162)(cid:257)(cid:149)(cid:41)(cid:179)(cid:175)(cid:16)(cid:17)x+my=2(cid:43)(cid:16)(cid:17)mx+16y=8(cid:70)(cid:46)(cid:41)(cid:179)(cid:175)1´16=m2
îmx+16y=8
(cid:108)1´8=2´m(cid:41)(cid:149)(cid:134)m=4(cid:258)(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)4
考点 02 圆的方程
1(cid:116)（2025·全国一卷·高考真题）(cid:117)(cid:99)(cid:44)x2+(y+2)2 =r2(r>0)(cid:21)(cid:155)(cid:16)(cid:17)y= 3x+2(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:114)1(cid:18)(cid:4)(cid:121)(cid:108)(cid:259)
(cid:121)2(cid:260)(cid:41)(cid:118)r(cid:18)(cid:249)(cid:92)(cid:250)(cid:251)(cid:59)(cid:10) (cid:11)
A(cid:116)(0,1) B(cid:116)(1,3) C(cid:116)(3,+¥) D(cid:116)(0,+¥)
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)B
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:174)(cid:81)(cid:102)(cid:44)(cid:82)E0,-2(cid:155)(cid:16)(cid:17)y= 3x+2(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:41)(cid:160)(cid:243)(cid:181)(cid:46)(cid:173)(cid:261)(cid:41)(cid:152)(cid:178)(cid:134)(cid:102)(cid:181)(cid:219).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:158)(cid:13)(cid:183)(cid:41)
(cid:109)(cid:44)x2+y+22 =r2r>0(cid:53)(cid:41)(cid:44)(cid:82)E0,-2(cid:41)(cid:83)(cid:84)(cid:114)r(cid:41)
(cid:155)(cid:16)(cid:17)y= 3x+2(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:114)1(cid:18)(cid:4)(cid:121)(cid:108)(cid:259)(cid:121) 2(cid:260)(cid:41)
0´ 3--2´1+2
(cid:44)(cid:82)E0,-2(cid:155)(cid:16)(cid:17)y= 3x+2(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:114)(cid:151) d = =2 (cid:41)
 3 2 +-12
∵
(cid:165)(cid:158)(cid:173)(cid:178)(cid:99)(cid:41)
(cid:262)r=1(cid:192)(cid:41)
(cid:44)x2+y+22 =r2r>0(cid:21)(cid:121)(cid:108)(cid:259)(cid:121)(cid:73)(cid:260)(cid:4)(cid:10)A(cid:4)(cid:11)(cid:155)(cid:16)(cid:17)y= 3x+2(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:110)(cid:142)1(cid:258)
(cid:262)r=3(cid:192)(cid:41)
(cid:44)x2+y+22 =r2r>0(cid:21)(cid:121)(cid:108)(cid:259)(cid:121)(cid:136)(cid:260)(cid:4)(cid:10)B,C,D(cid:4)(cid:11)(cid:155)(cid:16)(cid:17)y= 3x+2(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:110)(cid:142)1(cid:258)
(cid:262)(cid:118)r(cid:18)(cid:249)(cid:92)(cid:250)(cid:251)(cid:114)1,3(cid:192)(cid:41)
(cid:44)x2+y+22 =r2r>0(cid:21)(cid:121)(cid:108)(cid:259)(cid:121)(cid:170)(cid:260)(cid:4)(cid:155)(cid:16)(cid:17)y= 3x+2(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:110)(cid:142)1.
(cid:165)(cid:166)(cid:151)B.2(cid:116)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:117)(cid:99)(cid:16)(cid:17)ax+by-a+2b=0(cid:43)(cid:44)C(cid:151)x2+y2+4y-1=0(cid:263)(cid:142)A,B(cid:170)(cid:4)(cid:41)(cid:118) AB
(cid:18)(cid:91)(cid:124)(cid:92)(cid:114)(cid:10) (cid:11)
A(cid:116)2 B(cid:116)3 C(cid:116)4 D(cid:116)6
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)C
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:153)(cid:154)(cid:13)(cid:183)(cid:41)(cid:158)(cid:212)(cid:213)(cid:178)(cid:134)(cid:16)(cid:17)(cid:264)(cid:86)(cid:4)P1,-2(cid:41)(cid:147)(cid:148)(cid:178)(cid:134)(cid:262)PC ^ AB(cid:192)(cid:41) AB (cid:18)(cid:91)(cid:124)(cid:41)(cid:181)(cid:46)(cid:265)(cid:266)(cid:86)(cid:267)
(cid:222)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:41)(cid:152)(cid:178)(cid:81)(cid:149).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:254)(cid:114)(cid:16)(cid:17)ax+by-a+2b=0(cid:41)(cid:152)ax-1+by+2=0(cid:41)(cid:271)x-1=0(cid:41)
(cid:118)x=1,y=-2(cid:41)(cid:179)(cid:175)(cid:16)(cid:17)(cid:264)(cid:86)(cid:4)1,-2(cid:41)(cid:132)P1,-2(cid:41)
(cid:135)(cid:44)C(cid:151)x2+y2+4y-1=0(cid:140)(cid:114)(cid:79)(cid:216)(cid:157)(cid:114)x2+y+22 =5(cid:41)
(cid:179)(cid:175)(cid:44)(cid:82)C0,-2(cid:41)(cid:83)(cid:84)r= 5(cid:41) PC =1
(cid:262)PC ^ AB(cid:192)(cid:41) AB (cid:18)(cid:91)(cid:124)(cid:41)
(cid:272)(cid:192) AB =2 r2- PC2 =2´ 5-1=4.
(cid:165)(cid:166)(cid:151)C
3(cid:116)（2024·北京·高考真题）(cid:44)x2+y2-2x+6y=0(cid:18)(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:16)(cid:17)x-y+2=0(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:114)(cid:10) (cid:11)
A(cid:116) 2 B(cid:116)2 C(cid:116)3 D(cid:116)3 2
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)D
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:81)(cid:102)(cid:44)(cid:82)(cid:168)(cid:79)(cid:41)(cid:185)(cid:220)(cid:48)(cid:4)(cid:155)(cid:16)(cid:17)(cid:56)(cid:57)(cid:156)(cid:157)(cid:152)(cid:178).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:158)(cid:13)(cid:183)(cid:134)x2+y2-2x+6y=0(cid:41)(cid:152)x-12+y+32 =10(cid:41)
1--3+2
(cid:118)(cid:42)(cid:44)(cid:82)(cid:168)(cid:79)(cid:114)1,-3(cid:41)(cid:118)(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:16)(cid:17)x-y+2=0(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:114) =3 2 .
12+-12
(cid:165)(cid:166)(cid:151)D.
4(cid:116)（2024·全国甲卷·高考真题）(cid:117)(cid:99)b(cid:59)a,c(cid:18)(cid:110)(cid:240)(cid:53)(cid:245)(cid:41)(cid:16)(cid:17)ax+by+c=0(cid:43)(cid:44)x2+y2+4y-1=0(cid:263)(cid:142)A,B
(cid:170)(cid:4)(cid:41)(cid:118) AB (cid:18)(cid:91)(cid:124)(cid:92)(cid:114)(cid:10) (cid:11)
A(cid:116)1 B(cid:116)2 C(cid:116)4 D(cid:116)2 5
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)C
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:181)(cid:46)(cid:110)(cid:240)(cid:144)(cid:241)(cid:106)(cid:107)(cid:135)c(cid:222)(cid:273)(cid:41)(cid:81)(cid:102)(cid:16)(cid:17)(cid:274)(cid:264)(cid:18)(cid:86)(cid:4)(cid:41)(cid:275)(cid:48)(cid:144)(cid:138)(cid:181)(cid:46)(cid:190)(cid:152)(cid:178)(cid:81)(cid:149).(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:254)(cid:114)a,b,c(cid:141)(cid:110)(cid:240)(cid:144)(cid:241)(cid:41)(cid:179)(cid:175)2b=a+c(cid:41)c=2b-a(cid:41)(cid:222)(cid:268)(cid:16)(cid:17)(cid:19)(cid:20)ax+by+c=0(cid:134)
ìx-1=0 ìx=1
ax+by+2b-a=0(cid:41)(cid:152)ax-1+by+2=0(cid:41)(cid:271)í (cid:134)í (cid:41)
îy+2=0 îy=-2
(cid:165)(cid:16)(cid:17)(cid:274)(cid:264)1,-2(cid:41)(cid:132)P1,-2(cid:41)(cid:44)(cid:140)(cid:114)(cid:79)(cid:216)(cid:19)(cid:20)(cid:134)(cid:151)C:x2+y+22 =5(cid:41)
(cid:132)(cid:44)(cid:82)(cid:114)C(cid:41)(cid:276)(cid:102)(cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:44)(cid:18)(cid:173)(cid:138)(cid:41)(cid:158)(cid:173)(cid:178)(cid:99)(cid:41)(cid:262)PC ^ AB(cid:192)(cid:41) AB (cid:91)(cid:124)(cid:41)
PC =1, AC = r = 5(cid:41)(cid:272)(cid:192) AB =2 AP =2 AC2-PC2 =2 5-1=4.
(cid:165)(cid:166)(cid:151)C
5(cid:116)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:117)(cid:99)(cid:277)(cid:144)x,y(cid:278)(cid:279)x2+ y2-4x-2y-4=0(cid:41)(cid:118)x-y(cid:18)(cid:91)(cid:122)(cid:92)(cid:59)(cid:10) (cid:11)
3 2
A(cid:116)1+ B(cid:116)4 C(cid:116)1+3 2 D(cid:116)7
2
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)C
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:190)(cid:73)(cid:151)(cid:271)x-y=k(cid:41)(cid:220)(cid:48)(cid:280)(cid:239)(cid:157)(cid:190)(cid:152)(cid:178)(cid:258)(cid:190)(cid:74)(cid:151)(cid:281)(cid:264)(cid:282)(cid:267)(cid:134)x-22+y-12 =9(cid:41)(cid:220)(cid:48)(cid:136)(cid:137)(cid:273)(cid:283)(cid:190)(cid:152)
(cid:178)(cid:41)(cid:190)(cid:136)(cid:151)(cid:282)(cid:267)(cid:102)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:41)(cid:132)x-y=k(cid:41)(cid:220)(cid:48)(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:124)(cid:142)(cid:110)(cid:142)(cid:83)(cid:84)(cid:152)(cid:178).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:190)(cid:73)(cid:151)(cid:271)x-y=k(cid:41)(cid:118)x=k+y(cid:41)
(cid:222)(cid:268)(cid:284)(cid:157)(cid:140)(cid:285)(cid:134)2y2+2k-6y+k2-4k-4=0(cid:41)
(cid:254)(cid:114)(cid:286)(cid:109)(cid:277)(cid:144)y(cid:41)(cid:118)D³0(cid:41)(cid:152)2k-62-4´2  k2-4k-4  ³0(cid:41)
(cid:140)(cid:285)(cid:134)k2-2k-17£0(cid:41)(cid:149)(cid:134)1-3 2£k £1+3 2(cid:41)
(cid:165)x-y (cid:18)(cid:91)(cid:122)(cid:92)(cid:59)3 2+1(cid:41)
(cid:190)(cid:74)(cid:151)x2+ y2-4x-2y-4=0(cid:41)(cid:282)(cid:267)(cid:134)x-22+y-12 =9(cid:41)
(cid:271)x=3cosq+2(cid:41)y=3sinq+1(cid:41)(cid:42)(cid:53)qÎ0,2π (cid:41)
æ πö
(cid:118)x-y=3cosq-3sinq+1=3 2cosçq+ ÷+1(cid:41)
è 4øπ éπ 9πù π 7p
QqÎ0,2p(cid:41)(cid:179)(cid:175)q+ Î
ê
,
ú
(cid:41)(cid:118)q+ =2π(cid:41)(cid:152)q= (cid:192)(cid:41)x-y(cid:249)(cid:134)(cid:91)(cid:122)(cid:92)3 2+1(cid:41)
4 ë4 4 û 4 4
(cid:190)(cid:136)(cid:151)(cid:158)x2+ y2-4x-2y-4=0(cid:178)(cid:134)(x-2)2+(y-1)2 =9(cid:41)
|2-1-k|
(cid:132)x-y=k(cid:41)(cid:118)(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:16)(cid:17)x-y=k(cid:18)(cid:56)(cid:57)d = £3(cid:41)
2
(cid:149)(cid:134)1-3 2£k £1+3 2
(cid:165)(cid:166)(cid:151)C.
x2 y2
6(cid:116)（2023·全国甲卷·高考真题）(cid:117)(cid:99)(cid:287)(cid:133)(cid:17)C: - =1(a>0,b>0)(cid:18)(cid:57)(cid:82)(cid:104)(cid:114) 5(cid:41)C(cid:18)(cid:73)(cid:212)(cid:288)(cid:289)(cid:17)(cid:43)(cid:44)
a2 b2
(x-2)2+(y-3)2 =1(cid:263)(cid:142)A(cid:41)B(cid:170)(cid:4)(cid:41)(cid:118)|AB|=(cid:10) (cid:11)
5 2 5 3 5 4 5
A(cid:116) B(cid:116) C(cid:116) D(cid:116)
5 5 5 5
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)D
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:153)(cid:154)(cid:57)(cid:82)(cid:104)(cid:134)(cid:102)(cid:287)(cid:133)(cid:17)(cid:288)(cid:289)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:41)(cid:185)(cid:158)(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:55)(cid:44)(cid:83)(cid:84)(cid:178)(cid:81)(cid:87)(cid:88).
c2 a2+b2 b2
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:158)e= 5(cid:41)(cid:118) = =1+ =5(cid:41)
a2 a2 a2
b
(cid:149)(cid:134) =2(cid:41)
a
(cid:179)(cid:175)(cid:287)(cid:133)(cid:17)(cid:18)(cid:288)(cid:289)(cid:17)(cid:114)y=±2x(cid:41)
|2´2+3| 7 5
(cid:262)(cid:288)(cid:289)(cid:17)(cid:114)y=-2x(cid:192)(cid:41)(cid:44)(cid:82)(2,3)(cid:155)(cid:290)(cid:288)(cid:289)(cid:17)(cid:18)(cid:56)(cid:57)d = = >1(cid:41)(cid:39)(cid:46)(cid:13)(cid:183)(cid:258)
22+1 5
|2´2-3| 5
(cid:262)(cid:288)(cid:289)(cid:17)(cid:114)y=2x(cid:192)(cid:41)(cid:118)(cid:44)(cid:82)(2,3)(cid:155)(cid:288)(cid:289)(cid:17)(cid:18)(cid:56)(cid:57)d = = (cid:41)
22+1 5
1 4 5
(cid:179)(cid:175)(cid:87)(cid:88)|AB|=2 r2-d2 =2 1- = .
5 5
(cid:165)(cid:166)(cid:151)D
7(cid:116)（2023·全国乙卷·高考真题）(cid:132)O(cid:114)(cid:167)(cid:119)(cid:168)(cid:79)(cid:52)(cid:18)(cid:168)(cid:79)(cid:284)(cid:4)(cid:41)(cid:109)(cid:112)(cid:180)
x,y1£x2+y2
£4

(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:249)(cid:73)(cid:4)(cid:41)
π
(cid:294)(cid:290)(cid:4)(cid:114)A(cid:41)(cid:118)(cid:16)(cid:17)OA(cid:18)(cid:247)(cid:242)(cid:137)(cid:39)(cid:122)(cid:142) (cid:18)(cid:66)(cid:104)(cid:114)(cid:10) (cid:11)
4
1 1 1 1
A(cid:116) B(cid:116) C(cid:116) D(cid:116)
8 6 4 2
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)C
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:153)(cid:154)(cid:13)(cid:183)(cid:5)(cid:131)(cid:112)(cid:180)(cid:18)(cid:93)(cid:105)(cid:183)(cid:215)(cid:41)(cid:181)(cid:46)(cid:93)(cid:105)(cid:66)(cid:295)(cid:296)(cid:270)(cid:81)(cid:149).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:254)(cid:114)(cid:112)(cid:180) x,y|1£x2+y2 £4  (cid:171)(cid:172)(cid:175)O0,0(cid:44)(cid:82)(cid:41)(cid:297)(cid:44)(cid:83)(cid:84)R=2(cid:41)(cid:291)(cid:44)(cid:83)(cid:84)r=1(cid:18)(cid:44)(cid:298)(cid:41)π π
(cid:118)(cid:16)(cid:17)OA(cid:18)(cid:247)(cid:242)(cid:137)(cid:39)(cid:122)(cid:142) (cid:18)(cid:97)(cid:5)(cid:49)(cid:186)(cid:187)(cid:179)(cid:172)(cid:41)(cid:109)(cid:299)(cid:73)(cid:261)(cid:300)(cid:97)(cid:5)(cid:65)(cid:47)(cid:18)(cid:44)(cid:82)(cid:137)ÐMON = (cid:41)
4 4
1
3π´
(cid:181)(cid:46)(cid:65)(cid:90)(cid:106)(cid:178)(cid:134)(cid:179)(cid:81)(cid:66)(cid:104) 4 1.
P= =
3π 4
(cid:165)(cid:166)(cid:151)C.
8(cid:116)（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）(cid:264)(cid:4)0,-2(cid:43)(cid:44)x2+y2-4x-1=0(cid:31)(cid:89)(cid:18)(cid:170)(cid:212)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:301)(cid:137)(cid:114)a(cid:41)(cid:118)sina=
(cid:10) (cid:11)
15 10 6
A(cid:116)1 B(cid:116) C(cid:116) D(cid:116)
4 4 4
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)B
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:19)(cid:190)(cid:73)(cid:151)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:17)(cid:18)(cid:106)(cid:107)(cid:81)(cid:89)(cid:17)(cid:88)(cid:41)(cid:181)(cid:46)(cid:302)(cid:137)(cid:156)(cid:157)(cid:296)(cid:270)(cid:81)(cid:149)(cid:258)(cid:19)(cid:190)(cid:74)(cid:151)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:17)(cid:18)(cid:106)(cid:107)(cid:81)(cid:89)(cid:17)(cid:88)(cid:41)
(cid:181)(cid:46)(cid:303)(cid:87)(cid:86)(cid:267)(cid:296)(cid:270)(cid:81)(cid:149)(cid:258)(cid:19)(cid:190)(cid:136)(cid:151)(cid:153)(cid:154)(cid:89)(cid:17)(cid:181)(cid:46)(cid:4)(cid:155)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:156)(cid:157)(cid:178)(cid:134)k2+8k+1=0(cid:41)(cid:220)(cid:48)(cid:304)(cid:305)(cid:86)(cid:267)(cid:181)(cid:46)
(cid:301)(cid:137)(cid:156)(cid:157)(cid:296)(cid:270)(cid:81)(cid:149).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:19)(cid:190)(cid:73)(cid:151)(cid:254)(cid:114)x2+y2-4x-1=0(cid:41)(cid:152)x-22+y2 =5(cid:41)(cid:178)(cid:134)(cid:44)(cid:82)C2,0(cid:41)(cid:83)(cid:84)r= 5(cid:41)
(cid:264)(cid:4)P0,-2(cid:306)(cid:44)C(cid:18)(cid:89)(cid:17)(cid:41)(cid:89)(cid:4)(cid:114)A,B(cid:41)
(cid:254)(cid:114) PC = 22+-22 =2 2(cid:41)(cid:118) PA = PC2-r2 = 3(cid:41)
5 10 3 6
(cid:178)(cid:134)sinÐAPC = = ,cosÐAPC = = (cid:41)
2 2 4 2 2 4
10 6 15
(cid:118)sinÐAPB=sin2ÐAPC =2sinÐAPCcosÐAPC =2´ ´ = (cid:41)
4 4 4
2 2
æ 6ö æ 10ö 1
cosÐAPB=cos2ÐAPC =cos2ÐAPC-sin2ÐAPC =ç ÷ -ç ÷ =- <0(cid:41)
ç ÷ ç ÷
4 4 4
è ø è ø
(cid:152)ÐAPB(cid:114)(cid:307)(cid:137)(cid:41)15
(cid:179)(cid:175)sina=sinπ-ÐAPB=sinÐAPB= (cid:258)
4
(cid:190)(cid:74)(cid:151)(cid:44)x2+y2-4x-1=0(cid:18)(cid:44)(cid:82)C2,0(cid:41)(cid:83)(cid:84)r= 5(cid:41)
(cid:264)(cid:4)P0,-2(cid:306)(cid:44)C(cid:18)(cid:89)(cid:17)(cid:41)(cid:89)(cid:4)(cid:114)A,B(cid:41)(cid:308)(cid:69)AB(cid:41)
(cid:178)(cid:134) PC = 22+-22 =2 2(cid:41)(cid:118) PA = PB = PC2-r2 = 3(cid:41)
(cid:254)(cid:114) PA2+ PB2-2 PA× PB cosÐAPB= CA2+ CB2-2CA×CB cosÐACB
(cid:108)ÐACB=π-ÐAPB(cid:41)(cid:118)3+3-6cosÐAPB=5+5-10cosπ-ÐAPB(cid:41)
1
(cid:152)3-cosÐAPB=5+5cosÐAPB(cid:41)(cid:149)(cid:134)cosÐAPB=- <0(cid:41)
4
1
(cid:152)ÐAPB(cid:114)(cid:307)(cid:137)(cid:41)(cid:118)cosa=cosπ-ÐAPB=-cosÐAPB= (cid:41)
4
15
(cid:108)a(cid:114)(cid:309)(cid:137)(cid:41)(cid:179)(cid:175)sina= 1-cos2a= (cid:258)
4
(cid:19)(cid:190)(cid:136)(cid:151)(cid:44)x2+y2-4x-1=0(cid:18)(cid:44)(cid:82)C2,0(cid:41)(cid:83)(cid:84)r= 5(cid:41)
(cid:310)(cid:89)(cid:17)(cid:242)(cid:104)(cid:39)(cid:286)(cid:109)(cid:41)(cid:118)(cid:89)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:114)x=0(cid:41)(cid:118)(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:89)(cid:4)(cid:18)(cid:56)(cid:57)d =2>r(cid:41)(cid:39)(cid:46)(cid:13)(cid:183)(cid:258)
(cid:310)(cid:89)(cid:17)(cid:242)(cid:104)(cid:286)(cid:109)(cid:41)(cid:132)(cid:89)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:114)y=kx-2(cid:41)(cid:152)kx-y-2=0(cid:41)
2k-2
(cid:118) = 5(cid:41)(cid:282)(cid:267)(cid:134)k2+8k+1=0(cid:41)(cid:108)D=64-4=60>0
k2+1
(cid:132)(cid:170)(cid:89)(cid:17)(cid:242)(cid:104)(cid:5)(cid:239)(cid:114)k ,k (cid:41)(cid:118)k +k =-8,kk =1(cid:41)
1 2 1 2 1 2
(cid:178)(cid:134) k -k = k +k 2-4kk =2 15(cid:41)
1 2 1 2 1 2
k -k sina sina
(cid:179)(cid:175)tana= 1 2 = 15(cid:41)(cid:152) = 15(cid:41)(cid:178)(cid:134)cosa= (cid:41)
1+kk cosa 15
1 2
sin2a
(cid:118)sin2a+cos2a=sin2a+ =1(cid:41)
15
(cid:108)aÎ0,π(cid:41)(cid:118)sina>0(cid:41)(cid:149)(cid:134)sina= 15
.
4
(cid:165)(cid:166)(cid:151)B. 
9(cid:116)（2022·上海·高考真题）(cid:109)(cid:167)(cid:119)(cid:16)(cid:137)(cid:168)(cid:79)(cid:52)(cid:53)(cid:41)(cid:117)(cid:99)(cid:32)(cid:142)(cid:4)(cid:169)Ω= x,yx-k2 +  y-k22 =4 k ,kÎZ
(cid:18)(cid:170)(cid:260)(cid:181)(cid:219)(cid:151)
(cid:286)(cid:109)(cid:16)(cid:17)l(cid:41)(cid:208)(cid:134)(cid:169)(cid:46)W(cid:53)(cid:39)(cid:286)(cid:109)(cid:4)(cid:109)(cid:16)(cid:17)l(cid:21)(cid:41)(cid:148)(cid:286)(cid:109)(cid:4)(cid:109)l(cid:18)(cid:170)(cid:311)(cid:258)
①(cid:286)(cid:109)(cid:16)(cid:17)l(cid:41)(cid:208)(cid:134)(cid:169)(cid:46)W(cid:53)(cid:286)(cid:109)(cid:162)(cid:144)(cid:260)(cid:4)(cid:109)(cid:16)(cid:17)(cid:21).
(cid:118)②(cid:312)(cid:241)(cid:280)(cid:313)(cid:244)(cid:85)(cid:18)(cid:59)(cid:10) (cid:11)
A(cid:116) (cid:141)(cid:314)(cid:41) (cid:141)(cid:314) B(cid:116) (cid:141)(cid:314)(cid:41) (cid:39)(cid:141)(cid:314)
C(cid:116)①(cid:39)(cid:141)(cid:314)(cid:41)② (cid:141)(cid:314) D(cid:116)①(cid:39)(cid:141)(cid:314)②(cid:41) (cid:39)(cid:141)(cid:314)
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)①B ② ① ②
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:65)(cid:142) (cid:315)(cid:316)(cid:193)(cid:317)(cid:73)(cid:212)(cid:16)(cid:17)(cid:41)(cid:208)(cid:134)(cid:73)(cid:97)(cid:5)(cid:44)(cid:109)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:41)(cid:303)(cid:312)(cid:44)(cid:109)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:312)(cid:19)(cid:152)(cid:178).(cid:65)(cid:142) (cid:147)(cid:318)(cid:300)
(cid:18)(cid:199)(cid:200)(cid:3)(cid:319). ① ②
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:65)(cid:142) (cid:41)(cid:249)(cid:16)(cid:17)y=20.5,
(cid:118)(cid:65)(cid:142)(cid:182)(cid:183)(cid:18)①0< k £4(cid:41)(cid:121)k2+2 k £16+4=20<20.5(cid:41)
(cid:165)(cid:44)x-k2+  y-k22 =4 k (cid:320)(cid:109)(cid:16)(cid:17)y=20.5(cid:18)(cid:312)(cid:19)(cid:41)
(cid:148)(cid:65)(cid:182)(cid:183)(cid:18) k ³4(cid:41)(cid:121)k2+2 k >25>20.5(cid:41)
(cid:165)(cid:44)x-k2+  y-k22 =4 k (cid:320)(cid:109)(cid:16)(cid:17)y=20.5(cid:18)(cid:21)(cid:19)(cid:41)
(cid:148)(cid:262)k =0(cid:192)(cid:41)x-k2+  y-k22 =4 k (cid:171)(cid:172)(cid:284)(cid:4)(cid:41)(cid:321)(cid:109)(cid:16)(cid:17)y=20.5(cid:18)(cid:312)(cid:19)(cid:41)
(cid:165)(cid:272)(cid:192)(cid:169)(cid:46)W(cid:53)(cid:179)(cid:121)(cid:18)(cid:4)(cid:320)(cid:39)(cid:109)(cid:16)(cid:17)y=20.5(cid:21)(cid:41)(cid:108)(cid:286)(cid:109)(cid:4)(cid:109)(cid:16)(cid:17)y=20.5(cid:18)(cid:170)(cid:311).
(cid:179)(cid:175) (cid:141)(cid:314).
① mk-k2+t
(cid:65)(cid:142) (cid:41)(cid:132)(cid:16)(cid:17)l(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)y=mx+t(cid:41)(cid:118)(cid:44)(cid:82)  k,k2 (cid:155)(cid:16)(cid:17)l(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:114)d =
1+m2
②
mk-k2+t
(cid:262)k ®+¥(cid:192)d = >2 k =r(cid:179)(cid:175)(cid:16)(cid:17)l(cid:315)(cid:322)(cid:43)(cid:121)(cid:300)(cid:260)(cid:44)(cid:31)(cid:263)(cid:41)(cid:179)(cid:175) (cid:39)(cid:141)(cid:314).
1+m2
②(cid:165)(cid:166)(cid:151)B
10(cid:116)（2022·北京·高考真题）(cid:310)(cid:16)(cid:17)2x+y-1=0(cid:59)(cid:44)(x-a)2+y2 =1(cid:18)(cid:73)(cid:212)(cid:65)(cid:90)(cid:323)(cid:41)(cid:118)a=(cid:10) (cid:11)
1 1
A(cid:116) B(cid:116)- C(cid:116)1 D(cid:116)-1
2 2
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)A
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:310)(cid:16)(cid:17)(cid:59)(cid:44)(cid:18)(cid:65)(cid:90)(cid:323)(cid:41)(cid:118)(cid:16)(cid:17)(cid:264)(cid:44)(cid:82)(cid:41)(cid:135)(cid:44)(cid:82)(cid:222)(cid:268)(cid:16)(cid:17)(cid:269)(cid:270)(cid:81)(cid:149)(cid:116)
1
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:158)(cid:13)(cid:178)(cid:99)(cid:44)(cid:82)(cid:114)a,0(cid:41)(cid:254)(cid:114)(cid:16)(cid:17)(cid:59)(cid:44)(cid:18)(cid:65)(cid:90)(cid:323)(cid:41)(cid:179)(cid:175)(cid:44)(cid:82)(cid:109)(cid:16)(cid:17)(cid:21)(cid:41)(cid:152)2a+0-1=0(cid:41)(cid:149)(cid:134)a= (cid:116)
2
(cid:165)(cid:166)(cid:151)A(cid:116)
11(cid:116)(cid:10)(cid:324)(cid:166)(cid:13)(cid:11)（2026·全国二卷·高考真题）(cid:117)(cid:99)eO(cid:151)x2+y2 =1(cid:41)eA(cid:151)x2+y2-6x-8y+k=0(cid:41)(cid:118)(cid:10) (cid:11)
A(cid:116)(cid:4)A(cid:18)(cid:168)(cid:79)(cid:114)-3,-4
B(cid:116)(cid:262)k =9(cid:192)(cid:41)eA(cid:43)x(cid:323)(cid:31)(cid:89)
C(cid:116)(cid:262)k=-11(cid:192)(cid:41)eO(cid:43)eA(cid:31)(cid:89)
D(cid:116)(cid:262)eO(cid:43)eA(cid:31)(cid:263)(cid:192)(cid:41)(cid:170)(cid:260)(cid:263)(cid:4)(cid:179)(cid:109)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)6x+8y-k-2=0
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)BC
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:65)(cid:142)A(cid:41)(cid:81)(cid:102)eA(cid:18)(cid:44)(cid:82)(cid:168)(cid:79)(cid:152)(cid:178)(cid:280)(cid:313)(cid:258)
(cid:65)(cid:142)B(cid:41)(cid:220)(cid:48)(cid:44)(cid:82)A(cid:155)x(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:152)(cid:178)(cid:280)(cid:313)(cid:258)
(cid:65)(cid:142)C(cid:41)(cid:81)(cid:102)(cid:170)(cid:260)(cid:44)(cid:18)(cid:44)(cid:82)(cid:56)(cid:43)(cid:83)(cid:84)(cid:237)(cid:240)(cid:41)(cid:83)(cid:84)(cid:237)(cid:101)(cid:238)(cid:34)(cid:152)(cid:178)(cid:280)(cid:313)(cid:258)
(cid:65)(cid:142)D(cid:41)(cid:135)(cid:170)(cid:260)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:31)(cid:40)(cid:140)(cid:285)(cid:152)(cid:178)(cid:81)(cid:149).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:158)eA(cid:151)x2+y2-6x-8y+k=0(cid:41)(cid:140)(cid:285)(cid:178)(cid:134)x-32+y-42 =25-k (cid:41)
(cid:179)(cid:175)k <25(cid:41)eA(cid:18)(cid:44)(cid:82)A(3,4)(cid:41)(cid:83)(cid:84)r= 25-k (cid:41)(cid:165)A(cid:325)(cid:326)(cid:258)
(cid:65)(cid:142)B(cid:41)(cid:158)k =9(cid:41)(cid:134)eA(cid:18)(cid:83)(cid:84)r= 25-k =4(cid:41)(cid:179)(cid:175)(cid:44)(cid:82)A(3,4)(cid:155)x(cid:323)(cid:18)(cid:56)(cid:57)d =4=r(cid:41)(cid:152)eA(cid:43)x(cid:323)(cid:31)(cid:89)(cid:41)
(cid:165)B(cid:244)(cid:85)(cid:258)
(cid:65)(cid:142)C(cid:41)(cid:158)k=-11(cid:41)(cid:134)eA(cid:18)(cid:83)(cid:84)r= 25-k =6(cid:41)(cid:158)(cid:142)eO(cid:18)(cid:44)(cid:82)(cid:114)0,0(cid:41)(cid:83)(cid:84)r¢=1(cid:41)(cid:179)(cid:175)
OA =5=r-r¢(cid:41)(cid:118)eO(cid:43)eA(cid:291)(cid:89)(cid:41)(cid:165)C(cid:244)(cid:85)(cid:258)
(cid:65)(cid:142)D(cid:41)(cid:158)  x2+y2-6x-8y+k  -  x2+y2-1  =0(cid:41)(cid:140)(cid:285)(cid:134)(cid:151)6x+8y-k-1=0(cid:41)
(cid:179)(cid:175)eO(cid:43)eA(cid:170)(cid:260)(cid:263)(cid:4)(cid:179)(cid:109)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)6x+8y-k-1=0(cid:41)(cid:165)D(cid:325)(cid:326).
12(cid:116)(cid:10)(cid:324)(cid:166)(cid:13)(cid:11)（2026·全国一卷·高考真题）(cid:117)(cid:99)(cid:44)C :(x+1)2+y2 =1(cid:41)(cid:44)C :(x-1)2+y2 =1(cid:41)(cid:44)
1 2C :x2+(y- 3)2 =1(cid:41)(cid:16)(cid:17)l:y=kx+b(cid:43)C (cid:41)C (cid:41)C (cid:320)(cid:121)(cid:170)(cid:260)(cid:263)(cid:4)(cid:116)(cid:294)l(cid:327)C (cid:41)C (cid:41)C (cid:236)(cid:134)(cid:18)(cid:87)(cid:88)(cid:5)(cid:239)(cid:114)
3 1 2 3 1 2 3
s (cid:26)s (cid:26)s (cid:41)(cid:118)(cid:10) (cid:11)
1 2 3
A(cid:116)k(cid:178)(cid:175)(cid:249)(cid:182)(cid:183)(cid:277)(cid:144) B(cid:116)(cid:278)(cid:279)s =s =s (cid:18)(cid:16)(cid:17)l(cid:328)(cid:121)3(cid:212)
1 2 3
2 21
C(cid:116)(cid:278)(cid:279)s +s +s =3(cid:18)(cid:16)(cid:17)l(cid:324)(cid:142)3(cid:212) D(cid:116)(cid:262)b=0(cid:192)(cid:41)s +s +s (cid:18)(cid:91)(cid:122)(cid:92)(cid:114)
1 2 3 1 2 3
3
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)BCD
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:117)(cid:99)(cid:136)(cid:260)(cid:44)(cid:320)(cid:114)(cid:83)(cid:84)r=1(cid:18)(cid:110)(cid:44)(cid:41)(cid:44)(cid:82)(cid:5)(cid:239)(cid:114)C (-1,0)(cid:26)C (1,0)(cid:26)C (0, 3)(cid:41)(cid:220)(cid:48)(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:157)
1 2 3
s =2 1-d2 (cid:10)d (cid:114)(cid:65)(cid:47)(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:16)(cid:17)l(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:41)(cid:108)d <1(cid:175)(cid:329)(cid:330)(cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:44)(cid:121)(cid:170)(cid:260)(cid:263)(cid:4)(cid:11)(cid:41)(cid:331)(cid:260)(cid:5)(cid:131)(cid:166)(cid:245)(cid:152)(cid:178).
i i i i
|b-k| |b+k|
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:294)C,C ,C (cid:155)(cid:16)(cid:17)l:y=kx+b(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:5)(cid:239)(cid:114)d ,d ,d (cid:41)(cid:118)d = (cid:41)d = (cid:41)
1 2 3 1 2 3 1 1+k2 2 1+k2
|b- 3|
d = .
3 1+k2
(cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:136)(cid:260)(cid:44)(cid:320)(cid:121)(cid:170)(cid:260)(cid:263)(cid:4)(cid:41)
∵ d <1(cid:41)d <1(cid:41)d <1(cid:41)(cid:65)(cid:47)(cid:87)(cid:88)(cid:114)s =2 1-d2(i=1,2,3).
1 2 3 i i
∴
A(cid:151) (cid:149)d <1(cid:41)(cid:134)k- 1+k2 <b<k+ 1+k2 (cid:41)
1
∵
(cid:149)d <1(cid:41)(cid:134)-k- 1+k2 <b<-k+ 1+k2 (cid:41)
2
(cid:39)(cid:332)(cid:249)k>0(cid:41)
k+ 1+k2 >-k+ 1+k2 >0>k- 1+k2 >-k- 1+k2 (cid:41)
∵  
k- 1+k2 <b<-k+ 1+k2 (cid:41)(cid:294)A= k- 1+k2,-k+ 1+k2 (cid:41)
∴  
(cid:149)d <1(cid:41)(cid:134) 3- 1+k2 <b< 3+ 1+k2 (cid:41)(cid:294)B= 3- 1+k2, 3+ 1+k2 (cid:41)
3
3
(cid:262) 3- 1+k2 ³-k+ 1+k2 (cid:41)(cid:152)k = (cid:192)(cid:41)AIB=Æ(cid:41)
3
(cid:272)(cid:192)(cid:39)(cid:286)(cid:109)(cid:197)(cid:333)(cid:18)(cid:16)(cid:17)l(cid:43)(cid:136)(cid:260)(cid:44)(cid:334)(cid:31)(cid:263).
k(cid:39)(cid:322)(cid:249)(cid:182)(cid:183)(cid:277)(cid:144)(cid:41)A(cid:325)(cid:326).
∴ B(cid:151) s =s =s (cid:41)
1 2 3
∵
d =d =d .
1 2 3
∴(cid:158)d =d (cid:134)|b-k|=|b+k|(cid:41)(cid:167)(cid:19)(cid:134)-4bk =0(cid:41)(cid:152)k =0(cid:248)b=0.
1 23
(cid:262)k =0(cid:192)(cid:41)(cid:16)(cid:17)(cid:114)y=b(cid:41)(cid:158)d =d (cid:134)|b|=|b- 3|(cid:41)(cid:149)(cid:134)b= (cid:41)
1 3
2
① 3
(cid:272)(cid:192)d = <1(cid:41)(cid:335)(cid:46)(cid:212)(cid:213)(cid:41)(cid:65)(cid:47)(cid:16)(cid:17)1(cid:212).
1 2
|k| 3
(cid:262)b=0(cid:192)(cid:41)(cid:16)(cid:17)(cid:114)y=kx(cid:41)(cid:158)d =d (cid:134) = (cid:41)(cid:149)(cid:134)k =± 3(cid:41)
1 3 1+k2 1+k2
②
3
(cid:272)(cid:192)d = <1(cid:41)(cid:335)(cid:46)(cid:212)(cid:213)(cid:41)(cid:65)(cid:47)(cid:16)(cid:17)2(cid:212).
1 2
(cid:45)(cid:21)(cid:41)(cid:328)3(cid:212)(cid:16)(cid:17)(cid:278)(cid:279)(cid:212)(cid:213)(cid:41)B(cid:244)(cid:85).
C(cid:151)(cid:271)b=0(cid:41)
k2 2 3 2 k2-2
s =s =2 1- = (cid:41)s =2 1- = (cid:41)
1 2 1+k2 1+k2 3 1+k2 1+k2
∴
(cid:271)t = k2-2(t >0)(cid:41)(cid:118)k2 =t2+2(cid:41)
2(2+t)
s +s +s = .
1 2 3 t2+3
∴ 4+2t
(cid:271)s +s +s =3(cid:41)(cid:152) =3(cid:41)
1 2 3 t2+3
11 171
(cid:167)(cid:19)(cid:282)(cid:267)(cid:178)(cid:134)5t2-16t+11=0(cid:41)(cid:149)(cid:134)t = (cid:248)t=1(cid:41)(cid:152)k =± 3(cid:248)k =± (cid:41)
5 5
(cid:336)(cid:337)(cid:330)(cid:41)(cid:272)(cid:192)d ,d ,d (cid:320)(cid:124)(cid:142)1(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:13)(cid:211)(cid:193)(cid:81)(cid:41)(cid:272)(cid:192)(cid:117)(cid:121)4(cid:212)(cid:16)(cid:17)(cid:41)(cid:324)(cid:142)3(cid:212)(cid:41)C(cid:244)(cid:85).
1 2 3
|k| 3
D(cid:151)(cid:262)b=0(cid:192)(cid:41)d =d = (cid:41)d = (cid:41)
1 2 1+k2 3 1+k2
k2 2 3 2 k2-2
s =s =2 1- = (cid:41)s =2 1- = (cid:41)
1 2 1+k2 1+k2 3 1+k2 1+k2
∴
(cid:271)t = k2-2(t >0)(cid:41)(cid:118)k2 =t2+2(cid:41)
2(2+t)
s +s +s = .
1 2 3 t2+3
∴
t+2 3-2t
(cid:132) f(t)= (t>0)(cid:41)(cid:81)(cid:338)(cid:134)
f¢(t)=
3 (cid:41)
t2+3 (t2+3)2
3
+2
(cid:271) f¢(t)=0(cid:134)t= 3 (cid:41)(cid:272)(cid:192) f(t)(cid:249)(cid:91)(cid:122)(cid:92) f æ ç 3ö ÷= 2 = 7 = 21 (cid:41)
2 è2ø æ3ö 2 21 3
ç ÷ +3
è2ø
21 2 21
s +s +s (cid:18)(cid:91)(cid:122)(cid:92)(cid:114)2´ = (cid:41)D(cid:244)(cid:85).
1 2 3
3 3
∴(cid:127)(cid:4)(cid:189)(cid:130)(cid:19)(cid:190)(cid:4)(cid:189)(cid:151)(cid:339)(cid:13)(cid:3)(cid:33)(cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:44)(cid:18)(cid:50)(cid:51)(cid:32)(cid:52)(cid:41)(cid:98)(cid:82)(cid:59)(cid:220)(cid:48)(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:157)(cid:135)(cid:87)(cid:88)(cid:32)(cid:52)(cid:139)(cid:140)(cid:114)(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:16)(cid:17)(cid:18)
(cid:56)(cid:57)(cid:32)(cid:52)(cid:41)(cid:91)(cid:92)(cid:58)(cid:13)(cid:178)(cid:281)(cid:264)(cid:273)(cid:283)(cid:181)(cid:46)(cid:338)(cid:144)(cid:81)(cid:149)(cid:41)(cid:324)(cid:166)(cid:13)(cid:178)(cid:331)(cid:260)(cid:337)(cid:330)(cid:166)(cid:245)(cid:41)(cid:181)(cid:46)(cid:340)(cid:341)(cid:9)(cid:138)(cid:342)(cid:343)(cid:280)(cid:313)(cid:244)(cid:326).
13(cid:116)（2026·北京·高考真题）(cid:117)(cid:99)(cid:16)(cid:17)ax+y=0(cid:43)(cid:44)(x-2)2+(y-2)2 =4(cid:31)(cid:89)(cid:41)(cid:118)a=________(cid:116)
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)0
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:44)(x-2)2+(y-2)2 =4(cid:18)(cid:44)(cid:82)(cid:114)C(2,2)(cid:41)(cid:83)(cid:84)r=2.
2a+2
(cid:158)(cid:16)(cid:17)ax+y=0(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:89)(cid:41)(cid:118)(cid:134)d = =2(cid:41)
a2+1
(cid:149)(cid:134)a=0.
14(cid:116)（2025·天津·高考真题）l :x-y+6=0(cid:41)(cid:43)x(cid:323)(cid:263)(cid:142)(cid:4)A(cid:41)(cid:43)y(cid:323)(cid:263)(cid:142)(cid:4)B(cid:41)(cid:43)x+12+y-32 =r2r>0
1
(cid:263)(cid:142)C(cid:26)D(cid:170)(cid:4)(cid:41)|AB|=3|CD|(cid:41)(cid:118)r=_________(cid:116)
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)2
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:174)(cid:153)(cid:154)(cid:170)(cid:4)(cid:68)(cid:56)(cid:57)(cid:156)(cid:157)(cid:134)(cid:102)|AB|=6 2(cid:41)(cid:185)(cid:269)(cid:270)(cid:102)(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:56)(cid:57)d(cid:41)(cid:153)(cid:154)(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:157)
|CD|=2 r2-d2 (cid:241)(cid:110)(cid:157)(cid:81)(cid:149)(cid:152)(cid:178).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:254)(cid:114)(cid:16)(cid:17)l :x-y+6=0(cid:43)x(cid:323)(cid:263)(cid:142)A-6,0(cid:41)(cid:43)y(cid:323)(cid:263)(cid:142)B0,6(cid:41)(cid:179)(cid:175)| AB|= 62 +62 =6 2(cid:41)(cid:179)
1
(cid:175)CD =2 2(cid:41)
|-1-3+6|
(cid:44)(x+1)2+y-32 =r2(cid:18)(cid:83)(cid:84)(cid:114)r(cid:41)(cid:44)(cid:82)(-1,3)(cid:155)(cid:16)(cid:17)l :x-y+6=0(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:114)d = = 2(cid:41)
1 2
 2
(cid:165)CD =2 r2-d2 =2 r2- 2 =2 2(cid:41)(cid:149)(cid:134)r=2(cid:258)
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)2.15(cid:116)（2024·上海·高考真题）(cid:244)(cid:19)(cid:138)(cid:344)(cid:111)ABCD(cid:163)(cid:88)1.2,E(cid:155)AB,AD(cid:56)(cid:57)(cid:114)0.2,F(cid:155)BC,CD(cid:56)(cid:57)(cid:114)0.4(cid:41)(cid:121)
(cid:260)(cid:44)(cid:138)(cid:281)(cid:345)(cid:336)(cid:264)E,F(cid:41)(cid:108)(cid:336)(cid:264)AD(cid:21)(cid:73)(cid:4)(cid:41)(cid:81)(cid:44)(cid:138)(cid:281)(cid:345)(cid:18)(cid:346)(cid:88)_______.(cid:10)(cid:347)(cid:85)(cid:155)0.01(cid:11)
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)2.73
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:220)(cid:48)(cid:184)(cid:86)(cid:212)(cid:213)(cid:81)(cid:149)(cid:44)(cid:18)(cid:83)(cid:84)(cid:41)(cid:185)(cid:81)(cid:346)(cid:88)(cid:152)(cid:178).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:49)(cid:173)(cid:41)(cid:175)A(cid:114)(cid:284)(cid:4)(cid:223)(cid:52)(cid:41)(cid:348)(cid:99)E0.2,0.2,F0.8,0.8(cid:41)(cid:308)(cid:69)EF(cid:41)
(cid:39)(cid:332)(cid:132)EF(cid:53)(cid:4)(cid:114)M0.5,0.5(cid:41)(cid:16)(cid:17)EF(cid:53)(cid:232)(cid:17)(cid:179)(cid:109)(cid:16)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:114)y-0.5=-x-0.5(cid:41)
(cid:140)(cid:285)(cid:134)y=-x+1(cid:41)(cid:179)(cid:175)(cid:44)(cid:82)(cid:114)a,-a+1(cid:41)(cid:83)(cid:84)(cid:114)a(cid:41)(cid:108)(cid:336)(cid:264)E,F(cid:4)
(cid:152)a-0.22+-a+1-0.22 =a2(cid:41)(cid:140)(cid:285)(cid:134)a2-2a+0.68=0(cid:41)
2± 1.28 2 2
(cid:149)(cid:134)a= =1± 0.32 =1± (cid:41)
2 5
2 2
(cid:181)(cid:46)(cid:13)(cid:183)(cid:178)(cid:134)a=1- »0.434(cid:41)(cid:165)(cid:44)(cid:18)(cid:346)(cid:88)(cid:114)C =2πa»2.73.
5
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)2.7316(cid:116)（2023·上海·高考真题）(cid:117)(cid:99)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)x2+y2-4y-m=0(cid:41)(cid:42)(cid:119)(cid:120)(cid:114)π(cid:41)(cid:118)m=______.
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)-3
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:217)(cid:44)(cid:18)(cid:73)(cid:349)(cid:19)(cid:157)(cid:140)(cid:114)(cid:79)(cid:216)(cid:19)(cid:20)(cid:152)(cid:178)(cid:134)(cid:155)(cid:44)(cid:18)(cid:83)(cid:84)(cid:41)(cid:220)(cid:48)(cid:44)(cid:18)(cid:119)(cid:120)(cid:152)(cid:178)(cid:81)(cid:134)(cid:181)(cid:350).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:158)x2+y2-4y-m=0(cid:134)x2+y-22 =m+4(cid:41)(cid:44)(cid:18)(cid:83)(cid:84)(cid:114) m+4(cid:41)
 2
(cid:158)(cid:44)(cid:18)(cid:119)(cid:120)(cid:114)π(cid:134)(cid:41)π× m+4 =π(cid:41)(cid:149)(cid:134)m=-3.
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)-3.
ìx+2,x<-a,
ïï
17(cid:116)（2023·北京·高考真题）(cid:132)a>0(cid:41)(cid:143)(cid:144) f(x)=í a2-x2,-a£x£a,(cid:41)(cid:184)(cid:102)(cid:312)(cid:241)(cid:351)(cid:260)(cid:181)(cid:219)(cid:151)
ï
ïî - x-1,x>a.
f(x)(cid:109)(cid:112)(cid:68)(a-1,+¥)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:161)(cid:40)(cid:258)
①(cid:262)a³1(cid:192)(cid:41) f(x)(cid:286)(cid:109)(cid:91)(cid:122)(cid:92)(cid:258)
②(cid:132)Mx, f x x £a,Nx , f x x >a(cid:41)(cid:118)|MN|>1(cid:258)
1 1 1 2 2 2
③ (cid:132)Px 3 , f x 3 x 3 <-a,Qx 4 , f x 4 x 4 ³-a(cid:116)(cid:310)|PQ|(cid:286)(cid:109)(cid:91)(cid:124)(cid:92)(cid:41)(cid:118)a(cid:18)(cid:249)(cid:92)(cid:250)(cid:251)(cid:59) æ ç è 0, 1 2 ù û ú (cid:116)
④(cid:42)(cid:53)(cid:179)(cid:121)(cid:244)(cid:85)(cid:181)(cid:219)(cid:18)(cid:352)(cid:353)(cid:59)____________(cid:116)
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)
1
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)②(cid:174)(cid:5)③(cid:131) f x(cid:18)(cid:173)(cid:354)(cid:41)(cid:185)(cid:331)(cid:73)(cid:5)(cid:131)(cid:355)(cid:181)(cid:219)(cid:258)(cid:65)(cid:142) (cid:41)(cid:249)a= (cid:41)(cid:181)(cid:46)(cid:173)(cid:354)(cid:152)(cid:178)(cid:280)(cid:313)(cid:258)(cid:65)(cid:142) (cid:41)(cid:5)(cid:356)
2
① 4 ②
(cid:357)(cid:219) f x(cid:18)(cid:249)(cid:92)(cid:250)(cid:251)(cid:41)(cid:147)(cid:148)(cid:134)(cid:175)(cid:280)(cid:313)(cid:258)(cid:65)(cid:142) (cid:41)(cid:181)(cid:46)(cid:173)(cid:354)(cid:178)(cid:99) MN (cid:18)(cid:250)(cid:251)(cid:258)(cid:65)(cid:142) (cid:41)(cid:249)a= (cid:41)(cid:181)(cid:46)(cid:173)(cid:354)
5
③ ④
(cid:178)(cid:99)(cid:272)(cid:192) PQ (cid:286)(cid:109)(cid:91)(cid:124)(cid:92)(cid:41)(cid:147)(cid:148)(cid:134)(cid:175)(cid:280)(cid:313).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:246)(cid:13)(cid:183)(cid:41)a>0(cid:41)
(cid:262)x<-a(cid:192)(cid:41) f x=x+2(cid:41)(cid:348)(cid:99)(cid:42)(cid:173)(cid:354)(cid:114)(cid:73)(cid:212)(cid:358)(cid:4)(cid:249)(cid:39)(cid:155)(cid:92)(cid:18)(cid:145)(cid:146)(cid:161)(cid:359)(cid:18)(cid:360)(cid:17)(cid:258)
(cid:262)-a£x£a(cid:192)(cid:41) f x= a2-x2 (cid:41)(cid:348)(cid:99)(cid:42)(cid:173)(cid:354)(cid:59)(cid:41)(cid:44)(cid:82)(cid:114)0,0(cid:41)(cid:83)(cid:84)(cid:114)a(cid:18)(cid:44)(cid:109)x(cid:323)(cid:21)(cid:19)(cid:18)(cid:173)(cid:354)(cid:10)(cid:152)(cid:83)
(cid:44)(cid:11)(cid:258)
(cid:262)x>a(cid:192)(cid:41) f x=- x-1(cid:41)(cid:348)(cid:99)(cid:42)(cid:173)(cid:354)(cid:59)(cid:73)(cid:212)(cid:358)(cid:4)(cid:249)(cid:39)(cid:155)(cid:92)(cid:18)(cid:145)(cid:146)(cid:161)(cid:40)(cid:18)(cid:133)(cid:17)(cid:258)
1
(cid:65)(cid:142) (cid:41)(cid:249)a= (cid:41)(cid:118) f x(cid:18)(cid:173)(cid:354)(cid:49)(cid:312)(cid:41)
2
①æ 1 ö æ 1 ö
(cid:159)(cid:160)(cid:41)(cid:262)xÎ(a-1,+¥)(cid:41)(cid:152)xÎç- ,+¥÷(cid:192)(cid:41) f x(cid:109)ç- ,0÷(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:161)(cid:359)(cid:41)(cid:165) (cid:325)(cid:326)(cid:258)
è 2 ø è 2 ø
(cid:65)(cid:142) (cid:41)(cid:262)a³1(cid:192)(cid:41) ①
(cid:262)x<②-a(cid:192)(cid:41) f x=x+2<-a+2£1(cid:258)
(cid:262)-a£x£a(cid:192)(cid:41) f x= a2-x2 (cid:159)(cid:160)(cid:249)(cid:134)(cid:91)(cid:122)(cid:92)a(cid:258)
(cid:262)x>a(cid:192)(cid:41) f x=- x-1<- a-1£-2(cid:41)
(cid:45)(cid:21)(cid:151) f x(cid:249)(cid:134)(cid:91)(cid:122)(cid:92)a(cid:41)(cid:165) (cid:244)(cid:85)(cid:258)
②
(cid:65)(cid:142) (cid:41)(cid:348)(cid:99)(cid:262)-a£x £a(cid:192)(cid:41)(cid:109)x =a(cid:41)x >a(cid:108)(cid:69)(cid:289)(cid:142)x=a(cid:361)(cid:41)Mx, f x x £a,Nx , f x x >a
1 1 2 1 1 1 2 2 2
(cid:18)(cid:56)③(cid:57)(cid:91)(cid:124)(cid:41)
(cid:262)x =a(cid:192)(cid:41)y= f x =0(cid:41)(cid:262)x >a(cid:108)(cid:69)(cid:289)(cid:142)x=a(cid:361)(cid:41)y = f x <- a-1(cid:41)
1 1 2 2 2
(cid:272)(cid:192)(cid:41) MN > y -y > a+1>1(cid:41)
1 2
(cid:262)x <-a(cid:192)(cid:41)x >a(cid:108)(cid:69)(cid:289)(cid:142)x=a(cid:361)(cid:41)Mx, f x x £a,Nx , f x x >a(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:91)(cid:124)(cid:41)
1 2 1 1 1 2 2 2
a+ a+1+2
(cid:272)(cid:192) MN ³ >1(cid:258)(cid:165) (cid:244)(cid:85)(cid:258)
2
③
4
(cid:65)(cid:142) (cid:41)(cid:249)a= (cid:41)(cid:118) f x(cid:18)(cid:173)(cid:354)(cid:49)(cid:312)(cid:41)
5
④(cid:254)(cid:114)Px , f x x <-a,Qx , f x x ³-a(cid:41)
3 3 3 4 4 4
æ 4ö
(cid:181)(cid:46)(cid:173)(cid:354)(cid:178)(cid:99)(cid:41)(cid:193)(cid:208) PQ (cid:249)(cid:134)(cid:91)(cid:124)(cid:92)(cid:41)(cid:118)(cid:4)P(cid:109) f x=x+2çx<- ÷(cid:21)(cid:41)(cid:4)Q(cid:109)
è 5ø
16 æ 4 4ö
f x= -x2 ç- £x£ ÷ (cid:41)
25 è 5 5ø
æ 4ö
(cid:362)(cid:192) PQ (cid:18)(cid:91)(cid:124)(cid:92)(cid:114)(cid:4)O(cid:155) f x=x+2çx<- ÷(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:40)(cid:363)(cid:83)(cid:44)(cid:18)(cid:83)(cid:84)a(cid:41)
è 5ø
æ 4ö
(cid:272)(cid:192)(cid:41)(cid:254)(cid:114) f x= y=x+2çx<- ÷(cid:18)(cid:242)(cid:104)(cid:114)1(cid:41)(cid:118)k =-1(cid:41)(cid:165)(cid:16)(cid:17)OP(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)y=-x(cid:41)
è 5ø OP
ìy=-x ìx=-1
(cid:364)(cid:314)í (cid:41)(cid:149)(cid:134)í (cid:41)(cid:118)P-1,1(cid:41)
îy=x+2 îy=1
æ 4ö
(cid:159)(cid:160)P-1,1(cid:109) f x=x+2çx<- ÷(cid:21)(cid:41)(cid:278)(cid:279) PQ (cid:249)(cid:134)(cid:91)(cid:124)(cid:92)(cid:41)
è 5ø
4 æ 1ù
(cid:152)a= (cid:126)(cid:278)(cid:279) PQ (cid:286)(cid:109)(cid:91)(cid:124)(cid:92)(cid:41)(cid:165)a(cid:18)(cid:249)(cid:92)(cid:250)(cid:251)(cid:39)(cid:259)(cid:259)(cid:59)ç0,
ú
(cid:41)(cid:165) (cid:325)(cid:326).
5 è 2û
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151) . ④
(cid:127)(cid:4)(cid:189)(cid:130)(cid:32)(cid:365)②(cid:4)③(cid:189)(cid:151)(cid:339)(cid:13)(cid:149)(cid:366)(cid:18)(cid:32)(cid:365)(cid:59)(cid:5)(cid:131)(cid:134) f x(cid:18)(cid:173)(cid:354)(cid:41)(cid:340)(cid:239)(cid:59)(cid:262)-a£x£a(cid:192)(cid:41)f x= a2-x2 (cid:18)(cid:173)(cid:354)
(cid:114)(cid:83)(cid:44)(cid:41)(cid:149)(cid:366)(cid:12)(cid:13) (cid:192)(cid:41)(cid:178)(cid:249)(cid:340)(cid:341)(cid:92)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:370)(cid:152)(cid:178).
18(cid:116)（2023·天津·高 ④ 考真题）(cid:117)(cid:99)(cid:264)(cid:284)(cid:4)O(cid:18)(cid:73)(cid:212)(cid:16)(cid:17)l(cid:43)(cid:44)C:(x+2)2+y2 =3(cid:31)(cid:89)(cid:41)(cid:108)l(cid:43)(cid:371)(cid:372)(cid:17)
y2 =2px(p>0)(cid:263)(cid:142)(cid:4)O,P(cid:170)(cid:4)(cid:41)(cid:310)OP =8(cid:41)(cid:118)p=_________(cid:116)
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)6
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:153)(cid:154)(cid:44)x+22+y2 =3(cid:101)(cid:133)(cid:17)y2 =2px(cid:320)(cid:32)(cid:142)x(cid:323)(cid:65)(cid:90)(cid:41)(cid:39)(cid:332)(cid:132)(cid:89)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:114)y=kx(cid:41)k>0(cid:41)(cid:152)(cid:178)(cid:153)
(cid:154)(cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:44)(cid:18)(cid:50)(cid:51)(cid:32)(cid:52)(cid:41)(cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:371)(cid:372)(cid:17)(cid:18)(cid:50)(cid:51)(cid:32)(cid:52)(cid:149)(cid:102)(cid:116)
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:348)(cid:99)(cid:44)x+22+y2 =3(cid:101)(cid:133)(cid:17)y2 =2px(cid:320)(cid:32)(cid:142)x(cid:323)(cid:65)(cid:90)(cid:41)(cid:39)(cid:332)(cid:132)(cid:89)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:114)y=kx(cid:41)k>0(cid:41)ì 2p
x=
2k ìïy= 3x ìx=0 ï ï 3
(cid:179)(cid:175) = 3(cid:41)(cid:149)(cid:134)(cid:151)k = 3(cid:41)(cid:158)í (cid:149)(cid:134)(cid:151)í (cid:248)í (cid:41)
1+k2 ïîy2 =2px îy=0 ï 2 3p
y=
ïî 3
æ2pö 2 æ2 3pö 2 4p
(cid:179)(cid:175)OP = ç è 3 ÷ ø +ç ç è 3 ÷ ÷ ø = 3 =8(cid:41)(cid:149)(cid:134)(cid:151)p=6(cid:116)
(cid:262)k =- 3(cid:192)(cid:41)(cid:362)(cid:267)(cid:178)(cid:134)(cid:116)
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)6(cid:116)
19(cid:116)（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）(cid:117)(cid:99)(cid:16)(cid:17)l:x-my+1=0(cid:43)eC:x-12+y2 =4(cid:263)(cid:142)A(cid:41)B(cid:170)(cid:4)(cid:41)(cid:373)(cid:102)(cid:278)
8
(cid:279)“VABC(cid:119)(cid:120)(cid:114) ”(cid:18)m(cid:18)(cid:73)(cid:260)(cid:92)______(cid:116)
5
1 1
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)2(cid:10)2,-2, ,- (cid:53)(cid:182)(cid:183)(cid:73)(cid:260)(cid:374)(cid:178)(cid:175)(cid:11)
2 2
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:153)(cid:154)(cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:44)(cid:18)(cid:50)(cid:51)(cid:32)(cid:52)(cid:41)(cid:81)(cid:102)(cid:87)(cid:88) AB (cid:41)(cid:175)(cid:55)(cid:4)C(cid:155)(cid:16)(cid:17)AB(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:41)(cid:181)(cid:46)(cid:119)(cid:120)(cid:156)(cid:157)(cid:152)(cid:178)(cid:149)(cid:102)(cid:116)
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:132)(cid:4)C(cid:155)(cid:16)(cid:17)AB(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:114)d(cid:41)(cid:158)(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:157)(cid:134) AB =2 4-d2 (cid:41)
1 8 4 5 2 5
(cid:179)(cid:175)S = ´d´2 4-d2 = (cid:41)(cid:149)(cid:134)(cid:151)d = (cid:248)d = (cid:41)
(cid:188)ABC 2 5 5 5
1+1 2 2 4 5 2 2 5 1
(cid:158)d = = (cid:41)(cid:179)(cid:175) = (cid:248) = (cid:41)(cid:149)(cid:134)(cid:151)m=±2(cid:248)m=± (cid:116)
1+m2 1+m2 1+m2 5 1+m2 5 2
1 1
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)2(cid:10)2,-2, ,- (cid:53)(cid:182)(cid:183)(cid:73)(cid:260)(cid:374)(cid:178)(cid:175)(cid:11)(cid:116)
2 2
20(cid:116)（2023·上海·高考真题）(cid:117)(cid:99)(cid:44)C(cid:18)(cid:73)(cid:349)(cid:19)(cid:20)(cid:114)x2+2x+y2 =0(cid:41)(cid:118)(cid:44)C(cid:18)(cid:83)(cid:84)(cid:114)____________
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)1
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:174)(cid:81)(cid:134)(cid:44)(cid:18)(cid:79)(cid:216)(cid:19)(cid:20)(cid:41)(cid:147)(cid:148)(cid:81)(cid:134)(cid:44)(cid:18)(cid:83)(cid:84).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:44)x2+2x+y2 =0(cid:152)x+12+y2 =1(cid:41)
(cid:179)(cid:175)(cid:44)(cid:18)(cid:83)(cid:84)(cid:114)1.
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)1
21(cid:116)（2022·天津·高考真题）(cid:310)(cid:16)(cid:17)x-y+m=0m>0(cid:327)(cid:44)x-12+y-12 =3(cid:236)(cid:134)(cid:18)(cid:87)(cid:88)(cid:114)m(cid:41)(cid:118)m(cid:18)
(cid:92)(cid:114)_____(cid:116)
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)2
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:269)(cid:270)(cid:102)(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:41)(cid:220)(cid:48)(cid:265)(cid:266)(cid:86)(cid:267)(cid:178)(cid:134)(cid:102)(cid:32)(cid:142)m(cid:18)(cid:110)(cid:157)(cid:41)(cid:152)(cid:178)(cid:149)(cid:134)m(cid:18)(cid:92).(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:44)x-12+y-12 =3(cid:18)(cid:44)(cid:82)(cid:168)(cid:79)(cid:114)1,1(cid:41)(cid:83)(cid:84)(cid:114) 3(cid:41)
1-1+m m
(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:16)(cid:17)x-y+m=0m>0(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:114) = (cid:41)
2 2
æ m ö 2 æmö 2
(cid:158)(cid:265)(cid:266)(cid:86)(cid:267)(cid:178)(cid:134) ç ÷ +ç ÷ =3(cid:41)(cid:254)(cid:114)m>0(cid:41)(cid:149)(cid:134)m=2.
è 2ø è 2 ø
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)2.
22(cid:116)（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(cid:132)(cid:4)A(-2,3),B(0,a)(cid:41)(cid:310)(cid:16)(cid:17)AB(cid:32)(cid:142)y=a(cid:65)(cid:90)(cid:18)(cid:16)(cid:17)(cid:43)(cid:44)
(x+3)2 +(y+2)2 =1(cid:121)(cid:156)(cid:328)(cid:4)(cid:41)(cid:118)a(cid:18)(cid:249)(cid:92)(cid:250)(cid:251)(cid:59)________(cid:116)
é1 3ù
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130) ,
ê ú
ë3 2û
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:375)(cid:174)(cid:81)(cid:102)(cid:4)A(cid:32)(cid:142)y=a(cid:65)(cid:90)(cid:4)A¢(cid:18)(cid:168)(cid:79)(cid:41)(cid:152)(cid:178)(cid:134)(cid:155)(cid:16)(cid:17)l(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:41)(cid:153)(cid:154)(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:124)(cid:142)(cid:110)
(cid:142)(cid:83)(cid:84)(cid:134)(cid:155)(cid:39)(cid:110)(cid:157)(cid:41)(cid:149)(cid:134)(cid:152)(cid:178)(cid:258)
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)(cid:149)(cid:151)A-2,3(cid:32)(cid:142)y=a(cid:65)(cid:90)(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:168)(cid:79)(cid:114)A¢-2,2a-3(cid:41)B0,a(cid:109)(cid:16)(cid:17)y=a(cid:21)(cid:41)
a-3
(cid:179)(cid:175)A¢B(cid:179)(cid:109)(cid:16)(cid:17)(cid:152)(cid:114)(cid:16)(cid:17)l(cid:41)(cid:179)(cid:175)(cid:16)(cid:17)l(cid:114)y= x+a(cid:41)(cid:152)a-3x+2y-2a=0(cid:258)
-2
(cid:44)C:x+32+y+22 =1(cid:41)(cid:44)(cid:82)C-3,-2(cid:41)(cid:83)(cid:84)r=1(cid:41)
-3a-3-4-2a
(cid:246)(cid:13)(cid:183)(cid:44)(cid:82)(cid:155)(cid:16)(cid:17)l(cid:18)(cid:56)(cid:57)d = £1(cid:41)
a-32+22
1 3 é1 3ù
(cid:152)5-5a2 £a-32+22(cid:41)(cid:149)(cid:134) £a£ (cid:41)(cid:152)aÎ , (cid:258)
ê ú
3 2 ë3 2û
é1 3ù
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151) ,
ê ú
ë3 2û
23(cid:116)（2022·全国甲卷·高考真题）(cid:132)(cid:4)M(cid:109)(cid:16)(cid:17)2x+y-1=0(cid:21)(cid:41)(cid:4)(3,0)(cid:101)(0,1)(cid:320)(cid:109)eM (cid:21)(cid:41)(cid:118)eM (cid:18)(cid:19)
(cid:20)(cid:114)______________(cid:116)
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(x-1)2+(y+1)2 =5
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:132)(cid:102)(cid:4)M(cid:18)(cid:168)(cid:79)(cid:41)(cid:220)(cid:48)(3,0)(cid:101)(0,1)(cid:320)(cid:109)eM (cid:21)(cid:41)(cid:81)(cid:134)(cid:44)(cid:82)(cid:55)(cid:83)(cid:84)(cid:41)(cid:152)(cid:178)(cid:134)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20).
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)[(cid:19)(cid:190)(cid:73)](cid:151)(cid:136)(cid:4)(cid:328)(cid:44)
(cid:4)M(cid:109)(cid:16)(cid:17)2x+y-1=0(cid:21)(cid:41)
∵(cid:132)(cid:4)M(cid:114)(a,1-2a)(cid:41)(cid:164)(cid:254)(cid:114)(cid:4)(3,0)(cid:101)(0,1)(cid:320)(cid:109)eM (cid:21)(cid:41)
∴(cid:4)M(cid:155)(cid:170)(cid:4)(cid:18)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:110)(cid:108)(cid:114)(cid:83)(cid:84)R(cid:41)
∴ (a-3)2+(1-2a)2 = a2+(-2a)2 =R(cid:41)
∴a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2(cid:41)(cid:149)(cid:134)a=1(cid:41)
M(1,-1)(cid:41)R= 5(cid:41)
∴
eM (cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)(x-1)2+(y+1)2 =5.
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)(x-1)2+(y+1)2 =5
[(cid:19)(cid:190)(cid:74)](cid:151)(cid:44)(cid:18)(cid:93)(cid:105)(cid:106)(cid:107)
(cid:158)(cid:13)(cid:178)(cid:99)(cid:41)M(cid:59)(cid:175)(cid:10)3(cid:41)0(cid:11)(cid:101)(cid:10)0(cid:41)1(cid:11)(cid:114)(cid:358)(cid:4)(cid:18)(cid:17)(cid:356)(cid:232)(cid:16)(cid:167)(cid:5)(cid:17) y=3x-4(cid:43)(cid:16)(cid:17)2x+y-1=0(cid:18)(cid:263)(cid:4)
(1,-1).R= 5, eM (cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)(x-1)2+(y+1)2 =5.
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)(x-1)2+(y+1)2 =5
24(cid:116)（2022·全国乙卷·高考真题）(cid:264)(cid:351)(cid:4)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)(cid:53)(cid:18)(cid:136)(cid:4)(cid:18)(cid:73)(cid:260)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)____________(cid:116)
(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)x-22+y-32 =13(cid:248)x-22+y-12 =5(cid:248) æ çx- 4ö ÷ 2 + æ çy- 7ö ÷ 2 = 65 (cid:248) æ çx- 8ö ÷ 2 +y-12 = 169 (cid:116)
è 3ø è 3ø 9 è 5ø 25
(cid:127)(cid:5)(cid:131)(cid:130)(cid:19)(cid:190)(cid:73)(cid:151)(cid:132)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)x2+y2+Dx+Ey+F =0(cid:41)(cid:153)(cid:154)(cid:179)(cid:166)(cid:4)(cid:18)(cid:168)(cid:79)(cid:41)(cid:134)(cid:155)(cid:19)(cid:20)(cid:256)(cid:41)(cid:149)(cid:134)(cid:152)(cid:178)(cid:258)
(cid:127)(cid:150)(cid:149)(cid:130)[(cid:19)(cid:190)(cid:73)](cid:151)(cid:44)(cid:18)(cid:73)(cid:349)(cid:19)(cid:20)
(cid:246)(cid:13)(cid:183)(cid:132)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)x2+y2+Dx+Ey+F =0(cid:41)
ìF =0 ìF =0
ï ï
(cid:10)1(cid:11)(cid:310)(cid:264)0,0(cid:41)4,0(cid:41)-1,1(cid:41)(cid:118)í16+4D+F =0 (cid:41)(cid:149)(cid:134)íD=-4(cid:41)
ï ï
î1+1-D+E+F =0 îE=-6
(cid:179)(cid:175)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)x2+y2-4x-6y=0(cid:41)(cid:152)x-22+y-32 =13(cid:258)
ìF =0 ìF =0
ï ï
(cid:10)2(cid:11)(cid:310)(cid:264)0,0(cid:41)4,0(cid:41)4,2(cid:41)(cid:118)í16+4D+F =0 (cid:41)(cid:149)(cid:134)íD=-4(cid:41)
ï ï
î16+4+4D+2E+F =0 îE=-2
(cid:179)(cid:175)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)x2+y2-4x-2y=0(cid:41)(cid:152)x-22+y-12 =5(cid:258)
ì
ïF =0
ìF =0 ï
ï ï 8
(cid:10)3(cid:11)(cid:310)(cid:264)0,0(cid:41)4,2(cid:41)-1,1(cid:41)(cid:118)í1+1-D+E+F =0 (cid:41)(cid:149)(cid:134)íD=- (cid:41)
3
ï ï
î16+4+4D+2E+F =0
ï 14
E=-
ï
î 38 14 æ 4ö 2 æ 7ö 2 65
(cid:179)(cid:175)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)x2+y2- x- y=0(cid:41)(cid:152) çx- ÷ +çy- ÷ = (cid:258)
3 3 è 3ø è 3ø 9
ì 16
F =-
ï
5
ì1+1-D+E+F =0 ï
ï ï 16
(cid:10)4(cid:11)(cid:310)(cid:264)-1,1(cid:41)4,0(cid:41)4,2(cid:41)(cid:118)í16+4D+F =0 (cid:41)(cid:149)(cid:134)íD=- (cid:41)(cid:179)(cid:175)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)
5
ï ï
î16+4+4D+2E+F =0
ïE=-2
ï
î
x2+y2- 16 x-2y- 16 =0(cid:41)(cid:152) æ çx- 8ö ÷ 2 +y-12 = 169 (cid:258)
5 5 è 5ø 25
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)x-22+y-32 =13(cid:248) x-22+y-12 =5(cid:248) æ çx- 4ö ÷ 2 + æ çy- 7ö ÷ 2 = 65 (cid:248)
è 3ø è 3ø 9
æ çx- 8ö ÷ 2 +y-12 = 169 (cid:116)
è 5ø 25
[(cid:19)(cid:190)(cid:74)](cid:151)(cid:127)(cid:91)(cid:376)(cid:149)(cid:130)(cid:44)(cid:18)(cid:79)(cid:216)(cid:19)(cid:20)(cid:10)(cid:136)(cid:4)(cid:53)(cid:18)(cid:170)(cid:212)(cid:53)(cid:232)(cid:17)(cid:18)(cid:263)(cid:4)(cid:114)(cid:44)(cid:82)(cid:11)
(cid:132)(cid:4)A0,0(cid:41)B4,0(cid:41)C-1,1(cid:41)D4,2
(cid:10)1(cid:11)(cid:310)(cid:44)(cid:264)A(cid:26)B(cid:26)C(cid:136)(cid:4)(cid:41)(cid:44)(cid:82)(cid:109)(cid:16)(cid:17)x=2(cid:41)(cid:132)(cid:44)(cid:82)(cid:168)(cid:79)(cid:114)(2,a)(cid:41)
(cid:118)4+a2 =9+a-12 Þa=3,r= 4+a2 = 13(cid:41)(cid:179)(cid:175)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)(x-2)2+(y-3)2 =13(cid:258)
(cid:10)2(cid:11)(cid:310)(cid:44)(cid:264)A(cid:26)B(cid:26)D(cid:136)(cid:4)(cid:41) (cid:132)(cid:44)(cid:82)(cid:168)(cid:79)(cid:114)(2,a)(cid:41)(cid:118)4+a2 =4+(a-2)2 Þa=1,r= 4+a2 = 5(cid:41)(cid:179)(cid:175)(cid:44)
(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)(x-2)2+(y-1)2 =5(cid:258)
(cid:10)3(cid:11)(cid:310)(cid:44)(cid:264) A(cid:26)C(cid:26)D(cid:136)(cid:4)(cid:41)(cid:118)(cid:17)(cid:356)AC(cid:18)(cid:53)(cid:232)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:114)y=x+1(cid:41)(cid:17)(cid:356)AD (cid:18)(cid:53)(cid:232)(cid:17)(cid:19)(cid:20) (cid:114)y=-2x+5(cid:41)
4 7 65 4 7 65
(cid:364)(cid:314)(cid:134)x= ,y= Þr= (cid:41)(cid:179)(cid:175)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)(x- )2+(y- )2 = (cid:258)
3 3 3 3 3 9
(cid:10)4(cid:11)(cid:310)(cid:44)(cid:264)B(cid:26)C(cid:26)D(cid:136)(cid:4)(cid:41)(cid:118)(cid:17)(cid:356)BD(cid:18)(cid:53)(cid:232)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:114)y=1(cid:41) (cid:17)(cid:356)BC(cid:53)(cid:232)(cid:17)(cid:19)(cid:20)(cid:114) y=5x-7(cid:41)(cid:364)(cid:314)(cid:134)
x= 8 ,y=1Þr= 13 (cid:41)(cid:179)(cid:175)(cid:44)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:114)(x- 8 )2+y-12 = 169 (cid:116)
5 5 5 25
(cid:165)(cid:128)(cid:129)(cid:114)(cid:151)x-22+y-32 =13(cid:248) x-22+y-12 =5(cid:248) æ çx- 4ö ÷ 2 + æ çy- 7ö ÷ 2 = 65 (cid:248)
è 3ø è 3ø 9
æ çx- 8ö ÷ 2 +y-12 = 169 (cid:116)
è 5ø 25
(cid:127)(cid:282)(cid:62)(cid:4)(cid:377)(cid:130)(cid:19)(cid:190)(cid:73)(cid:258)(cid:220)(cid:48)(cid:44)(cid:264)(cid:136)(cid:260)(cid:4)(cid:41)(cid:132)(cid:44)(cid:18)(cid:73)(cid:349)(cid:19)(cid:20)(cid:41)(cid:149)(cid:136)(cid:283)(cid:73)(cid:378)(cid:19)(cid:20)(cid:256)(cid:41)(cid:199)(cid:200)(cid:285)(cid:145)(cid:41)(cid:296)(cid:270)(cid:379)(cid:380)(cid:258)
(cid:19)(cid:190)(cid:74)(cid:258)(cid:220)(cid:48)(cid:44)(cid:18)(cid:93)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:41)(cid:174)(cid:81)(cid:102)(cid:44)(cid:82)(cid:185)(cid:81)(cid:83)(cid:84)(cid:41)(cid:296)(cid:270)(cid:379)(cid:285)(cid:381)(cid:41)(cid:59)(cid:290)(cid:13)(cid:18)(cid:91)(cid:376)(cid:149)(cid:116)