文档内容
专题 15 直线与圆 10 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01直线与直线的夹角
2021·上海
知识1 直线的
考点02两点间的距离
方程
2024·北京
（5年2考）
1.圆的方程及相关应用是考查核
考点03求点到直线的距离
心：从数据来看，“圆的方程”
2024·北京 相关考点考查覆盖求圆的方程、
圆心半径确定、直线与圆的位置
考点04求圆的方程
关系、弦长、切线、对称及最值
2022·全国甲卷 2022·全国乙卷
问题，几乎涵盖圆的全部核心知
识点。其中，圆的弦长问题和圆
考点05由圆的方程确定圆心和半径
的最值问题出现频率较高，体现
2023·上海 2023·全国乙卷
了对直线与圆位置关系、几何性
考点06直线与圆的位置关系 质应用的重点考查，且在天津、
2022·新高考全国Ⅱ卷2022·上海2021·新高考全 北京等地区的考题中尤为突出，
国Ⅱ卷 稳定性强。
知识2 圆的方 考点07圆的弦长问题 2.直线方程相关考点考查较少但基
程 2025·天津2024·全国甲卷2023·新课标Ⅱ卷 础不减：“直线的方程” 相关考
（5年5考） 2022·天津2021·北京 点涉及夹角、距离等基础内容，
虽频率低，但作为解析几何的基
2021·天津
础，其与圆的综合应用（如直线
考点08圆的切线问题
与圆的位置关系中涉及的距离公
2023·新课标Ⅰ卷 2022·新高考全国Ⅰ卷 式）是隐含的考查点，体现了对
基础概念的间接重视。
考点09圆的对称问题
2022·北京
考点10圆的最值问题
2025·全国一卷2023·全国乙卷2023·北京 2021·
新高考全国Ⅰ卷考点01直线与直线的夹角
1．（2021·上海·高考真题）求直线 与直线 的夹角为 .
【答案】
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【详解】解： 直线 的斜率不存在，倾斜角为 ，
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
故直线 与直线 的夹角为 ，
故答案为： ．
考点02两点间的距离
2．（2024·北京·高考真题）已知 是平面直角坐标系中的点集.
设 是 中两点间距离的最大值， 是 表示的图形的面积，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域 ，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定 ，则 ，且 ，
可知 ，即 ，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域 ，
如图阴影部分所示，其中 ，可知任意两点间距离最大值 ，
阴影部分面积 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，
见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确
把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
考点03求点到直线的距离
3．（2024·北京·高考真题）圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得 ，即 ，
则其圆心坐标为 ，则圆心到直线 的距离为 .
故选：D.
考点04求圆的方程
4．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方
程为 ．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用 和 均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线 上，
∴设点M为 ，又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴ ，
，解得 ，
∴ ， ，
的方程为 .
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线 的交点(1,-1).
, 的方程为 .
故答案为：
5．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】 或 或 或 ．
【分析】方法一：设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为 ，
（1）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（2）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（3）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；（4）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的方程为
，即 ；
故答案为： 或 或 或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过 三点，圆心在直线 ，设圆心坐标为 ，
则 ，所以圆的方程为 ；
（2）若圆过 三点， 设圆心坐标为 ，则 ，所以圆
的方程为 ；
（3）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程 为 ，
联立得 ，所以圆的方程为 ；
（4）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ， 线段 中垂线方程为 ，联立
得 ，所以圆的方程为 ．
故答案为： 或 或 或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
考点05由圆的方程确定圆心和半径
6．（2023·上海·高考真题）已知圆 的面积为 ，则 ．
【答案】
【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解.
【详解】圆 化为标准方程为： ，圆的面积为 ， 圆的半径为 ，
，解得 ．
故答案为：
7．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域 内随机取一
点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.
【详解】因为区域 表示以 圆心，外圆半径 ，内圆半径 的圆环，
则直线 的倾斜角不大于 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角 ，
结合对称性可得所求概率 .
故选：C.
考点06直线与圆的位置关系
8．【多选】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线 与圆 ，点 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位
置关系即可得解.
【详解】圆心 到直线l的距离 ，若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
9．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等
于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
10 ． （ 2022· 上 海 · 高 考 真 题 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 关 于 点 集
的两个结论：
①存在直线l，使得集合 中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧；
②存在直线l，使得集合 中存在无数个点在直线上.则下列判断正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【答案】B
【分析】
对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考
虑.
【详解】对于①，取直线 ,
则对于任意的 ，有 ，
故圆 均在直线 的下方，
而对任意的 ，有 ，
故圆 均在直线 的上方，
而当 时， 表示原点，它在直线 的下方，
故此时集合 中所有的点均不在直线 上，且存在点在直线 的两侧.
所以①成立.
对于②，设直线 的方程为 ，则圆心 到直线 的距离为
当 时 所以直线 只能与有限个圆相交，所以②不成立.
故选：B
考点07圆的弦长问题
11．（2021·北京·高考真题）已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ，当 变化时，
若 的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为 ，半径为2，
则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，则当 时， 取得最小值为 ，解得 .
故选：C.
12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线 与圆 交于 两点，则
的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点 ，从而可得当 时， 的最小，结合勾股定
理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线 ，即 ，令 ，
则 ，所以直线过定点 ，设 ，
将圆 化为标准式为 ，
所以圆心 ，半径 ，
当 时， 的最小，
此时 .
故选：C
13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是 的等差中项，直线 与圆 交于
两点，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为 成等差数列，所以 ， ，代入直线方程 得
，即 ，令 得 ，
故直线恒过 ，设 ，圆化为标准方程得： ，
设圆心为 ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 时， 最小，
，此时 .故选：C
14．（2025·天津·高考真题） ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与 交
于C、D两点， ，则 ．
【答案】2
【分析】先根据两点间距离公式得出 ，再计算出圆心到直线的距离 ，根据弦长公式
列等式求解即可.
【详解】因为直线 与 轴交于 ，与 轴交于 ，所以 ，
所以 ，
圆 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，
故 ，解得 ；
故答案为：2.
15．（2022·天津·高考真题）若直线 被圆 截得的弦长为 ，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于 的等式，即可解得 的值.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，由勾股定理可得 ，因为 ，解得 .
故答案为： .
16．（2021·天津·高考真题）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则
．
【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，则点 ，利用直线 与圆 相切求出 的值，
求出 ，利用勾股定理可求得 .
【详解】设直线 的方程为 ，则点 ，
由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，
因为 ，故 .
故答案为： .
17．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线 与 交于A，B两点，写出
满足“ 面积为 ”的m的一个值 ．
【答案】 （ 中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长 ，以及点 到直线 的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．
故答案为： （ 中任意一个皆可以）．
考点08圆的切线问题
18．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得 ，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.
19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆 和 都相切的一条直线的方
程 ．
【答案】 或 或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为 ，
于是 ，
故 ①， 于是 或 ，
再结合①解得 或 或 ，
所以直线方程有三条，分别为 ， ，
填一条即可
[方法二]：
设圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，则 ，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意；
又由方程 和 相减可得方程 ，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为 ，
直线OC与直线 的交点为 ，
设过该点的直线为 ，则 ，解得 ，
从而该切线的方程为 填一条即可
[方法三]：
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心 为 ，半径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 .
考点09圆的对称问题
20．（2022·北京·高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得 ．
故选：A．
考点10圆的最值问题
21．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【分析】法一：令 ，利用判别式法即可；法二：通过整理得 ，利用三角换元法
即可，法三：整理出圆的方程，设 ，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令 ，则 ，
代入原式化简得 ，
因为存在实数 ，则 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
故 的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ，
法三：由 可得 ，
设 ，则圆心到直线 的距离 ，
解得
故选：C.
22．（2025·全国一卷·高考真题）若圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有
2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出圆心 到直线 的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆 中，圆心 ，半径为 ，
到直线 的距离为 的点有且仅有 个，∵圆心 到直线 的距离为： ，
故由图可知，
当 时，
圆 上有且仅有一个点（ 点）到直线 的距离等于 ；
当 时，
圆 上有且仅有三个点（ 点）到直线 的距离等于 ；
当则 的取值范围为 时，
圆 上有且仅有两个点到直线 的距离等于 .
故选：B.
23．【多选】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点 在圆 上，点 、
，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；
分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线 与半径为 的圆 相离，圆心 到直线 的距离为 ，则圆 上一点 到直线
的距离的取值范围是 .
24．（2023·北京·高考真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】先分析 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取 ，结合图像即可判断；对于②，分段
讨论 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知 的范围；对于④，取 ，结合图像
可知此时 存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意， ，
当 时， ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当 时， ，易知其图像是，圆心为 ，半径为 的圆在 轴上方的图像（即半
圆）；当 时， ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取 ，则 的图像如下，
显然，当 ，即 时， 在 上单调递增，故①错误；
对于②，当 时，
当 时， ；
当 时， 显然取得最大值 ；
当 时， ，
综上： 取得最大值 ，故②正确；
对于③，易知当 时，在 ， 且接近于 处，
的距离最小，
当 时， ，当 且接近于 处， ，
此时， ，
当 时， 且接近于 处， 的距离最小，
此时 ；故③正确；
对于④，取 ，则 的图像如下，因为 ，
结合图像可知，要使 取得最小值，则点 在 上，点 在
，
同时 的最小值为点 到 的距离减去半圆的半径 ，
此时，因为 的斜率为 ，则 ，故直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
显然 在 上，满足 取得最小值，
即 也满足 存在最小值，故 的取值范围不仅仅是 ，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得 的图像，特别是当 时， 的图
像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
